Формулы правильных многоугольников – Правильный многоугольник. Формулы, признаки и свойства правильного многоугольника

Содержание

Подготовка школьников к ЕГЭ и ОГЭ в учебном центре «Резольвента» (Справочник по математике — Планиметрия

Фигуру называют выпуклой, если для любых двух точек этой фигуры соединяющий их отрезок полностью принадлежит фигуре.

Правильными многоугольниками называют выпуклые многоугольники, у которых все углы равны и все стороны равны.

Замечание 1. В любой правильный многоугольник можно вписать окружность.

Замечание 2. Около любого правильного многоугольника можно описать окружность.

Замечание 3. Центры вписанной в правильный многоугольник окружности и описанной около правильного многоугольника окружности совпадают. Эту точку называют центром правильного многоугольника.

Используемые обозначения

Число вершин правильного многоугольника	Сторона правильного многоугольника	Радиус вписанной окружности	Радиус описанной окружности	Периметр	Площадь
n	a	r	R	P	S

Число вершин правильного многоугольника	n
Сторона правильного многоугольника	a
Радиус вписанной окружности	r
Радиус описанной окружности	R
Периметр	P
Площадь	S

Формулы для стороны, периметра и площади правильного n – угольника

Формулы для периметра правильного n – угольника

Выражение периметра через сторону

P = an

Выражение периметра через радиус вписанной окружности

Выражение периметра через радиус описанной окружности

Формулы для площади правильного n – угольника

Выражение площади через сторону и радиус вписанной окружности

Выражение площади через сторону

Выражение площади через радиус вписанной окружности

Выражение площади через радиус описанной окружности

Формулы для стороны правильного n – угольника

Выражение стороны через радиус вписанной окружности

Выражение стороны через радиус описанной окружности

Формулы для стороны, периметра и площади правильного треугольника

Формулы для периметра правильного треугольника

Выражение периметра через сторону

P = 3a

Выражение периметра через радиус вписанной окружности

Выражение периметра через радиус описанной окружности

Формулы для площади правильного треугольника

Выражение площади через сторону

Посмотреть вывод формулы

Выражение площади через сторону и радиус вписанной окружности

Выражение площади через радиус вписанной окружности

Посмотреть вывод формулы

Выражение площади через радиус описанной окружности

Посмотреть вывод формулы

Формулы для стороны правильного треугольника

Выражение стороны через радиус вписанной окружности

Выражение стороны через радиус описанной окружности

Формулы для стороны, периметра и площади правильного шестиугольника

Формулы для периметра правильного шестиугольника

Выражение периметра через сторону

P = 6a

Выражение периметра через радиус вписанной окружности

Выражение периметра через радиус описанной окружности

P = 6R

Формулы для площади правильного шестиугольника

Выражение площади через сторон

Выражение площади через сторону и радиус вписанной окружности

S = 3ar

Выражение площади через радиус вписанной окружности

Выражение площади через радиус описанной окружности

Формулы для стороны правильного шестиугольника

Выражение стороны через радиус вписанной окружности

Выражение стороны через радиус описанной окружности

a = R

Формулы для стороны, периметра и площади квадрата

Формулы для периметра квадрата

Выражение периметра через сторону

P = 4a

Выражение периметра через радиус вписанной окружности

P = 8r

Выражение периметра через радиус описанной окружности

Формулы для площади квадрата

Выражение площади через сторону

S = a²

Выражение площади через радиус вписанной окружности

S = 4r²

Выражение площади через радиус описанной окружности

S = 2R²

Формулы для стороны квадрата

Выражение стороны через радиус вписанной окружности

a = 2r

Выражение стороны через радиус описанной окружности

На нашем сайте можно также ознакомиться с разработанными преподавателями учебного центра «Резольвента» учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.

Приглашаем школьников (можно вместе с родителями) на бесплатное тестирование по математике, позволяющее выяснить, какие разделы математики и навыки в решении задач являются для ученика «проблемными».

Запись по телефону (495) 509-28-10

Для школьников, желающих хорошо подготовиться и сдать ЕГЭ или ОГЭ по математике или русскому языку на высокий балл, учебный центр «Резольвента» проводит

У нас также для школьников организованы

МОСКВА, СВАО, Учебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

www.resolventa.ru

Формула суммы углов правильного многоугольника. Площадь правильного многоугольника формула. Формула радиуса правильного многоугольника.

Многоугольник — это плоская замкнутая фигура с множеством углов. Правильный многоугольник — это равноугольный и равносторонний многоугольник. Центр правильного многоугольника является общим центром его вписанных и описанных окружностей. Центральный угол правильного многоугольника — это угол, вершиной которого является центр многоугольника. $ N$ сторонний многоугольник будет иметь $n$ центральных углов. Сумма внешних углов многоугольника $360°$.

Сумма внутренних углов правильного многоугольника с n сторонами равна:

$(n — 2)180°$

Радиус описанной окружности равен:

$R = \frac{a}{{2\sin \frac{{{{180}^o}}}{n}}}$

$a-$сторона многоугольника

Вписанный радиус:

$r = \frac{a}{{2tg\frac{{{{180}^o}}}{n}}}$

$a-$сторона многоугольника

Площадь правильного многоугольника

$S = p \cdot r$

$S = {r^2} \cdot n \cdot tg\frac{{{{180}^o}}}{n}$

$S = \frac{1}{2}{R^2} \cdot n \cdot \sin \frac{{{{360}^o}}}{n}$

$S = \frac{{{a^2} \cdot n}}{{4tg\frac{{{{180}^o}}}{n}}}$

$a-$сторона многоугольника ,$n$- число сторон , $p$-полупериметр,

$r-$ радиус вписанной окружности , $R-$радиус описанной окружности

Для нахождения стороны в многоугольнике используют фрмулы:

$a = 2r \cdot tg\frac{{{{180}^o}}}{n}$

$a = 2R \cdot \sin \frac{{{{180}^o}}}{n}$

$a-$сторона многоугольника, $r-$ радиус вписанной окружности , $R-$радиус описанной окружности

Если задан радиус правильного многоугольника:

$S = \frac{R^2n}{2} sin (\frac{2π}{n})$

Периметр многоугольника:

$Р = an $

$n$- число углов, $a$-длина стороны

Сторона многоугольника:

$a =\frac{ 2rsinα }{ 2}$

Больше уроков и заданий по математике вместе с преподавателями нашей онлайн-школы «Альфа». Запишитесь на пробное занятие уже сейчас!

Запишитесь на бесплатное тестирование знаний!

myalfaschool.ru

Правильные многоугольники — урок. Геометрия, 9 класс.

Правильными называют многоугольники, у которых равны все стороны и все углы.

На рисунке видны некоторые правильные многоугольники: треугольник, четырёхугольник (квадрат), пятиугольник и шестиугольник.

Если в правильных выпуклых многоугольниках провести диагонали, то образуются правильные вогнутые многоугольники:

из диагоналей пятиугольника получается пентаграмма, из диагоналей шестиугольника — гексаграмма, а из диагоналей семиугольника — даже две разные гептаграммы.

Если провести все диагонали из одной вершины, любой $n$-угольник можно поделить на $n-2$ треугольника, таким образом сумма всех внутренних углов определяется по формуле 180°⋅n−2.

Так как все углы правильного $n$-угольника равны, то величина одного внутреннего угла равна 180°⋅n−2n.

Около любого правильного многоугольника можно описать и вписать в него окружность, при этом совпадают центры обеих окружностей, и эту точку называют центром многоугольника.

Вписанная окружность касается всех сторон, описанная окружность проходит через все вершины.

&angmsd;AOH=360°n;&angmsd;AOK=360°2n=180°n.

В треугольнике $AOK$ связаны сторона $a$ (половина стороны $AH$), радиус описанной окружности $OA = R$ и радиус вписанной окружности $OK = r$.

a2=R⋅sin180°n;a=2R⋅sin180°n;R=a2sin180°n;a2=r⋅tg180°n;a=2r⋅tg180°n;r=a2tg180°n;r=R⋅cos180°n;R=rcos180°n.

Так как $n$-угольник состоит из $n$ треугольников, равных $AOH$, то

Sn−уг.=n⋅SAOH=n⋅AH⋅r2=p⋅r2.

Для правильного треугольника и квадрата дополнительно в силе все формулы, которые были рассмотрены в курсе геометрии.

www.yaklass.ru

Правильный многоугольник | Треугольники

Определение

Выпуклый многоугольник называется правильным, если все его стороны равны и все углы равны.

Равносторонний треугольник и квадрат — примеры правильных многоугольников.

Угол, под которым сторона многоугольника видна из его центра, называется центральным углом многоугольника

Например,

— центральный угол правильного пятиугольника

Свойства правильных многоугольников

Любой правильный многоугольник является вписанным в окружность

Радиус R описанной около правильного n-угольника окружности равен

где a — сторона n-угольника.

Любой правильный многоугольник является описанным около окружности.

Радиус r вписанной в правильный n-угольник окружности равен

Сторону правильного n-угольника можно найти по формулам

Вписанная и описанная окружности правильного многоугольника имеют один и тот же центр — центр правильного многоугольника. Центр правильного многоугольника равноудалён от сторон многоугольника и равноудалён от вершин многоугольника.

Периметр правильного n-угольника равен

Для n-угольника

Правильные n-угольники подобны между собой. (В частном случае, если стороны n-угольников равны, n-угольники равны).

У правильных n-угольников отношения сторон, периметров, радиусов вписанных окружностей и радиусов описанных окружностей равны:
Площади правильных n-угольников относятся как квадраты их линейных размеров (например, как квадраты сторон):
Каждый внутренний угол правильного n-угольника равен
Каждый внешний угол правильного n-угольника равен
Каждый центральный угол правильного n-угольника равен

Правильные многоугольники

www.treugolniki.ru

Правильный многоугольник | Формулы и расчеты онлайн

Правильный многоугольник — это такой многоугольник у которого все стороны равны и углы равны.

Правильный многоугольник

Центр правильного многоугольника — на рисунке точка O равноудалена от вершин.

Светлые линии обозначающие высоты треугольников h называются — апофемами.

Отрезки OA, OB — радиусы правильного многоугольника.

Обозначения на рисунке для правильного многоугольника

n	число сторон и вершин правильного многоугольника,	шт
α	центральный угол правильного многоугольника,	радианы, °
β	половина внутреннего угла правильного многоугольника,	радианы, °
γ	внутренний угол правильного многоугольника,	радианы, °
a	сторона правильного многоугольника,	м
R	радиусы правильного многоугольника,	м
p	полупериметр правильного многоугольника,	м
L	периметр правильного многоугольника,	м
h	апофемы правильного многоугольника,	м

Основные формулы для правильного многоугольника

Периметр правильного многоугольника

\[ L = na \]

Полупериметр правильного многоугольника

\[ p = \frac{1}{2}na \]

Центральный угол правильного многоугольника в радианах

\[ α = \frac{2π}{n} \]

Центральный угол правильного многоугольника в градусах

\[ α = \frac{360°}{n} \]

Половина внутреннего угла правильного многоугольника в радианах

\[ β = \frac{π(n-2)}{2n} \]

Половина внутреннего угла правильного многоугольника в градусах

\[ β = \frac{180°(n-2)}{2n} \]

Внутренний угол правильного многоугольника в радианах

\[ γ = 2β = \frac{π(n-2)}{n} \]

Внутренний угол правильного многоугольника в градусах

\[ γ = \frac{180°(n-2)}{n} \]

Площадь правильного многоугольника

\[ S = ph = \frac{1}{2}nha \]

В помощь студенту

Правильный многоугольник	стр. 265

www.fxyz.ru

Правильные многоугольники

Понятие правильного многоугольника

Определение 1

Правильный многоугольник — выпуклый многоугольник, у которого все стороны и все углы равны между собой (Рис. 1).

Рисунок 1. Правильные многоугольники

Как мы знаем, сумма углов многоугольника находится по формуле$(n-2)\cdot {180}^0$

Значит, градусная мера одного угла правильного многоугольника равняется

Теорема об описанной около правильного многоугольника окружности

Теорема 1

Около любого правильного многоугольника можно описать единственную окружность.

Доказательство.

Существование. Пусть нам дан правильный многоугольник $A_1A_2A_3\dots A_n$. Пусть биссектрисы углов $A_1\ и\ A_2$ пересекаются в точке $O$. Соединим с этой точкой все остальные вершины правильного многоугольника (Рис. 2).

