Задача про числа-палиндромы | О математике понятно

        И снова приветствую всех тех, кто серьёзно готовится к профильному ЕГЭ и всерьёз претендует на решение самых сложных задач 19 (они же С6)! Как и обещал, продолжаем разбирать самые разнообразные и необычные задачи на теорию чисел и способы успешно расправляться с такими монстрами. Хотя для подготовленного ученика в задачах 19 страшного особо ничего и нету.)

Использование признаков делимости и перебора на ограниченном множестве. Задача про числа-палиндромы.

        В данном материале я хотел бы разобрать очередную необычную и не самую сложную задачку про так называемые числа-палиндромы. Для начала, что это вообще за зверь такой (для тех, кто не в курсе)?

        Палиндром — это слово, число или даже целый текст, одинаково читающееся в обоих направлениях. Как слева направо, так и справа налево.

        Примеры:

        Число 12321, слово «ротор», красивое женское имя Анна, словосочетание «искать такси», а также всем известная бородатая фраза «А роза упала на лапу Азора». В общем, идея понятна, я думаю. 🙂

        В нашей задаче, разумеется, речь пойдёт о числах. Что ж, давайте теперь посмотрим на саму задачу.

 

       

        Вот такая вот задачка. Как к ней подступиться? Ну, во-первых, в каждом из пунктов речь идёт о делимости на 15. Стало быть, нашей отправной точкой будут признаки делимости чисел нацело. Это тема 6-го класса средней школы. Других вариантов просто нет. И какие же это признаки, спросите вы?

        Вспоминаем 6-й класс, ищем там признак делимости на 15 и… вы правы! Такого признака нету. Но! Зато есть признаки делимости чисел на 3 и на 5. А что такое 15? Это не что иное, как 3·5! Элементарно, Ватсон! 🙂 Стало быть, если какое-либо натуральное число одновременно делится нацело на тройку и пятёрку, то автоматически оно будет делиться и на пятнадцать. Поэтому давайте-ка быстренько освежим в памяти признаки делимости чисел на 3 и на 5. Вот они:

        Признак делимости на 3

        Натуральное число делится нацело на 3, если сумма его цифр делится на 3.

        Скажем, число 12384 точно поделится на 3, так как сумма его цифр 1+2+3+8+4 = 18 делится на 3. А вот 23576 даже и пытаться не стоит, так как его сумма цифр 2+3+5+7+6 = 23 не делится на 3.

        Признак делимости на 5

        Натуральное число делится нацело на 5, если оно заканчивается цифрой 0 или 5.

        Например, на 5 делится число 12345, так как оно заканчивается на пятёрку. Или 1234567890, так как оно заканчивается нулём. Ну, в общем, вы поняли. Признак очень простой.

        Значит, натуральное число делится на 15 тогда и только тогда, когда оно одновременно делится на 3 (по сумме цифр) и на 5 (по последней цифре). Что ж, теоретическая база подготовлена, пора приступать к разбору нашей задачи. Итак,

​          

        а) Приведите пример числа-палиндрома, который делится на 15.

 

        Прежде чем что-то решать, давайте посмотрим, как вообще устроены числа-палиндромы:

        И так далее… 

        Здесь a, b, c и так далее — цифры натурального числа. В общем случае — различные. Черта сверху ставится для того, чтобы обозначить тот факт, что перед нами именно цифры, а не произведение типа a·b·c.

        Скажем, запись  

       

        означает трёхзначное натуральное число, которое в десятичной форме запишется так:

        

        Что ж, давайте теперь искать числа-палиндромы, делящиеся на 15. Для начала поищем их среди двузначных чисел. Это числа 11, 22, 33, 44 и так далее до 99. Можно заметить, что все они делятся на простое число 11:

        11=11·1

        22=11·2

        33=11·3

        И так далее. Наименьшее число, которое делится как на 11, так и на 15 — это 11·3·5 = 165 — уже трёхзначное.  Облом. Значит, среди двузначных чисел таковых нету.

        Что ж, поехали шерстить трёхзначные числа. 🙂 Трёхзначное число-палиндром имеет вид

         

Раз оно делится на 15, то должно делиться как на 5 (по последней цифре), так и на 3 (по сумме цифр).

Значит, согласно признаку делимости на 5, последняя цифра (a) может быть только 0 или 5. Третьего не дано. 🙂

        А теперь прикинем. Если a = 0, то наше число имеет вид  

           

        и никак не является трёхзначным. Значит, единственный устраивающий нас вариант — это

        а = 5.

