вершины, ребра, грани • Компьютерная графика

В программе 3ds max оболочки всех объектов, независимо от их формы, состоят в конечном счете из треугольных граней (faces), образующих сетку (mesh) с треугольными ячейками.

Каждая грань имеет три вершины (vertices) и три ребра (edges), соединяющих эти вершины. Смежные грани, лежащие в одной плоскости, образуют многоугольник или полигон (polygon). Начиная с четвертой версии в программе 3ds max появился новый тип объектов, в оболочках которых минимальным редактируемым плоским фрагментом является именно полигон, а не треугольная грань.

Сетку, образованную из полигонов, называют редактируемой полисеткой (editable poly). В чем состоит удобство использования полисеток по сравнению с традиционными сетками, вам, надеюсь, станет понятно в ходе прочтения последующих глав книги. Несмотря на то что полигон как минимальную ячейку полисетки можно выделить только целиком, он все равно разбивается программой на треугольные грани, недоступные для редактирования.

Ребра между гранями, не лежащими в одной плоскости, изображаются на сетке сплошными линиями, а между гранями, лежащими в одной плоскости — демонстрирующим увеличенный фрагмент сферической оболочки. Есть еще один важный элемент грани — ее нормаль (normal), то есть перпендикуляр к поверхности грани. Нормаль позволяет определить, будет данная грань видимой или нет. Видимыми считаются только те грани, нормали которых направлены в сторону наблюдателя. Если нормаль грани перпендикулярна линии взгляда или направлена от наблюдателя, то грань перестает быть видимой. Например, если бы вы заглянули внутрь объекта-сферы (а это легко сделать в 3ds max с помощью модели съемочной камеры), то были бы разочарованы, не увидев ничего. Все грани сферы видны только снаружи.

В программе 3ds max каждая грань задается координатами своих вершин — как известно, положение любой точки в трехмерном пространстве можно задать тройкой координат: (X, Y, Z). Таким образом, даже для такого простейшего трехмерного объекта, как прямоугольный параллелепипед, программе приходится хранить координаты 8 вершин, то есть 8 троек чисел, с указанием того, какие из этих троек образуют каждую из 12 треугольных граней параллелепипеда. Сложные сцены иногда содержат в своем составе сотни тысяч граней, так что можете представить, какую работу приходится производить компьютеру при визуализации таких сцен!

Зачем же нужно разбивать оболочки на грани? Это делается из соображений единообразия. Точки поверхностей тел простой формы, таких как сфера, цилиндр или конус, можно было задать и не разбивая эти поверхности на грани, но в реальной жизни объекты правильной геометрической формы встречаются редко. Пришлось бы разрабатывать и использовать разные подходы к описанию поверхностей тел простой формы и всех остальных объектов, имеющих произвольную конфигурацию.

Почему используются грани именно треугольной формы? Это просто: через три точки в трехмерном пространстве всегда можно провести плоскость, и притом только одну. Если бы нам приходилось разбивать поверхности объектов на грани вручную, то каждому пользователю 3ds max пришлось бы осваивать смежную профессию огранщика алмазов. Само по себе это, может быть, и не плохо, да вот только процесс моделирования мог бы оказаться слишком сложным. К счастью, программа производит такое разбиение самостоятельно.

СПЛАЙН

Благодаря своим знаниям и программы 3d max профессионалы создают интересные грамотные проекты за короткие сроки.

Вершины, ребра и грани — презентация онлайн

Похожие презентации:

Элементы комбинаторики ( 9-11 классы)

Применение производной в науке и в жизни

Проект по математике «Математика вокруг нас. Узоры и орнаменты на посуде»

Знакомство детей с математическими знаками и монетами

Тренажёр по математике «Собираем урожай». Счет в пределах 10

Методы обработки экспериментальных данных

Лекция 6. Корреляционный и регрессионный анализ

Решение задач обязательной части ОГЭ по геометрии

Дифференциальные уравнения

Подготовка к ЕГЭ по математике. Базовый уровень Сложные задачи

1. Вершины, ребра и грани

Рассмотрим известные нам многогранники и заполним следующую
таблицу, в которой В – число вершин, Р – число ребер, Г – число
граней многогранника.
Название многогранника
В
Р
Г
Треугольная пирамида
4
6
4
Четырехугольная пирамида
5
8
5
Треугольная призма
Четырехугольная призма
6
8
9
12
5
6
n-угольная пирамида
n+1
2n
n+1
n-угольная призма
2n
3n
n+2

2. ТЕОРЕМА ЭЙЛЕРА

Из приведенной таблицы непосредственно видно, что для
всех выбранных многогранников имеет место равенство В — Р + Г =
2. Оказывается, что это равенство справедливо не только для
рассмотренных многогранников, но и для произвольного
выпуклого многогранника.
Впервые это свойство выпуклых многогранников было
доказано Леонардом Эйлером в 1752 году и получило название
теоремы Эйлера.
Теорема Эйлера. Для любого выпуклого многогранника
имеет место равенство
В — Р + Г = 2,
где В — число вершин, Р — число ребер и Г — число граней данного
многогранника.

3. Л. ЭЙЛЕР

Леонард Эйлер (1707-1783) — один из величайших
математиков мира, работы которого оказали
решающее влияние на развитие многих
современных разделов математики. Эйлер долгое
время жил и работал в России, был
действительным членом Петербургской Академии
наук, оказал большое влияние на развитие
отечественной математической школы и в деле
подготовки
кадров
ученых-математиков
и
педагогов в России.
Поражает своими размерами научное наследие ученого. При жизни им
опубликовано 530 книг и статей, а сейчас их известно уже более 800.
Причем последние 12 лет своей жизни Эйлер тяжело болел, ослеп и,
несмотря на тяжелый недуг, продолжал работать и творить.
Все математики последующих поколений так или иначе учились у Эйлера,
и недаром известный французский ученый П.С. Лаплас сказал: «Читайте
Эйлера, он — учитель всех нас».

4. Упражнение 1

Выполняется ли соотношение Эйлера для невыпуклой
призмы?
Ответ: Да.

5. Упражнение 2

Выполняется ли соотношение Эйлера для невыпуклой
пирамиды?
Ответ: Да.

6. Упражнение 3

Посчитайте число вершин (В), ребер (Р) и граней (Г) у
многогранников,
изображенных
на
рисунке.
Выполняется ли для них равенство Эйлера?
Ответ: а) В = 12, Р = 18, Г = 8, да;
б) В = 16, Р = 24, Г = 10, да.

7. Упражнение 4

Приведите пример многогранника, для которого не
выполняется соотношение Эйлера.
Ответ: Например, куб, из которого вырезан
прямоугольный параллелепипед.

8. Упражнение 5

Чему равна эйлерова характеристика многогранника (В
– Р + Г), где В – число вершин, Р – рёбер и Г – граней
многогранника), представленного на рисунке?
Ответ: 0.

9. Упражнение 6

Гранями выпуклого многогранника являются только
треугольники. Сколько у него вершин и граней, если он
имеет: а) 12 ребер; б) 15 ребер?
Ответ: а) В = 6, Г = 8; б) В = 7, Г = 10.

10. Упражнение 7

Из каждой вершины выпуклого многогранника
выходит три ребра. Сколько он имеет вершин и граней,
если число ребер равно: а) 12; б) 15?
Ответ: а) В = 8, Г = 6; б) В = 10, Г = 7.

11. Упражнение 8

Гранями выпуклого многогранника являются только
четырехугольники. Сколько у него вершин и граней,
если число ребер равно 12? Приведите пример такого
многогранника.
Ответ: В = 8, Г = 6, куб.

12. Упражнение 9

В каждой вершине выпуклого многогранника сходится
по четыре ребра. Сколько он имеет вершин и граней,
если число ребер равно 12? Приведите пример такого
многогранника.
Ответ: В = 6, Г = 8, октаэдр.

13. Упражнение 10

Как изменится число вершин, рёбер и граней
выпуклого многогранника, если к одной из его граней
пристроить пирамиду? Изменится ли В – Р + Г?
Ответ: Пусть пристроена n-угольная пирамида, тогда
количество вершин станет (В+1), рёбер — (Р+n), граней (Г+n). В – Р + Г не изменится.