Рисунок 2. Описанная вокруг правильного многоугольника окружность

Так как углы $A_1\ и\ A_2$ равны и $A_1O\ и\ A_2O$ — биссектрисы, то угол $OA_1A_2$ равен углу $O{A_2A}_1$. Следовательно, треугольник $OA_1A_2$ равнобедренный, и, значит, $A_1O=A_2O$.

Так как $A_1A_2=A_2A_3$, $\angle O{A_2A}_1=\angle O{A_2A}_3$ и сторона $A_2O$ — общая, то треугольники $O{A_2A}_1$ и $O{A_2A}_3$ равны. Следовательно, $OA_2=OA_3$.

Аналогично доказывают другие равенства. В результате, будем иметь

То есть точка $O$ равноудалена от всех вершин многоугольника, а, значит, точка $O$ — центр описанной вокруг правильного многоугольника окружности.

Единственность. Рассмотрим три вершины многоугольника. Очевидно, что через них проходит только одна окружность, следовательно, вокруг правильного многоугольника можно описать только одну окружность.

Теорема доказана.

Теорема вписанной в правильный многоугольник окружности

Теорема 2

В любой правильный многоугольник можно вписать единственную окружность.

Доказательство.

Пусть нам дан правильный многоугольник $A_1A_2A_3\dots A_n$. Пусть точка $O$ — центр описанной вокруг данного многоугольника окружности (Рис. 3).

Рисунок 3. Вписанная в правильный многоугольник окружность

Так как $A_1A_2=A_2A_3$, $\angle O{A_2A}_1=\angle O{A_2A}_3$ и сторона $A_2O$ — общая, то треугольники $O{A_2A}_1$ и $O{A_2A}_3$ равны.

Аналогично доказывается равенство других треугольников. То есть, мы получим

Значит и высоты этих треугольников равны между собой

Тогда окружность с центром в точке $O$ и радиусом, равным ${OH}_1$ проходит через точки $H_1,\ H_2,\dots ,H_n$, то есть касается всех сторон данного многоугольника. Следовательно. Является вписанной для правильного многоугольника.

Единственность. Предположим противное. Пусть существует еще одна вписанная в этот многоугольник окружность. Обозначим её центр $O’$. Тогда $O’$ равноудалена от всех сторон многоугольника, а значит лежит в точке пересечения биссектрис его углов. Но тогда точка $O’$ совпадает с точкой $O$ и, следовательно, эти окружности также совпадают.

Теорема доказана.

Из этих двух теорем можно сформулировать следующие следствия:

Следствие 1: Вписанная в правильный многоугольник окружность касается его в серединах его сторон.

Следствие 2: Центр окружности, описанной около правильного многоугольника, совпадает с центром окружности, вписанной в этот же правильный многоугольник. Этот центр называется центром правильного многоугольника.

Формулы для правильного многоугольника

Дадим теперь несколько формул, относящихся к понятию правильного многоугольника (без их вывода).

Введем следующие обозначения. Пусть $S$ — площадь правильного многоугольника, $P$ — периметр правильного многоугольника, $a$ — сторона правильного многоугольника, $r$ — радиус вписанной в правильный многоугольник окружности, $R$ — радиус описанной около правильного многоугольника окружности. Тогда

Пример задачи на понятие правильного многоугольника

Пример 1

Чему равна сумма внешних углов правильного $n$-угольника. Если при каждой вершине взят только один внешний угол.

Решение.

Очевидно, что все внешние углы будут равны между собой и их количество равно $n$. Найдем один из них. Внешний угол $\beta $ многоугольника будет смежным с внутренним углом многоугольника. Используя формулу нахождения угла правильного $n$-угольника $\alpha =\frac{{180}^0(n-2)}{n}$, получим

\[\beta ={180}^0-\frac{{180}^0(n-2)}{n}={180}^0\left(1-\frac{n-2}{n}\right)=\frac{{360}^0}{n}\]

Значит, сумма всех внешних углов равна

\[\frac{{360}^0}{n}\cdot n={360}^0\]

Ответ: ${360}^0.$

spravochnick.ru

Правильные многоугольники и окружность описанная и

Правильные многоугольники и окружность. Здравствуйте, Дорогие друзья! Во многих задачах в курсе геометрии, в том числе и в составе ЕГЭ имеется много заданий связанных с понятием окружности вписанной в правильный многоугольник и описанной около него. Если конкретней, то в данном случае мы рассмотрим правильный треугольник, также квадрат и правильный шестиугольник. Именно с этими правильными многоугольниками связаны условия заданий на экзамене. Обычно в ходе решения таких задач возникает необходимость выразить:

1. Сторону правильного треугольника через радиус вписанной или описанной окружности.
2. Сторону квадрата через радиус вписанной окружности или описанной окружности.
3. Сторону правильного шестиугольника через радиус вписанной или описанной окружности.
4. Радиус вписанной в правильный многоугольник окружности через радиус описанной около него окружности и наоборот.

На сайте рассмотрены (и в будущем будут рассматриваться) задачи, в которых эти формулы используются. При решении подробно не описывается как они выводятся. Просто говорится, например, что сторона правильного треугольника соотносится с радиусом вписанной в него окружности как:

У многих возникают вопросы по этому поводу: Как? Почему? В этой статье мы выведем все указанные соотношения и в будущем при решении задач, если потребуется, просто буду давать ссылку на эту статью.

Что нужно всегда помнить и понимать?

Центр правильного многоугольника совпадает с центром вписанной о описанной около него окружности. Итак, приступим!

Правильный треугольник, вписанная и описанная окружность.

Пусть а – это его сторона, радиус описанной окружности равен R, а радиус вписанной окружности равен r.

Стороны правильного треугольника и вписанная в него окружность имеют общие точки (точки касания), эти точки делят стороны треугольника пополам. Радиус описанной окружности, проведённый к вершине треугольника является биссектрисой, то есть делит угол при этой вершине, равный 60 градусам, пополам. Рассмотрим прямоугольный треугольник (выделен жёлтым). По определению тангенса: Получаем, что: По определению косинуса: Получаем, что: Можем записать соотношение радиусов:

Квадрат, вписанная и описанная около него окружность.

Пусть а – это сторона квадрата, радиус описанной окружности равен R, а радиус вписанной окружности равен r.

Стороны квадрата и вписанная в него окружность имеют общие точки (точки касания), эти точки делят стороны квадрата пополам.

Радиус описанной окружности, проведённый к вершине квадрата является биссектрисой, то есть делит угол квадрата пополам.

Рассмотрим прямоугольный треугольник (выделен жёлтым). На основании вышеизложенного можно сделать вывод о том, что:

По определению косинуса: Получаем, что: *Можно было воспользоваться также теоремой Пифагора. Запишем соотношение радиусов:

Правильный шестиугольник. Вписанная и описанная окружность.

Стороны правильного шестиугольника и вписанная окружность имеют общие точки (точки касания), эти точки делят стороны данного шестиугольника пополам.

Радиус описанной окружности, проведённый к вершине шестиугольника является биссектрисой, то есть делит угол правильного шестиугольника равный 120 градусам пополам. Подробнее о правильном шестиугольнике и описанной около него окружности можете посмотреть информацию в этой статье.

Рассмотрим прямоугольный треугольник (выделен жёлтым). По определению тангенса: Получаем, что:

Тот факт, что сторона правильного шестиугольника равна радиусу описанной окружности известен практически всем школьникам изучившим соответствующий материал по планиметрии:

Если интересно посмотрите как это можно вывести. По определению косинуса в прямоугольном треугольнике: Получаем, что: Можем записать соотношение радиусов: Вот и всё.

Конечно же, учить и запоминать данные формулы не нужно. В ходе решения вы всегда сможете их также вывести используя свойства правильных многоугольников, определения тангенса и косинуса, теорему Пифагора.

Я решил изложить это в отдельной статье только для того, чтобы у вас не возникали вопросы при решении и изучении соответствующих заданий на блоге и вы всегда могли бы посмотреть откуда взялась формула. Везде, где потребуется данная информация я буду размещать ссылку на эту статью.

Получить материал статьи в формате PDF

Успеха Вам!

С уважением, Александр Крутицких.

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.

matematikalegko.ru