Аксиома параллельных прямых в геометрии

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Две прямые называются параллельными, если они не пересекаются. (рис. 1)

Обозначение:

Аксиома параллельных прямых

АКСИОМА Через любую точку плоскости, расположенную вне данной прямой, можно провести единственную прямую, параллельную данной (рис. 2).

Следствия из аксиомы параллельности

Следствие 1. Если прямая пересекает одну из параллельных прямых, то она пересекает и другую: (рис. 3)

Следствие 2. Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны: (рис. 4)

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

Задание	Доказать, что если две параллельные прямые пересечены третьей, то внутренние накрест лежащие углы равны.
Доказательство	Предположим противное, пусть . Тогда от луча можно отложить единственный . Углы и накрест лежащие и равные, тогда прямые и параллельные. Значит, через точку проходят две прямые, параллельные прямой . Получаем противоречие с аксиомой. Следовательно, . Что и требовалось доказать.

ПРИМЕР 2

Задание	Доказать, что если прямая перпендикулярна одной из параллельных прямых, то она перпендикулярна и второй.
Доказательство	Пусть прямые и параллельные, а прямая перпендикулярна прямой . Значит, прямая пересекает и прямую , т.е. – секущая по отношению к и . Тогда , так как они являются внутренними накрест лежащими. Следовательно, т.е. прямые и – перпендикулярны. Что и требовалось доказать.

Читайте также:

Аксиомы стереометрии

Аксиомы планиметрии

Аксиомы геометрии

Аксиомы

ru.solverbook.com

2. Свойства параллельных прямых. Аксиома параллельных прямых

Признаки, которые мы рассматривали в первой части теории, и свойства, которые будем рассматривать в этой части, доказываем разными способами.

 

Признак — это некоторый факт, благодаря которому мы устанавливаем справедливость интересующего нас суждения о некотором объекте.

Если при пересечении двух прямых третьей секущей накрест лежащие углы равны, то эти две прямые параллельны.

Свойство — если мы уверены в справедливости суждения, мы формулируем свойство объекта.

Если две прямые параллельны, то при пересечении их с третьей секущей накрест лежащие углы равны.

Аксиома, в свою очередь — такая истина, которую не надо доказывать. В каждой науке есть свои аксиомы, на справедливости которых строят все дальнейшие суждения и их доказательства.

Аксиома параллельных прямых.

В одной плоскости с заданной прямой через точку, не лежащую на этой прямой, можно провести только одну прямую, параллельную заданной прямой.

Иногда эту аксиому называют как одно из свойств параллельных прямых, но на справедливости этой аксиомы строятся многие доказательства в геометрии.

Другие свойства параллельных прямых.

1. Если одна из пары параллельных прямых параллельна третьей прямой, то и другая прямая параллельна третьей прямой.

2. Если некая прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и вторую параллельную прямую.

Эти свойства в отличие от аксиомы нужно доказать.

 

Докажем 1. Свойство.  

Даны две параллельные прямые \(a\) и \(b\). Верно ли, что если прямая \(c\) параллельна прямой \(a\), то она параллельна и прямой \(b\)?

 

Используем противоположное суждение.

 

Допустим, что возможна ситуация, когда прямая \(c\) параллельна одной из параллельных прямых — прямой \(a\) — пересекает другую прямую \(b\) в некоторой точке \(K\).

 

Получается противоречие с аксиомой параллельных прямых. Мы имеем ситуацию, когда через точку проходят две пересекающиеся прямые, которые параллельны одной и той же прямой \(a\). Такого не может быть, значит, прямые \(b\) и \(c\) пересекаться не могут.

Мы доказали, что верно: если одна из пары параллельных прямых параллельна третьей прямой, то и другая прямая параллельна третьей прямой.

Попробуй доказать самостоятельно 2. Свойство.

Если некая прямая \(c\) пересекает одну из двух параллельных прямых \(a\), то она пересекает и вторую параллельную прямую \(b\). 

 

Таким же методом от противоположного суждения попробуй представить, что возможна ситуация, когда прямая пересекает одну из параллельных прямых, но не пересекает другую.

 

 

Свойства углов, которые образуются при пересечении двух параллельных прямых с третьей секущей, мы уже назвали в первой части теории.

При пересечении двух параллельных прямых третьей секущей:

— накрест лежащие углы равны,

— соответственные углы равны,

— сумма односторонних углов равна \(180°\).

www.yaklass.ru

Аксиома параллельных прямых / Параллельные прямые / Справочник по геометрии 7-9 класс

1. Главная
2. Справочники
3. Справочник по геометрии 7-9 класс
4. Параллельные прямые
5. Аксиома параллельных прямых

Рассмотрим произвольную прямую и точку М, не лежащую на ней (Рис.1).

Докажем, что через точку М можно провести прямую, параллельную прямой . Для этого проведем через точку М две прямые: сначала прямую перпендикулярно к прямой , а затем прямую перпендикулярно к прямой (Рис.2). А из того, что две прямые и перпендикулярны к третьей прямой следует, что они параллельны ().

Возникает вопрос: можно ли через точку

М провести еще одну прямую, параллельную прямой ?

Если прямую «повернуть» на какой-то угол вокруг точки М, то она пересечет прямую (прямая ^‘ на рис.3).

То есть нам кажется, что через точку М нельзя провести прямую отличную от прямой , параллельную прямой . Утверждение о единственности прямой, проходящей через данную точку параллельно данной прямой, не может быть доказано на основе остальных аксиом Евклида, а само является аксиомой.

Аксиома параллельных прямых

Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.

Следствия из аксиомы параллельных прямых

10. Если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую.

Дано: , = М (Рис.4).

Доказать: .

Доказательство:

Если мы предположим, что прямая не пересекает прямую , то прямая будет параллельна прямой , а по условию через точку М проходит прямая параллельная прямой , значит получим, что через точку М будут проходить две прямые

и параллельные прямой (Рис.5).

Но это противоречит аксиоме параллельных прямых, значит, наше предположение неверно, и прямая пересекает прямую , т.е. . Что и требовалось доказать.

20. Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.

Дано: ,  (Рис.6).

Доказать: .

Доказательство:

Предположим, что прямые и не параллельны, т.е. пересекаются в некоторой точке М (Рис.7).

Тогда получим, что через точку М проходят

две прямые и параллельные прямой , т.к. по условию и  . Но это противоречит аксиоме параллельных прямых, следовательно, наше предположение неверно, значит, прямые и параллельны, т.е. . Что и требовалось доказать.

---

Следствие — утверждение, которое выводится непосредственно из аксиом или теорем.

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Советуем посмотреть:

Параллельные прямые

Признаки параллельности двух прямых

Практические способы построения параллельных прямых

Аксиомы геометрии

Теорема о накрест лежащих углах

Теорема о соответственных углах

Теорема об односторонних углах

Теорема об углах с соответственно параллельными сторонами

Теорема об углах с соответственно перпендикулярными сторонами

Параллельные прямые

Правило встречается в следующих упражнениях:

7 класс

Задание 197, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 198, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 200, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 14, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 16, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 277, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 281, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 283, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 19, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 567, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

---

© 2019 — budu5.com, Буду отличником!

budu5.com

Аксиома параллельных прямых

На предыдущих уроках мы рассмотрели ряд теорем, доказательства которых опираются на уже доказанные ранее теоремы. В таком случае возникает вопрос: А на чём основаны доказательства самых первых теорем? Ответ такой: Доказательства самых первых теорем основаны на аксиомах.

Определение:

Аксиома (в переводе с греческого «аксиос» означает ценный, достойный) — это утверждение, устанавливающее некоторое свойство и принимаемое без доказательства.

Аксиомы возникли из опыта, они являются наглядно очевидными и не вызывают сомнений.

Нам уже известны некоторые аксиомы. Например:

1. Через любые две точки проходит прямая и притом только одна.

2. На любом луче от его начала можно отложить отрезок, равный данному, и притом только один.

3. От любого луча в заданную сторону можно отложить угол, равный данному неразвёрнутому углу, и притом только один.

Аксиома:

Пусть дана прямая а и не лежащая на ней произвольная точка О. Докажем, что через точку О можно провести прямую, параллельную прямой а.

Проведём две прямые: сначала прямую c, перпендикулярно к прямой а, а затем прямую b, перпендикулярно к прямой c.

Получили, что прямые а и b перпендикулярны к прямой c, а значит, они параллельны.

А теперь возникает вопрос: можно ли провести ещё одну прямую через точку О, параллельную прямой а? Ответ на этот вопрос не является очевидным. Оказывается, что утверждение о единственности прямой, проходящей через данную точку и параллельной прямой, не может быть доказано на основании остальных аксиом и само является аксиомой.

Аксиома параллельных прямых:

Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.

Следствия из аксиомы:

1. Если прямая пересекает одну из параллельных прямых, то она пересекает и другую.

2. Если две прямые параллельны третьей, то они параллельны.

Пример.

Дан треугольник АВС. Сколько прямых, параллельных стороне АС можно провести через вершину В?

Так как по аксиоме параллельных прямых через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной:

То есть через точку В можно провести единственную прямую, параллельную стороне АС треугольника АВС.

Геометрия, которую вы изучаете в школе, называется «евклидовой геометрией», так как её основы заложил древнегреческий математик Евклид. Его подход к построению геометрии основан на том, что сначала формулируются аксиомы, а затем путём рассуждений доказываются другие утверждения.

В 18-м веке русский математик Николай Лобачевский создал другую геометрию. Лобачевский считал аксиому параллельности Евклида произвольным ограничением. С его точки зрения, это требование слишком жёсткое.

И он предположил, что через точку, не лежащую на данной прямой, проходит более чем одна прямая, параллельная данной. В результате получилась новая система определений и теорем. Эту геометрию назвали геометрией Лобачевского.

Как оказалось, геометрия Лобачевского точнее описывает геометрию Вселенной, чем геометрия Евклида. Результатами геометрии Лобачевского пользовался учёный Альберт Энштейн.

videouroki.net

Признаки параллельности двух прямых. Аксиома параллельных прямых. Геометрия, 7 класс: уроки, тесты, задания.

1.	Параллельные и пересекающиеся прямые Сложность: лёгкое	1
2.	Прямые на плоскости Сложность: лёгкое	1
3.	Вопросы по свойствам углов, образованных при пересечении двух параллельных прямых третьей прямой Сложность: лёгкое	1
4.	Параллельные прямые, соответственные углы Сложность: лёгкое	1
5.	Соответственные углы Сложность: среднее	3
6.	Накрест лежащие и односторонние углы Сложность: лёгкое	1
7.	Соответственные, накрест лежащие и односторонние углы Сложность: лёгкое	1
8.	Накрест лежащие углы, соответственные и вертикальные углы Сложность: лёгкое	1
9.	Углы, сумма которых равна 180 градусов Сложность: лёгкое	1
10.	Односторонние, накрест лежащие, соответственные, вертикальные углы Сложность: лёгкое	2
11.	Расчёты с использованием свойства параллельных прямых Сложность: сложное	4

www.yaklass.ru

Аксиома параллельных прямых — презентация, доклад, проект

Обратная связь

Если не удалось найти и скачать доклад-презентацию, Вы можете заказать её на нашем сайте. Мы постараемся найти нужный Вам материал и отправим по электронной почте. Не стесняйтесь обращаться к нам, если у вас возникли вопросы или пожелания:

Не стесняйтесь обращаться к нам, если у вас возникли вопросы или пожелания:

Email: [email protected]

Мы в социальных сетях

Социальные сети давно стали неотъемлемой частью нашей жизни. Мы узнаем из них новости, общаемся с друзьями, участвуем в интерактивных клубах по интересам

ВКонтакте >

Что такое Myslide.ru?

Myslide.ru — это сайт презентаций, докладов, проектов в формате PowerPoint. Мы помогаем учителям, школьникам, студентам, преподавателям хранить и обмениваться своими учебными материалами с другими пользователями.

---

Для правообладателей >

myslide.ru

«Аксиома параллельных прямых». 7-й класс

Разделы: Математика, Конкурс «Презентация к уроку»

---

Презентация к уроку

Загрузить презентацию (480 кБ)

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

---

Цели урока:

• дать представление о неизвестных учащимся аксиомах геометрии, повторить уже известные им аксиомы;
• ввести аксиому параллельных прямых;
• ввести понятие следствия из аксиом, теорем;
• показать как используются аксиома параллельных прямых и следствия из неё при решении задач;
• воспитание патриотизма, гордости за свою родину на примере великого русского математика Н.И.Лобачевского.

Оборудование: компьютер, проектор.

ХОД УРОКА

1. Проверка предыдущего домашнего задания

2. Повторение уже известных учащимся аксиом планиметрии

Учитель: В знаменитом сочинении Евклида «Начала» (III в. до н.э.) были систематизированы основные известные в то время  геометрические сведения. Главное же − в «Началах» был развит аксиоматический подход к построению геометрии, который состоит в том, что сначала формулируются основные положения, не требующие доказательства (аксиомы), а затем на их основе посредством рассуждений доказываются другие утверждения (теоремы). Некоторые из аксиом, предложенных Евклидом, и сейчас используются в курсах геометрии.
Само слово «аксиома» происходит от греческого «аксиос», что означает «ценный, достойный». Полный список аксиом планиметрии, принятых в нашем курсе геометрии, приведён в приложениях в конце учебника на страницах 344-348. Эти аксиомы вы рассмотрите дома самостоятельно.
Некоторые из этих аксиом мы уже рассматривали. Вспомните и сформулируйте эти аксиомы.

Учащиеся:

1) Имеются, по крайней мере, три точки, не лежащие на одной прямой.
2) Через любые две точки проходит прямая, и притом только одна.
3) Из трёх точек прямой одна и только одна лежит между двумя другими.
4) Каждая точка О прямой разделяет её на две части (два луча) так, что любые две точки одного и того же луча лежат по одну сторону от точки О, а любые две точки разных лучей лежат по разные стороны от точки О.
5) Каждая прямая а разделяет плоскость на две части (две полуплоскости) так, что любые две точки одной и той же полуплоскости лежат по одну сторону от прямой а, а любые две точки разных полуплоскостей лежат по разные стороны от прямой а.
6) Если при наложении совмещаются концы двух отрезков, то совмещаются и сами отрезки.
7) На любом луче от его начала можно отложить отрезок, равный данному, и притом только один.
8) От любого луча в заданную полуплоскость можно отложить угол, равный данному неразвёрнутому углу, и притом только один.

Учитель: Какие прямые называются параллельными на плоскости?

Учащиеся: Две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.

Учитель: Сформулируйте признаки параллельности прямых.

Учащиеся:

1) Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.
2) Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.
3) Если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна 180˚ то прямые параллельны.

3. Новая тема. Аксиома параллельных прямых

Учитель: Решим задачу: «Через точку М, не лежащую на прямой а, проведите прямую, параллельную прямой а».

Решение.

План решения задачи обсуждается всем классом. Один из учащихся записывает решение на доске (без записи в тетрадях). 

Учитель: Возникает вопрос: можно ли через точку М провести ещё одну прямую, параллельную прямой а?
Этот вопрос имеет большую историю. В «Началах» Евклида содержится пятый постулат: «И если прямая, падающая на две прямые, образуют внутренние и по одну сторону углы, меньше двух прямых, то продолженные эти прямые неограниченно встретятся с той стороны, где углы меньше двух прямых». Прокл в V в.н.э. переформулировал постулат Евклида проще и понятнее: «Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной». Это и есть аксиома параллельных прямых. Отсюда видно, что рассмотренная выше задача имеет единственное решение.
Многие математики предпринимали попытки доказать пятый постулат, так как его формулировка слишком напоминала теорему. Все эти попытки каждый раз оказывались  неудачными. И лишь в XIX в. было окончательно выяснено, что пятый постулат Евклида нельзя доказать, он сам является аксиомой.
Огромную роль в решении этого вопроса сыграл великий русский математик Николай Иванович Лобачевский (1792-1856).

4. Смотрим презентацию о Н.И.Лобачевском

5. Закрепление изученного. Решение задач

№ 196

Дан ∆АВС. Сколько прямых, параллельных стороне АВ, можно провести через вершину С?

Решение.

Согласно аксиоме параллельных прямых, можно провести единственную прямую.

№ 197

Через точку, не лежащую на прямой р, проведены четыре прямые. Сколько из этих прямых пересекают прямую р? Рассмотрите все возможные случаи.

Решение.

    3 прямые                                                                      4 прямые

Ответ: 3 или 4 прямые.

Следствия из аксиомы параллельных прямых.

Утверждения, которые выводятся непосредственно из аксиом или теорем, называются следствиями. Рассмотрим следствия из аксиомы параллельных прямых.

Следствие 1˚. Если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую.

Следствие 2˚. Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны. (Предлагается доказать учащимся самостоятельно).

Чертёж тот же.

Дано: а || b, с || b
Доказать: а || с
Доказательство (метод «от противного»):

Пусть прямые а и с не параллельны. Тогда они пересекаются в некоторой точке М. Через точку М проходят две различные прямые (а и с), параллельные прямой b. Это противоречит аксиоме параллельных. Значит наше предположение не верно. А верно то, что а || с. Ч.т.д.
Второе следствие из аксиомы параллельных прямых является по сути дела ещё одним признаком параллельности прямых на плоскости.

Решение задач: №№  217 (устно), 218 (устно), 198, 200, 213.

№ 217 (устно)

Прямые а и b параллельны прямой с. Докажите, что любая прямая, пересекающая прямую а, пересекает также и прямую b.

Решение.

Если а || b и b || с, то а || с (следствие 2˚).
Если произвольная прямая d ∩ а, то d ∩ b (следствие 1˚).

№ 218 (устно)

Прямые а и b пересекаются. Можно ли провести такую прямую, которая пересекает прямую а и параллельна прямой b? Ответ обоснуйте.

Решение.

Возьмём на прямой а точку А b. Через точку А можно провести единственную прямую, параллельную прямой b (аксиома параллельных). Построенная прямая будет пересекать прямую а, так как имеет с ней общую точку А.

№ 198

Прямые а и bперпендикулярны к прямой р, прямая с пересекает прямую а. Пересекает ли прямая с прямую b?

Дано: ар, bр, с ∩ а
Найти: пересекает ли с прямую b?
Решение: если ар и bр, то а || b (теорема).
Если с ∩ а и а || b, то с ∩ b (следствие 1˚).
Ответ: с ∩ b.

№ 200

На рисунке учебника АD || р и PQ || BC. Докажите, что прямая р пересекает прямые АВ, АЕ, АС, ВС, РQ.

№ 213

На рисунке учебника СЕ = ED, ВЕ = EF и КЕ = AD. Докажите, что КЕ || ВС.

6. Подведение итогов

1) В чём заключается главная заслуга Евклида?
2) Что называется аксиомой?
3) Какие аксиомы мы знаем?
4) Кто из русских учёных построил стройную теорию неевклидовой геометрии?
5) Что называется следствием в математическом смысле слова?
6) Какие следствия мы сегодня узнали?

7. Задание на дом:

§2, п.27, 28, приложение об аксиомах геометрии стр. 344-348, вопросы 7-11 стр. 68,  №199, 214.
№199: Прямая р параллельна стороне АВ треугольника АВС. Докажите, что прямые ВС и АС пересекают прямую р.
№214: Прямая, проходящая через середину биссектрисы AD треугольника АВС и перпендикулярная к AD, пересекает сторону АС в точке М. Докажите, что MD¦AB.

Литература:

1. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Позняк Э.Г., Юдина И.И. Геометрия, 7-9: Учебник для общеобразовательных учреждений. − М.: Просвещение, 2003.
2. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Глазков Ю.А., Некрасов В.Б., Юдина И.И. Изучение геометрии в 7, 8, 9 классах: Методические рекомендации к учебнику. Книга для учителя. − М.: Просвещение, 2003.
3. Дорофеева А.В. Страницы истории на уроках математики: Книга для учителя. − М.: Просвещение, 2007.
4. Википедия.

2.04.2013

xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai