cart-icon Товаров: 0 Сумма: 0 руб.
г. Нижний Тагил
ул. Карла Маркса, 44
8 (902) 500-55-04

Числовая окружность на координатной: Числовая окружность в координатной плоскости — урок. Алгебра, 10 класс.

Числовая окружность в координатной плоскости — урок. Алгебра, 10 класс.

Расположим числовую окружность в координатной плоскости так, чтобы центр окружности совместился с началом координат, а её радиус принимаем за единичный отрезок.

Начальная точка числовой окружности \(A\) совмещена с точкой \((1;0)\).

 

 

Каждая точка числовой окружности имеет в координатной плоскости свои координаты.

 

Найдём сначала координаты тех точек координатной плоскости, которые получены на макетах числовой окружности.

Точка Mπ4 — середина \(I\) четверти.

Опустим перпендикуляр \(MP\) на прямую \(OA\) и рассмотрим треугольник \(OMP\).

Так как дуга \(AM\) составляет половину дуги \(AB\), то ∡MOP=45°.

 

Значит, треугольник \( OMP \) — равнобедренный прямоугольный треугольник и \(OP = MP\), т. е. у точки \(M\) абсцисса и ордината равны: \(x = y\).

 

Так как координаты точки \(M(x;y)\) удовлетворяют уравнению числовой окружности x2+y2=1,

то для их нахождения нужно решить систему уравнений:

x2+y2=1x=y

 

Подставив \(x\) вместо \(y\) в первое уравнение системы, получим следующее решение:

 

x2+x2=1;2x2=1;x2=12;x=12=22;y=x=22.

 

При решении учитываем, что абсцисса точки \(M\) положительна.

Получили, что координаты точки \(M\), соответствующей числу π4, будут   Mπ4=M22;22.

Аналогично можно получить координаты и других точек первого макета числовой окружности, учитывая только знаки координат в каждой четверти.

Полученные результаты запишем в таблицу.

Точка окружности

 

\(0\)

π4

π2

3π4

π

5π4

3π2

7π4

Абсцисса \(x\)

\(1\)

22

\(0\)

−22

\(-1\)

−22

\(0\)

22

\(1\)

Ордината \(y\)

\(0\)

22

\(1\)

22

\(0\)

−22

\(-1\)

−22

\(0\)

 

Рассуждаем аналогично для точки \(M\), если теперь она соответствует числу π6.

 

Треугольник \(MOP\) прямоугольный. Так как дуга \(AM\) составляет третью часть дуги \(AB\), то ∡MOP=30°.

 

Катет \(MP\) лежит против угла \(30\) градусов в прямоугольном треугольнике, значит, равен половине гипотенузы, т. е. ордината точки \(M\) равна

 MP=12;y=12

 

Абсциссу \(x\) точки \(M\) найдём, решив уравнение:

 

x2+y2=1;

x2=1−122=1−14=34;x=32.

 

При решении учитываем, что абсцисса точки \(M\) положительна.

Получили, что координаты точки \(M\), соответствующей числу π6, будут  Mπ6=M32;12.

Аналогично можно получить координаты и других точек второго макета числовой окружности, учитывая только знаки координат в каждой четверти.

Полученные результаты запишем в таблицу.

Точка окружности

 

π6

π3

2π3

5π6

7π6

4π3

5π3

11π6

Абсцисса \(x\)

32

12

−12

−32

−32

−12

12

32

Ордината \(y\)

12

32

32

12

−12

−32

−32

−12

Внеклассный урок - Числовая окружность

Числовая окружность

Числовая окружность – это единичная окружность, точки которой соответствуют определенным действительным числам.

Единичной окружностью называют окружность радиуса 1.

 

Общий вид числовой окружности.

1) Ее радиус принимается за единицу измерения.

2) Горизонтальный и вертикальный диаметры делят числовую окружность на четыре четверти (см.рисунок). Их соответственно называют первой, второй, третьей и четвертой четвертью.

3) Горизонтальный диаметр обозначают AC, причем А – это крайняя правая точка.
Вертикальный диаметр обозначают BD, причем B – это крайняя верхняя точка.
Соответственно:

первая четверть – это дуга AB

вторая четверть – дуга BC

третья четверть – дуга CD

четвертая четверть – дуга DA

4) Начальная точка числовой окружности – точка А.

Отсчет по числовой окружности может вестись как по часовой стрелке, так и против часовой стрелки.
Отсчет от точки А против часовой стрелки называется положительным направлением.
Отсчет от точки А по часовой стрелке называется отрицательным направлением.

 Числовая окружность на координатной плоскости.

Центр радиуса числовой окружности соответствует началу координат (числу 0).

Горизонтальный диаметр соответствует оси x, вертикальный – оси y.

Начальная точка А числовой окружности находится на оси x и имеет координаты (1; 0).

 

Значения x и y в четвертях числовой окружности:

1-я четверть

2-я четверть

3-я четверть

4-я четверть

x > 0, y > 0

x < 0, y > 0

x < 0, y < 0

x > 0, y < 0

 

Значение любой точки числовой окружности:

Любая точка числовой окружности с координатами (x; y) не может быть меньше -1, но не может быть больше 1:

–1 ≤ x ≤ 1;   –1 ≤ y ≤ 1

 

Основные величины числовой окружности:

 

 
Величина
в радианах
 

 
Величина
в радиусах


Окружность



360º


Полуокружность


π


180º


Четверть окружности

π

2


90º

 

Имена и местонахождение основных точек числовой окружности:

  
Как запомнить имена числовой окружности.

Есть несколько простых закономерностей, которые помогут вам легко запомнить основные имена числовой окружности.

Перед тем как начать, напомним: отсчет ведется в положительном направлении, то есть от точки А (2π) против часовой стрелки.

1) Начнем с крайних точек на осях координат.

Начальная точка – это 2π (крайняя правая точка на оси х, равная 1).

Как вы знаете, 2π – это длина окружности. Значит, половина окружности – это 1π или π. Ось х делит окружность как раз пополам. Соответственно, крайняя левая точка на оси х, равная -1, называется π.

Крайняя верхняя точка на оси у, равная 1, делит верхнюю полуокружность пополам. Значит, если полуокружность – это π, то половина полуокружности – это π/2.

Одновременно π/2 – это и четверть окружности. Отсчитаем три таких четверти от первой до третьей – и мы придем в крайнюю нижнюю точку на оси

у, равной -1. Но если она включает три четверти – значит имя ей 3π/2.

2) Теперь перейдем к остальным точкам. Обратите внимание: все противоположные точки имеют одинаковый числитель – причем это противоположные точки и относительно оси у, и относительно центра осей, и относительно оси х. Это нам и поможет знать их значения точек без зубрежки.

Надо запомнить лишь значение точек первой четверти: π/6, π/4 и π/3. И тогда мы «увидим» некоторые закономерности:

- Относительно оси у в точках второй четверти, противоположных точкам первой четверти, числа в числителях на 1 меньше величины знаменателей. К примеру, возьмем точку π/6. Противоположная ей точка относительно оси у тоже в знаменателе имеет 6, а в числителе 5 (на 1 меньше). То есть имя этой точки: 5π/6. Точка, противоположная π/4, тоже имеет в знаменателе 4, а в числителе 3 (на 1 меньше, чем 4) – то есть это точка 3π/4.
Точка, противоположная π/3, тоже имеет в знаменателе 3, а в числителе на 1 меньше: 2π/3.

  - Относительно центра осей координат все наоборот: числа в числителях противоположных точек (в третьей четверти) на 1 больше значения знаменателей. Возьмем опять точку π/6. Противоположная ей относительно центра точка тоже имеет в знаменателе 6, а в числителе число на 1 больше – то есть это 7π/6.

Точка, противоположная точке π/4, тоже имеет в знаменателе 4, а в числителе число на 1 больше: 5π/4.
Точка, противоположная точке π/3, тоже имеет в знаменателе 3, а в числителе число на 1 больше: 4π/3.

- Относительно оси х (четвертая четверть) дело посложнее. Здесь надо к величине знаменателя прибавить число, которое на 1 меньше – эта сумма и будет равна числовой части числителя противоположной точки. Начнем опять с π/6. Прибавим к величине знаменателя, равной 6, число, которое на 1 меньше этого числа – то есть 5. Получаем: 6 + 5 = 11. Значит, противоположная ей относительно оси х точка будет иметь в знаменателе 6, а в числителе 11 – то есть 11π/6.

Точка π/4. Прибавляем к величине знаменателя число на 1 меньше: 4 + 3 = 7. Значит, противоположная ей относительно оси х точка имеет в знаменателе 4, а в числителе 7 – то есть 7π/4.
Точка π/3. Знаменатель равен 3. Прибавляем к 3 на единицу меньшее число – то есть 2. Получаем 5. Значит, противоположная ей точка имеет в числителе 5 – и это точка 5π/3.

3) Еще одна закономерность для точек середин четвертей. Понятно, что их знаменатель равен 4. Обратим внимание на числители. Числитель середины первой четверти – это 1π (но 1 не принято писать). Числитель середины второй четверти – это 3π. Числитель середины третьей четверти – это 5π. Числитель середины четвертой четверти – это 7π. Получается, что в числителях середин четвертей – четыре первых нечетных числа в порядке их возрастания:
(1)π, 3π, 5π, 7π.
Это тоже очень просто. Поскольку середины всех четвертей имеют в знаменателе 4, то мы уже знаем их полные имена: π/4, 3π/4, 5π/4, 7π/4.

 

Особенности числовой окружности. Сравнение с числовой прямой.

Как вы знаете, на числовой прямой каждая точка соответствует единственному числу. К примеру, если точка А на прямой равна 3, то она уже не может равняться никакому другому числу.

На числовой окружности все иначе, поскольку это окружность. К примеру, чтобы из точки А окружности прийти к точке M, можно сделать это, как на прямой (только пройдя дугу), а можно и обогнуть целый круг, а потом уже прийти к точке M. Вывод:

Пусть точка M равна какому-то числу t. Как мы знаем, длина окружности равна 2π. Значит, точку окружности t мы можем записать двояко: t или t + 2π. Это равнозначные величины.

