Может ли величина угла выражаться отрицательным числом: Велечина угла может выражаться отрицательным углом?

Содержание

Велечина угла может выражаться отрицательным углом?… -reshimne.ru

Новые вопросы

Ответы

Величина угла может выражаться отрицательным углом?- нет
величина угла выражается только положительным числом градусов

Угол поворота, угол произвольной величины, поворот вокруг точки на заданный угол

Среди множества терминов тригонометрии важным является понятие угла поворота. В данной статье рассмотрим поворот и все соответствующие ему определения; дадим представление о полном обороте; изучим угол поворота и его характеристики, а также поворот фигуры вокруг точки. Для лучшего понимания теория будет снабжена иллюстрациями и практическими примерами.

Поворот точки вокруг точки

Определение 1

Центр поворота – точка, относительно которой осуществлен поворот.

Рассмотрим, что происходит в результате поворота точки. Пусть некоторая точка А поворачивается относительно центра поворота О, в результате чего получается точка А1 (при совершении некоторого количества полных оборотов она может совпасть с точкой А). При этом точка А1 лежит на окружности с центром в точке О радиуса ОА. Другими словами, когда точка А осуществляет поворот относительно точки О, она переходит в точку А1, лежащую на окружности с центром О радиуса ОА.

Считается, что в данном случае точка О при осуществлении поворота вокруг самой себя переходит в саму себя. Или: когда точка О осуществляет поворот вокруг центра поворота О, она переходит в саму себя.

Отметим также, что поворот точки А относительно центра О нужно рассматривать, в том числе, как перемещение в результате движения точки А по окружности с центром в точке О радиуса ОА.

Изобразим графически поворот точки А относительно точки О, перемещение точки А в точку А1 отметим стрелкой:

Полный оборот

Возможно осуществить поворот точки А относительно центра поворота О таким образом, что точка А, пройдя все точки окружности, вернется на прежнее свое место. Тогда говорим, что точка совершила полный оборот вокруг точки О.

Проиллюстрируем:

Если движение точки А по окружности продолжится, то будет выполнено два, три и так далее полных оборотов. На иллюстрации ниже справа отображено два полных оборота, а слева – три:

В рамках всего вышесказанного можно также говорить о частях полного оборота. Например, о половине оборота или трети, или четверти и так далее.

Угол поворота

Из указанного выше понятия поворота точки очевидно, что возможно бесконечное множество вариаций поворота точки А относительно центра О. Любую точку окружности с центром О можно рассматривать как точку А1, полученную в результате поворота точки А. Поэтому для определения отличия одного поворота от другого вводится понятие угла поворота.

Угол поворота имеет свои характеристики, одна из которых – направление поворота. По нему определяют, как перемещалась точка – по часовой стрелке или против.

Еще одной характеристикой угла поворота служит его величина. Углы поворота имеют ту же единицу измерения, что и углы в геометрии: наиболее распространены градусы и радианы. Отметим, что угол поворота может выражаться в градусах любым действительным числом в промежутке от -∞ до +∞, что отличает его от угла в геометрии, который выражается только положительным числом, не превосходящим 180°.

Чтобы обозначить углы поворота, стандартно используют буквы греческого алфавита: α, β, γ и так далее. Чтобы обозначить большое количество углов поворота, применяют одну и ту же букву с различными нижними индексами: α1, α2, α3…. .αn.

Разберем характеристики угла поворота подробнее.

Направление поворота

Отметим на окружности с центром О точки А и А1. В точку А1 возможно попасть, совершив точкой А поворот относительно центра О либо по часовой стрелке, либо – против. Очевидно определять эти повороты, как различные.

Принято считать, что поворот по часовой стрелке – поворот в отрицательном направлении направлении, а поворот против часовой стрелки – поворот в положительном направлении.

Приведем графическую иллюстрацию различных поворотов: слева на чертеже – поворот в положительном направлении; справа – в отрицательном.

Величина угла поворота, угол произвольной величины

Угол поворота точки, не являющейся центром поворота, в полной мере определяется указанием его величины. С другой стороны, по величине угла поворота можно определить, каким образом поворот был осуществлен.

Как было сказано выше, величина угла поворота варьируется в пределах от -∞ до +∞;

Определение 2

Знак плюс определяет поворот против часовой стрелки, а минус – по часовой стрелке.

Необходимо установить соответствие между самой величиной угла поворота и тем, какому повороту она соответствует.

Пусть угол поворота равен 0°. Такому углу поворота соответствует перемещение точки в саму себя. Иначе говоря, при повороте вокруг точки О на 0° точка A остается на месте.

Теперь предположим, что поворот точки А происходит в пределах половины оборота: пусть точка А переходит в точку А1. В таком случае абсолютная величина угла АОА1, выраженная в градусах, не превосходит 180. Если поворот имел положительное направление, то величина угла поворота считается равной величине угла АОА1; если отрицательное – величина угла поворота равна величине угла АОА1 со знаком минус. Для иллюстрации этих утверждений отобразим на чертеже углы поворота в 30°, 180° и -150°:

Углы поворота, превышающие 180 или меньшие –180 определяются, исходя из очевидного свойства последовательных поворотов:

Определение 3

Несколько последовательных поворотов точки А относительно центра О равносильны одному повороту, величина которого равна сумме величин этих поворотов.

Рассмотрим пример, который даст нам возможность графически проиллюстрировать описанное свойство. Пусть точка А выполняет поворот относительно центра О на 45°, затем еще на 60° и еще раз — на -35°. Обозначим промежуточные точки поворотов А1, А2 и А3. В конечную точку А3 возможно было попасть, совершив один поворот на угол поворота, величина которого равна: 45°+ 60° + (-35°) = 70°. Проиллюстрируем:

Таким, образом, углы, превышающие 180°, будем представлять, как несколько последовательных поворотов на углы, сумма величин которых определяет величину исходного угла поворота. Например, угол поворота 298° соответствует последовательным поворотам на 180° и 118°, или 90°, 90°, 90° и 28°, или 180°, 180° и -62°, или 298 последовательных поворотов на 1°.

По такому же принципу определяются углы меньше -180°. Например, угол поворота -515° можно определить, как последовательные повороты на -180°,-180° и -155°.

Нами был определен угол поворота, и его величина выражается в градусах некоторым действительным числом в пределах от -∞ до +∞. Тригонометрия работает именно с углами поворота, хотя для удобства слово «поворот» опускают и говорят «угол». Т.е. будем рассматривать углы произвольной величины, понимая под ними углы поворота.

В заключение также отметим, что полный оборот в положительном направлении соответствует углу поворота в 360° или 2π радиан. Соответственно при отрицательном направлении полный оборот будет соответствовать углу в -360° или -2π радиан.

При этом удобно большие углы поворота представлять, как некоторое количество полных оборотов и еще один на величину в пределах от -180° до 180°. К примеру, поворот осуществляется на 1478°. Представим эту величину как: 360 · 4 + 38, т.е. заданному углу поворота соответствуют 4 полных оборота и еще один поворот – на 38°. Или еще один пример: угол поворота в -815° можно представить, как (-360) · 2 + (-95), т.е. заданному углу поворота соответствуют 2 полных оборота в отрицательном направлении (против часовой стрелки) и еще один поворот того же направления на -95°.

Поворот фигуры вокруг точки на угол

Понятие поворота точки легко распространить на поворот любой фигуры вокруг точки на угол (такой поворот, при котором и точка, относительно которой осуществляется поворот, и сама поворачиваемая фигура лежат в одной плоскости).

Определение 3

Поворот фигуры – это поворот всех ее точек вокруг заданной точки на заданный угол.

Как пример, иллюстрируем следующее действие: поворот отрезка АВ на угол α относительно точки О – при повороте заданный отрезок перейдет в отрезок А1В1.

Решение задач от 1 дня / от 150 р. Курсовая работа от 5 дней / от 1800 р.

Реферат от 1 дня / от 700 р.

Углов

Угол является мерой вращения. Углы измеряются в градусов . Один полный оборот измеряется как 360°. Мера угла может быть положительной или отрицательной, в зависимости от направления вращения. Мерой угла является величина вращения между двумя лучами, образующими угол. Вращение измеряется от начальной стороны до конечной стороны угла. Положительные углы (рисунок а) получаются из против часовой стрелки 9Поворот на 0012 и отрицательные углы (рисунок b) являются результатом поворота на по часовой стрелке на . Говорят, что угол с начальной стороной на оси x находится в стандартном положении .

Рисунок 1
(a) Положительный угол и (b) отрицательный угол.

Углы, находящиеся в стандартном положении, называются квадрантными , если их конечная сторона совпадает с координатной осью. Углы в стандартном положении, которые не являются квадрантными, попадают в один из четырех квадрантов, как показано на рисунке 2 .

Пример 1: Следующие углы (стандартное положение) заканчиваются в указанном квадранте.

94°	2-й квадрант
500°	2-й квадрант
−100°	3-й квадрант
180°	квадрантный
−300°	1-й квадрант

Два угла в стандартном положении, имеющие общую оконечную сторону, равны котерминал. Углы на рис. 3 контерминальны с углом, равным 30 °.

Все углы, сотерминальные с d °, можно записать как

, где n – целое число (положительное, отрицательное или ноль).

Пример 2: Является ли угол, равный 200°, котерминален углу, равному 940°?

Если бы угол, равный 940°, и угол, равный 200°, были котерминальными, то

Поскольку 740 не кратно 360, эти углы не являются котерминальными.

Пример 3: Назовите 5 углов, котерминальных углу −70°.

Измерения углов не всегда являются целыми числами. Дробная градусная мера может быть выражена как десятичная часть градуса, например 34,25 °, или с использованием стандартных делений градуса, называемых минутами и секундами. Между градусами, минутами и секундами существуют следующие отношения:

Пример 4: Запишите 34°15′, используя десятичные градусы

.
Пример 5: Напишите 12°18′44″, используя десятичные градусы.
Пример 6: Запишите 81,293°, используя градусы, минуты и секунды.
исчисление — Как угол может быть отрицательным?
спросил 6 лет, 10 месяцев назад
Изменено 6 лет, 10 месяцев назад
Просмотрено 12 тысяч раз
$\begingroup$
Как угол может быть отрицательным, как синус (-60), косинус (-50) ? В какой квадрант они попадают, если у нас отрицательные углы? Я не вижу отрицательных углов в полной окружности 360
исчисление
геометрия
тригонометрия
треугольники
$\endgroup$
5
$\begingroup$
Углы положительно увеличиваются при увеличении против часовой стрелки. Таким образом, отрицательный угол — это угол, который начинается в направлении по часовой стрелке . 60 — это угол 60 градусов выше оси x, поэтому -60 — это угол 60 градусов ниже оси x.
Угловые меры считаются циклическими и любой угол $x$ равен $x \pm 360$. Так что $-60$ это то же самое, что и $300$.
В частности, 180 = -180. Также удобны -90=270. Ну и конечно 0=360.
====
Верьте или нет вы столкнетесь с ситуациями, когда нужно считать углы в 720 градусов. Это просто 0.
Иногда вам придется сделать что-то вроде sin(x + y) или cos(x — y) и получить такие вещи, как x = 135 и y = 243. Полезно знать, что 125 + 243 = 368 = 8 и 135 — 243 = -108 имеют смысл. (На самом деле -108 = 108 по часовой стрелке гораздо удобнее, чем 252 градуса.) 9\circ$.
$\endgroup$
$\begingroup$
Отрицательные углы связаны с ориентацией на окружности, так же как отрицательные абсциссы связаны с направлением движения по прямой: как только вы решили, что является положительным направлением движения (слева направо , или справа налево), прямая линия становится ( ориентированной ) осью , и точки на этой оси могут иметь положительную или отрицательную абсциссу.