14. Упражнение 11

Как изменится число вершин, рёбер и граней
выпуклого многогранника, если от него отсечь один из
многогранных углов? Изменится ли В – Р + Г?
Ответ: Пусть отсекли m-гранный угол, тогда количество
вершин будет (В+m-1), рёбер — (Р+m), граней — (Г+1). В –
Р + Г не изменится.

15. Упражнение 12*

Докажите, что в любом выпуклом многограннике число
треугольных граней плюс число трехгранных углов больше или
равно восьми.
Доказательство. Обозначим через Вi число вершин выпуклого
многогранника, в которых сходится i ребер. Тогда для общего числа
вершин В имеет место равенство В = В3 + В4 + В5 + … . Аналогично,
обозначим через Гi число граней выпуклого многогранника, у
которых имеется i ребер. Тогда для общего числа граней Г имеет
место равенство Г = Г3 + Г4 + Г5 + … . Имеем: 3В3 + 4В4 + 5В5 + … =
2Р, 3Г3 + 4Г4 + 5Г5 + … = 2Р. По теореме Эйлера выполняется
равенство 4В – 4Р + 4Г = 8. Подставляя вместо В, Р и Г их
выражения, получим 4В3 + 4В4 + 4В5 + … – (3В3 + 4В4 + 5В5 + …) –
(3Г3 + 4Г4 + 5Г5 + …) + 4Г3 + 4Г4 + 4Г5 + … = 8.
Следовательно, В3 + Г3 = 8 + В5 + … + Г5 + … , значит, число
треугольных граней плюс число трехгранных углов больше или

16. Упражнение 13*

Докажите, что в любом выпуклом многограннике имеется грань с
числом сторон, меньшим шести.
Доказательство. Обозначим через Вi число вершин выпуклого
многогранника, в которых сходится i ребер. Тогда для общего числа
вершин В имеет место равенство В = В3 + В4 + В5 + … . Аналогично,
обозначим через Гi число граней выпуклого многогранника, у
которых имеется i ребер. Предположим, что у многогранника нет
граней с числом сторон, меньшим шести. Тогда для общего числа
граней Г имеет место равенство Г = Г6 + Г7 + Г8 + … . Имеем: 3В3 +
4В4 + 5В5 + … = 2Р, 6Г6 + 7Г7 + 8Г8 + … = 2Р. Из этих равенств
следует выполнимость неравенств 3В 2Р и 6Г 2Р, из которых
получаем: 3В – 3Р + 3Г 0, а по теореме Эйлера должно выполняться
равенство 3В – 3Р + 3Г = 6. Полученное противоречие показывает,
что неверным было наше предположение об отсутствии граней с
числом сторон, меньшим шести. Значит, в выпуклом многограннике
обязательно найдется грань с числом сторон, меньшим шести.

17. Упражнение 14*

Докажите, что в любом выпуклом многограннике имеется
многогранный угол с числом ребер, меньшим шести.
Доказательство получается из предыдущего, если в нем буквы В и Г
поменять местами.

English     Русский Правила

граней, ребер и вершин — GCSE Maths

Введение

Что такое грани, ребра и вершины?

Платоновые тела

Как посчитать количество граней, ребер и вершин

Рабочий лист грани и вершины

Распространенные заблуждения

Практические вопросы по граням, ребрам и вершинам

Грани, ребра и вершины Вопросы GCSE

Контрольный список обучения

Следующие уроки

Интересные 3D-формы

Формула многогранников Эйлера

Все еще застряли?

Индивидуальные занятия по математике, созданные для успеха KS4

Теперь доступны еженедельные онлайн-уроки повторения математики GCSE

Узнать больше

Введение

Что такое грани, ребра и вершины?

Платоновые тела

Как посчитать количество граней, ребер и вершин

Рабочий лист грани и вершины

Распространенные заблуждения

Практические вопросы по граням, ребрам и вершинам

Грани, ребра и вершины Вопросы GCSE

Контрольный список обучения

Следующие уроки

Интересные 3D-формы

Формула многогранников Эйлера

Все еще застряли?

Здесь мы узнаем о гранях, ребрах и вершинах, в том числе о том, как рассчитать количество вершин, ребер и граней трехмерной фигуры и как классифицировать многогранники по количеству граней, ребер и вершин.

Существуют также рабочие листы с гранями, ребрами и вершинами, основанные на экзаменационных вопросах Edexcel, AQA и OCR, а также дополнительные рекомендации о том, что делать дальше, если вы все еще застряли.

Что такое грани, ребра и вершины?

Грани, ребра и вершины являются элементами трехмерной формы.

• Грани — это плоские поверхности формы.
• Ребра — это прямые линии, определяющие стороны многоугольников, составляющих каждую грань фигуры.
• Вершины (или углы) — это точки, в которых сходятся не менее трех ребер.

Чтобы рассчитать количество граней, ребер и вершин трехмерной фигуры, нам нужно подсчет количество каждого с помощью 3D-объекта.

Обратите внимание, вы должны иметь возможность визуализировать 3D-объект, вам может не быть предоставлена ​​форма, чтобы помочь вам.

Например, куб имеет 6 вершин, 12 ребер и 6 граней.

901 10

Вершина	Ребро	Грань

Есть несколько трехмерных фигур, для которых нам нужно знать количество вершин, ребер и граней.

Ниже приведена схема общих трехмерных фигур (разделенных на многогранников и не многогранников ) вместе с количеством вершин, ребер и граней.

многогранников – плоских граней, прямых ребер и острых вершин.

	Тетраэдр	Куб	Треугольная призма	Г-образная призма	Додекаэдр
Изображение
Вершины	4	8	6	12	20 90 096
Ребра	6	12	9	18	30
Грани	4	6	5	8	12

Не многогранники – не имеют плоских граней, прямых ребер и острых вершин.

9 0095

	Сфера	Конус	Цилиндр	Усеченный конус	Телец
Изображение
Вершины	0	1	0 9 0096	0	0
Ребра	0	1	2	2	0
Лица	1	2	3	3	1

Что такое грани, ребра и вершины?

Платоновы тела

Некоторые из самых известных многогранников называются Платоновыми телами по имени греческого философа и математика Платона. Каждое из Платоновых тел можно вписать внутрь сферы, поскольку они считаются правильными трехмерными многогранниками.

Количество граней определяет название многогранника:

Платоново тело	Изображение
Тетраэдр 4 вершины 6 ребер 9 0303 4 грани Каждая грань представляет собой равносторонний треугольник
Куб 8 вершин 12 ребер 6 грани Каждая грань – квадрат
Октаэдр 6 вершин 12 ребер 8 граней Каждая грань – равносторонний треугольник
Додекаэдр 20 вершин 30 ребер 12 граней Каждая грань правильный пятиугольник
Икосаэдр 1 2 вершины 30 ребер 20 граней Каждая грань представляет собой равносторонний треугольник

Что такое грани, ребра и вершины?

Как рассчитать количество граней, ребер и вершин

Чтобы рассчитать количество граней, ребер и вершин трехмерной фигуры:

1. Осмотрите фигуру, чтобы визуализировать ее грани/ребра/вершины.
2. Подсчитать количество граней/ребер/вершин.

Чтобы подсчитать количество граней, ребер и вершин трехмерной фигуры:

1. Вспомните, что грань представляет собой плоскую поверхность, и подсчитайте грани, систематически обходящие трехмерную фигуру. (СОВЕТЫ: ​​для призм и пирамид представьте/нарисуйте сеть формы. Для некоторых платоновых тел количество граней связано с названием формы.) 
2. Вспомните, что ребро — это прямая линия, на которой встречаются две грани, и подсчитайте ребра, систематически огибающие и проходящие между гранями. (СОВЕТЫ: ​​Будьте осторожны, чтобы не считать одно и то же ребро дважды.)
3. Вспомните, что вершин — это углы трехмерной фигуры, где встречаются 3 или более ребер, и подсчитайте их систематически, обходя фигуру.

*Если имеется изображение 3D-формы, обратите внимание, что некоторые грани, ребра и вершины могут быть скрыты в 2D-представлении.

Как рассчитать количество граней, ребер и вершин

Рабочий лист ребер и вершин граней

Получите бесплатный рабочий лист ребер и вершин граней, содержащий более 20 вопросов и ответов. Включает рассуждения и прикладные вопросы.

СКАЧАТЬ БЕСПЛАТНО

Икс

Рабочий лист ребер и вершин граней

Получите бесплатный рабочий лист ребер и вершин граней, содержащий более 20 вопросов и ответов. Включает рассуждения и прикладные вопросы.

СКАЧАТЬ БЕСПЛАТНО

Примеры граней, ребер и вершин

Пример 1: кубоид

Ниже приведен кубоид.

Подсчитать количество вершин многогранника.

1. Осмотрите фигуру, чтобы визуализировать ее грани/ребра/вершины.

Вершина — это угол, в котором сходятся как минимум 2 ребра.

2 Подсчитать количество граней/ребер/вершин.

Кубоид имеет 8 вершин.

Пример 2: треугольная призма

Треугольная призма имеет 5 граней и 6 вершин.

Подсчитать количество ребер многогранника.

1. Осмотрите фигуру, чтобы визуализировать ее грани/ребра/вершины.

Ребро — это прямая линия, соединяющая две вершины.

2 Подсчитать количество граней/ребер/вершин.

Треугольная призма имеет 9 ребер.

Пример 3: додекаэдр

Додекаэдр имеет 12 граней и 30 ребер.

Подсчитать количество вершин многогранника.

1. Осмотрите фигуру, чтобы визуализировать ее грани/ребра/вершины.

Вершина — это угол, в котором сходятся как минимум 2 ребра.

2 Подсчитать количество граней/ребер/вершин.

Додекаэдр имеет 20 вершин.

Пример 4: конус

Ниже показан конус.

Рассчитать количество граней конуса.

1. Осмотрите фигуру, чтобы визуализировать ее грани/ребра/вершины.

Грань окружена вершинами и ребрами.

2 Подсчитать количество граней/ребер/вершин.

У конуса 2 грани.

Пример 5: лента Мебиуса

Лента Мебиуса имеет 1 грань и 0 вершин.

Сколько у него ребер?

1. Осмотрите фигуру, чтобы визуализировать ее грани/ребра/вершины.

Ребро окружает грань многогранника.

2 Подсчитать количество граней/ребер/вершин.

Внимательно посмотрите на эту фигуру. Проследите край, начиная с 1 .

Лента Мёбиуса имеет один край.

Пример 6: цилиндр

Цилиндр имеет 3 грани и 0 вершин.

Подсчитать количество ребер многогранника.

1. Осмотрите фигуру, чтобы визуализировать ее грани/ребра/вершины.

Ребро окружает грань многогранника.

2 Подсчитать количество граней/ребер/вершин.

Будьте осторожны. Вертикальные стороны цилиндра не являются краями, они просто показывают изогнутую поверхность цилиндра.

Цилиндр имеет 2 ребра.

Распространенные заблуждения

• Неправильные значения свойства

Возможная ошибка заключается в том, что вычисляется неправильное количество граней, ребер или вершин.
Напр.
Количество вершин для куба рассчитывается как 8, тогда как у куба 6 вершин.

• Неверное свойство

Возможная ошибка в том, что перепутаны грани, ребра и вершины и вычислена не та.

Количество ребер подсчитывается для фигуры вместо количества граней.

Практические вопросы по граням, ребрам и вершинам

Подсчитав количество ребер, мы имеем

4 вертикальных ребра + 8 горизонтальных ребер = 12 ребер

V-E+F=2\\ 12-30+Ж=2\\ F=20

Основание имеет 8 ребер, так как это восьмиугольник. Каждая вершина соединена с вершиной, поэтому 8+8=16 ребер.

Каждую грань посчитайте отдельно, запомните лицевую и изнаночную стороны.

Посчитайте каждую грань отдельно, вспомните основание пирамиды

Сфера не имеет вершин.

Грани, ребра и вершины Вопросы GCSE

1. Приведенная ниже трапециевидная призма имеет постоянное поперечное сечение. Передняя грань имеет 4 стороны, а все смежные грани — прямоугольники. Вычислите разницу между количеством вершин и количеством граней призмы. 93

(1)

3. (a) Два прямоугольных параллелепипеда, сложенные вместе, образуют L-образную призму. Передняя и задняя грани плоские, конгруэнтные, двухмерные формы. Подсчитайте количество вершин, ребер и граней новой призмы.
(b) Рассчитайте значение V-E+F, если:

• V представляет количество вершин
• E представляет количество ребер
• F представляет количество граней.

 

(4 балла)

Показать ответ

(a)
Вершины = 12

(1)

Ребра = 18

(1)

Грани = 8

(1)

(b)
12-18+8=2

( 1)

Контрольный список для обучения

Теперь вы научились:

• Определять и описывать свойства трехмерных фигур, включая количество ребер, вершин и граней

Интересные трехмерные фигуры

Есть а диапазон трехмерных форм, которые интересны с математической точки зрения.

Ниже приведена схема ленты Мебиуса:

Лента Мебиуса представляет собой непрерывную петлю с одним краем и одной стороной. Представьте, что вы проводите линию вокруг петли. Начальная точка будет также и конечной точкой, хотя линия, по-видимому, существует «с обеих сторон» ленты Мёбиуса.

Еще одна интересная трехмерная фигура — стандартный футбольный мяч. Трехмерная форма основана на усеченном икосаэдре с 12 пятиугольниками и 20 шестиугольниками. Фигура имеет 90 ребер и 60 вершин. Ниже приведен пример развертки усеченного икосаэдра.

Формула многогранников Эйлера

Чтобы многогранник классифицировать как куб, додекаэдр или тетраэдр, например, мы можем использовать формулу многогранников Эйлера для вычисления количества вершин, ребер или граней формы:

V-E +F=2 

, где F — количество граней, V — количество вершин, а E — количество ребер многогранника. Это означает, что если вы знаете две из трех характеристик многогранника, вы можете вычислить недостающее значение.

Напр. Мы знаем, что у куба 4 вершины и 4 грани:

Подставляя эти значения в формулу, получаем:

\[4-E+4=2\\ 8-Е=2\\ E=6\]

Итак, у куба 6 ребер.

Только для многогранников .

Эйлерова характеристика

До сих пор мы рассматривали V-E+F=2 для любого выпуклого многогранника, включая Платоновы тела. Однако это верно не для всех многогранников. Эйлерова характеристика — это значение выражения V-E+F , поэтому для куба эйлерова характеристика равна 2 . Мы представляем эйлерову характеристику с помощью символа, поэтому мы можем сказать для любых многогранников:

V-E+F=\chi

Например, сфера имеет следующие характеристики: V=0, E=0, F=1 .

Эйлерова характеристика сферы:

\[\chi=V-E+F\\ =0-0+1\\ =1\]

Все еще застряли?

Подготовьте своих учеников KS4 к успешной сдаче выпускных экзаменов по математике с помощью программы Third Space Learning. Еженедельные онлайн-уроки повторения GCSE по математике, которые проводят опытные преподаватели математики.

Узнайте больше о нашей программе повторения GCSE по математике.

Мы используем необходимые и необязательные файлы cookie для улучшения работы нашего веб-сайта. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашей Политикой в ​​отношении файлов cookie, чтобы узнать, как мы используем файлы cookie и как управлять или изменять ваши настройки файлов cookie. Принять

Что такое вершины, грани и ребра? Объяснение для начальной школы

Вершины, грани и ребра часто встречаются в геометрии, когда дети изучают свойства трехмерных фигур. Здесь мы объясним, что означает каждый из них, и как рассчитать количество вершин, граней и ребер для любой формы. Мы также включаем количество ребер, граней и вершин наиболее распространенных форм.

• Что такое вершины фигур?
• Что такое ребра?
• Что такое лица?
• Вершины, грани и ребра обычных трехмерных фигур
  • Сколько граней, ребер и вершин у прямоугольного параллелепипеда?
  • Сколько граней, ребер и вершин у цилиндра?
  • Сколько граней, ребер и вершин у полусферы?
  • Сколько граней, ребер и вершин у конуса?
  • Сколько граней, ребер и вершин у тетраэдра?
  • Сколько граней, ребер и вершин у сферы?
  • Сколько граней, ребер и вершин у призмы?
    • Треугольная призма
    • Пятиугольная призма
    • Шестиугольная призма
    • Куб
    • Куб
• Когда делать дети узнают о вершинах, гранях и ребрах?
• Как вершины, грани и ребра связаны с другими областями математики?
• Как вершины, грани и ребра соотносятся с реальной жизнью?
• Примеры вопросов о вершинах, гранях и ребрах

БЕСПЛАТНЫЙ набор математических игр и заданий для 5-го класса

17 увлекательных математических игр и заданий для учащихся 5-х классов, которые можно выполнять самостоятельно или с партнером.

Что такое вершины фигур?

Вершины в фигурах — это точки, в которых встречаются два или более сегмента линии или ребра (например, угол). Единственное число вершин является вершиной. Например, у куба 8 вершин, а у конуса одна вершина.

Вершины иногда называют углами, но при работе с 2D- и 3D-формами предпочтительнее слово вершины.

Куб имеет 8 вершин. 7 видны здесь, а один скрыт.

Что такое ребра?

Ребра — это сегменты линии, которые соединяют одну вершину с другой, а также являются местом соединения граней фигуры. Их можно использовать для описания 2d и 3d форм.

Хотя многие фигуры имеют прямые линии и прямые края, существуют формы с изогнутыми краями, например полусфера. Куб будет иметь 12 прямых ребер, как показано ниже; 9 видимых и 3 скрытых.

Что такое лица?

Грани — это плоские поверхности твердотельной формы. Например, кубоид имеет 6 граней. Размышляя о 2D- и 3D-формах, важно знать, что 2D-форма просто представляет собой грань 3D-фигуры.

Также важно знать, что поскольку наша реальность построена в 3-х измерениях, физически невозможно обращаться с 2-мерными формами, поскольку мы окружены 3-мерными формами. Поэтому, если в вашем классе есть ящик с надписью «2d Shapes», его следует убрать, так как он учит детей неправильному пониманию. Несмотря на то, что это интерактивная концепция для классной комнаты, 2D-формы могут существовать только в виде 2-мерных рисунков.

У вас могут быть как плоские грани, так и изогнутые грани, но я считаю полезным называть изогнутые грани изогнутыми поверхностями, поскольку это хорошо соответствует визуальному виду формы.

На кубе внизу есть три видимые грани и три скрытые.

Вершины, грани и ребра обычных трехмерных фигур

Сколько граней, ребер и вершин у прямоугольного параллелепипеда?

Кубоид имеет 8 вершин.

Прямоугольный параллелепипед имеет 12 ребер.

Прямоугольный параллелепипед имеет 6 граней.

Сколько граней, ребер и вершин у цилиндра?

Цилиндр имеет 0 вершин.

Цилиндр имеет 2 ребра.

Цилиндр имеет 2 грани и 1 изогнутую поверхность.

Сколько граней, ребер и вершин у полушария?

Полусфера имеет 0 вершин.

Полусфера имеет 1 изогнутую кромку.

Полусфера имеет 1 грань и 1 изогнутую поверхность.

Сколько граней, ребер и вершин у конуса?

Конус имеет 1 вершину.

Конус имеет 1 ребро.

Конус имеет 1 грань и 1 изогнутую поверхность.

Сколько граней, ребер и вершин у тетраэдра?

Тетраэдр имеет 4 вершины.

Тетраэдр имеет 6 ребер.

Тетраэдр имеет 4 грани.

Сколько граней, ребер и вершин у сферы?

Сфера имеет 0 вершин.

Сфера имеет 0 ребер.

Сфера имеет 1 изогнутую поверхность.

Сколько граней, ребер и вершин у призмы?

Призма представляет собой твердое тело, геометрическую фигуру или многогранник, у которого грани обоих концов имеют одинаковую форму. Таким образом, учащиеся будут сталкиваться со многими типами призм на протяжении всего обучения. Обычные включают кубы, параллелепипеды, треугольные призмы, пятиугольные призмы и шестиугольные призмы.

Треугольная призма

• Количество граней: 5
• Ребра: 9
• Вершин: 6

Пятиугольная призма

• Количество граней: 7
• Кромки: 15
• Вершин: 10

Шестиугольная призма

• Количество граней: 8
• Кромки: 18
• Вершин: 12

Куб

• Количество граней: 6
• Кромки: 12
• Вершин: 8

Прямоугольный

• Количество граней: 6
• Кромки: 12
• Вершин: 8

Когда дети узнают о вершинах, гранях и ребрах?

Дети должны быть формально ознакомлены со словарем вершин, граней и ребер, когда они только начинают изучать геометрию. Тем не менее, учителя могут решить ввести эту лексику раньше.

Учащиеся должны уметь:

• определять и описывать свойства трехмерных фигур, включая количество ребер, вершин и граней

• Учащиеся усваивают и называют самые распространенные двухмерные и трехмерные фигуры, включая четырехугольники и многоугольники, прямоугольные параллелепипеды, призмы и конусы, и определяют свойства каждой формы (например, количество сторон, количество граней).
• Ученики идентифицируют, сравнивают и сортируют фигуры на основе их свойств и точно используют словарный запас, например стороны, ребра, вершины и грани.

Слайд из онлайн-вмешательства Third Space Learning по математике, использующего взаимосвязь между 2D- и 3D-формами, чтобы помочь учащимся идентифицировать вершины, грани и ребра.

Как вершины, грани и ребра связаны с другими областями математики?

Учащиеся будут использовать знания о вершинах, гранях и ребрах при рассмотрении двухмерных и трехмерных фигур. Знание того, что такое ребра, и их идентификация на составных фигурах имеет решающее значение для нахождения периметра и площади составных двумерных фигур. Это важная основа для последующих лет работы с различными математическими теоремами, такими как теория графов и параболы.

Как вершины, грани и ребра соотносятся с реальной жизнью?

Любой объект в реальной жизни имеет вершины, грани и ребра. Например, кристалл — это октаэдр — у него восемь граней, двенадцать ребер и шесть вершин. Знание этих свойств различных трехмерных форм закладывает основу для различных отраслей, таких как архитектура, дизайн интерьера, машиностроение и многое другое.

Вершины, грани и ребра примеры вопросов

1. Объясните, что такое вершина.

(Ответ: вершина — это место, где встречаются две линии)

2. Сколько ребер у треугольной призмы?

(ответ: 9)

3. Сколько вершин у конуса?

(Ответ: 1 вершина)

4. Сколько граней у прямоугольного параллелепипеда? Каковы 2d формы этих лиц?

(Ответ: 6 граней. Они могут иметь 2 квадратных грани и 4 прямоугольных грани или только 6 прямоугольных граней.)

5. Для всех обычных призм (кубов, прямоугольных параллелепипедов, треугольных призм, пятиугольных призм и шестиугольных призм) сложите вместе грани и вершины и вычтите ребра. Что вы заметили в ответах?

(Ответ: Ответ всегда 2. Это известно как формула Эйлера (количество вершин – количество ребер + количество граней = 2) Ваши дети? Посмотрите наш математический словарь для детей или попробуйте эти:

• Что такое математические способности?
• Что такое двумерные фигуры?
• Что такое трехмерные фигуры?

Вы можете найти множество планов уроков геометрии и рабочих листов для печати на Third Space Learning Math Hub .

Есть ли у вас ученики, которым нужна дополнительная помощь по математике?
Предоставьте своим учащимся четвертого и пятого классов больше возможностей для закрепления навыков обучения и практики с помощью индивидуального обучения элементарной математике с их собственным специализированным онлайн-репетитором по математике.