Метод координат в пространстве — презентация онлайн

Похожие презентации:

Элементы комбинаторики ( 9-11 классы)

Применение производной в науке и в жизни

Проект по математике «Математика вокруг нас. Узоры и орнаменты на посуде»

Знакомство детей с математическими знаками и монетами

Тренажёр по математике «Собираем урожай». Счет в пределах 10

Методы обработки экспериментальных данных

Лекция 6. Корреляционный и регрессионный анализ

Решение задач обязательной части ОГЭ по геометрии

Дифференциальные уравнения

Подготовка к ЕГЭ по математике. Базовый уровень Сложные задачи

1. Метод координат в пространстве

Координаты точки и
координаты вектора

2. Прямоугольная система координат в пространстве

1. Прямоугольная система
координат в пространстве
Если через точку пространства проведены три
попарно перпендикулярные прямые, на каждом
из них выбрано направление(оно обозначается
стрелкой) и выбрана единица измерения
отрезков, то говорят, что задана
прямоугольная система координат в
пространстве.
Рассмотрим рисунок

3. РИСУНОК

Прямые с выбранными
на них направлениями
называются осями
координат, а их общая
точка – началом
координат.
Плоскости,
проходящие
соответственно через
оси координат Ох и Оy,
Oу и Оz, Oz и Ox,
называются
координатными
плоскостями и
обозначаются Oxy,
Oхz , Ozх.
z
Ось Аппликат
O
y
Ось ординат
x

4. Определение луча на координатной плоскости.

Точка О разделяет каждую из осей
координат на два луча. Луч, направление
которого совпадает с направлением оси,
называется положительной
полуосью, а другой луч –
отрицательной полуосью.

5. Прямоугольная система координат

z
В прямоугольной
системе
координат
каждой точке M
пространства
сопоставляется
тройка чисел,
которые
называются её
координатами.
M3
M
M2
O
x
M1
y

6. Нахождение точки на координатной плоскости.

Если, например, точка M лежит на координатной
плоскости или на оси координат, то некоторые её
координаты равны нулю. Так, если M принадлежит
Oxy, то аппликата точка M равна нулю: z=0.
Аналогично если M принадлежит Oхz, то y=0, а если
M принадлежит Oyz, то x=0. Если M принадлежит
Ox, то ордината и аппликата точки M равна нулю:
y=0 и z=0. Если M принадлежит Oy, то x=0 и z=0;
если M принадлежит Oz, то x=0 и y=0. Все три
координаты начала координат равны нулю: О
(0;0;0). Напиши координаты для точек A, B, C, D, E,
F на рисунке следующего слайда.

7. Задание!

z
A
B
D
E
O
F
C
x
y

8. Ответы.

A(5; 4; 10),
2. B(4; -3; 6),
3. C(5; 0; 0),
4. D(4; 0; 4),
5. E(0; 5; 0),
6. F(0; 0; -2).
Сравни свои ответы.
1.

9. Координаты вектора

2. Координаты вектора
На каждом из
положительных
полуосей отложим
от начала
координат
единичный вектор,
т. е. вектор, длина
которого равна
единицы.
z
k
j
O
i
x
y

10. Разложение по координатным векторам

Любой вектор a можно разложить по
координатным векторам, т.е. представить
в виде
а = xi + yj + zk
Причем коэффициенты разложения x, y, z
определяются единственным образом.

11. Запись координат вектора.

Координаты вектора а будут
записываться в фигурных
скобках после обозначения
вектора: а {x; y; z}.
На рисунке справа
изображен прямоугольный
параллелепипед имеющий
измерения: OA 1=2, OA 2=2,
OA3=3.
Координаты векторов
изображенных на этом
рисунке, таковы:
a {2; 2; 4}, b {2; 2; -1},
A3 A {2; 2;0}, i {1; 0; 0},
j {0;1;0}, k {0; 0; 1}
z
A3
A
a
k
j
i
A2
O
A1
x
b
y

12. Нулевой вектор и равные вектора

Так как нулевой вектор можно
представить в виде 0 = 0i + 0j + 0k, то все
координаты нулевого вектора равны нулю.
Координаты равных векторов
соответственно равны, т.е. если векторы
a {x ; y ; z } и b {x ; y ; z } равны, то x =x , y =y
и z =z .
1
1
1
1
2
2
2
2
1
2
1
2

13. Правила нахождения суммы, разности и произведения на данное число.

1.
Каждая координата суммы двух или
более векторов равна сумме
соответствующих координат этих
векторов. Если a {x ; y ; z } и b {x ; y ; z } –
данные векторы, то вектор a + b имеет
координаты
1
1
1
2
{x 1+x 2; y 1+y 2; z 1+z 2}
2
2

14. Правило №2

2.
Каждая координата разности двух
векторов равна разности
соответствующих координат этих
векторов. Если a {x ; y ; z } и b {x ; y ; z } –
данные векторы, то вектор a – b имеет
координаты
1
1
1
2
{x1 –x2 ; y1 –y2 ; z1–z2 }
2
2

15. Правило №3

3.
Каждая координата произведения
вектора на число равна произведение
соответствующей координаты вектора на
это число. Если a {x; y; z } – данный
вектор, α — данное число, то вектор αa
имеет координаты
{α x; α y; α z}

16. Связь между координатами векторов и координатами точек.

