Среднее арифметическое мода размах – Среднее арифметическое, размах и мода

Содержание

Среднее арифметическое, размах и мода

В качестве одной из важнейших характеристик есть средние величины. В математической статистике различают несколько видов средних величин: арифметическую, геометрическую, гармоничную, квадратичную, кубичную и другие. Все перечисленные типы средних могут быть вычислены для случаев, когда каждая из вариантов вариационного ряда встречается только один раз. Когда значения варианта повторяются разное количество раз, то вычисление средних величин называются свешенными.

Для характеристики вариационного ряда один из перечисленных типов средних выбирается не произвольно, а в зависимости от особенностей явлений, что изучается и целей, для которых среднее вычисляется.

Если варианты $x_1,\ x_2,\ \dots x_n$ встречаются один раз, либо одинаковое количество раз, то степенная средняя вычисляется за формулой:

$m-$ показатель степени, что определяет тип средней.

Если варианты $x_1,\ x_2,\ \dots x_n$ встречаются разное количество раз, то степенная средняя вычисляется за формулой:

При $m=1,\ $ из формулы (1) получим невзвешенное среднее арифметическое (простое):

А из формулы (2) при $m=1$ получим взвешенное среднее арифметическое:

Мода и размах

Кроме средних в статистике для описательной характеристики величины варьирующего признака пользуются показателями моды и размаха.

Модой $M_{0} $ выборки значений случайной величины называется та варианта, которая наиболее часто встречается в выборке.

Мода применяют, к примеру при определении размера обуви, одежды, пользующейся наибольшим спросом у покупателей, наиболее распространенной цены на тот или иной товар и пр.

Модой в дискретном ряде называется варианта, которая имеет самую большую частоту (то есть повторяется наибольшое количество раз), например: имеем итоговую таблицу о продажах в магазине обуви по размерам:

В данном примере модой является 38-й размер, так как пар обуви данного размера продано больше всего, а именно 197 пар.

Пускай имеем интервальный ряд, то для того что б определить моду надо для начала найти модальный интервал, к тому же, если интервалы равны, то модальный интервал определяется по наибольшей частоте (если неравны — по наибольшей плотности).

При равных интервалах моду внутри модального интервала можно определить за формулой:

\[M_0=x_0+h\frac{f_m-f_{m-1}}{\left(f_m-f_{m-1}\right)+\left(f_m+f_{m+1}\right)}\]

где $x_0$ — нижняя граница модального интервала;

$h$ — величина (ширина) интервала;

$f_m$ — частота модального интервала;

$f_{m-1}$ — частота интервала, которая предшествует модальному;

$f_{m+1}$ — частота интервала, которая является следующей за модальным.

Про моду можно сказать, что она является наиболее распространенной типичной величиной в распределении. К тому же, и мода и средняя величина характеризуют совокупность по разному, а именно мода определяет непосредственно размер признака, свойственный хотя и значительной части, но все же не всей совокупности. Поэтому мода уступает средней по своему обобщающему значению, которая характеризует совокупность в целом, так как складывается под воздействием всех без исключения элементов совокупности.

Мод может быть и несколько. Если мода одна, то распределение называется унимодальным, если две — бимодальным, при трех и более модах — мультимодальным.

Размах ряда чисел — это разность между наибольшим и наименьшим числом в ряде.

Размах вариации одна из простейших мер колеблемости значений признака и являет собой разность между максимальным и минимальным значением признака:

\[R=X_{max}-X_{min}\]

Недостатком размаха вариации является, то, что при вычислении R используется только крайние значения ряда распределения, и он не всегда правильно характеризует колеблемость данного признака.

Имея ввиду то, что каждое из индивидуальных значений признака имеет отклонения от средней на некоторую величину, то мерой вариации может выступать средняя из отклонений каждой отдельной варианты от их средней.

Такими показателями является как среднее линейное отклонение так и среднее квадратическое отклонение и дисперсия.

spravochnick.ru

Среднее арифметическое, размах и мода

МУ Отдел образования МО «Тарбагатайский район»

МБОУ «Заводская ООШ»

«Среднее арифметическое, размах и мода»

Выполнил: Слепнев Павел, ученик 7 класса

Научный руководитель:

Улаханова Марина Родионовна,

учитель математики

2012 год

Оглавление Стр. 2

Введение Стр. 3

Основная часть Стр.4-9

Теория вопроса Стр.4-6

Мини-проекты Стр.7-9

Заключение Стр.9

Список литературы Стр.10

Введение

Актуальность

В этом учебном году мы начали изучать два предмета: алгебру и геометрию. При изучении алгебры что-то мне знакомо из курса 5,6 классов, что-то мы изучаем более основательно и углубленно, многое узнаем нового. Вот новое для меня при изучении алгебры – это знакомство с некоторыми статистическими характеристиками: размах и мода. Со средним арифметическим мы встречались уже ранее. Еще интересным оказалось, что эти характеристики применяются не только на уроках математики, но и в жизни, на практике (в производстве, в сельском хозяйстве, в спорте и т.д.).

Постановка проблемы

Когда мы в классе на уроке решали задачи к этому пункту, то возникла идея составить самим задачи и подготовить к ним презентации, то есть как бы начать создавать свой задачник. Каждый придумывает задачу, делает к ней презентацию, как бы каждый работает над своим мини-проектом, а на уроке все вместе решаем, обсуждаем. Если допущены ошибки, то их исправляем. А в конце провести публичную защиту этих мини-проектов.

Цель моей работы: изучение статистики.

Задачи: начать разработку задачника по статистике в виде компьютерных презентаций.

Предмет исследования: статистика.

Объект исследования: статистические характеристики (среднее арифметическое, размах, мода).

Методы исследования:

Изучение литературы по данной теме.
Анализ данных.

Использование Интернет-ресурсов.
Использование программы Power Point.
Обобщение собранных материалов по данной теме.

Основная часть.

Теория вопроса

В ходе изучения раздела «Статистические характеристики» мы познакомились с такими понятиями: среднее арифметическое, размах, мода. Эти характеристики находят применение в статистике. Эта наука изучает численность отдельных групп населения страны и ее регионов, производство и потребление разнообразных видов продукции, перевозку грузов и пассажиров различными видами транспорта, природные ресурсы и т.п.

“Статистика знает всё”, – утверждали Ильф и Петров в своем знаменитом романе “Двенадцать стульев” и продолжали: “Известно, сколько какой пищи съедает в год средний гражданин республики… Известно, сколько в стране охотников, балерин, станков, велосипедов, памятников, маяков и швейных машинок… Как много жизни, полной пыла, страстей и мысли, глядит на нас со статистических таблиц!..” Это ироническое описание дает довольно точное представление о статистике (от лат. status – состояние) – науке, изучающей, обрабатывающей и анализирующей количественные данные о самых разнообразных массовых явлениях в жизни.

Экономическая статистика изучает изменение цен, спроса и предложения на товары, прогнозирует рост и падение производства и потребления.

Демографическая статистика изучает рождаемость, численность населения, его состав (возрастной, национальный, профессиональный).

А еще есть статистика финансовая, налоговая, биологическая, метеорологическая.^[1]

В школьном курсе алгебры мы рассматриваем понятия и методы описательной статистики, которая занимается первичной обработкой информации и вычислением наиболее показательных числовых характеристик. По словам английского статистика Р. Фишера: “Статистика может быть охарактеризована как наука о сокращении и анализе материала, полученного в наблюдениях”. Всю совокупность числовых данных, полученных в выборке можно (условно) заменить несколькими числовыми параметрами, некоторые из них мы уже рассматривали на уроках – это среднее арифметическое, размах, мода. Результаты статистических исследований широко используются для практических и научных выводов, поэтому важно уметь определять эти статистические характеристики.

Статистические характеристики в наше время встречаются везде. Например, перепись населения. Благодаря этой переписи, государство узнает сколько нужно денег на строительство жилья, школ, больниц, сколько людей нуждаются в жилье, сколько детей в семье, количество безработных, уровень зарплаты и т.д. Результаты этой переписи сравнят с прошлой, посмотрят поднялась ли страна за это время или положение стало хуже, можно будет сравнить данные с результатами в других странах. В промышленности большое значение имеет мода. Например, товар, который имеет большой спрос — будут всегда продавать, а фабрики будут иметь большие деньги. И таких примеров множество.

Результаты статистических исследований широко используются для практических и научных выводов.^[2]

Определение 1. Средним арифметическим ряда чисел называется частное от деления суммы этих чисел на число слагаемых.^[3]

Пример: При изучении учебной нагрузки выделили группу из 12 учащихся 7 класса. Просили отметить в определенный день время (в минутах), затраченное на выполнение домашнего задания по алгебре. Получили такие данные:

23, 18, 25, 20, 25, 25, 32, 37, 34, 26, 34, 25. Имея этот ряд данных, можно определить, сколько минут в среднем затратили учащиеся на выполнение домашнего задания по алгебре. Для этого надо сложить указанные 12 чисел и полученную сумму разделить

на 12: ==27.

Число 27, полученное в результате, называют средним арифметическим рассматриваемого ряда чисел.

Среднее арифметическое является важной характеристикой ряда чисел но иногда полезно рассматривать и другие средние.

Определение 2. Модой ряда чисел называется число, которое встречается в данном ряду чаще других.^[4]

Пример: При анализе сведений о времени, затраченном учащимися на выполнение домашнего задания по алгебре, нас могут заинтересовать не только среднее арифметическое и размах полученного ряда данных, но и другие показатели. Например, интересно знать, какой расход времени является типичным для выделенной группы учащихся, т.е. какое число встречается в ряду данных чаще всего. Нетрудно заметить, что в нашем примере это число 25. говорят, что число 25 – мода рассматриваемого ряда.

Ряд чисел может иметь более одной моды, а может не иметь моды совсем. Например, в ряду чисел 47, 46, 50, 47, 52, 49, 45, 43, 54, 52, 47, 52 две моды – это числа 47 и 52, так как каждое из них встречается в ряду по три раза, а остальные числа – менее трех раз.

В ряду чисел 69, 68, 66, 70, 67, 62, 71, 74, 63, 73, 72 моды нет.

Моду ряда данных обычно находят, когда хотят выявить некоторый типичный показатель. Мода—показатель, который широко используется в статистике. Одним из наиболее частых использований моды является изучение спроса. Например, при решении вопросов, в пачки какого веса фасовать масло, какие открывать авиарейсы и т. п., предварительно изучается спрос и выявляется мода — наиболее часто встречающийся заказ.

Однако нахождение среднего арифметического или моды далеко не всегда позволяет делать надежные выводы на основе статистических данных. если у нас есть ряд данных, то для обоснованных выводов и надежных прогнозов на их основе, помимо средних значений, надо еще указать, насколько используемые данные различаются между собой. Одним из статистических показателей различия или разброса данных является размах.

Определение 3. Размахом ряда чисел называется разность между наибольшим и наименьшим из этих чисел.^[5]

Пример: В рассмотренном выше примере мы нашли, что в среднем учащиеся затратили на выполнение домашнего задания по алгебре по 27 минут. Однако анализ проведенного ряда данных показывает, что время, затраченное некоторыми учащимися, существенно отличается от 27 минут, т.е. от среднего арифметического. Наибольший расход равен 37 минут, а наименьший – 18 минут. Разность между наибольшим и наименьшим расходом времени составляет 19 минут. Вот в этом случае рассматривается еще одна статистическая характеристика – размах. Размах ряда находят, когда хотят определить, как велик разброс данных в ряду.

Мини-проекты

А теперь хочу представить результаты нашей работы: мини-проекты для создания задачника по статистике.

Задача № 1. Автор Кушнарев Павел, учащийся 7 класса.

Я работаю в салоне-магазине «Супер-авто» главным менеджером отдела продаж. Наш салон предоставлял автомобили для участия в игре «полный привод». В прошлом году на выставке-продаже наши машины имели успех! Результаты продаж следующие:

Продано машин в первый день	Продано машин во второй день	Продано машин в третий день	Продано машин в четвертый день	Продано машин в пятый день
100	100	150	200	250

Отделу продаж необходимо подвести итоги выставки:

Сколько в среднем продавалось машин в день?
Каков разброс количества машин за период выставки-продажи?
Сколько чаще всего продавалось машин в день?

Ответ: в среднем было продано по 150 машин в день, разброс количества проданных машин составил – 150, в день чаще всего продавалось 100 машин.

Задача № 2. Автор Петрова Анастасия, ученица 7 класса.

Я, Анастасия Волочкова, была приглашена в жюри на финал конкурса «Лёд и пламя». Конкурс проходил в городе Санкт –Петербурге. В финал вышли три пары самых сильных фигуристов: 1пара. Батуева Алина и Хлебодаров Кирилл, 2 пара. Селянская Юлия и Кушнарев Павел, 3пара. Заиграева Анастасия и Афанасьев Дмитрий. Жюри: Анастасия Волочкова , Елена Малышева, Алексей Далматов. Жюри выставили следующие оценки:

Жюри	Баллы 1 пары	Баллы 2 пары	Баллы 3пары
Анастасия Волочкова	5.5	5.4	5.4
Елена Малышева	5.5	5.2	5.3
Алексей Далматов	5.3	5.2	5

Найдите среднее арифметическое, размах моду в рядах оценок каждой пары.

Ответ:

Итоги	Среднее арифметическое	Размах	Мода
1 пара	5.43	0.2	5.5
2 пара	5.27	0.2	5.2
3 пара	5.23	0.4	нет

Задача № 3. Автор Селянская Юлия, ученица 7 класса.

В этом году я побывала в г. Санкт-Петербург на соревнованиях по бальным танцам. В конкурсе принимали участие три красивые пары: Сушенцова Елена и Хлебодаров Кирилл, Батуева Алина и Слепнев Павел, Джаниашвили Виктория и Ткачев Валерий.

За выступления пары получили следующие оценки:

Пара №1: Сушенцова Елена и Хлебодаров Кирилл

4,5

4,4

4,3

Пара№2:

Батуева Алина и Слепнёв Павел

4,5

4,4

4,3

Пара№3:

Джаниашвили Виктория и Ткачёв Валерий

4,4

4,3

4,5

Найти среднюю оценку, размах и моду.

Ответ:

Пары	Среднее арифметическое	Размах	Мода
№1	4,42	0,2	4,5
№2	4,37	0,2	4,3
№3	4,37	0,2	4,3

Задача № 4. Автор Сушенцова Елена.

Я директор магазина модной одежды и аксессуаров «Fashion». Магазин приносит хорошую прибыль. Показатели продаж за прошлый год:

915т.р.

1млн 150т.р.

1 млн.

980т.р.

2 млн.

3т.р.

2 млн.

950т.р.

3 млн.

950т.р.

3 млн.

100т.р.

2 млн.

950т.р.

3 млн.

750т.р.

2млн.

950т.р.

4 млн.

250т.р.

Первые 2-3 месяца прибыль доходила до 2 миллионов за месяц. Уже после прибыль возрастала до 4 миллионов. Самыми удачными месяцами были: декабрь и май. В мае в основном покупали платья для выпускных баллов, а в декабре для новогоднего торжества.

