Способы решения линейных уравнений 7 класс: Системы линейных уравнений (7 класс)

Содержание

§ Системы уравнений. Как решать системы уравнений

Прежде чем перейти к разбору как решать системы уравнений, давайте разберёмся, что называют системой уравнений с двумя неизвестными.

Запомните!

Системой уравнений называют два уравнения с двумя неизвестными (чаще всего неизвестные в них называют «x» и «y»), которые объединены в общую систему фигурной скобкой.

Например, система уравнений может быть задана следующим образом.

	x + 5y = 7
	3x − 2y = 4

Чтобы решить систему уравнений, нужно найти и «x», и «y».

Существуют два основных способа решения систем уравнений. Рассмотрим оба способа решения.

Способ подстановки

или
«железобетонный» метод

Первый способ решения системы уравнений называют способом подстановки или «железобетонным».

Название «железобетонный» метод получил из-за того, что с помощью этого метода практически всегда можно решить систему уравнений. Другими словами, если у вас не получается решить систему уравнений, всегда пробуйте решить её методом подстановки.

Разберем способ подстановки на примере.

	x + 5y = 7
	3x − 2y = 4

Выразим из первого уравнения «x + 5y = 7» неизвестное «x».

Важно!

Чтобы выразить неизвестное, нужно выполнить два условия:

перенести неизвестное, которое хотим выразить, в левую часть уравнения;
разделить и левую и правую часть уравнения на нужное число так, чтобы коэффициент при неизвестном стал равным единице.

Перенесём в первом уравнении «x + 5 y = 7» всё что содержит «x» в левую часть, а остальное в правую часть по правилу переносу.

При «x» стоит коэффициент равный единице, поэтому дополнительно делить уравнение на число не требуется.

	x = 7 − 5y
	3x − 2y = 4

Теперь, вместо «x» подставим во второе уравнение полученное выражение
«x = 7 − 5y» из первого уравнения.

	x = 7 − 5y
	3(7 − 5y) − 2y = 4

Подставив вместо «x» выражение «(7 − 5y)» во второе уравнение, мы получили обычное линейное уравнение с одним неизвестным «y». Решим его по правилам решения линейных уравнений.

Чтобы каждый раз не писать всю систему уравнений заново, решим полученное уравнение «3(7 − 5y) − 2y = 4» отдельно. Вынесем его решение отдельно с помощью обозначения звездочка (*).

	x = 7 − 5y
	3(7 − 5y) − 2y = 4 (*)

(*) 3(7 − 5y) − 2y = 4
21 − 15y − 2y = 4
− 17y = 4 − 21
− 17y = − 17 | :(−17)
y = 1

Мы нашли, что «y = 1». Вернемся к первому уравнению «x = 7 − 5y» и вместо «y» подставим в него полученное числовое значение. Таким образом можно найти «x». Запишем в ответ оба полученных значения.

	x = 7 − 5y
	y = 1

	x = 7 − 5 · 1
	y = 1

	x = 2
	y = 1

Ответ: x = 2; y = 1

Способ сложения

Рассмотрим другой способ решения системы уравнений. Метод называется

способ сложения. Вернемся к нашей системе уравнений еще раз.

	x + 5y = 7
	3x − 2y = 4

По правилам математики уравнения системы можно складывать. Наша задача в том, чтобы сложив исходные уравнения, получить такое уравнение, в котором останется только одно неизвестное.

Давайте сейчас сложим уравнения системы и посмотрим, что из этого выйдет.

Запомните!

При сложения уравнений системы левая часть первого уравнения полностью складывается с левой частью второго уравнения, а правая часть полностью складывается с правой частью.

x + 5y = 7		(x + 5y) + (3x − 2y) = 7 + 4
	+ =>	x + 5y + 3x − 2y = 11
3x − 2y = 4		4x + 3y = 11

При сложении уравнений мы получили уравнение «4x + 3y = 11». По сути, сложение уравнений в исходном виде нам ничего не дало, так как в полученном уравнении мы по прежнему имеем оба неизвестных.

Вернемся снова к исходной системе уравнений.

	x + 5y = 7
	3x − 2y = 4

Чтобы при сложении неизвестное «x» взаимноуничтожилось, нужно сделать так, чтобы в первом уравнении при «x» стоял коэффициент «−3».

Для этого умножим первое уравнение на «−3».

Важно!

При умножении уравнения на число, на это число умножается каждый член уравнения.

	x + 5y = 7 \| ·(−3)
	3x − 2y = 4

	x ·(−3) + 5y · (−3) = 7 · (−3)
	3x − 2y = 4

	−3x −15y = −21
	3x − 2y = 4

Теперь сложим уравнения.

−3x −15y = −21		(−3x −15y ) + (3x − 2y) = −21 + 4
	+ =>	−3x −15y + 3x − 2y = −21 + 4
3x − 2y = 4		−17y = −17 \|:(−17)
		y = 1

Мы нашли «y = 1». Вернемся к первому уравнению и подставим вместо «y» полученное числовое значение и найдем «x».

	x = 7 − 5y
	y = 1

	x = 7 − 5 · 1
	y = 1

	x = 2
	y = 1

Ответ: x = 2; y = 1

Пример решения системы уравнения

способом подстановки

	x − 3y = 17
	x − 2y = −13

Выразим из первого уравнения «x».

	x = 17 + 3y
	x − 2y = −13

Подставим вместо «x» во второе уравнение полученное выражение.

	x = 17 + 3y
	(17 + 3y) − 2y = −13 (*)

(*) (17 + 3y) − 2y = −13
17 + 3y − 2y = −13
17 + y = −13
y = −13 − 17
y = −30

Подставим в первое уравнение полученное числовое значение «y = −30» и найдем «x».

	x = 17 + 3y
	y = −30

	x = 17 + 3 · (−30)
	y = −30

	x = 17 −90
	y = −30

	x = −73
	y = −30

Ответ: x = −73; y = −30

Пример решения системы уравнения

способом сложения

Рассмотрим систему уравнений.

	3(x − y) + 5x = 2(3x − 2)
	4x − 2(x + y) = 4 − 3y

Раскроем скобки и упростим выражения в обоих уравнениях.

	3x − 3y + 5x = 6x − 4
	4x − 2x − 2y = 4 − 3y

	8x − 3y = 6x − 4
	2x −2y = 4 − 3y

	8x − 3y − 6x = −4
	2x −2y + 3y = 4

	2x − 3y = −4
	2x + y = 4

Мы видим, что в обоих уравнениях есть «2x». Наша задача, чтобы при сложении уравнений «2x» взаимноуничтожились и в полученном уравнении осталось только «y».

Для этого достаточно умножить первое уравнение на «−1».

	2x − 3y = −4 \|·(−1)
	2x + y = 4

	2x · (−1) − 3y · (−1) = −4 · (−1)
	2x + y = 4

	−2x + 3y = 4
	2x + y = 4

Теперь при сложении уравнений у нас останется только «y» в уравнении.

−2x + 3y = 4		(−2x + 3y ) + (2x + y) = 4 + 4
	+ =>	−2x + 3y + 2x + y = 4 + 4
2x + y = 4		4y = 8 \| :4
		y = 2

Подставим в первое уравнение полученное числовое значение «y = 2» и найдем «x».

	−2x + 3y = 4
	y = 2

	−2x + 3 · 2 = 4
	y = 2

	−2x + 6 = 4
	y = 2

	−2x = −2 \| :(−2)
	y = 2

	x = 1
	y = 2

Ответ: x = 1; y = 2

Решение системы линейных уравнений методом подстановки: алгоритм, правило, примеры

Алгоритм решения системы линейных уравнений методом подстановки

Например: ${\left\{ \begin{array}{c} 3x+y = 5 \\ y-x = 1 \end{array} \right.}$

Шаг 1

Из второго уравнения выражаем y:

y = x+1

Шаг 2

Подставляем выражение для y в первое уравнение:

3x+(x+1) = 5

Шаг 3 Решаем первое уравнение:

4x = 5-1

x = 1

Шаг 4

Подставляем значение x в выражение для y:

y = 1+1

Шаг 5

Находим y:

y = 2

Шаг 6

Записываем ответ:

(1;2)

В последовательной записи:

$$ {\left\{ \begin{array}{c} 3x+y = 5 \\ y-x = 1 \end{array} \right. } \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} 3x+y = 5 \\ y = x+1 \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} 3x+(x+1) = 5 \\ y = x+1 \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} 4x = 5-1 \\ y = x+1 \end{array} \right.} \Rightarrow $$ $$ \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} x = 1 \\ y = x+1 \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} x = 1 \\ y = 2\end{array} \right.} $$

Ответ: (1;2)

Примеры

Пример 1. Решите систему уравнений методом подстановки:

$ а) {\left\{ \begin{array}{c} 5x-4y = 3 \\ 2x-3y = 4 \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} 5x-4y = 3 \\ x = \frac{3y+4}{2} = 1,5y+2 \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} 5(1,5y+2)-4y = 3 \\ x = 1,5y+2 \end{array} \right.} \Rightarrow $

$ \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} 7,5y+10-4y = 3 \\ x=1,5y+2 \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} 3,5y = -7 \\ x = 1,5y+2 \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} y = -2 \\ x = 1,5y+2 \end{array} \right. } \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} x = -1 \\ y = -2\end{array} \right.} $

Ответ: (-1;-2)

$ б) {\left\{ \begin{array}{c} 4x-3y = 7 \\ 3x-4y = 0 \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} 4x-3y = 7 \\ y = \frac{3}{4} x \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} 4x-3\cdot \frac{3}{4} x = 7 \\ y = \frac{3}{4} x \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} (4- \frac{9}{4})x = 7 \\ y = \frac{3}{4} x \end{array} \right.} \Rightarrow $

$\Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} x = 7 \cdot \frac{4}{7} = 4 \\ y = \frac{3}{4} x = \frac{3}{4} \cdot 4 = 3 \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c}x = 4 \\ y = 3 \end{array} \right.} $

Ответ: (4;3)

$ в) {\left\{ \begin{array}{c} 5a-4b = 9 \\ 2a+3b = -1 \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} 5a-4b = 9 \\ a = \frac{-3b-1}{2} = -1,5b-0,5 \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} 5(-1,5b-0,5)-4b = 9 \\ a = -1,5b-0,5 \end{array} \right. } \Rightarrow $

$ \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} -7,5b-2,5-4b = 9 \\ a = -1,5b-0,5 \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c}-11,5b = 11,5 \\ a = -1,5b-0,5 \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} a = 1 \\ b = -1 \end{array} \right.} $

Ответ: (1;-1)

$ г) {\left\{ \begin{array}{c} 7a+4b = 5 \\ 3a+2b = 1 \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} 7a+4b = 5 \\ b = \frac{-3a+1}{2} = -1,5a+0,5 \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} 7a+4(-1,5a+0,5) = 5 \\ b = -1,5a+0,5 \end{array} \right.} \Rightarrow $

$ \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} 7a-6a+2 = 5 \\ b = -1,5a+0,5 \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} a = 3 \\ b = -1,5\cdot3+0,5 = -4 \end{array} \right.} $

Ответ: (3;-4)

Пример 2. Найдите решение системы уравнений:

$а) {\left\{ \begin{array}{c} \frac{x}{4}-y = 7 | \times 4 \\ 3x+ \frac{y}{2} = 9 | \times 2\end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} x-4y = 28 \\ 6x+y = 18 \end{array} \right. } \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} x = 4y+28 = 4(y+7) \\ 6 \cdot 4(y+7)+y = 18 \end{array} \right.} \Rightarrow $

$\Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} x = 4(y+7) \\ 24y+168+y = 18 \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} x = 4(y+7) \\ 25y = -150 \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c}x = 4(-6+7) = 4 \\ y = -6 \end{array} \right.}$

Ответ: (4;-6)

$б) {\left\{ \begin{array}{c} \frac{x}{2}+ \frac{y}{3} = \frac{1}{6} |\times 6 \\ \frac{x}{3}+ \frac{y}{2} = -\frac{1}{6}| \times 6 \end{array} \right.}\Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} 3x+2y = 1 \\ 2x+3y = -1 \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} y = \frac{-3x+1}{2} = -1,5x+0,5 \\ 2x+3(-1,5x+0,5) = -1\end{array} \right.} \Rightarrow$

$ \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} y = -1,5x+0,5 \\ 2x-4,5x+1,5 = -1\end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} y = -1,5x+0,5 \\ -2,5x = -2,5 \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} x = 1 \\ y = -1 \end{array} \right. } $

Ответ: (1;-1)

$ в) {\left\{ \begin{array}{c} 3(5x-y)+14 = 5(x+y) \\ 2(x-y)+9 = 3(x+2y)-16 \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} 15x-3y+14 = 5x+5y \\ 2x-2y+9 = 3x+6y-16 \end{array} \right.} \Rightarrow $

$ \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} 10x-8y = -14 |:2 \\ x+8y = 25 \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} 5x-4y = -7 \\ x = -8y+25 \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} 5(-8y+25)-4y = -7 \\ x = -8y+25 \end{array} \right.} \Rightarrow $

$ \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} -40y+125-4y = -7 \\ x = -8y+25 \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} -44y = -132 \\ x = -8y+25 \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} x = 1 \\ y = 3 \end{array} \right.} $

Ответ: (1;3)

$ г) {\left\{ \begin{array}{c} 5-3(2x+7y) = x+y-52 \\ 4+3(7x+2y) = 23x \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} 5-6x-21y = x+y-52 \\ 4+21x+6y = 23x \end{array} \right. } \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} 7x+22y = 57 \\ 2x-6y = 4 |:2 \end{array} \right.}$

$$ \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} 7x+22y = 57 \\ x-3y = 2 \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} 7x+22y = 57 \\ x = 3y+2 \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} 7(3y+2)+22y = 57 \\ x = 3y+2 \end{array} \right.} \Rightarrow $$

$$ \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} 21y+14+22y = 57 \\ x = 3y+2 \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} 43y = 43 \\ x = 3y+2 \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} x = 5 \\ y = 1 \end{array} \right.}$$

Ответ: (5;1)

Пример 3*. Найдите решение системы уравнений:

$ {\left\{ \begin{array}{c} \frac{3}{2x-5y} + \frac{8}{x+y} = 5 \\ \frac{12}{x+y} — \frac{1}{2x-5y} = 2 \end{array} \right.} $

Введём новые переменные: $ {\left\{ \begin{array}{c} a = \frac{1}{2x-5y} \\ b = \frac{1}{x+y} \end{array} \right.} $

Перепишем систему и найдём решение для новых переменных:

$$ {\left\{ \begin{array}{c} 3a+8b = 5 \\ 12b-a = 2 \end{array} \right. } \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} 3(12b-2)+8b = 5 \\ a = 12b-2 \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} 36b-6+8b = 5 \\ a = 12b-2 \end{array} \right.} \Rightarrow $$

$$ \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} 44b = 11 \\ a = 12b-2 \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} a = 1 \\ b = \frac{1}{4} \end{array} \right.} $$

Получаем:

$$ {\left\{ \begin{array}{c} 2x-5y = \frac{1}{a} = 1 \\ x+y = \frac{1}{b} = 4 \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} 2x-5(4-x) = 1 \\ y = 4-x \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} 2x-20+5x = 1 \\ y = 4-x \end{array} \right.} \Rightarrow $$

$$ \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} 7x = 21 \\ y = 4-x \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} x = 3 \\ y = 1 \end{array} \right.} $$

Ответ: (3;1)

Системы линейных уравнений с двумя переменными. Различные способы решения систем линейных уравнений 7 класс

93. Системы линейных уравнений с двумя переменными. Различные способы решения систем линейных уравнений.

Решим задачу. Сумма двух чисел равна 16, а разность – 2. Найдите эти числа.

Обозначим первое число за х, а второе – за у. Тогда сумму чисел запишем как х+у, а разность – х-у.

Так как сумма чисел равна 16, то запишем первое уравнение х+у = 16. Так как разность чисел равна 2, то запишем второе уравнение х-у = 2. Мы составили два уравнения с двумя неизвестными. Надо найти такое решение, которое обращало бы каждое из этих уравнения в верное равенство. В таких случаях говорят, что надо решить систему уравнений.

Уравнения записывают одно под другим, а рядом – фигурную скобку.

x+y=16x-y=2

Пара значений (9;7) является решением для каждого уравнения. Действительно,

9+7=169-7=2

Решением системы уравнений с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая каждое уравнение системы в верное равенство.

Системы линейных уравнений, имеющие одинаковые решения, называются равносильными. Системы линейных уравнений, которые не имеют решений, также считаются равносильными.

Как же найти решение системы линейных уравнений? Первый способ – графический способ решения системы линейных уравнений. Начертим график первого линейного уравнения и график второго линейного уравнения на одной координатной плоскости. Точка, в которой эти графики пересекаются, и будет решением.

Найдем решение системы линейных уравнений графическим способом. Для этого сначала выразим переменную у из каждого уравнения.

2x+5y=6x-y=-11

5y=6-2xy=x+11

y=6-2x5y=x+11

Построим графики функций y=6-2×5 и y=x+11. Каждый из графиков представляет собой прямую, пересекающуюся с осями координат. Найдем точки пересечения каждого из графиков с осями координат. В каждом случае это будут две точки. Через эти две точки проведем прямую. У нас получатся две пересекающиеся прямые.

y=6-2х5

х	0	3
у	6/5	0

y=x+11

х	0	-11
У	11	0

Графики пересекаются в точке с координатами (-7;3). Подставим и проверим, будут ли эти значения решением для системы уравнений

4=6-2(-7)54=-7+11

Равенства выполняются.

Если графики линейных уравнений пересекаются, система имеет одно решение. Если они параллельны, то система не имеет решений. Если прямые совпадают, то решений бесконечно много.

Рассмотрим другие способы решения системы линейных уравнений.

Второй способ – способ подстановки.

Решим систему уравнений

5х+y=6x-y=18

Выразим у из второго уравнения

5x+y=6y=x-18

И подставим в первое уравнение

5x+(х-18)=6y=x-18

Тогда

6x-18=6y=x-18

6x=24y=x-18

x=4y=х-18

x=4y=-14

Ответ: (4;-14).

Третий способ – способ сложения.

Решим систему уравнений

2x-5y=12x+5y=0

Мы видим, что коэффициент при у в первом уравнении и коэффициент при у во втором уравнении – противоположные числа 3 и -3. Cложим почленно первое и второе уравнение и заменим первое уравнение системы тем, которое получится.

2x-5y+x+5y=12+0x+5y=0

3x=12x+5y=0

x=4x+5y=0

x=44+5y=0

x=4y=-45

Ответ: (4;-45).

Решим еще одну систему уравнений

5x+10y=1810x-7y=90

Почленное сложение уравнений ничего нам не даст.

Умножим обе части первого уравнения на -2. Получим

-10x-20y=-3610x-7y=90

Вот теперь можно применить способ сложения

-27y=5410x-7y=90

y=-210x-7y=90

y=-210x+14=90

y=-2x=735

Ответ: (735;-2).

Алгебра 7-9 классы. 11. Способы решения систем линейных уравнений

Подробности: Категория: Алгебра 7-9 классы

СПОСОБ ПОДСТАНОВКИ

Решим систему уравнений:

Выразим из первого уравнения у через х:

Подставив во второе уравнение вместо у выражение , получим систему:

Докажем, что системы (1) и (2) имеют одни и те же решения.

Пусть некоторая пара значений х и у является решением системы (1). При этих значениях х и у уравнение обращается в верное равенство. Заменив в нем значение у равным ему значением выражения , мы снова получим верное равенство. Значит, каждое решение системы (1) является решением системы (2).

Аналогично доказывается, что каждое решение системы (2) является решением системы (1).

Таким образом, системы (1) и (2) имеют одни и те же решения. Такие системы называются равносильными.

В системе (2) второе уравнение содержит только одну переменную. Решим это уравнение:

Соответствующее значение у можно найти, подставив вместо х число 1 в первое уравнение системы (1). Удобнее, однако, воспользоваться формулой

Пара (1; 4) — решение системы (1).

Способ, с помощью которого мы решили систему (1), называют способом подстановки. При решении этим способом сначала из какого-нибудь уравнения выражают одну переменную через другую. Полученное выражение подставляют в другое уравнение, в результате чего приходят к уравнению с одной переменной. Решают это уравнение. Затем находят соответствующее значение второй переменной.

На рисунке 66 построены графики уравнений и . Они пересекаются в точке (1; 4). Через эту точку проходит и график уравнения т. е. прямая х = 1. Мы видим, что системы (1) и (2) имеют одно и то же решение.

Покажем применение способа подстановки еще на одном примере. Решим систему:

Выразим из второго уравнения х через у:

Подставим в первое уравнение вместо х выражение

Решим полученное уравнение с одной переменной у:

Подставим в уравнение вместо у число 4,5:

Ответ: х=—3, у = 4,5.

СПОСОБ СЛОЖЕНИЯ

Рассмотрим еще один способ решения систем уравнений — способ сложения. При решении систем этим способом, как и при решении способом подстановки, мы переходим от данной системы к другой, равносильной ей системе, в которой одно из уравнений содержит только одну переменную.

Пример 1. Решим систему:

В уравнениях системы коэффициенты при у — противоположные числа. Сложив почленно левые и правые части уравнения, получим уравнение с одной переменной:

Заменим одно из уравнений системы (1), например первое, уравнением . Получим систему:

Решим систему (2). Из уравнения находим, что . Подставив это значение х в уравнение , получим уравнение с переменной у:

Решим это уравнение:

Пара (11; —9) — решение системы (2). Она является также решением системы (1), так как системы (1) и (2) равносильны. В этом можно убедиться с помощью рассуждений, аналогичных тем, которые были проведены в предыдущем пункте при решении систем способом подстановки.

На рисунке 67 изображены графики уравнений 2x + 3у = — 5 и х — Зу = 38.

График уравнения , т. е. прямая , проходит через точку их пересечения. Из рисунка видно, что система (2) имеет то же решение, что и система (1).

Пример 2. Решим систему:

Почленное сложение уравнений системы не приводит к исключению одной из переменных. Однако если умножить все члены первого уравнения на — 2, а второе уравнение оставить без изменений, то коэффициенты при х в полученных уравнениях будут противоположными числами:

Теперь почленное сложение приведет к уравнению с одной переменной . Из этого уравнения находим, что . Подставив во второе уравнение вместо у число —2, найдем значение х:

Ответ: х = 6, у= — 2.

Пример 3. Решим систему

Подберем множители к уравнениям так, чтобы коэффициенты при у стали противоположными числами. С этой целью умножим каждый член первого уравнения на 3, а второго на 7. Получим систему:

Сложив уравнения почленно, получим:

Отсюда

Подставив это значение х в уравнение , найдем, что у = 19.

Ответ: х=—14, у —19.

Разработка урока по алгебре в 7 классе по теме «Нестандартный способ решения систем линейных уравнений с двумя переменными»

Автор: Бородина Марина Юрьевна

Рубрика: Математика

Опубликовано в Молодой учёный №33 (167) август 2017 г.

Дата публикации: 22.08.2017 2017-08-22

Статья просмотрена: 1062 раза

Скачать электронную версию

Скачать Часть 1 (pdf)

Библиографическое описание:

Бородина, М. Ю. Разработка урока по алгебре в 7 классе по теме «Нестандартный способ решения систем линейных уравнений с двумя переменными» / М. Ю. Бородина. — Текст : непосредственный // Молодой ученый. — 2017. — № 33 (167). — С. 1-4. — URL: https://moluch.ru/archive/167/45372/ (дата обращения: 16.09.2022).

В данной статье предлагается разработка урока алгебры в 7 классе по учебнику А. Г. Мордковича. Школьникам скоро предстоит сдавать экзамены, и многие из них хотят, как можно хорошо и быстро научиться решать задачи. И в таких случаях можно применять нестандартные решения. Задания: «Решить систему уравнений» входят в задания экзамена как после 9 класса, так и после 11 класса. Данное изучение лучше применить на втором уроке в теме «Решение систем уравнений способ сложения».

Цель: Познакомиться с нестандартным решением систем линейных уравнений.

Задача: Научиться решать системы линейных уравнений методом Крамера и сравнить с другими методами решения.

Ход урока

Сегодня на уроке мы рассмотрим нестандартный способ решения систем уранений с двумя переменными и сравним данный способ решения с другими решенями. Но сначала повторим темы прошлых уроков:

– Что значит «решить систему линейных уравнений»? (Найти все его корни, или показать, что их нет.)

– Что является решением системы с двумя переменными? (Пара значений переменных, обращающая каждое уравнение системы в верное равенство.)

– Какие способы решения систем уравнений мы применяли? (способ сравнения; графический способ; способ подстановки; способ сложения)

К доске вызываются четыре ученика и решают систему различными способами, а остальные по вариантам. После решения ученики рассказывают алгоритм решения, в случае затруднения помогает класс.

При решении систем уравнений с двумя переменными можно применить еще один способ, применяя метод Крамера. Габриэль Крамер (Gabriel Cramer) (31.07.1704 — 04.01.1752). Швейцарский математик, один из создателей линейной алгебры.

Данный метод значительно ускоряет процесс решения систем линейных уравнений и очень удобно применять его для систем с громоздкими вычислениями.

Метод Крамера применяется в Высшей математике при решении системы линейных уравнений с тремя неизвестными или решении системы стольких линейных уравнений, сколько в каждом уравнении неизвестных. Вам будет интересно научиться применять решение, не просто школьного курса, а решение, которые применяют студенты первых курсов высших заведений.

В данном методе при решении используют понятие определителя системы:

Определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных, называется определителем системы и обозначается Δ(дельта) и вычисляется по формуле.

где, _, — заданные числа_; х и у- неизвестные, числа — называются коэффициентами, а числа — свободными членами.

Δ = = а₁₁ · а₂₂ — а₁₂ · а₂₁.

Для нахождения неизвестных н6ам нужно найти еще два определителя и , путём замены коэффициентов при соответствующих неизвестных свободными членами:

= = в₁ · а₂₂ — а₁₂ · в₂.

= а₁₁ · в₂ — в₁ · а₂₁.

Формула Крамера для нахождения неизвестных: х = ; у = .

Найти значения неизвестных можно только при условии, когда определитель не равен нулю (Δ≠0).

Замечание: если определитель системы равен нулю, то система может иметь бесконечно много решений или не имеет решений.

Пример:

Δ = = 3·4–2·5 = 12–10=2≠0

Найдем еще два определителя и , путём замены коэффициентов при соответствующих неизвестных свободными членами:

= 2;

Формула Крамера для нахождения неизвестных: х = ; у = . Ответ: (1;-2).

Решите систему уравнений способ сложения и методом Крамера:

а) ; б) ; в)

Решив системы, сделаем вывод: какой способ решается быстрее и легче?

– способ сравнения: выразим переменную у через х, решим уравнение через х, приравняв правые части уравнения, и найдем переменную у;

– графический способ: выразим переменную у через х, построим график. Но на графике не всегда можно увидеть точное решение;

– способ подстановки: выразим одну переменную через другую, подставим и решим уравнение, найдем другую переменную;

– способ сложения: умножим уравнения системы на такие множители, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными; сложим левые и правые части уравнений системы; решим получившееся уравнение с одной переменной и найдем другую переменную;

– методом Крамера: по формулам найдем три определителя и переменные.

При рассмотрении решений несколькими способами ученики убеждаются, что метод Крамера упрощает время и трудности вычисления для нахождения неизвестных в решении систем уравнений.

Итоги урока:

— Сегодня на уроке мы обобщили все методы решения систем линейных уравнений с двумя переменными.

— Какие способы решения вы знаете?

— Каким бы способом вы решали системы уравнений и почему?

— А какой способ решения вы бы применили на экзамене?

Домашнее задание: 1225(а, б), 1226.

Литература:

1. Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К.И. и др. Алгебра 7 класс. Учебник. –М.: Просвещение 3-е изд. — М.: 2014. — 256 с.

Письменный Д. Т. Конспект лекций по высшее математике. 1 часть.- второе издание, испр.- М: Айрис-пресс, 2003.-288с.: ил.
Лисичкин В. Т., Соловейчик И. Л. математика: учебное пособие для техникумов. -М.: Высшая школа, 1991 480 с: ил.
Пичурин Л. Ф. За страницами учебника алгебры. — М: Просвещение, 1990–224с., ил.

Основные термины (генерируются автоматически): нахождение неизвестных, переменная, определитель системы, решение систем уравнений, решение системы, способ сложения, уравнение, графический способ, замена коэффициентов, какой способ решения.

Решение систем уравнений 7 класс доклад, проект

Главная
Разное
Образование
Спорт
Естествознание
Природоведение
Религиоведение
Французский язык
Черчение
Английский язык
Астрономия
Алгебра
Биология
География
Геометрия
Детские презентации
Информатика
История
Литература
Математика
Музыка
МХК
Немецкий язык
ОБЖ
Обществознание
Окружающий мир
Педагогика
Русский язык
Технология
Физика
Философия
Химия
Шаблоны, фоны, картинки для презентаций
Экология
Экономика

Презентация на тему Решение систем уравнений 7 класс, предмет презентации: Алгебра. Этот материал в формате pptx (PowerPoint) содержит 17 слайдов, для просмотра воспользуйтесь проигрывателем. Презентацию на заданную тему можно скачать внизу страницы, поделившись ссылкой в социальных сетях! Презентации взяты из открытого доступа или загружены их авторами, администрация сайта не отвечает за достоверность информации в них, все права принадлежат авторам презентаций и могут быть удалены по их требованию.

Слайд 1Текст слайда:

МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ

Слайд 2Текст слайда:

АЛГЕБРА СТОИТ НА ЧЕТЫРЁХ КИТАХ

Число

Тождество

Функция

Алгебра щедра. Зачастую она дает больше, чем у нее спрашивают

Ж.Даламбер

уравнение

тождество

функция

Слайд 3Текст слайда:

« Мне приходится делить время между политикой и уравнениями. Однако уравнение, по-моему, гораздо важнее. Политика существует только для данного момента, а уравнения будут существовать вечно». Альберт Эйнштейн

Слайд 4Текст слайда:

ЦЕЛЬ УРОКА

Продолжить формирование навыков сознательного выбора способа решения системы;
Развивать потребность в нахождении рациональных способов решения;
Воспитывать умение контролировать внимание на всех этапах урока;

Слайд 5Текст слайда:

Что называется системой уравнений?

Что называется решением системы уравнений?

Что значит – решить систему уравнений?

Слайд 6Текст слайда:

СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ И ЕЁ РЕШЕНИЕ

Определения

Системой уравнений называется некоторое количество уравнений, объединенных фигурной скобкой.

Решением системы уравнений с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая каждое уравнение системы в верное равенство

Решить систему уравнений — это значит найти все её решения или установить, что их нет

Слайд 7Текст слайда:

СКОЛЬКО РЕШЕНИЙ ИМЕЕТ СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ ?

Графики
пересекаются

Система имеет единственное решение

Графики параллельны

Система не имеет решений

Графики совпадают

Система имеет бесконечно много решений

Если
к1≠к2

Если к1=к2,
b1≠b2

Если к1=к2,
b1=b2

Слайд 8Текст слайда:

МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ

графический способ
способ подстановки

Слайд 9Текст слайда:

ГРАФИЧЕСКИЙ СПОСОБ (АЛГОРИТМ)

Выразить у через х в каждом уравнении
Построить в одной системе координат график каждого уравнения
Определить координаты точки пересечения
Записать ответ: х=…; у=… , или (х; у)

Слайд 10Текст слайда:

РЕШИТЬ СИСТЕМУ УРАВНЕНИЙ СПОСОБОМ ПОДСТАНОВКИ

y – 2x = 4 ,
7x – y = 1 .

Слайд 11Текст слайда:

РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ СПОСОБОМ ПОДСТАНОВКИ

7х — 2х — 4 = 1;

5х = 5;

х=1;

Ответ: х=1; у=6.

Слайд 12Текст слайда:

СПОСОБ ПОДСТАНОВКИ (АЛГОРИТМ)

Из какого-либо уравнения выразить одну переменную через другую
Подставить полученное выражение для переменной в другое уравнение и решить его
Сделать подстановку найденного значения переменной и вычислить значение второй переменной
Записать ответ: х=…; у=… .

Слайд 13Текст слайда:

РЕШИТЬ СИСТЕМУ УРАВНЕНИЙ

№ 1068
№ 1071

Слайд 14Текст слайда:

ПРИМЕНЕНИЕ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ

1. В настоящее время в компьютерной технологии широко используются электронные таблицы для решения задач управления в промышленности, бизнесе, финансовой деятельности.
Электронная таблица легко позволяет реализовать один из методов вычислительной математики — метод итераций.
Наибольшее применение итерационный метод нашел при решении систем линейных уравнений. К таким системам сводятся задачи анализа электрических цепей, расчета энергий колебательных уровней двухатомных молекул и др. Метод используется и для решения систем нелинейных уравнений: система «хищник-жертва» и др.

2. Решение задачи о месте и времени встречи промыслового рыболовецкого судна с перегрузчиком сводится по сути к решению систем линейных уравнений, использующих данные о координатах судов, их скоростях и метеоусловиях.

Слайд 15Текст слайда:

САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА

Решите системы уравнений

Проверьте у соседа правильность решения

Слайд 16Текст слайда:

Домашнее задание:

п.43 (определение, примеры)
№ 1069

Слайд 17Текст слайда:

Спасибо всем за работу

Скачать презентацию

Что такое shareslide.

ru?

Это сайт презентаций, где можно хранить и обмениваться своими презентациями, докладами, проектами, шаблонами в формате PowerPoint с другими пользователями. Мы помогаем школьникам, студентам, учителям, преподавателям хранить и обмениваться учебными материалами.

Для правообладателей

Обратная связь

Email: Нажмите что бы посмотреть

Решение линейных уравнений — Подготовка к оценке TSI

Линейное уравнение — это уравнение, которое содержит переменную вроде « x », а не что-то вроде x 2. Линейные уравнения могут выглядеть как x + 6 = 4, или как 2 a – 3 = 7.

В общем, чтобы решить уравнение, вы хотите получить переменную саму по себе, отменив любые операции, которые к ней применяются.

Вот общая стратегия решения линейных уравнений.

Шаг 1. Удаление дробей или десятичных знаков.
Шаг 2. Упростите каждую часть уравнения, удалив скобки и объединив одинаковые члены.
Шаг 3. Изолируйте переменный член в одной части уравнения.
Шаг 4. Решите уравнение, разделив каждую часть уравнения.
Шаг 5. Проверьте свое решение.

Пример 1 : Найдите x : 3(2 – 5 x ) + 4(6 x ) = 12

Решение.

Шаг 1. Очистите дроби или десятичные дроби.

Этот шаг необязателен для данного уравнения.

Шаг 2. Упростите каждую часть уравнения.

Удалить скобки

3(2 – 5 x ) + 4(6 x ) = 12

Применить свойство распределения.

6 – 15 x + 24 x = 12

Объединение, как термины

6 -15 x + 24 x = 12

Комбинирование X-Terms в левой стороне уравнения.

6 + 9 x = 12

Шаг 3. Выделите переменный член в одной части уравнения.

6 + 9 x = 12

Вычтите 6 из каждой части уравнения.

6 + 9 x – 6 = 12 –6 9 x = 6

Шаг 4. Решить каждую часть уравнения путем деления.

Разделите каждую часть уравнения на 9.

9 x ÷ 9 = 6 ÷ 9

Сократите дробь.

x = 2/3

Шаг 5. Проверьте свое решение.

Это остается за вами.

Example 2 : Solve for y : 0.12( y – 6) + 0.06 y = 0.08 y – 0,7

Раствор.

Шаг 1. Очистить дроби или десятичные дроби.

Умножьте каждую часть уравнения на 100.

100 [0,12 ( Y — 6) + 0,06 Y ] = 100 [0,08 Y — 0,7 ]

СТАВА.

Распределите 100 на каждый член уравнения.

100 [0,12( y – 6) ] + 100 [0,06 9

8 ]0022 = 100 [0,08 Y ] — 100 [0,7]

Упрощайте термины

12 ( Y — 6) + Y y y y y — 6) + y = y — 6). — 70

Удалите скобки

12 Y — 72 + 6 Y = 8 Y — 70

Combine, такие как термины 9008

8 18 40041941

141
41941
141. 141414141
1141.
141414141141. 914 2
14 2
14 2 . у – 70
Шаг 3. Выделите переменный член в одной части уравнения.
Вычтите 8 y из каждой части уравнения.
18 y – 72 – 8 y = 8 y – 70 – 8 y 10 y – 72 = – 70
Добавить 72 в каждую часть уравнения.
10 y – 72 + 72 = – 70 + 72 10 y = 2
Шаг 4. Решите уравнение, разделив каждую часть уравнения.
Разделите каждую часть уравнения на 10.
10 y ÷ 10 = 2 ÷ 10 4 Сократите дробь.
у = 1/5 = 0,2
Шаг 5. Проверьте свое решение.
Это остается за вами.
Решение линейных уравнений, которые либо не имеют решения
Пример 3 : Решите следующее уравнение путем факторизации.
Решение для x : 2 ( x + 3) — 5 = 5 x — 3 (1 + x ) 666666666666666666669. ) 6666666666666669. 9) 666666669 x ) 6) 666669 x ) 5 — 3 (1 + x — 3 (1 + x — 3 (1 + .0015
Раствор.
Шаг 1. Очистить дроби или десятичные дроби.
Этот шаг необязателен для данного уравнения.
2( x + 3) – 5 = 5 x – 3(1 + x )
Шаг 2. Упростите каждую часть уравнения.
Удалить скобки
2 x + 6 – 5 = 5 x – 3 – 3 x
Объединить одинаковые термины
2 x + 6 – 5 = 5 x – 3 – 3 x 2 x + 1 = 2 x – 3
Шаг 3. Изолируйте переменный член в одной части уравнения.
Вычтите 2 x из каждой части уравнения.
2 x + 1 – 2 x = 2 x – 3 – 2 x
1 = – 3
Поскольку в окончательном уравнении нет переменных членов, а оставшееся уравнение является ложным, то нет решения этому уравнению. Уравнение также называют противоречием .
Если 9х+10 = 7х, то 4х =
а. -40/16
б. 40/64
в. 20
д. -20
Решите уравнение относительно x, затем вычислите 4 x или 4x.
9x+10=7x
9x-7x+10 = 7x-7x
2x+10 = 0
2x = -10
x = -5
Таким образом, 4x равно -5
20.
Правильный ответ: д
а. 27/11
б. -27/11
в. 3
д. -3
Умножьте на наименьший общий знаменатель, 12, затем найдите x.
3(3x-1)+2(x+3)=36
9x-3+2x+6=36
11x+3=36
11x=33
x=3
Правильный ответ: с
Решите 2(3-2x) = x-4
а. 2
б. -2
в. 10/3
д. -10/3
Удалите круглые скобки с помощью Distributive Property и найдите x.
2(3-2x) = x — 4
6-4x = x — 4
6 — 4x — x = x — x — 4
6 — 5x = -4
6 — 6 — 5x = -4 — 6
-5x = -10
x = 2
Правильный ответ: a
0 из 0 верно.
4.2 Решение линейных уравнений | Уравнения и неравенства
Предыдущий
4. 1 Введение
Следующий
4.3 Решение квадратных уравнений
4.2 Решение линейных уравнений (EMA34)
Самое простое уравнение для решения — это линейное уравнение. Линейное уравнение – это уравнение, в котором наибольшее показатель степени переменной равен $\text{1}$. Ниже приведены примеры линейных уравнений:
\начать{выравнивать*} 2х+2&=1\ \frac{2 — x}{3x + 1} & = 2 \\ 4\влево(2x — 9\вправо) — 4x & = 4 — 6x \\ \frac{2a — 3}{3} — 3a & = \frac{a}{3} \конец{выравнивание*}
Решить уравнение означает найти значение переменной, которая делает уравнение верным. Например, чтобы решить простое уравнение $x + 1 = 1$, нам нужно определить значение $x$, которое сделает левый ручная сторона равна правой. Решение $x = 0$.
Решение, также называемое корнем уравнения, представляет собой значение переменной, удовлетворяющей уравнению. Для линейных уравнений существует не более одного решения уравнения.
Для решения уравнений мы используем алгебраические методы, которые включают раскрытие выражений, группировку терминов и факторизация.
Например:
\начать{выравнивать*} 2х+2&=1\ 2x & =1 — 2 \quad \text{ (переставить)} \\ 2x & = -1 \quad \text{ (упростить)} \\ x & = -\frac{1}{2} \quad \text{(разделить обе части на } 2\text{)} \конец{выравнивание*}
Проверьте ответ, подставив $x=-\frac{1}{2}$.
\начать{выравнивать*} \text{LHS} & = 2x + 2 \\ & = 2\влево(-\фракция{1}{2}\вправо) + 2 \\ &=-1+2\ & = 1 \\ \text{правая сторона} & =1 \конец{выравнивание*}
Следовательно, $x=-\frac{1}{2}$
Следующее видео знакомит с решением линейных уравнений.
Видео: 2F9B
Метод решения линейных уравнений (ЕМА35)
Общие шаги решения линейных уравнений:
Раскрыть все скобки.
Переставьте члены так, чтобы все члены, содержащие переменную, находились на одной стороне уравнения, а все постоянные члены находятся на другой стороне.
Сгруппируйте похожие термины вместе и упростите.
Факторизация при необходимости.
Найдите решение и запишите ответ.
Проверьте ответ, подставив решение обратно в исходное уравнение.
Уравнение всегда должно быть сбалансировано, что бы вы ни делали с левой частью, вы должны делать и с левой справа.
Рабочий пример 1: Решение линейных уравнений
Найдите $х$:
\[4(2x — 9) — 4x = 4 — 6x\]
Раскройте скобки и упростите
\начать{выравнивать*} 4(2х — 9) — 4х & = 4 — 6х \\ 8х — 36 — 4х & = 4 — 6х\ 8х — 4х + 6х & = 4 + 36\ 10x & = 40 \end{выравнивание*}
Разделить обе стороны на 10
\[х = 4\]
Проверьте ответ, подставив решение обратно в исходное уравнение
\начать{выравнивать*} \text{LHS} & = 4[2(4) — 9] — 4(4) \\ & = 4(8 — 9) — 16 \\ & = 4(-1) — 16 \\ &=-4 — 16\ &=-20\\ \text{RHS} & = 4 — 6(4) \\ &=4 — 24\ &=-20\\ \поэтому \text{левый } = \text{правый} \конец{выравнивание*}
Поскольку обе стороны равны, ответ правильный.
температура текст
Рабочий пример 2: Решение линейных уравнений
Найдите $х$:
\[\frac{2 — x}{3x + 1} = 2\]
Умножить обе части уравнения на $\left(3x + 1\right)$
Деление на $\text{0}$ не определено, поэтому должно быть ограничение: $\left(x$ пе -\frac{1}{3}\right)\).
\начать{выравнивать*} \frac{2 — x}{3x + 1} & = 2 \\ (2 — х) & = 2(3х + 1) \конец{выравнивание*}
Раскройте скобки и упростите
\начать{выравнивать*} 2 — х&=6х+2\ -х — 6х & = 2 — 2\ -7x & = 0 \конец{выравнивание*}
Разделить обе стороны на $-\text{7}$
\начать{выравнивать*} х & = \ гидроразрыва {0}{-7} \\ х & = 0 \конец{выравнивание*}
Проверьте ответ, подставив решение обратно в исходное уравнение
\начать{выравнивать*} \text{LHS} & = \frac{2 — (0)}{3(0) + 1} \\ & = 2 \\ & = \text{Правая} \конец{выравнивание*}
Поскольку обе стороны равны, ответ правильный.
температура текст
Рабочий пример 3: Решение линейных уравнений
Найдите $а$: \[\frac{2a — 3}{3} — 3a = \frac{a}{3}\]
Умножить уравнение на общий знаменатель $\text{3}$ и упростить
\начать{выравнивать*} 2а — 3 — 9а & = а \\ -7а — 3 & = а \end{выравнивание*}
Переставить термины и упростить
\начать{выравнивать*} -7а — а&=3\ -8а & = 3 \конец{выравнивание*}
Разделить обе стороны на $-\text{8}$
\[a= -\frac{3}{8}\]
Проверьте ответ, подставив решение обратно в исходное уравнение
\начать{выравнивать*} \text{LHS} & = \frac{2\left(-\frac{3}{8}\right) — 3}{3} — 3\left(-\frac{3}{8}\right) \ \ & = \ гидроразрыва {\ влево (- \ гидроразрыва {3} {4} \ справа) — \ гидроразрыва {12} {4}} {3} + \ гидроразрыва {9{8} \\ & = \left[-\frac{15}{4}\times \frac{1}{3}\right] + \frac{9}{8} \\ & = -\frac{5}{4} + \frac{9}{8} \\ & = -\frac{10}{8} + \frac{9}{8} \\ & = -\frac{1}{8} \\ \text{RHS} & = \frac{-\frac{3}{8}}{3} \\ & = \frac{-\frac{3}{8}}{3} \\ & = -\frac{3}{8}\times \frac{1}{3} \\ & = -\frac{1}{8} \\ \поэтому \text{левый } = \text{правый} \конец{выравнивание*}
Поскольку обе стороны равны, ответ правильный.
температура текст
Учебник Упражнение 4.1
$2y — 3 = 7$
\begin{align*} 2у — 3&=7\ 2у&=10\ у & = 5 \end{align*}
$2c = c -8$
\begin{align*} 2с &= с — 8\\ с & = -8 \end{выравнивание*}
$3 = 1 — 2c$
\begin{align*} 3 &= 1 — 2с\\ 2с &= 1 — (3)\\ 2с & = -2\\ с & = \ гидроразрыва {-2} {2} \\ & = -1 \end{выравнивание*}
$4b+5 = -7$
\begin{выравнивание*} 4б +5 &= -7\\ 4b &= -7 — (5)\\ 4b&=-12\\ б & = \фракция{-12}{4}\\ & = -3 \end{выравнивание*}
$-3y = 0$
\begin{align*} -3у&=0\ у & = 0 \end{align*}
$16y + 4 = -10$
\begin{align*} 16у+4&=-10\ 16у&=-14\ y & = -\frac{14}{16}\\ & = -\фракция{7}{8} \end{выравнивание*}
$12y + 0 = 144$
\begin{выравнивание*} 12у + 0 & = 144\ 12у&=144\ у & = 12 \end{align*}
$7 + 5y = 62$
\begin{align*} 7+5у&=62\ 5у&=55\ у & = 11 \end{align*}
$55 = 5x + \frac{3}{4}$
\begin{align*} 55 & = 5x + \frac{3}{4} \\ 220&=20х+3\ 20х & = 217\ х & = \ гидроразрыва {217} {20} \end{выравнивание*}
$5x = 2x + 45$
\begin{align*} 5х&=2х+45\ 3х&=45\ х & = 15 \end{align*}
$23x — 12 = 6 + 3x$
\begin{align*} 23х — 12 и = 6 + 3х\ 20х & = 18\ х & = \ гидроразрыва {18} {20} \\ & = \фракция{9}{10} \end{выравнивание*}
$12 — 6x + 34x = 2x — 24 — 64$
\begin{align*} 12 — 6х + 34х & = 2х — 24 — 64\ 12+28х&=2х-88\ 26х&=-100\ х & = -\фракция{100}{26} \\ & = -\фракция{50}{13} \end{align*}
$6x + 3x = 4 — 5(2x — 3)$
\begin{align*} 6х + 3х & = 4 — 5 (2х — 3) \\ 9х & = 4 — 10х + 15\ 19х&=19\ х & = 1 \end{align*}
$18 — 2p = p + 9$
\begin{align*} 18 — 2п&=п+9\ 9&=3п\ р & = 3 \end{align*}
$\dfrac{4}{p} = \dfrac{16}{24}$
\begin{align*} \frac{4}{p} & = \frac{16}{24} \\ (4)(24) & = (16)(р) \\ 16р&=96\ р & = 6 \end{align*}
$-(-16 — p) = 13p — 1$
\begin{align*} -(-16 — п)&=13п — 1\ 16+п&=13п-1\ 17 и = 12п\ р & = \ гидроразрыва {17} {12} \end{align*}
$3f — 10 = 10$
\begin{align*} 3ф — 10 и = 10\ 3ф&=20\ f & = \frac{20}{3} \end{выравнивание*}
$3f + 16 = 4f — 10$
\begin{align*} 3ф + 16 & = 4ф — 10\ f & = 26 \end{align*}
$10f + 5 = -2f -3f + 80$
\begin{align*} 10ф+5&=-2ф-3ф+80\ 10f+5&=-5f+80\ 15ф&=75\ f & = 5 \end{выравнивание*}
$8(f — 4) = 5(f — 4)$
\begin{align*} 8(f — 4) & = 5(f — 4) \\ 8ф — 32 и = 5ф — 20\ 3ф&=12\ f & = 4 \end{align*}
$6 = 6(f + 7) + 5f$
\begin{align*} 6 & = 6(f + 7) + 5f \\ 6&=6ф+42+5ф\ -36&=11f\ f & = -\frac{36}{11} \end{выравнивание*}
$-7x = 8(1 — x)$
\begin{align*} -7х & = 8(1 — х) \\ -7х&=8 — 8х\ х & = 8 \end{align*}
$5 — \dfrac{7}{b} = \dfrac{2(b + 4)}{b}$
\begin{align*} 5 — \frac{7}{b} & = \frac{2(b + 4)}{b} \\ \frac{5b — 7}{b} & = \frac{2b + 8}{b} \\ 5б — 7 и = 2б + 8\ 3б и = 15\\ б & = 5 \end{выравнивание*}
$\dfrac{x + 2}{4} — \dfrac{x — 6}{3} = \dfrac{1}{2}$
\begin{align*} \frac{x + 2}{4} — \frac{x — 6}{3} & = \frac{1}{2} \\ \frac{3(x + 2) — 4(x — 6)}{12} & = \frac{1}{2} \\ \frac{3x + 6 — 4x + 24}{12} & = \frac{1}{2} \\ (-х + 30)(2) & = 12 \\ -2x + 60 & = 12\\ -2х&=-48\ х & = 24 \end{выравнивание*}
$1 = \dfrac{3a — 4}{2a + 6}$
Обратите внимание, что $a \neq — -3$
\начать{выравнивать*} 1 &= \ frac {3a — 4} {2a + 6} \\ 2а + 6 &= 3а — 4 \\ а &= 10 \конец{выравнивание*}
$\dfrac{2-5a}{3} — 6 = \dfrac{4a}{3} +2 — a$
\begin{align*} \frac{2-5a}{3} — 6 &= \frac{4a}{3} +2 — a \\ \frac{2-5a}{3} — \frac{4a}{3} + a &= 8 \\ \frac{2-5a — 4a + 3a}{3} &= 8 \\ 2 — 6а &= 24\ 6а&=-22\ а &= -\фракция{22}{6} \end{выравнивание*}
$2 — \dfrac{4}{b+5} = \dfrac{3b}{b+5}$
Примечание $b \neq -5$
\начать{выравнивать*} 2 — \frac{4}{b+5} &= \frac{3b}{b+5} \\ 2 &= \frac{3b+4}{b+5} \\ 2б + 10 &= 3б + 4 \\ б &= 6 \конец{выравнивание*}
$3 — \dfrac{y — 2}{4} = 4$
\begin{align*} 3 — \frac{y — 2}{4} & = 4 \\ -\frac{y — 2}{4} & = 1 \\ -у+2&=4\ у & = -2 \end{выравнивание*}
$\text{1,5}x + \text{3,125} = \text{1,25}x$
\begin{align*} \text{1,5}x + \text{3,125} & = \text{1,25}x \\ \text{1,5}x — \text{1,25}x & = -\text{3,125} \\ \text{0,25}x & = -\text{3,125} \\ х & = -\текст{12,5} \end{align*}
$\text{1,3}(\text{2,7}x + 1) = \text{4,1} — x$
\begin{align*} \text{1,3}(\text{2,7}x + 1) &= \text{4,1} — x \\ \text{3,51}x + \text{1,3} &= \text{4,1} — x \\ \text{4,51}x &= \text{2,8} \\ х & = \ гидроразрыва {\ текст {2,8}} {\ текст {4,51}} \\ &= \фракция{280}{451} \end{выравнивание*}
$\text{6,5}x — \text{4,15}= 7 + \text{4,25}x$
\begin{align*} \text{6,5}x — \text{4,15} &= 7 + \text{4,25}x \\ \text{2,25}x &= \text{11,15} \\ х & = \ гидроразрыва {\ текст {11,15}} {\ текст {2,25}} \\ & = \frac{\text{1 115}}{225} \\ &= \фракция{223}{45} \end{align*}
$\frac{1}{3}P + \frac{1}{2}P — 10 = 0$
\begin{выравнивание*} \frac{1}{3}P + \frac{1}{2}P — 10 & = 0 \\ \frac{2 + 3}{6}P & = 10 \\ 5П&=60\ Р & = 12 \end{align*}
$1\frac{1}{4}(x — 1) — 1\frac{1}{2}(3x + 2) = 0$
\begin{align* } 1\frac{1}{4}(x — 1) — 1\frac{1}{2}(3x + 2) & = 0 \\ \frac{5}{4}x — \frac{5}{4} — \frac{3}{2}(3x) — \frac{3}{2}(2) & = 0 \\ \frac{5}{4}x — \frac{5}{4} — \frac{9{2}x — \frac{6}{2} & = 0 \\ \frac{5 — 18}{4}x + \frac{-5 — 12}{4} & = 0 \\ \frac{-13}{4}x & = \frac{17}{4} \\ -13х&=17\ х & = -\фракция{17}{13} \end{align*}
$\frac{1}{5}(x- 1) = \frac{1}{3}(x-2) + 3$
\begin{align*} \frac{1}{5}(x- 1) &= \frac{1}{3}(x-2) + 3 \\ \frac{1}{5}x- \frac{1}{5} &= \frac{1}{3}x- \frac{2}{3} + 3 \\ -\frac{1}{5} + \frac{2}{3} — 3 &= \frac{2}{15}x \\ -\frac{38}{15} &= \frac{2}{15}x \\ х &= -\фракция{38}{2} \\ х &= -19\end{align*}
$\dfrac{5}{2a} + \dfrac{1}{6a} — \dfrac{3}{a} = 2$
\begin{align*} \frac{5}{2a} + \frac{1}{6a} — \frac{3}{a} & = 2 \\ \frac{5(3) + 1 — 3(6)}{6a} & = 2 \\ \frac{15 + 1 — 18}{6a} & = 2 \\ \frac{-2}{6a} & = 2 \\ -2&=12а\\ а & = -\фракция{1}{6} \end{выравнивание*}
Предыдущий
4. 1 Введение
Оглавление
Следующий
4.3 Решение квадратных уравнений
Седьмой класс (7 класс) Вопросы по линейным уравнениям для тестов и рабочих листов
Из них можно создавать печатные тесты и рабочие листы. Линейные уравнения 7 класс вопросов! Выберите один или несколько вопросов, установив флажки над каждым вопросом. Затем нажмите кнопку добавить выбранные вопросы в тест , прежде чем перейти на другую страницу.
Предыдущий Страница 1 из 16 Следующие
Выбрать все вопросы
[математика]9 = x/2 +2[/математика]
[математика]х=9[/математика]
[математика]х=14[/математика]
[математика]х=4[/математика]
[математика]х=2[/математика]
[математика]x/4-5=-19[/математика]
[математика]х=-3[/математика]
[математика]х=-20[/математика]
[математика]х=-56[/математика]
[математика]х=-96[/математика]
Какое уравнение НЕ имеет решения [math]6[/math]?
[математика]t+5=11[/математика]
[математика]3-t=-3[/математика]
[математика]7t=42[/математика]
[математика]24/t=3[/математика]
В уравнении [математика]-9 + 8x = -13[/математика], что из следующего является константой?
Икс
8
-9
Какую формулу можно использовать для решения линейного уравнения (в форме пересечения наклона)?
м = б + ху
у = мх + б
б = ух + м
У Марка были деньги. Половину этой суммы он отдал своему брату, а затем дал еще 5 долларов своей сестре. Теперь у него есть 20 долларов. Сколько денег было у Марка вначале?
50
25
100
10
Какое правильное решение для [math]x[/math] в следующем уравнении? [математика]5x + 11 = 41[/математика]
6
8
7
9
Джилл продала половину своих комиксов, а затем купила еще шестнадцать. Сейчас у нее 36. Со скольких она начинала?
20
32
40
23
Джеймик арендовал фургон на один день по цене 30 долларов в день плюс 0,25 доллара за милю. Какое из следующих уравнений он может использовать для расчета [math]c[/math] стоимости в долларах аренды фургона на один день и пробега [math]m[/math] миль?
[математика]с = 55м[/математика]
[математика]c = 30,25 м[/математика]
[математика]с = 30 + 0,25 м[/математика]
[математика]с = 0,25 + 30 м[/математика]
Решите: [математика]9x-7 = -7[/математика]
0
14
-14
2
За каждый телефонный звонок Роберт платит 0,10 доллара США за первую минуту и 0,05 доллара США за каждую дополнительную минуту. Сколько стоит два 5-минутных звонка?
0,60 доллара США
0,30 доллара США
0,15 доллара США
0,45 доллара США
Решите: [математика]x/2 + 3 = 10[/математика]
7
8
2
14
Решите для х.
[математика]2x + 9 = 12[/математика]
[математика]2/3[/математика]
[математика]-2/3[/математика]
[математика]3/2[/математика]
[математика]-3/2[/математика]
331 школьник отправились на экскурсию. Шесть автобусов были заполнены, и 7 студентов путешествовали на автомобилях. Сколько учеников было в каждом автобусе?
47
324
54
22
Вы купили журнал за 5 долларов и четыре ластика. Всего вы потратили 25 долларов. Сколько стоил каждый ластик?
25 долларов
$5
30 долларов
12 долларов
У Мэтью есть 10 долларов, и ему нужно купить несколько яблок. Какое из этих уравнений представляло бы ситуацию Мэтью, если бы яблоки стоили 1,35 доллара за яблоко, и он хотел узнать, сколько яблок он может купить, [math]x[/math]?
[математика]10(1,35)=х[/математика]
[математика]10-x=1,35[/математика]
[математика]1,35+10=х[/математика]
[математика]10=1,35x[/математика]
6 + 4c = 10 является примером
уравнение.
выражение.
[математика]2/3x=10[/математика]
[математика]х=1 2/3[/математика]
[математика]х=5[/математика]
[математика]х=15[/математика]
[математика]х=30[/математика]
Какое описание является правильным способом решения уравнения?
[математика]3d + 8 = 17[/математика]
Разделите 3 с обеих сторон, затем вычтите 8 с обеих сторон.
Вычтите 8 из обеих сторон, затем разделите обе части на 3.
Вычтите 17 из обеих сторон, затем разделите обе части на 8.
Умножьте обе стороны на 3, затем вычтите 8 из обеих сторон.
Найдите x.
[математика]2x+3=17[/математика]
х=7
х=8
х=9
х=10
Предыдущий Страница 1 из 16 Следующие
Чтобы проголосовать за вопрос, вам нужно иметь не менее 5 репутации. Узнайте, как заработать значки.
Решение линейных уравнений — 4 метода, пошаговые решения, примеры
Решение линейных уравнений означает нахождение значений переменных, заданных в линейных уравнениях. Линейное уравнение представляет собой комбинацию алгебраического выражения и символа равенства (=). Оно имеет степень 1 или его можно назвать уравнением первой степени. Например, x + y = 4 — это линейное уравнение. Иногда нам может понадобиться найти значения переменных, участвующих в линейном уравнении. Когда нам дано два или более таких линейных уравнения, мы можем найти значения каждой переменной, решая линейные уравнения. Существует несколько методов решения линейных уравнений. Остановимся подробно на каждом из этих методов.
1. Решение линейных уравнений с одной переменной
2. Решение линейных уравнений методом подстановки
3. Решение линейных уравнений методом исключения
4. Графический метод решения линейных уравнений
5. Метод перекрестного умножения
6. Часто задаваемые вопросы о решении линейных уравнений
Решение линейных уравнений с одной переменной
Линейное уравнение с одной переменной является уравнением первой степени и имеет только один переменный член. Он имеет вид «ax+b = 0», где «a» — ненулевое число, а «x» — переменная. Решая линейные уравнения с одной переменной, мы получаем только одно решение для данной переменной. Примером этого является 3x — 6 = 0. Переменная «x» имеет только одно решение, которое рассчитывается как 9.0023 3x — 6 = 0
3x = 6
х = 6/3
x = 2
Для решения линейных уравнений с одной переменной упростите уравнение так, чтобы все переменные члены переносились в одну сторону, а постоянное значение — в другую. Если есть какие-либо дробные члены, найдите LCM (наименьшее общее кратное) и упростите их так, чтобы переменные члены были с одной стороны, а постоянные члены — с другой. Давайте разработаем небольшой пример, чтобы понять это.
4x + 8 = 8x — 10. Чтобы найти значение «x», давайте упростим и перенесем члены «x» в одну сторону, а постоянные члены — в другую.
4x — 8x = -10 — 8
-4x = -18
4x = 18
х = 18/4
При упрощении получаем x = 9/2.
Решение линейных уравнений методом подстановки
Метод подстановки — один из методов решения линейных уравнений. В методе подстановки мы перестраиваем уравнение таким образом, что одно из значений подставляется во второе уравнение. Теперь, когда у нас осталось уравнение с одной переменной, мы можем решить его и найти значение этой переменной. В двух заданных уравнениях можно взять любое уравнение и найти значение переменной и подставить в другое уравнение. Для решения линейных уравнений методом подстановки выполните шаги, указанные ниже. Поясним это на примере решения следующей системы линейных уравнений.
х + у = 6 —————(1)
2x + 4y = 20 ————(2)
Шаг 1: Найдите значение одной из переменных, используя любое из уравнений. В этом случае найдем значение «х» из уравнения (1).
х + у = 6 ———(1)
x = 6 — y
Шаг 2: Подставьте значение переменной, найденное на шаге 1, во второе линейное уравнение. Теперь давайте подставим значение «x» во второе уравнение 2x + 4y = 20,9.0015
х = 6 — у
Подставляя значение ‘x’ в 2x + 4y = 20, получаем
2(6 — y) + 4y = 20
12 — 2г + 4г = 20
12 + 2г = 20
2г = 20 — 12
2г = 8
у = 8/2
y = 4
Шаг 3: Теперь подставьте значение ‘y’ в уравнение (1) или (2). Подставим значение ‘y’ в уравнение (1).
х + у = 6
х + 4 = 6
х = 6 — 4
х = 2
Следовательно, методом подстановки решаются линейные уравнения, и значение x равно 2, а y равно 4.
Решение линейных уравнений методом исключения
Метод исключения — это еще один способ решения системы линейных уравнений. Здесь мы пытаемся умножить либо переменный член «x», либо переменный член «y» на постоянное значение, так что либо переменные члены «x», либо переменные члены «y» сокращаются и дают нам значение другая переменная. Давайте разберемся с этапами решения линейных уравнений методом исключения. Рассмотрим данные линейные уравнения:
2х + у = 11 ———— (1)
x + 3y = 18 ———- (2)
Шаг 1: Проверить, расположены ли термины таким образом, чтобы за термином «x» следовал термин «y» и знак равенства, а после знака равенства должен стоять постоянный член. Данный набор линейных уравнений уже устроен правильным образом: ax+by=c или ax+by-c=0.
Шаг 2: Следующим шагом является умножение одного или обоих уравнений на постоянное значение таким образом, чтобы сокращались либо члены «x», либо члены «y», что помогло бы нам найти значение другая переменная. Теперь в уравнении (2) давайте умножим каждый член на число 2, чтобы сделать коэффициенты x одинаковыми в обоих уравнениях.
x + 3y = 18 ———- (2)
Умножая все члены уравнения (2) на 2, получаем
2(x) + 2(3y) = 2 (18). Теперь уравнение (2) принимает вид
2x + 6y = 36 ————(2)
Шаг 3: Следующим шагом является упрощение этих двух уравнений путем сложения или вычитания их ( в зависимости от того, какая операция требуется для отмены x терминов). Теперь, вычитая два уравнения, мы можем сократить члены «x» в обоих уравнениях.
Следовательно, у = 5,
Шаг 4: Используя значение, полученное на шаге 3, найдите значение другой переменной, подставив значение в любое из уравнений. Подставим значение ‘y’ в уравнение (1). Получаем,
2х+у=11
2х + 5 = 11
2х = 11 — 5
2х = 6
х = 6/2
x = 3
Следовательно, решая линейные уравнения, мы получаем значение x = 3 и y = 5.
Графический метод решения линейных уравнений
Другой метод решения линейных уравнений — использование графика. Когда нам дана система линейных уравнений, мы графически рисуем оба уравнения, находя значения «y» для разных значений «x» в системе координат. Как только это будет сделано, мы найдем точку пересечения этих двух линий. Значения (x, y) в точке пересечения дают решение этих линейных уравнений. Возьмем два линейных уравнения и решим их графическим методом.
х + у = 8 ——-(1)
y = x + 2 ———(2)
Возьмем некоторые значения для ‘x’ и найдем значения ‘y’ для уравнения x + y = 8. Это также может быть переписывается как y = 8 — x.
х 0 1 2 3 4
у 8 7 6 5 4
Возьмем некоторые значения для «x» и найдем значения для «y» в уравнении y = x + 2.
x 0 1 2 3 4
у 2 3 4 5 6
Нанеся эти точки на координатную плоскость, получим вот такой график.
Теперь мы находим точку пересечения этих линий, чтобы найти значения «x» и «y». Две прямые пересекаются в точке (3,5). Следовательно, x = 3 и y = 5 при использовании графического метода решения линейных уравнений.
Этот метод также используется для поиска оптимального решения задач линейного программирования. Рассмотрим еще один метод решения линейных уравнений — метод перекрестного умножения.
Метод перекрестного умножения для решения линейных уравнений
Метод перекрестного умножения позволяет нам решать линейные уравнения, выбирая коэффициенты всех членов («x», «y» и постоянных членов) в формате, показанном ниже, и применяя формулу для нахождения значений «x». и «у».
Темы, связанные с решением линейных уравнений
Просмотрите приведенные статьи, связанные с решением линейных уравнений.
Линейные уравнения
Применение линейных уравнений
Линейные уравнения с двумя переменными
Линейные уравнения и полуплоскости
Линейные уравнения и неравенства с одной переменной
Часто задаваемые вопросы о решении линейных уравнений
Что означает решение линейных уравнений?
Уравнение, имеющее степень 1, называется линейным уравнением. У нас могут быть линейные уравнения с одной переменной, линейные уравнения с двумя переменными, линейные уравнения с тремя переменными и многое другое в зависимости от количества переменных в нем. Решение линейных уравнений означает нахождение значений всех переменных, присутствующих в уравнении. Это можно сделать методом подстановки, методом исключения, графическим методом и методом перекрестного умножения. Все эти методы представляют собой разные способы нахождения значений переменных.
Как использовать метод подстановки для решения линейных уравнений?
Метод подстановки для решения уравнений гласит, что для данной системы линейных уравнений нужно найти значение «x» или «y» из любого из заданных уравнений, а затем подставить найденное значение «x» или «y» в другом уравнении, чтобы можно было найти другое неизвестное значение.
Как использовать метод исключения для решения линейных уравнений?
В методе исключения для решения линейных уравнений мы умножаем константу или число на одно уравнение или на оба уравнения так, чтобы либо члены «x», либо члены «y» были одинаковыми. Затем мы сокращаем один и тот же член в обоих уравнениях, добавляя или вычитая их, и находим значение одной переменной (либо «x», либо «y»). Найдя одно из значений, подставляем значение в одно из уравнений и находим другое неизвестное значение.
Что такое графический метод решения линейных уравнений?
В графическом методе решения линейных уравнений мы находим значение ‘y’ из заданных уравнений, подставляя значения x как 0, 1, 2, 3 и т. д., и строим график в системе координат для линии для различных значений ‘x’ для обеих систем линейных уравнений. Мы увидим, что эти две прямые пересекаются в одной точке. Эта точка является решением данной системы линейных уравнений. Если между двумя прямыми нет точки пересечения, то мы рассматриваем их как параллельные прямые, а если мы обнаружили, что обе прямые лежат друг на друге, то они называются совпадающими прямыми и имеют бесконечно много решений.
Какие этапы решения линейных уравнений с одной переменной?
Линейное уравнение — это уравнение степени 1. Чтобы решить линейное уравнение с одной переменной, мы подносим переменную к одной стороне, а постоянное значение — к другой. Затем к обеим частям уравнения можно добавить, вычесть, умножить или разделить ненулевое число. Например, линейное уравнение с одной переменной будет иметь вид «х — 4 = 2». Чтобы найти значение «x», мы добавляем постоянное значение «4» к обеим частям уравнения. Следовательно, значение ‘x = 6’.
Какие этапы решения линейных уравнений с тремя переменными?
Чтобы решить систему линейных уравнений с тремя переменными, возьмем любые два уравнения и две переменные. Затем мы берем другую пару линейных уравнений и также решаем для той же переменной. Теперь, когда у нас есть два линейных уравнения с двумя переменными, мы можем использовать метод подстановки, метод исключения или любой другой метод для решения значений двух неизвестных переменных. Найдя эти две переменные, мы подставляем их в любое из трех уравнений, чтобы найти третью неизвестную переменную.
Какие существуют 4 метода решения линейных уравнений?
Методы решения линейных уравнений приведены ниже:
Метод подстановки
Метод исключения
Метод перекрестного умножения
Графический метод
Линейные уравнения 7-го класса и рабочие листы
Линейные уравнения
Правила решения линейного уравнения
Правила преобразования
Процедура решения линейного уравнения
Словесная задача по линейному уравнению
Тест линейного уравнения
Рабочий лист линейного уравнения
Лист ответов
Линейные уравнения
Уравнение, содержащее только одну переменную, имеющую степень 1, известно как линейное уравнение. Давайте посмотрим на некоторые примеры.
2p + 4 = 8, 5 − 3y = -7, ^2a ⁄ ₅ − 4 = 6
Все приведенные выше 3 линейных уравнения имеют только одну переменную и имеют мощность 1.
Правила решения линейного уравнения
Мы должны следовать определенным правилам, чтобы узнать значение переменной данного линейного уравнения, и правила приведены ниже.
Мы можем добавить одно и то же число к обеим частям уравнения
Мы можем вычесть одно и то же число из обеих частей уравнения
Мы можем умножить одно и то же ненулевое число на обе части уравнения
Мы можем разделить одно и то же ненулевое значение на обе части уравнения
Правила транспонирования
Член можно перенести из одной части уравнения в другую, изменив его знак. Давайте посмотрим на некоторые примеры.
Пример 1. 5b − 3 = 12
Приведенное выше линейное уравнение можно записать в виде
        => 5b = 12 + 3
Преобразование −3 из левой стороны в правую, изменив ее знак на +3.
Пример 2. 5q + 5 = 19 − 2q
Приведенное выше линейное уравнение можно записать как
        => 5q + 2q = 19 − 5
Здесь мы перенесли 5 из левой стороны в правую, изменив ее знак на −5.
Точно так же мы транспонируем -2q из правой стороны в левую, изменив знак на +2q.
Процедура решения линейного уравнения
Упростите обе части, удалив групповые символы и собрав одинаковые члены
Удаление дробей путем умножения обеих частей на соответствующий коэффициент
Разместите все переменные члены на одной стороне и все постоянные члены на другой стороне
Сделайте коэффициент переменной равным 1
Давайте посмотрим на некоторые примеры.
Пример 1. Решите 3m + 5 = 25 − 2m.
Раствор. 3m + 5 = 25 − 2m
        => 3m + 2m = 25 − 5
        => 5m = 20
Пример 2. Решить 2(p − 1) = p + 12.
Решение. 2(p − 1) = p + 12
        => 2p − 2 = p + 12
Пример 3. Решить 5n − ⁴ ⁄ ₅ = 20.
Решение. 5n — ⁴ ⁄ ₅ = 20
Умножение обеих сторон на 5.
=> 25n — 4 = 100
=> 25n = 100 + 4
=> 25n = 104
        => n = 104 ÷ 25
        => n = 20 ⁴ ⁄ ₅
Словесная задача линейного уравнения
Проблема, сформулированная словами, известна как словесная задача. Решение словесной задачи состоит из двух шагов. Первый шаг — перевод слов задачи в алгебраическое уравнение. Второй шаг – решение уравнения. Давайте посмотрим на некоторые примеры.
Пример 1. Если к числу, умноженному на три раза, прибавить 7, то получится 28. Найдите число.
Раствор. Предположим, это число p.
Согласно заданной задаче, линейное уравнение будет
3p + 7 = 28
=> 3p = 28 — 7
=> 3p = 21
=> p = 21 ÷ 3
=> p = 7
Следовательно, число равно 7.
Пример 2. Найдите три последовательных нечетных числа, сумма которых равна 105.
Решение. Пусть наименьшее, нечетное число равно m.
Следующие два нечетных числа — это m+2 и m+4.
По данному слову можно составить следующее линейное уравнение.
M + M + 2 + M + 4 = 105
=> 3m + 4 = 105
=> 3m = 99
=> M = 99 ÷ 3
=> M = 33
Следовательно, обязательные последовательные нечетные числа: 33, 35 и 37.
Пример 3. Стоимость 3 тетрадей и 5 одинаковых ручек составляет рупий. 460. Если стоимость ноутбука составляет рупий. на 20 больше, чем ручка, тогда найдите стоимость каждой.
Раствор. Рассмотрим стоимость ручки = q
Тогда стоимость блокнота = q + 20
Итак, линейное уравнение будет
        3(q + 20) + 5q = 460
    + 6   => 3q + 6q 5q = 460
=> 8q + 60 = 460
=> 8q = 400
=> Q = 400 ÷ 8
=> Q = 50
Следовательно, стоимость пера и тетрадь равен RS. 50 и рупий. 70 соответственно.
Тест на линейное уравнение
Линейное уравнение — 1
Линейное уравнение — 2
Рабочий лист линейного уравнения
Лист линейного уравнения — 1
Рабочий лист Linear Уравнения — 2
СВОЙСТИ -Уравнение-Ответ Скачать pdf
Copyright © 2022 LetsPlayMaths.com. Все права защищены.
Электронная почта: [email protected]
Системы линейных уравнений

Линейное уравнение представляет собой уравнение для линии .
Линейное уравнение не всегда имеет вид y = 3,5 − 0,5x ,
Оно также может иметь вид y = 0,5(7 − x)
Или как y + 0,5x = 3,5 5
Или как y + 0,5x — 3,5 = 0 и больше.
(Примечание: это одно и то же линейное уравнение!)

Система линейных уравнений — это когда у нас есть два или более линейных уравнения работают вместе.
Пример: Вот два линейных уравнения:
2x + и = 5
−x + и = 2
Вместе они представляют собой систему линейных уравнений.
Можете ли вы сами определить значения x и y ? (Просто попробуйте, поиграйте с ними немного.)
Давайте попробуем построить и решить реальный пример:
Пример: Вы против Лошади
Это гонка!
Вы можете пробежать 0,2 км каждую минуту.
Лошадь может пробежать 0,5 км каждую минуту. Но чтобы оседлать лошадь, нужно 6 минут.
Как далеко ты уедешь, прежде чем тебя догонит лошадь?

Мы можем составить два уравнения ( d = расстояние в км, t = время в минутах)
Каждую минуту вы бежите со скоростью 0,2 км, поэтому d = 0,2t
Лошадь бежит со скоростью 0,5 км в минуту, но мы уменьшаем ее время на 6: d = 0,5(t−6)

Итак, у нас есть система уравнений ( линейная ):
d = 0,2t
d = 0,5(t−6)
Решим на графике:
Видите, как лошадь стартует через 6 минут, а потом бежит быстрее?
Кажется, тебя поймали через 10 минут. .. ты проехал всего 2 км.
В следующий раз беги быстрее.
Итак, теперь вы знаете, что такое система линейных уравнений.
Продолжаем узнавать о них больше….
Решение
Способов решения линейных уравнений может быть много!
Давайте посмотрим на другой пример:
Пример: Решите эти два уравнения:
x + y = 6
-3х + у = 2
На этом графике показаны два уравнения:
Наша задача — найти место пересечения двух линий.
Ну, мы можем видеть, где они пересекаются, так что это уже решено графически.
А теперь давайте решим ее с помощью алгебры!

Хммм… как это решить? Способов может быть много! В этом случае в обоих уравнениях есть «y», поэтому давайте попробуем вычесть все второе уравнение из первого:
x + y − (−3x + y) = 6 − 2
Теперь давайте упростим это:
x + y + 3x — y = 6 — 2
4x = 4
x = 1
Итак, теперь мы знаем, что линии пересекаются в точке x=1 .
И мы можем найти соответствующее значение y , используя любое из двух исходных уравнений (потому что мы знаем, что они имеют одно и то же значение при x=1). Давайте воспользуемся первым (второй можете попробовать сами):
x + y = 6
1 + y = 6
y = 5
И решение:
x = 1 и y = 5
И график показывает нам, что мы правы!
Линейные уравнения
В линейных уравнениях допускаются только простые переменные. no x ², Y ³, √x и т. Д. :

Линейный против нелинейного
. как
x и y ) … или в 3-х измерениях …
(составляет самолет) … или 4 размера … … или больше!
Общие переменные
Чтобы уравнения «работали вместе», они используют одну или несколько переменных:
Система уравнений состоит из двух или более уравнений в одна или несколько переменных
много переменных
Таким образом, система уравнений может иметь много уравнений и много переменных.
Пример: 3 уравнения с 3 переменными
2x + и — 2з = 3
х — г — г = 0
х + и + 3з = 12
Может быть любая комбинация:
2 уравнения с 3 переменными,
6 уравнений с 4 переменными,
9000 уравнений с 567 переменными,
и т. д.
Решения
Когда количество уравнений равно тому же количеству переменных, то вероятно будут решением. Не гарантировано, но вероятно.
На самом деле возможны только три случая:
Нет решения
Один раствор
Бесконечное множество решений
Когда нет решения уравнения называются «несогласованный» .
Один или Бесконечно многие растворов называются «Согласованные»
Вот диаграмма для 2 Уравнения в 2 переменных :
. Независимые
9292 . уравнение дает новую информацию.
В противном случае они «Зависимые» .
Также называется «линейная независимость» и «линейная зависимость»
Пример:
х + у = 3
2х + 2у = 6
Эти уравнения «зависимы» , потому что они на самом деле то же самое уравнение , просто умноженное на 2.
Итак, второе уравнение не дало никакой новой информации .
Где уравнения верны
Хитрость заключается в том, чтобы найти, где все уравнения верны одновременно .
Правда? Что это значит?
Пример: Вы против Лошади
Строка «вы» верна по всей своей длине (но больше нигде).
В любом месте этой линии d равно 0,2t
при t=5 и d=1 уравнение верно верно)
при t=5 и d=3 уравнение не соответствует (верно ли d = 0,2t? Нет, так как 3 = 0,2×5 неверно )
Точно так же строка «лошадь» также истинна по всей своей длине (но больше нигде).
Но только в точке, где они пересекают (при t=10, d=2), они оба истинны .
Таким образом, они должны быть верными одновременно …
… вот почему некоторые люди называют их «Одновременными линейными уравнениями»
Решить с помощью алгебры их.
Вот пример «Лошадь», решенный с помощью алгебры:
Пример: Вы против Лошади
Система уравнений:
d = 0,2t
d = 0,5 (t−6)
В этом случае проще всего приравнять их: Разложить 0,5(t−6) :0,2t = 0,5t − 3
Вычесть 0,5t с обеих сторон: −0,3t = −3
Разделить обе стороны на −0,3 :t = −3/−0,3 = 10 минуты
Теперь мы знаем , когда тебя поймают!
Знание T Мы можем рассчитать D : D = 0,2T = 0,2 × 10 = 2 км
, а наше решение:
T = 10 минут и D = 2 KM
477
T = 10 минут и D = 2 KM
4747477
T = 10 минут и D = 2 KM
4747
T = 10 минут и D = 2 KM
4747 против графиков
Зачем использовать алгебру, когда графики так просто? Потому что:
Более 2 переменных не могут быть решены простым графом.
Итак, алгебра приходит на помощь двумя популярными методами:
Решение с помощью подстановки
Решение методом исключения
Мы рассмотрим каждый из них с примерами в 2 переменных и в 3 переменных. Вот…
Решение путем подстановки
Вот шаги:
Напишите одно из уравнений в таком стиле «переменная =…»
Заменить (т. е. заменить) эту переменную в другом уравнении (уравнениях).
Решить другое уравнение(я)
(Повторите при необходимости)
Вот пример с 2 уравнения с 2 переменными :
Пример:
3x + 2y = 19
х + у = 8
Мы можем начать с любого уравнения и любой переменной .
Используем второе уравнение и переменную «y» (выглядит простейшим уравнением).

Запишите одно из уравнений так, чтобы оно было в стиле «переменная =…»:
Мы можем вычесть x из обеих частей x + y = 8, чтобы получить y = 8 − x . Теперь наши уравнения выглядят так:
3x + 2y = 19
у = 8 — х

Теперь замените «y» на «8 − x» в другом уравнении:
3x + 2 (8 − x) = 19
у = 8 — х

Решите, используя обычные методы алгебры:
Расширить 2(8−x) :
3x + 16 − 2x = 19
у = 8 — х
Тогда 3x−2x = x :
x + 16 = 19
у = 8 — х
И, наконец, 19−16=3
х = 3
у = 8 — х

Теперь, когда мы знаем, что такое x , мы можем представить это в уравнении y = 8 − x :
x = 3
у = 8 — 3 = 5
и ответ:
x = 3
Y = 5
Примечание: потому что там — A Решение. Уравнения «Последователи»
9004. проверить, работает ли x = 3 и y = 5 в обоих уравнениях?

Решение методом замены: 3 уравнения с 3 переменными
ОК! Давайте перейдем к более длинному примеру : 3 уравнения с 3 переменными .
Это не сложно сделать… это просто долго !
Пример:
x + z = 6
г — 3г = 7
2х + у + 3z = 15
Мы должны аккуратно выстроить переменные, иначе мы можем потерять представление о том, что делаем:

x + с = 6
— 3 года + г = 7
2x + и + 3з = 15

Мы можем начать с любого уравнения и любой переменной. Давайте используем первое уравнение и переменную «x».

Запишите одно из уравнений в стиле «переменная = …»:
х = 6 − я
— 3 года + г = 7
2x + и + 3з = 15

Теперь замените «x» на «6 − z» в других уравнениях:
(к счастью, есть только одно другое уравнение с x в нем)
х = 6 — я
— 3 года + г = 7
2 (6-з) + и + 3з = 15

Решите, используя обычные методы алгебры:
2(6−z) + y + 3z = 15 упрощает до y + z = 3 : 12120628 х = 6 — я — 3 года + г = 7 и + г = 3
Хорошо. Мы добились некоторого прогресса, но еще не все.

Теперь повторите процесс , но только для двух последних уравнений.

Запишите одно из уравнений так, чтобы оно было в стиле «переменная =…»:
Выберем последнее уравнение и переменную z:
x = 6 — я
— 3 года + г = 7
з = 3 − у

Теперь замените «z» на «3 − y» в другом уравнении:
x = 6 — я
— 3 года + 3 − у = 7
г = 3 − у

Solve using the usual algebra methods:
−3y + (3−y) = 7 simplifies to −4y = 4 , or in other words y = −1
х = 6 — я
г = −1
г = 3 − у
Почти готово!

Зная, что y = −1 , мы можем вычислить, что z = 3−y = 4 :
x = 6 — я
и = −1
з = 4
Зная, что z = 4 , мы можем вычислить, что x = 6−z = 2 :
x = 2
и = −1
г = 4

Ответ:
x = 2
y = −1
z = 4

Проверьте сами.
Мы можем использовать этот метод для 4 или более уравнений и переменных… просто повторяйте одни и те же шаги снова и снова, пока не решите.
Вывод: Замена работает хорошо, но требует много времени.

Решение путем исключения
Исключение может быть быстрее… но оно должно быть аккуратным.
«Устранить» означает удалить : этот метод работает путем удаления переменных до тех пор, пока не останется только одна.
Идея в том, что мы можем безопасно :
умножить уравнение на константу (кроме нуля),
добавить (или вычесть) уравнение к другому уравнению
Как в этих примерах:
ПОЧЕМУ мы можем складывать уравнения друг с другом?
Представьте себе два очень простых уравнения:
x — 5 = 3
5 = 5
Мы можем добавить «5 = 5» к «x — 5 = 3»:
x — 5 + 5 = 3 + 5
x = 8
Попробуйте сделать это сами, но используйте 5 = 3+2 в качестве второго уравнения
Оно по-прежнему будет работать нормально, потому что обе стороны равны (для этого и нужен знак =!)

Мы также можем поменять местами уравнения , так что 1-й может стать 2-м и т. д., если это поможет.

Хорошо, время для полного примера. Давайте используем 2 уравнения с 2 переменными пример из предыдущего:
Пример:
3x + 2y = 19
х + у = 8
Очень важно поддерживать порядок:
3x + 2 года = 19
х + и = 8

Теперь… наша цель исключить переменную из уравнения.
Сначала мы видим, что есть «2y» и «y», так что давайте поработаем над этим.
Умножьте второе уравнение на 2:
3x + 2 года = 19
2 х + 2 у = 16
Вычтите второе уравнение из первого уравнения:
x = 3
2x + 2 года = 16
Ура! Теперь мы знаем, что такое х!

Далее мы видим, что второе уравнение имеет «2x», поэтому давайте уменьшим его вдвое, а затем вычтем «x»:
Умножьте второе уравнение на ½ (т. е. разделите на 2):
x = 3
х + г = 8
Вычесть первое уравнение из второго уравнения:
x = 3
г = 5
Готово!
И ответ:
x = 3 и y = 5

А вот график:
Синяя линия, где 3x + 2y 8 верно 1 Красная линия = 124 900 где x + y = 8 верно
При x=3, y=5 (где линии пересекаются) они равны оба правда. Это и есть ответ.
Вот еще один пример:
Пример:
2x − y = 4
6х — 3у = 3
Аккуратно разложите:
2x — и = 4
6x — 3 года = 3
Умножьте первое уравнение на 3:
6x — 3 года = 12
6x — 3 года = 3
Вычесть второе уравнение из первого уравнения:
0 — 0 = 9
6x — 3 года = 3
0 − 0 = 9 ???
Что здесь происходит?

Проще говоря, решения нет.

На самом деле это параллельные линии:
И, наконец:
Пример:
2x − y = 4
6х — 3у = 12
Аккуратно:
2x — и = 4
6x — 3 года = 12
Умножьте первое уравнение на 3:
6x — 3 года = 12
6x — 3 года = 12
Вычесть второе уравнение из первого уравнения:
0 — 0 = 0
6x — 3 года = 3
0 − 0 = 0
Что ж, это действительно ПРАВДА! Ноль равен нулю. ..

… это потому, что на самом деле это одно и то же уравнение…

… так что существует бесконечное количество решений
Это одна и та же строка:
Итак, теперь мы рассмотрели пример каждого из трех возможных случаев:
Нет решение
Один раствор
Бесконечное множество решений
Решение методом исключения: 3 уравнения с 3 переменными
Прежде чем мы приступим к следующему примеру, давайте рассмотрим улучшенный способ работы.
Следуйте этому методу, и мы с меньшей вероятностью допустим ошибку.
Прежде всего, исключить переменные в порядке :
Сначала исключить x с (из уравнения 2 и 3, по порядку)
затем исключить y (из уравнения 3)
Итак, как мы их устраняем:
Получим вот такую «форму треугольника»:
Теперь начните снизу и вернитесь к (так называемая «обратная подстановка»)
(вставьте z , чтобы найти y , затем z и y , чтобы найти 2 х ) :
И мы решили:
ТАКЖЕ, мы обнаружим, что некоторые расчеты в уме или на бумаге легче делать, чем всегда работать в рамках набора уравнений:
Пример:
х + у + г = 6
2г + 5г = -4
2x + 5y — z = 27
Написано аккуратно:
x + и + г = 6
2 года + 5з = −4
2x + 5 лет — г = 27

Сначала исключите x из второго и третьего уравнений.
Во 2-м уравнении нет x… переходим к 3-му уравнению:
Вычтем 2 раза 1-е уравнение из 3-го уравнения (просто сделайте это в уме или на бумаге):
И получаем:
х + и + г = 6
2 года + 5з = −4
3 года — 3з = 15

Затем исключите y из третьего уравнения.
Мы могли бы вычесть 1½ из 2-го уравнения из 3-го уравнения (потому что 1½ умножить на 2 равно 3) …
… но мы можем избежать дробей , если мы:
умножим 3-е уравнение на 2 и
умножить второе уравнение на 3
и , затем делаем вычитание… вот так:
И в итоге получаем:
x + и + г = 6
2 года + 5з = −4
з = −2
Теперь у нас есть «форма треугольника»!

Теперь вернитесь снова «обратно подставив»:
We know z , so 2y+5z=−4 becomes 2y−10=−4 , then 2y=6 , so y=3 :
x + и + г = 6
г = 3
г = −2
Тогда x+y+z=6 становится x+3−2=6 , поэтому x=6−3+2=5
x = 5
и = 3
г = −2

Ответ:
x = 5
y = 3
z = −2

Проверьте: проверьте сами.

1.	Решение линейных уравнений с одной переменной
2.	Решение линейных уравнений методом подстановки
3.	Решение линейных уравнений методом исключения
4.	Графический метод решения линейных уравнений
5.	Метод перекрестного умножения
6.	Часто задаваемые вопросы о решении линейных уравнений