История возникновения комплексных чисел доклад: определения, история развития, применение комплексных чисел на практике

Содержание

История возникновения комплексных чисел

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

ФИЛИАЛ ФГБОУ ВПО «ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

В Г. ИШИМЕ

Реферат

по дисциплине «Математический анализ»

ТЕМА «История возникновения комплексных чисел»

студента 1 курса

специальности (направления)

экономика

очная форма обучения,

Ваганова Е.Е

Проверил:

______________________

Ишим 2015

Дата

_______________2015

Содержание

Введение	3
1. Развитие понятия о числе	4
2. На пути к комплексным числам	5
3. Утверждение комплексных чисел в математике	8
Заключение	10
Источники	11

Введение

В программе математики школьного курса теория чисел вводится на примерах множеств натуральных чисел, целых, рациональных, иррациональных, т.е. на множестве действительных чисел, изображения которых заполняют всю числовую ось. Но уже в 8 классе запаса действительных чисел не хватает, решая квадратные уравнения при отрицательном дискриминанте. Поэтому было необходимо пополнить запас действительных чисел при помощи комплексных чисел, для которых квадратный корень из отрицательного числа имеет смысл.

Рассмотрев тему «Комплексные числа» на занятиях высшей математики мы заинтересовались данной темой и решили углубить свои познания в этой области.

Выбор темы «Комплексные числа», их прошлое и настоящее» заключается в том, что понятие комплексного числа расширяет знания о числовых системах, о решении широкого класса задач как алгебраического, так и геометрического содержания, о решении алгебраических уравнений любой степени и о решение задач с параметрами.

Большое значение комплексных чисел в математике и её приложениях широко известно. Их изучение имеет самостоятельный интерес. Алгебру комплексных чисел можно успешно использовать в элементарной геометрии, тригонометрии, теории геометрических преобразований, а также в электротехнике и различных задачах с механическим и физическим содержанием.

Решение многих задач физики и техники приводит к квадратным уравнениям с отрицательным дискриминантом. Эти уравнения не имеют решения в области действительных чисел.

Но решение многих таких задач имеет вполне определенный физический смысл. Значение величин, получающихся в результате решения указанных уравнений, назвали комплексными числами.

1. Развитие понятия о числе

Древнегреческие математики считали “настоящими” только натуральные числа. Постепенно складывалось представление о бесконечности множества натуральных чисел.

В III веке Архимед разработал систему обозначения вплоть до такого громадного как . Наряду с натуральными числами применяли дроби — числа, составленные из целого числа долей единицы. В практических расчетах дроби применялись за две тысячи лет до н. э. в древнем Египте и древнем Вавилоне. Долгое время полагали, что результат измерения всегда выражается или в виде натурального числа, или в виде отношения таких чисел, то есть дроби. Древнегреческий философ и математик Пифагор учил, что “… элементы чисел являются элементами всех вещей и весь мир в челом является гармонией и числом.

Сильнейший удар по этому взгляду был нанесен открытием, сделанным одним из пифагорейцев. Он доказал, что диагональ квадрата несоизмерима со стороной. Отсюда следует, что натуральных чисел и дробей недостаточно, для того чтобы выразить длину диагонали квадрата со стороной 1. Есть основание утверждать, что именно с этого открытия начинается эра теоретической математики: открыть существование несоизмеримых величин с помощью опыта, не прибегая к абстрактному рассуждению, было невозможно. [1]

Следующим важным этапом в развитии понятия о числе было введение отрицательных чисел — это было сделано китайскими математиками за два века до н. э. Отрицательные числа применяли в III веке древнегреческий математик Диофант, знавший уже правила действия над ними, а в VII веке эти числа уже подробно изучили индийские ученые, которые сравнивали такие числа с долгом. С помощью отрицательных чисел можно было единым образом описывать изменения величин. Уже в VIII веке было установлено, что квадратный корень из положительного числа имеет два значения — положительное и отрицательное, а из отрицательных чисел квадратный корень извлекать нельзя: нет такого числа , чтобы .

[1]

2. На пути к комплексным числам

В 1494 году учёный, францисканский монах (Италия) Лука Пачиоло (1445 – 1514) напечатал в Венеции труд “ Сумма, арифметика, геометрия и пропорциональности” , который закончил выводом: “ Решение кубических уравнений вида x3 + px = q, p > 0, q > 0, столь же невозможно при современном состоянии науки, как и решение квадратуры круга циркулем и линейкой” .

Несмотря на это предупреждение, за решение кубического уравнения взялись одновременно сразу два математика, Джеронимо Кардано (1501 – 1576) из Милана и Николо Тарталья (1506 – 1559) из Вероны. Причём первый из них получил аналитический результат, решая квадратное уравнение

Он поставил задачу: нарезать участок земли прямоугольной формы с площадью 40 кв. ед. и периметром 2р = 20 лин. ед. Решая систему он пришёл к уравнению x2 — 10x + 40 = 0, корни которого не являются действительными числами.[2] Он показал, что система уравнений не имеющая решений во множестве действительных чисел, имеет решения вида , .

Кардано был удивлён таким результатом, назвав число софистическим, добавив, что “ для осуществления таких действий нужна была бы новая арифметика, которая была бы настолько же утончённой, насколько бесполезной” , нужно только условиться действовать над такими выражениями по правилам обычной алгебры и считать что .[2] Итальянский алгебраист Дж. Кардано в 1545 г. предложил ввести числа новой природы.

В 1572 году замечательный учёный из Болоньи Рафаэли Бомбелли (1530 – 1572) в своём труде “ Алгебра” показывает, что при некоторых операциях над новыми числами результатом является действительное число, например: 1) 2)

3)

Только в X V I I I веке величайший математик Леонард Эйлер (1707 – 1783) в работе “ Введение в математический анализ” (1746) вводит обозначение мнимой единицы: , взяв первую букву слова imaginеi res (от названия введённого Р. Декартом (1596 – 1650)) и записывает свои знаменитые формулы: exi = cosx + isinx, e-xi = cosx — isinx, из которых получает соответственно: [8]

Карл Гаусс (1777 – 1855), немецкий учёный, “ король математики” , впервые называет числа комплексными (от латинского c o m p l e k s – объединение ), вводит обозначение а + b i и представляет их в виде точек плоскости.

В XVI веке в связи с изучением кубических уравнений оказалось необходимым извлекать квадратные корни из отрицательных чисел. В формуле для решения кубических уравнений вида кубические и квадратные корни: . [3]

Эта формула безотказно действует в случае, когда уравнение имеет один действительный

корень ( x=1), а если оно имеет три действительных корня ( x1=1 x2,3 = ), то под знаком квадратного корня оказывалось отрицательное число. Получалось, что путь к этим корням ведет через невозможную операцию извлечения квадратного корня из отрицательного числа. Вслед за тем, как были решены уравнения 4-й степени, математики усиленно искали формулу для решения уравнения 5-й степени. Но Руффини (Италия) на рубеже XVIII и XIX веков доказал, что буквенное уравнение пятой степени нельзя решить алгебраически; точнее: нельзя выразить его корень через буквенные величины a, b, c, d, e с помощью шести алгебраических действий (сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень, извлечение корня).

[4]

В 1830 году Галуа (Франция) доказал, что никакое общее уравнение, степень которого больше чем 4, нельзя решить алгебраически. Тем не менее, всякое уравнение n-й степени имеет (если рассматривать и комплексные числа) n корней (среди которых могут быть и равные). В этом математики были убеждены еще в XVII веке (основываясь на разборе многочисленных частных случаев), но лишь на рубеже XVIII и XIX веков упомянутая теорема была доказана Гауссом.[4]

3. Утверждение комплексных чисел в математике

Кардано называл такие величины “чисто отрицательными” и даже “софистически отрицательными”, считал их бесполезными и старался их не употреблять. В самом деле, с помощью таких чисел нельзя выразить ни результат измерения какой-нибудь величины, ни изменение какой-нибудь величины. Но уже в 1572 году вышла книга итальянского алгебраиста Р.

Бомбелли, в которой были установлены первые правила арифметических операций над такими числами, вплоть до извлечения из них кубических корней. Название “мнимые числа” ввел в 1637 году французский математик и философ Р. Декарт, а в 1777 году один из крупнейших математиков XVIII века — Л. Эйлер предложил использовать первую букву французского слова imaginaire (мнимый) для обозначения числа (мнимой единицы). Этот символ вошел во всеобщее употребление благодаря К. Гауссу . Термин “комплексные числа” так же был введен Гауссом в 1831 году. Слово комплекс (от латинского complexus) означает связь, сочетание, совокупность понятий, предметов, явлений и т. д. Образующих единое целое.[3]

В течение XVII века продолжалось обсуждение арифметической природы мнимых чисел, возможности дать им геометрическое обоснование.

Постепенно развивалась техника операций над мнимыми числами. На рубеже XVII и XVIII веков была построена общая теория корней n-ых степеней сначала из отрицательных, а за тем из любых комплексных чисел, основанная на следующей формуле английского математика А.

Муавра (1707): . С помощью этой формулы можно было так же вывести формулы для косинусов и синусов кратных дуг. Л. Эйлер вывел в 1748 году замечательную формулу : , которая связывала воедино показательную функцию с тригонометрической. С помощью формулы Л. Эйлера можно было возводить число e в любую комплексную степень. Любопытно, например, что . Можно находить sin и cos от комплексных чисел, вычислять логарифмы таких чисел, то есть строить теорию функций комплексного переменного.[5]

В конце XVIII века французский математик Ж. Лагранж смог сказать, что математический анализ уже не затрудняют мнимые величины. С помощью мнимых чисел научились выражать решения линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Такие уравнения встречаются, например, в теории колебаний материальной точки в сопротивляющейся среде. Еще раньше швейцарский математик Я. Бернулли применял комплексные числа для решения интегралов.

Хотя в течение XVIII века с помощью комплексных чисел были решены многие вопросы, в том числе и прикладные задачи, связанные с картографией, гидродинамикой и т.

д., однако еще не было строго логического обоснования теории этих чисел. Поэтому французский ученый П. Лаплас считал, что результаты, полученные с помощью мнимых чисел, — только наведение, приобретающее характер настоящих истин лишь после подтверждения прямыми доказательствами.[7]

“Никто ведь не сомневается в точности

результатов, получаемых при вычислениях с мнимыми количествами, хотя они представляют собой только алгебраические формы иероглифы нелепых количеств” Л. Карно.

После создания теории комплексных чисел возник вопрос о существовании “гиперкомплексных” чисел — чисел с несколькими “мнимыми” единицами. Такую систему вида , где , построил в 1843 году ирландский математик У. Гамильтон, который назвал их “кватернионами”. Правила действия над кватернионами напоминает правила обычной алгебры, однако их умножение не обладает свойством коммутативности (переместительности): например, , а . [6]

Заключение

Задолго до Ньютона и Лейбница многие философы и математики занимались вопросом о бесконечно малых, но ограничились лишь самыми элементарными выводами.

Помощь с учёбой от преподавателя Натальи Брильёновой

Обо мне

Здравствуйте, я, Брильёнова Наталья Валерьевна, бывший преподаватель кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института. С 2014 года занимаюсь онлайн образованием. У меня работает большая команда бывших преподавателей с огромным опытом и квалификацией.

Мы за этот месяц выполнили:заказов.

Мы помогаем с предметами любого уровня сложности из разных учебных заведений: средняя школа, колледж или университет. Независимо от темы, объёма – задание в одну формулу или большая расчётная работа от 80 страниц, я и моя команда всегда выполняем высококачественно. Каждый день я и моя команда преподавателей помогаем ученикам и студентам учиться лучше.

Мы всегда соблюдаем сроки. Наша цель – чтобы вы учились на хорошие оценки! Нет времени, но хотите хорошую оценку? Попросите меня вам помочь! Согласуем с вами требования и сроки и через 1-4 дня всё будет на «отлично».

Мои особенности

Любой срок — любой предмет:

Я и моя профессиональная команда поможем с любым предметом, независимо от темы или сложности.

Telegram чат 24/7:

Общайтесь со мной в любое время чтобы обсудить детали заказа и т. д.

Оригинальность:

У меня разработан эффективный алгоритм проверки на плагиат. Я проверяю каждую работу через различные инструменты обнаружения плагиата для получения оригинального текста. Оригинальность наших работ от 88%.

Доступные цены:

Я предлагаю самую лучшую цену. У меня есть скидки от 20% для тех, кто сделает больше пяти заказов.

Как заказать?

Напишите мне в Telegram и прикрепите своё задание и методические материалы (лекции) и укажите сроки выполнения.

Я изучу ваш заказ и рассчитаю стоимость.

Как только вы оплатите свой заказ, я и моя команда преподавателей его выполняем.

В указанную вами дату или, возможно, раньше получаете свой заказ!

Часто задаваемые вопросы
Сколько стоит помощь?
Цена зависит от объёма, сложности и срочности. Присылайте любые задания по любым предметам — я изучу и оценю.
Какой срок выполнения?
Нам под силу выполнить как срочный заказ, так и сложный заказ. Стандартный срок выполнения – от 1 до 3 дней. Мы всегда стараемся выполнять любые заказы раньше срока.
Если требуется доработка, это бесплатно?
Доработка заказ бесплатна. Срок выполнения от 1 до 2 дней.
Могу ли я не платить, если меня не устроит стоимость?
Оценка стоимости вашего задания бесплатна.
Каким способом можно оплатить?
Можно оплатить любым способом: картой Visa / MasterCard, с баланса мобильного, google pay, apple pay, qiwi и т. д.
В какое время я вам могу написать и прислать задание на выполнение?
Присылайте в любое время!
Книга отзывов
Комплексные числа: что такое, происхождение, характеристики, важность…
Комплексные числа представляют собой комбинацию действительных и мнимых чисел. Действительная часть может быть выражена целым или десятичным числом, а мнимая часть имеет отрицательный квадрат. Комплексные числа возникают из-за необходимости выражать корни отрицательных чисел, чего действительные числа сделать не могут. Вот почему отражают все корни многочленов.
Их использование распространяется на различные отрасли науки, начиная с от математики до техники. Комплексные числа также могут представлять электромагнитные волны и электрические токи, поэтому они необходимы в области электроники и телекоммуникаций.
Его математическая формула: a + b i , где a и b — действительные числа, а i — мнимое число. Это выражение известно как биномиальная форма из-за того, что оно состоит из двух частей.
Каково происхождение комплексных чисел?
Французский математик Рене Декарт. ».
Однако концептуализация комплексных чисел восходит к 16 веку благодаря вкладу итальянского математика Джероламо Кардано, который доказал, что наличие отрицательного члена внутри квадратного корня может привести к решению уравнения. До этого считалось невозможным найти квадратный корень из отрицательного числа.
Позднее, в XVIII веке, математик Карл Фридрих Гаусс закрепил положения Кардано, в дополнение к разработав трактат о комплексных числах на плоскости и тем самым заложив современные основы термина.
Каковы основные характеристики комплексных чисел?
Действительные числа, используемые в формуле комплексных чисел, могут быть выражены в виде упорядоченная пара, бином и вектор.
Весь набор мнимых чисел называется i и эквивалентен 1 в действительных числах. Точно так же квадратный корень из из равен -1.
Два комплексных числа считаются равными, если они имеют одинаковые действительные и мнимые компоненты.
Буква C представляет собой набор всех комплексных чисел. С также образует двумерное векторное пространство.
В отличие от действительных чисел, комплексные числа не имеют естественного порядка.
Существуют чисто мнимые числа, действительная часть которых равна 0; их формула такова: 0 + bi = bi.
Каково значение комплексных чисел?
Хотя их повседневное применение не так прямолинейно, как у действительных чисел, их мнимая составляющая делает комплексные числа важными, поскольку они позволяют очень точно работать в конкретных областях науки и физики . Так обстоит дело с измерением электромагнитных полей, которые состоят из электрических и магнитных компонентов и для их описания требуются пары действительных чисел. Эти пары можно рассматривать как комплексные числа, отсюда и их важность.
Как комплексные числа представляются графически?
Любая числовая категория (натуральная, целая или рациональная) может быть представлена графически на линии. В случае действительных чисел они полностью покрывают строку, и каждое число соответствует месту на линии (также называемой реальной строкой).
Комплексные числа покидают линию, чтобы заполнить плоскость, называемую комплексной плоскостью. В этом случае комплексных числа представлены на декартовых осях, , где X ось называется действительной осью , а Y мнимой осью . Формула комплексных чисел a + bi представлена точкой или концом (a,b), называемым аффиксом, или вектором с началом координат (0,0).
Загрузите здесь PDF-файл со всем содержанием математики.
Применение комплексных чисел в реальной жизни
Применение комплексных чисел в реальной жизни
Джозия Ву
Начнем с основ. В раннем возрасте нас учили считать положительными числами, такими как один, два или три. Позже в начальной школе нас также познакомили с отрицательными числами: например, -19 — это отрицательное число. Я также предполагаю, что вы знакомы с квадратными корнями (если нет, вам следует пересмотреть). Студентов обычно учат, что нельзя извлекать квадратный корень из отрицательных чисел. Но что, если бы мы могли?
Вам может быть интересно: «Как можно извлечь квадратный корень из отрицательного числа?» На самом деле, математики до 16 века тоже так думали. Так было до тех пор, пока итальянский математик Джероламо Кардано не нарушил соглашение, изобретя мнимые числа в отчаянной попытке решить кубические уравнения. На протяжении всей истории математики всегда любили нарушать собственные правила: помимо извлечения квадратного корня из отрицательного числа, Рамануджан однажды доказал, что 1 + 2 + 3 + 4… вплоть до бесконечности равно -1/12.
Другой математик, Георг Кантор, доказал, что четных чисел столько же, сколько целых положительных. Поэтому то, что сделал Кардано, не было редкостью (по крайней мере, в исторических записях).
Так что же такое мнимое число? Мнимое число кратно i = √-1. Например, √-25 — мнимое число, потому что его можно переписать как √-25 = √25 × -√1 = 5i. Кроме того, можно добавить действительное число к мнимому числу, чтобы получить комплексное число. Чтобы продемонстрировать это, можно добавить 3, действительное число, к 3i, мнимому числу, чтобы получить комплексное число 3+3i.
Иллюстрация Итана Лана
Распространенной визуализацией комплексных чисел является использование диаграмм Аргана. Чтобы построить это, представьте себе декартову сетку, где ось X представляет собой действительные числа, а ось Y — мнимые числа.
Важным свойством комплексных чисел является формула Эйлера: она утверждает, что каждое комплексное число можно переписать в виде re =r(cos + i sin ), где e=2,71828. .. — постоянная Эйлера, r это «расстояние» комплексного числа от начала координат и угол комплексного числа от положительной действительной оси (против часовой стрелки, в радианах). Слева иллюстрация к этому.
Многие математики называют формулу Эйлера самым красивым математическим результатом в истории. Его эстетическая красота заключается в том, что он подразумевает волшебную связь между действительными числами и мнимыми числами. Хотя я хотел бы продемонстрировать элегантное доказательство этой формулы, оно, к сожалению, выходит за рамки этой статьи.
Приложения
1.
Обработка сигналов
Предположим, что пианист записывает в музыкальной студии. Он приглашает вас в игру — угадать, какие ноты он играет, не глядя на рояль. Как человек, у которого нет идеального слуха (способность определить ноту на слух), как бы вы выиграли в этой игре?
Оказывается, есть способ всегда определить, какие ноты он играет, не обманывая. Во-первых, запишите его игру в программе для редактирования аудио. Программное обеспечение сохранит запись в форме волны.
Затем можно применить преобразование Фурье к сигналу формы волны, чтобы выяснить, какие частоты преобладают в записи. Это можно показать, выведя «пики» в результирующем частотном распределении после применения преобразования Фурье. Поскольку имеются очевидные пики на частотах 256 Гц и 391 Гц (соответствующие C4 и G4 соответственно), мы можем сделать вывод, что пианист должен был играть на фортепиано C и G.
Знание расположения пиков невероятно важно для аудиоредакторов и музыкальных продюсеров. Они могут не только определить источник любого фонового шума, но и использовать его частоту в качестве эталона для их устранения с помощью средств эквалайзера (EQ).
Идея преобразования Фурье довольно гениальна; он предполагает, что любую сложную волну можно разложить на несколько синусоидальных волн с различными частотами. Что делает преобразование Фурье, так это то, что оно предсказывает, какая частота, вероятно, будет эквивалентна одной из таких синусоидальных волн. Он делает это, «оборачивая» волну вокруг начала координат в комплексной плоскости и вычисляя сумму комплексных координат всех возможных точек на обернутой волне.
2. Анализ цепи переменного тока
Комплексные числа также используются при расчетах тока, напряжения или сопротивления в цепях переменного тока (AC означает переменный ток, то есть ток, величина и направление которого меняются во времени). Обычно комплексные числа (точнее, формула Эйлера) применяются для вычисления разности потенциалов между двумя источниками питания переменного тока во времени. Справа пример такого расчета.
Чтобы найти суммарную разность потенциалов, просто сложить вместе VA и VB не получится. Однако мы можем выразить оба напряжения как действительную часть (координата x на диаграмме Аргана) комплексного числа.
* Общепринято использовать j вместо i для представления мнимых чисел при анализе цепей, чтобы избежать путаницы с током (символом которого является i или I).
Затем мы можем сложить комплексные числа и разложить на множители:
Кроме того, комплексные числа также используются для выражения величины и фазы импеданса в цепи переменного тока. Импеданс очень похож на сопротивление — он замедляет электроны в цепи. Отличие состоит в том, что импеданс вызывает фазовый сдвиг электрического тока, а сопротивление — нет. Импеданс имеет место в обычных электрических компонентах, таких как катушки индуктивности и конденсаторы, поэтому крайне важно иметь комплексное числовое представление. Как правило, комплексные числа служат для представления фазы, что необходимо для анализа цепей переменного тока.
3. Квантовая механика
Квантовая механика — это область физики, изучающая движения и взаимодействия между субатомными частицами, в основном бозонами (например, фотоном) и фермионами (например, нейтроном). Он обеспечивает математическое описание их поведения с точки зрения вероятностей. Фактически, комплексные числа составляют фундаментальную основу квантовой механики. Значение уравнения Шредингера для квантовой механики аналогично значению второго закона Ньютона для классической физики; они оба обеспечивают разумное математическое предсказание положения и импульса частицы. Система комплексных чисел важна для этой области, потому что это удобный язык для выражения волновых функций без нарушения правил. Кроме того, прямое применение квантовой механики заключается в том, что она ускорила распространение химии. В 1927, Вальтер Хайтлер (не Гитлер!) и Фриц Лондон сформулировали теорию валентной связи. Одной из основных задач квантовой механики является нахождение волновой функции субатомной частицы. Проще говоря, волновая функция представляет собой сложное распределение вероятностей, указывающее возможные положения частицы в определенное время. Фундаментальная формула квантовой механики, в которой роль волновой функции значительна,
— это уравнение Шредингера: с использованием упомянутого выше уравнения Шредингера. Используя формулу, они доказали, что два атома в молекуле водорода на самом деле «делят» электроны, образуя то, что мы знаем как ковалентную связь. Сразу после этого несколько других химиков продолжили развивать свою теорию связи, например, открытие Линусом Полингом резонанса и орбитальной гибридизации. Таким образом, без развития квантовой механики ученые не смогли бы ни открыть электронную структуру атомов, ни придумать концепцию связи между атомами.
Иллюстрация Итана Лана
Библиография
Обработка сигналов (преобразование Фурье)
Star, Zach. «Математика обработки сигналов | Z-преобразование, дискретные сигналы и многое другое». www.ютуб. com, 2019 г., https://www.youtube.com/watch?v=hewTwm5P0Gg&t=1350s&ab_channel=ZachStar.
«Анализ Фурье». En.Wikipedia.Org, 2020, https://en.wikipedia.org/wiki/Fourier_analysis. По состоянию на 9 ноября 2020 г.
Чан, Джастин. «Применение преобразования Фурье: обработка сигналов». www. youtube.com, 2017, https://www. youtube.com/watch?v=9uv3-m8jkVg&ab_channel=JustinChan. По состоянию на 9 ноября 2020 г.
Заключение
Хотя мы не можем физически визуализировать комплексные числа, трудно отрицать их важность для научного сообщества. Комплексные числа прекрасно демонстрируют роль математики в науке — она действует как мощный язык для описания сложных явлений и всеобъемлющий инструментарий для решения сложных задач.
Анализ цепи переменного тока
Стар, Зак. «Использование мнимых чисел в реальном мире». Www.Youtube.Com, 2018 г., https://www.youtube.com/watch?v=_ h59ilnTmW4&t=630s&ab_channel=ZachStar.
«Комплексные числа и вектора». https://Www.Electronics-Tutorials.Ws/, 2020, https://www.electronics-tutorials.ws/accircuits/complex-numbers.html.
Джонсон, Роберт. «Использование комплексных чисел в анализе цепей и обзор алгебры комплексных чисел». 2020, http://www.its.caltech.edu/~jpelab/phys1cp/AC%20Circuits%20and%20 Complex%20Impedances.pdf
Квантовая механика
ДеКросс, Мэтт и др. «Уравнение Шредингера | Блестящая вики по математике и науке». Блестящий. Org, 2020, https://brilliant.org/wiki/schrodinger-equation/, по состоянию на 9 ноября 2020 г.
Карам, Рикардо, изд.