Вопрос моему главному бухгалтеру: каковы результаты нашей работы за год?

Ответ:

Среднее арифметическое	2 745 000 руб
Размах	4 158 500 руб
Мода	2 950 000 руб

Задача №5. Авторы Слепнев Павел и Афанасьев Дмитрий, учащиеся 7 класса.

Мы организовали тюнинг-мастерскую «Turbo». За первую неделю нашей работы мы заработали: в первый день – 120 000 $, во второй день – 350 000 $, в третий день – 99 000$, в четвертый день – 120 00$. Подсчитайте каков наш средний доход в день, коков разрыв между наибольшим и наименьшим заработком и какая сумма чаще повторяется?

Ответ: среднее арифметическое – 172 250 $, размах – 251 000 $, мода – 120 000 $.

Заключение

В заключении я хочу сказать, что мне нравится эта тема. Статистические характеристики очень удобны, их можно применять везде. В общем, они сравнивают, стремятся к прогрессу и помогают узнать мнение народа. В ходе работы над этой темой я познакомился с наукой статистикой, узнал некоторые понятия (среднее арифметическое, размах и мода), где эта наука может быть применима, расширил свои познания и в информатике. Я, думаю, что наши задачки как примеры для освоения этих понятий пригодятся и другим! Будем продолжать знакомство в этой наукой и создавать свои задачки!

Вот и закончилось мое путешествие в мир математики, информатики и статистики. Но я, думаю, что не последнее. Я еще многое хочу познать! Как сказал Галилео Галилей: «Природа формулирует свои законы языком математики». И я хочу овладеть этим языком!

Список литературы

Бунимович Е.А., Булычев В.А. «Вероятность и статистика в курсе математики общеобразовательной школы», М.: Педагогический университет “Первое сентября”, 2005
Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. «Алгебра, 7 класс», М: «Просвещение», 2009
Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. «Алгебра. Элементы статистики и теории вероятностей», 7 – 9 классы. – М.: Просвещение, 2005.

Рецензия

Предметом исследования учащегося является статистика.

Объектом исследования – статистические характеристики (среднее арифметическое, размах, мода).

Ученик для ознакомления с теорией вопроса изучил научные источники, Интернет-ресурсы.

Выбранная тема актуальна для учащегося, проявляющего интерес к математике, информатике, статистике. Для его возраста проанализирован достаточный материал, произведен отбор данных, обобщен. Учащийся достаточно владеет ИКТ.

Работа оформлена в соответствии с требованиями.

В конце исследования сделан вывод, представлен практический продукт: презентации задач по статистике. Радует, что человек так увлечен математикой.

Рекомендации: данное исследование необходимо продолжить дальше и завершить данный проект в конце учебного года публичной презентацией.

Научный руководитель: Улаханова МР,

учитель математики

[1] Бунимович Е.А., Булычев В.А. «Вероятность и статистика в курсе математики общеобразовательной школы»

[2] Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. «Алгебра. Элементы статистики и теории вероятностей»

[3] Алгебра, 7 класс

[4] Алгебра, 7 класс

[5] Алгебра, 7 класс

nsportal.ru

Конспект по алгебре на тему:»Среднее арифметическое, размах и мода»

Урок ««Статистические характеристики: среднее арифметическое, мода, медиана и размах»

Цели:

Познавательные

– закрепить полученные знания и умения, применять статистические характеристики при решении простейших задач;

развивающие – развитие математически грамотной речи, логического мышления;

воспитательные – подготовка учащихся к проблемам современной жизни, воспитание познавательной активности, культуры диалога.

Задачи:

вооружить учащихся системой знаний по теме «Определение вероятности событий, среднего арифметического и медианы набора чисел»;

сформировать навыки применения данных знаний при решении разнообразных задач различной сложности;

подготовить учащихся к сдаче ОГЭ;

сформировать навыки самостоятельной работы.

Тип урока. Урок обобщения и систематизации знаний

Организационные формы общения: групповая, индивидуальная.

Предварительная подготовка учащихся. Проводят социологические исследования и сбор данных по предложенным темам.

Структура урока:

1. Мотивационная беседа.

2. Дидактическая игра «Математическая перестрелка», в процессе которой происходит актуализация опорных знаний.

4.Планирование учебных действий при работе в группе.

5. Итог игры, подведение итогов урока.

6. Творческое домашнее задание.

7. Рефлексия.

Форма организации урока: комбинированный урок

Оборудование: мультимедийный проектор, презентация.

ХОД УРОКА

1. Мотивационная беседа с учащимися.

Это ироническое описание дает довольно точное представление о статистике (от лат. status – состояние) – науке, изучающей, обрабатывающей и анализирующей количественные данные о самых разнообразных массовых явлениях в жизни. Экономическая статистика изучает изменение цен, спроса и предложения на товары, прогнозирует рост и падение производства и потребления.

Медицинская статистика изучает эффективность различных лекарств и методов лечения, вероятность возникновения некоторого заболевания в зависимости от возраста, пола, наследственности, условий жизни, вредных привычек, прогнозирует распространение эпидемий. Демографическая статистика изучает рождаемость, численность населения, его состав (возрастной, национальный, профессиональный). А еще есть статистика финансовая, налоговая, биологическая, метеорологическая.

