Вследствие того, что векторы возникают в разных физических задачах по-разному, произведение двух векторов \ (\ overrightarrow {a} \) и \ (\ overrightarrow {b} \) определено в следующие два способа:

Точечный продукт \ (\ overrightarrow a \). \ (\ overrightarrow b \) дает скалярный результат, а кросс-произведение \ (\ overrightarrow a \) × \ (\ overrightarrow b \) дает векторный результат.

Скалярное произведение двух векторов \ (\ overrightarrow a \) и \ (\ overrightarrow b \) определяется как произведение величины двух векторов, умноженной на косинус угла \ (\ theta \) между их направления.

Таким образом, \ (\ overrightarrow a \). \ (\ overrightarrow b \) = | \ (\ overrightarrow a \) | | \ (\ overrightarrow b \) | cos \ (\ theta \) = ab cos \ (\ theta \)

где, | \ (\ overrightarrow a \) | = a и | \ (\ overrightarrow b \) | = б.

Сейчас

Нарисуйте перпендикулярный BM от B до OA.

Здесь,

\ (\ overrightarrow {OA} \) = \ (\ overrightarrow a \) и \ (\ overrightarrow {OB} \) = \ (\ overrightarrow b \)

Сейчас

\ (\ begin {align *} \ overrightarrow a.\ overrightarrow b & = | \ overrightarrow a | | \ overrightarrow b | cos \ theta \\ & = ab cos \ theta \\ & = (OA) (OB) cos \ theta \\ & = OA (OB cos \ theta) \\ & = (OA) (OM) \\ & = ( величина \; of \; \ overrightarrow a) (компонент \; of \; \ overrightarrow b \; в \; \; направление \; of \; \ overrightarrow a) \\ \ end {align *} \)

Итак, ясно, что скалярное произведение двух векторов эквивалентно произведению величины одного вектора на компонент другого вектора в направлении этого вектора.

Если мы напишем \ (\ overrightarrow a \). \ (\ overrightarrow b \), вращение \ (\ overrightarrow a \) в направлении \ (\ overrightarrow b \) идет против часовой стрелки, а угол \ (\ theta \) считается положительным.

∴ \ (\ overrightarrow a \). \ (\ overrightarrow b \) = ab cos \ (\ theta \)

Если мы напишем \ (\ overrightarrow b \). \ (\ overrightarrow a \), вращение \ (\ overrightarrow b \) в направлении \ (\ overrightarrow a \) происходит по часовой стрелке, а угол \ (\ theta \) считается отрицательным.

∴ \ (\ overrightarrow b \).\ (\ overrightarrow a \) = b a cos (- \ (\ theta \)) = ba cos \ (\ theta \)

Следовательно, \ (\ overrightarrow a \). \ (\ overrightarrow b \) = \ (\ overrightarrow b \). \ (\ overrightarrow a \)

Таким образом, скалярное произведение является коммутативным.

Рассмотрим две точки A ( ₁ , ₂ ) и B (b ₁ , b ₂ ) на плоскости. Тогда

вектор положения A = \ (\ overrightarrow {OA} \) = \ (\ overrightarrow a \) = \ (\ begin {pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ \ end {pmatrix} \)

вектор положения B = \ (\ overrightarrow {OB} \) = \ (\ overrightarrow b \) = \ (\ begin {pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \ end {pmatrix} \)

Величины \ (\ overrightarrow a \) и \ (\ overrightarrow b \) равны

| \ (\ overrightarrow {OA} \) | = OA = a = | \ (\ overrightarrow a \) |

| \ (\ overrightarrow {OB} \) | = OB = b = | \ (\ overrightarrow b \) |

Пусть \ (\ angle \) XOA = β, \ (\ angle \) XOB = α и \ (\ angle \) AOB = θ.Тогда α -β = θ.

Нарисуйте перпендикуляры AM и BN от A и B до оси X. Тогда

OM = a ₁ , MA = ₂ , ON = b ₁ и NB = b ₂ .