Вектор, конец которого совпадает с данной
точкой, а начало – с началом координат,
называется радиус-вектором данной точки.
Координаты любой точки равны
соответствующим координатам её радиусвектора.
Каждая координата вектора равна разности
соответствующих координат его конца и начала.

17. Простейшие задачи в координатах

Каждая координата середины отрезка
равна полусумме соответствующих
координат его концов.
Длина вектора a {x; y; z} вычисляется по
формуле
|a| = √x² + y² + z²

18. Расстояние между точками

Расстояния между точка M (x ; y ; z ) и
M (x ; y ; z ) вычисляется по формуле
1
2
2
2
1
1
1
2
d = √(x 2– x1)² + (y2 – y1 )² + (z 2– z 1)²

19. Задачка

Дано:
ОА=4, ОВ=9, ОС=2
M, N и P – середины
отрезков AC, OC и
CB.
Найти по рисунку
справа
координаты
векторов AC, CB,
AB.
z
C
P
N
M
k
i O
A
x
j
B
y

20. Решение:

1.
2.
3.
AC = AO + OC = 4i + 2k, AC {-4; 0; 2}
CB = CO + OB = 2k + 9j, CB {0; 9; 2}
AB = AO + OB = -4i + 9j, AB {-4; 7; 0}

21. Спасибо за внимание!!!

Презентация сделана по учебнику геометрии для
10 -11 класса
Авторы: Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б.
Кадомцев, Л. С. Киселёва, Э. Г. Позняк
Издание подготовлено под научным
руководством академика А. Н. Тихонова.

English     Русский Правила

Введение декартовых координат в пространстве презентация. Введение декартовых координат в пространстве

краткое содержание других презентаций

«Условие перпендикулярности прямой и плоскости» — Перпендикуляр и наклонная. Перпендикулярность прямых и плоскостей. Теорема о двух параллельных прямых. План построения. Прямая а перпендикулярна к плоскости АНМ. Докажем,что прямая а перпендикулярна к произвольной прямой m. Определение. Теорема о двух прямых, перпендукулярных к плоскости. Признак перпендикулярности прямой и плоскости. Признак перпендикулярности плоскостей. Медиана. В плоскости b через точку М проведем прямую с.

«Предмет стереометрии» — Неопределяемые понятия. Точки. Геометрия. Правильные многогранники. Помните ли вы теорему Пифагора. Указания. Философская школа. Стереометрия. Аксиомы стереометрии. Невидимая сторона. Теорема Пифагора. Из истории. Египетские пирамиды. Пифагор. Понятие науки стереометрии. Наглядные представления. Вселенная. Сегодня на уроке. Планиметрия. Основные понятия стереометрии. Евклид. Пространственные представления.

«Виды правильных многогранников» — Получение серной кислоты. Платон. Тетраэдр. Звёздчатый икосододекаэдр. Звёздчатый икосаэдр. Гексаэдр. Висячие сады Семирамиды. Галикарнасский мавзолей. Многогранники в природе. Додекаэдр. Отряд. Правильные многогранники и природа. Правильные многогранники в философской картине мира Платона. Усечённый икосаэдр. Правильные многогранники. Механические головоломки. Звёздчатый додекаэдр. Звёздчатые многогранники.

«Определение двугранных углов» — Задача. Точка на ребре может быть произвольная. Замечания к решению задач. Построение линейного угла. Найдите расстояние. Решение задач. Полуплоскости, образующие двугранный угол. Теорема трёх перпендикуляров. В одной из граней двугранного угла, равного 30, расположена точка М. Перпендикуляр, наклонная и проекция. Проведем луч. Точка К удалена от каждой стороны. Градусная мера угла. Найдите угол.

«Основные аксиомы стереометрии» — Пирамида Хеопса. Аксиомы стереометрии. Аксиома. Предмет стереометрии. Следствия из аксиом стереометрии. Изображения пространственных фигур. Геометрия. Плоскость. Плоскости имеют общую точку. Источники и ссылки. Точки прямой лежат в плоскости. Геометрические тела. Четыре равносторонних треугольника. Следствия из аксиом. Основные фигуры в пространстве. Первые уроки стереометрии. Древняя китайская пословица.

«Параллелепипед» — Свойства диагоналей прямоугольного параллелепипеда. Наклонный параллелепипед. Отрезок, соединяющий две вершины. Основные элементы параллелепипеда. Вывод формулы объёма прямоугольного параллелепипеда. Параллелепипед. «Зальцбургский параллелепипед». Призма, основанием которой служит параллелограмм. Объем параллелепипеда. Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда. Любую пару параллельных граней можно принять за основания.

Урок № 3
МЕТОД КООРДИНАТ В
ПРОСТРАНСТВЕ
Декартовы координаты в пространстве
Ренее Декаерт, французский философ, математик, механик, физик и физиолог
Высь, ширь, глубь.
Лишь три координаты.
Мимо них где путь? Засов закрыт.
С Пифагором слушай сфер сонаты,
Атомам дли счёт, как Демокрит.
В. Брюсов.

План урока
1 Введение прямоугольной системы координат в пространстве.
2 Расположение точек в системе координат.
3 Нахождение координат точек в пространстве.
4 Построение точки в пространстве по её координатам.
5 Понятие радиус-вектора.
6 Разложение вектора по координатным векторам.
7 Нахождение координат вектора суммы векторов, вектора
разности векторов, вектора умноженного на данное число.
8 Решение задач.
9 Запись ДЗ.

МЕТОД КООРДИНАТ В ПРОСТРАНСТВЕ
Система координат на плоскости
Y
y
Система координат в пространстве
Z
z
M(x;y)
абсцисса
ордината
О
x
1) 2 прямые
2) Точка – НК
3) Направление осей
4) Название осей
5) Точка М
6) Название
координат
точки М
X
X
1)
2)
3)
4)
x
аппликата
y
Y
Ось абсцисс
Ось ординат
Ось аппликат
OX; OY; OZ
5) Координатные плоскости
6) Точка М
7) Название
координат
точки М
ордината
M(x;y;z)
О
3 прямые
Точка – НК
Направление осей
Название осей
абсцисса
XOY; XOZ; YOZ

Различные расположения точек в системе координат
Z
K
T
M
L
N
О
Y
P
X
Расположение точки в системе координат
на оси ОХ
в плоскости ХOY
на оси ОY
в плоскости YOZ
на оси ОZ
в плоскости ХOZ

1) Нахождение координат точек
2) Нахождение координат точек
Дан куб с длиной ребра 2
Z
C1
B1
A1
A
2
D1
B
Y
Дан прямоугольный параллелепипед
с измерениями 2; 5; 7
2
X
Z
B1
A1
C
D
2
Найдите координаты всех вершин куба
A
X
D1
5
2
B
7
C
D
Найдите координаты всех вершин
прямоугольного параллелепипеда
3) Построение точки по её координатам
Постройте точки в прямоугольной
системе координат:
М(3; 4; 5) и Т(-2; 5; -7)
C1
Y

Координаты вектора
Разложение вектора
по координатным векторам
Z
С
ОМ ОА ОВ ОС
М
k
О
X
А
j
по правилу параллелепипеда
ОМ xi yj zk
В Y
i
р
ОМ {x; y; z}
радиус — вектор
М (x; y; z)
Координаты радиусвектора равны
координатам конца
данного вектора

Равные векторы имеют
одинаковые координаты
р{x; y; z}
р xi yj zk

a{x1;y1;z1}
Координаты
суммы векторов
b{x2;y2;z2}
Координаты
разности векторов
(a+b){ }
(a-b){ }
сложить
соответствующие
координаты
Координаты вектора,
умноженного на число
ka{ }
каждую
координату
умножить на это
число
вычесть
соответствующие
координаты

4) Дано разложение вектора по единичным векторам, запишите координаты вектора.
р 3i 2 j k , р j 6k , р k .
5) Даны координаты вектора, запишите разложение вектора по единичным векторам.
р{ 3;6;1}, р{ 2;5;0}, р{0; 1;0}.

Домашнее задание с урока 3:
п.46, 47 и конспект, уметь составить грамотный рассказ,
№ 400, 402, 403, 404, 410

на следующем уроке простейшая СР

Слайд 2

Задачи урока 1.Показать, максимально используя наглядность, что координаты в пространстве вводятся столь же просто и естественно, как и координаты на плоскости. 2.Применение формул к решению задач.

Слайд 3

Урок по темеДекартовы координаты в пространстве

Р. Декарт — французский ученый (1596- 1650) Декарт был крупнейшим философом и математиком своего времени. В основе его философии лежал материализм. Самым известным трудом Декарта является его “Геометрия”. Декарт ввел систему координат, которой пользуются все и в настоящее время. Он установил соответствие между числами и отрезками прямой и таким образом ввел алгебраический метод в геометрию. Эти открытия Декарта дали огромный толчок развитию как геометрии, так и другим разделам математики.

Слайд 4

В своё время Рене Декартсказал: “… потомки будут благодарны мне не только за то, что я сказал, но и за то, что я не сказал и тем самым дал им возможность и удовольствие додуматься до этого самостоятельно”. Мотивация

Слайд 5

3. Назовите оси координат на плоскости? Назовите оси координат в пространстве? Название, какой оси мы не изучали? (Знакомство с новым словом “аппликата”) 4. Какие плоскости рассматриваются в планиметрии (в пространстве)? 5. Назовите координату начала координат на плоскости (в пространстве)? 6. Какие еще компоненты должна иметь система координат на плоскости и в пространстве? Для беседы используются рисунки

Слайд 6

Расскажите, как вводится, декартова система координат в пространстве и из чего она состоит? При беседе построить рисунок фронтально-диметрической проекции осей. Рассмотреть положение осей в соответствии с черчением. Построить точку с заданными координатами А (2; — 3). Построить точку с заданными координатами А (1; 2; 3).

