cart-icon Товаров: 0 Сумма: 0 руб.
г. Нижний Тагил
ул. Карла Маркса, 44
8 (902) 500-55-04

Исследовательская работа по математике золотое сечение: исследовательская работа по математике на тему «Золотое сечение»

исследовательская работа по математике на тему "Золотое сечение"

hello_html_m282c4fb3.gif

МОУ «Парфеньевская средняя общеобразовательная школа»

Золотое сечение: Рис.18

Автор проекта Смирнова Полина, ученица 11 класса

Руководитель Смирнова Л.А., учитель математики

2010-2011 учебный год


Вступление

Есть вещи, которые нельзя объяснить. Вот вы подходите к пустой скамейке и садитесь на нее. Где вы сядете — посередине? Или, может быть, с самого края? Нет, скорее всего, не то и не другое. Вы сядете так, что отношение одной части скамейки к другой, относительно вашего тела, будет равно примерно 1,62. Простая вещь, абсолютно инстинктивная... Садясь на скамейку, вы произвели «золотое сечение». О золотом сечении знали еще в древнем Египте и Вавилоне, в Индии и Китае. Великий Пифагор создал тайную школу, где изучалась мистическая суть «золотого сечения». Евклид применил его, создавая свою геометрию, а Фидий — свои бессмертные скульптуры. Платон рассказывал, что Вселенная устроена согласно «золотому сечению». А Аристотель нашел соответствие «золотого сечения» этическому закону. Высшую гармонию «золотого сечения» будут проповедовать Леонардо да Винчи и Микеланджело, ведь красота и «золотое сечение» — это одно и то же. А христианские мистики будут рисовать на стенах своих монастырей пентаграммы «золотого сечения», спасаясь от Дьявола. При этом ученые — от Пачоли до Эйнштейна — будут искать, но так и не найдут его точного значения. Бесконечный ряд после запятой — 1,6180339887... Странная, загадочная, необъяснимая вещь: эта божественная пропорция мистическим образом сопутствует всему живому. Неживая природа не знает, что такое «золотое сечение». Но вы непременно увидите эту пропорцию и в изгибах морских раковин, и в форме цветов, и в облике жуков, и в красивом человеческом теле. Все живое и все красивое — все подчиняется божественному закону, имя которому — «золотое сечение». Так что же такое «золотое сечение»?.. Что это за идеальное, божественное сочетание? Может быть, это закон красоты? Или все-таки он — мистическая тайна? Научный феномен или этический принцип? Ответ неизвестен до сих пор. Точнее — нет, известен. «Золотое сечение» — это и то, и другое, и третье. Только не по отдельности, а одновременно... И в этом его подлинная загадка, его великая тайна.

Понятие «золотое сечение».

Золотое сечение – это такое пропорциональное деление отрезка на неравные части, при котором меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему.

Золотое сечение: Рис.1
a : b = b : c или с : b = b : а.

Эта пропорция равна: Золотое сечение: Рис.2

Свойства золотого сечения создали вокруг этого числа романтический ореол таинственности и чуть ли не мистического поклонения.

Золотое сечение: Рис.3

К примеру, в правильной пятиконечной звезде, каждый сегмент делится пересекающим его сегментом в золотом сечении (т. е. отношение синего отрезка к зелёному, красного к синему, зелёного к фиолетовому, равны 1.618 Принято считать, что понятие о золотом сечении ввел в научный обиход Пифагор. Есть предположение, что Пифагор свое знание позаимствовал у египтян и вавилонян. И действительно, пропорции пирамиды Хеопса, храмов, барельефов, предметов быта и украшений из гробницы Тутанхамона свидетельствуют, что египетские мастера пользовались соотношениями золотого деления при их создании.

Примеры применения золотого сечения

Золотое сечение в математике

Практическое знакомство с золотым сечением начинают с деления отрезка прямой в золотой пропорции с помощью циркуля и линейки. Из точки В восставляется перпендикуляр, равный половине АВ. Полученная точка С соединяется линией с точкой А. На полученной линии откладывается отрезок ВС, заканчивающийся точкой D. Отрезок AD переносится на прямую АВ. Полученная при этом точка Е делит отрезок АВ в соотношении золотой пропорции. Отрезки золотой пропорции выражаются бесконечной иррациональной дробью

AE = 0,618..., если АВ принять за единицу, ВЕ = 0,382... Для практических целей часто используют приближенные значения 0,62 и 0,38. Если отрезок АВ принять за 100 частей, то большая часть отрезка равна 62, а меньшая – 38 частям.

Деление отрезка прямой по золотому сечению. BC = 1/2 AB; CD = BC

Свойства золотого сечения описываются уравнением: x2x – 1 = 0. Решение этого уравнения: http://goldsech.narod.ru/zs_e01.gif

Золотое сечение в искусстве

в музыке

Наиболее обширное исследование проявлений золотого сечения в музыке было предпринято в 1925 году искусствоведом Л.Сабанеевым . Им было изучено две тысячи произведений различных композиторов. По его мнению, временное протяжение музыкального произведения делится «некоторыми вехами», которые выделяются при восприятии музыки и облегчают созерцание формы целого. Все эти музыкальные вехи делят целое на части, как правило, по закону золотого сечения.

По наблюдениям Л.Сабанеева, в музыкальных произведениях различных композиторов обычно констатируется не одно золотое сечение, а целая серия подобных сечений. Каждое такое сечение отражает свое музыкальное событие, качественный скачок в развитии музыкальной темы. В изученных им 1770 сочинениях 42 композиторов наблюдалось 3275 золотых сечений. Количество произведений, в которых наблюдалось хотя бы одно золотое сечение, составило 1338. Наибольшее количество музыкальных произведений, в которых имеется золотое сечение, у Аренского (95%), Бетховена (97%), Гайдна (97%), Моцарта (91%), Скрябина (90%), Шопена (92%), Шуберта (91%).
Наиболее детально были изучены все 27 этюдов Шопена. В них обнаружено 154 золотых сечения; всего в трех этюдах золотое сечение отсутствовало. В некоторых случаях строение музыкального произведения сочетало в себе симметричность и золотое сечение одновременно; в этих случаях оно делилось на несколько симметричных частей, в каждой из которых проявляется золотое сечение. У Бетховена также сочинения делятся на две симметричные части, а внутри каждой из них наблюдаются проявления золотой пропорции.

Причем, чем талантливее композитор, тем в большем количестве его произведений найдено золотых сечений. У Аренского, Бетховена, Бородина, Гайдна, Моцарта, Скрябина, Шопена и Шуберта золотые сечения найдены в 90% всех произведений. По мнению Сабанеева, золотое сечение приводит к впечатлению особой стройности музыкального сочинения. Можно признать, что золотая пропорция является критерием гармонии композиции музыкального произведения.

в кино

В кино С. Эйзенштейн искусственно построил фильм Броненосец Потёмкин по правилам «золотого сечения». Он разбил ленту на пять частей. В первых трёх действие разворачивается на корабле. В двух последних — в Одессе, где разворачивается восстание. Этот переход в город происходит точно в точке золотого сечения. Да и в каждой части есть свой перелом, происходящий по закону золотого сечения.

hello_html_m4767d353.pnghello_html_6115bb61.png

hello_html_edddf4.png

Золотое сечение в живописи

Переходя к примерам “золотого сечения” в живописи, нельзя не остановить своего внимания на творчестве Леонардо да Винчи. Его личность – одна из загадок истории. Сам Леонардо да Винчи говорил: «Пусть никто, не будучи математиком, не дерзнет читать мои труды». Посмотрим внимательно на картину "Джоконда". Портрет Моны Лизы (Джоконды) долгие годы привлекает внимание исследователей, которые обнаружили, что композиция рисунка основана на золотых треугольниках, являющихся частями правильного звездчатого пятиугольника.

Золотое сечение: Рис.12

Также пропорция золотого сечения проявляется в картине Шишкина. На этой знаменитой картине И. И. Шишкина с очевидностью просматриваются мотивы золотого сечения. Ярко освещенная солнцем сосна (стоящая на первом плане) делит длину картины по золотому сечению. Справа от сосны - освещенный солнцем пригорок. Он делит по золотому сечению правую часть картины по горизонтали.  

hello_html_m26e4511f.png

В картине Рафаэля "Избиение младенцев" просматривается другой элемент золотой пропорции - золотая спираль. На подготовительном эскизе Рафаэля проведены красные линии, идущие от смыслового центра композиции - точки, где пальцы воина сомкнулись вокруг лодыжки ребенка - вдоль фигур ребенка, женщины, прижимающей его к себе, воина с занесенным мечом и затем вдоль фигур такой же группы в правой части эскиза. Неизвестно, строил ли Рафаэль золотую спираль или чувствовал её.

hello_html_m6e1819a8.pnghello_html_m958b274.pngТ.Кук использовал при анализе картины Сандро Боттичелли «рождение Венеры» золотое сечение.

Золотое сечение в архитектуре


Одним из красивейших произведений древнегреческой архитектуры является Парфенон (V в. до н. э.).

http://goldsech.narod.ru/32.jpghttp://goldsech.narod.ru/33.jpg

http://goldsech.narod.ru/34.jpg

На рисунках виден целый ряд закономерностей, связанных с золотым сечением. Пропорции здания можно выразить через различные степени числа Ф=0,618...

На плане пола Парфенона также можно заметить "золотые прямоугольники"http://goldsech.narod.ru/35.jpg


Золотое соотношение мы можем увидеть и в здании собора Парижской Богоматери (Нотр-дам де Пари) и в пирамиде Хеопса:

Золотое сечение: Рис.9

hello_html_m5da9f3fb.pngЗолотое сечение: Рис.10

Не только египетские пиpамиды постpоены в соответствии с совеpшенными пpопоpциями золотого сечения, то же самое явление обнаpужено и у мексиканских пиpамид.

Я решила рассмотреть планы церквей Парфеньева и посмотреть, нет ли там золотого отношения. Результат - приложение (мультимедийная презентация).

Золотое сечение в скульптуре

Золотая пропорция применялась многими античными скульпторами. Известна золотая пропорция статуи Аполлона Бельведерского: рост изображенного человека делится пупочной линией в золотом сечении.

http://goldsech.narod.ru/37.jpghello_html_m43afc033.gifhello_html_m10f4fa85.gif

Афина Парфенос Зевс Олимпийский

Еще в эпоху Возрождения художники открыли, что любая картина имеет определенные точки, невольно приковывающие наше внимание, так называемые зрительные центры. При этом абсолютно неважно, какой формат имеет картина - горизонтальный или вертикальный. Таких точек всего четыре, они делят величину изображения по горизонтали и вертикали в золотом сечении, т.е. расположены они на расстоянии примерно 3/8 и 5/8 от соответствующих краев плоскости.

http://goldsech.narod.ru/38.jpg

Золотое сечение в шрифтах и бытовых предметах

Золотое сечение: Рис.13

Золотые пропорции в частях тела человека

В 1855 г. немецкий исследователь золотого сечения профессор Цейзинг опубликовал свой труд «Эстетические исследования». Цейзинг измерил около двух тысяч человеческих тел и пришел к выводу, что золотое сечение выражает средний статистический закон. Деление тела точкой пупа – важнейший показатель золотого сечения. Пропорции мужского тела колеблются в пределах среднего отношения 13 : 8 = 1,625 и несколько ближе подходят к золотому сечению, чем пропорции женского тела, в отношении которого среднее значение пропорции выражается в соотношении 8 : 5 = 1,6. У новорожденного пропорция составляет отношение 1 : 1, к 13 годам она равна 1,6, а к 21 году равняется мужской.
Пропорции золотого сечения проявляются и в отношении других частей тела – длина плеча, предплечья и кисти, кисти и пальцев и т.д.
Справедливость своей теории Цейзинг проверял на греческих статуях. Наиболее подробно он разработал пропорции Аполлона Бельведерского. Подверглись исследованию греческие вазы, архитектурные сооружения различных эпох, растения, животные, птичьи яйца, музыкальные тона, стихотворные размеры.

Золотое сечение: Рис.5Золотое сечение: Рис.4

Я провела подобное исследование в 11 классе. Результаты измерений приведены в таблице. Приложение (мультимедийная презентация).

Золотое сечение в биологии и живой природе

В биологических исследованиях было показано, что, начиная с вирусов и растений и кончая организмом человека, всюду выявляется золотая пропорция, характеризующая соразмерность и гармоничность их строения. Золотое сечение признано универсальным законом живых систем.

Рассмотрим побег цикория. От основного стебля образовался отросток. Тут же расположился первый листок. Отросток делает сильный выброс в пространство, останавливается, выпускает листок, но уже короче первого, снова делает выброс в пространство, но уже меньшей силы, выпускает листок еще меньшего размера и снова выброс.

Золотое сечение: Рис.18

Если первый выброс принять за 100 единиц, то второй равен 62 единицам, третий – 38, четвертый – 24 и т.д. Длина лепестков тоже подчинена золотой пропорции. В росте, завоевании пространства растение сохраняло определенные пропорции. Импульсы его роста постепенно уменьшались в пропорции золотого сечения. Было установлено, что числовой ряд чисел Фибоначчи характеризует структурную организацию многих живых систем. Например, винтовое листорасположение на ветке составляет дробь (число оборотов на стебле/число листьев в цикле, напр. 2/5; 3/8; 5/13), соответствующую рядам Фибоначчи. Хорошо известна "золотая" пропорция пятилепестковых цветков яблони, груши и многих других растений. Носители генетического кода - молекулы ДНК и РНК - имеют структуру двойной спирали; ее размеры почти полностью соответствуют числам ряда Фибоначчи. Гете подчеркивал тенденцию природы к спиральности.

Золотое сечение: Рис.14hello_html_m1e099bbd.gif

Паук плетет паутину спиралеобразно. Спиралью закручивается ураган. Испуганное стадо северных оленей разбегается по спирали. Гете называл спираль "кривой жизни". Спираль увидели в расположении семян подсолнечника, в шишках сосны, ананасах, кактусах и т.д. У многих бабочек соотношение размеров грудной и брюшной части тела отвечает золотой пропорции. Сложив крылья, ночная бабочка образует правильный равносторонний треугольник. Но стоит развести крылья, и вы увидите тот же принцип членения тела на 2,3,5,8. Стрекоза также создана по законам золотой пропорции: отношение длин хвоста и корпуса равно отношению общей длины к длине хвоста

Золотое сечение: Рис.15Золотое сечение: Рис.16Золотое сечение: Рис.17Золотое сечение: Рис.19Золотое сечение: Рис.20hello_html_3386fba9.gif

hello_html_f343269.gifhello_html_m37b885bc.gifhello_html_119843ed.gif

В ящерице длина ее хвоста так относится к длине остального тела, как 62 к 38. Можно заметить золотые пропорции, если внимательно посмотреть на яйцо птицы.

Золотое сечение: Рис.21Золотое сечение: Рис.22

Все живое создано в соответствии с пропорцией Золотого Сечения

Некоторые открытия и теории современной науки,
связанные с «золотым сечением»

1.Плитки Пенроуза

В античной науке была широко известна «проблема паркета», которая сводится к плотному заполнению плоскости геометрическими фигурами одного вида. Как известно, такое заполнение может быть осуществлено с помощью треугольников, квадратов и шестиугольников. С помощью пятиугольников (пентагонов) такое заполнение невозможно.

http://www.trinitas.ru/rus/doc/0232/004a/pic/1037/1037-4047.gifhttp://www.trinitas.ru/rus/doc/0232/004a/pic/1037/1037-4049.gifhttp://www.trinitas.ru/rus/doc/0232/004a/pic/1037/1037-4051.gifhttp://www.trinitas.ru/rus/doc/0232/004a/pic/1037/1037-4053.gif

Проблема паркета

Рассмотрим еще раз внимательно правильный пятиугольник, называемый также пентагоном или пентаграммой, плоскую геометрическую фигуру, основанную на «золотом сечении».

http://www.trinitas.ru/rus/doc/0232/004a/pic/1037/1037-4055.gif

Правильный пятиугольник или пентагон

Как известно, после проведения в пентагоне диагоналей исходный пентагон может быть представлен как совокупность трех типов геометрических фигур. В центре находится новый пентагон, образуемый точками пересечения диагоналей. Остальная часть пентагона включает в себя пять равнобедренных треугольников, окрашенных в желтый цвет, и пять равнобедренных треугольников, окрашенных в красный цвет. Желтые треугольники являются «золотыми», так как отношение бедра к основанию равно золотой пропорции; они имеют острые углы в 36 при вершине и острые углы в 72 при основании. Красные треугольники также являются «золотыми», так как отношение бедра к основанию равно золотой пропорции; они имеют тупой угол в 108 при вершине и острые углы в 36 при основании. А теперь соединим два желтых треугольника и два красных треугольника их основаниями. В результате мы получим два «золотых» ромба. Первый из них (желтый) имеет острый угол в 36 и тупой угол в 144. Левый ромб будем называть тонким ромбом, а правый ромб – толстым ромбом.

http://www.trinitas.ru/rus/doc/0232/004a/pic/1037/1037-4057.gif«Золотые» ромбы

Английский математик и физик Роджерс Пенроуз использовал «золотые» ромбы для конструирования «золотого» паркета, который был назван плитками Пенроуза. Плитки Пенроуза представляют собой комбинацию толстых и тонких ромбов.

http://www.trinitas.ru/rus/doc/0232/004a/pic/1037/1037-4059.jpgПлитки Пенроуза

Важно подчеркнуть, что плитки Пенроуза имеют «пентагональную» симметрию или симметрию 5-го порядка, а отношение числа толстых ромбов к тонким стремится к золотой пропорции!