из прямоугольного треугольника OMA,

cosβ = \ (\ frac {OM} {OA} \) = \ (\ frac {a_1} a \) ∴ a ₁ = cosβ

sinβ = \ (\ frac {MA} {OA} \) = \ (\ frac {a_2} a \) ∴ a ₂ = sinβ

Аналогично,

из прямоугольного треугольника ONB,

b ₁ = b cosα и b ₂ = b sinα

Сейчас

\ (\ begin {align *} a_1b_1 + a_2b_2 & = a cosβ b cosα + sinβ sinα \\ & = ab cos (α — β) \\ & = | \ overrightarrow a | | \ overrightarrow b | cos \ theta ,……………… (i) \\ \ end {align *} \)

Но,

По определению скалярного произведения двух векторов \ (\ overrightarrow a \) и \ (\ overrightarrow b \),

Сейчас

Из (i) и (ii),

\ (\ overrightarrow a \). \ (\ overrightarrow b \) = ₁ b ₁ + a ₂ b ₂ .

Этот результат приводит нас к определению скалярного произведения двух векторов другим способом.

Let \ (\ overrightarrow a \) = \ (\ begin {pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ \ end {pmatrix} \) и \ (\ overrightarrow b \) = \ (\ begin {pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \ end {pmatrix} \) два вектора.Тогда скалярное произведение \ (\ overrightarrow a \) и \ (\ overrightarrow b \) обозначается через \ (\ overrightarrow a \). \ (\ overrightarrow b \) и определяется как \ (\ overrightarrow a \). \ (\ overrightarrow b \) = \ (\ begin {pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ \ end {pmatrix} \) и \ (\ overrightarrow b \). \ (\ begin {pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \ end {pmatrix} \) = ₁ b ₁ + a ₂ b ₂ .

,

От (я),

| \ (\ overrightarrow a \) | | \ (\ overrightarrow b \) | cos \ (\ theta \) = ₁ b ₁ + a ₂ b ₂

или cos \ (\ theta \) = \ (\ frac {a_1b_1 + a_2b_2} {| \ overrightarrow a | | \ overrightarrow b |} \)

Этот результат дает нам угол между двумя векторами \ (\ overrightarrow a \) и \ (\ overrightarrow b \).

\ (\ theta \) = cos ^-1 \ (\ frac {a_1b_1 + a_2b_2} {| \ overrightarrow a | | \ overrightarrow b |} \)

Свойства скалярного продукта

Скалярному произведению векторов удовлетворяют следующие свойства:

Пусть \ (\ overrightarrow a \), \ (\ overrightarrow b \) и \ (\ overrightarrow c \) — три вектора.

1. Коммутирующее свойство: \ (\ overrightarrow a \). \ (\ overrightarrow b \) = \ (\ overrightarrow b \). \ (\ overrightarrow a \)
2. Распределительное свойство: \ (\ overrightarrow a \).(\ (\ overrightarrow b \) + \ (\ overrightarrow c \)) = \ (\ overrightarrow a \). \ (\ overrightarrow b \) + \ (\ overrightarrow a \). \ (\ overrightarrow c \)
3. Ассоциативная собственность: м \ (\ overrightarrow a \). n \ (\ overrightarrow b \) = mn (\ (\ overrightarrow a \). \ (\ overrightarrow b \))

перпендикулярных векторов

Let \ (\ overrightarrow a \) = \ (\ begin {pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ \ end {pmatrix} \) и \ (\ overrightarrow b \) = \ (\ begin {pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \ end {pmatrix} \) два вектора.Если \ (\ overrightarrow a \) и \ (\ overrightarrow b \) перпендикулярны друг другу, то угол между \ (\ overrightarrow a \) и \ (\ overrightarrow b \) равен \ (\ theta \) = — 90 °.

Сейчас

\ (\ overrightarrow a \). \ (\ overrightarrow b \) = | \ (\ overrightarrow a \) | | \ (\ overrightarrow b \) | cos \ (\ theta \) = ab cos 90 ° = 0

и наоборот,

Пусть \ (\ overrightarrow a \). \ (\ overrightarrow b \) = 0

Затем

| \ (\ overrightarrow a \) | | \ (\ overrightarrow b \) | cos \ (\ theta \) = 0

или ab cos \ (\ theta \) = 0

или cos \ (\ theta \) = 0

∴ \ (\ theta \) = 90 °

Таким образом, если два вектора перпендикулярны друг другу (или ортогональны), их скалярное произведение равно нулю.

Параллельный вектор

Пусть \ (\ overrightarrow a \) и \ (\ overrightarrow b \) два вектора. Если \ (\ overrightarrow a \) и \ (\ overrightarrow b \) параллельны друг другу, то угол между ними равен 0 ° или 180 °.

Сейчас

Если \ (\ theta \) = 0 °, \ (\ overrightarrow a \). \ (\ overrightarrow b \) = | \ (\ overrightarrow a \) | | \ (\ overrightarrow b \) | cos \ (\ theta \) = ab cos 0 ° = ab

Если \ (\ theta \) = 180 °, \ (\ overrightarrow a \). \ (\ overrightarrow b \) = | \ (\ overrightarrow a \) | | \ (\ overrightarrow b \) | cos \ (\ theta \) = ab cos 180 ° = -ab

Таким образом, два вектора \ (\ overrightarrow a \) и \ (\ overrightarrow b \) параллельны друг другу, если \ (\ overrightarrow a \).\ (\ overrightarrow b \) = ab или, \ (\ overrightarrow a \). \ (\ overrightarrow b \) = -аб.

Длина вектора (Модуль вектора)

Пусть \ (\ overrightarrow a \) = \ (\ begin {pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ \ end {pmatrix} \) — плоский вектор.

Тогда \ (\ overrightarrow a \). \ (\ overrightarrow a \) = \ (\ begin {pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ \ end {pmatrix} \). \ (\ begin {pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ \ end {pmatrix} \) = a ₁ a ₁ + a ₂ a ₂ = a ₁ ² + a ₂ ² = ²

∴ a = \ (\ sqrt {\ overrightarrow a.2} \) + 2 \ (\ overrightarrow a \). \ (\ overrightarrow b \) + \ (\ overrightarrow {b} \) = a ² + 2 \ (\ overrightarrow a \). \ (\ overrightarrow b \) + b ²
(\ (\ overrightarrow a \) + \ (\ overrightarrow b \)) = (\ (\ overrightarrow a \) + \ (\ overrightarrow b \)). ( \ (\ overrightarrow a \) + \ (\ overrightarrow b \)) = \ (\ overrightarrow a \). \ (\ overrightarrow a \) + \ (\ overrightarrow a \). \ (\ overrightarrow b \) + \ (\ overrightarrow b \). \ (\ overrightarrow a \) + \ (\ overrightarrow b \). \ (\ overrightarrow b \) = \ (\ overrightarrow a \) + 2 \ (\ overrightarrow a \).2} \) = a ² — 2 \ (\ overrightarrow a \). \ (\ overrightarrow b \) + b ²
(\ (\ overrightarrow a \) — \ (\ overrightarrow b \)) ² = (\ (\ overrightarrow a \) — \ (\ overrightarrow b \) ). (\ (\ overrightarrow a \) — \ (\ overrightarrow b \)) = \ (\ overrightarrow a \). \ (\ overrightarrow a \) — \ (\ overrightarrow a \). \ (\ overrightarrow b \) — \ (\ overrightarrow b \). \ (\ overrightarrow a \) + \ (\ overrightarrow b \). \ (\ overrightarrow b \) = \ (\ overrightarrow a \) — 2 \ (\ overrightarrow a \). \ (\ overrightarrow b \) + \ (\ overrightarrow b \) = a ² — 2 \ (\ overrightarrow a \).2} \) — \ (\ overrightarrow b \) = a ² — b ²

взаимно перпендикулярный единичный вектор \ (\ overrightarrow i \) и \ (\ overrightarrow j \)

Пусть OX и OY — две взаимно перпендикулярные прямые. Тогда единичный вектор вдоль OX и OY, обозначаемый \ (\ overrightarrow i \) и \ (\ overrightarrow j \), определяется как \ (\ overrightarrow i \) = \ (\ begin {pmatrix} 1 \\ 0 \\ \ end {pmatrix} \) и \ (\ overrightarrow j \) = \ (\ begin {pmatrix} 0 \\ 1 \\ \ end {pmatrix} \).