То есть t = t + 2π. Разница лишь в том, что в первом случае вы пришли к точке M сразу, не делая круга, а во втором случае вы совершили круг, но в итоге оказались в той же точке M. Таких кругов можно сделать и два, и три, и двести. Если обозначить количество кругов буквой k, то получим новое выражение:
t = t + 2πk.

Отсюда формула:

Если точка M числовой окружности равна числу t, то она равна и числу вида t + 2πk, где k – любое целое число:

M(t) = M(t + 2πk),

где k Z.

Число k называется параметром.

 

Уравнение числовой окружности
(второе уравнение – в разделе «Синус, косинус, тангенс, котангенс»):

 

Числовая окружность на координатной прямой. 10 класс, учебник Мордкович.
Инфоурок › Алгебра ›Презентации›Числовая окружность на координатной прямой. 10 класс, учебник Мордкович.

Описание презентации по отдельным слайдам:

1 слайд Алгебра и начала математического анализа, 10 класс. Урок на тему: Числовая о Описание слайда:

Алгебра и начала математического анализа, 10 класс. Урок на тему: Числовая окружность на координатной плоскости.

2 слайд Определение. Числовая окружность на координатной плоскости. Расположим числов Описание слайда:

Определение. Числовая окружность на координатной плоскости. Расположим числовую окружность в координатной плоскости так, чтобы центр окружности совместился с началом координат, а её радиус принимаем за единичный отрезок. Начальная точка числовой окружности A совмещена с точкой (1;0). Каждая точка числовой окружности имеет в координатной плоскости свои координаты х и у, причем: x > 0, у > 0 в первой четверти; х < 0, у > 0 во второй четверти; х < 0, у < 0 в третьей четверти; х > 0, у < 0 в четвертой четверти. Для любой точки М(х; у) числовой окружности выполняются неравенства -1 < x < 1; -1 < у < 1. Запомните! уравнение числовой окружности:

3 слайд Числовая окружность на координатной плоскости. Нам важно научиться находить к Описание слайда:

Числовая окружность на координатной плоскости. Нам важно научиться находить координаты точек числовой окружности представленных на рисунке ниже:

4 слайд Числовая окружность на координатной плоскости. Найдем координату точки π/4: Т Описание слайда:

Числовая окружность на координатной плоскости. Найдем координату точки π/4: Точка М(π/4) — середина первой четверти. Опустим из точки М перпендикуляр МР на прямую ОА и рассмотрим треугольник OMP.Так как дуга АМ составляет половину дуги АВ, то ∡MOP=45°  Значит, треугольник OMP - равнобедренный прямоугольный треугольник и OP=MP, т.е. у точки M абсцисса и ордината равны: x = y Так как координаты точки M(х;y) удовлетворяют уравнению числовой окружности, то для их нахождения нужно решить систему уравнений: Решив данную систему получаем: Получили, что координаты точки M, соответствующей числу π/4 будут Аналогичным образом рассчитываются координаты точек представленных на предыдущем слайде.

5 слайд Координаты точек числовой окружности. Числовая окружность на координатной пло Описание слайда:

Координаты точек числовой окружности. Числовая окружность на координатной плоскости.

6 слайд Координаты точек числовой окружности. Числовая окружность на координатной пло Описание слайда:

Координаты точек числовой окружности. Числовая окружность на координатной плоскости.

Координаты точек числовой окружности. Числовая окружность на координатной пло

Курс повышения квалификации

Координаты точек числовой окружности. Числовая окружность на координатной пло

Курс повышения квалификации

Координаты точек числовой окружности. Числовая окружность на координатной пло

Курс профессиональной переподготовки

Учитель математики и информатики

Найдите материал к любому уроку,
указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

Выберите категорию: Все категорииАлгебраАнглийский языкАстрономияБиологияВнеурочная деятельностьВсеобщая историяГеографияГеометрияДиректору, завучуДоп. образованиеДошкольное образованиеЕстествознаниеИЗО, МХКИностранные языкиИнформатикаИстория РоссииКлассному руководителюКоррекционное обучениеЛитератураЛитературное чтениеЛогопедия, ДефектологияМатематикаМузыкаНачальные классыНемецкий языкОБЖОбществознаниеОкружающий мирПриродоведениеРелигиоведениеРодная литератураРодной языкРусский языкСоциальному педагогуТехнологияУкраинский языкФизикаФизическая культураФилософияФранцузский языкХимияЧерчениеШкольному психологуЭкологияДругое

Выберите класс: Все классыДошкольники1 класс2 класс3 класс4 класс5 класс6 класс7 класс8 класс9 класс10 класс11 класс

Выберите учебник: Все учебники

Выберите тему: Все темы

также Вы можете выбрать тип материала:

loading

Общая информация

Номер материала: ДБ-194694

Похожие материалы

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

План-конспект занятия по алгебре (10 класс) на тему: урок по теме "Числовая окружность на координатной плоскости"

Тема урока: Числовая окружность на координатной плоскости

Цель урока:

Образовательные:

  • на основе повторения и обобщения ранее изученного материала ввести понятие числовой окружности на координатной плоскости;
  • изучить основные свойства числовой окружности;
  • в ходе изучения нового материала сформировать умения и навыки нахождения значений выражений.

