Вектора задачи на вектора 9 класс – Геометрия, 9 класс: уроки, тесты, задания

Содержание

Геометрия, 9 класс: уроки, тесты, задания

Векторы

Понятие вектора
Сложение и вычитание векторов
Умножение векторов на число
Применение векторов к решению задач

Метод координат

Координаты вектора
Простейшие задачи в координатах

Уравнение окружности. Уравнение прямой

Соотношение между сторонами и углами треугольника. Скалярное произведение векторов

Синус, косинус, тангенс угла
Соотношения между сторонами и углами треугольника
Скалярное произведение векторов

Длина окружности и площадь круга

Правильные многоугольники
Длина окружности и площадь круга

Движение

Понятие движения. Симметрия
Параллельный перенос и поворот

Начальные сведения о стереометрии

Многогранники
Тела и поверхности вращения

www.yaklass.ru

Применение векторов к решению задач. Геометрия, 9 класс: уроки, тесты, задания.

1.	Выражение вектора в треугольнике (1) Сложность: лёгкое	1
2.	Выражение вектора в параллелограмме (1) Сложность: лёгкое	1
3.	Выражение вектора в треугольнике (2) Сложность: среднее	1
4.	Выражение вектора в параллелограмме (2) Сложность: среднее	1
5.	Вопросы о проекции вектора Сложность: среднее	1
6.	Проекция вектора Сложность: среднее	2
7.	Проекция вектора силы Сложность: среднее	2
8.	Векторы в задаче на движение Сложность: сложное	4

www.yaklass.ru

Координаты вектора. Видеоурок. Геометрия 9 Класс

Вектором (от лат. vector – «переносчик») называется направленный отрезок, имеющий длину и определенное направление. Графически векторы изображаются в виде направленных отрезков прямой определенной длины (см. Рис. 1).

Рис. 1. Вектор

Вектор, начало которого есть точка , а конец – точка , обозначается (см. Рис. 1). Также векторы обозначают одной маленькой буквой, например .

Два вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых: (см. Рис. 2).

Рис. 2. Коллинеарные векторы

Два коллинеарных вектора и называются сонаправленными векторами, если их направления совпадают: (см. Рис. 2).

Два коллинеарных вектора и называются противоположно направленнымивекторами, если их направления противоположны: (см. Рис. 2).

Векторы и называются равными, если они сонаправлены и их абсолютные величины равны (см. Рис. 3).

, если: 1.

Рис. 3. Равные векторы

Произведение ненулевого вектора начисло – это вектор, коллинеарный данному (сонаправленный данному, если число положительное, имеющий противоположное направление, если число отрицательное), а его модуль равен модулю данного вектора, умноженному на модуль числа (см. Рис. 4).

Рис. 4. Произведение вектора на число

(см. Рис. 5)

Рис. 5. Сложение векторов

Даны два коллинеарных вектора и (см. Рис. 6), причем .

Рис. 6. Коллинеарные векторы

– это коэффициент пропорциональности (число), для нахождения этого числа необходимо:

1. Если и – это сонаправленные векторы:

2. Если и – это противоположно направленные векторы:

На плоскости для задания произвольного вектора необходимы две координаты и пара неколлинеарных векторов.

Теорема

Любой вектор можно разложить по двум данным неколлинеарным векторам, причем коэффициенты разложения определяются единственным образом, то есть для любых неколлинеарных , и для любого найдется единственная пара действительных чисел таких, что .

Доказательство теоремы

Дано: , (см. Рис. 7)

Доказать:

1. ,

2. равенство верно для единственной пары чисел .

Рис. 7. Иллюстрация к доказательству

Доказательство

1. Из точки проведем прямую (параллельно ), на пересечении с осью получим точку (см. Рис. 8). Вектор будет равен:

Рис. 8. Иллюстрация к доказательству

Вектор коллинеарен вектору , следовательно, найдется такое число , которое при умножении на вектор даст нам вектор .

Следовательно:

То есть существует такая пара чисел , что: .

2. Методом от противного докажем, что пара чисел единственна.

Имеем: для

Предположим, что существует другая пара чисел такая, что . Вычтем из первого равенства второе:

Пусть , то есть . Тогда:

Получили, что векторы и коллинеарные: , а это противоречит условию (). Следовательно, .

Аналогично доказывается, что . Таким образом:

Что и требовалось доказать.

Теорему можно сформулировать также следующим образом:

Неколлинеарные векторы и образуют систему координат . Любой третий вектор однозначно представляется в виде линейной комбинации векторов и : .

Пара действительных чисел – это координаты вектора. То есть вектор имеет координаты .

В системе координат с координатными и построить заданный с координатами .

Решение

Вектора и задают ось и . Необходимо построить вектор :

Эта запись означает:

Рис. 9. Иллюстрация к задаче

Отложим на оси вектор (см. Рис. 9). На оси отложим вектор . Проведем из точки прямую, параллельную оси , а из точки – прямую, параллельную оси . На пересечении этих прямых будет находиться точка . Вектор – это искомый вектор.

Если задана система координат, то под координатами точки на плоскости подразумеваются координаты вектора, проведенного из начала координат в эту точку. Например, в задаче 1 точка имеет координаты .

Построить с координатами .

Решение

Векторы и задают ось и . Необходимо построить вектор :

Эта запись означает:

Рис. 10. Иллюстрация к задаче

Отложим на оси вектор (см. Рис. 10). На оси отложим вектор . Проведем из конца вектора прямую, параллельную оси , а из конца вектора – прямую, параллельную оси . На пересечении этих прямых будет находиться точка . Вектор – это искомый вектор.

Выписать координаты вектора.

Дано:

Решение

Координатами вектора являются числа .

Ответ: .

Найти недостающие координаты и , если известно, что .

interneturok.ru

Векторы ( геометрия 9 класс)

Просмотр содержимого документа
«Векторы ( геометрия 9 класс)»

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

«средняя общеобразовательная школа №4»

Презентации к урокам математики

Заслуженный учитель РФ

Кулиашвили Елена Николаевна

Историческая справка

Термин вектор (от лат. Vector – “ несущий “) впервые появился в 1845 г. у ирландского математика Уильяма Гамильтона (1805 – 1865) в работах по построению числовых систем.

Что такое вектор ?

Понятие вектора возникает там, где приходится иметь дело с объектами, которые характеризуются величиной и направлением: например, скорость, сила, давление. Такие величины называются векторными величинами или векторами .

скалярные

векторные

Сила, скорость, ускорение

Время, путь,масса

ВЕКТОР или направленный отрезок – отрезок, у которого указано, какая из его граничных точек считается началом, а какая — концом

Конец вектора

Начало вектора

Вектор АВ

векторы обозначают двумя заглавными латинскими буквами со стрелкой над ними или одной строчной латинской буквой со стрелкой над ней
любая точка плоскости является нулевым вектором
длиной или модулем ненулевого вектора АВ называется длина отрезка АВ

Длина вектора

Расстояние между началом и концом вектора называется длиной или модулем вектора. Длина вектора обозначается |а| или |АВ|.
Длина нулевого вектора считается равной нулю.

|AB| = 6 |CD| = 5

|a| = 5 |NN| = 0

(каждая клетка на рисунке имеет сторону, равную единице измерения отрезков)

От любой точки можно отложить вектор равный данному , притом только один .

f = g

ненулевые векторы называются коллинеарными , если они лежат либо на одной прямой, либо на параллельных прямых
коллинеарные векторы могут быть направлены одинаково и называются сонаправленными или противоположно направлены и называются противоположно направленными

Коллинеарные векторы

Ненулевые векторы называются коллинеарными , если они лежат либо на одной прямой, либо на параллельных прямых.
Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору.

CD, KF, O, a, b – коллинеарные

O, a – коллинеарные

O, NP – коллинеарные

NP, m – не коллинеарные

f = a

Векторы называются равными , если они сонаправлены и их длины равны .

n = h

Задача

Какие из векторов, изображенных на рисунке:

коллинеарны;
сонаправлены;
противоположно направлены;
имеют равные длины?

Отложите эти векторы от одной точки.

Задача

На рисунке изображена равнобедренная трапеция KLMN.

а) Укажите сонаправленные, противоположно направленные, равные вектора.

б) Укажите векторы, длины которых равны. Равны ли при этом сами векторы?

Задачи

Даны вектор BC и точка D(1;-2). Отложите от точки D вектор, равный вектору BC.
Как должен быть расположен ненулевой вектор a относительно прямой k , чтобы нашлись лежащие на этой прямой векторы, равные a ? Сколько таких векторов найдется? Отметьте на чертеже три из них.
Векторы AB и DC равны. Докажите, что если точки A, B, C и D не лежат на одной прямой, то четырехугольник ABCD ― параллелограмм.

На рисунке изображен параллелограмм ABCD.Укажите векторы, длины которых равны. Равны ли при этом сами векторы?

В ромбе ABCD l AC l = 12см, l BD l = 16см. От вершины A отложен вектор AE, равный вектору BD. Найдите длину вектора EC.

Для любых чисел k , l и любых векторов a , b справедливы равенства :

(kl )a = k (la ) ( сочетательный закон )
(k+l) a = ka + la ( первый распределительный закон )
K ( a+b ) = ka + kb (второй распределительный закон ) .

(kl )a = k (la ) ( сочетательный закон )
(k+l) a = ka + la ( первый распределительный закон )
K ( a+b ) = ka + kb (второй распределительный закон ) .

2а

3а

multiurok.ru

Задания по теме «Векторы», 9 класс

infourok.ru

Решение задач по теме раздела. Продолжение 2. Видеоурок. Геометрия 9 Класс

Этот урок посвящен решению задач по теме раздела. На нем мы еще раз повторим теоретические знания, полученные нами ранее, вспомним важную теорему о разложении вектора по неколлинеарным векторам. После этого приступим к решению задач по теме раздела, используя упомянутую теорему.

Тема: Соотношения между сторонами и углами треугольника. Раздел 3. Скалярное произведение векторов

Урок: Решение задач по теме раздела. Продолжение 2

Тема урока: «Решение задач по теме раздела. Продолжение 2». Здесь мы кратко повторим теорию и решим задачи на скалярное произведение векторов. В число задач включены доказательства некоторых известных теорем с помощью векторов.

Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам и .

пара чисел x, y – единственна.

и по правилу параллелограмма

Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам можно использовать в решении задач следующим образом:

1. выбрать удобную пару неколлинеарных векторов и ;

2. выразить через них искомые (или иные промежуточные) векторы;

3. использовать формулы и получить ответ.

Основные формулы:

Основные формулы в координатах.

;

Задача 1. Доказать, что диагонали ромба перпендикулярны.

Дано: ABCD – ромб.

Доказать:

Доказательство:

Пусть

тогда

Умножим скалярно эти равенства:

Задача 2. В

Найти длину медианы AM.

Решение:

1. Пусть , тогда

Ответ:

Задача 3. Доказать, что в параллелограмме сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех его сторон.

Дано: ABCD – параллелограмм.

Доказать:

Доказательство:

Пусть , тогда

Переходя к длинам отрезков

Задача 4. Доказать перпендикулярность векторов:

1. и ;

2. и .

Доказательство.

Задача 5. При каком значении t перпендикулярны векторы:

1. и ;

2. и

Решение.

Ответ: при

Задача 6. Дано:

Доказать: ABCD – прямоугольник.

Доказательство. Чтобы доказать, что ABCD – прямоугольник, нужно доказать, что ABCD – параллелограмм и .

ABCD – параллелограмм;

2. ABCD – прямоугольник.

Задача 7.

Дано:

Найти: Значение x, при котором векторы и перпендикулярны.

Решение:

Ответ:

Итак, мы повторили теорию и решили серию задач на скалярное произведение векторов. На следующем уроке мы рассмотрим правильные многоугольники.

Список литературы

Атанасян Л. С. и др. Геометрия 7–9 классы. Учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2010.
Фарков А. В. Тесты по геометрии: 9 класс. К учебнику Л. С. Атанасяна и др. – М.: Экзамен, 2010.
Погорелов А. В. Геометрия. Уч. для 7–11 кл. общеобр. учрежд. – М.: Просвещение, 1995.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

E-science.ru (Источник).
Mathematics.ru (Источник).

Домашнее задание

Атанасян Л. С. и др. Геометрия 7–9 классы. №№1052, 1053, 1069.

interneturok.ru

Координаты вектора. Геометрия, 9 класс: уроки, тесты, задания.

1.	Координаты вектора Сложность: лёгкое	3
2.	Сложение и вычитание векторов с координатами Сложность: лёгкое	2
3.	Определение координат вектора по координатам его начала и конца Сложность: лёгкое	6
4.	Координаты вектора Сложность: среднее	3
5.	Математические операции с координатами векторов Сложность: среднее	2
6.	Сумма, разность и произведение вектора на число Сложность: среднее	3
7.	Равенство разложений по координатными векторами Сложность: среднее	6
8.	Действия с векторами в координатной форме Сложность: среднее	2
9.	Одинаково и противоположно направленные векторы Сложность: среднее	2
10.	Разложение вектора по данным векторам Сложность: среднее	2
11.	Разложение векторов по данным координатным векторам Сложность: сложное	4,5
12.	Определение координат вектора по данным координатным векторам Сложность: сложное	5

1.Диагонали параллелограмма O. Найдите, если это возможно, такое число k, чтобы выполнялось равенство: а) = k = k	1.Диагонали параллелограмма O. Найдите, если это возможно, такое число k, чтобы выполнялось равенство: а) = k = k
2.Запишите разложение по координатным векторам и вектора {0; 3}.	2.Запишите разложение по координатным векторам и вектора {0; 1}.
3.Векторы и не коллинеарны. Найдите такое число (если это возможно), чтобы векторы и были коллинеарны: а) = 2 — , = + x б) = x — , = + x	3.Векторы и не коллинеарны. Найдите такое число (если это возможно), чтобы векторы и были коллинеарны: а) = + , = — 2 б) = 2+ , = x+
4.Найдите числа x и y, удовлетворяющие условию: а) x + y = 5 — 2; б). x + y = -4.	4.Найдите числа x и y, удовлетворяющие условию: а) -3 + y = x + 7; б). x + y =
1.Диагонали параллелограмма O. Найдите, если это возможно, такое число k, чтобы выполнялось равенство: а) = k = k	1.Диагонали параллелограмма O. Найдите, если это возможно, такое число k, чтобы выполнялось равенство: а) = k = k
2.Запишите разложение по координатным векторам и вектора {0; 3}.	2.Запишите разложение по координатным векторам и вектора {0; 1}.
3.Векторы и не коллинеарны. Найдите такое число (если это возможно), чтобы векторы и были коллинеарны: а) = 2 — , = + x б) = x — , = + x	3.Векторы и не коллинеарны. Найдите такое число (если это возможно), чтобы векторы и были коллинеарны: а) = + , = — 2 б) = 2+ , = x+
4.Найдите числа x и y, удовлетворяющие условию: а) x + y = 5 — 2; б). x + y = -4.	4.Найдите числа x и y, удовлетворяющие условию: а) -3 + y = x + 7; б). x + y =
1.Диагонали параллелограмма O. Найдите, если это возможно, такое число k, чтобы выполнялось равенство: а) = k = k	1.Диагонали параллелограмма O. Найдите, если это возможно, такое число k, чтобы выполнялось равенство: а) = k = k
2.Запишите разложение по координатным векторам и вектора {0; 3}.	2.Запишите разложение по координатным векторам и вектора {0; 1}.
3.Векторы и не коллинеарны. Найдите такое число (если это возможно), чтобы векторы и были коллинеарны: а) = 2 — , = + x б) = x — , = + x	3.Векторы и не коллинеарны. Найдите такое число (если это возможно), чтобы векторы и были коллинеарны: а) = + , = — 2 б) = 2+ , = x+
4.Найдите числа x и y, удовлетворяющие условию: а) x + y = 5 — 2; б). x + y = -4.	4.Найдите числа x и y, удовлетворяющие условию: а) -3 + y = x + 7; б). x + y =
1.Диагонали параллелограмма O. Найдите, если это возможно, такое число k, чтобы выполнялось равенство: а) = k = k	1.Диагонали параллелограмма O. Найдите, если это возможно, такое число k, чтобы выполнялось равенство: а) = k = k
2.Запишите разложение по координатным векторам и вектора {0; 3}.	2.Запишите разложение по координатным векторам и вектора {0; 1}.
3.Векторы и не коллинеарны. Найдите такое число (если это возможно), чтобы векторы и были коллинеарны: а) = 2 — , = + x б) = x — , = + x	3.Векторы и не коллинеарны. Найдите такое число (если это возможно), чтобы векторы и были коллинеарны: а) = + , = — 2 б) = 2+ , = x+
4.Найдите числа x и y, удовлетворяющие условию: а) x + y = 5 — 2; б). x + y = -4.	4.Найдите числа x и y, удовлетворяющие условию: а) -3 + y = x + 7; б). x + y =