Логарифм презентация – Презентация по математике на тему «Определение логарифма. Основное логарифмическое тождество»

Содержание

Презентация на тему «Логарифмы вокруг нас» (11 класс)

МБОУ Федосеевская СОШ.

Исследовательская работа:

Выполнили уч-цы 10-го класса

Соитова Милана и Ахматова Яхита.

Цель: показать, что логарифмы нужны не только на уроках математики но, могут быть использованы и в других областях.

Проблема: показать практическую значимость логарифмов для окружения.

Задача: применение логарифмов в различных областях науки и повседневной жизни.

Логарифмы были изобретены шотландским математиком Джоном Непером (1550–1617) в 1614 г. Его «Канон о логарифмах» начинался так: «Осознав, что в математике нет ничего более, скучного и утомительного, чем умножение, деление, извлечение квадратных и кубических корней, и что названные операции являются бесполезной тратой времени и неиссякаемым источником неуловимых ошибок, я решил найти простое и надежное средство, чтобы избавиться от них».

С точки зрения вычислительной практики, изобретение логарифмов по возможности можно смело поставить рядом с другими, более древним великим изобретением индусов – нашей десятичной системы нумерации.

Через десяток лет после появления логарифмов Непера английский ученый Гунтер изобрел очень популярный прежде счетный прибор – логарифмическую линейку. Она помогала астрономам и инженерам при вычислениях, она позволяла быстро получать ответ с достаточной точностью в три значащие цифры.

Таким образом, потребность в сложных расчётах быстро росла. Теория логарифмов связана с именами целого ряда математиков: Генри Бригс, Эдмунд Уингейт, Уильям Отред, Н. Меркатор, Джон Спейдел, К. Бремикер, Ф. Клейн.

Термин «логарифм» (logarithmus) принадлежит Неперу. Он возник из сочетания греческих слов: logos – «отношение» и ariqmo – «число», которое означало «число отношений». Первоначально Непер пользовался другим термином: numeri artificiales — «искусственные числа», в противоположность numeri naturalts – «числам естественным».

В ходе тригонометрических расчётов, Неперу пришла в голову идея: заменить трудоёмкое умножение на простое, сложение, сопоставив с помощью специальных таблиц геометрическую и арифметическую прогрессии, при этом геометрическая будет исходной.
В 1614 году Непер опубликовал в Эдинбурге сочинение под названием «Описание удивительной таблицы логарифмов», на латинском языке. Там было краткое описание логарифмов и их свойств, а также 8-значные таблицы логарифмов синусов, косинусов и тангенсов, с шагом 1′.
Сочинение было разделено на 2 книги, из которых первая посвящена логарифмам, а вторая — плоской и сферической тригонометрии, причём вторая часть одновременно служит практическим пособием по первой. Более развёрнутое, описание содержалось в другом труде, изданном посмертно его сыном; там же Непер пояснил, как он составлял свои таблицы.

Понятия функции тогда ещё не было, и Непер определил логарифм кинематически, сопоставив равномерное и логарифмически-замедленное движение. В современной записи модель Непера можно изобразить дифференциальным уравнением:

dx/x = -dy/M, где M — масштабный множитель, введенный для того, чтобы значение получилось целым числом с нужным количеством знаков (десятичные дроби тогда ещё не нашли широкого применения). Непер взял M = 10000000.

Строго говоря, Непер табулировал не ту функцию, которая сейчас называется логарифмом.

К сожалению, все значения таблицы Непера содержали вычислительную ошибку после шестого знака. Однако это не помешало новой методике вычислений получить широчайшую популярность, и составлением логарифмических таблиц занялись многие европейские математики, включая Кеплера.
В 1615 году в беседе с профессором математики Грешем Колледжа в Лондоне Генри Бригсом (1561-1631) Непер предложил принять за логарифм единицы нуль, а за логарифм десяти — 100, или, что сводится к тому же, просто 1. Так появились десятичные логарифмы и были напечатаны первые логарифмические таблицы. Непер уже был болен, поэтому не смог усовершенствовать свои таблицы, однако дал Бригсу рекомендации видоизменить определение логарифма, приблизив его к современному. Бригс опубликовал свои таблицы в год смерти Непера (1617).

Позже таблицы Бригса дополнил голландский книготорговец и любитель математики Андриан Флакк (1600-1667). Непер и Бригс, хотя пришли к логарифмам раньше всех, опубликовали свои таблицы позже других — в 1620 году.
Но и в таблицах Бригса обнаружились ошибки. Первое безошибочное издание на основе таблиц Вега́ появилось только в 1857 году в Берлине (таблицы Бремивера).

В 1620-е годы Эдмунд Уингейт и Уильям Отред изобрели первую логарифмическую линейку, до появления карманных калькуляторов — незаменимый инструмент инженера.
Знаки log и Log были введены в 1624 году И. Кеплером.
Термин «натуральный логарифм» ввели Менголи в 1659 г. и вслед за ним Н. Меркатор в 1668 г., а издал таблицы натуральных логарифмов чисел от 1 до 1000 под названием «Новые логарифмы» лондонский учитель Джон Спейдел.

На русском языке первые логарифмические таблицы были изданы в 1703 году. Но во всех логарифмических таблицах были допущены ошибки при вычислении. Первые безошибочные таблицы вышли в 1857 году в Берлине в обработке немецкого математика К. Бремикера (1804-1877).
Дальнейшее развитие теории логарифмов связано с более широким применением аналитической геометрии и исчисления бесконечно малых. К тому времени относится установление связи между квадратурой равносторонней гиперболы и натуральным логарифмом.

С открытием логарифмического ряда изменилась техника вычисления логарифмов: они стали определяться с помощью бесконечных рядов.

В своих лекциях «Элементарная математика с высшей точки зрения», прочитанных в 1907-1908 годах, Ф. Клейн предложил использовать формулу в качестве исходного пункта построения теории логарифмов.

Таким образом, прошло 394 года с тех пор, как логарифмы впервые были введены (считая с 1614 г.), прежде чем математики пришли к определению понятия логарифма, которое положено теперь в основу школьного курса.

Радиоактивный распад. Изменение массы радиоактивного вещества происходит по формуле , где m₀ – где масса вещества в начальный период времени t=0, m – масса вещества в момент времени t,

T — период полураспада.

Это означает, что через время Т после начального момента времени, масса радиоактивного вещества уменьшается вдвое.

Народонаселение. Изменение количества людей в стране на небольшом отрезке времени с хорошей точностью описывается формулой , где N

₀ – число людей при t=0, N – число людей в момент t, λ – некоторая константа.

Формула Циолковского. Эта формула, связывающая скорость ракеты V с ее массой m: , где Vr – скорость вылетающих газов, m₀ – стартовая масса ракеты.

Скорость истечения газа при сгорании топлива Vr невелика (в настоящее время она меньше или равна 2 км/с). Логарифм растет очень медленно, и для того чтобы достичь космической скорости, необходимо сделать большим отношение , т.е. почти всю стартовую массу отдать под топливо.
Звукоизоляция стен. Коэффициент звукоизоляции стен измеряется по формуле

, где p₀ – давление звука до поглощения, p – давление звука, прошедшего через стену, А – некоторая константа, которая в расчетах принимается равной 20 децибелам.

Если коэффициент звукоизоляции D равен, например 20 децибел, то это означает, что

и p₀ =10p, т.е. стена снижает давление звука в 10 раз. Такую изоляцию имеет деревянная дверь.

Логарифмическая спираль.

Логарифмическая спираль- плоская трансцендентная кривая, уравнение которой в полярных координатах имеет вид p=a φ, a>0.

Рога козлов, раковина улитки и семечки в подсолнухе закручены по логарифмической спирали

Логарифмические таблицы.

Если вычислительные потребности практической жизни и технического обихода вполне обеспечиваются трех и четырехзначными таблицами то с другой стороны, к услугам теоретического исследователя имеются таблицы и с гораздо большим числом знаков, чем даже 14- значные логарифмы. Вообще говоря, логарифм в большинстве случаев есть число иррациональное и не может быть точно выражен никаким числом цифр; логарифмы большинства чисел, сколько бы знаков ни брать, выражаются лишь приближенно, тем точней, чем больше цифр в их мантиссе. Для научных работ оказывается иногда недостаточной точность 14- значных логарифмов, но среди пятисот всевозможных образов логарифмических таблиц вышедших в свет, со времени их изобретения, исследователь всегда найдет такие, которые его удовлетворяют.

Например, 20- значные логарифмы чисел от 2 до1200, изданные во Франции Кале.

Для еще более ограниченной группы чисел имеются таблицы логарифмов с огромным числом десятичных знаков — настоящие логарифмические диковинки о существование которых не подозревают многие математики.

Вот эти логарифмы – исполины все они — не десятичные, а натуральные: (натуральными называются логарифмы, вычисленные не при основании 10, а при основании 2,718…, о котором у вас еще будет речь впереди. 48–значные таблицы Вольфрама для чисел до 10000; 61-значные таблицы Шарпа; 102-значные таблицы Паркхерста.

Счетная линейка.

К логарифмическим диковинкам можно было бы с полным основанием отнести и счетную линейку – «деревянные логарифмы», — если бы этот остроумный прибор не сделался благодаря своему удобству столь же обычным, счетным орудием для техников, как десятикосточковые счеты для конторских работников. Привычка угашает чувство изумления перед прибором, работающим по принципу логарифмов и, тем не менее, не требующим от пользующихся им даже знания того, что такое логарифм.

Молекула ДНК.

Её молекулы имеют огромную по молекулярным масштабам длину и состоят из 2-х нитей, сплетённых между собой в двойную спираль. Каждую из нитей можно сравнить с длинной нитки бус. С нитями бус мы сравниваем и белки. У белков «бусинами» являются аминокислоты 20 различных типов. У ДНК-всего 4 типа «бусин» и зовутся они нуклеотидами. «Бусины» двух нитей двойной спирали ДНК связаны между собой и строго друг другу соответствуют. Мы часто встречаем изготовление предметов по шаблону, называемому матрицей. Отливка монет или медалей, типографского шрифта. По аналогии происходящее в живой клетке восстановление двойной спирали по одной её цепи, как по матрице, так же называют матричным синтезом.

Вывод:

Многие природные явления не могли быть изучены без понятия логарифма;
Логарифмы используются для описания природных явлений астрономами, физиками, биологами.
Понятие логарифма широко применяется человеком во многих науках.

infourok.ru

Презентация: «Логарифмы»

ГБПОУ КК «Славянский сельскохозяйственный техникум»

Логарифмы

г. Славянск –на- Кубани.

2016г.

0,а ≠ 1 ,называется показатель степени, в которую надо возвести число а, чтобы получить b / Что такое логарифм? Логарифмы – это рифмы, Словно в музыке слова. С ними проще вычисленья – Не сложней, чем дважды два. «

Логарифм положительного числа b по основанию а , где а 0,а ≠ 1 ,называется показатель степени, в которую надо возвести число а, чтобы получить b /

Что такое логарифм?

Логарифмы – это рифмы,

Словно в музыке слова.

С ними проще вычисленья –

Не сложней, чем дважды два.

Слово ЛОГАРИФМ происходит от греческих слов  — число и  — отношение. переводится как отношение чисел, одно из которых является членом арифметической прогрессии, а другое геометрической.

ЛОГАРИФМ число, применение которого позволяет упростить многие сложные операции арифметики. Использование в вычислениях вместо чисел их логарифмов позволяет заменить умножение более простой операцией сложения, деление — вычитанием, возведение в степень — умножением и извлечение корней – делением.

Впервые понятие логарифмов ввел английский математик Джон Непер. Потомок старинного воинственного шотландского рода. Изучал логику, теологию, право, физику, математику, этику. Увлекался алхимией и астрологией. Изобрел несколько полезных сельскохозяйственных орудий.

Джон Непер 1550-1617

Первые таблицы десятичных логарифмов были составлены в 1617 г. английским математиком Бриггсом. Многие из них были выведены с помощью выведенной Бриггсом формулы.

Изобретатели логарифмов не ограничились созданием логарифмических таблиц, уже через 9 лет после их разработки в 1623 г. Английским математиком Гантером была создана первая логарифмическая линейка. Она стала рабочим инструментом для многих поколений. В настоящее время мы можем находить значения логарифмов, используя компьютер. Так, в языке программирования BASIC с помощью встроенной функции можно находить натуральные логарифмы чисел.

Логарифмическая линейка

«Логарифмы бывают разные…»

Бригсов логарифм — то же, что десятичный логарифм. Назван по имени Г. Бригса.

Десятичный логарифм — логарифм по основанию 10. Десятичный логарифм числа а обозначают lgа.

Неперов логарифм — (по имени Дж. Непера), то же, что натуральный логарифм.

Натуральный логарифм — логарифм, основание которого — неперово число е = 2,718 28… Натуральный логарифм числа а обозначают ln а.

Джон Непер ( 1550-1617)

Наибольшее влияние оказали логарифмы на развитие астрономии. Успехи мореплавания в средние века обусловливали большой спрос на астрономические таблицы, составление которых требовало весьма сложных вычислений. Использование логарифмических таблиц значительно облегчало и ускоряло эти вычисления. По образному выражению французского математика Лапласа (1749—1827), изобретение логарифмов, сократив работу астронома, продлило ему жизнь.

Общее определение логарифмической функции и ее широкое обобщение дал Леонард Эйлер .

В математике логарифмическая спираль

впервые упоминается в 1638 году

Рене Декартом.

Логарифмическая спираль в природе

Хищные птицы кружат над добычей по логарифмической спирали. Дело в том, что они лучше видят, если смотрят не прямо на добычу, а чуть в сторону.

Логарифмическая спираль в природе

Один из наиболее распространенных пауков, сплетая паутину, закручивает нити вокруг центра по логарифмической спирали.

Применение логарифмов

Музыка

Так называемые ступени темперированной хроматической гаммы (12- звуковой) частот звуковых колебаний представляют собой логарифмы. Только основание этих логарифмов равно 2 (а не 10, как принято в других случаях). Номера клавишей рояля представляют собой логарифмы чисел колебаний соответствующих звуков

Звезды, шум и логарифмы

Громкость шума и яркость звезд оцениваются одинаковым образом – по логарифмической шкале.

Психология

Изучая логарифмы, ученые пришли к выводу о том, что величина ощущения пропорциональна логарифму величины раздражения.

Зачем мы изучаем логарифмы?

Во-первых , логарифмы и сегодня позволяют упрощать вычисления.

Во-вторых , испокон веков целью математической науки было помочь людям узнать больше об окружающем мире, познать его закономерности и тайны.

Вывод : логарифмы – важные составляющие не только математики, но и всего окружающего мира, поэтому интерес к ним не ослабевает с годами и их необходимо продолжать изучать.

videouroki.net

Урок- презентация » Определение логарифма.Основное логарифмическое тождество.Виды логарифмов»

Определение логарифма. Основное логарифмическое тождество. Десятичные и натуральные логарифмы.

ПРЕПОДАВАТЕЛЬ МАТЕМАТИКИ:

Александрина Людмила Владимировна

ГБПОУ «Муравленковский колледж»

ЯНАО, г. Муравленко

Цель урока:

— Дать определение логарифма и его свойств, основного логарифмического тождества

— Показать полезность применения логарифмов;

— Научить видеть знакомое в незнакомом, развить интерес к истории математики и её приложениям.

« Возьми столько, сколько ты можешь и хочешь, но не меньше обязательного.»

Задача 1

Найдите положительный корень уравнения

х 2 = 9 ответ : х=3

х 3 = 8 ответ х=2

х 4 = 81 ответ : х=3

Задача 2

Решите уравнение

2 х =8 ответ: х=3

3 х =27 ответ: х=3

5 х =7 ответ: ?

0 и а 1 называется показатель степени, в которую нужно возвести число а, чтобы получить число b . = х Логарифм с произвольным основанием.»

Определение логарифма

Логарифмом положительного числа b по основанию а0 и а 1 называется показатель степени, в которую нужно возвести число а, чтобы получить число b .

= х

Логарифм с произвольным основанием.

Примеры:

Логарифмы с основанием 10, называются десятичными.

Обозначение:Lg

Например: Lg100=2

Lg 1\10 =-1

Логарифмы с основанием е = 2.718 … называются натуральными.

Обозначение: Ln

Основное логарифмическое тождество

Действие нахождения логарифма числа называется логарифмированием

Свойства логарифмов

Примеры:

Вычислите

loq 3 27=

loq 5 125=

loq 2 2=

loq 8 1=

loq 2 16=

loq 3 9=

3 loq 3 18 =

loq 0,5 0,25=

loq 2 х= 3

7 loq 7 3 =

Вычислите

loq 4 1=

loq 13 13=

loq 3 х=2

6 loq 6 12 =

loq 4 х=2

loq 2 х=5

loq 13 13=

loq 3 х=2

5 loq 5 12 =

loq 9 1=

Тест

А -6

Б 8

И 30

Е 57

Б 11

М 49

В 14

П 54

Х 40

Г 6

У — 3

М — 4

Р — 2

Г 1

Ф 3

Л -12

Е 2

В — 1

Т 33

П 6

Л 1

Е 0,5

П 16

Е 5

Вычислите самостоятельно

loq 3 3=

loq 2 16=

loq 2 х=3

3 loq 3 18 =

loq 2 2=

loq 2 64=

loq 15 15=

loq 3 х=2

4 loq 4 12 =

loq 9 1=

Логарифмическая разминка «Немного истории».

Логари́фм — от греч. λόγος — «слово», «отношение» и ἀριθμός — «число», «показатель»

Поистине безграничны приложения показательной и логарифмической функций в самых различных областях науки и техники, а ведь придумывали логарифмы для облегчения вычислений. Уже прошло четыре столетия с того дня, как в 1614 году были опубликованы первые логарифмические таблицы, составленные Джоном Непером. Они помогли астрономам и инженерам, сокращая время на вычисления, и тем самым, как сказал знаменитый французский ученый Лаплас, «удлиняли жизнь вычислителям».

Логарифмическая разминка «Немного истории».

Параллельно с Непером над составлением

таблицы логарифмов работал другой

любитель математики — Йост Бюрги .

Он был швейцарским часовщиком и

мастером астрономических приборов.

Бюрги составил таблицы логарифмов

раньше, но только в 1620 году издал свою

книгу «Таблицы арифметической и

геометрической прогрессии с обстоятельным

наставлением, как пользоваться ими при

всякого рода вычислениях».

Логарифмическая разминка «Немного истории».

В 1623 г., т. е. всего через 9 лет после издания

первых таблиц, английским математиком Эдмундом

Гантером была изобретена первая логарифмическая

линейка, ставшая рабочим инструментом для многих

поколений вплоть до появления ЭВМ.

Логарифмическая спираль «Удивительное рядом »

Спираль – это плоская кривая линия, многократно обходящая одну из точек на плоскости, которая называется полюсом спирали.