Олимпиада по математике 9 класс, задания, уравнения, задачи с ответами

Курс математики в 9 классе посвящен достаточно серьезным темам. Ученики знакомятся с решением квадратных неравенств, понятиями множества и подмножества, числовыми функциями и прогрессиями. Участие в олимпиадах по математике для учеников 9 класса является хорошей возможностью подготовки к предстоящей ГИА.

На этой странице предложены реальные примеры олимпиадных заданий по математике. Ученикам предложены уравнения и задачи с решениями и ответами.

Данный материал может использоваться на занятиях для подготовки к олимпиаде, а также во время проведения контрольных или итоговых работ по математике. Подробные решения задач, расписанные внизу страницы помогут провести работу над ошибками и восполнить пробелы в знаниях учащихся.

Уравнения

1. Решите уравнение: − − 3 = 0

2. Решите уравнение: − + 2 = 0

3. Решите уравнение: − + 4 = 0

4. Решите уравнение: ( + )( + + 2) = 3

5. Решите уравнение: x4 − + 18 = 0

6. Решите уравнение: ( − − 16)( − + 2) = 88

7. Решите уравнение: ( + )( + − 5) = 84

8. Решите уравнение: ( − 1)( + 1) − 4( − 11) = 0

9. Решите уравнение: + − − + + 5 = 0

10. При каких с не имеет корней уравнение: − + с = 0

Задачи

Задача №1
Можно ли представить дробь 2/7 в виде суммы двух дробей, числители которых равны 1, а знаменатели — различные целые числа?

Задача №2
Токарь и его ученик, работая одновременно, обычно выполняют задание за 4 часа. При этом производительность труда токаря в 2 раза выше производительности ученика. Получив такое же задание, и, работая по очереди, они справились с заданием за 9 часов работы. Какую часть задания выполнил ученик токаря.

Задача №3
Стрелок десять раз выстрелил по стандартной мишени и выбил 90 очков. Сколько попаданий было в семерку, восьмерку и девятку, если десяток было четыре, а других попаданий и промахов не было?

Задача №4
На столе лежат 2005 монет. Двое играют в следующую игру: ходят по очереди; за ход первый может взять со стола любое нечетное число монет от 1 до 99, второй – любое четное число монет от 2 до 100. Проигрывает тот, кто не сможет сделать ход. Кто выиграет при правильной игре?

Задача №5
Имеются два сосуда, в первом из них 1 л воды, второй сосуд пустой. Последовательно проводятся переливания из первого сосуда во второй, из второго в первый и т. д., причем доля отливаемой воды составляет последовательно 1/2, 1/3, 1/4 и т. д. от количества воды в сосуде, из которого вода отливается. Сколько воды будет в сосудах после 2007 переливаний?

Ответы к уравнениям

Уравнение	№ 1	№ 2	№ 3	№ 4	№ 5
Ответ	±	нет корней	±	-1; 3	±; ±

Уравнение	№ 6	№ 7	№ 8	№ 9	№ 10
Ответ	-4; 5	-3; 4	нет корней	±1; ±	c > 36

Ответы к задачам

Задача 1
Можно. Например, 2/7=1/4+1/28.

Задача 2
Ученик выполнит 1\2 часть задания

Задача 3
Так как стрелок попадал лишь в семерку, восьмерку и девятку в остальные шесть выстрелов, то за три выстрела (по одному разу в семерку, восьмерку и девятку) он наберет 24 очка. Тогда за оставшиеся 3 выстрела надо набрать 26 очков. Что возможно при единственной комбинации 8 + 9 + 9 = 26. Итак, в семерку стрелок попал 1 раз, в восьмерку – 2 раза, в девятку – 3 раза.

Задача 4
Опишем стратегию первого игрока. Первым ходом он должен взять со стола 85 монет.  Каждым следующим, если второй игрок берет х монет, то первый игрок должен взять 101 – x монет (он всегда может это сделать, потому что если х – четное число от 2 до 100, то (101 – x) – нечетное число от 1 до 99). Так как 2005 = 101 × 19 + 85 + 1, то через 19 таких «ответов» после хода первого на столе останется 1 монета, и второй не сможет сделать ход, т. е. проиграет.

Задача 5
«Просчитав» несколько первых переливаний, нетрудно обнаружить, что после первого, третьего, пятого переливаний в обоих сосудах будет по ½ л воды. Необходимо доказать, что так будет после любого переливания с нечетным номером. Если после переливания с нечетным номером 2k-1 в сосудах было по ½ л, то при следующем переливании из второго сосуда берется 1/(2k + 1) часть, так что в первом сосуде оказывается — 1/2 + (2/2(2k + 1)) = (k + 1)/(2k + 1) (л). При следующем переливании, имеющем номер 2k + 1, из него берется 1/(2k + 2) часть и остается (k + 1)/(2k + 1)-(k + 1)/((2k + 1)(2k + 1)) = 1/2 (л). Поэтому после седьмого, девятого и вообще любого нечетного переливания в сосудах будет  по ½   л воды.

Другие классы

Обновлено: 26/02/2015 , автор: Валерия Токарева

ruolimpiada.ru

Олимпиада по математике 9 класс с ответами

1. Целые числа a, b, c и d удовлетворяют равенству a² + b² + c² = d². Доказать, что число abc делится на 4.  (6 баллов)

Решение

Квадрат четного числа делится на 4, а квадрат нечетного числа дает при делении на 4 остаток 1. Если числа

a, b, c — нечетные, то d² должен давать при делении на 4 остаток 3, что невозможно.Если среди чисел a, b, c два нечетных и одно четное, то d² должен давать при делении на 4 остаток 2, что также невозможно.Значит, среди чисел a, b, c есть два четных числа, откуда произведение abc делится на 4.Такое возможно, например, 3² + 4² + 12² = 13².

2. Докажите, что в любой компании найдутся два человека, имеющие равное число знакомых в этой компании (если A знаком с B, то и B знаком с A). ( 6 баллов)

Решение

Пусть в компании k человек. Тогда каждый человек может иметь от нуля до (k – 1) знакомых.Предположим противное: количество знакомых у всех разное. Тогда найдется человек без знакомых, найдется человек с одним знакомым, и так далее, наконец, найдется человек, у которого (k – 1) знакомых. Но тогда этот последний знаком со всеми, в том числе и с первым. Но тогда у первого не может быть ноль знакомых. Получили противоречие.

3. Можно ли представить дробь 2/7 в виде суммы двух дробей, числители которых равны 1, а знаменатели — различные целые числа? ( 6 баллов)

Решение

Ответ: можно.

Например, 2/7=1/4+1/28.

4. Доказать, что для любых положительных чисел a и b выполняется неравенство

(6 баллов)

Решение

Сделаем замену  x = b^1/15,  y = a^1/10.  Тогда доказываемое неравенство приобретает вид  2y⁵ + 3x⁵ ? 5y²x³.

Деля на  y⁵ и обозначая  t = x_{/y,  получаем  3t⁵ – 5t³ + 2 ? 0.  Разложим левую часть на множители. Последовательно получаем}

f(t

) = (3t ⁵ – 3t ³) – (2t ³ – 2) ? 0,

3t ³(t ² – 1) – 2(t – 1)(t ² + t + 1) ? 0,

(t – 1)(3t ³(t + 1) – 2(t ² + t + 1)) ? 0,

(t – 1)(3t ⁴ + 3t ³ – 2t ² – 2t – 2) ? 0,

(t – 1)((2t ⁴ – 2t ²) + (t ⁴ – t) + (t ³ – t) + (2t ³ – 2)) ? 0

(t – 1)(2t ²(t ² – 1) + t(t ³ – 1) + t(t ² – 1) + 2(t ³ – 1)) ? 0,

(t – 1)²(2t ²(t + 1) + t(t ² + t + 1) +

t(t + 1) + 2(t ² + t + 1)) ? 0,

(t – 1)²(3t ³ + 6t ² + 4t + 2) ? 0.

Для  t > 0  выражение в первой скобке ? 0,  во второй скобке > 0.  В итоге,  f(t) ? 0  для всех  t > 0.  Равенство нулю достигается лишь при  t = 1,  т.е. при  x = y,  т.е. при  a³ = b².  ?

5. На основаниях  AB и  CD трапеции  ABCD взяты точки  K и  L.  Пусть  E – точка пересечения отрезков  AL и  DK,  F – точка пересечения  BL и  CK.  Доказать, что сумма площадей треугольников  DADE и  DBCF равна площади четырёхугольника  EKFL.  (6 баллов)

Решение

Имеем  S_DADK = S_DALK,  так как они имеют общее основание 

AK и равные высоты, совпадающие с расстоянием между параллельными прямыми  AB и  DC.  S_DADE = S_DADK – S_DAEK = S_DALK – S_DAEK = S_DKLE.  Аналогично,  S_DBCF = S_DKLF.  Таким образом, сумма площадей треугольников  DADE и  DBCF равна площади четырёхугольника  EKFL.

iumka.ru

Задания школьного этапа олимпиады по математике с решениями для 9 класса.

Учитель Крюченкова В.М.

Школьный этап Всероссийской предметной олимпиады по математике Задания для 9 класса

№1. Малыш, Карлсон и Винни-пух ели варенье. Они начали одновременно и ели до тех пор , пока варенье не кончилось. Малыш успел съесть только одну девятую часть варенья. Если бы ели только Малыш и и Карлсон, Малышу досталась бы четверть всего варенья. Какая часть варенья досталась Малышу, если бы он ел только с Винни –пухом?.

Решение.

1. Малыш, Карлсон, Винни –пух съели все варенье

Малышу досталось 1/9 часть ,

значит Карлсон и Винни –пух съели 8/9 часть варенья, (то есть они ели как 8 Малышей)

2. Малыш и Карсон едят вместе.

Малышу досталось ¼ часть варенья, тогда Карлсон съел ¾ варенья

(то есть он ел как 3 Малыша).

3. значит Винни – пух ест как 8 – 3 = 5 Малышей.

4.Варенье едят Винни –пух и Малыш( 5частей съел Винни –пух, 1 часть съел Малыш, значит Малышу достанется 1/6 часть

Ответ 1/6 часть.

С

В

А

№2. Диагонали четырехугольника пересекаются в точке О. Площади треугольника АОВ и СОД равны. Доказать, ВС||АД.

Д

Так как площади треугольников равны, то АО *ВО = СО *ОД

То есть = , отсюда следует треугольники ВОС и АОД подобны,

Значит накрест лежащие углы равны, а стороны параллельны ВС||АД.

№3 Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 57 км/ч, проезжает мимо пешехода, идущего параллельно путям со скоростью 3км/ч навстречу поезду, за 18секунд.Найдите длину поезда в метрах.Решение.

Скорость сближения пешехода и поезда 57 +3 = 60 км/ч.

1м/с = 3,6 км/ч

Значит, длина поезда (60*18) / 3,6 = 300 метров.

№ 4 №5. Для нумерации страниц книге понадобилось 559 цифр.Сколько страниц в книге,если нумерация начинается с его 3-й страницы?

Решение.

Если нумерация начинается с 3 стр., тогда на первые две страницы потратили 0 цифр.

С 3 по 9 страницу использовали 7 цифр.

С 10 по 99страницу использовали 90 * 2 = 180 цифр

559 – (180 +7) = 372 цифры осталось для обозначения страниц с тремя цифрами.

372 :3 =124 страницы.

Итого в книге 124 + 90 +7 +2 = 223 страницы.

Ответ : 223 страницы.

№6 Найдите все целые n, при которых значение выражения 2/(3n+11) значение целое число.

Решение.

Всё выражение должно быть целым числом, то

1). в числителе у нас стоит число 2 — целое число.

2). Рассмотрим знаменатель. Здесь значение знаменателя зависит целиком и полностью только от значения переменной n.  Чтобы вся дробь была целым числом, то числитель должен делиться на знаменатель нацело, отсюда:
3)Знаменатель — также целое число.
4)Знаменатель — один из делителей числа 2.
это числа 1, 2, -1, -2 (речь идёт не о натуральных, а о целых числах).
Таким образом, надо решить следующие уравнения:

1) 3n + 11 = 1
   3n = -10
    n = -10/3 — но n не целое, что противоречит условию задачи, этот случай не подходит
2) 3n + 11 = 2
   3n = -9
   n = -3 — подходит
3) 3n + 11 = -1
   3n = -12
     n = -4 — подходит
4) 3n + 11 = -2
   3n = -13
   n = -13/3 — не целое число, не подходит
Таким образом, искомых значений 2 — n = — 4 и n = -3

infourok.ru

Олимпиада по математике 9 класс муниципальный этап с ответами

9 класс

Вариант №1

Все трехзначные числа записаны в ряд: 100  101  102 … 998  999. Сколько раз в этом ряду после двойки идет нуль?

По определению, n ! = 1 · 2 · 3 · … · n . Какой сомножитель нужно вычеркнуть из произведения 1! · 2! · 3! · … · 20!, чтобы оставшееся произведение стало квадратом некоторого натурального числа?

С помощью циркуля и линейки разделите пополам угол, вершина которого недоступна.

Сколько существует треугольников со сторонами 5 см и 6 см, один из углов которого равен 20°?

На столе лежат 2005 монет. Двое играют в следующую игру: ходят по очереди; за ход первый может взять со стола любое нечетное число монет от 1 до 99, второй – любое четное число монет от 2 до 100. Проигрывает тот, кто не сможет сделать ход. Кто выиграет при правильной игре?

Ответы и решения задач варианта №1

Так как трехзначное число не может начинаться с нуля, то двойка, после которой идет нуль, не может стоять в разряде единиц одного из трехзначных чисел ряда. Пусть двойка стоит в разряде десятков трехзначного числа. Тогда идущий за ней нуль стоит в разряде единиц того же числа, т.е. это число оканчивается на 20.  Таких чисел 9: 120, 220, …, 920. Наконец, если двойка, после которой идет нуль, стоит в разряде сотен, то соответствующее трехзначное число начинается на 20. Таких чисел 10: 200, 201, …, 209. Таким образом, всего после двойки нуль будет встречаться 19 раз.

Заметим, что1! · 2! · 3! · 4! ·…· 20! = (1! · 2!) · (3! · 4!) ·…· (19! · 20!) =
= (1! · 1! · 2) · (3! · 3! · 4) · (5! · 5! · 6) ·…· (17! · 17! · 18) · (19! · 19! · 20) =
= (1!)2 · (3!)2 · (5!)2 ·…· (19!)2  ·  (2 · 4 · 6 · 8 ·…· 18 · 20) =
= (1!)2 · (3!)2 · (5!)2 ·…· (19!)2 · (2 · (2 · 2) · (3 · 2) ·…· (10 · 2)) =
= (1! · 3! ·…· 19!)2 · 210 · (1 · 2 · 3 ·…· 2 · 10) = (1! · 3! ·…· 19!)2 (25)2 · 10!

Мы видим, что первые два множителя – квадраты, поэтому, если вычеркнуть 10!, то останется квадрат. Легко видеть, что вычеркивание других множителей, указанных в ответах, не дает желаемого результата.

Ответ: 10!

Задача имеет множество решений. Рассмотрим один из них. Выберем на сторонах угла произвольно по 2 точки: A, N, B, M и рассмотрим треугольники АВС и NМС. Проведем в каждом из этих треугольников биссектрисы углов. Точка пересечения биссектрис углов треугольника АВС принадлежит и биссектрисе угла С. Аналогично, точка пересечения 2 биссектрис углов треугольника NМС также лежит на биссектрисе угла С. Проводим через эти 2 точки прямую, которая будет и биссектрисой ﮮС. 

Есть только один треугольник, в котором угол 20° лежит между сторонами 5 см и 6 см. Попробуем построить треугольник, в котором сторона 6 см прилегает к углу 20°, а сторона 5 см лежит против него. Для этого от вершины угла отложим отрезок длиной 6 см, и проведем окружность радиуса 5 см с центром этого отрезка, не совпадающем с вершиной. Расстояние от центра этой окружность до второй стороны угла меньше 5 см (это расстояние равно катету угла в 20°). Отсюда следует, что окружность пересечет прямую, содержащую вторую сторону угла, в двух точках, причем из-за того что радиус меньше 6 см, обе эти точки будут лежать на стороне угла, и мы получим два разных треугольника.

Если же попробовать поменять ролями отрезки в 5 см и 6 см, то вершина угла окажется внутри построенной окружности, и мы получим только одну точку пересечения, а следовательно, и один треугольник.

Итак, мы получили всего 4 треугольника.

Опишем стратегию первого игрока. Первым ходом он должен взять со стола 85 монет.  Каждым следующим, если второй игрок берет х монет, то первый игрок должен взять 101 – х монет (он всегда может это сделать, потому что если х – четное число от 2 до 100, то (101 – х) – нечетное число от 1 до 99). Так как 2005=101· 19 + 85 + 1, то через 19 таких «ответов» после хода первого на столе останется 1 монета, и второй не сможет сделать ход, т. е. проиграет.

 

Вариант №2

В трапеции длина одной из диагоналей равна сумме длин оснований, а угол между диагоналями равен 60°. Докажите, что трапеция – равнобедренная.

Имеются два сосуда, в первом из них 1 л воды, второй сосуд пустой. Последовательно проводятся переливания из первого сосуда во второй, из второго в первый и т. д., причем доля отливаемой воды составляет последовательно 1/2, 1/3, 1/4 и т. д. от количества воды в сосуде, из которого вода отливается. Сколько воды будет в сосудах после 2007 переливаний?

Решите неравенство .

Решите уравнение x2 + 2005x – 2006 = 0.

Стрелок десять раз выстрелил по стандартной мишени и выбил 90 очков. Сколько попаданий было в семерку, восьмерку и девятку, если десяток было четыре, а других попаданий и промахов не было?

Ответы и решения задач варианта №2

Пусть AD = a, BC = b, AC = a + b. Продолжим AD за точку D на расстояние DM = BC. Тогда очевидно, что ∆АСМ — равносторонний. Но это значит, что ∆АОD и ∆ВОС — тоже равносторонние. Отсюда непосредственно следует, что ∆АОВ = ∆СОD, откуда имеем, что AB = CD.

«Просчитав» несколько первых переливаний, нетрудно обнаружить, что после первого, третьего, пятого переливаний в обоих сосудах будет по ½ л воды. Необходимо доказать, что так будет после любого переливания с нечетным номером. Если после переливания с нечетным номером 2k-1 в сосудах было по ½ л, то при следующем переливании из второго сосуда берется 1/(2k + 1) часть, так что в первом сосуде оказывается — 1/2 + (2/ 2(2k + 1)) = (k + 1)/(2k + 1) (л). При следующем переливании, имеющем номер 2k+1, из него берется 1/(2k + 2) часть и остается (k + 1)/(2k + 1)-(k + 1)/((2k + 1)(2k + 1)) = 1/2 (л). Поэтому после седьмого, девятого и вообще любого нечетного переливания в сосудах будет  по ½   л воды. 

Заметим, что все решения исходного неравенства  существуют, если подкоренные выражения неотрицательны. Одновременно эти неравенства выполняются лишь при условии x2 – 4x + 3 = 0. Это уравнение имеет два корня 1 и 3. Проверка показывает, что исходное неравенство имеет единственное решение 3.

Исходное уравнение имеет очевидный корень 1. Второй корень найдем по формулам Виета. Так как x1x2 = -2006 и x1 = 1, то x2 = 2006.

Так как стрелок попадал лишь в семерку, восьмерку и девятку в остальные шесть выстрелов, то за три выстрела (по одному разу в семерку, восьмерку и девятку) он наберет 24 очка. Тогда за оставшиеся 3 выстрела надо набрать 26 очков. Что возможно при единственной комбинации 8+9+9=26. Итак, в семерку стрелок попал 1 раз, в восьмерку – 2 раза, в девятку – 3 раза.

Вариант №3

В параллелограмме АВС биссектриса угла С пересекает сторону А в точке М и прямую АВ  в точке К. Найдите периметр параллелограмма, если АК = 12, СМ = 24, МК = 18.

Постройте график функции y = |x — 1| — |2 — x| + 2.

Вычислите  .

Решите уравнение x4 + 2006×2 – 2007 = 0.

Токарь и его ученик, работая одновременно, обычно выполняют задание за 4 часа. При этом производительность труда токаря в 2 раза выше производительности ученика. Получив такое же задание, и, работая по очереди, они справились с заданием за 9 часов работы. Какую часть задания выполнил ученик токаря.

Ответы и решения задач варианта №3

Ответ: 88.1) Из подобия треугольников ∆ AMK и ∆ DMC:
MK/MC = AK/DC ⇒ 18/24 = 12/CD, т. е. CD = (24 · 12)/18 = (24 · 2) /3 = 16.
2)ﮮ BCM = ﮮ MCD (CM – биссектриса ﮮ BCD), ﮮ BKM = ﮮ DCM как накрест лежащие при параллельных прямых BK и DC, и секущей KC. Следовательно, ∆ BKC – равнобедренный.
3)Таким образом, PABCD= 2 ∙ (16 + 28) = 88.

Ответ:

Ответ: 4 016 011. Пусть n = 2004, тогда . Преобразовав, получим

Ответ: 1, -1.

Ответ: ½ часть задания выполнит ученик.

Вариант №4

Докажите, что число  20082 + 20082 ×  20092 + 20092  является ли квадратом целого числа.

Рассматриваются функции вида y = x2 + ax + b, где  а + b = 2008. Докажите, что графики всех таких функций имеют общую точку.

На острове рыцарей и лжецов (лжецы всегда лгут, рыцари всегда говорят правду) каждый болеет ровно за одну футбольную команду. В опросе приняли участие все жители острова. На вопрос «Болеете ли Вы за «Спартак»?» ответили «Да» 40% жителей. На аналогичный вопрос про «Зенит» утвердительно ответили 30%, про «Локомотив» — 50%, а про ЦСКА – 0%. Какой процент жителей острова действительно болеет за «Спартак»?

В выпуклом пятиугольнике ABCDE  ﮮА = ﮮB =ﮮD = 90°. Найдите ﮮADB, если известно, что в данный пятиугольник можно вписать окружность.

Кольцевая дорога поделена столбами на километровые участки, и известно, что количество столбов четно. Один из столбов покрашен в желтый цвет, другой — в синий, а остальные – в белый. Назовем расстояние между столбами длину кратчайшей из двух соединяющих их дуг. Найдите расстояние от синего столба до желтого, если сумма расстояний от синего столба до белых равна 2008 км. 

Ответы и решения задач варианта №4

Рассмотрим выражение n2 + n2 (n + 1)2  + (n + 1)2 = n4+ 2n3 + 2n2 + (n + 1)2 = n4+ 2n2 (n + 1) + (n + 1)2 = (n2 + n + 1)2. Данное число есть значение этого выражения при n = 2008. Значит, 20082 + 20082∙20092 + 20092 = (20082 + 2009)2 – квадрат целого числа.

y(1) = 1 + a + b = 2009. Следовательно, каждый из данных графиков проходит через точку с координатами (1; 2009).

Пусть x% жителей острова составляют лжецы. Тогда (100 – х)% составляют рыцари. Так как каждый рыцарь утвердительно ответил ровно на один из вопросов, а каждый лжец – на три, то (100 – х) + 3х = 40 + 30 + 50, откуда х = 10. Так как ни один из жителей острова не сказал, что болеет за ЦСКА, то все лжецы болеют за ЦСКА. Каждый из них заявил, что болеет за «Спартак», поэтому действительно болеют за «Спартак» 40% — 10% = 30% жителей.

Пусть О — центр окружности, вписанной в пятиугольник АВСDE. Проведем перпендикуляры ОК, ОL, OM, ON и OT к сторонам AB, BC, CD, DE и EAсоответственно. Поскольку проведенные отрезки являются радиусами окружности, то четырехугольники AKOT, KBLO и OMDN — равные квадраты. Диагонали  OA, OB и OD рассмотренных квадратов равны, поэтому О – центр окружности, описанной около ∆ ADB. Следовательно, ﮮADB = 1/2ﮮAOB = 45°. (Учащиеся могут предложить и другие способы нахождения угла ADB,например, используя свойства отрезков касательных и формулу для нахождения суммы внутренних углов выпуклого пятиугольника).

Пусть на кольцевой дороге – 2n столбов. Вычислим сумму расстояний от синего столба до всех остальных: 2(1 + 2 + …+ (n– 1)) + n = 2((1 + n -1)/2) n + n = n2 (км). Следовательно, n2 > 2008. Учитывая, что n – натуральное число, получим, что n ≥ 45. Так как расстояние от синего столба до желтого не превосходит n, то n2 – n ≤ 2008 n(n – 1) ≤ 2008. Несложно проверить, что n = 45 удовлетворяет этому неравенству, а любое натуральное n, начиная с 46, — не удовлетворяет. Тогда n2 = 2025, следовательно, расстояние от синего столба до желтого равно 2025 – 2008 = 17.
Ответ: 17 км.

shkolnaya-olimpiada.ru

Олимпиадные задания по алгебре (9 класс) на тему: Олимпиада по математике. 9 класс.

Олимпиада по математике 9 класс.

1. Сократить дробь: .

(2б)

2. Задача Безу. Некто купил лошадь и спустя некоторое время продал её за 24 пистоля. При этой продаже он теряет столько процентов, сколько стоила его лошадь. Спрашивается, за какую сумму он её купил?  

(2б)

3. Докажите, что если сумма (х2 + у2) делится на 3 и х, у – целые, то х и у делятся на 3. (3б)

4. Диагонали выпуклого четырехугольника делят его на 4 треугольника. Докажите, что произведение площадей двух противоположных треугольников равно произведению площадей двух других треугольников.

(5б)

5. Найдите действительные решения уравнения: (х + 2)4 + х4 = 82.

(5б)

Олимпиада по математике 9 класс.

1. Сократить дробь: .

(2б)

2. Задача Безу. Некто купил лошадь и спустя некоторое время продал её за 24 пистоля. При этой продаже он теряет столько процентов, сколько стоила его лошадь. Спрашивается, за какую сумму он её купил?  

(2б)

3. Постройте график функции  (3б)

4. Диагонали выпуклого четырехугольника делят его на 4 треугольника. Докажите, что произведение площадей двух противоположных треугольников равно произведению площадей двух других треугольников.

(5б)

5. Найдите действительные решения уравнения: (х + 2)4 + х4 = 82.

(5б)

Ответы:

1. где x≠-5  и   x≠2
2. Обозначив за х пистолей стоимость лошади и учитывая, что при продаже было потеряно х %,  имеем следующее уравнение: х –  = 24. Решая его, получаем

х = 40 или х = 60.

3.  
4. Пусть ABCD – данный четырехугольник. Тогда (все данные приведены на рис.)

S1 = ;  S2 = ;

S3 = ;   S4 = .

Поэтому                                                    B                                                                                 C

                                                                                                    aa

S1 · S3 = S2 · S4 = ,

что и требовалось доказать.

        D

5. Обозначим у = х + 1, тогда данное уравнение примет вид (у + 1)4 + (у – 1)4 = 82, которое после упрощения примет вид: у4 + 6у2 – 40 = 0. Данное биквадратное уравнение имеет решения у1,2 = ±2. Следовательно, х1 = 1; х2 = -3.

nsportal.ru

Олимпиада по математике 9 класс задания и ответы

Вариант №1

Все трехзначные числа записаны в ряд: 100  101  102 … 998  999. Сколько раз в этом ряду после двойки идет нуль?

По определению, n ! = 1 · 2 · 3 · … · n . Какой сомножитель нужно вычеркнуть из произведения1! · 2! · 3! · … · 20!, чтобы оставшееся произведение стало квадратом некоторого натурального числа?

С помощью циркуля и линейки разделите пополам угол, вершина которого недоступна.

Сколько существует треугольников со сторонами 5 см и 6 см, один из углов которого равен 20°?

На столе лежат 2005 монет. Двое играют в следующую игру: ходят по очереди; за ход первый может взять со стола любое нечетное число монет от 1 до 99, второй – любое четное число монет от 2 до 100. Проигрывает тот, кто не сможет сделать ход. Кто выиграет при правильной игре?

Ответы и решения задач варианта №1

Так как трехзначное число не может начинаться с нуля, то двойка, после которой идет нуль, не может стоять в разряде единиц одного из трехзначных чисел ряда. Пусть двойка стоит в разряде десятков трехзначного числа. Тогда идущий за ней нуль стоит в разряде единиц того же числа, т.е. это число оканчивается на 20.  Таких чисел 9: 120, 220, …, 920. Наконец, если двойка, после которой идет нуль, стоит в разряде сотен, то соответствующее трехзначное число начинается на 20. Таких чисел 10: 200, 201, …, 209. Таким образом, всего после двойки нуль будет встречаться 19 раз.

Заметим, что1! · 2! · 3! · 4! ·…· 20! = (1! · 2!) · (3! · 4!) ·…· (19! · 20!) =
= (1! · 1! · 2) · (3! · 3! · 4) · (5! · 5! · 6) ·…· (17! · 17! · 18) · (19! · 19! · 20) =
= (1!)2 · (3!)2 · (5!)2 ·…· (19!)2  ·  (2 · 4 · 6 · 8 ·…· 18 · 20) =
= (1!)2 · (3!)2 · (5!)2 ·…· (19!)2 · (2 · (2 · 2) · (3 · 2) ·…· (10 · 2)) =
= (1! · 3! ·…· 19!)2 · 210 · (1 · 2 · 3 ·…· 2 · 10) = (1! · 3! ·…· 19!)2 (25)2 · 10!

Мы видим, что первые два множителя – квадраты, поэтому, если вычеркнуть 10!, то останется квадрат. Легко видеть, что вычеркивание других множителей, указанных в ответах, не дает желаемого результата.

Ответ: 10!

Задача имеет множество решений. Рассмотрим один из них. Выберем на сторонах угла произвольно по 2 точки: A, N, B, M и рассмотрим треугольники АВС и NМС. Проведем в каждом из этих треугольников биссектрисы углов. Точка пересечения биссектрис углов треугольника АВС принадлежит и биссектрисе угла С. Аналогично, точка пересечения 2 биссектрис углов треугольника NМС также лежит на биссектрисе угла С. Проводим через эти 2 точки прямую, которая будет и биссектрисой ﮮС. 

Есть только один треугольник, в котором угол 20° лежит между сторонами 5 см и 6 см. Попробуем построить треугольник, в котором сторона 6 см прилегает к углу 20°, а сторона 5 см лежит против него. Для этого от вершины угла отложим отрезок длиной 6 см, и проведем окружность радиуса 5 см с центром этого отрезка, не совпадающем с вершиной. Расстояние от центра этой окружность до второй стороны угла меньше 5 см (это расстояние равно катету угла в 20°). Отсюда следует, что окружность пересечет прямую, содержащую вторую сторону угла, в двух точках, причем из-за того что радиус меньше 6 см, обе эти точки будут лежать на стороне угла, и мы получим два разных треугольника.

Если же попробовать поменять ролями отрезки в 5 см и 6 см, то вершина угла окажется внутри построенной окружности, и мы получим только одну точку пересечения, а следовательно, и один треугольник.

Итак, мы получили всего 4 треугольника.

Опишем стратегию первого игрока. Первым ходом он должен взять со стола 85 монет.  Каждым следующим, если второй игрок берет х монет, то первый игрок должен взять 101 – х монет (он всегда может это сделать, потому что если х – четное число от 2 до 100, то (101 – х) – нечетное число от 1 до 99). Так как 2005=101· 19 + 85 + 1, то через 19 таких «ответов» после хода первого на столе останется 1 монета, и второй не сможет сделать ход, т. е. проиграет.

 

Вариант №2

В трапеции длина одной из диагоналей равна сумме длин оснований, а угол между диагоналями равен 60°. Докажите, что трапеция – равнобедренная.

Имеются два сосуда, в первом из них 1 л воды, второй сосуд пустой. Последовательно проводятся переливания из первого сосуда во второй, из второго в первый и т. д., причем доля отливаемой воды составляет последовательно 1/2, 1/3, 1/4 и т. д. от количества воды в сосуде, из которого вода отливается. Сколько воды будет в сосудах после 2007 переливаний?

Решите неравенство .

Решите уравнение x2 + 2005x – 2006 = 0.

Стрелок десять раз выстрелил по стандартной мишени и выбил 90 очков. Сколько попаданий было в семерку, восьмерку и девятку, если десяток было четыре, а других попаданий и промахов не было?

Ответы и решения задач варианта №2

Пусть AD = a, BC = b, AC = a + b. Продолжим AD за точку D на расстояние DM = BC. Тогда очевидно, что ∆АСМ — равносторонний. Но это значит, что ∆АОD и ∆ВОС — тоже равносторонние. Отсюда непосредственно следует, что ∆АОВ = ∆СОD, откуда имеем, что AB = CD.

«Просчитав» несколько первых переливаний, нетрудно обнаружить, что после первого, третьего, пятого переливаний в обоих сосудах будет по ½ л воды. Необходимо доказать, что так будет после любого переливания с нечетным номером. Если после переливания с нечетным номером 2k-1 в сосудах было по ½ л, то при следующем переливании из второго сосуда берется 1/(2k + 1) часть, так что в первом сосуде оказывается — 1/2 + (2/ 2(2k + 1)) = (k + 1)/(2k + 1) (л). При следующем переливании, имеющем номер 2k+1, из него берется 1/(2k + 2) часть и остается (k + 1)/(2k + 1)-(k + 1)/((2k + 1)(2k + 1)) = 1/2 (л). Поэтому после седьмого, девятого и вообще любого нечетного переливания в сосудах будет  по ½   л воды. 

Заметим, что все решения исходного неравенства  существуют, если подкоренные выражения неотрицательны. Одновременно эти неравенства выполняются лишь при условии x2 – 4x + 3 = 0. Это уравнение имеет два корня 1 и 3. Проверка показывает, что исходное неравенство имеет единственное решение 3.

Исходное уравнение имеет очевидный корень 1. Второй корень найдем по формулам Виета. Так как x1x2 = -2006 и x1 = 1, то x2 = 2006.

Так как стрелок попадал лишь в семерку, восьмерку и девятку в остальные шесть выстрелов, то за три выстрела (по одному разу в семерку, восьмерку и девятку) он наберет 24 очка. Тогда за оставшиеся 3 выстрела надо набрать 26 очков. Что возможно при единственной комбинации 8+9+9=26. Итак, в семерку стрелок попал 1 раз, в восьмерку – 2 раза, в девятку – 3 раза.

Вариант №3

В параллелограмме АВС биссектриса угла С пересекает сторону А в точке М и прямую АВ  в точке К. Найдите периметр параллелограмма, если АК = 12, СМ = 24, МК = 18.

Постройте график функции y = |x — 1| — |2 — x| + 2.

Вычислите  .

Решите уравнение x4 + 2006×2 – 2007 = 0.

Токарь и его ученик, работая одновременно, обычно выполняют задание за 4 часа. При этом производительность труда токаря в 2 раза выше производительности ученика. Получив такое же задание, и, работая по очереди, они справились с заданием за 9 часов работы. Какую часть задания выполнил ученик токаря.

Ответы и решения задач варианта №3

Ответ: 88.1) Из подобия треугольников ∆ AMK и ∆ DMC:
MK/MC = AK/DC ⇒ 18/24 = 12/CD, т. е. CD = (24 · 12)/18 = (24 · 2) /3 = 16.
2)ﮮ BCM = ﮮ MCD (CM – биссектриса ﮮ BCD), ﮮ BKM = ﮮ DCM как накрест лежащие при параллельных прямых BK и DC, и секущей KC. Следовательно, ∆ BKC – равнобедренный.
3)Таким образом, PABCD= 2 ∙ (16 + 28) = 88.

Ответ:

Ответ: 4 016 011. Пусть n = 2004, тогда . Преобразовав, получим

Ответ: 1, -1.

Ответ: ½ часть задания выполнит ученик.

Вариант №4

Докажите, что число  20082 + 20082 ×  20092 + 20092  является ли квадратом целого числа.

Рассматриваются функции вида y = x2 + ax + b, где  а + b = 2008. Докажите, что графики всех таких функций имеют общую точку.

На острове рыцарей и лжецов (лжецы всегда лгут, рыцари всегда говорят правду) каждый болеет ровно за одну футбольную команду. В опросе приняли участие все жители острова. На вопрос «Болеете ли Вы за «Спартак»?» ответили «Да» 40% жителей. На аналогичный вопрос про «Зенит» утвердительно ответили 30%, про «Локомотив» — 50%, а про ЦСКА – 0%. Какой процент жителей острова действительно болеет за «Спартак»?

В выпуклом пятиугольнике ABCDE  ﮮА = ﮮB =ﮮD = 90°. Найдите ﮮADB, если известно, что в данный пятиугольник можно вписать окружность.

Кольцевая дорога поделена столбами на километровые участки, и известно, что количество столбов четно. Один из столбов покрашен в желтый цвет, другой — в синий, а остальные – в белый. Назовем расстояние между столбами длину кратчайшей из двух соединяющих их дуг. Найдите расстояние от синего столба до желтого, если сумма расстояний от синего столба до белых равна 2008 км. 

Ответы и решения задач варианта №4

Рассмотрим выражение n2 + n2 (n + 1)2  + (n + 1)2 = n4+ 2n3 + 2n2 + (n + 1)2 = n4+ 2n2 (n + 1) + (n + 1)2 = (n2 + n + 1)2. Данное число есть значение этого выражения при n = 2008. Значит, 20082 + 20082∙20092 + 20092 = (20082 + 2009)2 – квадрат целого числа.

y(1) = 1 + a + b = 2009. Следовательно, каждый из данных графиков проходит через точку с координатами (1; 2009).

Пусть x% жителей острова составляют лжецы. Тогда (100 – х)% составляют рыцари. Так как каждый рыцарь утвердительно ответил ровно на один из вопросов, а каждый лжец – на три, то (100 – х) + 3х = 40 + 30 + 50, откуда х = 10. Так как ни один из жителей острова не сказал, что болеет за ЦСКА, то все лжецы болеют за ЦСКА. Каждый из них заявил, что болеет за «Спартак», поэтому действительно болеют за «Спартак» 40% — 10% = 30% жителей.

Пусть О — центр окружности, вписанной в пятиугольник АВСDE. Проведем перпендикулярыОК, ОL, OM, ON и OT к сторонам AB, BC, CD, DE и EAсоответственно. Поскольку проведенные отрезки являются радиусами окружности, то четырехугольники AKOT, KBLO иOMDN — равные квадраты. Диагонали  OA, OB и OD рассмотренных квадратов равны, поэтому О – центр окружности, описанной около ∆ ADB. Следовательно, ﮮADB = 1/2ﮮAOB = 45°. (Учащиеся могут предложить и другие способы нахождения угла ADB,например, используя свойства отрезков касательных и формулу для нахождения суммы внутренних углов выпуклого пятиугольника).

Пусть на кольцевой дороге – 2n столбов. Вычислим сумму расстояний от синего столба до всех остальных: 2(1 + 2 + …+ (n– 1)) + n = 2((1 + n -1)/2) n + n = n2 (км). Следовательно, n2 > 2008. Учитывая, что n – натуральное число, получим, что n ≥ 45. Так как расстояние от синего столба до желтого не превосходит n, то n2 – n ≤ 2008 n(n – 1) ≤ 2008. Несложно проверить, что n = 45 удовлетворяет этому неравенству, а любое натуральное n, начиная с 46, — не удовлетворяет. Тогда n2 = 2025, следовательно, расстояние от синего столба до желтого равно 2025 – 2008 = 17.
Ответ: 17 км.

konspekt-v-gruppe.ru

Олимпиадные задания по математике (9 класс) на тему: Задания школьной олимпиады по математике для 9 класса

Задания школьной олимпиады по математике для 9 класса

2009 – 2010 учебный год

1. (7 баллов) При  делении данного числа на 225 в остатке получилось 150. Разделится ли нацело данное число на 75 и почему?

2. (7 баллов) Известно, что   и ; ; ; и т.д. (рис. 1).  Тогда длина отрезка  равна…

3. (7 баллов)  Сравните числа  и  10.
4. (7 баллов)  У первого из десяти друзей есть 5 тугриков, у второго – 10 тугриков, у третьего – 15 тугриков, и т.д., у десятого – 50 тугриков. Они сели на ковёр-самолёт, полёт на котором стоит 5 тугриков с носа. Смогут ли они честно расплатиться с ковром-самолётом, если тот не дает сдачу и не разменивает деньги?
5. (7 баллов)  Постройте график функции:  .
6. (7 баллов)  При каких значениях параметра р отношение корней уравнения  равно 9?

——————————————————————————————————————————————————————

Задания школьной олимпиады по математике для 9 класса

2009 – 2010 учебный год

1. (7 баллов) При  делении данного числа на 225 в остатке получилось 150. Разделится ли нацело данное число на 75 и почему?

2. (7 баллов) Известно, что   и ; ; ; и т.д. (рис. 1).  Тогда длина отрезка  равна…

3. (7 баллов)  Сравните числа  и  10.
4. (7 баллов)  У первого из десяти друзей есть 5 тугриков, у второго – 10 тугриков, у третьего – 15 тугриков, и т.д., у десятого – 50 тугриков. Они сели на ковёр-самолёт, полёт на котором стоит 5 тугриков с носа. Смогут ли они честно расплатиться с ковром-самолётом, если тот не дает сдачу и не разменивает деньги?
5. (7 баллов)  Постройте график функции:  .
6. (7 баллов)  При каких значениях параметра р отношение корней уравнения  равно 9?

---

Решения.

1. (7 баллов) При  делении данного числа на 225 в остатке получилось 150. Разделится ли нацело данное число на 75 и почему?

Решение.  Да, так как  и , следовательно, остаток равен 0. данное число можно записать так , где х – неполное частное.

2. (7 баллов) Известно, что   и ; ; ; и т.д.  (рис. 1).  Тогда длина отрезка  равна…

Решение.  

По теореме Пифагора, имеем,

Ответ:  .

3. (7 баллов)  Сравните числа  и  10.

Решение.  Возведем оба числа в квадрат, так они оба положительны:  

1)  

;

2)  . Так как равны квадраты положительных чисел, значит, равны и сами числа.

Ответ:  числа равны.

4. (7 баллов)  У первого из десяти друзей есть 5 тугриков, у второго – 10 тугриков, у третьего – 15 тугриков, и т.д., у десятого – 50 тугриков. Они сели на ковёр-самолёт, полёт на котором стоит 5 тугриков с носа. Смогут ли они честно расплатиться с ковром-самолётом, если тот не дает сдачу и не разменивает деньги?

Решение.  Последний из друзей отдает 50 тугриков, ему предпоследний даёт 45 тугриков, и т.д. вплоть до первого, который даёт второму 5 тугриков.

Ответ:   да.

5. (7 баллов)  Постройте график функции:  .

Решение. 

, при условии, что  .

6. (7 баллов)  При каких значениях параметра р отношение корней уравнения  равно 9?

Решение.  Пусть , тогда по теореме Виета                              

 

Ответ:  ;  .

nsportal.ru