Системы счисления для чего нужны: Основы систем счисления / Хабр
СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ | Наука и жизнь
В повседневной жизни мы, как правило, пользуемся десятичной системой счисления. Но это лишь одна из многих систем, которая получила свое распространение, вероятно, по той причине, что у человека на руках 10 пальцев. Однако эта система не всегда удобна. Так, в вычислительной технике применяется двоичная система счисления.
Системой счисления называют совокупность приемов и правил наименования и обозначения чисел, с помощью которых можно установить взаимно однозначное соответствие между любым числом и его представлением в виде совокупности конечного числа символов.
В разные исторические периоды развития человечества для подсчетов и вычислений использовались те или иные системы счисления. Например, довольно широко была распространена двенадцатеричная система. Многие предметы (ножи, вилки, тарелки, носовые платки и т. д.) и сейчас считают дюжинами. Число месяцев в году двенадцать. Двенадцатеричная система счисления сохранилась в английской системе мер (например, 1 фут = 12 дюймам) и в денежной системе (1 шиллинг = 12 пенсам).
В древнем Вавилоне существовала весьма сложная шестидесятеричная система. Она, как и двенадцатеричная система, в какой-то степени сохранилась и до наших дней (например, в системе измерения времени: 1 час = 60 минутам, 1 минута = 60 секундам, аналогично в системе измерения углов: 1 градус = 60 минутам, 1 минута = 60 секундам).
У некоторых африканских племен была распространена пятеричная система счисления, у ацтеков и народов майя, населявших в течение многих столетий обширные области американского континента, — двадцатеричная система. У некоторых племен Австралии и Полинезии встречалась двоичная система.
Десятичная система возникла в Индии. Впоследствии ее стали называть арабской потому, что она была перенесена в Европу арабами. Цифры, которыми мы теперь пользуемся, — арабские.
В разное время существовали и другие записи цифр, в настоящее время почти забытые. Однако до сих пор мы иногда встречаемся с записью чисел с помощью букв латинского алфавита, например на циферблатах часов, в книгах для обозначения глав или частей, на деловых бумагах для обозначения месяцев и т.
В вычислительной технике применяется двоичная система счисления. Основанием этой системы является число 2. Это означает, что для представления любого числа используются только две цифры, 0 и 1. Целесообраз ность применения двоичной системы в цифровой электронике объясняется тем, что базовый элемент любой электронной схемы имеет два состояния, которым можно приписать значения 0 и 1.
Рассмотрим для примера двоичное число 110010. Единицы и нули в двоичном числе называют разрядами (битами), а положение каждого бита определяет величину показателя степени основания 2, причем старший значащий разряд находится в числе слева, как и в десятичной системе, а младший — справа. Таким образом двоичное число 110010 в десятичной системе равно 1
Число в двоичной системе счисления записывается в виде остатков от деления, начиная с последнего частного, справа налево.Системы счисления | Hexlet Guides
В этом гайде разберемся, что такое системы счисления, для чего программисты используют непривычные способы для записи чисел и как их понимать.
- Что такое системы счисления
- От десятичных чисел к двоичным
- Зачем нужна двоичная система
- Как переводить двоичные числа в десятичные
- Как переводить десятичные числа в двоичные
- Шестнадцатеричная система счисления
- Восьмеричная система счисления
- Конвертация чисел в программах
- Сервисы для перевода из системы в систему
- Заключение
Что такое системы счисления
С давних пор людям нужно было записывать числа. В торговле числа нужны, чтобы знать, сколько товаров есть на складе и сколько денег принесла сделка. Записи о положении небесных тел помогли шумерам составить первый календарь, а календарь, в свою очередь, пригодился, чтобы заранее готовиться к посевным и сбору урожая.
Строительные сметы, переписи населения, распределение наследства — числа оказались очень востребованными даже в самых древних государствах.
Так что люди научились записывать числа в незапамятные времена. Небольшие числа легко записывались зарубками или насечками, но если в числе несколько знаков, требуется иная система записи. Эту проблему в разных странах решали по-разному.
Сейчас разные способы записи чисел называются системами счисления.
Систем счисления было придумано довольно много, и даже в наши дни мы используем две системы, возникшие в далёкой древности. Из Древнего Рима к нам пришла римская система счисления, где цифры обозначаются буквами латинского алфавита. За основу римляне взяли количество пальцев на одной руке — 5, и на двух руках — 10. Числа 1, 5 и 10 в римской системе обозначаются буквами I, V и X, и с помощью них можно записать любое число от 1 до 49. Например, VII это 7, а XIX — 19.
От Древних Шумеров мы научились делить дроби на шестьдесят частей.
Именно из-за них в нашем часе 60 минут, а в минуте 60 секунд. Шумерская система счисления так и называется — шестидесятеричная. Но, конечно, наиболее привычной выглядит численная запись в системе, которую придумали в Древней Индии. Сейчас ее называют арабской или десятичной системой счисления.
От десятичных чисел к двоичным
Разберемся, как устроена десятичная система, на примере произвольного большого числа.
Это четырехзначное число, потому что оно состоит из четырёх цифр. И, поскольку речь идёт о десятичной системе, мы можем использовать десять различных цифр.
Величина, которая скрывается за каждой цифрой, зависит от её позиции, поэтому такую систему счисления называют также и позиционной. Справа мы записываем самые младшие значения — единицы, слева от них десятки, затем сотни, и так далее. Запись 1702 означает буквально следующее.
Цифры, записанные в соседних позициях, различаются в десять раз — это и есть десятичная система.
Однако, как мы говорили ранее, привычная нам десятичная система — далеко не единственная. Однако, опираясь на неё, нам будет проще понять принципы работы других систем счисления. Например, для записи того же самого числа 1702 в двоичной системе надо придерживаться тех же правил, но вместо десяти цифр нам потребуется всего две — 0 и 1.
Цифры, записанные в соседних позициях, будут различаться не в десять раз, а в два. То есть там, где в десятичной системе мы видим 1, 10, 100, 1 000, 10 000, в двоичной будут числа 1, 2, 4, 8, 16 и так далее.
Это очень большое двоичное число. Давайте запишем его в привычной форме:
Это число могло бы быть очень большим десятичным числом, потому что состоит из тех же цифр. Чтобы отличать двоичные числа от десятичных, в качестве индекса у них указывают основание системы счисления, то есть 2.
Это особенно важно, когда в тексте одновременно встречаются десятичные и двоичные числа.
Зачем нужна двоичная система
Двоичная система выглядит очень непривычно и числа, записанные в ней, получаются огромными.
Зачем она вообще нужна? Разве компьютеры не могут работать с привычной нам десятичной системой?
Оказывается, когда-то они именно так и работали. Самый первый компьютер ENIAC, разработанный в 1945 году, хранил числа в десятичной системе счисления. Для хранения одной цифры применялась схема, которая называется кольцевым регистром, она состояла из десяти радиоламп.
Чтобы записать все числа до миллиона — от 0 до 999 999 — надо шесть цифр, значит, для хранения таких чисел нужно целых 60 ламп.
Инженеры заметили, что если бы они кодировали числа в двоичной системе, то для хранения таких же больших чисел им бы потребовалось всего двадцать радиоламп — в три раза меньше!
Первое преимущество двоичных чисел — простота схем. Второе, и не менее важное — быстродействие. Сложение чисел, хранящихся в кольцевом регистре, требует до десяти тактов процессора на каждую операцию. Сложение двоичных чисел можно выполнить за один такт — то есть в десять раз быстрее.
Группа инженеров, создавших первый компьютер, в 1946 году опубликовала статью, где обосновала преимущество двоичной системы для представления чисел в компьютерах.
Первой среди авторов была указана фамилия американского математика Джона фон Неймана. Поэтому сейчас принципы проектирования компьютеров называются архитектурой фон Неймана, хотя это не совсем справедливо по отношению к другим изобретателям компьютера.
При разработке программы с двоичной записью столкнуться довольно сложно: компьютер в подавляющем большинстве случаев сам переводит двоичные числа в десятичные и обратно. Можно долго писать код, даже не подозревая, что внутри компьютера данные хранятся каким-то особым образом.
Зачем изучать двоичную систему, если компьютер делает всю работу за нас? Иногда программистам приходится писать программы, которые работают напрямую с оборудованием. Например, разработчики игр должны знать, как работают видеокарты, чтобы сделать компьютерную графику быстрее. А разработчики операционных систем понимают, как устроены диски, чтобы надежно хранить данные.
Программы, которые работают с железом напрямую, называются системными или низкоуровневыми.
Для их создания разработчик должен понимать, как устроен компьютер. Поэтому изучение систем счисления позволяет программисту расширить свой профессиональный диапазон и стать специалистом широкого профиля.
Поэтому для того, чтобы писать сложные системные программы, нужно понимать, как устроена двоичная система счисления.
Как переводить двоичные числа в десятичные
Разберемся, как быстро переводить двоичные числа в десятичные. Для примера потребуется достаточно большое двоичное число, чтобы мы не могли вычислить его на пальцах.
Запишем его в математической записи, помня, что вместо основания 10, мы используем основание 2.
Из этого примера видно, что у всех слагаемых только два множителя — 0 и 1. Слагаемые с множителем 0 равны нулю, поэтому их можно отбросить, оставив только слагаемые с множителем 1.
У слагаемых с множителем 1 этот множитель можно не записывать.
Теперь нетрудно посчитать сумму.
Вывод: число 11010 в двоичной записи — то же самое, что 26 в десятичной.
Ещё раз повторим, как перевести двоичное число в десятичное.
- Записать число в математическом виде
- Отбросить слагаемые с множителем 0
- Сложить результат
Программисты иногда запоминают некоторые степени числа два, чтобы уметь оценивать порядок двоичных чисел. Вы можете подглядывать в эту таблицу:
| Двоичное число | Степень 2 | Десятичное число |
|---|---|---|
| 12 | 20 | 1 |
| 102 | 21 | 2 |
| 1002 | 22 | 4 |
| 10002 | 23 | 8 |
| 1 00002 | 24 | 16 |
| 10 00002 | 25 | 32 |
| 100 00002 | 26 | 64 |
| 1000 00002 | 27 | 128 |
| 1 0000 00002 | 28 | 256 |
| 10 0000 00002 | 29 | 512 |
| 100 0000 00002 | 210 | 1 024 |
| 1 0000 0000 0000 00002 | 216 | 65 536 |
| 1 0000 0000 0000 0000 0000 00002 | 224 | 16 777 216 |
| 1 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 | 232 | 4 294 967 296 |
С помощью этой таблицы можно переводить числа из двоичной системы в десятичную практически «в уме».
Как переводить десятичные числа в двоичные
Эта задача похожа на математическую загадку, и её можно встретить на олимпиаде для школьников.
Чтобы научиться её решать, давайте ещё раз посмотрим на первые натуральные числа в двоичной и десятичной записи.
| Десятичное число | Двоичное число |
|---|---|
| 1 | 12 |
| 2 | 102 |
| 3 | 112 |
| 4 | 1002 |
| 5 | 1012 |
| 6 | 1102 |
| 7 | 1112 |
| 8 | 10002 |
| 9 | 10012 |
Обратим внимание на следующую закономерность: все чётные числа — 2, 4, 6 и 8 — в двоичной записи заканчиваются на 0.
Все нечётные числа 1, 3, 5, 7 и 9 — на 1. Этому есть простое объяснение — в двоичной записи число 2 это как 10 в десятичной. Если двоичное число делится на два, оно круглое. Математики говорят, что чётные числа делятся на 2 без остатка (или с остатком 0), а нечётные — с остатком 1:
- при делении 4 на 2 остаток 0;
- при делении 5 на 2 остаток 1;
- при делении 6 на 2 остаток 0;
- при делении 9 на 2 остаток 1.
Попробуем перевести десятичное число 26 в двоичную систему. Для этого используем деление уголком на 2.
Если 26 разделить на 2, то в результате получится 13, остаток от деления 0. Продолжаем дальше:
- 13 разделить на 2, в результате получится 6, остаток от деления 1;
- 6 разделить на 2, в результате получится 3, остаток от деления 0;
- 3 разделить на 2, в результате получится 1, остаток от деления 1;
- 1 разделить на 2, в результате получится 0, остаток от деления 1;
Из остатков 1, 1, 0, 1 и 0 складывается нужная нам двоичная запись.
Шестнадцатеричная система счисления
Мы знаем, что компьютер использует числа для представления любой информации. Например, цвета хранятся в виде трёх чисел — яркости красной, зелёной и синей компонентов цвета. На каждый компонент отводится восемь двоичных позиций, поэтому максимальная яркость компонента равна 11111111₂ или 255. Цвет целиком описывается большим 24-х разрядным двоичным числом, например, 11111010 10000000 01110010. Это цвет Salmon из таблицы цветов HTML, он же лососевый цвет.
Старшие восемь позиций отводятся для хранения красного компонента, средние восемь — зелёного, и младшие восемь — синего. Мы видим, что такая запись очень громоздка и неудобна.
Кажется, что цвет удобнее записать как десятичное число 16416882. Хотя оно занимает меньше места, по нему трудно понять, какова яркость каждого компонента.
Чтобы записывать большие двоичные числа, программисты придумали использовать шестнадцатеричную систему счисления:
- В десятичной системе десять цифр, а в шестнадцатеричной — шестнадцать
- В десятичной системе соседние позиции отличаются в десять раз, а в шестнадцатеричной — в шестнадцать раз
Как и в случае с двоичной системой, цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9 заимствуются из десятичной системы.
| Основание 16 | Основание 10 | Основание 2 |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 |
| 2 | 2 | 10 |
| 3 | 3 | 11 |
| 4 | 4 | 100 |
| 5 | 5 | 101 |
| 6 | 6 | 110 |
| 7 | 7 | 111 |
| 8 | 8 | 1000 |
| 9 | 9 | 1001 |
| A | 10 | 1010 |
| B | 11 | 1011 |
| C | 12 | 1100 |
| D | 13 | 1101 |
| E | 14 | 1110 |
| F | 15 | 1111 |
Шестнадцатеричная система счисления хороша тем, что группа из четырёх двоичных цифр кодируется одной шестнадцатеричной цифрой.
Таким образом, лососевый цвет выглядит как:
В шестнадцатеричной системе счисления он записывается так:
Вначале трудно понять, каков порядок у шестнадцатеричного числа FA. Как и в случае с двоичными числами, программисты обычно помнят порядки круглых шестнадцатеричных чисел. Но можно не запоминать, а подглядывать в эту таблицу:
| Шестнадцатеричное число | Десятичное число |
|---|---|
| 1016 | 16 |
| 2016 | 32 |
| 3016 | 48 |
| 4016 | 64 |
| 5016 | 80 |
| 6016 | 96 |
| 7016 | 112 |
| 8016 | 128 |
| 9016 | 144 |
| A016 | 160 |
| B016 | 176 |
| C016 | 192 |
| D016 | 208 |
| E016 | 224 |
| F016 | 240 |
| 10016 | 256 |
| 100016 | 4 096 |
| 1 000016 | 65 536 |
| 10 000016 | 1 048 576 |
| 100 000016 | 16 777 216 |
| 1000 000016 | 268 435 456 |
| 1 0000 000016 | 4 294 967 296 |
Чтобы переводить числа из десятичной системы в шестнадцатеричную и обратно, двоичное представление можно использовать как промежуточное.
Часто это самый простой способ: двоичное и шестнадцатеричное представления без труда переводятся друг в друга.
Восьмеричная система счисления
Восьмеричная система когда-то использовалась наравне с шестнадцатеричной. Из названия понятно, что она использует всего восемь цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 и 7. Восьмеричная система подходит для представления шести-, девяти- и двенадцатиразрядных двоичных чисел.
Такие числа встречаются нечасто. Один из самых известных примеров использования восьмеричных чисел — права доступа в операционной системе UNIX. Они записываются девятизначным двоичным числом, например 110100100 или 111101100. Запоминать и передавать такие числа неудобно, поэтому программисты предпочитают восьмеричную систему счисления, и записывают права доступа в виде 644 или 754.
Популярные операционные системы Linux и MacOS берут своё начало в UNIX, поэтому там права доступа также задаются восьмеричным числом.
Пользователи UNIX используют команду stat, чтобы узнать права доступа, и команду chmod, чтобы изменить их.
На рисунке вы видите, что команды stat и chmod используют восьмеричные числа. Подробный рассказ об этих командах выходит за рамки нашей статьи. Узнаете больше о правах доступа, и о том, что означают эти числа, можно изучив командную строку Linux.
Подводя итог, можно сказать, что восьмеричные числа сейчас используются редко. В подавляющем большинстве случаев программисты используют шестнадцатеричную запись.
Конвертация чисел в программах
Языки программирования умеют работать с числами, записанными в разных системах счисления, и переводить их из одной системы в другую. Для примера рассмотрим работу с разными системами счисления на Python и JavaScript.
Python
Чтобы записать в Python двоичное число, добавьте перед ним префикс 0b. Десятичное число 26 можно записать в виде 0b11010. У шестнадцатеричных чисел префикс 0x, а у восьмеричных — 0o.
print(0b11010) # => 26 print(0x1a) # => 26 print(0o32) # => 26
Во всех случаях, чтобы записать число, мы пишем сначала цифру ноль «0», а затем букву, которая определяет систему счисления.
Буква «b» — первая в слове binary (двоичный), а буква «o» — в слове octal (восьмеричный). Буква «x» выбивается из общего правила — это третья буква в слове hexadecimal (шестнадцатеричный).
Функции bin(), hex() и oct() преобразуют число в двоичную, шестнадцатеричную и восьмеричную системы.
print(bin(26)) # => '0b11010' print(hex(26)) # => '0x1a' print(oct(26)) # => '0o32'
Благодаря префиксной записи и функциям bin(), hex() и oct(), мы можем преобразовывать числа из любой системы в любую.
print(hex(0o32)) // >= '0x1a'
JavaScript
В JavaScript для представления чисел используются те же самые префиксы, что и в Python. 0b11010, 0x1a и 0o32 — записи числа 26 в двоичной, шестнадцатеричной и восьмеричной системах счисления.
console.log(0b11010) // => 26 console.log(0x1a) // => 26 console.log(0o32) // => 26
Для преобразования чисел в другую систему счисления нужно вызывать метод toString(), передав в качестве параметра основание системы.
Обычно в JavaScript мы можем вызвать метод у объекта с помощью точки. Например, если мы сохранили число в переменной i, мы можем узнать его шестнадцатеричное представление, вызвав метод i.toString(16). Но мы не можем вызывать метод у числа 2 — 2.toString(16) — потому что в JavaScript точка в записи чисел разделяет целую и дробную части. Если дробная часть равна нулю, её можно не записывать, поэтому «2.» означает то же самое, что и «2.0».
В примере вы видите три корректных способа обойти эту проблему, и вызвать метод toString() у числа 26.
console.log((26).toString(2)) // => '11010' console.log(26..toString(16)) // => '1a' console.log(26 .toString(8)) // => '32'
Сервисы для перевода из системы в систему
Существует множество сервисов для перевода чисел из системы в систему. Это умеет даже Google.
Чтобы перевести двоичное число, например, 11010 в десятичную систему, надо ввести запрос 0b11010 decimal.
Чтобы перевести десятичное число, например, 26 в двоичную систему, надо ввести запрос 26 binary.
Обратите внимание, что Google использует префикс 0b, чтобы отличать двоичные числа от десятичных.
Чтобы перевести десятичное число 137 в шестнадцатеричную систему, введите запрос 137 hex.
Чтобы перевести шестнадцатеричное число 2BAD в десятичную систему, введите запрос 0x2BAD decimal.
Google использует префикс 0x для того, чтобы отличать шестнадцатеричные числа от всех прочих. Чтобы перевести число 121 в восьмеричную систему, введите запрос 121 octal.
Чтобы перевести число обратно, введите в строке поиска запрос 0o171 decimal.
Мы видим, что Google для представления чисел в двоичной, шестнадцатеричной и восьмеричной системах счисления использует такие же префиксы, которые мы видели в примерах на Python и JavaScript.
Заключение
Люди изобрели разные способы записывать числа.
Мы называем их системами счисления. Привычный для нас способ записи называется десятичной системой счисления.
Компьютеры, которые работали в десятичной системе, оказались сложными и медленными. Хранение чисел в двоичной системе позволило упростить схемы и ускорить работу компьютеров.
Обычно нам не нужно знать, как именно компьютер хранит числа, потому что он умеет переводить их в привычную нам форму. Но если мы хотим разрабатывать программы, которые работают с оборудованием напрямую — системные утилиты или компьютерные игры, — нужно разобраться, как устроены двоичная и шестнадцатеричная системы.
Существует ряд алгоритмов, которые помогают перевести число из одной системы в другую, но они достаточно запутанные. Проще использовать Google.
Двоичная запись чисел очень громоздкая, поэтому программисты предпочитают записывать числа в шестнадцатеричной системе счисления. Восьмеричная запись чисел сейчас используется очень редко.
Вы можете конвертировать числа из системы в систему на своём любимом языке программирования.
Десятичная система счисления — определение, преобразование, примеры, часто задаваемые вопросы
Десятичная система счисления — это система счисления, которую мы используем ежедневно на основе 10 цифр. В математике системой счисления считается запись чисел с использованием цифр или символов. Система счисления состоит из четырех основных типов, а именно двоичной системы счисления, десятичной системы счисления, восьмеричной системы счисления и шестнадцатеричной системы счисления. Десятичная система счисления также известна как индийско-арабская или арабская система счисления, поскольку в древних цивилизациях было трудно умножать и делить большие числа руками. Познакомимся с десятичной системой счисления.
| 1. | Определение десятичной системы счисления |
| 2. | Преобразование из других в десятичную систему счисления |
| 3. | Преобразование из десятичной системы счисления в другие |
4. | Часто задаваемые вопросы о десятичной системе счисления |
Определение десятичной системы счисления
Десятичная система счисления — это система счисления, которую мы используем каждый день и в которой используются цифры от 0 до 9, т. е. 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9. Основное число десятичной системы счисления равно 10, так как общее число, доступное в этой системе счисления, равно 10. Если какое-либо число представлено без основания, это означает, что его основание равно 10. Например: \(73_{10}, 132_{10}, 5267_{10} \) являются некоторыми примерами чисел в десятичной системе счисления.
Правила десятичной системы счисления
При записи десятичной системы счисления мы всегда выражаем ее в системе счисления с основанием 10, где каждое значение обозначается 0 или первыми девятью положительными целыми числами. Каждое значение имеет разрядное значение степени 10, что означает, что цифра в разряде десятков в 10 раз больше, чем цифра в разряде единиц.
Вот несколько моментов или правил, которые следует помнить при записи в десятичной системе счисления.
- В десятичной системе счисления числа от 0 до 9.
- Когда число 9 будет достигнуто, мы сделаем самое правое число равным 0 и добавим 1 слева, что станет 10.
- Как и когда мы достигаем цифры с 9, мы всегда добавляем 1 так, чтобы это число увеличивалось до следующего.
Каждое число в десятичной системе счисления имеет разрядное значение степени 10. Давайте рассмотрим пример для лучшего понимания, \((134)_{10}\) = 1 × 10 2 + 3 × 10 1 + 4 × 10 0 , \((78)_{10}\) = 7 × 10 1 + 8 × 10 0 . Число с запятой в десятичной системе счисления выражается в убывающей степени числа 10 после запятой. Например, \((24,5)_{10}\) = 2 × 10 1 + 4 × 10 0 + 5 × 10 -1 .
Преобразование из других в десятичную систему счисления
Система счисления состоит из четырех типов, а именно: двоичная система счисления, восьмеричная система счисления, десятичная система счисления и шестнадцатеричная система счисления.
Каждая из них имеет свои собственные базовые числа, которые помогают преобразовать одну систему счисления в другую. Давайте посмотрим, как преобразовать двоичное число в десятичное, восьмеричное в десятичное и шестнадцатеричное в десятичное.
Преобразование двоичного числа в десятичное
Двоичное число можно преобразовать в десятичное число, представив каждую цифру как произведение заданного числа 1 или 0 в соответствующей степени 2. Базовое число двоичной системы счисления равно 2 и выше. преобразование, базовое число становится 10. Если двоичное число состоит из n цифр, B = \(a_{n-1}…a_{3}a_{2}a_{1}a_{0}\), десятичное число для него задается как D = (\((a)_{0}\) × 2 0 ) + (\((a)_{1}\) × 2 1 ) + (\( (а)_{2}\) × 2 2 ) + …
Например: Преобразование двоичного числа \((10111)_{2}\) в его десятичную форму.
Задано двоичное число как \((10111)_{2}\).
Нам нужно умножить каждую двоичную цифру на убывающую степень 2 и сложить произведения.
= (1 × 2 4 ) + (0 × 2 3 ) + (1 × 2 2 ) + (1 × 2 1 ) + (1 × 2 0 )
3 1 × 16 + 0 × 8 + 1 × 4 + 1 × 2 + 1 × 1
= 16 + 0 + 4 + 2 + 1
= 23
Следовательно, \((10111)_{2}\) = \((23)_{10}\).
Преобразование восьмеричного числа в десятичное
Преобразование восьмеричного числа в десятичное выполняется с использованием восьмеричной основы, равной 8. Число расширяется по основанию 8, где каждое число умножается в убывающей степени 8 и далее добавляется чтобы получить десятичное число. Десятичная система счисления имеет основание 10 после преобразования.
Например: Преобразование восьмеричного числа \((278)_{8}\) в его десятичную форму.
\((278)_{8}\) = 2 x 8 2 + 7 x 8 1 + 8 x 8 0
= 2 x 64 + 7 x 8 + 8 x 1
= 128 + 15 + 8
= 151
Следовательно, \((278)_{8}\) = \((151)_{10}\).
Преобразование шестнадцатеричной системы счисления в десятичную
Базовое число шестнадцатеричной системы счисления равно 16, а для преобразования шестнадцатеричной системы счисления в десятичную используется число 16. Число расширяется по основанию 16, где каждое число умножается на 16 в убывающей степени, а затем добавляется чтобы получить десятичное число. Десятичная система счисления имеет основание 10 после преобразования.
Например: преобразовать шестнадцатеричное число \((14)_{16}\) в его десятичную форму.
\((14)_{16}\) = 1 × 16 1 + 4 × 16 0
= 1 × 16 + 4 × 1
= 16 + 4
90 090 = 0 3 2 0 0 0 2 0 , \((14)_{16}\) = \((20)_{10}\).Преобразование из десятичной системы счисления в другие
Преобразование десятичного числа в другую систему счисления аналогично преобразованию любой системы счисления в десятичную систему счисления. Каждое из базовых чисел требуется для конвертации.
Давайте посмотрим на конверсии.
Преобразование десятичного числа в двоичное
Чтобы преобразовать десятичное число в двоичное, нам нужно разделить данное число на 2 до тех пор, пока частное не станет равным 0. В процессе деления мы оставляем остатки в стороне. Как только частное равно нулю, мы записываем остаток вместе с последними числами, начиная снизу вверх, чтобы получить двоичное число.
Например: преобразовать десятичное число \((128)_{10}\) в двоичное.
| Дивиденд | Остаток |
|---|---|
| 128/2 = 64 | 0 |
| 64/2 = 32 | 0 |
| 32/2 = 16 | 0 |
| 16/2 = 8 | 0 |
| 8/2 = 4 | 0 |
| 4/2 = 2 | 0 |
| 2/2 = 1 | 0 |
| 1/2 = 0 | 1 |
Остаток записывайте снизу вверх, т.е.
в обратном хронологическом порядке. Это даст двоичный эквивалент 128. Следовательно, двоичный эквивалент десятичного числа \((20)_{10}\) равен \((10000000)_{2}\).
Преобразование десятичного числа в восьмеричное
Чтобы преобразовать десятичное число в восьмеричное, десятичное число делится на 8 до напоминания, полученного из предыдущей цифры. Первый остаток — это младшая значащая цифра (LSD), а последний остаток — это старшая значащая цифра (MSD). Когда частное меньше 8, мы получаем восьмеричное число, записывая остаток в обратном порядке. Давайте разберемся с конверсией на примере.
Например: преобразовать десятичное число \((45)_{10}\) в восьмеричное число.
Делите 45 на 8, пока остаток не станет меньше 8.
| Деление на 8 | Частное | Остаток |
| 45/8 | 5 | 5 |
| 5/8 | 0 | 5 |
Запись восьмеричного числа снизу вверх.
\((45)_{10}\) = \((55)_{8}\).
Преобразование десятичного числа в шестнадцатеричное
Преобразование десятичного числа в шестнадцатеричное выполняется аналогично двум другим системам счисления. Базовое число шестнадцатеричной системы счисления равно 16, поэтому число нужно делить на 16, пока частное не станет равным нулю. В шестнадцатеричной системе счисления используются цифры только от 0 до 9, а от 10 до 15 используются такие алфавиты, как A, B, C, D, E, F соответственно. Давайте посмотрим на пример.
Преобразование шестнадцатеричного числа \((120)_{10}\) в десятичное.
Делите 120 на 16, пока частное не станет равным нулю.
| Деление на 16 | Частное | Остаток |
| 120/16 | 7 | 8 |
| 7/16 | 0 | 7 |
Чтобы получить шестнадцатеричное число, мы записываем числа снизу вверх. Следовательно, \((120)_{10}\) = \((78)_{16}\).
Связанные темы
Вот несколько тем, связанных с десятичной системой счисления, взгляните.
- От десятичной до восьмеричной
- Восьмеричный в десятичный
- Шестнадцатеричный код в двоичный
Часто задаваемые вопросы о десятичной системе счисления
Что такое десятичная система счисления?
Десятичная система счисления, также известная как индийско-арабская система счисления, используется ежедневно. В десятичной системе счисления используются числа от 0 до 9. Как только число достигает 9, мы добавляем число, чтобы сделать его двузначным. Базовое число десятичной системы счисления равно 10, и оно помогает преобразовать число из одной системы счисления в другую.
Где используется десятичная система счисления?
Десятичная система счисления играет важную роль в развитии науки и техники, поскольку основанием числа является 10. Другие системы счисления, такие как двоичная, восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления, также используются в программировании микропроцессоров.
Какие существуют четыре типа системы счисления?
В математике существует четыре типа систем счисления, а именно:
- Двоичная система счисления — Основание числа 2
- Восьмеричная система счисления — Базовое число 8
- Десятичная система счисления — Основание числа 10
- Шестнадцатеричная система счисления — Базовое число 16
Что такое восьмеричный эквивалент десятичного числа 100?
Разделите число 100 на 8, пока частное не станет равным нулю.
100/8 = 12, остаток 4
12/8 = 1, остаток 4
1/8 = 0, остаток 1
Пишите числа снизу вверх. Следовательно, \((100)_{10}\ = \((144)_{8}\.
Что такое десятичная система счисления в компьютерах?
Десятичная система счисления использовала базовое число как 10 с использованием цифр от 0 до 9. Числовое количество может быть представлено с использованием этих 10 цифр десятичной системы счисления. Этот тип системы счисления также известен как позиционная система значений, поскольку значение цифр зависит от их положения.
Как еще называется десятичная система счисления?
Десятичная система счисления также известна как позиционная система счисления с основанием 10, так как этот тип системы счисления имеет основание 10 и использует цифры от 0 до 9.. Десятичная система счисления – это стандартная система для обозначения целых и нецелых чисел.
Двоичная система счисления – Схема, преобразование и операции
Двоичная система счисления используется для определения числа в двоичной системе. Двоичная система используется для представления числа только двумя числами, 0 и 1. Двоичная система счисления обычно используется компьютерными языками, такими как Java, C++. Поскольку компьютер понимает только двоичный язык, равный 0 или 1, все входные данные, поступающие на компьютер, декодируются им в серии нулей или единиц для дальнейшей обработки. В этом уроке мы узнаем, как преобразовать десятичное число в его двоичное число и преобразовать двоичное число в десятичное число.
1. | Что такое двоичная система счисления? |
| 2. | Таблица двоичной системы счисления |
| 3. | Преобразование двоичного кода в десятичный |
| 4. | Преобразование десятичного числа в двоичное |
| 5. | Операции с двоичными числами |
| 6. | Часто задаваемые вопросы о двоичной системе счисления |
Что такое двоичная система счисления?
«Би» в двоичном формате означает «два». Следовательно, это возвращает линию к представлению числа только с точки зрения 0 и 1. Можно легко выразить десятичные числа в терминах двоичной системы счисления. Десятичные числа и двоичные числа имеют разные обозначения. Десятичное число представлено с основанием 10, а двоичное число представлено с основанием 2. Например, 2 в десятичной записи представлено как \((2)_{10}\). Двоичное число для 2 представлено как \((10)_{2}\).
Следовательно, 10 — это двоичное представление числа 2.
Таблица двоичной системы счисления
Числа от 1 до 10 могут быть выражены в двоичной системе счисления следующим образом:
Преобразование двоичного кода в десятичный
Двоичное число можно преобразовать в десятичное число, представив каждую цифру как произведение заданного числа 1 или 0 в соответствующей степени двойки. Если двоичное число состоит из n цифр, B = \(a_{n-1 }…a_{3}a_{2}a_{1}a_{0}\), десятичное число для него задается как, D = (a 0 × 2 0 ) + (а 1 × 2 1 ) + (а 2 × 2 2 ) + …
Давайте разберемся в этом на примере.
Мы можем преобразовать 10101 в десятичную форму следующим образом:
Двоичное число 10101 выражается как \((10101)_{2}\) = (1 × 2 4 ) + (0 × 2 3 ) + (1 × 2 2 ) + (0 × 2 1 ) + (1 × 2 0 ) = \((21)_{10}\).
Таким образом, двоичное число 10101 выражается как \((21)_{10}\).
Преобразование десятичного числа в двоичное
Десятичное число можно преобразовать в двоичное путем деления данного числа на 2, пока мы не получим частное, равное 1. Числа записываются снизу вверх.
Давайте разберемся в этом на примере.
Мы можем преобразовать 30 в двоичную форму следующим образом:
Десятичное число 30 выражается как \((30)_{10}\) = \((11110)_{2}\).
Операции с двоичными числами
Двоичное сложение
Складываем двоичные числа поразрядно и получаем ответ на сложение. При сложении двух двоичных чисел важно помнить приведенную ниже таблицу.
Двоичное вычитание
Двоичные числа вычитаются цифра за цифрой и получается ответ. Приведенная ниже таблица учитывается при вычитании двух двоичных чисел.
Двоичное умножение
Правила умножения любых двух двоичных чисел задаются следующим образом:
Дополнение до 1 и 2 двоичного числа
- Дополнение до 1 двоичного числа получается путем инвертирования цифр двоичного числа.
Например, дополнением \((101)_{2}\) до 1 является \((010)_{2}\). - Дополнение до двойки двоичного числа получается путем инвертирования цифр двоичного числа и добавления 1 к младшему значащему биту. Например, дополнение 2 к \((111)_{2}\) равно \((001)_{2}\), которое получается путем взятия дополнения 1 к \((111)_{2}\) и добавления 1 до младшего значащего бита.
Например, дополнением \((101)_{2}\) до 1 является \((010)_{2}\).Советы, которые следует помнить
Вот несколько важных моментов, которые следует помнить о двоичной системе счисления:
- Двоичное число состоит из двух чисел 0 и 1.
- Двоичные числа представлены цифрой 2 в основании. Например, \((101)_{2}\).
- Каждая цифра в двоичном числе называется битом. Например, \((111)_{2}\) — трехбитная двоичная система.
- Двоичное сложение также называется операцией «И».
- Двоичное умножение также называется операцией «ИЛИ».
- Двоичное вычитание можно выполнить, взяв 1 и 2 в дополнении к двоичному числу.
- Старшая цифра в двоичном числе представляет знак двоичного числа, который используется для выполнения двоичных операций со знаком. 1 представляет отрицательный знак, а 0 представляет положительный знак.
Темы, относящиеся к двоичной системе счисления
- 32 в двоичной системе счисления
- 128 в двоичном формате
- 255 в двоичном формате
- Двоично-десятичный калькулятор
- Двоичный калькулятор
- Двоично-десятичная формула
Примеры двоичной системы счисления
Пример 1: Преобразование десятичного числа \((162)_{10}\) в двоичное.
Решение: Чтобы получить двоичное число для 162, мы можем непрерывно делить его на 2.
Частное Остаток 81 0 40 1 20 0 10 0 5 0 2 1 1 0 0 1
\(\следовательно\) Двоичное число для \((162)_{10}\) равно \((10100010)_{2}\).Пример 2: Преобразование двоичного числа \((100101)_{2}\) в десятичное число.
Решение: Двоичное число \((100101)_{2}\) = (1 × 2 0 ) + (0 × 2 1 ) + (1 × 2 2 ) + (0 × 2 3 ) + (0 × 2 4 ) + (1 × 2 5 ) = \((37)_{10}\)
\(\следовательно\) Двоичное число \((100101)_{2}\) равно \((37)_{10}\).Пример 3: Докажите, что двоичное число \((1000100)_{2}\) можно преобразовать в десятичное число \((68)_{10}\).
Решение: Двоичное число \((1000100)_{2}\) = (0 × 2 0 ) + (0 × 2 1 ) + (1 × 2 2 ) + (0 × 2 3 ) + (0 × 2 4 ) + (0 × 2 5 ) + (1 × 2 6 ) = 64 + 4 = \((68)_{10}\)
\(\следовательно\) Двоичное число \((1000100)_{2}\) можно преобразовать в двоичное число \((68)_{10}\).
перейти к слайдуперейти к слайдуперейти к слайду
Есть вопросы по основным математическим понятиям?
Станьте чемпионом по решению проблем, используя логику, а не правила.
Узнайте, что стоит за математикой, с нашими сертифицированными экспертами
Записаться на бесплатный пробный урок
Практические вопросы по двоичной системе счисления
перейти к слайдуперейти к слайдуперейти к слайду
Часто задаваемые вопросы о двоичной системе счисления
Что такое двоичная система счисления?
Система представления, в которой число может быть выражено только двумя цифрами (0 и 1) с основанием 2, называется двоичной системой счисления.
Почему в компьютерах используется двоичная система счисления?
Компьютерные системы всегда обрабатывают заданные инструкции, используя 0 или 1, так как они существуют либо во включенном, либо в выключенном состоянии. Это позволяет им быстрее обрабатывать информацию.
Что означает 10101 в двоичной системе счисления?
10101 означает 21 в двоичной системе счисления.
Как преобразовать десятичное число в двоичную систему счисления?
Десятичное число можно преобразовать в двоичную систему счисления, разделив данное число на 2, пока мы не получим частное как 1.