cart-icon Товаров: 0 Сумма: 0 руб.
г. Нижний Тагил
ул. Карла Маркса, 44
8 (902) 500-55-04

Самостоятельная работа пружинный и математический маятники: Самостоятельная работа по физике в 11 классе. Тема «Пружинный и математический маятники «.

Содержание

Контрольная работа по физике по теме «Маятники и колебания»

Пружинный и ма­те­ма­ти­че­ский маятники, колебания

1. Пе­ри­од ко­ле­ба­ний по­тен­ци­аль­ной энер­гии го­ри­зон­таль­но­го пру­жин­но­го ма­ят­ни­ка 1 с. Каким будет пе­ри­од ее ко­ле­ба­ний, если массу груза ма­ят­ни­ка уве­ли­чить в 2 раза, а жест­кость пру­жи­ны вдвое умень­шить?

 

1) 4 с

2) 8 с

3) 2 с

4) 6 с

Ре­ше­ние.

Пе­ри­од ко­ле­ба­ний по­тен­ци­аль­ной энер­гии пру­жин­но­го ма­ят­ни­ка про­пор­ци­о­на­лен пе­ри­о­ду ко­ле­ба­ний груза, ко­то­рый опре­де­ля­ет­ся вы­ра­же­ни­ем

.

Сле­до­ва­тель­но, уве­ли­че­ние массы груза ма­ят­ни­ка в 2 раза и умень­ше­ние жест­ко­сти пру­жи­ны в 2 раза при­ве­дет к уве­ли­че­нию пе­ри­о­да ко­ле­ба­ний по­тен­ци­аль­ной энер­гии пру­жин­но­го ма­ят­ни­ка в 2 раза:  Он ока­жет­ся рав­ным .

Пра­виль­ный ответ: 3.

2. Пе­ри­од ко­ле­ба­ний по­тен­ци­аль­ной энер­гии пру­жин­но­го ма­ят­ни­ка 1 с. Каким будет пе­ри­од ее ко­ле­ба­ний, если массу груза ма­ят­ни­ка и жест­кость пру­жи­ны уве­ли­чить в 4 раза?

 

1) 1 с

2) 2 с

3) 4 с

4) 0,5 с

Ре­ше­ние.

Пе­ри­од ко­ле­ба­ний по­тен­ци­аль­ной энер­гии пру­жин­но­го ма­ят­ни­ка в два раза мень­ше пе­ри­о­да ко­ле­ба­ний са­мо­го ма­ят­ни­ка. В свою оче­редь, пе­ри­од ко­ле­ба­ний пру­жин­но­го ма­ят­ни­ка за­ви­сит толь­ко от от­но­ше­ния массы груза и жест­ко­сти пру­жи­ны:

.

Таким об­ра­зом, од­но­вре­мен­ное их уве­ли­че­ние в 4 раза не при­ве­дет к из­ме­не­нию пе­ри­о­да ко­ле­ба­ний по­тен­ци­аль­ной энер­гии.

Пра­виль­ный ответ: 1.

3. Шарик ко­леб­лет­ся на пру­жи­не, под­ве­шен­ной вер­ти­каль­но к по­тол­ку, при этом мак­си­маль­ное рас­сто­я­ние от по­тол­ка до цен­тра груза равно H, ми­ни­маль­ное h. В точке, уда­лен­ной от по­тол­ка на рас­сто­я­ние h:

 

1) ки­не­ти­че­ская энер­гия ша­ри­ка мак­си­маль­на

2) по­тен­ци­аль­ная энер­гия пру­жи­ны ми­ни­маль­на

3) по­тен­ци­аль­ная энер­гия вза­и­мо­дей­ствия ша­ри­ка с зем­лей мак­си­маль­на

4) по­тен­ци­аль­ная энер­гия вза­и­мо­дей­ствия ша­ри­ка с зем­лей ми­ни­маль­на

Ре­ше­ние.

В точке, уда­лен­ной от по­тол­ка на рас­сто­я­ние h, шарик ме­ня­ет на­прав­ле­ние сво­е­го дви­же­ния. Он пе­ре­ста­ет под­ни­мать­ся и на­чи­на­ет опус­кать­ся, по­это­му ско­рость его в этой точке равна нулю, а зна­чит, ки­не­ти­че­ская энер­гия ми­ни­маль­на. С дру­гой сто­ро­ны, в этой точке шарик на­хо­дит­ся на мак­си­маль­ной вы­со­те над по­верх­но­стью земли, сле­до­ва­тель­но, по­тен­ци­аль­ная энер­гия вза­и­мо­дей­ствия ша­ри­ка с зем­лей мак­си­маль­на. Пра­виль­ный ответ: 3.

4. Груз ко­леб­лет­ся на пру­жи­не, под­ве­шен­ной вер­ти­каль­но к по­тол­ку, при этом мак­си­маль­ное рас­сто­я­ние от по­тол­ка до цен­тра груза равно H, ми­ни­маль­ное h. В точке, уда­лен­ной от по­тол­ка на рас­сто­я­ние h:

 

1) ки­не­ти­че­ская энер­гия ша­ри­ка мак­си­маль­на

2) ки­не­ти­че­ская энер­гия ша­ри­ка ми­ни­маль­на

3) по­тен­ци­аль­ная энер­гия пру­жи­ны мак­си­маль­на

4) по­тен­ци­аль­ная энер­гия вза­и­мо­дей­ствия ша­ри­ка с зем­лей ми­ни­маль­на

Ре­ше­ние.

В точке, уда­лен­ной от по­тол­ка на рас­сто­я­ние h, шарик ме­ня­ет на­прав­ле­ние сво­е­го дви­же­ния. Он пе­ре­ста­ет под­ни­мать­ся и на­чи­на­ет опус­кать­ся, по­это­му ско­рость его в этой точке равна нулю, а зна­чит, ки­не­ти­че­ская энер­гия ми­ни­маль­на. Утвер­жде­ния 3 и 4 от­но­сят­ся к по­ло­же­нию ша­ри­ка, когда он уда­лен от по­тол­ка на рас­сто­я­ние H. В этот мо­мент пру­жи­на мак­си­маль­но рас­тя­ну­та, а шарик на­хо­дит­ся на ми­ни­маль­ном рас­сто­я­нии от земли.

Пра­виль­ный ответ: 2.

5. На ри­сун­ке пред­став­лен гра­фик за­ви­си­мо­сти по­тен­ци­аль­ной энер­гии ма­те­ма­ти­че­ско­го ма­ят­ни­ка (от­но­си­тель­но по­ло­же­ния его рав­но­ве­сия) от вре­ме­ни.

В мо­мент вре­ме­ни, со­от­вет­ству­ю­щий на гра­фи­ке точке D, пол­ная ме­ха­ни­че­ская энер­гия ма­ят­ни­ка равна:

 

1) 4 Дж

2) 12 Дж

3) 16 Дж

4) 20 Дж

Ре­ше­ние.

При ко­ле­ба­нии ма­те­ма­ти­че­ско­го ма­ят­ни­ка вы­пол­ня­ет­ся закон со­хра­не­ния пол­ной ме­ха­ни­че­ской энер­гии, так как на ма­ят­ник не дей­ству­ет ни­ка­ких внеш­них сил, со­вер­ша­ю­щих ра­бо­ту. В любой мо­мент вре­ме­ни имеем

.

Из гра­фи­ка видно, что в мо­мен­ты вре­ме­ни 0 с и 2 с по­тен­ци­аль­ная энер­гия имеет мак­си­мум, а зна­чит, в эти мо­мен­ты вре­ме­ни ее зна­че­ние сов­па­да­ет с ве­ли­чи­ной пол­ной ме­ха­ни­че­ской энер­гии. От­сю­да

.

Пра­виль­ный ответ: 3.

6. На ри­сун­ке пред­став­лен гра­фик за­ви­си­мо­сти по­тен­ци­аль­ной энер­гии ма­те­ма­ти­че­ско­го ма­ят­ни­ка (от­но­си­тель­но по­ло­же­ния его рав­но­ве­сия) от вре­ме­ни.

В мо­мент вре­ме­ни  ки­не­ти­че­ская энер­гия ма­ят­ни­ка равна:

 

1) 0 Дж

2) 10 Дж

3) 20 Дж

4) 40 Дж

Ре­ше­ние.

При ко­ле­ба­нии ма­те­ма­ти­че­ско­го ма­ят­ни­ка вы­пол­ня­ет­ся закон со­хра­не­ния пол­ной ме­ха­ни­че­ской энер­гии, так как на ма­ят­ник не дей­ству­ет ни­ка­ких внеш­них сил, со­вер­ша­ю­щих ра­бо­ту. В любой мо­мент вре­ме­ни имеем

.

Из гра­фи­ка видно, что в мо­мент вре­ме­ни  по­тен­ци­аль­ная энер­гия об­ра­ща­ет­ся в ноль. Сле­до­ва­тель­но, в этот мо­мент вре­ме­ни ки­не­ти­че­ская энер­гия сов­па­да­ет с пол­ной ме­ха­ни­че­ской энер­ги­ей. Зна­че­ние по­след­ней можно найти из гра­фи­ка в точ­ках мак­си­му­ма по­тен­ци­аль­ной энер­гии (когда об­ра­ща­ет­ся в ноль ки­не­ти­че­ская энер­гия). В итоге, имеем

.

Пра­виль­ный ответ: 3.

7. Шарик ко­леб­лет­ся на пру­жи­не, под­ве­шен­ной вер­ти­каль­но к по­тол­ку, при этом мак­си­маль­ное рас­сто­я­ние от по­тол­ка до цен­тра ша­ри­ка равно H, ми­ни­маль­ное h. В точке, уда­лен­ной от по­тол­ка на рас­сто­я­ние H, мак­си­маль­на:

 

1) ки­не­ти­че­ская энер­гия ша­ри­ка

2) по­тен­ци­аль­ная энер­гия пру­жи­ны

3) по­тен­ци­аль­ная энер­гия вза­и­мо­дей­ствия ша­ри­ка с Зем­лей

4) сумма ки­не­ти­че­ской энер­гии ша­ри­ка и вза­и­мо­дей­ствия ша­ри­ка с Зем­лей

Ре­ше­ние.

В точке, уда­лен­ной от по­тол­ка на рас­сто­я­ние H, шарик ме­ня­ет на­прав­ле­ние сво­е­го дви­же­ния. Он пе­ре­ста­ет опус­кать­ся и на­чи­на­ет под­ни­мать­ся, по­это­му ско­рость его в этой точке равна нулю, а зна­чит, ки­не­ти­че­ская энер­гия ми­ни­маль­на. В тоже время шарик на­хо­дит­ся на ми­ни­маль­ном рас­сто­я­нии от земли, сле­до­ва­тель­но, по­тен­ци­аль­ная энер­гия вза­и­мо­дей­ствия его с Зем­лей также ми­ни­маль­на. Пру­жи­на, на­про­тив, ока­зы­ва­ет­ся в этом по­ло­же­нии мак­си­маль­но рас­тя­ну­той. Таким об­ра­зом, верно утвер­жде­ние 2.

Пра­виль­ный ответ: 2.

8. На ри­сун­ке изоб­ра­же­на за­ви­си­мость ам­пли­ту­ды уста­но­вив­ших­ся ко­ле­ба­ний ма­ят­ни­ка от ча­сто­ты вы­нуж­да­ю­щей силы (ре­зо­нанс­ная кри­вая).

 

 

 

Ам­пли­ту­да ко­ле­ба­ний этого ма­ят­ни­ка при ре­зо­нан­се равна

 

1) 1 см

2) 2 см

3) 8 см

4) 10 см

Ре­ше­ние.

Ре­зо­нан­сом на­зы­ва­ет­ся яв­ле­ние рез­ко­го воз­рас­та­ния ам­пли­ту­ды вы­нуж­ден­ных ко­ле­ба­ний при при­бли­же­нии ча­сто­ты вы­нуж­да­ю­щей силы к соб­ствен­ной ча­сто­те ма­ят­ни­ка. Из гра­фи­ка видно, что ре­зо­нанс про­ис­хо­дит при зна­че­нии ча­сто­ты вы­нуж­да­ю­щей силы в 2 Гц, ам­пли­ту­да ко­ле­ба­ний ма­ят­ни­ка при этом равна 10 см.

Пра­виль­ный ответ: 4.

9. Груз ко­леб­лет­ся на пру­жи­не, дви­га­ясь вдоль оси . На ри­сун­ке по­ка­зан гра­фик за­ви­си­мо­сти ко­ор­ди­на­ты груза  от вре­ме­ни . На каких участ­ках гра­фи­ка сила упру­го­сти пру­жи­ны, при­ло­жен­ная к грузу, со­вер­ша­ет по­ло­жи­тель­ную ра­бо­ту?

 

1)  и 

2)  и 

3)  и 

4)  и 

Ре­ше­ние.

Сила упру­го­сти, дей­ству­ю­щая со сто­ро­ны пру­жи­ны на груз, все­гда на­прав­ле­на про­тив де­фор­ма­ции пру­жи­ны. Ра­бо­та силы по­ло­жи­тель­на, когда на­прав­ле­ние силы сов­па­да­ет с на­прав­ле­ни­ем пе­ре­ме­ще­ния тела. Если груз от­кло­ня­ет­ся от по­ло­же­ния рав­но­ве­сия, он тор­мо­зит­ся, сила упру­го­сти со­вер­ша­ет от­ри­ца­тель­ную ра­бо­ту. На­о­бо­рот, если тело воз­вра­ща­ет­ся в по­ло­же­ние рав­но­ве­сия, его ско­рость уве­ли­чи­ва­ет­ся, сила упру­го­сти со­вер­ша­ет по­ло­жи­тель­ную ра­бо­ту. Таким об­ра­зом, для того, чтобы от­ве­тить на во­прос, на каких участ­ках гра­фи­ка сила упру­го­сти пру­жи­ны, при­ло­жен­ная к грузу, со­вер­ша­ет по­ло­жи­тель­ную ра­бо­ту, не­об­хо­ди­мо отобрать все участ­ки, на ко­то­рых тело при­бли­жа­ет­ся к по­ло­же­нию рав­но­ве­сия, то есть участ­ки  и .

Пра­виль­ный ответ: 3.

10. Ма­те­ма­ти­че­ский ма­ят­ник с пе­ри­о­дом ко­ле­ба­ний Т от­кло­ни­ли на не­боль­шой угол от по­ло­же­ния рав­но­ве­сия и от­пу­сти­ли без на­чаль­ной ско­ро­сти (см. ри­су­нок). Через какое время после этого ки­не­ти­че­ская энер­гия ма­ят­ни­ка в пер­вый раз до­стиг­нет ми­ни­му­ма? Со­про­тив­ле­ни­ем воз­ду­ха пре­не­бречь.

 

1) 

2) 

3) 

4) 

Ре­ше­ние.

По­сколь­ку ма­ят­ник от­пу­сти­ли с ну­ле­вой на­чаль­ной ско­ро­стью, по­ло­же­ние на­чаль­но­го от­кло­не­ния со­от­вет­ству­ет мак­си­маль­но­му от­кло­не­нию. За время, рав­ное пе­ри­о­ду, ма­ят­ник успе­ет от­кло­нить­ся в про­ти­во­по­лож­ную сто­ро­ну, после чего вер­нет­ся в на­чаль­ное по­ло­же­ние. Ми­ни­маль­ной ки­не­ти­че­ской энер­гии со­от­вет­ству­ет по­ло­же­ние мак­си­маль­но­го от­кло­не­ния. Впер­вые ма­ят­ник ока­жет­ся в нем через по­ло­ви­ну пе­ри­о­да.

 

Пра­виль­ный ответ: 4

86.)Пружинный, физический и математический маятники.

Пружинный маятник — это груз массой m, который подвешен на абсолютно упругой пружине и совершает гармонические колебания под действием упругой силы F = –kx, где k — жесткость пружины. Уравнение движения маятника имеет вид :

Из формулы вытекает, что пружинный маятник совершает гармонические колебания по закону х = Асоs(ω0t+φ) с циклической частотой

ипериодом Формула верна для упругих колебаний в границах, в которых выполняется закон Гука, т. е. если масса пружины мала по сравнению с массой тела.

Физический маятник — это твердое тело, которое совершает колебания под действием силы тяжести вокруг неподвижной горизонтальной оси, которая проходит через точку О, не совпадающую с центром масс С тела если маятник из положения равновесия отклонили на некоторый угол α, то, используя уравнение динамики вращательного движения твердого тела, момент M возвращающей силы

где J — момент инерции маятника относительно оси, которая проходит через точку подвеса О, l – расстояние между осью и центром масс маятника, Fτ ≈ –mgsinα ≈ –mgα — возвращающая сила (знак минус указывает на то, что направления Fτ и α всегда противоположны; sinα ≈ α поскольку колебания маятника считаются малыми, т. е. маятника из положения равновесия отклоняется на малые углы) Принимая

при малых колебаниях физический маятник совершает гармонические колебания с циклической частотой ω0 и периодом где введена величина L=J/(ml) — приведенная длина физического маятника.

Математический маятник — это идеализированная система, состоящая из материальной точки массой m, которая подвешена на нерастяжимой невесомой нити, и которая колеблется под действием силы тяжести. Хорошее приближение математического маятника есть небольшой тяжелый шарик, который подвешен на длинной тонкой нити. Момент инерции математического маятника, где l — длина маятника.

Поскольку математический маятник есть частный случай физического маятника

87.)Сложение гармонических колебаний одного направления и одинаковой частоты.

Колеблющееся тело может принимать участие в нескольких колебательных процессах, тогда следует найти результирующее колебание, другими словами, колебания необходимо сложить

результирующего колебания будет

формуле амплитуда А и начальная фаза φ соответственно определяются выражениями

Значит, тело, участвуя в двух гармонических колебаниях одного направления и одинаковой частоты, совершает при этом также гармоническое колебание в том же направлении и с той же частотой, что и складываемые колебания.

Амплитуда результирующего колебания зависит от разности фаз (φ2 — φ1) складываемых колебаний

88.)Биения.

Биения — явление, возникающее при наложении двух периодических колебаний, например, гармонических, близких по частоте, выражающееся в периодическом уменьшении и увеличении амплитуды суммарного сигнала.Частота изменения амплитуды суммарного сигнала равна разности частот исходных сигналов.

Биения возникают от того, что один из двух сигналов линейно во времени отстаёт от другого по фазе, и, в те моменты, когда колебания происходят синфазно, суммарный сигнал оказывается максимален, а в те моменты, когда два сигнала оказываются в противофазе, они взаимно гасят друг друга. Эти моменты периодически сменяют друг друга по мере того, как нарастает отставание. (Биения звука можно слышать при настройке музыкальных инструментов)

89.)Понятие о представлении сложных периодических колебаний в виде разложения в ряд Фурье по гармоническим колебаниям

.

Колебания происходят вдоль одной прямой с разными частотами При сложении гармонических колебаний, происходящих с разными частотами w1 и w2 ( периодами Т1 и Т2) результирующее колебание не будет гармоническим, а будет представлять сложное периодическое движение. Если складываются гармонические колебания с кратными частотами , то период результирующего колебания Т совпадает с периодом Т1 слагаемого наименьшей частоты: Т = Т1 или w = w1 .

приводит к утверждению, обратному сказанному выше и известному как теорема Фурье: любое сложное периодическое движение x(t) = x(t +T) c периодом Т можно представить в виде суммы простых составляющих гармонических колебаний (гармоник). Частоты этих гармоник кратны основной частоте w рассматриваемого периодического процесса. Первая гармоника имеет частоту w = 2p /Т , вторая — 2w , третья — 3w и т.д.

Это утверждение можно записать в виде формулы, представляющей ряд Фурье:

здесь Ак — амплитуды складываемых гармоник, а jк — их начальные фазы. Первая гармоника, имеющая частоту w , обладает амплитудой А1 , и начальной фазой j1 , вторая (с частотой 2w ) имеет амплитуду А2 и начальную фазу j2

Проверочная работа по теме «Механические колебания», 9 класс

Материал опубликовал

20

#9 класс #Физика #Учебно-дидактические материалы #Контрольные / проверочные работы #Учитель-предметник #Школьное образование

Нажмите, чтобы скачать публикацию
в формате MS WORD (*.DOC)

Размер файла: 718 Кбайт

Механические колебания

Вариант 1

Какая из систем, изображенных на рисунке, не является колебательной?

    Период свободных колебаний нитяного маятника зависит от…

    Период свободных колебаний нитяного маятника равен 5 с. Чему равна частота его колебаний?

    Какое перемещение совершает груз, колеблющийся на нити, за один период?

    Как изменится период колебаний математического маятника при увеличении амплитуды его колебаний в 2 раза?

    На рисунке приведены графики зависимости координаты тела от времени. Какой из графиков соответствует незатухающим колебаниям тела?

    1. Массы груза.

      Частоты колебаний.

      Длины его нити.

        0,2 Гц Б. 20 Гц В. 5 Гц.

        Перемещение, равное амплитуде колебаний..

        Перемещение, равное нулю.

        Перемещение, равное двум амплитудам колебаний.

          Увеличится в 2 раза.

          Уменьшится в 2 раза.

          Не изменится.

          Как относятся длины математических маятников, если за одно и то же время первый из них совершает 20 колебаний, а второй 10 колебаний?

          По графику зависимости координаты маятника от времени определите период колебаний маятника?

          1. 2:1. Б. 4:1. В. 1:4.

            Ответы:

            В-1

            1

            2

            3

            4

            5

            6

            7

            8

            В

            В

            А

            Б

            В

            А

            В

            Б

            В-2

            1

            2

            3

            4

            5

            6

            7

            8

            В

            Б

            В

            Б

            В

            А

            В

            А

            Вариант 2

            Какая из систем, изображенных на рисунке, не является колебательной?

              Частота свободных колебаний нитяного маятника зависит от…

                А. период колебаний.

                Б. Длины его нити.

                В. Амплитуды колебаний.

                Частота свободных колебаний пружинного маятника равна 10 Гц. Чему равен период колебаний?

                  А. 5 с. Б.2 с. В. 0,1 с.

                  Определите перемещение, совершаемое грузом, колеблющимся на пружине, за время, равное половине периода колебаний.

                    Перемещение равно половине амплитуды колебаний.

                    Перемещение равно удвоенной амплитуде колебаний.

                    Перемещение равно нулю.

                      Как изменится частота колебаний маятника при уменьшении амплитуды его колебаний в 3 раза?

                        Увеличится в 2 раза.

                        Уменьшится в 2 раза.

                        Не изменится.

                          На рисунке изображены два математических маятника. Какой из них имеет меньший период колебаний и во сколько раз?

                             

                            Первый в 2 раза.

                            Второй в 2 раза.

                            Первый в 4 раза.

                              На рисунке изображены графики зависимости координаты тела от времени. Какой из графиков соответствует затухающим колебаниям тела?

                                По графику зависимости координаты маятника от времени определите период колебаний маятника?

                                  Опубликовано в группе «Контроль знаний»


                                  Чтобы написать комментарий необходимо авторизоваться.

                                  «Динамика свободных колебаний», 10-й класс

                                  Цели и задачи урока:

                                  Образовательные:

                                  • добиться усвоения учащимися вывода уравнения движения пружинного и математического маятников и формул периода колебаний;
                                  • продолжить формирование понятия о гармоническом колебании;
                                  • познакомить учащихся с причинами и особенностями колебаний пружинного и математического маятников;
                                  • продолжить развивать умения сравнивать явления, выделять основное, применять законы механики к анализу колебательного движения;
                                  • сформировать умение решать задачи по данной теме.

                                  Развивающие:

                                  • развивать мотивацию изучения физики, используя разнообразные приемы.

                                  Воспитательные:

                                  • используя опережающие задания, развивать умение работы с дополнительной литературой;
                                  • способствовать развитию умения самостоятельной работы с учебником.

                                  Тип урока: комбинированный урок изучения нового материала.

                                  Оборудование: учебник “Физика-10” С.В.Громова, тестовое задание, слайды, нитяной и пружинный маятники.

                                  Эпиграф: “Науку все глубже постигнуть стремись,
                                  Познанием вечного жаждой тянись.
                                  Лишь первых познаний блеснет тебе свет,
                                  Узнаешь: предела для знания нет.”

                                  Фирдоуси (персидский и таджикский поэт 940–1030 гг.)

                                  План урока:

                                  Этап урока

                                  Цель

                                  Время

                                  Методы и приемы

                                  Организационный момент Положительный настрой на изучение темы 1 мин. Рассказ
                                  Мотивация и целепологание Сформулировать цели и задачи урока 2 мин Рассказ. Записи в тетради.
                                  Актуализация знаний Проверить исходный уровень знаний по пройденной теме 7 мин Фронтальная беседа. Решение задачи. Записи на доске и в тетради.
                                  Изучение нового материала Рассмотреть динамику свободных колебаний 20 мин Объяснение. Демонстрация эксперимента, слайдов. Самостоятельная работа с учебником. Аналогия, сравнение, моделирование.
                                  Закрепление изученного материала Научиться решать задачи по изученной теме 7 мин Абстрагирование, моделирование. Запись на доске и в тетради
                                  Первичная проверка усвоения материала Проверить знания учащихся по теме 5 мин Тестирование. Взаимоконтроль
                                  Рефлексия   1 мин Беседа
                                  Домашняя работа   2 мин Сообщение

                                  ХОД УРОКА

                                  1. Организационный момент.

                                  Здравствуйте, ребята и уважаемые гости. Я рада приветствовать вас на уроке физики. Физики, которую любят многие, и на уроке, которого ждут с нетерпением. (Слайд)

                                  2. Мотивация и целеполагание.

                                  Всюду в нашей жизни мы встречаемся с колебательными движениями: периодически движутся участки сердца и легких, колеблются ветви деревьев при порыве ветра, ноги и руки при ходьбе, колеблются струны гитар, колеблется спортсмен на батуте и школьник, пытающийся подтянуться на перекладине, пульсируют звезды (будто дышат), а возможно и вся Вселенная, колеблются атомы в узлах кристаллической решетки…Остановимся! На прошлом уроке мы познакомились с кинематическими характеристиками колебаний. Тема сегодняшнего занятия “Динамика свободных колебаний”. Запишем ее в тетрадь. Ученый Л.И. Мандельштам говорил, что если посмотреть историю физики, то можно увидеть, что главные открытия были связаны по существу с колебаниями. И нам тоже сегодня предстоят открытия. (Слайд 1 с эпиграфом) (Слайд 2 с целью урока) Цель нашего урока – проанализировать причины и основные закономерности свободных колебаний.

                                  3. Актуализация знаний.

                                  Для достижения цели урока нам необходимо вспомнить материал прошлого занятия.

                                  Фронтальная беседа.

                                  — Что такое механические колебания?

                                  — Какие колебания называют свободными?

                                  — Какие условия необходимы для возникновения свободных колебаний?

                                  — Какие колебания называются гармоническими?

                                  — Перечислите основные кинематические характеристики колебательного движения.

                                  Вставка к понятию амплитуда: амплитуда колебаний вершины Останкинской башни в Москве (высота 540 м) при сильном ветре около 2,5 м.

                                  — По графику определить основные кинематические характеристики колебательного движения, давая им определения. Получить уравнение зависимости х от t (Слайд 3 с графиком). Учащиеся в тетрадях выполняют работу, один у доски, одновременно даются определения величинам.

                                  4. Изучение нового материала.

                                  Динамику колебаний рассмотрим на двух классических примерах – на примере колебаний тела, прикрепленного к пружине, и на примере колебаний груза, подвешенного на нити (Слайд 4).

                                  Анализ этих примеров мы будем проводить по общему плану:

                                  1) определение колебательной системы;

                                  2) формулировка упрощающих предположений;

                                  3) составление уравнения движения;

                                  4) выяснение причин колебаний

                                  5) определение периода колебания.

                                  Пример 1. Математический маятник (Слайд 5).

                                  1) Математический маятник – это материальная точка, подвешенная на невесомой и нерастяжимой нити, находящейся в поле тяжести Земли. Идеальный и реальный маятники.

                                  2) Прежде, чем приступить к выводу уравнения движения математического маятника, примем два упрощающих условия:

                                  — силы трения должны быть малы, и потому их можно не учитывать;
                                  — будем рассматривать лишь малые колебания маятника с небольшим углом размаха.

                                  3) На слайде рисунок

                                  По второму закону Ньютона произведение массы тела на его ускорение равно сумме всех сил приложенных к телу. Этих сил в данном случае две: сила натяжения нити и сила тяжести. Поэтому уравнение движения маятника принимает вид: ma=T+mg, Перепишем уравнение в проекциях на ось ОХ. Имеем: Таким образом max = — mg/Ix. Отсюда

                                  a =.

                                  4) Для установления причин свободных колебаний математического маятника рассмотрим процесс колебания более подробно (Cлайд 6).

                                  Причинами свободных колебаний математического маятника являются:

                                  — действие на маятник силы натяжения и силы тяжести, препятствующей его смещению из положения равновесия и заставляющей его снова опускаться;

                                  — инертность маятника, благодаря которой он, сохраняя свою скорость, не останавливается в положении равновесия, а продолжает движение.

                                  5) Для нахождения периода свободных колебаний математического маятника воспользуемся формулой . Эта формула содержит циклическую частоту , которая измеряется в 1/с и должна выражаться через те характеристики пружинного маятника, которые входят в его уравнение движения. В этом уравнении в качестве коэффициента перед координатой х стоит отношение g/i. В каких единицах измеряется это соотношение? м/с2/м=1/с2 1/с2= (1/с)2. Таким образом Подставляя в формулу для периода, получаем

                                  Применение – точное определение g/Аномалии – залежи руды.

                                  Устали? Тогда я предлагаю отвлечься на небольшую историческую паузу (Выступление уч-ся, слайд 7).

                                  Галилео Галилей – великий итальянский ученый – один из создателей точного естествознания, всю свою жизнь посвятил физике и астрономии, сделав ряд важных открытий. Родился в городе Пизе, известном своей наклонной башней. Учился сначала в монастырской школе, а затем в университете. Уже в студенческие годы Галилей увлекся изучением колебаний. Он обнаружил, что колебания маятника не зависят от его массы, а определяются длиной подвеса. Сохранилось предание о том, как молодой студент медицинского факультета Галилео Галилей в одно из воскресений 1583 года с интересом следил за качаниями зажженных лампад в церкви. По ударам пульса он определил время, необходимое для полного размаха лампад. С этого времени медицину пришлось ему оставить и сосредоточиться на физике.

