Обобщение понятия степени: Обобщение понятия о показателе степени

Содержание

Обобщение понятия о показателе степени

Урок 5. Алгебра 11 класc

На этом уроке обобщаются случаи, когда показатель степени – рациональное, целое число. Дается определение иррациональных уравнений.

Конспект урока «Обобщение понятия о показателе степени»

Вопросы занятия:

· обобщить случаи, когда показатель степени – рациональное или целое число;

· ввести понятие «иррациональных уравнений».

Материал урока

На сегодняшнем уроке мы постараемся объединить все, что мы знаем о показателе степени, вспомним все свойства степеней в зависимости от показателя.

Прежде всего, давайте вспомним, что такое степень.

Определение.

Степень с натуральным показателем – произведение n множителей, каждый из которых равен а.

В записи aⁿ: а – это основание степени, n – это показатель степени.

Напомним, что:

Все это мы изучали с вами раньше. А теперь давайте рассмотрим степень, показателем которой является не натуральное, а рациональное число.

Определение.

Рациональным числом называется число, которое можно представить в виде обыкновенной дроби m/n, где m – это целое число, а n – натуральное. То есть на сегодняшнем уроке мы познакомимся с:

Запишем определение.

Определение.

Почему ввели ограничение q ≠ 1? Потому что при q = 1 показатель степени становится целым числом. А все свойства таких степеней мы уже рассматривали раньше.

Запишем несколько степеней и преобразуем их в радикалы.

При таком определении степени с рациональным показателем сохраняются все привычные свойства степеней, которые были доказаны для натуральных показателей:

Используя свойства таких степеней, становится проще делать некоторые преобразования радикалов.

Рассмотрим несколько примеров.

Пример.

Давайте теперь рассмотрим степень с рациональным показателем в случае отрицательного показателя.

Например:

Для таких степеней справедливы те же свойства, что и для степеней с положительным рациональным показателем.

Давайте запишем их ещё раз:

Рассмотрим несколько примеров.

Пример.

Определение.

Уравнения, в которых переменная содержится под знаком корня или возводиться в дробную степень, называют иррациональными.

С такими уравнениями вы уже встречались в курсе алгебры 8 класса. Напомним основные методы решения иррациональных уравнений.

Метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень.

Метод введения новых переменных.

Функционально-графический метод.

Более подробно иррациональные уравнения и методы их решения мы рассмотрим позднее.

Предыдущий урок 4 Преобразование выражений, содержащих радикалы

Следующий урок 6 Степенные функции, их свойства и графики

Получите полный комплект видеоуроков, тестов и презентаций Алгебра 11 класc

Чтобы добавить комментарий зарегистрируйтесь или войдите на сайт

Обобщение понятия степени. 11-й класс

Что умеете хорошего, то не забывайте, а чего не умеете, тому учитесь.
Из Владимира Мономаха.

Цели урока:

Образовательная
- систематизировать знания по пройденной теме;
- проверить уровень изученного материала;
- применить теоретический материал для решения задач.
Воспитательная
- воспитывать чувство ответственности за выполненную работу;
- воспитывать культуру речи, аккуратность, внимание.
Развивающие
- развивать мыслительную деятельность учащихся;
- прививать интерес к предмету;
- развивать любознательность.

Урок повторения и обобщения материала.

Оборудование урока: кодоскоп таблицы.

Оформление урока: на доске тема урока, эпиграф.

Подготовка к уроку: за несколько дней на стенде вывешены вопросы для повторения.

Определение степени с целым показателем
Свойства степени с целым показателем.
Определение степени с дробным показателем.
Определение степени с дробным отрицательным показателем.
Определение степени с любым показателем.
Свойства степени с любым показателем.

Ход урока

1. Организационный момент.

2. Домашнее задание. № 1241, 1242, 1244а, 1245б.

3. Контроль домашнего задания.

Проводим взаимопроверку. Через кодоскоп показываю решения домашнего задания.

№1225б, в; 1227 а, в; 1229а,в;1232в,г;1233г.

Решение домашней работы.

№1225

Б) 2^1,3 * 2^-0,7* 4^0,7= 2^0,6 * (2²)^0,7=2^0,6 * 2^1,4= 2² =4.

В) 49^-2\3 * 7^1\12 * 7^-3\4 = (7²)^-2\3 * 7^1\12 * 7^-3\4= 7^{-4\3 \+1\12 -3\4}= 7^{(-16 +1- 9)\12}= 7^-24\12= 7^-2= 1\49.

№1227

А) (27 * 64)^1\3= 27^1\3 * 64^1\3= (3³)^1\3 * (4³)^1\3= 3 * 4= 12.

В) (1\36 * 0,04)

-1\2= (6^-2 * (0,2)²)^-1\2= (6^-2)^-1\2 * ((0,2)²)^-1\2= 6 * 0,2^-1= 6 * 10\2=30.

№1229

А) = = х^1-3\5= х^2\5.

В) = = = с^8\3
-2\3 = с².

№1232

В) (d^1\2 -1) * (d^1\2 +1)= d -1

Г) (p^1\3 — q^1\3) * (p^1\3 +(pq)^1\3 + q^2\3) = p- q.

№1233

Г) = = .

Рефлексия. Определяем количество ошибок.

4. Ориентация в изучаемом материале.

Ребята, какую тему мы изучали в течение нескольких последних уроков?

5. Мотивация. Сегодня мы проведём урок повторения и обобщения знаний по теме «Обобщение понятия степени». Ребята, обратите внимание на задания, которые мы будем решать на уроке, подобные им могут встречаться в контрольной работе, опросе.

6. Какими свойствами степеней вы пользовались при выполнении домашней работы? Вспомним теорию.

Дополните предложения:

Степень с целочисленным показателем это — :произведение n одинаковых множителей
При умножении степеней с одинаковыми основаниями:показатели складываются
При делении степеней с одинаковыми основаниями :показатели вычитаются
Степень степени равна:произведению показателей
Степень числа а, не равного нулю с нулевым показателем равна :1
Степень произведения равна :произведению степеней
Степень дроби равна :дроби степеней
Степень с дробным показателем m\n есть:

Степень с любым показателем p\q есть:

Молодцы.

7. Теоретически вы подковались, а теперь осталось проверить практическую часть.

Световой диктант.

(За закрытой доской 2 ученика.) Ребята выполняют задание через копирку, потом проверяем. Кодоскоп.

Вариант1	Вариант 2
Представьте выражение в виде степени с рациональным показателем.
; ; .	; ; .
Ответы. 2^1\2; х^2\3; а^4\5.	16^1\5 ; 6^1\3; а^3\2.
Представьте выражение в виде корня из числа или выражения
7^3\5; 5х^1\3; (5а)^1\3	5^-1\4; 7у^2\5; (6х)^2\5.
Ответы. ; 5; .	; 7;
Вычислите
9^1\2; (3)	1. 16^1\2(4)
8^2\3 (4)	2. 81^3\4 (27)
2^-2 * 16^1\2 (1)	3. 3^-2 * 81^1\4 (1\3).

8. А теперь послушаем кусочек истории. Историческая справка.

Представьте себе, что вы попали в Алмазный Фонд нашей страны. И вам побольше хотелось бы узнать об алмазах. Вот этим и займёмся на уроке.

Задание 1.

Выполните вычисления. Запишите в таблицы буквы, связанные с найденными ответами.

Б 49^1\2= 7	Й 81^0,5= 9
Ы 32^1\5= 2	С 8^2\3= 4
Е 1000^1\3= 10	Н 0^0,2= 0
П 0, 0016^1\4= 0. 2	Л 1^-0,6= 1
И 16^{— 1\2}= 0,25	З 16 ^-0,25= 0,5
О (8\27)^1\3 = 2\3	Д 16^3\4= 8
М ( 5 )^0,25 = 1.5	А 25^1,5=125

Название

125	1	1, 5	125	0, 5
А	Л	М	А	З

произошло от греческого слова

125	8	125	1,5	125	4
А	Д	А	М	А	С

что в переводе означает

0	10	0. 2	2\3	7	10	8	0.25	1, 5	2	9
Н	Е	П	О	Б	Е	Д	И	М	Ы	Й

и отражает одно из его главных свойств - наивысшую твёрдость.

Задание 2.

Среди выражений, записанных в таблице, найдите и вычеркните те, которые не имеют смысла. Для остальных выражений найдите равные по значению числа, записанные на рисунках алмазов. Заполните свободные части таблицы числами и буквами.

(-121)^1\2i
-121^1\2b
121^-1\2r
(-32)^-1\5
-32^-1\5i
(2\3)^—
(-2\3)⁰
1^-2\3l
1^-2\3l
(2\3)^-1 а
(- )^1\2
(- )²n
0^3\4t
0^-2\3

Французское слово __brilliant_______________ ( в русском написании __бриллиант______________________) в переводе означает «блестящий» и используется для обозначения алмазов, подвергнутых огранке и полировке. Такая обработка позволяет получить мистический блеск и великолепную игру света.

Задание 3.

А) Заполните таблицу

№	Выражение	Множество допустимых значений переменной	Слова
1.	Х⁵	[0; +)	шатёр
2.	Х^-5	(-; 0) U (0; +)	павильон
3.	Х^1\5	[0; +)	коронка
4.	Х^-1,5	(0; + )	плато
5.	(-х)^1,5	(- ; 0]	арена
6.	(-х)^-5,1	( — ; 0)	площадка

Б) На рисунке показана совершенная бриллиантовая огранка, имеющая форму многогранника с 57 гранями. Эта оптимальная форма и размеры были получены в ХХ веке, благодаря развитию геометрической оптики.

Узнайте, как называются отдельные части такого бриллианта. Используя информацию из таблицы и рисунок:

(-;0)

площадка

[0;+)

коронка

(-;0) (0; +)

павильон

Задание 4.

А) Упростите выражения:

«Кохинор» х:х^2\3 =х^1\3
«Орлов» х^1\5 : х^0,3 = х^-0,1
«Шах» ( х ^2\3)^0,75 = х^1\2
Виктория а^3\5 : а = а^-2\5
Грибоедов А. С. а ^1\4 — а ^{0, 25}= 0
Екатерина 2 а ^1\2 * а ^0,3 : а ^4\5 =1
Великобритания у ^0,6 * у^2\3 : у ^3\5 =у^-0,5
Индия (у ^3\4)¹ * у ^0,5 = у^1,5
Персия (у ² : у ^0,5)^2\3 = у
Россия у ² : ( у ^{0, 5})^2\3 = у^5\3

Б) Найдите значения выражений

m₁ 25 ^{1, 5} : 25 ² = 0,2
m₂ 125 ^2\3 + 81 ^3\4 + 1^-1\5= 53
m₃ 27^{1 1\3}+ 4 ^3\4 * 8^0,6 = 89
m₄ 100¹ : 10 + 27 ^2\3 = 109
m₅ 10 ^1,5 * 10 ^1\2 * 8 ^2\3 = 400

в) Используя найденные ответы, заполните пропуски в тексте. Слова пишите в нужных падежах.

Масса драгоценных камней измеряется каратами.: 1 карат = m₁0,2 г.

Алмазы, имеющие массу более m₂53 карат, получают собственные имена.

Наиболее крупные драгоценные камни хранятся в Алмазном фонде страны, расположенном в Московском Кремле.

Одним из самых знаменитых бриллиантов является алмаз

Х^0,5

«ШАХ»

Имеющий массу около m₃89 карат. Он был найден в

У^1,5

Индии

Затем попал в

Персию

А в 1829 году был привезён в

У^5\3

Россию

В качестве выкупа за смерть

0	Грибоедова А. С.

В Алмазном фонде хранится ещё один знаменитый бриллиант, называемый ныне

Х^-0,1

Орлов

Он также был найден в

У^1,5

Индии

В 17 веке и имел до огранки массу около m₅400 карат. После огранки бриллиант получил имя

Х²

Дерианур

— «море света». Алмаз неоднократно похищался, попадал в различные страны и к разным правителям.

В 1773 году его приобрёл фаворит

Екатерина

Граф Григорий Орлов в дар императрице. Имя алмаза было заменено на

Х^-0,1

Орлов

Бриллиант был вставлен в Российский державный скипетр.

Задание 5.

А) Упростите выражения

У ( х^1\2 + у^1\2) * (х^1\2 — у^1\2) = х -у
А (х^1\2 — у^1\2)² + 2х^1\2у^1\2 = х + у
И = х^1\2
Н = х^1\2 + у^1\2
К = х^1\3 — у^1\3
Л = х^1\3 + у^1\3

Б) Выполните вычисления

1000^2\3 * 125^1\3 + (1\8)^-4\3 + 16^0,25* 49^0.5 = 530

В) Заполните пропуски в тексте:

Долгое время основным местом добычи алмазов была Индия, а в начале ХХ века были открыты месторождения в Южной Африке. Там в 1905 году на одном из приисков был найден крупнейший алмаз, масса которого составляла 3106 карат. Он был назван именем хозяина прииска.

Куллинан 11 — вторая по величине часть, полученная при гранении алмаза, украсил корону королевы Виктории.

При огранке этот алмаз был рассечён на 9 частей. Наибольшая часть, имеющая массу 530 карат, была названа «Звезда Африки». Этот бриллиант, имеющий 74 грани, стал украшать британский державный скипетр.

Подводим итог урока.

Какую цель ставили в начале урока?
Достигли ли цели урока?
Что нового узнали на уроке?
Ставим оценки за урок.

Спасибо за урок.

алгебраическая топология — Обобщение степени карты (запрос ссылки)

Задавать вопрос

спросил 1 год, 11 месяцев назад

Изменено 1 год, 10 месяцев назад

Просмотрено 80 раз

$\begingroup$

Пусть $f:M\to N$ — непрерывное отображение между двумя ориентированными многообразиями размерности $n$. Есть много альтернативных определений степени, но меня интересует только следующее. Поскольку $M,N$ ориентированы, это означает, что $H_n(M)=H_n(N)=\mathbb{Z}.$ Таким образом, индуцированное отображение в гомологиях $$ f_\ast:H_n(M)\cong\mathbb{Z}\xrightarrow{d}\mathbb{Z}\congH_n(N) $$ есть умножение на целое число $d$, которое мы называем степенью.

Далее я хотел бы обобщить это определение на неориентированные многообразия. Есть очевидный способ сделать это. Пусть $p\in \mathbb{Z}$ — простое число, и пусть $f:M\to N$ — отображение между многообразиями такое, что $H_n(M)= H_n(N)= \mathbb{Z}/p \mathbb{Z}.$ Тогда $$ f_\ast:H_n(M)\cong \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\xrightarrow{[d]}\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\cong H_n(N) $$ это умножение на некоторый $[d]\in \mathbb{Z}/p\mathbb{Z},$, который я называю степенью p по модулю.

Это кажется настолько полезной идеей, что кто-то должен был сделать это раньше. Но я не знаю, где в литературе искать. У кого-нибудь есть предложения?

Редактировать: Опубликовано здесь в Math Overflow.

ссылка-запрос
алгебраическая-топология
гомология-когомология
проективное пространство

$\endgroup$

$\begingroup$

Это интересно только для $p=2$, и это действительно степень по модулю 2. Поиск этого должен дать вам много ссылок.

Для отображения $f:M\rightarrow N$ между неориентируемыми многообразиями иногда можно уточнить степень по модулю 2 и ориентировать отображение $f$ вместо многообразий. Вы получаете понятие искривленной степени. Я думаю, что это из-за Пола Олума, возможно, в статье ниже.

MR0058212 (15,338a) Отзыв Олум, Пол Отображения многообразий и понятие степени. Анна. математики. (2) 58 (1953), 458–480. 56,0X

$\endgroup$

Зарегистрируйтесь или войдите в систему

Зарегистрируйтесь с помощью Google

Зарегистрироваться через Facebook

Зарегистрируйтесь, используя электронную почту и пароль

Опубликовать как гость

Электронная почта

Требуется, но никогда не отображается

Опубликовать как гость

Электронная почта

Требуется, но не отображается

Нажимая «Опубликовать свой ответ», вы соглашаетесь с нашими условиями обслуживания, политикой конфиденциальности и политикой использования файлов cookie

[PDF] О степенных свойствах обобщенных случайных графов

title={О степенных свойствах обобщенных случайных графов}, автор={И Ю. Ши и Хун Цянь}, journal={Коммуникации в математических науках}, год = {2009}, объем = {7}, страницы = {175-187} }
- Йи Ю. Ши, Х. Цянь
- Опубликовано в 2009 г.
- Математика, информатика
- Коммуникации в математических науках
Аннотация. Вводится и исследуется обобщение классического случайного графа Эрдёша и Реньи (ER). Обобщенный случайный граф (GRG) допускает разные значения вероятностей для своих ребер, а не единую вероятность, единую для всех ребер, как в модели ER. С вероятностной точки зрения вершины GRG больше не являются статистически идентичными в целом, что приводит к возможности сложной топологии сети. В зависимости от вероятностей окружающих их ребер вершины GRG…
View via Publisher
intlpress. com
SHOWING 1-10 OF 21 REFERENCES
SORT BYRelevanceMost Influenced PapersRecency
A Random Graph Model for Power Law Graphs
- W. Aiello, F. Graham, Linyuan Lu
- Компьютерные науки, математика
  Эксп. Мат.
- 2001
Предложена модель случайного графа, представляющая собой частный случай разреженных случайных графов с заданными последовательностями степеней, которые удовлетворяют степенному закону и включают лишь небольшое количество параметров, называемых логарифмическим размером и логарифмически-логарифмической скоростью роста, которые охватывают некоторые универсальные характеристики массивных графов.
Связные компоненты в случайных графах с заданными ожидаемыми последовательностями степеней
- Ф. Чанг, Линьюань Лу
- Математика
- 2002
Аннотация. Мы рассматриваем семейство случайных графов с заданной ожидаемой последовательностью степеней. Каждое ребро выбирается независимо с вероятностью, пропорциональной произведению ожидаемых степеней его…
Размер гигантского компонента случайного графа с заданной последовательностью степеней
- Майкл Моллой, Б. Рид
- Математика
  Комбинаторика, теории вероятностей и вычислений
- 1998
Размер гигантского компонента в первом случае анализируется путем удаления его структуры из графа , который в основном представляет собой случайный граф с n′=n−∣C∣ вершинами и с λ′in′ из них степени i.
Размеры компонентов в сетях с произвольным распределением степеней.
- М. Ньюман
- Математика
  Физический обзор. E, Статистическая, нелинейная физика и физика мягкого вещества
- 2007
Дано точное решение для полного распределения размеров компонентов в случайных сетях с произвольным распределением степеней и показано, что само распределение размеров компонентов подчиняется степенному закону везде ниже фазового перехода, при котором образуется гигантская компонента, но принимает экспоненциальную форму при наличии гигантской компоненты.
Организация растущих случайных сетей.
- Крапивский П., Реднер С.
- Информатика
  Физический обзор. E, Статистическая, нелинейная физика и физика мягкого вещества
- 2001
Исследовано организационное развитие растущих случайных сетей, и комбинированное распределение узлов по возрасту и степени показывает, что старые узлы обычно имеют большую степень.
Класс коррелированных случайных сетей со скрытыми переменными.
- М. Богунья, Р. Пастор-Саторрас
- Математика
  Физический обзор. E, Статистическая, нелинейная физика и физика мягкого вещества
- 2003
Общая модель расширена для описания практического алгоритма генерации случайных сетей с априорно заданной корреляционной структурой, и представлено расширение для сопоставления неравновесных растущих сетей с сети со скрытыми переменными, представляющими время, когда каждая вершина была введена в систему.
Сложные графы и сети
- Ф. Чанг, Линьюань Лу
- Математика
- 2006
Схема Теория графов в век информации сети Случайные графы с заданными…
Коэффициенты кластеризации сетей белок-белкового взаимодействия.
- Г. А. Миллер, Йи Ю. Ши, Х. Цянь, К. Бомштык
- Математика
  Физический обзор. E, Статистическая, нелинейная и физика мягкого вещества
- 2007
Показано, что степенных распределений недостаточно для определения свойств ПИН, в которых скрытой переменной является свободная энергия ассоциации, определяемая распределениями, зависящими от биохимия и эволюция.
Появление масштабирования в случайных сетях
- Барабаси, Альберт
- Информатика
  Наука
- 1999
Модель, основанная на этих двух компонентах, воспроизводит наблюдаемые стационарные безмасштабные распределения, что указывает на то, что развитие больших сетей управляется устойчивыми явлениями самоорганизации, которые выходят за рамки индивидуальных особенностей человека.