Сейчас

\ (\ overrightarrow i \).2} \) = \ (\ begin {pmatrix} 0 \\ 1 \\ \ end {pmatrix} \). \ (\ begin {pmatrix} 0 \\ 1 \\ \ end {pmatrix} \) = 0 + 1 = 1

\ (\ overrightarrow i \). \ (\ overrightarrow j \) = \ (\ begin {pmatrix} 1 \\ 0 \\ \ end {pmatrix} \). \ (\ begin {pmatrix} 0 \\ 1 \\ \ end {pmatrix} \) = 0 + 0 = 0

\ (\ overrightarrow j \). \ (\ overrightarrow i \) = \ (\ begin {pmatrix} 0 \\ 1 \\ \ end {pmatrix} \). \ (\ begin {pmatrix} 1 \\ 0 \\ \ end {pmatrix} \) = 0 + 0 = 0

Значение скалярного произведения \ (\ overrightarrow i \) и \ (\ overrightarrow j \) можно запомнить из приведенной таблицы.

Представление вектора через единичные векторы

Пусть \ (\ overrightarrow a \) = \ (\ begin {pmatrix} x \\ y \\ \ end {pmatrix} \) — вектор. Можно записать как

\ (\ overrightarrow a \) = \ (\ begin {pmatrix} x \\ y \\ \ end {pmatrix} \) = \ (\ begin {pmatrix} x \\ 0 \\ \ end {pmatrix} \) = \ (\ begin {pmatrix} 0 \\ y \\ \ end {pmatrix} \) = x \ (\ begin {pmatrix} 1 \\ 0 \\ \ end {pmatrix} \) + y \ (\ begin { pmatrix} 0 \\ 1 \\ \ end {pmatrix} \) = x \ (\ overrightarrow i \) + y \ (\ overrightarrow j \).

Аналогично,

Если \ (\ overrightarrow a \) = nx + y \ (\ overrightarrow j \), то:

\ (\ overrightarrow a \) = x \ (\ overrightarrow i \) + y \ (\ overrightarrow j \) = x \ (\ begin {pmatrix} 1 \\ 0 \\ \ end {pmatrix} \) + y \ (\ begin {pmatrix} 0 \\ 1 \\ \ end {pmatrix} \) = \ (\ begin {pmatrix} x \\ 0 \\ \ end {pmatrix} \) + \ (\ begin {pmatrix} 0 \\ y \\ \ end {pmatrix} \) = \ (\ begin {pmatrix} x \\ y \\ \ end {pmatrix} \)

Следовательно, каждый плоский вектор \ (\ begin {pmatrix} x \\ y \\ \ end {pmatrix} \) может быть представлен x \ (\ overrightarrow i \) + y \ (\ overrightarrow j \) и наоборот.

Векторные операции в единичных векторах

Пусть \ (\ overrightarrow a \) = ₁ \ (\ overrightarrow i \) + a ₂ \ (\ overrightarrow j \) и \ (\ overrightarrow b \) = b ₁ \ (\ overrightarrow i \) + b ₂ \ (\ overrightarrow j \)

1. Добавление векторов:
   \ (\ overrightarrow a \) + \ (\ overrightarrow b \) = a ₁ \ (\ overrightarrow i \) + a ₂ \ (\ overrightarrow j \) + b ₁ \ (\ overrightarrow i \) + b ₂ \ (\ overrightarrow j \) = (a ₁ + b ₁ ) \ (\ overrightarrow i \) + (a ₂ + b ₂ ) \ (\ overrightarrow j \)
2. Вычитание векторов:
   \ (\ overrightarrow a \) — \ (\ overrightarrow b \) = a ₁ \ (\ overrightarrow i \) + a ₂ \ (\ overrightarrow j \) — (b ₁ \ (\ overrightarrow i \) + b ₂ \ (\ overrightarrow j \)) = a ₁ \ (\ overrightarrow i \) + a ₂ \ (\ overrightarrow j \) — b ₁ \ (\ overrightarrow i \) — b ₂ \ (\ overrightarrow j \)
3. Скалярное произведение векторов:
   \ (\ overrightarrow a.\ overrightarrow b = (a_1 \ overrightarrow i + a_2 \ overrightarrow j). (b_1 \ overrightarrow i + b_2 \ overrightarrow j) = a_1b_1 \ overrightarrow i. \ overrightarrow i + a_1b_2 \ overrightarrow i. \ overrightarrow j + a_2b_1 \ overrightarrow j. \ overrightarrow i + a_2b_2 \ overrightarrow j. \ overrightarrow j = a_1b_1 + 0 + 0 + a + 2b_2 = a_1b_1 + a_2b_2 \)

Величина и направление вектора в единицах векторов

Пусть \ (\ overrightarrow a \) = x \ (\ overrightarrow i \) + y \ (\ overrightarrow j \) — вектор.2}} \)

Векторная геометрия

Теорема 1: (Формула средней точки)

Если \ (\ overrightarrow a \) и \ (\ overrightarrow b \) являются вектором положения двух точек A и B соответственно, а M является средней точкой отрезка AB, то вектор положения M равен \ (\ frac 12 \) (\ (\ overrightarrow a \) + \ (\ overrightarrow b \)).

Доказательство:

Пусть AB — отрезок, а O — начало координат.

Здесь,

Вектор положения A = \ (\ overrightarrow {OA} \) = \ (\ overrightarrow a \)

Вектор положения B = \ (\ overrightarrow {OB} \) = \ (\ overrightarrow b \)

Пусть M — средняя точка отрезка AB.

Затем

\ (\ begin {align *} \ overrightarrow {OM} & = \ overrightarrow {OA} + \ overrightarrow {AM} \\ & = \ overrightarrow {OA} + \ frac 12 \ overrightarrow {AB} \\ & = \ overrightarrow {OA} + \ frac 12 (\ overrightarrow {OB} — \ overrightarrow {OA}) \\ & = \ overrightarrow a + \ frac 12 (\ overrightarrow b — \ overrightarrow a) \\ & = \ frac {2 \ overrightarrow a + \ overrightarrow b — \ overrightarrow a} {2} \\ & = \ frac 12 (\ overrightarrow a + \ overrightarrow b) \\ \ end {align *} \)

Vector Вектор положения M = \ (\ frac 12 \) (\ (\ overrightarrow a \) + \ (\ overrightarrow b \)) Доказано

Теорема 2: (Формула раздела для внутреннего деления)

Если \ (\ overrightarrow a \) и \ (\ overrightarrow b \) являются вектором положения двух точек A и B соответственно и точка M делит отрезок линии AB внутри в отношении m: n, то вектор положения М есть \ (\ frac {m \ overrightarrow b + n \ overrightarrow a} {m + n} \).

Доказательство:

Пусть AB — отрезок, а O — начало координат.

Здесь,

Вектор положения A = \ (\ overrightarrow {OA} \) = \ (\ overrightarrow a \)

Вектор положения B = \ (\ overrightarrow {OB} \) = \ (\ overrightarrow b \)

Пусть точка M делит AB внутри в соотношении m: n.

Затем

\ (\ begin {align *} \ overrightarrow {OM} & = \ overrightarrow {OA} + \ overrightarrow {AM} \\ & = \ overrightarrow {OA} + \ frac {m} {m + n} \ overrightarrow { AB} \\ & = \ overrightarrow {OA} + \ frac m {m + n} (\ overrightarrow {OB} — \ overrightarrow {OA}) \\ & = \ overrightarrow a + \ frac m {m + n} ( — \ overrightarrow a) \\ & = \ frac {m \ overrightarrow a + n \ overrightarrow a + m \ overrightarrow b — m \ overrightarrow a} {m + n} \\ & = \ frac {m \ overrightarrow b + n \ overrightarrow a} {m + n} \\ \ end {align *} \)

Vector Вектор положения M = \ (\ frac {m \ overrightarrow b + n \ overrightarrow a} {m + n} \) Доказано

Теорема 3: (Формула сечения для внешнего деления)

Если \ (\ overrightarrow a \) и \ (\ overrightarrow b \) являются вектором положения двух точек A и B соответственно и точка P делит отрезок AB линии внешне в отношении m: n, то вектор положения P это \ (\ frac {m \ overrightarrow b — n \ overrightarrow a} {m — n} \).

Доказательство:

Пусть AB — отрезок, а O — начало координат.

Здесь,

Вектор положения A = \ (\ overrightarrow {OA} \) = \ (\ overrightarrow a \)

Вектор положения B = \ (\ overrightarrow {OB} \) = \ (\ overrightarrow b \)

Пусть точка P делит AB внешне в соотношении m: n.

Затем

\ (\ frac {AP} {BP} \) = \ (\ frac mn \)

∴ n \ (\ overrightarrow {AP} \) = m \ (\ overrightarrow {BP} \)

или n (\ (\ overrightarrow {