Развивающие:

  • развитие памяти, логического мышления, умения анализировать, сравнивать, обобщать, самостоятельно делать выводы;
  • развитие грамотной математической речи.

Воспитательные:

  • воспитывать аккуратность и точность при выполнении заданий;
  • формирование культуры учебного труда;
  • продолжить формирование познавательного интереса к предмету.

Тема предыдущего урока: Числовая окружность.

Тема следующего урока: Синус и косинус (комбинированный).

Структура урока

  1. Актуализация знаний 7 мин
  2. Объяснение нового материала 20 мин
  3. Закрепление изученного материала 10 мин
  4. Подведение итогов урока, постановка домашнего задания, рефлексия (3 мин).

Ход урока:

  1. Актуализация
  1. Организационный момент: Приветствие учеников, поверка отсутствующих
  2. Фронтальный опрос с целью АЗ по теме:
  1. Дайте определение числовой окружности
  2. Сколько четвертей имеем в единичной окружности?Как они называются?
  3. Определите знаки в каждой из четверти.
  1. Объяснение нового материала 20 мин

Открываем тетради, подписываем число, тему урока: «Числовая окружность на координатной плоскости»

У каждого из вас в тетради есть три макета числовой окружности. Каждая точка числовой окружности имеет в координатной плоскости свои координаты. Найдём сначала координаты тех точек координатной плоскости, которые получены на макетах числовой окружности.

На первом макете возьмем точку M(π/4) середина I четверти. Опустим перпендикуляр MP на прямую OA и рассмотрим треугольник OMP. Так как дуга AM составляет половину дуги AB, то ∡MOP=45°. Значит, треугольник OMP - равнобедренный прямоугольный треугольник и OP=MP, т.е. у точки M абсцисса и ордината равны: x=y. Так как координаты точки M(x;y) удовлетворяют уравнению числовой окружности x2+y2=1, то для их нахождения нужно решить систему уравнений:

 

Подставив x вместо y в первое уравнение системы, получим следующее решение:

 

 

При решении учитываем, что абсцисса точки M положительна.

Получили, что координаты точки M, соответствующей числу π/4 будут   M(π/4)=M(2√2;2√2)

Аналогично можно получить координаты и других точек первого макета числовой окружности, учитывая только знаки координат в каждой четверти.

Полученные результаты запишем в таблицу:        

Перейдем на второй макет. Рассуждаем аналогично для точки M, если теперь она соответствует числу π/6

Треугольник MOP прямоугольный. Так как дуга AM составляет третью часть дуги AB, то ∡MOP=30°.

Катет MP лежит против угла 30 градусов в прямоугольном треугольнике, значит, равен половине гипотенузы, т.е. ордината точки M равна

 MP=1/2       y=1/2

Абсциссу x точки M найдём, решив уравнение:

 

 

При решении учитываем, что абсцисса точки M положительна.

Получили, что координаты точки M, соответствующей числу π/6 будут  M(π/6)=M(3√2;1/2)  

Аналогично можно получить координаты и других точек второго макета числовой окружности, учитывая только знаки координат в каждой четверти.

На третьем макете возьмем угол в 600 или π/3. Треугольник OKF прямоугольный. Так как дуга AK составляет третью часть дуги AB, то ∡KOF=60°, а ∡OKF=30°,

Катет OF лежит против угла 30 градусов в прямоугольном треугольнике, значит, равен половине гипотенузы, т.е. абцисса точки F равна

 OF=1/2       x=1/2

Ординату y точки K найдём, решив уравнение:

 

 

При решении учитываем, что ордината точки K положительна.

Получили, что координаты точки K, соответствующей числу π/3 будут  K(π/3)=F(1/2, 3√2) . Полученные данные занесем в таблицу:

III. Закрепление изученного материала 10 мин

А сейчас выполним несколько заданий с целью закрепления изученного нами материала. №5.1а,б ; № 5.4а

IV. Подведение итогов урока, постановка домашнего задания, рефлексия (3 мин).

Понятие числовой окружности вы изучали для того чтобы перейти к изучению таких важных с точки зрения математики и геометрии понятий как синус, косинус, тангенс и котангенс. Итак, что мы сегодня узнали на уроке нового?

Домашнее задание № 5.2а, № 5.7

Конспект урока по алгебре 10 класс на тему Числовая окружность на координатной прямой

МБОУ Калининская СОШ

Цимлянский район

Алгебра

и начала

математического

анализа 10 класс

Конспект урока

на тему

«Числовая окружность на координатной плоскости»

Подготовил учитель

Математики

Поцелуева Е.В.