                                  Пример 2. Пружинный маятник (Слайд 8).

                                  1) Колебательная система в этом случае представляет собой совокупность некоторого тела и прикрепленной к нему пружины. Вертикальный и горизонтальный маятники.

                                  2) Попробуем вместе по аналогии с математическим маятником принять упрощающие предположения. Анализ свободных колебаний, совершаемых пружинным маятником, значительно упрощается, если:

                                  -силы трения, действующие на тело, пренебрежимо малы и, поэтому их можно не учитывать;
                                  — деформации пружины в процессе колебаний тела невелики, так что можно их считать упругими и пользоваться законом Гука.

                                  3) Предлагаю получить уравнение свободных колебаний учащегося. Получим уравнение движения пружинного маятника.

                                  — запишем 2 закон Ньютона в векторном виде и в проекциях на ось ОХ. ma=F(упр) ; ma= -kx; a= -k/m*x. Это уравнение называют уравнением свободных колебаний пружинного маятника.

                                  4) Для установления причин свободных колебаний пружинного маятника рассмотрим процесс колебания более подробно.

                                  Задание классу: прочитать: §37 с последнего абзаца на стр 114. Таким образом, колебания пружинного маятника имеют следующие причины:

                                  -действие на тело силы упругости, пропорциональной смещению тела от положения равновесия и направленной к этому положению;
                                  -инертность колеблющегося тела, благодаря которой оно не останавливается в положении равновесия, а продолжает двигаться в прежнем направлении.

                                  5) Для нахождения периода свободных колебаний пружинного маятника воспользуемся формулой . Эта формула содержит циклическую частоту , которая измеряется в 1/с и должна выражаться через те характеристики пружинного маятника, которые входят в его уравнение движения. В этом уравнении в качестве коэффициента перед координатой х стоит отношение k\m. В каких единицах измеряется это соотношение? Жесткость измеряется в Н/м, а 1Н-это 1кг· м/с2. Поэтому для наименований отношения k\m получаем: Н/м/кг= кг ·м/ с2· м· кг = 1/с2= (1/с)2. Таким образом . Подставляя в формулу для периода, получаем

                                  Полученное выражение позволяет найти массу тела, если известны период и жесткость. Такой способ определения массы может быть использован в состоянии невесомости, когда обычные весы непригодны. Если сравнить это уравнение с уравнением колебаний математического маятника, то между ними можно заметить много общего: и в том и в другом случае проекция ускорения тела пропорциональна координате тела, взятой с противоположным знаком.

                                  Отвлечемся еще на одну историческую паузу (Выступление уч-ся, слайд 9).

                                  Христиан Гюйгенс – голландский физик, математик, механик и астроном. Родился в Гааге. Обучался в Лейденском университете юридическим наукам, но не прекращал занятия математикой. Опираясь на исследования Галилея, он решил ряд задач механики. В 1656 году в возрасте 27 лет им были сконструированы первые маятниковые часы со спусковым механизмом. Создание часов, измеряющих время с невиданной для той поры точностью, имело далеко идущие последствия для развития физического эксперимента и практической деятельности человека. До этого ведь время измеряли по истечению воды, горению факела или свечи. Созданная Гюйгенсом к 1673 году теория колебаний явилась одним из оснований для понимания потом природы света.

                                  Воспользуемся полученными знаниями для решения задач

                                  5. Закрепление изученного материала

                                  №173 и №175 на странице 327 учебника.

                                  6. Первичная проверка усвоения материала.

                                  Тестовое задание с взаимопроверкой. Варианты правильных ответов на слайде 10. По количеству правильных ответов поставьте оценку соседу по парте.

                                  Предлагаю поднять руки учащимся, получившим те или иные оценки.

                                  1 вариант 2 вариант
                                  1. Как изменится период колебаний математического маятника, если амплитуду его колебаний уменьшить в 2 раза? Трение отсутствует.

                                  1)Уменьшится в 1,4 раза.
                                  2) Увеличится в 1,4 раза.
                                  3) Уменьшится в 2 раза.
                                  4) Увеличится в 2 раза.
                                  5) Не изменится.

                                  2. Как изменится период колебаний математического маятника, если длину нити увеличить в 1,5 раза? Укажите число наиболее близкое к ответу.

                                  1) Уменьшится в 1,2 раза.
                                  2) Увеличится в 1,2 раза.
                                  3) Уменьшится в 1,4 раза.
                                  4) Увеличится в 1,4 раза.
                                  5) Уменьшится в 1,5 раза.
                                  6) Увеличится в 1,5 раза.

                                  3. Груз, прикреплённый к пружине, совершает гармонические колебания в горизонтальной плоскости. Как изменится период колебаний, если массу груза и жёсткость пружины увеличить в 2 раза?

                                  1) Уменьшится в 4 раза.
                                  2) Увеличится в 4 раза.
                                  3) Уменьшится в 2 раза.
                                  4) Увеличится в 2 раза.
                                  5) Не изменится.

                                  4. При гармонических колебаниях пружинного маятника груз проходит путь от правого крайнего положения до положения равновесия за 0,7 с. Каков период колебаний маятника?

                                  1) 0,7 с.
                                  2) 1,4 с.
                                  3) 2,1 с.
                                  4) 2,8 с.
                                  5) 3,5 с.

                                  5. При гармонических колебаниях пружинного маятника с периодом 1с и амплитудой 12 см тело достигло минимальной скорости. Чему равна в этот момент координата тела?

                                  1) Только 0 см.
                                  2) Только 12 см.
                                  3) Только — 12 см.
                                  4) 12 см или –12 см.
                                  5) Среди ответов 1-4 нет правильного ответа.

                                  1. Пружинный маятник совершает гармонические колебания с амплитудой 20 см. Как изменится период колебаний этого маятника при уменьшении амплитуды колебаний до 10 см? Трение отсутствует.

                                  1) Увеличится в 2 раза.
                                  2) Уменьшится в 2 раза.
                                  3) Немного увеличится.
                                  4) Немного уменьшится.
                                  5) Не изменится.

                                  2. Груз, прикреплённый к пружине, совершает гармонические колебания в горизонтальной плоскости. Как изменится период колебаний груза, если жёсткость пружины увеличить в 2 раза?

                                  1) Уменьшится в 2 раза.
                                  2) Увеличится в 2 раза.
                                  3) Уменьшится в 1,4 раза.
                                  4) Увеличится в 1,4 раза.
                                  5) Не изменится.

                                  3. Груз, прикреплённый к пружине, совершает гармонические колебания в горизонтальной плоскости. Как изменится период колебаний груза, если его массу и жёсткость пружины уменьшить в 2 раза?

                                  1) Уменьшится в 4 раза.
                                  2) Увеличится в 4 раза.
                                  3) Уменьшится в 2 раза.
                                  4) Увеличится в 2 раза.
                                  5) Не изменится.

                                  4. При гармонических колебаниях математического маятника груз проходит путь от правого крайнего положения до положения равновесия за 0,5 с. Каков период колебаний маятника?

                                  1) 0,5 с.
                                  2) 1,0 с.
                                  3) 1,5 с.
                                  4) 2,0 с.
                                  5) Среди ответов 1-4 нет правильного ответа.

                                  5. Груз, прикреплённый к невесомой и нерастяжимой нити, совершает гармонические колебания в вертикальной плоскости с периодом 1,5 с и амплитудой 15 см. Чему равна координата груза в момент, когда он достигает минимальной скорости?

                                  1) Только 0 см.
                                  2) Только15 см.
                                  3) Только –15 см.
                                  4) 15 см или –15 см.

                                  6 . Рефлексия.

                                  — Что заинтересовало вас сегодня на уроке более всего?

                                  — Как вы усвоили пройденный материал?

                                  — Какие были трудности? Удалось ли их преодолеть?

                                  — Помог ли сегодняшний урок лучше разобраться в вопросах темы?

                                  — Пригодятся ли вам знания, полученные сегодня на уроке?

                                  7. Итоги урока. Оценки за урок.

                                  8. Домашнее задание: §37, №174, 176. № 178 по желанию (Слайд 11).

                                  Физик видит то, что видят все: предметы и явления. Он, так же как все восхищается красотой и величием мира, но за этой, всем доступной красотой, ему открывается еще одна: красота закономерностей в бесконечном разнообразии вещей и событий. Физику доступна редкая радость – понимать Природу и даже беседовать с ней. Вспомним Ф.И.Тютчева.

                                  Не то, что мните вы, природа:
                                  Не слепок, не бездушный лик.
                                  В ней есть душа, в ней есть свобода,
                                  В ней есть любовь, в ней есть язык…

                                  Язык Природы – это язык предметов и явлений, и “беседовать” с Природой можно только на этом языке.

                                  Тест по физике Механические колебания 9 класс

                                  Тест по физике Механические колебания 9 класс с ответами. Тест включает в себя 2 варианта. В каждом варианте по 6 заданий.

                                  Вариант 1

                                  1. На горизонтальной верёвке подве­шены четыре маятника разной дли­ны (см. рис.). Если отклонить ма­ятник А от положения равновесия и отпустить, то

                                  1) все маятники будут иметь час­тоту колебаний, равную частоте колебаний маятника А
                                  2) амплитуда колебаний маятни­ка D будет самой большой
                                  3) амплитуда колебаний маятника В будет самой большой
                                  4) частота колебаний маятника В будет больше частоты колебаний маятника D

                                  2. На рисунке дан график зависимости координаты ко­леблющегося математического маятника от времени.

                                  Амплитуда и период колебаний соответственно рав­ны

                                  1) 0,5 м; 1 с
                                  2) 1 м; 1 с
                                  3) 1 м; 2 с
                                  4) 0,5 м; 2 с

                                  3. У взрослого человека сердце делает 60 сокращений в минуту. Определите частоту сокращений сердечной мышцы.

                                  4. Математический маятник совер­шает свободные колебания около положения равновесия, обозначен­ного точкой О (см. рис.).

                                  Как при движении маятника от точки О к точке А меняется модуль его скорости и модуль горизонталь­ной составляющей ускорения?

                                  Для каждой физической величины определите со­ответствующий характер изменения.

                                  Физическая величина
                                  А) модуль скорости
                                  Б) модуль горизонтальной составляющей ускорения

                                  Характер изменения

                                  1) увеличивается
                                  2) уменьшается
                                  3) не изменяется

                                  5. Изучая колебания пружин­ного маятника, ученик под­вешивал к пружинам раз­ной жёсткости грузы разной массы и измерял число N полных колебаний за одно и то же время. Результаты из­мерений изображены на ри­сунке.

                                  Какие утверждения соответ­ствуют результатам прове­дённых экспериментальных
                                  наблюдений?

                                  Из предложенного перечня утверждений выберите два правильных.

                                  1) при увеличении массы груза в 4 раза период колебаний увеличивается в 2 раза
                                  2) при уменьшении жёсткости пружины в 2 раза период колебаний не меняется
                                  3) при увеличении массы груза в 2 раза период колебаний уменьшается в 2 раза
                                  4) при увеличении массы груза в 4 раза частота колебаний увеличивается в 2 раза
                                  5) при увеличении массы груза в 4 раза частота колебаний уменьшается в 2 раза

                                  6. Один из возможных способов перемещения много­тонных сооружений в древности заключался в том, что две команды с помощью канатов раскачивали каменную глыбу из стороны в сторону, а другие две команды поочерёдно тянули в перпендикулярном на­правлении оторвавшиеся от земли части глыбы. Этот метод получил название «кантование». На каком физическом явлении он основан? Ответ поясните.

                                  Вариант 2

                                  1. На горизонтальной верёвке подве­шены четыре маятника разной дли­ны (см. рис.). Если отклонить ма­ятник А от положения равновесия и отпустить, тогда

                                  1) все маятники будут иметь раз­ную частоту колебаний
                                  2) амплитуда колебаний маятни­ка С будет больше амплитуд колебаний маятников В и D
                                  3) амплитуда колебаний маятника D будет самой большой
                                  4) период колебаний маятника D будет меньше периода колебаний маятника В

                                  2. На рисунке дан график зависимости координаты колеблющегося математического маятника от вре­мени.

                                  Амплитуда и частота колебаний соответственно рав­ны

                                  1) 0,4 м; 5 Гц
                                  2) 0,2 м; 2,5 Гц
                                  3) 0,4 м; 2,5 Гц
                                  4) 0,2 м; 5 Гц

                                  3. У взрослой здоровой кошки нормальная частота пульса 120 ударов в минуту. Определите период со­кращений сердечной мышцы.

                                  4. Математический маятник совершает свободные ко­лебания около положения равновесия, обозначен­ного точкой О (см. рис.).

                                  Как при движении маятника от точ­ки В к точке О меняется модуль его скорости и модуль горизонтальной составляющей ускорения?

                                  Для каждой физической величины определите соответствующий характер изменения

                                  Физическая величина

                                  А) модуль скорости
                                  Б) модуль горизонтальной

                                  Характер изменения

                                  1) увеличивается
                                  2) уменьшается составляющей ускорения
                                  3) не изменяется

                                  5. Изучая колебания пружин­ного маятника, ученик под­вешивал к пружинам раз­ной жёсткости грузы разной массы и измерял число N полных колебаний за одно и то же время. Результаты из­мерений изображены на ри­сунке.

                                  Какие утверждения соответ­ствуют результатам про­ведённых эксперименталь­ных наблюдений?

                                  Из предложенного перечня утверждений выберите два правильных.

                                  1) при уменьшении массы груза в 4 раза период колебаний увеличивается в 2 раза
                                  2) при увеличении жёсткости пружины в 4 раза период колебаний уменьшается в 2 раза
                                  3) при увеличении жёсткости пружины в 4 раза частота колебаний уменьшается в 2 раза
                                  4) при уменьшении массы груза в 4 раза частота колебаний увеличивается в 2 раза
                                  5) при увеличении массы груза в 4 раза частота колебаний увеличивается в 2 раза

                                  6. Танцевальный коллектив исполнял на дощатой сце­не групповой ритмичный танец. При быстрой смене ритма танца один из танцоров получил травму ноги. Возможно ли дать этому объяснение с точки зрения физики? На каком физическом явлении основывает­ся эта версия? Ответ поясните.

                                  Ответы на тест по физике Механические колебания 9 класс
                                  Вариант 1
                                  1-1
                                  2-4
                                  3. 1 Гц
                                  4. А2 Б1
                                  5. 15
                                  6. Явление резонанса
                                  Вариант 2
                                  1-2
                                  2-2
                                  3. 0,5 с
                                  4. А1 Б2
                                  5. 24
                                  6. Явление резонанса

                                  Версия формата PDF
                                  Тест Механические колебания 9 класс
                                  (249 Кб)

                                  Колебания математического и пружинного маятника

                                  Публикации педагогов, Физика | Комментариев нет

                                  Казахстан, Акмолинская область

                                  Мартыновская ОШ

                                  Учитель физики

                                  Борщ Лена Васильевна

                                  Цели урока: учащиеся усвоят понятия: математического и пружинного маятников, период колебаний математического и пружинного маятников, уяснят от чего зависит период колебаний математического и пружинного маятников.

                                  Тип урока: урок изучения нового материала

                                  Методы обучения: беседа, объяснительно-иллюстративный, информационно-компьютерный, самостоятельная работа.

                                  Цель урока: уяснить от чего зависит период колебаний математического и пружинного маятников.

                                  Оборудование: штативы – 2 шт, нити разной длины, шарики разной массы, пружины – 2 шт,

                                  карта урока – каждому ученику, раздаточный материал, интерактивная доска;

                                  презентация урока.

                                  Ход урока

                                  1. Орг. Момент.

                                  Деление на 2 группы. (с четными номерами 1 группа, с нечетными номерами — 2 группа).

                                  1. Работаем вместе, чтобы достичь общей цели.

                                  1. Помогаем каждому достичь успеха.
                                  2. Успех одного приносит пользу всем.
                                  3. Помогаем друг другу.
                                  4. Сотрудничаем.
                                  5. Разбираемся в вопросах.
                                  6. Приобретаем знания.
                                  7. Делимся знаниями с другими.

                                  2.Повторение .

                                  Физминутка: по карточкам назвать физическую величину, единицу физической величины

                                  (кто быстрее).

                                  S ,t ,υ, m,V, ρ , F, A, N

                                  1 м, 1 м/с , 1 с, 1 м3 , 1кг/м3, 1 Па, 1Дж, 1 Вт, 1 кг.

                                  2. Актуализация знаний.

                                  1 ) Закончить предложение:

                                  1. Движения, которые точно или приблизительно точно повторяются через определенный промежуток времени, называются…МЕХАНИЧЕСКИМИ КОЛЕБАНИЯМИ.
                                  2. Колебания, которые возникают после того, как система была выведена из состояния равновесия и представлена самой себе, называются …СВОБОДНЫМИ.
                                  3. Колебания, происходящие под действием внешней периодической силы, называются … ВЫНУЖДЕННЫМИ,
                                  4. Механические колебания, которые происходят под действием силы, пропорциональной смещению и направленной противоположно ему, являются … ГАРМОНИЧЕСКИМИ КОЛЕБАНИЯМИ.
                                  5. Минимальный интервал времени, через который происходит повторение движения, называется … ПЕРИОДОМ КОЛЕБАНИЙ.
                                  6. Число колебаний в единицу времени называется … ЧАСТОТОЙ КОЛЕБАНИЙ.
                                  7. Наибольшее по модулю смещение тела от положения равновесия называется … АМПЛИТУДОЙ.
                                  8. Свободные колебания являются … ЗАТУХАЮЩИМИ.
                                  9. Вынужденные колебания являются .… НЕЗАТУХАЮЩИМИ.
                                  10. Явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний при совпадении частоты колебаний вынуждающей силы и собственной частоты колебательной системы называется … РЕЗОНАНСОМ.

                                  2) Кто лучше знает формулы? (1 минута) взаимопроверка.

                                  1. Закон Гука.
                                  2. Частота колебаний.
                                  3. Период колебаний.
                                  4. Величина обратная периоду.
                                  5. Величина обратная частоте.
                                  6. Кинетическая энергия.
                                  7. Потенциальная энергия упругодеформированного тела (например, сжатой или растянутой пружины).
                                  8. Сила тяжести.
                                  9. Полная энергия колебательного тела.
                                  10. Второй закон Ньютона.

                                  3. Изучение нового материала.

                                  Учитель: устройства в которых могут осуществляться колебательные процессы , называются колебательными системами.

                                  Рассмотрим колебания простейших из таких систем : математического и пружинного маятников.

                                  Группы получают задания для изучения маятников.:

                                  1 группа изучает математический маятник.

                                  Задание: заполнить кластер (одновременно обе группы)

                                  Опыт: по наблюдению колебаний тяжелого шарика

                                  на длинной нити:

                                  А) сохраняя одну и туже длину, подвешивать

                                  разные шары

                                  В) отклонять его на разные углы

                                  С) менять длину маятника

                                  Период колебаний Период колебаний

                                  Математический

                                  маятник

                                  зависит от: не зависит от:

                                  Определение Формула для периода колебаний

                                  математического маятника

                                  2 группа — пружинный маятник.

                                  Опыт: по наблюдению колебаний груза подвешенного

                                  на пружине :

                                  А) изменить массу груза

                                  В) изменить смещение

                                  С) изменить жесткость пружины –

                                  1) соединив последовательно две пружины;

                                  2) соединив параллельно две пружины.

                                  Период колебаний Период колебаний

                                  Пружинный

                                  маятник

                                  зависит от: не зависит от:

                                  Определение Формула для периода колебаний

                                  пружинного маятника

                                  Защита у доски. Из каждой группы по одному ученику у доски рассказывает о маятнике.

                                  Если частота гармонических колебаний показывает число колебаний в 1 с, то

                                  циклическая частота — равна числу колебаний маятника за 2 πс, т.е.

                                  ω = 2πν = ω =

                                  Т

                                  Задание. Жесткость пружины можно менять, соединяя две стандартные пружины последовательно ( k ) или параллельно (2 k).

                                  2

                                  4. Закрепление нового материала.

                                  Физминутка: (по карточкам, самопроверка по образцу) l, k, T, m, π, g, ω, ν, х, А;

                                  1c, 1c-1, 1м, 1 Н, 1 кг, 1м , 1 Гц, 1рад, 1м , 3,14.

                                  М с2 с с2

                                  Решение задач. Упр.22

                                  1 группа .№1 Вычислите период колебаний математического маятника длиной 1 м.

                                  Дано: Решение:

                                  l = 1 м Т = 2π Т = 2* 3,14* = 2 с

                                  g = 9,8 м/с2 g 9,8

                                  Т -?

                                  Ответ: Т = 2 с.

                                  2 группа .№ 2 Вычислите период колебаний тела массой 1 кг, подвешенного к пружине с коэффициентом жесткости 10 Н/м.

                                  Дано: Решение:

                                  m = 1 ru Т = 2π Т = 2* 3,14* = 2 с

                                  k = 10 Н/м k 10

                                  Т -?

                                  Ответ: Т = 2 с.

                                  № 2 (Весь класс по учебнику) Какой длины должна быть длина математического маятника, чтобы период его колебаний был равен 1 с?

                                  Дано: Решение:

                                  Т = 1 с Т = 2π l = 12 *10 = 0,25 м

                                  g = 9,8 м/с2 g 4 * 3,142

                                  l -? l = Т2 g

                                  4 π2

                                  Ответ: l = 0,25 м.

                                  7. Задание на дом.

                                  § 27 Упр. 2 1 № 3,4

                                  6. Итог урока

                                  Выставление оценок.

                                  Благодарность ученикам.

                                  Оценивание учащихся по карте урока, учителю помогают учащиеся , самооценка.

                                  карта урока (для группы)

                                  Задание Максимальное количество баллов Фактическое количество набранных баллов
                                  1 Физминутка 1 5
                                  2 Закончить предложение 5
                                  3 Знатоки формул 10
                                  4 Кластер 5
                                  5 Физминутка 2 10
                                  6 Решение задач 5
                                  Итого 40

                                  От 40 – 34 оценка «5»

                                  От 33 – 26 оценка « 4»

                                  От 25 — 20 оценка « 3»

                                  8. Рефлексия.

                                  Что было сложно на уроке?

                                  Что понравилось?

                                  Что не понравилось?

                                  Ссылка на материал: https://yadi.sk/i/QZrI2P_K33NEcf

                                  (Просьба не дублировать сообщения, мы отвечаем в течении 1-3 часов)

                                  SHM в маятнике | Блог Гэри Гарбера

                                  SHM в маятнике

                                  Движение простого маятника очень близко к Простому гармоническому движению (SHM). SHM возникает всякий раз, когда восстанавливающая сила пропорциональна смещению, соотношение, часто известное как закон Гука применительно к пружинам.

                                  F = -kx

                                  Где F — восстанавливающая сила, k — жесткость пружины, а x — смещение.

                                  Используя второй закон Ньютона, результирующее ускорение, когда нет других сил, это соотношение принимает вид

                                  мА = F = -kx

                                  , где м — масса, а a — ускорение. В результате вектор ускорения пропорционален смещению (и в противоположном направлении).

                                  Когда объект находится в SHM, он следует по пути синусоиды.

                                  Как можно увидеть это синусоидальное движение в маятнике?

                                  Одним из способов может быть использование ультразвукового датчика движения для наблюдения за положением маятника в режиме реального времени.

                                  Другой способ — использовать беспроводной акселерометр. Вот пример ускорения маятника, снятого с помощью беспроводного акселерометра WDSS производства Vernier.

                                  Мой любимый способ — использовать анализ изображений. Можно было бы использовать веб-камеру, чтобы собрать видеозапись маятника. Вы можете проанализировать положение шаг за шагом, используя Vernier LoggerPro или Video Physics. Существуют виртуальные приборы LabView, которые позволяют выполнять анализ изображений.

                                  Вот классная HTML-версия анализа изображений Lab View, разработанная в Tufts CEEO. Обратите внимание, что вам нужно использовать Chrome для вашего браузера. Обратите внимание на маятниковый шар для боулинга с задней лестницы BUA. Используя эту страницу, нарисуйте круг на шаре для боулинга и настройте пороговое значение. Затем нажмите кнопку «Отслеживать»! Фактически вы можете экспортировать данные в Google Doc.

                                  В случае маятника, если амплитуда этих циклов мала (q меньше 15 градусов), то можно использовать Приближение малого угла для маятника и движение почти SHM. График зависимости положения маятника от времени выглядит как синусоида. Вы можете наблюдать синусоидальное движение маятника в Physlet Эндрю Даффи из Бостонского университета.

                                  Эта модель периода маятника применима только для малоуглового приближения. Когда амплитуда становится больше 10 градусов, период отклоняется от этого уравнения. Движение больше не синусоидальное, как показано в Physlet.

                                  Причина, по которой это приближение работает, заключается в том, что для малых углов SIN θ ≈ θ.
                                  Это объяснение может быть определено с помощью разложения в ряд Тейлора для SIN числа θ, где

                                  Для малых углов (в радианах) степени θ становятся все меньше, поэтому члены высшего порядка в ряду Тейлора исчезают.

                                  Таким образом, мы можем использовать приближение малого угла при анализе маятника с помощью законов Ньютона.

                                  На маятник действуют две силы: гравитация и натяжение нити.

                                  Мы можем проанализировать движение маятника, используя закон Ньютона 2 и во вращательных координатах. В этом случае натяжение всегда перпендикулярно движению маятника. Таким образом, хотя напряжение меняет направление маятника, оно не меняет его скорости.

                                  Возвращающая сила на маятник возникает под действием силы тяжести. Между прочим, из-за собственной инерции маятника вы увидите, что масса маятника исключается из уравнений, а период маятника не зависит от массы.

                                  Поскольку гравитация направлена ​​вниз, нам нужно взять составляющую гравитации, которая параллельна ее движению. Работать будет только та составляющая силы тяжести, которая параллельна направлению движения. В этом случае сила, действующая на маятник, может быть выражена как

                                  F= g SINθ

                                  . L — длина маятника.

                                  Использование второго закона Ньютона во вращательных координатах

                                  где I — инерция вращения или момент инерции, определяемый формулой I = mL 2 , а α — угловое ускорение. В этом случае мы можем сказать, что

                                  и множитель m и L сокращаются, сводясь к

                                  Используя малоугловое приближение SINθ ≈ θ , это уравнение приблизительно равно

                                  gθ0=Lα

                                  или

                                  Здесь мы имеем условия для простого гармонического движения, где угловое ускорение пропорционально угловому смещению. Решение этого уравнения состоит в том, что

                                  где угловая частота ω пропорциональна линейной частоте f по формуле

                                  ω=2πf

                                  Частота f обычно измеряется в угловых частотах в секунду. измеряется в радианах в секунду.

                                  Используя исчисление и взяв вторую производную нашего выражения для углового положения, мы находим

                                  Подставляя это в

                                  gθ=Lα

                                  мы находим, что


                                  Поскольку член синуса сокращается, давая нам выражение угловой частоты с точки зрения силы тяжести и длины.

                                  Используя определение угловой частоты и обратную связь между периодом времени и частотой

                                  Таким образом, период маятника пропорционален квадратному корню из длины маятника и обратно пропорционален квадрату корень ускорения свободного падения.

                                  Pendulums — AP Physics 1

                                  All AP Physics 1 Ресурсы

                                  7 Диагностические тесты 170 практических тестов Вопрос дня Карточки Learn by Concept

                                  ← Предыдущая 1 2 3 Следующая →

                                  AP Physics 1 Справка » Ньютоновская механика » Круговое, вращательное и гармоническое движение » Гармоничное движение » Маятники

                                  Шар массой 2 кг прикреплен к нити длиной 4 м, образуя маятник. Если струну поднять под углом 30 градусов ниже горизонтали и отпустить, какова будет скорость мяча, когда он пройдет через самую нижнюю точку?

                                  Возможные ответы:

                                  Правильный ответ:

                                  Пояснение:

                                  Этот вопрос касается сохранения энергии в форме маятника. Уравнение сохранения энергии:

                                  Согласно постановке задачи нет начальной кинетической энергии и конечной потенциальной энергии. Уравнение принимает вид:

                                  Подставляя выражения для потенциальной и кинетической энергии, получаем:

                                  Мы можем исключить массу, чтобы получить:

                                  Преобразовывая конечную скорость, мы получаем:

                                  Чтобы найти скорость, нам нужно найти начальную высоту мяча.

                                  Следующая диаграмма поможет визуализировать систему:

                                  Отсюда мы можем написать:

                                  Используя длину нити и угол, под которым она удерживается, мы можем найти:

                                  2

                                  Теперь, когда у нас есть вся информация, мы можем вычислить конечную скорость:

                                  Сообщить об ошибке

                                  Период маятника составляет 5 секунд. Если длину нити маятника увеличить в четыре раза, чему равен новый период маятника?

                                  Возможные ответы:

                                  Правильный ответ:

                                  Пояснение:

                                  Нам нужно знать, как рассчитать период маятника, чтобы решить эту задачу. Формула периода:

                                  В задаче мы изменяем только длину строки. Следовательно, мы можем переписать уравнение для каждого сценария:

                                  Разделив одно выражение на другое, мы получим соотношение:

                                  Мы знаем, что , поэтому мы можем переписать выражение как: для P2 получаем:

                                  Сообщить об ошибке

                                  Студент, изучавший ньютоновскую механику в 19 веке, скептически относился к некоторым концепциям Ньютона. У ученика есть маятник с периодом 3 секунды, когда он сидит на парте. Он прикрепляет маятник к воздушному шару и сбрасывает его с крыши здания университета высотой 20 метров. Другой ученик понимает, что маятник ударяется о землю со скоростью . Каков период падения маятника на землю?

                                  Сопротивлением воздуха пренебречь и принять 

                                  Возможные ответы:

                                  Правильный ответ:

                                  Пояснение:

                                  Нам нужно знать формулу периода маятника, чтобы решить эту задачу:

                                  Нам не известна длина маятника, но это нормально. Мы могли бы решить это, но это был бы ненужный шаг, поскольку длина остается постоянной.

                                  Мы можем написать эту формулу для маятника, когда он находится на столе ученика и когда он падает:

                                  1 означает на столе, а 2 означает падение. Единственное, что различается между этими двумя состояниями, — это период и гравитация (технически ускорение всей системы, но это форма, в которой вы, скорее всего, увидите формулу). Мы можем разделить два выражения, чтобы получить отношение:

                                  Сокращая константы и переставляя, мы получаем:

                                  Мы знаем g1; это просто 10. Однако нам нужно вычислить g2, то есть скорость, с которой маятник и воздушный шар ускоряются по направлению к земле. Нам дано достаточно информации, чтобы использовать следующую формулу, чтобы определить это:

                                  Убрав начальную скорость и переставив на ускорение, получим:

                                  Подставив наши значения:

                                  Это наш g2. Теперь у нас есть все значения для T2:

                                  Сообщить об ошибке

                                  Маятник массы имеет период. Если масса увеличилась в четыре раза, каков будет новый период маятника с точки зрения ?

                                  Возможные ответы:

                                  Правильный ответ:

                                  Пояснение:

                                  Масса маятника не влияет на его период. Уравнение для периода маятника

                                  , которое не включает массу.

                                  Сообщить об ошибке

                                  Сколько времени потребуется маятнику такой длины, чтобы завершить один период своего колебания?

                                  Возможные ответы:

                                  Правильный ответ:

                                  Пояснение:

                                  Период маятника определяется по следующей формуле:

                                   

                                  Подставляя наши значения, мы получаем:

                                  Примерно 6,3 секунды — это время, за которое маятник совершает один период.

                                  Сообщить об ошибке

                                  В лаборатории студент создал маятник, подвесив груз на веревке. Учащийся выводит маятник из состояния покоя и с помощью датчика и компьютера находит уравнение движения маятника: длина строки. Ученик снова выпускает вес из состояния покоя из-за того же смещения от равновесия. Каким будет новое уравнение движения маятника?

                                  Возможные ответы:

                                  Правильный ответ:

                                  Пояснение:

                                  Период и частота колебаний маятника зависят только от его длины и постоянной силы тяжести, . Изменение массы маятника не влияет на частоту, а поскольку ученик отпустил новый маятник с того же смещения, что и старый, амплитуда и фаза остаются прежними, а уравнение движения одинаково для обоих маятников.

                                  Сообщить об ошибке

                                  В лаборатории студент создал маятник, подвесив груз на веревке. Учащийся освобождает маятник от состояния покоя и с помощью датчика и компьютера находит уравнение движения маятника: масса веса. Ученик снова выпускает вес из состояния покоя из-за того же смещения от равновесия. Каким будет новое уравнение движения маятника?

                                  Возможные ответы:

                                  Правильный ответ:

                                  Пояснение:

                                  Удвоение длины маятника увеличивает период, поэтому уменьшается частота маятника. Частота зависит от квадратного корня из длины, поэтому частота уменьшается в раз. Ни один из других параметров (амплитуда, фаза) не изменяется.

                                  Сообщить об ошибке

                                  К днищу маятника прикреплена масса . Определите частоту маятника, если его отпустить под небольшим углом.

                                  Возможные ответы:

                                  Правильный ответ:

                                  Объяснение:

                                  Частота маятника определяется как:

                                  Где длина маятника и гравитационная постоянная. Обратите внимание, что частота не зависит от массы.

                                  Подстановка значений:

                                  Сообщить об ошибке

                                  Как увеличение массы на конце маятника изменит период его движения? Допустим малый угол выброса.

                                  Возможные ответы:

                                  Это зависит от того, сколько массы будет добавлено

                                  Не будет изменения

                                  Это увеличит

                                  . Это не будет уменьшаться

                                  Правильный ответ:

                                  Не будет изменение

                                  . Объяснение:

                                  Частота маятника определяется как:

                                  Где длина маятника и гравитационная постоянная. Частота не зависит от массы. Таким образом, добавление массы не будет иметь никакого эффекта.

                                  Сообщить об ошибке

                                  Если простой маятник колеблется на Земле, его период составляет . Теперь предположим, что этот же маятник был перенесен на Луну, где гравитационное поле в 6 раз меньше, чем у Земли.

                                  Каков период  этого маятника на Луне с точки зрения ?

                                  Возможные ответы:

                                  Правильный ответ:

                                  Объяснение:

                                  Период простого маятника определяется как: 

                                  Где  это период маятника,  это длина маятника, и это гравитационная постоянная планеты, на которой мы находимся. Таким образом, на Земле период определяется как:

                                  , что является гравитационной постоянной Земли. Период на Луне определяется как: 

                                  , где – гравитационная постоянная Луны. Поскольку гравитация Луны в 6 раз слабее земной, мы имеем: 

                                   

                                  Подставьте это значение в уравнение лунного маятника: 

                                  С тех пор,

                                  Заменить это в вышеуказанное выражение дает нам

                                  Отчет о ошибке

                                  ← Предыдущий 1 2 3 Следующий →

                                  . 170 практических тестов Вопрос дня Карточки Learn by Concept

                                  Законы движения маятника | Наука

                                  Маятники обладают интересными свойствами, которые физики используют для описания других объектов. Например, планетарная орбита следует той же схеме, и качание на качелях может показаться вам маятником. Эти свойства вытекают из ряда законов, управляющих движением маятника. Изучив эти законы, вы сможете начать понимать некоторые из основных принципов физики и движения в целом.

                                  Движение маятника можно описать с помощью

                                  \theta (t)=\theta_{max}\cos{\frac{2\pi t}{T}}

                                  , где ​ θ ​угол между нитью и вертикальной линией, проходящей по центру, ​ t ​ представляет собой время, а ​ T ​ представляет собой период, время, необходимое для совершения одного полного цикла движения маятника (измеряется ​ 1/ f ​), движения маятника.

                                  Простое гармоническое движение

                                  Простое гармоническое движение ​, или движение, описывающее, как скорость объекта колеблется пропорционально величине смещения от равновесия, может использоваться для описания уравнения маятника. Качание маятника поддерживается этой силой, действующей на него, когда он движется вперед и назад.

                                  ••• Сайед Хуссейн Атер

                                  Законы, управляющие движением маятника, привели к открытию важного свойства. Физики разделяют силы на вертикальную и горизонтальную составляющие. В маятниковом движении на маятник действуют три силы ​: масса груза, сила тяжести и натяжение нити. Масса и гравитация действуют вертикально вниз. Поскольку маятник не движется ни вверх, ни вниз, вертикальная составляющая натяжения нити уравновешивает массу и гравитацию.

                                  Это показывает, что масса маятника не имеет отношения к его движению, в отличие от горизонтального натяжения нити. Простое гармоническое движение похоже на круговое движение. Вы можете описать объект, движущийся по круговому пути, как показано на рисунке выше, определив угол и радиус, который он принимает на соответствующем круговом пути. Затем, используя тригонометрию прямоугольного треугольника между центром окружности, положением объекта и смещением в обоих направлениях x и y, вы можете найти уравнения x = rsin(θ) ​ и ​ y = rcos(θ).

                                  Одномерное уравнение объекта в простом гармоническом движении задается как ​ x = r cos (ωt). ​ Далее можно заменить ​ A ​ на ​ r ​, где ​ A ​ — это ​ амплитуда ​, максимальное смещение от исходного положения объекта.

                                  Угловая скорость ​ ω ​ относительно времени ​ t ​ для этих углов ​ θ ​ определяется как ​ θ = ωt ​. Если подставить уравнение, связывающее угловую скорость с частотой f , ω = 2 πf , то можно представить это круговое движение как часть маятника, качающегося вперед и назад, тогда результирующее уравнение простого гармонического движения:​ простых гармонических осциллятора ​: существует возвращающая сила, которая увеличивается в зависимости от того, насколько смещен маятник, и их движение можно описать с помощью ​ простого уравнения гармонического осциллятора

                                  \theta (t)=\theta_{max}\cos{\ frac{2\pi t}{T}}

                                  , где ​ θ ​ представляет угол между струной и вертикальной линией вниз по центру, ​ t ​ представляет время и ​ T ​ представляет собой ​ период ​, время, необходимое для совершения одного полного цикла движения маятника (измеряется ​ 1/ф ​), движения маятника.

                                  θ max ​ — это еще один способ определения максимального угла, который колеблется при движении маятника, и еще один способ определения амплитуды маятника. Этот шаг объясняется ниже в разделе «Определение простого маятника».

                                  Другое следствие законов простого маятника состоит в том, что период колебаний с постоянной длиной не зависит от размера, формы, массы и материала объекта на конце струны. Это ясно видно из простого вывода маятника и полученных уравнений.

                                  Вывод простого маятника

                                  Вы можете определить уравнение для простого маятника , определение, которое зависит от простого гармонического осциллятора, из ряда шагов, начиная с уравнения движения маятника. Поскольку сила тяжести маятника равна силе движения маятника, вы можете установить их равными друг другу, используя второй закон Ньютона с массой маятника ​ M ​, длиной струны ​ L ​, углом ​ θ, ​ ускорение свободного падения ​ g ​ и интервал времени ​ t ​.

                                  ••• Сайед Хуссейн Атер

                                  Вы установили второй закон Ньютона равным моменту инерции ​ I=mr 2 ​для некоторой массы ​ m ​ и радиуса кругового движения (длина струны в данном случае) ​ r ​ умножить на угловое ускорение ​ α ​.

                                  1. ΣF = Ma ​ : Второй закон Ньютона гласит, что результирующая сила ​ ΣF ​ на объекте равно массе объекта, умноженной на ускорение.
                                  2. Ма = I α ​: Это позволяет установить силу гравитационного ускорения (​ -Mg sin(θ)L) ​ равной силе вращения
                                  3. -Mg sin(θ )L = I α ​: Вы можете получить направление вертикальной силы силы тяжести (​ -Mg ​), рассчитав ускорение как ​ sin(θ)L ​, если ​ sin(θ ) = d/L ​ для некоторого горизонтального смещения ​ d ​ и угол ​ θ ​ для учета направления.
                                  4. -Mg sin(θ)L = ​ML 2 α: Вы подставляете уравнение для момента инерции вращающегося тела, используя длину струны L в качестве радиуса.
                                  5. -Mg sin(θ)L = -ML 2 d 2 θ/dt ​: Учет углового ускорения путем подстановки второй производной угла по времени за а. ​ Этот шаг требует исчисления и дифференциальных уравнений.
                                  6. d 2 θ/dt 2 + (g/L)sinθ = 0 ​: Вы можете получить это путем перестановки обеих частей уравнения 2 + (g/L)θ = 0 ​: Вы можете аппроксимировать sin(θ) как θ ​ для простого маятника при очень малых углах колебаний
                                  7. θ(t) = θ макс. cos (t (л/г) 2 ) ​: Уравнение движения имеет это решение. Вы можете проверить это, взяв вторую производную этого уравнения и работая, чтобы получить шаг 7. 

                                  Существуют и другие способы сделать простой вывод маятника. Поймите значение каждого шага, чтобы увидеть, как они связаны. Вы можете описать простое движение маятника с помощью этих теорий, но вы также должны принять во внимание другие факторы, которые могут повлиять на теорию простого маятника.

                                  92}

                                  к уравнению простого гармонического осциллятора ​ b ​y приравняв их друг к другу, можно вывести уравнение для периода T:

                                  T=2\pi\sqrt{\frac{g} {L}}

                                  Обратите внимание, что это уравнение не зависит ни от массы M маятника, амплитуды θ max , ни от времени t . Это означает, что период не зависит от массы, амплитуды и времени, а вместо этого зависит от длины струны. Это дает вам краткий способ выразить движение маятника. 92}{g}

                                  и замените 1 с на T и 9,8 м/с 2 на g , чтобы получить L = 0,0025 м. Имейте в виду, что эти уравнения простой теории маятника предполагают, что длина струны не имеет трения и не имеет массы. Для учета этих факторов потребуются более сложные уравнения.

                                  Простое определение маятника

                                  Вы можете потянуть маятник за угол ​ θ ​, чтобы он качался вперед и назад, чтобы увидеть, как он колеблется, как пружина. Для простого маятника вы можете описать его, используя уравнения движения простого гармонического осциллятора. Уравнение движения хорошо работает для меньших значений угла и амплитуда ​, максимальный угол, потому что простая модель маятника основана на приближении, что sin(θ) θ ​ для некоторого угла маятника θ. ​ Поскольку значения углов и амплитуд становятся больше примерно 20 градусов, это приближение также не работает.

                                  Попробуйте сами. Маятник, качающийся с большим начальным углом θ , не будет колебаться так регулярно, чтобы вы могли использовать простой гармонический осциллятор для его описания. При меньшем начальном угле θ , маятник гораздо легче приближается к регулярному колебательному движению. Поскольку масса маятника не влияет на его движение, физики доказали, что все маятники имеют одинаковый период для углов колебаний — угол между центром маятника в его высшей точке и центром маятника в его остановленном положении — меньше чем 20 градусов.

                                  Для всех практических целей движущегося маятника, маятник в конечном итоге замедляется и останавливается из-за трения между нитью и точкой крепления наверху, а также из-за сопротивления воздуха между маятником и воздухом вокруг него.

                                  Для практических примеров движения маятника период и скорость будут зависеть от типа используемого материала, который вызовет эти примеры трения и сопротивления воздуха. Если вы выполняете расчеты теоретического колебательного поведения маятника без учета этих сил, то это будет учитывать маятник, колеблющийся бесконечно.

                                  Законы Ньютона в маятниках

                                  Первый закон Ньютона определяет скорость объектов в ответ на воздействие сил. Закон гласит, что если объект движется с определенной скоростью и по прямой линии, он будет продолжать двигаться с этой скоростью и по прямой линии бесконечно, пока на него не действует никакая другая сила. Представьте, что вы бросаете мяч прямо вперед — мяч будет вращаться вокруг земли снова и снова, если бы на него не действовали сопротивление воздуха и гравитация. Этот закон показывает, что, поскольку маятник движется из стороны в сторону, а не вверх и вниз, на него не действуют силы, направленные вверх и вниз.

                                  Второй закон Ньютона используется для определения результирующей силы, действующей на маятник, путем установления силы гравитации равной силе струны, натягивающей маятник. Приравняв эти уравнения друг к другу, вы получите уравнения движения маятника.

                                  Третий закон Ньютона гласит, что на каждое действие есть противодействие равной силы. Этот закон работает с первым законом, показывающим, что, хотя масса и гравитация компенсируют вертикальную составляющую вектора натяжения струны, ничто не компенсирует горизонтальную составляющую. Этот закон показывает, что силы, действующие на маятник, могут компенсировать друг друга.

                                  Физики используют первый, второй и третий законы Ньютона, чтобы доказать, что горизонтальное натяжение струн приводит в движение маятник независимо от массы или силы тяжести. Законы простого маятника следуют идеям трех законов движения Ньютона.

                                  Математика | Бесплатный полнотекстовый | Метод оптимальных вспомогательных функций для наматывания маятника на два цилиндра

                                  1. Введение

                                  Изучение простого маятника имеет долгую историю. В эпоху Возрождения Леонардо да Винчи сделал несколько рисунков, связанных с движением маятника, не осознавая тогда его большого значения для хронометрии. Начиная примерно с 1602 года, Галилео Галилей впервые изучил свойства маятника, изохронизмы и обнаружил, что период этой системы примерно не зависит ни от амплитуды, ни от качания. Кроме того, он продемонстрировал, что период пропорционален квадратному корню из длины маятника, но не зависит от массы. Через сорок лет он задумал и продиктовал сыну проект маятниковых часов. Маятник был первым гармоническим осциллятором, использованным человеком [1]. В 1673 г. Гюйгенс обнаружил, что период маятника идентичен, независимо от того, висит ли он на своем центре колебаний или на своей оси [2]. В 1818 году Генри Катер изобрел так называемый обратимый маятник Катера, сделавший возможным очень точное измерение гравитации. В 1851 г. Фуко сделал известными свои исследования, и вспыхнула «маятниковая мания» [3]. Около 1900, потребность в более точных часах привела к использованию материалов с низким тепловым расширением для стержней маятника. В 1921 г. был изобретен кварцевый генератор, а в 1927 г. кварцевые часы заменили маятниковые [4]. Маятниковые гравиметры были заменены гравиметрами «свободного падения» в 1950-х годах [5], но маятниковые приборы продолжали рассматриваться до 1970-х годов. В 1721 г. Г. Грэм [6] изобрел ртутный маятник, вес которого представлен сосудом с ртутью, и в этом случае стержень маятника удлиняется с повышением температуры. В 1726 Дж. Харрисон изобрел решетчатый маятник, состоящий из чередующихся стержней из разных металлов с совершенно разными свойствами теплового расширения (соответственно стали и цинка или латуни). В 1896, C.E. Guillaume изобрел сплав никеля и стали [4]. Инваровый маятник был впервые использован в часах-регуляторах Riefler, что позволило добиться превосходной точности. В 1826 г. Г. Эйри доказал наименьшее возмущающее влияние движущей силы на период, если давать маятник короткого типа, например маятник Репсольда-Бесселя [7], гравиметры Ван-Штернека и Мендельхолла, гравиметры с двойным маятником, гравиметр Гольфа [ 8] и так далее.

                                  Динамические механические системы, обладающие маятником, возникают во многих областях деятельности, и многие ученые обращали внимание на получение управляющего уравнения маятников. Вышеупомянутые исследования были позже распространены на другие типы маятников с различными условиями их динамического поведения.

                                  Хамуда и Пирс [9] проанализировали лопасти винта вертолета (похожие на простой маятник) для подавления корневых реакций. Общие нелинейные уравнения движения линеаризуются. Они рассматривают бесшарнирную лопасть несущего винта, возбуждаемую гармоническим изменением распределения воздушной нагрузки по размаху. Простой лоскут и маятник опережения-запаздывания рассматриваются индивидуально. Также исследовалась массовая эффективность маятника.

                                  Всестороннее обсуждение поправок, необходимых для точного измерения ускорения свободного падения с помощью плоского маятника, предоставлено Нельсоном и Олсоном [10]. Описан простой лабораторный эксперимент, в котором g определено с точностью до четырех значащих цифр. Влияние силы Кориолиса, действующей на груз во время стоянки, оценивается путем адаптации анализа системы пружина-маятник к почти жесткому пределу. В их исследовании использовались линейное и квадратичное демпфирование и было разработано разложение по возмущению малого безразмерного параметра.

                                  Ге и Ку [11] расширили мельниковский подход (который традиционно ограничивался изучением слабых нелинейных явлений, включая достаточно малое гармоническое возбуждение) на маятник, подвешенный на вращающемся плече, описываемом двумерными дифференциальными уравнениями. Эти уравнения обладают сильно нечетной нелинейной функцией смещения и подвержены большому гармоническому возбуждению.

                                  Нестер и др. В работе [12] представлены экспериментальные исследования динамического отклика роторных систем, оснащенных центробежными маятниковыми гасителями колебаний. Рассмотрены два типа поглотителей, которые демонстрируют разные типы нелинейного поведения.

                                  Пространственный двойной маятник, состоящий из двух маятников, качающихся в разных плоскостях, проанализирован в [13] Бендерским и Сандлером. Некоторые программы Mathlab были предложены для решения нелинейных дифференциальных уравнений. Частотные спектры были получены с помощью преобразования Фурье. Решения свободных колебаний и частотных спектров использовались в динамических исследованиях для различных начальных условий движения.

                                  Малая эллиптичность движения, возмущающего классический параметрический маятник, изучалась Horton et al. [14]. Вармински и Кечик проанализировали движение нелинейного осциллятора с прикрепленным маятником, возбуждаемое моментом его точки подвеса, осциллятор и маятник сильно связаны инерционными членами [15]. В [16] Кечик и Вармински предложили новую подвеску, состоящую из полуактивного магнитореологического демпфера и нелинейной пружины для управления движениями. Таким образом, нестабильные участки и хаотическое или вращательное движение маятника уменьшаются.

                                  Вариант простого маятника с использованием квадратных пластин был исследован Rafat et al. [17]. Получены равновесные конфигурации и нормальные формы колебаний. Уравнения движения решались численно для получения сечений Пуанкаре. Точное аналитическое решение дифференциального уравнения нелинейного маятника получено с помощью метода гомотопического анализа Туркилмазоглу [18]. Полученные явные аналитические выражения для частоты, периода и смещения сравниваются с численными.

                                  Аврейцевич [19] исследовал математическое движение маятника, совершающего колебания в плоскости, вращающейся с угловой скоростью. В [20] исследуется трехмерный двойной маятник, соединенный двумя универсальными шарнирами. В [21] для распознавания резонансов, возникающих в параметрически и внешне возбуждаемом нелинейном пружинном маятнике, применялся метод множественных масштабов. В [22] методом баланса энергии были получены аппроксимации достижения нелинейной частоты для маятника, прикрепленного к катящимся колесам, удерживаемым пружиной. Нелинейные колебания маятника, намотанного на два цилиндрических основания, исследовали Мазахери и др. [23]. Для получения аналитического решения используется метод множественных масштабов и анализируются эффекты амплитуды и радиуса цилиндра.

                                  Бубакер представил в [24] обзор перевернутого маятника в нелинейной теории управления, предлагающий общую картину исторических, текущих и тенденций развития. Синхронизация двух маятников, установленных на взаимном основании, исследована Алеврасом и др. [25] и был получен отклик маятника при возбуждении основания случайной синусоидальной силой. Влияние внешнего гармонического возбуждения на цепочку нелинейного маятника исследовали Jallouli et al. в [26] при одновременном внешнем и параметрическом возбуждении.

                                  В этой статье мы предлагаем новую процедуру, метод оптимальных вспомогательных функций (OAFM), для исследования нелинейных колебаний простого маятника, ограниченного двумя цилиндрами в точке подвеса. Длина этого маятника варьируется за счет наматывания на цилиндры. Такие маятниковые системы с такими дополнительными условиями наряду с их динамическим поведением могли бы найти применение в аэрокосмической технике и кораблестроении.

                                  В отличие от других процедур решения, применяемых для нахождения приближенных аналитических решений нелинейных динамических систем, предлагаемый подход основан на оригинальном построении решения с использованием небольшого числа параметров управления сходимостью, которые являются базовыми компонентами исходных вспомогательных функций, введенных в нынешние разработки. Эти параметры обеспечивают высокую точность сравнения наших приближенных решений с точными или численными.

                                  Точность полученных результатов подтверждена численными разработками, подтверждающими аналитические результаты.

                                  2. Метод оптимальных вспомогательных функций

                                  Основы OAFM можно найти в [27,28], где OAFM применяется для решения различных задач. Чтобы разработать приложение OAFM, рассмотрим нелинейное дифференциальное уравнение [27,28,29]:

                                  где L — линейный оператор, N — нелинейный оператор, g — известная функция, x — независимая переменная, а u(x) — неизвестная функция на данном этапе. Начальные или граничные условия:

                                  Как известно, для сильно нелинейных уравнений типа (1) и (2) часто очень трудно найти точное решение [30]. Чтобы найти приближенное решение u˜(x), мы предполагаем, что это может быть выражено как

                                  где начальное и первое приближение будут получены, как описано ниже. После подстановки уравнения (3) в уравнение (1) получаем

                                  где C i , i = 1,2,…,s — параметры контроля сходимости, которые будут строго определены.

                                  Начальное приближение u0(x) можно определить из линейного уравнения

                                  в то время как первое приближение получается из уравнений (4) и (5):

                                  Нелинейный член из уравнения (6) расширяется как

                                  Во избежание трудностей, возникающих при решении уравнения (6), а также для ускорения сходимости решения u˜(x,Ci) вместо последнего члена можно предложить другое выражение, так что это уравнение можно переписан как

                                  где А 1 и A 2 — вспомогательные функции, зависящие от начального приближения u0(x) и некоторых параметров управления сходимостью C j , C k , j = 1,2,. ..,p, k = p + 1, p + 2,…,s и F(N[u0(x)]) — функции, зависящие от выражений, входящих в нелинейный член N[u0(x)]. Следует подчеркнуть, что вспомогательные функции A 1 и A 2 (именно оптимальные вспомогательные функции) и F(N[u0(x)]) не единственны, но эти вспомогательные функции имеют одинаковый вид, аналогичный и0(х). Точнее, если u0(x) полиномиальная функция, то A 1 и A 2 являются суммами полиномиальных функций. Если u0(x) — экспоненциальная функция, то A 1 и A 2 — суммы экспоненциальных функций. В случае u0(x), являющейся тригонометрической функцией, следует, что A 1 и A 2 являются суммами тригонометрических функций и т.д.

                                  В случае, когда N[u0(x)]=0, то u0(x) является точным решением исходного уравнения.

                                  Первоначально неизвестные параметры контроля сходимости C j и C k могут быть точно и оптимально определены с помощью различных методов, среди которых метод наименьших квадратов, метод Галеркина, метод коллокации, метод Ритца, но предпочтительным является минимизация квадратичной остаточной ошибки:

                                  куда

                                  в котором приближенное решение u˜(x,Ci) дается уравнением (3). Неизвестные параметры C 1 , C 2 ,…, C s определяются из условий

                                  Аналогичные результаты можно получить, наложив условия

                                  При использовании описанного выше подхода приближенное решение завершается после определения оптимальных значений параметров управления сходимостью C i , i = 1,2,…,s. Следовательно, наша процедура включает вспомогательные функции A 1 и A 2 , которые обеспечивают эффективный способ настройки и контроля сходимости окончательных решений u˜(x,Ci). Необходимо отметить важность тщательного выбора функций A 1 и A 2 участвует в построении первого приближения u1(x,Ci). Уже было доказано, что наш метод легко применим для решения нелинейных задач без малых и больших параметров, в том числе для систем с большим количеством степеней свободы [27].

                                  3. Уравнение движения

                                  Далее мы приводим основное уравнение простого маятника, оборачивающего два цилиндра в точке подвеса [23]. Длина маятника равна L, а радиус цилиндров равен r (рис. 1).

                                  Движение системы описывается обобщенной координатой θ, но длина струны меняется. Кинетическая энергия может быть выражена в виде

                                  где m — масса маятника, а точка — дифференцирование по времени.

                                  Потенциальная энергия становится

                                  Из уравнения Лагранжа можно положить

                                  После некоторых манипуляций получается:

                                  где а = r/L. Начальные условия для уравнения (16):

                                  4. Применение OAFM к маятниковой обмотке двух цилиндров

                                  Если ввести независимую переменную τ=Ωt и зависимую переменную φ=θA−1, то основные уравнения (16) и (17) станут

                                  где Ω — частота системы, а штрих означает дифференцирование по τ.

                                  Для уравнения (18) линейный оператор может быть определен в виде

                                  с g(τ)=0, а соответствующий нелинейный оператор есть

                                  Уравнение (5) становится

                                  и имеет решение

                                  Подставляя уравнение (23) в уравнение (21), получаем

                                  Учитывая, что

                                  и подставляя уравнения (25)–(28) в уравнение (24), можно получить

                                  С учетом уравнений (8) и (29) вспомогательные функции можно выбрать в виде

                                  где C 1 , C 2 , C 3 и C 4 неизвестные параметры, а α, β, γ получены из уравнения (29):

                                  Мы также можем выбрать вспомогательные функции A 1 и A 2 и функцию F следующим образом

                                  или же

                                  и так далее.

                                  Подставив уравнение (30) в уравнение (8), получим

                                  Во избежание светских терминов следует ввести следующее условие

                                  Из уравнений (31) и (35) можно получить

                                  куда

                                  Решение (34) имеет вид

                                  Из уравнений (3), (23) и (37) и преобразований τ=Ωt и φ=θA−1 можно получить приближенное решение уравнения (16) первого порядка в виде

                                  где коэффициенты α, β и γ даны в уравнении (31) и Ω в уравнении (36).

                                  5. Результаты и обсуждение

                                  Чтобы подчеркнуть точность нашего подхода, мы рассматриваем различные наборы значений параметров a, A и L. Мы анализируем решение θ˜ в 10 различных случаях и проводим сравнения между результаты аналитического и численного интегрирования. Кроме того, мы представляем графическое сравнение фазовой плоскости и сравнение между частотами Ω, заданными аналитическими разработками (36) и результатами численного интегрирования соответственно. Параметры расчета выбраны так, чтобы отражать реальные случаи, с которыми можно столкнуться на практике.

                                  5.1. Случай 1

                                  Сначала рассмотрим A = 0,1, a = 0,2, L = 0,6 и g = 9,8. С помощью предложенной процедуры путем минимизации функции невязки оптимальные значения параметров управления сходимостью C i и частоты (36) равны

                                  Решение (38) можно записать следующим образом:

                                  На рис. 2 и 3 показано сравнение приближенного решения (39) с результатами численного интегрирования и фазовой плоскостью в данном случае соответственно.

                                  5.2. Случай 2

                                  Для A = 0,1, a = 0,4, L = 0,6 получаем

                                  Решение (38) в этом случае может быть записано следующим образом:

                                  Сравнение аналитического решения (40) и результатов численного интегрирования представлено на рис. 4 и рис. 5.

                                  5.
                                  3. Случай 3

                                  Для A = 0,1, a = 0,6, L = 0,6 можно получить

                                  Графическое сравнение аналитических и численных результатов в этом случае представлено на Рисунке 6 и Рисунке 7.

                                  5.4. Случай 4

                                  Для A = 0,2, a = 0,2, L = 0,6 выполняется равенство

                                  Рисунок 8 и Рисунок 9 подчеркивают сравнение аналитического решения (42) с результатами численного интегрирования.

                                  5.5. Случай 5

                                  Для A = 0,2, a = 0,4, L = 0,6 выполняется равенство

                                  Сравнение аналитического решения (43) и соответствующих результатов численного интегрирования представлено на рис. 10 и рис. 11.

                                  5.6. Случай 6

                                  Для A = 0,2, a = 0,6, L = 0,6 получаем

                                  На Рисунке 12 и Рисунке 13 показано сравнение приближенного решения (44) и результатов численного интегрирования в этом случае.

                                  5.7. Случай 7

                                  В этом случае для A = 0,3, a = 0,2, L = 0,6 получается

                                  Графическое сравнение аналитических и численных результатов для этого случая представлено на Рис. 14 и Рис. 15.

                                  5.8. Случай 8

                                  Учитывая A = 0,3, a = 0,4, L = 0,6, отсюда следует, что

                                  Рисунок 16 и Рисунок 17 подчеркивают сравнение аналитического решения (46) с результатами численного интегрирования.

                                  5.9. Случай 9

                                  В этом случае мы рассматриваем A = 0,3, a = 0,6, L = 0,6, такие, что

                                  Графическое сравнение аналитических и численных результатов в этом случае представлено на Рисунке 18 и Рисунке 19. Кроме того, в Таблице 1 представлено сравнение значений частоты, полученных в рассмотренных выше случаях.

                                  5.10. Случай 10

                                  Классический простой маятник получается из уравнения (16) в случае отсутствия цилиндра. Поэтому при a = r/L = 0 из (36) получаем приблизительную частоту

                                  Приближенное решение для простого маятника получается из уравнения (38) со следующими коэффициентами, заданными уравнением (31) для этого частного случая:

                                  Оптимальные значения параметров управления и приближенная частота в этом случае равны соответственно

                                  На рисунке 20 мы сравнили результаты, полученные с помощью OAFM, с результатами численного интегрирования для конкретного случая простого маятника для A = 0,4, L = 0,6, а на рисунке 21 представлено сравнение фазовых плоскостей в этом случае.

                                  Анализ сравнения результатов приближенного и численного интегрирования, представленных на Рис. 2, Рис. 3, Рис. 4, Рис. 5, Рис. 6, Рис. 7, Рис. 8, Рис. 9, Рис. 10, Рис. 11, Рис. 12, Рис. 13, На рис. 14, рис. 15, рис. 16, рис. 17, рис. 18, рис. 19, рис. 20 и рис. 21 для случаев 5.1–5.10 видно, что результаты, полученные с помощью нашей процедуры, практически идентичны результатам, полученным используя метод численного интегрирования. Кроме того, из Таблицы 1 можно заметить, что точность приблизительной частоты удивительно хороша по сравнению с численными результатами.

                                  Рисунок 2, Рисунок 3, Рисунок 4, Рисунок 5, Рисунок 6, Рисунок 7, Рисунок 8, Рисунок 9, Рисунок 10, Рисунок 11, Рисунок 12, Рисунок 13, Рисунок 14, Рисунок 15, Рисунок 16, Рисунок 17 , рис. 18 и рис. 19 видно, что погрешности приближенных решений возрастают по мере увеличения значений параметров a и A. Кроме того, для частного случая классического простого маятника результаты, полученные с помощью нашей процедуры, очень хорошее согласие с результатами численного интегрирования. Из случаев 5.4–5.6 и 5.7–5.8 соответственно делаем вывод, что частота системы увеличивается за счет увеличения радиуса цилиндров (параметр а). Кроме того, из случаев 5.1, 5.4 и 5.7 видно, что частота системы увеличивается за счет увеличения амплитуды А. Такой же вывод получается из случаев 5.2, 5.5 и 5.8 или 5.3, 5.6 и 5.9., соответственно. Источники нелинейных колебаний наматывания маятника на два цилиндра задаются радиусом цилиндров (параметры а), амплитудой А и длиной маятника.

                                  6. Выводы

                                  В этой статье мы представляем аналитическое и численное решение для наматывания маятника на два цилиндра, а также соответствующие частоты с использованием как нового аналитического подхода, а именно метода оптимальных вспомогательных функций (OAFM), так и численного интеграционный подход. Для проверки приближенных решений, полученных с помощью OAFM, необходимо представить временную характеристику для различных случаев.

                                  Предлагаемый аналитический подход OAFM ускоряет сходимость приближенных решений нелинейного наматывания маятника на два цилиндра и приводит к очень точным значениям частот. Построение первой итерации принципиально отличается от любого другого известного подхода, главным образом наличием оптимальных вспомогательных функций, зависящих от параметров управления сходимостью. Следует подчеркнуть, что в конструкции, заданной уравнением (8), особенно для очень сложных уравнений типа (1), наличие всей нелинейной функции N[u 0 (x)] и, как следствие, наблюдается значительное упрощение трактовки первого приближения u 1 (x,C i ). С другой стороны, в уравнении (8) вспомогательные функции A 1 и A 2 компенсируют наличие нелинейной функции N[u 0 (x)].

                                  Первоначально неизвестные параметры C i , оптимальные значения которых определяются по строгому критерию, обеспечивают быструю сходимость приближенных аналитических решений, поскольку точные результаты получаются уже после первой итерации.

                                  Большим преимуществом OAFM является возможность оптимально контролировать и регулировать сходимость решений с помощью вспомогательных функций A 1 и A 2 .

                                  Полученные аналитические решения оказались в очень хорошем согласии с решениями численного интегрирования, что доказывает правильность предложенного метода, подчеркивая, что эта процедура очень эффективна на практике.

                                  OAFM можно легко распространить на неисправные роторные системы, такие как треснутые или трущиеся роторы [31,32], что станет будущим направлением исследований авторов. Кроме того, чтобы проверить возможности предложенного подхода, еще одно будущее исследование будет направлено на сравнение OAFM и метода гармонического баланса [33] при решении нелинейных динамических задач.

                                  Авторские вклады

                                  Концептуализация, В.М. и Н.Х.; формальный анализ, В.М.; расследование, В.М. и Н.Х.; методология, В.М. и Н.Х.; валидация, NH; написание — первоначальный вариант, В.М. и Н.Х. Все авторы прочитали и согласились с опубликованной версией рукописи.

                                  Финансирование

                                  Это исследование не получило внешнего финансирования.

                                  Конфликт интересов

                                  Авторы заявляют об отсутствии конфликта интересов.

                                  Каталожные номера

                                  1. Стиллман, Д. Галилей за работой: его научная биография; Courier Corporation: Северный Челмсфорд, Массачусетс, США; Dover Corporation: Downers Grove, IL, USA, 2003. [Google Scholar]
                                  2. Matthews, R.M. Время научного образования: как преподавание истории и философии движения маятника может способствовать повышению научной грамотности; Springer: New York, NY, USA, 2000. [Google Scholar]
                                  3. Aczel, A. Leon Foucault: Его жизнь, времена и достижения. В маятнике: научная, историческая, образовательная и философская перспективы; Мэтьюз М.Р., Голд С.Ф., Стиннер А., ред.; Springer: Берлин/Гейдельберг, Германия, 2005 г.; стр. 171–184. [Академия Google]
                                  4. Маррисон, В. Эволюция кварцевых часов. Белл Сист. Тех. Дж. 1948 , 27, 510–588. [Google Scholar] [CrossRef]
                                  5. Audoin, C.; Гино, Б.; Лайл, С. Измерение времени, частоты и атомных часов; Издательство Кембриджского университета: Кембридж, Великобритания, 2001. [Google Scholar]
                                  6. Уиллис М. Время и хронометристы; MacMillan: New York, NY, USA, 1945. [Google Scholar]
                                  7. Airy, G.B. О возмущениях маятника и весов и о теории спускового механизма. Транс. Камб. Филос. соц. 1830 , III, 105–128. [Google Scholar]
                                  8. Lenzen, V.F.; Мультауф, Р.П. Развитие гравитационных маятников в 19 веке; Бюллетень Национального музея США: Вашингтон, округ Колумбия, США, 1964 г . ; Том 240. [Google Scholar]
                                  9. Hamouda, MNH; Пирс, Г.А. Подавление вибрации вертолета с помощью простых маятниковых амортизаторов на лопасти несущего винта. Варенье. Вертолет Соц. 1984 , 23, 19–29. [Google Scholar] [CrossRef][Зеленая версия]
                                  10. Нельсон, Р.А.; Олссон, М.Г. Маятник-богатая физика из простой системы. Являюсь. Дж. Физ. 1986 , 54, 112–121. [Google Scholar] [CrossRef]
                                  11. Ge, Z.M.; Ку, Ф.Н. Субгармонические функции Мельникова для сильно нечетных нелинейных осцилляторов с большими возмущениями. Дж. Саунд Виб. 2000 , 236, 554–560. [Google Scholar] [CrossRef][Зеленая версия]
                                  12. Нестер, Т.М.; Шниц, П.М.; Хэддоу, А.Г.; Шоу, С.В. Экспериментальные наблюдения за центробежным маятниковым гасителем колебаний. В материалах 10-го Международного симпозиума по транспортным явлениям и динамике вращающихся машин (ISROMAC-10), Гонолулу, Гавайи, США, 7 марта 2004 г. [Google Scholar]
                                  13. Бендерский С.; Сандлер, Б. Исследование пространственного двойного маятника: инженерный подход. Дискретный. Дин. Нац. соц. 2006 , 2006, 25193. [Google Scholar] [CrossRef][Green Version]
                                  14. Horton, B.; Зибер, Дж.; Томпсон, JMT; Верцигрох, М. Динамика почти параметрического маятника. Междунар. J. Нелинейная мех. 2011 , 46, 436–442. [Google Scholar] [CrossRef][Зеленая версия]
                                  15. Вармински, Дж.; Кечик, К. Автопараметрические колебания нелинейной системы с маятником. Мат. Пробл. англ. 2006 , 2006, 80705. [Google Scholar] [CrossRef]
                                  16. Кечик, К.; Вармински, Дж. Динамика автопараметрической маятниковой системы с нелинейным полуактивным подвесом. Мат. Пробл. англ. 2011 , 2011, 451047. [Google Scholar] [CrossRef][Green Version]
                                  17. Рафат, М.З.; Уитленд, MS; Постельные принадлежности, Т.Р. Динамика двойного маятника с распределенной массой. Являюсь. Дж. Физ. 2009 , 77, 216–222. [Google Scholar] [CrossRef][Green Version]
                                  18. Turkilazoglu, M. Точное аналитическое приближение к задаче о нелинейном маятнике. физ. Скр. 2011 , 84, 015005. [Google Scholar] [CrossRef]
                                  19. Аврейцевич Дж. Классическая механика: Динамика. Достижения в области механики и математики; Springer: Berlin/Heidelberg, Germany, 2012. [Google Scholar]
                                  20. Ludwicki, M.; Аврейцевич, Дж.; Кудра, Г. Пространственный двойной физический маятник с осевым возбуждением — компьютерное моделирование и экспериментальная установка. Междунар. Дж. Дин. Контроль. 2015 , 3, 1–8. [Google Scholar] [CrossRef][Green Version]
                                  21. Староста Р.; Сыпневская-Каминская, Г.; Аврейцевич, Дж. Параметрический и внешний резонансы в кинематически и внешне возбуждаемом нелинейном пружинном маятнике. Междунар. Дж. Бифурк. Хаос 2011 , 21, 3013–3021. [Google Scholar] [CrossRef]
                                  22. Мазахери, Х.; Хоссейнзаде, А .; Ахмадян, М.Т. Анализ нелинейных колебаний маятника, намотанного на цилиндр. науч. Иран. Б 2012 , 119, 335–340. [Google Scholar] [CrossRef][Зеленая версия]
                                  23. Бубакер, О. Эталон перевернутого маятника в нелинейной теории управления: обзор. Междунар. Дж. Адв. Робот. Сист. 2013 , 10, 1–5. [Google Scholar] [CrossRef][Зеленая версия]
                                  24. Алеврас, П.; Юрченко Д.; Нэсс, А. Стохастическая синхронизация вращающихся параметрических маятников. Мекканика 2014 , 49, 1945–1951. [Google Scholar] [CrossRef]
                                  25. Джаллули, А.; Касем, Н.; Бухадди, Н. Стабилизация солитонов в связанных нелинейных маятниках с одновременным внешним и параметрическим возбуждением. коммун. Нелинейная наука. Число.Симул. 2017 , 42, 1–11. [Google Scholar] [CrossRef][Green Version]
                                  26. Herisanu, N.; Маринка, В. Эффективный аналитический подход к исследованию динамики разъюстированной мультироторной системы. Mathematics 2020 , 8, 1083. [Google Scholar] [CrossRef]
                                  27. Herisanu, N.; Маринка, В.; Мадеску, Г.; Драган, Ф. Динамическая реакция синхронного генератора с постоянными магнитами на порыв ветра. Энергии 2019 , 12, 915. [Google Scholar] [CrossRef][Green Version]
                                  28. Маринка, В.; Херисану, Н. Метод оптимальной итерации с применением к уравнению Томаса-Ферми. цент. Евро. Дж. Физ. 2011 , 9, 891–895. [Google Scholar] [CrossRef]
                                  29. Маринка, В.; Херисану, Н. Явные и точные решения кубических уравнений Дуффинга и уравнений Дуффинга с двумя ямами. Мат. вычисл. Модель. 2011 , 53, 604–609. [Google Scholar] [CrossRef]
                                  30. Fu, C.; Жень, Д .; Ян, Ю .; Гу, Ф .; Болл, А. Влияние ограниченных неопределенностей на динамические характеристики системы консольного ротора с нарушением трения. Energies 2019 , 12, 4365. [Google Scholar] [CrossRef][Green Version]
                                  31. Li, H.; Чен, Ю .; Хоу, Л.; Чжан, З. Анализ периодического отклика несоосной роторной системы методом гармонического баланса с методом переменной частоты/времени. науч. Китайская технология. науч. 2016 , 59, 1717–1729. [Google Scholar] [CrossRef]

                                  Рисунок 1. Простая маятниковая обмотка вокруг цилиндров.

                                  Рис. 1. Простая маятниковая обмотка вокруг цилиндров.

                                  Рисунок 2. Сравнение приближенного решения (39) с результатами численного интегрирования для A = 0,1, a = 0,2, L = 0,6 численного приближенного решения.

                                  Рисунок 2. Сравнение приближенного решения (39) и результаты численного интегрирования для A = 0,1, a = 0,2, L = 0,6 численное приближенное решение.

                                  Рисунок 3. Фазовая плоскость для A = 0,1, a = 0,2, L = 0,6 численное приближенное решение (39).

                                  Рис. 3. Фазовая плоскость для A = 0,1, a = 0,2, L = 0,6 численное приближенное решение (39).

                                  Рисунок 4. Сравнение приближенного решения (40) с результатами численного интегрирования для A = 0,1, a = 0,4, L = 0,6. численное приближенное решение.

                                  Рисунок 4. Сравнение приближенного решения (40) с результатами численного интегрирования для A = 0,1, a = 0,4, L = 0,6. численное приближенное решение.

                                  Рисунок 5. Фазовая плоскость для A = 0,1, a = 0,4, L = 0,6 численное приближенное решение (40).

                                  Рис. 5. Фазовая плоскость для A = 0,1, a = 0,4, L = 0,6 численное приближенное решение (40).

                                  Рисунок 6. Сравнение приближенного решения (41) с результатами численного интегрирования для A = 0,1, a = 0,6, L = 0,6. численное приближенное решение.

                                  Рисунок 6. Сравнение приближенного решения (41) с результатами численного интегрирования для A = 0,1, a = 0,6, L = 0,6. численное приближенное решение.

                                  Рис. 7. Фазовая плоскость для A = 0,1, a = 0,6, L = 0,6. численное приближенное решение (41).

                                  Рис. 7. Фазовая плоскость для A = 0,1, a = 0,6, L = 0,6. численное приближенное решение (41).

                                  Рис. 8. Сравнение приближенного решения (42) с результатами численного интегрирования для A = 0,2, a = 0,2, L = 0,6. численное приближенное решение.

                                  Рис. 8. Сравнение приближенного решения (42) с результатами численного интегрирования для A = 0,2, a = 0,2, L = 0,6. численное приближенное решение.

                                  Рис. 9. Фазовая плоскость для A = 0,2, a = 0,2, L = 0,6. численное приближенное решение (42).

                                  Рис. 9. Фазовая плоскость для A = 0,2, a = 0,2, L = 0,6. численное приближенное решение (42).

                                  Рисунок 10. Сравнение приближенного решения (43) с результатами численного интегрирования для A = 0,2, a = 0,4, L = 0,6. численное приближенное решение.

                                  Рис. 10. Сравнение приближенного решения (43) с результатами численного интегрирования для A = 0,2, a = 0,4, L = 0,6. численное приближенное решение.

                                  Рисунок 11. Фазовая плоскость для A = 0,2, a = 0,4, L = 0,6. численное приближенное решение (43).

                                  Рис. 11. Фазовая плоскость для A = 0,2, a = 0,4, L = 0,6. численное приближенное решение (43).

                                  Рисунок 12. Сравнение приближенного решения (44) с результатами численного интегрирования для A = 0,2, a = 0,6, L = 0,6. численное приближенное решение.

                                  Рис. 12. Сравнение приближенного решения (44) с результатами численного интегрирования для A = 0,2, a = 0,6, L = 0,6. численное приближенное решение.

                                  Рис. 13. Фазовая плоскость для A = 0,2, a = 0,6, L = 0,6. численное приближенное решение (44).

                                  Рис. 13. Фазовая плоскость для A = 0,2, a = 0,6, L = 0,6. численное приближенное решение (44).

                                  Рис. 14. Сравнение приближенного решения (45) с результатами численного интегрирования для A = 0,3, a = 0,2, L = 0,6. численное приближенное решение.

                                  Рис. 14. Сравнение приближенного решения (45) с результатами численного интегрирования для A = 0,3, a = 0,2, L = 0,6. численное приближенное решение.

                                  Рис. 15. Фазовая плоскость для A = 0,3, a = 0,2, L = 0,6. численное приближенное решение (45).

                                  Рис. 15. Фазовая плоскость для A = 0,3, a = 0,2, L = 0,6. численное приближенное решение (45).

                                  Рис. 16. Сравнение приближенного решения (46) с результатами численного интегрирования для A = 0,3, a = 0,4, L = 0,6. численное приближенное решение.

                                  Рис. 16. Сравнение приближенного решения (46) с результатами численного интегрирования для A = 0,3, a = 0,4, L = 0,6. численное приближенное решение.

                                  Рис. 17. Фазовая плоскость для A = 0,3, a = 0,4, L = 0,6. численное приближенное решение (46).

                                  Рис. 17. Фазовая плоскость для A = 0,3, a = 0,4, L = 0,6. численное приближенное решение (46).

                                  Рис. 18. Сравнение приближенного решения (47) с результатами численного интегрирования для A = 0,3, a = 0,6, L = 0,6. численное приближенное решение.

                                  Рис. 18. Сравнение приближенного решения (47) с результатами численного интегрирования для A = 0,3, a = 0,6, L = 0,6. численное приближенное решение.

                                  Рис. 19. Фазовая плоскость для A = 0,3, a = 0,6, L = 0,6. численное приближенное решение (47).

                                  Рис. 19. Фазовая плоскость для A = 0,3, a = 0,6, L = 0,6. численное приближенное решение (47).

                                  Рисунок 20. Сравнение приближенного решения (50) с результатами численного интегрирования для A = 0,4, L = 0,6. численное приближенное решение.

                                  Рис. 20. Сравнение приближенного решения (50) с результатами численного интегрирования для A = 0,4, L = 0,6. численное приближенное решение.

                                  Рис. 21. Фазовая плоскость для A = 0,4, L = 0,6. численное приближенное решение (50).

                                  Рис. 21. Фазовая плоскость для A = 0,4, L = 0,6. численное приближенное решение (50).

                                  Таблица 1. Сравнение численного решения частоты и приблизительной частоты (36).

                                  Таблица 1. Сравнение численного решения частоты и приблизительной частоты (36).

                                  570513826
                                  Case No. Ω num Ω app
                                  5. 1 4.056165704763733 4.0562133029
                                  5.2 4.0735936668241015 4.0735339712576275
                                  5.3 4.0341156173 4.0
                                  5.4 4.065980106247986 4.0659463540564085
                                  5.5 4.10137202740024 4.1008614227769575
                                  5.6 4.137539732217073 4. 137450803506345
                                  5.7 4.070864763571452 4.071192550653585
                                  5,8 4.124733651749398 4.125254940744536
                                  5.9 4.180380645932648 4.180777463105995

                                  Лицензиат MDPI, Базель, Швейцария. Эта статья находится в открытом доступе и распространяется на условиях лицензии Creative Commons Attribution (CC BY) (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/).

                                  Открытый доступ SCIRP

                                  Издательство научных исследований

                                  Журналы от А до Я

                                  Журналы по темам

                                  • Биомедицинские и медико-биологические науки.
                                  • Бизнес и экономика
                                  • Химия и материаловедение.
                                  • Информатика. и общ.
                                  • Науки о Земле и окружающей среде.
                                  • Машиностроение
                                  • Медицина и здравоохранение
                                  • Физика и математика
                                  • Социальные науки. и гуманитарные науки

                                  Журналы по тематике  

                                  • Биомедицина и науки о жизни
                                  • Бизнес и экономика
                                  • Химия и материаловедение
                                  • Информатика и связь
                                  • Науки о Земле и окружающей среде
                                  • Машиностроение
                                  • Медицина и здравоохранение
                                  • Физика и математика
                                  • Социальные и гуманитарные науки

                                  Публикация у нас

                                  • Подача статьи
                                  • Информация для авторов
                                  • Ресурсы для экспертной оценки
                                  • Открытые специальные выпуски
                                  • Заявление об открытом доступе
                                  • Часто задаваемые вопросы

                                  Публикуйте у нас  

                                  • Представление статьи
                                  • Информация для авторов
                                  • Ресурсы для экспертной оценки
                                  • Открытые специальные выпуски
                                  • Заявление об открытом доступе
                                  • Часто задаваемые вопросы

                                  Подпишитесь на SCIRP

                                  Свяжитесь с нами

                                  клиент@scirp. org
                                  +86 18163351462 (WhatsApp)
                                  1655362766
                                  Публикация бумаги WeChat
                                  Недавно опубликованные статьи
                                  Недавно опубликованные статьи
                                  • Оценка ветровой энергии 17 станций штата Рио-де-Жанейро, Бразилия, тематическое исследование за 2020–2021 годы()

                                    Лаиса Прата Морейра Фернандес, Лаис Феррейра Назарет, Ярло Энрике Друмон Пирес Паскоаль, Карлос Эдуардо Фидель де Соуза и Силва, Андре Луис Ксавьер Гимарайнш Насри, Педро Скарпини Гомеш Гнапп, Густаво Раймес Богеа Феликс, Рожерио Габриэль де Кастро Москейра, Карлос Альберто Жуниор Москейра де Оливейра, Сара Наллиа де Оливейра Коста, Ханс Шмидт Сантос

                                    Журнал библиотеки открытого доступа Том 9 № 9, 14 сентября 2022 г.

                                    DOI: 10.4236/oalib.1109215 2 загрузки  17 просмотров

                                  • Антиоксидантные свойства и антимикробная активность в экстрактах двух съедобных грибов, Pleurotus sajor caju и Schizophyllum commune ()

                                    Суджат Аль-Азад, Вивиан Чонг Ай Пинг

                                    Достижения в области биологических наук и биотехнологий Том 13 № 9, 14 сентября 2022 г.

                                    DOI: 10.4236/абб.2022.139023 1 загрузок  13 просмотров

                                  • Эпидемиологические аспекты диабетической ретинопатии в Центре применения диплома специализированных исследований в области офтальмологии (Cadeso)/Donka-Conakry()

                                    Сонасса Диане, Ибрахима Фофана, Тьерно Мадиу Бах, Мусса Диавара, Закари Адаму Туре, Оскар Адебайо Тонухеуа, Тамба Мина Миллимуно, Северин Бони

                                    Достижения в области инфекционных заболеваний Том 12 № 3, 14 сентября 2022 г.

                                    DOI: 10.4236/помощь.2022.123039 2 загрузки  19 просмотров

                                  • Гаплотипы MDR1 и полиморфизм G2677T/A предсказывают ответ на иматиниб у тунисских пациентов с хроническим миелоидным лейкозом()

                                    Мариам Аммар, Соня Ктари, Моез Медхаффар, Ханен Гоззи, Моез Эллуми, Аднен Хаммами, Халед Зегал, Лобна Бен Махмуд

                                    Journal of Biosciences and Medicines Vol.10 No.9, 14 сентября 2022 г.

                                    DOI: 10.4236/jbm.2022.109009 2 загрузки  17 просмотров

                                  • Насилие, связанное с выборами, в Нигерии: перспективы здравоохранения, образования и безопасности. Качественное исследование()

                                    Гамалиэль Аджоку, Оби Питер Адигве

                                    Открытый журнал социальных наук Том 10 № 10, 14 сентября 2022 г.

                                    DOI: 10.4236/jss.2022.1010010 1 загрузок  14 просмотров

                                  • Уровни тяжелых металлов и потенциальные экологические риски, оцененные на участке агроэкосистемы в тропическом регионе ()

                                    Люк Календеле Лундеми, Стефани Салуму Неема, Эммануэль Казингуву Атибу, Криспин Кьела Муладжи, Тьерри Табу Тангу, Камилла Ипей Нсиманда, Роберт Буэйя Суами, Мари Онококо Эсако, Дьедонне Эюль’Анки Мусибоно, Фернандо Пьедаде Карвальо

                                    Журнал наук о Земле и охране окружающей среды Том 10 № 9, 14 сентября 2022 г.

                                    DOI: 10. 4236/gep.2022.109003 2 загрузки  19 просмотров

                                  Подпишитесь на SCIRP

                                  Свяжитесь с нами

                                  клиент@scirp.org
                                  +86 18163351462 (WhatsApp)
                                  1655362766
                                  Публикация бумаги WeChat

                                  Физика – простое гармоническое движение

                                  Колебания происходят повсюду вокруг нас, от биения человеческого сердца до вибрирующих атомов, из которых состоит все. Простое гармоническое движение — очень важный тип периодических колебаний, в котором ускорение ( α ) пропорционально смещению ( x ) от положения равновесия, в направлении положения равновесия.

                                  Перейти к:

                                  Введение

                                  Видео

                                  В фокусе

                                  Подкаст

                                  Заключение

                                  Следующие шаги

                                  Что такое частота и период?

                                  Поскольку простое гармоническое движение представляет собой периодическое колебание, мы можем измерить его период (время, необходимое для одного колебания) и, следовательно, определить его частоту (количество колебаний в единицу времени или обратную величину периода).

                                  Два наиболее распространенных эксперимента, демонстрирующих это:

                                  1. Маятник. Масса м , прикрепленная к концу маятника длиной л , будет колебаться с периодом ( T ). Описано: T = 2π√(l/g) , где g — ускорение свободного падения.

                                  2. Масса на пружине. Масса m , прикрепленная к пружине с жесткостью пружины k , будет колебаться с периодом ( T ). Описано: T = 2π√(m/k) .

                                  Измерив продолжительность одного полного колебания, мы можем определить период и, следовательно, частоту. Обратите внимание, что в случае маятника период не зависит от массы, а в случае массы на пружине период не зависит от длины пружины. Период простого гармонического осциллятора также не зависит от его амплитуды.

                                  Из определения ускорение a объекта в простом гармоническом движении пропорционально его смещению x :

                                  , где ω — угловая частота, которую можно определить, зная либо период ( ω = 2π/T ), либо частоту ( ω = 2πf ). Вспоминая, что скорость ( v ) есть производная по времени от расстояния, а ускорение есть производная по времени от скорости, можно показать, что, начиная с амплитуды ( A ), решение соответствует синусоидальной функции вида x = A cos(ωt)

                                  Смещение во времени будет выглядеть примерно так:

                                  С графиками скорости и ускорения, заданными временем производные. Эти осцилляторы также демонстрируют передачу кинетической и потенциальной энергии. При максимальном смещении вся энергия в системе находится в форме потенциальной энергии, а скорость равна нулю, но вся эта энергия преобразуется в кинетическую энергию, как только масса достигает положения равновесия, при котором она имеет максимальную скорость.

                                   Как мы измеряем колебания?

                                   

                                  Простые гармонические колебания

                                   Насколько точны наши измерения?

                                  Описанные здесь эксперименты демонстрируют использование сочетания аналоговых и цифровых приборов для измерения величин, включая массу, длину и время. В этом эксперименте одним из основных источников ошибки является время реакции человека при измерении периода. Чтобы повысить точность периода, синхронизация может быть получена по нескольким колебаниям и путем усреднения по нескольким измерениям периода. Чтобы получить более точные измерения жесткости пружины и ускорения свободного падения, следует проводить повторные измерения с использованием маятника различной длины и массы.

                                  Кроме того, измерение периода на более длительном временном интервале (и, следовательно, на нескольких колебаниях) повысит точность, поскольку человеческая ошибка будет составлять меньшую часть записанного времени. Также может быть полезно использовать булавку или бирку в качестве фидуциарного маркера, показывающего положение равновесия. Предполагая простое гармоническое движение, периодическая природа этих систем означает, что не должно быть никаких оправданий, когда дело доходит до проведения нескольких измерений!

                                  Labor Confessions

                                  В подкасте Labor Confessions исследователи рассказывают о своем лабораторном опыте в контексте практических оценок уровня A. В этом выпуске мы рассмотрим генерацию и измерение волн и использование соответствующих цифровых инструментов.


                                  Что означают ваши измерения?

                                  Вибрации и колебания, окружающие нас в повседневной жизни, как правило, намного сложнее тех, с которыми мы сталкиваемся в простом гармоническом движении. Это означает, что такие эффекты, как демпфирование, уменьшающее амплитуду за счет удаления энергии из системы, являются хорошим примером того, как простое гармоническое движение способствует улучшению нашей повседневной жизни. Хотя простое гармоническое движение является упрощением, оно все же является очень хорошим приближением.

                                  Простое гармоническое движение играет важную роль в исследованиях по моделированию колебаний, например, в ветряных турбинах и вибраций в автомобильных подвесках. В Университете Бирмингема один из исследовательских проектов, в котором мы участвовали, — обнаружение гравитационных волн в обсерватории лазерных интерферометров гравитационных волн (LIGO). Там детекторы настолько чувствительны, что решающее значение имеет тщательное моделирование и минимизация окружающих вибраций и шума. Еще одним заметным исследовательским проектом является работа Бирмингемской сети солнечных колебаний (BiSON), которая занимается измерением колебаний Солнца (гелиосейсмология) и близлежащих звезд (астросейсмология), чтобы узнать об их внутреннем строении.

                                  Добавить комментарий

                                  Ваш адрес email не будет опубликован.