Мы с вами рассматриваем понятия и методы описательной статистики, которая занимается первичной обработкой информации и вычислением наиболее показательных числовых характеристик. По словам английского статистика Р. Фишера: “Статистика может быть охарактеризована как наука о сокращении и анализе материала, полученного в наблюдениях”. Всю совокупность числовых данных, полученных в выборке можно (условно) заменить несколькими числовыми параметрами, некоторые из них мы уже рассматривали на уроках – это среднее арифметическое, размах, мода и медиана. Результаты статистических исследований широко используются для практических и научных выводов, поэтому важно уметь определять эти статистические характеристики.

3. Актуализация опорных знаний.

Игра «Математическая перестрелка»

Каждой команде предлагается ответить на вопросы и выполнить следующие задания.
На доске два ряда чисел, по одному для каждой команды.

“+”: 8, 3, 8, 5, 1.
“0”: 7, 5, 6, 10, 2.

1. Что называется средним арифметическим ряда чисел? (Средним арифметическим ряда чисел называется частное от деления суммы этих чисел на число слагаемых.)

2. Может ли среднее арифметическое ряда чисел не совпадать ни с одним из этих чисел? (Среднее арифметическое может не совпадать ни с одним из этих чисел.)

3. Что называется размахом ряда чисел? (Размахом ряда чисел называется разность между наибольшим и наименьшим из этих чисел.)

4. Что называется модой ряда чисел? (Модой ряда чисел называется число, наиболее часто встречающееся в данном ряду.)

5. Любой ли ряд чисел имеет моду? (Ряд чисел может не иметь моды.)

6. Может ли ряд чисел иметь более одной моды? (Числовой ряд может иметь более одной моды, такой ряд – полимодальный.)

7. Может ли мода ряда чисел не совпадать ни с одним из этих чисел? (Мода, если она существует, обязательно совпадает с двумя или более числами ряда.)

8. Что называется медианой ряда чисел? (Медианой упорядоченного ряда чисел с нечетным числом членов называется число, записанное посередине, а медианой упорядоченного ряда чисел с четным числом членов называется среднее арифметическое двух чисел, записанных посередине; медианой произвольного ряда чисел называется медиана соответствующего упорядоченного ряда.)

9. Может ли медиана числового ряда не совпадать ни с одним из этих чисел? (Медиана ряда чисел может не совпадать ни с одним из этих чисел.)

10. Определить статистические характеристики для записанных на доске числовых рядов.

(“+”: ранжированный ряд 1, 3, 5, 8, 8. х = (1 + 3 + 5 + 8 + 8): 5 = 5; Мо = 8; Ме = 5; размах = 8 – 1 = 7.
“0”: ранжированный ряд 2, 5, 6, 7, 10. х = (2 + 5 + 6 + 7 + 10) : 5 = 6; Мо – нет; Ме = 6; размах = 10 – 2 = 8).

Преподаватель: Если бы в нашей школе в конце учебного года среди классных коллективов 7-9 классов будет проводиться конкурс: «Самый классный класс». Определены следующие номинации:

1. Самый интеллектуальный класс.

2. Самый здоровый класс.

3. Самый спортивный

4. Самый творческий класс.

В какой из представленных номинаций классный коллектив может проявить себя

лучшим образом? Создадим среднестатистический портрет ученика вашего класса.

— Вам было задано опережающее домашнее задание, провести исследование по следующим проблемам:

1 группа — Является ли наш класс самым интеллектуальным?

2 группа — Является ли наш класс самым здоровым?

3 группа — Является ли наш класс самым спортивным?

4 группа — Является ли наш класс самым творческим?

— Каждая из групп составили свой числовой ряд, а сегодня вы определите все необходимые статистические характеристики, по которым можно сделать необходимые выводы.

Планирование учебных действий:

— Посмотрите пакеты, которые у вас лежат на столах.

И давайте составим план действий для решения поставленной задачи.

План работы

Цель: формирование компетентностей по планированию учебной деятельности

Задание : определить шаги по созданию проектного продукта

1. Распределить обязанности в группе (1 мин)

Капитан – _________________________________________________________________

Заместитель капитана — ______________________________________________________

Хранитель времени – _______________________________________________________

Счётовод (контролирует вычисления) – ________________________________________

Оформитель – _____________________________________________________________

Представитель (выступающий) — ______________________________________________

Решить предложенные задания (7 мин)
Оценка работы каждого в группе (2 мин)

VI Физкультминутка

infourok.ru

Среднее арифметическое, размах, мода, медиана

Среднее арифметическое Средним арифметическим ряда чисел называется частное от деления суммы этих чисел на число слагаемых.
Определить сколько деталей в среднем изготовили рабочие за смену:
(23+20+25+20+23+25+35+37+34+23+30+29):12=324:12=27(мин)
27-среднее арифметическое рассматриваемого ряда.
Размах Размахом ряда чисел называется разность между наибольшим и наименьшим из этих чисел.
Размах = наибольшее число – наименьшее число
23; 20; 25; 20; 23; 25; 35; 37; 34; 23; 30; 29
Наибольшее количество деталей 37
Наименьшее – 20 деталей
Размах = 37 – 20 = 17 деталей.
Мода Модой ряда чисел называется число, наиболее часто встречающееся в данном ряду.
23; 20; 25; 20; 23; 25; 35; 37; 34; 23; 30; 29
Часто встречается число — 23
23 – мода рассматриваемого ряда.
Медиана Медиана – число, которое разделяет набор чисел на две части, одинаковые по численности.
Алгоритм нахождения медианы набора чисел:
Упорядочить числовой набор (составить ранжированный ряд).
Одновременно зачеркиваем “самое большое” и “самое маленькое” числа данного набора чисел до тех пор пока не останется одно число или два числа.
Если осталось одно число, то оно и есть медиана.
Если осталось два числа, то медианой будет среднее арифметическое двух оставшихся чисел.
23; 20; 25; 20; 23; 25; 35; 37; 34; 23; 30; 29
20; 20; 23; 23; 23; 25; 25; 29; 30; 34; 35; 37
Медиана этого ряда: (25+25): 2=25.
Среднее арифметическое, размах и мода, медиана.
Проведя учет деталей, изготовленных за смену рабочими одной бригады, получили такой ряд данных:
23; 20; 25; 20; 23; 25; 35; 37; 34; 23; 30; 29
Задания для самостоятельного решения
1 Записан рост (в сантиметрах) пяти учащихся: 158, 166, 134, 130, 132. На сколько отличается среднее арифметическое этого набора чисел от его медианы?
2 В течение четверти Ира получила следующие отметки по математике: три «двойки», две «тройки», десять «четверок» и пять «пятерок». Найдите сумму среднего арифметического и медианы ее оценок.
3 Записан рост (в сантиметрах) пяти учащихся: 149, 136, 163, 152, 145. Найдите разность среднего арифметического этого набора чисел и его медианы?
4 Записан возраст (в годах) семи сотрудников: 25, 37, 42, 24, 33, 50, 27. На сколько
отличается среднее арифметическое этого набора чисел от его медианы?
5 Курс доллара в течение недели: 30,48; 30,33; 30,45; 30,28; 30,37; 30,29; 30,34. Найдите медиану этого ряда.
6 Каждые полчаса гидролог замеряет температуру воды в водоеме и получает
следующий ряд значений: 12,8; 13,1; 12,7; 13,2; 12,7; 13,3; 12,6; 12,9; 12,7; 13; 12,7. Найдите медиану этого ряда.
7 Стоимость мясных блюд в кафе представляет ряд: 198; 214; 222; 224; 229; 173; 189. Найдите разницу между средним арифметическим и медианой этого ряда.
8 Учащимися класса за контрольную работу по алгебре были получены оценки:
3; 4; 4; 4; 2; 5; 5; 5; 3; 3; 4; 3; 3; 5; 4. Найдите разницу между средним арифметическим и медианой этого ряда.
9 Температура воздуха в Москве в течение недели представляла ряд 23, 25, 27, 24, 21, 28, 27 градусов ниже нуля. Найдите сумму медианы и размах

schoolfiles.net

Урок на тему»Среднее арифметическое. Размах, мода»

Урок №

ТЕМА: Среднее арифметическое, размах и мода

Задачи урока: создать условия для развития умений находить среднее арифметическое, размах и моду в задачах статистических исследований.

Планируемые результаты.

Предметные: познакомиться с понятиями среднее арифметическое, размах и мода в простейших задачах статистических исследований.

Метапредметные:

познавательные- вычитывать все уровни все уровни текстовой информации;

регулятивные подбирать к каждой проблеме ( задаче) адекватную ей теоретическую модель

Коммуникативные — отстаивая свою точку зрения, проводить аргументы, подтверждать их фактами.

Ход урока

I. Устная работа.

Вычислите.

а) 1 · 3; б) 4 : 4; в) ; г) ;

д) 5 – 2; е) 0,9 · 6; ж) 5,6 : 7; з) 0,4 · 0,9;

и) 0,06 : ; к) 8,2 · .

II. Объяснение нового материала.

1. Данный параграф (§ 4 учеб.) является первым в изучении стохастической линии. Одной из главных особенностей школьного изучения стохастики является тесная связь отвлеченных понятий и структур с окружающим миром. Поэтому математическая деятельность школьников не должна ограничиваться изучением только готовых статистических и вероятностных моделей. Напротив, процессы построения и истолкования моделей рассматриваются как ведущие формы ученической деятельности.

Сперва целесообразно провести беседу с учащимися, выяснить их представления о статистике как науке, о приложении статистики к практической деятельности человека. Речь будет идти об элементах так называемой «описательной» статистики, которая занимается вопросами сбора и представления первичной статистической информации в табличной и графической формах, вычисления числовых характеристик для совокупностей статистических данных.

2. Начинать обучение желательно с тех задач, в которых статистические сведения заданы изначально и требуется найти решение поставленной проблемы на фоне реальной ситуации.

Объяснение следует проводить согласно пункту 9 учебника.

Особое внимание следует уделить целесообразности использования различных средних статистических характеристик в зависимости от ситуации.

Необходимо подытожить, какие статистические характеристики теперь могут находить учащиеся. Для этого на доску можно вынести пример.

Упорядоченный ряд чисел:

1; 2; 2; 3; 4; 4; 5; 5; 5

1) Среднее арифметическое:

2) Размах: 5 – 1 = 4

3) Мода: 5

III. Формирование умений и навыков.

1. № 167, № 168.

Необходимо, чтобы учащиеся четко мотивировали свои ответы.

а) сложили все члены ряда и полученную сумму разделили на их количество. Значит, искали среднее арифметическое.

б) Нашли разность между наибольшим и наименьшим числом в ряду, то есть размах ряда.

в) Число … встречается наибольшее количество раз, значит, это мода ряда.

2. Даны упорядоченные ряды чисел:

а) 1; 1; 2; 3; 4; 5; 6; б) .

Для каждого из них найти среднее арифметическое, размах и моду.

3. Найти среднее арифметическое, размах и моду рядов чисел:

а) 1; 2; 5; 2; 3; 4; 2;

б) 1; 2; 0; 2; 0; 1; 2; 1; 3; 1.

4. № 170.

5. № 171.

Решение:

Средний ежемесячный расход электроэнергии находим по формуле среднего арифметического:

x = = 63.

Ответ: 63 кВт · ч.

6. Шесть сотрудников отдела обсуждали, кто сколько раз ходил на выборы за последние пять лет.

Соответствующие данные приведены в таблице:

Определите:

а) Сколько раз в среднем участвовали в выборах сотрудники этого отдела (среднее арифметическое)?

б) Как чаще всего поступали сотрудники отдела (мода)?

Решение:

а) среднее арифметическое равно X = = 2.

б) Мода равна 2.

Ответ: 2; 2.

7. № 173*.

Решение:

Сумма прежних десяти членов ряда равна 15 · 10 = 150; после добавления числа 37 она станет равна 187, а количество членов ряда станет 11, поэтому среднее арифметическое нового ряда равно:

X = = 17.

Ответ: 17.

8. № 176*.

Решение:

а) Обозначим неизвестное число через х:

= 18;

= 18; х + 80 = 18 · 6; х = 108 – 80; х = 28.

б) A = x_max – x_min. Возможны два варианта решения:

если считать х_max = 30, то x_min = А – х_max = –10;

если считать x_min = 3, то х_max = А + x_min = 43.

в) Числа в ряду не повторяются, поэтому для того, чтобы 24 стало модой, нужно его повторить, то есть пропущенное число должно быть 24.

Ответ: а) 28; б) 43 или –10; в) 24.

IV. Итоги урока.

– Какие существуют средние статистические характеристики ряда?

– Какой ряд называется упорядоченным?

– Что называется размахом ряда? Приведите пример.

– Что такое мода ряда? Приведите пример.

– Как найти среднее арифметическое ряда?

infourok.ru

Внеклассный урок — Среднее арифметическое. Среднее геометрическое. Размах. Мода. Медиана

Среднее арифметическое. Среднее геометрическое. Размах. Мода. Медиана

Среднее арифметическое ряда чисел – это сумма данных чисел, поделенная на количество слагаемых.

Среднее арифметическое называют средним значением числового ряда.

Пример: Найдем среднее арифметическое чисел 2, 6, 9, 15.

Решение. У нас четыре числа. Значит, надо их сумму разделить на 4. Это и будет среднее арифметическое данных чисел:
(2 + 6 + 9 + 15) : 4 = 8.

Среднее геометрическое ряда чисел – это корень n-й степени из произведения этих чисел.

Пример: Найдем среднее геометрическое чисел 2, 4, 8.

Решение. У нас три числа. Значит, надо найти корень третьей степени из их произведения. Это и будет среднее геометрическое данных чисел:

³√ 2 · 4 · 8 = ³√64 = 4

Размах ряда чисел – это разность между наибольшим и наименьшим из этих чисел.

Пример: Найти размах чисел 2, 5, 8, 12, 33.

Решение: Наибольшее число здесь 33, наименьшее 2. Значит, размах составляет 31:

33 – 2 = 31.

Мода ряда чисел – это число, которое встречается в данном ряду чаще других.

Пример: Найти моду ряда чисел 1, 7, 3, 8, 7, 12, 22, 7, 11, 22, 8.

Решение: Чаще всего в этом ряде чисел встречается число 7 (3 раза). Оно и является модой данного ряда чисел.

Медиана.

В упорядоченном ряде чисел:

Медиана нечетного количества чисел – это число, записанное посередине.

Пример: В ряде чисел 2, 5, 9, 15, 21 медианой является число 9, находящееся посередине.

Медиана четного количества чисел – это среднее арифметическое двух чисел, находящихся посередине.

Пример: Найти медиану чисел 4, 5, 7, 11, 13, 19.

Решение: Здесь четное количество чисел (6). Поэтому ищем не одно, а два числа, записанных посередине. Это числа 7 и 11. Находим среднее арифметическое этих чисел:

(7 + 11) : 2 = 9.

Число 9 и является медианой данного ряда чисел.

В неупорядоченном ряде чисел:

Медианой произвольного ряда чисел называется медиана соответствующего упорядоченного ряда.

Пример 1: Найдем медиану произвольного ряда чисел 5, 1, 3, 25, 19, 17, 21.

Решение: Располагаем числа в порядке возрастания:

1, 3, 5, 17, 19, 21, 25.

Посередине оказывается число 17. Оно и является медианой данного ряда чисел.

Пример 2: Добавим к нашему произвольному ряду чисел еще одно число, чтобы ряд стал четным, и найдем медиану:

5, 1, 3, 25, 19, 17, 21, 19.

Решение: Снова выстраиваем упорядоченный ряд:

1, 3, 5, 17, 19, 19, 21, 25.

Посередине оказались числа 17 и 19. Находим их среднее значение:

(17 + 19) : 2 = 18.

Число 18 и является медианой данного ряда чисел.

raal100.narod.ru

«Статистические характеристики. Среднее арифметическое, размах, мода и медиана «

Просмотр содержимого документа
«Решение задач по теме : «Статистические характеристики. Среднее арифметическое, размах, мода и медиана «»

Решение задач по теме : «Статистические характеристики. Среднее арифметическое, размах, мода и медиана

Алгебра-

7 класс

Исторические сведения

Среднее арифметическое, размах и мода находят применение в статистике – науке, которая занимается получением, обработкой и анализом количественных данных о разнообразных массовых явлениях, происходящих в природе и обществе .
Слово «статистика» происходит от латинского слова status, которое означает «состояние, положение вещей». Статистика изучает численность отдельных групп населения страны и ее регионов, производство и потребление
разнообразных видов продукции, перевозку грузов и пассажиров различными видами транспорта, природные ресурсы и т. п.
Результаты статистических исследований широко используются для практических и научных выводов.

Среднее арифметическое – частное от деления суммы всех чисел на количество слагаемых

Размах – разность между наибольшим и наименьшим числом этого ряда
Мода – это число, которое встречается в наборе чисел чаще всего
Медиана – упорядоченного ряда чисел с нечетным числом членов называется число, записанное посередине, а медианой упорядоченного ряда чисел с четным числом членов называется среднее арифметическое двух чисел, записанных посередине. Медианой произвольного ряда чисел называется медиана соответствующего упорядоченного ряда.

Среднее арифметическое ,

размах и мода
находят применение в статистике – науке,
которая занимается получением,

обработкой и анализом

количественных данных о разнообразных

массовых явлениях, происходящих

в природе и

Задача № 1

Ряд чисел:
18 ; 13; 20; 40; 35.
Найдите средне арифметическое этого ряда:

Решение:
(18+13+20+40+35):5=25,5
Ответ : 25,5 –среднее арифметическое

Задача № 2

Ряд чисел:
35;16;28;5;79;54.

Найдите размах ряда:

Самое большое число 79,
Самое маленькое число 5.
Размах ряда: 79 – 5 = 74.
Ответ : 74

Задача № 3

Ряд чисел:
23; 18; 25; 20; 25; 25; 32; 37; 34; 26; 34; 2535;16;28;5;79;54.

Найдите размах ряда:

Решение:
Наибольший расход времени — 37 мин,
а наименьший – 18 мин.
Найдём размах ряда:
37 – 18 = 19 (мин)

Задача № 4

Ряд чисел:
65; 12; 48; 36; 7; 12
Найдите моду ряда:

Мода данного ряда : 12.
Ответ : 12

Задача № 5

Ряд чисел может иметь более одной моды,
а может не иметь.

У ряда: 47, 46, 50, 47, 52, 49, 45, 43, 53, 47, 52
две моды — 47 и 52.

У ряда: 69, 68, 66, 70, 67, 71, 74, 63, 73, 72 – моды нет.

Задача № 5

Ряд чисел:
28; 17; 51; 13; 39
Найдите медиану этого ряда:

Сначала поставить числа в порядке возрастания:
13; 17; 28; 39; 51.
Медиана – 28.
Ответ : 28

Задача № 6

В организации вели ежедневный учет поступивших в течение месяца писем.

В результате получили такой ряд данных:

39, 42, 40, 0, 56, 36, 24, 21, 35, 0, 58, 31, 49, 38, 24, 35, 0, 52, 40, 42, 40,

39, 54, 0, 64, 44, 50, 37, 32, 38.

Для полученного ряда данных найдите среднее арифметическое,

размах,

моду и

медиану.

Каков практический смысл этих показаний?

Задача № 7

Записана стоимость (в рублях) пачки сливочного масла «Неженка» в магазинах микрорайона: 26, 32, 31, 33, 24, 27, 37.

На сколько отличается среднее арифметическое этого набора чисел от его медианы?

Решение.

Упорядочим данный набор чисел по возрастанию:

24, 26, 27, 31, 32, 33, 37.

Так как число элементов ряда нечётное, то медиана – это

значение, занимающее середину числового ряда, то есть M = 31.

Вычислим среднее арифметическое этого набора чисел — m.

m= 24+ 26+ 27+ 31+ 32+ 33+ 37 = 210 ═ 30

7 7

М – m = 31 – 30 = 1

Творческих

успехов !

multiurok.ru