forkettle.ru

Проекции точки

Проецирование точки на три плоскости проекций координатного угла начинают с получения ее изображения на плоскости H — горизонтальной плоскости проекций. Для этого через точку А (рис. 4.12, а) проводят проецирующий луч перпендикулярно плоскости H.

На рисунке перпендикуляр к плоскости Н параллелен оси Oz. Точку пересечения луча с плоскостью Н (точку а) выбирают произ­вольно. Отрезок Аа определяет, на каком расстоянии находится точка А от плоскости Н, указывая тем самым однозначно положение точки А на рисунке по отношению к плоскостям проекций. Точка а является прямоугольной проекцией точки А на плоскость Н и называется горизонтальной проекцией точки А (рис. 4.12, а).

в)

Рис. 4.12.

Для получения изображения точки А на плоскости V (рис. 4.12,б) через точку А проводят проецирующий луч перпендикулярно фронтальной плоскости проекций V. На рисунке перпендикуляр к плоскости V параллелен оси Оу. На плоскости Н расстояние от точки А до плоскости V изобразится отрезком аа

Изображение точки А на профильной плоскости проекций (рис. 4.12, в) строят с помощью проецирующего луча, перпендикулярного плоскости W. На рисунке перпендикуляр к плоскости W параллелен оси Ох. Проецирующий луч от точки А до плоскости W на плоскости Н изобразится отрезком аа_у, параллельным оси Ох и перпендикулярным оси Оу. Из точки Оу параллельно оси Oz и перпендикулярно оси Оу строят изображение проецирующего луча аА и в пересечении с проецирующим лучом получают точку а». Точка а» является профильной проекцией точки А, т. е. изображением точки А на плоскости W.

Точку а» можно построить, проведя от точки а’ отрезок а’а_z (изображение проецирующего луча Аа» на плоскости V) параллельно оси Ох, а от точки а_z — отрезок а»а_z параллельно оси Оу до пересечения с проецирующим лучом.

Получив три проекции точки А на плоскостях проекций, координатный угол развертывают в одну плоскость, как показано на рис. 4.11,б, вместе с проекциями точки А и проецирующих лучей, а точку А и проецирующие лучи Аа, Аа’ и Аа» убирают. Края совмещенных плоскостей проекций не проводят, а проводят только оси проекций Oz, Оу и Ох, Оу₁ (рис. 4.13).

Анализ ортогонального чертежа точки показывает, что три расстояния — Аа’, Аа и Аа» (рис. 4.12, в), характеризующие положение точки А в пространстве, можно определить, отбросив сам объект проецирования — точку А, на развернутом в одну плоскость координатном угле (рис. 4.13). Отрезки а’а

Рис. 4.13.

Отрезки Оа_х, Оа_у и Оа_z, расположенные на осях проекций, являются графическим выражением размеров координат X, Y и Z точки А. Координаты точки обозначают с индексом соответствующей буквы. Измерив величину этих отрезков, можно определить положение точки в пространстве, т. е. задать координаты точки.

На эпюре отрезки а’а_х и аа_х располагаются как одна линия, перпендикулярная к оси Ох а отрезки а’а_z и a»a_z — к оси Оz. Эти лини называются линиями проекционной связи. Они пересекают оси проекций в точках а_х и а_z соответственно. Линия проекционной связи, соединяющая горизонтальную проекцию точки А с профильной, оказалась «разрезанной» в точке а_у.

Две проекции одной и той же точки всегда располагаются на одной линии проекционной связи, перпендикулярной к оси проекций.

Для представления положения точки в пространстве достаточно двух ее проекций и заданного начала координат (точка О) На рис. 4.14, б две проекции точки полностью определяют ее положение в пространстве По этим двум проекциям можно построит профильную проекцию точки А. Поэтому в дальнейшем, если не будет необходимости в профильной проекции, эпюры будут построены на двух плоскостях проекций: V и Н.

Рис. 4.14. Рис. 4.15.

Рассмотрим несколько примеров построения и чтения чертежа точки.

Пример 1. Определение координат точки J заданной на эпюре двумя проекциях (рис. 4.14). Измеряются три отрезка: отрезок Ов_Х (координата X), отрезок b_Хb (координата Y) и отрезок b_Хb’ (координата Z). Координаты записывают в следующем п рядке: X, Y и Z, после буквенного обозначения точки, например, В20; 30; 15.

Пример 2. Построение точки по заданным координатам. Точка С задана координатами С30; 10; 40. На оси Ох (рис. 4.15) находят точку с_х, в которой линия проекционной связи пересекает ось проекций. Для этого по оси Ох от начала координат (точка О) откладывают координату X (размер 30) и получают точку с_х. Через эту точку перпендикулярно оси Ох проводят линию проекционной связи и от точки вниз откладывают координату У (размер 10), получают точку с — горизонтальную проекцию точки С. Вверх от точки с_х по линии проекционной связи откладывают координату Z (размер 40), получают точку с’ — фронтальную проекцию точки С.

Рис. 4.16.

Пример 3. Построение профильной проекции точки по заданным проекциям. Заданы проекции точки D — d и d’. Через точку О проводят оси проекций Oz, Oy и Оу₁ (рис. 4.16, а). Для построения профильной проекции точки D отточки d’ проводят линию проекционной связи, перпендикулярную оси Oz, и продолжают ее вправо за ось Oz. На этой линии будет располагаться профильная проекция точки D. Она будет находиться на таком расстоянии от оси Oz, на каком горизонтальная проекция точки d располагается: от оси Ох, т. е. на расстоянии dd_x. Отрезки d_zd» и dd_x одинаковы, так как определяют одно и то же расстояние — расстояние от точки D до фронтальной плоскости проекций. Это расстояние является координатой У точки D.

Графически отрезок d_zd» строят перенесением отрезка dd_x с горизонтальной плоскости проекций на профильную. Для этого проводят линию проекционной связи параллельно оси Ох, получают на оси Оу точку d_y (рис. 4.16,б). Затем переносят размер отрезка Od_y на ось Оу₁, проведя из точки О дугу радиусом, равным отрезку Od_y, до пересечения с осью Оу₁ (рис. 4.16,б), получают точку dy₁. Эту точку можно построить и как показано на рис. 4.16, в, проведя прямую под углом 45° к оси Оу из точки d_y. Из точки d_y1 проводят линию проекционной связи параллельно оси Oz и на ней откладывают отрезок, равный отрезку d’d_x, получают точку d».

Перенос величины отрезка d_xd на профильную плоскость проекций можно осуществить с помощью постоянной прямой чертежа (рис. 4.16, г). В этом случае линию проекционной связи dd_y проводят через горизонтальную проекцию точки параллельно оси Оу₁ до пересечения с постоянной прямой, а затем параллельно оси Оу до пересечения с продолжением линии проекционной связи d’d_z.

Частные случаи расположения точек относительно плоскостей проекций

Положение точки относительно плоскости проекций определяется соответствующей координатой, т. е. величиной отрезка линии проекционной связи от оси Ох до соответствующей проекции. На рис. 4.17 координата У точки А определяется отрезком аа_х — расстояние от точки А до плоскости V. Координата Z точки А определяется отрезком а’а_х — расстояние от точки А до плоскости Н. Если одна из координат равна нулю, то точка расположена на плоскости проекций. На рис. 4.17 приведены примеры различного расположения точек относительно плоскостей проекций. Координата Z точки В равна нулю, точка находится в плоскости Н. Ее фронтальная проекция находится на оси Ох и совпадает с точкой b_х. Координата У точки С равна нулю, точка располагается на плоскости V, ее горизонтальная проекция с находится на оси Ох и совпадает с точкой с_х.

Следовательно, если точка находится на плоскости проекций, то одна из проекций этой точки лежит на оси проекций.

Рис. 4.17.

На рис. 4.17 координаты Z и Y точки D равны нулю, следовательно, точка D находится на оси проекций Ох и две ее проекции совпадают.

studfiles.net

Проецирование точки | Начертательная геометрия

Проецирование точки А на ортогональном чертеже определяет положение точки двумя проекциями А1 и А2. Расстояние от точки А до горизонтальной плоскости П1 определяется расстоянием ее фронтальной проекции А2 до оси проекций Ох. Или расстояние фронтальной проекции А2 точки А до оси проекций есть превышение данной точки А над горизонтальной плоскостью П1.

Проецирование точки

На приведенных рисунках: — точка А имеет превышение равное пяти, то есть, имеет координату равную пяти единицам; — точка В имеет превышение равное -6. Точка В имеет отметку -6.

Проецирование точки

В проекциях с числовыми отметками горизонтальная плоскость проекций принимается за условный нулевой уровень, от которого и производится отсчет для числовых отметок точек.

Проецирование точки

На приведенном рисунке: — точка С имеет превышение равное нулю или точка С имеет нулевую отметку. Это означает что точка С лежит в плоскости нулевого уровня; — точка В имеет отметку -7, значит она расположена ниже горизонтальной плоскости проекций на расстоянии семи единиц от нее. Отметка указывает превышение точки над горизонтально расположенной плоскостью проекций. Проецирование точки в проекциях с числовыми отметками означает что точка имеет проекцию на горизонтальную плоскость проекции и около нее проставлено число, указывающее величину превышения над плоскостью принятой за нулевой уровень. Чтобы по проекциям с числовыми отметками определить положение точки в пространстве, необходимо из ее проекции на горизонтальную плоскость проекции восстановить перпендикуляр и на нем в заданном масштабе отложить указанное число единиц расстояния. Для задания точек по способу проекций с числовыми отметками необходимо иметь масштаб а также указание в каких линейных единицах выражены их числовые отметки.

+

ngeo.fxyz.ru

Проекция точки на плоскость, координаты проекции точки на плоскость

В этой статье мы найдем ответы на вопросы о том, как создать проекцию точки на плоскость и как определить координаты этой проекции. Опираться в теоретической части будем на понятие проецирования. Дадим определения терминам, сопроводим информацию иллюстрациями. Закрепим полученные знания при решении примеров.

Проецирование, виды проецирования

Для удобства рассмотрения пространственных фигур используют чертежи с изображением этих фигур.

Проекция фигуры на плоскость – чертеж пространственной фигуры.

Очевидно, что для построения проекции существует ряд используемых правил.

Проецирование – процесс построения чертежа пространственной фигуры на плоскости с использованием правил построения.

Плоскость проекции — это плоскость, в которой строится изображение.

Использование тех или иных правил определяет тип проецирования: центральное или параллельное.

Частным случаем параллельного проецирования является перпендикулярное проецирование или ортогональное: в геометрии в основном используют именно его. По этой причине в речи само прилагательное «перпендикулярное» часто опускают: в геометрии говорят просто «проекция фигуры» и подразумевают под этим построение проекции методом перпендикулярного проецирования. В частных случаях, конечно, может быть оговорено иное.

Отметим тот факт, что проекция фигуры на плоскость по сути есть проекция всех точек этой фигуры. Поэтому, чтобы иметь возможность изучать пространственную фигуру на чертеже, необходимо получить базовый навык проецировать точку на плоскость. О чем и будем говорить ниже.

Проекция точки на плоскость

Напомним, что чаще всего в геометрии, говоря о проекции на плоскость, имеют в виду применение перпендикулярной проекции.

Произведем построения, которые дадут нам возможность получить определение проекции точки на плоскость.

Допустим, задано трехмерное пространство, а в нем — плоскость α и точка М1, не принадлежащая плоскости α. Начертим через заданную точку М1 прямую а перпендикулярно заданной плоскости α. Точку пересечения прямой a и плоскости α обозначим как h2, она по построению будет служить основанием перпендикуляра, опущенного из точки М1 на плоскость α.

В случае, если задана точка М2, принадлежащая заданной плоскости α, то М2_{будет служить проекц}

zaochnik.com

Проекции точки

Проецирование точки на три плоскости проекций координатного угла начинают с получения ее изображения на плоскости H — горизонтальной плоскости проекций. Для этого через точку А (рис. 4.12, а) проводят проецирующий луч перпендикулярно плоскости H.

На рисунке перпендикуляр к плоскости Н параллелен оси Oz. Точку пересечения луча с плоскостью Н (точку а) выбирают произ­вольно. Отрезок Аа определяет, на каком расстоянии находится точка А от плоскости Н, указывая тем самым однозначно положение точки А на рисунке по отношению к плоскостям проекций. Точка а является прямоугольной проекцией точки А на плоскость Н и называется горизонтальной проекцией точки А (рис. 4.12, а).

в)

Рис. 4.12.

Для получения изображения точки А на плоскости V (рис. 4.12,б) через точку А проводят проецирующий луч перпендикулярно фронтальной плоскости проекций V. На рисунке перпендикуляр к плоскости V параллелен оси Оу. На плоскости Н расстояние от точки А до плоскости V изобразится отрезком аа_х, параллельным оси Оу и перпендикулярным оси Ох. Если представить себе, что проецирующий луч и его изображение проводят одновременно в направлении плоскости V, то когда изображение луча пересечет ось Ох в точке а_х, луч пересечет плоскость V в точке а’. Проведя из точки а_х в плоскости V перпендикуляр к оси Ох, который является изображением проецирующего луча Аа на плоскости V, в пересечении с проецирующим лучом получают точку а’. Точка а’ является фронтальной проекцией точки А, т. е. ее изображением на плоскости V.

Изображение точки А на профильной плоскости проекций (рис. 4.12, в) строят с помощью проецирующего луча, перпендикулярного плоскости W. На рисунке перпендикуляр к плоскости W параллелен оси Ох. Проецирующий луч от точки А до плоскости W на плоскости Н изобразится отрезком аа_у, параллельным оси Ох и перпендикулярным оси Оу. Из точки Оу параллельно оси Oz и перпендикулярно оси Оу строят изображение проецирующего луча аА и в пересечении с проецирующим лучом получают точку а». Точка а» является профильной проекцией точки А, т. е. изображением точки А на плоскости W.

Точку а» можно построить, проведя от точки а’ отрезок а’а_z (изображение проецирующего луча Аа» на плоскости V) параллельно оси Ох, а от точки а_z — отрезок а»а_z параллельно оси Оу до пересечения с проецирующим лучом.

Получив три проекции точки А на плоскостях проекций, координатный угол развертывают в одну плоскость, как показано на рис. 4.11,б, вместе с проекциями точки А и проецирующих лучей, а точку А и проецирующие лучи Аа, Аа’ и Аа» убирают. Края совмещенных плоскостей проекций не проводят, а проводят только оси проекций Oz, Оу и Ох, Оу₁ (рис. 4.13).

Анализ ортогонального чертежа точки показывает, что три расстояния — Аа’, Аа и Аа» (рис. 4.12, в), характеризующие положение точки А в пространстве, можно определить, отбросив сам объект проецирования — точку А, на развернутом в одну плоскость координатном угле (рис. 4.13). Отрезки а’а_z, аа_y и Оа_х равны Аа» как противоположные стороны соответствующих прямоугольников (рис. 4.12,в и 4.13). Они определяют расстояние, на котором находится точка А от профильной плоскости проекций. Отрезки а’а_х, а»а_у1 и Оа_у равны отрезку Аа, определяют расстояние от точки А до горизонтальной плоскости проекций, отрезки аа_х, а»а_z и Оа_y1 равны отрезку Аа’, определяющему расстояние от точки А до фронтальной плоскости проекций.

Рис. 4.13.

Отрезки Оа_х, Оа_у и Оа_z, расположенные на осях проекций, являются графическим выражением размеров координат X, Y и Z точки А. Координаты точки обозначают с индексом соответствующей буквы. Измерив величину этих отрезков, можно определить положение точки в пространстве, т. е. задать координаты точки.

На эпюре отрезки а’а_х и аа_х располагаются как одна линия, перпендикулярная к оси Ох а отрезки а’а_z и a»a_z — к оси Оz. Эти лини называются линиями проекционной связи. Они пересекают оси проекций в точках а_х и а_z соответственно. Линия проекционной связи, соединяющая горизонтальную проекцию точки А с профильной, оказалась «разрезанной» в точке а_у.

Две проекции одной и той же точки всегда располагаются на одной линии проекционной связи, перпендикулярной к оси проекций.

Для представления положения точки в пространстве достаточно двух ее проекций и заданного начала координат (точка О) На рис. 4.14, б две проекции точки полностью определяют ее положение в пространстве По этим двум проекциям можно построит профильную проекцию точки А. Поэтому в дальнейшем, если не будет необходимости в профильной проекции, эпюры будут построены на двух плоскостях проекций: V и Н.

Рис. 4.14. Рис. 4.15.

Рассмотрим несколько примеров построения и чтения чертежа точки.

Пример 1. Определение координат точки J заданной на эпюре двумя проекциях (рис. 4.14). Измеряются три отрезка: отрезок Ов_Х (координата X), отрезок b_Хb (координата Y) и отрезок b_Хb’ (координата Z). Координаты записывают в следующем п рядке: X, Y и Z, после буквенного обозначения точки, например, В20; 30; 15.

Пример 2. Построение точки по заданным координатам. Точка С задана координатами С30; 10; 40. На оси Ох (рис. 4.15) находят точку с_х, в которой линия проекционной связи пересекает ось проекций. Для этого по оси Ох от начала координат (точка О) откладывают координату X (размер 30) и получают точку с_х. Через эту точку перпендикулярно оси Ох проводят линию проекционной связи и от точки вниз откладывают координату У (размер 10), получают точку с — горизонтальную проекцию точки С. Вверх от точки с_х по линии проекционной связи откладывают координату Z (размер 40), получают точку с’ — фронтальную проекцию точки С.

Рис. 4.16.

Пример 3. Построение профильной проекции точки по заданным проекциям. Заданы проекции точки D — d и d’. Через точку О проводят оси проекций Oz, Oy и Оу₁ (рис. 4.16, а). Для построения профильной проекции точки D отточки d’ проводят линию проекционной связи, перпендикулярную оси Oz, и продолжают ее вправо за ось Oz. На этой линии будет располагаться профильная проекция точки D. Она будет находиться на таком расстоянии от оси Oz, на каком горизонтальная проекция точки d располагается: от оси Ох, т. е. на расстоянии dd_x. Отрезки d_zd» и dd_x одинаковы, так как определяют одно и то же расстояние — расстояние от точки D до фронтальной плоскости проекций. Это расстояние является координатой У точки D.

Графически отрезок d_zd» строят перенесением отрезка dd_x с горизонтальной плоскости проекций на профильную. Для этого проводят линию проекционной связи параллельно оси Ох, получают на оси Оу точку d_y (рис. 4.16,б). Затем переносят размер отрезка Od_y на ось Оу₁, проведя из точки О дугу радиусом, равным отрезку Od_y, до пересечения с осью Оу₁ (рис. 4.16,б), получают точку dy₁. Эту точку можно построить и как показано на рис. 4.16, в, проведя прямую под углом 45° к оси Оу из точки d_y. Из точки d_y1 проводят линию проекционной связи параллельно оси Oz и на ней откладывают отрезок, равный отрезку d’d_x, получают точку d».

Перенос величины отрезка d_xd на профильную плоскость проекций можно осуществить с помощью постоянной прямой чертежа (рис. 4.16, г). В этом случае линию проекционной связи dd_y проводят через горизонтальную проекцию точки параллельно оси Оу₁ до пересечения с постоянной прямой, а затем параллельно оси Оу до пересечения с продолжением линии проекционной связи d’d_z.

Частные случаи расположения точек относительно плоскостей проекций

Положение точки относительно плоскости проекций определяется соответствующей координатой, т. е. величиной отрезка линии проекционной связи от оси Ох до соответствующей проекции. На рис. 4.17 координата У точки А определяется отрезком аа_х — расстояние от точки А до плоскости V. Координата Z точки А определяется отрезком а’а_х — расстояние от точки А до плоскости Н. Если одна из координат равна нулю, то точка расположена на плоскости проекций. На рис. 4.17 приведены примеры различного расположения точек относительно плоскостей проекций. Координата Z точки В равна нулю, точка находится в плоскости Н. Ее фронтальная проекция находится на оси Ох и совпадает с точкой b_х. Координата У точки С равна нулю, точка располагается на плоскости V, ее горизонтальная проекция с находится на оси Ох и совпадает с точкой с_х.

Следовательно, если точка находится на плоскости проекций, то одна из проекций этой точки лежит на оси проекций.

Рис. 4.17.

На рис. 4.17 координаты Z и Y точки D равны нулю, следовательно, точка D находится на оси проекций Ох и две ее проекции совпадают.

studfiles.net

ШАГ 1. МЕТОД ПРОЕКЦИЙ. ТОЧКА

1.1. Метод проекций

Вы узнали, что начертательная геометрия – это раздел геометрии, в котором пространственные объекты изучаются по их изображениям.

Как же получается изображение?

Прежде всего надо иметь плоскость, на которой это изображение будет получено. В начертательной геометрии такая плоскость называется плоскостью проекций, а само изображение –проекцией. На рис. 1.1,а изображены плоскость проекций (ее обозначили какπ1 ) и произвольная точкаА.

Если через точку А провести луч (этот луч называют проецирующей прямой) до пересечения

В общем случае таких точек может быть несколько. В зависимости от того, как проведены проецирующие прямые, различают несколько видов проецирования. На рис. 1.2 все проецирующие прямые проходят через точку S – центр проецирования. Такое проецирование называютцентраль-

ным.

Если все проецирующие прямые параллельны друг другу – это параллельное проецирование (рис. 1.3). Частным случаем параллельного проецирования являетсяпрямоугольное (его еще называютортогональным). При этом проецирующие прямые перпендикулярны плоскости проекций. Такое проецирование мы и будем рассматривать в дальнейшем.

На предыдущих иллюстрациях точки располагались по одну сторону плоскости проекций. В общем же случае они могут располагаться по обе стороны и даже находиться на самой плоскости проекций. Посмотрите на рис. 1.4. Здесь точка A расположена по одну сторону плоскости проекций, а точкаB – по другую. ТочкаC лежит в плоскости проекций (можно еще сказать, что она принадлежит плоскости проекций). В этом случае через нее даже не надо проводить проецирующую прямую, так как сама точка и ее проекция совпадают.

В рассмотренных примерах мы обозначали плоскость проекций как π1 (π – принятое обозначение плоскостей проекций). Обозначение плоскостей при этом будет различным. Для нашей плоскости обозначение проекции даётся со штрихом (А′).

Закончив рассмотрение метода проекций, предлагаем Вам ответить на несколько вопросов:

1.Что такое проекция и плоскость проекций?

2.Что такое проецирующая прямая?

3.В каком случае на чертеже может быть показана не только проекция, но и сама точка?

4.Что такое ортогональное проецирование?

A

p1 p1

C C

A

B

p1

B

Рис. 1.4

1.2. Система координат и плоскостей проекций

Как известно из геометрии, положение точки в пространстве однозначно определяется тремя декартовыми (прямоугольными) координатами.

На рис. 1.5 три взаимно перпендикулярные оси Х,Y иZ пересекаются в начале координат. Стрелками показаны положительные направления осей, являющихся бесконечными прямыми.

Для получения проекций обычно используются три плоскости проекций, связанные с осями системы координат. Это горизонтальная плоскость проекций (ее положение задают оси X иY), фронтальная (осиX иZ) и профильная (осиZ иY).

На рис. 1.6 показано проецирование точки A при условии, что все три значения ее координат положительны. Обратите внимание, что координата точки есть не что иное, как удаление точки от плоскости проекций. Так, координатаx задает удаление точки от профильной плоскости проекций (π3 ),y – от фронтальной плоскости (π2 ),z – от горизонтальной (π1 ).

Три взаимно перпендикулярные плоскости проекций бесконечны и делят все пространство на восемь частей, называемых октантами (рис. 1.7).

Известно, что координаты точек могут принимать как положительные, так и отрицательные значения. В зависимости от значения каждой из координат точка может находиться или в каком-

6

1.3. Проецирование точки на плоскости проекций

Рассмотрим проецирование точки на фронтальную, горизонтальную и профильную плоскости проекций.

Положение фронтальной проекции точки определяется координатамx иz.

На рис. 1.8 приводится пример изображения на чертеже фронтальных проекций точек E,F,G,N. У точкиE координатыx иz положительны, следовательно, она может находиться либо в I, либо во II октанте (см. рис. 1.7). Очевидно, что, поскольку одна проекция задает лишь две из трех координат, однозначно определить положение точки в пространстве она не может. У точкиF x < 0, аz > 0, следовательно, она может находиться либо в V, либо в VI октанте, точкаG (x < 0,z < 0) – либо в VII, либо в VIII октанте, а точкаN (x > 0,z < 0) – в III или IV октанте.

Рассмотрим построение горизонтальной проекции. В этом случае плоскость проекций не совпадает с плоскостью чертежа. Получив проекции точек на горизонтальную плоскость проекций, мы должны совместить ее с плоскостью чертежа. Это можно сделать путем поворота горизонтальной плоскости проекций вокруг осиX до совмещения с фронтальной плоскостью проекций, являющейся плоскостью чертежа.

Поворот осуществляется так, чтобы после него положительное направление оси Y было направлено вниз (рис. 1.9). Пример горизонтальных проекций точек приводится на рис. 1.10. ТочкаA (x > 0,y > 0) может находиться либо в I, либо в IV октанте. У точкиB x > 0, ay < 0, поэтому она может быть во II или III октанте, точкаC (x < 0,y < 0) – либо в VI, либо в VII октанте, а точка

D (x < 0,y > 0) – в V или VIII.

z

E»

p2A»

A

studfiles.net

3. Проецирование точки

3.1. Проецирование точки на две и три плоскости проекций

Если поместить точку А, находящуюся в пространстве, относи­тельно двух плоскостей проекций П, и П₂, опустив из нее перпенди­куляры на эти плоскости, получают точки А, и А₂, которые являются ортогональными проекциями точки А относительно плоскостей про­екций П₁, и П₂. Они характеризуются координатами, которые числен но равны расстоянию от точки А до соответствующих плоскостей. Координаты обозначаются теми же буквами, что и оси вдоль которых измеряется расстояние, с присвоением индекса самой буквы. Так, для точки А:

[AAi]=[A₂A_x]=z_A;

[AA₂]=[A₁A,]=y_A.

Плоскость прямоугольника А₁АА₂А_x, перпендикулярна к: оси x а линии пересечений плоскостей П₁ П₂ и плоскости А₁АА₂А_x являются прямыми А₁А и А₂А_x перпендикулярными к оси х в точке А_x. Изображение точки и её проекций является пространственным чертежом, это наглядно, но не всегда удобно для практики.

Чтобы получить плоский чертёж, поворачивают плоскость П₁, во­круг оси х и совмещают её с плоскостью П₂ (рис. 3.1).

Проекции а₁ и А₂ оказываются на одной линии, которая называ­ется линией проекционной связи. Она перпендикулярна к оси х (рис. 3.2).

При проецировании точки А на три плоскости проекций от плос­кости П₃ она отстоит на расстоянии АА₃ (рис. 3.3). При этом, анало­гично вышесказанному:

[АА₃]=[0А_х]=x:_А;

[A₃A₂]=[AA₂]=[0A_Y]=y_A;

[A₃A₄]=[AA₁]=0A_Z]= z_a.

Для получения плоского чертежа в этом случае уже две плоскости П₁ и П₃ совмещаются с плоскостью Па путём поворота их соответст­венно вокруг осей х и г. При этом ось у как бы раздваивается (как бы разрезается вдоль), и положение плоскостей будет таким, как показа­но на рис. 3.4. Профильная проекция А₃ точки А находится на пересе­чении линий связи A₂A_ZA₃ и A]A_YA₃ (расстояние 0А_у=0Ау)- Перенос точки Ау в точку A_Y— понятен из чертежа, а сам отрезок есть не что иное, как координата y_a.

На плоском трёхмерном чертеже положительное направление оси х совпадает с отрицательным направлением оси у, а отрицательное направление оси y: — с положительным направлением оси у.

Это не означает, что модули этих величин обязательно равны ме­жду собой, т.е. [](в частном случае это равенство может быть). Те же рассуждения будут справедливы и в отношении направ­лений осей z и y (рис. 3.4).

Таким образом, горизонтальная и фронтальная проекции точки А на плоском чертеже лежат на одной линии проекционной связи, пер­пендикулярной к оси x, а фронтальная и профильная проекции точки А лежат на одной проекционной линии связи, перпендикулярной к оси z.

3.2. Определение по плоскому чертежу принадлежности точки тому или другому октанту пространства

Точка, например А, принадлежит (е):

• I или V октанту, если её проекция А₁( лежит под осью х, а А₂ — над осью х;

• II или VI октанту, если и a₁ и А₂ лежат над осью х;

• III или VII октанту, если A₁ лежит над осью х, а А₂ — под ней;

• IV или VIII октанту, если и a₁ и А₂ лежат под осью х.

3.3. Определение по плоскому чертежу принадлежности точки плоскостям проекций

Например, точка А принадлежит:

— горизонтальной плоскости проекций П₁ если , а А₂ оси х и A₃ y;

— фронтальной плоскости проекций П₂, если , а А₁ оси х и A₃ z;

— профильной плоскости проекций П_3? если , а А₁ оси y и A₂ оси z;

Любая точка лежит на оси проекций, если её смежные две проек­ции совпадают. Так, точка А лежит на оси х, если a₁ совпадает с А₂; на оси у, если A₂ совпадает с А₃, и оси z, если А₂ совпадает с А₃.

studfiles.net