2.Квазикристаллы

12 ноября 1984 г. в небольшой статье, опубликованной в авторитетном журнале «Physical Review Letters» израильским физиком Даном Шехтманом, было предъявлено экспериментальное доказательство существования металлического сплава с исключительными свойствами. При исследовании методами электронной дифракции этот сплав проявил все признаки кристалла. Его дифракционная картина составлена из ярких и регулярно расположенных точек, совсем как у кристалла. Однако эта картина характеризуется наличием «икосаэдрической» или «пентангональной» симметрии, строго запрещенной в кристалле из геометрических соображений. Такие необычные сплавы были названы квазикристаллами. Менее чем за год были открыты многие другие сплавы подобного типа. Их было так много, что квазикристаллическое состояние оказалось намного более распространенным, чем это можно было бы представить. Открытие квазикристаллов является еще одним научным подтверждением, что, возможно, именно «золотая пропорция», проявляющая себя как в мире живой природы, так и в мире минералов, является главной пропорцией Мироздания.

3.Фуллерены

Термином «фуллерены» называют замкнутые молекулы типа С60, С70, С76, С84, в которых все атомы углерода находятся на сферической или сфероидальной поверхности. В этих молекулах атомы углерода расположены в вершинах правильных шестиугольников или пятиугольников, которые покрывают поверхность сферы или сфероида. Центральное место среди фуллеренов занимает молекула С60, которая характеризуется наибольшей симметрией и как следствие наибольшей стабильностью. В этой молекуле, напоминающей покрышку футбольного мяча и имеющую структуру правильного усеченного икосаэдра, атомы углерода располагаются на сферической поверхности в вершинах 20 правильных шестиугольников и 12 правильных пятиугольников, так что каждый шестиугольник граничит с тремя шестиугольниками и тремя пятиугольниками, а каждый пятиугольник граничит с шестиугольниками. «Фуллерены» по существу представляют собой «рукотворные» структуры, вытекающие из фундаментальных физических исследований. Впервые они были синтезированы в 1985 учеными Г. Крото и Р. Смолли (получившими в 1996 г. Нобелевскую премию за это открытие). Но в 1992 их неожиданно обнаружили в породах докембрийского периода, то есть фуллерены оказались не только «рукотворными», но и природными образованиями. Сейчас фуллерены интенсивно изучают в лабораториях разных стран, пытаясь установить условия их образования, структуру, свойства и возможные сферы применения.

4.Резонансная теория Солнечной системы

Частоты обращения планет и разности частот обращений образуют спектр с интервалом, равным золотой пропорции.

5. Фибоначчиевые резонансы генетического кода

Установление наукой ныне широко известного факта поразительной простоты основных принципов кодирования наследственной информации в живых организмах относится к числу важнейших открытий человечества. Эта простота заключается в том, что наследственная информация кодируется текстами из трехбуквенных слов – триплетов или кодонов, составленных на базе алфавита из четырех букв – азотистых оснований А (аденин), С (цитозин), G (гуанин), T (тимин). Данная система записи по существу едина для всего необозримого множества разнообразных живых организмов и называется генетическим кодом. В 1990 г. французский исследователь Jean-Claude Perez, работавший в тот период научным сотрудником фирмы IBM, сделал весьма неожиданное открытие в области генетического кодирования. Он открыл математический закон, управляющий самоорганизацией оснований Т, С, А, G внутри ДНК. Он обнаружил, что последовательные множества нуклеотидов ДНК организованы в структуры дальнего порядка, называемые РЕЗОНАНСАМИ. Резонанс представляет собой особую пропорцию, обеспечивающую разделение ДНК в соответствии с числами Фибоначчи (1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, …). Например, генетический код  -цепи инсулина имеет следующий вид:

ATG-TTG-GTC-AAT-CAG-CAC-CTT-TGT-GGT-TCT-CAC-CTC-GTT-GAA-GCT
-TTG-TAC-CTT-GTT-TGC-GGT-GAA-CGT-GGT-TTC-TTC-TAC-ACT-CCT-AAG-
ACT

6. Золотая пропорция в теории трансфинитных множеств Кантора и квантовой физике (E-infinity theory)

В последние годы наблюдается повышенный интерес теоретической физики к «золотому сечению». В работах английского физика египетского происхождения Мохаммеда Эль Нашие показана связь «золотого сечения» с квантовой физикой.

Заключение

Длившаяся несколько тысячелетий драматическая история Золотого Сечения в начале 21-го века — «Века Гармонии» — может закончиться большим триумфом для Золотого Сечения. Плитки Пенроуза, резонансная теория Солнечной системы (Молчанов, Бутусов), квазикристаллы (Шехтман), фуллерены (Крото и Смолли, Нобелевская Премия 1996 г.) стали только предвестниками этого триумфа. «Математика гармонии» (Стахов), гиперболические функции Фибоначчи и Люка (Стахов, Ткаченко, Розин), «геометрия Боднара», «Закон структурной гармонии систем» (Сороко), «теория E-infinity» (Эль Нашие), матрицы Фибоначчи и «золотые» квадратные матрицы (Стахов) и, наконец, «золотые» геноматрицы (Петухов) – вот далеко не полный перечень современных научных открытий, основанных на Золотом Сечении. Эти открытия дают основание высказать предположение, что Золотое Сечение является некоторым «метафизическим» знанием, «проточислом», «универсальным кодом Природы», который может стать основой для дальнейшего развития науки, в частности, математики, теоретической физики, генетики, компьютерной науки.

Научно-исследовательская работа по теме "Золотое сечение - гармония и красота"

VI городская Конференция проектных, научно-исследовательских и творческих работ «Шаг в науку» учащихся 5-11 классов

 

тема:   «Золотое сечение – гармония и красота »

                                                                                     Автор:   Цасюк Дмитрий  Юрьевич                                                                                                                                

                                                                         ученик  8  класса  МОУ СОШ №32

                                                                                         

                                                                               Научный руководитель: 

                                                                                                    Григорьева Валентина Ананьевна

                                                                                                        учитель математики МОУ СОШ №32

Подольск   2013

                                                

Оглавление

Введение ………………………………………………………………….

Методика исследования………………………………………………….

Результаты исследований………………………………………………..

Вывод………………………………………………………………………

Заключение………………………………………………………………..

 Список использованной литературы……………………………………..

Приложения ………………………………………………………………...

        


Введение

«…Геометрия владеет двумя сокровищами – теоремой Пифагора и золотым сечением, и если первое из них можно сравнить с мерой золота, то второе – с драгоценным камнем…».

Иоганн Кеплер

Цель проекта –  выявить  «золотое сечение» в математике, природе, архитектуре, искусстве, технике.

Задачи:

1. Изучить понятия «пропорция»; «золотое сечение».

   2. Исследовать присутствие золотого сечения в окружающей жизни.

   3. Изучить  практическое применение этого понятия, провести эксперименты с элементами золотого сечения.

   4. Научиться анализировать и делать выводы.

Методы исследования:

1. Работа с учебной и научно-популярной литературой, ресурсами сети Интернет.

2. Социологический опрос, эксперименты.

3. Наблюдение, сравнение, анализ, аналогия.

Объект исследования: «золотое сечение».

Предметы  исследования: математика, искусство, живопись, природа.

Актуальность:

Окружающий нас мир многообразен… Все, наверное, обращали внимание, что мы неодинаково относимся к предметам и явлениям окружающей действительности. Беспорядочность, бесформенность, несоразмерность воспринимаются нами как безобразное и производят отталкивающее впечатление. А предметы и явления, которым свойственна мера, целесообразность и гармония воспринимаются как красивое и вызывают у нас чувство восхищения, радости, поднимают настроение.

Людей с давних времён волновал вопрос, подчиняются ли такие неуловимые вещи как красота и гармония, каким-либо математическим расчётам. Можно ли «проверить алгеброй гармонию?» – как сказал А.С. Пушкин.

Конечно, все законы красоты невозможно вместить в несколько формул, но, изучая математику, мы можем открыть некоторые слагаемые  прекрасного.

Я познакомился с одним из таких математических соотношений, там, где оно присутствует, ощущается гармония и красота.

Теорему Пифагора знают многие люди, а вот что такое «золотое сечение» – далеко не все. Перед тем, как начать работу по теме « Золотое сечение», я провел опрос среди своих одноклассников, среди учителей нашей школы.

Нужно было ответить на вопрос «Знаете ли вы, что такое « золотая пропорция» или «золотое сечение»? Результаты опроса изображены на диаграмме.

Большая часть учителей знают что такое « золотая пропорция»  и  « золотое сечение», а большинство учащихся  не имеют представления о « золотом сечении» и

 « золотой пропорции».

Методика исследования

Я познакомился с понятием «золотое сечение», научился делить отрезок в золотом отношении, увидел, где оно встречается, как используется в технике и произведениях искусства.

Что же такое золотое сечение?

Рассмотрим отрезок АВ.

        

        А                                                    С                               В

Его можно разделить точкой С на две части бесконечным множеством способов, но говорят что точка С производит золотое сечение отрезка АВ, если выполняется пропорция: длина меньшего отрезка так относится к длине большего, как больший отрезок относится к длине всего отрезка, т.е.

Термин золотое сечение ввёл в XVI веке великий художник, учёный и изобретатель Леонардо да Винчи. В истории утвердились три варианта названия: золотое сечение, золотая пропорция и третье – деление отрезка в среднем и крайнем отношениях. Кроме того, золотое сечение награждали эпитетами «божественное», «чудесное», «превосходнейшее», потому что-то, где оно присутствует, вызывает у нас ощущение красоты и гармонии.

Чтобы и вы смогли увидеть золотое сечение в природе, в произведениях искусства, я научу вас сейчас делить отрезок в среднем и крайнем отношениях, т.е. делить отрезок в золотом отношении.

           D        

E

                                                C                                                                            

                   B                                                 C                                                                        A

Дано : Отрезок АВ.

Построить: золотое сечение отрезка АВ, то есть точку С так, чтобы 

Построим прямоугольный треугольник, у которого один катет в два раза больше другого. Для этого восстановим в точке В перпендикуляр к прямой АВ и на нем отложим отрезок  Далее, соединив точки A и D, отложим отрезок DE=BD, и, наконец, AC=AE. Точка С является искомой, она производит золотое сечение отрезка АВ.

Доказательство.

- прямоугольный по построению. По теореме Пифагора  Так как отрезок AD равен сумме отрезков AE и ED, то равенство перепишем в виде:

Задача имеет единственное решение.

                                                                                                                      Ч. т. д.

Деление отрезка в золотом отношении – это очень древняя задача. Она присутствует в «Началах» Евклида.

Золотое сечение записывается с помощью пропорции. Пропорция – это равенство двух отношений. Всем, я думаю, интересно узнать численное значение этих отношений. Сейчас мы его найдем.

Для удобства длину отрезка АВ обозначим за а , а длину отрезка АС – за х , то длина отрезка СВ будет а – х .

А                               х                              С                         а-х                В

                                                              а

Пропорция (1) примет вид :      (2).

(Отношение длины меньшего отрезка а – х к длине большего отрезка х равно отношению большего отрезка х к длине всего отрезка а).

Так как отношения составляющие пропорцию равны, то найдём численное значение, например, отношения  

По свойству пропорции: произведение средних членов равно произведению крайних членов. Равенство (2) перепишется в виде

Раскроем скобки и все слагаемые перенесём в левую часть:

Решаю получившееся квадратное уравнение относительно х 

Так как, а – это длина отрезка, поэтому D > 0 , уравнение имеет 2 корня.

 

  Напоминаю, что мы находим значение  

Получилось два значения х , но х – это длина отрезка, т.е. число положительное.

Проверим, удовлетворяет ли   этому условию? ( не удовлетворяет условию, так как меньше нуля).

Удовлетворяет ли   этому условию?

Значит,  

Находим отношение

Вычисляю  значение этого выражения с помощью микрокалькулятора с точностью до сотых.

Следовательно, отношение длины меньшего отрезка к длине большего отрезка и отношение большего к длине всего отрезка равно 0,62 . Такое отношение и будет золотым. Полученное число обозначается буквой . Это первая буква в имени великого древнегреческого скульптора Фидия, жившего в V в до н.э., который часто использовал золотое отношение в своих произведениях.

Итак, мы узнал, что такое золотое сечение и как разделить произвольный отрезок в золотом отношении.

Так когда же некоторая точка С производит золотое сечение отрезка AD ? (Точка С производит золотое сечение отрезка АВ , если выполняется пропорция: длина меньшего отрезка так относится к длине большего, как больший отрезок относится к длине всего отрезка, т.е.

На уроках геометрии мы изучали равнобедренный треугольник, равносторонний треугольник, оказывается, существует ещё так называемый золотой треугольник.

  Золотым называется такой равнобедренный треугольник , основание и боковая сторона которого находятся в золотом отношении:

                       В        

                  А                                                 С              

Я  провел  психологический опыт.

Попросил одноклассников начертить на альбомном листе любой прямоугольник, какой больше нравиться(!). Попросил найти отношение ширины прямоугольника к его длине.

Результаты показали, что у большинства из них отношение сторон оказалось близким к числу 0,62. И это не случайно, так как многим людям кажутся красивыми и гармоничными именно те фигуры, в которых есть элементы, связанные друг с другом золотым отношением.

Прямоугольник, стороны которого находятся в золотом отношении, т.е. отношение ширины к длине даёт число 0,62, называется золотым прямоугольником.

         L                                                                 M

        

        K                                                                   N

В «золотом прямоугольнике»  построим квадрат со стороной, равной меньшей стороне прямоугольника, у которого с прямоугольником общий прямой угол. Оказывается, снова получим золотой прямоугольник меньших размеров. В этом прямоугольнике снова построим квадрат, у которого с прямоугольником общий угол, и со стороной равной меньшей стороне прямоугольника. Снова получился золотой прямоугольник. Произведём несколько аналогичных построений.

Видим, что весь прямоугольник оказался составленным из вращающихся квадратов. Соединим противолежащие вершины квадратов плавной кривой. Сделаем это с помощью циркуля следующим образом…

 

Мы получили  кривую, которая является золотой спиралью . 

Результаты исследований

Оказывается, в природе встречаются и золотое сечение и золотая спираль.

Окружающие нас предметы дают примеры золотого прямоугольника: обложки многих книг, журналов, тетрадей, открытки, картины, крышки столов, экраны телевизоров и т.д. близки по размерам к золотому прямоугольнику.[Приложение 1].

Интерес человека к природе привёл к открытию её физических и математических закономерностей. Красота природных форм рождается во взаимодействии двух физических сил – тяготении и инерции. Золотая пропорция – это математический символ этого взаимодействия, поскольку выражает основные моменты живого роста: стремительный взлёт юных побегов сменяется замедленным ростом «по инерции» до момента цветения.

Рассматривая расположение листьев на общем стебле многих растений, можно заметить, что между каждыми двумя парами листьев третья расположена в месте золотого сечения. Точка С делит отрезок АВ в золотом отношении, точка Е делит отрезок DA в золотом отношении и так далее.[Приложение 2].

                                               

Золотую спираль также можно заметить в созданиях природы.

Рассмотрим расположение семечек в корзине подсолнуха. Они выстраиваются вдоль спиралей, которые закручиваются как слева направо, так и справа налево. В одну сторону у среднего подсолнуха закручено 13 спиралей, в другую – 21 . Отношение 13/21 равно 0,62. У более крупных соцветий подсолнуха число соответствующих спиралей больше, но отношение числа спиралей, закручивающихся в разных направлениях также равно числу 0,62.

Похожее спиральное расположение наблюдается у чешуек сосновых шишек или ячеек ананаса.

                                             

По золотой спирали свёрнуты раковины многих улиток и моллюсков, некоторые пауки, сплетая паутину, закручивают нити вокруг центра по золотым спиралям. Рога архаров закручиваются по золотым спиралям.

  Природа повторяет свои находки, как в малом, так и в большом. По золотым спиралям закручиваются многие галактики, в частности и галактика Солнечной системы. 

                                                 

Человек – венец творения природы… Установлено, что золотые отношения можно найти и в пропорциях человеческого тела. [Приложение 3]

Начну с пропорции головы человека.

Оказывается, что у большинства людей, верхняя точка уха, на рисунке это точка В , делит высоту головы вместе с шеей, т.е. отрезок АС , в золотом отношении.

Нижняя точка уха, точка D , делит в золотом отношении расстояние ВС , т.е. расстояние от верхней части уха до основания шеи.

Подбородок делит расстояние от нижней точки уха до основания шеи в золотом отношении, т.е. точка Е делит в золотом отношении отрезок DC .

Пропорции золотого сечения проявляются и в отношении других частей тела - длина плеча, предплечья и кисти, кисти и пальцев и т.д.

                    тело 

Перейду к пропорциям тела.

Измерения нескольких тысяч человеческих тел позволили обнаружить, что пупок делит высоту человека в золотом отношении.

Основание шеи делит расстояние от макушки до пупка в золотом отношении.

Эти пропорции я показал в изображении знаменитой скульптуры Аполлона Бельведерского. Аполлон считается образцом мужской красоты.

Но не только создатель Аполлона, но и скульптор Фидий часто использовал золотую пропорцию в своих произведениях. Самыми знаменитыми из них были статуя Зевса Олимпийского,

                                                        

которая считалась одним из семи чудес света, и статуя Афины Парфенос.

                                               

Кроме того, человек сам является творцом, создаёт замечательные произведения искусства, в которых просматривается золотая пропорция. Фидий руководил строительством храма Парфенон в Афинах.

 

Парфенон – это одно из красивейших произведений древнегреческой архитектуры. Он и сейчас, несмотря на то, что со времени его постройки прошло более 2,5 тысячелетий, производит огромное впечатление. Некогда белоснежный мрамор стал от времени золотисто-розовым. Величественное здание, стоящее на холме из известняка, возвышается над Афинами и их окрестностями. Но поражает оно не своими размерами, а гармоническим совершенством пропорций. Здание не вдавливается своей тяжестью в землю, а как бы парит над нею, кажется очень лёгким.

Многие искусствоведы стремились раскрыть секрет того могучего эмоционального воздействия, которое это здание оказывает на зрителя. Разгадку они увидели в том, что в соотношениях многих частей храма присутствует золотая пропорция. Так, отношение высоты здания к его длине равно 0,62 . Отношения целого ряда частей Парфенона дают число 0,62. Говорят «… у греческого храма нет размеров, у него есть пропорции …».

  Надо сказать, что в эпоху Возрождения золотое сечение было очень популярно среди художников, скульпторов и архитекторов. Монах Лука Пачоли написал целую книгу «Божественная пропорция». Леонардо да Винчи, знающий о воздействии золотой пропорции на человека, выполнил к этой книге иллюстрации.

Скульпторы, архитекторы, художники использовали и используют золотое сечение в своих произведениях, так как пропорции золотого сечения создают впечатление гармонии и красоты.

Я провёл  ещё один психологический опыт.  

Попросил одноклассников положить перед собой альбомный лист чистой стороной. Попросил представить, что они собрались нарисовать пейзаж и это формат их  картины. Нужно провести  на будущей картине линию горизонта…

У большинства получился результат, очень похожий на рисунок 1 или 2 (перевернуть 1).

 

Почему они  и многие другие художники проводят линию горизонта именно так? А потому, что линия горизонта разделила высоту картины в отношении близком к золотому сечению. Оказывается, для нашего восприятия такое соотношение привычно, нам кажется такое изображение естественным и гармоничным.

Из всего сказанного можно сделать выводы:

  1. Золотое сечение является отображением окружающегося мира  
  2. Человеческое представление о красивом формировалось под влиянием порядка и гармонии
  3. Закономерности «Золотого сечения» заложены в подсознании человека, они использовались и используются архитекторами в своих работах.

С возрастом увеличивается количество людей, выбирающих Золотую пропорцию.

Золотое сечение имеет большое применение в  нашей жизни. На летательных аппаратах с электромагнитными источниками  энергии  создаются прямоугольные ячейки с пропорцией золотого сечения.

 

 Заключение

В своей  работе я рассмотрел пропорцию, научился делить отрезок в золотом отношении, изучил золотой треугольник, золотой прямоугольник, спираль. Исследовал предметы на золотой прямоугольник, пропорцию человеческого тела, увидел пропорцию в окружающей нас природе.

Изложил  примеры, взятые из архитектуры, живописи, скульптуры.

В своей работе я хотела продемонстрировать красоту и широту «Золотого сечения» в реальной жизни. Проведенные исследования доказали, что многое в окружающем мире подчиняется правилу золотого сечения.

Человек различает окружающие его предметы по форме. Интерес к форме какого-либо предмета может быть продиктован жизненной необходимостью, а может быть вызван красотой формы. Форма, в основе построения которой лежат сочетание симметрии и золотого сечения, способствует наилучшему зрительному восприятию и появлению ощущения красоты и гармонии. Целое всегда состоит из частей, части разной величины находятся в определенном отношении друг к другу и к целому. Принцип золотого сечения – высшее проявление структурного и функционального совершенства целого и его частей в искусстве, науке, технике и природе.

Значение золотого сечения в современной науке очень велико. Эта пропорция используется практически во всех областях знаний.

Пока я говорил только об его эстетическом значении, но существуют примеры его чисто практического применения. В гидротехнике по золотой спирали изгибают трубу, подводящую поток воды к лопастям турбины. Благодаря этому напор воды используется с наибольшей производительностью

Приложение 1

«Золотой прямоугольник» учебников

учебник

ширина

а (см)

длина

в (см)

отношение

а/в

Русский язык

17

21

0,81

История России

14,7

21,5

0,68

Химия

16,5

21,7

0,76

Геометрия

14,5

21,5

0.67

Литература

14,7

22

0,668

Новая История

14,5

22

0,659

Биология 7 кл.

16,5

22

0,75

Английский язык

21

29,5

0,71

География

20

26,5

0,755

Физика

14,7

22

0,668

Дидактика геометрия

14

21,5

0,651

Дидактика алгебра

14

21

0,666

Дневник

16,8

21,5

0,781

Из исследования можно сделать вывод, что форма учебников близка к золотому прямоугольнику.

Пентаграмма

Замечательный пример «золотого сечения» представляет собой пентаграмма – правильный невыпуклый пятиугольник, она же правильный звездчатый пятиугольник, или правильная пятиугольная звезда. Она известна, узнаваема и любима нами с детства. Форму пятиконечной звезды имеют многие цветы, морские звезды и ежи, вирусы и т. д. Человеческое тело также можно рассматривать как пятилучевую фигуру, где лучами служат голова, руки и ноги.

Первые упоминания о пентаграмме относятся к Древней Греции. В переводе с Греческого пентаграмма означает дословно пять линий ( l e u t a - пять, g r a m m a - черта, линия). В эллинском мире наука и искусство развивались в так называемых философских школах.

Одной из самых известных среди них была школа Пифагора (580500 гг. до н.э.), а отличительным  знаком ее членов была пентаграмма. Пифагорейцы отличались исключительной верностью своему братству. Сохранилась легенда, согласно которой один из пифагорейцев, тяжело заболев на чужбине и оставшись без средств, попросил хозяина дома, приютившего его, нарисовать на воротах пентаграмму. Проходивший мимо дома другой пифагореец ее увидел и щедро расплатился с хозяином.

Конечно, пифагорейцы не случайно выбрали пентаграмму. Они считали, что этот красивый многоугольник обладает многими мистическими свойствами. Например, число лучей этой звезды представлялось пифагорейцами как число любви: 5 = 2 + 3; 2 – первое женское число, 3 – первое мужское число. Именно поэтому пентаграмма являлась символом жизни и здоровья, ей присваивалась способность защищать человека от злых духов.

Чем же интересен этот символ с точки зрения математики?

Пентаграмма представляет собой вместилище золотых пропорций! Из подобия треугольников ACD и ABE можно вывести известную пропорцию

Интересно, что внутри пятиугольника можно продолжить строить пятиугольники, и золотые отношения будут сохраняться.

                                           

Приложение № 2

Золотая пропорция в природе

Выбрал  растения,  которые я посчитал наиболее  красивыми. Сделал необходимые измерения между тройками листьев и посчитал соответствующие отношения (с точностью до тысячных).

                                                     

Данные измерений и вычислений занесены в следующую таблицу:

Название

АС

СВ

АВ

АС/СВ

СВ/АВ

1.

алое

2 см

2 см

4 см

1

0,5

2.

денежное дерево - толстянка

2 см

2,5 см

4,5 см

0,8

0,55

3.

папоротник

2,2 см

2,4 см

4,6 см

0,916

0,521

4.

герань

1,5 см

2,5см

4 см

0,6

0,625

Из таблицы видно, что не все отношения получаются близкими к числу 0,618. Наиболее совершенным с точки зрения математики, оказался цветок под номером 4 герань . Следовательно, расположение листьев на стебле подчиняется «божественной пропорции».

Закон углов

  Одним из первых проявлений золотого сечения в природе подметил разносторонний наблюдатель, автор многих смелых гипотез немецкий математик и астроном Иоганн Кеплер (1571 – 1630). С XVII в . наблюдения математических закономерностей в ботанике и зоологии стали быстро накапливаться.

Приведём один из сравнительно недавно установленных фактов. В 1850 г . немецкий учёный А. Цейзинг открыл так называемый закон углов, согласно которому средняя величина углового отклонения ветки растения равна примерно 138 ° .

Представим себе, что две соседние ветви растения исходят из одной точки (на самом деле это не так: в реальности ветви располагаются выше или ниже друг друга). Обозначим одну из них через ОА, другую через ОВ . Угол между лучами – ветками, обозначим через , а угол, дополняющий его до 360 ° ,  - через  . Составим золотую пропорцию деления полного угла, считая, что угол   - большая часть этой величины:

Отсюда получаем уравнение    и находим положительный корень

Тогда

 

Таким образом, величина среднего углового отклонения ветки соответствует меньшей из двух частей, на которые делится полный угол при золотом сечении.

Приложение 3

Пропорция человеческого тела

Фамилия ,имя

От головы до талии (а), см

От талии до пола (в), см

Отношение

а/в

Цасюк Юрий

62

112

0,553

Цасюк Анастасия

47

60

0,783

Цасюк Дмитрий

64

93

0,688

Янчий Игорь

63

102

0,617

Соломанидин Иван

69

95

0,726

Архангельский Дмитрий

62

105

0,590

Романюта Александр

67

108

0,620

Матусовский Влад

71

107

0,663

Ильющенков Алексей

61

87

0,701

Писарев Александр

60

85

0,705

Михеев Сергей

68

98

0,694

Молодняков Сергей

70

106

0.660

Романов Александр

Из 13-ти человек, участвовавших в исследовании, наименьшее отклонение от золотой пропорции среди юношей имеют: Романюта Александр и Янчий Игорь.


ЛИТЕРАТУРА

  1. Азевич А.И. Двадцать уроков гармонии: гуманитарно-математический курс. - М.: Школа-пресс, 1998.
  2. Волошинов А.В. Математика и искусство. М., 1992.
  3. Мурадова Р. Обобщающий урок по теме «Золотое сечение». // Математика (Приложение к газете «Первое сентября»). - 1999. № 1.
  4. Пидоу Д. Геометрия и искусство. – М.: Мир, 1989.
  5. Самохвалова В.И. Красота против энтропии. М., 1990.
  6. Энциклопедический словарь юного математика. М., 1989.
Исследовательская работа по математике "Золотое сечение"

Слайд 1 Здравствуйте Уважаемые члены жюри, мы представляем вашему вниманию исследовательскую работу на тему : «Золотое сечение». И хотим мы начать с замечательной фразы Святого Фомы Аквинского: «Чувствам человека приятны объекты, обладающие правильными пропорциями.»

Слайд 2 Цель нашей работа: Выявить что же такое «Золотое сечение», исследовать принцип «золотого сечения – красоты и гармонии» в окружающем мире. Основная задача стоящая перед нами: Изучить красоту окружающих предметов с математической точки зрения

Слайд 3 Теперь более чем когда-либо все в нашем мире основано на числах. Некоторые из них имеют даже свои имена (число π). Среди всех замечательных чисел есть одно особенно интересное: 1,6180339887…

С особым благоговением относились к этому числу: золотое число, божественное число, божественное сечение… Мы назовем его золотым сечением. Оно обозначается греческой буквой Ф (фи) и играет в математике выдающуюся роль, обладая удивительными свойствами и неожиданными связями с творениями природы и человека.

Слайд 4 Золотое сечение – это иррациональное число. Оно было открыто древними греками, и его документированная история начинается с одной из самых известных книг всех времен и народов «Начал» Евклида, написанной около 300 г. до н.э. «Начала» состоят из 13 книг, а именно 6 книга содержит текст, с которого началась история золотого сечения:

«Разделить прямую линию в крайнем и среднем отношении значит разделить ее на два таких отрезка, чтобы отношение всей линии к большему отрезку равнялось отношению большего отрезка к меньшему». Иными словами «Целое относится к большей части, как большая часть к меньшей»

Слайд 5 Для записи золотого сечения используют математическую формулу:

(1+√5)/2=1,6180339887

Как мы видим это число чуть больше единицы, состоит из бесконечного ряда цифр, которые никогда не образуют повторяющуюся группу.

Чтобы подойти к золотому сечению геометрически, можно построить прямоугольник, у которого одна сторона в 1,618 раз длиннее другой

Слайд 6 На слайде представлено более точное значение числа Фи

Слайд 7 Мы решили провести эксперимент: Взяли две кредитные карты. Одну разместили горизонтально, а другую вертикально так, чтобы нижние стороны находились на одной линии.

Если в горизонтальной карте мы проведем диагональную линию и продолжим ее, то увидим, что она пройдет в точности через правый верхний угол вертикальной карты – приятная неожиданность.

Слайд 8 Еще мы провели небольшое исследование по методу немецкого экспериментального психолога Густава Теодора Фехнера. В 1876 году он провел исследование с людьми не имеющими отношение к искусству. Им было необходимо из прямоугольников, включая квадрат, выбрать один, который наиболее приятен глазу. Подавляющее большинство выбрали прямоугольник с «золотым » соотношением сторон. Мы предлагаем вам тоже выбрать прямоугольник который наиболее вам приятен.

Слайд 9 А теперь мы посмотрим что-же представляет собой каждый прямоугольник. ( показать прямоугольники на слайде и прочитать что они обозначают)

Слайд 10 Мы повторили этот эксперимент в 6-7 классах. И отметили одну особенность, дети которые выбрали «золотой прямоугольник», либо хорошо рисуют, либо занимаются в художественной школе, т.е. все же имеют отношение к искусству.

Слайд 11 Далее мы приступаем к изучению красоты окружающих предметов с математической точки зрения. Начнем мы с идеальных пропорций. На слайде представлена статуя Апполона, который являлся примером тех самых идеальных пропорций. Рост человека= размаху рук (расстоянию между кончиками пальцев разведенных в стороны рук) = 8 ладоням = 6 ступням = 8 лицам = 1,618, умноженному на высоту пупка ( расстоянию от пупка до земли. Мы добрались до соотношения 1,618, что является приблизительным значением числа Фи. При проверке этих пропорций в наших телах мы, несомненно, расстроимся. Ведь идеалу соответствовать трудно.

Слайд 12 Золотое сечение встречается и в живописи. Композиционные элементы картины Леонардо «Тайная вечеря» содержат золотые пропорции. Хотя прямых доказательств этого нет. Но «золотые прямоугольники» определяют как размеры картины, так и положение Христа и его учеников. Стены и окна на заднем плане следуют правилу золотого сечения.

Слайд 13 Даже портрет Моны Лизы построен на золотом сечении. Ее лицо и в целом, и в деталях обрамлено элегантной последовательностью «золотых» прямоугольников разных размеров.

Слайд 14 Символ пентаграммы, который по утверждению Пифагора скрывает в себе золотое сечение, помогал в определении пространства картины, в расположении человеческих фигур. «Святое семейство» Микеланджело служит тому примером.

Слайд 15 Золотое сечение в архитектуре. В других цивилизациях, далеких от классической културы, тоже ценили золотое сечение. Рядом с озером Титикака, недалеко от столицы Боливии, находятся Врата Солнца – каменная арка доинковской эпохи с пропорциями, которые полностью диктуются золотым сечением. Врата разрушены, время постройки датируется примерно 1500 г до н.э.

Слайд 16 Врата Солнца в виде «золотых прямоугольников»

Слайд 17 Фасад Университета Саламанки содержит большой «золотой прямоугольник». Испания 1218 г.

Слайд 18 Музей Гуггенхайма в Нью-Йорке. Вид снаружи похож на золотую спираль. А золотая спираль – это в геометрии логарифмическая спираль, скорость роста которой равна Фи, золотой пропорции. И опять мы пришли к золотому числу.

Слайд 19 На слайде представлен вид сверху на школу им. Хайнца Галински. Идея навеяна расположением лепестков. В то время как архитектор подражает природе, расположение лепестков тесно связано с числом Фи.

Слайд 20 Золотое сечение в дизайне. Логотип Toyota использует соотношение a и b, формируя сетку, в которой образуются три кольца. Обратите внимание, как этот логотип использует прямоугольники вместо кругов для создания золотого сечения. Компания Apple видимо использовала золотую спираль, ведь она так отлично вписывается в логотип компании.

Слайд 21 Золотое сечение в природе. Рассмотрим листья шершавого вяза и фигового дерева. Они имеют форму в соответствии с золотой пропорцией.

Слайд 22 Рассмотрим обычное куриное яйцо. В его изображение отлично вписывается золотая (логарифмическая спираль)

Слайд 23 А задумывались ли вы о пропорциях ящерицы? В ящерице с первого взглядя улавливается приятная для нашего глаза пропорция. Длина ее хвоста так относится к длине остального тела как 62:38. Разделим 62 на 38 получим 1,631… что близко к числу Фи.

Слайд 24 Мир золотого сечения глубок и сложен, мы лишь едва коснулись его. Роль Фи вовсе не ограничивается тем, что мы видели. Но самое интересное заключается в том, что это древнее и прославленное число, появившееся в математике более 20 веков назад, до сих пор встречается в новых областях современной науки. «Божественное» число вовсе не является отслужившей своей игрушкой, оно и сегодня продолжает играть важную роль.

Слайд 25 На слайде список использованной литературы и источников в сети Интернет. Спасибо за внимание.

Исследовательская работа по математике "Золотое сечение" в окружающем мире.

Цель: Исследовать принцип “золотого сечения” в окружающем мире.

Задачи:

  1. Исследовать применение принципа “золотого сечения” в поэзии.

  2. Исследовать принцип “золотого сечения” в живой природе:
    а) в строении тела человека
    в) в растениях

  3. Исследовать принцип “золотого сечения” в религии.

  4. Молекула воды и «золотое сечение»

  5. Использовать результаты исследования для формирования научного мировоззрения, основанного на принципах гармонии и золотого сечения.

Объект исследования: стихотворение А.С. Пушкина «Сапожник», М.Ю. Лермонтова «Бородино», родители, растения: золотой ус, традесканция, религия, молекула воды.

Предмет исследования: отражение “золотого сечения” в окружающем мире

Методы исследования:

  • анализ теоретической литературы;

  • математические расчеты пропорциональных отношений;

  • сопоставление полученных данных.

Гипотеза: в окружающем мире “золотое сечение” является основополагающим принципом красоты, прочности, надежности.

Введение

С давних пор человек стремится окружать себя красивыми вещами. Предметы обихода жителей древности уже показывают стремление человека к красоте. На отдельном этапе своего развития человек начал задаваться вопросом: почему тот или иной предмет является красивым и что является основой прекрасного? Уже в Древней Греции изучение сущности красоты, прекрасного, сформировалось в отдельную науку – эстетику. Тогда же родилось представление о том, что основой прекрасного является гармония-соразмерность частей и целого, слияние различных компонентов объекта в одно целое.

Человек различает окружающие его предметы по цвету, вкусу, запаху, форме. Интерес к форме какого-либо предмета может быть вызван жизненной необходимостью, а может быть и красотой формы. Форма, в основе построения которой лежит принцип “золотого сечения”, способствует наилучшему зрительному восприятию и появлению ощущения красоты и гармонии.

История “золотого сечения”

В дошедшей до нас древней литературе впервые упоминание о “золотом сечении” встречается в трудах Евклида “Начала” (около. 300 до н. э.) О “золотом сечении” знали еще в Древнем Египте и Вавилоне, в Индии и Китае. Великий Пифагор создал тайную школу, где изучалась мистическая суть “золотого сечения”. Евклид применил его, создавая свою геометрию.

Пропорции пирамиды Хеопса, храмов, барельефов, предметов быта и украшений из гробницы Тутанхамона свидетельствуют, что египетские мастера пользовались соотношениями “золотого сечения” при их создании.

. А что это такое “золотое сечение” или по-другому “золотая пропорция”? Золотое сечение – это такое пропорциональное деление отрезка на неравные части, при котором весь отрезок так относится к большей части, как сама большая часть относится к меньшей и это приблизительно равно 1,62 т.е. c:b = b:a ; или, меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему и это приблизительно равно 0,62 т.е. a:b = b:c

hello_html_m588aa3bb.gif

Принято считать, что объекты, содержащие в себе “золотое сечение” воспринимаются людьми как наиболее гармоничными.

Есть вещи, которые нельзя объяснить. Вот вы подходите к пустой скамейке и садитесь на нее. Где вы сядете – посередине? Или, может быть, с самого края? Нет, скорее всего, не то и не другое. Вы сядете так, что отношение одной части скамейки к другой, относительно вашего тела, будет равно примерно 1,62. Простая вещь, абсолютно инстинктивная... Садясь на скамейку, вы произвели “золотое сечение”. Так что же такое “золотое сечение”? Что это за идеальное, божественное сочетание? Может быть, это закон красоты? Или все-таки он – мистическая тайна? Научный феномен или этический принцип? Ответ неизвестен до сих пор. Точнее – нет, известен. “Золотое сечение” – это и то, и другое, и третье. Только не по отдельности, а одновременно... И в этом его подлинная загадка, его великая тайна.

Глава 1. Золотые пропорции в литературе. Поэзия и золотое сечение.

Многое в структуре поэтических произведений роднит этот вид искусства с музыкой. Четкий ритм, закономерное чередование ударных и безударных слогов, упорядоченная размерность стихотворений, их эмоциональная насыщенность делают поэзию родной сестрой музыкальных произведений. Каждый стих обладает своей музыкальной формой - своей ритмикой и мелодией. Можно ожидать, что в строении стихотворений проявятся некоторые черты музыкальных произведений, закономерности музыкальной гармонии, а следовательно, и золотая пропорция.

Начнем с величины стихотворения, то есть количества строк в нем. Казалось бы, этот параметр стихотворения может изменяться произвольно. Однако оказалось, что это не так. Например, проведенный анализ стихотворений А.С. Пушкина с этой точки зрения показал, что размеры стихов распределены весьма неравномерно; оказалось, что Пушкин явно предпочитает размеры в 5, 8, 13, 21 и 34 строк (числа Фибоначчи).

Многими исследователями было замечено, что стихотворения подобны музыкальным произведениям; в них также существуют кульминационные пункты, которые делят стихотворение в пропорции золотого сечения. Рассмотрим, например, стихотворение А.С. Пушкина "Сапожник":

Картину раз высматривал сапожник

И в обуви ошибку указал;

Взяв тотчас кисть, исправился художник,

Вот, подбочась, сапожник продолжал:

"Мне кажется, лицо немного криво ...

А эта грудь не слишком ли нага?

Тут Апеллес прервал нетерпеливо:

"Суди, дружок, не выше сапога!"

Есть у меня приятель на примете:

Не ведаю, в каком бы он предмете

Был знатоком, хоть строг он на словах,

Но черт его несет судить о свете:

Попробуй он судить о сапогах!

Проведем анализ этой притчи. Стихотворение состоит из 13 строк. В нем выделяется две смысловые части: первая в 8 строк и вторая (мораль притчи) в 5 строк (13, 8, 5 - числа Фибоначчи).

Знаменитое стихотворение Лермонтова "Бородино" делится на две части: вступление, обращенное к рассказчику и занимающее лишь одну строфу ("Скажите, дядя, ведь недаром..."), и главную часть, представляющее самостоятельное целое, которое распадается на две равносильные части. В первой из них описывается с нарастающим напряжением ожидание боя, во второй - сам с постепенным снижением напряжения к концу стихотворения. Граница между этими частями является кульминационной точкой произведения и приходится как раз на точку деления его золотым сечением.

Главная часть стихотворения состоит из 13 семистиший, то есть из 91 строки. Разделив ее золотым сечением (91:1,618 = 56,238), убеждаемся, что точка деления находится в начале 57-го стиха, где стоит короткая фраза: "Ну ж был денек!". Именно эта фраза представляет собой "кульминационный пункт возбужденного ожидания", завершающей первую часть стихотворения (ожидание боя) и открывающий вторую его часть (описание боя). —

Скажи-ка, дядя, ведь не даром

Москва, спаленная пожаром,

Французу отдана?

Ведь были ж схватки боевые,

Да, говорят, еще какие!

Недаром помнит вся Россия

Про день Бородина!

Да, были люди в наше время,

Не то, что нынешнее племя:

Богатыри — не вы!

Плохая им досталась доля:

Немногие вернулись с поля…

Не будь на то господня воля,

Не отдали б Москвы!

Таким образом, золотое сечение играет в поэзии весьма осмысленную роль, выделяя кульминационный пункт стихотворения.

Глава 2.“Золотое сечение” в строении человеческого тела.

hello_html_m43a0c0e7.jpg

В разные времена и у разных народов эталоны длины частей человека были одинаковыми: они происходили от человеческого тела. В человеке заложены пропорции, отобранные самой природой. Начало этим мерам дает рост человека. Деление тела точкой пупа – важнейший показатель “золотого сечения”. Художники, ученые, модельеры, дизайнеры делают свои расчеты, чертежи или наброски, исходя из соотношения “золотого сечения”. Они используют мерки с тела человека, сотворенного по этому принципу. Если эти пропорции совпадают с формулой “золотого сечения”, то внешность или тело человека считается идеально сложенными

В строении черт лица человека и в руке, также есть множество примеров, приближающихся по значению к этой формуле. Я на практике решила проверить присутствие “золотого сечения” в частях человеческого тела – в росте, в кисти руки.

Представляю по одному результату исследования.

2.а. Исследование роста.

hello_html_60eafff6.jpg

2.а. Исследование кисти руки.

hello_html_2e75bc37.gif

hello_html_m1adb33c2.jpg

После всех вычислений я пришла к выводу, что “золотое сечение” присутствует в частях человеческого тела. Но чем старше человек, тем пропорция более приближена к “золотому сечению”, т.к. дети растут, организм их формируется, поэтому размеры тела изменяются.

2.в. Исследование «золотого сечения» в растениях.

В биологических исследованиях 1970-90 гг. показано, что, начиная с вирусов и растений, и кончая организмом человека, всюду выявляется “золотая пропорция”, характеризующая соразмерность и гармоничность их строения. “Золотое сечение” признано универсальным законом всех живых систем.

Рассматривая расположение листьев на общем стебле растений: золотой ус, традесканция и алоэ, я выяснила, что между каждыми двумя из листьев третий расположен в определенном месте.

hello_html_587b5645.gif  hello_html_m6e71c883.gif

2,5+1.5=4, 4:2.5=1.6

8:5=1,6

2.5:1,5=1,67

5:3=1,67

Расчеты показали, что средний лист, располагается в месте “золотого сечения”.

Глава.3. Исследование «золотого сечения» в религии.

Ролик https://www.youtube.com/watch?v=jABkY8Wcw-k

Глава.4. Молекула воды и «золотое сечение».

На Земле нет других веществ, наделенных способностью быть жидкостью при температурах существования человека и при этом образовывать газ не только легче воздуха, но и способный возвращаться к ее поверхности в виде осадков.

Восхитительная геометрия. Итак, какова же самая маленькая среди трехатомных молекул? Молекула воды имеет симметричную V-образную форму, так как два небольших атома водорода располагаются с одной стороны от сравнительно крупного атома кислорода. Это сильно отличает молекулу воды от линейных молекул, например Н2Ве, в которой все атомы располагаются цепочкой. Именно такое странное расположение атомов в молекуле воды и позволяет ей иметь множество необычных свойств.

Если внимательно рассмотреть геометрические параметры молекулы воды, то в ней обнаруживается определенная гармония. Чтобы увидеть ее, построим равнобедренный треугольник Н-О-Н с протонами в основании и кислородом в вершине. Такой треугольник схематично копирует структуру молекулы воды, проекция которой на плоскость условно изображена на рисунке.

Длины сторон этого треугольника и валентный угол между двумя связями О-Н изменяются при изменении агрегатного состояния воды. Приведем эти параметры (см. таблицу).

Прокомментируем данные, характеризующие различные состояния воды.

Параметры молекулы воды в парообразном состоянии получены на основе обработки спектров ее поглощения. Результаты неоднократно уточнялись, но по существу правильно оценивают длины связей и валентный угол в молекуле воды в состоянии пара.

Кристаллическая структура льда при нормальном давлении довольно рыхлая с причудливой паутиной связей между молекулами воды. Схематично кристаллическую решетку обычного льда можно построить из атомов кислорода, каждый из которых участвует с соседними атомами в четырех водородных связях, направленных приблизительно к вершинам правильного тетраэдра.

Напомним, что водородной называется связь между атомами в одной молекуле или между соседними молекулами, которая осуществляется через атом водорода. Водородная связь играет чрезвычайно важную роль в структуре не только воды, но и большинства биологических молекул - углеводов, белков, нуклеиновых кислот и т. п.

Если кристаллический лед хорошо упорядочен по кислороду, то этого нельзя сказать про водород: в расположении ионов водорода (протонов) наблюдается сильный беспорядок. Их положение четко не определено, и поэтому лед можно считать разупорядоченным по водороду.

Лед обладает многими удивительными особенностями, из которых отметим две.

Во-первых, он всегда очень чист химически. В структуре льда практически не бывает примесей: при замерзании они вытесняются в жидкость. Именно поэтому снежинки всегда белые, а льдинки на поверхности грязной лужи практически прозрачные. Вообще говоря, любой растущий кристалл стремится создать идеальную кристаллическую решетку и вытесняет посторонние вещества. Но в планетарном масштабе именно замечательный феномен замерзания и таяния воды играет роль гигантского очистительного процесса - вода на Земле постоянно очищает сама себя.

Во-вторых, лед и особенно снег обладают очень высокой отражательной способностью. Благодаря этому солнечное излучение не вызывает заметного нагрева полярных областей, и, как следствие этого, наша планета избавлена от сезонных наводнений и повышений уровня Мирового океана.

Экспериментальное определение параметров одиночной молекулы воды в жидкой фазе до сих пор встречает непреодолимые трудности, поскольку жидкая вода - это смесь структурных элементов, то есть различных кластеров, находящихся в динамическом равновесии между собой. Полной ясности в отношении их взаимодействий до сих пор нет, а разделить такую смесь на отдельные компоненты невозможно: "простая" жидкость Н2О не торопится раскрывать свои внутренние секреты.

Вернемся к рисунку, на котором в общих чертах представлена структура молекулы воды. В ней есть симметрия, которая играет основную роль в попытках всестороннего объяснения физического мира, и асимметрия, наделяющая эту молекулу возможностью движения и связью с золотой пропорцией. Поэтому кратко напомним о том, что в математике называют золотой пропорцией.

Что же объединяет золотую пропорцию с молекулой воды? Чтобы ответить на этот вопрос, рассмотрим двумерный образ золотой пропорции в виде треугольника.

В золотом треугольнике отношение ОА:АВ = ОВ:АВ приблизительно равно 0,618, угол α = 108,0. Для льда отношение длин связей О-Н к Н-Н равно 0,100:0,163 = 0,613 и угол α = 109,5, для пара - соответственно 0,631 и 104,5. Не распознать в золотом треугольнике прообраз структуры молекулы воды просто невозможно! Удивительно, что до сих пор так мало внимания обращали на возможность подобной интерпретации ее строения.

И действительно, поместив в треугольнике АОВ в точки А и В атомы водорода, а в точку О - атом кислорода, получим в первом приближении молекулу жидкой воды, сконструированную на основе золотой пропорции. Подобная элегантность молекулы очаровывает и восхищает. Так что роль молекулы воды в природе и жизни не может быть правильно оценена без учета красоты ее формы.

Вывод

"О сколько нам открытий чудных

Готовят просвещенья дух

И опыт, сын ошибок трудных,

И гений, парадоксов друг,

И случай, бог изобретатель.

О, сколько нам открытий чудных

Готовит просвещенья дух

И опыт, сын ошибок трудных,

И разум, парадоксов друг,

И случай, бог изобретатель,

И беззаботный созидатель –

Блаженный гений и талант –

Один – алмаз, другой – бриллиант,

Воображенье – дерзкий странник,

И восхищение творцом,

Чей неизвестный нам посланник

С неузнаваемым лицом

И в величайших откровеньях,

И в мимолётнейших прозреньях

Явленью всякому дал суд –

Всё достигается чрез труд."

Это известное стихотворение А.С. Пушкина.

В свое время была очень популярна познавательная передача "Очевидное-невероятное", которую вел Сергей Капица. Она начиналась именно начальными строками этого стихотворения и рассказывала о необычном, которое случалось в жизни.

Список использованной литературы:

  1. Аксенова М. “Энциклопедия для детей Аванта+”. Том 11, 2006г.

  2. БЭКМ – электронная энциклопедия. “Кирилл и Мефодий”.

  3. Васютинский Н. Золотая пропорция. – М.: Молодая гвардия, 1999г.

  4. Волошинов А. В. “Математика и искусство” 2005 г. “Просвещение”.

  5. Коробко В.И., Коробко Г.Н.; М., АСВ Издательство, 2002 г. “Золотая пропорция и человек”.

Содержание

Исследовательский проект Золотое сечение

СОДЕРЖАНИЕ

Глава 1. ЧТО ТАКОЕ ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ?..................................... 4

Глава 2. ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ ВОКРУГ НАС……………………….6

ЗАКЛЮЧЕНИЕ………………………………………………………...10

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ………………………………………….....11

ПРИЛОЖЕНИЕ ………………………………………………………..12

Введение

"Геометрия обладает двумя великими

                                       сокровищами. Первое - это теорема Пифагора,

                                       второе - деления отрезка в крайнем и среднем

                                        отношениях. Первое сравнимо с мерой золота,

второе же больше напоминает драгоценный камень"

                                                                   Иоганн Кеплер

Человек различает окружающие его предметы по форме. Интерес к форме какого-либо предмета может быть продиктован жизненной необходимостью, а может быть вызван красотой формы. Форма, в основе построения которой лежат сочетание симметрии и золотого сечения, способствует наилучшему зрительному восприятию и появлению ощущения красоты и гармонии. Целое всегда состоит из частей, части разной величины находятся в определенном отношении друг к другу и к целому. Принцип золотого сечения - высшее проявление структурного и функционального совершенства целого и его частей в искусстве, науке, технике и природе.

Цель проекта – изучение понятия Золотое сечение и его применения в окружающем мире.

Задачи:

1. Изучить понятие «золотое сечение»;

2. Рассмотреть применение «золотого сечения» в природе и в строении тела человека;

3. Исследовать присутствие золотого сечения в окружающей жизни.

Методы исследования:

  • Работа с учебной и научно-популярной литературой, ресурсами сети Интернет.

  • Математические расчеты пропорциональных отношений;

  • Сопоставление полученных данных;

  1. ЧТО ТАКОЕ ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ?

Золотое сечение–это такое пропорциональное деление отрезка на неравные части, при котором весь отрезок так относится к большей части, как сама большая часть относится к меньшей; или другими словами, меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему a: b = b: c.

Иоганн Кеплер говорил, что геометрия владеет двумя сокровищами: теоремой Пифагора и "Золотым сечением". О теореме Пифагора слышал каждый школьник, а о "Золотом сечении" - далеко не все (прил.1, рис.1).

Золотым сечением (делением) и даже “божественной пропорцией” называли математики древности и средневековья деление отрезка, при котором длина всего отрезка так относится к длине его большей части, как длина большей части к меньшей. Это отношение приближенно равно 0,618 или 5/8(прил.1, рис.2).

Замечательный пример “золотого сечения” представляет собой правильный пятиугольник – выпуклый и звездчатый, который называется пентаграммой. К примеру, в правильной пятиконечной звезде, каждый сегмент делится пересекающим его сегментом в золотом сечении (т. е. отношение синего отрезка к зелёному, красного к синему, зелёного к фиолетовому, равны 1.618)(прил.1, рис.3).

С историей золотого сечения косвенным образом связано имя итальянского математика монаха Леонардо из Пизы, более известного под именем Фибоначчи (сын Боначчи), (прил.1, рис.4). Он много путешествовал по Востоку, познакомил Европу с индийскими (арабскими) цифрами. В 1202 г вышел в свет его математический труд «Книга об абаке» (счетной доске), в котором были собраны все известные на то время задачи. Одна из задач гласила «Сколько пар кроликов в один год от одной пары родится». Размышляя на эту тему, Фибоначчи выстроил такой ряд цифр:

Ряд чисел 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 и т.д. известен как ряд Фибоначчи. Особенность последовательности чисел состоит в том, что каждый ее член, начиная с третьего, равен сумме двух предыдущих 2 + 3 = 5; 3 + 5 = 8; 5 + 8 = 13, 8 + 13 = 21; 13 + 21 = 34 и т.д., а отношение смежных чисел ряда приближается к отношению золотого деления.

Ряд Фибоначчи мог бы остаться только математическим казусом, если бы не то обстоятельство, что все исследователи золотого деления в растительном и в животном мире, не говоря уже об искусстве, неизменно приходили к этому ряду как арифметическому выражению закона золотого деления.

Вообще принято считать, что понятие о золотом делении ввел в научный обиход Пифагор, древнегреческий философ и математик (VI в. до н.э.) (прил.2, рис.5). Есть предположение, что Пифагор свое знание золотого деления позаимствовал у египтян и вавилонян. И действительно, пропорции пирамиды Хеопса, храмов, барельефов, предметов быта и украшений из гробницы Тутанхамона свидетельствуют, что египетские мастера пользовались соотношениями золотого деления при их создании.

В дошедшей до нас античной литературе золотое деление впервые упоминается в «Началах» Евклида. Во 2-й книге «Начал» дается геометрическое построение золотого деления. После Евклида исследованием золотого деления занимались Гипсикл (II в. до н.э.), Папп (III в. н.э.) и др (прил.1, рис. 6 а, б)

В эпоху Возрождения усиливается интерес к золотому делению среди ученых и художников в связи с его применением как в геометрии, так и в искусстве, особенно в архитектуре Леонардо да Винчи, художник и ученый, видел, что у итальянских художников эмпирический опыт большой, а знаний мало. Поэтому Леонардо да Винчи много внимания уделял изучению золотого деления. Он производил сечения стереометрического тела, образованного правильными пятиугольниками, и каждый раз получал прямоугольники с отношениями сторон в золотом делении. Поэтому он дал этому делению название золотое сечение. Так оно и держится до сих пор как самое популярное.

Глава 2. ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ ВОКРУГ НАС

1.1 Золотое сечение в живой природе

Все, что приобретало какую-то форму, образовывалось, росло, стремилось занять место в пространстве и сохранить себя. Это стремление находит осуществление в основном в двух вариантах – рост вверх или расстилание по поверхности земли и закручивание по спирали. Лежащее в основе строения спирали правило золотого сечения встречается в природе очень часто в бесподобных по красоте творениях.

Винтообразное и спиралевидное расположение листьев на ветках деревьев подметили давно (прил.2,3, рис.7 а,б,в). Среди придорожных трав растет ничем не примечательное растение – цикорий (прил.3, рис.8). От основного стебля образовался отросток. Тут же расположился первый листок. Отросток делает сильный выброс в пространство, останавливается, выпускает листок, но уже короче первого, снова делает выброс в пространство, но уже меньшей силы, выпускает листок еще меньшего размера и снова выброс. Если первый выброс принять за 100 единиц, то второй равен 62 единицам, третий – 38, четвертый – 24 и т.д. Длина лепестков тоже подчинена золотой пропорции. В росте, завоевании пространства растение сохраняло определенные пропорции. Импульсы его роста постепенно уменьшались в пропорции золотого сечения. Самые наглядные примеры – спиралевидную форму можно увидеть и в расположении семян подсолнечника, и в шишках сосны, в ананасах, строении лепестков роз и т.д. Совместная работа ботаников и математиков пролила свет на эти удивительные явления природы. Выяснилось, что в расположении листьев на ветке, семян подсолнечника, шишек сосны проявляет себя ряд Фибоначчи, а стало быть, проявляет себя закон золотого сечения. Представление о золотом сечении в природе будет неполным, если не сказать о спирали. Раковина закручена по спирали (прил.3, рис.9). Если ее развернуть, то получается длина, немного уступающая длине змеи. Небольшая десятисантиметровая раковина имеет спираль длиной 35 см. Архимед изучал ее и вывел уравнение логарифмической спирали. Спираль, вычерченная по этому уравнению, называется его именем. Увеличение ее шага всегда равномерно. В настоящее время спираль Архимеда широко применяется в технике.

Пауки всегда плетут свои паутины в виде логарифмической спирали (прил.3, рис.10). Испуганное стадо северных оленей разбегается по спирали. В ящерице– длина ее хвоста так относится к длине остального тела, как 62 к 38. Бивни слонов и вымерших мамонтов, когти львов и клювы попугаев являют собой логарифмические формы и напоминают форму оси, склонной обратиться в спираль. И в растительном, и в животном мире настойчиво пробивается формообразующая тенденция природы – симметрия относительно направления роста и движения. Здесь золотое сечение проявляется в пропорциях частей перпендикулярно к направлению роста. Золотые пропорции в строении молекулы ДНК (Прил.3, рис.11). Все сведения о физиологических особенностях живых существ, хранятся в микроскопической молекуле ДНК, строение которой также содержит в себе закон золотой пропорции. Молекула ДНК состоит из двух вертикально переплетенных между собой спиралей. Длина каждой из этих спиралей составляет 34 ангстрема, ширина 21 ангстрема. (1 ангстрем – одна стомиллионная доля сантиметра). 21 и 34 – это цифры, следующие друг за другом в последовательности чисел Фибоначчи, то есть соотношение длины и ширины логарифмической спирали молекулы ДНК несет в себе формулу золотого сечения 1: 1,618.

    1. Золотое сечение и тело человека

Художники, ученые, модельеры, дизайнеры делают свои расчеты, чертежи или наброски, исходя из соотношения золотого сечения (прил.4, рис.12). Они используют мерки с тела человека, сотворенного также по принципу золотой сечения. Леонардо Да Винчи и Ле Корбюзье перед тем как создавать свои шедевры брали параметры человеческого тела, созданного по закону золотой пропорции. Пропорции различных частей нашего тела составляют число, очень близкое к золотому сечению. Если эти пропорции совпадают с формулой золотого сечения, то внешность или тело человека считается идеально сложенными. Принцип расчета золотой меры на теле человека можно изобразить в виде схемы. Первый пример золотого сечения в строении тела человека: если принять центром человеческого тела точку пупа, а расстояние между ступней человека и точкой пупа за единицу измерения, то рост человека эквивалентен числу 1,618. Есть еще несколько основных золотых пропорций нашего тела (1:1,618): расстояние от кончиков пальцев до запястья и от запястья до локтя равно расстоянию от уровня плеча до макушки головы и размера головы; расстояние от точки пупа до макушки головы и от уровня плеча до макушки головы; расстояние точки пупа до коленей и от коленей до ступней; расстояние от кончика подбородка до кончика верхней губы и от кончика верхней губы до ноздрей; расстояние от кончика подбородка до верхней линии бровей и от верхней линии бровей до макушки; расстояние от кончика подбородка до верхней линии бровей и от верхней линии бровей до макушки. Золотое сечение в чертах лица человека, является критерием совершенной красоты. В строении черт лица человека также есть множество примеров, приближающихся по значению к формуле золотого сечения. Приведем несколько таких соотношений: высота лица / ширина лица; центральная точка соединения губ до основания носа / длина носа; высота лица / расстояние от кончика подбородка до центральной точки соединения губ; ширина рта / ширина носа; ширина носа / расстояние между ноздрями; расстояние между зрачками / расстояние между бровями. Золотая пропорция в руках человека. У человека две руки, пальцы на каждой руке состоят из трех фаланг (за исключением большого пальца). Сумма двух первых фаланг пальца в соотношении со всей длиной пальца и дает число золотого сечения. На каждой руке имеется по пять пальцев, но за исключением двух фаланговых больших пальцев, только 8 пальцев создано по принципу золотого сечения. Тогда как все эти цифры 2, 3, 5 и 8 есть числа последовательности Фибоначчи. Золотая пропорция в строении легких человека. Американский физик Б.Д.Уэст и доктор А.Л. Гольдбергер во время физико-анатомических исследований установили, что в строении легких человека также существует золотое сечение. Особенность бронхов, составляющих легкие человека, заключена в их асимметричности. Бронхи состоят из двух основных дыхательных путей, один из которых (левый) длиннее, а другой (правый) короче. Было установлено, что эта асимметричность продолжается и в ответвлениях бронхов, во всех более мелких дыхательных путях. Причем соотношение длины коротких и длинных бронхов также составляет золотое сечение и равно 1:1,618. Золотое сечение присутствует в строении уха человека. Во внутреннем ухе человека имеется орган Cochlea («Улитка») (прил.4, рис.13), который исполняет функцию передачи звуковой вибрации. Эта костевидная структура наполнена жидкостью и сотворена в форме улитки, содержащую в себе стабильную логарифмическую форму спирали.

Любое тело, предмет, вещь, геометрическая фигура, соотношение которых соответствует «золотому сечению», отличаются строгой пропорциональностью и производят наиболее приятное зрительное впечатление. Таким образом, строение всех встречающихся в природе живых организмов и неживых объектов, не имеющих никакой связи и подобия между собой, спланировано по определенной математической формуле

    1. Золотое сечение в неживой природе

Золотое сечение присутствует в строении всех кристаллов, но большинство кристаллов микроскопически малы, так что мы не можем разглядеть их невооруженным глазом (прил.4, рис.14). Однако снежинки, также представляющие собой водные кристаллы, вполне доступны нашему взору. Все изысканной красоты фигуры, которые образуют снежинки, все оси, окружности и геометрические фигуры в снежинках также всегда без исключений построены по совершенной четкой формуле золотого сечения. Спиралью закручивается ураган. Гете называл спираль “кривой жизни”. Во Вселенной все известные человечеству галактики и все тела в них существуют в форме спирали, соответствующей формуле золотого сечения.

Заключение

В ходе проделанной работы мы приходим к следующим выводам:

  1. Цель достигнута: изучили понятие Золотого сечения и его применение в окружающем мире.

  2. Поставленные задачи решены:

Изучили понятие «золотое сечение»;

Рассмотрели применение «золотого сечения» в природе и в строении тела человека;

Исследовали присутствие золотого сечения в окружающей жизни.

Настоящее искусство имеет свою теорию. Иногда эту теорию можно выразить в терминах математики, так как она тесно связана практически со всеми разновидностями современно искусства и искусства древних времен.

Мы не осознаем, насколько наша жизнь связана с математикой. Даже такие творческие направления деятельности человека, как музыка, живопись, архитектура без математических законов не могут существовать и развиваться. В своей работе я постарался это показать и считаю, что моя работа дает более широкие представления о математике и ее использовании в разных областях деятельности человека. Представленные мной материалы будут интересны многим учащимся и покажут математику с новой стороны, с которой они ее еще ни разу не видели.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

  1. А. Азевич «Двадцать уроков гармонии» – М., Школа-Пресс, 1998

  2. А.В. Волошинов «Математика и искусство», – М, Просвещение, 2000.

  3. Н. Васютинский «Золотая пропорция» – М., Молодая гвардия, 1990

  4. Д. Пидоу «Геометрия и искусство» – М., Мир, 1989

  5. Энциклопедический словарь юного математика – М., 1989

  6. Учительский портал http://www.zaesenok.ru/rubriki/za-stranitsami-uchebnika/13-6-klass/29-zolotoe-sechenie

  1. Решение логических задач https://www.liveinternet.ru/users/4315980/post339176714/

  1. Социальная сеть работников образования https://nsportal.ru

  2. Инфоурок https://infourok.ru/proektnaya-rabota-matematika-i-iskusstvo-725999.html

ПРИЛОЖЕНИЕ №1.

hello_html_300e9205.jpghello_html_4c6b329a.png

(Рис.1) (Рис.3)

hello_html_m7b1f866c.pnghello_html_m1df4557d.jpg

(Рис.2) (Рис.4) .

ПРИЛОЖЕНИЕ №2

hello_html_m7e5fa369.jpghello_html_m37ac35b5.jpg

(Рис.5) (Рис.6, а)

hello_html_m3b35e41d.jpg

(Рис.6, б)

ПРИЛОЖЕНИЕ №3

hello_html_m33a1828a.jpghello_html_5f5127ca.pnghello_html_m557ec753.png

(Рис.7, а) (Рис.7, б) (Рис.7, в)

hello_html_5ac2e549.jpghello_html_m5655fc96.jpg

(Рис.8) (Рис.9)

hello_html_m2562488c.jpghello_html_m4b12a6e6.jpg

(Рис.10) (Рис.11)

ПРИЛОЖЕНИЕ №4

hello_html_m2e1d216a.png

(Рис.12) hello_html_7adcfbc9.jpg

ПРИЛОЖЕНИЕ №5

hello_html_ab4f13d.jpg(Рис.13)hello_html_m69f89df2.jpg

(Рис.14)

Золотое сечение. Исследовательская работа по математике

Золотое сечение. Исследовательская работа по математике

Скачать исследовательскую работу «Золотое сечение» в формате doc.

Скачать презентацию «Золотое сечение» в формате ppt.

Автор исследования: ученица 11 класса МОУ «СОРМШ № 7» г. Дубоссары − Чередниченко Наталья Васильевна. Руководитель: Тараканова Мария Фёдоровна, учитель математики высшей квалификационной категории.

Автор исследовательской работы «Золотое сечение», представленной на Школьном портале, искал ответ на вопрос: «Что такое золотое сечение, золотая пропорция?», знакомился с доказательной базой научного обоснования золотой пропорции и связанных с золотым сечением отношений. В работе рассмотрено, как повлияло «золотое сечение» на историю человечества и планет, на исторический ход развития, на живую и неживую природу в целом.

Анализируя результаты исследования можно еще раз подивиться грандиозностью процесса познания мира, открытиям все новых и новых его закономерностей, а также сделать соответствующий вывод: принцип золотого сечения − это высочайшее проявление функционального и структурного совершенства отдельных частей и целого в природе, технике, науке и искусстве.

 

Золотое сечение. Актуальность

Данная тема не только интересна, но и по-прежнему актуальна. Золотая пропорция не потерялась во времени, а скорее наполнилась современными обстоятельными примерами. Золотое сечение, безусловно, можно назвать «Божественной пропорцией». Автор считает, что золотая пропорция окружает нас, приводит научные доказательства распространенности его в солнечной системе. Кроме того, события, происходящие с нами, по мнению автора, тоже происходят согласно золотой пропорции, золотому сечению.

 

Важным результатом и выводом исследования данной темы является вездесущее применение принципа золотого сечения, который обнаруживается практически повсюду: в науке, природе, человеке, музыке, искусстве, фотографии и во многом другом, объединяя весь мир в единое гармоничное целое.

Золотое сечение. Анкетирование

Автором данного исследования, в рамках социологического опроса проводилось анкетирование, где были заданы учащимся старших классов два вопроса:

1. Знаете ли вы, что называется «Золотым сечением»?

2. Напишите, что Вы знаете о ней, и в каких еще науках кроме математики используется?

По результатам опроса, Чередниченко Наталья в своей работе приводит выявленные данные по процентному соотношению владеющих информацией о золотом сечении. В итоге, более 70% опрошенных школьников не знают о золотой пропорции. Что еще раз подтверждает актуальность выбранной темы.

Золотое сечение. Заключение

Кроме того, автор провел исследование на выявление соответствия тела человека идеальному сложению согласно золотой пропорции на примере учеников 11 класса МОУ «СОРМШ №7» г. Дубоссары.

В работе представлено большое количество иллюстраций, подробно описаны цели, задачи, методы, средства, приложения, а также грамотно выполненная презентация к данному исследованию, которые вы можете скачать по ссылкам в начале статьи. Работу можно дополнить новыми материалами, а также представить ее в форме реферата по математике на тему «Золотое сечение» или «Золотая пропорция вокруг нас».

Проект (10, 11 класс) на тему: Исследовательская работа на тему "Золотое сечение"

Слайд 1

р абота на тему: « Золотое сечение-Золотая пропорция»

Слайд 2

Цель Работы Доказать, что «золотое сечение- золотая пропорция» - верх совершенства гармонии в природе.

Слайд 3

Задачи: Изучить понятие «золотое сечение- золотая пропорция»; Определить и рассмотреть применение «золотого сечения » в архитектуре, искусстве, живой и неживой природе, в современном мире Исследовать и изучить присутствие золотого сечения в окружающей меня жизни

Слайд 4

Методы исследования: Работа с учебной и научно-популярной литературой, ресурсами сети Интернет. Социологический опрос. Наблюдение, сравнение, анализ, аналогия.

Слайд 5

Предмет исследования: им стал поиск закономерностей «золотой пропорции» в различных областях неживой и живой природы, и в моем окружении

Слайд 6

Социологический опрос Знаете ли вы, что такое «золотое сечение» или «золотая пропорция»?

Слайд 7

Золотое сечение в математике Деление отрезка в среднем и крайнем отношении называют золотым сечением . В истории утвердилось ещё одно название – « золотая пропорция». Пусть, С є АВ, и производит, как говорят, «золотое сечение» отрезка АВ, так что АС: АВ =СВ: АС Золотым сечением - называется такое делении отрезка, при котором большая часть так относится к целому, как меньшая часть к большей

Слайд 8

Числа Фибоначчи С Золотой пропорцией тесно связан ряд чисел Фибоначчи. 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89 и т.д. Если взять калькулятор и разделить каждое из них на предыдущее, то получиться: 1:1=1; 2:1=2; 3:2=1,5; 5:3=1,666666; 8:5=1,6; 13:8=1,625; 21:13=1,615384;… 0,618

Слайд 9

Золотая пропорция и тело человека Пропорции мужского тела 13 : 8 = 1,625

Слайд 10

Золотая пропорция и тело человека пропорции женского тела 8 : 5 = 1,6.

Слайд 11

Золотая пропорция и тело человека пропорция новорожденного 1 : 1, к 13 годам она равна 1,6 а к 21 году равняется мужской.

Слайд 12

Золотое сечение в природе Раковина закручена по спирали Золотое сечение в спирали Архимеда.

Слайд 13

Золотое сечение в природе И в растительном, и в животном мире настойчиво пробивается тенденция природы — симметрия относительно направления роста и движения Было установлено, что числовой ряд чисел Фибоначчи характеризует структурную организацию многих живых систем. Например, винтовое листорасположение на ветке составляет дробь (число оборотов на стебле/число листьев в цикле, напр. 2/5; 3/8; 5/13), соответствующую рядам Фибоначчи.

Слайд 14

Золотое сечение в природе Цветки и семена подсолнуха, ромашки, чешуйки в плодах ананаса, хвойных шишках "упакованы" по логарифмическим (" золотым") спиралям , завивающимся навстречу друг другу, Причем числа "правых "и "левых" спиралей всегда относятся друг к другу, как соседние числа Фибоначчи

Слайд 15

Золотое сечение в природе Рассмотрим побег цикория. Если первый выброс принять за 100 единиц, то второй равен 62 единицам, третий – 38, четвертый – 24 и т.д. Длина лепестков тоже подчинена золотой пропорции. В росте, завоевании пространства растение сохраняло определенные пропорции. Импульсы его роста постепенно уменьшались в пропорции золотого сечения.

Слайд 16

Золотое сечение в природе У многих бабочек соотношение размеров грудной и брюшной части тела отвечает золотой пропорции. Сложив крылья, ночная бабочка образует правильный равносторонний треугольник. Но стоит развести крылья, и вы увидите тот же принцип членения тела на 2,3,5,8. Стрекоза также создана по законам золотой пропорции : отношение длин хвоста и корпуса равно отношению общей длины к длине хвоста.

Слайд 17

В ящерице с первого взгляда улавливаются приятные для нашего глаза пропорции — длина ее хвоста так относится к длине остального тела, как 62 к 38. . Золотое сечение в природе

Слайд 18

Золотое сечение в архитектуре Среди грандиозных пирамид Египта особое место занимает великая пирамида фараона Хеопса. Она самая крупная и наиболее хорошо изученная. Чего только не находили в ее пропорциях! Число «пи» и золотое сечение, число дней в году, расстояние до Солнца, диаметр Земли.

Слайд 19

Золотое сечение в архитектуре Золотое сечение в здании Большого театра Москвы.

Слайд 20

Портрет «Джоконды» Портрет «Джоконды»привлекает тем, что композиция рисунка построена на "золотых треугольниках" (точнее на треугольниках, являющихся кусками правильного звездчатого пятиугольника).

Слайд 21

Исследование №1 «Золотое сечение в природе »

Слайд 22

Таблица1.Результаты измерений. № Наименование растения АВ АС ВС АС / ВС ВС / АВ 1 Толстянка- Денежное дерево 4.5 1 3.5 0.286 0.777 2 Рео 10 6 4 1.5 0.4 3 Кротон 8 4.6 3.4 1.352 0.425 4 Малочай 4.5 2 2.5 0.8 0.555 5 Герань 4 1.5 2.5 0.6 0.625 6 Традесканция 6 2.5 3.5 0.714 0.583 7 Вьюнок 19 8 11 0.727 0.578 8 Вьющаяся традесканция 8.5 3 5.5 0.545 0.647 9 Китайская роза 6 2.5 3.5 0.714 0.583 10 Дефинбахия 14 6 8 0.750 0.571 я убедилась в том, что не все, но большенство из отношений стремятся к 0.618. Более близким к этому значению оказался цветок герань.

Слайд 23

Результат исследования №1 АВ=1,5 ВС=2,5 АС=4 АВ/ВС=0,6 ВС/АС=0,625 Φ =0,618 Герань

Слайд 24

Исследование №2 «Золотое сечение в пропорциях тела человека» Пропорции мужского тела 13 : 8 = 1,625 Пропорции женского тела 8 : 5 = 1,6.

Слайд 25

Результат исследования № 2 У Всех ребят, из 12-и исследуемых, не выявлено отклонений от золотого сечения. У них пропорции тела близки к «золотому сечению»

Слайд 26

А в детских игрушках, куклах важно соблюдать естественные пропорции частей тела? Сейчас если спросить у маленькой девочки, «Какую куклу ты хочешь?». Ответ последует незамедлительно «Барби!» или подобную ей куклу (которые сейчас стали особо популярными). С первого взгляды ничего негативного и угрожающего в такой кукле нет. Она красивая, у неё красивые волосы и наряды, но многие считают её вредной для детишек. Почему?

Слайд 27

кукла Барби не соответствует реальности во внешности. Есть три изъяна в её внешности : Непропорциональные ноги. Непропорциональные руки (слишком длинные, как и ноги) Обсолютно непропорциональная фигура (широкие плечи, большой бюст, очень тонкая талия и плоские бёдра) Фигуры являются гораздо более худыми по сравнению с традиционными Барби способствуют развитию у девочек чувства неуверенности относительно собственного образа Играя с ними, девочки закладывают себе неправильные представления о фигуре, и вырастая, они начинают изводить себя диетами, чтобы стать стройнее, добиться мнимого идеала.

Слайд 28

Заключение «Золотое сечение- золотая пропорция» давно перестало быть сокровищем только геометрии. Оно выходит далеко за рамки геометрии. Хотя это понятие нам не заметно, но всё-таки оно существует. И производителям детских игрушек , следует этого придерживаться

