Числовая окружность на координатной: Числовая окружность в координатной плоскости — урок. Алгебра, 10 класс.

Содержание

градусная и радианная мера угла, интервалы и отрезки, свойства точки

Понятие тригонометрии
Числовая окружность
Градусная и радианная мера угла
Свойства точки на числовой окружности
Интервалы и отрезки на числовой окружности
Примеры

п.1. Понятие тригонометрии

Тригонометрия – это раздел математики, в котором изучаются тригонометрические функции и их использование.

Тригонометрия берёт своё начало в Древней Греции. Само слово «тригонометрия» по-гречески означает «измерение треугольников». Эта наука в течение тысячелетий используется землемерами, архитекторами и астрономами.
Начиная с Нового времени, тригонометрия заняла прочное место в физике, в частности, при описании периодических процессов. Например, переменный ток в розетке генерируется в периодическом процессе. Поэтому любой электрический или электронный прибор у вас в доме: компьютер, смартфон, микроволновка и т.п., — спроектирован с использованием тригонометрии.

п.2. Числовая окружность

Мы уже знакомы с числовой прямой (см. §16 справочника для 8 класса) и координатной плоскостью (см. §35 справочника для 7 класса), с помощью которых создаются графические представления числовых промежутков и функций. Это удобный инструмент моделирования, с помощью которого можно провести анализ, начертить график, найти область допустимых значений и решить задачу.
Для работы с углами и их функциями существует аналогичный инструмент – числовая окружность.

Числовая окружность (тригонометрический круг) – это окружность единичного радиуса R=1 с центром в начале координат (0;0).
Точка с координатами (1;0) является началом отсчета, ей соответствует угол, равный 0.
Углы на числовой окружности отсчитываются против часовой стрелки. Направление движения против часовой стрелки является положительным; по часовой стрелке – отрицательным.

Например:

Отметим на числовой окружности углы 30°, 45°, 90°, 120°, 180°, а также –30°, –45°, –90&deg, –120°, –180°.

п.3. Градусная и радианная мера угла

Углы можно измерять в градусах или в радианах.
Известно, что развернутый угол, дуга которого равна половине окружности, равен 180°. Прямой угол, дуга которого равна четверти окружности, равен 90°. Тогда полная, замкнутая дуга окружности составляет 360°.
Приписывание развернутому углу меры в 180°, а прямому 90°, достаточно произвольно и уходит корнями в далёкое прошлое. С таким же успехом это могло быть 100° и 50°, или 200° и 100° (что, кстати, предлагалось одним из декретов во времена французской революции 1789 г.).

В целом, более обоснованной и естественной для измерения углов является радианная мера.

Радианной мерой угла называется отношение длины дуги окружности, заключенной между сторонами угла и центром в вершине угла, к радиусу этой окружности.
От радиуса окружности это отношение не зависит.

Например:

Найдем радианную меру прямого угла ∠AOB=90°.

{\circ} $$

Таблица соответствия градусных и радианных мер некоторых углов

30°	45°	60°	90°	120°	135°	150°	180°	270°	360°
$\frac{\pi}{6}$	$\frac{\pi}{4}$	$\frac{\pi}{3}$	$\frac{\pi}{2}$	$\frac{2\pi}{3}$	$\frac{3\pi}{4}$	$\frac{5\pi}{6}$	$\pi$	$\frac{3\pi}{2}$	$2\pi$

п.4. Свойства точки на числовой окружности

Построим числовую окружность. Обозначим O(0;0), A(1;0)

Каждому действительному числу t на числовой окружности соответствует точка Μ(t).
При t=0, M(0)=A.
При t>0 двигаемся по окружности против часовой стрелки, описывая дугу
⌒ AM=t. Точка M — искомая.
При t<0 двигаемся по окружности по часовой стрелке, описывая дугу
⌒ AM=t.

Точка M — искомая.

Например:

Отметим на числовой окружности точки, соответствующие $\frac{\pi}{6},\ \frac{\pi}{4},\ \frac{\pi}{2},\ \frac{2\pi}{3},\ \pi$, а также $-\frac{\pi}{6},\ -\frac{\pi}{4},\ -\frac{\pi}{2},\ -\frac{2\pi}{3},\ -\pi$

Для этого нужно отложить углы 30°, 45°, 90°, 120°, 180° и –30°, –45°, –90°, –120°, –180° с вершиной в начале координат и отметить соответствующие дуги на числовой окружности.

Каждой точке M(t) на числовой окружности соответствует бесконечное множество действительных чисел t с точностью до полного периода 2π:
$$ M(t) = M(t+2\pi k),\ \ k\in\mathbb{Z} $$

Например:

Отметим на числовой окружности точки, соответствующие $\frac{\pi}{6},\ \frac{13\pi}{6},\ \frac{25\pi}{6}$, и $-\frac{11\pi}{6}$.
Все четыре точки совпадают, т.к. \begin{gather*} M\left(\frac{\pi}{6}\right)=M\left(\frac{\pi}{6}+2\pi k\right)\\ \frac{\pi}{6}-2\pi=-\frac{11\pi}{6}\\ \frac{\pi}{6}+2\pi=\frac{13\pi}{6}\\ \frac{\pi}{6}+4\pi=\frac{25\pi}{6} \end{gather*}

п.

5. Интервалы и отрезки на числовой окружности

Каждому действительному числу соответствует точка на числовой окружности. Соответственно, числовые промежутки (см. §16 справочника для 8 класса) получают свои отображения в виде дуг.

Например:

Числовой промежуток	Соответствующая дуга числовой окружности
Отрезок
$$ -\frac{\pi}{6} \lt t \lt \frac{\pi}{3} $$ а также, с учетом периода $$ -\frac{\pi}{6}+2\pi k\lt t\lt\frac{\pi}{3}+2\pi k $$
Интервал
$$ -\frac{\pi}{6} \leq t \leq \frac{\pi}{3} $$ а также, с учетом периода $$ -\frac{\pi}{6}+2\pi k\leq t\leq\frac{\pi}{3}+2\pi k $$
Полуинтервал
$$ -\frac{\pi}{6} \leq t \lt\frac{\pi}{3} $$ а также, с учетом периода $$ -\frac{\pi}{6}+2\pi k\leq t\lt\frac{\pi}{3}+2\pi k $$

п.

{\circ}\\ \frac{17\pi}{6}=\frac{18-1}{6}\pi=3\pi-\frac{\pi}{6}\rightarrow \pi-\frac{\pi}{6}=\frac{5\pi}{6}\\ \frac{27\pi}{4}=\frac{28-1}{4}\pi=7\pi-\frac{\pi}{4}\rightarrow \pi-\frac{\pi}{4}=\frac{3\pi}{4} \end{gather*}

Пример 4. В какой четверти числовой окружности находится точка, соответствующая числу: 2; 4; 5; 7.

Сравниваем каждое число с границами четвертей: \begin{gather*} 0,\ \ \frac\pi2\approx\frac{3,14}{2}=1,57,\ \ \pi\approx 3,14\\ 3\pi\ \ 3\cdot 3,14\\ \frac{3\pi}{2}\approx \frac{3\cdot 3,14}{2}=4,71,\ \ 2\pi\approx 6,28 \end{gather*}

$\frac\pi2\lt 2\lt \pi \Rightarrow $ угол 2 радиана находится во 2-й четверти
$\pi\lt 4\lt \frac{3\pi}{2} \Rightarrow $ угол 4 радиана находится в 3-й четверти

$\frac{3\pi}{2}\lt 5\lt 2\pi \Rightarrow $ угол 5 радиана находится в 4-й четверти
$7\gt 2\pi$, отнимаем полный оборот: $0\lt 7-2\pi\lt \frac\pi2\Rightarrow$ угол 7 радиан находится в 1-й четверти.

Пример 5. Изобразите на числовой окружности множество точек $(k\in\mathbb{Z})$, запишите количество полученных базовых точек.

$$ \frac{\pi k}{2} $$	$$ -\frac{\pi}{4}+2\pi k $$
Четыре базовых точки, через каждые 90°	Две базовых точки, через каждые 180°
$$ \frac{\pi}{3}+\frac{2\pi k}{3} $$	$$ -\frac{\pi k}{5} $$
Три базовых точки, через каждые 120°	Пять базовых точек, через каждые 72°

Пример 6. Изобразите на числовой окружности дуги, соответствующие числовым промежуткам.

$$ \left[0;\ \frac{\pi}{3}\right] $$	$$ \left(-\frac{\pi}{4};\ \pi\right] $$

$$ \left[\frac\pi2;\ \frac{5\pi}{4}\right) $$	$$ (1;\ 3) $$
	\begin{gather} 1\ \text{рад}=\frac{180^{\circ}}{\pi}\approx 57,3^{\circ}\\ 3\ \text{рад}=\frac{180^{\circ}}{\pi}\cdot 3\approx 171,9^{\circ} \end{gather}

Числовая окружность на координатной плоскости.

Синус и косинус 9 класс онлайн-подготовка на Ростелеком Лицей

Определение радиана

Мы уже знаем, что аргумент можно откладывать на числовой окружности. Рассмотрим круг и его основные части, которые нам будут нужны в дальнейшем.

Определение радиана. Углы могут измеряться разными единицами – градусами и радианами.

Радианом называется такой центральный угол, длина дуги которого равна радиусу (рис.1).

;

, т.к. длина хорды АВ меньше длины дуги .

Связь радиана и градуса

Связь радиана и градуса.

Окружность разделили на 360 равных частей и угол, равный одной части, приняли за угол в

А сколько углов в 1рад можно получить в одной окружности?

Длина окружности , т.е. в окружности содержится штук радиусов R.

;

— связь градуса и радиана;

— иррациональное число.

Решение типовых задач

Типовые задачи.

1. Дано: . Перевести в рад.

a) Дано: Перевести в рад.

2. Дано: 1рад. Перевести в градусы.

Формулы площади сектора и длины дуги

Через радианную меру угла удобно выражать площадь сектора круга и длину дуги окружности.

Имеем круг радиуса R. Найти площадь сектора AOB.

Длина дуги .

Если , то

Если окружность имеет , то, отложив длину дуги , мы получим центральный угол, который равен в радианном измерении.

Наша цель – тригонометрические функции. Аргументы тригонометрических функций откладывают либо на единичной окружности, либо на координатной прямой. Если окружность единичная, откладывать можно и числа, и углы.

Числовая окружность в координатной плоскости

Переходим к числовой окружности в координатной плоскости.

На окружности начало отсчета – т. А (рис.4).

Зададим . Отложим дугу , получим угол и т. В.

– уравнение окружности с центром в т. О(0;0).

Если ,то уравнение единичной окружности с центром в т.О(0;0).

Мы уже знаем, что любая точка на окружности описывает множество чисел, первое из них – число либо угол Важно уметь находить координаты этих точек.

Любая точка на координатной плоскости характеризуется двумя координатами —.

Определение синуса и косинуса

Определение. Если т. В соответствует числу , а значит и углу , то ее абсциссу называют косинусом этого числа или этого угла, а ее ординату – синусом этого числа или этого угла.

Как вычислять эти значения?

Мы имеем уравнение единичной окружности

И ранее были вычислены соответствующие значения для углов .

Примеры

Пример:

Вычислить значения

Решение:

Необходимо найти

Изобразим т. М на единичной окружности (рис.5). Спроектируем ее на координатные оси и получим точки

координата т.координата т.

Т.е. нам необходимо найти

Рассмотрим прямоугольный (рис.6).

Но т.принадлежит отрицательной полуоси поэтому

Ответ:.

Синусы и косинусы реперных точек

Найдем синусы и косинусы основных реперных точек. Реперные точки – это точки пересечения единичной окружности с осями координат (рис.7).

Т. А соответствует углу 0 рад.

По определению

Значит

Т .В соответствует углу

Значит

Т.С соответствует углу

Значит

Т. D соответствует углу .