Тема Числовая окружность на координатной плоскости

Что будем изучать: 
1. Определение.
2. Важные координаты числовой окружности.
3. Как искать координату числовой окружности?
4. Таблица основных координат числовой окружности.
5. Примеры решения задач. 
Определение числовой окружности на координатной плоскости

Расположим числовую окружность в координатной плоскости так, чтобы центр окружности совместился с началом координат, а её радиус принимаем за единичный отрезок. Начальная точка числовой окружности A совмещена с точкой (1;0). 
Каждая точка числовой окружности имеет в координатной плоскости свои координаты х и у, причем:
1) при x>0x>0, у>0у>0 – в первой четверти;
2) при х<0х<0, у>0у>0 – во второй четверти;
3) при х<0х<0, у<0у<0 – в третьей четверти;
4) при х>0х>0, у<0у<0 – в четвертой четверти.
Для любой точки М(х;у)М(х;у) числовой окружности выполняются неравенства: −1Запомните уравнение числовой окружности: x2+y2=1x2+y2=1.


Нам важно научиться находить координаты точек числовой окружности, представленных на рисунке.
hello_html_m48d62a54.jpg
hello_html_267e4e95.jpg

Найдем координату точки π4π4


Точка М(π4)М(π4) – середина первой четверти. Опустим из точки М перпендикуляр МР на прямую ОА и рассмотрим треугольник OMP.Так как дуга АМ составляет половину дуги АВ, то ∠MOP=45°∠MOP=45°.
Значит, треугольник OMP – равнобедренный прямоугольный треугольник и OP=MPOP=MP, т.е. у точки M абсцисса и ордината равны: x=yx=y.
Так как координаты точки M(х;y)M(х;y) удовлетворяют уравнению числовой окружности, то для их нахождения нужно решить систему уравнений:
{x2+y2=1,x=y.{x2+y2=1,x=y.
Решив данную систему, получаем: y=x=√22y=x=22.
Значит, координаты точки M, соответствующей числу π4π4, будут M(π4)=M(√22;√22)M(π4)=M(22;22).
Аналогичным образом рассчитываются координаты точек, представленных на предыдущем рисунке.
Координаты точек числовой окружностиhello_html_3a668d08.jpg


hello_html_61162a26.jpghello_html_53972d89.jpg

Рассмотрим примеры

Пример 1.
Найти координату точки числовой окружности: Р(45π4)Р(45π4). 
Решение: 
Т.к. числам tt и t+2π∗kt+2π∗k, где k-целое число, соответствует одна и та же точка числовой окружности то: 
45π4=(10+54)∗π=10π+5π4=5π4+2π∗545π4=(10+54)∗π=10π+5π4=5π4+2π∗5.
Значит, числу 45π445π4 соответствует та же точка числовой окружности, что и числу 5π45π4. Посмотрев значение точки 5π45π4 в таблице, получаем: P(45π4)=P(−√22;−√22)P(45π4)=P(−22;−22).
Пример 2.
Найти координату точки числовой окружности: Р(−37π3)Р(−37π3). 
Решение: 
Т.к. числам tt и t+2π∗kt+2π∗k, где k-целое число, соответствует одна и та же точка числовой окружности то: 
−37π3=−(12+13)∗π=−12π–π3=−π3+2π∗(−6)−37π3=−(12+13)∗π=−12π–π3=−π3+2π∗(−6).
Значит, числу −37π3−37π3 соответствует та же точка числовой окружности, что и числу –π3–π3, а числу –π3π3 соответствует та же точка, что и 5π35π3. Посмотрев значение точки 5π35π3 в таблице, получаем:
P(−37π3)=P(12;−√32)P(−37π3)=P(12;−32). 
Пример 3.
Найти на числовой окружности точки с ординатой у=12у=12 и записать, каким числам tt они соответствуют?
Решение: 
Прямая у=12у=12 пересекает числовую окружность в точках М и Р. Точка М соответствует числу π6π6 (из данных таблицы). Значит, и любому числу вида: π6+2π∗kπ6+2π∗k. Точка Р соответствует числу 5π65π6, а значит, и любому числу вида 5π6+2π∗k5π6+2π∗k.
Получили, как часто говорят в таких случаях, две серии значений: 
π6+2π∗kπ6+2π∗k и 5π6+2π∗k5π6+2π∗k.
Ответ : t=π6+2π∗kt=π6+2π∗k и t=5π6+2π∗kt=5π6+2π∗k.

Пример 4.
Найти на числовой окружности точки с абсциссой x≥−√22x≥−22 и записать, каким числам ttони соответствуют.

Решение: 

Прямая x=−√22x=−22 пересекает числовую окружность в точках М и Р. Неравенству x≥−√22x≥−22соответствуют точки дуги РМ. Точка М соответствует числу 3π43π4 (из данных таблицы). Значит, и любому числу вида −3π4+2π∗k−3π4+2π∗k. Точка Р соответствует числу −3π4−3π4, а значит, и любому числу вида −3π4+2π∗k−3π4+2π∗k.

Тогда получим −3π4+2π∗k≤t≤3π4+2πk−3π4+2π∗k≤t≤3π4+2πk.

Ответ : −3π4+2π∗k≤t≤3π4+2πk−3π4+2π∗k≤t≤3π4+2πk.
Задачи для самостоятельного решенияhello_html_1b5feb0a.jpghello_html_m23924423.jpg

  1. Найти координату точки числовой окружности: Р(61π6)Р(61π6).
    2) Найти координату точки числовой окружности: Р(−52π3)Р(−52π3).
    3) Найти на числовой окружности точки с ординатой у=−12у=−12 и записать, каким числам ttони соответствуют.
    4) Найти на числовой окружности точки с ординатой у≥−12у≥−12 и записать, каким числам ttони соответствуют.
    5) Найти на числовой окружности точки с абсциссой x≥−√32x≥−32 и записать, каким числам tt

Домашние задание: красн. учебник § 5, №5.5
№ 5.7-5.8(в,г), №5.10, №5.12-5.13(в,г)

Раздаточный материал

hello_html_m28700f6e.png

hello_html_m28700f6e.png

hello_html_m28700f6e.png

hello_html_m28700f6e.png

Числовая окружность на координатной плоскости

Инфоурок › Алгебра ›Презентации›Числовая окружность на координатной плоскости

Описание презентации по отдельным слайдам:

1 слайд Числовая окружность на координатной плоскости Выполнил: учитель математики Шу Описание слайда:

Числовая окружность на координатной плоскости Выполнил: учитель математики Шубина Т.В.

2 слайд Цель урока: Закрепить умение находить на числовой окружности точки с конкретн Описание слайда:

Цель урока: Закрепить умение находить на числовой окружности точки с конкретным значением абсциссы и ординаты, а также умение определить каким числам они соответствуют; Развивать внимание, логическое мышление; Воспитывать внимательность

3 слайд Не будем спорить – будем вычислять. Г. Лейбниц Описание слайда:

Не будем спорить – будем вычислять. Г. Лейбниц

4 слайд План работы на уроке: Устная работа Самостоятельная работа с индивидуальными Описание слайда:

План работы на уроке: Устная работа Самостоятельная работа с индивидуальными картами Работа с учебником

5 слайд Основные понятия А В С D О Единичная Окружность С=2Π Положительное направлени Описание слайда:

Основные понятия А В С D О Единичная Окружность С=2Π Положительное направление обхода окружности - против часовой стрелки Длины основных дуг 2π Четверти дуга АВ – I дуга ВС – II дуга CD –III дуга DА –IV

6 слайд Найдите на числовой окружности точку, которая соответствует заданному числу Описание слайда:

Найдите на числовой окружности точку, которая соответствует заданному числу

7 слайд Вторая четверть единичной окружности разделена пополам точкой М, а четвертая Описание слайда:

Вторая четверть единичной окружности разделена пополам точкой М, а четвертая четверть разделена на 3 равных части точками К и Р. Чему равны длины дуг АМ, РВ, МК, КМ? АМ

8 слайд Ключ Описание слайда:

Ключ

9 слайд №44 (а,б) № 47 (а,б) № 43 Задания для работы с учебником: Описание слайда:

№44 (а,б) № 47 (а,б) № 43 Задания для работы с учебником:

10 слайд Оцените на урок по шкале: урок понравился, остались хорошие впечатления ничег Описание слайда:

Оцените на урок по шкале: урок понравился, остались хорошие впечатления ничего не изменилось по сравнению с другими уроками

11 слайд Домашнее задание 1. Повторить §1, 2, 3 2. № 48(а, б), 49 (а, б) Описание слайда:

Домашнее задание 1. Повторить §1, 2, 3 2. № 48(а, б), 49 (а, б)

Домашнее задание 1. Повторить §1, 2, 3 2. № 48(а, б), 49 (а, б)

Курс повышения квалификации

Домашнее задание 1. Повторить §1, 2, 3 2. № 48(а, б), 49 (а, б)

Курс повышения квалификации

Домашнее задание 1. Повторить §1, 2, 3 2. № 48(а, б), 49 (а, б)

Курс профессиональной переподготовки

Учитель математики и информатики

Найдите материал к любому уроку,
указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

Выберите категорию: Все категорииАлгебраАнглийский языкАстрономияБиологияВнеурочная деятельностьВсеобщая историяГеографияГеометрияДиректору, завучуДоп. образованиеДошкольное образованиеЕстествознаниеИЗО, МХКИностранные языкиИнформатикаИстория РоссииКлассному руководителюКоррекционное обучениеЛитератураЛитературное чтениеЛогопедия, ДефектологияМатематикаМузыкаНачальные классыНемецкий языкОБЖОбществознаниеОкружающий мирПриродоведениеРелигиоведениеРодная литератураРодной языкРусский языкСоциальному педагогуТехнологияУкраинский языкФизикаФизическая культураФилософияФранцузский языкХимияЧерчениеШкольному психологуЭкологияДругое

Выберите класс: Все классыДошкольники1 класс2 класс3 класс4 класс5 класс6 класс7 класс8 класс9 класс10 класс11 класс

Выберите учебник: Все учебники

Выберите тему: Все темы

также Вы можете выбрать тип материала:

loading

Общая информация

Номер материала: ДБ-324291

Похожие материалы

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Числовая окружность, макеты числовой окружности — урок. Алгебра, 10 класс.

Единичная окружность — это окружность, радиус которой принимается за единицу измерения.

Длина единичной окружности \(l\) равна l=2π⋅R=2π⋅1=2π.

Считаем, что R=1.

Если взять π&ap;3,14, то длина окружности \(l\) может быть выражена числом 2π&ap;2⋅3,14=6,28.

 

Будем пользоваться единичной окружностью, в которой проведены горизонтальный и вертикальный диаметры \(CA\) и \(DB\) (см. рис.)

 

 

Принято называть дугу \(AB\) — первой четвертью, дугу \(BC\) — второй четвертью, дугу \(CD\) — третьей четвертью, дугу \(DA\) — четвёртой четвертью, причём это открытые дуги, т. е. дуги без их концов.

 

Длина каждой четверти единичной окружности равна 14⋅2π=π2.

 

Принято в обозначении дуги на первом месте писать букву, обозначающую начало дуги, а на втором месте писать букву, обозначающую конец дуги.

 

Для работы с числовой окружностью часто используются два макета числовой окружности.

Каждая из четырёх четвертей числовой окружности разделена на две равные части, и около каждой из полученных восьми точек записано число, которому она соответствует.

 

 

 

Каждая из четырёх четвертей числовой окружности разделена на три равные части, и около каждой из полученных двенадцати точек записано число, которому она соответствует.

 

 

Для числовой окружности верно следующее утверждение:

если точка \(M\) числовой окружности соответствует числу \(t\), то она соответствует и числу вида t+2πk,k∈&integers;.

 

На указанных двух макетах написаны числа, соответствующие точкам при первом обходе числовой окружности в положительном направлении, т. е. на промежутке 0;2π.

Таким образом,

единичная окружность с установленным соответствием между действительными числами и точками окружности называется числовой окружностью.

Как использовать круговые уравнения в координатной геометрии
  1. Образование
  2. Математика
  3. Геометрия
  4. Как использовать круговые уравнения в координатной геометрии

Марк Раян

Вы можете применять уравнения и алгебру (то есть использовать аналитические методы) к окружностям, расположенным в системе координат x-y . Например, существует хорошая аналитическая связь между уравнением окружности и формулой расстояния, потому что каждая точка на окружности находится на одинаковом расстоянии от его центра.

Вот уравнения круга:

  • Круг с центром в начале координат, (0, 0),
    x 2 + y 2 = r 2
    где r - радиус круга.
  • Круг с центром в любой точке ( h , k ),
    ( x - h ) 2 + ( y - k ) 2 = r 2
    где ( h , k ) - центр круга, а r - его радиус.
    (Как вы помните из курса алгебры, он кажется задом наперед, но вычитая любое положительное число h из x , фактически перемещает круг вправо на , и вычитая любое положительное число k из y движений круг вверх; , добавив число к x , перемещает круг на влево, и добавив положительное число к , перемещает круг на вниз. )

Теперь попробуйте проблему круга:

Вот схема доказательства.

  1. Найти уравнение круга.
    Все, что вам нужно для уравнения круга, это его центр (вы это знаете) и его радиус. Радиус круга - это просто расстояние от его центра до любой точки круга. Так как точка касания дана, это точка для использования. Для остроумия -

    Теперь вы закончите, включив координаты центра и радиус в общее уравнение окружности:

  2. Найти точки круга x и y .
    Чтобы найти x -приятия для любого уравнения, вы просто подключаете 0 для y и решаете для x :

    Нельзя что-то возвести в квадрат и получить негат

.

Основное уравнение круга

Основное уравнение круга - математическая открытая ссылка Окружность может быть определена как местоположение всех точек, которые удовлетворяют уравнению

x 2 + y 2 = r 2

где x, y - координаты каждой точки, а r - радиус окружности.

В простейшем виде уравнение круг Это означает, что для любой точки на круге приведенное выше уравнение будет верным, а для всех остальных точек - нет.Это просто результат Теорема Пифагора. На рисунке выше вы увидите прямоугольный треугольник. гипотенуза радиус окружности, а две другие стороны - это координаты x и y точки P. Применение теоремы Пифагора к этому прямоугольному треугольнику приводит к уравнению окружности.

Перетаскивая точку P по кругу, вы увидите, что отношения между x, y и r всегда сохраняются. Радиус r никогда не меняется, в этом апплете установлено значение 20.Таким образом, x и y изменяются в соответствии с теоремой Пифагора дать координаты P при движении по кругу.

Таким образом, идея заключается в том, что круг является годограф из (форма, образованная) всех точек, которые удовлетворяют уравнению.

Пример

Круг с уравнением Это круг с центром в начале координат и радиусом 8. (8 в квадрате - это 64).

Решение уравнения для радиуса r

Уравнение имеет три переменные (x, y и r).Если мы знаем любые два, то мы можем найти третий. Так что, если нам дают Точка с известными координатами x и y, мы можем переставить уравнение для решения для r: Отрицательный корень здесь не имеет смысла. Обратите внимание, что это работает только тогда, когда центр круга находится в начале координат (0,0), потому что тогда есть только один круг, который пройдет через заданную точку P. Это находит радиус r этого круга.

Решение по координате

Уравнение имеет три переменные (x, y и r).Если мы знаем любые два, то мы можем найти третий. Так что, если нам дают радиус r и координата x мы можем найти y, переставив уравнение:

Обратите внимание, что у этого есть два ответа, из-за плюс / минус. Это ожидается, поскольку на окружности есть две точки с одинаковыми координатами x.

Справа показано, что для данной x-координаты мы видим две точки p1 и p2, которые разделяют эту x-координату.

Что, если центр круга не находится в начале координат?

Затем мы просто добавляем или вычитаем фиксированные суммы к координатам x и y, чтобы вернуть их в начало координат.Подробнее об этом смотрите Общее уравнение круга.

Параметрическая форма

Вместо использования теоремы Пифагора Чтобы решить прямоугольный треугольник в круге выше, мы также можем решить его с помощью тригонометрии. Это приводит к так называемой параметрической форме уравнения окружности, как описано в Параметрическое уравнение круга. Эта параметрическая форма особенно полезна в компьютерных алгоритмах, которые рисуют круги и эллипсы. Это описано в Алгоритм рисования кругов.

Что попробовать

  • В вышеприведенном апплете нажмите «сбросить» и «скрыть детали».
  • Установите флажок «Показать координаты» и снимите флажок «Радиус замораживания».
  • Перетащите точку P, чтобы создать круг по вашему выбору.
  • Рассчитайте радиус круга и напишите уравнение круга.
  • Нажмите «показать подробности», чтобы проверить свой результат.

Похожие темы

(C) 2011 Copyright Math Открытая ссылка.
Все права защищены

,
математика - Как я могу преобразовать координаты на квадрате в координаты на окружности?
Переполнение стека
  1. Товары
  2. Клиенты
  3. Случаи использования
  1. Переполнение стека Публичные вопросы и ответы
  2. Команды Частные вопросы и ответы для вашей команды
  3. предприятие Частные вопросы и ответы для вашего предприятия
  4. работы Программирование и связанные с ним технические возможности карьерного роста
  5. Талант Нанимать технический талант
  6. реклама Связаться с разработчиками по всему миру

Загрузка…

  1. Авторизоваться
.

Расчет координат в единичном круге - Концепция

Единичный круг - это круг, радиус которого равен единице, и центр которого находится в начале координатной плоскости. Это понятие часто встречается во многих математических предметах, особенно в тех, где используется тригонометрия. Вопросы о единичных круговых координатах часто дают неизвестную координату и требуют, чтобы мы использовали свойства единичного круга для вычисления этих координат.

Единичный круг - это то, о чем мы собираемся начать говорить в геометрии, мы также поговорим об этом в алгебре, и вы поговорите об этом в предварительном исчислении и, возможно, немного в исчислении. также. Так что вы можете также ознакомиться с ним прямо сейчас, давайте начнем с того, что такое круг юнитов? Под единицей измерения в математике обычно подразумевается число 1, поэтому единичная окружность - это круг с радиусом 1 с центром в начале координат.Итак, прямо здесь я нарисовал круг с центром в начале координат, и если радиус равен 1, мы можем нарисовать пару ключевых точек. Я знаю, что эта точка прямо здесь, где мой круг пересекает ось х, будет равна 1,0. Я знаю, что эта точка прямо здесь, где она пересекает ось у, будет в 0 и 1. Так, обычно, на вашей домашней работе или тест, когда у вас есть круг юнитов, они сообщат вам, что это круг юнитов, указав эти 2 точки.
Мы также знаем, что в данный момент здесь просто ради информации, будет отрицательным 1, 0, и эта точка здесь будет в 0, отрицательным 1.Так как это связано с теоремой Пифагора? Ну, у вас, вероятно, будет проблема, когда они рисуют в радиусе, поэтому я думаю, что мы могли бы сказать, что рисовать в радиусе r, так что вы собираетесь сказать хорошо r, так как радиус из этого круга 1 будет 1, и чтобы найти значение r на основе некоторой точки x и y, вы собираетесь сбросить высоту. Итак, я собираюсь взять другой цветной маркер здесь, и вы будете сбрасывать высоту вплоть до оси X, создавая прямоугольный треугольник.Так что, если бы я перерисовал этот треугольник здесь, ваша гипотенуза, которая будет противоположна вашему прямому углу, будет иметь значение r, равное 1. 1 нога будет вашей координатой x, а другая нога будет ваша координата у.
Теперь, когда вы попадете во второй, третий и четвертый квадранты здесь, где x отрицателен, здесь, где x и y отрицательны, а четвертый, где y отрицателен, вы будете использовать абсолютное значение x и y, потому что вы хотите иметь положительные числа. Таким образом, ключ к использованию окружности юнитов состоит в том, чтобы помнить, что ваш радиус будет и что вы всегда можете сбросить высоту или, если вы находитесь здесь, поднять высоту, чтобы создать правильный треугольник.

,

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *