Аксиома параллельных прямых: Урок 20. аксиома параллельных прямых — Геометрия — 7 класс
Урок 20. аксиома параллельных прямых — Геометрия — 7 класс
Геометрия
7 класс
Урок № 20
Аксиома параллельных прямых
Перечень рассматриваемых вопросов:
- Аксиомы и теоремы.
- Исторические сведения об аксиоматическом построении евклидовой геометрии.
- Параллельные и перпендикулярные прямые.
- Признаки параллельности прямых.
- Решение задач на доказательство параллельности прямых.
Тезаурус:
Аксиома – это утверждение, которое принимается в качестве исходного, без доказательства в рамках данной теории.
Аксиома параллельных прямых.
Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.
Следствия из аксиомы.
Если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую.
Если две прямые, параллельны третьей прямой, то они параллельны.
Основная литература:
- Атанасян Л.
Дополнительная литература:
- Атанасян Л. С. Геометрия: Методические рекомендации 7 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Глазков Ю. А. и др. – М.: Просвещение, 2019. – 95 с.
- Зив Б. Г. Геометрия: Дидактические материалы 7 класс. // Зив Б. Г., Мейлер В. М. – М.: Просвещение, 2019. – 127 с.
- Мищенко Т. М. Дидактические материалы и методические рекомендации для учителя по геометрии 7 класс. // Мищенко Т. М., – М.: Просвещение, 2019. – 160 с.
- Атанасян Л. С. Геометрия: Рабочая тетрадь 7 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Глазков Ю. А., Юдина И. И. – М.: Просвещение, 2019. – 158 с.
- Иченская М. А. Геометрия: Самостоятельные и контрольные работы 7–9 классы. // Иченская М. А. – М.: Просвещение, 2019. – 144 с.
Теоретический материал для самостоятельного изучения
Построение геометрии
Геометрия на плоскости изучает фигуры: сначала даются их определения, затем доказываются свойства или отношения в виде теорем.
Однако есть утверждения, которые принимаются в качестве исходных, они не доказываются. Это аксиомы.
Аксиома – происходит от греческого «аксиос», что означает «ценный, достойный». Изначально имело смысл «самоочевидная истина».
Теорема – греческое слово, означает «зрелище, представление». В математике греков употреблялось в смысле «истина, доступная созерцанию».
Аксиома параллельных прямых.
Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.
Следствия из аксиомы.
Если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую.
Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.
Впервые аксиоматический подход к изложению геометрии был изложен в знаменитом сочинении Евклида «Начала» в III веке до нашей эры. Геометрию, которую мы изучаем, по сей день, называют евклидовой. Схема изучения геометрии представлена так: задаются начальные понятия (точка, прямая, плоскость), определения фигур (отрезок, луч, треугольник и др.
). Затем изучаются свойства или отношения между ними в виде аксиом или теорем.
Приведём примеры аксиом, которые уже встречали в предыдущих параграфах, хотя они не назывались аксиомами.
- Через любые две точки проходит прямая, и притом только одна.
- На любом луче от его начала можно отложить отрезок, равный данному, и притом только один.
- От любого луча можно отложить угол, равный данному неразвёрнутому углу, и притом только один.
Евклид является автором аксиоматического подхода к построению геометрии.
Аксиома параллельных прямых:
через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.
На рисунке через точку М проведены две прямые. Но только одна из них прямая b параллельна прямой а.
Утверждения, которые выводятся из аксиом или теорем, называются следствиями, и они доказываются.
Следствия из аксиомы параллельных прямых.
1.
Если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую.
Доказательство методом от противного.
Пусть a ║b, c пересекает прямую a в точке M. Предположим, что прямая c не пересекает b. Тогда через точку M проходит две прямые a и c параллельные b. Это противоречит аксиоме, значит предположение неверно, т. е. прямая c пересекает b.
2. Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.
Доказательство методом от противного.
Пусть a ║ c, b ║ c.
Предположим, что прямые a и b не параллельны, т. е. пересекаются в точке M. Тогда через точку M проходит две прямые a и b параллельные c. Это противоречит аксиоме, значит, предположение неверно, т. е. прямая a параллельна прямой b.
Разбор заданий тренировочного модуля
№ 1.
Доказать существование прямой, параллельной данной.
Объяснение:
Доказательство:
- Проведём через точку М прямую c ┴ а.
- Затем проведём прямую b ┴ c.
- Так как прямые a и b перпендикулярны прямой c, то они параллельны.
№ 2. Через точку А,
не лежащую на прямой р, проведены четыре различные прямые.Сколько из них пересекает прямую р?
Объяснение.
1 случай. Если одна из прямых параллельна р. Тогда три других пересекают прямую р, согласно следствию 1 из аксиомы параллельных прямых.
2 случай. Если ни одна из прямых не параллельна р. Тогда все четыре пересекают прямую р.
Ответ: 3 или 4.
2. Свойства параллельных прямых. Аксиома параллельных прямых
Признаки, которые мы рассматривали в первой части теории, и свойства, которые будем рассматривать в этой части, доказываем разными способами.
Признак — это некоторый факт, благодаря которому мы устанавливаем справедливость интересующего нас суждения о некотором объекте.
Если при пересечении двух прямых третьей секущей накрест лежащие углы равны, то эти две прямые параллельны.
Свойство — если мы уверены в справедливости суждения, мы формулируем свойство объекта.
Если две прямые параллельны, то при пересечении их с третьей секущей накрест лежащие углы равны.
Аксиома, в свою очередь — такая истина, которую не надо доказывать. В каждой науке есть свои аксиомы, на справедливости которых строят все дальнейшие суждения и их доказательства.
Аксиома параллельных прямых.
В одной плоскости с заданной прямой через точку, не лежащую на этой прямой, можно провести только одну прямую, параллельную заданной прямой.
Иногда эту аксиому называют как одно из свойств параллельных прямых, но на справедливости этой аксиомы строятся многие доказательства в геометрии.Другие свойства параллельных прямых.
1. Если одна из пары параллельных прямых параллельна третьей прямой, то и другая прямая параллельна третьей прямой.
2. Если некая прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и вторую параллельную прямую.
Эти свойства в отличие от аксиомы нужно доказать.
Докажем 1. Свойство.
Даны две параллельные прямые \(a\) и \(b\). Верно ли, что если прямая \(c\) параллельна прямой \(a\), то она параллельна и прямой \(b\)?
Используем противоположное суждение.
Допустим, что возможна ситуация, когда прямая \(c\) параллельна одной из параллельных прямых — прямой \(a\) — пересекает другую прямую \(b\) в некоторой точке \(K\).
Получается противоречие с аксиомой параллельных прямых. Мы имеем ситуацию, когда через точку проходят две пересекающиеся прямые, которые параллельны одной и той же прямой \(a\). Такого не может быть, значит, прямые \(b\) и \(c\) пересекаться не могут.
Мы доказали, что верно: если одна из пары параллельных прямых параллельна третьей прямой, то и другая прямая параллельна третьей прямой.
Попробуй доказать самостоятельно 2. Свойство.
Если некая прямая \(c\) пересекает одну из двух параллельных прямых \(a\), то она пересекает и вторую параллельную прямую \(b\).
Таким же методом от противоположного суждения попробуй представить, что возможна ситуация, когда прямая пересекает одну из параллельных прямых, но не пересекает другую.
Перечислим свойства углов, которые образуются при пересечении двух параллельных прямых с третьей секущей.
При пересечении двух параллельных прямых третьей секущей:
— накрест лежащие углы равны,
— соответственные углы равны,
— сумма односторонних углов равна \(180°\).
Аксиома параллельных прямых / Параллельные прямые / Справочник по геометрии 7-9 класс
- Главная
- Справочники
- Справочник по геометрии 7-9 класс
- Параллельные прямые
- Аксиома параллельных прямых
Рассмотрим произвольную прямую и точку М, не лежащую на ней (Рис.
1).
Докажем, что через точку М можно провести прямую, параллельную
Возникает вопрос: можно ли через точку М провести еще одну прямую, параллельную прямой ?
Если прямую «повернуть» на какой-то угол вокруг точки М, то она пересечет прямую (прямая ‘ на рис.3).
То есть нам кажется, что через точку М нельзя провести прямую отличную от прямой , параллельную прямой .
Утверждение о единственности прямой, проходящей через данную точку параллельно данной прямой, не может быть доказано на основе остальных аксиом Евклида, а само является аксиомой.
Аксиома параллельных прямых
| Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной. |
Следствия из аксиомы параллельных прямых
| 10. Если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую. |
Дано: , = М (Рис.4).
Доказать: .
Доказательство:
Если мы предположим, что прямая не пересекает прямую , то прямая будет параллельна прямой , а по условию через точку М проходит прямая параллельная прямой , значит получим, что через точку М будут проходить две прямые и параллельные прямой (Рис.
5).
Но это противоречит аксиоме параллельных прямых, значит, наше предположение неверно, и прямая пересекает прямую , т.е. . Что и требовалось доказать.
| 20. Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны . |
Дано: , (Рис.6).
Доказать: .
Доказательство:
Предположим, что прямые и не параллельны, т.е. пересекаются в некоторой точке М (Рис.7).
Тогда получим, что через точку М проходят две прямые и параллельные прямой , т.
к. по условию и . Но это противоречит аксиоме параллельных прямых, следовательно, наше предположение неверно, значит, прямые и параллельны, т.е. . Что и требовалось доказать.
Поделись с друзьями в социальных сетях:
Советуем посмотреть:
Параллельные прямые
Признаки параллельности двух прямых
Практические способы построения параллельных прямых
Аксиомы геометрии
Теорема о накрест лежащих углах
Теорема о соответственных углах
Теорема об односторонних углах
Теорема об углах с соответственно параллельными сторонами
Теорема об углах с соответственно перпендикулярными сторонами
Параллельные прямые
Правило встречается в следующих упражнениях:
7 класс
Задание 198, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
Задание 200, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
Задание 9, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
Задание 10, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
Задание 14, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
Задание 213, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
Задание 279, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
Задание 281, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
Задание 568, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
Задание 645, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
© budu5.
com, 2021
Пользовательское соглашение
Copyright
Аксиома параллельных прямых в геометрии
ОПРЕДЕЛЕНИЕДве прямые называются параллельными, если они не пересекаются. (рис. 1)
Обозначение:
Аксиома параллельных прямых
АКСИОМА Через любую точку плоскости, расположенную вне данной прямой, можно провести единственную прямую, параллельную данной (рис. 2).Следствия из аксиомы параллельности
Следствие 1. Если прямая пересекает одну из параллельных прямых, то она пересекает и другую: (рис. 3)
Следствие 2. Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны: (рис. 4)
Примеры решения задач
ПРИМЕР 1| Задание | Доказать, что если две параллельные прямые пересечены третьей, то внутренние накрест лежащие углы равны.
|
| Доказательство | Предположим противное, пусть . Тогда от луча можно отложить единственный . Углы и накрест лежащие и равные, тогда прямые и параллельные. Значит, через точку проходят две прямые, параллельные прямой . Получаем противоречие с аксиомой. Следовательно, .
Что и требовалось доказать. |
| Задание | Доказать, что если прямая перпендикулярна одной из параллельных прямых, то она перпендикулярна и второй. |
| Доказательство | Пусть прямые и параллельные, а прямая перпендикулярна прямой . Значит, прямая пересекает и прямую , т.е. – секущая по отношению к и . Тогда , так как они являются внутренними накрест лежащими. Следовательно, т.е. прямые и – перпендикулярны.
Что и требовалось доказать. |
Аксиомы стереометрии
Аксиомы планиметрии
Аксиомы геометрии
Аксиомы
Аксиома параллельных прямых
Рассмотрим прямую a и точку M, не лежащую на этой прямой (Рис.
1). Докажем, что через точку M можно провести прямую, параллельную прямой a.
Проведем через точку M прямую c, перпендикулярно прямой a, и прямую b, перпендикулярно прямой c (Рис.2).
Поскольку a и b перпендикулярны прямой с, то они параллельны (статья Перпендикулярные прямые Теорема 1 и статья Параллельные прямые. Признаки параллельности прямых Определение 1). Таким образом через точку M проходит прямая, параллельная прямой a.
Возникает вопрос, существует ли другая прямая, проходящая через точку M параллельно прямой a. Интуитивно ясно, что если немного повернуть прямую b вокруг оси M, то прямые b и a пересекутся. Но доказать это утверждение до сих пор не удалось. основываясь на стальных аксиомах геометрии.
Таким образом имеем это утверждение в виде аксиомы:
Аксиома 1. Через точку, не лежащую на данной прямой проходит только одна прямая, параллельная данной.
Следствие 1. Если прямая пересекает одну из параллельных прямых, то она пересекает и другую.
Доказательство. Пусть заданы параллельные прямые a и b и пусть прямая c пересекает a в точке M (Рис.3). Докажем, что прямая c пересекает и прямую b.
Предположим обратное, т.е. c не пересекает b. Тогда получается, что через точку M проходят две прямые a и c параллельно прямой b, что невозможно (Аксиома 1). Следовательно прямая с пересекает и прямую b.
Следствие 2. Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.
Действительно. Предположим, что прямые a и b параллельны прямой c. Докажем, что прямая a параллельна прямой b. Предположим обратное, т.е. прямые a и b пересекаются в точке M (Рис.4). Тогда получается, что через точку M проходят две прямые, параллельные прямой c. Но это невозможно (Аксиома 1).
Значит прямые a и b параллельны.
Аксиома параллельных прямых
На предыдущих уроках мы рассмотрели ряд теорем, доказательства которых опираются на уже доказанные ранее теоремы. В таком случае возникает вопрос: А на чём основаны доказательства самых первых теорем? Ответ такой: Доказательства самых первых теорем основаны на аксиомах.
Определение:
Аксиома (в переводе с греческого «аксиос» означает ценный, достойный) — это утверждение, устанавливающее некоторое свойство и принимаемое без доказательства.
Аксиомы возникли из опыта, они являются наглядно очевидными и не вызывают сомнений.
Нам уже известны некоторые аксиомы. Например:
1. Через любые две точки проходит прямая и притом только одна.
2. На любом луче от его начала можно отложить
отрезок, равный данному, и притом только один.
3. От любого луча в заданную сторону можно отложить угол, равный данному неразвёрнутому углу, и притом только один.
Аксиома:
Пусть дана прямая а и не лежащая на ней произвольная точка О. Докажем, что через точку О можно провести прямую, параллельную прямой а.
Проведём две прямые: сначала прямую c, перпендикулярно к прямой а, а затем прямую b, перпендикулярно к прямой c.
Получили, что прямые а и b перпендикулярны к прямой c, а значит, они параллельны.
А теперь возникает вопрос: можно ли провести ещё
одну прямую через точку О, параллельную прямой а?
Ответ на этот вопрос не является очевидным. Оказывается, что утверждение о
единственности прямой, проходящей через данную точку и параллельной прямой, не
может быть доказано на основании остальных аксиом и само является аксиомой.
Аксиома параллельных прямых:
Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.
Следствия из аксиомы:
1. Если прямая пересекает одну из параллельных прямых, то она пересекает и другую.
2. Если две прямые параллельны третьей, то они параллельны.
Пример.
Дан треугольник АВС. Сколько прямых, параллельных стороне АС можно провести через вершину В?
Так как по аксиоме параллельных прямых через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной:
То есть через точку В можно провести единственную прямую, параллельную стороне АС треугольника АВС.
Геометрия, которую вы изучаете в школе,
называется «евклидовой геометрией», так как её основы заложил древнегреческий
математик Евклид. Его подход к построению геометрии основан на том, что сначала
формулируются аксиомы, а затем путём рассуждений доказываются другие
утверждения.
В 18-м веке русский математик Николай Лобачевский создал другую геометрию. Лобачевский считал аксиому параллельности Евклида произвольным ограничением. С его точки зрения, это требование слишком жёсткое.
И он предположил, что через точку, не лежащую на данной прямой, проходит более чем одна прямая, параллельная данной. В результате получилась новая система определений и теорем. Эту геометрию назвали геометрией Лобачевского.
Как оказалось, геометрия Лобачевского точнее описывает геометрию Вселенной, чем геометрия Евклида. Результатами геометрии Лобачевского пользовался учёный Альберт Энштейн.
Разработка урока по геометрии «Аксиома параллельных прямых»(7 класс)
муниципальное автономное общеобразовательное учреждение
средняя общеобразовательная школа №45
Разработка урока по теме
«Аксиома параллельных прямых»,
геометрия, 7 класс.
Автор учитель математики
высшей категории
МАОУ СОШ №45 г. Калининграда
Гавинская Елена Вячеславовна.
г. Калининград
2017 – 2018 учебный год
Автор – Гавинская Елена Вячеславовна
Образовательное учреждение – муниципальное автономное общеобразовательное учреждение города Калининграда средняя общеобразовательная школа № 45
Предмет – математика (модуль «Геометрия»)
Класс – 7
Тема – «Аксиома параллельных прямых»
Учебно-методическое обеспечение:
Геометрия. 7 — 9 класс: учебник для общеобразовательных учреждений /Л.С.Атанасян и др., — М.: Просвещение, 2015 г.
Данные о программах, в которых выполнена мультимедийная составляющая работы — Microsoft Office Power Point 2010
Цель:
дать представление об аксиомах геометрии, ввести аксиому параллельных прямых, сформулировать и доказать следствия из аксиомы параллельных прямых.
Задачи обучающие:
начать формировать навыки решения практических задач на применение аксиомы параллельных прямых и следствий из неё;
развивающие:
формирование способности анализировать, обобщать полученные знания;
развитие навыков применения компьютерных технологий;
формирование логического мышления;
воспитательные:
активизировать интерес к получению новых знаний,
воспитывать графическую культуру, формировать точность и аккуратность при выполнении чертежей.
Обоснование выбора методов, средств и форм обучения:
оптимизировать обучение путем разумного сочетания и соотношения методов, средств и форм, направленных на получение высокого результата за время урока.
Оборудование и материалы для урока: проектор, экран (интерактивная доска, далее ИД), компьютеры или ноутбуки индивидуально для каждого учащегося, презентация для сопровождения урока, раздаточный материал.
Тип урока: комбинированный.
Структура урока:
Целесообразность использования медиа продукта на занятии продиктована следующими факторами:
интенсификацией учебно-воспитательного процесса:
автоматизацией процесса контроля,
улучшением наглядности изучаемого материала,
увеличением количества предлагаемой информации,
уменьшением времени подачи материала;
повышением эффективности усвоения учебного материала за счет групповой и самостоятельной деятельности учащихся.
Обоснование выбора форм и методов работы на уроке по теме «Аксиома параллельных прямых» и методические рекомендации по применению презентации на уроке.
Тема «Аксиома параллельных прямых» (первый урок по теме) входит в тему «Аксиома параллельных прямых» по авторскому планированию Л.С.Атанасяна. Предлагаемые формы и методы работы по данной теме способствуют отработке навыков применения имеющихся знаний по указанной теме к решению различных заданий. Задания, предложенные на уроке, подбирались с учетом возрастных особенностей учащихся и способствуют развитию логического мышления, математической интуиции, умению анализировать, применять знания в нестандартных ситуациях с учетом меж предметных связей при решении задач практического содержания. Предложенные формы и методы применяются для групповой, самостоятельной и фронтальной работ. Однако их можно использовать и как тренажёр для отдельного учащегося, работающего за компьютером.
И последнее примечание: все учащиеся класса с начала учебного года разделены на три типологические группы: группа А – самые «слабые» учащиеся, группа В – «средние» учащиеся, группа С – учащиеся с высоким уровнем обученности по предмету.
Ход урока.
1.Организационный момент.
Объявляется цель и план урока.
Записывается домашнее задание: п.27, 28, вопросы 7 — 9 (стр.68), № 199, 200.
2.Введение нового материала.
С привлечением учащихся в форме беседы вводится новый материал. Использовать слайды №3 — 6.
Так как учащиеся впервые встречаются с понятием аксиомы, то учителю следует начать изложение нового материала с беседы об аксиомах геометрии, причём можно использовать п.
27 и приложения 1 и 2 из учебника, а также книгу Г. И. Глейзера «История математики в школе», вышедшую в издательстве «Просвещение» в 1982 г. Затем можно предложить учащимся задачу, решение которой дано в начале п. 28: через точку М, не лежащую
на прямой а, провести прямую, параллельную прямой а. Решение этой задачи доказывает существование прямой, проходящей через данную точку и параллельной данной прямой. После этого можно поставить вопрос: сколько таких прямых можно провести? Полезно рассказать учащимся о том, что в геометрии Евклида, изложенной им в книге «Начала», ответ на данный вопрос следует из знаменитого пятого постулата, и этот ответ таков: через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной. Пятый постулат знаменит тем, что долгие годы его пытались доказать на основе остальных аксиом Евклида. И лишь в XIX в., во многом благодаря великому русскому математику Н. И. Лобачевскому, было
доказано, что пятый постулат не может быть выведен из остальных аксиом.
Поэтому утверждение о единственности прямой, проходящей через данную точку параллельно данной прямой, принимается в качестве аксиомы. Следует обратить внимание учащихся на то, что в аксиоме утверждается, что через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной (единственность прямой), а существование такой прямой доказывается.
Далее можно решить задачи №196 (устно) и №197. При решении задачи 197 полезно на рисунке показать учащимся два возможных случая расположения прямых: а) все четыре прямые пересекают прямую р; б) одна из четырёх прямых параллельна прямой р, а три другие прямые пересекают её. Эти два случая иллюстрируют ответ на вопрос задачи: по крайней мере, три прямые пересекают прямую р.
В этом параграфе учащиеся впервые встречаются с понятием следствия, поэтому нужно разъяснить смысл этого понятия, после чего рассмотреть следствия из аксиомы параллельных прямых.
3.Гимнастика для глаз.
4.Закрепление изученного.
С комментированием у доски (при этом каждый раз предварительно ребята обсуждают в парах план решения) решить задачи №198, №213. При наличии времени полезно устно решить задачи №217 и №218. Задачу №219 можно предложить учащимся, проявляющим интерес к геометрии.
№219.
Решение.
Предположим, что прямые а и b не параллельны, т. е. пересекаются. Тогда можно провести прямую с, которая пересекает прямую а и не пересекает прямую b. Но это противоречит условию задачи. Значит, наше предположение неверно и а‖b.
5.Подведение итогов урока, выставление отметок.
Учащимся предлагается ответить на вопрос: что вызвало наибольшие затруднения на уроке? Какова ценность сегодняшнего урока? Чему же мы сегодня с вами научились?
Анкетирование можно провести с помощью системы Verdict:
Выставить отметки за работу на уроке.
parallel_axiom.htm
parallel_axiom.htmМы рассматриваем несколько из множества аксиом, эквивалентных исходному постулату 5, аксиома параллельных прямых.
Аксиома Евклида: То, если прямая линия падение на две прямые уменьшает внутренние углы на одной стороне чем два прямых угла, две прямые линии, если их образовывать бесконечно, пересекаются на той стороне, на которой углы меньше двух прямых углов.
Вы заметите, что эти аксиомы охватывают большую часть геометрии плоскости, раскрывая
важность этой аксиомы для геометрии треугольников.
Аксиома Playfair: Дана линия и точка не на линии, можно провести ровно одну линию через данную точка параллельна линии.
Аксиома Плейфэра была опубликована Джоном Плейфэром в 1795 году в качестве альтернативы
Параллельная аксиома Евклида. Playfair заметил, что он вывел аксиому из
Прокл. Прокл вывел эту версию аксиомы в пятом веке.
Этот
версия также совпадает с версией Омара Хайяма от 1066 года.Через точку не на прямой может проходить одна и только одна параллель.
быть привлеченным к этой линии.
Параллельная аксиома Гильберта: Может быть проведенная через любую точку А, лежащую за пределами линии, одна и только одна линия, которая не пересекает данную линию.
В 1899 году Дэвид Гильберт сформулировал набор аксиом, характеризующих евклидову систему. геометрия. Его параллельная аксиома была одной из таких аксиом.
Аксиома Прокла: Если линия пересекает одну из две параллели она также пересекает другую.
Прокл Диадох (411-485) написал Комментарий к Евклиду во время обучения у Платона. Академия. В своем Комментарии он доказывает следующую проблему: «Учитывая, докажи, что прямые а также встретиться в определенный момент ».
Аксиома Клавиуса: Все точки равноудалены
от данной прямой линии, с данной стороны от нее составляют прямую линию.
Кристоф Клавиус (1537-1612), немец по происхождению, был выдающимся математиком. ордена иезуитов.Он написал ряд учебников, все из которых прошли многочисленные издания при жизни. К ним относятся его версия Евклида. Элементы. Однако Клавиус выступил против Коперника. Система на физических и библейских основаниях, и поэтому он оставался до тех пор, пока конец его жизни.
Аксиома Джона Уоллиса: Учитывая треугольник, мы можем построить подобный треугольник любого размера.
Джон Уоллис предложил эту аксиому в 1600-х годах, чтобы доказать параллельность аксиома.К сожалению, в своем доказательстве он принимает параллельную аксиому Евклида, которая он фактически пытается доказать, делая доказательство недействительным.
Аксиома Абу Али ибн аль-Хайсама: параллель
прямые — это компланарные линии, так что, если они производятся бесконечно в обоих
направлениях они не пересекаются ни в одном из направлений.
Примерно в 1000 году нашей эры Хэйтем использовал отрезки прямой конечной величины, чтобы попытаться улучшить параллельную аксиому Евклида. Это было в погоне за доказательством Параллельная аксиома Евклида о том, что первые теоремы гиперболической геометрии были полученный.
Аксиома Адриана-Мари Лежандра (1752-1833): Для любого острого угла A и любой точки D внутри угол A, существует прямая, проходящая через D, а не через A, которая пересекает оба стороны угла A.
Адриан-Мари Лежандр (1752-1833) предпринял несколько попыток доказать пятый постулат. Вывод гипотезы таков: сумма углов треугольника равняется двум прямым углам. Этот результат показывает, насколько неразрывно связаны аксиома параллельных прямых с вся классическая плоская геометрия.
Аксиома Клеро: существует прямоугольников.
Алексис Клод Клеро (1713-1765) был французским геометром, пришедшим на смену
пятый постулат по его собственному постулату 1741 г.
в тексте «Elements De
Геометрия ».
Аксиома Фаркаша: Три неколлинеарных точки всегда линия по кругу.
(Болия Фаркас 1775-1856).
В погоне за параллельным постулатом — Сеть блогов Scientific American
Евклидова геометрия, систематизированная около 300 г. до н.э. Евклидом Александрийским в одном из самых влиятельных учебников истории, основана на 23 определениях, 5 постулатах и 5 аксиомах, или «общих понятиях». .«Но, как я упоминал в своем недавнем посте о гиперболической геометрии, один из постулатов, параллельный постулат, не похож на другие.
В переводе Томаса Хита « Элементов » Евклида (также известного как перевод, который есть у меня) пять постулатов сформулированы как:
«Позвольте постулировать следующее:1) Провести прямую линию из любой точки в любую точку.
2) Чтобы построить конечную прямую непрерывно на прямой.
3) Описать круг с любым центром и расстоянием.
4) Все прямые углы равны друг другу.
5) Что, если прямая линия, падающая на две прямые, делает внутренние углы на одной стороне меньше двух прямых углов, две прямые линии, если они образуются бесконечно, пересекаются на той стороне, на которой углы меньше двух прямые углы »
Первые четыре короткие и сладкие, а пятый — полный рот.Это легче увидеть на картинке.
Постулат параллельности гласит, что если сумма углов α и β составляет менее 180 градусов, то пунктирные линии в конечном итоге пересекаются. Предоставлено: 6054, через Wikimedia Commons. CC BY-SA 3.0. Постулат параллельности кажется достаточно естественным, но это утверждение должно быть теоремой — чем-то, что мы доказываем с помощью других аксиом и постулатов, — а не постулатом. В течение 2000 лет математики пытались доказать это, чтобы показать, что параллельный постулат может быть выведен из других аксиом и постулатов.(Чтобы узнать об увлекательной истории Джованни Джироламо Саккери, одного из математиков, пытавшихся это сделать, ознакомьтесь с публикацией в блоге Тони Кристи о проблеме с параллелями.
)
Каждая попытка доказать постулат параллельности как теорему была обречена на провал, потому что постулат параллельности не зависит от других аксиом и постулатов. Мы можем сформулировать геометрию без постулата параллельности или с другой версией постулата, придерживаясь всех других аксиом.Гиперболическая геометрия, о которой шла речь в моем последнем посте, использует другую версию постулата параллельности и поэтому приводит к совершенно другой геометрии.
Я не историк математики, поэтому мои представления о том, каково было попытаться доказать параллельный постулат, являются спекулятивными. Но я представляю себе постулат параллельности как складку на листе, которая движется, когда вы пытаетесь ее разгладить, но никогда не исчезает. Люди пытались «сгладить» параллельный постулат, доказав его, но они лишь перенесли эту складку в какое-то другое утверждение.Эти заявления меня восхищают. Любой из них может заменить постулат параллельности, но, как и постулат параллельности, они не могут быть доказаны с использованием только других постулатов и аксиом.
Playfair, вероятно, является самым простым утверждением, эквивалентным постулату параллельности. Фактически, я усвоил это как постулат параллельности: на плоскости, если дана линия и точка не на ней, через точку может быть проведена ровно одна линия, параллельная данной линии.
Аксиома Playfair утверждает, что есть только одна линия, проходящая через точку P, которая не пересекает линию L.Предоставлено: Эвелин Лэмб. Аксиома Playfair проста и прямолинейна, но некоторые из наиболее интересных утверждений, эквивалентных постулату параллельности, касаются треугольников. Вы, наверное, помните из школьного урока геометрии, что в сумме углы треугольника составляют 180 градусов. Это верно только в том случае, если вы принимаете постулат параллельности. Фактически, это эквивалент постулата параллельности. Но подождите, это еще не все: утверждение, что все треугольники имеют одинаковую сумму углов, также эквивалентно постулату параллельности.Я думаю, это интересно, потому что это означает, что в других геометриях есть треугольники, которые имеют разные суммы внутренних углов! В гиперболической геометрии, например, сумма углов может быть любым числом, которое меньше 180 градусов и больше или равно 0 градусов.
Нетрудно заметить, что свойства треугольников разной геометрии приводят к свойствам других форм.Например, евклидова геометрия — единственная геометрия с прямоугольниками. Почему? Если вы разделите прямоугольник на два треугольника, нарисовав одну из диагоналей, вы получите два совпадающих треугольника. Сумма углов прямоугольника составляет 360 градусов, поэтому каждый треугольник должен иметь углы в сумме до 180 градусов. Если вам нравятся прямоугольники, остановитесь на Евклиде.
Если вы хотите увидеть их снова, вам лучше принять постулат параллельности. Предоставлено: Уэббер, через Wikimedia Commons.Возвращаясь к треугольникам, вы можете вспомнить идеи «похожих» треугольников и «конгруэнтных» треугольников.Два треугольника подобны, если у них одинаковые углы, и конгруэнтны, если они похожи и имеют одинаковую длину сторон.
Евклидовы треугольники, которые похожи, но не совпадают.
Существование подобных несовпадающих треугольников эквивалентно постулату параллельности. Предоставлено: Nguyenthephuc, через Wikimedia Commons.В евклидовой геометрии есть подобные треугольники, которые не совпадают. На самом деле их очень много. Независимо от того, с какого треугольника вы начинаете, вы можете увеличивать или уменьшать его до любого размера.Однако тот факт, что есть похожие треугольники, которые не совпадают, очень особенный. Это еще одно утверждение, эквивалентное постулату параллельности! Например, в гиперболической геометрии углы треугольника однозначно определяют длины его сторон. Это имеет еще более удивительное следствие: евклидова геометрия — единственная геометрия, в которой треугольники могут быть сколь угодно большими. В гиперболической геометрии есть самый большой треугольник.
Еще одно утверждение о треугольниках, которое эквивалентно постулату параллельности, — это теорема Пифагора: в прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов двух других сторон.
Это одна из первых теорем, которую мы изучаем в геометрии, но она верна только в том случае, если мы примем параллельный постулат.
Как пишет Александр Богомольный на своем веб-сайте Cut the Knot, некоторые утверждения, эквивалентные постулату параллельности, кажутся очевидными, а некоторые — нет: «По общему мнению, теорема Пифагора далеко не очевидна.Удивительно, что постулат параллельности, эквивалентный таким интуитивным утверждениям, как [существует пара подобных несовпадающих треугольников] и [нет верхнего предела площади треугольника], также эквивалентен теореме Пифагора. «
Поскольку столетия математикам не удавалось доказать параллельный постулат с помощью других постулатов и аксиом, я представляю, как они пыхтят, пытаясь выяснить, что произойдет, если они предположат, что параллельный постулат ложен.
Они толкали и толкали, но они никогда не могли окончательно найти противоречие.В то время как они пыхтели, они обнаружили эти и многие другие утверждения, эквивалентные постулату параллельности. Если вы предположите любой из них, вы получите евклидову геометрию, но без них вы сможете найти свой путь в фантастическую страну неевклидовой геометрии, где углы определяют длину, а квадратов нет!
EPP
| ТОС и гл. 0 и гл. 1 Аксиома ОглавлениеЧ. 0 ВведениеCh. 1 Аксиоматические системы 1.1.1. Введение 1.1.2 Примеры 1.1.3 История 1.2 Конечная геометрия 1.3 Конечная проективная 1.4 Приложения | Гл. 2 Нейтральная геометрияЧ. 2 Содержание
2.1.1 Введение 2.1.2 История 2.1.3 Аналитические модели
2.2 Аксиомы заболеваемости
2.3 Аксиомы расстояния / линейки
2.4.1 Аксиома разделения плоскостей
2.4.2 Угол и измерение
2.5.1 Дополнение к постулату
2.5.2 Постулат SAS
2.6.1 Параллельные линии
2.6.2 Четырехугольник Саккери
2. 7.1 Постулат о параллельности Евклида
2.7.2 Постулат гиперболической параллельности
2.7.3 Постулат эллиптической параллельности
2.8 Евклид / гиперболический / эллиптический
Аксиомы Биркгофа
Аксиомы Гильберта
SMSG Аксиомы | Гл. 3 TransformationalCh. 3 Содержание 3.1.1 Введение 3.1.2 История 3.2.1 Определения 3.2.2 Аналитическая модель 3.2.3 Аффинное преобразование 3.3.1 Изометрия 3.3.2 Модель / Коллинеарность 3.3.3 Модель / Изометрия 3.4.1 Прямая изометрия 3.4.2 Модель / Прямая 3.5.1 Косвенная изометрия 3.5.2 Модель / косвенный 3.6.1 Преобразование подобия 3.6.2 Модель / Сходство 3.7 Другие аффинные преобразования | Гл. 4 Проективная геометрияЧ. 4 Содержание
4.1.1 Введение 4.1.2 Историческое 4.2.1 Аксиомы
4.2.2 Основные теоремы
4.3 Двойственность
4.4 Теорема Дезарга
4.5.1 Гармонические наборы
4.5.2 музыкальных и гармонических набора
4.6.1 Определения проективности
4.6.2 Основная теорема
4.6.3 Проективность / Гармонические множества
4. 6.4 Альтернативная конструкция
4.7.1 Коники
4.7.2 Теорема Паскаля
4.7.3 Касательные к коникам | Другие темы 5 Сферическая геометрияЧ. 6 Фрактальная геометрияЧ. 7 Топология | ПриложенияИнтернет-ресурсыIndexGeometer’s Sketchpad / GeoGebraJavaSketchpad / GeoGebraHTML Видео-лекции Логический обзор Рекомендации Благодарности |
2.7.1 Постулат евклидовой параллели Распечатка
Это даже должно быть исключено из Постулатов
все вместе; ибо эта теорема сопряжена со многими трудностями.
— Прокл (410–485)
Евклид s Пятый постулат . То, если прямая падает на две прямые сделать внутренние углы на одной стороне меньше двух прямых углов, два прямые линии, если их проводить бесконечно, пересекаются на той стороне, на которой углы меньше двух прямых углов.
SMSG
Постулат 16 .
( Постулат евклидовой параллели )
Через заданную внешнюю точку проходит не более одной линии, параллельной заданной
линия.
Playfair’s Аксиома. Через точку не на прямой проходит ровно одна параллельная линия к данной строке.
Аксиома Playfair названа в честь Джон Плейфейр (1748–1819), шотландский физик и математик, хотя многие другие использовали его намного раньше.Поскольку мы показали наличие параллельная линия, ясно, что SMSG Постулат 16 (Евклидова параллель Постулат) и Аксиома Плейфэра эквивалентны. Далее, Пятый постулат Евклида и евклидово Постулат параллельности эквивалентны.
Теорема 2.21. В нейтральной геометрии Евклидов Пятый постулат эквивалентен постулату евклидовой параллели.
Доказательство. Сначала используйте Пятый постулат Евклида, чтобы доказать
Постулат евклидовой параллели.Пусть л быть линией и P быть точкой не на l . По теореме 2.
12 существует единственная
линия, перпендикулярная заданной линии, проходящая через заданную точку; следовательно, есть
точка Q на l так, что строка PQ перпендикулярно к л . Также есть
уникальная линия k 1 через P , так что линия PQ перпендикулярна k 1 .По теореме 2.13 две прямые, перпендикулярные одной и той же прямой, параллельны;
следовательно, k 1 параллельна
на l и P на k 1 .
Нам нужно показать, что k 1 — уникальная линия
параллельно l через P . Пусть k 2 будет другой строкой через P , такой что к 1 и k 2 — отдельные линии.Пусть A и B будут разными точками на k 2 таким образом, что A-P-B и B и Q находятся на одной стороне k 1 .
Пусть R будет на l и S будет на k 1 , так что B, R, и S все находятся на одной стороне строки PQ . Следовательно, поскольку B и S находятся на одной стороне линии, PQ и B и Q находятся на одной стороне
сторона линии ПС , по определению
внутренний угол, начиная с линии PQ перпендикулярна как l , так и k 1 и является прямым углом; я.е. Так как Следовательно, Следовательно, поскольку B и R находятся на одном и том же
сторона линии PQ и,
Пятым постулатом Евклида и пересекаются на той же стороне, что и B и R . Следовательно, k 1 это единственная линия, параллельная l , которая
содержит P .
Затем используйте евклидову параллель
Постулат для доказательства Евклида
Пятый постулат. Учитывая строку BC и
две точки A и D на одной стороне линии BC с участием
Нам нужно показать луч BA пересекает луч CD .
Посредством
Угол
Постулат строительства, есть луч BE с E и A на той же стороне линии BC такое, что
Пусть F будет точкой такие, что E-B-F , тогда и являются линейной парой. Следовательно и являются дополнительными. Следовательно,
Согласно (2) и (3),.
Следовательно, поскольку D и F находятся на противоположных сторонах линии BC и являются альтернативными внутренними углами.Следовательно
Теорема 2.15, прямая EB параллельна
линия DC. Согласно (1) и (2), Следовательно, строка AB и строка EB — отдельные строки
через B . Таким образом, по евклидову
Постулат параллели, строка AB не является
параллельно линии DC.
По теореме 2.7, поскольку
мы имеем Таким образом, поскольку A и C находятся на одном и том же
сторона линии EB и C находятся на той же стороне линии EB .
Поскольку линия EB и линия DC параллельны, линия DC находится на одной стороне линии EB . Следовательно, луч BA пересекает линию CD .
Поскольку A и D находятся на одном и том же
сторона линии BC и находится на той же стороне линии BC . Следовательно, луч BA пересекает луч CD .//
Есть много утверждения, которые эквивалентны постулату евклидовой параллели, который может использоваться как аксиома.Некоторые из них мы перечислим ниже после упражнений. Как многие из них можно показать равноценны? Упражнения просят вас доказать одно указание на несколько утверждений и найти контрпример в Полуплоскость Пуанкаре.
Упражнения
2.65. Показать полуплоскость Пуанкаре
не удовлетворяет постулату евклидовой параллели. (а) Используйте динамическую геометрию
программное обеспечение для построения примера. (б) Найти
аналитический пример.
Упражнения 2.66. Покажите полуплоскость Пуанкаре. не удовлетворяет Евклидову Пятый постулат. (а) Используйте программное обеспечение динамической геометрии, чтобы построить пример. (б) Найдите аналитический пример.
Упражнение 2.67. (a) Докажите пять из следующих предложений, используя евклидову Параллельный постулат и Евклид Пятый постулат. (Однажды одно предложение доказано, вы можете использовать это предложение в доказательстве другого.) (b) Показать, что полуплоскость Пуанкаре не удовлетворить каждое из пяти предложений. (май используйте программу динамической геометрии для построения примера.)
Распечатка следующих предложений Евклида
Предложение Евклида 2.1. Линия существует, а точка нет. на прямой, так что есть уникальная линия, проходящая через точку, которая параллельна к строке.
Обратите внимание, чем отличается это предложение
из Аксиомы Playfair.
Это предложение говорит только о том, что хотя бы одна такая точка
и линия существует; в то время как Аксиома Playfair утверждает, что это верно для каждой строки
и указывайте не на линию.Удивительный результат, что в нейтральной геометрии это
Из предложения следует, что аксиома Плейфэра называется теоремой «Все или ничего» . Результат
удивительно, поскольку нам нужно только наличие свойства параллельности для одного
линия и одна точка не на линии, чтобы знать, что свойство parallel истинно
везде. Доказательство теоремы «все или ничего» можно найти в Elementary Geometry from Advanced
Точка Моисея, или Геометрия: A
Метрический подход с моделями от
Миллман и Паркер.
Евклидово предложение 2.2. Если A и D — точки на одной стороне линия BC и линия BA параллельны линии CD , затем
Евклидово предложение 2.3. Если л 1 , л 2 , l 3 — это три отдельные линии, такие что л 1 параллельно л 2 и л 2 параллельно л 3 , тогда l 1 параллельно л 3 .
Евклидово Предложение 2.4. Если л 1 , л 2 , l 3 — это три отдельные линии, такие что л 1 пересекает л 2 и л 2 параллельно л 3 , затем l 1 пересекает л 3 .
Евклидово Предложение 2.5. Прямая, перпендикулярная одной из двух параллельных прямых, есть перпендикулярно другому.
Евклидово Предложение 2.6. Если л 1 , л 2 , л 3 , л 4 четыре отдельные линии, такие что l 1 параллельно l 2 , л 3 перпендикулярно л 1 , и л 4 перпендикулярно л 2 , затем л 3 параллельно l 4 .
Евклидово Предложение 2.7. Каждые две параллельные прямые имеют общий перпендикуляр.
Евклидово Предложение 2.8. Перпендикуляр биссектрисы сторон треугольника пересекаются в точке.
Евклидово Предложение 2.9. Существует круг, проходящий через любые три неколлинеарные точки.
Евклидово Предложение 2.10. Существует точка, равноудаленная от любых трех неколлинеарные точки.
Евклидово Предложение 2.11. Линия, пересекающаяся и перпендикулярная одной стороне острый угол пересекает другую сторону.
Евклидово Предложение 2.12. Через любую точку внутренний угол там существует линия, пересекающая обе стороны угла не в вершине.
Евклидово Предложение 2.13. Если две параллельные линии пересекаются поперечный, то альтернативные внутренние углы совпадают. (обратное Теорема 2.15.)
Предложение Евклида 2.14. сумма углов любого треугольника равна 180.
Евклидово Предложение 2.15. Существует треугольник такой, что сумма меры углов треугольника равны 180.
евклидово Предложение 2.16. Мера внешний угол треугольника равен равняется сумме мер удаленные внутренние углы. (Сравните с теоремой о внешнем угле.)
Евклидово Предложение 2.17. Если точка C находится не на сегменте AB , а на круге с диаметр AB , то есть прямой угол.
Евклидово Предложение 2.18. Если — прямой угол, то C находится на окружности с диаметром AB.
Евклидово Предложение 2.19. Серединные перпендикулярные отрезки правой стороны. треугольник пересекаются.
Евклидово Предложение 2.20. Существует острый угол такой, что каждая пересекающаяся линия и перпендикулярно одной стороне угла пересекает другую сторону.
Евклидово Предложение 2.21. Существует острый угол такой, что каждая точка в внутренняя часть угла находится на линии, пересекающей обе стороны угла, не в вершине.
Евклидово Предложение 2.22. Если л 1 , л 2 , л 3 , л 4 четыре отдельные линии, такие что l 1 перпендикулярно л 2 , л 2 перпендикулярно л 3 , и л 3 перпендикулярно л 4 , затем л 1 пересекает l 4 .
Евклидово Предложение 2.23. Существует прямоугольник.
Евклидово Предложение 2.24. Существуют две линии, равноудаленные друг от друга.
Евклидово Предложение 2.25. Если три угла четырехугольника прямые, то и четвертый.
Евклидово Предложение 2.26. Существует пара похожих треугольников, не являющихся конгруэнтный. (Два треугольника похожи тогда и только тогда, когда соответствующие углы совпадают и соответствующие стороны пропорциональны.)
Евклидово Предложение 2.27. Диагонали Четырехугольник Саккери делим пополам каждый Другие.
Евклидово Предложение 2.28. Один из вершины углов Саккери четырехугольник — это прямой угол.
Евклидово Предложение 2.29. Любые три линии имеют общую поперечный.
Евклидово Предложение 2.30. Не существует трех строк, каждая из которых на той же стороне третьего.
Евклидово Предложение 2.31. В, если M — это средняя точка сегмента AB , а N — средняя точка сегмента AC , то длина отрезка MN равна равняется половине длины отрезка BC .
домашних заданий 23
домашних заданий 23Ответы на домашние задания
( стр. 336, Smart, Modern Geometries, 4-е изд. .)1 . Докажите аксиому Плейфэра, приняв пятый постулат Евклида в первоначальной форме.
Решение : Пусть P будет точкой, а l — линией, не проходящей через P. Пусть m будет линией, проходящей через P, которая пересекает l в точке S (см. Диаграмму ниже). Обозначьте две точки на l , по одной с каждой стороны от S, буквами T и T ‘.По построению найти пои nt U так, чтобы угол TSP был конгруэнтен углу SPU. Рассмотрим линию ВВЕРХ. Если линия UP пересекает линию l на стороне T m , скажем, в точке Q, то SPQ — это треугольник, а угол SPU — это внешний угол этого треугольника. Противоречие, так как внешний угол всегда должен быть больше любого из противоположных внутренних углов (и TSP будет одним из этих углов). Таким образом, ПУ не соответствует l на стороне T m .Теперь, работая с совпадающими дополнительными углами, T’SP и SPU ‘, мы можем прийти к такому же противоречию, если PU встретит l на Т’ стороне m . Таким образом, PU не может соответствовать l и поэтому параллельна l и проходит через P. (Обратите внимание, что в этой части не использовался пятый постулат Евклида).
Теперь предположим, что есть вторая линия, проходящая через P, которая параллельна l . (не равно PU), скажем, k . Следует рассмотреть два случая: либо часть k лежит в углу SPU или часть лежит в SPU ‘.в первый случай, так как сумма углов T’SP и SPU составляет 180 градусов, сумма углов WPS и T’SP меньше 180 градусов. Согласно 5-му постулату Евклида, k должен соответствовать l на стороне T ‘ m , противоречие, поскольку предполагалось, что k параллельны l . Во втором случае, поскольку сумма углов TSP и SPU ‘составляет 180 градусов, сумма углов WPS и TSP меньше 180 градусов. По Евклиду пятой Постулат, k должен соответствовать l на стороне T m , противоречие, поскольку k w как предполагается, параллельно l .Таким образом, в любом случае мы получаем противоречие с существованием второй параллели с -1 через P, что доказывает аксиому Плейфэра.
2 . Докажите исходное утверждение пятого постулата Евклида, принимая аксиому Плейфэра.
Решение : Пусть линии l и k пересекаются поперечной линией m . Предположим, что m пересекает k в точке P, которой нет на l .Кроме того, можно предположить, что сумма углов SPW и TSP меньше 180 градусов (см. диаграмму ниже). Это означает, что угол W’PS больше угла TSP. Как и в первой части упражнения 1, мы можем построить параллельную PU к l через P. Поскольку угол SPU конгруэнтен углу TSP, PU не может быть линией k . По аксиоме Playfair, k не может быть параллельным l (поскольку PU является уникальной параллелью с l через P). Если k встретил l на стороне m , которая не содержит T, то угол SPW будет внешним углом треугольника wh ich содержал угол, который является дополнением угла TSP.Противоречие, поскольку SPW меньше, чем дополнение к TSP. Таким образом, k и l должны встречаться на стороне m, которая содержит T.
В Упражнениях 3–8 переформулируйте каждое послание так, чтобы оно стало действительным утверждением в неевклидовой геометрии.
3 . Если прямая линия пересекает одну из двух параллельных линий, она всегда будет пересекать другую.
Решение : Если прямая линия пересекает одну из двух параллельных линий, она будет не всегда пересекать другую.
4 . Прямые, параллельные одной прямой, всегда параллельны друг другу.
Решение : Прямые линии, параллельные одной прямой, равны , иногда , параллельны друг другу.
5 . Существует один треугольник, сумма углов которого равна \ pi радиан.
Решение : не существует треугольника , а не , для которого сумма углов равна \ pi радианам.
6 . Существует пара похожих, но несовместимых треугольников.
Решение: Не существует , а не пара похожих, но несовместимых треугольников.
7 . Существует пара прямых линий на одинаковом расстоянии друг от друга в каждой точке.
Решение: Не существует пары прямых линий , а не , в каждой точке на одинаковом расстоянии друг от друга.
8 . Всегда можно провести окружность через три неколлинеарных точки.
Решение: не всегда можно провести окружность через три неколлинеарных точки.
9 . Для какой из этих конечных геометрий главы 1 всегда выполняется пятый постулат Евклида:
Решение: На самом деле, поскольку измерение углов не является частью этих конечных геометрий, пятый постулат Евклида в его первоначальной форме к ним не применим.Однако, используя эквивалентную аксиому Playfair, мы можем разобраться в этом вопросе. Только Ге Метрия Паппа из перечисленных выше удовлетворяет этой аксиоме.
10 . Для конечной геометрии с тринадцатью точками этого раздела назовите все прямые, проходящие через точку A, которые не имеют общей точки с BDF.
Решение: AGJ; AIL; АКМ
13 . Если прямая линия пересекает одну из двух параллельных линий, она всегда будет пересекать другую.Докажите, что это эквивалентно пятому постулату Евклида.
Решение: Мы будем использовать форму Playfair пятого постулата Евклида. Предположим, что прямые l и k параллельны, а прямая m пересекает k в точке P. Если m не пересекает l , то m параллельна л . Это означало бы, что есть две параллели с l через P ( m и k ), что противоречит аксиоме Playfair.Таким образом, м также должно пересекать l .
Теперь пусть P будет точкой, а l — линией, не проходящей через P. Как и в первой части упражнения 1, мы можем построить прямую, параллельную l через P, назовем ее k . Пусть м — любая другая прямая, проходящая через P. Поскольку она пересекает одну из двух параллельных прямых ( k ), он должен пересекаться с другим ( l ) по предположению. Таким образом, есть только одна линия, проходящая через P, которая параллельна l .
Как сферическая геометрия противоречит постулату Евклида о параллельности?
Постулат параллели Евклида гласит:
Если отрезок линии пересекает две прямые линии, образующие два внутренних угла на одной стороне, сумма которых меньше двух прямых углов, то две прямые, если они растянуты бесконечно, встречаются на той стороне, на которой сумма углов меньше двух прямых углов. .
Сферическая геометрия является примером неевклидовой геометрии.В статье Википедии на https://en.wikipedia.org/wiki/Spherical_geometry#Relation_to_Euclid’s_postulas говорится:
.вопреки пятому (параллельному) постулату не существует точки, через которую можно провести линию, которая никогда не пересекает данную линию.
Я думаю, что в этом заключении нет шага, и я хочу знать, как заполнить шаги, чтобы самому прийти к такому выводу.
Если мы вернемся к постулату Евклида о параллельности, он только определяет достаточное условие для пересечения двух прямых.Достаточным условием является то, что две прямые должны пересекать третью линию, так что на одной стороне должна быть пара внутренних углов, сумма которых меньше 180 °.
Но постулат о параллельности Евклида не определяет никаких необходимых условий для пересечения двух прямых. Кроме того, он не указывает, что всегда должна существовать линия, проходящая через точку, которая должна быть параллельна данной линии.
Я знаю аксиому Playfair, которая гласит:
На плоскости, для которой задана линия и точка не на ней, через точку можно провести не более одной линии, параллельной данной линии.
Но это не параллельный постулат Евклида. Даже если мы покажем, что аксиома Плейфэра эквивалентна постулату параллельности Евклида, как в конечном итоге покажет противоречие между сферической геометрией и постулатом параллельности Евклида?
То есть, я тоже не вижу противоречия между сферической геометрией и аксиомой Playfair. Аксиома Playfair гласит, что не более одной (не совсем одной) линии, параллельной данной линии, можно провести через точку не на данной линии.Таким образом, аксиома Playfair не позволяет рисовать такие параллельные линии, что согласуется со сферической геометрией. В чем же тогда нарушение аксиомы Плейфэра в сферической геометрии?
Как тогда мы можем шаг за шагом показать, что тот факт, что нет точки, через которую можно провести линию, никогда не пересекающую данную линию в сферической геометрии, противоречит постулату Евклида о параллельности?
Раздел обсуждения 1.3
Пятый постулат Евклида — параллельный постулат
Если прямая линия, падающая на две прямые, делает внутренние углы на одной стороне меньше двух прямых углов, две прямые линии, если они образуются бесконечно, пересекаются на той стороне, на которой углы меньше двух прямых углов.
АксиомаPlayfair является одним из многих эквивалентных утверждений постулата параллельности:
Аксиома 1.2 Постулат параллельности (Аксиома Playfair): Учитывая прямую и точку не на прямой, существует уникальная прямая, проходящая через точку, параллельную данной прямой.
Хотя не всем ясно, что Аксиома Плейфэра и Пятый постулат Евклида «эквивалентны», стоит приложить некоторые усилия, чтобы понять.Аксиома Playfair кажется намного проще и удобнее. Мы собираемся принять утверждение об эквивалентности, а не строить его доказательство.
Теорема 1.18: (Обратное к теореме 1.17) Если две параллельные прямые пересекаются трансверсалью, то пара соответствующих углов конгруэнтна .
Доказательство теоремы 1.18, приведенное в тексте, очень простое и понятное.
В теореме 1.17 конгруэнтность соответствующих углов означает, что прямые параллельны.
В теореме 1.18 параллельные прямые означают, что соответствующие углы конгруэнтны.
Чтобы доказать Thm 1.18 с помощью косвенного доказательства , мы предполагаем, что пара соответствующих углов не конгруэнтна (например, угол 1 и углы 2). Тогда должна пройти еще одна линия, проходящая через точку P с соответствующим углом, совпадающим с углом 1.
Результат относится ко всем парам соответствующих углов.(см. стр. 36).
Теорема 1.19: Две прямые на плоскости параллельны тогда и только тогда, когда пара соответствующих углов, образованных трансверсалью, конгруэнтна.
Является ли теорема 1.1.9 по существу переформулировкой на языке «если и только если» теоремы 1.17 и 1.18? Если нет, то чем он отличается?
Теорема 1.20: Две прямые на плоскости параллельны тогда и только тогда, когда пара чередующихся внутренних углов, образованных трансверсалью, конгруэнтна.
Проба:
1. Указанные две прямые параллельны. По теореме 1.19 пара соответствующих углов конгруэнтна. Если один из соответствующих углов является внутренним углом, то соответствующий ему угол является вертикальным углом другого альтернативного внутреннего угла в паре. Следовательно, альтернативные внутренние углы совпадают.
2. Данная пара альтернативных внутренних углов конгруэнтна. Тогда соответствующий угол к одному из углов в паре является вертикальным углом, который соответствует каждому из двух альтернативных внутренних углов.Следовательно, по теореме 1.19 прямые параллельны.
Теорема 1.21: Две прямые параллельны тогда и только тогда, когда пара внутренних углов на одной стороне трансверсали является дополнительной .
ПРИМЕР 1.5
Теперь решим это 1.9
1. Найдите выражение для суммы мер внутренних углов выпуклого n-угольника через n.
Совет: постройте диагонали выпуклого n-угольника из одной из вершин, чтобы создать неперекрывающиеся треугольники.
2. Какова сумма размеров внешних углов выпуклого n-угольника. Обоснуйте свой ответ.
Теорема 1.23: Четырехугольник Саккери — это прямоугольник.
ОПРЕДЕЛЕНИЯ
Трапеция — четырехугольник минимум с одной парой параллельных сторон
Это наиболее широко используемое определение трапеции в математической литературе.Некоторые люди очень встревожены другим определением (ТОЧНО одна пара), которые они выучили. Какое бы определение ни было выбрано, вы следуете его логическим следствиям. При таком определении прямоугольники, параллелограммы и ромбы будут частными случаями трапеций. В других частях света эту фигуру можно назвать трапецией, а не трапецией.
Параллелограмм — четырехугольник, в котором каждая пара противоположных сторон параллельна.
Ромб — четырехугольник с четырьмя равными сторонами; или параллелограмм с парой конгруэнтных смежных сторон.
Квадрат — ромб с прямым углом
Прямоугольник — параллелограмм с прямым углом.
Лемма: Прямоугольник — это четырехугольник с четырьмя прямыми углами.
Теорема 1.26: В параллелограмме:
1. Каждая диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника.
Другая половина доказательства, когда диагональ AC используется для того, чтобы показать, что треугольник ABC конгруэнтна треугольнику CDA, построена таким же образом, но здесь не приводится.
2. Каждая пара противоположных сторон конгруэнтна.
Доказательство: Этот результат непосредственно следует из результата в Части 1. Противоположные стороны параллелограмма — соответствующие части конгруэнтных треугольников.
3. Диагонали делят друг друга пополам.
Теорема 1.27:
1. Четырехугольник, в котором каждая пара противоположных сторон конгруэнтна, является параллелограммом.
2. Четырехугольник, в котором диагонали делят друг друга пополам, представляет собой параллелограмм.
3.Четырехугольник, в котором каждая пара противоположных углов конгруэнтна, называется параллелограммом.
4. Четырехугольник, в котором каждая пара противоположных сторон параллельна и конгруэнтна, является параллелограммом.
Теперь решим это 1.10
1. Докажите теоремы с 1.24 по 1.27.
2. Теорема 1.27 (4 части), перефразированная на языке «необходимых и достаточных условий»
1.Четырехугольник является параллелограммом тогда и только тогда, когда каждая пара противоположных сторон конгруэнтна.
2. Четырехугольник является параллелограммом тогда и только тогда, когда диагонали делят друг друга пополам.
3. Четырехугольник является параллелограммом тогда и только тогда, когда каждая пара противоположных углов конгруэнтна.
4. Четырехугольник является параллелограммом тогда и только тогда, когда каждая пара противоположных сторон параллельна и конгруэнтна.
Строительство 1.5 : Строительство линии через P (кроме л ) Параллельно с л .
По сути, используя P в качестве одной вершины и одну сторону на прямой, построить параллелограмм (или ромб).
Параллельные выступы
Вертикальная проекция — по перпендикуляру
Проекция точки P в любом направлении
Проекция P на параллель
Проекция от линии k на линию l в направлении м
Теорема 1.29: Параллельная проекция сохраняет соответствие сегментов, принадлежащих одной прямой
Доказательство приводится в тексте, но я воссоздаю его здесь, потому что я думаю, что есть ошибка в маркировке рисунка. Эта теорема говорит, что если у нас есть два конгруэнтных отрезка на одной прямой, то при параллельной проекции изображения на другой прямой конгруэнтны. Помните, что параллельная проекция идет от одной трансверсальности к другой.
Доказательство рассматривает два случая.
В Case 1 две поперечные оси параллельны:
Мы можем использовать этот результат в доказательстве для Случай 2:
Случай 2: Поперечные оси l и k не параллельны.
Помните, постулат параллельности указывает, что есть ровно одна параллель прямой через любую точку, не лежащую на прямой.
Здесь изображена параллельная проекция.
Если нам дано, что AB = CD, мы хотим доказать, что A’B ‘= C’D’.
Мы используем результат случая 1, отображающий точки от линии k обратно до линий, параллельных k , но пересекающих l . Такая линия отображает A’B ‘в AE и C’D’ в FG.
Мы знаем, что A’B ‘= AE и C’D’ = FG, и точно так же C’D ‘= CH.Нам нужно показать, что AE = CH
Рассмотрим треугольники ABE и CDH. Дано AB = CD. Поскольку l является поперечным, угол при B и угол при D совпадают. Также угол при A и угол при C являются соответствующими углами. Таким образом, по условию конгруэнтности ASA треугольники ABE и CDE конгруэнтны. Из этого мы знаем, что AE = CH и, следовательно, A’B ‘= C’D’,
Следствие 1.6 : Если три или более параллельных прямых пересекают конгруэнтные сегменты на одной трансверсальной линии, то они пересекают конгруэнтные отрезки на любой другой трансверсальной оси .
Если AB = BC = CD = DE = EF = FG, то соответствующие сегменты изображения совпадают.
Строительство 1.6 : Разделение сегмента на любое количество n совпадающих частей.
Конструкция следует из следствия. Возьмите сегмент, который нужно разделить, так, чтобы он лежал вдоль одной поперечной оси. Постройте вторую трансверсаль через один конец сегмента и отметьте n совпадающих и смежных сегментов на второй трансверсали.Постройте параллельную проекцию от второго к сегменту, который вы хотите разделить, используя другой конец сегмента, чтобы определить параллели для проекции.
Решить теперь 1.11
Мы видели, что диагонали параллелограмма делят друг друга пополам. Предположим, они делят друг друга пополам по адресу O.
.1. Если мы проведем прямую, проходящую через точку O, и она пересечет две параллельные стороны параллелограмма в точках P и Q соответственно, докажите, что OP = OQ
Проба:
Диагонали параллелограмма делят друг друга пополам.Таким образом, прямая, проходящая через O, параллельная сторонам параллелограмма, содержащим P и Q, даст параллельную проекцию от одной трансверсали к другой. Из того, что каждая диагональ является трансверсалью, мы знаем, что в этом случае параллельная проекция отсекает конгруэнтные сегменты. Следовательно, в отрезках конгруэнтных отрезков на PQ и PO = OQ.
2.Утверждение проблемы 1 является обобщением факта, сформулированного в доказательстве теоремы 1.29. Какой факт? Почему проблема 1 является обобщением факта?
Параллельная проекция отображает конгруэнтные сегменты на конгруэнтные сегменты на всех других трансверсалей.
Медианы треугольника См. Центроид
Теперь решим это 1.12
Альтернативное доказательство того, что любые две медианы пересекаются в точке, которая делит каждую медиану на сегменты, длины которых находятся в соотношении 2: 1.
Пример 1.6
Какой четырехугольник получается, если соединить середины последовательных сторон четырехугольника? См. Файл GSP .
Докажите, что полученная фигура представляет собой параллелограмм
Дан четырехугольник ABCD с серединами сторон в точках E, F, G и H.Постройте четырехугольник EFGH.
Постройте диагонали AC и BD.
По теореме о среднем сегменте GH — это средний сегмент треугольника ABD, параллельный BD. EF — это средний сегмент треугольника CBD, параллельный BD.
Следовательно, HG параллелен EF
HE — это средний сегмент треугольника ABC, параллельный AC. GF — это средний сегмент треугольного АЦП, параллельный переменному току.
Следовательно, HE параллельно GF.
Две пары параллельных сторон означают, что четырехугольник является параллелограммом..
Мы также знали бы, что соответствующие длины сторон параллелограмма составляли половину длины параллельной диагонали.
Должен ли четырехугольник быть выпуклым?
Откройте файл GSP и перетащите вершину для исследования.
Что, если четырехугольник — не простая замкнутая фигура, а «сам себя пересекает»?
Откройте файл GSP и перетащите вершину для исследования.
Должны ли вершины четырехугольника любого из вышеперечисленных находиться в одной плоскости?
Пример 1.7
Исследование того, когда параллелограмм в примере 1.6 представляет собой 1) ромб или 2) прямоугольник.
Используйте файл GSP для изучения. На изображении показан случай, когда MNPQ представляет собой прямоугольник.
Пример 1.8
1. Сформулируйте и докажите теорему о среднем сегменте для трапеций.
2. Докажите, что отрезок, соединяющий две середины диагоналей трапеции, параллелен основаниям трапеции, и найдите длину этого отрезка, если основания имеют длину a и b . Откройте файл GSP, чтобы изучить .
ПРОБЛЕМА 1.3.20 — Покрыло ли это доказательство то, что отсутствует в доказательстве, содержащемся в задаче 1.3.20?
Теперь решим это 1.13
Проблема острова сокровищ
Набор задач 1.3 (37 задач)
Что такое параллельные прямые в геометрии?
Как мы писали ранее, аксиома евклидовой геометрии состоит в том, что для каждой прямой и каждой точки не на этой линии есть одна прямая линия, которая проходит через эту точку и никогда не пересекает первую линию.Такие линии называются параллельными линиями.
Параллельные линии всегда находятся на одинаковом расстоянии друг от друга. Мы используем это обозначение — || — для описания двух параллельных отрезков прямой, например: AB || CD
Когда третья линия пересекает две параллельные прямые, как указано выше, она создает 4 угла с каждой из линий. Углы в одном и том же положении, например, над линией и вправо, как 1 и 5 выше, называются соответствующими углами. Две пары углов, которые находятся «внутри» параллельных линий (4 и 5 и 3 и 6), называются «внутренними углами».
Две пары углов, которые находятся «снаружи» от параллельных линий (1 и 8 и 2 и 7), называются «внешними углами».
Линия, пересекающая и пересекающая параллельные линии, называется поперечной линией. Другой способ сформулировать аксиому параллельной линии («для каждой линии и каждой точки не на этой линии есть одна прямая линия, которая проходит через эту точку и никогда не пересекает первую линию») состоит в том, что поперечная линия пересекает параллельные линии, создавая соответствующие углы, которые совпадают.