Уравнение окружности уравнение прямой презентация 9 класс: Презентация по геометрии «Уравнения окружности и прямой» (9 класс)
Уравнение окружности и прямой презентация, доклад
ThePresentationru
- Регистрация |
- Вход
- Загрузить
- Главная
- Разное
- Дизайн
- Бизнес и предпринимательство
- Аналитика
- Образование
- Развлечения
- Красота и здоровье
- Финансы
- Государство
- Путешествия
- Спорт
- Недвижимость
- Армия
- Графика
- Культурология
- Еда и кулинария
- Лингвистика
- Английский язык
- Астрономия
- Алгебра
- Биология
- География
- Геометрия
- Детские презентации
- Информатика
- История
- Литература
- Маркетинг
- Математика
- Медицина
- Менеджмент
- Музыка
- МХК
- Немецкий язык
- ОБЖ
- Обществознание
- Окружающий мир
- Педагогика
- Русский язык
- Страхование
- Технология
- Физика
- Философия
- Химия
- Шаблоны, картинки для презентаций
- Экология
- Экономика
- Юриспруденция
Презентация на тему Презентация на тему Уравнение окружности и прямой, предмет презентации: Математика.
Этот материал содержит 9 слайдов. Красочные слайды и илюстрации помогут Вам заинтересовать свою аудиторию. Для просмотра воспользуйтесь проигрывателем, если материал оказался полезным для Вас — поделитесь им с друзьями с помощью социальных кнопок и добавьте наш сайт презентаций ThePresentation.ru в закладки!
Уравнение окружности и прямой
mathvideourok.moy.su
Уравнение окружности
C
O
X
Y
M
r
У
Х
О
С
Уравнение прямой
Уравнение вида ах+ву+с=0, где а, в, с числа, х и у переменные называется уравнением прямой.
Из алгебры у=кх+m
Это одинаковые уравнения.
И потому можно брать по привычке
У=KХ+m
Скачать презентацию
Обратная связь
Если не удалось найти и скачать презентацию, Вы можете заказать его на нашем сайте. Мы постараемся найти нужный Вам материал и отправим по электронной почте. Не стесняйтесь обращаться к нам, если у вас возникли вопросы или пожелания:
Email: Нажмите что бы посмотреть
Что такое ThePresentation.ru?
Это сайт презентаций, докладов, проектов, шаблонов в формате PowerPoint. Мы помогаем школьникам, студентам, учителям, преподавателям хранить и обмениваться учебными материалами с другими пользователями.
Для правообладателей
Аналитическая геометрия на плоскости — презентация, доклад, проект
Слайд 1
Описание слайда:
Слайд 2
Описание слайда:
Основные задачи метода координат
Слайд 3
Описание слайда:
Прямоугольная система координат
Определение: Прямоугольной (декартовой) системой координат на плоскости называется две взаимно перпендикулярные оси Ох и Оу, имеющие общее начало О и одинаковую масштабную единицу.
Ох называется осью абсцисс, Оу – осью ординат. Из произвольной точки М опустим перпендикуляры на оси Ох и Оу.
Слайд 4
Описание слайда:
Число х называется абсциссой, у – ординатой точки М. Упорядоченная пара (х; у) называется координатами точки М. Число х называется абсциссой, у – ординатой точки М. Упорядоченная пара (х; у) называется координатами точки М. Каждой точке на плоскости в прямоугольной системе координат соответствует единственная пара действительных чисел (х; у). Метод определения положения точек на плоскости с помощью чисел называется методом координат.
Слайд 5
Описание слайда:
Расстояние от точки М(х; у) до начала координат определяется по формуле: Расстояние от точки М(х; у) до начала координат определяется по формуле: (1) Теорема: Для любых двух точек М1(х1; у1) и М2(х2; у2) на плоскости расстояние между ними выражается формулой: (2)
Слайд 6
Описание слайда:
Пример: Даны точки .
Найти расстояние между этими точками.
Пример: Даны точки . Найти расстояние между этими точками.
Решение:
Используя формулу (2) получим:
Слайд 7
Описание слайда:
Деление отрезка в данном отношении Пусть на плоскости дан произвольный отрезок М1М2 и пусть М – любая точка, принадлежащая этому отрезку. (3) Определение: Число λ>0, определяемое равенством (3), называется отношением в котором точка М делит отрезок М1М2 .
Слайд 8
Описание слайда:
Задача о делении отрезка в данном отношении состоит в том, чтобы по данному отношению λ и координатам точек М1 и М2 найти координаты точки М.
Задача о делении отрезка в данном отношении состоит в том, чтобы по данному отношению λ и координатам точек М1 и М2 найти координаты точки М.
Теорема: Если точка М делит отрезок М1М2 в отношении λ, то координаты этой точки определяются по формулам:
(4)
где (х1; у1) – координаты точки М1 ,
(х2; у2) – координаты точки М2 .
Слайд 9
Описание слайда:
Следствие: Если точка М делит отрезок М1М2 пополам, то есть ( ), то координаты этой точки определяются по формулам: (5)
Слайд 10
Описание слайда:
Пример: Даны точки М1(1; 1) и М2(7; 4). Найти точку М, которая в два раза ближе к М1, чем к М2.
Пример: Даны точки М1(1; 1) и М2(7; 4). Найти точку М, которая в два раза ближе к М1, чем к М2.
Решение:
Искомая точка делит отрезок в отношении
Применяя формулы (4), получим:
Следовательно, М(3; 2).
Слайд 11
Описание слайда:
Полярная система координат Полярная система координат состоит из точки О, называемой полюсом, и исходящего из него луча ОЕ, полярной оси. Кроме того задается единица масштаба для измерения длин отрезков. Полярными координатами точки М называют числа ρ и φ.
Слайд 12
Описание слайда:
Установим связь между прямоугольными и полярными координатами точки.
Установим связь между прямоугольными и полярными координатами точки.
Для этого совместим начало прямоугольной и полярной систем координат, а ось направим по направлению полярной оси ОЕ.
Слайд 13
Описание слайда:
Тогда из прямоугольного треугольника ONM получим: Тогда из прямоугольного треугольника ONM получим: (6) (7) (6) — выражает прямоугольные координаты через полярные. (7) — выражает полярные координаты через прямоугольные.
Слайд 14
Описание слайда:
Пример: Найти полярные координаты точки Пример: Найти полярные координаты точки Решение: Воспользуемся формулами (7): Так как точка лежит в четвертой четверти, то угол выбираем исходя из этого условия: или , то есть или .
Слайд 15
Описание слайда:
Пример: Найти прямоугольные координаты точки Пример: Найти прямоугольные координаты точки Решение: Воспользуемся формулами (6): Таким образом, прямоугольные координаты данной точки имеют вид:
Слайд 16
Описание слайда:
Уравнение прямой на плоскости
Слайд 17
Описание слайда:
Уравнение прямой с угловым коэффициентом
Определение: Углом наклона прямой, образованным с положительным направлением оси Ох называется наименьший угол α, на который нужно повернуть положительное направление оси Ох против хода часовой стрелки для совмещения ее с прямой.
Определение: Угловым коэффициентом прямой называется тангенс угла наклона прямой: (1)
Если то прямая параллельна оси Ох и
Если то прямая перпендикулярна оси Ох и говорят, что угловой коэффициент обращается в ∞ .
Слайд 18
Описание слайда:
Выведем уравнение прямой, если ее положение определено величиной отрезка отсекаемого на оси Оу и угловым коэффициентом Выведем уравнение прямой, если ее положение определено величиной отрезка отсекаемого на оси Оу и угловым коэффициентом Пусть М(х; у) – текущая точка искомой прямой. Опустим перпендикуляр из точки М на ось Ох и через точку В проведем прямую, параллельно оси Ох. Рассмотрим прямоугольный треугольник: .
Слайд 19
Описание слайда:
Из треугольника: но
(2)
(2) – уравнение прямой с угловым коэффициентом.
При прямая образует с осью Ох острый угол, при – тупой, при прямая параллельна оси Ох.
При прямая пересекает ось Оу выше начала координат , при – ниже, при проходит через начало координат.
Слайд 20
Описание слайда:
Уравнение прямой, проходящей через данную точку в заданном направлении Выведем уравнение прямой, если ее положение определяется данной точкой М1(х1; у1) и заданным угловым коэффициентом Запишем уравнение прямой в виде , где b – неизвестное число. Так как прямая проходит через точку М1(х1; у1), то ее координаты удовлетворяют уравнению: Отсюда подставляя в уравнение получим: или (3)
Слайд 21
Описание слайда:
(3) – уравнение прямой, проходящей через данную точку в заданном направлении.
(3) – уравнение прямой, проходящей через данную точку в заданном направлении.
Изменяя угловой коэффициент k (направление прямой), через данную точку М1(х1; у1) можно провести множество прямых. Поэтому уравнение (3) называют уравнением пучка прямых.
Слайд 22
Описание слайда:
Уравнение прямой, проходящей через две данные точки Пусть положение прямой определяется двумя данными точками М1(х1; у1) и М2(х2; у2). Запишем уравнение прямой в виде: где k – неизвестное число.
Слайд 23
Описание слайда:
Но прямая проходит через точку М2(х2; у2). Следовательно, координаты этой точки также удовлетворяют уравнению:
Но прямая проходит через точку М2(х2; у2). Следовательно, координаты этой точки также удовлетворяют уравнению:
Откуда
Подставим найденный коэффициент в уравнение пучка прямых:
Перегруппируем левую правую часть и получим:
(4)
(4) – уравнение прямой проходящей через две данные точки.
Слайд 24
Описание слайда:
Если х1=х2 , то уравнение прямой имеет вид: х=х1, и прямая параллельна оси Оу. Если х1=х2 , то уравнение прямой имеет вид: х=х1, и прямая параллельна оси Оу. Если у1=у2 , то уравнение прямой имеет вид: у=у1, и прямая параллельна оси Ох.
Слайд 25
Описание слайда:
Пример: Составить уравнение прямой, проходящей через точки М1(2; 3) и М2(3; –1). Пример: Составить уравнение прямой, проходящей через точки М1(2; 3) и М2(3; –1). Решение: Воспользуемся формулой (4): Разрешим полученное уравнение относительно у: или
Слайд 26
Описание слайда:
Пример: Составить уравнение прямой, проходящей через точки и Пример: Составить уравнение прямой, проходящей через точки и Решение: Воспользуемся формулой (4): На ноль делить нельзя, но можно воспользоваться свойством пропорции: или В данном примере поэтому можно было сразу записать уравнение прямой в виде:
Слайд 27
Описание слайда:
Общее уравнение прямой
Теорема: В прямоугольной системе координат любая прямая задается уравнением первой степени:
(5)
где А и В одновременно не обращаются в ноль.
(5) называют общим уравнением прямой, так как данное уравнение охватывает все случае положения прямой на плоскости.
Из него можно получить другие уравнения прямой.
Слайд 28
Описание слайда:
Уравнение прямой «в отрезках» Рассмотрим общее уравнение прямой: при условии, что все коэффициенты отличны от нуля. Преобразуем его, для этого свободное слагаемое перенесем в правую часть и поделим левую и правую часть на –С :
Слайд 29
Описание слайда:
Введем обозначение:
Введем обозначение:
Тогда уравнение прямой примет вид:
(6)
(6) – уравнение прямой «в отрезках».
Замечание: в виде уравнения (6) не могут быть записаны уравнение прямой, проходящей через начало координат и уравнения прямых, параллельных осям координат.
Слайд 30
Описание слайда:
Геометрический смысл уравнения (6) состоит в том, что числа и являются величинами отрезков, которые прямая отсекает на соответствующих осях координат. Геометрический смысл уравнения (6) состоит в том, что числа и являются величинами отрезков, которые прямая отсекает на соответствующих осях координат. Эта форма уравнения удобна для геометрического построения прямой.
Слайд 31
Описание слайда:
Пример: Прямая задана уравнением Пример: Прямая задана уравнением По данному уравнению прямой составить уравнение прямой «в отрезках» и построить прямую. Решение: Преобразуем уравнение прямой: Отложим на осях Ох и Оу отрезки и проведем прямую через точки и
Слайд 32
Описание слайда:
Угол между двумя прямыми
Пусть заданы прямые L1 и L2 уравнениями:
и , где
При пересечении двух прямых L1 и L2 на плоскости образуются четыре угла, которые попарно равны между собой как вертикальные углы.
Слайд 33
Описание слайда:
Определим угол между прямыми: Определим угол между прямыми: Тогда Так как , то отсюда следует, что (7) (7) – определяет один из углов между двумя прямыми. Второй угол равен π –φ.
Слайд 34
Описание слайда:
Пример: Две прямые заданы уравнениями:
Пример: Две прямые заданы уравнениями:
. Найти угол между этими прямыми.
Решение:
Воспользуемся формулой (7):
Так как то
Отсюда
Знак «–» указывает на то, что отсчет от первой прямой ко второй совершался по ходу часовой стрелки.
Слайд 35
Описание слайда:
Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых Если прямые L1 и L2 параллельны, то и то есть или (8) (8) – условие параллельности двух прямых.
Слайд 36
Описание слайда:
Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых Если прямые L1 и L2 перпендикулярны, то то есть (9) (9) – условие перпендикулярности двух прямых.
Слайд 37
Описание слайда:
Расстояние от точки до прямой
Пусть на плоскости Оху задана прямая L общим уравнением
Требуется найти расстояние от точки М0(х0; у0) до прямой L.
Под расстоянием от точки до прямой понимают длину перпендикуляра, опускаемого из точки на прямую.
(10)
(10) – формула расстояния от точки М0 до прямой L.
Слайд 38
Описание слайда:
Пример: Определить расстояние от точки Пример: Определить расстояние от точки до прямой Решение: Воспользуемся формулой (10): Приведем уравнение прямой к общему виду, для этого умножим уравнение на 3 и все перенесем в левую часть:
Слайд 39
Описание слайда:
Кривые второго порядка
Слайд 40
Описание слайда:
Окружность
Определение: Окружностью называется множество всех точек плоскости, равноудаленных от данной точки (центра окружности).
Если центр окружности совпадает с началом координат, то ее уравнение имеет вид:
(1)
Слайд 41
Описание слайда:
Если r – радиус окружности, а точка С(a; b) – ее центр, то каноническое уравнение окружности имеет вид: Если r – радиус окружности, а точка С(a; b) – ее центр, то каноническое уравнение окружности имеет вид: (2)
Слайд 42
Описание слайда:
Эллипс Определение: Эллипсом называется множество всех точек плоскости, для каждой из которых сумма расстояний до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, большая, чем расстояние между двумя фокусами.
Слайд 43
Описание слайда:
По определению и, следовательно, или .
Каноническое уравнение эллипса имеет вид:
По определению и, следовательно, или . Каноническое уравнение эллипса имеет вид:
(3)
где (4) , a – длина большой полуоси эллипса, b – длина малой полуоси эллипса ( ), с – половина расстояния между фокусами.
Оси координат являются осями симметрии эллипса.
Слайд 44
Описание слайда:
– длина большой оси эллипса, – длина малой оси эллипса, О – центр эллипса, – вершины эллипса, – фокусы эллипса.
Слайд 45
Описание слайда:
Определение: Эксцентриситетом эллипса называется отношение половины расстояния между фокусами к длине большой полуоси эллипса: (5).
Определение: Эксцентриситетом эллипса называется отношение половины расстояния между фокусами к длине большой полуоси эллипса: (5).
Так как , то .
Чем больше эксцентриситет, тем больше расстояние от центра эллипса до его фокусов и тем более «сплющен» эллипс; чем ближе эксцентриситет к 0, тем больше форма эллипса приближается к окружности.
При эллипс преобразуется в окружность, тогда и, следовательно, . Если , эллипс преобразуется в свою сдвоенную большую ось.
Слайд 46
Описание слайда:
При эллипс расположен вдоль оси Оу. В этом случае оси Ох и Оу поменялись местами: большая ось и фокусы такого эллипса лежат на оси Оу, а малая ось на оси Ох.
При эллипс расположен вдоль оси Оу. В этом случае оси Ох и Оу поменялись местами: большая ось и фокусы такого эллипса лежат на оси Оу, а малая ось на оси Ох.
Для такого эллипса:
– координаты фокусов;
Слайд 47
Описание слайда:
Гипербола Определение: Гиперболой называется множество всех точек плоскости, для каждой из которых модуль разности расстояний до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, меньшая, чем расстояние между двумя фокусами.
Слайд 48
Описание слайда:
По определению и, следовательно, или . Каноническое уравнение гиперболы имеет вид:
По определению и, следовательно, или . Каноническое уравнение гиперболы имеет вид:
(6)
где (7) , a – длина действительной полуоси гиперболы, b – длина мнимой полуоси гиперболы, с – половина расстояния между фокусами.
Слайд 49
Описание слайда:
Для построения гиперболы необходимо сначала построить осевой прямоугольник, затем провести диагонали этого прямоугольника, которые являются асимптотами гиперболы. Для построения гиперболы необходимо сначала построить осевой прямоугольник, затем провести диагонали этого прямоугольника, которые являются асимптотами гиперболы. В силу симметрии гиперболы, она имеет две асимптоты: . Наличие асимптот и симметрии позволяют построить всю гиперболу. Кривая состоит из двух не смыкающихся ветвей, лежащих в углах между асимптотами (8), и неограниченно приближающихся к этим прямым.
Слайд 50
Описание слайда:
– длина действительной оси гиперболы,
– длина мнимой оси гиперболы,
– центр гиперболы,
– вершины гиперболы,
– фокусы гиперболы.
Слайд 51
Описание слайда:
Определение: Эксцентриситетом гиперболы называется отношение половины расстояния между фокусами к длине действительной полуоси гиперболы: (9). Так как , то Если , то гипербола называется равнобочной и ее асимптоты образуют прямой угол. Уравнение равнобочной гиперболы имеет вид: (10)
Слайд 52
Описание слайда:
Определение: Две гиперболы, у которых оси совпадают и равны, но действительная ось одной из них служит мнимой осью другой, и наоборот, называются сопряженными гиперболами.
Определение: Две гиперболы, у которых оси совпадают и равны, но действительная ось одной из них служит мнимой осью другой, и наоборот, называются сопряженными гиперболами.
Если уравнение одной из сопряженных гипербол
, то уравнение второй
Слайд 53
Описание слайда:
Асимптоты сопряженных гипербол совпадают, а сами гиперболы расположены в смежных углах между асимптотами. Асимптоты сопряженных гипербол совпадают, а сами гиперболы расположены в смежных углах между асимптотами.
Слайд 54
Описание слайда:
Парабола Определение: Параболой называется множество всех точек плоскости, равноудаленных от данной точки, называемой фокусом, и данной прямой, называемой директрисой.
Слайд 55
Описание слайда:
Согласно определению точка М будет лежать на параболе, когда , где r – расстояние от точки до фокуса, d – расстояние от точки до директрисы.
Согласно определению точка М будет лежать на параболе, когда , где r – расстояние от точки до фокуса, d – расстояние от точки до директрисы.
Каноническое уравнение параболы имеет вид:
(11)
где р – параметр параболы (расстояние от фокуса до директрисы).
Параметр параболы характеризует ширину области ограниченной параболой. Чем больше р, тем шире распахнуты ветви параболы.
Слайд 56
Описание слайда:
Парабола расположена симметрично относительно оси Ох , ветви направлены вправо. Парабола расположена симметрично относительно оси Ох , ветви направлены вправо. Директрисой параболы является прямая , а фокусом – точка . Вершина такой параболы находится в начале координат .
Слайд 57
Описание слайда:
Парабола , расположена симметрично относительно оси Ох , ветви направлены влево.
Парабола , расположена симметрично относительно оси Ох , ветви направлены влево.
Вершина параболы находится в точке . Директрисой параболы является прямая , а фокусом – точка .
Слайд 58
Описание слайда:
Парабола , расположена симметрично относительно оси Оу , ветви направлены вверх. Парабола , расположена симметрично относительно оси Оу , ветви направлены вверх. Вершина параболы находится в точке . Директрисой параболы является прямая , а фокусом – точка .
Слайд 59
Описание слайда:
Парабола , расположена симметрично относительно оси Оу , ветви направлены вниз.
Парабола , расположена симметрично относительно оси Оу , ветви направлены вниз.
Вершина параболы находится в точке . Директрисой параболы является прямая , а фокусом – точка .
Объяснение урока: Уравнение окружности
В этом объяснении мы узнаем, как найти уравнение окружности, используя ее центр и заданную точку или радиус наоборот.
Давайте сначала вспомним точное определение окружности в математических терминах.
Определение: Окружность
Окружность — это геометрическое место точек, равноудаленных от данной точки, называемой центром окружности. Это фиксированное расстояние между любой точкой круга и его центром находится радиус окружности.
Другими словами, кругом называется множество всех точек, и только тех, которые находятся на заданном расстоянии от его центра.
Заметим, что хотя окружность легко изобразить на 𝑥𝑦-плоскости, ее нельзя описать как функцию
вида 𝑦=𝑓(𝑥), так как любой элемент области может (в общем случае) быть связан с двумя
элементы ассортимента.
Другими словами, мы всегда можем найти две точки на окружности, которые имеют одинаковую 𝑥-координату.
Однако существует связь между 𝑥- и 𝑦-координатами всех точек на окружности: это уравнение окружности . Чтобы понять это уравнение, давайте прежде всего рассмотрим самые основные форма круга: круг с центром в начале координат плоскости.
Этот круг представляет собой геометрическое место точек, равноудаленных от начала координат. Расстояние от любой точки 𝑀(𝑥,𝑦) по окружности до начала координат, таким образом, равен радиусу окружности 𝑟. Отношения между 𝑥- и 𝑦-координаты всех точек на окружности можно найти, составив правую треугольник, как показано на диаграмме ниже, где гипотенуза является радиусом окружности.
Применяя к этому треугольнику теорему Пифагора, находим |𝑥|+|𝑦|=𝑟.
Это выражение применимо к любой точке окружности. Абсолютные значения могут быть удалены здесь, так как
|𝑎|=𝑎 для любого значения 𝑎.
Это приводит к следующему определению.
Определение: уравнение окружности с центром в начале координат
Окружность с центром (0,0) и радиусом 𝑟 описывается уравнением 𝑥+𝑦=𝑟.
Как и следовало ожидать, это уравнение можно распространить на окружности с любым заданным центром. В частности, если мы рассмотрим окружность радиус 𝑟 с центром в точке 𝐶(ℎ,𝑘), это все точки, которые являются расстоянием 𝑟 из 𝐶(ℎ,𝑘). Если мы рассмотрим общий момент 𝑀(𝑥,𝑦) на окружности, мы можем образовать прямоугольный треугольник между центром и этой точкой в том же как и прежде, где гипотенуза — это радиус окружности, а горизонтальная и вертикальная длины равны |𝑥−ℎ| и |𝑦−𝑘| соответственно.
Используя теорему Пифагора об этом треугольнике, находим |𝑥−ℎ|+|𝑦−𝑘|=𝑟.
Еще раз, используя тот факт, что |𝑎|=𝑎 для любого 𝑎, мы можем перепишите это без абсолютных значений, что приведет к следующему определению уравнения.
Определение: уравнение окружности (стандартная форма)
Окружность с центром (ℎ,𝑘) и радиусом 𝑟 описывается уравнением
(𝑥−ℎ)+(𝑦−𝑘)=𝑟.
Уравнение этой формы известно как стандартная форма уравнения окружности.
Давайте рассмотрим, как мы можем применить это уравнение, чтобы найти уравнение окружности.
Пример 1. Запись стандартной формы уравнения окружности с учетом ее центра и радиуса
Напишите уравнение окружности с центром (8,4) и радиусом 9.
Ответ
Вспомните, что стандартная форма уравнения круга задается (𝑥−ℎ)+(𝑦−𝑘)=𝑟, где (ℎ,𝑘) — центр окружности, а 𝑟 — радиус.
В этом примере нам дано, что центр равен (8,4), поэтому ℎ=8 и 𝑘=4. Нам также дано, что радиус равен 9, поэтому 𝑟=9, и отсюда мы можем получить 𝑟=81. Подстановка этих значений в формулу дает нам уравнение окружности: (𝑥−8)+(𝑦−4)=81.
Так же, как мы можем найти уравнение окружности, если нам известны ее радиус и центр, мы также можем определить центр и радиус если нам просто дано уравнение. Давайте посмотрим, как это делается ниже.
Пример 2.
Нахождение центра и радиуса окружности из уравнения в стандартной формеНахождение центра и радиуса окружности (𝑥−2)+(𝑦−8)−100=0.
Ответ
Вспомним, что для окружности с центром (ℎ,𝑘) и радиусом 𝑟 стандартная форма его уравнения (𝑥−ℎ)+(𝑦−𝑘)=𝑟.
Нам дано уравнение окружности, которое имеет почти такой вид, хотя постоянный член находится не на той стороне уравнение. Добавление 100 к обеим сторонам приводит к такой форме, что дает нам (𝑥−2)+(𝑦−8)=100,
Сравнивая это с общей формой уравнения, мы видим, что ℎ=2,𝑘=8,𝑟=100.
Это означает, что центр равен (2,8), а радиус 𝑟=√100=10.
Хотя уравнение окружности, которое мы видели до сих пор, является стандартной используемой формой, существует более общая форма уравнения. Напомним, что стандартная форма (𝑥−ℎ)+(𝑦−𝑘)=𝑟.
Если мы раскроем скобки, это даст нам 𝑥−2ℎ𝑥+ℎ+𝑦−2𝑘𝑦+𝑘=𝑟.
Немного изменив это так, чтобы члены с более высокими степенями 𝑥 и 𝑦 оказались слева, мы получаем 𝑥+𝑦−2ℎ𝑥−2𝑘𝑦+ℎ+𝑘−𝑟=0,
Обратите внимание, что −2ℎ, −2𝑘 и ℎ+𝑘−𝑟 — константы, поэтому они могут
записывается как 𝑎, 𝑏 и 𝑐 соответственно.
Это приводит к следующему уравнению.
Определение: уравнение окружности (общая форма)
Общая форма уравнения окружности: 𝑥+𝑦+𝑎𝑥+𝑏𝑦+𝑐=0, где 𝑎, 𝑏 и 𝑐 — константы.
Заметим, что эта форма напрямую не включает в выражение центр и радиус; вместо этого, если нам дан центр и радиус окружности и хотите общий вид, мы должны сначала написать уравнение в его стандартной форме, а затем расширить скобки. Давайте посмотрим на пример этого.
Пример 3. Запись общей формы уравнения окружности с учетом ее центра и диаметра
Приведите общую форму уравнения окружности с центром (8,−2) и диаметром 10.
Ответ
Вспомните, что общая форма уравнения окружности
𝑥+𝑦+𝑎𝑥+𝑏𝑦+𝑐=0,
где 𝑎, 𝑏 и 𝑐 — константы, которые необходимо определить. Чтобы написать
уравнение окружности в такой форме, мы можем начать с того, что запишем его в стандартной форме и раскроем скобки. Стандарт
форма
(𝑥−ℎ)+(𝑦−𝑘)=𝑟,
где (ℎ,𝑘) — центр окружности, а 𝑟 — радиус.
В данном примере круг имеет центр (8,−2) и диаметр 10. Поскольку диаметр в два раза больше радиус, радиус равен 5. Таким образом, ℎ=8, 𝑘=−2 и 𝑟=5. Замена в них мы получаем следующую стандартную форму уравнения: (𝑥−8)+(𝑦+2)=5=25.
Теперь мы хотим привести уравнение к общему виду, чего мы можем добиться, раскрыв скобки. Это дает нам 𝑥−16𝑥+64+𝑦+4𝑦+4=25.
Наконец, мы можем изменить это, чтобы получить требуемую форму: 𝑥+𝑦−16𝑥+4𝑦+(64+4−25)=0𝑥+𝑦−16𝑥+4𝑦+43=0,
Точно так же, как мы показали, что стандартная форма уравнения окружности может дать нам центр и радиус, мы можем представить, что также можно найти центр и радиус окружности, зная общую форму. Это действительно так; однако, как это включает в себя отмену биномиального расширения, поэтому нам нужно иметь возможность разложить уравнение на множители, заполнив квадрат. Позволять нам подробно эту процедуру.
Практическое руководство. Нахождение координат центра и радиуса по уравнению окружности в его общей форме
Предположим, что нам дано уравнение окружности в общем виде 𝑥+𝑦+𝑎𝑥+𝑏𝑦+𝑐=0
и хочу найти центр и радиус окружности.
Мы можем сделать это, заполнив квадрат.
- Во-первых, мы преобразуем уравнение следующим образом 𝑥+𝑎𝑥+𝑦+𝑏𝑦=−𝑐.
- Напомним, что мы можем заполнить квадрат, используя замену вида 𝑥+𝑎𝑥=𝑥+𝑎2−𝑎4. Заполнение квадрата для обеих скобок в уравнении дает нам 𝑥+𝑎2−𝑎4+𝑦+𝑏2−𝑏4=−𝑐.
- Затем мы можем переставить это так, чтобы все постоянные члены были в правой части, чтобы получить 𝑥+𝑎2+𝑦+𝑏2=𝑎4+𝑏4−𝑐.
- Поскольку это стандартная форма уравнения окружности, это говорит нам о том, что центр находится в −𝑎2,−𝑏2, а радиус равен 𝑎4+𝑏4−𝑐.
Применим эту процедуру для нахождения центра и радиуса для заданного уравнения окружности в общем виде.
Пример 4. Нахождение центра и радиуса окружности по ее уравнению в общей форме
Заполнив квадрат, найдите центр и радиус круга 𝑥+6𝑥+𝑦−4𝑦+8=0.
Ответ
Как указано в вопросе, нас просят найти центр и радиус окружности, зная ее уравнение в общем виде по формуле
завершение квадрата.
Для этого мы можем использовать следующие замены:
𝑥+6𝑥=(𝑥+3)−9,𝑦−4𝑦=(𝑦−2)−4.
Подставляя их в данное уравнение, мы получаем (𝑥+3)−9+(𝑦−2)−4+8=0.
Переведя константы на другую сторону, это (𝑥+3)+(𝑦−2)=5.
Это стандартная форма уравнения окружности. Другими словами, мы имеем (𝑥−ℎ)+(𝑦−𝑘)=𝑟, где (ℎ,𝑘) — центр, а 𝑟 — радиус окружности. Следовательно центр равен (−3,2), а радиус равен 𝑟=√5.
До сих пор нам либо давали центр и радиус окружности, и мы должны были написать уравнение, либо наоборот. Иногда, однако нам явно не предоставляется вся необходимая информация, и вместо этого мы должны сначала обработать ее путем дедукции. Позволь нам рассмотрим пример этого.
Пример 5. Запись уравнения окружности в стандартной форме с учетом ее центра и точки на окружности
Окружность имеет центр (2,2) и проходит через точку (6,3). Найдите уравнение окружности.
Ответ
Напомним, что уравнение окружности в стандартной форме имеет вид
(𝑥−ℎ)+(𝑦−𝑘)=𝑟,
где (ℎ,𝑘) — центр окружности, а 𝑟 — радиус.
В этом примере нам дан центр, но не радиус. Если мы подставим только ℎ=2 и 𝑘=2 в приведенную выше формулу и оставить 𝑟 неизвестным, мы получим (𝑥−2)+(𝑦−2)=𝑟.
Несмотря на то, что у нас нет радиуса, мы знаем, что любая точка на окружности должна удовлетворять этому уравнению. Таким образом, если мы положим точку (6,3) в приведенном выше уравнении, мы должны получить правильное значение для 𝑟. Это дает нам (6−2)+(3−2)=4+1=16+1=17.
Следовательно, 𝑟=17, и полное уравнение будет (𝑥−2)+(𝑦−2)=17.
Альтернативный способ завершить приведенный выше пример — найти радиус, рассчитав расстояние между центром и данная точка. То есть, если (6,3) — точка на окружности, это означает, что ее расстояние от центральная точка (2,2) равна радиусу. Напомним, что расстояние между двумя точками (𝑥,𝑦) и (𝑥,𝑦), определяется формулой 𝑑=(𝑥−𝑥)+(𝑦−𝑦).
Если мы подставим точки (6,3) и (2,2) в это уравнение, мы получим
(6−2)+(3−2)=√4+1=√16+1=√17.
Это говорит нам о том, что радиус равен √17; следовательно, 𝑟=17. Это эквивалентно вышеописанному методу потому что стандартное уравнение окружности по сути является просто уравнением для расстояния между центром и переменной точкой. Таким образом, независимо от того, рассчитываем ли мы расстояние напрямую или подставляем точку в уравнение, мы делаем одно и то же. расчет.
В качестве последнего примера мы продемонстрируем, что происходит, когда нам не заданы ни радиус, ни центр круга, но мы можем вывести эту информацию, чтобы помочь нам найти уравнение.
Пример 6. Нахождение уравнения окружности по двум точкам на окружности и прямой, проходящей через центр
Определите общий вид уравнения окружности, проходящей через две точки 𝐴(−7,1) и 𝐵(0,6), учитывая, что центр окружности лежит на прямой 6𝑥−𝑦=−43.
Ответ
Напомним, что уравнение окружности в общем виде имеет вид
𝑥+𝑦+𝑎𝑥+𝑏𝑦+𝑐=0,
где 𝑎, 𝑏 и 𝑐 — константы, которые необходимо определить.
Чтобы добраться до
этой формы, нам нужно найти центр окружности и ее радиус, но нам тоже не дано.
Давайте проанализируем предоставленную нам информацию и посмотрим, как мы можем использовать ее для решения проблемы. У нас может не быть центра окружности, но у нас есть две точки, лежащие на окружности, и мы знаем, что все точки окружности равноудалены от центр. Предположим, что центр 𝐶 равен (𝑥,𝑦). Поскольку расстояния от центра до каждой из точек (−7,1) и (0,6) равны, это означает, что мы имеем следующее уравнение: (𝑥+7)+(𝑦−1)=𝑥+(𝑦−6), где левая часть представляет собой (квадрат) расстояния от (𝑥,𝑦) до (−7,1), а правая часть представляет собой (квадрат) расстояние от (𝑥,𝑦) к (0,6). Раскрывая скобки, получаем 𝑥+14𝑥+49+𝑦−2𝑦+1=𝑥+𝑦−12𝑦+36.
Отсюда мы замечаем, что члены 𝑥 и 𝑦 сокращаются. Таким образом, переставляя
все влево, получаем
14𝑥+10𝑦+14=0,
и разделив на 2, получим
7𝑥+5𝑦+7=0.
Обратите внимание, что это уравнение говорит нам, что точка C лежит на линии уравнения 7𝑥+5𝑦+7=0. То есть ожидать, поскольку множество точек, равноудаленных от двух различных точек, образует линию, которая делит эти две точки пополам. Мы показываем эту линию ниже.
Теперь мы знаем, что центр круга должен лежать на этой линии. Само по себе этого было бы недостаточно для решения проблемы, но вспомните, что нам также дали, что центр лежит на другой прямой, 6𝑥−𝑦=−43. Предполагая линии не параллельны, они должны пересекаться ровно в одной точке, где должен быть центр. Мы показываем это ниже.
Мы можем найти пересечение путем замены (т. е. мы переставляем вторую строку (6𝑥−𝑦=−43), чтобы она находилась в условия 𝑦): 6𝑥−𝑦=−43𝑦=6𝑥+43 и подставьте это значение вместо 𝑦 в строку 7𝑥+5𝑦+7=0, чтобы получить 7𝑥+5(6𝑥+43)+7=07𝑥+30𝑥+215+7=037𝑥=-222𝑥=-6.
Таким образом, 𝑥-координата центра равна −6. Мы можем найти 𝑦-координату
тоже по замене.
Подставляя значение 𝑥 в 𝑦=6𝑥+43, мы получаем
𝑦=6(−6)+43=7.
Таким образом, центр находится в точке (−6,7). Далее нам нужно найти радиус. Мы можем найти это, взяв расстояние от (−6,7) до любой точки (просто выберем (0,6)). Это 𝑟=(−6)+(7−6)=36+1=37.
Теперь мы можем составить стандартное уравнение для окружности, которое, как мы помним, имеет вид (𝑥−ℎ)+(𝑦−𝑘)=𝑟, где (ℎ,𝑘) — центр, а 𝑟 — радиус. Замена в ℎ=−6, 𝑘=7 и 𝑟=37, это (𝑥+6)+(𝑦−7)=37.
Заключительной частью этого вопроса является запись уравнения в его общей форме. Мы можем сделать это, раскрыв скобки и переставляя, давая нам 𝑥+12𝑥+36+𝑦−14𝑦+49=37𝑥+𝑦+12𝑥−14𝑦+48=0,
Хотя это и не обязательно, построение этого уравнения дает нам следующую диаграмму.
Давайте закончим рассмотрением ключевых моментов, которые мы узнали из этого объяснения.
Ключевые точки
- Окружность с центром (ℎ,𝑘) и радиусом 𝑟 имеет следующее уравнение
(в стандартной форме):
(𝑥−ℎ)+(𝑦−𝑘)=𝑟.
- Общая форма уравнения окружности: 𝑥+𝑦+𝑎𝑥+𝑏𝑦+𝑐=0, где 𝑎, 𝑏 и 𝑐 — константы.
- Общий вид можно получить, раскрыв скобки в стандартной форме.
- Чтобы найти центр и радиус из уравнения в общем виде, мы можем заполнить квадрат, чтобы разложить уравнение на множители в стандартную форму.
- В задачах, где нам не задан центр или радиус, мы можем найти эти значения дедукцией и с помощью свойств круга.
Урок: Уравнение окружности
Портал деактивирован. Обратитесь к администратору портала.
- Классы
- Порталы
- Руководство пользователя
На этом уроке мы научимся находить уравнение окружности, используя ее центр и заданную точку или радиус и наоборот.
План урока
Учащиеся смогут
- вывести и вспомнить стандартную форму уравнения окружности, (𝑥−𝑎)+(𝑦−𝑏)=𝑟, а общий вид 𝑎𝑥+𝑏𝑦+𝑐𝑥+𝑑𝑦+𝑒=0,
- напишите уравнение окружности в стандартной и общей форме, зная ее центр и радиус или точку на ее окружности,
- найти центр круга и его радиус по уравнению в стандартной форме,
- найти центр круга и его радиус по уравнению в расширенной форме (заполнив квадрат),
- найти уравнение окружности учитывая более широкий геометрический контекст, такой как уравнение линии, которая содержит ее центр и точки на ее окружности.
Презентация урока
Видео урока
17:36
Объяснитель урока
Список воспроизведения уроков
02:52
01:55
Рабочий лист урока
Q1:
Напишите уравнение окружности с центром (8,4) и радиусом 9.