        Поэтому трёхзначные числа-палиндромы, делящиеся на 5, имеют вид: 

           

        Что ж, кое-чего уже проясняется. 🙂

       

        А теперь в игру дополнительно вступает признак делимости на 3. Составляем сумму цифр:

        5 + b + 5 = 10 + b,

        где b, будучи цифрой числа, принимает значения 0, 1, 2, 3, …, 9.

        Теперь понятно, как расправиться с пунктом а). Подберём число b так, чтобы выражение для суммы цифр 10 + b делилось бы на 3. Например, при b = 2 получим:

        10+b = 10+2 = 12 — делится на 3.

        Следовательно, самое первое по счёту трёхзначное (и вообще глобально) число-палиндром, делящееся на 15, — это число 525.

        Всё, этого вполне достаточно для ответа на вопрос пункта а).

        Ответ: Например, 525.

 

        Переходим к пункту б).

        б) Сколько существует пятизначных чисел-палиндромов, делящихся на 15?

 

        Все пятизначные числа-палиндромы имеют вид: 

           

        Здесь снова рулят признаки делимости чисел на пятёрку и на тройку. Как и в предыдущем пункте, начнём с признака делимости на 5. Это означает, что последняя цифра в нашем числе (т.е. а) может быть равна либо нулю, либо пятёрке.

        Нулём цифра а быть никак не может, поскольку в таком случае наше число примет вид  

           

        и попросту не будет пятизначным. Значит, а = 5 (и только 5).

        Итак, наши пятизначные кандидаты предварительно обретают вот такой вид:

        

        Теперь снова подключаем признак делимости чисел на 3 по сумме цифр. В нашем случае:

        5 + b + c + b + 5 = 10 + 2b + c — должно делиться на 3.

        В предыдущем пункте мы варьировали только одну единственную цифру b, добиваясь делимости на 3 суммы цифр (напомню, это было выражение 10+b). Здесь же нам надо варьировать уже две цифры — b и c. И как нам теперь быть? Ведь число всевозможных вариантов стало гораздо больше! Да, не спорю, больше. На первый взгляд может показаться, что вариантов и вправду довольно много и перебирать их все очень долго и муторно. Но давайте подумаем: ведь b и с — не просто числа, а цифры натурального числа. Которые могут принимать очень ограниченные значения — 0, 1, 2, 3, …, 9. Поэтому, если мы как-то зафиксируем b, последовательно придавая ему значения от 0 до 9, то в каждом из случаев варьировать уже придётся только одну цифру c. Давайте посмотрим, как это делается. Первый случай я разберу подробно, а остальные — кратко.

        Итак, первый вариант b = 0. Тогда сумма цифр 10 + 2b + c нашего числа будет равна:

        10+2·0+c = 10+c.

        Когда выражение 10+c делится на 3? Очевидно, в трёх ситуациях:

        10+c = 12 (тогда c = 2),

           10+c = 15 (тогда c = 5),

        10+c = 18 (тогда c = 2).

        Всё. Больше, чем 8 (например, 11) число с быть уже никак не может. Ещё раз напоминаю, что наши буковки — это на самом деле циферки. 🙂 То есть, 0, 1, 2, …, 9. Этот случай дал нам три пятизначных числа-палиндрома делящихся на 15. Какие же это числа? Пожалуйста, вот они:

        50205, 50505 и 50805 (3 числа).

        Пусть теперь b = 1. В этом случае сумма цифр нашего числа будет такая:

        10+2·1+c = 12+c

        Добиваясь теперь, чтобы выражение 12+c делилось на 3, получим с = {0; 3; 6; 9}. Итого выплыли ещё 4 числа-палиндрома (51015, 51315, 51615, 51915).

        Уловили закономерность? 🙂 Да! Надо разобрать оставшиеся 8 случаев. Не так уж и много, по большому счёту. Добрый вечер! Буду краток. 🙂

        

 

        Подобная процедура в целочисленных задачах называется перебор на ограниченном множестве. Суть метода заключается в том, что, если число всевозможных вариантов не очень большое (в нашем случае — всего 10), то мы просто перебираем все-все возможные случаи и отбираем всё то, что нас устраивает. 🙂

А теперь подсчитываем наших цыплят палиндромов:

3 + 4 + 3 + 3 + 4 + 3 + 3 + 4 + 3 + 3 = 33

        Итого тридцать три коровы пятизначных числа-палиндрома, делящихся на 15! 🙂

Ответ: 33.

 

        Теперь, когда проведено столь масштабное исследование, самый сложный пункт в) многим ученикам может показаться совсем пустяковым. 🙂 Сейчас всё увидите!

 

в) Найдите 37-е по величине число-палиндром, которое делится на 15.

 

        Для ответа на вопрос сначала подсчитаем все трёхзначные и четырёхзначные числа-палиндромы.

        Одно из трёхзначных (самое первое вообще среди таких чисел) мы уже нашли — это 525. Давайте найдём все остальные. Для этого снова обратимся к нашей сумме цифр (см. пункт а)):

         10 + b – делится на 3.

        Тогда b = {2; 5; 8} — три трёхзначных числа-палиндрома (т.е. 525, 555 и 585).

        Разбираемся теперь с четырёхзначными числами-палиндромами.  Здесь всё аналогично. Они имеют вот такую запись:

        По признаку делимости на 5, последняя (и первая) цифры могут быть равны 0 или 5. Сразу, по понятным причинам, отметаем ноль и получаем:

        По признаку делимости на 3 составляем сумму цифр:

5 + b + b + 5 = 10 + 2b.

        Чтобы эта штука делилась на 3, цифра b должна принимать лишь одно из трёх значений: b = {1; 4; 7}. Итого получаем три четырёхзначных числа-палиндрома (5115, 5445 и 5775).

        Тогда получается, что всего трёх-, четырёх- и пятизначных чисел-палиндромов, делящихся на 15, будет: 

        3 (трёхзначные)+3 (четырёхзначные)+33 (пятизначные) = 39 чисел.

        Тогда очевидно, что искомое 37-е число-палиндром — пятизначное. Гуд.) Идём дальше.

        А теперь смотрим на результаты нашего исследования пятизначных чисел в пункте б). Я не стал для каждого случая выписывать их все, но зато можно заметить, что при росте b все наши получаемые числа располагаются в порядке возрастания. Это значит, что самое последнее, 39-е число будет соответствовать случаю b=9, c=8. Тогда искомое 37-е по величине число-палиндром, делящееся на 15, будет соответствовать случаю b=9, c=2, т.е. 59295.

        Вот и всё! 🙂

        Ответ: 59295.

 

        Как видите, ничего сложного. Если знать пару признаков делимости и понимать суть задания (что такое число-палиндром и немного что такое десятичная запись числа). Да, в пункте б) надо разбирать 10 случаев, но все они совсем простые и решаются фактически в уме. Главное — не бояться!

Назовём натуральное число палиндромом

Задача. Назовём натуральное число палиндромом, если в его десятичной записи все цифры расположены симметрично (совпадают первая и последняя цифры, вторая и предпоследняя, и т.д.). Например, числа 121 и 953359 являются палиндромами, а числа 10 и 953359 не являются палиндромами.

а) Приведите пример числа-палиндрома, который делится на 15.

б) Сколько существует пятизначных чисел-палиндромов, делящихся на 15?

в) Найдите 37-е по величине число-палиндром, которое делится на 15.

Решение.

Так как наше число-палиндром должно делиться на 15, то оно должно делиться и на 5 и на 3. На 5 делятся числа, оканчивающиеся на 0 и на 5. Однако, число не может начинаться с нуля, а, значит, и не может оканчиваться нулём, поэтому искомые числа будут оканчиваться на 5 и начинаться тоже с цифры 5. Имеем в виду, что на 3 делится число, сумма цифр которого делится на 3.

а) Так как 55 не делится на 3, то среди двузначных чисел нет чисел-палиндромов, делящихся на 15. Из трёхзначных чисел наименьшим числом-палиндромом, делящимся на 15, будет число 525. Оно оканчивается на «5», поэтому делится на 5, а также число 525 делится на 3, так как сумма цифр этого числа 5+2+5=12 делится на 3.

Так как в пункте в) нам нужно будет указать 37-е по величине число-палиндром, которое делится на 15, то найдём все трёхзначные и четырёхзначные числа-палиндромы, которые делится на 15. Все наши числа начинаются и оканчиваются на «5», поэтому нам остаётся только позаботиться о том, чтобы сумма цифр каждого из чисел делилась на 3. Так как в любом искомом числе-палиндроме уже есть две пятерки  (5+5=10), то общая сумма цифр трёхзначного числа-палиндрома может быть равна 12 или 15 или 18, т.е. в серединке между двумя «пятёрками» может стоять цифра 2 (число 525) или 5 (число 555) или 8 (число 585). Таким образом, среди трёхзначных чисел всего три числа-палиндрома, которые делятся на 15.

Переходим к четырёхзначным числам. Первая и последняя цифры – пятёрки, а сумма двух (одинаковых) цифр, стоящих в середине может быть равна 2 (число 5115) или 8 (число 5445) или 14 (число 5775). Других вариантов нет. Таким образом, среди четырёхзначных чисел тоже нашлись всего три числа-палиндрома, которые делятся на 15.

б) Приступаем к нахождению пятизначных чисел-палиндромов, делящихся на 15. Нас будет интересовать сумма трёх средних цифр каждого пятизначного числа. Так как общая сумма всех цифр пятизначного числа должна делиться на 3, то она может быть равна или 12 или 15 или 18 или 21 или 24 или 27 или 30 или 33 или 36.  Учитывая сумму первой и последней цифр (5+5=10), заключаем, что сумма средних трёх цифр может быть равна 2 или 5 или 8 или 11 или 14 или 17 или 20 или 23 или 26. Выпишем в порядке возрастания эти трёхзначные числа-палиндромы, стоящие между двумя «пятёрками» в искомых пятизначных числах-палиндромах, делящихся на 15.

020, 050, 080, 101, 131, 161, 191, 212, 242, 272, 323, 353, 383, 404, 434, 464, 494, 515, 545, 575, 626, 656, 686, 707, 737, 767, 797, 818, 848, 878, 929, 959, 989. Пересчитываем. Их 33, и это числа:

50205, 50505, 50805, 5105, 51315, 51615, 51915, 52125, 52425, 52725, 53235, 53535, 53835, 54045, 54345, 54645, 54945, 55155, 55455, 55755, 56265, 56565, 56865, 57075, 57375, 57675, 57975, 58185, 58485, 58785, 59295, 59595, 59895.

в) Так как число 50205 уже 7-ое по счёту число-палиндром, делящееся на 15 (помните, были три трёхзначных числа и три четырёхзначных числа?), то на 37-ом месте стоит число 59295.

Ответ: а) 525; б) 33; в) 59295.

 

Запись имеет метки: задача 19 егэ, назовём натуральное число палиндромом, найдите 37-е по величине число-палиндром, профильная математика, свойства чисел егэ, число-палиндром

Навигация

Определение палиндрома и примеры

В математике палиндром — это число, которое одинаково читается вперед и назад. Например, 353, 787 и 2332 являются примерами палиндромов.

По определению все числа, имеющие одинаковые цифры, такие как 4, 11, 55, 222 и 6666, являются примерами палиндромов.

Как найти палиндром по любому заданному числу.

Учитывая любые числа, вы можете использовать следующий простой алгоритм, чтобы найти другие палиндромы.

Шаг 1:

Начните с любого числа. Назовите его , исходный номер . Поменяйте местами цифры исходного числа.

Шаг 2:

Наберите номер, цифры которого перепутаны местами новый номер . Добавьте новый номер к исходному номеру .

Позвоните по найденному номеру, добавив новый номер к исходному номеру , проверочный номер .

Шаг 3:

Если тестовый номер представляет собой палиндром, все готово. Если тестового номера нет, используйте свой тестовый номер в качестве исходного номера и повторите шаги, описанные выше.

Звучит сложно? Однако на самом деле это не так уж и сложно! Проиллюстрируем на некоторых примерах.

Пример #1:

75

Шаг 1: Переставить цифры 75 в обратном порядке. 2 Шаг 2:

Сложение 75 и 57 дает 132.

Шаг 3:

132 не является палиндромом, поэтому повторите три шага.

Шаг 1: Поменять местами цифры 132.

Переворачивание 132 дает 231.

Шаг 2: Прибавляем 132 к 231.

После сложения 132 и 231 получаем 363.

Шаг 3:

Мы закончили, так как 363 может читать одно и то же в обратном и обратном порядке. вперед!

Пример #2:

255

Шаг 1: Переставить цифры числа 255 в обратном порядке. Шаг 2: Добавьте 255 к 552.

После добавления 255 и 552 , получаем 807,

Шаг 3:

Мы еще не закончили, так как 807 не является палиндромом. Поэтому повторите три шага.

Шаг 1: Переставить цифры числа 807 в обратном порядке.

Перевернув 807, получится 708. до 708 получаем 1515.

Шаг 3:

Мы еще не закончили, так как 1515 не палиндром. Поэтому повторите три шага.

Шаг 1: Поменять местами цифры 1515.

Реверсирование 1515 дает 5151.

Шаг 2: Добавьте 1515 к 5151.

Сложение 1515 и 5151 дает 6666. палиндром!

Вот ваша головоломка. Найдите 3 числа меньше 100, которые требуют не менее 4 сложений для получения палиндромов.

Краткое изложение шагов по поиску палиндрома

Надеемся, приведенные выше примеры были достаточно просты для понимания. См. шаги еще раз на рисунке ниже.

1. 45-45-90 Треугольник

   01, 23 мая 07:00

   Что такое треугольник 45-45-90? Определение, доказательство, площадь и простые примеры из реальной жизни.

   Подробнее

2. Теоретическая вероятность — определение, объяснение и примеры

   24, 23 апреля 07:02

   Узнайте, как вычислить правдоподобие или вероятность события с помощью формулы теоретической вероятности.

   Подробнее

Палиндромы

Недавно я был в Бьюдли, Вустершир. Это очень старый город, хорошо известный красивым мостом через реку в центре города. Но это также известно по другой причине, о которой не знает большинство людей. Мистер Эдвард Бенбоу из Бьюдли когда-то был рекордсменом по палиндромам! «Что?» Вы можете спросить.

 

 

 

Палиндром – это слово, предложение или стих, которые одинаково читаются вперед или назад, то есть справа налево и слева направо. ЕВА и АННА — короткие имена-палиндромы, затем есть ХАННА и БОБ. В вашей семье наверняка есть палиндромные люди! Не уверен? Ну, как насчет МАМА или ПАПА, и у вас может быть даже SIS!

Я видел машину или кошку? Буквы нужно немного подправить, но это палиндромное предложение или, скорее, вопрос.

 

Мистер Бенбоу собрал 22 500 слов, чтобы составить «палиндромную композицию»! Они не имеют большого смысла, но это много слов, которые нужно читать задом наперед.

 

 

Числа также могут быть палиндромами. Например, 121, это можно прочитать назад или вперед. Палиндромные числа очень легко составить из других чисел с помощью сложения.

 

Попробуйте следующее:

1. Запишите любое число, состоящее из более чем одной цифры. (например, 47)

2. Запишите число в обратном порядке под первым числом. (47+74)

3. Сложите два числа вместе. (121)

4. А 121 действительно палиндром.

Попробуйте Simple One First, например, 18.

Иногда вам нужно использовать первый ответ на добавление и повторить

Процесс реверсии и добавления.

Вы почти всегда придете к палиндромному ответу за шесть шагов. Попробуйте одно из этих чисел 68 или 79.

Если вы выберете число больше 89, ответ палиндрома займет больше шагов, но он все еще работает.

Но не пытайтесь 196! На самом деле, избегайте его, как чумы… Компьютер уже прошел несколько тысяч этапов и до сих пор не придумал ответа-палиндрома!

Интересно, можете ли вы подумать, сколько существует двузначных палиндромов? Как насчет того, чтобы найти все 3, 4, 5 или 6 цифр? Как насчет миллиона цифр! Некоторые люди уже опередили вас в этом, вы будете рады узнать. С результатами их работы вы можете ознакомиться в сети здесь.

Не путайте палиндромы с инверсиями. Инверсии описывают числа, которые читаются так же, как в перевернутом виде, так и в правильном направлении. Посмотрите на эти примеры:

 

 

Как вы думаете, какой год в прошлом веке читается одинаково, если его перевернуть? Как насчет года в позапрошлом веке? Когда произойдет следующее?

 

Так как и откуда возникла идея палиндромов? Что ж, мы знаем гораздо больше о палиндромах слов. Само слово происходит от греческого palindromus, что означает снова бежать назад. Первые палиндромы, которые были составлены путем организации групп слов, а не букв. Греческий поэт Сотадес, живший в Египте примерно в 276 г. до н.э. во время правления Птолемея II, написал палиндром о царе, который не был оценен по достоинству. Бедного старого Сотадеса запечатали в ящик и выбросили в море за его усилия. Палиндромы встречаются написанными египетскими иероглифами и латинскими текстами.