90000 Phi: The Golden Ratio | Live Science 90001 90002 The number phi, often known as the golden ratio, is a mathematical concept that people have known about since the time of the ancient Greeks. It is an irrational number like 90003 pi 90004 and e, meaning that its terms go on forever after the decimal point without repeating. 90005 90002 Over the centuries, a great deal of lore has built up around phi, such as the idea that it represents perfect beauty or is uniquely found throughout nature.But much of that has no basis in reality. 90005 90008 Definition of phi 90009 90002 Phi can be defined by taking a stick and breaking it into two portions. If the ratio between these two portions is the same as the ratio between the overall stick and the larger segment, the portions are said to be in the golden ratio. This was first described by the Greek mathematician Euclid, though he called it "the division in extreme and mean ratio," according to mathematician 90003 George Markowsky 90004 of the University of Maine.2 = phi + 1 90005 90002 This representation can be rearranged into a 90003 quadratic equation 90004 with two solutions, (1 + √5) / 2 and (1 - √5) / 2. The first solution yields the positive irrational number 1.6180339887 ... (the dots mean the numbers continue forever) and this is generally what's known as phi. The negative solution is -0.6180339887 ... (notice how the numbers after the decimal point are the same) and is sometimes known as little phi. 90005 90002 One final and rather elegant way to represent phi is as follows: 90005 90002 5 ^ 0.5 * 0.5 + 0.5 90005 90002 This is five raised to the one-half power, times one-half, plus one-half. 90005 90002 90031 Related: 90032 90003 90031 The 11 Most Beautiful Mathematical Equations 90032 90004 90005 90002 Phi is closely associated with the 90003 Fibonacci sequence 90004, in which every subsequent number in the sequence is found by adding together the two preceding numbers. This sequence goes 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34 and so on. It is also associated with many misconceptions.90005 90002 By taking the ratio of successive Fibonacci numbers, you can get closer and closer to phi. Interestingly, if you extend the Fibonacci sequence backward - that is, before the zero and into negative numbers - the ratio of those numbers will get you closer and closer to the negative solution, little phi -0.6180339887 ... 90005 90008 Does the golden ratio exist in nature? 90009 90002 Though people have known about phi for a long time, it gained much of its notoriety only in recent centuries.Italian Renaissance mathematician Luca Pacioli wrote a book called "De Divina Proportione" ( "The Divine Proportion") in 1509 that discussed and popularized phi, according to Knott. 90005 90002 Pacioli used drawings made by 90003 Leonardo da Vinci 90004 that incorporated phi, and it is possible that da Vinci was the first to call it the "sectio aurea" (Latin for the "golden section"). It was not until the 1800s that American mathematician Mark Barr used the Greek letter Φ (phi) to represent this number.90005 90002 As evidenced by the other names for the number, such as the divine proportion and golden section, many wondrous properties have been attributed to phi. Novelist Dan Brown included a long passage in his bestselling book "The Da Vinci Code" (Doubleday, 2000), in which the main character discusses how phi represents the ideal of beauty and can be found throughout history. More sober scholars routinely debunk such assertions. 90005 90002 For instance, phi enthusiasts often mention that certain measurements of the 90003 Great Pyramid of Giza 90004, such as the length of its base and / or its height, are in the golden ratio.Others claim that the Greeks used phi in designing the Parthenon or in their beautiful statuary. 90005 90002 90005 Phi enthusiasts like to point out that the Pyramids of Giza, built between 2589 and 2504 BC, were constructed in the golden ratio. But measurements are inherently imprecise and arbitrary, so the pyramids are not accurate examples of the golden ratio. (Image credit: Dan Breckwoldt Shutterstock) 90002 But as Markowsky pointed out in his тисячі дев'ятсот дев'яносто дві paper in the 90003 College Mathematics Journal 90004, titled "Misconceptions About the Golden Ratio": "measurements of real objects can only be approximations.Surfaces of real objects are never perfectly flat. "He went on to write that inaccuracies in the precision of measurements lead to greater inaccuracies when those measurements are put into ratios, so claims about ancient buildings or art conforming to phi should be taken with a heavy grain of salt. 90005 90002 The dimensions of architectural masterpieces are often said to be close to phi, but as Markowsky discussed, sometimes this means that people simply look for a ratio that yields 1.6 and call that phi.Finding two segments whose ratio is 1.6 is not particularly difficult. Where one chooses to measure from can be arbitrary and adjusted if necessary to get the values ​​closer to phi. 90005 90002 Attempts to find phi in the human body also succumb to similar fallacies. A recent study claimed to find the golden ratio in different proportions of the human skull. But as Dale Ritter, the lead human anatomy instructor for Alpert Medical School (AMS) at Brown University in Rhode Island, 90003 told Live Science 90004: 90005 90002 "I believe the overarching problem with this paper is that there is very little (perhaps no ) science in it ... with so many bones and so many points of interest on those bones, I'd imagine there would be at least a few "golden ratios elsewhere in the 90003 human skeletal system 90004.90005 90002 90031 Related: 90032 90031 Photos: Large Numbers That Define the Universe 90032 90005 90002 And while phi is said to be common in nature, its significance is overblown. Flower petals often come in Fibonacci numbers, such as five or eight, and pine cones grow their seeds outward in spirals of Fibonacci numbers. But there are just as many plants that do not follow this rule as those that do, Keith Devlin, a mathematician at Stanford University, 90003 told Live Science 90004. 90005 90002 People have claimed that seashells, such as those of the nautilus, exhibit properties in which phi lurks.But as Devlin 90003 points out on his website 90004, "the nautilus does grow its shell in a fashion that follows a logarithmic spiral, ie, spiral that turns by a constant angle along its entire length, making it everywhere self-similar. But that constant angle is not the golden ratio. Pity, I know, but there it is. " 90005 90002 While phi is certainly an interesting mathematical idea, it is we humans who assign importance to things we find in the universe. An advocate looking through phi-colored glasses might see the golden ratio everywhere.But it's always useful to step outside a particular perspective and ask whether the world truly conforms to our limited understanding of it. 90005 90002 90031 Additional resources: 90032 90005 .90000 Learn How to Rank in 48 Hours 90001 90002 Do you want to find keywords you can rank for in Google in the top 50 (or better) in a few days? 90003 90002 You can use a data-driven method called the Keyword Golden Ratio that will help you to find the low-hanging fruit among the keywords and leapfrog the competition. 90003 90002 90007 In this guide, you'll find: 90008 90003 90010 90011 What is Keyword Golden Ratio and how it works 90012 90011 A case study of KGR success 90012 90011 Why 90016 ultra long tails 90017 help you skip the Google Sandbox 90012 90011 How to use a keyword tool to make the process easier 90012 90011 Some actual examples of KGR terms 90012 90011 Pitfalls and Frequently Asked Questions 90012 90025 90026 What is Keyword Golden Ratio? 90027 90002 The Keyword Golden Ratio (KGR) is a data-driven way to find keywords that are literally underserved on the internet.90003 90002 If you find a Keyword Golden Ratio phrase and you publish a piece of content targeting the keyword, your article should rank in the top 50 within a few days - sometimes hours. If your site has a decent authority and is not brand new, then you can rank in the top 15. 90003 90002 The KGR is helpful for three main reasons. 90003 90034 90011 90007 New website owners need to get traffic early to stay motivated. 90008 The KGR helps newbies get small wins faster. It's amazing to get your first few visitors and sales.Nothing is more motivating than proving your concept by getting paid. 90012 90011 90007 You can prioritize what keywords and content you'll publish on your site. 90008 If you're staring at a list of thousands of keywords, then it's pretty helpful to have a tool that can help you narrow down the list. 90012 90011 Since it's a manual process, 90007 you have data that other people can not just pull up on a tool in a couple of minutes. 90008 That's a valuable advantage that rewards hard work. 90012 90047 90002 By the time you finish this post, I believe you'll be curious enough to try the KGR yourself.90003 90026 KGR success story 90027 90002 Before I dive into the specifics, let's review a case study 90007 to prove that Keyword Golden Ratio can work to bring in more traffic and boost revenue. 90008 90003 90002 I primarily work on Amazon Affiliate sites so I can actually show earnings, not just traffic improvements. 90003 90002 In my initial full-scale test of the Keyword Golden Ratio, I published 200 posts focused on KGR keywords over five months and the results were amazing. 90003 90002 The website went 90007 from $ 100 to $ 14,853 in 12 months 90008 and 90007 the traffic increased by about 800%.90008 90003 90066 90002 Some details about the process: 90003 90010 90011 I tested the KGR with 20 posts and saw positive results so I wanted to scale up to see if I could 10x the results. 90012 90011 With the goal of 200 posts, I ramped up the publishing schedule slowly to keep out of pocket costs low. So in the first month, only 7 posts went live, but in the fifth month, I published over 60 posts. 90012 90011 The growth was gradual at first, then the traffic popped shortly after publishing all 200 posts.90012 90011 90007 No link building was done during the 12 months 90008, but the site did have some existing links beforehand via guest posting. 90012 90011 The earnings followed the traffic growth and grew to close to $ 15,000 in December. You can read the full case study here. 90012 90025 90083 90002 Curious enough? Let's take a look at the details! 90003 90026 How is Keyword Golden Ratio calculated? 90027 90002 The Keyword Golden Ratio is this: 90003 90002 90007 The number of Google results that have the keyword phrase in the title divided by the monthly search volume, where the search volume is less than 250.90008 90003 90094 90002 90007 If the KGR is less than 0.25, then you should rank in the top 50 as soon as your page is indexed. 90008 90003 90002 You should still rank in the top 250 when the KGR is between 0.25 and 1 and it should be pretty fast. 90003 90002 90007 I strongly recommend to stick to the formula and look for KGR under 0.25 in the beginning. 90008 It is well-tested by numerous people. Later on, you can experiment with the numbers. 90003 90105 Details about the formula 90106 90002 I cap the search volume at 250 for a couple of reasons.90003 90034 90011 90007 Lower search volume terms can rank faster in Google based on my field studies and experience of others. 90008 So all else being equal, a keyword with 250 searches will rank faster than a keyword with 2500 searches per month. 90012 90011 90007 Most people target keywords with higher search volumes since there is greater profit potential. 90008 So there are more competitors in the game for the same short-tail keywords. 90012 90047 90002 The sweet spot for the KGR is under 0.25. When you multiply out the formula, it's easier to see why you can rank in the top 50 quickly. 90003 90002 If you have a KGR of 0.25 and a maximum search volume of 250, you end up with about 63 90016 allintitle 90017 results. That means that there are about 63 pages on the web that are targeting that keyword phrase by using it in the title. 90003 90105 What is allintitle? 90106 90002 90016 Allintitle 90017 is an advanced Google search operator that outputs the results which have all the words in the meta title of the post.90003 90131 90002 90016 Allintitle 90017 search operator shows you the results that have all the searched words in the meta title 90003 90002 Do not worry if Google throttles your 90016 "allintitle" 90017 search. Usually, you can only do a certain number of them in a time period. Google does this to prevent automatic scraping of the data by robots. 90003 90002 If you exceed the limit, you'll have to enter a Captcha to prove you're not a bot. 90003 90142 90002 an example of a reCaptcha limitation after a certain number of 90016 allintitle 90017 searches 90003 90026 Ultra long-tail keywords and Google Sandbox 90027 90002 I assert that if you target long-tail keywords and ultra long-tail keywords, you'll be able to get your site out of the sandbox faster.90150 90003 90002 90007 What is the sandbox? 90008 90003 90002 The Google Sandbox is the idea that it takes a while for Google to allow a new site to rank quickly. The idea has been around for years but has not been confirmed to actually exist. 90150 90003 90002 If you do not get out of the sandbox sooner, you'll at least get traffic to your site faster. I can not prove the early exit from the sandbox since it's not a confirmed ranking condition by Google. 90003 90002 90007 But I know dozens of people that used the KGR to get traffic to their brand new sites within weeks, not months.90008 90003 90105 Does the KGR really cut the sandbox? 90106 90002 Effectively, yes. Yet, it's impossible to prove since there are so many variables in play. 90003 90002 But another thought experiment is to think about it the other way round: 90003 90002 90007 The high-volume keywords will be inherently more competitive. 90008 There will be established companies with websites ranking well. 90003 90175 90002 That means they are making money and they can reinvest that money to improve the content and get links and keep the ranking.90003 90002 I believe that higher search volume keywords take longer to rank even if the competition looks weak. 90003 90002 Maybe Google slows down the rate in which sites can rank based on the keyword search volume. 90003 90002 90007 Takeaway 90008 90003 90002 Go after low search volume keywords - the long tail and ultra long tail - to get traffic to your site faster. 90003 90002 Do you bust out of the Google Sandbox faster? It's hard to say, but you will get traffic. 90003 90026 How to use a keyword tool to find KGR terms 90027 90002 Now I'll show you a few real examples of keywords that fit the KGR.90003 90002 We'll use an example of a niche that has been used in several public case studies - 90016 the shaver niche 90017. I try not to reveal anyone's keywords or sites. It's awesome to see that even in a niche that has public sites, lots of competition, and many copycats, 90007 there are many KGR options still available! 90008 90003 90105 1. Find relevant keyword ideas 90106 90002 One of my favorite ways to find KGR compliant terms is to use Google Autosuggest and this format: 90150 90003 90002 90007 90016 best 90017 90008 (product-type) 90007 90016 for 90017 90008 (application or user-type) 90003 90002 You can do this manually and it looks like this: 90003 90217 90002 But you can save a lot of time and effort by using a keyword tool such as KWFinder with advanced filtering options and the Keyword Difficulty (KD) metric.90003 90002 First, select Autocomplete and enter your search phrase, then click on the 90016 "Find Keywords" 90017 button: 90003 90224 90002 Then you'll see the unfiltered list of results. We have quite a few, 324. 90007 We care about the Search Volume and Keyword Difficulty 90008 - the other metrics are not important now. 90003 90229 90002 For this example, I left the geography as "Anywhere," but you can select your target location. 90003 90105 2. Filter out keywords with search volume higher than 250 90106 90002 Remember the KGR requires that 90007 the search volume is under 250.90008 That means we can set up the filter to get rid of the keywords that we do not care about. 90003 90002 Enter in 250 for the MAX search volume in the filter. 90003 90240 90002 Click the blue "Set filter" button and the list is refined by removing the higher search volumes. 90003 90243 90002 Now, we have plenty of options that have a search volume under 250. You could add more criteria to the filter such as a KD max of 15, 20, 25, etc ... 90003 90002 I see the results for this Autosuggest search that 90016 "best electric shaver for ingrown hairs" 90017 has a favorable KD value at 17.The search volume is 150, which fulfills the requirement to be less than 250. 90003 90250 90002 You can hover over the row and click to copy the full keyword phrase to save time. 90003 90105 3. Find the number of websites with exact match titles 90106 90002 Next, you need to check the 90016 allintitle 90017, the advanced Google Search command. 90003 90002 90007 You type in allintitle: and the search phrase with no spaces and no quotes. 90008 Do not enter the quotes because that will lower the number of results which will throw off your calculations.90003 90002 Google returns the number of results which is the numerator in the KGR formula. 90003 90265 90002 We see there are 22 results so we can plug that into the formula. 90003 90002 KGR = (allintitle results) divided by (search volume) 90003 90002 90007 KGR = 22/90 = 0.14 90008 90003 90002 Great! That's less than 0.14 so we have a KGR compliant term. 90003 90002 If you prefer video content, you can check out my demo of the KGR with KWFinder: 90003 90002 90279 90280 90003 90002 KWFinder also has great metrics for each keyword so you can do competition analysis without leaving the app.That's a massive time saver! 90003 90284 90002 Looking at the same list, I found more keyword phrases. This is a very good thing to see. 90003 90287 90002 It means there are 0 90016 allintitle 90017 results. So the KGR is 0, clearly as far below 0.25 as you can get. The search volume is 20 so we've found a great keyword phrase. 90003 90002 Here's one last example. 90003 90294 90002 There are 4 results. 90003 90002 KGR = (allintitle results) divided by (search volume) 90003 90002 90007 KGR = 4/30 = 0.13 90008 90003 90105 What about non-KGR terms? 90106 90002 I found a term, 90016 "best electric shaver for black men" 90017, with a low KD score of 20 which is very good. 90003 90309 90002 So I checked the allintitle. 90003 90312 90002 Only 50 results - that seems great, right ?? 90003 90002 KGR = (allintitle results) divided by (search volume) 90003 90002 90007 KGR = 50/1100 = 0.045 90008 90003 90002 90016 Is this a KGR Compliant Keyword? 90017 90003 90002 90007 The answer is no.90008 It is a fine keyword and the calculated KGR is really great. But 90007 it does not fullfill the criterium of search volume less than 250. 90008 However, part of the magic of the KGR is the ability to rank in Google quickly. 90003 90002 I believe one of the factors is the search volume so having a higher search volume will have an impact on ranking quickly. I'll go deeper on this very topic in the FAQ section and there are exceptions to the rule. 90003 90105 Use my personal spreadsheet to check "allintitle" faster 90106 90002 You can see it's cumbersome to click back and forth from KWFinder to Google, copy, paste, and all that.90003 90002 To help you, I created a spreadsheet to help you do this faster. 90003 90002 You can fill in the list of keywords and search volume from KWFinder. Then, 90007 the column is auto-populated with a hyperlink that contains the allintitle plus the keyword for you. 90008 90003 90002 After you fill in the number 90016 allintitle 90017 results, 90007 the KGR is automatically calculated. 90008 The cell will turn green, yellow, or red based on the KGR value. 90003 90349 90002 Do not forget to make your own copy so you can edit the spreadsheet.90003 90352 90002 Get the spreadsheet on Google Sheets 90003 90105 Keyword Difficulty vs. the Keyword Golden Ratio - which is better? 90106 90002 Both Keyword Difficulty and Keyword Golden Ratio are ways to help you find keywords you can rank for easily. So you may ask - which one is better? 90003 90002 The thing is that 90007 you do not have to choose between the two because the KD and KGR can both be correct. 90008 They look at different factors to gauge the competition for a given keyword.90003 90002 At the core, here is the difference: 90003 90002 90007 The KD metric from KWFinder is based on the Link Profile Strength (LPS) of the web pages that are currently ranking, while the KGR is based on sites that have the keyword in the title. 90008 90003 90002 So KD takes mainly the following into account: 90003 90010 90011 Domain Authority and Page Authority from MOZ 90012 90011 Citation Flow and Trust Flow from Majestic 90012 90025 90002 The KGR helps us see if a webmaster is specifically targeting the keyword phrase or not.If the webmaster does not put the phrase in the title, then it's safe to assume they are not intentionally targeting the keyword. 90003 90002 90007 Both are useful metrics in gauging the competition even though they come at the solution from different directions. 90008 90003 90002 If you have a keyword phrase that is KGR compliant with a low KD metric, then you probably found a gem of a keyword. 90003 90002 If your keyword phrase has poor KGR and KD metrics, it's probably a tough keyword phrase to rank.90003 90026 Pitfalls with the KGR 90027 90002 The KGR is a fantastic tool and can help you get traffic fast. But it's not all rainbows and gummy worms. Here are a few things to consider and remember about the Keyword Golden Ratio. 90003 90105 Keyword stuffing 90106 90002 Do not use the keyword phrase too often in the content. Usually, KGR terms will be longer than normal keyword phrases, sometimes 4 or more words. 90003 90002 Longer phrases should not be used very often in the text. It would be really weird and unnatural to use a long keyword phrase 8 times in a post.90003 90002 For example, it would look weird if you used "best ballpoint pen for journaling" more than a couple times. 90003 90002 90007 My rule of thumb is to use a KGR phase once in the title, then once in the main content. 90008 You can use other partial match keywords, related phrases, and LSI keywords as normal. 90003 90002 That's it. Do not overdo it. 90003 90002 90007 Pro tip: 90008 People often follow the keyword density suggestions from Yoast SEO plugin. However, it may suggest to use the keyword way too many times.Do not forget that it's just a tool created for an average content creator. You are not average - the Keyword Golden Ratio is an advanced technique. 90150 90003 90105 Keywords that may not rank 90106 90002 Sometimes a KGR term is not going to rank well, even if all the metrics tell you it's a good keyword. 90003 90002 90016 Why is that? 90017 90003 90002 Google has figured out what the end user, the searcher, is interested in. 90003 90002 For example, let's say you have an affiliate site so you want to see a few similar sites on the first page of the search results.90003 90002 If you find a KGR term, then you should Google the term before you write and publish the content. Check out the results to see what Google is delivering to the searcher - what is the user's search intent. 90003 90002 If you see mostly e-commerce sites in the results, then searchers tend to like those results better than affiliate sites. 90003 90426 90002 If you see YouTube videos in the majority of the results, that means searchers want to see a video. 90003 90002 If the term happens to be medical or health related, then you're likely to see big authoritative sites like Mayo Clinic, WebMD, medical journals, and other sites with a huge amount of trust in the medical field.90003 90002 The takeaway is that Google tells you what sites are ranking in the search results. All you have to do is look carefully. 90003 90002 90007 If you do not see any sites that are similar to yours, then that's a bad sign 90008 - a sign that even a KGR with great metrics is likely not going to rank. 90003 90105 Difficulty finding KGR complaint terms 90106 90002 Finding keywords is a skill, and it's one that you can get better at. So, finding KGR terms is going to be hard at first.90003 90002 Using tools like KWFinder can make it much easier, of course, but it comes down to putting the time in. 90003 90002 Part of the magic of the KGR is that you can not just buy a tool that will do it. You have to look for the keywords manually. 90003 90105 Trying only one KGR compliant post 90106 90002 The KGR works really well at scale. I suggest you try 20 KGR terms to test out your site. 90003 90002 90007 I've found that about 5% of KGR terms perform better than expected, 15% worse than expected, and 80% rank somewhere in the top 30 - 50 results.90008 90003 90002 The 80% tend to move higher in rankings over time depending on the quality of the content, your site's authority, and the relative competition. 90003 90002 90007 So if you only publish one KGR compliant post, it may not rank. 90008 You might think it's a failure. But if you publish enough posts to give it a fair try, you'll see the magic. 90003 90026 FAQs about the Keyword Golden Ratio 90027 90105 Can I automate finding KGR terms? Is there a tool that will do it for me? 90106 90002 No, not any tool I know of.The Captcha introduces an issue for developers looking to automate this. 90003 90002 Configuring the app would be cumbersome so support for such an app would kill the margins to make it profitable. Go for it if you're interested! 90003 90105 What if keyword research tools have different search volumes? 90106 90002 Pick one tool and stick with it. All keyword search volumes are estimates - even if you get them directly from Google. 90003 90002 All keyword research tools use different algorithms to generate search volume estimates.So the exact search volume does not really matter too much. 90003 90002 90007 What is important is the relative volume compared to other keywords, i.e. 90016 keyword X 90017 gets 3 times more searches than 90016 keyword Y 90017. 90008 90003 90002 The Keyword Golden Ratio can perform in spite of the inexact nature of keyword search volumes. 90003 90105 I found a term with a KGR under 0.25, but the search volume is over 250. 90106 90002 Go for it. Technically, this is not a KGR term based on the definition, like the example above.90003 90002 However, you have found a keyword with a smaller amount of competition so that's a good thing. 90003 90002 90007 You may not rank as quickly or at all, but that goes for just about any keyword where you are not looking at the competition levels. 90008 90003 90002 There are 2 main things that you need to think about: 90003 90034 90011 Let's say the search volume for the term you found is 10,000. If the KGR is 0.25, that means that you have 2,500 other sites that have the keyword phrase in the title and probably intentionally targeting that keyword.90012 90011 With the strict KGR definition of targeting KGR values ​​under 0.25 and a search volume of under 250, you're only competing with a maximum of 62.5. 90012 90047 90002 So there is way more competition and it's simple math to see that. 90003 90002 I contend that higher search volume keywords take longer to rank for than low search volumes regardless of the competition numbers. 90003 90105 Are there exceptions for the KGR? 90106 90002 If your site is not brand new and has some authority via solid backlinks, then you can use the KGR as a guide, not a strict rule.90003 90002 You can be a bit looser with the formula and go for search volumes that are higher, like 1,000 searches per month. Or, go for KGR values ​​up to .8 or 1.5 - it's up to you to test to see how your site will be treated. 90003 90105 Where can I learn more about the KGR? 90106 90002 I created a free masterclass on YouTube. It's 100% free and organized in a playlist. 90003 90026 Conclusion 90027 90002 The Keyword Golden Ratio is one of the best SEO techniques for beginners. It can change the way you look at long-tail keywords so that you can be confident that your content will get the attention it deserves.90003 90002 90007 It takes skill and effort to find KGR terms, but it's worthwhile and can help separate you from your competition. 90008 90003 90002 If you're starting a brand new site, the KGR can help you get traffic to your site before it is out of the Google sandbox. 90003 90002 It's free to try - so it's up to you from here. 90003 .90000 How to Use the Golden Ratio in Design (with Examples) 90001 90002 90003 90004 90002 Want to be on the same creative level as Leonardo Da Vinci, Salvador Dali and the designers of the Parthenon? They all have one simple concept in common. 90004 90002 The Ancient Greeks were one of the first to discover a way to harness the beautiful asymmetry found in plants, animals, insects and other natural structures. They expressed this mathematical phenomenon with the Greek letter phi, but today, we call it the 90008 golden ratio 90009 -also known as the divine proportion, the golden mean, and the golden section.90004 90002 Much like the rule of thirds, this mathematical concept can be applied to your graphic designs to make them more visually appealing to the viewer. The golden ratio is a little more complicated, so we recommend you first read our guide to the rule of thirds if math is not your forte. 90004 90013 What is the golden ratio? 90014 90002 The golden ratio is probably best understood as the proportions 90008 1: 1.618 90009. Of course, the mathematical equation at work here is much more complicated than that.90004 90002 The ratio itself is derived from the 90008 Fibonacci sequence 90009, a naturally occurring sequence of numbers that can be found practically everywhere in nature, from the number of leaves on a tree to the spiral shape of a seashell. It can also be found in famous works of art and architecture and even in our own faces. 90004 90002 The Fibonacci sequence is easy to remember. Starting with 0 and 1, add the last number of the sequence to the number that came before it to create the next number in the sequence.So it goes 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, and so on to infinity. From the Fibonacci sequence, the Greeks developed the golden ratio to better express the difference between any two numbers in succession within the sequence. 90004 90002 90026 90004 90002 The golden ratio is not exact when it comes to the Fibonnacci sequence-the difference between two numbers on the sequence is not always exactly equal to the golden ratio, but it's pretty close. 90004 90030 Creating a golden rectangle 90031 90002 So now that we understand the basic numbers at play, here's a more advanced technique for using those numbers in a more visual way.A "golden rectangle" is one that fits the parameters of the golden ratio-but the more times you divide a golden rectangle according to the golden ratio, the more useful it becomes. 90004 90002 Let's start by creating a rectangle with golden proportions. To make this simple, we'll start with a width of 1000 pixels and divide it by 1.618 to get a height of about 618 pixels. 90004 90002 90037 90004 90002 Now add a 618 x 618 square on the right side of the canvas, leaving behind a 382 x 618 rectangle on the left side-another golden rectangle! 90004 90002 90042 90004 90002 If you take that new rectangle and create another square within it, you'll end up with another golden rectangle in the leftover space, which you can then divide up again, and so on and so forth.90004 90002 90047 90004 90002 Notice how each time you divide your golden rectangle, the largest dividing line kind of spirals in onto itself? That's no accident-it forms the shape of a "golden spiral," one of the more ubiquitous shapes that you'll deal with when working with the golden ratio. 90004 90002 90052 90004 90030 Visualizing the golden ratio with other shapes 90030 90031 90031 90002 The golden rectangle is the simplest (and arguably the most useful) way to visualize the golden ratio, but you can also use circles and triangles in a very similar way.90004 90002 For instance, you can create an approximate golden spiral shape out of circles-and those circles fit perfectly inside a system of golden rectangles. 90004 90002 90063 90004 90002 There's also such a thing as a "golden triangle," an isosceles triangle with two equal sides and one distinctive side that are in golden proportion to one another. When these triangles are nested inside of one another, it creates the exact same "golden spiral" shape. 90004 90002 90068 90004 90030 Golden proportions are ubiquitous 90031 90002 The golden ratio is not just some lofty mathematical theory; it shows up all the time in the real world.While many of the most often-cited examples of the golden ratio have been debunked, there are still plenty of them throughout nature and in man-made works of art. 90004 90002 90075 90004 90002 Keep in mind that the golden ratio is based on irrational numbers, so many of these examples do not 90078 exactly 90079 conform to the golden ratio. And even when the golden ratio can be found in a work of art, that does not necessarily mean the artist intentionally included it as part of some grand design.90004 90002 Though there are those who would argue otherwise, the golden ratio probably does not have any mystical powers of beauty drawn from the primordial fabric of the universe. But it does seem likely that this ubiquitous pattern has some aesthetically appealing properties and tends to suggest a sense of natural balance and visual harmony. 90004 90013 Using the golden ratio in graphic design 90014 90085 90002 Photo Credit: The Fish of Life 90004 Building your graphic design around a golden rectangle or a Fibonacci sequence takes some real art mastery, but any designer can use it as a general guideline to add tweaks and improvements to their design.The more you get used to the golden ratio, the more you'll find that it's merely showing you where the best parts of your design are-it's not necessarily dictating how you should design your piece. 90002 Sometimes you'll find that the golden ratio suits a design perfectly, while other times, you'll come up with clever ideas that do not necessarily adhere to the rules. That's fine-for as many designs you'll find out there in the world that fulfill the golden ratio, you'll find nearly an equal amount of designs that do not.It's not a make-or-break rule; it's just another tool you can add to your designer's toolkit. 90004 90030 Typography 90031 90002 The easiest way to start using the golden ratio is to implement it within your typographical graphic design elements. For example, let's say that you're using 10pt font for the body text. Using the golden ratio, you can determine the best size for the headings by multiplying by 1.618. 90004 90002 So, 10 × 1.618 = 16.18, which you can round down to 16pt font. 90004 90002 Or let's say your headline text is 20pt and you want to find an appropriate size for your body text.Since the headline text is the bigger element, you would divide by 1.618 instead of multiplying. 90004 90002 Therefore, 20 / 1.618 = 12.36, which you could round down to 12pt body text (or up to 13pt, if you so choose). That's the beauty of the golden ratio-you do not have to be perfect. 90004 90002 90101 90004 90030 Sizing / cropping images 90031 90002 Naturally, a simple way to incorporate the golden ratio into a design is to crop photos (or any other images you may use) into a golden rectangle shape.Again, that does not mean you should always do it for 90078 every 90079 photo, but you may want to consider it for an image that's particularly central to your design. 90004 90002 90110 90004 90002 When you crop images with the golden ratio in mind (especially when working with photography), you might also consider using the golden spiral as a guide for the shot's composition. For example, you could crop a photo to golden proportions in such a way that the main focal point of the image is at the center of the corresponding golden spiral.It adds interest in a way that's very similar to the rule of thirds, but many consider it a more natural-looking, aesthetically pleasing choice. 90004 90002 90115 90004 90002 Using the golden ratio in your visual designs can also be as simple as applying it to the proportional size difference between two different elements-even elements that are not "golden" shapes themselves. 90004 90002 For example, say you had an image in your design that was 2 inches wide and you wanted to pair it with a smaller picture.A 2 inch image divided by 1.618 comes out to about 1.236 inches, which you could safely round down to 1.2 inches. 90004 90002 You could also add a larger image to the design, which would require you to multiply your 2 inch photo by the golden ratio to end up with roughly 3.2 inches. And now you've got yourself a Fibonacci sequence going, creating even more interest than before. 90004 90002 90124 90004 90030 Logo design 90031 90002 You can also use the golden ratio to add aesthetic appeal directly to a company's branding.Even if the logo itself is not shaped like a golden rectangle or triangle, it can still employ elements that use golden proportions. 90004 90002 90131 90004 90030 General layout 90031 90002 Once again, using a golden spiral to inform your graphic design's layout is a lot like using the rule of thirds grid-you want the focus of the design to be centered on the spiral, using the golden rectangles as division lines for the placement of visual elements. But unlike the rule of thirds grid, you can move the golden rectangle around to suit your needs.90004 90002 After all-if you could not move around a golden rectangle, then every design would look like a golden rectangle or spiral. Instead, think of your golden rectangle as a ruler-it does not change, but you can move it around the canvas to measure out the elements that are already there. 90004 90002 90140 90004 90002 Digital designers have to work within tighter constraints when it comes to creating a layout; they can not control the dimensions of the audience's monitor, after all. A common trick in web design is to use the golden ratio to divide space between the body of the website and the sidebar.Taking the measurements of the space they're working with, web designers can ensure that the body is 1.618 times larger than the sidebar by taking the total width of the canvas, dividing it by 1.618, and then subtracting that number from the overall width of the canvas. 90004 90002 90145 90004 90002 The same technique can still apply to print design-but you have to be careful. Web designers are working within a horizontal medium, and much of print design is vertically oriented. Of course, pretty much anything that is printed vertically can also be printed horizontally-but you will not always have the option.90004 90002 The advantage to working in print is that the size of the media itself can be measured out according to the golden ratio. However, there are also times when print designers are constrained to a standard size and unable to use custom print options. Thankfully, you can still apply the golden ratio to the layout of any print template; you just have to be smart about it. 90004 90002 The good thing about presentation folders and other print materials that open up is that they give you both a vertically and horizontally aligned canvas to work with.Whenever you open up a presentation folder, the combined interior creates one big horizontal rectangle. Therefore, it's fairly easy to have interior elements based on the golden ratio, such as the size and placement of the pockets. 90004 90002 90154 90004 90002 You could also implement the same kind of sidebar idea that web designers use by having a custom-made info flap inside the folder. Even the position of your printed design elements inside the folder can have an aesthetic appeal to the viewer if you place them according to the golden proportion.90004 90013 Golden ratio tools 90014 90002 We did not want to let you go home from this golden ratio party without a few party favors to take home. We gathered up some of the best tools and apps to help you incorporate the golden ratio into your design. 90004 90162 90163 Atrise Golden Section - This handy add-on lets you place a golden proportion grid right over your design software of choice allowing you to measure out your design according to the golden ratio. The newest version of Photoshop already has golden ratio and spiral overlay options built-in, but this tool is very useful if you're using an older version or a different program.90164 90163 Golden Calipers - Print is a physical medium, so if you like working with your hands, you might want to pick up a pair of golden calipers-a measurement tool designed specially to help you design according to the golden ratio. 90166 90167 90164 90163 90008 Golden Ratio App 90009 - For $ 2.99 on the Mac App Store, you can have this simple but effective app that lets you easily create golden ratio layouts. 90008 (Update: No longer available) 90009 90164 90163 Golden Ratio Typography App - Ensure that your typography is proportionate by creating columns of body text that follow the golden ratio.90164 90163 Phi Calculator - Designers who use the golden ratio often find themselves constantly reaching for their calculators. Reach for the right one-one that automatically makes golden ratio calculations. 90164 90163 Phi Matrix - This computer software for Windows and Mac gives you the power to apply golden ratio rectangles over any image you can conjure up on your computer with any software-even your web browser or word processor. 90164 90181 90002 The degree to which you rely on the golden ratio is up to you, but even the slightest application of its proportions can really add appeal to your designs.If you want to be extra sure your design is up to snuff, try measuring it up to both the golden ratio and the rule of thirds. If your design satisfies both, you could have something great on your hands. 90004 90078 Click the image below to view it full-size. 90079 90186 90187 90004 90002 The golden ratio is a really fascinating subject and we're completely geeked out about how often it appears in nature, classic art, architecture, logo design and more. We want to see your best examples of the golden ratio in action, so 90008 leave a comment below 90009 with your samples-especially if they're designs you created yourself.90004 .90000 The golden ratio and aesthetics 90001 90002 November 2002 90003 90002 90005 Mario Livio is a scientist and self-proclaimed "art fanatic" who owns many hundreds of art books. Recently, he combined his passions for science and art in two popular books, 90006 The Accelerating Universe 90005, which appeared in 2000, and 90006 The Golden Ratio 90005, reviewed in this issue of 90005 Plus 90006. The former book discusses "beauty" as an essential ingredient in fundamental theories of the universe.The latter discusses the amazing appearances of the peculiar number 1.618 ... in nature, the arts, and psychology. Here he gives us a taster. 90006 90003 90014 The origins of the divine proportion 90015 90002 In the 90005 Elements 90006, the most influential mathematics textbook ever written, Euclid of Alexandria (ca. 300 BC) defines a proportion derived from a division of a line into what he calls its "extreme and mean ratio." Euclid's definition reads: 90003 90020 90005 A straight line is said to have been cut in extreme and mean ratio when, as the whole line is to the greater segment, so is the greater to the lesser.90006 90023 In other words, in the diagram below, point 90005 C 90006 divides the line in such a way that the ratio of 90005 AC 90006 to 90005 CB 90006 is equal to the ratio of 90005 AB 90006 to 90005 AC 90006. Some elementary algebra shows that in this case the ratio of 90005 AC 90006 to 90005 CB 90006 is equal to the irrational number 1.618 (precisely half the sum of 1 and the square root of 5). 90038 90002 C divides the line segment AB according to the Golden Ratio 90003 90002 Who could have guessed that this innocent-looking line division would have implications for numerous natural phenomena ranging from the leaf and seed arrangements of plants to the structure of the crystals of some aluminium alloys, and from the arts to the stock market? 90003 90043 90002 Sunflower seeds 90003 90002 In fact, with the increasing realization of the astonishing properties of this number over the centuries since Euclid's definition, the number was given the honorifics "Divine Proportion" and "Golden Ratio."90003 90002 Here I shall concentrate only on one of the surprising (claimed) attributes of the Golden Ratio - its presumed association with aesthetics, since it provides a wonderful example of an attempt to mingle mathematics with the arts. 90003 90014 The golden ratio in the arts 90015 90002 Many books claim that if you draw a rectangle around the face of Leonardo da Vinci's 90005 Mona Lisa 90006, the ratio of the height to width of that rectangle is equal to the Golden Ratio. No documentation exists to indicate that Leonardo consciously used the Golden Ratio in the 90005 Mona Lisa 90006 's composition, nor to where precisely the rectangle should be drawn.Nevertheless, one has to acknowledge the fact that Leonardo was a close personal friend of Luca Pacioli, who published a three-volume treatise on the Golden Ratio in 1509 (entitled 90005 Divina Proportione 90006). 90003 90060 90002 Sacrament of the Last Supper, by Salvador Dali 90003 90002 Another painter, about whom there is very little doubt that he actually did deliberately include the Golden Ratio in his art, is the surrealist Salvador Dali. The ratio of the dimensions of Dali's painting 90005 Sacrament of the Last Supper 90006 is equal to the Golden Ratio.Dali also incorporated in the painting a huge dodecahedron (a twelve-faced Platonic solid in which each side is a pentagon) engulfing the supper table. The dodecahedron, which according to Plato is the solid "which the god used for embroidering the constellations on the whole heaven," is intimately related to the Golden Ratio - both the surface area and the volume of a dodecahedron of unit edge length are simple functions of the Golden Ratio. 90003 90002 These two examples are only the tip of the iceberg in terms of the appearances of the Golden Ratio in the arts.The famous Swiss-French architect and painter Le Corbusier, for example, designed an entire proportional system called the "Modulor," that was based on the Golden Ratio. The Modulor was supposed to provide a standardized system that would automatically confer harmonious proportions to everything, from door handles to high-rise buildings. But why would all of these artists (there are many more than mentioned above) even consider incorporating the Golden Ratio in their works? The attempts to answer this question have led to a long series of psychological experiments, designed to investigate a potential relationship between the human perception of "beauty" and mathematics.90003 90014 Is beauty in the eye of the beholder? 90015 90071 90002 The pioneering (rather crude) experiments in this field were conducted by the German physicist and psychologist Gustav Theodor Fechner in the 1860s. Fechner's experiment was simple: ten rectangles varying in their length-to-width ratios were placed in front of a subject, who was asked to select the most pleasing one. The results showed that 76% of all choices centered on the three rectangles having ratios of 1.75, 1.62, and 1.50, with a peak at the "Golden Rectangle" (with ratio 1.62). Fechner went further and measured the dimensions of thousands of rectangular-shaped objects (windows, picture frames in the museums, books in the library), and claimed (in his book 90005 Vorschule der Aesthetik 90006) to have found the average ratio to be close to the Golden Ratio. 90003 90002 Many psychologists have repeated similar experiments since then, and obtained rather conflicting results. Michael Godkewitsch of the University of Toronto, for example, pointed out that 90005 average 90006 group preferences often do not reflect the most preferred choice.For example, the brand of tea that everybody ranks second-best may on the average be rated best, but nobody will ever buy it. Godkewitsch therefore noted that 90005 first choices 90006 provide a more meaningful measure of preference than averages. Godkewitsch concluded from a study conducted in 1974 that the preference for the Golden Rectangle reported in the earlier experiments was an artifact of the rectangle's 90005 position 90006 in the range of rectangles presented to the subjects.He noted: "The basic question whether there is or is not, in the Western world, a reliable verbally expressed aesthetic preference for a particular ratio between length and width of rectangular shapes can probably be answered negatively. "90003 90002 Other experiments, however, gave different results. In particular, British psychologist Chris McManus concluded in 1980 that: "There is moderately good evidence for the phenomenon which Fechner championed." Nevertheless, McManus acknowledged that "whether the Golden Section [another name for the Golden Ratio] 90005 per se 90006 is important, as opposed to similar ratios (e.g. 1.5, 1.6 or even 1.75), is very unclear. "90003 90088 90002 The entire topic received a new twist with a flurry of psychological attempts to determine the origin of facial attractiveness. For example, psychologist Judith Langlois of the University of Texas at Austin and her collaborators tested the idea that a facial configuration that is close to the population 90005 average 90006 is fundamental to attractiveness. Langlois digitized the faces of male and female students and mathematically averaged them, creating two-, four-, eight-, sixteen-, and thirty-two-face composites.College students were then asked to rate the individual and composite faces for attractiveness. Langlois found that the 16- and 32-averaged faces were rated significantly higher than individual faces. Langlois explained her findings as being broadly based on natural selection (Physical characteristics close to the mean having been selected during the course of evolution), and on "prototype theory" (prototypes being preferred over non-prototypes). 90003 90002 Science writer Eric Haseltine claimed (in an article in 90005 Discover 90006 magazine in September 2002) to have found that the distance from the chin to the eyebrows in Langlois's 32-composite faces divides the face in a Golden Ratio.A similar claim was made in тисяча дев'ятсот дев'яносто чотири by orthodontist Mark Lowey, then at University College Hospital in London. Lowey made detailed measurements of fashion models ' faces. He asserted that the reason we classify certain people as beautiful is because they come closer to Golden Ratio proportions in the face than the rest of the population. 90003 90002 Many disagree with both Langlois's and Lowey's conclusions. Psychologist David Perret of the University of St. Andrews, for example, published in тисячі дев'ятсот дев'яносто чотири the results of a study that showed that 90005 individual 90006 attractive faces were preferred to the composites.Furthermore, when computers were used to exaggerate the shape differences away from the average, those too were preferred. Perret claimed to have found that his beautiful faces did have something in common: higher cheek bones, a thinner jaw, and larger eyes relative to the size of the face. 90003 90002 An even larger departure from the "averageness" hypothesis was found in a study by Alfred Linney from the Maxillo Facial Unit at University College Hospital. Using lasers to make precise measurements of the faces of top models, Linney and his colleagues found that the facial features of the models were just as varied as those in the rest of the population.90003 90002 I will certainly not attempt to make the ultimate sense of sex appeal in an article on the Golden Ratio. I would like to point out, however, that the human face provides us with hundreds of lengths to choose from. If you have the patience to juggle and manipulate the numbers in various ways, you are bound to come up with some ratios that are equal to the Golden Ratio. 90003 90002 Furthermore, I should note that the literature is bursting with false claims and misconceptions about the appearance of the Golden Ratio in the arts (e.g. in the works of Giotto, Seurat, Mondrian). The history of art has nevertheless shown that artists who have produced works of truly lasting value are precisely those who have departed from any formal canon for aesthetics. In spite of the Golden Ratio's truly amazing mathematical properties, and its propensity to pop up where least expected in natural phenomena, I believe that we should abandon its application as some sort of universal standard for "beauty," either in the human face or in the arts.90003 90107 90108 About the author 90109 90110 90002 Dr. Mario Livio is the Head of the Science Division at the Space Telescope Science Institute (STScI), the institute which conducts the scientific program of the Hubble Space Telescope. He received his Ph.D. in theoretical astrophysics from Tel Aviv University in Israel, was a professor in the Physics Dept. of the Technion-Israel Institute of technology from 1981 till 1991 року, and joined STScI in 1991. Dr Livio has published over 300 scientific papers and received numerous awards for research and for excellence in teaching.90003 90002 His interests span a broad range of topics in astrophysics, from cosmology to the emergence of intelligent life. Dr. Livio has done much fundamental work on the topic of accretion of mass onto black holes, neutron stars, and white dwarfs, as well as on the formation of black holes and the possibility to extract energy from them. During the past two years Dr. Livio's research focused on supernova explosions and their use in cosmology to determine the rate of expansion of the universe.In particular, he has shown that in spite of some uncertainties that still exist in theoretical models for supernovae, it is very likely that the recent findings that the expansion of our universe is accelerating are correct. 90003 .

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *