Исследовательская работа по теме «Золотое сечение»

Исследовательская работа по теме

«Золотое сечение»

Выполнила: Попова Анна и Саввова Елена

Руководитель: Танова Н.Х.

учитель математики

22.04.2018г.

Исследовательская работа по теме «Золотое сечение»

Цель работы: доказать, что «золотое сечение» – верх совершенства и гармонии в природе.

Задачи:

1. Изучить понятие «золотое сечение»;

2. Рассмотреть применение «золотого сечения » в архитектуре, искусстве, биологии;

3. Исследовать присутствие золотого сечения в окружающей жизни.

Методы исследования:

1. Работа с учебной и научно-популярной литературой, ресурсами сети Интернет.

2. Социологический опрос.

3. Наблюдение, сравнение, анализ, аналогия.

Объект исследования: «золотое сечение»

Предмет исследования: золотое сечение в расположении листьев на стебле, в пропорциях человеческого тела.

Актуальность:

Человек различает окружающие его предметы по форме. Интерес, к форме какого – либо предмета может быть продиктован жизненной необходимостью, а может быть вызван красотой формы. Форма, в основе построения которой лежит сочетание симметрии и золотого сечения, способствует наилучшему зрительному восприятию ощущения красоты и гармонии. Целое всегда состоит из частей, части разной величины находятся в определенном отношении друг к другу и к целому. Принцип золотого сечения – высшее проявление структурного и функционального совершенства целого и его частей в искусстве, науке, технике, музыке и природе. Поэтому, не только в древние времена скульпторы, художники, музыканты, архитекторы уделяли большое внимание сечению и гармоническому отношению, но и настоящее время помнят и используют это сечение.

Вступление.

Впервые с понятием «золотое сечение» мы встречаемся в курсе математики 6 класса. Меня заинтересовало это понятие, и я решила его изучить. Перед тем как начать работу по теме « Золотое сечение», я провела опрос среди учеников с 7 – 11 классы и учителей нашей школы. Нужно было ответить на вопрос «Знаете ли вы, что такое « золотая пропорция» или «золотое сечение»? Результаты опроса изображены на диаграмме.

Большая часть учителей знают что такое « Золотая пропорция» и « Золотое сечение», а учащиеся с 7 по 11 класс не имеют представления о « Золотом сечении» и « Золотой пропорции». И я решила рассказать вам про это.

Золотое сечение в математике.

Деление отрезка в среднем и крайнем отношении называют золотым сечением. В истории утвердилось ещё одно название – «золотая пропорция».

Пусть, САВ, и производит, как говорят, «золотое сечение» отрезка

АС: АВ =СВ: АС (1)

Золотым сечением называется такое деление отрезка, при котором большая часть так относится к целому, как меньшая часть к большей.

Если длину отрезка АВ обозначить через а, а длину АС – через х, то (а-х)- длину отрезка СВ, и пропорция (1) примет вид:

(2)

В пропорции, как известно, произведение крайних членов равно произведению средних и пропорцию (2) перепишем в виде:

х² = а (а – х).

Получаем квадратное уравнение:

х² +ах – а² = 0

Длина отрезка выражается положительным числом, поэтому из двух корней , следует выбрать положительный

Х= или Х =

Число обозначается буквой в честь древнегреческого скульптора Фидия (родился вначале V века до н. э), в творениях которого это число встречается многократно. Число приблизительно равно 0,61803398…

Таким образом, части «золотого сечения» составляют приблизительно 62% и 38% всего отрезка.

Золотые фигуры.

Практическое знакомство с золотым сечением начинают с деления отрезка прямой в золотой пропорции с помощью циркуля и линейки.

Деление отрезка прямой по золотому сечению

Из точки В восставляется перпендикуляр, равный половине АВ. Полученная точка С соединяется линией с точкой А. На полученной линии откладывается отрезок ВС, заканчивающийся точкой D. Отрезок AD переносится на прямую АВ. Полученная при этом точка Е делит отрезок АВ в соотношении золотой пропорции.

Отрезки золотой пропорции выражаются бесконечной иррациональной дробью AE = 0,618…, если АВ принять за единицу, ВЕ = 0,382… Для практических целей часто используют приближенные значения 0,62 и 0,38. Если отрезок АВ принять за 100 частей, то большая часть отрезка равна 62, а меньшая — 38 частям.

Деление прямоугольника линией второго золотого сечения

На рисунке показано положение линии второго золотого сечения. Она находится посередине между линией золотого сечения и средней линией прямоугольника.

Построение правильного пятиугольника и пентаграммы

Пентаграмма служил символом Пифагорейского союза. Пифагорейцы считали возможным добиться очищения духа при помощи математики. По их теории, в основу мирового порядка положены числа. Мир, считали они, состоит из противоположностей, а гармония приводит противоположности к единству. Гармония же заключается в числовых отношениях. Пифагорейцы приписывали числам различные свойства. Так, четные числа они называли женскими, нечетные (кроме 1) – мужскими. Число 5 – как сумма первого женского числа (2) и первого мужского (3) – считалось символом любви. Отсюда такое внимание к пентаграмме, имеющей 5 углов. Пятиконечная звезда — пентаграмма — очень красива, недаром ее помещают на свои флаги и гербы многие страны.! Ее красота, оказывается, имеет математическую основу.

Для построения пентаграммы необходимо построить правильный пятиугольник. Способ его построения разработал немецкий живописец и график Альбрехт Дюрер (1471…1528). Пусть O — центр окружности, A — точка на окружности и Е — середина отрезка ОА. Перпендикуляр к радиусу ОА, восставленный в точке О, пересекается с окружностью в точке D. Пользуясь циркулем, отложим на диаметре отрезок CE = ED. Длина стороны вписанного в окружность правильного пятиугольника равна DC. Откладываем на окружности отрезки DC и получим пять точек для начертания правильного пятиугольника. Соединяем углы пятиугольника через один диагоналями и получаем пентаграмму. Все диагонали пятиугольника делят друг друга на отрезки, связанные между собой золотой пропорцией.

Каждый конец пятиугольной звезды представляет собой золотой треугольник. Его стороны образуют угол 36° при вершине, а основание, отложенное на боковую сторону, делит ее в пропорции золотого сечения.

Построение золотого треугольника

Проводим прямую АВ. От точки А откладываем на ней три раза отрезок О произвольной величины, через полученную точку Р проводим перпендикуляр к линии АВ, на перпендикуляре вправо и влево от точки Р откладываем отрезки О. Полученные точки d и d1 соединяем прямыми с точкой А. Отрезок dd1 откладываем на линию Ad1, получая точку С. Она разделила линию Ad1 в пропорции золотого сечения. Линиями Ad1 и dd1 пользуются для построения «золотого» прямоугольника.

Числа Фибоначчи

С золотой пропорцией тесно связан ряд чисел Фибоначчи 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89 и т.д. В этом ряду каждое последующее число является суммой двух предыдущих чисел. Спустя четыре столетия после открытия Фибоначчи ряда чисел И.Кеплер установил, что отношение рядом стоящих чисел в пределе стремится к золотой пропорции Ф. Это свойство присуще не только числам Фибоначчи. Начав с любых двух чисел и построив аддитивный ряд, в котором каждый член равен сумме двух предыдущих (например, ряд 7, 2, 9, 11, 20, …), мы обнаружили, что отношение двух последовательных членов такого ряда также стремится к числу : чем дальше мы будем продвигаться от начала ряда, тем лучше будет приближение. Если взять калькулятор и разделить каждое из них на предыдущее, то получиться: 1:1=1; 2:1=2; 3:2=1,5; 5:3=1,666666; 8:5=1,6; 13:8=1,625; 21:13=1,615384;…

Если делить всё большие и большие числа Фибоначчи, то как близко можно подойти к золотому сечению?

Золотое сечение в архитектуре.

Великолепные памятники архитектуры оставили нам зодчие Древней Греции. И среди них первое место по праву принадлежит Парфенону.

Всю вторую половину V в. до н.э. на Акрополе шло строительство храмов, пропилей (преддверий), алтаря и статуи Афины Воительницы. В 447 году начались работы над храмом Афины – Парфеноном и продолжались до 434 года до н.э. Для создания гармонической композиции на холме его строители даже увеличили холм в южной части, соорудив для этого мощную насыпь.

Как указывает исследователь Г. И. Соколов, протяженность холма перед Парфеноном, длины храма Афины и участка Акрополя за Парфеноном относятся как отрезки золотого сечения. При взгляде наПарфенон от места расположения пропилей отношения массива скалы и храма также соответствуют золотое сечение.

Размеры Парфенона хорошо изучены, но приводимые замеры не всегда однозначны. Следует учесть, что геометрия архитектуры храма очень непростая – в ней почти отсутствуют прямые линии, поэтому определение размеров затруднено. Известно, что фасад Парфенона вписан в прямоугольник со сторонами 1 : 2 , а план образует прямоугольник со сторонами 1 и . Известно, что диагональ прямоугольника 1:2 имеет размер , следовательно, прямоугольник фасада и является исходным в построении геометрии Парфенона.

Ширина Парфенона оценена в 100 греческих футов (3089 см), а размер высоты несколько варьирует у различных авторов. Так, по данным Н. Бруно, высота Парфенона 61,8 , высота трех ступеней основания и колонны – 38,2 , высота перекрытия и фронтона – 23,6 футов. Указанные размеры образуют ряд золотой пропорции: 100 : 61,8 = 61,8 : 38,2 = 38,2 :23,6 1,6 = Ф.Многие исследователи, стремившиеся раскрыть секрет гармонии Парфенона, искали и находили в соотношениях его частей золотую пропорцию. В работе В.Смоляка, посвященной изучению пропорций Парфенона, установлен закономерный ряд золотых пропорций. Приняв за единицу ширину торцового фасада храма, Смоляк получил прогрессию, состоящую из 8 членов ряда: 1: : ²: ³: ⁴: ⁵: ⁶. Указанным членам ряда отвечают основные пропорции фасада Парфенона.

На плане пола Парфенона также можно заметить «золотые прямоугольники. Здесь же были обнаружены циркули, которыми пользовались архитекторы и скульпторы античного мира. В Помпейском циркуле (музей в Неаполе) также заложены пропорции золотого деления.

О египетских пирамидах с восхищением писал греческий историк Геродот. Первым европейцем, спустившимся в глубь пирамиды, был римский ученый Плиний Старший. Согласно многим описаниям, эти гигантские монолиты имели совсем иной вид, чем в наше время. Они сияли на солнце белой глазурью отполированных известняковых плит на фоне многоколонных прилегающих храмов. Рядом с царскими пирамидами стояли малые пирамиды жен и членов семьи фараонов.

Среди грандиозных пирамид Египта особое место занимает великая пирамида фараона Хеопса. Она самая крупная и наиболее хорошо изученная. Чего только не находили в ее пропорциях! Число «пи» и золотое сечение, число дней в году, расстояние до Солнца, диаметр Земли и т.п. Однако при расчете этих величин получались неточности, возникали недоразумения, в результате чего подвергались сомнению даже простейшие пропорции в размерах пирамиды и все сообщения о скрытых в геометрии пирамиды математических сведениях объявлялись выдумкой.

Правильная четырехгранная пирамида является одной из хорошо изученных геометрических фигур, символизирующих простоту и гармонию формы, олицетворяющую устойчивость, надежность, устремление вверх.

Очевидно, размеры пирамиды: площадь ее основания и высота — не были выбраны случайно, а должны нести какие-то геометрические, математические идеи, информацию об уровне знаний египетских жрецов. Причем следует напомнить, что эти знания составляли тайну и были доступны лишь ограниченному числу лиц, поэтому и в геометрии пирамиды они должны быть воплощены не в явной, а в скрытой форме.

Методической ошибкой многих исследователей является то, что они использовали размеры пирамид, выраженные в метрической системе мер. Но ведь египтяне пользовались другой системой мер! Из этой системы и следует исходить при анализе размерных отношений в пирамидах.

Прежде чем приступить к анализу формы и размеров пирамиды Хеопса, следует учесть уровень знаний тех времен, психологию создателей пирамиды. У египтян было три единицы длины: локоть (466 мм), равнявшийся семи ладоням (66,5 мм), которая, в свою очередь, равнялась четырем пальцам (16,6 мм).

Трудно допустить, что строители пирамиды пользовались исходными размерами, выраженными в долях локтя; более очевидно, что основные исходные размеры были определены в целых единицах длины – локтях.

Рассмотрим размеры пирамиды Хеопса. Длина стороны основания пирамиды (L) принята равной 233,16 м. Эта величина отвечает почти точно 500 локтям. Очевидно, размер основания пирамиды при ее строительстве и был определен в 500 локтей.

Высота пирамиды (H) оценивается исследователями различно от 146,6 до 148,2 м. И в зависимости от принятой высоты пирамиды изменяются и все отношения ее геометрических элементов. Поэтому на этой величине следует остановиться особо. Одним из чудес великой пирамиды является очень точная подгонка ее каменных блоков и плит; между ними буквально нигде не просунешь лезвия бритвы (0,1 мм). Но никакого чуда здесь не оказалось. В процессе строительства каменные блоки не могли быть изготовлены столь точно: для этого у древних египтян просто не было средств – ни обрабатывающих, ни измерительных. Но за длительное время под воздействием колоссального давления (достигающего 500 тонн на 1 м² нижней поверхности) произошла «усадка» конструкции, пластическая деформация строительных блоков, вследствие чего они и оказались так тесно подогнанными. В результате усадки высота пирамиды стала меньше, чем она была в период завершения строительства. Какой же она была первоначально? Ее можно воссоздать, если найти основную «геометрическую идею», положенную в основу сооружения.

Угол наклона граней пирамиды еще в 1837 году определил английский полковник Г.Вайз: он равен . Указанному значению угла отвечает тангенс, равный 1,272. Эта величина, отвечающая отношению высот пирамиды к половине ее основания, очень близка к корню квадратному из золотой пропорции = 1,27202 и является иррациональной величиной. Поэтому, скорее всего, в основу треугольника OMN пирамиды Хеопса и было заложено отношение OM/MN, равное .

Итак, примем отношение катетов, т.е. высоты пирамиды H к половине ее основания, равным 1,272. При этом высота пирамиды Хеопса будет равна точно 318 локтей, или 148,28 м. Такую высоту, очевидно, имела пирамида Хеопса при завершении ее сооружения ( или должна была иметь по проекту).

Таким образом, основные элементы конструкции пирамиды имели следующие размеры: сторона основания – 500 локтей, высота – 318 локтей. Отсюда следует, что апофема боковой грани ON равна 404,5 локтя.

А теперь посмотрим, какие интересные соотношения следуют из этих геометрических размеров. Отношения сторон в треугольнике OMN пирамиды равно: OM/MN=ON/OM=1,272=; ON/MN=Ф.

Рассмотрим теперь поверхность пирамиды. Она состоит из четырех треугольников и квадрата основания. Основание треугольника BOC равно 500 локтям, высота его равна 404,5 локтя. По теореме Пифагора можно рассчитать длину боковых ребер OB и OC . Они равны 475,5 локтя.

Площадь основания пирамиды равна 250000 кв. локтей, площадь боковой грани 101125 кв. локтей, а площадь четырех граней пирамиды равна 404500 кв. локтей. Отношение поверхности граней к площади основания также равно золотой пропорции.

Еще Геродот, основываясь на рассказах египетских жрецов, писал, что площадь квадрата, построенного на высоте пирамиды, равна площади каждой из его боковых граней. По нашим расчетам, квадрат высоты равен 318² = 101127 кв. локтей, что почти точно отвечает площади боковой грани (101125 кв. локтей).

Многие исследователи указывают, что отношение удвоенной стороны основания 2L к высоте пирамиды H отвечает числу «пи». Однако в связи с тем, что высота пирамиды принималась равной современной и не всегда однозначной, число «пи» получалось разным: 3,16-3,18. На почве этого возникали сомнения, предпринимались различные подгонки, стали говорить даже о некоем «египетском », равном 3,16. Если принять высоту пирамиды равной 318 локтям, то отношение 2L/H=1000/318 будет равно 3,144. Эта величина очень близка к современному значению числа «пи» (3,14159…).

Интересно сравнить два основных отношения, установленных нами при изучении геометрических пропорций пирамиды: 2H/L= и 2L/H=. Отсюда получаем простую и красивую формулу, связывающую число «пи» и золотую пропорцию: 4/=.

Гениальные создатели пирамиды Хеопса стремились поразить далеких потомков глубиной своих знаний, и они достигли этого. Следует лишь удивляться высокому знанию и искусству древних математиков и архитекторов Египта, которые смогли воплотить в пирамиде две иррациональные (т.е. неизмеримые) величины –  и Ф со столь поразительной точностью, оперируя исходными отношениями целых чисел – стороной основания и высотой пирамиды, выраженных в локтях.

Золотое соотношение мы можем увидеть и в здании собора Парижской Богоматери (Нотр-дам де Пари)

В качестве примера «золотого сечения» в России можно полюбоваться фасадом знаменитого Большого театра в Москве.

Золотое сечение в искусстве.

Еще в эпоху Возрождения художники открыли, что любая картина имеет определенные точки, невольно приковывающие наше внимание, так называемые зрительные центры. При этом абсолютно неважно, какой формат имеет картина — горизонтальный или вертикальный. Таких точек всего четыре, они делят величину изображения по горизонтали и вертикали в золотом сечении, т.е. расположены они на расстоянии примерно 3/8 и 5/8 от соответствующих краев плоскости.

Данное открытие у художников того времени получило название «золотое сечение» картины. Поэтому, для того чтобы привлечь внимание к главному элементу фотографии, необходимо совместить этот элемент с одним из зрительных центров.

Переходя к примерам “золотого сечения” в живописи, нельзя не остановить своего внимания на творчестве Леонардо да Винчи. Его личность – одна из загадок истории. Сам Леонардо да Винчи говорил: “Пусть никто, не будучи математиком, не дерзнет читать мои труды”.

Он снискал славу непревзойденного художника, великого ученого, гения, предвосхитившего многие изобретения, которые не были осуществлены вплоть до XX в.

Нет сомнений, что Леонардо да Винчи был великим художником, это признавали уже его современники, но его личность и деятельность останутся покрытыми тайной, так как он оставил потомкам не связное изложение своих идей, а лишь многочисленные рукописные наброски, заметки, в которых говорится “обо всем на свете”.

Он писал справа налево неразборчивым почерком и левой рукой. Это самый известный из существующих образец зеркального письма.

Портрет Монны Лизы (Джоконды) долгие годы привлекает внимание исследователей, которые обнаружили, что композиция рисунка основана на золотых треугольниках, являющихся частями правильного звездчатого пятиугольника. Существует очень много версий об истории этого портрета. Вот одна из них.

Однажды Леонардо да Винчи получил заказ от банкира Франческо де леДжокондо написать портрет молодой женщины, жены банкира, Монны Лизы. Женщина не была красива, но в ней привлекала простота и естественность облика. Леонардо согласился писать портрет. Его модель была печальной и грустной, но Леонардо рассказал ей сказку, услышав которую, она стала живой и интересной.

Сказка

Жил-был один бедный человек, было у него четыре сына: три умных, а один из них и так, и сяк. И вот пришла за отцом смерть. Перед тем, как расстаться с жизнью, он позвал к себе детей и сказал: “Сыны мои, скоро я умру. Как только вы схороните меня, заприте хижину и идите на край света добывать себе счастья. Пусть каждый из вас чему-нибудь научится, чтобы мог кормить сам себя”. Отец умер, а сыновья разошлись по свету, договорившись спустя три года вернуться на поляну родной рощи. Пришел первый брат, который научился плотничать, срубил дерево и обтесал его, сделал из него женщину, отошел немного и ждет. Вернулся второй брат, увидел деревянную женщину и, так как он был портной, в одну минуту одел ее: как искусный мастер он сшил для нее красивую шелковую одежду. Третий сын украсил женщину золотом и драгоценными камнями – ведь он был ювелир. Наконец, пришел четвертый брат. Он не умел плотничать и шить, он умел только слушать, что говорит земля, деревья, травы, звери и птицы, знал ход небесных тел и еще умел петь чудесные песни. Он запел песню, от которой заплакали притаившиеся за кустами братья. Песней этой он оживил женщину, она улыбнулась и вздохнула. Братья бросились к ней и каждый кричал одно и то же: “Ты должна быть моей женой”. Но женщина ответила: “Ты меня создал – будь мне отцом. Ты меня одел, а ты украсил – будьте мне братьями.

А ты, что вдохнул в меня душу и научил радоваться жизни, ты один мне нужен на всю жизнь”.

Кончив сказку, Леонардо взглянул на Монну Лизу, ее лицо озарилось светом, глаза сияли. Потом, точно пробудившись от сна, она вздохнула, провела по лицу рукой и без слов пошла на свое место, сложила руки и приняла обычную позу. Но дело было сделано – художник пробудил равнодушную статую; улыбка блаженства, медленно исчезая с ее лица, осталась в уголках рта и трепетала, придавая лицу изумительное, загадочное и чуть лукавое выражение, как у человека, который узнал тайну и, бережно ее храня, не может сдержать торжество. Леонардо молча работал, боясь упустить этот момент, этот луч солнца, осветивший его скучную модель…

Портрет Монны Лизы привлекает тем, что композиция рисунка построена на «золотых треугольниках» (точнее на треугольниках, являющихся кусками правильного звездчатого пятиугольника).

На картине И.И. Шишкина «Сосновая роща» просматриваются мотивы золотого сечения. Ярко освещенная солнцем сосна (стоящая на первом плане) делит длину картины приблизительно в золотом сечении. Справа от сосны — освещенный солнцем пригорок. Он делит в золотом сечении правую часть картины по горизонтали. Слева от главной сосны находится множество сосен — при желании можно с успехом продолжить деление картины в пропорциях золотого сечения. Наличие в картине ярких вертикалей и горизонталей, делящих ее в отношении золотого сечения, придает ей характер уравновешенности и спокойствия, в соответствии с замыслом художника. Когда художник создает картину с бурно развивающимся действием, подобная геометрическая схема композиции (с преобладанием вертикалей и горизонталей) становится неприемлемой.

Золотая пропорция и тело человека

Древние скульпторы знали и использовали золотую пропорцию как критерий гармонии, канон красоты, корни которой лежат в пропорциях человеческого тела. “Человеческое тело – лучшая красота на земле”, — утверждал Н.Чернышевский. Эталонами красоты человеческого тела, образцами гармонического телосложения издавна и по праву считаются великие творения греческих скульпторов: Фидия, Поликлета, Мирона, Праксителя. В создании своих творений греческие мастера использовали принцип золотой пропорции. Центр золотой пропорции строения человеческого тела располагался точно на месте пупка. И не случайно величину золотой пропорции принято обозначать буквой Ф; это сделано в честь Фидия – творца бессмертных скульптурных произведений.

Разработку теории пропорций человеческого тела в эпоху Возрождения начал Альбрехт Дюрер. Важное место в своей системе соотношений Дюрер отводил золотому сечению. Pост человека делится в золотых пропорциях линией пояса, а также линией, проведенной через кончики средних пальцев опущенных рук, нижняя часть лица — ртом и т.д. Известен пропорциональный циркуль Дюрера.

В последующие века правило золотой пропорции превратилось в академический канон и, когда со временем в искусстве началась борьба с академической рутиной, в пылу борьбы «вместе с водой выплеснули и ребенка». Вновь «открыто» золотое сечение было в середине XIX в. В 1855 г. немецкий исследователь золотого сечения профессор Цейзинг опубликовал свой труд «Эстетические исследования». Он абсолютизировал пропорцию золотого сечения, объявив ее универсальной для всех явлений природы и искусства.

Цейзинг проделал колоссальную работу. Он измерил около двух тысяч человеческих тел и пришел к выводу, что золотое сечение выражает средний статистический закон. Деление тела точкой пупа — важнейший показатель золотого сечения. Пропорции мужского тела колеблются в пределах среднего отношения 13 : 8 = 1,625 и несколько ближе подходят к золотому сечению, чем пропорции женского тела, в отношении которого среднее значение пропорции выражается в соотношении 8 : 5 = 1,6. У новорожденного пропорция составляет отношение 1 : 1, к 13 годам она равна 1,6, а к 21 году равняется мужской.

Пропорции золотого сечения проявляются и в отношении других частей тела — длина плеча, предплечья и кисти, кисти и пальцев и т.д.

Справедливость своей теории Цейзинг проверял на греческих статуях. Наиболее подробно он разработал пропорции Аполлона

Золотая пропорция применялась многими античными скульпторами. Известна золотая пропорция статуи Аполлона Бельведерского: рост изображенного человека делится пупочной линией в золотом сечении.

Но проанализируем другие пропорции знаменитой статуи. Одним из высших достижений классического греческого искусства может служить статуя “Дорифор”, изваянная Поликлетом. Фигура юноши выражает единство прекрасного и доблестного, лежащих в основе греческих принципов искусства. Широкие плечи почти равны высоте туловища, высота головы восемь раз укладывается в высоте тела , а золотой пропорции отвечает положение пупка на теле атлета.

Расстояние от подошвы копьеносца до его колена равна ³, высота шеи вместе с головой — ⁴, длина шеи до уха — ⁵, а расстояние от уха до макушки — ⁶ . Таким образом, в этой статуе мы видим геометрическую прогрессию со знаменателем : 1, , ², ³, ⁴, ⁵, ⁶.

Золотое сечение в природе

Все, что приобретало какую-то форму, образовывалось, росло, стремилось занять место в пространстве и сохранить себя. Это стремление находит осуществление в основном в двух вариантах — рост вверх или расстилание по поверхности земли и закручивание по спирали.

Раковина закручена по спирали. Если ее развернуть, то получается длина, немного уступающая длине змеи. Небольшая десятисантиметровая раковина имеет спираль длиной 35 см. Спирали очень распространены в природе. Представление о золотом сечении будет неполным, если не сказать о спирали.

Золотое сечение. Спираль Архимеда

Форма спирально завитой раковины привлекла внимание Архимеда. Он изучал ее и вывел уравнение спирали. Спираль, вычерченная по этому уравнению, называется его именем. Увеличение ее шага всегда равномерно. В настоящее время спираль Архимеда широко применяется в технике.

Еще Гете подчеркивал тенденцию природы к спиральности. Винтообразное и спиралевидное расположение листьев на ветках деревьев подметили давно. Спираль увидели в расположении семян подсолнечника, в шишках сосны, ананасах, кактусах и т. д.

Совместная работа ботаников и математиков пролила свет на эти удивительные явления природы. Выяснилось, что в расположении листьев на ветке (филотаксис), семян подсолнечника, шишек сосны проявляет себя ряд Фибоначчи, а стало быть, проявляет себя закон золотого сечения. Паук плетет паутину спиралеобразно. Спиралью закручивается ураган. Испуганное стадо северных оленей разбегается по спирали. Молекула ДНК закручена двойной спиралью. Гете называл спираль «кривой жизни».

Среди придорожных трав растет ничем не примечательное растение — цикорий. Приглядимся к нему внимательно. От основного стебля образовался отросток. Тут же расположился первый листок.

Золотое сечение. Цикорий

Отросток делает сильный выброс в пространство, останавливается, выпускает листок, но уже короче первого, снова делает выброс в пространство, но уже меньшей силы, выпускает листок еще меньшего размера и снова выброс. Если первый выброс принять за 100 единиц, то второй равен 62 единицам, третий — 38, четвертый — 24 и т. д. Длина лепестков тоже подчинена золотой пропорции. В росте, завоевании пространства растение сохраняло определенные пропорции. Импульсы его роста постепенно уменьшались в пропорции золотого сечения.

Золотое сечение. Ящерица живородящая

В ящерице с первого взгляда улавливаются приятные для нашего глаза пропорции — длина ее хвоста так относится к длине остального тела, как 62 к 38.

И в растительном, и в животном мире настойчиво пробивается формообразующая тенденция природы — симметрия относительно направления роста и движения. Здесь золотое сечение проявляется в пропорциях частей перпендикулярно к направлению роста.

Природа осуществила деление на симметричные части и золотые пропорции. В частях проявляется повторение строения целого.

Золотое сечение. Яйцо птицы

Исследование присутствия золотого сечения в окружающей жизни.

Исследование№1 «Золотое сечение в природе»

Возьмём опять утверждение из школьного учебника: «Рассматривая расположение листьев на общем стебле растений, можно заметить, что между каждыми двумя парами листьев (А и С) третья расположена в месте золотого сечения (точка В)».

Чтобы проверить, так ли это, я выбрала 7 различных комнатных растений:

1)Декабрист — Зигокактус

2)Денежное дерево — Толстянка

3)Традесканция

4)Традесканция цветущая

5)Плющ

6)Герань — Пеларгония

7)Китайская роза

Все эти растения есть в нашей школе, и я посчитала именно их наиболее красивыми. Сделала необходимые измерения между тройками листьев и посчитала соответствующие отношения (с точностью до тысячных).

Данные измерений и вычислений занесены в следующую таблицу:

Название

ах

хв

ав

ах/хв

хв/ав

1.

Декабрист – Зигокактус — Шлюмбергера

3,5 см

4 см

7,5 см

0,875

0,116

2.

Плющ

2 см

2 см

4 см

1

0,25

3.

Денежное дерево — Толстянка

2 см

2,5 см

4,5 см

0,8

0,177

4.

Традесканция цветная

2 см

2,5 см

4,5 см

0,8

0,177

5.

Традесканция

2,2 см

2,4 см

4,6 см

0,916

0,521

6.

Герань

1,5 см

2,5см

4 см

0,6

0,625

7.

Китайская роза

3 см

3,5 см

6,5 см

0,875

0,538

Из таблицы видно, что не все отношения получаются близкими к числу

0,618. Наиболее совершенным с точки зрения математики, оказался цветок под номером 6 герань . Следовательно, действительно расположение листьев на стебле подчиняется «божественной пропорции».

Исследование №2 «Золотое сечение в пропорциях тела человека»

Для того чтобы проверить , выполняется ли золотое сечение в пропорциях тела человека я провела исследование среди учащихся 7– 11 классов. У каждого участника были сняты мерки двух видов: мерка от верхней точки головы до талии, мерка от талии до пола. Их отношение сравнивалось с числом отношения золотого сечения.

1,602

12.Танов Г.

66

108

1,661

13. Гюльбеков К.

65

107

1,646

14.ПанагасоваЛ.

60

94

1,566

15. Кесова Э
.

71

107

1,507

16. Сариев Д,

69

111

1,608

Из 16-ти человек, участвовавших в исследовании наименьшее отклонение от золотого сечения среди юношей имеют: ученик 9 класса (0,023) и ученик 11 класса (0,017). Среди девушек -ученица 8 класса Стаматова Мария имеет пропорции тела точно соответствующие золотому сечению. Те ребята, у которых пропорции тела близки к золотому сечению, Посмотрите, как они выглядят на фотографии, на мой взгляд, они действительно имеют хорошую фигуру.

Заключение.

Значение золотого сечения в современной науке очень велико. Эта пропорция используется практически во всех областях знаний. Её пытались изучить многие известные ученные и гении: Аристотель, Геродот, Леонардо Да Винчи, но никому полностью этого сделать не удалось.

В данной работе рассмотрены способы нахождения «Золотого сечения», изложены примеры, взятые из областей науки и искусства, в которых отражается эта пропорция: математика, архитектура, живопись, скульптура, ботаника.

В своей работе я хотела продемонстрировать красоту и широту «Золотого сечения» в реальной жизни. Проведенные исследования доказали, что многое в окружающем мире подчиняется правилу золотого сечения.

Мне понравилось освещать эту тему. Было интересно! Хочу дальше продолжить изучение этой золотого сечения.

Список литературы:

1. А. Азевич “Двадцать уроков гармонии” – М., “Школа-Пресс”, 1998

2. Н. Васютинский “Золотая пропорция” – М.,”Молодая гвардия”, 1990

3. М.В.Величко “Математика 9-11 классы. Проектная деятельность учащихся” – Волгоград: Учитель, 2007

4. М. Гарднер “Математические головоломки и развлечения” – М., “Мир”, 1971

5. Д. Пидоу “Геометрия и искусство” – М., “Мир”, 1989

6. А.П.Савин, В.В.Станцо, А.Ю. Котова “Я познаю мир. Математика” – М.: АСТ: Астрель: Хранитель, 2007

7. Энциклопедический словарь юного математика – М.,1989Журнал “Квант”, 1973, № 8

8. Журнал “Математика в школе”, 1994, № 2, № 3

9. Энциклопедия для детей. Т.11. Математика. — М.: Аванта+, 1998.

10. http://www.bullbear.nm.ru/

11. www.goldenmuseum.com

Исследовательская работа «Золотое сечение в природе и жизни человека»

Муниципальное бюджетное образовательное учреждение

Средняя образовательная школа №3 Сахалинской области г.

Южно-Сахалинска

Тема исследования:

«Золотое сечение в природе и жизни человека»

Автор: Белякова Полина Евгеньевна

ученица 7 класса МБОУ СОШ № 3

Научный руководитель: Цой Юлия

Енхановна учитель математики

МБОУ СОШ №3

Г. Южно-Сахалинск

2017 г.

2

Оглавление:

Введение………………………………………………………….

Методика исследования………………………………………..

История Золотого сечения……………………………………..

Золотое сечение в геометрии…………………………………..

Золотое сечение в природе……………………………………..

Золотое сечение в жизни человека……………………………

Вывод……………………………………………………………..

Заключение………………………………………………………

Приложения……………………………………………………..

3

Введение.

«…Геометрия владеет двумя сокровищами – теоремой Пифагора и золотым сечением, и если первое из них можно сравнить с мерой золота, то второе – с драгоценным камнем…».

Иоганн Кеплер

Актуальность:

Тема «Золотое сечение» не только интересна, но и по-прежнему актуальна, ведь золотая пропорция не потерялась во времени, а скорее наполнилась современными обстоятельными примерами. Золотое сечение, безусловно, можно назвать «Божественной пропорцией». Золотая пропорция окружает нас, кроме того, события, происходящие с нами, тоже происходят согласно золотой пропорции, золотому сечению. Окружающий нас мир многообразен. Все, наверное, обращали внимание, что мы неодинаково относимся к предметам и явлениям окружающей действительности. Беспорядочность, бесформенность, несоразмерность воспринимаются нами как безобразное и производят отталкивающее впечатление. А предметы и явления, которым свойственна мера, целесообразность и гармония воспринимаются как красивое и вызывают у нас чувство восхищения, радости, поднимают настроение. Людей с давних времён волновал вопрос, подчиняются ли такие неуловимые вещи как красота и гармония, каким-либо математическим расчётам. Можно ли «проверить алгеброй гармонию?» – как сказал А.С. Пушкин. Конечно, все законы красоты невозможно вместить в несколько формул, но, изучая математику, мы можем открыть некоторые слагаемые прекрасного. Я познакомилась с одним из таких математических соотношений, там, где оно присутствует, ощущается гармония и красота Теорему Пифагора знают многие люди, а вот что такое «золотое сечение» – далеко не все.

Цель исследования:

выявить «золотое сечение» в природе, архитектуре, жизни человека.

Объект исследования:

Золотое сечение.

4

Предметом исследования является процесс проведения серии экспериментов подтверждающих наличие золотого сечения в повседневной жизни.

Задачи:

1. Изучить понятия «пропорция»; «золотое сечение».

2. Исследовать присутствие золотого сечения в жизни человека и природе.

3. Изучить практическое применение этого понятия, провести эксперименты с элементами золотого сечения.

4. Научиться анализировать и делать выводы.

Методы исследования:

1. Работа с учебной и научно-популярной литературой, ресурсами сети Интернет.

2. Социологический опрос, эксперименты.

3. Наблюдение, сравнение, анализ, аналогия.

Предметы исследования:

Природа, архитектура, человек.

Методика исследования.

Я познакомился с понятием «золотое сечение», научился делить отрезок в золотом отношении, увидел, где оно встречается, как используется в технике и произведениях искусства.

Что же такое золотое сечение?

Исторически изначально золотым сечением именовалось деление отрезка АВ точкой С на две части бесконечным множеством способов, но говорят что точка С производит Золотое сечение отрезка АВ только если соблюдается пропорция: длина меньшего отрезка так относится к длине большего, как больший отрезок относится к длине всего отрезка, то есть для длин отрезков было верно AC/АВ = СВ/АС. Говоря простыми словами, золотым сечением

5

называется отрезок рассечён на две неравные части так, что большая часть отрезка составляет такую же долю в целом отрезке, какую меньшая часть

отрезка составляет в его большей части. Позже это понятие было распространено на произвольные величины.

{\displaystyle \Phi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}} Число, равное отношению a/b, обычно обозначается прописной греческой буквой Ф {\displaystyle \Phi } в честь древнегреческого скульптора и архитектора Фидия, реже — греческой буквой Т {\displaystyle \tau }. Из исходного равенства нетрудно получить, что число

Число Ф также {\displaystyle \Phi }называется золотым числом. Оно равно – 0,618.

История Золотого сечения.

История Представление о золотых пропорциях имели древние египтяне, знали о них и на Руси, но впервые научно золотое сечение объяснил монах Лука Пачоли в книге «Божественная пропорция» (1509), иллюстрации к которой предположительно сделал Леонардо да Винчи. Пачоли усматривал в золотом сечении божественное триединство: малый отрезок олицетворял Сына, большой – Отца, а целое – Святой дух.

Непосредственным образом с правилом золотого сечения связано имя итальянского математика Леонардо Фибоначчи. В результате решения одной из задач ученый вышел на последовательность чисел, известную сейчас как ряд Фибоначчи: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 и т.д. На отношение этой последовательности к золотой пропорции обратил внимание Кеплер: «Устроена она так, что два младших члена этой нескончаемой пропорции в сумме дают третий член, а любые два последних члена, если их сложить, дают следующий член, причем та же пропорция сохраняется до бесконечности». Сейчас ряд Фибоначчи это арифметическая основа для

6

расчетов пропорций золотого сечения во всех его проявлениях.

Леонардо да Винчи также много времени посвятил изучению особенностей золотого сечения, скорее всего именно ему принадлежит и сам термин. Его рисунки стереометрического тела, образованного правильными пятиугольниками, доказывают, что каждый из полученных при сечении прямоугольников дает соотношения сторон в золотом делении.

Со временем правило золотого сечения превратилось в академическую рутину, и только философ Адольф Цейзинг в 1855 году вернул ему вторую жизнь. Он довел до абсолюта пропорции золотого сечения, сделав их универсальными для всех явлений окружающего мира. Впрочем, его «математическое эстетство» вызывало много критики.

Даже не вдаваясь в расчеты, золотое сечение можно без труда обнаружить в природе. Так, под него попадают соотношение хвоста и тела ящерицы, расстояния между листьями на ветке, есть золотое сечение и в форме яйца, если условную линию провести через его наиболее широкую часть.

Золотое сечение в геометрии.

Правильные многоугольники привлекали внимание древнегреческих учёных ещё задолго да Архимеда. Пифагорейцы, выбравшие эмблемой своего союза пентаграмму — пятиконечную звезду, придавали очень большое значение задаче о делении окружности на равные части, то есть о построении правильного вписанного многоугольника. Альбрехт Дюрер (1471-1527гг), ставший олицетворением Возрождения в Германии приводит теоретически точный способ построения правильного пятиугольника, заимствованный из великого сочинения Птолемея «Альмагест».

Интерес Дюрера к построению правильных многоугольников отражает использование их в Средние века в арабских и готических орнаментах, а после изобретения огнестрельного оружия — в планировке крепостей.

7

Геометрическое построение. Золотое сечение отрезка АВ {\displaystyle AB} можно построить  следующим образом: в точке В {\displaystyle B} восстанавливают перпендикуляр к АВ {\displaystyle AB}, откладывают на нём отрезок ВC{\displaystyle BC}, равный половине АВ {\displaystyle AB}, на отрезке АС {\displaystyle AC} откладывают отрезок CD {\displaystyle CD}, равный BC {\displaystyle BC}, и наконец, на отрезке AB {\displaystyle AB} откладывают отрезокAE {\displaystyle AE}, равный AD {\displaystyle AD}. Тогда

Пятиконечная звезда (пентаграмма) наряду с золотой пропорцией содержит все «древние» средние. Такое необычайно пропорциональное строение пентаграммы, красота ее внутреннего математического строения, по-видимому, и являются основой красоты ее внешней формы. Можно только догадываться, в какой восторг приводило пифагорейцев столь редкое обилие математических свойств в одной геометрической фигуре. Поэтому неудивительно, что именно пентаграмма была выбрана пифагорейцами в качестве символа жизни и здоровья.

Разделим теперь окружность на 10 равных частей. Соединяя подряд точки деления окружности, получим правильный десятиугольник, а соединяя точки деления через две,— звездчатый десятиугольник. Внутри звездчатого десятиугольника вновь образуется правильный десятиугольник, в который можно вписать новый звездчатый десятиугольник, и т. д.

Если радиус исходной окружности R = 1 и учитывая свойства пятиконечной звезды, легко обнаружить весь ряд золотого сечения в последовательности вписанных друг в друга звездчатых десятиугольников. Заметим, что обнаруженное созвездие вложенных друг в друга пятиконечных звезд позволило сразу увидеть ряд золотого сечения при десятикратном делении окружности.

8

Золотое сечение в природе.

Изучая конструкции раковин, ученые обратили внимание на целесообразность форм и поверхностей раковин: внутренняя поверхность гладкая, наружная — рифленая. Внутри покоится тело моллюска — внутренняя поверхность должна быть гладкой. Наружные ребра увеличивают жесткость раковины и, таким образом, повышают ее прочность. Форма раковин поражает своим совершенством и экономичностью средств, затраченных на ее создание. Идея спирали в раковинах выражена не приближенно, а в совершенной геометрической форме, в удивительно красивой, «отточенной» конструкции.

У большинства улиток, которые обладают раковинами, раковина растет в форме логарифмической спирали, которая точно соответствуют «золотой пропорции».

В ящерице с первого взгляда улавливаются приятные для нашего глаза пропорции – длина ее хвоста так относится к длине остального тела, как 62 к 38.

Большой интерес представляет исследование форм птичьих яиц. Их всевозможные формы колеблются между двумя крайними типами: один из них может быть вписан в прямоугольник золотого сечения, другой — в прямоугольник с модулем 1,272 (корень золотой пропорции).
Такие формы птичьих яиц не являются случайными, поскольку в настоящее время установлено, что форме яиц, описываемых отношением золотого сечения, отвечают более высокие прочностные характеристики оболочки яйца. 

Бивни слонов и вымерших мамонтов, когти львов и клювы попугаев являют собой логарифмические формы и напоминают форму оси, склонной обратиться в спираль.
Спиралевидную форму можно увидеть и в расположении семян подсолнечника, и в шишках сосны, в ананасах, кактусах, строении лепестков роз и т.д.
В живой природе широко распространены формы, основанные на «пентагональной» симметрии (морские звезды, морские ежи, цветы).

Очень совершенна форма стрекозы, которая создана по законам золотой пропорции: отношение длин хвоста и корпуса равно отношению общей длины к длине хвоста.
Многие насекомые (например, бабочки, стрекозы) в горизонтальном разрезе

9

имеют простые асимметричные формы, основанные на золотом сечении.
Паук плетет паутину спиралеобразно.

Золотое сечение в жизни человека.

Все кости человека выдержаны в пропорции золотого сечения.  И чем ближе пропорции к формуле золотого сечения, тем более идеальным выглядит внешность человека.

Пропорции различных частей нашего тела составляют число, очень близкое к золотому сечению. Если эти пропорции совпадают с формулой золотого сечения, то внешность или тело человека считается идеально сложенными.
Если принять центром человеческого тела точку пупа, а расстояние между ступней человека и точкой пупа за единицу измерения, то рост человека эквивалентен числу 1.618.Достаточно, лишь приблизить сейчас вашу ладонь к себе и внимательно посмотреть на указательный палец, и вы сразу же найдете в нем формулу золотого сечения.
Каждый палец нашей руки состоит из трех фаланг. Сумма двух первых фаланг пальца в соотношении со всей длиной пальца и дает число золотого сечения (за исключением большого пальца).
Кроме того, соотношение между средним пальцем и мизинцем также равно числу золотого сечения.
У человека 2 руки, пальцы на каждой руке состоят из 3 фаланг (за исключением большого пальца). На каждой руке имеется по 5 пальцев, то есть всего 10, но за исключением двух двухфаланговых больших пальцев только 8 пальцев создано по принципу золотого сечения. Тогда как все эти цифры 2, 3, 5 и 8 есть числа последовательности Фибоначчи. 

10

Также следует отметить тот факт, что у большинства людей расстояние между концами расставленных рук равно росту.

Измерения нескольких тысяч человеческих тел позволили обнаружить, что пупок делит высоту человека в золотом отношении.

Основание шеи делит расстояние от макушки до пупка в золотом отношении.

Эти пропорции я показала в изображении знаменитой скульптуры Аполлона Бельведерского. Аполлон считается образцом мужской красоты.

Но не только создатель Аполлона, но и скульптор Фидий часто использовал золотую пропорцию в своих произведениях. Самыми знаменитыми из них были статуя Зевса Олимпийского, которая считалась одним из семи чудес света, и статуя Афины Парфенос.

11

Кроме того, человек сам является творцом, создаёт замечательные произведения искусства, в которых просматривается золотая пропорция. Фидий руководил строительством храма Парфенон в Афинах.

Парфенон – это одно из красивейших произведений древнегреческой архитектуры. Он и сейчас, несмотря на то, что со времени его постройки прошло более 2,5 тысячелетий, производит огромное впечатление. Некогда белоснежный мрамор стал от времени золотисто-розовым. Величественное здание, стоящее на холме из известняка, возвышается над Афинами и их окрестностями. Но поражает оно не своими размерами, а гармоническим совершенством пропорций. Здание не вдавливается своей тяжестью в землю, а как бы парит над нею, кажется очень лёгким.

Многие искусствоведы стремились раскрыть секрет того могучего эмоционального воздействия, которое это здание оказывает на зрителя. Разгадку они увидели в том, что в соотношениях многих частей храма присутствует золотая пропорция. Так, отношение высоты здания к его длине равно 0,62 . Отношения целого ряда частей Парфенона дают число 0,62. Говорят «… у греческого храма нет размеров, у него есть пропорции …».

12

Вывод.

Золотое сечение является отображением окружающегося мира

Человеческое представление о красивом формировалось под влиянием порядка и гармонии

Закономерности «Золотого сечения» заложены в подсознании человека, они использовались и используются архитекторами в своих работах.

С возрастом увеличивается количество людей, выбирающих Золотую пропорцию. Золотое сечение имеет большое применение в нашей жизни.

Заключение.

В своей работе я рассмотрела пропорцию, научилась делить отрезок в золотом сечении. Исследовала пропорцию человеческого тела, увидел пропорцию в окружающей нас природе.

В своей работе я хотела продемонстрировать красоту и широту «Золотого сечения» в реальной жизни. Проведенные исследования доказали, что многое в окружающем мире подчиняется правилу золотого сечения.

Человек различает окружающие его предметы по форме. Интерес к форме какого-либо предмета может быть продиктован жизненной необходимостью, а может быть вызван красотой формы. Форма, в основе построения которой лежат сочетание симметрии и золотого сечения, способствует наилучшему зрительному восприятию и появлению ощущения красоты и гармонии. Целое всегда состоит из частей, части разной величины находятся в определенном отношении друг к другу и к целому. Принцип золотого сечения – высшее проявление структурного и функционального совершенства целого и его частей в искусстве, науке, технике и природе.

Значение золотого сечения в современной науке очень велико. Эта пропорция используется практически во всех областях знаний.

13

Приложения.

Приложение №1.

«Золотой прямоугольник» учебников.

№	Учебник	Длина	Ширина
1.	Русский язык	22	16,5	0,750
2.	Литература	22	14,5	0,659
3.	Английский язык	25,8	19,5	0,756
4.	Физика	25,8	19,5	0,756
5.	Алгебра	22	16,8	0,764
6.	История	21,3	14,2	0,667
7.	Музыка	25,8	16,5	0,640
8.	Обществознание	25,8	19,5	0,756
9.	Биология	22	16,6	0,755
10.	География	21,5	16,6	0,772
11.	Геометрия	21,6	16,7	0,773

Из исследования можно сделать вывод, что форма учебников близка к золотому прямоугольнику.

14

Приложение №2.

Золотая пропорция листьев и шишек Сахалинских деревьев.

№	название	Длина листьев	Ширина листьев
	Ель Глена	6	2,5	0,417
	Вишня Сарджента	13	8	0,615
	Дуб Зубчатый	30	12	0,400
	Клён Японский	12	12	1,000
	Ясень Шерстистый	7	2	0,286
	Аралия Высокая	12	5	0,417
	Рододендрон Адамса	2	1	0,500
	Жимолость Толмачева	7	4,5	0,643
	Актинидия Острая	9	6	0,667
	Пион обратнояйцевидный	10	5	0,500
	Венерин Башмачок	14	7	0,500
	Любка Камчатская	10	6	0,600
	Родиола розовая	3,5	1,75	0,500
	Кубышка малая	10	8	0,800
	Первоцвет сахалинский	6	4	0,667

Из таблицы видно, что не все отношения получаются близкими к числу 0,618. Наиболее совершенным с точки зрения математики, оказалось

растение под номером 2 Вишня Сарджента. Следовательно, листья этой Вишни подчиняются правилам «божественной пропорции».

15

Приложение №3.

Научно-исследовательская работа «Удивительное рядом. Золотое сечение»

Цель: Исследовать принцип “золотого сечения” в окружающем мире.

Задачи:

1. Исследовать применение принципа “золотого сечения” в архитектуре.

2. Исследовать принцип “золотого сечения” в живой природе:
   а) в строении тела человека
   в) в растениях

3. Обобщить результаты исследования и применить их при изучении темы “Пропорция”

4. Использовать результаты исследования для формирования научного мировоззрения, основанного на принципах гармонии и золотого сечения.

Объект исследования: Спасская церковь с.Турунтаево, Сретенский монастырь с.Батурино, учащиеся и родители 7-го класса, растения: золотой ус, традесканция, алоэ.

Предмет исследования: отражение “золотого сечения” в окружающем мире

Методы исследования:

• анализ теоретической литературы;
• математические расчеты пропорциональных отношений;
• сопоставление полученных данных.

Гипотеза: в окружающем мире “золотое сечение” является основополагающим принципом красоты, прочности, надежности.

Введение

С давних пор человек стремится окружать себя красивыми вещами. Предметы обихода жителей древности уже показывают стремление человека к красоте. На отдельном этапе своего развития человек начал задаваться вопросом: почему тот или иной предмет является красивым и что является основой прекрасного? Уже в Древней Греции изучение сущности красоты, прекрасного, сформировалось в отдельную науку – эстетику. Тогда же родилось представление о том, что основой прекрасного является гармония-соразмерность частей и целого, слияние различных компонентов объекта в одно целое.

Человек различает окружающие его предметы по цвету, вкусу, запаху, форме. Интерес к форме какого-либо предмета может быть вызван жизненной необходимостью, а может быть и красотой формы. Форма, в основе построения которой лежит принцип “золотого сечения”, способствует наилучшему зрительному восприятию и появлению ощущения красоты и гармонии.

Глава 1. История “золотого сечения”

В дошедшей до нас древней литературе впервые упоминание о “золотом сечении” встречается в трудах Евклида “Начала” (около. 300 до н. э.) О “золотом сечении” знали еще в Древнем Египте и Вавилоне, в Индии и Китае. Великий Пифагор создал тайную школу, где изучалась мистическая суть “золотого сечения”. Евклид применил его, создавая свою геометрию.

Пропорции пирамиды Хеопса, храмов, барельефов, предметов быта и украшений из гробницы Тутанхамона свидетельствуют, что египетские мастера пользовались соотношениями “золотого сечения” при их создании.

. А что это такое “золотое сечение” или по-другому “золотая пропорция”? Золотое сечение – это такое пропорциональное деление отрезка на неравные части, при котором весь отрезок так относится к большей части, как сама большая часть относится к меньшей и это приблизительно равно 1,62 т.е. c:b = b:a ; или, меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему и это приблизительно равно 0,62 т.е. a:b = b:c

Принято считать, что объекты, содержащие в себе “золотое сечение” воспринимаются людьми как наиболее гармоничными.

Есть вещи, которые нельзя объяснить. Вот вы подходите к пустой скамейке и садитесь на нее. Где вы сядете – посередине? Или, может быть, с самого края? Нет, скорее всего, не то и не другое. Вы сядете так, что отношение одной части скамейки к другой, относительно вашего тела, будет равно примерно 1,62. Простая вещь, абсолютно инстинктивная… Садясь на скамейку, вы произвели “золотое сечение”.Так что же такое “золотое сечение”?..Что это за идеальное, божественное сочетание? Может быть, это закон красоты? Или все-таки он – мистическая тайна? Научный феномен или этический принцип? Ответ неизвестен до сих пор. Точнее – нет, известен. “Золотое сечение” – это и то, и другое, и третье. Только не по отдельности, а одновременно… И в этом его подлинная загадка, его великая тайна.

Глава 2. “Золотое сечение” в архитектуре православных храмов Прибайкалья.

Математики и историки, архитекторы и философы с разных позиций то возносили, то низвергали закономерности согласования архитектурной формы. Особое внимание привлекало “золотое сечение”. Трудно найти человека, который бы не знал и не видел собора Василия Блаженного на Красной площади. Храм этот особенный; он отличается удивительным разнообразием форм и деталей, красочных покрытий; ему нет равных в нашей стране. Архитектурное убранство всего собора продиктовано определенной логикой и последовательностью развития форм. Исследователи пришли к выводу о преобладании в нем ряда “золотого сечения”. Примером использования золотого сечения в строительстве храмов может служить и Сретенский женский монастырь с.Батурино Прибайкальского района. (Приложение 1)

Расчет размеров этой церкви, взятых из архива, позволил выявить, что композиционный замысел целиком связан с “золотым сечением”. На рисунке приведен композиционный замысел церкви, все расчеты; данные размеры приводятся в метрах.

 

AC:AB=11:6,8=1.62 DM:DN=13:8=18=1,63 KQ:KP=7:4.4=1,6

AB:CB=6,8:4,2=1,62 DN:MN=8:5=1,6 KP:PQ=4,4:2,6=1,69

DN:NK=8:4,6=1,7 длина/ширина=26:16=1,63

Используя фотографию этого монастыря, произведя все интересующие меня измерения и вычисления, я в очередной раз убедилась, что “золотая пропорция”, действительно, использовалась при строительстве.

Так как наше село и район не очень богаты архитектурными сооружениями, я исследовала строения храмов, и выяснила, что принцип “золотого сечения” присутствует в строении Спасской церкви с.Турунтаево.(Приложение 2).

Больше архитектурных сооружений, у которых можно было бы выявить такие закономерности, я, к сожалению, не смогла найти. Но у меня была возможность изучить материалы Прибайкальского архива и выяснить, что в несохранившихся до нашего времени часовне Итанцинского острога и часовне курорта “Горячинск” также встречается это правило. Даже уже размеры длины и ширины (8м. и 6м.) дают результат 8:6=1,6 (Приложение 3) .

Приобретенные мною знания о золотой пропорции еще больше убедили меня в том, что архитектура – это то, где золотое сечение является основополагающим принципом красоты, прочности, надежности, о чем говорят сами за себя произведения архитектуры и зодчества нашего Прибайкалья.

Глава 3.“Золотое сечение” в строении человеческого тела.

В разные времена и у разных народов эталоны длины частей человека были одинаковыми: они происходили от человеческого тела. В человеке заложены пропорции, отобранные самой природой. Начало этим мерам дает рост человека. Деление тела точкой пупа – важнейший показатель “золотого сечения”. Художники, ученые, модельеры, дизайнеры  делают свои расчеты, чертежи или наброски, исходя из соотношения “золотого сечения”. Они используют мерки с тела человека, сотворенного по этому принципу. Если эти пропорции совпадают с формулой “золотого сечения”, то внешность или тело человека считается идеально сложенными

В строении черт лица человека и в руке, также есть множество примеров, приближающихся по значению к этой формуле. Я на практике решила проверить присутствие “золотого сечения” в частях человеческого тела – в росте, в кисти руки, в лицевой части головы. Для этого я провела необходимые измерения у своих одноклассников(11-12лет), у молодых знакомых (18-20 лет) и у родителей одноклассников(35-40 лет).

Представляю по одному результату исследования из каждой возрастной группы.

3.1. Исследование роста.

3.2.Исследование лицевой части головы.

Исследование лица:

1. Жигалин Вадим (11лет)

3,8 : 2,4 =1,58

6,2 : 3,8 =1,63

20 : 13 =1,53 13 : 7 =1,85

2. Гурецкий Александр (20лет)

4 : 2,5 =1,6 6,5 : 4 =1,63

22 : 13,6 =1,62 13,6 : 8,4 =1,62

3 .Федорук Александр Иванович (40лет)

4,3 : 2,7 =1,6 7 : 4,3 =1,62

22,5 : 14 =1,61 14 : 8,5 =1,65

3.3.Исследование кисти руки.

После всех вычислений я пришла к выводу, что “золотое сечение” присутствует в частях человеческого тела. Но чем старше человек, тем пропорция более приближена к “золотому сечению”, т.к. дети растут, организм их формируется, поэтому размеры тела изменяются.

Глава 4. “Золотое сечение” в растениях.

В биологических исследованиях 1970-90 гг. показано, что, начиная с вирусов и растений, и кончая организмом человека, всюду выявляется “золотая пропорция”, характеризующая соразмерность и гармоничность их строения. “Золотое сечение” признано универсальным законом всех живых систем.

Рассматривая расположение листьев на общем стебле растений: золотой ус, традесканция и алоэ, я выяснила, что между каждыми двумя из листьев третий расположен в определенном месте.

 

2,5+1.5=4, 4:2.5=1.6	8:5=1,6
2.5:1,5=1,67	5:3=1,67

Расчеты показали, что средний лист, располагается в месте “золотого сечения”.

Список использованной литературы:

1. Аксенова М. “Энциклопедия для детей Аванта+”. Том 11, 2006г.
2. БЭКМ – электронная энциклопедия. “Кирилл и Мефодий”.
3. Васютинский Н. Золотая пропорция. – М.: Молодая гвардия, 1999г.
4. Волошинов А. В. “Математика и искусство” 2005 г. “Просвещение”.
5. Коробко В.И., Коробко Г.Н.; М., АСВ Издательство, 2002 г. “Золотая пропорция и человек”.

Приложение

Исследовательская работа по математике

Городская научно­практическая конференция молодых исследователей «Шаг в будущее» Секция: Математика и информационные технологии. Физика. Исследовательская работа по математике   на тему: «Золотое сечение» вокруг нас                                              Работу выполнил ученик 7Б кл                                          Ориничев Борис Евгеньевич                                                                                                                           Руководитель: Бельтюкова Назира Фаттаховна                                            учитель физики и математики                            МБОУ «СОШ № 14» 2 г. Нефтеюганск, 2016 г. Оглавление аннотация ………………………………………………..………… 2 актуальность, гипотеза  …….………………………………..3 план исследования           ……………………………………….4 научная статья                   ……………………………………5     1.1.золотое сечение в математике…………………………..5 1.2. золотые фигуры ………………………………………….7 1.3. золотое сечение в архитектуре……………………….…7­8 глава 2.исследовательская часть. 2.1.золотое сечение в природе и в комнатных растениях ….9 2.2.золотое сечение в пропорциях человеческого тела….9­10 2.3.золотое сечение в живописи      …………………………….10 2.4.золотое сечение в архитектуре моего города ………10­11 заключение, вывод                        .………………………11­12  литература     …………………………………………………..13 3 Тема  «Золотое сечение» вокруг нас » Автор: Ориничев Борис Евгеньевич,  Ханты­Мансийский Автономный Округ – Югра г. Нефтеюганск Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение: «Средняя общеобразовательная школа № 14», 7Б класс ________________________________________________________________________ Аннотация        Людей с давних времён волновал вопрос, подчиняются ли такие неуловимые вещи как красота и гармония, каким­либо математическим расчётам. Можно ли “проверить алгеброй гармонию?” – как сказал А.С. Пушкин.     Великий Пифагор создал тайную школу,   где   изучалась   мистическая   суть   «золотого   сечения».   Евклид   применил   его, создавая   свою   геометрию,   а   Фидий   —   свои   бессмертные   скульптуры.   Платон рассказывал,   что   Вселенная   устроена   согласно   «золотому   сечению».   А   Аристотель нашел   соответствие   «золотого   сечения»   этическому   закону.   Высшую   гармонию «золотого сечения» или «божественной пропорции» будут проповедовать Леонардо да Винчи  и Микеланджело, ведь красота и «золотое сечение» — это одно и то же.            Цель работы:   1.Доказательство присутствия золотого сечения в окружающем нас мире:   в   растениях,   в   человеческом   теле,   в   архитектуре   города,   в   живописи   и   в скульптурах.         Методы   исследования:  Анализ   изученной   литературы   и   интернет­источников   по изучаемой   теме;   анкетирование;   наблюдение;   сравнительный   анализ   (сравнение исторических   скульптур,   живописи   ),   эксперимент   по   замеру   пропорциональности частей у растений, у учащихся,   экскурсия по достопримечательным местам города с 4 целью   изучения   архитектурных   строений,   фотосъемки   и   исследование   полученных съемок на пропорциональное соотношение.             Выводы:       1.   «Золотое   сечение»   в   окружающем   нас   мире:   в   растениях,   в человеческом теле, в архитектуре, в живописи и в скульптурах. 2. Человеческое представление о «красивом» явно сформировалось под влиянием того, какой   порядок   и   гармонию   человек   видит   в   природе.   Человек   –   венец   творения природы… Можно проверить гармонию алгеброй! Актуальность:          Окружающий нас мир многообразен… Все, наверное, обращали внимание, что мы неодинаково   относимся   к   предметам   и   явлениям   окружающей   действительности. Беспорядочность,   бесформенность,   несоразмерность   воспринимаются   нами   как безобразное и производят отталкивающее впечатление. А предметы и явления, которым свойственна   мера,   целесообразность   и   гармония   воспринимаются   как   красивое   и вызывают у нас чувство восхищения, радости, поднимают настроение.        Людей с давних времён волновал вопрос, подчиняются ли такие неуловимые вещи как красота и гармония, каким­либо математическим расчётам. Можно ли «проверить алгеброй гармонию?» – как сказал А.С. Пушкин.  Конечно, все  законы  красоты  невозможно вместить в  несколько  формул,  но,  изучая математику, мы можем открыть некоторые слагаемые  прекрасного.         Сведения о «золотом сечении» впервые встречаются в учебнике 6 класса. Изучив дополнительную литературу, наблюдая вокруг себя  природу, растения, животный мир и строения которые нас окружают,   видишь   эту пропорцию золотого сечения   во всех областях   окружающей   нас   жизни.   Богатая   и   увлекательная   история   исследуемого материала. Гипотеза:   Пропорциональность в природе, искусстве, архитектуре и в других сферах окружающей   нас   жизни   означает   соблюдение   определённых   соотношений   между отдельными частями и является непременным условием гармонии и красоты; 5 Цель работы:  Доказательство присутствия золотого сечения в окружающем нас мире: в растениях, в человеческом теле, в архитектуре города, в живописи и в скульптурах. Задачи: 1. Изучить понятия «пропорция»; «золотое сечение».    2. Исследовать присутствие золотого сечения в окружающей жизни.       3.   Изучить     практическое   применение   этого   понятия,   провести   эксперименты   с элементами золотого сечения.    4. Научиться анализировать и делать выводы.  Тема  «Золотое сечение» вокруг нас» Автор: Ориничев Борис Евгеньевич,  Ханты­Мансийский Автономный Округ – Югра г. Нефтеюганск Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение: «Средняя общеобразовательная школа № 14», 7Б класс ________________________________________________________________________ План исследования. 1. Изучить теоретические сведения по теме «Золотое сечение»; 2. Исследовать присутствие золотого сечения в окружающей жизни; 3. Исследовать размеры комнатных растений и определить  пропорции золотого сечения; 4.Исследование учащихся 7Б класса по методу Цейзинга на выявление золотого сечения в пропорциях части человеческого тела; 5.Экскурсия по городу с целью изучения  архитектуры города  и определить  пропорции. 6 Тема  «Золотое сечение» вокруг нас» Автор: Ориничев Борис Евгеньевич,  Ханты­Мансийский Автономный Округ – Югра г. Нефтеюганск Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение: «Средняя общеобразовательная школа № 14», 7Б класс ________________________________________________________________________ Научная статья   Да, путь познания не гладок,    Но знаем мы со школьных лет:   Загадок больше, чем разгадок,   И поискам предела нет!               Татьяничева Л.  Золотые руки, золотое сердце, золотое сечение…Если первые два понятия  понимают все, то понимание третьего – «Золотого сечения» ­ вызывает у большинства из нас огромные затруднения. А ведь этот термин употребляется в самом обыкновенном  учебнике математики за 6 класс! 7 Когда  знакомишься более подробно с дополнительной литературой по этому вопросу,  то убеждаешься, что «Золотое сечение» присутствует всюду: в природе, в технике, в  архитектуре, в живописи, в пропорциях человеческого тела и так далее. Людей с давних времён волновал вопрос, подчиняются ли такие неуловимые    вещи как красота и гармония, каким­либо математическим расчётам. Можно ли  “проверить алгеброй гармонию?” – как сказал А.С. Пушкин.  Конечно, все законы красоты невозможно вместить в несколько формул, но, изучая  математику, мы можем открыть некоторые слагаемые прекрасного.  Принято считать, что понятие о золотом делении ввел в научный обиход Пифагор,  древнегреческий философ и математик (VI в. до н.э.). Есть предположение, что  Пифагор свое знание золотого деления позаимствовал у египтян и вавилонян. И  действительно, пропорции пирамиды Хеопса, храмов, барельефов, предметов быта и  украшений из гробницы Тутанхамона свидетельствуют, что египетские мастера  пользовались соотношениями золотого деления при их создании. Великий Пифагор создал тайную школу, где изучалась мистическая суть «золотого  сечения». Евклид применил его, создавая свою геометрию, а Фидий — свои бессмертные скульптуры. Платон рассказывал, что Вселенная устроена согласно «золотому сечению». А Аристотель нашел соответствие «золотого сечения» этическому закону. Высшую  гармонию «золотого сечения» или «божественной пропорции» будут проповедовать  Леонардо да Винчи (сам термин был введен им в 15 веке) и Микеланджело, ведь красота и «золотое сечение» — это одно и то же.               Слово пропорция означает «соразмерность», «определенное соотношение частей  между собой».  Глава 1.  Золотое сечение в математике. 1.1.Определение   золотого   сечения.  Золотым   сечением   и   даже   «божественной пропорцией» называли математики древности и средневековья  такое пропорциональное деление отрезка на неравные части, при котором весь отрезок так относится к большей части, как сама большая часть относится к меньшей; или другими словами, меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему. Это отношение обозначим буквой  =0,618=5/8.  φ 8                               а : b = b : c или с : b = b : а Деление отрезка в среднем и крайнем отношении часто использовалось в искусстве, что дало повод математику 16в., другу известного художника Леонардо да Винчи, монаху Луке Пачоли назвать такое деление отрезка божественной, великолепной пропорцией. По   поводу   этой   пропорции   он   употреблял   много   хвалебных   слов,   но   в   истории утвердилось два варианта: золотая пропорция, или золотое сечение. Древние греки считали, что прямоугольники, у которых стороны относятся как 5 : 8 (стороны   образуют   «золотое   сечение»)   имеют   наиболее   приятную   форму.   Они приписывали «золотому сечению» магические свойства и использовали при расчетах. Правильное   соотношение   размеров  возводимых  древними  греками  дворцов   и  храмов придавало этим зданиям ту необыкновенную красоту, которая и сегодня восхищает нас. «Пропорция»   с   древнегреческого   означает  соизмеримый,   имеющий   правильное соотношение частей. С   историей   золотого   сечения   связано   имя   итальянского   математика   Леонардо Фибоначчи. Ряд чисел 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 и т.д. известен как ряд Фибоначчи. Каждый   член   последовательности,   начиная   с   третьего,   равен   сумме   двух предыдущих, а отношение смежных чисел ряда приближается к отношению золотого деления.    Все исследователи золотого деления в растительном и в животном мире, искусстве, неизменно   приходили   к   ряду   Фибоначчи   как   арифметическому   выражению   закона золотого деления 1.2. Золотое сечение в природе. Оказывается, в природе встречаются и золотое сечение и золотая спираль. Интерес человека к природе привёл к открытию её физических и математических   закономерностей.   Красота   природных   форм   рождается   во взаимодействии двух физических сил – тяготении и инерции. Золотая пропорция – это математический символ этого взаимодействия, поскольку выражает основные моменты живого роста: стремительный взлёт юных побегов сменяется замедленным ростом «по инерции» до момента цветения.  Рассматривая расположение листьев на общем стебле многих растений, можно заметить, что   между   каждыми   двумя   парами   листьев   третья   расположена   в   месте   золотого сечения. Точка С делит отрезок АВ в золотом отношении, точка Е делит отрезок DA в золотом отношении и так далее.  9                                                  1.3.»Золотые» фигуры. 1.3.1.Золотой треугольник: «Золотым треугольником» называется   равнобедренный  треугольник, где отношение основания к                                                                      его боковой стороне дает число  АВ : АС = 0,618                                 А .                                            В                         С                                                                                                             1.3.2.   Золотой прямоугольник. В «Золотом прямоугольнике» отношение длины к его ширине   дает   число   0,618.   Отрезав   квадрат   от   прямоугольника,   построенного   по принципу золотого сечения, мы получаем  новый, уменьшенный прямоугольник с тем же отношением сторон.  1.3.3. Золотой пятиугольник; построение Евклида.              Замечательный   пример   «золотого   сечения»   представляет   собой   правильный пятиугольник   –   выпуклый   и   звездчатый.   Звездчатый   пятиугольник   называется пентаграммой. Пифагорейцы выбрали пятиконечную звезду в качестве талисмана, она считалась символом здоровья и служила опознавательным знаком. В настоящее время существует   гипотеза,   что   пентаграмма   –   первичное   понятие,   а   «золотое   сечение» вторично.   Пентаграмму   никто   не   изобретал,   ее   только   скопировали   с   натуры.   Вид пятиконечной звезды имеют пятилепестковые цветы плодовых деревьев и кустарников, морские звезды. Те и другие создания природы человек наблюдает уже тысячи лет. Поэтому   естественно   предположить,   что   геометрический   образ   этих   объектов   – пентаграмма – стала известна раньше, чем «золотая» пропорция. 10 1.3.4. Золотая спираль. Золотой прямоугольник, у которого отношение ширины к длине равно   0,618,   обладает   многими   интересными   свойствами.   Если   от   золотого прямоугольника   АВСD   отрезать   квадрат   со   стороной,   равной   меньшей   стороне прямоугольника,   то   снова   получится   золотой   прямоугольник.   Если   этот   процесс продолжить,   то   получатся   «вращающиеся   квадраты».   Когда   соединим   их   вершины плавной кривой, то получим золотую спираль.    1.3.5. «Золотое сечение» в архитектуре. Человек сам является творцом, создаёт  замечательные произведения искусства, в которых просматривается золотая пропорция.  Фидий руководил строительством храма Парфенон в Афинах.                              Парфенон – это одно из красивейших произведений древнегреческой архитектуры. Он и сейчас, несмотря на то, что со времени его постройки прошло более 2,5 тысячелетий, производит   огромное   впечатление.   Некогда   белоснежный   мрамор   стал   от   времени золотисто­розовым.   Величественное   здание,   стоящее   на   холме   из   известняка, возвышается над Афинами и их окрестностями. Но поражает оно не своими размерами, а гармоническим совершенством пропорций. Здание не вдавливается своей тяжестью в землю, а как бы парит над нею, кажется очень лёгким. 11 Тема  «Золотое сечение» вокруг нас» Автор: Ориничев Борис Евгеньевич,  Ханты­Мансийский Автономный Округ – Югра г. Нефтеюганск Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение: «Средняя общеобразовательная школа № 14», 7Б класс ________________________________________________________________________ Исследовательская часть Глава 2.  2.1.   Исследование   №   1.     Золотое   сечение   в   природе   и   в   комнатных   растениях Рассматривая расположение листьев на общем стебле многих растений, можно заметить, 12 что   между   каждыми   двумя   парами   листьев   третья   расположена   в   месте   золотого сечения.              Изучая комнатные растения, измерили  расстояния между отростками,  и  нашли отношение,     оно     приближённо   равно     0,618,   т.е.   подчиняется   золотой   пропорции. Данные   измерений   и   вычислений   занесены   в     таблицу.     Золотую   пропорцию   можно увидеть и в ветках березы (Приложение 1).                    Золотую спираль также можно заметить в созданиях природы.    Спиральное расположение наблюдается у подсолнуха и чешуек сосновых шишек или ячеек ананаса (Приложение 2).               Если измерить длину и ширину куриного яйца и найти соотношение: 3,4 см : 5,2 см = 0,653. Не все исследуемые яйца дают такое соотношение, а только некоторые из них (Приложение  3). 2.2. Исследование № 2 «Золотое сечение» в пропорциях человеческого тела              На следующем этапе нашего исследования, мы решили выяснить, каким образом золотое   сечение   выражается   в   пропорциях   человеческого   тела.(Приложение   3,4) Произвели измерения у учащихся 7Б класса  и пришли к выводу, что человеческое тело делится в пропорции золотого сечения линией пояса, т.е. деление тела точкой пупа – важнейший   показатель   золотого   сечения.(Приложение   4)   Если   принять   центром человеческого тела   точку пупа  и найти отношение расстояния от макушки до пупа на расстояние от пупа до ступней,  то рост человека  эквивалентен    числу 1, 618.  () А также  каждый палец нашей руки состоит из трех фаланг. Сумма двух первых фаланг пальца   в   соотношении   со   всей   длиной   пальца   и   дает   число   золотого   сечения   (за исключением большого пальца)      Кроме того, соотношение между средним пальцем и мизинцем также равно числу золотого сечения. (Приложение 5)             2.3. Золотое сечение в живописи.   Эти соотношения мы нашли в тех картинах, которые имеются в наших домах. 13 На   живописном   полотне   существуют  четыре   точки   повышенного   внимания. Зрительные центры расположены на расстоянии 3/8 и 5/8 от краев любой картины и фотографии. В первой картине две березы расположены в одной из этих точек, а во второй картине – парус.  Скульпторы,  архитекторы,  художники  использовали  и  используют  золотое  сечение  в своих   произведениях,   так   как   пропорции   золотого   сечения   создают   впечатление гармонии и красоты.  В настоящем этапе провели   психологический опыт.   Было роздано одноклассникам альбомный лист,   чтобы они   нарисовали одиноко растущее дерево.   У большинства дерево заняло место 5/8 от края листа. Из этого простого эксперимента следует, что не нужно быть великим художником, чтоб создавать красивое, гармоничное. 2.4. «Золотое сечение» в архитектуре моего города               Принято   считать,   что   объекты,   содержащие   в   себе   «золотое   сечение», воспринимаются   людьми   как   наиболее   гармоничные.   Пропорции   пирамиды   Хеопса, храмов,   барельефов,   предметов   быта   и   украшений   из   гробницы   Тутанхамона свидетельствуют,   что   египетские   мастера   пользовались   соотношениями   золотого деления при их создании.  Золотое соотношение мы можем увидеть и в здании Собора Парижской Богоматери.           В поисках «Золотого сечения»  мы совершили экскурсию по нашему городу. Среди архитектурных   объектов   нашли   скульптуры,   которые   вписываются   в   «золотой прямоугольник» 1.«Ротонда».   Установлена   на   территории   историко­архитектурного   комплекса   в микрорайоне   2А   на   месте   высадки   первопроходцев.     В   центре   ротонды   установлен чугунный   барельеф   «Роза   ветров»   с   нанесённым   на   него   названием   города   и географическими координатами г.Нефтеюганска. (Приложение 6) 2.«Пергола» представляет   собой   металлическую   кованую   ажурную   конструкцию   из нескольких арок, соединённых между собой, украшенную коваными ветвями и листьями   В   верхней   части   установлены   флюгеры   в   виде   амуров.  лозы. Габаритные размеры:  высота ­ 4,0 метра; длина ­ 6,5 метров. (Приложение 6) 3.«Медведь», являющаяся символом города, изображённым на гербе г.Нефтеюганска. Скульптура,   установлена   на   территории   историко­архитектурного   комплекса   в микрорайоне 2А. (Приложение  6) 14 В   следующих   архитектурных   сооружениях   пропорциональное   соотношение   высоты стелы на высоту таблички «Воину­освободителю», в скульптуре «Царь» соотношение высоты трона на высоту фигуры (Приложение 7) Здание   культурного   центра   «Обь»   содержит   ряд   пропорциональных   соотношений,   а забор вписывается в «золотой прямоугольник» (Приложение 7) Многие   искусствоведы   изучая   храмы   и   церкви   стремились   раскрыть   секрет   того могучего   эмоционального   воздействия,   которое   это   здание   оказывает   на   зрителя. Разгадку они увидели в том, что в соотношениях многих частей храма присутствует золотая пропорция. Так, отношение высоты здания к его длине равно 0,62 . Отношения целого ряда частей храма  дают число 0,62. (Приложение 8)  Конечно же,  красоту и гармонию мы искали и в своей родной школе, так как  большее время дня мы     проводим там. И выяснили что, срез   крыльца МБОУ СОШ  № 14 представляет «золотой прямоугольник».              Красота природных форм рождается во взаимодействии двух физических сил – тяготении   и   инерции.   Золотая   пропорция   –   это   математический   символ   этого взаимодействия, поскольку выражает основные моменты живого роста: стремительный взлёт юных побегов сменяется замедленным ростом «по инерции» до момента цветения. Скульптурные   сооружения,   чтобы   увековечить знаменательные события, сохранить в памяти потомков имена прославленных людей, их   памятники   воздвигаются, подвиги и деяния. Известно, что еще в древности основу скульптуры составляла теория пропорций.   Пропорции   «золотого   сечения»   создают   впечатление   гармонии   красоты, поэтому скульпторы пользуются им в своих произведениях. Заключение. Человек различает окружающие его предметы по форме. Интерес к форме какого­либо предмета может быть продиктован жизненной необходимостью, а может быть вызван красотой формы. Форма, в основе построения которой лежат сочетание симметрии и золотого   сечения,   способствует   наилучшему   зрительному   восприятию   и   появлению ощущения красоты и гармонии. Целое всегда состоит из частей, части разной величины находятся   в   определенном   отношении   друг   к   другу   и   к   целому.   Принцип   золотого сечения   –   высшее   проявление   структурного   совершенства   целого   и   его   частей   в 15 искусстве, науке, технике и природе.  Вывод:  во­первых,   золотое   сечение   –   это   один   из   основных   основополагающих   принципов природы;  во­вторых,   человеческое   представление   о   «красивом»   явно   сформировалось   под влиянием того, какой порядок и гармонию человек видит в природе. Человек – венец творения природы… В результате исследовательской работы убедились, что золотые отношения можно найти и в пропорциях человеческого тела. Кроме того, человек сам является   творцом,   создаёт   замечательные   произведения   искусства,   в   которых просматривается золотая пропорция.  Мы     взяли   за   основу   своей   работы   материал   школьного   учебника   и   постарались проверить на практике те примеры золотого сечения, которые в нём приводятся. Нас очень заинтересовала эта тема, и мы сейчас непринужденно своим взглядом везде ищем эту «божественную пропорцию». Поэтому эту работу мы   будем продолжать. В ходе работы над этим проектом мы  приобрели не только много новых знаний, но и научились проводить простейшие исследования, наблюдать, сравнивать, анализировать, выдвигать гипотезы и делать выводы. Думаем, что нам это пригодится не только при дальнейшем изучении математики и при изучении других наук, но и в жизни: при строении дома, при разбивке газонов. 1.Азевич   А.И.   Двадцать   уроков   гармонии:   гуманитарно­математический   курс.   ­   М.: Литература Школа­пресс, 1998 2. Виленкин Н.Я, В.И.Жохов и др) Математика, 6 класс 3. Волошинов А.В. Математика и искусство. М., 1992. 4.  Мурадова   Р.   Обобщающий   урок   по   теме   «Золотое   сечение».   //   Математика (Приложение к газете «Первое сентября»). ­ 1999. № 1.  5. Пидоу Д. Геометрия и искусство. – М.: Мир, 1989.  16 6. Самохвалова В.И. Красота против энтропии. М., 1990.  7. Энциклопедический словарь юного математика –М.,1989 г  8. Журнал “Квант”, 1973, № 8 9.  Журнал “Математика в школе”, 1994, № 2, № 3 Тема  «Золотое сечение» вокруг нас» Автор: Ориничев Борис Евгеньевич,  Ханты­Мансийский Автономный Округ – Югра г. Нефтеюганск Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение: «Средняя общеобразовательная школа № 14», 7Б класс 17 ПРИЛОЖЕНИЕ Приложение I Приложение II 18 19 Приложение III 20 Приложение IV 21 Приложение Y 22 23 Приложение YI 24 Приложение YII 25 26 Приложение YIII

Исследовательский проект «Золотое сечение вокруг нас» Оглавление

Исследовательский проект

«Золотое сечение

вокруг нас»

Оглавление.

1. Вступление…………………………………………………….3

2. Глава1 . История золотого сечения

Золотое сечение в математике. …………………………….5

3. Глава 2. Золотое сечение в искусстве…………………….….7

4. Глава 3. Золотое сечение в природе……………………..…..10

5. Глава 4. Золотое сечение вокруг нас………………….……..11

6. Глава 4. Эксперимент…………………………………………14

7. Заключение……………………………………………………..15

8. Литература……………………………………………………..15

9. Приложение ……………………………………………..……16

Вступление.

«Геометрия обладает двумя великими

                                       сокровищами. Первое — это теорема Пифагора,

                                       второе — деления отрезка в крайнем и среднем

                                        отношениях. Первое сравнимо с мерой золота,

второе же больше напоминает драгоценный камень»

                                                                   Иоганн Кеплер

Рассматривая на уроке математики тему «Пропорция» учитель привел примеры золотого сечения, назвав ее «божественной пропорцией». Увлекшись этой темой, я узнал, что «Божественной пропорцией» золотое сечение назвал средневековый итальянский математик Лука Пачоли, написав книгу о золотом сечении, которую так и назвал «Божественная пропорция». По его мнению, даже Бог использовал принцип золотого сечения для создания Вселенной.

Золотое сечение встречается везде: в искусстве, природе, окружающем нас мире. Тема интересна и современна, она не потерялась во времени. И поэтому является темой моего исследования.

В моем выборе меня поддержали родители и учитель математики. В исследовательской работе мы постарались эту тему изучить подробнее, доказать присутствие золотого сечения в окружающем нас мире.

Что же такое – «золотое сечение»?

Гипотеза: «Золотое сечение» — гармоническая пропорция.

Объект исследования: репродукции картин, фотографии и рисунки знаменитых архитектурных сооружений, скульптур, современные строения и окружающий нас мир.

Предмет исследования: форма и строение исследуемых предметов.

Цель: Показать, что великое открытие – ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ, пройдя множество веков живо, актуально и востребовано по сей день.

Задачи работы:

1. Мы попытаемся проанализировать историю «золотого сечения».

2. Мы исследуем репродукции картин знаменитых художников, архитектурных сооружений и скульптур на предмет «золотого сечения».

3. Мы попробуем найти «золотое сечение» в природе и окружающем нас мире.

4. Проведем эксперимент на выявление предпочтения пропорциям «золотого сечения».

Новизна исследования: раскрытие учащимся нашей школы понятия «золотого сечения» в окружающем нас мире.

Ход исследования:

1. Подобрать материалы по истории «золотого сечения» в библиотеке и в Интернете.

2. Изучить подобранный материал.

3. Подобрать фотографии и рисунки.

4. Найти «золотое сечение» в окружающем нас мире.

5. Провести эксперимент и проанализировать собранный материал.

6. Сделать выводы.

Практическая значимость:

1. Использование приобретенных знаний и навыков исследовательской работы при изучении геометрии, биологии, изобразительного искусства, истории, астрономии.

2. Использование работы при составлении стенда: «Золотое сечение вокруг нас» в кабинете математики.

Методы исследования: наблюдение, измерение, анализ, эксперимент.

Умения и навыки: подбирать необходимую литературу и делать выводы по собранной информации, работать в Интернете, проводить эксперимент, оформлять работу.

Глава1 . История золотого сечения. Золотое сечение в математике.

Золотое сечение – это такое пропорциональное деление отрезка на неравные части, при котором весь отрезок так относится к большей части, как сама большая часть относится к меньшей; или другими словами, меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему. a : b= b : c или с : b= b : а.

Обозначаемое греческой буквой «фи» (φ), золотое сечение выражается числом

͌ 0, 618 (обратное ему 1,618) и обладаем рядом любопытных свойств. φ – первая буква в имени великого древнегреческого скульптора Фидия, который часто использовал золотое сечение в своих произведениях, а термин ввел великий художник, ученый и изобретатель Леонардо да Винчи (1452-1519)

История “Золотого сечения” — это история человеческого развития мира.

Принято считать, что понятие о золотом сечении ввел в научный обиход Пифагор, древнегреческий философ и математик (VI в. до н.э.). Есть предположение, что Пифагор и его ученики свое знание золотого сечения позаимствовали у египтян и вавилонян. И действительно, пропорции пирамиды Хеопса, храмов, предметов быта свидетельствуют, что египетские мастера пользовались соотношениями золотого сечения при их создании.

Греки были искусными геометрами. Даже арифметике обучали своих детей при помощи геометрических фигур. Вся древнегреческая культура развивалась под знаком золотой пропорции. Греки первые установили: пропорции хорошо сложенного человеческого тела подчиняются ее законам, что особенно хорошо видно на примере античных статуй (Аполлон Бельведерский, Венера Милосская). Античный Парфенон — исполнены гармонии золотой пропорции. В наши дни интерес к золотой пропорции возрос с новой силой. Рассмотрим основные геометрические фигуры, в которых присутствует «золотое сечение».

Числа Фибоначчи и золотое сечение.

В 1202 г вышел в свет его математический труд “Книга об абаке” (счетной доске), в котором были собраны все известные на то время задачи. Одна из задач гласила “Сколько пар кроликов в один год от одной пары родится”. Размышляя на эту тему, Леонардо Фибоначчи выстроил такой ряд цифр:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, и т.д.
Он известен, как ряд Фибоначчи. Особенность последовательности чисел состоит в том, что каждый ее член, начиная с третьего, равен сумме двух предыдущих 2 + 3= 5; 3 + 5= 8; 5 + 8= 13, 8 + 13= 21; 13 + 21= 34 и т.д., а если разделить каждое из них на предыдущее, то получится: 1:1=1; 2:1=2; 3:2=1,5; 5:3=1,666 666; 8:5=1,6; 13:8=1,625; 21:13=1,615384… Если делить все большие и большие числа Фибоначчи, то можно приблизиться к отношению золотого сечения. Несмотря на то , что книга была опубликована в 1202 году числа Фибоначчи, привлекают математиков до сих пор.

Золотое сечение в математике.

	«Золотой» равнобедренный треугольник. Это равнобедренный треугольник, отношение боковой стороны к основанию равно 1,618
	«Золотой» прямоугольный треугольник. Прямоугольный треугольник, в котором стороны относятся как 1,618:√1,618: 1, называется «золотым» прямоугольным треугольником.
	«Золотой» прямоугольник . Длина такого прямоугольника больше его ширины примерно в 1,618 раз
	Пентаграмма — правильный пятиугольник. Точки пересечения диагоналей в пентаграмме всегда являются точками золотого сечения диагоналей. При этом эти точки образуют новую пентаграмму FGHKL. В новой пентаграмме можно провести диагонали, пересечение которых образуют новую пентаграмму.

Глава 2. Золотое сечение в искусстве.

Золотое сечение в картине И. И. Шишкина»Сосновая роща»

	На знаменитой картине И. И. Шишкина с очевидностью просматриваются мотивы золотого сечения. Ярко освещенная солнцем сосна (стоящая на первом плане) делит длину картины по золотому сечению. Справа от сосны — освещенный солнцем пригорок. Он делит по золотому сечению правую часть картины по горизонтали. Наличие в картине ярких вертикалей и горизонталей, делящих ее в отношении золотого сечения, придает ей характер уравновешенности и спокойствия.
Картина Н.Н. Ге «Александр Сергеевич Пушкин в селе Михайловском».
	В этой картине фигура Пушкина также поставлена художником слева на линии золотого сечения. Голова военного, с восторгом слушающего чтение поэта, находится на другой вертикальной линии золотого сечения.
Золотое сечение в картине Леонардо да Винчи «Джоконда»
	Портрет Моно Лизы привлекает тем, что композиция рисунка построена на»золотых треугольниках» (точнее на треугольниках, являющихся кусками правильного звездчатого пятиугольника)

Статуя Аполлона Бельведерского Статуя Венеры Милосской

Известно, что знаменитая скульптура создана по принципу золотого сечения. Точка С делит отрезок AD, точка В делит отрезок АС в отношении приближенно равно 1,618.

Парфенон (древнегреческая архитектура)

Древние греки Иктинас, Колликрэйтс, и Фидиас, совместно создали Парфенон, в Афинах приблизительно в 440 г. до нашей эры. Если фасад Парфенона вписать в прямоугольник, то стороны прямоугольника образуют золотое сечение. Длина прямоугольника больше его ширины примерно в 1,6 раза.

Великая Пирамида фараона Хеопса

Среди грандиозных пирамид Египта особое место занимает Великая Пирамида фараона Хеопса (Хуфу). Гениальные создатели египетских пирамид стремились поразить далеких потомков глубиной своих знаний, и они достигли этого, выбрав в качестве «главной геометрической идеи» для пирамиды Хеопса — «золотой» прямоугольный треугольник.

Застывшая музыка русских храмов

Трудно найти человека, который бы не знал и не видел собора Василия Блаженного на Красной площади Москвы. Для композиции построек собора характерно гармоническое сочетание симметричных и асимметричных пропорций. Храм, симметричный в своей основе, содержит много геометрических «неправильностей». Так, центральный объем шатра смещен на 3 м к западу от геометрического центра всей композиции. Однако неточность делает композицию более живописной, «живой» и она выигрывает в целом. Для архитектурного убранства собора характерно нарастание декоративных форм ввысь; формы вырастают одна из другой, тянутся вверх, подымаясь то крупными элементами, то образуя группы, состоящие из более мелких декоративных частей.

Исследователи обнаружили в нем пропорцию, основанную на ряде золотого сечения:

1: 0,618:0,618²:0,618³:0,618⁴:0,618⁵:0,618⁶:0,618⁷

Пентаграмма и «Пентагон»

Пентаграмма вызывала особое восхищение у пифагорейцев и считалась их главным опознавательным знаком.

Здание военного ведомства США имеет форму пентаграммы и получило название «Пентагон», что значит правильный пятиугольник.

Изучив литературу по данной теме, мы пришли к выводу, что издревле людей интересовала «золотая пропорция». Мы так же узнали, что люди давно использовали «золотую пропорцию» на практике при строительстве различных домашних строений и храмов, использовали при изготовлении домашней утвари, применяли при создании механизмов, которые облегчали труд человека. В этой главе мы привели наиболее интересные, по-нашему мнению, примеры , связанные с золотым сечением.

Глава 3. Золотое сечение в природе.

Изучив литературу, мы узнали, что у многих бабочек соотношение размеров грудной и брюшной части тела отвечает золотой пропорции. Сложив крылья, ночная бабочка образует правильный равносторонний треугольник. Но стоит развести крылья, и вы увидите тот же принцип членения тела на 2,3,5,8. Стрекоза также создана по законам золотой пропорции: отношение длин хвоста и корпуса равно отношению общей длины к длине хвоста.

В ящерице с первого взгляда улавливаются приятные для нашего глаза пропорции – длина ее хвоста так относится к длине остального тела, как 62 к 38. Можно заметить золотые пропорции, если внимательно посмотреть на яйцо птицы. В природе встречается «пентагональная» симметрия»:

китайская роза яблоко в разрезе морская звезда кактус

Мы узнали, что человеческое тело создано по законам золотого сечения. Оказывается, талия делит совершенное человеческое тело в отношении золотого сечения. Ученые обнаружили, что для взрослых мужчин это отношение

равно в среднем примерно 13/8 = 1,625, а для взрослых женщин оно составляет 8/5 = 1,6. Так что пропорции мужчин ближе к «золотому сечению», чем пропорции женщин (однако женщина в обуви на каблуках может оказаться ближе к «золотым» пропорциям). У новорожденного пропорция составляет отношение 1 : 1, к 13 годам она равна 1,6, а к 21 году у мужчин равняется 1,625. Пропорции золотого сечения проявляются и в отношении других частей тела — длина плеча, предплечья и кисти, кисти и пальцев..

Таким образом, природа подчиняется принципу «золотой пропорции» (строение человеческого тела, ящерицы, бабочки, листья и цветы многих растений и т.д.).

Глава 4. Золотое сечение вокруг нас

Мы исследовали окружающий нас мир на наличие золотого сечения. И нашли много интересных фактов, подтверждающих, что золотое сечение живет рядом с нами.

	Мемориал Памяти с. Ребриха Высота солдата относится к высоте девочки приблизительно равно 1,66
	Районный краеведческий музей. Отношение длины здания к высоте приблизительно равно 1,53
	Ст. Ребриха Ул. Касмалинская Высота дома относится к его длине как: 1,77
	Высота изображенных лошадей относится к длине изображенных лошадей, как: 1,7
Рис. 1 Рис. 2 Рис.3	Мы исследовали расположение листьев комнатных растений вдоль стебля и измерили расстояние между листьями, нашли отношения соответственных расстояний (рис.1) Такой же принцип роста мы обнаружили и у других растений. На данных фотографиях показано, что точка В делит отрезок АС в отношении : 1,4 (рис.1), и 1,3(рис.2)

Исследуем ученика 6 класса:

Таблица№1. Золотое сечение и человек Части тела Отношение Результат Длина предплечья и кисти 27 : 16,5 ͌ 1,636 Талия и длина тела 91: 57 ͌ 1,596 Длина кисти и пальцев 16,5:9,5 ͌ 1,73

Из таблицы видно, что пропорции тела приближены к золотому сечению, но до идеальной пропорции необходимо еще расти.

Исследуем Солнечную систему

Листая справочные материалы и энциклопедии, мы обнаружили таблицы с характеристиками планет солнечной системы (приложение1). И решили проверить солнечную систему на содержание золотого сечения. К нашему удивлению, мы ее обнаружили. Данные приводим в таблице №2

Таблица№2.

Планеты	Отношение расстояний от Солнца до планет	Отношение больших полуосей орбит
Венера-Меркурий	1,87	1,57
Земля-Венера	1,38	1,4
Марс-Земля	1,52	1,61
Юпитер-Марс	3,41	3,28
Сатурн-Юпитер	1,83	1,85
Уран-Сатурн	2,01	1,99
Нептун-Уран	1,57	1,51
Плутон-Нептун	1,32	1,62
Среднее арифметическое	1,86	1,85
Среднее арифметическое с планетой Фаэтон	1,65	1,65

Заметим, что отношение между планетами Марсом и Юпитером заметно отличается от других. Практически в два раза. В литературе указано, что между этими планетами находится пояс астероидов. Меня заинтересовал этот вопрос. Рассмотрев различные источники информации, оказалось, что немецкий физик и математик И. Тициус в 1766 году нашел числовую закономерность в расстояниях планет от Солнца. Согласно этому

правилу, между орбитами Марса и Юпитера должна была существовать какая-то планета. Считается, что древние греки называли ее Фаэтон и ее орбита находилась между орбитами Марса и Юпитера. До сих пор идут споры о ее существовании.

Мы, полагаясь на данную таблицу (среднее арифметическое отношение расстояний планет от Солнца, включая планету Фаэтон- равно 1,6 ) — считаем, что планета была!!!

Глава 4. Эксперимент

В этой главе мы проводим эксперименты на выявление предпочтения пропорциям «золотого сечения» учениками нашей школы.

Эксперимент №1. Мы попросили испытуемых выбрать среди 11 прямоугольников наиболее привлекательный, причем лишь два из них являются золотыми . Данные приводим ниже в таблице №3. Таблица №3

Класс	Кол-во опрошенных	Кол-во человек, которые выбрали золотой прямоугольник	% выбора золотых прямоугольников учениками	% золотых прямоугольников первоначально 2:11
5-6	27	8	27%	18%
9,11	14	6	42%	18%

Из таблицы видно, что выбор золотого прямоугольника увеличился у старшеклассников.

Эксперимент №2. Мы предложили ученикам 5-6 классов (всего 17 человек), побыть немного художниками и изобразить горизонт будущей своей картины. При подсчете итогов, заметили, что линия горизонта делит на всех рисунках в среднем ͌ 1,65.

Эксперименты подтвердили, что большее предпочтение отдается золотым пропорциям.

Заключение.

Тема «Золотое сечение вокруг нас» интересна и современна, она не потерялась во времени. Золотое сечение, действительно, можно называть «Божественной пропорцией». Оно, не только окружает нас вокруг и распространено в Солнечной системе, но и события, происходящие с нами, тоже происходят согласно золотой пропорции. Например, возрастные кризисы людей. В обществознании есть закон уплотнения истории – с каждым новым этапом скорость развития общества увеличивается. Эта тема отдельной исследовательской работы.

Важным результатом изучения данной темы является, то, что принцип золотого сечения используется везде: в искусстве, науке, природе, человеке, гармонично объединяя весь в мир в единое целое. Накопленный материал, пригодиться в дальнейшей исследовательской работе. Можно подробнее изучить на предмет золотого сечения здания, находящиеся на территории Ребрихинского района. Не менее увлекательным будет для старшеклассников путешествие в мир золотого сечения в математике.

Литература.

1. Еженедельная учебно-методическая газета «Математика» №13, 2008 г.- Издательский дом «Первое сентября» гл. ред. А.Соловейчик.

2. Я познаю мир: Математика: Дет. энцикл./авт.сост.А.П.Савин,2004.

3. Что мы знаем о планетах. Мн., «Народная асвета», 1977г

4. Земля / Пер. с ит. И.Горелой; — М.:ЗАО «Планета детства», 2001

5. Лэнгдон Н, Снейп Ч. С математикой в путь: Пер. с англ.-М.:Педагогика, 1987

6. Большая серия знаний. Изобразительное искусство. –М.:ООО «ТД «Издательство Мир книги», 2005.

7. Большая серия знаний. Вселенная. –М.:ООО «ТД «Издательство Мир книги», 2005.

8. /

9. /konkurs/tarhov/russian/stages.htm

Исследовательская работа «Золотое сечение» Выполнила ученица маоу «Лицей №1»

Муниципальное автономное общеобразовательное учреждение

«Лицей№1»

городского округа город Стерлитамак

Республики Башкортостан

Исследовательская работа

«Золотое сечение»

Выполнила ученица МАОУ «Лицей №1»

Даукаева Эльмира

Учитель математики

Сологуб Оксана Викторовна

2015
Оглавление

Введение

1. 
   История золотого сечения
   
   1. 
      Понятие золотого сечения
      
   2. 
      Золотые пропорции в теле человека
      
2. 
   Мои исследования
   
   1. 
      Золотые пропорции на руке человека
      
3. 
   Заключение
   
4. 
   Список литературы
   
5. 
   Приложения
   

Введение

Разбирая макулатуру у своего учителя математики, мы наткнулись на работу 2003 года «Золотое сечение», в ходе которой девочки выясняли, у кого ладонь ближе всего соответствует принципам золотого сечения. Нам тоже захотелось это выяснить.

Возьмем линейку и измерим длину трех фаланг среднего пальца ладони. Поделив эти числа на длину первой фланги, мы с поразительной точностью обнаружим 4 члена ряда золотого сечения: Ф₁ =1, 618, Ф₂=2,618, Ф₃=4,234. Но что такое «золотое сечение», как оно получилось, кто его изобрел?

Целью данной работы является выяснить, проявляются ли пропорции золотого сечения в отношении кисти и пальцев.

Задачи:

1. 
   изучение истории золотого сечения,
   
2. 
   пропорции в теле человека,
   
3. 
   обнаружить на своих руках (если они есть) золотые пропорции
   

История золотого сечения

Золотое сечение – это такое деление целого числа на части, при котором большая часть относится к целому, как меньшая к большей. В геометрии золотое сечение называется так же делением отрезка в крайнем и среднем отношении.

Древнейшим литературным памятником, в котором встречается деление отрезка в отношении золотого сечения, являются «Начала» Евклида «3 в. До. н.э.». Уже во второй книге «Начала» Евклид строит золотое сечение, а в дальнейшем применяет его для построения некоторых правильных многоугольников и многогранников.

Но золотое сечение было известно и до Евклида. В частности, знали о нём Пифагор и его ученики (6 в. до. н. э). В философской школе гармонии Пифагора, пифагорейцы пришли к выводу, что качественные отличия звуков обусловлены количественными различиями между длинами струн. Это вдохновило их, и они постарались пойти дальше – выразить все закономерности мира через числа, пологая, что в основу мирового порядка бог положил именно число. Потому пифагорейцы в числах и их отношениях «а последнее рассматривались как отношения отрезков» искали магическое, сверхъестественное. И в геометрии не обошлось без мистики. Здесь особо следует заметить любовь пифагорейцев к звездчатому пятиугольнику, составленному из диагоналей правильного пятиугольника.

Известный математик и историк математики Ван дер Вандер в своей превосходной книге «Пробуждающая наука» писал «… эта фигура, символ здоровья, служила опознавательным знаком для пифагорейцев. Когда на чужбине один из них лежал на смертном одре и не мог заплатить человеку, который ухаживал за ним вплоть да его кончины, то он велел ему изобразить на своём жилище звёздчатый многоугольник; если когда-нибудь мимо пройдёт пифагореец, то он не переменяет осведомится об этом.

Действительно, несколько лет спустя один пифагореец увидел этот знак, и хозяин дома получил богатое вознаграждение». Звёздчатый пятиугольник для нас интересен в первую очередь тем, что каждая из 5 линий, составляющих эту фигуру, делит другую в отношении золотого сечения.

В самом деле, т.к. ∆АСД подобен ∆АВЕ, то АС: АВ=АД: АС. Но АД=ВС, а АЕ=АС, и поэтому АС: АВ=ВС: АС – уже известная нам пропорция золотого сечения. Именно это свойство звёздчатого пятиугольника и могли использовать пифагорейцы для построения правильного пятиугольника, ибо строить золотое сечение они, безусловно, умели.

К началу эпохи Возрождения усилился интерес к золотому сечению. Он был вызван, в первую очередь, многочисленными применениями злотого сечения как в самой геометрии, так и в искусстве, особенно в архитектуре. Следствием этого явилось появление книги «Божественная пропорция», автором которой был крупнейший математик 15 века итальянец Лука Пачоли. В своём труде он приводит 13 свойств золотого сечения, которое он снабжает такими эпитетами, как «исключительное», «несказанное», «превосходнейшее», «замечательное», «сверхъестественное», и т. д. Впрочем, название книги само говорит об отношении автора к описываемому предмету. Небезынтересно, что иллюстрировал книгу один из инициаторов её написания, друг Пачоли, великий Леонардо да Винчи. Между прочим, именно он ввел термин «золотое сечение».

Свойства :

1.1∕ ≈ −1 то есть 1∕1,618≈1,618−1

2. ² ≈ +1  то есть 1,618∙1,618≈2,618=1,618+1

Эти свойства имеют многогранные применения. На основе идеи золотого сечения существуют различные фигуры, содержащие эту пропорцию. Аналогично названию пропорции, их называют «золотые фигуры». Каждая такая фигура обязательно содержит пропорцию Фидия. Слово «пропорция» ввёл в употребление Цицерон в I веке до н. э., переведя на латынь платоновский термин «аналогия», который означал «соотношение».

Множество архитектурных шедевров построено на пропорции золотого сечения. Эта же пропорция лежит в основе многих бессмертных творении Фидия, Тициана, Леонардо да Винчи, Рафаэля. Отдали дань золотому сечению и поэты, и композиторы. На золотом сечении строили многие свои произведения, свои выдающиеся композитор Бела Барток, гениальный грузинский поэт Шота Руставели, по исследованиям академика Григория Васильевича Церетели, в основе строения поэмы «Витязь в тигровой шкуре» положил симметрию и золотое сечение.
Понятие золотого сечения

Золотое сечение находится всюду, в совершенно различных цивилизациях, отдалённых друг от друга тысячелетием: в усыпальнице Хеопса в Древнем Египте, в храме Парфенона в Древней Греции, в Баптистерии эпохи Возрождения в Пизе и в храме Покрова на Нерли, в Ленинградском адмиральстве и в ультрасовременных сооружениях Ле Корбюзье.

Деление отрезка в крайнем и среднем отношении называется – золотое сечение. Другое название – «золотая пропорция».

С:В = В:С

Золотое сечение — такое пропорциональное деление отрезка на неравные части, при котором весь отрезок так относится к большей части, как сама большая часть относится к меньшей; или другими словами, меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему отрезку.

А = С — В

В : С=(С-В):А

В пропорции произведение крайних членов равно произведению средних.

В² + СВ-С² = 0

Длина отрезка выражается положительным числом, поэтому после преобразований

В= — (С+√5С ²) /2 или В=(√5-1)/2-С

Число (√5-1)/2 обозначается буквой в честь древнегреческого скульптора Фидия , в творениях которого это число встречается многократно.

Число — иррациональное. В практике его используют, округляя до тысячных 1,618 или сотых 0,62 или десятых 0,6.

Частота золотого сечения приблизительно составляет 62% и 38% всего отрезка.

Древние математики обнаружили, что золотое сечение можно получить при помощи геометрии, и потом применять в любом масштабе, даже для строительства пирамид.

Золотой прямоугольник

Золотой прямоугольник – прямоугольник, у которого отношение смежных сторон дает пропорцию Фидия. А форму «золотого сечения» придавали книгам, столам и т. д. «Золотой прямоугольник» обладает интересными свойством: если от него отрезать квадрат, то останется вновь «золотой прямоугольник». Так можно продолжать до бесконечности. Если провести диагональ первого и второго прямоугольников, то точка О их пересечения принадлежит всем получаемым «золотым прямоугольникам».

Произведения в искусстве значительно улучшены с использованием знания Золотого прямоугольника. Притягательность его ценности и употребления были особенно сильны в древнем Египте и Греции и во времена Ренессанса, т.е. во всех важных периодах цивилизации. Леонардо да Винчи придавал огромное значение золотой пропорции. Он также находил ее приятной в своих соотношениях и говорил: «Если предмет не имеет правильного облика, он не работает». Многие из его картин обладают правильным обликом, потому что он использовал золотое сечение для того, чтобы усилить их привлекательность
Золотые пропорции в теле человека

Великий астроном XVI в. Иоган Kеплер впервые обращает внимание на значение золотой пропорции для ботаники: тенденция природы к спиральности. Кеплер называл золотую пропорцию продолжающей саму себя «Устроена она так, – писал он, – что два младших члена этой нескончаемой пропорции в сумме дают третий член, а любые два последних члена, если их сложить, дают следующий член, причем та же пропорция сохраняется до бесконечности».

В последующие века правило золотой пропорции превратилось в академический канон и, когда со временем в искусстве началась борьба с академической рутиной, в пылу борьбы «вместе с водой выплеснули и ребенка». Вновь «открыто» золотое сечение было в середине XIX в.

В 1855 г. немецкий исследователь золотого сечения профессор Цейзинг опубликовал свой труд «Эстетические исследования». Он абсолютизировал пропорцию золотого сечения, объявив ее универсальной для всех явлений природы и искусства. Противники Цейзинга объявили его учение о пропорциях «математической эстетикой». Цейзинг проделал колоссальную работу. Он измерил около двух тысяч человеческих тел и пришел к выводу, что золотое сечение выражает средний статистический закон. Деление тела точкой пупа — важнейший показатель золотого сечения. Пропорции мужского тела колеблются в пределах среднего отношения 13:8 = 1,625 и несколько ближе подходят к золотому сечению, чем пропорции женского тела, в отношении которого среднее значение пропорции выражается в соотношении 8:5 = 1,6. У новорожденного пропорция составляет отношение 1:1, к 13 годам она равна 1,6, а к 21 году равняется мужской. Пропорции золотого сечения проявляются и в отношении других частей тела — длина плеча, предплечья и кисти, кисти и пальцев и т.д.

Справедливость своей теории Цейзинг проверял на греческих статуях. Наиболее подробно он разработал пропорции Аполлона Бельведерского. Подверглись исследованию греческие вазы, архитектурные сооружения различных эпох, растения, животные, птичьи яйца, музыкальные тона, стихотворные размеры. Цейзинг дал определение золотому сечению, показал, как оно выражается в отрезках прямой и в цифрах. Когда цифры, выражающие длины отрезков, были получены, Цейзинг увидел, что они составляют ряд Фибоначчи, который можно продолжать до бесконечности в одну и в другую сторону. Следующая его книга имела название «Золотое деление как основной морфологический закон в природе и искусстве». В 1876 г. в России была издана небольшая книжка, почти брошюра, с изложением этого труда Цейзинга. Автор укрылся под инициалами Ю.Ф.В. В этом издании не упомянуто ни одно произведение живописи.

Все кости человека выдержаны в пропорции золотого сечения. Пропорции различных частей нашего тела составляют число, очень близкое к золотому сечению. Если эти пропорции совпадают с формулой золотого сечения, то внешность или тело человека считается идеально сложенными. Если принять центром человеческого тела точку пупа, а расстояние между ступней человека и точкой пупа за единицу измерения, то рост человека эквивалентен числу 1,618.

Расстояние от уровня плеча до макушки головы и размера головы равно 1:1,618Расстояние от точки пупа до макушки головы и от уровня плеча до макушки головы равно 1:1,618.

Расстояние точки пупа до коленей и от коленей до ступней равно 1:1,618.

Расстояние от кончика подбородка до кончика верхней губы и от кончика верхней губы до ноздрей равно 1:1,618.

 Собственно точное наличие золотой пропорции в лице человека и есть идеал красоты для человеческого взора.    Расстояние от кончика подбородка до верхней линии бровей и от верхней линии бровей до макушки равно 1:1,618.

Расстояние от кончика подбородка до верхней линии бровей и от верхней линии бровей до макушки равно 1:1,618.

Высота лица / ширина лица. Центральная точка соединения губ до основания носа / длина носа. Высота лица / расстояние от кончика подбородка до центральной точки соединения губ. Ширина рта / ширина носа. Ширина носа / расстояние между ноздрями. Расстояние между зрачками / расстояние между бровями

   Достаточно лишь приблизить сейчас вашу ладонь к себе и внимательно посмотреть на указательный палец, и вы сразу же найдете в нем формулу золотого сечения. Каждый палец нашей руки состоит из трех фаланг. Сумма двух первых фаланг пальца в соотношении со всей длиной пальца и дает число золотого сечения (за исключением большого пальца). Кроме того, соотношение между средним пальцем и мизинцем также равно числу золотого сечения. У человека 2 руки, пальцы на каждой руке состоят из 3 фаланг (за исключением большого пальца). На каждой руке имеется по 5 пальцев, то есть всего 10, но за исключением двух двухфаланговых больших пальцев только 8 пальцев создано по принципу золотого сечения. Тогда как все эти цифры 2, 3, 5 и 8 есть числа последовательности Фибоначчи. Также следует отметить тот факт, что у большинства людей расстояние между концами расставленных рук равно росту.

Мои исследования

Нами были проведены эксперименты 2003 года

Для этого провели 3 эксперимента.

Первый заключался в том, что используемым показывали 3 отрезка

А) делился пополам

Б) точка деления бралась близко к одному из концов отрезка;

В) точка деления взята в золотом отношении. Х/а= «а-х» /х

№	2003		2015
А	18	44%	20	32,3%
Б	10	24%	24	38,7%
В	13	32%	18	29%
	41	100%	62	100%
	2 место		3 место

«Золотой отрезок» поставили на 3 место в 2015 году

Второй эксперимент заключался в том, что испытуемым показывали 3 прямоугольника, один из которых «золотой».

№	2003		2015
А	14	34%	25	40,3%
Б	15	36,5%	25	40,3%
В	12	29,5	12	19,4%
	41	100%	62	100%
	2 место		1 место

Математика и искусство 9 Класс

Региональный этап Российской научной конференции

школьников «Открытие»

Исследовательская работа

Выполнена ученицей

Махнёвой Екатериной Сергеевной

Научный руководитель —

учитель математики

Засосна, 2013

Стр.

1. Введение 3

2. Основная часть 5

1. Теоретическая часть работы 5

1. Виды искусств 5

2. Симметрия в архитектуре 6

3. Математика и музыка 7

4. Математика и литература 7

5. Математика и живопись 8

2. Практическая часть работы 8

1) создание презентации «Математика и искусство»

3. Заключение 9

4. Список использованной литературы. 10

5. Список приложений 11

Введение

Исследовательская работа посвящена обнаружению взаимосвязи между математикой и искусством. В ней рассматривается этапы становления математики и искусства, открытия Пифагора, повлиявшие на развитие эстетической математики (закон консонансов, золотые пропорции в пентаграмме). Также изучен фундаментальный принцип симметрии, на котором построен союз математики и искусства. Охарактеризованы современные тенденции развития взаимосвязи математики и искусства через трансдисциплинарную науку – синергетику.

Актуальность проекта

Проведя опрос среди учащихся 9, 11 классов было выявлено, что учащиеся считают математику далекой от искусства, никак не связанной с ним и поэтому не достойной для серьезного увлечения ею.

Исходя из этого я пришла к выводу, что большая часть людей просто не хочет замечать связи математики и искусства, и не считает ее значимой в силу сложившихся на протяжении жизни стереотипов.

Поэтому мною было принято решение продемонстрировать на примерах ошибочность мнения о скучности математики и ее законов, о малой практической применимости в искусстве законов математики и ее свойств. Показать, что без математики не обойтись ни в одном деле, что она окружает нас везде: в школе, дома, на работе, в офисе. Показать, что очень многим мы обязаны математике.

Новизна проекта

Новизна моего исследования состоит в том, что я попыталась показать связь математики с различными видами искусства.

Практическая значимость проекта

заключается в следующем:

— в результате привлечения внимания учащихся к математике должна возрасти их заинтересованность в данном предмете, что несомненно может способствовать повышению успеваемости учащихся.

Цель проекта

Исследование связи математики и различных видов искусства, исследование практики её применения в различных сферах жизнедеятельности.

Гипотеза

Если изучить происхождение математики и искусства, свойства, их определяющие, можно обнаружить их взаимосвязь.

Задачи

Для достижения заданной цели необходимо решить следующие задачи:

1) изучить методическую, научно-популярную и тематическую литературу.

2) используя литературу выбрать комплекс наиболее интересных и увлекательных примеров связи математики и искусства.

Объект исследования: математика и искусство

Предмет исследования: совокупность математических методов и моделей, применяемых в различных сферах жизнедеятельности.

Методы исследования: изучение и использование научно- публицистических и учебных изданий, метод сопоставления, аналитический метод.

Направление работы:

* выбор проблемы, источников литературы, составление плана;

* работа с литературой и другими источниками;

* обработка полученных данных;

* анализ результатов, формулирование вывода;

* мультимедийная подготовка.

Основные этапы проекта: подготовительный, деятельностный, ход исследования, рефлексивный, аналитический, презентационный.

Теоретическая часть работы

Нельзя не согласиться со словами Галиле́о Галиле́й , что

Издавна нам известно, что математика – царица всех наук, символ мудрости. Красота математики среди наук недосягаема, а красота является одним из связующих звеньев науки и искусства. Это не только стройная система законов, теорем и задач, но и уникальное средство познания красоты.

Искусство – творческое отражение, воспроизведение действительности в художественных образах. Искусство существует и развивается как система взаимосвязанных между собой видов, многообразие которых обусловлено многогранностью самого реального мира, отображаемого в процессе художественного творчества. Конечно же, все законы красоты невозможно вместить в несколько формул. Но, изучая математику, мы открываем всё новые и новые слагаемые прекрасного, приближаясь к пониманию, а в дальнейшем и к созданию красоты и гармонии. Искусство, наука, красота… эти великие сферы человеческой деятельности, внешне столь разные и далёкие друг от друга, тесно переплетены между собой незримыми узами! И разорвать эти узы нельзя, не повредив и тому и другому. Красота является самым крепким связующим звеном между наукой и искусством!

Виды искусств

Я выяснила, что наиболее распространённой схемой является деление искусства на три группы.

1. Пространственные или пластические виды искусств: изобразительное искусство, декоративно – прикладное искусство, архитектура, фотография.

2. Временные или динамические виды искусств: музыка, литература.

3. Пространственно – временные виды, которые называются также синтетическими или зрелищными искусствами: хореография, театральное искусство, киноискусство.

Существование различных видов искусств вызвано тем, что ни одно из них своими собственными средствами не может дать художественную всеобъемлющую картину мира. Такую картину может создать только вся художественная культура человечества в целом, состоящая из отдельных видов искусства.

Красота скульптуры, храма, картины, симфонии, поэмы… Что между ними общего?

Разве можно сравнивать красоту храма с красотой музыки? Оказывается можно, если будут найдены единые критерии прекрасного, если будут открыты общие формулы красоты, объединяющие понятие прекрасного самых различных объектов.

Возникает вопрос: существуют ли объективные законы прекрасного?

* Нельзя отрицать заглавную роль симметрии в природе, которая обязана своим

существованием вечному закону природы – закону тяготения.

* В основе основ музыки и архитектуры – гамме и пропорции – лежит математика,

В частности ряд золотого сечения и модулой.

Ле Корбюзье

* В изобразительном искусстве используется общая теория перспективы.

«Симметрия, как бы широко или узко мы не понимали это слово, есть идея, с помощью которой человек пытался объяснить и создавать порядок, красоту и совершенство»

Герман Вейль

К фундаментальным понятиям симметрии относятся плоскость симметрии, ось симметрии, центр симметрии. Плоскостью симметрии называется такая плоскость, которая делит фигуру на две зеркально равные части, расположенные друг относительно друга так, как предмет и его зеркальное отражение.

Принцип «симметрии» широко используется в искусстве. Бордюры в архитектурных и скульптурных произведениях, орнаменты в прикладном искусстве, — все это примеры использования симметрии.

Принцип симметрии очень часто используется совместно с принципом «золотого сечения».

Геометрия орнаментов, бордюров, паркетов

Орнаментальное искусство одно из самых древних. С орнаментами мы встречаемся повсюду: в декоративно-прикладном искусстве, в росписях архитектурных сооружений, в чугунных решётках, окаймляющих сады, парки, дворцы. Орнамент – это узор, состоящий из повторяющихся, ритмически упорядоченных элементов. Орнамент, как правило, подчёркивает своим построением и формой архитектурные и конструктивные особенности предмета, природную красоту материала. В построении орнамента используют главным образом принцип симметрии.

Приложение 1.

Симметрия в архитектуре

Симметрия…является той идеей, посредством которой человек на протяжении веков пытался постичь и создать порядок, красоту и совершенство.
Г.Вейль 

Золотое сечение в искусстве

«Геометрия владеет двумя сокровищами – теоремой Пифагора и золотым сечением и если первое можно сравнить с мерой золота, то второе – с драгоценным камнем».

Иоганн Кеплер

Известно, что Сергей Эйзенштейн искусственно построил фильм «Броненосец Потёмкин» по правилам золотого сечения. Он разбил ленту на пять частей. В первых трёх действие развивается на корабле. В двух последних — в Одессе, где разворачивается восстание. Этот переход в город происходит точно в точке золотого сечения.

Да и в каждой части есть свой перелом, происходящий по закону золотого сечения. В кадре, сцене, эпизоде происходит некий скачок в развитии темы: сюжета, настроения. Эйзенштейн считал, что, так как такой переход близок к точке золотого сечения, он воспринимается как наиболее закономерный и естественный.

Приложение 2.

Математика и музыка

Изучая высоту звука с помощью монохорда – простейшего инструмента Древних греков, Пифагор обнаружил поразительные вещи. Выяснилось, что приятные слуху созвучия – консонансы получаются лишь в том случае, когда длины струн, издающих эти звуки, соотносятся как целые числа первой четвёрки, т.е. 1:2, 2:3, 3:4. Это открытие потрясло Пифагора: оказалось, что звук и созвучие могут быть представлены простыми числами.

Великий немецкий композитор XVII века Иоганн Себастьян Бах писал церковную музыку. Позднее уже после его смерти музыканты-исследователи выяснили, что многие мелодии композитора имеют цифровые коды — символы, а произведения точно математически просчитаны.

Французский композитор и музыкальный теоретик Жан Филипп Рамо в своём «Трактате о гармонии», написанном в 1722 году, говорил о том, что «музыка подчинена арифметике», уделял много внимания физико-математическим исследованиям.

Игорь Стравинский, хорошо знавший музыку мастеров эпохи Ренессанса, также находил много общего между математикой и музыкой. «Способ композиторского мышления – способ, которым я мыслю, — мне кажется, не очень отличается от математического», «музыкальная форма математична хотя бы потому, что она идеальна» — эти высказывания Стравинского ярко выражают его убеждения.

Приложение 3.

Математика и литература

«Математик, который не есть отчасти поэт, 

не будет никогда подлинным математиком»

К. Вейерштрасс

Некоторые ошибочно думают — говорила великий русский математик — женщина С. Ковалевская, что математика — это сухая наука. Они смешивают математику с арифметикой, в которой проводятся вычисления, порой трудные и скучные, с числами. Но для того чтобы быть настоящим математиком, добавила С.Ковалевская, нужно быть поэтом в душе.

Поэтами были многие восточные ученые-энциклопедисты средневековья. Достаточно упомянуть лишь таких крупных мусульманских ученых, как Ибн Сина (Авиценна) (X-XI в.), аль-Хайям (XI в.), аль-Беруни (XII в.), Ибн аль-Ясмин (XII в.), Ибн аль-Хаим (XV в.) и Ибн Гази (XV в.). Они сделали много в науке вообще и в математике особенно.

Число 12 олицетворяет, в первую очередь, время: 12 часов (ноль часов) — начало новой эпохи, когда из бури и хаоса возникает новый мир. Так же 12 — это число солдат революции, и, невольно напрашивается ассоциация с двенадцатью апостолами новой, еще непонятной веры. Раскрытию авторской идеи способствует и структура поэмы. Она состоит из 12 глав, а число строк в поэме кратно 12…

Льюис Кэрролл (настоящее имя – Чарлз Латуидж Доджсон).

Научные работы Кэрролла предвосхитили некоторые идеи математической логики. Но больше он известен как автор популярных повестей для детей. Так  в 1865 году он издал сказку «Алиса в стране чудес». Королева Англии, прочитав книгу, пришла в восторг от сказки и приказала срочно приобрести остальные сочинения Кэрролла. И очень удивилась, когда выяснилось, что все остальные произведения Кэрролла — сочинения по высшей математике, сравнительной анатомии, палеонтологии и систематике животных.

Никто не замечал, что в самом заглавии романа – «Война и мир» — закодирован закон золотого сечения. В самом деле, название романа построено на первых четырех членах ряда Фибоначчи 1, 2, 3, 5.Один союз, два существительных, три слова. Пять букв в первом ключевом. Отношение ключевых слов 5:3=1,666… есть первое рациональное приближение коэффициента золотого сечения.

Приложение 4.

Математика и живопись

Человек различает окружающие его предметы по форме. Интерес к форме какого-либо предмета может быть продиктован жизненной необходимостью, а может быть вызван красотой формы. Форма, в основе построения которой лежат сочетание симметрии и золотого сечения, способствует наилучшему зрительному восприятию и появлению ощущения красоты и гармонии. Целое всегда состоит из частей, части разной величины находятся в определенном отношении друг к другу и к целому. Принцип золотого сечения – высшее проявление структурного и функционального совершенства целого и его частей в искусстве, науке, технике и природе. Еще в эпоху Возрождения художники открыли, что любая картина имеет определенные точки, невольно приковывающие наше внимание, так называемые зрительные центры. При этом абсолютно неважно, какой формат имеет картина — горизонтальный или вертикальный. Таких точек всего четыре, и расположены они на расстоянии 3/8 и 5/8 от соответствующих краев плоскости.

«И, поистине, живопись – это наука и законная дочь природы, ибо она порождена природой…»

Леонардо да Винчи

Переходя к примерам “золотого сечения” в живописи, нельзя не остановить своего внимания на творчестве Леонардо да Винчи. Его личность – одна из загадок истории. Сам Леонардо да Винчи говорил: “Пусть никто, не будучи математиком, не дерзнет читать мои труды”.
Он снискал славу непревзойденного художника, великого ученого, гения, предвосхитившего многие изобретения, которые не были осуществлены вплоть до XX в.

Портрет Монны Лизы (Джоконды) долгие годы привлекает внимание исследователей, которые обнаружили, что композиция рисунка основана на золотых треугольниках, являющихся частями правильного звездчатого пятиугольника. Вся фигура и картина в целом опутана здесь двумя золотыми треугольниками и сетью больших, средних и малых золотых прямоугольников, ориентированных по ширине или высоте полотна.

Наука и искусство, словно нити холста, переплетались в полотнах мастеров Возрождения. Живопись переходила в начертательную геометрию, а геометрия – в искусство.

Приложение 5.

Практическая часть работы

Создание презентации «Математика и искусство»

Заключение

Примеры взаимопроникновения математики в различные сферы искусства и наоборот можно приводить бесконечно. И чем дальше этим занимаешься, тем увлекательнее становится такая работа. Но даже приведенных примеров, я думаю, достаточно для того, чтобы согласиться со словами Бертрана Рассела:

«Математика владеет не только истиной, но и высшей красотой — красотой отточенной и строгой, возвышенно чистой и стремящейся к подлинному совершенству, которое свойственно лишь величайшим образцам искусства».

Таким образом, математика находит свое применение в различных сферах жизнедеятельности человека, а, значит, выдвинутая гипотеза была подтверждена в ходе исследования.

Список литературы

1. сайт: http://actual-art.ru

2. сайт: http://www.goldenmuseum.com/index_rus.html

3. А.И.Азевич «Двадцать уроков гармонии» библиотека журнала «Математика в школе», выпуск 7. Москва «Школа-Пресс», 1998 год

4. А.В. Волошинов «Математика и искусство», Москва, «Просвещение»,1992 год

5. Соколов А. Тайны золотого сечения. Техника – молодежи, 1978, № 5, с. 40

6. И.Ф.Шарыгин, Л.Н. Ерганжиева «Наглядная геометрия 5-6 классы» Москва, Издательский дом «Дрофа», 1998 год

7. Юшкевич А.П.Математика в ее истории. М. Янус. ИИЕТ РАН.1996

Список приложений

Стр.

1. Приложение 1. Виды искусств 12

2. Приложение 2. Симметрия в архитектуре 15

3. Приложение 3. Математика и музыка 18

4. Приложение 4. Математика и литература 19

5. Приложение 5. Математика и живопись 21

6. Приложение 6. Фракталы 22

Приложение 1. Виды искусств

Приложение 2. Симметрия в архитектуре

Театральная площадь,
Большой театр
О.Бове, А.Михайлов
1821-1853

Триумфальная арка
Ж.Ф.Т.Шальгрен
1806-1836
Франция, Париж

Приложение 3. Математика и музыка

Приложение 4. Математика и литература

Приложение 5. Математика и живопись

Приложение 6. Фракталы

(PDF) Удивительное золотое сечение

Египтяне использовали золотое сечение во многих отношениях, как в архитектуре своих храмов, так и

в своих рисунках. Итак, в то время как до исследования Де Любича открытие «золотого правила»

обычно приписывалось грекам (хотя некоторые историки это отрицали), открытия таких египтологов

, как Де Любич и Флидерс Петри, предоставили неопровержимые доказательства того, что египтяне имели математическое понимание этих констант, соотношений, а не символа, на 1000 тысяч раньше.Петри для примера

заметил, что размеры многих египетских гробниц, особенно в структуре параллелепипеда

, соответствуют соотношению 1: квадрат Фи: квадрат. Такое же соотношение встречается и в

сетке, окружающей человеческое тело, изображенное в царской гробнице Аменхотепа III в Долине

царей.

В городах на северном побережье

в эллинистическую эпоху существовало много перекрестных культур между египетской и греческой цивилизациями, особенно в Александрии, где египетские и греческие

ученых вместе учились в Мусейоне.Среди них в третьем веке до нашей эры был тот, кто считался, по преимуществу, самым известным ученым в древности, великим Евклидом.

Историки называют его Евклидом Александрийским, не исключая возможности того, что он мог быть

египтянином. Именно в Александрии Евклид написал свой опус «Элементы», который до сих пор остается самым известным математическим трудом

из когда-либо написанных. С момента изобретения машины Гутенберга эта работа,

, состоящая из 13 томов, была напечатана больше, чем любая другая книга, кроме Библии.(Евклид

ввел соотношение, полученное из крайнего и среднего отношения трех коллинеарных точек, в объеме

VI). Арабский математик Аль-Хаггаг произвел первый перевод «Элементов» на арабский

, и, поскольку оригинальная греческая работа впоследствии была утеряна, только благодаря арабскому переводу

книга стала известна остальному миру.

Евклид был только одним из ученых, проводивших исследования в «Мусионе».Великие

интеллекта того времени стекались в Александрию, и среди них мы встречаем такие имена, как

Эратосфен, Архимед, Аполлоний, Менелай, Цапля, Никомах, Птолемей, Диофант,

Папп, Гален, Теон и его дочь Гипатия. Греческие ученые посещали Египет еще до

годов основания Маусиона, включая Фалеса, Сократа, Платона и Аристотеля, и прежде всего

Пифагора, который провел 22 года в Египте около 600 г. до н.э. и объявил о своей теории только после ухода

.Записи говорят нам, что египтянам был известен треугольник 3: 4: 5, который сам Пифагор

назвал «Священным треугольником». Восемь пирамид четвертой и пятой династий имеют внутренний треугольник

, соответствующий этим соотношениям.

Для золотого сечения существует множество приложений, от математической оптимизации до архитектуры

. Мы находим это и в других науках. В биологии он контролирует распределение листьев

вокруг стебля растения таким образом, чтобы они получали максимальное количество света.Было обнаружено, что

распределение их угла поворота или расстояния друг от друга следовали за членами, как в последовательности

1/2, 1/3, 2/5, 3/8, 5/13, 8/21, 13/34, в котором числитель a (n) частных

представляет количество поворотов, которые мы поднимаем, скажем, вокруг стебля, так что любой лист возвращается в

на позицию точно выше точки, с которой он начинался, тогда как знаменатель b (n) представляет собой

листьев между ними.Это соотношение отличается от растения к растению, но в среднем

колеблется от 1/2 до 1/3. Читатель заметит, что в этой последовательности числители и знаменатели

являются членами последовательности Фибоначчи, в которой a (n) и b (n) удовлетворяют b (n + 1) = b (n) +

a ( п + 1). Поскольку и a (n + 1) / a (n), и b (n + 1) / b (n) стремятся к Phi, отсюда следует, что a (n + 1) / b (n) стремится к

Phi-1. = 1 / Фи. Что касается распределения листьев вокруг стебля b (n) / a (n), оно стремится к квадрату Phi

, поскольку при каждом повороте листья организуются на стебле.

Мы можем более детально вычислить угол расхождения любого одного листа таким образом, чтобы никакие два листа

не находились друг над другом; с учетом максимальной освещенности. Если каждый полный оборот

любой створки для возврата в исходное положение проходит под углом a (n) x360, а

, проходя мимо b (n), выходит между ними, то из этого следует, что каждая створка занимает угол a (n) x360 / b (n) =

360 / (квадрат Фи) почти 137 градусов.

Таким образом, если есть квадратные листья Phi на один оборот (или эквивалентно 1 / Phi квадратных витков на лист), то

каждый лист получает максимальное воздействие света, отбрасывая при этом наименьшую тень на другие. Этот

также дает наилучшее возможное воздействие падающего дождя или, в случае цветов, наилучшее возможное воздействие

для привлечения насекомых для опыления.

Мифы математики: Золотое сечение

Большинство из вас слышали о числе, которое называется золотым сечением .Он появляется, например, в книге / фильме Код да Винчи , а также во многих статьях, книгах и школьных проектах, целью которых является показать, насколько важна математика в реальном мире. Многие авторы (включая автора Кода да Винчи) описывают его как основу всех прекрасных узоров в природе, и иногда его называют божественной пропорцией . Утверждается, что большая часть произведений искусства и архитектуры содержит особенности в пропорциях, заданных золотым сечением.Например, утверждается, что и Парфенон, и пирамиды находятся в этой пропорции. Также утверждалось, что золотое сечение проявляется в человеческом теле, например, как отношение роста взрослого человека к высоте его пупка или длины предплечья к длине кисти.

Тем не менее, за всю свою карьеру применения математики в реальном мире я встречал золотое сечение ровно дважды. Да дважды! Верны ли какие-либо из этих великих заявлений о золотом сечении?

Какое опять золотое сечение?

Давайте начнем с того, что быстро вспомним, что такое золотое сечение.Это было определено древнегреческим математиком Евклидом следующим образом. Представьте, что у вас есть отрезок линии, который вы хотите разделить на две части. Вы хотите разделить его таким образом, чтобы соотношение между целым сегментом и более длинным из двух кусков было таким же, как соотношение между более длинным из двух кусков и более коротким. Каким должно быть это соотношение?

Мы хотели бы выбрать A и B так, чтобы ( A + B ) / A = A / B .

Немного математики (см. Здесь) покажет, что соотношение должно быть

Тот факт, что определяется как отношение двух длин, означает, что вы можете искать его всякий раз, когда смотрите на что-то, на котором есть сегменты линий — будь то лицо или здание.

Золотое сечение в человеческом теле

Предполагается, что золотое сечение лежит в основе многих пропорций человеческого тела.К ним относятся форма идеального лица, а также отношение высоты пупка к высоте тела. Действительно, утверждается, что почти каждая пропорция идеального человеческого лица связана с золотым сечением (см. Эту статью, чтобы узнать больше о таких утверждениях).

Вы можете наложить всевозможные прямоугольники на красивое лицо, а затем заявить, что красота проистекает из пропорций прямоугольника.

Однако все это неправда, даже отдаленно.У тела есть много возможных соотношений, многие из которых лежат где-то между 1 и 2. Если вы примете во внимание достаточное их количество, вы обязательно получите числа, близкие к значению золотого сечения (около 1,618). Это особенно верно, если объекты, которые вы измеряете, не особенно четко определены (как на картинке слева), и можно изменить определение таким образом, чтобы получить пропорции, которые вы хотите найти.

Если вы присмотритесь, вы также обнаружите, что пропорции человеческого тела близки к 1.6, 5/3, 3/2, квадратный корень из 2, 42/26 и т. Д. И т. Д. Действительно, большинство чисел от 1 до 2 будут иметь две части тела, приближающие их в соотношении. Подобные ложные закономерности также наблюдаются в солнечной системе (которая также имеет множество различных соотношений, из которых вы можете выбирать). Также помните, что, поскольку золотое сечение — это иррациональное число (см. Ниже), вы никогда не увидите его точно ни при каких измерениях.

Все это пример того, как человеческий мозг находит ложные корреляции.Действительно, при наличии достаточного количества данных можно найти закономерности, согласующиеся практически с любой гипотезой. Хороший способ убедиться в этом — выйти в погожий солнечный день на улицу и посмотреть на облака. Рано или поздно вы найдете облако, которое соответствует какому-то новому шаблону. В качестве примера посмотрите эту статью BBC News, в которой рассказывается о «королеве-воине», наблюдаемой в облачной структуре.

Это явление может быть довольно опасным, когда в данных обнаруживаются ложные корреляции, подтверждающие точку зрения. Например, они могут привести к ложным обвинениям и даже к ложным обвинениям.На этом сайте вы найдете множество примеров ложных корреляций.

Спирали золотые и прочие

Если вы возьмете линию, разделенную на два сегмента, и это будет золотое сечение, а затем сформируете прямоугольник со сторонами и, тогда этот прямоугольник будет называться золотым прямоугольником .

Золотой прямоугольник состоит из квадрата (белого) и меньшего прямоугольника (серого). Меньший прямоугольник также является золотым.

Золотой прямоугольник, который мы только что сформировали, состоит из квадрата и меньшего прямоугольника, который сам по себе является золотым прямоугольником (подробнее см. Здесь).Этот золотой прямоугольник снова состоит из квадрата и меньшего прямоугольника, который сам по себе является золотым прямоугольником. И так далее.

Используя последовательность все меньших и меньших золотых прямоугольников, мы можем сформировать нечто похожее на спираль. Просто нарисуйте четверть круга в каждом квадрате, который появляется в золотых прямоугольниках.

Спиральная форма, построенная из золотого прямоугольника.

Часто утверждают, что эту спиралевидную форму можно найти во многих местах в природе и искусстве.Например, по форме раковины наутилуса, по форме галактики, по форме урагана или даже волны.

Здесь есть две проблемы. Во-первых, это не спираль. Это последовательность дуг окружности. При переходе от одной дуги к другой кривизна спирали скачет. Вряд ли в каком-либо природном явлении мы увидим такие скачки. Фактически, форма — это только приближение к истинной спирали. Форма спирали, которую он приближает, является примером логарифмической спирали .Такие спирали очень распространены в природе. У них есть полярное уравнение

где — основание натурального логарифма. В природе мы видим такие спирали повсюду, с разной величиной и в зависимости от контекста. Причина, по которой эти спирали настолько распространены, заключается в том, что они обладают свойством самоподобия . Это означает, что если вы повернете спираль на любой фиксированный угол, вы получите спираль, которая является масштабированием оригинала.

Так называемая золотая спираль имеет частную стоимость

где — золотое сечение (а углы измеряются в радианах).

Нет никаких причин, по которым этот номер был бы каким-то особенным. Оболочка наутилуса представляет собой логарифмическую спираль, потому что свойство самоподобия позволяет оболочке расти без изменения формы. Значения, наблюдаемые для раковины наутилуса, не имеют никакого отношения к приведенному выше значению, при этом значение, наблюдаемое чаще всего в реальных раковинах.

Искусство и архитектура

Здесь надо быть осторожными. Несомненно, некоторые художники, такие как Ле Корбюзье (в его системе Modulor), сознательно использовали золотое сечение в своих произведениях искусства. Это потому, что было заявлено, что пропорции золотого прямоугольника особенно приятны для человеческого глаза, и что с эстетической точки зрения мы предпочитаем золотой прямоугольник всем другим прямоугольникам. Таким образом, имеет смысл использовать их в художественных произведениях. Затем утверждается, что золотое сечение можно увидеть практически в любом другом произведении искусства и архитектуры.

Доказательств того, что золотой прямоугольник особенно хорош, довольно мало. Психологические исследования, показывающие разные прямоугольники группам людей, по-видимому, указывают на широкий диапазон предпочтений, причем соотношение квадратного корня из двух к одному часто оказывается предпочтительнее других. Проверьте себя на прямоугольниках ниже, чтобы выбрать, какой из них вам больше нравится.

Согласно книге Кейта Девлина Взгляд Девлина: миф, который не исчезнет , идея о том, что золотое сечение вообще имеет какое-либо отношение к эстетике, исходит в первую очередь от двух людей, из которых один был неправильно процитирован, а другой прибегнул к изобретение.Неправильно процитированным автором был Лука Пачоли, который написал книгу под названием De Divina Proportione еще в 1509 году. Книга была названа в честь золотого сечения, но не выступала за теорию эстетики, основанную на золотом сечении, или за то, что она должна применяться к искусству и архитектуре. Такой взгляд был ошибочно приписан Пачоли в 1799 году.

Пачоли был близким другом Леонардо да Винчи, и часто утверждают, что Леонардо сам использовал золотое сечение в своих картинах. Прямых доказательств этому нет.Возможно, самым известным из этих примеров является витрувианский человек . Однако пропорции на этой картине не соответствуют золотому сечению. Действительно, Леонардо упоминал в своих работах только отношения целых чисел. Предполагаемые примеры золотого сечения, появляющиеся на его картинах, относятся к тому же классу, что и те, которые находят это соотношение в природе.

Девлин приписывает «популяризацию» золотого сечения Адольфу Цайзингу, немецкому психологу 19-го века, который утверждал, что золотое сечение было универсальным законом, описывающим «красоту и завершенность в царствах как природы, так и искусства […], который пронизывает, как высший духовный идеал, все структуры, формы и пропорции, космические или индивидуальные, органические или неорганические, акустические или оптические ». Это был просто пример (как и выше) наблюдения ложных узоров. эта работа повлияла на многих других и заложила основы большей части современного мифа.

Так называемая золотая спираль, наложенная на Парфенон. Нет никаких доказательств того, что золотое сечение сыграло роль в дизайне этого здания.Основное изображение Парфенона: Ойвинд Солстад, CC BY 2.0.

Другой пример этого мифа — утверждение, что золотое сечение проявляется в пропорциях Парфенона, части Акрополя в Афинах.

Нет никаких свидетельств этого в греческой науке, и идея о том, что Парфенон имеет пропорции, определяемые золотым сечением, восходит только к 1850-м годам. Кроме того, фактические размеры Парфенона не дают пропорций, особенно близких к золотому сечению, если вы не будете осторожны с выбором прямоугольников.Фактически, Парфенон обретает свой гармоничный вид благодаря продуманному расположению линий, которые выглядят параллельными, но на самом деле сходятся или изгибаются, поэтому практически невозможно проводить измерения с достаточной точностью, чтобы получить точные соотношения. Поскольку пропорции Парфенона меняются в зависимости от его высоты, просто невозможно найти общую пропорцию, соответствующую золотому сечению.

То же самое относится и к остальной греческой архитектуре: нет никаких свидетельств того, что греки считали золотое сечение эстетически приятным или вообще использовали его в своем искусстве и архитектуре.

Это касается и музыки. Утверждается, что золотое сечение играет важную роль в музыкальной композиции. Об этом мало свидетельств. Однако в композиции важна гамма, а шкала очень тесно связана с корнем двенадцатой степени из 2. Именно это последнее число лежит в основе музыки, а не золотое сечение [ссылка].

В этих упорных мифах о золотом сечении есть реальная опасность. Школьников и многих других обманывают, вводя в заблуждение ложную реальность о том, как работает математика.Рано или поздно они обнаружат, что эта реальность не соответствует действительности, и потеряют веру в вполне реальную способность математики объяснять мир.

Великая реальность

Относясь к золотому сечению довольно пренебрежительно, я хотел бы завершить этот раздел, подчеркнув, насколько удивительным является золотое сечение — ему действительно не нужны все эти ложные утверждения, чтобы сделать его особенным.

Сначала обратимся к природным явлениям, которые действительно связаны с золотым сечением.Золотое сечение тесно связано со знаменитой последовательностью Фибоначчи

Подробнее об этой ссылке можно узнать здесь. Последовательность Фибоначчи, безусловно, присутствует в природе, поскольку она связана как с тем, как растет население, так и с тем, как формы могут сочетаться друг с другом. Например, последовательность можно увидеть в спиралях на подсолнечных цветках, которые должны соответствовать друг другу упорядоченным образом, и в листьях некоторых растений, которые необходимо расположить так, чтобы улавливать больше солнечного света.В результате можно наблюдать соотношения, близкие к золотому сечению, возникающие в определенных природных явлениях (подробнее здесь).

Эти явления включают распространение трутней среди самок пчел в улье, что связано с тем, как пчелы размножаются на протяжении многих поколений (подробнее см. Здесь). Так что действительно можно увидеть золотое сечение в саду, и для этого есть очень веские математические причины.

Фибоначчи подумал о своей последовательности, рассматривая рост популяции идеализированных кроликов.См. Эту статью, чтобы узнать больше.

Но, возможно, еще более интересным является множество увлекательных математических свойств золотого сечения. Они исследуются в различных статьях Plus , но я хотел бы указать на одну, которая особенно увлекательна и которая действительно отличает золотое сечение от других чисел: его крайняя иррациональность.

Иррациональные числа — это числа, которые не могут быть представлены дробями и которые имеют бесконечное десятичное расширение, которое не заканчивается повторяющимся блоком.Именно это означает, что иррациональные числа трудно наблюдать в природе. Золотое сечение обладает удивительным свойством быть самым иррациональным числом из всех. Это означает, что это не только невозможно точно представить в виде дроби, но и невозможно легко аппроксимировать дробью. См. Эту статью для математических подробностей.

Сложность аппроксимации золотого сечения дробью делает его очень полезным числом для математиков и ученых, изучающих процесс синхронизации .Это происходит, когда система с собственной частотой форсируется одной из другой частоты и принимает частоту форсирования. Одним из примеров является синхронизация человеческого тела с дневной частотой солнечного света. Второй пример — климат Земли, который синхронизируется с естественными циклами обращения вокруг Солнца.

Однако синхронизация сама по себе может быть проблемой, приводящей к нежелательным резонансам в системе (например, висячий мост сильно вибрирует, если по нему проходит марширующий оркестр).Выбирая две частоты в соотношении, мы можем избежать синхронизации из-за крайней иррациональности золотого сечения. Это очень полезное свойство, по-видимому, используется мозгом и насекомыми, а также учеными-климатологами и даже людьми, производящими самолеты.

Итак, золотое сечение играет главную роль, но не ту, о которой вы часто читаете в связанной с ним мифологии. Какая жалость! Это прекрасный парадокс, но самое интересное в золотом сечении заключается в том, что это не соотношение.

---

---

Об авторе

Крис Бадд.

Эта статья основана на выступлении Бадда в продолжающемся Gresham Цикл лекций колледжа (см. Видео выше). Вы можете увидеть другие статьи, основанные на беседе, здесь.

Крис Бадд — профессор прикладной математики Университета Бата, вице-президент Института математики и ее приложений, заведующий кафедрой математики Королевского института и почетный член Британской научной ассоциации.Он особенно заинтересован в применении математики в реальном мире и содействии пониманию математики общественностью.

Он является соавтором популярной книги по математике Mathematics Galore! , опубликованный издательством Oxford University Press, совместно с К. Сангвином, и представлен в книге 50 Visions of Mathematics ed. Сэм Парк.

Золотое сечение в науке, как источник случайной последовательности, его вычисление и за его пределами

Некоторые рациональные, а также некоторые иррациональные числа среди всех действительных чисел в математике являются очень особенными и очаровывают многие человеческие умы.С этими числами связана не только увлекательная история, но и замечательные физические явления, наблюдаемые критическими умами ученых, художников, архитекторов, инженеров, естествоиспытателей и спиритуалистов. Рациональное число 2 ⁿ и иррациональное число π — например, трансцендентное число, занимают особое место в информатике и математике соответственно. Некоторые из других известных чисел — это число Гильберта 22≈2,66514414269023, число Лиувилля ≈0.1100010000000000000000010000, который имеет 1 в 1-м, 2-м, 6-м, 24-м, 120-м и т. Д. Местах и ​​нули в других местах, постоянная Эйлера – Маскерони γ = limn → ∞ (∑k = 1n1k − lnn) ≈0,577215664

, а числа ii = e −π / 2≈0,207879576350762, πe≈22,4591577183611 (считается (не доказано) трансцендентным числом) и eπ≈23,1406926327793. Здесь представлено еще одно чрезвычайно восхитительное, широко изученное иррациональное алгебраическое число (1 + 5) / 2≈1,61803398874989, называемое золотым сечением φ, и его широкое распространение в математике, особенно в геометрии, вычислительной науке, биологии, художественных произведениях, архитектуре, природе и не только. .В частности, цифры — даже случайно или систематически выбранные последовательные цифры или последовательные блоки цифр — золотого сечения могут использоваться в качестве источника равномерно распределенных случайных чисел. В отличие от любого из нескольких генераторов квази- и псевдослучайных чисел, использующих различные методы, здесь нам не нужно использовать никакой метод; только нам нужно выбрать последовательные / непоследовательные блоки цифр из сохраненного золотого сечения, и, следовательно, это будет самый быстрый способ получения случайных чисел. Эта идея получения случайных последовательностей, возможно, открывает новый эффективный способ решения многочисленных задач оптимизации, включая NP-трудную задачу коммивояжера с помощью эвристики с полиномиальным временем, такой как подходы муравьиной системы, генетические алгоритмы, моделирование отжига и другие рандомизированные алгоритмы.Кроме того, можно изучить, являются ли эти случайные числа, отсеянные по золотому сечению, квази (более равномерно распределенными) или псевдослучайными числами, включая их область действия среди других генераторов случайных чисел. Здесь представлено золотое сечение вместе с его вычислением до желаемого количества цифр с помощью одной команды Matlab vpa . Также описаны его вхождения в науку множеством способов и схему итераций с фиксированной точкой, помимо других методов ее вычисления. Продемонстрированы равномерное псевдослучайное распределение его цифр и его способность выполнять интеграции Монте-Карло с систематическим использованием последовательных блоков цифр.Упоминаются некоторые из интересных событий / явлений в природе, искусстве и архитектуре, в которых золотое сечение было обнаружено в точной / приблизительной форме. Эта статья — наш способ увидеть это удивительное число, золотое сечение, и показать его красоту. Включено несколько программ Matlab для читателя с возможностями Matlab. Это позволит ему / ей получить более глубокое представление о его характере на фоне нашего эстетического чутья и его необычайной тенденции всплывать в различных ситуациях посредством быстрых вычислений.

Специальный выпуск: числа Фибоначчи и Люка и золотое сечение в физике и биологии

Уважаемые коллеги,

Этот специальный выпуск представляет собой платформу для исследователей в области физики и биологии, чья работа связана с числами Фибоначчи (и Лукаса) и золотым сечением. Эти концепции огромной математической простоты и красоты продолжают очаровывать ученых во многих областях, таких как квантовая физика, общая теория относительности, астрономия, химия, биология и архитектура, и это лишь некоторые из них.

В квантовой физике числа Фибоначчи и связанное с ними золотое сечение появились в недавних работах, посвященных нелинейным фотонным кристаллам, квазиодномерному ферромагнетизму Изинга и неабелевым анионам типа Фибоначчи. Они также встречаются в атомной физике, квазикристаллах, хаосе, сверхпроводимости, астрофизике и черных дырах. В биологии золотое сечение встречается в нескольких работах о человеческом теле, филлотаксисе растений, нуклеотидных последовательностях ДНК, генетическом коде и топологии вирусов.

Объем этого специального выпуска достаточно велик, чтобы охватить все аспекты исследований в области физики и биологии, включая золотое сечение и числа Фибоначчи и / или Люка. Мы настоятельно рекомендуем всем нашим заинтересованным коллегам сообщать подробности о своих последних работах.

Д-р Тиджани Негади
Проф. Д-р Мишель Планат
Приглашенные редакторы

Информация для подачи рукописей

Рукописи должны быть представлены онлайн на сайте www.mdpi.com, зарегистрировавшись и войдя на этот сайт. После регистрации щелкните здесь, чтобы перейти к форме отправки. Рукописи можно подавать до установленного срока. Все статьи будут рецензироваться. Принятые статьи будут постоянно публиковаться в журнале (как только они будут приняты) и будут перечислены вместе на веб-сайте специального выпуска. Приглашаются исследовательские статьи, обзорные статьи, а также короткие сообщения. Для запланированных статей название и краткое резюме (около 100 слов) можно отправить в редакцию для объявления на этом сайте.

Представленные рукописи не должны были публиковаться ранее или рассматриваться для публикации в другом месте (за исключением трудов конференции). Все рукописи тщательно рецензируются в рамках процесса одинарного слепого рецензирования. Руководство для авторов и другая важная информация для подачи рукописей доступна на странице Инструкции для авторов. Symmetry — это международный рецензируемый ежемесячный журнал с открытым доступом, публикуемый MDPI.

Пожалуйста, посетите страницу Инструкции для авторов перед отправкой рукописи.Плата за обработку статьи (APC) для публикации в этом журнале с открытым доступом составляет 1800 швейцарских франков. Представленные статьи должны быть хорошо отформатированы и написаны на хорошем английском языке. Авторы могут использовать MDPI Услуги редактирования на английском языке перед публикацией или во время редактирования автора.

Этот специальный выпуск открыт для отправки.

Разъяснение тайны золотого сечения — ScienceDaily

Считается, что египтяне использовали его при строительстве пирамид. Считается, что архитектура древних Афин была основана на нем.Вымышленный символолог из Гарварда Роберт Лэнгдон попытался разгадать его тайны в романе «Код да Винчи».

«Это» — золотое сечение, геометрическая пропорция, которая считается наиболее эстетичной для глаз и на протяжении веков является корнем бесчисленных загадок. Теперь инженер из Университета Дьюка обнаружил, что это отличный трамплин для объединения видения, мысли и движения в рамках единого закона естественного замысла.

Также знайте божественную пропорцию, золотое сечение описывает прямоугольник, длина которого примерно в полтора раза больше его ширины.Многие художники и архитекторы создавали свои работы в соответствии с этой пропорцией. Например, Парфенон в Афинах и картина Леонардо да Винчи «Мона Лиза» обычно приводятся в качестве примеров этого соотношения.

Адриан Беджан, профессор машиностроения инженерной школы Пратта при Дьюке, считает, что знает, почему золотое сечение возникает повсюду: глаза сканируют изображение быстрее всего, когда оно имеет форму прямоугольника с золотым сечением.

Естественный дизайн, соединяющий зрение и познание, — это теория, согласно которой проточные системы — от дыхательных путей в легких до образования дельт рек — развиваются во времени, так что они текут все более и более легко.Беджан назвал этот закон конструктивным в 1996 году, и его последнее приложение появилось в начале в Международном журнале дизайна, природы и экодинамики .

«Когда вы смотрите на то, что так много людей рисовали и строили, вы видите эти пропорции повсюду», — сказал Беджан. «Хорошо известно, что глаза воспринимают информацию более эффективно, когда они сканируют из стороны в сторону, а не вверх и вниз».

Беджан утверждает, что мир — будь то человек, смотрящий на картину, или газель на открытой равнине, просматривающая горизонт — в основном ориентирован по горизонтали.Для газели опасность в первую очередь исходит сбоку или сзади, а не сверху или снизу, поэтому их поле зрения эволюционировало, чтобы двигаться из стороны в сторону. По мере развития зрения, утверждает он, животные становились «умнее», лучше видя и двигаясь быстрее и безопаснее.

«По мере того, как животные развивали органы зрения, они сводили к минимуму опасность спереди и по бокам», — сказал Беджан. «Это сделало общий поток животных на Земле более безопасным и эффективным. Поток массы животных создает для себя каналы потока, которые эффективны и способствуют выживанию — более прямые, с меньшим количеством препятствий и хищников.«

Для Бежана зрение и познание развивались вместе и представляют собой одну и ту же конструкцию, что и движение. Повышенная эффективность информации, поступающей из мира через глаза в мозг, соответствует передаче этой информации через разветвленную архитектуру нервов и головного мозга. .

«Познание — это название структурной эволюции архитектуры мозга, каждую минуту и ​​каждый момент», — сказал Беджан. «Это феномен мышления, знания, а затем снова более эффективного мышления.Становление умнее — это конструктивный закон в действии ».

В то время как золотое сечение предоставило концептуальный вход в этот взгляд на дизайн природы, Беджан видит нечто еще более широкое.

«Это единство видения, познания и передвижения как дизайн движения всех животных на Земле», — сказал он. «Феномен золотого сечения способствует этому пониманию идеи о том, что узор и разнообразие сосуществуют как неотъемлемые и необходимые элементы эволюционного замысла природы.«

В многочисленных статьях и книгах за последнее десятилетие Беджан продемонстрировал, что закон конструкции (www.constructal.org) предсказывает широкий спектр конструкций проточных систем, наблюдаемых в природе, от биологии и геофизики до социальной динамики и развития технологий.

Исследование Бежана поддержано Национальным научным фондом.

История Источник:

Материалы предоставлены Duke University . Примечание. Содержимое можно редактировать по стилю и длине.

Что такое золотое сечение в математике? — Определение и примеры — Видео и стенограмма урока

Золотое сечение и геометрия

Одним из простейших примеров золотого сечения по отношению к геометрии является специальный отрезок линии, называемый золотым отрезком , проиллюстрированный здесь:

В этом сегменте отношение синего сегмента к красному сегменту равно отношению красного сегмента ко всей линии от A до C.Другими словами, AB / BC = BC / AC.

А где же 1.618? Если мы установим AB = 1 и BC = x , мы увидим интересный результат, когда решим.

Еще одно примечательное проявление золотого сечения в геометрии — пентаграмма. Верите ли вы, что это символ колдовства или божественности, одно можно сказать наверняка: он золотой.

Как и линия, которую мы видели ранее, пентаграмма может быть разбита на сегменты, которые связаны золотым сечением.Если каждая сторона внешнего пятиугольника (или зеленые стороны) равна 1 единице, то длина каждой стороны внутреннего пятиугольника (или фиолетового участка) равна 1 / φ². Кроме того, длина каждой из пяти линий, образующих периметр формы звезды (или оранжевой части), будет равна фи .

Наличие золотого сечения в геометрии не ограничивается пентаграммой. Те же отношения могут быть продемонстрированы в более сложных трехмерных формах, таких как додекаэдры и икосаэдры, которые имеют 12 граней и 20 граней соответственно.

Золотое сечение и ваш мир

Для того, что до сих пор может показаться вашим средним иррациональным числом, золотое сечение стало почти мифом и целью дезинформации в массовой культуре. Некоторые источники утверждают, что золотое сечение встречается практически везде, от формы ураганов и спиральных галактик до хобота слона. Эти примеры, однако, оспариваются. Исследования показали, что наши стандарты красоты основаны на золотом сечении, и что лица, демонстрирующие золотое сечение, с большей вероятностью будут идентифицированы как красивые.Хотя существуют доказательства в поддержку этой идеи, они тоже вызвали споры. Такого никогда не случится с pi !

Путаница также проистекает из того факта, что золотое сечение связано, хотя и не идентично, с последовательностью Фибоначчи. Последовательность Фибоначчи — это бесконечный ряд целых чисел (0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89…), в котором каждое число является суммой двух предыдущих числа. По мере того, как числа растут, соотношение двух соседних чисел является близким приближением к золотому сечению: например, 89/55 = 1.61818 повторяется.

Не будет преувеличением сказать, что последовательность Фибоначчи повсюду в природе. Он появляется в семенах цветов ананасов, в расположении ветвей и листьев на дереве и в спиралевидном узоре некоторых раковин.

Возьмем, к примеру, эту шишку. Если вы посчитаете количество синих спиралей, идущих по часовой стрелке от середины основания, вы получите 13; против часовой стрелки — 8 зеленых спиралей.Это увлекательная параллель между математикой и природой, но это не совсем золотое сечение.

Резюме урока

Мы снова узнали, что золотое сечение — это иррациональное число, представленное греческой буквой фи (φ), которая используется для создания геометрических фигур, пропорций которых многие люди считают наиболее приятными для глаз. Мы видели, как это может быть выражено как бесконечное число и как алгебраическое выражение. Мы также исследовали некоторые геометрические формы, зависящие от золотого сечения, и изучили взаимосвязь между золотым сечением и последовательностью Фибоначчи .Запомните всю эту информацию в следующий раз, когда вы услышите, как кто-то утверждает, что везде видит золотое сечение!

Фибоначчи и золотое сечение

Существует уникальное соотношение, которое можно использовать для описания пропорций всего, от мельчайших строительных блоков природы, таких как атомы, до самых сложных структур во Вселенной, таких как невообразимо большие небесные тела. Природа полагается на эту врожденную пропорцию для поддержания баланса, но финансовые рынки, похоже, также соответствуют этому «золотому сечению».«Здесь мы рассмотрим некоторые инструменты технического анализа, которые были разработаны для использования этого паттерна.

Ключевые выводы

• Золотое сечение описывает предсказуемые закономерности во всем, от атомов до огромных звезд на небе.
• Это отношение получено из так называемой последовательности Фибоначчи, названной в честь ее итальянского основателя Леонардо Фибоначчи.
• Природа использует это соотношение для поддержания баланса, и финансовые рынки, похоже, тоже.
• Последовательность Фибоначчи может применяться к финансам с использованием четырех основных методов: ретрейсментов, дуг, вееров и часовых поясов.

Математика

Математики, ученые и естествоиспытатели знали о золотом сечении на протяжении веков. Оно получено из последовательности Фибоначчи, названной в честь ее итальянского основателя Леонардо Фибоначчи (чье рождение предполагается примерно в 1175 году нашей эры, а смерть — примерно в 1250 году нашей эры). В этой последовательности каждое число представляет собой просто сумму двух предыдущих чисел ( 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 и т. Д.).

Но эта последовательность не так уж и важна; скорее, существенная часть — это частное соседнего числа, которое имеет удивительную пропорцию, примерно 1,618 или его обратное значение 0,618. Эта пропорция известна под многими именами: золотое сечение, золотая середина, PHI и божественная пропорция, среди других. Итак, почему это число так важно? Что ж, почти все имеет размерные свойства, которые соответствуют соотношению 1,618, так что кажется, что оно имеет фундаментальную функцию для строительных блоков природы.

Докажи это

Не верите? Возьмем, к примеру, медоносных пчел. Если вы разделите пчел-самок на пчел-самцов в любом конкретном улье, вы получите 1,618. Подсолнухи, у которых есть противоположные спирали семян, имеют соотношение 1,618 между диаметрами каждого вращения. Это же соотношение можно увидеть во взаимоотношениях между различными компонентами в природе.

Вы все еще не можете в это поверить? Вам нужно что-то, что легко измерить? Попробуйте измерить расстояние от плеча до кончиков пальцев, а затем разделите это число на длину от локтя до кончиков пальцев.Или попробуйте измерить расстояние от головы до ног и разделить его на длину от пупка до ступней. Результаты такие же? Где-то в районе 1.618? Казалось бы, золотое сечение неизбежно.

Но означает ли это, что это работает в сфере финансов? На самом деле, финансовые рынки имеют ту же математическую основу, что и эти природные явления. Ниже мы рассмотрим некоторые способы применения золотого сечения к финансам и покажем несколько диаграмм в качестве доказательства.

Исследования Фибоначчи и финансы

При использовании в техническом анализе золотое сечение обычно переводится в три процента: 38.2%, 50% и 61,8%. Однако при необходимости можно использовать больше кратных, например 23,6%, 161,8%, 423% и т. Д. Между тем, есть четыре способа применения последовательности Фибоначчи к графикам: ретрейсменты, дуги, вееры и часовые пояса. Однако не все могут быть доступны в зависимости от используемого графического приложения.

1. Уровни коррекции Фибоначчи

При коррекции Фибоначчи горизонтальные линии используются для обозначения областей поддержки или сопротивления. Уровни рассчитываются с использованием точек максимума и минимума графика.Затем рисуются пять линий: первая — 100% (максимум на графике), вторая — 61,8%, третья — 50%, четвертая — 38,2% и последняя — 0% (минимум на графике). ). После значительного движения цены вверх или вниз новые уровни поддержки и сопротивления часто оказываются на этих линиях или около них.

Изображение Сабрины Цзян © Investopedia 2020

2. Дуги Фибоначчи

Поиск максимума и минимума графика — это первый шаг к построению дуг Фибоначчи. Затем движением, похожим на компас, рисуем три изогнутые линии в точке 38.2%, 50% и 61,8% от желаемой точки. Эти линии предполагают уровни поддержки и сопротивления, а также торговые диапазоны.

Изображение Сабрины Цзян © Investopedia 2020

3. Веера Фибоначчи

Веера Фибоначчи состоят из диагональных линий. После определения максимума и минимума графика через крайнюю правую точку проводится невидимая горизонтальная линия. Затем эта невидимая линия делится на 38,2%, 50% и 61,8%, и линии проводятся от крайней левой точки через каждую из этих точек.Эти линии указывают на области поддержки и сопротивления.

Изображение Сабрины Цзян © Investopedia 2020

4. Часовые пояса Фибоначчи

В отличие от других методов Фибоначчи, часовые пояса представляют собой серию вертикальных линий. Они состоят из разделения диаграммы на сегменты с вертикальными линиями, разнесенными друг от друга с шагом, соответствующим последовательности Фибоначчи (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 и т. Д.). Каждая линия указывает время, в которое можно ожидать значительного движения цены.

Изображение Сабрины Цзян © Investopedia 2020

Золотое сечение можно применить ко всему: от природы до анатомии человека и финансов.

Итог

Исследования Фибоначчи не предназначены для предоставления основных указаний для определения времени входа и выхода из позиции; однако числа полезны для оценки областей поддержки и сопротивления. Многие люди используют комбинации исследований Фибоначчи для получения более точного прогноза. Например, трейдер может наблюдать точки пересечения в сочетании дуг Фибоначчи и сопротивлений.

Исследования Фибоначчи часто используются в сочетании с другими формами технического анализа.Например, исследования Фибоначчи в сочетании с волнами Эллиотта могут использоваться для прогнозирования степени восстановления после различных волн. Надеюсь, вы сможете найти свое собственное нишевое применение для исследований Фибоначчи и добавить его в свой набор инвестиционных инструментов.

.