Значит

Заключение

Мы ввели числовую окружность и поместили ее в координатную плоскость, решили типовые задачи, определили, что такое синус и косинус угла, выяснили, что если в числовой окружностиR=1, то дуга , соответствующая центральному углу , равна самому углу в радианном измерении, .

Выяснили, что для любой точки

Вычислили для основных точек.

Изучение мы продолжим на следующих уроках.

Список литературы

Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Учеб. Для общеобразоват. Учреждений.- 4-е изд. – М.: Мнемозина, 2002.-192 с.: ил.
Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина и др. — 4-е изд. — М.: Мнемозина, 2002.-143 с.: ил.
Макарычев Ю. Н. Алгебра. 9 класс : учеб.для учащихся общеобразоват. учреждений / Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, И. Е. Феоктистов. — 7-е изд., испр. и доп. — М.: Мнемозина, 2008.
Алимов Ш.А., Колягин Ю.М., Сидоров Ю.В. Алгебра. 9 класс. 16-е изд. — М., 2011. — 287 с.
Мордкович А. Г. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. — 12-е изд., стер. — М.: 2010. — 224 с.: ил.
Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 2. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Л. А. Александрова, Т. Н. Мишустина и др.; Под ред. А. Г. Мордковича. — 12-е изд., испр. — М.: 2010.-223 с.: ил.

Домашнее задание

Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина и др. — 4-е изд. — М. : Мнемозина, 2002.-143 с.: ил.
№№ 631; 634; 554; 561; 574; 578.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

РЕШУ ЕГЭ (Источник).
Задачи (Источник).
Задачи (Источник).

Числовая окружность на координатной плоскости таблица. Тригонометрическая окружность. Исчерпывающее руководство (2019). Уравнение окружности на координатной плоскости

Числовая окружность — это единичная окружность, точки которой соответствуют определенным действительным числам.

Единичной окружностью называют окружность радиуса 1.

Общий вид числовой окружности.

1) Ее радиус принимается за единицу измерения.

2) Горизонтальный и вертикальный диаметры делят числовую окружность на четыре четверти. Их соответственно называют первой, второй, третьей и четвертой четвертью.

3) Горизонтальный диаметр обозначают AC, причем А — это крайняя правая точка.
Вертикальный диаметр обозначают BD, причем B — это крайняя верхняя точка.
Соответственно:

первая четверть — это дуга AB

вторая четверть — дуга BC

третья четверть — дуга CD

четвертая четверть — дуга DA

4) Начальная точка числовой окружности — точка А.

Отсчет по числовой окружности может вестись как по часовой стрелке, так и против часовой стрелки.

Отсчет от точки А против часовой стрелки называется положительным направлением .

Отсчет от точки А по часовой стрелке называется отрицательным направлением .

Числовая окружность на координатной плоскости.

Центр радиуса числовой окружности соответствует началу координат (числу 0).

Горизонтальный диаметр соответствует оси x , вертикальный — оси y .

Начальная точка А числовой окружнос ти находится на оси x и имеет координаты (1; 0).

Имена и местонахождение основных точек числовой окружности:

Как запомнить имена числовой окружности.

Есть несколько простых закономерностей, которые помогут вам легко запомнить основные имена числовой окружности.

Перед тем как начать, напомним: отсчет ведется в положительном направлении, то есть от точки А (2π) против часовой стрелки.

1) Начнем с крайних точек на осях координат.

Начальная точка — это 2π (крайняя правая точка на оси х , равная 1).

Как вы знаете, 2π — это длина окружности. Значит, половина окружности — это 1π или π. Ось х делит окружность как раз пополам. Соответственно, крайняя левая точка на оси х , равная -1, называется π.

Крайняя верхняя точка на оси у , равная 1, делит верхнюю полуокружность пополам. Значит, если полуокружность — это π, то половина полуокружности — это π/2.

Одновременно π/2 — это и четверть окружности. Отсчитаем три таких четверти от первой до третьей — и мы придем в крайнюю нижнюю точку на оси у , равной -1. Но если она включает три четверти — значит имя ей 3π/2.

2) Теперь перейдем к остальным точкам. Обратите внимание: все противоположные точки имеют одинаковый знаменатель — причем это противоположные точки и относительно оси у , и относительно центра осей, и относительно оси х . Это нам и поможет знать их значения точек без зубрежки.

Надо запомнить лишь значение точек первой четверти: π/6, π/4 и π/3. И тогда мы «увидим» некоторые закономерности:

— Относительно оси у в точках второй четверти, противоположных точкам первой четверти, числа в числителях на 1 меньше величины знаменателей. К примеру, возьмем точку π/6. Противоположная ей точка относительно оси у тоже в знаменателе имеет 6, а в числителе 5 (на 1 меньше). То есть имя этой точки: 5π/6. Точка, противоположная π/4 тоже имеет в знаменателе 4, а в числителе 3 (на 1 меньше, чем 4) — то есть это точка 3π/4.
Точка, противоположная π/3, тоже имеет в знаменателе 3, а в числителе на 1 меньше: 2π/3.

— Относительно центра осей координат все наоборот: числа в числителях противоположных точек (в третьей четверти) на 1 больше значения знаменателей. Возьмем опять точку π/6. Противоположная ей относительно центра точка тоже имеет в знаменателе 6, а в числителе число на 1 больше — то есть это 7π/6.
Точка, противоположная точке π/4, тоже имеет в знаменателе 4, а в числителе число на 1 больше: 5π/4.
Точка, противоположная точке π/3, тоже имеет в знаменателе 3, а в числителе число на 1 больше: 4π/3.

— Относительно оси х (четвертая четверть) дело посложнее. Здесь надо к величине знаменателя прибавить число, которое на 1 меньше — эта сумма и будет равна числовой части числителя противоположной точки. Начнем опять с π/6. Прибавим к величине знаменателя, равной 6, число, которое на 1 меньше этого числа — то есть 5. Получаем: 6 + 5 = 11. Значит, противоположная ей относительно оси х точка будет иметь в знаменателе 6, а в числителе 11 — то есть 11π/6.

Точка π/4. Прибавляем к величине знаменателя число на 1 меньше: 4 + 3 = 7. Значит, противоположная ей относительно оси х точка имеет в знаменателе 4, а в числителе 7 — то есть 7π/4.
Точка π/3. Знаменатель равен 3. Прибавляем к 3 на единицу меньшее число — то есть 2. Получаем 5. Значит, противоположная ей точка имеет в числителе 5 — и это точка 5π/3.

3) Еще одна закономерность для точек середин четвертей. Понятно, что их знаменатель равен 4. Обратим внимание на числители. Числитель середины первой четверти — это 1π (но 1 не принято писать). Числитель середины второй четверти — это 3π. Числитель середины третьей четверти — это 5π. Числитель середины четвертой четверти — это 7π. Получается, что в числителях середин четвертей — четыре первых нечетных числа в порядке их возрастания:
(1)π, 3π, 5π, 7π.
Это тоже очень просто. Поскольку середины всех четвертей имеют в знаменателе 4, то мы уже знаем их полные имена: π/4, 3π/4, 5π/4, 7π/4.

Особенности числовой окружности. Сравнение с числовой прямой.

Как вы знаете, на числовой прямой каждая точка соответствует единственному числу. К примеру, если точка А на прямой равна 3, то она уже не может равняться никакому другому числу.

На числовой окружности все иначе, поскольку это окружность. К примеру, чтобы из точки А окружности прийти к точке M, можно сделать это, как на прямой (только пройдя дугу), а можно и обогнуть целый круг, а потом уже прийти к точке M. Вывод:

Пусть точка M равна какому-то числу t. Как мы знаем, длина окружности равна 2π. Значит, точку окружности t мы можем записать двояко: t или t + 2π. Это равнозначные величины.

То есть t = t + 2π. Разница лишь в том, что в первом случае вы пришли к точке M сразу, не делая круга, а во втором случае вы совершили круг, но в итоге оказались в той же точке M.

Таких кругов можно сделать и два, и три, и двести. Если обозначить количество кругов буквой n , то получим новое выражение:
t = t + 2πn .

Отсюда формула:

На этом уроке мы повторим важное свойство числовой окружности и поместим единичную числовую окружность в координатную плоскость по определенным правилам. Вспомним уравнение единичной числовой окружности и с его помощью решим несколько задач на нахождение координат точки на единичной числовой окружности. В конце урока составим таблицу координат для точек кратных π/6 и π/4.

Тема урока, повторение

Ранее мы изучили числовую окружность и выяснили её свойства (рис. 1).

Каждому действительному числу соответствует единственная точка на окружности.

Каждой точке на числовой окружности соответствует не только число но и все числа вида

Числовая окружность в координатной плоскости

Поместим окружность в координатную плоскость . По прежнему, каждому числу соответствует точка на окружности. Теперь этой точке на окружности соответствуют две координаты, как и любой точке координатной плоскости.

Наша задача — по данному числу найти не только точку, но и её координаты, и наоборот, по координатам найти одно или несколько соответствующих чисел.

Пример 1.Дана точка — середина дуги Точке соответствуют числа вида

Найти координаты точки (рис. 3).

Координаты можно найти двумя разными способами, рассмотрим их по очереди.

1. Точка лежит на окружности, R=1, значит, она удовлетворяет уравнению окружности

По условию. Мы помним, что величина центрального угла численно равна длине дуги в радианах, значит, угол Это значит также, что прямая делит первую четверть ровно пополам, значит, это прямая

Точка лежит на прямой поэтому удовлетворяет уравнению этой прямой.

Составим систему из двух уравнений.

Решив систему, получим искомые координаты.

2. Рассмотрим прямоугольный (рис. 4).

Итак, мы задали число нашли точку и её координаты. Определим также координаты симметричных ей точек (рис. 5).

Нахождение прямоугольных координат точек, криволинейные координаты которых кратны

Следующая задача — таким же образом определить координаты точек, кратных

Окружность радиуса R=1 помещена в координатную плоскость, Найти точку на окружности и её координаты (рис. 6).

Рассмотрим — прямоугольный.

Т. е. угол

Найдем координаты симметричных точек (рис. 7).

Мы задали число нашли точку на окружности, эта точка единственная, и нашли её координаты.

Решение задач

Пример 1. Дана точка Найти её прямоугольные координаты.

Точка середина третьей четверти (рис. 8).

Вывод, заключение

Мы поместили числовую окружность в координатную плоскость, научились находить по числу точку на окружности и её координаты. Эта техника лежит в основе определения синуса и косинуса, которые будут рассмотрены далее.

Список литературы

Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень)/под ред.

А. Г. Мордковича. — М.: Мнемозина, 2009. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень)/под ред.

А. Г. Мордковича. — М.: Мнемозина, 2007. Виленкин Н. Я., Ивашев-Мусатов О. С., Шварцбурд С. И. Алгебра и математический анализ для 10 класса (учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики). — М.: Просвещение, 1996. Галицкий М. Л., Мошкович М. М., Шварцбурд С. И. Углубленное изучение алгебры и математического анализа. — М.: Просвещение, 1997. Сборник задач по математике для поступающих во ВТУЗы (под ред. М. И.Сканави). — М.:Высшая школа, 1992. Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С. Алгебраический тренажер. — К.: А. С.К., 1997. Саакян С. М., Гольдман А. М., Денисов Д. В. Задачи по алгебре и началам анализа (пособие для учащихся 10-11 классов общеобразов. учреждений). — М.: Просвещение, 2003. Карп А. П. Сборник задач по алгебре и началам анализа: учеб. пособие для 10-11 кл. с углубл. изуч. математики. — М.: Просвещение, 2006.

Mathematics. ru . Problems. ru . РЕШУ ЕГЭ.

Домашнее задание

Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень)/под ред. А. Г. Мордковича. — М.: Мнемозина, 2007.

Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com

Подписи к слайдам:

Числовая окружность в координатной плоскости

Повторим: Единичная окружность – числовая окружность, радиус которой равен 1. R=1 C=2 π + — у х

Если точка М числовой окружности соответст-вует числу t, то она соответствует и числу вида t+2 π k , где k – любое целое число (k ϵ Z) . M(t) = M(t+2 π k), где k ϵ Z

Основные макеты Первый макет 0 π у х Второй макет у х

х у 1 А(1, 0) B (0 , 1) C (- 1, 0) D (0 , -1) 0 x>0 y>0 x 0 x 0 y

Найдем координаты точки М, соответствующей точке. 1) 2) х у М P 45° O A

Координаты основных точек первого макета 0 2 x 1 0 -1 0 1 y 0 1 0 -1 0 0 x 1 0 -1 0 1 y 0 1 0 -1 0 D у х

М P х у O A Найдем координаты точки М, соответствующей точке. 1) 2) 30°

М P Найдем координаты точки М, соответствующей точке. 1) 2) 30° х у O A В

Используя свойство симметрии, найдем координаты точек, кратных у х

Координаты основных точек второго макета x y x y у х

Пример Найти координаты точки числовой окружности. Решение: P у х

Пример Найти на числовой окружности точки с ординатой Решение: у х x y x y

Упражнения: Найти координаты точек числовой окружности: а) , б) . Найти на числовой окружности точки с абсциссой.

Координаты основных точек 0 2 x 1 0 -1 0 1 y 0 1 0 -1 0 0 x 1 0 -1 0 1 y 0 1 0 -1 0 Координаты основных точек первого макета x y x y Координаты основных точек второго макета

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Дидактический материал по алгебре и началам анализа в 10 классе (профильный уровень) «Числовая окружность на координатной плоскости»

Вариант 1. 1.Найти на числовой окружности точку:А) -2∏/3Б) 72.Како й четверти числовой окружности принадлежит точка 16.3.Найти ко…

Аналитическая геометрия дает единообразные приемы решения геометрических задач. Для этого все заданные и искомые точки и линии относят к одной системе координат.

В системе координат можно каждую точку охарактеризовать ее координатами, а каждую линию – уравнением с двумя неизвестными, графиком которого эта линия является. Таким образом геометрическая задача сводится к алгебраической, где хорошо отработаны все приемы вычислений.

Окружность есть геометрическое место точек с одним определенным свойством (каждая точка окружности равноудалена от одной точки, называется центром). Уравнение окружности должно отражать это свойство, удовлетворять этому условию.

Геометрическая интерпретация уравнения окружности – это линия окружности.

Если поместить окружность в систему координат, то все точки окружности удовлетворяют одному условию – расстояние от них до центра окружности должно быть одинаковым и равным окружности.

Окружность с центром в точке А и радиусом R поместим в координатную плоскость.

Если координаты центра (а;b) , а координаты любой точки окружности (х; у) , то уравнение окружности имеет вид:

Если квадрат радиуса окружности равен сумме квадратов разностей соответствующих координат любой точки окружности и ее центра, то это уравнение является уравнением окружности в плоской системе координат.

Если центр окружности совпадает с точкой начала координат, то квадрат радиуса окружности равен сумме квадратов координат любой точки окружности. В этом случае уравнение окружности принимает вид:

Следовательно, любая геометрическая фигура как геометрическое место точек определяется уравнением, связывающим координаты ее точек. И наоборот, уравнение, связывающее координаты х и у , определяют линию как геометрическое место точек плоскости, координаты которых удовлетворяют данному уравнению.

Примеры решения задач про уравнение окружности

Задача. Составить уравнение заданной окружности

Составьте уравнение окружности с центром в точке O (2;-3) и радиусом 4.

Решение .
Обратимся к формуле уравнения окружности:
R 2 = (x-a ) 2 + (y-b ) 2

Подставим значения в формулу.
Радиус окружности R = 4
Координаты центра окружности (в соответствии с условием)
a = 2
b = -3

Получаем:
(x — 2 ) 2 + (y — (-3 )) 2 = 4 2
или
(x — 2 ) 2 + (y + 3 ) 2 = 16 .

Задача. Принадлежит ли точка уравнению окружности

Проверить, принадлежит ли точка A(2;3) уравнению окружности (x — 2) 2 + (y + 3) 2 = 16 .

Решение .
Если точка принадлежит окружности, то ее координаты удовлетворяют уравнению окружности.
Чтобы проверить, принадлежит ли окружности точка с заданными координатами, подставим координаты точки в уравнение заданной окружности.

В уравнение (x — 2) 2 + (y + 3) 2 = 16
подставим, согласно условию, координаты точки А(2;3), то есть
x = 2
y = 3

Проверим истинность полученного равенства
(x — 2) 2 + (y + 3) 2 = 16
(2 — 2) 2 + (3 + 3) 2 = 16
0 + 36 = 16 равенство неверно

Таким образом, заданная точка не принадлежит заданному уравнению окружности.

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

В случае если необходимо — в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ — раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности — включая административные, технические и физические — для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.

Подготовка школьников к ЕГЭ и ОГЭ (Справочник по математике — Алгебра

Справочник по математике

Алгебра

Координатная плоскость

Числовая ось

Прямоугольная декартова система координат на плоскости

Формула для расстояния между двумя точками координатной плоскости

Уравнение окружности на координатной плоскости

Числовая ось

Определение 1. Числовой осью (числовой прямой, координатной прямой) Ox называют прямую линию, на которой точка O выбрана началом отсчёта (началом координат) (рис. 1), направление

O → x

указано в качестве положительного направления и отмечен отрезок, длина которого принята за единицу длины.

Рис.1

Определение 2. Отрезок, длина которого принята за единицу длины, называют масштабом.

Каждая точка числовой оси имеет координату, являющуюся вещественным числом. Координата точки O равна нулю. Координата произвольной точки A , лежащей на луче Ox , равна длине отрезка OA . Координата произвольной точки A числовой оси, не лежащей на луче Ox , отрицательна, а по абсолютной величине равна длине отрезка OA .

Прямоугольная декартова система координат на плоскости

Определение 3. Прямоугольной декартовой системой координат Oxy на плоскости называют две взаимно перпендикулярных числовых оси Ox и Oy с одинаковыми масштабами и общим началом отсчёта в точке O , причём таких, что поворот от луча Ox на угол 90° до луча Oy осуществляется в направлении против хода часовой стрелки (рис. 2).

Рис.2

Замечание. Прямоугольную декартову систему координат Oxy , изображённую на рисунке 2, называют правой системой координат, в отличие от левых систем координат, в которых поворот луча Ox на угол 90° до луча Oy осуществляется в направлении по ходу часовой стрелки. В данном справочнике мы рассматриваем только правые системы координат, не оговаривая этого особо.

Если на плоскости ввести какую-нибудь систему прямоугольных декартовых координат Oxy , то каждая точка плоскости приобретёт две координаты – абсциссу и ординату, которые вычисляются следующим образом. Пусть A – произвольная точка плоскости. Опустим из точки A перпендикуляры AA₁ и AA₂ на прямые Ox и Oy соответственно (рис.3).

Рис.3

Определение 4. Абсциссой точки A называют координату точки A₁ на числовой оси Ox , ординатой точки A называют координату точки A₂ на числовой оси Oy .

Обозначение. Координаты (абсциссу и ординату) точки A в прямоугольной декартовой системе координат Oxy (рис.4) принято обозначать A (x ; y) или A = (x ; y).

Рис.4

Замечание. Точка O , называемая началом координат, имеет координаты O (0 ; 0) .

Определение 5 . В прямоугольной декартовой системе координат Oxy числовую ось Ox называют осью абсцисс, а числовую ось Oy называют осью ординат (рис. 5).

Определение 6. Каждая прямоугольная декартова система координат делит плоскость на 4 четверти (квадранта), нумерация которых показана на рисунке 5.

Рис.5

Определение 7. Плоскость, на которой задана прямоугольная декартова система координат, называют координатной плоскостью.

Замечание. Ось абсцисс задаётся на координатной плоскости уравнением y = 0 , ось ординат задаётся на координатной плоскости уравнением x = 0.

Формула для расстояния между двумя точками координатной плоскости

Утверждение 1. Расстояние между двумя точками координатной плоскости

A₁ (x₁ ; y₁) и A₂ (x₂ ; y₂)

вычисляется по формуле

Доказательство. Рассмотрим рисунок 6.

Рис.6

Поскольку в прямоугольном треугольнике A₁A₂B длина катета A₁B равна | x₂ – x₁| а длина катета A₂B равна | y₂ – y₁| , то по теореме Пифагора

| A₁A₂|² =
= ( x₂ – x₁)² + ( y₂ – y₁)² .

(1)

Следовательно,

что и требовалось доказать.

Уравнение окружности на координатной плоскости

Рассмотрим на координатной плоскости Oxy (рис. 7) окружность радиуса R с центром в точке A₀ (x₀ ; y₀) .

Рис.7

Поскольку расстояние от любой точки окружности до центра равно радиусу, то, в соответствии с формулой (1), получаем:

( x – x₀)² + ( y – y₀)² = R².

Уравнение (2) и есть искомое уравнение окружности радиуса R с центром в точке A₀ (x₀ ; y₀) .

Следствие. Уравнение окружности радиуса R с центром в начале координат имеет вид

x² + y² = R².

На сайте можно также ознакомиться с нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.

Четверти в координатной плоскости круг. Числовая окружность в координатной плоскости презентация к уроку по алгебре (10 класс) на тему. Задача. Составить уравнение заданной окружности

Урок и презентация на тему: «Числовая окружность на координатной плоскости»

Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания! Все материалы проверены антивирусной программой.

Пособия и тренажеры в интернет-магазине «Интеграл» для 10 класса от 1С
Алгебраические задачи с параметрами, 9–11 классы
Решаем задачи по геометрии. Интерактивные задания на построение для 7-10 классов

Что будем изучать:
1. Определение.
2. Важные координаты числовой окружности.
3. Как искать координату числовой окружности?
4. Таблица основных координат числовой окружности. 2 = 1, \\ x = y. \end {cases}$
Решив данную систему, получаем: $y = x =\frac{\sqrt{2}}{2}$.
Значит, координаты точки M, соответствующей числу $\frac{π}{4}$, будут $M(\frac{π}{4})=M(\frac{\sqrt{2}}{2};\frac{\sqrt{2}}{2})$.
Аналогичным образом рассчитываются координаты точек, представленных на предыдущем рисунке.

Координаты точек числовой окружности

Рассмотрим примеры

Пример 1.
Найти координату точки числовой окружности: $Р(45\frac{π}{4})$.

Решение:
$45\frac{π}{4} = (10 + \frac{5}{4}) * π = 10π +5\frac{π}{4} = 5\frac{π}{4} + 2π*5$.
Значит, числу $45\frac{π}{4}$ соответствует та же точка числовой окружности, что и числу $\frac{5π}{4}$. Посмотрев значение точки $\frac{5π}{4}$ в таблице, получаем: $P(\frac{45π}{4})=P(-\frac{\sqrt{2}}{2};-\frac{\sqrt{2}}{2})$.

Пример 2.
Найти координату точки числовой окружности: $Р(-\frac{37π}{3})$.

Решение:

Т.к. числам $t$ и $t+2π*k$, где k-целое число, соответствует одна и та же точка числовой окружности то:
$-\frac{37π}{3} = -(12 + \frac{1}{3})*π = -12π –\frac{π}{3} = -\frac{π}{3} + 2π*(-6)$.
Значит, числу $-\frac{37π}{3}$ соответствует та же точка числовой окружности, что и числу $–\frac{π}{3}$, а числу –$\frac{π}{3}$ соответствует та же точка, что и $\frac{5π}{3}$. Посмотрев значение точки $\frac{5π}{3}$ в таблице, получаем:
$P(-\frac{37π}{3})=P(\frac{{1}}{2};-\frac{\sqrt{3}}{2})$.

Пример 3.
Найти на числовой окружности точки с ординатой $у =\frac{1}{2}$ и записать, каким числам $t$ они соответствуют?

Решение:
Прямая $у =\frac{1}{2}$ пересекает числовую окружность в точках М и Р. Точка М соответствует числу $\frac{π}{6}$ (из данных таблицы). Значит, и любому числу вида: $\frac{π}{6}+2π*k$. Точка Р соответствует числу $\frac{5π}{6}$, а значит, и любому числу вида $\frac{5π}{6} +2 π*k$.
Получили, как часто говорят в таких случаях, две серии значений:
$\frac{π}{6} +2 π*k$ и $\frac{5π}{6} +2π*k$.
Ответ: $t=\frac{π}{6} +2 π*k$ и $t=\frac{5π}{6} +2π*k$.

Пример 4.
Найти на числовой окружности точки с абсциссой $x≥-\frac{\sqrt{2}}{2}$ и записать, каким числам $t$ они соответствуют.

Решение:

Прямая $x =-\frac{\sqrt{2}}{2}$ пересекает числовую окружность в точках М и Р. Неравенству $x≥-\frac{\sqrt{2}}{2}$ соответствуют точки дуги РМ. Точка М соответствует числу $3\frac{π}{4}$ (из данных таблицы). Значит, и любому числу вида $-\frac{3π}{4} +2π*k$. Точка Р соответствует числу $-\frac{3π}{4}$, а значит, и любому числу вида $-\frac{3π}{4} +2π*k$.

Тогда получим $-\frac{3π}{4} +2 π*k ≤t≤\frac{3π}{4} +2πk$.

Ответ: $-\frac{3π}{4} +2 π*k ≤t≤\frac{3π}{4} +2πk$.

Задачи для самостоятельного решения

1) Найти координату точки числовой окружности: $Р(\frac{61π}{6})$.
2) Найти координату точки числовой окружности: $Р(-\frac{52π}{3})$.
3) Найти на числовой окружности точки с ординатой $у = -\frac{1}{2}$ и записать, каким числам $t$ они соответствуют.
4) Найти на числовой окружности точки с ординатой $у ≥ -\frac{1}{2}$ и записать, каким числам $t$ они соответствуют.
5) Найти на числовой окружности точки с абсциссой $x≥-\frac{\sqrt{3}}{2}$ и записать, каким числам $t$ они соответствуют.

Сбор и использование персональной информации

Какую персональную информацию мы собираем:

Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

В случае если необходимо — в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ — раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Тема урока, повторение

Ранее мы изучили числовую окружность и выяснили её свойства (рис. 1).

Каждому действительному числу соответствует единственная точка на окружности.

Каждой точке на числовой окружности соответствует не только число но и все числа вида

Числовая окружность в координатной плоскости

Пример 1.Дана точка — середина дуги Точке соответствуют числа вида

Найти координаты точки (рис. 3).

Координаты можно найти двумя разными способами, рассмотрим их по очереди.

1. Точка лежит на окружности, R=1, значит, она удовлетворяет уравнению окружности

Точка лежит на прямой поэтому удовлетворяет уравнению этой прямой.

Составим систему из двух уравнений.

Решив систему, получим искомые координаты.

2. Рассмотрим прямоугольный (рис. 4).

Итак, мы задали число нашли точку и её координаты. Определим также координаты симметричных ей точек (рис. 5).

Нахождение прямоугольных координат точек, криволинейные координаты которых кратны

Следующая задача — таким же образом определить координаты точек, кратных

Окружность радиуса R=1 помещена в координатную плоскость, Найти точку на окружности и её координаты (рис. 6).

Рассмотрим — прямоугольный.

Т. е. угол

Найдем координаты симметричных точек (рис. 7).

Мы задали число нашли точку на окружности, эта точка единственная, и нашли её координаты.

Решение задач

Пример 1. Дана точка Найти её прямоугольные координаты.

Точка середина третьей четверти (рис. 8).

Вывод, заключение

Список литературы

Mathematics. ru . Problems. ru . РЕШУ ЕГЭ.

Домашнее задание

Если расположить единичную числовую окружность на координатной плоскости, то для ее точек можно найти координаты. Числовую окружность располагают так, чтобы ее центр совпал с точкой начала координат плоскости, т. е. точкой O (0; 0).

Обычно на единичной числовой окружности отмечают точки соответствующие от начала отсчета на окружности

четвертям — 0 или 2π, π/2, π, (2π)/3,
серединам четвертей — π/4, (3π)/4, (5π)/4, (7π)/4,
третям четвертей — π/6, π/3, (2π)/3, (5π)/6, (7π)/6, (4π)/3, (5π)/3, (11π)/6.

На координатной плоскости при указанном выше расположении на ней единичной окружности можно найти координаты, соответствующие этим точкам окружности.

Координаты концов четвертей найти очень легко. У точки 0 окружности координата x равна 1, а y равен 0. Можно обозначить так A (0) = A (1; 0).

Конец первой четверти будет располагаться на положительной полуоси ординат. Следовательно, B (π/2) = B (0; 1).

Конец второй четверти находится на отрицательной полуоси абсцисс: C (π) = C (-1; 0).

Конец третьей четверти: D ((2π)/3) = D (0; -1).

Но как найти координаты середин четвертей? Для этого строят прямоугольный треугольник. Его гипотенузой является отрезок от центра окружности (или начала координат) к точке середины четверти окружности. Это радиус окружности. Поскольку окружность единичная, то гипотенуза равна 1. Далее проводят перпендикуляр из точки окружности к любой оси. Пусть будет к оси x. Получается прямоугольный треугольник, длины катетов которого — это и есть координаты x и y точки окружности.

Четверть окружности составляет 90º. А половина четверти составляет 45º. Поскольку гипотенуза проведена к точке середины четверти, то угол между гипотенузой и катетом, выходящим из начала координат, равен 45º. Но сумма углов любого треугольника равна 180º. Следовательно, на угол между гипотенузой и другим катетом остается также 45º. Получается равнобедренный прямоугольный треугольник.

Из теоремы Пифагора получаем уравнение x 2 + y 2 = 1 2 . Поскольку x = y, а 1 2 = 1, то уравнение упрощается до x 2 + x 2 = 1. Решив его, получаем x = √½ = 1/√2 = √2/2.

Таким образом, координаты точки M 1 (π/4) = M 1 (√2/2; √2/2).

В координатах точек середин других четвертей будут меняться только знаки, а модули значений оставаться такими же, так как прямоугольный треугольник будет только переворачиваться. Получим:
M 2 ((3π)/4) = M 2 (-√2/2; √2/2)
M 3 ((5π)/4) = M 3 (-√2/2; -√2/2)
M 4 ((7π)/4) = M 4 (√2/2; -√2/2)

При определении координат третьих частей четвертей окружности также строят прямоугольный треугольник. Если брать точку π/6 и проводить перпендикуляр к оси x, то угол между гипотенузой и катетом, лежащим на оси x, составит 30º. Известно, что катет, лежащий против угла в 30º, равен половине гипотенузы. Значит, мы нашли координату y, она равна ½.

Зная длины гипотенузы и одного из катетов, по теореме Пифагора находим другой катет:
x 2 + (½) 2 = 1 2
x 2 = 1 — ¼ = ¾
x = √3/2

Таким образом T 1 (π/6) = T 1 (√3/2; ½).

Для точки второй трети первой четверти (π/3) перпендикуляр на ось лучше провести к оси y. Тогда угол при начале координат также будет 30º. Здесь уже координата x будет равна ½, а y соответственно √3/2: T 2 (π/3) = T 2 (½; √3/2).

Для других точек третей четвертей будут меняться знаки и порядок значений координат. Все точки, которые ближе расположены к оси x будут иметь по модулю значение координаты x, равное √3/2. Те точки, которые ближе к оси y, будут иметь по модулю значение y, равное √3/2.
T 3 ((2π)/3) = T 3 (-½; √3/2)
T 4 ((5π)/6) = T 4 (-√3/2; ½)
T 5 ((7π)/6) = T 5 (-√3/2; -½)
T 6 ((4π)/3) = T 6 (-½; -√3/2)
T 7 ((5π)/3) = T 7 (½; -√3/2)
T 8 ((11π)/6) = T 8 (√3/2; -½)

Геометрическая интерпретация уравнения окружности – это линия окружности.

Окружность с центром в точке А и радиусом R поместим в координатную плоскость.

Примеры решения задач про уравнение окружности

Задача. Составить уравнение заданной окружности

Составьте уравнение окружности с центром в точке O (2;-3) и радиусом 4.

Решение .
Обратимся к формуле уравнения окружности:
R 2 = (x-a ) 2 + (y-b ) 2

Получаем:
(x — 2 ) 2 + (y — (-3 )) 2 = 4 2
или
(x — 2 ) 2 + (y + 3 ) 2 = 16 .

Задача. Принадлежит ли точка уравнению окружности

Проверить, принадлежит ли точка A(2;3) уравнению окружности (x — 2) 2 + (y + 3) 2 = 16 .

В уравнение (x — 2) 2 + (y + 3) 2 = 16
подставим, согласно условию, координаты точки А(2;3), то есть
x = 2
y = 3

Проверим истинность полученного равенства
(x — 2) 2 + (y + 3) 2 = 16
(2 — 2) 2 + (3 + 3) 2 = 16
0 + 36 = 16 равенство неверно

Таким образом, заданная точка не принадлежит заданному уравнению окружности.

Числовая окружность на координатной плоскости 10 класс презентация, доклад, проект

Слайд 1Текст слайда:

Муниципальное общеобразовательное учреждение средняя общеобразовательная школа № 1
ХМАО-Югра

Разработка урока
в 10 «б» классе
по алгебре и началам анализа

автор: Исаева
Надежда Михайловна
учитель математики

г. Советский
2014 г.

Слайд 2Текст слайда:

cos t

sin t

sec t

Тема: ТРИГОНОМЕТРИЯ

Тригонометрические функции

Тригонометрические уравнения

Тригонометрические преобразования

3-й урок:
Числовая окружность на
координатной плоскости

Слайд 3Текст слайда:

Преподавание предмета ведется по блочно- модульной технологии.
Данный урок один из уроков изучения нового материала. Поэтому основное время урока отводится именно на изучение нового материала, причем большую часть этой работы ученики выполняют самостоятельно.
Виды деятельности учащихся на уроке: фронтальная, самостоятельная и индивидуальная работы.

Слайд 4Текст слайда:

Так как на уроке необходимо проделать большую по объему работу и обязательно проконтролировать результаты ученической деятельности, используется интерактивная доска на этапах актуализации знаний и изучения нового материала. Для более наглядного представления наложения числовой окружности на координатную плоскость и для рефлексии содержания учебного материала в конце учебного занятия используются и презентации Power Point.

Слайд 5Текст слайда:

ЦЕЛИ:

познавательная
Учить самостоятельно добывать знания

воспитывающая
Воспитывать собранность, ответственность, усердие

развивающая
Учить анализировать, сравнивать, строить аналогии

Слайд 6Текст слайда:

План урока:

1) Организационный момент, тема, цель урока 2 мин.

2) Актуализация знаний 4 мин.

3) Изучение нового материала 30 мин.

4) Рефлексия 3 мин.

5) Итог урока 1 мин.

Слайд 7Текст слайда:

Организационный момент

Слайд 8Текст слайда:

Числовая окружность
на
координатной плоскости

Тема:

Слайд 9Текст слайда:

рассмотреть числовую окружность на координатной плоскости; вместе найти координаты двух точек; далее самостоятельно составить таблицы значений координат других основных точек окружности;
проверить умение находить координаты точек числовой окружности.

Цель:

Слайд 10Текст слайда:

Актуализация знаний

Слайд 11Текст слайда:

В курсе геометрии 9 класса изучали следующий
материал:

Слайд 12Текст слайда:

На единичной полуокружности (R = 1) рассмотрели точку М с координатами х и у

Выдержки из учебника геометрии

Научившись находить координаты точки единичной окружности,

с легкостью перейдём к их другим названиям: синусам и косинусам, т.е.

к основной теме- ТРИГОНОМЕТРИЯ

Слайд 13Текст слайда:

Первое задание дано на интерактивной доске, где учащимся необходимо расставить точки и соответствующие им числа по местам на числовой окружности, перетащив их пальцем по доске.

Слайд 14Текст слайда:

Задание 1

Слайд 15Текст слайда:

Получили результат:

Слайд 16Текст слайда:

Второе задание дано на интерактивной доске. Ответы закрыты «шторой», открываются по мере решения.

Слайд 17Текст слайда:

Задание 2

Слайд 18

Слайд 19

Слайд 20Текст слайда:

Итог выполнения задания:

Слайд 21Текст слайда:

Изучение нового материала

Слайд 22Текст слайда:

Возьмём систему координат и на неё наложим числовую окружность так, чтобы их центры совпали, а горизонтальный радиус окружности совпал с положительным направлением оси ОХ (презентация Power Point)

Учитель

Слайд 23Текст слайда:

-1

Слайд 24Текст слайда:

В результате имеем точки, которые принадлежат одновременно числовой окружности и координатной плоскости. Рассмотрим одну из таких точек, например, точку М (презентация Power Point)

Учитель

Слайд 25Текст слайда:

-1

Слайд 26Текст слайда:

М(t)

Изобразим координаты этой точки

Слайд 27Текст слайда:

Найдем координаты интересующих нас точек единичной окружности, которые рассмотрели ранее со знаменателями 4, 3 , 6 и числителем π.

Учитель

Слайд 28Текст слайда:

Найти координаты точки единичной окружности, соответствующей числу, соответственно и углу

Задание 3

(презентация Power Point)

Слайд 29Текст слайда:

Изобразим радиус и координаты точки

тогда

По теореме Пифагора имеем х2 + х2 = 12

Но углы треугольника по π/4 = 45°, значит треугольник – равнобедренный и х = у

Слайд 30Текст слайда:

Найти координаты точки единичной окружности, соответствующей числам (углам)

Задание 4

(презентация Power Point)

Слайд 31Текст слайда:

30°

Значит у = 1/2

По теореме Пифагора

Треугольники равны по гипотенузе
и острому углу, значит их катеты равны

Слайд 32Текст слайда:

На предыдущем уроке учащиеся получили листы с заготовками числовых окружностей и различных таблиц.

Слайд 33

Слайд 34Текст слайда:

Заполнить первую таблицу .

Задание 5

Слайд 35Текст слайда:

(интерактивная доска)

Слайд 36Текст слайда:

Сначала в таблицу внести точки окружности, кратные 2 и 4

Учитель

Слайд 37Текст слайда:

Проверка результата:

(интерактивная доска)

Слайд 38Текст слайда:

Заполнить самостоятельно в таблице ординаты и абсциссы данных точек с учетом знаков координат в зависимости от того в какой четверти расположена точка, используя выше полученные длины отрезков для координат точек.

Задание 6

Слайд 39Текст слайда:

Один из учеников называет полученные результаты, остальные сверяют со своими ответами, затем для успешной корректировки результатов ( так как эти таблицы будут использоваться далее в работе при выработке навыков и углублении знаний по теме) показывается правильно заполненная таблица на интерактивной доске.

Слайд 40Текст слайда:

Проверка результата:

(интерактивная доска)

Слайд 41Текст слайда:

Заполнить вторую таблицу .

Задание 7

Слайд 42Текст слайда:

(интерактивная доска)

Слайд 43Текст слайда:

Сначала в таблицу внести точки окружности, кратные 3 и 6

Учитель

Слайд 44Текст слайда:

Проверка результата:

(интерактивная доска)

Слайд 45Текст слайда:

Заполнить самостоятельно в таблице ординаты и абсциссы данных точек

Задание 8

Слайд 46Текст слайда:

Проверка результата:

(интерактивная доска)

Слайд 47Текст слайда:

Рефлексия содержания учебного материала

(презентация Power Point)

Слайд 48Текст слайда:

Проведем небольшой математический диктант с последующим самоконтролем.

Учитель

Слайд 49Текст слайда:

1) Найдите координаты точек единичной окружности:

2 вариант

1 вариант

2) Найдите абсциссы точек единичной окружности:

Диктант

3) Найдите ординаты точек единичной окружности:

Слайд 50Текст слайда:

1) Найдите координаты точек единичной окружности

2 вариант

1 вариант

2) Найдите абсциссы точек единичной окружности

Проверь себя

3) Найдите ординаты точек единичной окружности:

Слайд 51Текст слайда:

Для себя Вы можете поставить отметку «5» за 4 выполненных примера,
«4» за 3 примера и отметку «3» за 2 примера

Учитель

Слайд 52Текст слайда:

Подведение итогов урока

Слайд 53Текст слайда:

1) В дальнейшем для нахождения значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса точек и углов необходимо выучить по заполненным таблицам значения координат точек, принадлежащих первой четверти т. к. далее мы научимся выражать значения координат всех остальных точек через значения точек первой четверти;
2) Готовить теоретические вопросы к зачету.

Домашнее задание :

Учитель

Слайд 54Текст слайда:

Итог урока

Оценка ставится наиболее активно работавшим на уроке ученикам. Работа всех учащихся не оценивается, так как ошибки исправляются сразу по ходу урока. Диктант проведен для самоконтроля, для оценивания недостаточный объем.

Как найти уравнение окружности

Все математические ресурсы ACT

14 Диагностические тесты 767 практических тестов Вопрос дня Карточки Learn by Concept

← Предыдущая 1 2 3 Следующая →

ACT Math Help » Алгебра » Координатная плоскость » Круги » Как найти уравнение окружности

В стандартной координатной плоскости каковы радиус и центр окружности?

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

При нахождении центра и радиуса круга центр равен , а радиус равен . Обратите внимание, что они не отрицательны, хотя в уравнении перед ними стоят отрицательные знаки. Это становится важным при работе с действительными числами. Также обратите внимание на квадрат .

В нашем круге применяются те же принципы, что и в предыдущем, поэтому он является нашим центром. Обратите внимание, как поменялись местами знаки чисел. Это относится ко всем кругам из-за отрицательного значения в основном уравнении выше.

Чтобы найти радиус окружности, нужно взять число, которому равно уравнение, и извлечь из него квадратный корень. Это связано с упомянутым выше квадратом. . Используйте наименьшее общее кратное 27, чтобы найти, что три тройки составляют 27. Вычтите две тройки, так как квадратный корень из числа, умноженного на самого себя, равен самому себе. Это оставляет один 3 под радикалом. Поэтому наш радиус равен .

Центр: Радиус:

Сообщить об ошибке

Какова площадь круга в стандартной координатной плоскости?

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Общее уравнение окружности .

Согласно вопросу, . Таким образом, .

Общее уравнение площади круга.

Когда мы подставляем 13 вместо , наша площадь становится равной .

Сообщить об ошибке

Окружность в стандартной координатной плоскости касается оси X в точке (3,0) и оси Y в точке (0,3). Что такое уравнение окружности?

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Формула уравнения окружности: (x – h) ² + (y – k) ² = r ² , где (h, k) представляет собой координаты центра круг, а r представляет радиус круга.

Если окружность касается оси x в точке (3,0), это означает, что она касается оси x в этой точке. Если окружность касается оси y в точке (0,3), это означает, что она касается оси y в этой точке. Зная эти две точки, мы можем определить центр и радиус окружности. Центр круга должен быть равноудален от любой из точек на окружности. Это означает, что и (0,3), и (3,0) находятся на одинаковом расстоянии от центра. Если мы нарисуем эти точки на координатной плоскости, станет очевидным, что центр окружности должен быть (3,3). Эта точка находится ровно в трех единицах от каждой из заданных точек, что указывает на то, что радиус окружности равен 3,9.0005

Когда мы вводим эту информацию в формулу для окружности, мы получаем (x – 3) ² + (y – 3) ² = 9.

Сообщить об ошибке

Найти уравнение окружности с координаты центра и радиус .

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Уравнение окружности

Центр равен или, записанному по-другому . Заменив для и для , наша формула становится

Наконец, формула круга

Сообщить об ошибке

На плоскости xy, какова площадь круга со следующим уравнением:

Правильные ответы:

16
16
ответ:
Объяснение:
Уравнение стандартной формы окружности , где – центр окружности, – радиус. Таким образом, поскольку у нас уже есть стандартное уравнение формы окружности, мы можем игнорировать и , поскольку все, что нам нужно, это .
Площадь круга равна , что равно .
Сообщить об ошибке
Окружность имеет центр в точке (5,5) и радиус 2. Если формат уравнения для окружности (x-A) ² + (y-B) ² =C, что такое С?
Возможные ответы:
Правильный ответ:
4
Пояснение:
Центр окружности находится в точке (5,5) и имеет радиус 2. Следовательно, уравнение (x-5) ² +(y-5) ² =2 ² , или (x-5) ² +(y-5) ² =4.
Сообщить об ошибке
Если центр окружности находится в точке (0,4), а диаметр окружности равен 6, каково уравнение этой окружности?
Возможные ответы:
x ² + (Y-4) ² = 36
x ² + (Y-4) ² =
x ² + y ⁼
x ² + y ^{. 2} = 9
(х-4) ² + у ² = 36
(x-4) ² + Y ² = 9
Правильный ответ:
x ² + (Y-4) ² = 9005
6 + (Y-4) ² = 9 0005
+ (Y-4) ² = 9 0005
+ (Y-4) Объяснение:
Формула уравнения окружности:
(x-h) ² + (y-k) ² = r ²
Где (h,k) — центр окружности.
h = 0 и k = 4
и диаметр = 6, поэтому радиус = 3
(x-0) ² + (y-4) ² = 3 ²
x ² + (y-4) ² = 9
Сообщить об ошибке
5 9000 – 4) ² + (y + 3) ² = 29. Окружность A сдвинута вверх на пять единиц и влево на шесть единиц. Затем его радиус удваивается. Какое новое уравнение для окружности A?
Возможные ответы:
(x – 10) ² + (y + 8) ² = 58
(x + 2) ² + (y – 2) ² = 58
(x + 2) ² + (y – 2) ² = 116
(x – 10)
5 2 ) ² = 116
(x – 2) ² + (y + 2) ² = 58
Правильный ответ:
² = 116
Объяснение:
Общее уравнение окружности: (x – h) ² + (y – k) ² = r ² , где (h, k) представляет собой положение центра круга, а r представляет собой длину его радиуса.
Окружность A сначала имеет уравнение (x – 4) ² + (y + 3) ² = 29. Это означает, что ее центр должен находиться в точке (4, –3), а ее радиус равен √ 29.
Затем нам сообщают, что окружность А сдвинулась вверх на пять единиц, а затем влево на шесть единиц. Это означает, что координата y центра увеличится на пять, а координата x центра уменьшится на 6. Таким образом, новый центр будет расположен в точке (4 – 6, –3 + 5), или ( –2, 2).
Затем нам сообщают, что радиус круга A удвоился, что означает, что его новый радиус равен 2√29.
Теперь, когда у нас есть новый центр и радиус окружности A, мы можем написать ее общее уравнение, используя (x – h) ² + (y – k) ² = r ² . 11
(x + 2) ² + (y – 2) ² = 116.
Ответ: (x + 2) ² + (y – 2) ² = 116.
Сообщить об ошибке
Какое из следующих уравнений описывает все точки (x, y) на координатной плоскости, которые находятся на расстоянии пяти единиц от точки (– 3, 6)?
Возможные ответы:
(x + 3) ² + (y – 6) ² = 25
y + 6 = 5 – (x – 05 9 0 – 05 9 0 9 0 0 7 2 2 9 ) ² + (y + 6) ² = 25
(x – 3) ² – (y + 6) ² = 25
(x — 3) ² + (y + 6) ² = 5
Правильный ответ:
(x + 3) ² + (y — 6) ² = 25
Объяснение:
Мы пытаемся найти уравнение для всех точек, находящихся на одинаковом расстоянии (5 единиц) от (–3, 6). Геометрическое место всех точек, равноудаленных от одной точки, представляет собой окружность. Другими словами, нам нужно найти уравнение окружности. Центр круга будет (–3, 6), а радиус, который является расстоянием от (–3,6), будет равен 5.
Стандартная форма окружности приведена ниже:
(x – h) ² + (y – k) ² = r ² , где центр расположен в точках (h, k) и r это длина радиуса.
В этом случае h будет равно –3, k будет равно 6, а r будет равно 5.
(x + 3) ² + (y – 6) ² = 25
Ответ: (x + 3) ² + (y – 6) ² = 25.
Сообщить об ошибке
Уравнение для окружности радиусом 12 с центром на пересечении двух прямых:
y ₁ = 4 x + 5 3
4 и 5 3
4
у ₂ = 5 х + 44?
Возможные ответы:
(x — 22) ²+ (y — 3) ² = 12
(x — 41) ²+ (Y — 161) ² = 144
5+ (Y — 161) ² = 144
5+ (Y — 161) ² = 144
5+ (Y — 161) ² = 144
.
(х — 3) ² + (y — 44) ² = 144
(x + 41) ² + (y + 161) ² = 144
Ни один из других ответов
Правильный ответ:
(х + 41) ² + (у + 161) ² = 144
Объяснение:
Для начала определим точку пересечения этих двух линий, установив равенства между собой:
4 x + 3 = 5 x + 44; 3 = х + 44; –41 = x
Чтобы найти координату y , подставьте в одно из уравнений. Возьмем y ₁ :
y = 4 * –41 + 3 = –164 + 3 = –161
Таким образом, центр нашей окружности: (–41, –161).
Теперь вспомните, что общая форма для круга с центром в точке ( x ₀ , y ₀ ) такова:0443) ² + ( Y — Y ₀) ² = R ²
Для наших данных это означает, что наше уравнение:
( x 9000 + 41). ² + ( y + 161) ² = 12 ² или ( x + 41) ² + ( y + 161) ² = 144
. Сообщение о ошибке
4475 2 = 144
4
4 ← Назад 1 2 3 Далее →
Уведомление об авторских правах
Все математические ресурсы ACT
14 диагностических тестов 767 практических тестов Вопрос дня Карточки Learn by Concept
6.21: Окружности в координатной плоскости
Последнее обновление
Сохранить как PDF
92\) где $(h, k)$ — центр, а $r$ — радиус.
Напомним, что круг — это множество всех точек плоскости, находящихся на одинаковом расстоянии от центра. Это определение можно использовать для нахождения уравнения окружности в координатной плоскости.
Рисунок $\PageIndex{1}$
Начнем с круга с центром в точке $(0, 0)$. Если $(x,y)$ — точка на окружности, то расстояние от центра до этой точки будет равно радиусу , r. x — горизонтальное расстояние, y — вертикальное расстояние. Это образует прямоугольный треугольник. Из теоремы Пифагора уравнение окружности 92\). Центр равен $(-2, 5)$ и $r=7$.
Имейте в виду, что из-за знаков минус в формуле координаты центра имеют противоположные знаки тому, чем они могут казаться изначально.
Пример $\PageIndex{2}$
Найдите центр и радиус следующей окружности.
Найдите уравнение окружности с центром $(4, -1)$, проходящей через $(-1, 2)$.
Раствор 92=9\).
Решение
Центр равен $(0, 0)$. Его радиус равен квадратному корню из 9 или 3. Нанесите центр, нанесите точки, которые находятся на 3 единицы вправо, влево, вверх и вниз от центра, а затем соедините эти четыре точки, чтобы сформировать круг.
Рисунок $\PageIndex{3}$
Пример $\PageIndex{4$
Найдите уравнение окружности ниже.
Рисунок $\PageIndex{4}$
Решение
Сначала найдите центр. Нарисуйте горизонтальный и вертикальный диаметры, чтобы увидеть, где они пересекаются. 92=45\)?
Найдите уравнение окружности с заданными центром и точкой на окружности.
центр: (2, 3), точка: (-4, -1)
центр: (10, 0), точка: (5, 2)
центр: (-3, 8), точка: (7, -2)
центр: (6, -6), точка: (-9, 4)
Обзор (ответы)
Чтобы просмотреть ответы на обзор, откройте этот PDF-файл и найдите раздел 9.12.
Словарь
92}\).
Термин Определение
круг Набор всех точек, находящихся на одинаковом расстоянии от определенной точки, называемой центром .
радиус Расстояние от центра до внешнего края круга.
Формула расстояния
Происхождение Начало — это точка пересечения осей x и y на декартовой плоскости. Координаты начала координат (0, 0).
Дополнительные ресурсы
Интерактивный элемент
Видео: Принципы графического построения кругов — основы
Задания: Круги в координатной плоскости Вопросы для обсуждения
Учебные пособия: Свойства круга Учебное пособие
Практика: круги в координатной плоскости
Реальный мир: геометрия GPS
Эта страница под названием 6.21: Круги в координатной плоскости публикуется под лицензией CK-12 и была создана, изменена и/или курирована Фондом CK-12 с использованием исходного контента, отредактированного в соответствии со стилем и стандартами платформы LibreTexts. ; подробная история редактирования доступна по запросу.
ПОД ЛИЦЕНЗИЕЙ
Наверх
Была ли эта статья полезной?
Тип изделия
Раздел или страница
Автор
CK12
Лицензия
СК-12
Программа OER или Publisher
СК-12
Показать оглавление
нет
Теги
источник@https://www. ck12.org/c/geometry
Как начертить круг
Начертить круг
Начертить круги требуется две вещи: координаты центральной точки и радиус круга. Окружность – это множество всех точек, находящихся на одинаковом расстоянии от данной точки, центра окружности. Радиус r — это расстояние от этой центральной точки до самой окружности.
На графике все точки на окружности можно определить и нанести на график с использованием координат (x, y).
Содержание
Рисование круга
Уравнения окружности
Форма центр-радиус
Стандартное уравнение окружности
Использование формы центр-радиус
Как построить уравнение окружности
Как нарисовать круг, используя стандартную форму
Уравнения окружности
Два выражения показывают, как построить круг: форма центр-радиус и стандартная форма . Где x и y — координаты всех точек окружности, h и k — значения x и y центральной точки, где r — радиус окружности.
x — h3 + y — k2 = r2
Стандартное уравнение окружности
Стандартная, или общая, форма требует немного больше усилий, чем форма центр-радиус для получения и построения графика. Уравнение стандартной формы выглядит так:
x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0
В общем виде D, E и F — заданные значения, подобные целым числам, которые являются коэффициентами значений x и y.
Использование формы «Центр-радиус»
Если вы не уверены, что предполагаемая формула является уравнением, необходимым для построения круга, вы можете проверить ее. Он должен иметь четыре атрибута:
Члены x и y должны быть возведены в квадрат
Все элементы в выражении должны быть положительными (что достигается возведением в квадрат значений в скобках)
Центральная точка задается как (h, k), координаты x и y
Значение r, радиуса, должно быть указано и должно быть положительным числом (что имеет здравый смысл, у вас не может быть отрицательной меры радиуса)
Форма с центральным радиусом дает тренированному глазу много информации. Группируя значение h с x x – h3, форма сообщает вам координату x центра круга. То же самое относится и к значению k; это должна быть координата y для центра вашего круга.
После того, как вы узнали координаты центральной точки круга, вы можете определить радиус круга, r. В уравнении вы можете увидеть не r2, а число, квадратный корень из которого и есть фактический радиус. Если повезет, квадрат значения r будет целым числом, но вы все равно можете найти квадратный корень из десятичных дробей с помощью калькулятора.
Какие центрально-радиальные формы?
Попробуйте эти семь уравнений, чтобы узнать, сможете ли вы распознать форму центра и радиуса. Какие из них являются уравнениями центра и радиуса, а какие просто уравнениями линий или кривых?
х — 22 + у — 32 = 16
5x + 3y = 6
х + 12 + у + 12 = 25
г = 6x + 2
х + 42 + у — 62 = 49
х — 52 + у + 92 = 8,1
г = x2 + -6x + 3
Только уравнения 1, 3, 5 и 6 являются формами центр-радиус. Второе уравнение изображает прямую линию; четвертое уравнение представляет собой известную форму пересечения наклона; последнее уравнение изображает параболу.
Как нарисовать уравнение окружности
Окружность можно рассматривать как графическую линию, которая изгибается как по x, так и по y. Это может показаться очевидным, но рассмотрим следующее уравнение:
y = x2 + 4
Здесь только значение x возводится в квадрат, что означает, что мы получим кривую, но только кривую, идущую вверх и вниз, а не замыкающуюся на себя. Мы получаем параболическую кривую, так что она проходит мимо вершины нашей сетки, два ее конца никогда не встречаются и не видны снова.
Введем вторую экспоненту x-значения, и мы получим более живые кривые, но они, опять же, не поворачиваются вспять.
Кривые могут извиваться вверх и вниз по оси Y по мере того, как линия перемещается по оси X, но линия на графике по-прежнему не возвращается на себя, как змея, кусающая себя за хвост.
Чтобы кривая отображалась в виде круга, вам нужно изменить как , так и показатель x, и , показатель y. Как только вы возьмете квадрат значений x и y, вы получите круг, возвращающийся к самому себе!
Часто форма центра-радиуса не содержит ссылок на такие единицы измерения, как мм, м, дюймы, футы или ярды. В этом случае просто используйте одиночные поля сетки при подсчете единиц радиуса.
Центр в начале координат
Если центральная точка является началом (0, 0) графика, форма центра-радиуса сильно упрощена:
x2 + y2 = r2
Например, круг с радиус 7 единиц и центр в точке (0, 0) выглядит следующим образом в виде формулы и графика:
x2 + y2 = 49
Как построить круг, используя стандартную форму
Если ваше уравнение окружности в стандартной или общей форме вы должны сначала завершить квадрат, а затем обработать его в форме центра и радиуса. Предположим, у вас есть это уравнение:
x2 + y2 — 8x + 6y — 4 = 0
Перепишите уравнение так, чтобы все x-члены были в первых скобках, а y-члены — во вторых:
x2 — 8x + ?1 + y2 + 6y + ?2 = 4 + ?1 + ?2
Вы изолировали константу справа и добавили значения ?1 и ?2 к обеим сторонам. Значения ?1 и ?2 — это числа, которые вам нужны в каждой группе для завершения квадрата.
Возьмите коэффициент x и разделите на 2. Возведите его в квадрат. Это ваше новое значение для ?1:
-82 = -4
-42 = 16
?1 = 16
Повторите это для значения, которое нужно найти с y-членами: 9
Замените неизвестные значения ?1 и ?2 в уравнении новыми рассчитанными значениями:
x2 – 8x + 16 + y2 + 6y + 9 = 4 + 16 + 9
Упрощение:
x2 8x + 16 + y2 + 6y + 9 = 29
x — 42 + y + 32 = 29
Теперь у вас есть форма центра-радиуса для графика. Вы можете подставить значения, чтобы найти этот круг с центральной точкой -4, 3 и радиусом 5,385 единиц (квадратный корень из 29):
Предостережения, на которые следует обратить внимание
С практической точки зрения помните, что центральная точка, хотя и необходима, на самом деле не является частью круга. Итак, когда вы рисуете свой круг, очень легко отметьте центральную точку. Разместите легко подсчитываемые значения по осям x и y, просто посчитав длину радиуса по горизонтальной и вертикальной линиям.
Если точность не важна, вы можете нарисовать остальную часть круга. Если точность имеет значение, используйте линейку, чтобы сделать дополнительные отметки, или чертежный циркуль, чтобы выполнить полный круг.
Не забывайте также о своих негативах. Внимательно следите за своими отрицательными значениями, помня, что в конечном итоге все выражения должны быть положительными (поскольку ваши значения x и y возводятся в квадрат).
Следующий урок:
Заполнение квадрата
Уравнение окружности — Формула, примеры
Уравнение окружности обеспечивает алгебраический способ описания окружности, учитывая центр и длину радиуса окружности. Уравнение окружности отличается от формул, которые используются для вычисления площади или длины окружности. Это уравнение используется во многих задачах окружностей в координатной геометрии.
Чтобы изобразить окружность на декартовой плоскости, нам потребуется уравнение окружности. На листе бумаги можно нарисовать окружность, если известны ее центр и длина радиуса. Точно так же на декартовой плоскости мы можем нарисовать окружность, если знаем координаты центра и его радиус. Окружность может быть представлена во многих формах:
Общая форма
Стандартная форма
Параметрическая форма
Полярная форма
В этой статье давайте узнаем об уравнении окружности, его различных формах с графиками и решенными примерами.
1. Что такое уравнение окружности?
2. Различные формы уравнения окружности
3. Уравнение окружности Формула
4. Вывод уравнения окружности
5. Построение уравнения окружности
6. Как найти уравнение окружности?
7. Преобразование общей формы в стандартную форму
8. Преобразование стандартной формы в общую форму
9. Часто задаваемые вопросы по уравнению окружности
Что такое уравнение окружности?
Уравнение окружности представляет положение окружности на декартовой плоскости. Зная координаты центра окружности и длину ее радиуса, мы можем написать уравнение окружности. Уравнение окружности представляет собой все точки, лежащие на окружности окружности. 92\).
Различные формы уравнения окружности
Уравнение окружности представляет положение окружности на декартовой плоскости. На листе бумаги можно нарисовать окружность, зная ее центр и длину радиуса. Используя уравнение окружности, как только мы найдем координаты центра окружности и ее радиус, мы сможем нарисовать окружность на декартовой плоскости. Существуют различные формы представления уравнения окружности,
Общая форма
Стандартная форма
Параметрическая форма
Полярная форма
Рассмотрим здесь две распространенные формы уравнения окружности — общий вид и стандартную форму уравнения окружности, а также полярную и параметрическую формы.
Общее уравнение окружности
Общая форма уравнения окружности: x ² + y ² + 2gx + 2fy + c = 0. Эта общая форма используется для определения координат центра окружности и радиуса, где g, f, c — константы. В отличие от стандартной формы, которую легче понять, общая форма уравнения окружности затрудняет поиск каких-либо значимых свойств любой данной окружности. Итак, мы будем использовать формулу заполнения квадрата, чтобы сделать быстрое преобразование из общей формы в стандартную форму. 92\)
Рассмотрим этот пример уравнения окружности (x — 4) ² + (y — 2) ² = 36 — это окружность с центром в точке (4,2) и радиусом 6.
Параметрическое уравнение окружности
Мы знаем, что общая форма уравнения окружности имеет вид x ² + y ² + 2hx + 2ky + C = 0. Возьмем общую точку на границе окружности, сказать (х, у). Линия, соединяющая эту общую точку и центр окружности (-h, -k), образует угол $\theta$. Параметрическое уравнение окружности можно записать в виде x ² + y ² + 2hx + 2ky + C = 0, где x = -h + rcosθ и y = -k + rsinθ.
Полярное уравнение окружности
Полярная форма уравнения окружности почти аналогична параметрической форме уравнения окружности. Обычно мы пишем полярную форму уравнения окружности для окружности с центром в начале координат. Возьмем точку P(rcosθ, rsinθ) на границе круга, где r — расстояние точки от начала координат. Мы знаем, что уравнение окружности с центром в начале координат и радиусом «p» равно x ² + у ² = р ² .
Подставьте значения x = rcosθ и y = rsinθ в уравнение окружности.
(rcosθ) ² + (rsinθ) ² = p ²
r ² cos ² θ + r ² sin ² θ = p ²
r ² (cos ² θ + sin ² θ) = p ²
г ² (1) = р ²
г = р
где р — радиус окружности.
Пример: Найти уравнение окружности в полярной форме при условии, что уравнение окружности в стандартной форме: уравнение окружности в полярной форме, замените значения $x$ и $y$ на:
x = rcosθ
у = rsinθ
х = rcosθ
у = rsinθ
х ² + у ² = 9
(rcosθ) ² + (rsinθ) ² = 9
r ² cos ² θ + r ² sin ² θ = 9
r ² (cos ² θ + sin ² θ) = 9
г ² (1) = 9
г = 3
Уравнение окружности Формула
Формула уравнения окружности используется для расчета уравнения окружности. 2\).
Для этого нам нужно всего лишь изменить константу 9, чтобы она соответствовала r ² как (x -3) ² + (y — 2) ² = 3 ² .
Здесь мы должны отметить, что одна из распространенных ошибок заключается в том, чтобы рассматривать $x_{1}$ как -3, а $y_{1}$ как -2.
Если в уравнении окружности знаки перед $x_{1}$ и $y_{1}$ отрицательные, то $x_{1}$ и $y_{1}$ равны положительные значения и наоборот.
Здесь $x_{1}$ = 3, $y_{1}$ = 2 и r = 3
Таким образом, окружность, представленная уравнением (x -3) ² + (y — 2) ² = 3 ² , имеет центр в точке (3, 2) и радиус 3. На приведенном ниже изображении показан график, полученный из этого уравнения окружности.
Как найти уравнение окружности?
Существует множество различных способов представления уравнения окружности в зависимости от положения окружности на декартовой плоскости. Мы изучили формы представления уравнения окружности при заданных координатах центра окружности. Существуют определенные особые случаи, основанные на положении окружности в координатной плоскости. Давайте узнаем о методе нахождения уравнения окружности для общего и этих частных случаев. 92} = г\).
Шаг 3: Выразите ответ в требуемой форме уравнения окружности.
Уравнение окружности с центром в начале координат
В простейшем случае центр окружности находится в начале координат (0, 0), радиус которого равен r. (x, y) — произвольная точка на окружности.
Расстояние между этой точкой и центром равно радиусу окружности. Применим формулу расстояния между этими точками. 92\).
Если центр находится в начале координат, то $x_1$= 0 и $y_1$= 0.
Ответ: Уравнение окружности, если ее центр находится в начале координат, равно x ² + y ² = г ² .
Уравнение окружности с центром на оси x
Рассмотрим случай, когда центр окружности находится на оси x: (a, 0) — центр окружности с радиусом r. (x, y) — произвольная точка на окружности.
Расстояние между этой точкой и центром равно радиусу окружности. Применим формулу расстояния между этими точками. 92\)
Уравнение касания окружности с осью x
Рассмотрим случай, когда длина окружности касается оси x в некоторой точке: (a, r) — центр окружности с радиусом r. Если окружность касается оси x, то координата y центра окружности равна радиусу r.
(x, y) — произвольная точка на окружности. Расстояние между этой точкой и центром равно радиусу окружности. Применим формулу расстояния между этими точками. 92\)
Уравнение касания окружности с осью y
Рассмотрим случай, когда длина окружности касается оси y в некоторой точке: (r, b) — центр окружности с радиусом r. Если окружность касается оси y, то координата x центра окружности равна радиусу r.
(x, y) — произвольная точка на окружности. Расстояние между этой точкой и центром равно радиусу окружности. Применим формулу расстояния между этими точками. 92\)
Уравнение окружности, касающейся обеих осей
Рассмотрим случай, когда окружность касается обеих осей в некоторой точке: (r, r) — центр окружности с радиусом r. Если окружность касается и оси x, и оси y, то обе координаты центра окружности становятся равными радиусу (r, r).
(x, y) — произвольная точка на окружности. Расстояние между этой точкой и центром равно радиусу окружности. Применим формулу расстояния между этими точками. 92 = 16\
г = 4 \)
Преобразование общей формы в стандартную форму
Это стандартное уравнение окружности с радиусом r и центром в (a,b): (x — a) ² + (y — b) ² = r ² и рассмотрим общую форму как : x ² + y ² + 2gx + 2fy + c = 0. Вот шаги, которые нужно выполнить, чтобы преобразовать общую форму в стандартную:
Шаг 1: Объедините подобные члены и возьмите константу на другая сторона как х ² + 2gx + y ² + 2fy = — c -> (1)
Шаг 2: Использование тождества с совершенным квадратом (x + g) ² = x ² + 2gx + g ² найти значения выражения x ² + 2gx и y ² + 2fy как:
(x + g) ² = x ² + 2gx + g ² + 905 x 2 90 2gx = (x + g) ² — g ² -> (2)
(y + f) ² = y ² + 2fy + f ² ⇒ y ² + 2fy = (y + f) ² — f ² -> (3)
Подставляя (2) и (3) в (1), получаем уравнение:
(x+g) ² — g ² + (y+f) ² — f ² = — c
(x+g) ² + (y+f) ² = g ² + f ² — c
Сравнивая это уравнение со стандартной формой: (x — a) ² + (y — b) ² = r ² получаем,
Центр = (-g,-f) и радиус = $\sqrt{g^2+f^2 — c}$ 9{2} — 9}\) = $\sqrt{9 + 16 — 9}$ = $\sqrt{16}$ = 4. Итак, радиус r = 4,
Преобразование стандартной формы в общую форму
Мы можем использовать алгебраическую формулу тождества (a — b) ² = a ² + b ² — 2ab, чтобы преобразовать стандартную форму уравнения окружности в общую форму. Давайте посмотрим, как сделать это преобразование. Для этого расширьте стандартную форму уравнения окружности, как показано ниже, используя алгебраические тождества для квадратов: 92 + 2gx + 2fy + с = 0\), где g, f, с — константы.
Похожие статьи об уравнении окружности
Ознакомьтесь со следующими страницами, посвященными уравнению окружности
Уравнение окружности Калькулятор
Окружность круга
Все формулы окружности
Отношение длины окружности к диаметру
Важные примечания к уравнению окружности
Вот несколько моментов, которые следует помнить при изучении уравнения окружности 92 + axy + C = 0\), то это не уравнение окружности. В уравнении окружности нет члена $xy$.
В полярной форме уравнение окружности всегда представляется в виде $r$ и $\theta$.
Радиус — это расстояние от центра до любой точки на границе круга. Следовательно, значение радиуса окружности всегда положительно.

Примеры уравнений окружности
Пример 1: Найдите уравнение окружности в стандартной форме для окружности с центром (2,-3) и радиусом 3.
Решение:
Уравнение окружности в стандартной форме запишется как: (x — x $_1$) ² + (у — у$_1$) ² = г ² . Здесь (x$_1$, y$_1$) = (2, -3) — центр окружности и радиус r = 3.
Представим эти значения в стандартной форме уравнения окружности :
(х — 2) ² + (у — (-3)) ² = (3) ²
(x — 2) ² + (y + 3) ² = 9 — искомая стандартная форма уравнения данной окружности.
Пример 2: Запишите уравнение окружности в стандартной форме для окружности с центром (-1, 2) и радиусом, равным 7.
Решение:
Уравнение окружности в стандартной форме записывается как: (х — х$_1$) ² + (у — у$_1$) ² = р ² . Здесь (x$_1$, y$_1$) = (-1, 2) — центр окружности и радиус r = 7.
Представим эти значения в стандартной форме уравнения окружности:
(х — (-1)) ² + (у — 2) ² = 7 ²
(x + 1) ² + (y — 2) ² = 49 — искомая стандартная форма уравнения данной окружности.
Пример 3: Найти уравнение окружности в полярной форме при условии, что уравнение окружности в стандартной форме: x ² + y ² = 16.
Решение:
Чтобы найти уравнение окружности в полярной форме, подставьте значения x и y на:
x = rcosθ
y = rsinθ
x ² + y ² = 16
(rcosθ) ² + (rsinθ) ² = 16
r ² cos ² θ + r ² sin ² θ = 16
r ² (1) = 4
перейти к слайду перейти к слайду перейти к слайду
Отличное обучение в старшей школе с использованием простых подсказок
Увлекаясь зубрежкой, вы, скорее всего, забудете понятия. С Cuemath вы будете учиться визуально и будете удивлены результатами.
Записаться на бесплатный пробный урок
Практические вопросы по уравнению окружности

перейти к слайдуперейти к слайду
Часто задаваемые вопросы по уравнению окружности
Что такое уравнение окружности в геометрии? 92\).
Каково уравнение окружности, когда центр находится в начале координат?
В простейшем случае центр окружности находится в начале координат (0, 0), радиус которого равен r. (x, y) — произвольная точка на окружности. Уравнение окружности, когда центр находится в начале координат: x ² + y ² = r ² .
Что такое общее уравнение окружности?
Общая форма уравнения окружности: x ² + y 92 + 2hx + 2ky + C = 0\), где $x = -h +rcos \theta$ и $y = -k +rsin \theta$
Что такое C в общем уравнении окружности?
Общая форма уравнения окружности: x ² + y ² + 2gx + 2fy + c = 0. 2 = 2\).
Что такое полярное уравнение окружности?
Полярное уравнение окружности с центром в начале координат: r = p, где p – радиус окружности.
Центр окружности – формула, определение, примеры
Окружность определяется как геометрическое место движущейся точки на плоскости, расстояние от которой до фиксированной точки на плоскости остается постоянным или фиксированным. Эта фиксированная точка называется центром окружности. Давайте узнаем больше о центре круга в этой статье.
1. Определение центра окружности
2. Центр круга Формула
3. Как найти центр окружности?
4. Часто задаваемые вопросы о центре круга
Определение центра окружности
Окружность — это двумерная фигура, определяемая центром и радиусом. Мы можем нарисовать любой круг, если знаем центр круга и его радиус. Окружность может иметь бесконечное число радиусов. Центр окружности — это точка пересечения всех радиусов. Его также можно определить как середину диаметра круга. Обратите внимание на приведенный ниже рисунок, где O — центр круга, а OP — радиус.
Центр круга Формула
Формула центра окружности также известна как общее уравнение окружности . В круге, если координаты центра равны (h,k), r — радиус, а (x,y) — любая точка на круге, то формула центра круга приведена ниже:
(x — h) ² + (y — k) ² = r ²
Это также известно как центр уравнения окружности. Мы будем использовать эту формулу в следующих разделах, чтобы найти центр окружности или уравнение окружности.
Как найти центр окружности?
Чтобы найти центр круга, мы выполним несколько простых шагов. Есть два случая, когда нас могут попросить найти центр круга:
Когда дан круг и нам нужно найти его центр.
Когда дано уравнение окружности и нам нужно найти координаты ее центра.
Когда дается круг
Когда нам дан круг и нам нужно найти его центральную точку, мы можем выполнить шаги, перечисленные ниже:
Шаг 1: Нарисуйте хорду PQ в круге и внимательно отметьте ее длину (которая составляет 4 дюйма). на рисунке ниже).
Шаг 2: Начертите другую хорду MN параллельно PQ так, чтобы она была той же длины, что и PQ.
Шаг 3: Соедините точки P и N отрезком с помощью линейки.
Шаг 4: Соедините точки Q и M.
Шаг 5: Точка пересечения PN и QM является центром окружности.
Когда дано уравнение окружности
Если мы знаем уравнение окружности и нам нужно найти ее центр, то мы будем использовать следующие шаги. Давайте разберемся в этом с помощью примера.
Пример: Найдем координаты центра окружности с помощью уравнения x ² + y ² — 4x — 6y — 87 = 0
Решение: Шаги для нахождения координат центра окружности перечислены ниже:
Шаг 1: Напишите данное уравнение в виде общего уравнения окружности: (x — h) ² + (y — k) ² = r ² , путем сложения или вычитания чисел с обеих сторон.
Мы можем записать данное уравнение как x ² — 4x + y ² — 6y = 87. Добавьте 4 к обеим частям уравнения, чтобы получить квадрат x-2. Итак, мы получим, х ² — 4x + 4 + y ² — 6y = 87 + 4.
⇒ (x — 2) ² + y ² — 6y = 91
Прибавьте 9 к обеим сторонам квадрат у — 3
⇒ (х — 2) ² + у ² — 6у + 9 = 91 + 9
⇒ (х — 2) ² + (у — 3) ^{2 9 100}
⇒ (x — 2) ² + (y — 3) ² = 10 ²
Это похоже на общее уравнение окружности.
Шаг 2: Сравните это уравнение с общим уравнением и определите значения h, k и r.
Если сравнить (x — 2) ² + (y — 3) ² = 10 ² с (x — h) ² + (y — k) ² = r
7 6 2 2 , мы можем определить, что h = 2, k = 3 и r = 10. Итак, мы получили координаты центра окружности, которые равны (h, k) = (2, 3).
Как найти центр окружности с двумя точками?
Если даны конечные точки диаметра окружности, то для нахождения координат центра используем формулу середины точки, так как центр является серединой диаметра окружности. Шаги, чтобы найти центр круга с двумя точками, приведены ниже:
Шаг 1: Предположим, что координаты центра круга равны (h, k).
Шаг 2: Используйте формулу средней точки, которая гласит, что если (h, k) — координаты середины отрезка с концами (x ₁, y ₁) и (x ₂, y ₂ ), тогда (h, k) = [(x ₁ + x ₂ ]/2, [y ₁ + y ₂ ]/2).
Шаг 3: Упростите его и получите координаты центра круга.
Возьмем в качестве примера окружность, в которой конечные точки диаметра указаны как (-2, 4) и (6, 16). Тогда координаты его центра:
(h, k) = [(-2 + 6)/2, (4 + 16)/2]
(h, k) = (4/2, 20/ 2)
(h, k) = (2, 10)
Следовательно, координаты центра окружности с концами диаметра равны (2, 10).
☛ Статьи по теме
Проверьте эти интересные статьи, связанные с понятием центра круга в геометрии.
Круговые формулы
Сектор круга
Длина окружности
Площадь круга
Часто задаваемые вопросы о центре круга
Что такое центр круга?
Центр круга — это точка, в которую мы помещаем кончик циркуля при рисовании круга. Это середина диаметра круга. В круге расстояние от центра до любой точки окружности всегда одинаково, что называется радиусом круга.
Каковы координаты центра окружности и длины радиуса?
Координаты центра окружности представляют собой расстояние центральной точки от оси x и оси y соответственно. Обычно он обозначается в виде (h, k), где h и k представляют координаты x и y соответственно. Длина радиуса обозначается через r. Координаты центра и радиуса связаны друг с другом в виде уравнения: (x — h) ² + (у — к) ² = г ² .
Что такое центр окружности, представленной уравнением (x — 5)
² + (y + 6) ² = 42?
Если сравнить данное уравнение с общим уравнением центра окружности: (x — h) ² + (y — k) ² = r ² , то можно увидеть, что h = 5, k = -6, а r = √42. Итак, центр круга находится в точке (5, -6).
Как найти центр окружности?
Чтобы найти центр круга, мы можем провести внутри круга две параллельные хорды одинаковой длины. Затем соедините противоположные концы аккордов. Эта точка пересечения и будет центром круга. Круг также является частью конического сечения, а фокусы конического сечения являются центром круга.
Как найти центр окружности с концами диаметра?
Центр окружности является серединой диаметра. Итак, используя формулу средней точки, если конечные точки диаметра равны (a, b) и (c, d), то координаты центра окружности равны [(a + c)/2, (b + d) /2].
Как найти радиус и центр окружности из уравнения?
Если дано уравнение окружности, то можно найти ее радиус и центр, сравнив с общей формой уравнения: (x — h) ² + (у — к) ² = г ² . Найдем значения h, k и r. Тогда (h, k) будут координатами центра круга, а r будет радиусом.
геометрия — Найти координаты точки на окружности
спросил 9 лет, 9 месяцев назад
Изменено 5 месяцев назад
Просмотрено 181к раз
$\begingroup$
У меня есть такой круг
Учитывая вращение θ и радиус r , как мне найти координату (x,y)? Имейте в виду, что это вращение может быть где угодно между 0 и 360 градусами.
Например, у меня есть радиус 12 и поворот θ на 115 градусов. Как бы вы нашли точку (x, y)?
геометрия тригонометрия круги вращения
$\endgroup$
2
$\begingroup$
Судя по картинке, ваша окружность имеет центр начала координат и радиус $r$. Вращение, кажется, по часовой стрелке. И вопрос, похоже, в том, где заканчивается точка $(0,r)$ в верхней части круга.
Точка $(0,r)$ заканчивается в $x=r\sin\theta$, $y=r\cos\theta$.
В общем, предположим, что вы вращаетесь вокруг начала координат по часовой стрелке на угол $\theta$. Тогда точка $(s,t)$ оказывается в точке $(u,v)$, где $$u=s\cos\theta+t\sin\theta\qquad\text{and} \qquad v=-s\sin\theta+t\cos\theta.$$
$\endgroup$
3
$\begingroup$
При угле 115° по часовой стрелке вы можете найти точку (x,y), как показано на диаграмме, с помощью следующей математики:
Любая точка $(x,y)$ на пути окружности $x = r*sin(θ), y = r*cos(θ)$
таким образом: $(x,y) = (12*sin(115), 12*cos(115))$
Итак, ваша точка будет примерно будет $(10,876, -5,071)$ (при условии, что верхний правый квадрант равен x+, y+)
$\endgroup$
$\begingroup$
Стандартный круг рисуется с начальной точкой 0 градусов на пересечении круга и оси x с положительным углом, направленным против часовой стрелки.
Таким образом, стандартная параметризация учебника: х=cos т y=sin t
На вашем рисунке показан другой сценарий. Как это нарисовано, начальная точка находится вверху, а градусы увеличиваются по часовой стрелке. Таким образом, стандартная параметризация должна быть изменена в соответствии с вашей ситуацией.
Посмотрите, каково значение x на вашей картинке в начальной точке, а затем, что происходит, когда t увеличивается. x начинается с 0, затем увеличивается до максимума 1, а затем возвращается к 0, когда t = Pi.
Теперь вы хотите сравнить это поведение со стандартным графиком sin и cos, чтобы решить, какой из них соответствует вашим потребностям. X=sin t ведет себя именно так, так что теперь у вас есть параметризация x. Обратите внимание, что это не x = cos t, как учит стандартный учебник по математике, потому что в классе тригонометрии они обычно имеют 0 градусов на пересечении оси x и единичной окружности.
Теперь y на вашем чертеже начинается с 1, а затем уменьшается, пока вы не достигнете 0, а затем -1 в PI.

Термин	Определение
круг	Набор всех точек, находящихся на одинаковом расстоянии от определенной точки, называемой *центром* .
радиус	Расстояние от центра до внешнего края круга.
Формула расстояния
Происхождение	Начало — это точка пересечения осей x и y на декартовой плоскости. Координаты начала координат (0, 0).

1.	Что такое уравнение окружности?
2.	Различные формы уравнения окружности
3.	Уравнение окружности Формула
4.	Вывод уравнения окружности
5.	Построение уравнения окружности
6.	Как найти уравнение окружности?
7.	Преобразование общей формы в стандартную форму
8.	Преобразование стандартной формы в общую форму
9.	Часто задаваемые вопросы по уравнению окружности

1.	Определение центра окружности
2.	Центр круга Формула
3.	Как найти центр окружности?
4.	Часто задаваемые вопросы о центре круга