Слайд 7

Основные понятия декартовых координат. . .

Слайд 8

формула расстояния между точками

Слайд 9

Координаты середины отрезка.

Описание:

Тема «Введение декартовых координат в пространстве. Расстояние между точками. Координаты середины отрезка»

Цели урока:

Образовательные: Рассмотреть понятие системы координат и координаты точки в пространстве; вывести формулу расстояния в координатах; вывести формулу координат середины отрезка.

Развивающие: Способствовать развитию пространственного воображения учащихся; способствовать выработке решения задач и развития логического мышления учащихся.

Воспитательные: Воспитание познавательной активности, чувства ответственности, культуры общения, культуры диалога.

Тип урока: Урок изучения нового материала

Структура урока:

1. Организационный момент.
2. Актуализация опорных знаний.
3. Изучение нового материала.
4. Актуализация новых знаний
5. Итог урока.

Ход урока

1. Решая геометрическую, физическую, химическую задачу можно использовать различные координатные системы: прямоугольную, полярную, цилиндрическую, сферическую.

В общеобразовательном курсе изучается прямоугольная система координат на плоскости и в пространстве. Иначе её называют Декартовой системой координат по имени французского ученого философа Рене Декарта (1596 – 1650) впервые введшего координаты в геометрию.

Рене Декарт родился в 1596 г. в городе Лаэ на юге Франции, в дворянской семье. Отец хотел сделать из Рене офицера. Для этого в 1613 г. он отправил Рене в Париж. Много лет пришлось Декарту пробыть в армии, участвовать в военных походах в Голландии, Германии, Венгрии, Чехии, Италии, в осаде крепости гугенотов Ла-Рошали. Но Рене интересовала философия, физика и математика. Вскоре по приезде в Париж он познакомился с учеником Виета, видным математиком того времени — Мерсеном, а затем и с другими математиками Франции. Будучи в армии, Декарт все свое свободное время отдавал занятиям математикой. Он изучил алгебру немецких, математику французских и греческих ученых.

После взятия Ла-Рошали в 1628 г. Декарт уходит из армии. Он ведет уединенный образ жизни с тем, чтобы реализовать намеченные обширные планы научных работ.

Декарт был крупнейшим философом и математиком своего времени. Самым известным трудом Декарта является его “Геометрия”. Декарт ввел систему координат, которой пользуются все и в настоящее время. Он установил соответствие между числами и отрезками прямой и таким образом ввел алгебраический метод в геометрию. Эти открытия Декарта дали огромный толчок развитию как геометрии, так и другим разделам математики, оптики. Появилась возможность изображать зависимость величин графически на координатной плоскости, числа — отрезками и выполнять арифметические действия над отрезками и другими геометрическими величинами, а также различными функциями. Это был совершенно новый метод, отличавшийся красотой, изяществом и простотой.

«Координатная плоскость с координатами» — D. A. Игра «Соревнование художников». S. Координатная плоскость. T. Вариант 2 корабль. H. P. O. 1.

«Координаты» — Ось ординат. 5. Найдите координаты точек. Определение декартовых координат. -6. Декартовы координаты. Х. 1. Определение декартовых координат Координаты середины отрезка Расстояние между точками. -1. Содержание. А(-7;0). Ось абсцисс. Геометрия, 8 класс.

«Простейшие задачи в координатах» — © Максимовская М.А., 2011 год. Простейшие задачи в координатах. 1. Координаты вектора по координатам начала и конца. A(3; 2).

«Декартовы координаты» — С. Ось Оу — ордината. Гиппарх. X. А(6 ; 4). Декартовы координаты в пространстве. II век н.Э. Знакомство с декартовой системой координат. Прямоугольная система координат.

«Числа на координатной прямой» — А. 5. 1 + 4 =. Шкала термометра. +4. -3. В. Сложение чисел с помощью координатной прямой. 1 + (-4) =. -2. Координата точки 6. Изменение величин 13. — 4.

«Координаты точки» — Симметрия точки относительно оси ординат (Оу). Жюль Анри Пуанкаре. Точка А (2;3) симметрична точке А (-2;3), расположенной слева от оси ординат. Расположение точек относительно осей координат. Симметрия среди животных. В математике нет символов для неясных мыслей. Семиричник – редкое растение, но семь лепестков цветка имеют двустороннюю симметрию.

Система координат и окно просмотра

В этом разделе рассматривается наиболее важный аспект презентационного пространства: система координат. Пространство представления определяет единицу измерения системы координат, используемой для вывода графики. Единицей может быть пиксель, сантиметр, дюйм или произвольная единица измерения.

Пространство представления определяет начало системы координат (точка {0,0}) вместе с единицей измерения для вывода. Весь графический вывод относится к системе координат пространства представления, а это, в свою очередь, относится к системе координат устройства вывода. При выводе графических элементов необходимо учитывать две системы координат: системы координат пространства представления и системы координат контекста устройства.

Система координат пространства презентации определяется размером страницы. Страница определяет доступное пространство, где может происходить графический вывод. Поскольку весь графический вывод происходит в пространстве представления, вывод использует координаты страницы пространства представления.

Пространство презентации отображает страницу в контексте устройства. Он использует так называемое окно просмотра. Вся страница пространства презентации полностью отображается в окне просмотра. Окно просмотра относится к координатам устройства вывода, то есть размер окна просмотра определяет, что видно на устройстве вывода. Однако размер страницы определяет, что может отображаться в пространстве презентации.

Размер страницы области презентации, а также размер окна просмотра могут быть установлены для области презентации. Размер страницы определяется с помощью метода :setPageSize(), а размер области просмотра устанавливается с помощью метода :setViewPort(). Страница определяет отображение в пространстве презентации, а область просмотра определяет отображение на устройстве вывода (в контексте устройства). На следующем рисунке показан эффект окон просмотра разного размера с двумя страницами одинакового размера и устройствами вывода одинакового размера в двух окнах:

На рисунке показаны два окна одинакового размера с областью рисования примерно 260 * 200 пикселей (исключая строку заголовка), в которых отображается одно и то же изображение. Единственная разница между окнами заключается в размере области просмотра их соответствующих презентационных пространств. Серая область на иллюстрации представляет окно просмотра. В левом окне область просмотра меньше окна. В правом окне изображение выходит за границу окна, потому что область просмотра больше, чем окно. Все, что находится за границей правого окна, не будет видно на экране. Следующий программный код показывает, как можно повлиять на область просмотра:

 oPS1 := oWindowA:pressSpace()
oPS1:setViewPort({20, 20, 240, 180}) // окно просмотра <окно

DisplayGraphic(oPS1) // рисуем изображение

oPS2 := oWindowB:pressSpace()
oPS2:setViewPort({-20, -20, 280, 240}) // область просмотра > окно

DisplayGraphic(oPS2)
 

В обоих окнах изображение рисуется с одинаковыми координатами. Однако в левом окне область просмотра пространства презентации меньше, чем устройство вывода (окно). Соответственно изображение уменьшается. В правом окне область просмотра больше устройства вывода. Отображение в окне увеличено, а части изображения обрезаны. Серая область соответствует области просмотра. Этот программный код иллюстрирует, что координаты области просмотра указываются как координаты окна. Таким образом, окно просмотра в левом окне начинается с точки {20,20}, лежащей внутри окна. Однако окно просмотра в правом окне находится за пределами окна, потому что оно начинается в точке {-20,-20}.

Пространство презентации передает графический вывод через окно просмотра в контекст устройства. Окно просмотра пространства презентации всегда относится к системе координат устройства вывода. В примере устройство вывода имеет размер 260*200 пикселей и определены два окна просмотра разного размера. Таким образом, изображения могут масштабироваться любым образом на дисплее, потому что область просмотра определяет координаты в устройстве вывода, где происходит графический вывод. Если окно просмотра не имеет того же размера, что и устройство вывода, при выводе изображения в контекст устройства автоматически выполняется графическое преобразование.

Наряду с окном просмотра размер абстрактной области рисования, которая представляет пространство представления, может быть установлен для пространства представления. Это происходит при использовании метода :setPageSize() для определения размера «страницы» в пространстве презентации. Размер страницы влияет на размеры системы координат в пространстве презентации.

На иллюстрации снова показаны два окна одинакового размера с областью рисования 260*200 пикселей, и в обоих окнах отображается одно и то же изображение. Здесь размеры страниц двух презентационных пространств различаются:

 oPS1 := oWindowA:pressSpace()
oPS1:setViewPort({0, 0, 260, 200}) // область просмотра = окно
oPS1:setPageSize({260, 200}) // размер страницы = окно

DisplayGraphic(oPS1) // рисуем изображение

oPS2 := oWindowB:pressSpace()
oPS2:setViewPort({0, 0, 260, 200}) // область просмотра = окно
oPS2:setPageSize({520, 400}) // размер страницы > окна

DisplayGraphic(oPS2)
 

В обоих случаях область просмотра имеет тот же размер, что и окно. Это означает, что все, что нарисовано в пространстве презентации, также отображается в окне. Но размер страницы для презентации в правом окне в четыре раза больше, чем в левом окне. В левом окне система координат презентационного пространства простирается от 0 до 260 по оси x (по горизонтали) и от 0 до 200 по оси y (по вертикали), что означает размер страницы 260*200 пикселей. В правом окне ось x пространства представления проходит от 0 до 520, а ось y от 0 до 400. Поскольку изображение в обоих случаях отображается в одних и тех же координатах в пространстве представления, оно в четыре раза меньше в пространстве представления. пространство правого окна, чем в левом окне.

Метод :setPageSize() определяет размер страницы или размеры системы координат в пространстве презентации. С другой стороны, метод :setViewPort() указывает координаты устройства контекста устройства, в котором происходит вывод. Оба метода вызывают автоматическое преобразование, когда размер страницы пространства презентации не соответствует размеру устройства вывода или когда область просмотра не соответствует размерам системы координат контекста устройства.

Два метода :setPageSize() и :setViewPort() предлагают два способа масштабирования графики. Оба метода можно использовать для вывода в окно. Метод :setViewPort() может использоваться только для вывода на экран в окне и ограничен графическим выводом, содержащим векторные изображения. При отображении растровых изображений (битмапов) или растровых операций (функция GraBitBlt()) не выполняется автоматическое масштабирование. Отображение растровых изображений или растровых шрифтов всегда происходит в координатах контекста устройства. Символы, отображаемые растровым шрифтом, не могут масштабироваться, а растровые изображения должны масштабироваться явно с помощью GraBitBlt().

Координатная геометрия — формулы, координатная плоскость, примеры

 

У каждого места на этой планете есть координаты, которые помогают нам легко найти его на карте мира. Система координат нашей земли состоит из воображаемых линий, называемых широтами и долготами. Нуль градусов «долготы по Гринвичу» и ноль градусов «экваториальной широты» являются начальными линиями этой системы координат. Точно так же располагая точку на плоскости или листе бумаги, мы имеем оси координат с горизонтальной осью x и вертикальной осью y.

Координатная геометрия — это изучение геометрических фигур путем нанесения их на оси координат. Такие фигуры, как прямые линии, кривые, окружности, эллипсы, гиперболы, многоугольники, можно легко нарисовать и представить в масштабе по осям координат. Дальнейшая координатная геометрия помогает работать алгебраически и изучать свойства геометрических фигур с помощью системы координат.

1.	Что такое координатная геометрия?
2.	Темы, затронутые в координатной геометрии
3.	Формулы координатной геометрии
4.	Решенные примеры по координатной геометрии
5.	Практические вопросы по координатной геометрии
6.	Часто задаваемые вопросы по координатной геометрии

Что такое координатная геометрия?

Координатная геометрия — важный раздел математики, помогающий представить геометрические фигуры в двухмерной плоскости и изучить свойства этих фигур. Здесь мы попытаемся узнать о координатной плоскости и координатах точки, чтобы получить начальное представление о геометрии координат.

Координатная плоскость

Декартова плоскость делит пространство плоскости на два измерения и удобна для простого определения точек. Ее также называют координатной плоскостью. Две оси координатной плоскости — это горизонтальная ось x и вертикальная ось y. Эти оси координат делят плоскость на четыре квадранта, а точка пересечения этих осей является началом координат (0, 0). Кроме того, любая точка на координатной плоскости обозначается точкой (x, y), где значение x — это положение точки относительно оси x, а значение y — это положение точки относительно ссылки. к оси Y.

Свойства точки, представленной в четырех квадрантах координатной плоскости:

Ось x справа от начала координат O является положительной осью x, а слева от начала координат O является отрицательной осью x. Кроме того, ось y выше начала координат O является положительной осью y, а ниже начала координат O является отрицательной осью y.

Точка, представленная в первом квадранте (x, y), имеет оба положительных значения и построена относительно положительной оси x и положительной оси y.

Точка, представленная во втором квадранте (-x, y), отображается относительно отрицательной оси x и положительной оси y.

Точка, представленная в третьем квадранте (-x, -y), нанесена относительно отрицательной оси x и отрицательной оси y.

Точка, представленная в четвертом квадранте (x, -y), нанесена относительно положительной оси x и отрицательной оси y.

Координаты точки

Координата — это адрес, который помогает найти точку в пространстве. Для двумерного пространства координаты точки равны (x, y). Здесь давайте отметим эти два важных термина.

• Абсцисса:  Это значение x в точке (x, y) и расстояние от этой точки по оси x от начала координат
• Ордината:  Это значение y в точке (x, y). Это расстояние по перпендикуляру от точки до оси x, которая параллельна оси y.

Координаты точки полезны для выполнения многочисленных операций по нахождению расстояния, середины, наклона линии, уравнения линии.

Темы, затронутые в координатной геометрии

Темы, затронутые в координатной геометрии, помогают в начальном понимании концепций и формул, необходимых для координатной геометрии. Темы, затронутые в координатной геометрии, следующие.

• О координатной плоскости и терминах, связанных с координатной плоскостью.
• Знать координаты точки и то, как точка записывается в разных квадрантах.
• Формула для нахождения расстояния между двумя точками на координатной плоскости.
• Формула для определения наклона линии, соединяющей две точки.
• Средняя точка Формула для нахождения середины линии, соединяющей две точки.
• Формула сечения для нахождения точек, делящих соединение двух точек в отношении.
• Центроид треугольника с заданными тремя точками на координатной плоскости.
• Площадь треугольника с тремя вершинами в координатной геометрической плоскости
• Уравнение прямой и различные формы уравнений прямой

Формулы координатной геометрии

Формулы координатной геометрии помогают удобно доказывать различные свойства линий и фигур, представленных на координатных осях. Формулами координатной геометрии являются формула расстояния, формула наклона, формула середины, формула сечения и уравнение линии. Дайте нам знать больше о каждой из формул в следующих параграфах. 92}\)

 

Формула наклона

Наклон линии — это наклон линии. Наклон можно рассчитать по углу, образуемому линией с положительной осью x, или взяв любые две точки на линии. Наклон линии, наклоненной под углом θ к положительной оси x, равен m = Tanθ. Наклон линии, соединяющей две точки \((x_1, y_1)\) и \(x_2, y_2) \), равен m = \( \frac {(y_2 — y_1)}{(x_2 — x_1)} \).

м = Tanθ

m = \((y_2 — y_1)\)/\((x_2 — x_1)\)

 

Формула середины точки

Формула для нахождения середины линии, соединяющей точки  \(( x_1, y_1)\) и \(x_2, y_2) \) – это новая точка, абсцисса которой – это среднее значение значений x двух заданных точек, а ордината – среднее значение значений y двух заданных точек. . Середина лежит на линии, соединяющей две точки, и расположена точно между двумя точками.

\((x, y) =\left(\dfrac{x_1 + x_2}{2}, \dfrac{y_1 + y_2}{2}\right)\)

 

Формула сечения в координатной геометрии

Формула сечения полезна для нахождения координат точки, которая делит отрезок, соединяющий точки \((x_1, y_1)\) и \((x_2, y_2) \) в отношении \(m : n\). Точка, разделяющая данные две точки, лежит на линии, соединяющей две точки, и доступна либо между двумя точками, либо за пределами отрезка линии между точками.

\((x, y) = \left(\frac{mx_2 + nx_1}{m + n}, \frac{my_2 + ny_1}{m + n}\right) \)

 

Центр тяжести треугольника

Центр тяжести треугольника — это точка пересечения медиан треугольника. (Медиана — это линия, соединяющая вершину треугольника с серединой противоположной стороны.) Центроид треугольника с вершинами A\((x_1, y_1)\), B\((x_2, y_2)\) и C\((x_3, y_3)\) получается по следующей формуле.

\((x, y) = (\dfrac{x_1+ x_2 + x_3}{3}, \dfrac{y_1 + y_2 + y_3}{3})\)

 

Площадь треугольника Формула координатной геометрии

Площадь треугольника с вершинами A\((x_1, y_1)\), B\((x_2, y_2)\) и C\((x_3, y_3) )\) получается из следующей формулы. Эта формула для нахождения площади треугольника может быть использована для всех типов треугольников.

Площадь треугольника = \(\dfrac{1}{2}|x_1(y_2 — y_3) + x_2(y_3 — y_1) + x_3(y_1 — y_2)|\)

 

Как найти уравнение линии в координатной геометрии?

Это уравнение линии представляет все точки на линии с помощью простого линейного уравнения. Стандартная форма уравнения линии: ax + by + c= 0. Существуют разные способы найти уравнение линии. Другой важной формой уравнения линии является форма наклон-пересечение уравнения линии (y = mx + c). Здесь m — наклон линии, а c — точка пересечения линии с осью y. Кроме того, другие формы уравнений линии, такие как форма точка-наклон, форма с двумя точками, форма пересечения и нормальная форма, представлены в уравнении веб-страницы линии cuemath.

y = mx + c

 

Темы, связанные с геометрией координат

• Декартовы координаты
• Формула расстояния
• Расстояние между двумя точками
• Середина
• Склон
• Формула средней точки
• Уравнение прямой
• Трехмерная формула расстояния
• Расстояние точки от линии
• Форма пересечения наклона линии
• Форма уклона точки
• Формула Евклидова расстояния

Советы и рекомендации по координатной геометрии

1. Наклон оси X равен 0, а наклон оси Y равен \(\infty\).
2. Уравнение оси X равно y = 0 и уравнение оси Y равно x = 0
3. Точка на оси \(x\) имеет форму (a, 0), а точка на оси y имеет форму (0, b)
4. Point Slope Форма уравнения прямой:  \((y — y_1) = m(x — x_1) \).
5. Двухточечная форма уравнения прямой: \(y — y_1 = \left(\dfrac{y_2 — y_1}{x_2 — x_1}\right). (x — x_1) \)
6. Наклон Пересечение Форма уравнения прямой: y = mx + c 
7. Для двух параллельных линий в координатной плоскости их наклоны равны.
8. А для двух перпендикулярных прямых в координатной плоскости произведение наклонов равно -1.

 

1. Пример 1: Рону заданы координаты одного конца диаметра круга как (5, 6) и центра круга как (-2, 1). Используя формулы координатной геометрии, как мы можем помочь Рону найти другой конец диаметра круга?

   Решение:

   Пусть \(AB\) диаметр окружности с координатами точек \(A\) и \(B\) следующим образом.

   \( A = (x_1, y_1) \), \(B = (x_2, y_2)  = (5, 6)\)

   Координаты центра \(O = (x, y) = (-2, 1)\) 

   Формула координатной геометрии для средней точки линии:

   \[ (x, y) = \left(\dfrac{x_1 + x_2}{2}, \dfrac{y_1 + y_2}{2}\right) \]

   Применяя это, мы получаем следующие вычисления.

   \[\begin{align}   (-2, 1) &=\left (\frac{x_1 + 5}{2}, \frac{y_1 + 6}{2}\right) \end{align} \]

   Здесь мы разделим координаты и значение \(x\):

   \[\begin{align}   \dfrac{x_1 + 5}{2} &= -2 \\x_1 + 5 &= -2 \times 2\\x_1 + 5 &=-4 \\ x_1 &=-4 -5 \\x_1 &= -9  \end{align} \]

   И значение \(y\) :

   \[\begin{align}   \dfrac{y_1 + 6}{2} &= 1 \\y_1 + 6&= 1 \times 2\\y_1 + 6 &=2 \\ y_1 &=2 — 6 \\y_1 &= -4  \end{align} \]

   Следовательно, точка \(A = (x_1, y_1) = (-9, -4)\)

   Ответ: Следовательно, другой конец диаметра равен (-9, -4).

2. Пример 2: Найдите уравнение прямой, проходящей через (-2, 3) и имеющей наклон -1.

   Решение:

   Точка на линии \((x_1, y_1) = (-2, 3)\), а наклон равен \(m = -1\).

   Используя координатную геометрическую точку и форму наклона уравнения линии, мы имеем:

   \[\begin{align}(y — y_1) &= m(x — x_1) \\ (y — 3) & =(-1)(x -(-2)) \\ y — 3 &= -(x + 2) \\ y — 3 &= -x -2 \\ x + y  &= 3 — 2 \\ x + у  &= 1\конец{выравнивание} \]

   Ответ: Следовательно, уравнение прямой x + y = 1.

3. Пример 3: Найдите уравнение прямой, имеющей наклон -2 и \(y\)-пересечение 1. ) и \(y\)-отрезок равен \( c = 1\) 

   Из координатной геометрии мы можем использовать форму пересечения наклона уравнения прямой.

   \[\begin{align} y &= mx + c \\ y &= (-2)x + 1 \\ y &= -2x + 1  \\ 2x + y &= 1\end{align} \ ]

   Ответ: Следовательно, уравнение прямой 2x + y = 1.

перейти к слайдуперейти к слайдуперейти к слайду

Разбивайте сложные концепции с помощью простых визуальных средств.

Математика больше не будет сложным предметом, особенно когда вы понимаете концепции с помощью визуализаций.

Записаться на бесплатный пробный урок

перейти к слайдуперейти к слайдуперейти к слайду

 

Часто задаваемые вопросы по координатной геометрии

Что такое координатная геометрия?

Координатная геометрия полезна для определения точек в пространстве. Для этого определяются основные оси оси x и оси y, а затем точки измеряются и отмечаются относительно этих точек. Далее, различные геометрические фигуры, такие как линия, кривая, окружность, эллипс, гипербола, могут быть нанесены на оси координат, и мы можем изучать различные свойства этих геометрических фигур.

Что такое формула расстояния в координатной геометрии? 92} \).

Что такое наклон в координатной геометрии?

Наклон линии можно найти двумя способами в координатной геометрии. Для данного угла наклона θ линии с положительной осью x наклон линии равен m = Tanθ. Для заданных двух точек \((x_1, y_1)\) и \((x_2, y_2)\) на линии наклон линии равен m = \(\dfrac{(y_2 — y_1)} {(х_2 — х_1)}\).

Что такое коллинеарные точки в координатной геометрии?

Коллинеарные точки в координатной геометрии относятся к набору точек, лежащих на одной линии. Условие коллинеарности трех точек состоит в том, что наибольшее расстояние между двумя точками равно сумме расстояний между двумя другими наборами точек. Кроме того, коллинеарные точки можно найти с помощью формулы наклона. Наклон линии, соединяющей две точки, должен быть равен наклону линии, соединяющей две другие точки.

Где используется координатная геометрия в математике?

Понятия координатной геометрии имеют широкое применение в математике. Темы математики, такие как векторы, трехмерная геометрия, уравнения, исчисление, комплексные числа, функции, имеют множество приложений координатной геометрии. Все эти темы требуют графического представления данных в двух/трехмерной координатной плоскости.

Что такое формула сечения в координатной геометрии?

Формула сечения полезна для нахождения координат точки, которая делит отрезок, соединяющий точки \((x_1, y_1)\) и \((x_2, y_2)\) в отношении \(m : n\ ). Точка, разделяющая отрезок, находится на линии, соединяющей две точки, и находится либо между двумя точками, либо за пределами двух точек. Формула для нахождения требуемой точки: \((x, y) = \left(\frac{mx_2 + nx_1}{m + n}, \frac{my_2 + ny_1}{m + n}\right) \)

Как найти площадь треугольника в координатной геометрии?

Площадь треугольника, соединяющего три точки  \((x_1, y_1)\),  \((x_2, y_2)\) и  \((x_3, y_3)\) в системе координат \( \frac {1}{2}.|x_1(y_2 — y_3) + x_2(y_3 — y_1) + x_3(y_1 — y_2)|\). В формуле используется символ модуля, поскольку площадь всегда является положительным значением.

Как координатная геометрия используется в реальной жизни?

Координатная геометрия имеет множество применений в нашей реальной жизни.