cart-icon Товаров: 0 Сумма: 0 руб.
г. Нижний Тагил
ул. Карла Маркса, 44
8 (902) 500-55-04

Тест по теме векторы 9 класс атанасян: Тест по геометрии (9 класс) на тему: Тест по геометрии для учащихся 9 класса « Векторы. Метод координат»

Тест по геометрии (9 класс) на тему: Тест по геометрии для учащихся 9 класса « Векторы. Метод координат»

МУНИЦИПАЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ –

«СРЕДНЯЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА №21» Г. БЕЛГОРОДА

(МБОУ «СОШ №21»)

Тест по геометрии

для учащихся 9 класса

« Векторы. Метод координат»

Учитель математики:

Рудная Екатерина Александровна

Белгород  2015


Тест по теме «Векторы. Метод координат»

Вариант 1

Часть 1

  1. Направленный отрезок (вектор) – это...
  1. отрезок, имеющий начало и конец;
  2. отрезок, для которого указано, какая точка является началом, а какая – концом;
  3. прямая, для которой определено направление;
  4. нет правильного ответа.
  1. Коллинеарные векторы – это…
  1. векторы, лежащие на одной прямой или на параллельных прямых;
  2. векторы, не лежащие на одной прямой или на параллельных прямых;
  3. ненулевые векторы, не лежащие на одной прямой или на параллельных прямых;
  4. ненулевые векторы, лежащие на одной прямой или на параллельных прямых.
  1. Противоположно направленные векторы – это…
  1. векторы, направленные в одну сторону;
  2. ненулевые векторы, направленные в разные сторону;
  3. ненулевые коллинеарные векторы, направленные в одну сторону;
  4. ненулевые коллинеарные векторы, направленные в разные стороны.
  1. Каковы координаты вектора :
  1. Определите координаты вектора , если  и :

Ответ:________________.

  1.  Разложите вектор по координатным векторам  и :

Ответ:________________.

  1. Векторы  и  не коллинеарны. Найдите числа x и y, удовлетворяющие равенству :
  1. ;
  2. ;
  3. ;
  4. .
  1. Найдите координаты вектора , зная координаты его начала и конца:  .

Ответ:________________.

  1. Найдите длину вектора :
  1. – 36;
  2. – 6;
  3. 6;
  4. 36.
  1. Каково расстояние между точками M и N, если  и :
  1. – 4;
  2. 4;
  3. – 2;
  4. 2.

Часть 2

  1. Пользуясь правилом многоугольника, упростите выражение: .
  2. Найдите координаты вектора , если ,  и .
  3. Найдите координаты вершины D параллелограмма ABCD, если ,  и .

Тест по теме «Векторы. Метод координат»

Вариант 2

Часть 1

  1. Модуль ненулевого вектора  – это…
  1. длина отрезка АВ;
  2. коэффициент разложения вектора АВ;
  3. направление вектора ;
  4. направление отрезка АВ.
  1. Сонаправленные векторы – это…
  1. векторы, направленные в одну сторону;
  2. ненулевые векторы, направленные в одну сторону;
  3. ненулевые коллинеарные векторы, направленные в одну сторону;
  4. ненулевые коллинеарные векторы, направленные в разные стороны.
  1. Равные векторы – это…
  1. векторы, длины которых равны;
  2. сонаправленные векторы, длины которых равны;
  3. противоположно направленные векторы, длины которых равны;
  4. коллинеарные векторы, длины которых равны.
  1. Каковы координаты вектора :
  1. Определите координаты вектора , если  и :

Ответ:________________.

  1. Разложите вектор по координатным векторам  и :

Ответ:________________.

  1. Векторы  и  не коллинеарны. Найдите числа x и y, удовлетворяющие равенству :
  1. ;
  2. ;
  3. ;
  4. .
  1. Найдите координаты вектора , зная координаты его начала и конца:  .

Ответ:________________.

  1. Найдите длину вектора .
  1. 25;
  2. 5;
  3. – 5;
  4. – 25.
  1. Каково расстояние между точками А и В, если  и :
  1. – 49;
  2. 49;
  3. – 7;
  4. 7.

Часть 2

  1. Пользуясь правилом многоугольника, упростите выражение: .
  2. Найдите координаты вектора , если ,  и .
  3. Найдите координаты вершины A параллелограмма ABCD, если ,  и .

Критерии оценивания теста

Задания Части 1 оцениваются в 1 балл в случае правильного ответа.

Задания Части 2 № 11 и 12 оцениваются в 2 балла в случае правильного ответа и развернутого решения; 1 балл в случае правильного ответа и краткого решения. № 13 оценивается в 3 балла в случае правильного ответа и развернутого решения; 2 балла краткое решение и верный ответ; 1 балл – частичное решение задачи.

Отметка «отлично» – 15-17 баллов; «хорошо» – 12-14 баллов; «удовлетворительно» – 8-11 баллов.

Ключ к тесту

Вариант 1

Часть 1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

б

г

г

б

а

в

г

Часть 2

11. .

12. 

13. 

Вариант 2

Часть 1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

а

в

б

г

в

б

г

Часть 2

11. .

12. 

13. 

Тест по теме " Векторы" 9 класс

Тест 9. Векторы

1. Что называется вектором?

А) Часть прямой, ограниченная двумя точками.

Б) Отрезок, для которого указано, какая из его граничных точек считается началом, а какая – концом.

В) Часть прямой, ограниченная с одной стороны, а с другой стороны бесконечная.

Г) Отрезок, соединяющий две точки на окружности.

2. Как обозначается длина вектора hello_html_45ec500d.gif?

А) hello_html_m47cedaf4.gif

Б) hello_html_m25645f5c.gif

В) hello_html_m5c8d035d.gif

Г) hello_html_660fe8ab.gif

3. Укажите, какое из равенств ошибочно для любых векторов hello_html_m7f6fde33.gif

, hello_html_m4ab470ed.gif и числа k?

А) hello_html_154a465d.gif

Б) hello_html_2b2d6380.gif

В) hello_html_59973d07.gif

Г) hello_html_5c0cf546.gif

4. Какой отрезок называется средней линией трапеции?

А) Отрезок, параллельный основаниям и соединяющий боковые стороны.

Б) Отрезок, соединяющий середины оснований.

В) Отрезок, соединяющий середины ее боковых сторон.

Г) Отрезок, соединяющий основания и параллельный одной из боковых сторон.

5. Какие вектора называются коллинеарными?

А) Ненулевые векторы, которые лежат на перпендикулярных прямых.

Б) Ненулевые векторы, которые лежат на одной прямой.

В) Ненулевые векторы, которые лежат либо на одной прямой, либо на параллельных прямых.

Г) Ненулевые векторы, которые пересекаются.

6. В прямоугольнике ABCD AB = 12, ВС = 8, М – середина стороны АВ. Найдите длины векторов hello_html_m35f2b330.gif, hello_html_27acf16b.gif, hello_html_36bd07a2.gif.

hello_html_2017e209.gif, hello_html_m73ecae5b.gif, hello_html_757a550e.gif

7. Боковые стороны трапеции равны 10 см и 14 см, а периметр равен 54 см. Найдите среднюю линию трапеции.

15 см

Тест по геометрии (9 класс) на тему: Проверочная работа по теме "Векторы"

Карточка 1.

  1. Вектор – это ______________________ отрезок. Векторы обозначают так _______ или так _______.
  2. Если два вектора  и  коллинеарны, то они могут быть направлены в одну сторону, либо в противоположные. В первом случае векторы  и  называют _______________________, и записывают так _______, а во втором случае векторы  и   ________________________ и записывают так _______.
  3. Несколько векторов можно сложить, пользуясь правилом ______________. При этом начало следующего вектора должно совпадать с ______________ предыдущего вектора.
  4. Произведением ненулевого вектора  на число  называется такой вектор , длина которого равна ___________.
  5. Упростите выражение: . ______________________________________________________________________
  6. Найдите среднюю линию трапеции, если основания трапеции равны 8 см и 12 см. ___________________________________

Карточка 2.

  1. На рисунке изображены векторы ______, ______, ______. Точки ___, ___, ___ −  начала данных векторов; точки ___, ___, ___ −  их концы.
  1. Векторы называют равными, если они _________________ и их длины ________________.
  2. Назовите законы сложения для векторов:  −  ________________ закон;

 −  ____________________ закон.

  1. Произведение любого вектора на число нуль есть _______________ вектор.
  2. Упростите выражение: . ________________________________________________
  3. Средняя линия трапеции равна 15 см, а большее основание 17 см. Найдите меньшее основание _______________________________________________________________.

Карточка 3.

  1. Любая точка плоскости является вектором. В этом случае вектор называется __________________.
  2. От любой точки М можно отложить вектор, __________________ данному вектору , и притом только _________.
  3. Вектор, противоположный вектору , обозначается _____.
  4. Для любого числа  и любого вектора  векторы  и  _________________________.
  5. Упростите выражение: . _____________________________________________________
  6. Длина вектора  равна 5,5 см. Найдите длину вектора . ________________________

Карточка 4.

  1. Длина вектора (или модуль вектора) – это ___________________________, изображающего вектор. Длина вектора  обозначается ________.
  2. Правило треугольника можно сформулировать следующим образом: если A, B, C – произвольные точки, то .
  3. Разностью векторов  и  называют такой вектор, который в сумме с вектором _____, даёт вектор _____.
  4. Векторы  и  _________________________, векторы  и  ____________________________.
  5. Упростите выражение, если возможно: . _____________________________________________
  6. . Найдите длину вектора , если векторы  взаимно перпендикулярны. __________________________________________________________
Тест (геометрия, 9 класс) по теме: тест по теме "Векторы"

ТЕСТ Теория по теме «Векторы»

  1. Как называется  отрезок,  для которого указано, какая из его граничных точек считается началом, а какая – концом?

Прямая              Луч                    Вектор                Модуль

  1. Как называется правило сложения двух неколлинеарных векторов?

Правило Пифагора                           Правило равенства треугольников

 Правило треугольника                   Правило параллельных прямых

  1. Как называются векторы, если они сонаправлены и их длины равны?

Сонаправленными                         Коллинеарными

Противоположнонаправленными                   Равными

  1. Как называются на рисунке векторы АВ и СD? 
  • Противоположнонаправленными
  • Равными
  • Сонаправленными
  • Нулевыми
  1. Если любая точка плоскости является вектором, то как она называется?

Точечный вектор              Нулевой вектор            Модульный вектор                 Равный вектор

Начало формы

  1. Как называются на рисунке векторы MDи BA?
  • Равными
  • Противоположнонаправленными
  • Сонаправленными
  • Коллинеарными

Конец формы

  1. Как называются векторы, если они лежат либо на одной прямой, либо на на параллельных прямых?

Сонаправленными                     Коллинеарными

Противоположнонаправленными             Равными

  1. Какие из следующих величин называются векторными: скорость, масса, сила, время, температура, длина, площадь, работа?
  • Скорость, время
  • Сила, температура
  • Скорость, сила
  • Длина, площадь, работа
  1. Сколько векторов можно отложить от любой точки, равных данному вектору?

Бесконечное множество                  Три               Ни одного                      Только один

  1. Какие векторы на рисунке коллинеарны?
  • MN,  OZ, CD, PK
  • WX,  PK, MN
  • PK, CD, MN, WX
  • PK,   MN
  1. Как называются граничные точки вектора?

Границами                 Начало и конец           Первая точка и последняя точка           Концы отрезка

  1. Как называется  длина отрезка АB?

Длина                     Нулевой вектор                           Длина и модуль ненулевого вектора                   Модуль

Тест по геометрии (9 класс) по теме: 03.Интерактивный тест по теме: «Векторы и координаты»

Слайд 1

Вариант 1 Вариант 2 Использован шаблон создания тестов в PowerPoint МКОУ «Погорельская СОШ» Кощеев М.М.

Слайд 2

Результат теста Верно: 14 Ошибки: 0 Отметка: 5 Время: 2 мин. 48 сек. ещё исправить

Слайд 3

Вариант 1 в) {-3;3} а) { -3 ;-3} б) {2;2} д) невозможно определить г) {4,5; 4,5}

Слайд 4

Вариант 1 г) (-1;-11) а) (-15 ;-5 ) б) (15;5) д) (-15;-11) в) (1;11)

Слайд 5

Вариант 1 д) ( 6 ; - 7 ) а) (-6 ; 7) б) ( -7 ; 6 ) г) (- 6 ; -7) или (6; 7) в) ( -6 ; 7) или (6 ; -7)

Слайд 6

Вариант 1 а) ( 5 ; 0 ) д) невозможно определить б) ( 4 ; 0 ) а) ( 3 ; 0 ) в) ( -5 ; 0 )

Слайд 7

Вариант 1 г) { -3 ; - 3 } а) { -3 ; 3 } б) { 3 ; -3 } д) {- 3 ; 3 } или { 3 ; -3 } в) { 3 ; 3 }

Слайд 8

Вариант 1 а) { -5 ; 1 } г) {0 ,9 ; -1,3 } б) { 5 ; -1 } д) {- 5 ; -1 } в) { 2 ; -2}

Слайд 9

Вариант 1 г) { 2 ; 2 } а) { -2 ; 2 } б) { -2,4 ; 8 } д) Среди приведенных ответов верного нет в) { 0,8 ; 1,2 }

Слайд 10

Вариант 1 д) { 4 ; 9 } г) { -4 ; -9 } б) { -7 ; 2 } а) { 11 ; -11 } в) { 7 ; -2}

Слайд 11

Вариант 1 9. Четыре вершины квадрата лежат на осях координат. Одна из вершин имеет абсциссу, равную -4. Найдите площадь этого квадрата. б) 32 г) 8 д) 64 а) 16

Слайд 12

Вариант 1 10. Ровно три вершины квадрата лежат на осях координат. Найдите возможное наименьшее значение суммы ординат всех вершин квадрата, если его периметр равен 8. д) -4 г) 2 б) 4 а) -6 в) 0

Слайд 13

Вариант 1 г) 4 а) 1 в) 3

Слайд 14

Вариант 1 12. Даны точки В(-5 ; -3) и С(11 ; 15). Точка А лежит на прямой ВС. Найдите абсциссу точки А, если ее ордината равна 6. а) 3 д) Такой точки на прямой ВС нет б) 4 г) 8 в) - 3

Слайд 15

Вариант 1 13. Вершина А треугольника АВС имеет координаты (8 ; 5). Какие значения может принимать сумма ординат вершин В и С, если средняя линия этого треугольника лежит на оси абсцисс. в) 0 или -10 д) Такой точки на прямой ВС нет б) -10 г) -5 или -10 а) 0

Слайд 16

Вариант 1 14. Точки А (-1 ; - 6), B(-3; 12), C(7;-2) – вершины параллелограмма. Найдите координаты четвертой вершины параллелограмма, если она лежит в первой координатной четверти. а) (5 ; 16) д) Такой вершины нет б) (2 ; 5) или (5 ; 16) в) (7 ; 7)

Слайд 17

Вариант 2 д) { 5 ; -5 } а) {- 5 ;- 5 } б) {2;2} в) невозможно определить г) {4,5; 4,5}

Слайд 18

Вариант 2 в) (1; 11) а) (-11 ;- 1) б) ( -1 ; -11 ) д) (-1 1 ;-1) г) (1 1 ;1)

Слайд 19

Вариант 2 б) ( 6 ; 7 ) а) (-7 ; 6) д) ( 6 ; -7 ) г) (- 6 ; -7) или (6; 7) в) ( -6 ; 7) или (6 ; -7)

Слайд 20

Вариант 2 в) ( 5 ; 0 ) д) невозможно определить б) ( 4 ; 0 ) г) ( -3 ; 0 ) а) ( -5 ; 0 )

Слайд 21

Вариант 2 а) { -4 ; 4 } г) { -4 ; -4 } б) { 4 ; -4 } д) {- 4 ; 4 } или { 4 ; -4 } в) { 4 ; 4 }

Слайд 22

Вариант 2 б) { -7 ; 2 } г) {0 ,9 ; -1,3 } а) { 5 ; -1 } д) { 2 ; -2 } в) { -5 ; - 1 }

Слайд 23

Вариант 2 г) { 2 ; 2 } а) { -2 ; 2 } б) { -2,4 ; 8 } д) Среди приведенных ответов верного нет в) { 0,8 ; 1,2 }

Слайд 24

Вариант 2 г) { 2 ; 8 } д) { 8 ; -2 } б) { -8 ; 2 } а) { 8 ; -10 } в) { -4 ; 16 }

Слайд 25

Вариант 2 9. Четыре вершины квадрата лежат на осях координат. Одна из вершин имеет абсциссу, равную - 2 . Найдите площадь этого квадрата. д) 8 г) 12 б) 16 в) 4

Слайд 26

Вариант 2 10. Ровно три вершины квадрата лежат на осях координат. Найдите возможное наибольшее значение суммы ординат всех вершин квадрата, если его периметр равен 12. б) 6 г) 4 д) 8 а) 10 в) 0

Слайд 27

Вариант 2 а) 8 г) 6 в) 3

Слайд 28

Вариант 2 12. Даны точки В(5 ; 3) и С(-11 ; -7). Точка А лежит на прямой ВС. Найдите ординату точки А, если ее абсцисса равна - 3. в) -2 д) Такой точки на прямой ВС нет б) -3 г) 5 а) 2

Слайд 29

Вариант 2 13. Вершина А треугольника АВС имеет координаты (7 ; 4). Какие значения может принимать сумма абсцисс вершин В и С, если средняя линия этого треугольника лежит на оси ординат. д) 0 или -14 б) Любые положительные числа в) -10 г) -5 или -10 а) 0

Слайд 30

Вариант 2 14. Точки К (7 ; -2 ), Н ( 5 ; 1 6 ), М ( -3 ; 12 ) – вершины параллелограмма. Найдите координаты четвертой вершины параллелограмма, если она лежит в третьей координатной четверти. д) (-1 ; -6) г) Такой вершины нет а) (2 ; 5) или (5 ; 16) в) (7 ; 2)

Слайд 31

Ключи к тесту : «Векторы и координаты» . 1 вариант 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 Отв. в г д а г а г д б д г а б а 2 вариант 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 Отв. д в б в а б г г д б а в д д Литература Л.И. Звавич, Е,В. Потоскуев Тесты по геометрии 9 класс к учебнику Л.С. Атанасяна и др. М. : издательство «Экзамен» 2013г.- 128с.

Тест по теме Векторы в 9 классе

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа №3»

г. Исилькуль, Омской области

Тест по геометрии

по теме «Векторы»

9 класс.

Зинченко Елена Владимировна, учитель математики и информатики

Цель данного теста – проверить уровень усвоения теоретического материала по данной теме.

Ключ к тесту:

I вариант 1. А) … если коллинеарны и одинаково направлены.

Б) … если и

В) … если k<0.

Г) …

2. А) ложь;Б) истина;В) ложь.

3. Б;4. А;5. Б.

II вариант 1. А) … если они коллинеарны и направлены противоположно.

Б) … если и

В)… если k>0.

Г) …

2. А) истина;Б) ложь;В) истина.

3. Б;4. В;5. Б.

Тест «Векторы».

Вариант 1.

Заполните пропуски, чтобы получилось верное утверждение:

А) ненулевые векторы называются сонаправленными, если …

Б) , если …

В) векторы противоположно направлены, если …

Г) Если ABCD – параллелограмм, то

2. Установите истинность утверждений:

А) разностью векторов называется такой вектор , что

Б) Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

В) ненулевые векторы называются коллинеарными, если они одинаково направлены.

Выберите верный ответ:

3. ABCD – квадрат, АВ = 5. равен:

А) 10; Б) В)

4. Упростите выражение:

А) Б)В)

5. В параллелограммеABCD диагонали пересекаются в точке О. Выразите через векторы

А) Б)В)

Тест «Векторы».

Вариант 2.

Заполните пропуски, чтобы получилось верное утверждение:

А) ненулевые векторы называются противоположно направленными, если …

Б) , если …

В) векторы сонаправлены, если …

Г) Если ABCD – ромб, то

2. Установите истинность утверждений:

А) Произведением ненулевого вектора на число k называется такой вектор , что

Б) Средней линией трапеции называется отрезок, соединяющий середины ее противоположных сторон.

В) От любой точки М можно отложить вектор, равный данному вектору , и притом только один.

Выберите верный ответ:

3. ABCD – квадрат, АВ = 4. равен:

А) 8; Б) В)

4. Упростите выражение:

А) Б) В).

5. В параллелограммеABCD диагонали пересекаются в точке О. Выразите через векторы

А) Б)В)

Список использованной литературы.

Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов и др. «Геометрия 7-9», учебник для общеобразовательных учреждений, Москва, «Просвещение», 2012 г.

Н.Ф. Гаврилова «Универсальные поурочные разработки по геометрии 9 класс», Москва, «ВАКО», 2006 г.

Тест по геометрии (9 класс) на тему: Векторы

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Конспект урока на тему "Вектор. Модуль вектора. Равенство векторов. Сложение векторов."

Математика...

презентация к уроку на тему "Вектор. Модуль вектора. Равенство векторов. Сложение векторов."

презентация к уроку на тему "Вектор. Модуль вектора. Равенство векторов. Сложение векторов."...

презентация "Векторы.Действия над векторами.Проекция вектора"

В 10 классе при рассмотрении основ кинематики возникает необходимость работы учащимся с векторными величинами. Данная презентация может быть использована для повторения  математических основ поня...

«Координаты вектора. Действия над векторами, заданными координатами. Построение векторов с помощью программы GeoGebra»

Разработка урока геометрии в 9 классе с помощью программы GeoGebra....

презентация по геометрии "Понятие вектора. Длина вектора. Равенство векторов."

Презентация по геометрии "Понятие вектора. Длина вектора. Равенство векторов." Изучение нового материала....

Векторы. Модуль вектора. Равенство векторов. Коллинеарные векторы.

Презентация для изучения нового материала....

Интерактивный тест «Векторы. Сумма векторов. Умножение вектора на число»

Данный ресурс представляет собой мультимедийный тест для 10 класса в 2-х вариантах.Ресурс является презентацией с использованием макросов, создан в программе PowerPoint по конструктору тестов Ко...

Примечания по вектору | 10 класс> Необязательная математика> Вектор

Вследствие того, что векторы возникают в разных физических задачах по-разному, произведение двух векторов \ (\ overrightarrow {a} \) и \ (\ overrightarrow {b} \) определено в следующие два способа:

Точечный продукт \ (\ overrightarrow a \). \ (\ overrightarrow b \) дает скалярный результат, а кросс-произведение \ (\ overrightarrow a \) × \ (\ overrightarrow b \) дает векторный результат.

Скалярное произведение двух векторов \ (\ overrightarrow a \) и \ (\ overrightarrow b \) определяется как произведение величины двух векторов, умноженной на косинус угла \ (\ theta \) между их направления.

Таким образом, \ (\ overrightarrow a \). \ (\ overrightarrow b \) = | \ (\ overrightarrow a \) | | \ (\ overrightarrow b \) | cos \ (\ theta \) = ab cos \ (\ theta \)

где, | \ (\ overrightarrow a \) | = a и | \ (\ overrightarrow b \) | = б.

Сейчас

.

Нарисуйте перпендикулярный BM от B до OA.

Здесь,

\ (\ overrightarrow {OA} \) = \ (\ overrightarrow a \) и \ (\ overrightarrow {OB} \) = \ (\ overrightarrow b \)

Сейчас

\ (\ begin {align *} \ overrightarrow a.\ overrightarrow b & = | \ overrightarrow a | | \ overrightarrow b | cos \ theta \\ & = ab cos \ theta \\ & = (OA) (OB) cos \ theta \\ & = OA (OB cos \ theta) \\ & = (OA) (OM) \\ & = ( величина \; of \; \ overrightarrow a) (компонент \; of \; \ overrightarrow b \; в \; \; направление \; of \; \ overrightarrow a) \\ \ end {align *} \)

Итак, ясно, что скалярное произведение двух векторов эквивалентно произведению величины одного вектора на компонент другого вектора в направлении этого вектора.

Если мы напишем \ (\ overrightarrow a \). \ (\ overrightarrow b \), вращение \ (\ overrightarrow a \) в направлении \ (\ overrightarrow b \) идет против часовой стрелки, а угол \ (\ theta \) считается положительным.

∴ \ (\ overrightarrow a \). \ (\ overrightarrow b \) = ab cos \ (\ theta \)

Если мы напишем \ (\ overrightarrow b \). \ (\ overrightarrow a \), вращение \ (\ overrightarrow b \) в направлении \ (\ overrightarrow a \) происходит по часовой стрелке, а угол \ (\ theta \) считается отрицательным.

∴ \ (\ overrightarrow b \).\ (\ overrightarrow a \) = b a cos (- \ (\ theta \)) = ba cos \ (\ theta \)

Следовательно, \ (\ overrightarrow a \). \ (\ overrightarrow b \) = \ (\ overrightarrow b \). \ (\ overrightarrow a \)

Таким образом, скалярное произведение является коммутативным.

.

Рассмотрим две точки A ( 1 , 2 ) и B (b 1 , b 2 ) на плоскости. Тогда

вектор положения A = \ (\ overrightarrow {OA} \) = \ (\ overrightarrow a \) = \ (\ begin {pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ \ end {pmatrix} \)

вектор положения B = \ (\ overrightarrow {OB} \) = \ (\ overrightarrow b \) = \ (\ begin {pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \ end {pmatrix} \)

Величины \ (\ overrightarrow a \) и \ (\ overrightarrow b \) равны

| \ (\ overrightarrow {OA} \) | = OA = a = | \ (\ overrightarrow a \) |

| \ (\ overrightarrow {OB} \) | = OB = b = | \ (\ overrightarrow b \) |

Пусть \ (\ angle \) XOA = β, \ (\ angle \) XOB = α и \ (\ angle \) AOB = θ.Тогда α -β = θ.

Нарисуйте перпендикуляры AM и BN от A и B до оси X. Тогда

OM = a 1 , MA = 2 , ON = b 1 и NB = b 2 .

из прямоугольного треугольника OMA,

cosβ = \ (\ frac {OM} {OA} \) = \ (\ frac {a_1} a \) ∴ a 1 = cosβ

sinβ = \ (\ frac {MA} {OA} \) = \ (\ frac {a_2} a \) ∴ a 2 = sinβ

Аналогично,

из прямоугольного треугольника ONB,

b 1 = b cosα и b 2 = b sinα

Сейчас

\ (\ begin {align *} a_1b_1 + a_2b_2 & = a cosβ b cosα + sinβ sinα \\ & = ab cos (α - β) \\ & = | \ overrightarrow a | | \ overrightarrow b | cos \ theta ,.................. (i) \\ \ end {align *} \)

Но,

По определению скалярного произведения двух векторов \ (\ overrightarrow a \) и \ (\ overrightarrow b \),

Сейчас

Из (i) и (ii),

\ (\ overrightarrow a \). \ (\ overrightarrow b \) = 1 b 1 + a 2 b 2 .

Этот результат приводит нас к определению скалярного произведения двух векторов другим способом.

Let \ (\ overrightarrow a \) = \ (\ begin {pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ \ end {pmatrix} \) и \ (\ overrightarrow b \) = \ (\ begin {pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \ end {pmatrix} \) два вектора.Тогда скалярное произведение \ (\ overrightarrow a \) и \ (\ overrightarrow b \) обозначается через \ (\ overrightarrow a \). \ (\ overrightarrow b \) и определяется как \ (\ overrightarrow a \). \ (\ overrightarrow b \) = \ (\ begin {pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ \ end {pmatrix} \) и \ (\ overrightarrow b \). \ (\ begin {pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \ end {pmatrix} \) = 1 b 1 + a 2 b 2 .

Снова

,

От (я),

| \ (\ overrightarrow a \) | | \ (\ overrightarrow b \) | cos \ (\ theta \) = 1 b 1 + a 2 b 2

или cos \ (\ theta \) = \ (\ frac {a_1b_1 + a_2b_2} {| \ overrightarrow a | | \ overrightarrow b |} \)

Этот результат дает нам угол между двумя векторами \ (\ overrightarrow a \) и \ (\ overrightarrow b \).

\ (\ theta \) = cos -1 \ (\ frac {a_1b_1 + a_2b_2} {| \ overrightarrow a | | \ overrightarrow b |} \)

Свойства скалярного продукта

Скалярному произведению векторов удовлетворяют следующие свойства:

Пусть \ (\ overrightarrow a \), \ (\ overrightarrow b \) и \ (\ overrightarrow c \) - три вектора.

  1. Коммутирующее свойство: \ (\ overrightarrow a \). \ (\ overrightarrow b \) = \ (\ overrightarrow b \). \ (\ overrightarrow a \)
  2. Распределительное свойство: \ (\ overrightarrow a \).(\ (\ overrightarrow b \) + \ (\ overrightarrow c \)) = \ (\ overrightarrow a \). \ (\ overrightarrow b \) + \ (\ overrightarrow a \). \ (\ overrightarrow c \)
  3. Ассоциативная собственность: м \ (\ overrightarrow a \). n \ (\ overrightarrow b \) = mn (\ (\ overrightarrow a \). \ (\ overrightarrow b \))
перпендикулярных векторов

Let \ (\ overrightarrow a \) = \ (\ begin {pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ \ end {pmatrix} \) и \ (\ overrightarrow b \) = \ (\ begin {pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \ end {pmatrix} \) два вектора.Если \ (\ overrightarrow a \) и \ (\ overrightarrow b \) перпендикулярны друг другу, то угол между \ (\ overrightarrow a \) и \ (\ overrightarrow b \) равен \ (\ theta \) = - 90 °.

Сейчас

\ (\ overrightarrow a \). \ (\ overrightarrow b \) = | \ (\ overrightarrow a \) | | \ (\ overrightarrow b \) | cos \ (\ theta \) = ab cos 90 ° = 0

и наоборот,

Пусть \ (\ overrightarrow a \). \ (\ overrightarrow b \) = 0

Затем

| \ (\ overrightarrow a \) | | \ (\ overrightarrow b \) | cos \ (\ theta \) = 0

или ab cos \ (\ theta \) = 0

или cos \ (\ theta \) = 0

∴ \ (\ theta \) = 90 °

Таким образом, если два вектора перпендикулярны друг другу (или ортогональны), их скалярное произведение равно нулю.

Параллельный вектор

Пусть \ (\ overrightarrow a \) и \ (\ overrightarrow b \) два вектора. Если \ (\ overrightarrow a \) и \ (\ overrightarrow b \) параллельны друг другу, то угол между ними равен 0 ° или 180 °.

Сейчас

Если \ (\ theta \) = 0 °, \ (\ overrightarrow a \). \ (\ overrightarrow b \) = | \ (\ overrightarrow a \) | | \ (\ overrightarrow b \) | cos \ (\ theta \) = ab cos 0 ° = ab

Если \ (\ theta \) = 180 °, \ (\ overrightarrow a \). \ (\ overrightarrow b \) = | \ (\ overrightarrow a \) | | \ (\ overrightarrow b \) | cos \ (\ theta \) = ab cos 180 ° = -ab

Таким образом, два вектора \ (\ overrightarrow a \) и \ (\ overrightarrow b \) параллельны друг другу, если \ (\ overrightarrow a \).\ (\ overrightarrow b \) = ab или, \ (\ overrightarrow a \). \ (\ overrightarrow b \) = -аб.

Длина вектора (Модуль вектора)
Length of a vector (Modulus of a vector) Длина вектора (Модуль вектора)

Пусть \ (\ overrightarrow a \) = \ (\ begin {pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ \ end {pmatrix} \) - плоский вектор.

Тогда \ (\ overrightarrow a \). \ (\ overrightarrow a \) = \ (\ begin {pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ \ end {pmatrix} \). \ (\ begin {pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ \ end {pmatrix} \) = a 1 a 1 + a 2 a 2 = a 1 2 + a 2 2 = 2

∴ a = \ (\ sqrt {\ overrightarrow a.2} \) + 2 \ (\ overrightarrow a \). \ (\ overrightarrow b \) + \ (\ overrightarrow {b} \) = a 2 + 2 \ (\ overrightarrow a \). \ (\ overrightarrow b \) + b 2
(\ (\ overrightarrow a \) + \ (\ overrightarrow b \)) = (\ (\ overrightarrow a \) + \ (\ overrightarrow b \)). ( \ (\ overrightarrow a \) + \ (\ overrightarrow b \)) = \ (\ overrightarrow a \). \ (\ overrightarrow a \) + \ (\ overrightarrow a \). \ (\ overrightarrow b \) + \ (\ overrightarrow b \). \ (\ overrightarrow a \) + \ (\ overrightarrow b \). \ (\ overrightarrow b \) = \ (\ overrightarrow a \) + 2 \ (\ overrightarrow a \).2} \) = a 2 - 2 \ (\ overrightarrow a \). \ (\ overrightarrow b \) + b 2
(\ (\ overrightarrow a \) - \ (\ overrightarrow b \)) 2 = (\ (\ overrightarrow a \) - \ (\ overrightarrow b \) ). (\ (\ overrightarrow a \) - \ (\ overrightarrow b \)) = \ (\ overrightarrow a \). \ (\ overrightarrow a \) - \ (\ overrightarrow a \). \ (\ overrightarrow b \) - \ (\ overrightarrow b \). \ (\ overrightarrow a \) + \ (\ overrightarrow b \). \ (\ overrightarrow b \) = \ (\ overrightarrow a \) - 2 \ (\ overrightarrow a \). \ (\ overrightarrow b \) + \ (\ overrightarrow b \) = a 2 - 2 \ (\ overrightarrow a \).2} \) - \ (\ overrightarrow b \) = a 2 - b 2

взаимно перпендикулярный единичный вектор \ (\ overrightarrow i \) и \ (\ overrightarrow j \)

Пусть OX и OY - две взаимно перпендикулярные прямые. Тогда единичный вектор вдоль OX и OY, обозначаемый \ (\ overrightarrow i \) и \ (\ overrightarrow j \), определяется как \ (\ overrightarrow i \) = \ (\ begin {pmatrix} 1 \\ 0 \\ \ end {pmatrix} \) и \ (\ overrightarrow j \) = \ (\ begin {pmatrix} 0 \\ 1 \\ \ end {pmatrix} \).

Сейчас

\ (\ overrightarrow i \).2} \) = \ (\ begin {pmatrix} 0 \\ 1 \\ \ end {pmatrix} \). \ (\ begin {pmatrix} 0 \\ 1 \\ \ end {pmatrix} \) = 0 + 1 = 1

\ (\ overrightarrow i \). \ (\ overrightarrow j \) = \ (\ begin {pmatrix} 1 \\ 0 \\ \ end {pmatrix} \). \ (\ begin {pmatrix} 0 \\ 1 \\ \ end {pmatrix} \) = 0 + 0 = 0

\ (\ overrightarrow j \). \ (\ overrightarrow i \) = \ (\ begin {pmatrix} 0 \\ 1 \\ \ end {pmatrix} \). \ (\ begin {pmatrix} 1 \\ 0 \\ \ end {pmatrix} \) = 0 + 0 = 0

Значение скалярного произведения \ (\ overrightarrow i \) и \ (\ overrightarrow j \) можно запомнить из приведенной таблицы.

Представление вектора через единичные векторы

Пусть \ (\ overrightarrow a \) = \ (\ begin {pmatrix} x \\ y \\ \ end {pmatrix} \) - вектор. Можно записать как

\ (\ overrightarrow a \) = \ (\ begin {pmatrix} x \\ y \\ \ end {pmatrix} \) = \ (\ begin {pmatrix} x \\ 0 \\ \ end {pmatrix} \) = \ (\ begin {pmatrix} 0 \\ y \\ \ end {pmatrix} \) = x \ (\ begin {pmatrix} 1 \\ 0 \\ \ end {pmatrix} \) + y \ (\ begin { pmatrix} 0 \\ 1 \\ \ end {pmatrix} \) = x \ (\ overrightarrow i \) + y \ (\ overrightarrow j \).

Аналогично,

Если \ (\ overrightarrow a \) = nx + y \ (\ overrightarrow j \), то:

\ (\ overrightarrow a \) = x \ (\ overrightarrow i \) + y \ (\ overrightarrow j \) = x \ (\ begin {pmatrix} 1 \\ 0 \\ \ end {pmatrix} \) + y \ (\ begin {pmatrix} 0 \\ 1 \\ \ end {pmatrix} \) = \ (\ begin {pmatrix} x \\ 0 \\ \ end {pmatrix} \) + \ (\ begin {pmatrix} 0 \\ y \\ \ end {pmatrix} \) = \ (\ begin {pmatrix} x \\ y \\ \ end {pmatrix} \)

Следовательно, каждый плоский вектор \ (\ begin {pmatrix} x \\ y \\ \ end {pmatrix} \) может быть представлен x \ (\ overrightarrow i \) + y \ (\ overrightarrow j \) и наоборот.

Векторные операции в единичных векторах

Пусть \ (\ overrightarrow a \) = 1 \ (\ overrightarrow i \) + a 2 \ (\ overrightarrow j \) и \ (\ overrightarrow b \) = b 1 \ (\ overrightarrow i \) + b 2 \ (\ overrightarrow j \)

  1. Добавление векторов:
    \ (\ overrightarrow a \) + \ (\ overrightarrow b \) = a 1 \ (\ overrightarrow i \) + a 2 \ (\ overrightarrow j \) + b 1 \ (\ overrightarrow i \) + b 2 \ (\ overrightarrow j \) = (a 1 + b 1 ) \ (\ overrightarrow i \) + (a 2 + b 2 ) \ (\ overrightarrow j \)
  2. Вычитание векторов:
    \ (\ overrightarrow a \) - \ (\ overrightarrow b \) = a 1 \ (\ overrightarrow i \) + a 2 \ (\ overrightarrow j \) - (b 1 \ (\ overrightarrow i \) + b 2 \ (\ overrightarrow j \)) = a 1 \ (\ overrightarrow i \) + a 2 \ (\ overrightarrow j \) - b 1 \ (\ overrightarrow i \) - b 2 \ (\ overrightarrow j \)
  3. Скалярное произведение векторов:
    \ (\ overrightarrow a.\ overrightarrow b = (a_1 \ overrightarrow i + a_2 \ overrightarrow j). (b_1 \ overrightarrow i + b_2 \ overrightarrow j) = a_1b_1 \ overrightarrow i. \ overrightarrow i + a_1b_2 \ overrightarrow i. \ overrightarrow j + a_2b_1 \ overrightarrow j. \ overrightarrow i + a_2b_2 \ overrightarrow j. \ overrightarrow j = a_1b_1 + 0 + 0 + a + 2b_2 = a_1b_1 + a_2b_2 \)
Величина и направление вектора в единицах векторов

Пусть \ (\ overrightarrow a \) = x \ (\ overrightarrow i \) + y \ (\ overrightarrow j \) - вектор.2}} \)

Векторная геометрия

Теорема 1: (Формула средней точки)

Если \ (\ overrightarrow a \) и \ (\ overrightarrow b \) являются вектором положения двух точек A и B соответственно, а M является средней точкой отрезка AB, то вектор положения M равен \ (\ frac 12 \) (\ (\ overrightarrow a \) + \ (\ overrightarrow b \)).

Доказательство:

Пусть AB - отрезок, а O - начало координат.

Здесь,

Вектор положения A = \ (\ overrightarrow {OA} \) = \ (\ overrightarrow a \)

Вектор положения B = \ (\ overrightarrow {OB} \) = \ (\ overrightarrow b \)

Пусть M - средняя точка отрезка AB.

Затем

\ (\ begin {align *} \ overrightarrow {OM} & = \ overrightarrow {OA} + \ overrightarrow {AM} \\ & = \ overrightarrow {OA} + \ frac 12 \ overrightarrow {AB} \\ & = \ overrightarrow {OA} + \ frac 12 (\ overrightarrow {OB} - \ overrightarrow {OA}) \\ & = \ overrightarrow a + \ frac 12 (\ overrightarrow b - \ overrightarrow a) \\ & = \ frac {2 \ overrightarrow a + \ overrightarrow b - \ overrightarrow a} {2} \\ & = \ frac 12 (\ overrightarrow a + \ overrightarrow b) \\ \ end {align *} \)

Vector Вектор положения M = \ (\ frac 12 \) (\ (\ overrightarrow a \) + \ (\ overrightarrow b \)) Доказано

Теорема 2: (Формула раздела для внутреннего деления)

Если \ (\ overrightarrow a \) и \ (\ overrightarrow b \) являются вектором положения двух точек A и B соответственно и точка M делит отрезок линии AB внутри в отношении m: n, то вектор положения М есть \ (\ frac {m \ overrightarrow b + n \ overrightarrow a} {m + n} \).

Доказательство:

Пусть AB - отрезок, а O - начало координат.

Здесь,

Вектор положения A = \ (\ overrightarrow {OA} \) = \ (\ overrightarrow a \)

Вектор положения B = \ (\ overrightarrow {OB} \) = \ (\ overrightarrow b \)

Пусть точка M делит AB внутри в соотношении m: n.

Затем

\ (\ begin {align *} \ overrightarrow {OM} & = \ overrightarrow {OA} + \ overrightarrow {AM} \\ & = \ overrightarrow {OA} + \ frac {m} {m + n} \ overrightarrow { AB} \\ & = \ overrightarrow {OA} + \ frac m {m + n} (\ overrightarrow {OB} - \ overrightarrow {OA}) \\ & = \ overrightarrow a + \ frac m {m + n} ( - \ overrightarrow a) \\ & = \ frac {m \ overrightarrow a + n \ overrightarrow a + m \ overrightarrow b - m \ overrightarrow a} {m + n} \\ & = \ frac {m \ overrightarrow b + n \ overrightarrow a} {m + n} \\ \ end {align *} \)

Vector Вектор положения M = \ (\ frac {m \ overrightarrow b + n \ overrightarrow a} {m + n} \) Доказано

Теорема 3: (Формула сечения для внешнего деления)

Если \ (\ overrightarrow a \) и \ (\ overrightarrow b \) являются вектором положения двух точек A и B соответственно и точка P делит отрезок AB линии внешне в отношении m: n, то вектор положения P это \ (\ frac {m \ overrightarrow b - n \ overrightarrow a} {m - n} \).

Доказательство:

Пусть AB - отрезок, а O - начало координат.

Здесь,

Вектор положения A = \ (\ overrightarrow {OA} \) = \ (\ overrightarrow a \)

Вектор положения B = \ (\ overrightarrow {OB} \) = \ (\ overrightarrow b \)

Пусть точка P делит AB внешне в соотношении m: n.

Затем

\ (\ frac {AP} {BP} \) = \ (\ frac mn \)

∴ n \ (\ overrightarrow {AP} \) = m \ (\ overrightarrow {BP} \)

или n (\ (\ overrightarrow {

.
Примечания по вектору | Оценка 8> Дополнительные математики> Векторы

Величина, имеющая как длину, так и направление, называется вектором. Скорость, ускорение и т. Д. Тому примеры. Вектор имеет как величину, так и направление. Для вычисления вектора необходим векторный метод.

Примечание: Его нельзя сложить или вычесть простым алгебраическим методом.

Вектор представлен символами со стрелкой вверху, как \ (\ overrightarrow {AB} \).

Точно так же, Скаляр - это те физические величины, которые имеют единственную величину без длины и направления.Их можно сложить или вычесть алгебраическим методом. У него нет символического знака для обозначения скаляра.

Сегменты линии - это прямая линия между двумя точками P и R.

Аналогично, когда направление фиксировано для P к R, оно называется направленным отрезком и записывается как \ (\ overrightarrow {PR} \) ,

Таким образом, направленный отрезок линии \ (\ overrightarrow {PR} \) и \ (\ overrightarrow {RP} \) имеют противоположное направление.

Вектор с точки зрения компонентов
.

Предположим, что P (x, y) - любые точки на плоскости.
Соедините начало координат «O» с точкой P. Теперь OP направлен от O к P. Итак, \ (\ overrightarrow {OP} \) - это вектор из P, нарисуйте PA и PB перпендикулярно оси. Тогда OA называется горизонтальным компонентом или X-компонентом \ (\ overrightarrow {OP} \), а OB называется вертикальным компонентом или Y-компонентом \ (\ overrightarrow {OP} \).

Учитывая,
OA = x и OB = y
Тогда
\ (\ overrightarrow {OP} \) в терминах координатора записывается как \ (\ overrightarrow {OP} \) = x-компонент \ ( \ overrightarrow {OP} \)
i.е. \ (\ overrightarrow {OP} \) = (OA, OB) = (x, y)

Величина вектора

Величина вектора - это длина вектора, который имеет свое абсолютное значение или значение положения между начальной и конечной точкой вектора. Он обозначается \ (\ overrightarrow {a} \). Величина вектора \ (\ overrightarrow {a} \) или AB записывается как / \ (\ overrightarrow {a} \) / или / \ (\ overrightarrow {AB} \) /, просто 'a' или 'AB ». Это также называется модулем вектора.

/ \ (\ overrightarrow {AB} \) / = \ (\ sqrt {(x-comonent) ^ 2 + (компонент y) ^ 2} \)

Fig 1

Рис 1

Из рис.2} \)

Направление вектора

Направление вектора является мерой угла, сделанного вектором с положительным направлением, которое составляет горизонтальная линия оси x.
Направление любого вектора \ (\ overrightarrow {AB} \) определяется выражением
или tanθ = \ (\ frac {y-component \; of \; \ overrightarrow {AB}} {x-component \; of \; \ overrightarrow {AB}} \)
∴ θ = направление \ (\ overrightarrow {AB} \) = загар -1 \ (\ frac {y-component} {x-componentrnt} \)

Из рис............... (i)
Направление \ (\ overrightarrow {AB} \) определяется выражением
или tanθ = \ (\ frac {y-component} {x- компонент} \)
или tanθ = \ (\ frac {AM} {OM} \)
или tanθ = \ (\ frac {y} {x} \)
= θ = tan -1 \ (\ frac {y} {x} \)

Fig 1

Рис 1

Направление \ (\ overrightarrow {AB} \) определяется выражением
или tanθ = \ (\ frac {y-compomemt} {x-component} \)
или tanθ = \ (\ frac {PR} { MN} \)
или tanθ = \ (\ frac {y_2− y_1} {x_2− x_1} \)

Fig 2

Рис 2

типов векторов

1.Вектор столбца: Если компонент x-компонента и y-компонента записан в форме столбца, он называется вектором столбца.
vector Вектор столбца = \ (\ begin {pmatrix} x-component \\ y-component \\ \ end {pmatrix} \)
Например: \ (\ overrightarrow {a} \) = \ (\ frac {7} {5} \), \ (\ overrightarrow {AB} = \ frac {−11} {- 9} \) и т. Д.

2. Вектор строки: Если компонент x-компонента и y-компонента записан в виде строки, он называется вектором строки.
Вектор строки = (x-компонент, y-компонент)
Например: \ (\ overrightarrow {a} \) (2,7), \ (\ overrightarrow {AB} \) = (−11, −5) и т. Д. ,

3. Вектор положения: Если в качестве начальной точки берется начальная точка, то она называется вектором положения.
Здесь,
'O' - начальная точка, тогда вектор положения P равен \ (\ overrightarrow {OP} \).
Аналогично, \ (\ overrightarrow {OA}, \ overrightarrow {OR} \) и \ (\ overrightarrow {OB} \) - это вектор положения A, R и B соответственно.

Positive Vector .
Если координатор P равен (x, y), то вектор положения P определяется как,
\ (\ overrightarrow {OP} \) = (x-компонент, y-компонент)
\ (\ overrightarrow {OP} \) = (x, y)
Итак, величина \ (\ overrightarrow {OP} \) определяется как,
\ (\ overrightarrow {OP} \) = \ (\ sqrt {(x -компонент) ^ 2 + (компонент y) ^ 2} \)
= \ (\ sqrt {(x + y)} ^ 2 \)
Кроме того, если θ - угол, образованный вектором \ (\ overrightarrow { OP} \) с осью X (которая также является директивой \ (\ overrightarrow {OP} \)) задается как
tanθ = \ (\ frac {y-component} {x-component} \)
∴ tanθ = \ (\ frac {y} {x} \)

4.Нулевой или нулевой вектор: Если вектор, величина которого равна нулю, то он называется нулевым или нулевым вектором. Он обозначается как \ (\ overrightarrow {O} \), \ (\ overrightarrow {AA} \), \ (\ overrightarrow {BB} \) и т. Д. Компоненты x и y для нулевого вектора имеют вид (x, у).

5. Единичный вектор: Если вектор имеет величину, равную единице, он называется единичным вектором. / \ (\ overrightarrow {AB} \) / = 1 единица.
Единичный вектор вдоль оси x обозначается через \ (\ overrightarrow {i} \), где, \ (\ overrightarrow {i} \) = (1, 0), а вектор вдоль оси y обозначается через \ (\ overrightarrow {j} \) где, \ (\ overrightarrow {j} \) = (0, 1).
Единичный вектор вдоль направления \ (\ overrightarrow {a} \) обозначается через \ (\ widehat {a} \) где, \ (\ overrightarrow {a} \) = \ (\ frac {\ overrightarrow {a }} {/ \ overrightarrow {a} /} \)

,
MCV4U - 12 класс исчисление и векторы - декартово векторное тестирование - onstudynotes

12 класс - исчисление и векторы

Тест декартовых векторов

декартовых векторов

  • Единица Векторы: имеют i = [1, 0], j = [0,1] имеют величину 1 и хвосты в начале координат.
  • Декартовой вектор представляет собой представление вектора на декартовой плоскости, где конечными точками являются точки на декартовой плоскости.
  • Если вектор u переводится так, что хвост находится в 0,0, то этот вектор называется вектором положения .Векторы положения представлены в квадратных скобках, где точки [u1, u2].
  • Величина u = [u1, u2] равна | u | = √ (u1 2 + u2 2 )
  • Горизонтальные и вертикальные составляющие вектора u можно сказать как [u1, 0] и [0, u1] соответственно
  • Для векторов u = [u1, u2] и v = [v1, v2] и скалярных k,
    • u + v = [u1 + v1, u2 + v2]
    • u - v = [u1 - v1, u2 - v2]
    • кв = [кв1, кв2]
  • Декартов вектор с двумя точками P1 (x1, y1) и P2 (x2, y2) равен P1P2 = [x2 - x1, y2 - y1]
  • Геометрические векторы также можно записать как:
    • v = [| v | cosX, | v | sinX], где X - угол v с положительной осью x

Dot Product

  • Точечное произведение определяется как a ∙ b = | a | | Б | cos X, где X - угол между a и b.
  • Точечный продукт производит скаляр.
  • Для любых векторов u, v и w и скаляра k,
    • u и v не могут быть нулевыми, перпендикулярны тогда и только тогда, когда u ∙ v = 0
    • Коммутативная собственность
    • Ассоциативная собственность
    • Распределительная собственность
    • u u = | u | 2
    • u ∙ 0 = 0
  • Если u = [u1, u2] и v = [v1, v2], то u ∙ v = u1 * v1 + u2 * v2

Области применения Dot Product

  • Для любых 2 векторов u и v с углом X между ними проекция v на u является векторной составляющей v в направлении u.
    • proj u v = | v | cos X (1 / | u | * | u |) или proj u v = (v u / u u) u
    • | proj u v | = | v | cos X, если 0
    • | proj u v | = - | v | cos X, если 90
    • | proj u v | = | u ∙ v / | u | |
  • На основе угла между u и v вы можете определить направление проекции.

Векторов в 3 пространстве

  • Те же свойства и формулы, что и в векторах в 2-м пространстве
  • Ортогональный: Если 2 вектора ортогональны, угол между ними составляет 90 градусов.

Cross Product

  • Перекрестное произведение между двумя векторами найдет вектор, перпендикулярный им обоим.
  • Используется для определения крутящего момента.
  • Направление
  • определяется по правилу правой руки. Пальцы указывают в направлении вектора r, затем сгибаются в направлении вектора f, большие пальцы указывают в направлении перекрестного произведения
  • a X b = (| a | | b | sin X) n , где n - единичный вектор, ортогональный к a и b, следуя правилу правой руки для направления, а X - угол между векторами.
  • Для декартовых векторов:
    • Если v = [v1, v2, v3] и u = [u1, u2, u3]
    • u X v = [u2v3 - u3v1, u3v1 - u1v3, u1v2 - u2v1]
  • | a X b | = | a | | Б | грех X
    • Это также вычисляет площадь параллелограмма
  • свойства
    • U X V = - (V X U)
    • распределительная собственность
    • ассоциативное свойство
    • коммутативное имущество
    • Если u! = 0 и v! = 0, u X v = 0 тогда и только тогда, когда u = mv, другими словами, они должны быть коллинеарны, чтобы это произошло.

Применения Cross Product

  • Крутящий момент - это поперечное произведение между длиной ключа и приложенным усилием
  • Формулы для проекционных работ в 3D и 2D
  • Тройной скалярный продукт: a * b X c
    • Перекрестное произведение должно быть сделано до того, как будет выполнено точечное произведение
  • Объем параллелограмма: V = | w * u X v |
  • Работа против силы тяжести является точечным произведением только с осью z для силы тяжести.
,

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *