6 . Рефлексия.

— Что заинтересовало вас сегодня на уроке более всего?

— Как вы усвоили пройденный материал?

— Какие были трудности? Удалось ли их преодолеть?

— Помог ли сегодняшний урок лучше разобраться в вопросах темы?

— Пригодятся ли вам знания, полученные сегодня на уроке?

7. Итоги урока. Оценки за урок.

8. Домашнее задание: §37, №174, 176. № 178 по желанию (Слайд 11).

Физик видит то, что видят все: предметы и явления. Он, так же как все восхищается красотой и величием мира, но за этой, всем доступной красотой, ему открывается еще одна: красота закономерностей в бесконечном разнообразии вещей и событий. Физику доступна редкая радость – понимать Природу и даже беседовать с ней. Вспомним Ф.И.Тютчева.

Не то, что мните вы, природа:
Не слепок, не бездушный лик.
В ней есть душа, в ней есть свобода,
В ней есть любовь, в ней есть язык…

Язык Природы – это язык предметов и явлений, и “беседовать” с Природой можно только на этом языке.

Математический и пружинный маятники | LAMPA

Итак: ω=gl\omega = \sqrt{\frac{g}{l}}ω=lg​​.

Строго эту формулу можно вывести только в ВУЗе, зная о том, что такое дифференциальные уравнения, и умея их решать.

Обратите внимание, что в случае математического маятника совсем не важна масса шарика. Только длина нити.

Из формулы ω=2πT\omega = \frac{2 \pi}{T}ω=T2π​ можно получить:

ω=2πT⇒ω⋅T=2π⇒T=2πω⇒\omega = \frac{2 \pi}{T} \,\Rightarrow\, \omega \cdot T = 2 \pi \,\Rightarrow\, T = \frac{2 \pi}{\omega}\,\Rightarrowω=T2π​⇒ω⋅T=2π⇒T=ω2π​⇒

⇒T=2πgl⇒T=2πlg\Rightarrow\, T = \frac{2 \pi}{\sqrt{\frac{g}{l}}} \,\Rightarrow T = 2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}}⇒T=lg​​2π​⇒T=2πgl​​.

Заметим, что в формулах T=2πlgT = 2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}}T=2πgl​​ и ω=gl\omega = \sqrt{\frac{g}{l}}ω=lg​​ величины lll и ggg «меняются» местами. Бывает трудно запомнить, какая из величин lll и ggg наверху дроби, а какая внизу. Для того чтобы справиться с этой сложностью, можно вспомнить, что происходит с колебаниями маятника, если увеличивать или уменьшать длину нити.

Если вспомнить ещё одну формулу ν=1T\nu = \frac{1}{T}ν=T1​, то можно получить следующее:

ν=12πlg⇒ν=12πgl\nu = \frac{1}{2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}}} \Rightarrow \nu = \frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{g}{l}}ν=2πgl​​1​⇒ν=2π1​lg​​.

Эти формулы надо просто запомнить:

ω=gl\omega = \sqrt{\frac{g}{l}}ω=lg​​

T=2πlgT = 2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}}T=2πgl​​

ν=12πgl\nu = \frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{g}{l}}ν=2π1​lg​​

Можно обратить внимание ещё на одну особенность: в формулах периода, частоты и циклической частоты никак не участвует амплитуда колебаний. Таким образом, получается, что маятники, «раскачанные» до разных амплитуд, будут совершать полное колебание за одно и то же время, за один и тот же период. При небольшой оговорке – колебания должны быть малыми. Лишь тогда они будут гармоническими.

2. Превращения энергии при колебаниях математического маятника

Измерение ускорения свободного падения на различных высотах при помощи математического маятника

• Участник: Мингалеев Артур Эдуардович
• Руководитель: Баскова Мария Аркадьевна

1. Введение

Первым человеком, изучавшим природу падения тел, был греческий ученый Аристотель. Затем Галилео Галилей обобщил и не проанализировал опыт и эксперименты нескольких поколений исследователей. Он предположил, что в среде, свободной от воздуха, все тела будут падать с одинаковой скоростью. Также Галилей предположил, что во время падения скорость тел постоянно увеличивается. Экспериментировать со свободным падением тел продолжил Исаак Ньютон. В его выводах прослеживается мысль, что на Луне и на других планетах сила тяжести, воздействующая на одно и то же тело, будет неодинакова, зависит она напрямую от массы космического тела. Например, ускорение g на Луне в несколько раз меньше, чем на Земле. Таким образом, зная массу планеты, можно вычислить ускорение свободного падения тела на этой планете.

Цель настоящего исследования состояла в получении значения ускорения свободного падения при помощи математического маятника в условиях разного уровня высоты на уровнем моря. Для достижения поставленной цели были сформулированы следующие задачи исследования:

1. Ознакомиться с историей открытия свободного падения тел;
2. Изучить методы измерения ускорения свободного падения на поверхности Земли;
3. Провести самостоятельные измерения ускорения свободного падения при помощи математического маятника;
4. Провести измерения на различных высотах.

Гипотеза исследования: логично предположить, что ускорение свободного падения, полученные в разных экспериментах, должны быть близки к значению 9,8 м/с² и отличаться на сотые или тысячные доли на глубине станции метро Кремлевская (–34 м) и на высоте небоскреба «Лазурные небеса» (+120 м). Также результаты измерений и вычислений могут отличаться погрешностью измерений.

Методы изучения: самостоятельная, индивидуальная работа в сочетании с теоретическими исследовательскими, проектными формами работы.

Читая много различной в том числе и технической литературы, я узнал о практическом применении различия ускорения свободного падения в разных точках на поверхности Земли. Я измерял g различными способами, рассчитывал погрешности измерений, опираясь на общепринятое значение g, учился грамотно проводить эксперимент. Выяснил, что свободное падение – движение равноускоренное. Ускорение свободного падения не зависит от массы тела. Гипотезу о том, что значения ускорения свободного падения должны быть близки к значению 9,8 м/с² и отличаться только погрешностью измерений удалось подтвердить разными экспериментами. Наиболее точный результат ускорения свободного падения у меня получился с помощью математического маятника. Поэтому для исследования изменения значения ускорения свободного падения с высотой я выбрал именно этот способ измерения. Погрешность составила не более 10%.

В дальнейшем я хотел бы самостоятельно исследовать зависимость значения ускорения свободного падения от географического положения.

2. Основная часть

2.1. Исторические сведения об открытии свободного падения и методах его измерения

Еще тысячелетия назад люди замечали, что большая часть предметов падает все быстрее и быстрее, а некоторые падают равномерно. Но как именно падают эти предметы – этот вопрос первобытных людей не занимал. Тем не менее нашлись люди, которые по мере возможностей начали исследовать это явление. Сначала они проделывали опыты с двумя предметами. Например, брали два камня, и давали возможность им свободно падать, выпустив их из рук одновременно. Затем снова бросали два камня, но уже в стороны по горизонтали. Потом бросали один камень в сторону, и в тот же момент выпускали из рук второй, но так, чтобы он просто падал по вертикали. Люди извлекли из таких опытов много сведений о природе. Из опытов с падающими телами люди установили, что маленький и большой камни, выпущенные из рук одновременно, падают с одинаковой скоростью. То же самое можно сказать о кусках свинца, золота, железа, стекла, и т.д. самых разных размеров. Из подобных опытов выводиться простое общее правило: свободное падение всех тел происходит одинаково независимо от размера и материала, из которого тела сделаны. Между наблюдением за причинной связью явлений и тщательно выполненными экспериментами, вероятно, долго существовал разрыв. Две тысячи лет назад некоторые древние ученые, по-видимому, проводили вполне разумные опыты с падающими телами. Великий греческий философ и ученый Аристотель, по-видимому придерживался распространенного представления о том, что тяжелые тела падают быстрее, чем легкие. Аристотель и его последователи стремились объяснить, почему происходят те или иные явления, но не всегда заботились о том, чтобы пронаблюдать, что происходит и как происходит. Он говорил, что тела стремятся найти свое естественное место на поверхности Земли. В XIV столетии группа философов из Парижа восстала против теории Аристотеля и предложила значительно более разумную схему, которая передавалась из поколения в поколение и распространилась до Италии, оказав двумя столетиями позднее влияние на Галилея. Парижские философы говорили об ускоренном движении и даже о постоянном ускорении, объясняя эти понятия архаичным языком. Великий итальянский ученый Галилео Галилей обобщил имеющиеся сведения и представления и критически их проанализировал, а затем описал и начал распространять то, что считал верным. Галилей понимал, что последователей Аристотеля сбивало с толку сопротивление воздуха. Он указал, что плотные предметы, для которых сопротивление воздуха несущественно, падают почти с одинаковой скоростью.

Предположив, что произошло бы в случае свободного падения тел в вакууме, Галилей вывел следующие законы падения тел для идеального случая: все тела при падении движутся одинаково; начав падать одновременно, они движутся с одинаковой скоростью; движение происходит с «постоянным ускорением»; темп увеличения скорости тела не меняется, т.е. за каждую последующую секунду скорость тела возрастает на одну и ту же величину. Существует легенда, будто Галилей проделал большой демонстрационный опыт, бросая легкие и тяжелые предметы с вершины Пизанской падающей башни (одни говорят, что он бросал стальные и деревянные шары, а другие утверждают, будто это были железные шары весом 0,5 и 50 кг). Описаний такого публичного опыта нет, и Галилей, несомненно, не стал таким способом демонстрировать свое правило. Галилей знал, что деревянный шар намного отстал бы при падении от железного, но считал, что для демонстрации различной скорости падения двух неодинаковых железных шаров потребовалась бы более высокая башня. Итак, мелкие камни слегка отстают в падении от крупных, и разница становится тем более заметной, чем большее расстояние пролетают камни. И дело тут не просто в размере тел: деревянный и стальной шары одинакового размера падают не строго одинаково. Галилей знал, что простому описанию падения тел мешает сопротивление воздуха. Но он мог лишь уменьшить его и не мог устранить его полностью. Поэтому ему пришлось вести доказательство, переходя от реальных наблюдений к постоянно уменьшающимся сопротивлением воздуха к идеальному случаю, когда сопротивление воздуха отсутствует. Позже, оглядываясь назад, он смог объяснить различия в реальных экспериментах, приписав их сопротивлению воздуха.

Вскоре после Галилея были созданы воздушные насосы, которые позволили произвести эксперименты со свободным падением в вакууме. С этой целью Ньютон выкачал воздух из длинной стеклянной трубки и бросил сверху одновременно птичье перо и золотую монету. Даже столь сильно различающиеся по своей плотности тела падали с одинаковой скоростью. Именно этот опыт дал решающую проверку предположения Галилея. Опыты и рассуждения Галилея привели к простому правилу, точно справедливому в случае свободного падения тел в вакууме. Это правило в случае свободного падения тел в воздухе выполняется с ограниченной точностью. Поэтому верить в него, как в идеальный случай нельзя. Для полного изучения свободного падения тел необходимо знать, какие при падении происходят изменения температуры, давления, и др., то есть исследовать и другие стороны этого явления. Так Галилей установил признак равноускоренного движения:

S₁ : S₂ : S₃ : … = 1 : 2 : 3 : … (при V₀ = 0)

Таким образом, можно предположить, что свободное падение есть равноускоренное движение. Так как для равноускоренного движения перемещение рассчитывается по формуле, то если взять три некоторые точки 1,2,3 через которые проходит тело при падении и записать: (ускорение при свободном падении для всех тел одинаково), получится, что отношение перемещений при равноускоренном движении равно:

S₁ : S₂ : S₃ = t₁² : t₂² : t₃² (2)

Остается еще добавить небольшой комментарий относительно экспериментов со свободным падением тел Исаака Ньютона. В его выводах прослеживается мысль, что на Луне и на других планетах сила тяжести, воздействующая на одно и то же тело, будет неодинакова, зависит она напрямую от массы космического тела. Например, ускорение g на Луне в несколько раз меньше, чем на Земле. Таким образом, зная массу планеты, можно вычислить ускорение свободного падения тела на этой планете.

2.2. Практическая значимость нахождения значения ускорения свободного падения

Я много читаю и, как следствие склонен фантазировать. Для меня практическая значимость исследования заключается в возможности прогнозирования форм жизни на небесных телах, с которыми человечество столкнется при неизбежном освоении космоса. Ведь от значения g на другой планете зависит не только сила тяжести. Люди заранее смогут узнать, какие существа встретят их на той или иной планете, какими физическими характеристиками они будут обладать.

2.3. Методы измерения ускорения свободного падения

На самом деле методов по измерению ускорения свободного падения достаточно много. Приведу только те, которые сам испробовал.

1) Измерение ускорения свободного падения с помощью наклонной плоскости

Понадобится следующее оборудование:деревянный брусок, трибометр, штатив с муфтой и лапкой, электронный секундомер, динамометр, измерительная лента, линейка. Рассматривая движение бруска вниз по наклонной плоскости, можно записать второй закон Ньютона в векторном виде:

Записывая второй закон Ньютона в проекциях на оси координат:

О_х: – F_тр+ mgsinα = ma

O_y: N – mgcosα = 0

и учитывая, что N = mgcosα; F_тр = μN; можно решить данную систему уравнений и получить ускорение свободного падения:

При этом ускорение a можно вычислить из формулы

так как начальная скорость бруска при скольжении по наклонной плоскости равна 0:

Видим, что для этого нужно измерить длину наклонной плоскости и время скольжения по ней бруска.

Для вычисления sinα и cosα нужно знать длину S и высоту h наклонной плоскости:

Для определения коэффициента трения скольжения положим трибометр на горизонтальную поверхность и с помощью динамометра равномерно протащим по нему брусок. В этом случае на брусок будут действовать 4 силы: сила тяжести, сила упругости пружины динамометра, сила трения, сила реакции опоры.

При равномерном движении бруска эти силы будут попарно равны: F_тр = F_упр, F_тяж = N, т. е. F_упр = μF_тяж, тогда коэффициент трения равен

Для меня в этом методе оказалось слишком много математических действий, с которыми в курсе математики я еще не знаком. Поэтому даже не буду приводить результаты проделанных измерений и вычислений.

2) Определение

Как известно давление столба жидкости обусловлено следующими факторами: плотность жидкости, непосредственно высота столба жидкости и само значение ускорения свободного падения на данной планете.

Если преобразовать формулу P = ρgh, получится формула нахождения g. Эта формула выглядит так g = P / ρh, где Р – давление в жидкости на глубине h, которое можно узнать с помощью манометра, ρ – плотность воды равное 1000 кг/м³.

При подобных измерениях нужно учитывать погрешность измерительного прибора, манометра. Достаточно точного мне найти не удалось, поэтому для своих исследований я выбрал другой метод.

3) Измерение ускорения свободного падения с помощью математического маятника

Необходимое оборудование: секундомер, штатив с муфтой и лапкой, шарик на нерастяжимой нити, измерительная лента. При малых размерах шарика по сравнению с длиной нити и небольших отклонениях (до 10°) от положения равновесия период колебаний равен периоду колебаний математического маятника

С другой стороны период колебаний маятника можно расчитать из определения, ведь период – это время одного полного колебания. Тогда период

и ускорения свободного падения может быть вычислено по формуле

Подготовка к проведению работы

В работе используется простейший маятник – шарик на нити. При малых размерах по сравнению с длиной нити и небольших отклонениях от положения равновесия период колебаний равен периоду колебаний математического маятника

Тогда период

и ускорения свободного падения может быть вычислено по формуле

Результаты измерений и вычислений представлены в разделе 2.5

2.4. Теоретические расчеты по определению ускорения свободного падения различных высотах

Теоретически значение ускорения свободного падения на поверхности планеты Земля можно приблизительно подсчитать, представив планету точечной массой M, и вычислив гравитационное ускорение на расстоянии её радиуса R:

где G — гравитационная постоянная (G = 6,6743 · 10^–11 (H ·м²)/кг²).

При вычислениях я применял такие значения:

R = 6370 · 10³ м – радиус Земли на широте Казани;

M = 5,9722 · 10²⁴ кг – масса Земли.

Таким образом теоретическое значение g_т = 9,823386 м/с².

Согласно формуле

естественно предположить, что ускорение свободного падения на разных высотах будет немного отличаться: на глубине будет больше, а на высоте меньше вычисленного выше.

Возможно эту небольшую разницу можно объяснить погрешностью измерений. Проверим.

Результаты вычислений значения ускорения свободного падения на различных высотах представлены в таблице:

2.5. Экспериментальное определение ускорения свободного падения с помощью математического маятника

Как уже говорилось ранее, оборудование для проведения измерений требовалось весьма не замысловатое: секундомер, штатив с муфтой, шарик на нерастяжимой нити, измерительная лента. При малых размерах шарика по сравнению с длиной нити и небольших отклонениях (до 10°) от положения равновесия период колебаний равен периоду колебаний математического маятника

С другой стороны период колебаний маятника можно расчитать из определения, ведь период – это время одного полного колебания. Тогда период

и ускорения свободного падения может быть вычислено по формуле

Ход работы

Для начала я проделал все необходимые измерения в классе, в кабинете физики Лицея № 110. Кабинет находится на втором этаже. Учитывая высоту потолков (около 3 м), логично предположить, что вычисленные значения g должны быть близки к gт.

1. Я установил на краю стола штатив. У его верхнего конца укрепил с помощью муфты кольцо и подвесил к нему шарик на нити. Шарик должен висеть и свободно совершать колебания.
2. Нить я взял метровой длины для удобства вычислений.
3. Отклонив шарик на небольшое расстояние (5-8 см), я возбудил колебания маятника.
4. Измерил в пяти экспериментах время t 20 колебаний маятника и вычислил t_ср:

5. Затем вычислил среднюю абсолютную погрешность измерения времени:

6. Вычислил ускорение свободного падения по формуле:

Таблица результатов измерений в классе

7. Я определил относительную погрешность измерения времени εt.

8. Определил относительную погрешность измерения длины маятника:

9. Вычислил относительную погрешность измерения g:

   εg = εl+ 2εt = 0,05 + 2 · 0,0015 = 0,053 = 5,3%

10.  Определил абсолютную погрешность вычисления ускорения свободного падения:

    ∆g = ε_gg_{средняя} = 0,053 · 9,73971 м/с² = 0,5162 м/с² ≈ 0,520

Итог моих измерений и вычислений:

9,37 ≤ g ≤ 10,41

Такие действия я проделал в казанском метрополитене, на станции метро Кремлевская и на 36-м этаже единственного в Казани небоскреба «Лазурные небеса».

Таблица результатов измерений на станции метро Кремлевская

При измерениях в метро пришлось использовать длину нити 63,5 см.

Относительная погрешность измерения времени ε_t = 0,063 = 6,3%.

Относительная погрешность измерения длины маятника: ε_l = 0,24%

Относительная погрешность измерения g: ε_g = 6,78%

Абсолютную погрешность вычисления ускорения свободного падения составила: 0,63 м/с².

Итог моих измерений и вычислений:

9,33 ≤ g ≤ 10,59

Таблица результатов измерений на 36-м этаже небоскреба «Лазурные небеса»

Здесь при измерениях пришлось длину нити еще сократить до 51 см.

Относительная погрешность измерения времени εt = 7%.

Относительная погрешность измерения длины маятника: ε_l = 0,29%

Относительная погрешность измерения g: ε_g = 7,58%

Абсолютную погрешность вычисления ускорения свободного падения составила: 0,75 м/с².

Итог моих измерений и вычислений:

9,11 ≤ g ≤ 10,61

Таблица сравнения теоретически полученных значений g (м/с²) и полученных экспериментально

3. Заключение

При подготовке к защите данной работы и в результате теоретического исследования, чтения разных книг и статей я узнал многое об ускорении свободного падения. Как уже упоминал, для меня практическая значимость исследования заключается в возможности прогнозирования форм жизни на небесных телах, с которыми человечество столкнется при неизбежном освоении космоса. Ведь люди заранее смогут узнать, какие существа встретят их на той или иной планете, какими физическими характеристиками они будут обладать.

Также я узнал, что расчеты различия ускорения свободного падения в разных точках на поверхности Земли могут указывать на гравитационные аномалии.

Самое главное, я научился измерять g, различными способами, рассчитывать погрешности измерений, грамотно проводить эксперимент.

Считаю цель исследования достигнута. Средние значение ускорения свободного падения на различных высотах отличаются в зависимости от высоты над уровнем моря: при увеличении высоты значение g уменьшается, при углублении в недра Земли – увеличивается. Экспериментально полученные значения хорошо это показывают.

Погрешность измерений достаточно велика, но не превышает 10%. Уменьшить погрешность возможно путем проведения большего числа измерений: ни 5, а 20; большего числа колебаний: не 20, а 100. Также при расчетах можно учесть, что Казань находится примерно на уровне 250-300 м над уровнем моря.

В дальнейшем хотелось бы усовершенствовать экспериментальные установки, чтобы измерять ускорение свободного падения с большей точностью.

Планирую самостоятельно исследовать значения ускорения свободного падения в различных уголках земного шара.

Контрольная работа по теме Механические колебания и волны 10 класс

Контрольная работа по теме Механические колебания и волны для учащихся 10 класса с ответами. Контрольная работа состоит из 5 вариантов, в каждом по 8 заданий.

1 вариант

A1. Тело совершает гармонические колебания по закону х = 0,2sin(4πt). Определите амплитуду колебаний.

1) 2 см
2) 20 см
3) 2 м
4) 5 м

А2. На рисунке представлена зависимость координаты центра шара, подвешенного на пружине, от времени.

Частота колебаний равна

1) 0,12 Гц
2) 0,25 Гц
3) 0,5 Гц
4) 4 Гц

А3. На рисунке представлен график зависимости потенци­альной энергии математического маятника (относительно положения его равновесия) от времени.

В момент времени t = 1 с кинетическая энергия маятни­ка равна

1) 0 Дж
2) 10 Дж
3) 20 Дж
4) 40 Дж

А4. На рисунке представлен график зависимости амплитуды А вынужденных колебаний от частоты v вынуждающей силы.

Резонанс происходит при частоте

1) 0 Гц
2) 10 Гц
3) 20 Гц
4) 30 Гц

А5. Волна с частотой 4 Гц распространяется по шнуру со ско­ростью 8 м/с. Длина волны равна

1) 0,5 м
2) 2 м
3) 32 м
4) для решения не хватает данных

B1. Груз массой 0,08 кг, подвешенный на пружине, соверша­ет свободные гармонические колебания. Какой массы но­вый груз нужно подвесить вместо первого, чтобы частота колебаний уменьшилась в 2 раза?

В2. Тело массой 5 кг совершает гармонические колебания с амплитудой 10 см. Максимальная кинетическая энергия колеблющегося тела равна 2,5 Дж. Определите период ко­лебаний.

C1. Математический маятник с длиной нити 24 см находится в лифте, который движется с ускорением 2 м/с², направ­ленным вверх. Рассчитайте период колебаний маятника.

2 вариант

A1. Координата математического маятника изменяется по закону х = 10sin(20t + 5). В соответствии с этой форму­лой циклическая частота колебаний равна

1) 5 с^-1
2) 20 с^-1
3) 10 с^-1
4) 25 с^-1

А2. На рисунке представлена зависимость координаты цен­тра шара, подвешенного на пружине, от времени.

Амплитуда колебаний равна

1) 10 см
2) 20 см
3) -10 см
4) -20 см

А3. На рисунке представлен график изменения со временем кинетической энергии ребенка, качающегося на качелях.

В момент, соответствующий точке А на графике, его пол­ная механическая энергия равна

1) 40 Дж
2) 80 Дж
3) 120 Дж
4) 160 Дж

А4. На рисунке представлен график зависимости амплитуды А вынужденных колебаний от частоты v внешней силы.

При резонансе амплитуда колебаний равна

1) 1 см
2) 2 см
3) 4 см
4) 5 см

А5. Волна частотой 3 Гц распространяется в среде со скоро­стью 6 м/с. Длина волны равна

1) 1 м
2) 2 м
3) 0,5 м
4) 18 м

B1. Тело массой 100 г совершает колебания на пружине с амплитудой 5 см. Максимальное значение модуля ско­рости этого тела равно 5 м/с. Определите частоту коле­баний.

В2. На каком расстоянии от корабля находится айсберг, если посланный гидролокатором ультразвуковой сиг­нал, имеющий скорость 1500 м/с, вернулся назад через 0,4 с?

C1. Математический маятник на поверхности Земли имеет период колебаний 2,4 с. Определите период колебаний этого же маятника на поверхности планеты, радиус ко­торой в 50 раз меньше земного радиуса, а плотность в 2 раза больше плотности Земли.

3 вариант

A1. Тело совершает гармонические колебания по закону х = 0,2sin(4πt). Определите частоту колебаний.

1) 0,5 Гц
2) 2 Гц
3) π Гц
4) 2π Гц

А2. На рисунке представлена зависимость координаты цен­тра шара, подвешенного на пружине, от времени.

Период колебаний равен

1) 2 с
2) 4 с
3) 6 с
4) 10 с

А3. На рисунке представлен график изменения со време­нем кинетической энергии ребенка, качающегося на качелях.

В момент, соответствующий точке А на графике, его по­тенциальная энергия, отсчитанная от положения равно­весия качелей, равна

1) 40 Дж
2) 80 Дж
3) 100 Дж
4) 120 Дж

А4. На рисунке представлен график зависимости амплитуды А вынужденных колебаний от частоты v вынуждающей силы.

При резонансе амплитуда колебаний равна

1) 1 см
2) 4 см
3) 6 см
4) 10 см

А5. Волна с периодом колебаний 0,5 с распространяется со скоростью 20 м/с. Длина волны равна

1) 10 м
2) 40 м
3) 0,025 м
4) 5 м

B1. Груз массой 0,16 кг, подвешенный на пружине, соверша­ет свободные гармонические колебания. Какой массы но­вый груз нужно подвесить вместо первого, чтобы частота колебаний увеличилась в 2 раза?

В2. Амплитуда колебаний пружинного маятника 5 см, масса груза 400 г. Максимальная кинетическая энергия груза равна 0,05 Дж. Определите собственную частоту колеба­тельной системы.

C1. Период колебаний математического маятника в непод­вижном лифте 1 с. С каким ускорением, направленным вниз, движется лифт, если период колебаний маятника стал 1,1 с?

4 вариант

A1. Зависимость координаты колеблющейся материальной точки от времени имеет вид х = 0,05cos(40πt + π/6) . Определите период колебаний.

1) 1 с
2) 0,5 с
3) 0,1 с
4) 0,05 с

А2. На рисунке показан график колебаний одной из точек струны.

Согласно графику, частота этих колебаний равна

1) 0,12 Гц
2) 0,25 Гц
3) 0,5 Гц
4) 4 Гц

А3. На рисунке представлен график зависимости потенци­альной энергии математического маятника (относительно положения его равновесия) от времени.

В момент времени t = 2 с полная механическая энергия маятника равна

1) 0 Дж
2) 8 Дж
3) 16 Дж
4) 32 Дж

А4. Груз, прикрепленный к пружине жесткостью 40 Н/м, совершает вынужденные колебания. Зависимость ампли­туды этих колебаний от частоты воздействия вынуж­дающей силы представлена на рисунке. Определите пол­ную энергию колебаний груза при резонансе.

1) 10^-1 Дж
2) 5 · 10^-2 Дж
3) 1,25 · 10^-2 Дж
4) 2 · 10^-3 Дж

А5. Частота колебаний струны равна 500 Гц. Скорость звука в воздухе 340 м/с. Длина звуковой волны равна

1) 68 м
2) 340 м
3) 170 м
4) 0,68 м

В1. Груз массой 2 кг совершает колебания с циклической частотой 5 Гц. Амплитуда колебаний 10 см. Какова мак­симальная скорость груза?

В2. Ультразвуковой сигнал с частотой 50 кГц возвратился по­сле отражения от дна моря на глубине 150 м через 0,2 с. Какова длина ультразвуковой волны?

C1. Середина нити математического маятника наталкивается на гвоздь каждый раз, когда маятник проходит положе­ние равновесия справа налево. Найдите длину нити, если период колебаний такого маятника 2,41 с.

5 вариант

A1. Зависимость координаты колеблющейся материальной точки от времени имеет вид х = 0,05cos(40πt + π/6). Определите частоту колебаний ускорения.

1) 0,5 Гц
2) 20 Гц
3) 20π Гц
4) 40π Гц

А2. На рисунке показан график колебаний одной из точек струны.

Согласно графику, амплитуда колебаний равна

1) 0,1 см
2) 0,2 см
3) 0,4 см
4) 4 см

А3. На рисунке представлен график зависимости потенциаль­ной энергии математического маятника (относительно по­ложения его равновесия) от времени.

В момент времени t = 2 с кинетическая энергия маятника равна

1) 0 Дж
2) 8 Дж
3) 16 Дж
4) 32 Дж

А4. Груз, прикрепленный к пружине жесткостью 40 Н/м, совершает вынужденные колебания. Зависимость ампли­туды этих колебаний от частоты воздействия вынуж­дающей силы представлена на рисунке.

Энергия колебаний груза при частоте 4 Гц равна

1) 8 · 10^-3 Дж
2) 1,6 · 10^-3 Дж
3) 0,5 · 10^-3 Дж
4) 10^-3 Дж

А5. Мимо рыбака, сидящего на пристани, прошло 5 греб­ней волны за 10 с. Каков период колебаний поплавка на волнах?

1) 5 с
2) 50 с
3) 2 с
4) 0,5 с

B1. Груз, подвешенный на легкой пружине жесткостью 100 Н/м, совершает свободные гармонические колеба­ния. Какой должна быть жесткость пружины, чтобы частота колебаний этого же груза увеличилась в 4 раза?

В2. Максимальная кинетическая энергия материальной точ­ки массой 10 г, совершающей гармонические колебания с периодом 2 с, равна 100 мкДж. С какой амплитудой происходят колебания?

C1. Математический маятник длиной 10 см совершает коле­бания вблизи вертикальной стенки, в которую на рас­стоянии 6,4 см под точкой подвеса вбит гвоздь. Опреде­лите период колебаний такого маятника.

Ответы на контрольную работу по теме Механические колебания и волны 10 класс
1 вариант
А1-2
А2-2
А3-3
А4-2
А5-2
В1. 0,32 кг
В2. 0,628 с
С1. 0,89 с
2 вариант
А1-2
А2-1
А3-4
А4-4
А5-2
В1. 15,92 Гц
В2. 300 м
С1. 12 с
3 вариант
А1-2
А2-2
А3-1
А4-4
А5-1
В1. 0,04 кг
В2. 10 рад/с
С1. 1,74 м/с²
4 вариант
А1-4
А2-2
А3-3
А4-2
А5-4
В1. 0,5 м/с
В2. 0,03 м
С1. 2 м
5 вариант
А1-2
А2-2
А3-1
А4-1
А5-3
В1. 1600 Н/м
В2. 4,5 см
С1. 0,5 с

Колебание простого маятника

Уравнение движения

Период маятника не зависит от массы шара, а только от длины струны. Два маятника с разной массой, но одинаковой длины будут иметь одинаковый период. Два маятника разной длины будут иметь разные периоды; маятник с более длинной струной будет иметь больший период.

Сколько полных колебаний совершают синий и коричневый маятник за время за одно полное колебание более длинного (черного) маятника?

На основании этой информации и определения периода простого маятника, каково отношение длин трех маятников?

Приближение малых углов справедливо для начальных угловых смещений около 20 ° или меньше. Если начальный угол меньше этой величины, то достаточно простого гармонического приближения. Но, если угол больше, тогда разница между приближением малого угла и точным решением быстро становится очевидной.

На анимации внизу слева начальный угол небольшой.Темно-синий маятник — это приближение малого угла, а голубой маятник (изначально скрытый позади) — точное решение. Для небольшого начального угла требуется довольно большое количество колебаний, прежде чем разница между приближением малого угла (темно-синий) и точным решением (светло-синий) начнет заметно расходиться.

На анимации внизу справа начальный угол большой. Черный маятник — это приближение малого угла, а более светлый серый маятник (изначально скрытый позади) — точное решение.Для большого начального угла разница между приближением малого угла (черный) и точным решением (светло-серый) становится очевидной почти сразу.

Простой маятник

Малоугловая аппроксимация и простое гармоническое движение

Реальный (нелинейный) маятник

Малая начальная амплитуда

Большая начальная амплитуда

Простой маятник | Физика

Цели обучения

К концу этого раздела вы сможете:

• Измерьте ускорение свободного падения.

Рисунок 1.

На рисунке 1 мы видим, что простой маятник имеет боб малого диаметра и струну, которая имеет очень небольшую массу, но достаточно прочна, чтобы не растягиваться заметно. Линейное смещение от положения равновесия составляет с , длина дуги.Также показаны силы на боб, которые приводят к результирующей силе — мг sin θ по направлению к положению равновесия, то есть восстанавливающей силе.

Маятники широко используются. Некоторые из них имеют решающее применение, например, в часах; некоторые — для развлечения, например, детские качели; а некоторые просто есть, например грузило на леске. При малых перемещениях маятник представляет собой простой гармонический осциллятор. Простой маятник определяется как объект с небольшой массой, также известный как маятник, который подвешен на световом тросе или веревке, как показано на рисунке 1.Изучая простой маятник немного дальше, мы можем обнаружить условия, при которых он совершает простое гармоническое движение, и можем получить интересное выражение для его периода.

Начнем с определения смещения как длины дуги с . Из рисунка 1 видно, что результирующая сила на бобе касается дуги и равна — мг sin θ . (Гиря мг имеет компоненты мг cos θ вдоль струны и мг sin θ по касательной к дуге.) Натяжение в струне точно отменяет составляющую мг cos θ , параллельную струне. При этом восстанавливающая сила нетто возвращается к положению равновесия при θ = 0.

Теперь, если мы сможем показать, что возвращающая сила прямо пропорциональна смещению, то мы получим простой гармонический осциллятор. Пытаясь определить, есть ли у нас простой гармонический осциллятор, мы должны отметить, что для малых углов (менее примерно 15º) sin θ ≈ θ (sin θ и θ отличаются примерно на 1% или меньше под меньшими углами).Таким образом, для углов менее примерно 15º восстанавливающая сила F составляет

F ≈ — мг θ .

Смещение с прямо пропорционально θ . Когда θ выражается в радианах, длина дуги в окружности связана с ее радиусом (в данном случае L ) соотношением s = L θ , так что

[латекс] \ theta = \ frac {s} {L} \\ [/ latex].

Таким образом, для малых углов восстанавливающая сила имеет следующий вид:

[латекс] F \ ок- \ frac {mg} {L} s \\ [/ латекс].

Это выражение имеет вид: F = — kx , где силовая постоянная определяется как [латекс] k = \ frac {mg} {L} \\ [/ latex], а смещение задается как . x = с . Для углов меньше примерно 15º восстанавливающая сила прямо пропорциональна смещению, и простой маятник представляет собой простой гармонический осциллятор.

Используя это уравнение, мы можем найти период маятника для амплитуд менее примерно 15º. Для простого маятника:

[латекс] \ displaystyle {T} = 2 \ pi \ sqrt {\ frac {m} {k}} = 2 \ pi \ sqrt {\ frac {m} {\ frac {mg} {L}}} \\ [/ латекс]

Таким образом, [латекс] T = 2 \ pi \ sqrt {\ frac {L} {g}} \\ [/ latex] для периода простого маятника. Этот результат интересен своей простотой. Единственное, что влияет на период простого маятника, — это его длина и ускорение свободного падения.Период полностью не зависит от других факторов, таких как масса. Как и в случае простых гармонических осцилляторов, период T для маятника почти не зависит от амплитуды, особенно если θ меньше примерно 15º. Даже простые маятниковые часы могут быть точно настроены и точны.

Обратите внимание на зависимость T от g . Если длина маятника точно известна, ее можно использовать для измерения ускорения свободного падения.Рассмотрим пример 1.

Пример 1. Измерение ускорения свободного падения: период маятника

Каково ускорение свободного падения в области, где простой маятник длиной 75 000 см имеет период 1,7357 с?

Стратегия

Нам предлагается найти g , учитывая период T и длину L маятника. Мы можем решить [latex] T = 2 \ pi \ sqrt {\ frac {L} {g}} \\ [/ latex] для g , предполагая только, что угол отклонения меньше 15º.{2}} \\ [/ латекс].

Посчитайте, чтобы найти г :

г = 9,8281 м / с ² .

Обсуждение

Этот метод определения г может быть очень точным. Вот почему в этом примере длина и период представлены пятью цифрами. Чтобы точность аппроксимации sin θ ≈ θ была лучше, чем точность длины и периода маятника, максимальный угол смещения должен быть ниже примерно 0.5º.

Установление связей в карьере

Знание г может быть важным при геологоразведочных работах; Например, карта g над большими географическими регионами помогает изучать тектонику плит и помогает в поисках нефтяных месторождений и крупных залежей полезных ископаемых.

Возьмите домашний эксперимент: определение

Используйте простой маятник для определения ускорения свободного падения g в вашем регионе. Отрежьте кусок веревки или зубной нити так, чтобы он был длиной около 1 м.Прикрепите к концу веревки небольшой предмет высокой плотности (например, металлическую гайку или ключ от машины). Начиная с угла менее 10º, позвольте маятнику качаться и измерьте период маятника для 10 колебаний с помощью секундомера. Вычислите г . Насколько точно это измерение? Как это можно улучшить?

Проверьте свое понимание

Инженер строит два простых маятника. Оба подвешены на небольших проводах, прикрепленных к потолку комнаты. Каждый маятник парит на высоте 2 см от пола.Маятник 1 имеет боб массой 10 кг. Маятник 2 имеет боб массой 100 кг. Опишите, чем будет отличаться движение маятника, если оба боба смещены на 12º.

Решение

Движение маятника не будет отличаться, потому что масса боба не влияет на движение простого маятника. На маятник влияет только период (который связан с длиной маятника) и ускорение свободного падения.

Исследования PhET: маятниковая лаборатория

Поиграйте с одним или двумя маятниками и узнайте, как период простого маятника зависит от длины струны, массы качания маятника и амплитуды качания.Период легко измерить с помощью таймера фотозатвора. Вы можете варьировать трение и силу тяжести. Используйте маятник, чтобы найти значение г на планете X. Обратите внимание на ангармоническое поведение при большой амплитуде.

Щелкните, чтобы запустить моделирование.

Сводка раздела

• Масса м. , подвешенная на тросе длиной L , представляет собой простой маятник, совершающий простое гармоническое движение с амплитудами менее примерно 15º.
• Период простого маятника составляет [латекс] T = 2 \ pi \ sqrt {\ frac {L} {g}} \\ [/ latex], где L — длина струны, а g — . ускорение свободного падения.

Концептуальные вопросы

1. Маятниковые часы работают с правильной скоростью за счет регулировки длины маятника. Предположим, вы перемещаетесь из одного города в другой, где ускорение свободного падения немного больше, беря с собой маятниковые часы, придется ли вам удлинить или укорачивать маятник, чтобы поддерживать правильное время, при этом другие факторы остаются постоянными? Поясните свой ответ.

Задачи и упражнения

Как обычно, ускорение свободного падения в этих задачах принимается равным g = 9.80 м / с ² , если не указано иное.

1. Какова длина маятника с периодом 0,500 с?
2. Некоторые люди думают, что маятник с периодом 1,00 с может приводиться в движение «умственной энергией» или психокинетически, потому что его период такой же, как и среднее сердцебиение. Верно или нет, но какова длина такого маятника?
3. Какой период у маятника длиной 1,00 м?
4. Сколько времени нужно ребенку на качелях, чтобы сделать одно качание, если его центр тяжести равен 4?00 м ниже оси?
5. Маятник на часах с кукушкой имеет длину 5,00 см. Какая у него частота?
6. Два попугая сидят на качелях, их общий центр масс находится на 10,0 см ниже оси. С какой частотой они качаются?
7. (a) Маятник с периодом 3,00000 с и расположенный там, где ускорение свободного падения составляет 9,79 м / с ² перемещается в место, где ускорение свободного падения составляет 9,82 м / с ² . Какой у него новый период? (б) Объясните, почему необходимо так много цифр в значении периода, основываясь на соотношении между периодом и ускорением свободного падения.
8. Маятник с периодом 2,00000 с в одном месте ( г, = 9,80 м / с ² ) перемещается в новое место, где период теперь составляет 1,99796 с. Какое ускорение свободного падения обусловлено его новым местоположением?
9. (а) Как повлияет на период маятника, если вы удвоите его длину? (б) Как повлияет на период маятника, если вы уменьшите его длину на 5,00%?
10. Найдите отношение нового / старого периодов маятника, если бы маятник был перенесен с Земли на Луну, где ускорение свободного падения равно 1.63 м / с ² .
11. С какой скоростью будут работать маятниковые часы на Луне, где ускорение свободного падения составляет 1,63 м / с ² , если они показывают точное время на Земле? То есть найдите время (в часах), за которое часовая стрелка часов совершает один оборот на Луне.
12. Предположим, что длина маятника часов изменилась на 1.000% ровно в полдень одного дня. В какое время он покажет через 24 часа, если маятник показал точное время до изменения? Обратите внимание, что есть два ответа, и выполните расчет с точностью до четырех цифр.
13. Если часы с маятниковым приводом показывают 5,00 с / день, какое дробное изменение в длине маятника необходимо сделать, чтобы он шел точно по времени?

Глоссарий

простой маятник: объект с небольшой массой, подвешенный на легкой проволоке или веревке

Избранные решения проблем и упражнения

1. 6.21 см

3. 2.01 с

5. 2,23 Гц

7. (а) 2.99541 с; (b) Поскольку период связан с квадратным корнем из ускорения свободного падения, при изменении ускорения на 1% период изменяется на (0.01) ² = 0,01%, поэтому необходимо иметь не менее 4 цифр после десятичной дроби, чтобы увидеть изменения.

9. (a) Период увеличивается в 1,41 раза [латекс] \ left (\ sqrt {2} \ right) \\ [/ latex]; (b) Период уменьшается до 97,5% от старого периода

11. Замедление в 2,45 раза

13. длина должна увеличиться на 0,0116%

Раскачивание на тетиве — Урок

Быстрый просмотр

Уровень оценки: 8 (7-9)

Требуемое время: 45 минут

Зависимость урока:

Тематические области: Алгебра, Физические науки, Физика

Резюме

Инженерное соединение

Инженеры знают, что понимание физики поведения маятников — важный шаг к пониманию всех видов движения.Многие другие объекты регулярно движутся вперед и назад, как маятники, например, вес, подпрыгивающий вверх и вниз на пружине, и движение радиоволн вперед и назад. Помимо использования маятников в часах, инженеры используют их для обнаружения землетрясений, измерения скорости полета пули, помощи зданиям в сопротивлении сотрясениям землетрясений и помощи роботам в равновесии. В столице Тайваня небоскребе Taipei 101 висит гигантский 726-тонный маятник, подвешенный над 88-м этажом, чтобы противодействовать ветрам, уменьшая колебания здания и сдерживая укачивание.

Цели обучения

После этого урока учащиеся должны уметь:

• Объясните, как вес, длина и угол поворота влияют на период маятника.
• Свяжите изучение физики и эксперименты Галилея с созданием часов.
• Опишите, как сохранение количества движения связано с маятниками.
• Приведите примеры того, как инженеры используют маятники.

Образовательные стандарты