Система неравенств с одной переменной 8 класс самостоятельная работа: «Неравенства с одной переменной и их системы»
▶▷▶ решение неравенств с одной переменной контрольная работа
▶▷▶ решение неравенств с одной переменной контрольная работа| Интерфейс | Русский/Английский |
| Тип лицензия | Free |
| Кол-во просмотров | 257 |
| Кол-во загрузок | 132 раз |
| Обновление: | 12-11-2018 |
решение неравенств с одной переменной контрольная работа — Yahoo Search Results Yahoo Web Search Sign in Mail Go to Mail» data-nosubject=»[No Subject]» data-timestamp=’short’ Help Account Info Yahoo Home Settings Home News Mail Finance Tumblr Weather Sports Messenger Settings Yahoo Search query Web Images Video News Local Answers Shopping Recipes Sports Finance Dictionary More Anytime Past day Past week Past month Anytime Get beautiful photos on every new browser window Download Контрольная работа по линейные неравенства с одной переменной lunakids-clubru/kontrolnie-raboti/kontrolnaya Cached Контрольная работа № 8 по теме « Решение систем неравенств » 1 вариант 1Решить урок по теме «неравенства с одной переменной и их системы» При помощи линейных неравенств можно смоделироват Контрольная работа по алгебре неравенства и система doctor-qiru/kontrolnie-raboti/kontrolnaya Cached Решение линейных неравенств с одной переменной и их систем 8-й класс Уравнение с двумя переменными и его график 2 Контрольная работа по алгебре по системам неравенств sv-stefanru/kontrolnie-raboti/kontrolnaya Cached Решите неравенства: 2х НЕРАВЕНСТВА С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ И ИХ СИСТЕМЫ Контрольная работа составлена в 6 вариантах различной сложности (варианты 1 Решение Неравенств С Одной Переменной Контрольная Работа — Image Results More Решение Неравенств С Одной Переменной Контрольная Работа images Контрольная работа для 8 класса по алгебре на тему kopilkaurokovru/matematika/prochee/kontrol-naia Cached Просмотр содержимого документа « Контрольная работа для 8 класса по алгебре на тему «Неравенства с одной переменной и их системы» » Контрольная работа по алгебре неравенства с одной переменной tehnopark-tmru/kontrolnie-raboti/kontrolnaya Cached Учебно-методический материал по алгебре (8 класс) по теме: Контрольная Контрольная работа № 8 по теме « Решение систем неравенств » урок по теме «неравенства с одной переменной и их системы» Контрольная работа № 7 по теме «Неравенства» — НЕРАВЕНСТВА С wwwcompendiumsu/mathematics/algebra8/61html Cached Контрольная работа № 7 по теме «Неравенства» — НЕРАВЕНСТВА С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ И ИХ СИСТЕМЫ — НЕРАВЕНСТВА — ПОУРОЧНЫЕ РАЗРАБОТКИ ПО АЛГЕБРЕ 8 КЛАСС — поурочные разработки по алгебре для 8 Решение неравенств · Калькулятор Онлайн · с подробным решением wwwkontrolnaya-rabotaru/s/neravenstva Cached Онлайн калькулятор для решения любых уравнений, неравенств , интегралов Помощь школьникам, студентам в решении: None, можно заказать дипломную работу Решение систем неравенств с одной переменной — НЕРАВЕНСТВА С wwwcompendiumsu/mathematics/algebra8/59html Cached Глава iv НЕРАВЕНСТВА § 11 НЕРАВЕНСТВА С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ И ИХ СИСТЕМЫ Уроки 86-87 Алгебра 9 класс Контрольная работа №1 по теме: «Неравенства kopilkaurokovru/matematika/prochee/alghiebra_9 Cached Контрольная работа для 8 класса по алгебре на тему «Неравенства с одной переменной и их системы» контрольная работа по алгебре в 8 классе неравенства системы кампусятарф/blog/45180html Cached Решение неравенств с одной переменной и их систем 122 Алгебра, 8 класс, Контрольные работы, Александрова Л Promotional Results For You Free Download | Mozilla Firefox ® Web Browser wwwmozillaorg Download Firefox — the faster, smarter, easier way to browse the web and all of Yahoo 1 2 3 4 5 Next 12,100 results Settings Help Suggestions Privacy (Updated) Terms (Updated) Advertise About ads About this page Powered by Bing™
- которые ведут преподавание курса геометрии по учебнику ЛС Атанасяна » Геометрия 10-11″ издательства «Просвещение» Читать ещё Контрольные работы по геометриидля 9 класса ориентированы на учебник » Геометрия
- ВФ Бутузов
- 7-е изд
составлены в 4 вариантах к учебнику ЛС Атанасян контрольная работа по геометрии 9 класс контрольная работа дается учащимся как домашнее задание Контрольные работы по геометрии (7 кл) Скрыть 4 Решение контрольных | КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ reshebnik5-11ru › Смотреть решебник › …/GDZ/geometrija9-1pdf Показать ещё с сайта Пожаловаться Информация о сайте Контрольные работы Задачи повышенной сложности АВ Тронин Решение контрольных и самостоятельных работ по геометрии за 9 класс к пособию «Дидактические материалы по геометрии для 9 класса / БГ Зив Читать ещё Контрольные работы Задачи повышенной сложности АВ Тронин Решение контрольных и самостоятельных работ по геометрии за 9 класс к пособию «Дидактические материалы по геометрии для 9 класса / БГ Зив — 7-е изд — М: Просвещение
7- 9 » (ЛС Атанасян
- можно заказать дипломную работу Решение систем неравенств с одной переменной — НЕРАВЕНСТВА С wwwcompendiumsu/mathematics/algebra8/59html Cached Глава iv НЕРАВЕНСТВА § 11 НЕРАВЕНСТВА С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ И ИХ СИСТЕМЫ Уроки 86-87 Алгебра 9 класс Контрольная работа №1 по теме: «Неравенства kopilkaurokovru/matematika/prochee/alghiebra_9 Cached Контрольная работа для 8 класса по алгебре на тему «Неравенства с одной переменной и их системы» контрольная работа по алгебре в 8 классе неравенства системы кампусятарф/blog/45180html Cached Решение неравенств с одной переменной и их систем 122 Алгебра
- студентам в решении: None
- можно заказать дипломную работу Решение систем неравенств с одной переменной — НЕРАВЕНСТВА С wwwcompendiumsu/mathematics/algebra8/59html Cached Глава iv НЕРАВЕНСТВА § 11 НЕРАВЕНСТВА С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ И ИХ СИСТЕМЫ Уроки 86-87 Алгебра 9 класс Контрольная работа №1 по теме: «Неравенства kopilkaurokovru/matematika/prochee/alghiebra_9 Cached Контрольная работа для 8 класса по алгебре на тему «Неравенства с одной переменной и их системы» контрольная работа по алгебре в 8 классе неравенства системы кампусятарф/blog/45180html Cached Решение неравенств с одной переменной и их систем 122 Алгебра
Контрольная работа для 8 класса по алгебре на тему «Неравенства с одной переменной и их системы»
Контрольная работа составлена в форме теста наподобие ЕГЭ для классов с углубленным изучением математики. Содержит 2 варианта. Рассчитана на 2 урока. Индивидуальные бланки содержат задания, место для решения и для ответа. Удобны при проверке и оценивании работы.
Включает задания:
- Сравнение чисел. Свойства числовых неравенств;
- Решение линейных неравенств и неравенств, к ним сводящимся;
- Решение неравенств с модулем;
- Решение систем неравенств;
- Решение двойных неравенств;
- Доказательство неравенств
Просмотр содержимого документа
«Контрольная работа для 8 класса по алгебре на тему «Неравенства с одной переменной и их системы» »
Контрольная работа
По теме «Неравенства с одной переменной и их системы».
Выполнил ученик 8 класс ___________________________________
Вариант I
Результаты:
1 | 2а | 2б | 2в | 2г | 3а | 3б | 3в | 4а | 4б | 4в | 4г | 5а | 5 | 5в | 5г | 6а | 6б | 7а | 7б | ⅀ | оц |
№1 (1 балл)
О числах a и с известно, что а
1) 2) 3) 4) 5)
Ответ:
№2 Решите неравенство (по 1 баллу)
а) б) в) г)
Отв: Отв: Отв: Отв:
а) б) в)
Отв: Отв: Отв:
№4 Решите неравенство с модулем (по 2 балла)
а) б) в) г)
Отв: Отв: Отв: Отв:
№5 Решите систему неравенств (по 2 балла)
а) б) в) г)
Отв: Отв: Отв: Отв:
№6 Решить двойные неравенства (по 2 балла)
а) б)
Ответ: Ответ:
№7 Докажите неравенство (по 2 балла)
а) б)
Контрольная работа
По теме «Неравенства с одной переменной и их системы».
Выполнил ученик 8 класс ___________________________________
Вариант II
Результаты:
1 | 2а | 2б | 2в | 2г | 3а | 3б | 3в | 4а | 4б | 4в | 4г | 5а | 5 | 5в | 5г | 6а | 6б | 7а | 7б | ⅀ | оц |
№1 (1 балл)
О числах a и с известно, что а
1) 2) 3) 4) 5)
Ответ:
№2 Решите неравенство (по 1 баллу)
а) б) в) г)
Отв: Отв: Отв: Отв:
№3 Решите неравенство (по 2 балла)
а) б) в)
Отв: Отв: Отв:
№4 Решите неравенство с модулем (по 2 балла)а) б) в) г)
Отв: Отв: Отв: Отв:
№5 Решите систему неравенств (по 2 балла)
а) б) в) г)
Отв: Отв: Отв: Отв:
№6 Решить двойные неравенства (по 2 балла)
а) б)
Ответ: Ответ:
№7 Докажите неравенство (по 2 балла)
а) б)
Решение линейных неравенств с одной переменной и их систем. 8-й класс
Цели урока:
- Образовательная:
- обобщить и закрепить умения и навыки решения линейных неравенств с одной переменной и их систем; проконтролировать приобретённые знания;
- Развивающая:
- развивать приёмы мыслительной деятельности, внимание;
- формировать потребность к приобретению знаний;
- развивать коммуникативную и информационную компетенции учащихся;
- Воспитательная:
- воспитывать культуру коллективной работы;
- развитие самостоятельности.
Место урока: после изучения темы «Решение линейных неравенств с одной переменной и их систем».
Тип урока: урок обобщения изученного материала.
Оборудование: классная доска, учебник, тетради, карточки для самостоятельной работы, компьютер, мультимедийный проектор, экран, презентация (Приложение 1)
Структура урока.1. Организационный момент – 1 мин.
2. Актуализация опорных знаний – 10 мин.
а) устная работа по теории;
б) тест.
3. Работа в парах – 5 мин.
4. Работа у доски и в тетрадях – 8 мин.
5. Физкультминутка – 1 мин.
6. Работа с ЦОР – 7 мин.
7. Самостоятельная работа (по вариантам) – 10 мин.
8. Оценки. Домашнее задание – 1 мин.
9. Итог урока. Рефлексия – 2 мин.
ХОД УРОКА
I. Организационный момент (Приложение 1, слайд 1)
Мы закончили изучение темы «Линейные
неравенства с одной переменной и их системы» и
сегодня у нас обобщающий урок. Как Вы думаете,
какова цель нашего занятия? (Приложение
1, слайд 2)
Вы правильно определили цель урока и мы можем
приступать к реализации нашего плана.
(Приложение 1
Ян Амос Каменский сказал: «Считай несчастным тот
день или тот час, в котором ты не усвоил ничего,
ничего не прибавил к своему образованию». (Приложение 1, слайд 4)
И я надеюсь, что сегодняшний урок, и день не
будет для вас несчастным и потерянным, т.к.
каждый из вас унесёт с собой что-то новое,
неизвестное, познавательное.
II. Актуализация опорных знаний
А) Устная работа по теории (Приложение 1, слайд 5)
- Сформулировать определение линейного неравенства с одной переменной?
- Что значит решить неравенство?
- Какие неравенства называются равносильными?
- Что называется решением системы неравенств с одной переменной ?
- Что значит решить систему неравенств?
- Перечислите свойства равносильности, используемые при решении систем линейных неравенств с одной переменной?
Б) Тест (Приложение 1, слайд 6)
Для проверки понимания и умения применять теорию на практике проведём тестирование. Задания теста предполагают ответ «Да» или «Нет».
1. Верно ли утверждение: если х > 2 и y
> 14, то х + y > 16?
2. Верно ли утверждение: если х > 2 и y >
14, то х .y < 28?
3. Является ли число 0 решением неравенства 3х
– 1 < 11?
4. Является ли неравенство 3 х + 12 > 2 х –
2 строгим?
5. Существует ли целое число, принадлежащее
промежутку [– 2,5; – 2,3]?
6. Верно ли, что при умножении или делении обеих
частей неравенства на отрицательное число, знак
неравенства не меняется?
III. Работа в парах (Приложение 1, слайд 8)
Задание:
1. Неравенству – 3х < – 45 соответствует числовой промежуток:
а) .
2. Укажите наибольшее и наименьшее целое число, принадлежащее промежутку:
а) (– 4; 12) б) [– 4; 0,8].
3. Решить систему неравенств:
Выполним проверку. На слайде указаны верные ответы (Приложение 1, слайд 9)
IV. Решение неравенств и систем неравенств у доски (Приложение 1, слайд 10)
1. Решите двойное неравенство (рассмотреть 2 способа решения)
– 4 < х – 9 < 5.
2. Найдите количество натуральных чисел, являющихся решением системы неравенств
3. При каких значениях у значения двучлена 2y – 5 принадлежат промежутку (–1; 1)?
V. Физкультминутка, включающая специальную гимнастику для глаз.
Цель: снятие зрительного утомления.
- Вертикальные движения глаз вверх-вниз.
- Горизонтальное вправо-влево.
- Вращение глазами по часовой стрелке и против.
- Закрыть глаза и представить по очереди цвета радуги как можно отчётливее.
- По периметру класса изображены кривые линии. Глазами « нарисовать» кривую, несколько раз, сначала в одном, а затем в другом направлении.
VI. Работа с ЦОР. Подготовка к ГИА (№77 по цифрой 2)
Решение систем неравенств с одной переменной.(№191882) http://school-collection.edu.ru)
VII. Самостоятельная работа по вариантам (Приложение 1, слайд 11)
| I вариант | II вариант |
| 1) Решите неравенство: А) 4 + 12х > 7 + 13х |
1) Решите неравенство: А) 7 – 4х < 6х –
23 |
| 2) Решите систему неравенств: | 2) Решите систему неравенств: |
| 3) Решите двойное неравенство (2 способами) – 3 < 2 – 5х < 1 |
3) Решите двойное неравенство (2 способами) – 2 < 1 – 3х < 2 |
По окончании работы проводится взаимопроверка. Учащиеся обмениваются тетрадями. Ответы демонстрируются на слайде. (Приложение 1, слайд 12)
VIII. Оценки. Домашнее задание (Приложение 1, слайд 13)
№ 886(а, б), № 894(а, б)
IX. Итог урока. Рефлексия (Приложение 1, слайд 14)
– Чем данный урок был полезен для Вас?
– Какие пробелы в знаниях помог восполнить?
– Что нового для себя Вы открыли на уроке?
– Спасибо за урок.
Список используемых ресурсов:
- Алгебра: учебник для 8 класса общеобразовательных учреждений [Ю.Н.Макаров, Н.Г.Миндюк, К.И.Нешков, С.Б.Суворова] под редакцией С.А.Теляковского. – М.: Просвещение, 2009 г.
- Самостоятельные и контрольные работы по алгебре и геометрии для 8 класса. А.П.Ершова, В.В.Голобородько, А.С.Ершова. – М.: Илекса, 2008 г.
- Рязановский А.Р, Зайцев Е.А. Математика, 5-11 кл.: Дополнительные материалы к уроку математики. – М.: Дрофа, 2001. – 224 с.
- http://school-collection.edu.ru).
Деятельность учителя | Деятельность учащихся | ||||||||||||||
| 1. Самоопределение Цель — «включить» всех учащихся в учебную деятельность, определить содержательные рамки урока. Повторить алгоритм решения системы неравенств. Настроить на получение положительных эмоций и результата. | — Ученики включаются в деловой ритм урока. | ||||||||||||||
| Организация учебного процесса на этапе 1: Слайд 1 Обратите внимание на высказывание великого русского писателя Льва Толстого «Ум человеческий только тогда понимает обобщение, когда он сам его сделал или проверил» — Как вы думаете, почему именно это высказывание я выбрала для урока? — Какое ключевое слово вы мне можете указать? | — Предполагаемые ответы: мы сегодня будем обобщать изученный материал, самостоятельно работать, проверять свои знания. Ключевое слово «обобщение» | ||||||||||||||
| — По какой теме будет происходить наша работа? Что мы изучали на прошлом уроке? | — Говорят учащиеся: «Решение систем неравенств с одной переменной». — Учащиеся записывают тему рока в тетрадь. | ||||||||||||||
| — Какие вы ставите перед собой цели? Продолжите следующее предложение «Сегодня на уроке я …» (учитель фиксирует на доске несколько ответов, чтобы в конце урока вернуться к ним) Слайд 2 | — Учащиеся выдвигают варианты формулировок цели для урока и для себя. | ||||||||||||||
— А вы задумывались когда-нибудь, когда появились знаки неравенства и линейные неравенства и системы неравенств. Слайд 3. (Историческая справка) 2. Актуализация знаний и фиксирование затруднений 1.»Без теории нет практики» Слайд 4 Вопросы:
| — Предполагают откуда могли появиться знаки неравенства | ||||||||||||||
Лист опроса по теории.
| — Учащиеся работают в парах и отвечают на вопросы. В листе опроса ставят 0 — ответ не верный, 1 — ответ верный. Проверка осуществляется по «Сорбонкам» — карточкам памяти (Приложение 1) | ||||||||||||||
2. Применение теории на практике. «Найди ошибку». Фронтальная работа. | — Находят ошибки на слайдах презентации и аргументируют свой ответ. | ||||||||||||||
«По графической иллюстрации найди пересечение множеств». Работа, с последующей взаимопроверкой. Комментарии учителя: Запишите у себя в тетради ответ. Затем обменяйтесь тетрадями и проверьте по готовому слайду. Взаимопроверка. Слайд 9 | — Самостоятельно работают в тетради. Затем обмениваются тетрадями и осуществляют взаимопроверку. Ставят количество баллов в лист контроля (Приложение 2), в зависимости от правильности ответов. (0 — ошибка, 1 — верно). — Проговаривают ошибки и фиксируют затруднения. | ||||||||||||||
| 3. Локализация индивидуальных затруднений Цель — научить детей шаг за шагом анализировать свои действия и понять, почему именно этот пример / правило / упражнение вызвали затруднения. Организация учебного процесса на этапе 3. | |||||||||||||||
Самостоятельная работа. Слайд 10 (самопроверка по эталону, приложение 3) Критерии оценивания на слайде | — Выполняют самостоятельную работу — Проверяют по эталону (Приложение 3) — Фиксируют ошибки (подчеркивают и ставят на полях 0 — ошибка, 1 — верно) — Оценивают себя и ставят в лист контроля (Приложение 2): 3б — «5» 2б — «4» 1б — «3» | ||||||||||||||
4. Построение проекта выхода из затруднения Учащиеся самостоятельно выполняют работу над ошибками, учитель на данном этапе выступает в качестве консультанта. Класс делится на две группы. | |||||||||||||||
1 группа выполняет задание продвинутого уровня «Шаг вперед». Слайд 11 10 -4х ≥3(1 — х), | — 1 группа — работает над решением продвинутого задания. Записывают в лист контроля, что выполняли задание «Шаг вперед» — 2 группа — самостоятельно выполняет работу над ошибками, выбирая задания с ошибками, фиксируя тип ошибки (Приложение 4). — Записывают в листе контроля (Приложение 2) знаком «+», что выполняли работу над ошибками | ||||||||||||||
| 5. Обобщение затруднений во внешней речи Цель— зафиксировать в речи правила, в которых были допущены ошибки. Организация учебного процесса на этапе 5: -Учитель последовательно выясняет, у кого из детей и на какие правила были допущены ошибки, и правила проговариваются во внешней речи. В этой работе могут принять участие все учащиеся. На данном этапе работает весь класс. | |||||||||||||||
| — Какие ошибки были допущены в работе? (Называются типы ошибок, допущенных в работе.) Проговариваются алгоритмы, на которые были допущены ошибки. Составляется кластер ошибок Слайд 12 | — Говорят ошибки — Записывают на электронной доске | ||||||||||||||
| 6. Включение в систему знаний и повторение Цель — тренировать навыки оценки периметра прямоугольника, зная диапазон сторон с использованием правил решения систем неравенств. Организация учебного процесса на этапе 6: -Учитель показывает практическое применение знаний по теме «Система неравенств» Слайд 13 | |||||||||||||||
| Измеряя длину a и ширину b (в см), нашли, что 5,4 < a < 5,5 и 3,6 < b < 3,7. Оцените периметр прямоугольника. | — Учащиеся повторяют формулу периметра прямоугольника и записываю с помощью системы условие и решение задачи. | ||||||||||||||
| 7. Рефлексия деятельности на уроке Цель — зафиксировать, где были допущены ошибки, способ исправления допущенных ошибок; зафиксировать содержание, которое повторили на уроке, оценить собственную деятельность; записать домашнее задание. Организация учебного процесса на этапе 8: — Учитель организует работу по заполнению листа контроля и рефлексии. (Приложение 2) Слайд 14 | — Учащиеся заполняют листы контроля и рефлексии. | ||||||||||||||
| 8. Домашнее задание п.6. Решить № 173(5, 6), 179(7, 8). | — Записывают домашнее задание | ||||||||||||||
9. Рефлексия соседу по парте | — Выбирают подходящую фразу для своего соседа по парте. |
Методическая разработка урока математики в 6 классе «Решение систем линейных неравенств с одной переменной
Тема урока: «Решение систем линейных неравенств с одной переменной»
6 класс
Тип урока: первичное закрепление.
Дидактическая цель: создать условия для осознания и осмысления блока новой учебной информации.
Цели:1) Образовательная: создать условия для освоения каждым учеником стандарта образования; ввести понятия: решение систем неравенств, равносильные системы неравенств и их свойства; научить применять эти понятия при решении простейших систем неравенств с одной переменной.
2) Развивающая: способствовать развитию элементов творческой, самостоятельной деятельности обучающихся; развивать речь, умение мыслить, анализировать, обобщать, высказывать свои мысли четко, лаконично.
3) Воспитательная: воспитание уважительного отношения друг к другу и ответственного отношения к учебному труду.
Задачи:
повторить теорию по теме числовые неравенства и числовые промежутки;
привести пример задачи, которая решается системой неравенств;
рассмотреть примеры решения систем неравенств;
выполнить самостоятельную работу.
Формы организации учебной деятельности: -фронтальная – коллективная- индивидуальная.
ПЛАН УРОКА
Блоки | Этапы урока | Время |
1 | организационный момент мотивация, постановка цели актуализация изучения темы | 8 мин. |
2 | Основная часть: первичное усвоение нового материала осознание, осмысление первичное закрепление и применение нового материала | 25 мин. |
3 | Домашнее задание и рекомендации по его выполнению | 2 мин. |
4 | Подведение итогов урока: выполнение самостоятельной работы рефлексия | 10 мин. |
Ход урока.
Орг. момент.
Неравенство может быть хорошим помощником. Только надо знать, когда к нему необходимо обратиться за помощью. На языке неравенств нередко формулируется постановка задач во многих приложениях математики. Например, многие экономические задачи сводятся к исследованию систем линейных неравенств. Поэтому важно уметь решать системы неравенств. А что же значит – «решить систему неравенств»? Это мы и разберем сегодня на уроке.
Устная работа с классом, три ученика выполняют тест в компьютерном варианте, два ученика работают у доски по индивидуальным карточкам.
Для повторения теории темы «Неравенства и их свойства», проведем тестирование
Верно ли утверждение: если х>2 и у>14, то х+у >16?
Верно ли утверждение: если х>2 и у>14, то х·у<28?
Является ли число 0 решением неравенства 3х-1<11?
Является ли неравенство 3х+ 12>2х – 2 строгим?
Существует ли целое число, принадлежащее промежутку?
Верно ли, что при умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное число, знак неравенства не меняется?
Записать в тетради « дата, кл. работа»
Задача:Автомобиль по горной дороге за 7 часов проезжает больше 210 км, а по шоссе за 5 часов – не более 400 км. В каких пределах может изменяться его скорость?
Составление математической модели
Постановка проблем: требуется найти такие значения х, при которых верны оба неравенства, т.е. найти общее решение этих неравенств. В таких случаях говорят, что надо решить систему неравенств, и используют следующую запись
7х> 210,
5х400.
Новая тема. Записать в тетрадь название темы «Решение систем линейных неравенств с одной переменной»
— Как вы думаете, что называется решением системы неравенств?
(Решением системы неравенств с одной переменной называется значение переменной, при котором верно каждое из неравенств системы)
— Что значит « Решить систему неравенств»?
(Решить систему неравенств– значит найти все её решения или доказать, что решений нет)
— Что надо сделать, чтобы ответить на вопрос « является ли заданное число
решением системы неравенств?»
(Подставить это число в оба неравенства системы, если получатся верные неравенства, то заданное число является решением системы неравенств, если получатся неверные неравенства, то заданное число не является решение системы неравенств)
Решить самостоятельно систему в задаче на движение автомобиля и ответить на вопрос задачи.
Сформулировать алгоритм решения систем неравенств
Рассмотреть примеры,
4.Закрепление темы. Работа с учебником стр №
5. Домашнее задание: п. читать, №
6. Самостоятельная работа по вариантам (Карточки- задания, раздаточные таблицы –подсказки для каждого обучающегося на столах)
— Проанализируйте свою работу на уроке и поставьте себе оценку «5» — все понимаю; «4»- понимаю, но есть вопросы; «?» -затрудняюсь решать системы неравенств.
7. Подведение итогов урока (выставляются оценки)
Рефлексия: — Какую тему рассмотрели сегодня на уроке?
— В чем испытали затруднения?
— Над чем необходимо еще поработать?
Приложение 1
Карточка №1
Решите неравенство и найдите наименьшее целое число, удовлетворяющее неравенству
8·(6 – у) 24,2 – 7у
К
Решите неравенство и найдите наибольшее целое число, удовлетворяющее неравенству
5
арточка №2Приложение 2
Алгоритм решения систем неравенств с одной переменной
1. Решить каждое неравенство системы.
2. Изобразить графически решения каждого неравенства на координатной прямой.
3. Найти пересечение решений неравенств на координатной прямой.
4. Записать ответ в виде числового промежутка.
Самостоятельная работа
Вариант1
Решите систему неравенств:
а) х + 3 > 0,
2x 5;
б) х -4 > 5 – 2x,
3 – 2x < 7 + x;
в) 2х — 54 – 3( х – 2),
— 2х 4.
Вариант2
Решите систему неравенств:
а) х — 1 < 0,
2x 1;
б) х -3 > 3x — 5,
2x + 7 > 3;
в) 3 – 4 (x -1) 3 х + 8,
3х — 54.
Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/293087-metodicheskaja-razrabotka-uroka-matematiki-v-
Решение линейных неравенств с одной переменной и их систем
Алматинская область,Панфиловский район,
город Жаркент
КГУ « средняя школа имени
Жамбыла»
Учитель математики: Ниязов Ш.А.
Урок в алгебры 8 классе
2. Алгебра 8 класс.
Урок повторение по теме:«Решение линейных неравенств с
одной переменной и их систем»
Математика учит
преодолевать трудности
и исправлять
собственные ошибки.
4. Цель урока:
Повторитьи обобщить знания
учащихся по теме «Линейные
неравенства и их системы.»
5. Тестирование. (1 — да, 0 — нет)
1) Является ли число 10 решениемнеравенства 3х>12?
2) Является ли число -7 решением
неравенства 3х>12?
3) Является ли неравенство 2х-15>3х+6
строгим?
4) Существует ли целое число
принадлежащее промежутку [-1,8;-1,6]?
5) При любом ли значении
переменной а верно неравенство
а² +1>о?
6) Верно ли, что при умножении или
делении обеих частей неравенства
на отрицательное число знак
неравенства не меняется?
7) Является ли число 3 решением
системы неравенств
6 x 1 x
4 x 32 3 x
7. Давайте проверим
10101018. Найди ошибку!
1. Х ≥72. y
7
Ответ: (-∞;7)
3. m ≥ 12
12
2,5
Ответ: (-∞;2,5)
4. -3x ≤ 3,9
x≤ -1,3
-1,3
Ответ: (-∞;12)
Ответ: [-∞;-1,3]
1) Решите неравенство: Зx-8
2) Решите систему неравенств: 6 x 24 0
2 x 12 0
3) Решите двойное неравенство: — 4
4) При каких значениях х имеет
смысл выражение:
3x 5
5) Решите двойное неравенство
— 4
наименьшее целое число, которое является
его решением.
10. Самостоятельная работа.
1) Решите неравенство:а)4 +12х > 7+13х;
а)7-4х
б) -(2-3х)+4(6+х) >1;
б) -(4-5х)+2(3+х)
2) Решите систему неравенств:
1,5 x 3
a)
6 x 12
3 x 2 1,5 x 1
b)
4 2 x x 2
4 x 16
a )
0,2 x 2
3 x 2 x 4
b)
x 4 6x 3
3) Решите двойное неравенство:
а)-1
а) -1
б)
б) 2 4 x 3 3
5x 2
3
4
3
4
11. Давайте проверим.
1 вариант.1. а)(-∞;-3)
б) (-3;∞)
2. а)[-2;2)
б)(-∞;2)
3. а) (-1/6; 1/3)
б)[2;2,8]
2 вариант.
1. а)(3;∞)
б) (-∞;0)
2. а)[- ∞;-4)
б)решений нет
3. а) (-1/5; 1/5)
б)(3/4;1,5]
Страница не найдена — Школа № 3 г. Дубны
Уважаемые родители!
С 01.09.2021 года в гимназии будут открыты 3 первых класса.
Количество мест в первых классах — 75.
Прием документов начинается с 01.04.2021 г.
В соответствии с Приказом Министерства просвещения Российской Федерации от 02.09.2020 № 458 «Об утверждении Порядка приема на обучение по образовательным программам начального общего, основного общего и среднего общего образования» информируем Вас об изменении сроков приема заявлений в первый класс на 2021-2022 учебный год.
- Начало приема по закрепленной территории с 1 апреля по 30 июня.
- Начало приема по незакрепленной территории с 6 июля по 5 сентября.
Уважаемые родители!
Как освободить ребенка от посещения школы или детского сада, и каким образом ученики будут получать знания вне учебного заведения, читайте в материале портала mosreg.ru.
Уважаемые родители!
Информируем вас о том, что записаться на «Родительский контроль» — проект по оценке качества питания в школах — в Подмосковье теперь можно в режиме онлайн. Сделать это можно на Школьном портале региона. Регистрация проходит быстро — вся процедура займет не более трех минут.
— Нужно перейти во вкладку «Родительская»;
— Перейти в раздел «Школьное питание»;
— Выбрать желаемую дату и время;
— Нажать кнопку «Записаться».
Школа автоматически получит заявку и в назначенное время родителя будет ожидать классный руководитель или ответственный за питание.
РОДИТЕЛЬСКИЙ КОНТРОЛЬ
Уважаемые родители!
1.Каждый родитель в любой день и время может попробовать школьное питание
2.Для записи на дегустацию Вам необходимо оставить заявку по телефону: (8 (916) 502 – 8074)
3.Время и дата дегустации с Вами будет согласована
4.В назначенный день и время Вас в школе встретит ответственный за питание
5.После дегустации свои замечания Вы можете оставить ответственному за питание и заправить свой отзыв на Добродел (через QR-код) — рядом размещенный плакат
6.Все обращения по питанию (замечания, положительные отзывы) Вы можете направить: в ЦУР, Директору школы по e-mail: [email protected]
Уважаемые родители!
Ежегодно с конца осени и до начала весны увеличивается число заболевших ОРВИ и гриппом. Одной из мер профилактики является Вакцинация. В гимназии планируется проведение вакцинации обучающихся против гриппа (вакцина Совигрипп – Россия).
Вакцина для детей – без консерванта.
Детям до 15 лет прививки будут сделаны только при письменном согласии родителей!
Учащиеся от 15 лет и старше согласие на прививку могут оформить сами.
График вакцинации от гриппа в гимназии:
14.09.2020 для учащихся 1-3 классов;
18.09.2020 для учащихся 4 — 6 классов;
21.09.2020 для учащихся 7 — 9 классов;
25.09.2020 для учащихся 10 — 11 классов
Уважаемые родители!
Пожалуйста, каждое утро перед школой измеряйте температуру детям. Если ребенок чувствует себя плохо, нужно остаться дома и вызвать врача. Будьте здоровы!
С уважением, директор школы.
Северное инспекторское отделение Центра ГИМС ГУ МЧС России по Московской области информирует
Сейчас на территории Подмосковья действует режим самоизоляции и покидать дома без острой необходимости запрещается, а прогулки у воды без присмотра взрослых могут стоить жизни. К сожалению, не все родители объясняют своим детям, что же означает этот режим, и к каким последствиям могут привести прогулки.
Самоизоляция – это комплекс ограничительных мер для населения, которые вводит правительство на определенный срок для борьбы с распространением опасного заболевания. Граждан просят соблюдать режим: не выходить на улицу без острой необходимости, ограничить контакты с другими людьми и соблюдать все рекомендации по профилактике вирусных заболеваний, предложенные медицинским сообществом.
Уважаемые родители и дети просим Вас не пользоваться береговой зоной водоемов и не нарушать режим самоизоляции.
Берегите себя и своих близких!!!
Уважаемые родители!
В Подмосковье стартовал проект «Родительский контроль», направленный на усиление контроля за качеством питания в школах, сообщает пресс-служба Министерства образования Московской области.
«Суть проекта в том, что каждый родитель в любой удобный для него день по согласованию с классным руководителем может посетить школьную столовую и оценить качество блюд. Для наибольшей объективности проект подразумевает дегустацию не в какой-нибудь конкретный день, а непрерывно. Сегодня в Подольске прошла открытая демонстрация работы проекта. Родители, а также все желающие, смогли увидеть и попробовать, чем кормят ребят в столовой», – рассказала министр образования Московской области Ирина Каклюгина.
Она подчеркнула, что важно, чтобы жители сами включались в процесс, видели реальное положение дел и сообщали в случае обнаружения недочетов.
«Кроме того, мы хотим знать не только мнение родителей, но и самих ребят, поэтому на портале «Добродел» теперь регулярно будут проходить тематические опросы для учащихся», – добавила Каклюгина.
Гимназия № 3 присоединилась к региональному проекту «Родительский контроль».
Теперь мамы и папы учащихся гимназии могут оценить как питается их ребенок, вкусовые качества блюд, организацию работы столовой.
Записаться для включения в график родительского контроля можно у классного руководителя.
Управление народного образования Администрации городского округа Дубна информирует о размещении адаптированных электронных ресурсов для обучающихся с инвалидностью и обучающимися с ограниченными возможностями здоровья на портале «Российская электронная школа» https://resh.edu.ru/search.
РОДИТЕЛЯМ БУДУЩИХ ПЕРВОКЛАССНИКОВ!
С 1 февраля 2020 года начинается прием заявлений от родителей (законных представителей) на зачисление детей в 1 класс 2020 – 2021 учебного года в электронном виде для граждан, проживающих на закрепленной территории, посредством Портала государственных и муниципальных услуг Московской области https://uslugi.mosreg.ru/.
Подробнее по ссылке>>
Тетрадка Дружбы
Управление народного образования Администрации городского округа Дубна информирует о проведении проекта мероприятия Национальной ассоциации развития образования «Тетрадка Дружбы», которое направлено на формирование у обучающихся ответственного отношения к миру, развитие толерантности и коммуникабельности. Информация о мероприятиях и конкурсных испытаниях размещены на сайте Ассоциации тетрадкадружбы.рф
«Вместе против коррупции»
Генеральной прокуратурой Российской Федерации объявлен Международный молодежный конкурс социальной рекламы антикоррупционной направленности «Вместе против коррупции!». Конкурсантам в возрасте от 14 до 35 лет предлагается подготовить антикоррупционную социальную рекламу в формате плакатов и видеороликов на тему: «Вместе против коррупции». Победители и призёры финала конкурса награждаются почётными призами.
Подробнее…Приём работ будет осуществляться с 1 июня по 31 октября 2019 года на сайте конкурса www.anticorruption.life. Голосование национальных конкурсных комиссий по отбору лучших конкурсных работ в обеих номинациях пройдет в период с 1 октября по 30 октября 2019 года. Торжественную церемонию награждения победителей и призёров конкурса планируется приурочить к Международному дню борьбы с коррупцией 9 декабря. Церемония состоится в Москве в декабре 2019 года.
Определен график приема граждан по приобретению, распределению и предоставлению путевок в детские оздоровительные лагеря, оздоровительные организации и учреждения в 2019 году. (ПРИКАЗ)
Родителям будущих первоклассников!
С 1 февраля 2019 года начинается прием заявлений от родителей (законных представителей) на зачисление детей в 1 класс 2019 – 2020 учебного года в электронном виде для граждан, проживающих на закрепленной территории, посредством Портала государственных и муниципальных услуг Московской области https://uslugi.mosreg.ru/
Дополнительно информируем вас, что
- по общим вопросам зачисления детей в 1 класс 2019 – 2020 уч.г. вы можете обращаться:
- к заместителю начальника ГОРУНО Сушенцовой Галине Владимировна по тел. 8 (496) 216-67-62;
- по вопросам технологии подачи электронной формы заявления на Портале https://uslugi.mosreg.ru/ обращаться к методисту отдела информационно – образовательных технологий ЦРО Лапушкиной Ирине Александровне по тел. 8 (496) 216-67-67 доб. 5547.
Инструкция для пользователя запись в первый класс (обновлено) .pdf
Сценарий действий при ошибках пользователей .pdf
Прием заявлений на запись в первый класс для граждан, проживающих на закрепленной территории, будет доступен через РПГУ с 00:00 01.02.2019. Инструкция по подаче заявления доступна по ссылке:https://yadi.sk/i/9Ejzrlz-j2021w.
Дополнительно 30 января в 19.00 планируется обучающий вебинар «Порядок предоставления услуги и типовые ошибки при подаче заявлений и пакета документов». Записаться на вебинар можно по ссылке: https://uslugi.mosreg.ru/services/6843
ЕСИА
Условия успешной авторизации
на Школьном портале через ЕСИА
(только для пользователей старше 14 лет)
- Наличие Подтверждённой учётной записи ЕСИА (подробно о том, как и где подтвердить учётную запись ЕСИА, рассказано здесь)
- Наличие учётной записи в системе «Школьный портал»
- Совпадение ФИО и СНИЛС в учётных записях ЕСИА и системы «Школьный портал»
- в случае отсутствия СНИЛС в учетной записи необходимо выполнить связывание своих учетных записей вручную. Как это сделать: https://helpschool.mosreg.ru/hc/ru/articles/360001467547
Уважаемые родители!
Учреждения дополнительного образования
центр детского и юношеского туризма и экскурсий,
центр детского творчества,
центр «Дружба»
объявляют о приеме заявлений в кружки на 2018-2019 учебный год.
В рамках реализации приоритетного проекта Правительства Московской области «Создание системы электронной записи в кружки и секции, мониторинг их загруженности» с 1 января 2018 года запись детей в учреждения дополнительного образования Московской области осуществляется исключительно в электронном виде посредством Портала государственных и муниципальных услуг Московской области по ссылкам: https://uslugi.mosreg.ru/, https://dop.mosreg.ru.
С более подробной информацией можно ознакомиться на официальном сайте Управления народного образования Администрации г. Дубны http://goruno-dubna.ru/.
Уважаемые родители!
С целью организации информационно-аналитического сопровождения детей — инвалидов и их семей Министерством социального развития Московской области создан информационно-аналитический портал сопровождения детей-инвалидов Московской области «ДАР».О создании телефона доверия к ЕГЭ
Федеральная служба по надзору в сфере образования и науки сообщает об открытии с 26.04.2016 г. телефона доверия к процедуре проведения государственной итоговой аттестации по программам основного общего и среднего общего образования, в том числе в форме ЕГЭ, – «Телефон доверия к ЕГЭ» по номеру + 7(495)104-68-38, звонки на который будут приниматься с понедельника по пятницу с 9.00 до 18.00 московского времени. По указанному телефону можно сообщать о незаконных предложениях по продаже контрольных измерительных материалов, вариантов заданий, сайтах и группах в социальных сетях, предлагающих их приобрести, попытках мошенничества во время проведения экзаменов, в том числе в пунктах проведения экзаменов, предложениях договориться о помощи при сдаче и так далее.
Графические системы линейных неравенств — Элементарная алгебра
Системы линейных уравнений
Цели обучения
К концу этого раздела вы сможете:
- Определить, является ли упорядоченная пара решением системы линейных неравенств
- Решите систему линейных неравенств, построив график
- Решите приложения систем неравенств
Прежде чем начать, пройдите тест на готовность.
- График на числовой прямой.
Если вы пропустили эту проблему, просмотрите (рисунок). - Решите неравенство.
Если вы пропустили эту проблему, просмотрите (рисунок). - Определите, является ли заказанная пара решением для системы.
Если вы пропустили эту проблему, просмотрите (рисунок)
Определить, является ли упорядоченная пара решением системы линейных неравенств
Определение системы линейных неравенств очень похоже на определение системы линейных уравнений.
Система линейных неравенств
Два или более линейных неравенства, сгруппированных вместе, образуют систему линейных неравенств.
Система линейных неравенств выглядит как система линейных уравнений, но вместо уравнений в ней есть неравенства. Ниже представлена система двух линейных неравенств.
Для решения системы линейных неравенств мы найдем значения переменных, которые являются решениями обоих неравенств. Мы решаем систему, используя графики каждого неравенства, и показываем решение в виде графика.Мы найдем на плоскости область, содержащую все упорядоченные пары, удовлетворяющие обоим неравенствам.
Решения системы линейных неравенств
Решениями системы линейных неравенств являются значения переменных, которые делают все неравенства истинными.
Решение системы линейных неравенств показано заштрихованной областью в системе координат x-y , которая включает все точки, чьи упорядоченные пары делают неравенства истинными.
Чтобы определить, является ли упорядоченная пара решением системы двух неравенств, мы подставляем значения переменных в каждое неравенство. Если упорядоченная пара выполняет оба неравенства, это решение системы.
Определите, является ли заказанная пара решением для системы.
ⓐ (-2, 4) ⓑ (3,1)
Решение
- ⓐ Является ли упорядоченная пара (−2, 4) решением?
Упорядоченная пара (−2, 4) выполнила оба неравенства.Следовательно, (−2, 4) — решение этой системы.
- ⓑ Является ли упорядоченная пара (3,1) решением?
Упорядоченная пара (3,1) сделала одно неравенство истинным, а другое — ложным. Следовательно, (3,1) не является решением этой системы.
Определите, является ли заказанная пара решением для системы.
ⓐⓑ
Определите, является ли заказанная пара решением для системы.
ⓐⓑ
Решите систему линейных неравенств с помощью построения графиков
Решением единственного линейного неравенства является область на одной стороне граничной линии, которая содержит все точки, которые делают неравенство истинным.Решением системы двух линейных неравенств является область, содержащая решения обоих неравенств. Чтобы найти эту область, мы построим график каждого неравенства отдельно, а затем определим область, в которой оба неравенства верны. Решение всегда отображается в виде графика.
Как решить систему линейных неравенств
Решите систему, построив график.
Решите систему, построив график.
Решите систему, построив график.
Решите систему линейных неравенств с помощью построения графиков.
- Изобразите первое неравенство.
- Постройте граничную линию.
- Заштриховать сбоку от ограничивающей линии, где выполняется неравенство.
- На той же сетке нанесите график второго неравенства.
- Постройте граничную линию.
- Заштрихуйте сбоку от границы, на которой выполнено неравенство.
- Решением является область перекрытия штриховки.
- Проверьте, выбрав контрольную точку.
Решите систему, построив график.
Решите систему, построив график.
Решите систему, построив график.
Решите систему, построив график.
Решите систему, построив график.
Системы линейных неравенств с параллельными линиями границ могут не иметь решения. Мы увидим это на (Рисунок).
Решите систему, построив график.
Решение
Нет смысла в обеих заштрихованных областях, поэтому у системы нет решения.У этой системы нет решения.
Решите систему, построив график.
нет решения
Решите систему, построив график.
нет решения
Решите систему, построив график.
Решение
Ни одна точка на граничных линиях не включена в решение, так как обе линии пунктирны.
Решение — это дважды заштрихованная область, которая также является решением.
Решите систему, построив график.
Решите систему, построив график.
Решение приложений систем неравенств
Первое, что нам нужно сделать для решения приложений систем неравенств, — это преобразовать каждое условие в неравенство. Затем мы строим график системы, как мы делали выше, чтобы увидеть область, содержащую решения. Многие ситуации будут реалистичными только в том случае, если обе переменные положительны, поэтому на их графиках будет отображаться только Квадрант I.
Кристи продает свои фотографии в киоске на уличной ярмарке. В начале дня она хочет, чтобы на ее стенде было не менее 25 фотографий. Каждая маленькая фотография, которую она показывает, стоит ей 4 фунта стерлингов, а каждая большая фотография — 10 фунтов стерлингов. Она не хочет тратить больше 200 фунтов на фотографии для показа.
ⓐ Напишите систему неравенств для моделирования этой ситуации.
ⓑ Изобразите систему в виде графика.
ⓒ Могла ли она показать 15 маленьких и 5 больших фотографий?
ⓓ Могла ли она показать 3 больших и 22 маленьких фотографии?
Решение
- ⓐ Пусть количество маленьких фото.
количество больших фото
Чтобы найти систему неравенств, переведите информацию.
У нас есть система неравенства. - ⓑ
Для графика, график x + y = 25 в виде сплошной линии.
Выберите (0, 0) в качестве тестовой точки. Поскольку это не делает неравенство
истинным, закрасьте сторону, на которой нет точки (0, 0), красным цветом.
Для построения графика, график 4 x + 10 y = 200 в виде сплошной линии.
Выберите (0, 0) в качестве тестовой точки. Поскольку это не делает неравенство
истинным, закрасьте сторону, которая включает точку (0, 0), синим.
Решение системы — это область графика, которая заштрихована дважды и поэтому заштрихована более темной. - ⓒ Чтобы определить, будут ли работать 10 маленьких и 20 больших фотографий, мы смотрим, находится ли точка (10, 20) в области решения. Нет. Кристи не показывала 10 маленьких и 20 больших фотографий.
- ⓓ Чтобы определить, будут ли работать 20 маленьких и 10 больших фотографий, мы смотрим, находится ли точка (20, 10) в области решения. Это. Кристи могла выбрать отображение 20 маленьких и 10 больших фотографий.
Обратите внимание, что мы также можем проверить возможные решения, подставляя значения в каждое неравенство.
Прицеп может нести максимальный вес 160 фунтов и максимальный объем 15 кубических футов. Микроволновая печь весит 30 фунтов и имеет объем 2 кубических фута, в то время как принтер весит 20 фунтов и имеет 3 кубических фута пространства.
ⓐ Напишите систему неравенств для моделирования этой ситуации.
ⓑ Изобразите систему.
ⓒ Можно ли перевозить на этом прицепе 4 микроволновые печи и 2 принтера?
ⓓ Можно ли перевозить на этом прицепе 7 микроволновых печей и 3 принтера?
- ⓐ
- ⓑ
- ⓒ да
- ⓓ нет
Мэри необходимо приобрести запасы листов для ответов и карандашей для стандартного теста, который будет проводиться среди младших классов в ее средней школе. Количество листов для ответов как минимум на 5 больше, чем количество карандашей.Карандаши стоят 2 фунта, а листы с ответами — 1 фунт. Бюджет Мэри на эти принадлежности предусматривает максимальную стоимость в 400 фунтов стерлингов.
ⓐ Напишите систему неравенств для моделирования этой ситуации.
ⓑ Изобразите систему.
ⓒ Может ли Мэри приобрести 100 карандашей и 100 листов для ответов?
ⓓ Может ли Мэри приобрести 150 карандашей и 150 листов для ответов?
- ⓐ
- ⓑ
- ⓒ нет
- ⓓ нет
Омару нужно съесть не менее 800 калорий, прежде чем отправиться на командную тренировку.Все, что ему нужно, это гамбургеры и печенье, и он не хочет тратить больше пяти фунтов стерлингов. В гамбургер-ресторане рядом с его колледжем каждый гамбургер содержит 240 калорий и стоит 1,40 фунта стерлингов. Каждое печенье содержит 160 калорий и стоит 0,50 фунтов стерлингов.
ⓐ Напишите систему неравенств для моделирования этой ситуации.
ⓑ Изобразите систему.
ⓒ Сможет ли он съесть 3 гамбургера и 1 печенье?
ⓓ Сможет ли он съесть 2 гамбургера и 4 печенья?
Решение
ⓐ Давай количество гамбургеров.
количество файлов cookie
Чтобы найти систему неравенств, переведите информацию.
Калории из гамбургеров по 240 калорий каждый плюс калорий из печенья по 160 калорий в каждом должны быть больше 800.
Сумма, потраченная на гамбургеры по 1,40 фунтов стерлингов за каждый, плюс сумма, потраченная на печенье по цене 0,50 фунтов стерлингов, должна быть не более 5,00 фунтов стерлингов.
У нас есть система неравенства.
ⓑ
Решением системы является область графика, которая закрашена дважды и поэтому закрашена темнее.
ⓒ Чтобы определить, соответствуют ли 3 гамбургера и 2 печенья критериям Омара, мы смотрим, находится ли точка (3, 1) в области решения.Это. Он может съесть 3 гамбургера и 2 печенья.
ⓓ Чтобы определить, соответствуют ли 2 гамбургера и 4 печенья критериям Омара, мы смотрим, находится ли точка (2, 4) в области решения. Это. Он может съесть 2 гамбургера и 4 печенья.
Мы также можем проверить возможные решения, подставляя значения в каждое неравенство.
Tension необходимо съедать не менее 1000 дополнительных калорий в день, чтобы подготовиться к марафону. У него есть только 25 фунтов стерлингов, чтобы потратить на необходимое дополнительное питание, и он потратит их на 0 фунтов стерлингов.75 пончиков по 360 калорий в каждом и 2 энергетических напитка по 110 калорий.
ⓐ Напишите систему неравенств, моделирующую эту ситуацию.
ⓑ Изобразите систему.
ⓒ Может ли он купить 8 пончиков и 4 энергетических напитка?
ⓓ Может ли он купить 1 пончик и 3 энергетических напитка?
- ⓐ
- ⓑ
- ⓒ да
- ⓓ нет
Врач Филиппа говорит ему, что он должен добавлять как минимум 1000 калорий в день к своему обычному рациону. Филип хочет купить протеиновые батончики по цене 1 фунт стерлингов.80 каждый и содержат 140 калорий и сок по цене 1,25 фунтов стерлингов за бутылку и содержат 125 калорий. Он не хочет тратить больше? 12.
ⓐ Напишите систему неравенств, моделирующую эту ситуацию.
ⓑ Изобразите систему.
ⓒ Может ли он купить 3 протеиновых батончика и 5 бутылок сока?
ⓓ Может ли он купить 5 протеиновых батончиков и 3 бутылки сока?
- ⓐ
- ⓑ
- ⓒ да
- ⓓ нет
Ключевые понятия
- Решение системы линейных неравенств с помощью построения графиков
- Изобразите первое неравенство.
- Постройте граничную линию.
- Заштриховать сбоку от ограничивающей линии, где выполняется неравенство.
- На той же сетке нанесите график второго неравенства.
- Постройте граничную линию.
- Заштрихуйте сбоку от границы, на которой выполнено неравенство.
- Решением является область перекрытия штриховки.
- Проверьте, выбрав контрольную точку.
- Изобразите первое неравенство.
Упражнения по разделам
Практика ведет к совершенству
Определить, является ли упорядоченная пара решением системы линейных неравенств
В следующих упражнениях определите, является ли каждая упорядоченная пара решением для системы.
Решите систему линейных неравенств с помощью построения графиков
В следующих упражнениях решите каждую систему с помощью построения графиков.
Нет решения
Нет решения
Решение приложений систем неравенств
В следующих упражнениях переведите на систему неравенств и решите.
Кейтлин продает свои рисунки на окружной ярмарке. Она хочет продать не менее 60 рисунков, у нее есть портреты и пейзажи. Она продает портреты за 15 евро и пейзажи за 10 евро. Ей нужно продать рисунков на сумму не менее 800 фунтов стерлингов, чтобы получить прибыль.
ⓐ Напишите систему неравенств для моделирования этой ситуации.
ⓑ Изобразите систему.
ⓒ Получит ли она прибыль, если продаст 20 портретов и 35 пейзажей?
ⓓ Получит ли она прибыль, если продаст 50 портретов и 20 пейзажей?
- ⓐ
- ⓑ
- ⓒ Нет
- ⓓ Есть
Джейк не хочет тратить больше 50 фунтов на мешки с удобрениями и торфяной мох для своего сада.Удобрение стоит 2 евро за мешок, а торфяной мох — 5 евро за мешок. Фургон Джейка вмещает не более 20 сумок.
ⓐ Напишите систему неравенств для моделирования этой ситуации.
ⓑ Изобразите систему.
ⓒ Может ли он купить 15 мешков удобрений и 4 мешка торфяного мха?
ⓓ Может ли он купить 10 мешков удобрений и 10 мешков торфяного мха?
Рэйко нужно отправить рождественские открытки и посылки по почте, и она хочет, чтобы ее почтовые расходы не превышали 500 фунтов стерлингов. Количество карточек минимум на 4 больше, чем в два раза больше пакетов.Стоимость пересылки открытки (с картинками) — 3 евро, посылки — 7 евро.
ⓐ Напишите систему неравенств для моделирования этой ситуации.
ⓑ Изобразите систему.
ⓒ Может ли она отправить 60 открыток и 26 пакетов?
ⓓ Может ли она отправить по почте 90 открыток и 40 пакетов?
- ⓐ
- ⓑ
- ⓒ Есть
- ⓓ Нет
Хуан готовится к выпускным экзаменам по химии и алгебре. Он знает, что у него всего 24 часа на обучение, и ему потребуется как минимум в три раза больше времени, чтобы изучать алгебру, чем химию.
ⓐ Напишите систему неравенств для моделирования этой ситуации.
ⓑ Изобразите систему.
ⓒ Может ли он потратить 4 часа на химию и 20 часов на алгебру?
ⓓ Может ли он потратить 6 часов на химию и 18 часов на алгебру?
Джоселин беременна и ей необходимо съедать как минимум на 500 калорий в день больше, чем обычно. Когда однажды покупает продукты с бюджетом в 15 фунтов на дополнительную еду, она покупает бананы, каждый из которых содержит 90 калорий, и шоколадные батончики мюсли, каждый из которых содержит 150 калорий.Бананы стоят 0,35 фунта стерлингов каждый, а батончики мюсли — 2,50 фунта стерлингов каждый.
ⓐ Напишите систему неравенств для моделирования этой ситуации.
ⓑ Изобразите систему.
ⓒ Может ли она купить 5 бананов и 6 батончиков мюсли?
ⓓ Может ли она купить 3 банана и 4 батончика мюсли?
- ⓐ
- ⓑ
- ⓒ Нет
- ⓓ Есть
Марк пытается нарастить мышечную массу, поэтому ему необходимо дополнительно съедать не менее 80 граммов белка в день. Бутылка протеиновой воды стоит 3 фунта.20, а протеиновый батончик стоит 1,75 фунтов стерлингов. Белковая вода содержит 27 граммов белка, а батончик — 16 граммов. Если он есть? 10 долларов на расходы
ⓐ Напишите систему неравенств для моделирования этой ситуации.
ⓑ Изобразите систему.
ⓒ Мог ли он купить 3 бутылки протеиновой воды и 1 протеиновый батончик?
ⓓ Мог ли он покупать не бутылки с протеиновой водой и 5 протеиновых батончиков?
Джоселин хочет увеличить потребление белка и калорий. Она хочет есть как минимум на 35 граммов больше белка каждый день и не более чем на 200 дополнительных калорий в день.Унция сыра чеддер содержит 7 граммов белка и 110 калорий. Унция сыра пармезан содержит 11 граммов белка и 22 калории.
ⓐ Напишите систему неравенств для моделирования этой ситуации.
ⓑ Изобразите систему.
ⓒ Может ли она съесть 30 грамм сыра чеддер и 100 грамм сыра пармезан?
ⓓ Может ли она съесть 2 унции сыра чеддер и 30 грамм сыра пармезан?
- ⓐ
- ⓑ
- ⓒ Есть
- ⓓ Нет
Марк увеличивает свои физические нагрузки, бегая и ходя не менее 4 миль каждый день.Его цель — сжечь как минимум 1500 калорий с помощью этого упражнения. Ходьба сжигает 270 калорий на милю, а бег — 650 калорий.
ⓐ Напишите систему неравенств для моделирования этой ситуации.
ⓑ Изобразите систему.
ⓒ Сможет ли он достичь своей цели, пройдя 3 мили и пробежав 1 милю?
ⓓ Сможет ли он достичь своей цели, пройдя 2 мили и пробежав 2 мили?
Повседневная математика
Билеты на матч Американской бейсбольной лиги для 3 взрослых и 3 детей стоят менее 75 фунтов стерлингов, а билеты для 2 взрослых и 4 детей — менее 62 фунтов стерлингов.
ⓐ Напишите систему неравенств для моделирования этой проблемы.
ⓑ Изобразите систему.
ⓒ Могли ли билеты стоить 20 евро для взрослых и 8 евро для детей?
ⓓ Могли ли билеты стоить? 15 для взрослых и 5? Для детей?
- ⓐ
- ⓑ
- ⓒ Нет
- ⓓ Есть
Дедушка и бабушка развлекают свою семью в кино. Билет на утренник стоит 4 евро для ребенка и 4 евро для взрослого. Вечерние билеты стоят 6 евро для ребенка и 8 евро для взрослого.Они планируют потратить не более 80 фунтов на билеты на утренник и не более 100 на вечерние билеты.
ⓐ Напишите систему неравенств для моделирования этой ситуации.
ⓑ Изобразите систему.
ⓒ Могут ли они взять с собой 9 детей и 4 взрослых на оба спектакля?
ⓓ Могут ли они взять с собой 8 детей и 5 взрослых на оба спектакля?
Письменные упражнения
Изобразите неравенство. Как узнать, какую сторону линии нужно растушевать?
Изобразите систему.Что означает решение?
Самопроверка
ⓐ После выполнения упражнений используйте этот контрольный список, чтобы оценить свое мастерство в достижении целей этого раздела.
ⓑ Что вы сделаете, изучив этот контрольный список, чтобы стать уверенным в достижении всех целей?
Глава 5. Упражнения на повторение
Решение систем уравнений с помощью построения графиков
Определите, является ли упорядоченная пара решением системы уравнений .
В следующих упражнениях определите, являются ли следующие точки решениями данной системы уравнений.
Решение системы линейных уравнений с помощью построения графиков
В следующих упражнениях решите следующие системы уравнений с помощью построения графиков.
совпадающих линий
Определите количество решений линейной системы
В следующих упражнениях без построения графиков определите количество решений, а затем классифицируйте систему уравнений.
бесконечно много решений, непротиворечивая система, зависимые уравнения
нет решений, несовместная система, независимые уравнения
Решение приложений систем уравнений с помощью построения графиков
ЛаВелле делает кувшин кофе мокко. На каждую унцию шоколадного сиропа она использует пять унций кофе. Сколько унций шоколадного сиропа и сколько унций кофе нужно ей, чтобы приготовить 48 унций кофе мокко?
ЛаВеллю нужно 8 унций шоколадного сиропа и 40 унций кофе.
Эли готовит коктейль для вечеринок, состоящий из крендельков и чекса. На каждую чашку крендельков он использует три чашки чекса. Сколько чашек кренделей и сколько чашек чекса ему нужно, чтобы приготовить 12 чашек коктейля для вечеринок?
Решите системы уравнений подстановкой
Решите систему уравнений подстановкой
В следующих упражнениях решите системы уравнений путем подстановки.
Решите приложения систем уравнений подстановкой
В следующих упражнениях переведите в систему уравнений и решите.
Сумма двух чисел равна 55. Одно число на 11 меньше другого. Найдите числа.
Цифры 22 и 33.
Периметр прямоугольника равен 128. Длина на 16 больше ширины. Найдите длину и ширину.
Размер одного из малых углов прямоугольного треугольника в 2 раза меньше, чем в 3 раза больше другого малого угла. Найдите размер обоих углов.
Размеры: 23 градуса и 67 градусов.
Габриэла работает в страховой компании, которая платит ей зарплату в размере 32 000 фунтов стерлингов плюс комиссию в размере 100 фунтов стерлингов за каждый проданный полис.Она рассматривает возможность перехода на другую работу в компанию, которая будет платить зарплату в размере 40 000 фунтов стерлингов плюс комиссию в размере 80 фунтов стерлингов за каждый проданный полис. Сколько полисов нужно продать Габриэле, чтобы общая сумма была такой же?
Решите системы уравнений методом исключения
Решите систему уравнений методом исключения В следующих упражнениях решите системы уравнений методом исключения.
Решение приложений систем уравнений методом исключения
В следующих упражнениях переведите в систему уравнений и решите.
Сумма двух чисел равна. Их разница есть. Найдите числа.
Цифры и.
Омар каждый день останавливается в магазине пончиков по дороге на работу. На прошлой неделе он съел 8 пончиков и 5 капучино, что дало ему в общей сложности 3000 калорий. На этой неделе он съел 6 пончиков и 3 капучино, что в общей сложности составило 2160 калорий. Сколько калорий в одном пончике? Сколько калорий в одном капучино?
Выберите наиболее удобный метод решения системы линейных уравнений
В следующих упражнениях решите, что было бы удобнее решить систему уравнений путем подстановки или исключения.
Решение приложений с помощью системы уравнений
Перевести в систему уравнений
В следующих упражнениях переведите в систему уравнений. Не решайте систему.
Сумма двух чисел равна. Одно число на два меньше, чем в два раза другое. Найдите числа.
Четырехкратное число плюс трижды второе число. Дважды первое число плюс второе число — три.Найдите числа.
В прошлом месяце Джим и Дебби заработали 7200 фунтов стерлингов. Дебби заработала на 1600 фунтов больше, чем заработал Джим. Сколько они заработали?
Анри вложил 24 000 евро в акции и облигации. Сумма в акциях на 6 000 евро больше, чем в три раза больше, чем в облигациях. Сколько стоит каждая инвестиция?
Решение задач прямого перевода
В следующих упражнениях переведите в систему уравнений и решите.
Пэм на 3 года старше своей сестры Ян.Сумма их возрастов — 99. Найдите их возраст.
Молли хочет посадить 200 луковиц в своем саду. Она хочет все ирисы и тюльпаны. Она хочет посадить в три раза больше тюльпанов, чем ирисов. Сколько ирисов и сколько тюльпанов ей следует посадить?
Приложения Solve Geometry
В следующих упражнениях переведите в систему уравнений и решите.
Разница двух дополнительных углов составляет 58 градусов. Найдите размеры углов.
Размеры: 119 градусов и 61 градус.
Два угла дополняют друг друга. Мера большего угла в пять раз больше, чем в четыре раза меньшего угла. Найдите размеры обоих углов.
Бекка вешает 28-футовую цветочную гирлянду с двух сторон и наверху беседки, чтобы подготовиться к свадьбе. Высота на четыре фута меньше ширины. Найдите высоту и ширину беседки.
Пергола 8 футов в высоту и 12 футов в ширину.
Периметр городского прямоугольного парка составляет 1428 футов. Длина на 78 футов более чем в два раза больше ширины. Найдите длину и ширину парка.
Решение приложений с равномерным движением
В следующих упражнениях переведите в систему уравнений и решите.
Шейла и Ленор ехали в дом своей бабушки. Ленора ушла через час после Шейлы. Шейла ехала со скоростью 45 миль в час, а Ленора ехала со скоростью 60 миль в час. Сколько времени потребуется Леноре, чтобы догнать Шейлу?
Это займет у Леноры 3 часа.
Боб ушел из дома, ехал на велосипеде со скоростью 10 миль в час к озеру. Черил, его жена, уехала через 45 минут (час) спустя, двигаясь на своей машине со скоростью 25 миль в час. Сколько времени потребуется Шерил, чтобы догнать Боба?
Маркус может проехать на своей лодке 36 миль по реке за три часа, но ему нужно четыре часа, чтобы вернуться вверх по течению. Найдите скорость лодки в стоячей воде и скорость течения.
Скорость лодки 10,5 миль в час. Скорость тока — 1.5 миль / ч.
Пассажирский реактивный самолет может пролететь 804 мили за 2 часа при попутном ветре, но только 776 миль за 2 часа при встречном ветре. Найдите скорость струи в неподвижном воздухе и скорость ветра.
Решение смесей приложений с помощью системы уравнений
Приложения для растворения смеси
В следующих упражнениях переведите в систему уравнений и решите.
Линн заплатила в общей сложности 2780 фунтов стерлингов за 261 билет в театр. Студенческие билеты стоят 10 евро, взрослые — 15 евро.Сколько студенческих билетов и сколько взрослых билетов купила Линн?
Линн купила 227 студенческих билетов и 34 взрослых билета.
У Приама в машине есть десять центов и центов в подстаканнике. Общая стоимость монет составляет 4,21 фунта стерлингов. Количество десятицентовиков на три меньше, чем четырехкратное количество пенсов. Сколько центов и сколько центов в чашке?
Юми хочет приготовить 12 чашек смеси для вечеринок из конфет и орехов. Ее бюджет требует, чтобы вечеринка стоила ей 1 фунт.29 на чашку. Конфеты стоят 2,49 фунтов за чашку, а орехи — 0,69 фунтов за чашку. Сколько чашек конфет и сколько чашек орехов ей следует съесть?
Юми следует использовать 4 чашки конфет и 8 чашек орехов.
Ученому нужно 70 литров 40% раствора спирта. У него есть 30% и 60% раствор. Сколько литров 30% и сколько литров 60% растворов он должен смешать, чтобы получить 40% раствор?
Рассмотрение процентных заявок
В следующих упражнениях переведите в систему уравнений и решите.
У Джека есть 12 000 евро для инвестирования, и он хочет получать 7,5% годовых. Он поместит часть денег на сберегательный счет, приносящий 4% в год, а остальную часть — на счет CD, который приносит 9% в год. Сколько денег он должен положить на каждый счет?
Джек должен положить 3600 евро в сбережения и 8400 евро на компакт-диск.
Когда она закончит колледж, Линда будет должна 43 000 фунтов стерлингов в виде студенческих ссуд. Процентная ставка по федеральным займам составляет 4,5%, а ставка по ссудам частных банков — 2%.Общая сумма процентов, которые она задолжала за один год, составила 1585 фунтов стерлингов. Какая сумма каждого кредита?
Графические системы линейных неравенств
Определить, является ли упорядоченная пара решением системы линейных неравенств
В следующих упражнениях определите, является ли каждая упорядоченная пара решением для системы.
Решите систему линейных неравенств с помощью построения графиков
В следующих упражнениях решите каждую систему с помощью построения графиков.
Нет решения
Решение приложений систем неравенств
В следующих упражнениях переведите на систему неравенств и решите.
Роксана делает браслеты и ожерелья и продает их на фермерском рынке. Браслеты она продает по 12 фунтов за штуку, а ожерелья — по 18 фунтов. На рынке в следующие выходные у нее будет место для демонстрации не более 40 штук, и ей нужно продать не менее 500 фунтов стерлингов, чтобы получить прибыль.
- ⓐ Напишите систему неравенств, чтобы смоделировать эту ситуацию.
- ⓑ Изобразите систему.
- ⓒ Следует ли ей показать 26 браслетов и 14 ожерелий?
- ⓓ Следует ли ей показать 39 браслетов и 1 ожерелье?
ⓐ
ⓑ
ⓒ да
ⓓ нет
У Энни есть бюджет в 600 фунтов стерлингов на покупку книг в мягкой обложке и книг в твердом переплете для своего класса. Она хочет, чтобы количество книг в твердом переплете было как минимум в 5 раз больше, чем в три раза больше книг в мягкой обложке.Книги в мягкой обложке стоят 4 фунта каждая, а книги в твердой обложке — 15 фунтов.
- ⓐ Напишите систему неравенств, чтобы смоделировать эту ситуацию.
- ⓑ Изобразите систему.
- ⓒ Может ли она купить 8 книг в мягкой обложке и 40 книг в твердой обложке?
- ⓓ Может ли она купить 10 книг в мягкой обложке и 37 книг в твердой обложке?
Практический тест
В следующих упражнениях решите следующие системы с помощью построения графиков.
В следующих упражнениях решите каждую систему уравнений.Используйте либо замену, либо исключение.
бесконечно много решений
В следующих упражнениях переведите в систему уравнений и решите.
Сумма двух чисел равна −24. Одно число на 104 меньше другого. Найдите числа.
Цифры 40 и 64
Рамон хочет посадить в своем саду огурцы и помидоры.У него есть место для 16 растений, и он хочет посадить в три раза больше огурцов, чем помидоров. Сколько огурцов и сколько помидоров нужно посадить?
Два угла дополняют друг друга. Мера большего угла в шесть раз больше, чем мера меньшего угла, более чем в два раза. Найдите размеры обоих углов.
Размеры углов: 28 градусов и 62 градуса.
В понедельник Лэнс бегал 30 минут и плавал 20 минут. Его фитнес-приложение сообщило ему, что он сжег 610 калорий.В среду фитнес-приложение сообщило ему, что он сжег 695 калорий, когда бегал 25 минут и плавал 40 минут. Сколько калорий он сжег за минуту бега? Сколько калорий он сжег за минуту плавания?
Кэти вышла из дома, чтобы дойти до торгового центра, быстро пошла со скоростью 4 мили в час. Ее сестра Эбби вышла из дома через 15 минут и ехала на велосипеде до торгового центра со скоростью 10 миль в час. Сколько времени понадобится Эбби, чтобы догнать Кэти?
Это займет у Кэти час (или 10 минут).
Самолету требуется несколько часов, чтобы преодолеть 2475 миль при встречном ветре из Сан-Хосе, Калифорния, в Лихуэ, Гавайи. Обратный рейс из Лихуэ в Сан-Хосе с попутным ветром занимает 5 часов. Найдите скорость струи в неподвижном воздухе и скорость ветра.
Лиз заплатила 160 фунтов за 28 билетов, чтобы отвести отряд Брауни в музей науки. Детские билеты стоят 5 евро, взрослые — 9 евро. Сколько билетов для детей и сколько билетов для взрослых купила Лиз?
Лиз купила 23 детских и 5 взрослых билетов.
Фармацевту необходимо 20 литров 2% физиологического раствора. У него есть 1% и 5% раствор. Сколько литров 1% и сколько литров 5% растворов она должна смешать, чтобы получить 2% раствор?
Переведите в систему неравенств и решите.
Энди хочет потратить не более 50 фунтов стерлингов на Хэллоуинские угощения. Она хочет купить шоколадные батончики по 1 фунту каждый и леденцы по 0,50 фунтов стерлингов каждый, и она хочет, чтобы количество леденцов было как минимум в три раза больше, чем шоколадных батончиков.
- ⓐ Напишите систему неравенств, чтобы смоделировать эту ситуацию.
- ⓑ Изобразите систему.
- ⓒ Может ли она купить 20 шоколадных батончиков и 70 леденцов на палочке?
- ⓓ Может ли она купить 15 шоколадных батончиков и 65 леденцов на палочке?
ⓐ
ⓑ
ⓒ Нет
ⓓ Да
Глоссарий
- система линейных неравенств
- Два или более линейных неравенства, сгруппированных вместе, образуют систему линейных неравенств.
Иллюстративная математика Алгебра 1, Раздел 2.25 — Учителя
Распределите учащихся по группам по 2 человека. Покажите на всеобщее обозрение систему неравенств и графики.
Дайте учащимся минутку тишины, чтобы подумать, в каком регионе представлены решения каждого неравенства, и будьте готовы объяснить, откуда они это знают. Затем дайте студентам еще минуту, чтобы обсудить их мысли с партнером. Проведите обсуждение в классе.
Учащиеся могут определить неравенство, которое представляет каждый график, рассматривая уравнение граничной линии.Они могут связать сплошную заштрихованную область с \ (x Другие учащиеся могут протестировать несколько координатных пар в каждом регионе и посмотреть, истинно ли неравенство. Например, они могут сказать, что все точки над графиком \ (x = y \) имеют значение \ (x \), которое меньше значения \ (y \). Если эти стратегии соединения алгебраических и графических представлений не упоминаются учащимися, поднимите их. Скажите учащимся, что теперь они подумают о том, являются ли определенные точки на координатной плоскости решениями системы. Представление: доступ для восприятия. Прежде чем приступить к самостоятельной работе, привлеките весь класс к разработке набора указаний, отображающих критерии для проверки, являются ли точки решением. Это можно записать в виде блок-схемы или списка.Порекомендуйте учащимся начать с этапа нанесения точки на график. Поддержите их в формулировании критериев, касающихся оценки затененных областей и границ. Проверьте понимание, предложив студентам перефразировать указания своими словами. Постарайтесь сделать так, чтобы указания направлений оставались видимыми на протяжении всего занятия. В предыдущих главах мы решали уравнения с одной неизвестной или переменной.Теперь мы изучим методы решения систем уравнений, состоящих из двух уравнений и двух переменных. По завершении этого раздела вы сможете: Мы уже использовали числовую прямую, на которой мы представили числа в виде точек на прямой. Обратите внимание, что это понятие содержит элементы из двух областей математики, строки из геометрии и чисел из алгебры. Рене Декарт (1596-1650) разработал метод соотношения точек на плоскости с алгебраическими числами. Эта схема называется декартовой системой координат (от Декарта) и иногда упоминается как прямоугольная система координат. Эта система состоит из двух числовых линий, перпендикулярных в своих нулевых точках. Внимательно изучите диаграмму, отмечая каждый из следующих фактов. Числовые линии называются осями . Горизонтальная линия — это ось x , а вертикальная — ось y . Нулевая точка, в которой они перпендикулярны, называется исходной точкой . Плюс к справа и вверх ; отрицательный — слева и вниз . Самолет разделен на четыре части, которые называются квадрантами . Они пронумерованы в направлении против часовой стрелки, начиная с верхнего правого угла. Точки на плоскости обозначаются упорядоченными парами чисел, записанными в скобках с запятой между ними, например (5,7). Это называется упорядоченной парой, потому что важен порядок, в котором написаны числа. Заказанная пара (5,7) — это , а не , как заказанная пара (7,5). Точки расположены на плоскости следующим образом. Сначала начните с начала координат и посчитайте слева или справа количество пробелов, обозначенных первым числом в упорядоченной паре.Во-вторых, от точки на оси x, заданной первым числом, отсчитайте вверх или вниз количество пробелов, обозначенных вторым числом упорядоченной пары. Упорядоченные пары всегда сначала пишутся с x, а затем y, (x, y). Числа, представленные x и y, называются координатами точки (x, y). Пример 1 В следующей декартовой системе координат точки A (3,4), B (0,5), C (-2,7), D (-4,1), E (-3 , -4), F (4, -2), G (0, -5) и H (-6,0) обозначены. Проверьте каждый, чтобы определить, как они расположены. По завершении этого раздела вы сможете: График — это графическое изображение пронумерованных фактов. Есть много типов графиков, таких как гистограммы, круговые графики, линейные графики и так далее. Примеры таких графиков обычно можно найти в финансовом разделе газеты. Графики используются, потому что изображение обычно упрощает понимание числовых фактов. В этом разделе мы обсудим метод построения графика уравнения с двумя переменными. Другими словами, мы нарисуем картину уравнения с двумя переменными. Все возможные ответы на это уравнение, расположенные в виде точек на плоскости, дадут нам график (или картинку) уравнения. Конечно, мы никогда не сможем найти все числа x и y такие, что x + y = 7, поэтому мы должны довольствоваться наброском графика. Эскиз можно охарактеризовать как «кривую наилучшего соответствия». Другими словами, необходимо найти достаточно точек, чтобы получить достаточно точную картину уравнения. Пример 1 Нарисуйте график 2x + y = 3. Решение Мы хотим найти несколько пар чисел, которые сделают это уравнение истинным. Мы добьемся этого, выбрав число для x, а затем найдя соответствующее значение для y. Таблица значений используется для записи данных. В верхней строке (x) мы разместим числа, которые мы выбрали для x. Затем в нижней строке (y) мы поместим соответствующее значение y, полученное из уравнения. В этом примере мы позволим x принимать значения -3, -2, -1,0, 1,2,3. Эти факты дают нам следующую таблицу значений: Теперь мы находим упорядоченные пары (-3,9), (-2,7), (-1,5), (0,3), (1,1), (2, -1), (3, -3) на координатной плоскости и соедините их линией. Теперь у нас есть график 2x + y = 3. Графики всех уравнений первой степени с двумя переменными будут прямыми линиями. Этот факт будет использован здесь, хотя в математике будет гораздо позже, прежде чем вы сможете доказать это утверждение. Такие уравнения первой степени называются линейными уравнениями . Уравнения с двумя неизвестными более высокой степени дают графики, которые представляют собой кривые разных типов.Вы изучите их на будущих курсах алгебры. Поскольку график уравнения первой степени с двумя переменными представляет собой прямую линию, необходимо иметь только две точки. Однако ваша работа будет более точной, если вы найдете хотя бы три точки. Ошибки можно найти и исправить, если найденные точки не лежат на одной линии. Таким образом, мы называем третью точку «контрольной точкой». Пример 2 Нарисуйте график 3x — 2y — 7. Решение Сначала составьте таблицу значений и выберите три числа, которые будут заменять x. Попробуем 0, 1,2. Ответ не так легко найти на графике, как целое число.Похоже, что x = 0 был не очень удачным выбором. Иногда можно заглянуть вперед и сделать лучший выбор для x. Точку (1, -2) будет легче найти. Если x = 2, у нас будет другая дробь. Точку (3,1) легко найти. Скорректируем таблицу значений и будем использовать точки, дававшие целые числа.Это не всегда возможно, но попытка получить целые значения даст более точный набросок. Теперь у нас есть таблица для 3x — 2y = 7. Расположение точек (1, -2), (3,1), (- 1, -5) дает график 3x — 2y = 7. По завершении этого раздела вы сможете: Теперь мы хотим обсудить важную концепцию, называемую наклоном линии. Интуитивно мы можем думать об уклоне как о крутизне линии по отношению к горизонтали. Ниже приведены графики из нескольких линий. Внимательно изучите их и мысленно ответьте на следующие вопросы. Какая линия круче? Какова, по-видимому, связь между коэффициентом при x и крутизной Какой график будет круче: линии, когда уравнение имеет вид y = mx? Теперь изучите следующие графики. Какая линия круче? Как отрицательное значение m влияет на график? Для графика y = mx следовало сделать следующие наблюдения. Другими словами, в уравнении вида y — mx, m управляет крутизной линии. В математике мы используем слово« наклон »для обозначения крутизны и формируем следующее определение: В уравнении вида y = mx, m — это наклон графика уравнения. Пример 1 Нарисуйте график y = 6x и укажите наклон линии. Решение Сначала мы составим таблицу, показывающую три набора упорядоченных пар, которые удовлетворяют уравнению. Затем мы делаем набросок графика. Значение m равно 6, следовательно, наклон равен 6. Мы можем просто написать m — 6. Пример 2 Нарисуйте график и укажите наклон Решение Выбирая значения x, которые делятся на 3, получаем таблицу Тогда график Склон Теперь мы хотим сравнить графики двух уравнений, чтобы установить другую концепцию. Пример 3 Нарисуйте графики y 3x и y — 3x + 2 на одном и том же наборе координатных осей. Решение В примере 3 посмотрите на таблицы значений и обратите внимание, что для данного значения x,
значение y в уравнении y = 3x + 2 на два больше, чем соответствующее значение y в уравнении y = 3x. Теперь посмотрите на графики двух уравнений и обратите внимание, что график y = 3x + 2, кажется, имеет тот же наклон, что и y = 3x.Также обратите внимание, что если весь график y = 3x перемещается вверх на две единицы, он будет идентичен графику y = 3x + 2. График y = 3x пересекает ось y в точке (0,0). , а график y = 3x + 2 пересекает ось y в точке (0,2). Сравните эти таблицы и графики, как в примере 3. Наклон от одной точки на линии к другой определяется отношением изменения y к изменению x. То есть Обратите внимание, что изменение x равно 3, а изменение y равно 2. Изменение x равно -4, изменение y равно 1. Пример 7 На графике y = 3x — 2 наклон равен 3. y = mx + b называется формой с пересечением наклона уравнения прямой линии. Если уравнение имеет такую форму, m — это наклон линии, а (0, b) — точка, в которой график пересекает (пересекает) ось y. Если уравнение прямой имеет форму пересечения наклона, можно нарисовать его график, не составляя таблицу значений. Используйте точку пересечения оси Y и наклон, чтобы нарисовать график, как показано в примере 8. Сначала найдите точку (0, -2). Это одна из точек на линии. Наклон показывает, что изменение x равно 4, поэтому из точки (0, -2) мы перемещаем четыре единицы в положительном направлении параллельно оси x.Поскольку изменение y равно 3, мы перемещаем три единицы в положительном направлении параллельно оси y. Получившаяся точка тоже на линии. Поскольку две точки определяют прямую линию, мы рисуем график. Пример 9 Задайте наклон и точку пересечения по оси Y и нарисуйте график y = 3x + 4. Решение m = -3, пересечение оси y = (0,4). Чтобы выразить наклон в виде отношения, мы можем написать -3 как или. Если мы запишем наклон как, то из точки (0,4) мы перемещаем одну единицу в положительном направлении параллельно оси x, а затем перемещаем три единицы в отрицательном направлении параллельно оси y. Затем мы проводим линию через эту точку и (0,4). Предположим, уравнение не имеет формы y = mx + b. Сможем ли мы найти наклон и точку пересечения по оси Y? Ответ на этот вопрос — да.Однако для этого мы должны изменить форму данного уравнения, применив методы, использованные в разделе 4-2. Пример 10 Найдите наклон и точку пересечения по оси Y 3x + 4y = 12. Решение Во-первых, мы понимаем, что уравнение не находится в форме пересечения наклона, необходимой для ответа на заданные вопросы. Чтобы получить эту форму, решите данное уравнение относительно y. Пример 11 Найдите наклон и точку пересечения оси Y для 2x — y = 7. Решение Поместив уравнение в форму пересечения наклона, мы получим По завершении этого раздела вы сможете построить график линейных неравенств. В главе 4 мы построили линейные графики неравенств, например Это были неравенства с участием только одной переменной. Мы обнаружили, что во всех таких случаях график представлял собой некоторую часть числовой прямой. Поскольку уравнение с двумя переменными дает график на плоскости, кажется разумным предположить, что неравенство с двумя переменными будет отображаться как некоторая часть или область плоскости. На самом деле это так. Решение неравенства x + y Пример 1 Каждая из следующих пар чисел в наборе решений x + y Решение Ниже приведен график прямой x + y = 5. Точки из примера 1 указаны на графике с ответами на вопрос «Является ли x + y Обратите внимание, что все ответы «да» лежат на одной стороне линии x + y = 5, а все ответы «нет» лежат на другой стороне линии или на самой строке. График прямой x + y = 5 делит плоскость на три части: саму линию и две стороны линий (называемые полуплоскостями). х + у
х + у Если одна точка полуплоскости находится в наборе решений линейного неравенства, то все точки в этой полуплоскости входят в набор решений.Это дает нам удобный метод построения графиков линейных неравенств. Построение графика линейного неравенства Пример 2 Нарисуйте график 2x 4- 3y> 7. Решение Шаг 1. Сначала нарисуйте график линии 2x + 3y = 7, используя таблицу значений или форму пересечения наклона. Шаг 2: Затем выберите точку, которая не находится на прямой 2x + 3y = 7. [Если линия не проходит через начало координат, то точка (0,0) всегда является хорошим выбором.] Теперь обратимся к неравенство 2x + 3y>> 7, чтобы увидеть, находится ли выбранная точка в наборе решений. Шаг 3: Точка (0,0) не входит в набор решений, поэтому полуплоскость, содержащая (0,0), не является набором решений. Следовательно, другая полуплоскость, определяемая линией 2x + 3y = 7, является множеством решений. Пример 3 Изобразите график решения линейного неравенства 2x — y ≥ 4. Решение Шаг 1. Первый график 2x — y = 4. Поскольку линейный график для 2x — y = 4 не проходит через начало координат (0,0), проверьте эту точку в линейном неравенстве. Шаг 2: Шаг 3: Поскольку точка (0,0) не входит в набор решений, полуплоскость, содержащая (0,0), отсутствует в наборе. Следовательно, решение — другая полуплоскость. Обратите внимание, однако, что строка 2x — y = 4 включена в набор решений. Поэтому нарисуйте сплошную линию, чтобы показать, что это часть графика. Пример 4 График x Решение Первый график x = y. Затем проверьте точку не на линии. Обратите внимание, что график линии содержит точку (0,0), поэтому мы не можем использовать ее в качестве контрольной точки. Чтобы определить, какая полуплоскость является набором решений, используйте любую точку, которая явно не находится на прямой x = y. Точка (- 2,3) является такой точкой. Используя эту информацию, график x По завершении этого раздела вы сможете: Пример 1 Пара уравнений называется системой линейных уравнений. Мы заметили, что каждое из этих уравнений имеет бесконечно много решений, и каждое из них будет образовывать прямую линию, когда мы построим его в декартовой системе координат. Теперь мы хотим найти решения для системы. Другими словами, нам нужны все точки (x, y), которые будут на графике обоих уравнений. Решение Мы рассуждаем следующим образом: если все решения 2x — y = 2 лежат на одной прямой, а все решения x + 2y = 11 лежат на другой прямой, то решение обоих уравнений будет их точками пересечение (если две прямые пересекаются). Обратите внимание, что точка пересечения выглядит как (3,4). Теперь мы должны проверить точку (3,4) в обоих уравнениях, чтобы убедиться, что это решение системы. Следовательно, (3,4) является решением системы. Не все пары уравнений дают единственное решение, как в этом примере. На самом деле существует три возможности, и вы должны знать о них. Поскольку мы имеем дело с уравнениями, которые представляют собой прямые линии, мы можем исследовать эти возможности, наблюдая за графиками. 1. Независимые уравнения Две прямые пересекаются в одной точке. В этом случае есть единственное решение. 2. Несогласованные уравнения Две линии параллельны. В этом случае решения нет. 3. Зависимые уравнения Два уравнения дают одну и ту же линию. В этом случае любое решение одного уравнения является решением другого. На более поздних курсах алгебры будут изучены методы распознавания несовместных и зависимых уравнений. Однако на этом уровне мы будем иметь дело только с независимыми уравнениями. Тогда вы можете ожидать, что для всех проблем, приведенных в этой главе, будут найдены уникальные решения. Решение системы двух линейных уравнений путем построения графика Поскольку (3,2) проверяет оба уравнения, это решение системы. По завершении этого раздела вы сможете: Более поздние занятия по математике будут включать тему линейного программирования. Несмотря на то, что сама тема выходит за рамки этого текста, одна техника, используемая в линейном программировании, вполне доступна вам — построение графиков систем линейных неравенств — и мы обсудим это здесь. В предыдущем разделе вы обнаружили, что решение системы линейных уравнений — это пересечение решений каждого из уравнений.Таким же образом решение системы линейных неравенств представляет собой пересечение полуплоскостей (и, возможно, прямых), которые являются решениями каждого отдельного линейного неравенства. Другими словами, x + y> 5 имеет множество решений и 2x — y имеет в качестве своего решения область плоскости, которая находится в наборе решений обоих неравенств. Для построения графика решения этой системы мы наносим на график каждое линейное неравенство на одном и том же наборе координатных осей и указываем пересечение двух наборов решений. Проверка точки (0,0) в неравенстве x + y> 5 показывает, что точка (0,0) не входит в набор ее решений. Мы указываем набор решений x + y> 5 экраном справа от пунктирной линии. Проверка точки (0,0) в неравенстве 2x — y Пересечение двух наборов решений — это та область плоскости, в которой пересекаются два экрана. Этот регион показан на графике. Результаты показывают, что все точки в заштрихованной части графика будут в наборах решений x + y> 5 и 2x — y. По завершении этого раздела вы должны уметь решать систему двух линейных уравнений методом подстановки. В разделе 6-5 мы решили систему двух уравнений с двумя неизвестными с помощью построения графиков. Графический метод очень полезен, но он был бы непрактичным, если бы решения были дробными. Фактическую точку пересечения может быть очень сложно определить. Пример 1 Решить методом подстановки: Решение По завершении этого раздела вы должны уметь решать систему двух линейных уравнений методом сложения. Метод сложения для решения системы линейных уравнений основан на двух фактах, которые мы использовали ранее. Во-первых, мы знаем, что решения уравнения не меняются, если каждый член этого уравнения умножается на ненулевое число. Во-вторых, мы знаем, что если мы добавим одинаковые или равные количества к обеим сторонам уравнения, результаты все равно будут одинаковыми. Пример 1 Решить сложением: Решение Пример 2 Решить сложением: Решение По завершении этого раздела вы сможете: Уравнения в предыдущих разделах не содержали дробей, как неизвестные в левой части уравнения, так и неизвестные в том же порядке. Пример 1 Измените 3x = 5 + 4y на стандартную форму. Решение 3x = 5 + 4y не в стандартной форме, потому что одно неизвестное находится справа. Если мы добавим -4y к обеим сторонам, мы получим 3x — 4y = 5, что в стандартной форме. Теперь прибавьте — 24x к обеим сторонам, получив — 24x + 9y = -10, что в стандартной форме.Обычно уравнения пишутся так, что первый член положительный. Таким образом, мы умножаем каждый член этого уравнения на (- 1). По завершении этого раздела вы сможете: Многие проблемы со словами можно обрисовать и решить, используя два неизвестных. Пример 1 Сумма двух чисел равна 5. Трижды первое число, добавленное к пяти умноженным на второе число, равно 9. Найдите числа. Решение Пусть x = первое число Пример 2 Два работника получают в общей сложности 136 долларов за 8-часовую работу. Если одному работнику платят на 1 доллар в час больше, чем другому, найдите почасовую ставку для каждого. Решение Пусть x = почасовая ставка одного работника Методы решения систем линейных неравенств отличаются от методов решения линейных уравнений, потому что знаки неравенства не позволяют нам выполнять замену, как мы это делаем с уравнениями. Тем не менее, мы все еще можем решить эти проблемы. Ключевые термины o Система линейных неравенств o Линейная оптимизация o Линейное программирование Цели o Научиться решать задачи, связанные с системами линейных неравенств o Понять базовый подход к решению задач линейной оптимизации. Системы линейных неравенств Система линейных неравенств включает несколько выражений, решение которых может дать ряд решений. Многие концепции, которые мы усвоили при изучении систем линейных уравнений, можно преобразовать в решение системы линейных неравенств, но этот процесс может быть несколько сложным. Возможно, наиболее наглядный способ одновременного решения набора линейных неравенств — использование графиков.Давайте сразу рассмотрим пример в двух измерениях. 2 x — 5 y ≤ 3 y -3 9 1015 x ≤ 1 Из-за неравенства мы не можем использовать подстановку так же, как мы это делали с системами линейных уравнений. Посмотрим на графики этих неравенств. Во-первых, мы упрощаемся до формы, которую легко построить графически. 2 x — 5 y ≤ 3 y — 3 9 1015 x ≤ 1 2 x ≤ 3 + 5 y y ≤ 3 9 1015 x + 1 5 y ≥ 2 9 1015 x — 3 y ≥ 0.4 х — 0,6 Теперь построим график этих неравенств. На графике видно, что есть две заштрихованные области, соответствующие решениям каждого неравенства. Линии закрашены, потому что неравенства не строгие (используются ≥ и ≤). Решением системы неравенств является более темная заштрихованная область, которая представляет собой перекрытие двух отдельных областей, и части линий (лучей), которые граничат с этой областью.Символически мы, пожалуй, лучше всего можем выразить решение в этом случае как 0,4 x — 0,6 ≤ y ≤ 3 9 1015 x + 1 Решение систем неравенств в трех или более измерениях возможно, но это намного сложнее — построить графики твердых областей, которые составляют решения, также сложнее. Практическая задача: Найдите и изобразите на графике множество решений следующей системы неравенств: x — 5 y ≥ 6 3 x + 2 y > 1 Решение : Во-первых, давайте решим выражения для y . x — 5 y ≥ 6 3 9 1015 x + 2 y > 1 x ≥ 6 + 5 y 2 y > 1-3 9 1015 x 5 y ≤ x — 6 9 1015 y > 0,5 — 1,5 9 1015 x y ≤ 0,2 9 1015 x — 1,2 Тогда мы можем выразить решение этой системы неравенств следующим образом: 0.5 — 1,5 x < y ≤ 0,2 x — 1,2 Построим график набора решений. Сначала мы нанесем на график линии, соответствующие двум отдельным неравенствам (и выберем сплошную линию для первого и ломаную для второго), а затем соответствующим образом закрасим две области. Решение — это более темная заштрихованная область (которая является перекрытием двух отдельных областей решения), но давайте изобразим ее отдельно, чтобы было немного яснее. Линейная оптимизация Мы можем применить то, что мы узнали выше, к линейной оптимизации (также называемой линейным программированием ), которая представляет собой процесс нахождения максимального или минимального значения для некоторой функции при определенных условиях (например, линейных неравенствах). Решение задач, связанных с линейной оптимизацией, не требует от вас приобретения каких-либо новых навыков; они просто требуют, чтобы вы применяли то, что уже знаете.Итак, перейдем к практической задаче. Практическая задача: Найдите максимальное значение y при –3 x + 2 y ≤ 4 и x + y ≤ 1 при условии, что x ≥ 0. Решение: Нам дана система неравенств, для которой мы должны сначала найти соответствующее множество решений. В этом наборе решений мы можем найти максимальное значение y .Итак, мы можем сначала применить то, что мы уже знаем: давайте перестроим неравенства в форму, которую мы можем легко изобразить. –3 x + 2 y ≤ 4 x + y ≤ 1 x ≥ 0 2 y ≤ 3 9 1015 x + 4 y ≤ 1 — 9 1015 x y ≤ 1,5 9 1015 x + 2 Теперь давайте изобразим каждое из этих неравенств, отмечая, что мы должны использовать сплошные линии в каждом случае. Самая темная заштрихованная область (клин в правом нижнем углу графика) удовлетворяет всем ограничениям задачи. Затем мы хотим найти максимальное значение y , которое явно равно 1. (Мы также можем найти это значение, подставив x = 0 в x + y ≤ 1 и найдя максимальное значение y. , что также явно 1.) Сложное неравенство — это предложение с двумя утверждениями неравенства, соединенными словом «или» или словом «и».«И» означает, что оба утверждения составного предложения верны одновременно. Это перекрытие или пересечение наборов решений для отдельных утверждений. «Или» указывает на то, что до тех пор, пока истинно любое из утверждений, истинно все составное предложение. Это комбинация или объединение наборов решений для отдельных операторов. Сложное неравенство, в котором используется слово «и», известно как соединение . Хотя «и» и «или» являются частями речи, известными как союзы, математический союз имеет значение, отличное от грамматического.Чтобы доказать эту точку зрения, союз (часть речи) «или» — при использовании в составном неравенстве — образует так называемую дизъюнкцию . Просто помните, что «con» означает «с другим», а «dis» — «одно ИЛИ другое». Решите для x : 3 x + 2 <14 и 2 x — 5> –11. Решите каждое неравенство отдельно. Поскольку соединяющим словом является «и», это указывает на то, что перекрытие или пересечение является желаемым результатом. x <4 указывает все числа слева от 4, а x > –3 указывает все числа справа от –3. На пересечении этих двух графиков представлены все числа от –3 до 4. Набор решений: { x | x > –3 и x <4} Другой способ выразить этот набор решений — { x | –3 < x <4} Когда сложное неравенство написано без выраженных слов «и» или «или», оно автоматически понимается как слово «и.»При чтении { x | –3 < x <4} из позиции« x »вы говорите (чтение слева):« x больше, чем –3 и (чтение справа) x меньше 4. » График набора решений показан на рисунке 1. Рис. 1. x больше –3 и меньше 4. Решите для x : 2 x + 7 <–11 или –3 x — 2 <13. Решите каждое неравенство отдельно. Поскольку присоединяющееся слово — «или», объедините ответы; то есть найти объединение множеств решений каждого предложения неравенства. Не забудьте, как и в последнем шаге справа, переключить неравенство при умножении на отрицательное. x <–9 указывает все числа слева от –9, а x > –5 указывает все числа справа от –5. Набор решений записывается как { x | x <–9 или x > –5} График этого набора решений показан на рисунке 2. Рис. 2. x меньше –9 или больше –5. Решите для x : –12 ≤ 2 x + 6 ≤ 8. Поскольку это сложное неравенство не имеет связующего слова, оно понимается как «и». Это переведено в следующее сложное предложение. –9 ≤ x указывает все числа справа от –9 включительно, а x ≤ 1 указывает все числа слева от 1 включительно.На пересечении этих графиков находятся числа от –9 до 1, включая –9 и 1. Набор решений можно записать как { x | x ≥ –9 и x ≤ 1} или { x | –9 ≤ x ≤ 1} График набора решений показан на рисунке 3. Рисунок 3. Точки указывают на включение точек. Решите для x : 3 x — 2> –8 или 2 x + 1 <9. x > –2 обозначает все числа справа от –2, а x <4 обозначает все числа слева от 4. Объединение этих графиков представляет собой целую числовую линию. То есть набор решений - это все действительные числа. График набора решений представляет собой всю числовую линию (см. Рисунок 4). Рис. 4. Стрелки указывают на бесконечность. Решите для x : 4 x — 2 <10 и 3 x + 1> 22. x <3 обозначает все числа слева от 3, а x > 7 обозначает все числа справа от 7. Пересечение этих графиков не содержит чисел. То есть набор решений — это пустой набор,. Способ изобразить пустой набор состоит в том, чтобы нарисовать числовую линию, но не затемнить ни одну из ее частей. График пустого множества показан на рисунке 5. Рисунок 5. Пустой набор. Линейное неравенство Линейные выражения, связанные с символами ≤, <, ≥ и>.является математическим утверждением, которое связывает линейное выражение как меньшее или большее, чем другое. Ниже приведены некоторые примеры линейных неравенств, все из которых решаются в этом разделе: 5x + 7 <22 -2 (х + 8) + 6≥20 −2 (4x − 5) <9−2 (x − 2) Решение линейного неравенства Действительное число, которое дает истинное утверждение, когда его значение подставляется вместо переменной.- это действительное число, которое при замене переменной дает истинное утверждение. Линейные неравенства либо имеют бесконечно много решений, либо не имеют решения. Если существует бесконечно много решений, изобразите набор решений на числовой прямой и / или выразите решение, используя обозначение интервалов. Являются ли x = −4 и x = 6 решениями 5x + 7 <22? Решение: Замените значения на x , упростите и проверьте, получаем ли мы истинное утверждение. Чек x = −4 Чек x = 6 5 (−4) +7 <22−20 + 7 <22−13 <22 ✓ 5 (6) +7 <2230 + 7 <2237 <22 ✗ Ответ: x = −4 — решение, а x = 6 — нет. Все методы решения линейных уравнений, кроме одного, применимы к решению линейных неравенств. Вы можете прибавить или вычесть любое действительное число к обеим сторонам неравенства, и вы можете умножить или разделить обе стороны на любое положительное действительное число , чтобы создать эквивалентные неравенства. Например: 10> −510−7> −5−7 Вычтем 7 с обеих сторон 3> −12 ✓ Верно 10> −5105> −55 Разделите обе части на 5.2> −1 ✓ИСТИННО Вычитание 7 с каждой стороны и деление каждой стороны на положительные 5 дает истинное неравенство. Решите и изобразите набор решений: 5x + 7 <22. Решение: 5x + 7 <225x + 7−7 <22−75x <155x5 <155x <3 Полезно потратить минуту и выбрать несколько значений из набора решений, подставить их в исходное неравенство, а затем проверить результаты.Как указано, вы должны ожидать, что x = 0 решит исходное неравенство, а x = 5 — нет. Чек x = 0 Чек x = 5 5 (0) +7 <227 <22 ✓ 5 (5) +7 <2225 + 7 <2232 <22 ✗ Проверка таким образом дает нам хороший признак того, что мы правильно решили неравенство. Мы можем выразить это решение двумя способами: используя обозначение множества и обозначение интервалов. {x | x <3} Установить обозначение (−∞, 3) Интервальное обозначение В этом тексте мы выберем ответы, используя интервальную нотацию. Ответ: (−∞, 3) При работе с линейными неравенствами применяется другое правило при умножении или делении на отрицательное число. Чтобы проиллюстрировать проблему, рассмотрим истинное утверждение 10> −5 и разделим обе части на −5. 10> −510−5> −5−5 Разделим обе части на −5. −2> 1 ✗ False Деление на −5 дает ложное утверждение. Чтобы утверждение оставалось верным, неравенство должно быть отменено. 10> −510−5 <−5−5 Обратить неравенство −2 <1 ✓Истинно Та же проблема возникает при умножении на отрицательное число. Это приводит к следующему новому правилу: при умножении или делении на отрицательное число отменяет неравенство .Об этом легко забыть, поэтому внимательно следите за отрицательными коэффициентами. В общем, для заданных алгебраических выражений A и B , где c — положительное ненулевое действительное число, мы имеем следующие свойства неравенств Свойства, используемые для получения эквивалентных неравенств и используемые как средство их решения: Дополнительное свойство неравенств: Если A Свойство вычитания неравенств: Если A Умножение неравенств: Если A Если A Свойство разделения неравенств: Если A Если A Мы используем эти свойства для получения эквивалентных неравенств, которые имеют один и тот же набор решений., один с тем же набором решений, где переменная изолирована. Процесс аналогичен решению линейных уравнений. Найдите и изобразите множество решений: −2 (x + 8) + 6≥20. Решение: −2 (x + 8) + 6≥20 Распределить. −2x − 16 + 6≥20 Объединить похожие члены. −2x − 10≥20 Решить относительно x. − 2x≥30 Разделить обе части на −2. − 2x− 2≤30−2 Обратить неравенство.х≤ − 15 Ответ: Обозначение интервалов (−∞, −15] Решите и изобразите набор решений: −2 (4x − 5) <9−2 (x − 2). Решение: −2 (4x − 5) <9−2 (x − 2) −8x + 10 <9−2x + 4−8x + 10 <13−2x − 6x <3−6x−6> 3−6 Обратить неравенство .x> −12 Ответ: Обозначение интервалов (−12, ∞) Решите и изобразите набор решений: 12x − 2≥12 (74x − 9) +1. Решение: 12x − 2≥12 (74x − 9) +1 12x − 2≥78x − 92 + 1 12x − 78x≥ − 72 + 2−38x≥ − 32 (−83) (- 38x) ≤ (−83) (- 32) Обратить неравенство. х≤4 Ответ: Обозначение интервала: (−∞, 4] Попробуй! Решите и изобразите набор решений: 10−5 (2x + 3) ≤25. Ответ: [−3, ∞); Ниже приведены некоторые примеры сложных линейных неравенств: −13 <3x − 7 <17 4x + 5≤ − 15 или 6x − 11> 7 Эти сложные неравенства Два или более неравенства в одном утверждении, соединенные словом «и» или словом «или».”На самом деле представляют собой два неравенства в одном утверждении, к которым присоединяются слова и или слова или . Например,
−13 <3x − 7 <17
является составным неравенством, потому что его можно разложить следующим образом:
−13 <3x − 7 и 3x − 7 <17 Мы можем решить каждое неравенство индивидуально; пересечение двух множеств решений решает исходное составное неравенство. Хотя этот метод работает, есть еще один метод, который обычно требует меньше действий. Примените свойства этого раздела ко всем трем частям составного неравенства с целью изолировать переменную в середине оператора, чтобы определить границы набора решений. Решите и изобразите набор решений: −13 <3x − 7 <17. Решение: −13 <3x − 7 <17−13 +7 <3x − 7 +7 <17 + 7−6 <3x <24−63 <3x3 <243−2 Ответ: Обозначение интервала: (−2,8) Решите и изобразите набор решений: 56≤13 (12x + 4) <2. Решение: 56≤13 (12x + 4) <256≤16x + 43 <26⋅ (56) ≤6⋅ (16x + 43) <6⋅ (2) 5≤x + 8 <125−8≤x + 8−8 <12-8-3≤x <4 Ответ: Обозначение интервалов [−3,4) Важно отметить, что при умножении или делении всех трех частей составного неравенства на отрицательное число необходимо обратить все неравенства в утверждении.Например:
−10 <−2x <20−10−2> −2x − 2> 20−25> x> −10
Вышеупомянутый ответ может быть записан в эквивалентной форме, где меньшие числа лежат слева, а большие числа — справа, поскольку они появляются на числовой строке.
-10 <х <5
Используя обозначение интервалов, напишите: (-10, 5). Попробуй! Решите и изобразите набор решений: −3≤ − 3 (2x − 3) <15. Ответ: (−1,2]; Для составных неравенств со словом « или » вы обрабатываете оба неравенства по отдельности, а затем рассматриваете объединение множеств решений.Ценности в этом союзе решают любое неравенство. Решите и изобразите набор решений: 4x + 5≤ − 15 или 6x − 11> 7. Решение: Решите каждое неравенство и сформируйте объединение, объединив наборы решений. 4x + 5≤ − 154x≤ − 20x≤ − 5 или 6x − 11> 76x> 18x> 3 Ответ: Обозначение интервалов (−∞, −5] ∪ (3, ∞) Попробуй! Решите и изобразите набор решений: 5 (x − 3) <- 20 или 2 (5−3x) <1. Ответ: (−∞, −1) ∪ (32, ∞); Некоторые ключевые слова и фразы, указывающие на неравенство, кратко изложены ниже: Ключевые фразы Перевод Число не менее 5. x≥5 Число 5 или более включительно . Число не более 3. х≤3 Число не более 3 , включая . Число строго меньше 4. х <4 Число меньше 4, неисключительно . Число больше 7. x> 7 Число больше, чем 7, неисключительно . Число между 2 и 10. 2 Число не менее 5 и не более 15. 5≤x≤15 Число может быть в диапазоне от 5 до 15. Как и все приложения, внимательно прочтите проблему несколько раз и поищите ключевые слова и фразы.Определите неизвестные и назначьте переменные. Далее переведем формулировку в математическое неравенство. Наконец, используйте изученные свойства, чтобы решить неравенство и выразить решение графически или в интервальной нотации. Семь меньше трехкратной суммы числа, а 5 не больше 11. Найдите все числа, удовлетворяющие этому условию. Решение: Сначала выберите переменную для неизвестного числа и определите ключевые слова и фразы. Пусть n представляет неизвестное, обозначенное « числом ». Решите относительно n . 3 (n + 5) −7≤113n + 15−7≤113n + 8≤113n≤3n≤1 Ответ: Любое число, меньшее или равное 1, удовлетворяет утверждению. Чтобы получить четверку по курсу математики, средний балл теста должен составлять от 80% до 90%.Если учащийся набрал 92%, 96%, 79% и 83% на первых четырех тестах, какой балл он должен набрать на пятом тесте, чтобы получить четверку? Решение: Установите составное неравенство, при котором среднее значение теста составляет от 80% до 90%. В этом случае укажите нижнюю границу, 80. Пусть x представляет результат пятого теста. 80≤тестовое среднее <9080≤92 + 96 + 79 + 83 + x5 <905⋅80≤5⋅350 + x5 <5⋅ Ответ: Она должна набрать не менее 50% и менее 100%. В предыдущем примере верхняя граница 100% не входила в набор решений. Что бы произошло, если бы она заработала 100% на пятом тесте? в среднем = 92 + 96 + 79 + 83 + 1005 = 4505 = 90 Как мы видим, ее средний балл составит 90%, что принесет ей A. Определите, является ли данное значение решением. −3x + 1> −10; х = 1 −6y + 1≤3; у = -1 12a + 3≤ − 2; а = −13 25a − 2≤ − 22; а = -45 −10 <2x − 5 <−5; х = −12 3x + 8 <−2 или 4x − 2> 5; х = 2 Изобразите все решения на числовой прямой и укажите соответствующие интервалы. 25 + 16 (2х − 3) ≥115 3 (2x − 1) −10> 4 (3x − 2) −5x −2 (5t − 3) −4> 5 (−2t + 3) −7 (3t − 4)> 2 (3−10t) −t 12 (х + 5) −13 (2x + 3)> 76x + 32 −13 (2x − 3) +14 (x − 6) ≥112x − 34 1−4 (3x + 7) <- 3 (x + 9) −9x 6−3 (2a − 1) ≤4 (3 − a) +1 12−5 (2a + 6) ≥2 (5−4a) −a Изобразите все решения на числовой прямой и укажите соответствующие интервалы. −13≤16a + 13≤12 -16 <13a + 56 <32 5x + 2 <−3 или 7x − 6> 15 4x + 15≤ − 1 или 3x − 8≥ − 11 8x − 3≤1 или 6x − 7≥8 6x + 1 <−3 или 9x − 20> −5 8x − 7 <1 или 4x + 11> 3 10x − 21 <9 или 7x + 9≥30 7 + 2y <5 или 20−3y> 5 5 − y <5 или 7−8y≤23 15 + 2x <−15 или 10−3x> 40 10−13x≤5 или 5−12x≤15 9−2x≤15 и 5x − 3≤7 5−4x> 1 и 15 + 2x≥5 7y − 18 <17 и 2y − 15 <25 13 лет + 20 ≥ 7 и 8 + 15 лет> 8 5−4x≤9 и 3x + 13≤1 17−5x≥7 и 4x − 7> 1 9лет + 20≤2 и 7лет + 15≥1 21−6y≤3 и −7 + 2y≤ − 1 −40 <2 (x + 5) - (5 − x) ≤ − 10 −60≤5 (x − 4) −2 (x + 5) ≤15 -12 <130 (х-10) <13 −15≤115 (х − 7) ≤13 −1≤a + 2 (а − 2) 5≤0 0 <5 + 2 (а - 1) 6 <2 Найдите все числа, удовлетворяющие заданному условию. Три меньше, чем два раза больше суммы числа, и 6 не больше 13. Пять меньше трехкратной суммы числа, а четыре не более 10. Пятикратная сумма числа, и 3 равно не менее 5. Трехкратная разница между числом и 2 составляет не менее 12. Сумма троекратного числа и 8 составляет от 2 до 20. Восемь меньше двойного числа от -20 до -8. Четыре, вычтенные из троекратного некоторого числа, составляет от −4 до 14. Девять, вычтенная из 5 умноженного на некоторое число, составляет от 1 до 11. Задайте алгебраическое неравенство и решите. При членстве в гольф-клубе стоимостью 120 долларов в месяц каждый раунд игры в гольф стоит всего 35 долларов. Сколько раундов в гольф может сыграть участник, если он желает сохранить свои расходы не более 270 долларов в месяц? Аренда грузовика стоит 95 долларов в день плюс 0,65 доллара за милю. Сколько миль можно проехать за однодневную аренду, чтобы расходы не превышали 120 долларов? Марк получил 6, 7 и 10 баллов из 10 в первых трех тестах.Что он должен набрать в четвертой викторине, чтобы получить в среднем не менее 8 баллов? Джо набрал 78, 82, 88 и 70 баллов на первых четырех экзаменах по алгебре. Что он должен набрать на пятом экзамене, чтобы в среднем не менее 80? Гимнастка набрала 13 очков.2, 13,0, 14,3, 13,8 и 14,6 на первых пяти соревнованиях. Что он должен набрать в шестом соревновании, чтобы получить в среднем не менее 14,0? Танцор получил 7,5 и 8,2 балла от первых двух судей. Какая должна быть ее оценка от третьего судьи, как если бы она была 8,4 или выше? Если дважды угол составляет от 180 до 270 градусов, то каковы границы исходного угла? Периметр квадрата должен составлять от 120 до 460 дюймов.Найдите длины всех возможных сторон, удовлетворяющих этому условию. Компьютер отключается, если температура превышает 45 ° C. Приведите эквивалентное утверждение в градусах Фаренгейта. Подсказка: C = 59 (F − 32). Определенный антифриз эффективен в диапазоне температур от –35 ° C до 120 ° C.Найдите эквивалентный диапазон в градусах Фаренгейта. Часто студенты обращают неравенство, решая 5x + 2 <−18? Как вы думаете, почему это частая ошибка? Объясните начинающему изучающему алгебру, почему мы этого не делаем. Выполните поиск в Интернете по запросу «решение линейных неравенств.”Поделитесь ссылкой на веб-сайт или видеоуроком, который, по вашему мнению, будет вам полезен. Напишите 5 ключевых выводов для всей этой главы. Что вы нашли в обзоре и что нового? Поделитесь своими мыслями на доске обсуждений. (−3, ∞); (1, ∞); [0, ∞); (-∞, 3]; [−2, ∞); (-∞, -5); [-8, ∞); [5, ∞); (-∞, 7); (-1, ∞); (3, ∞); (-∞, -32]; Ø; (-∞, 0); ℝ; [−2, ∞); (-1,4); [0,4]; (-5,5]; (-4,3]; [-4,1]; (−∞, −1) ∪ (3, ∞); (−∞, 12] ∪ [52, ∞); ℝ; (-∞, 5); (-∞, -10); [−3,2]; (-∞, 5); Ø; -2; (-12,32); [-1,3); (-8, -4); (-15, -5]; (-5,20); [-13, 43]; Участники могут сыграть 4 раунда или меньше. Марк должен набрать не менее 9 баллов в четвертой викторине. Он должен набрать 15,1 балла в шестом соревновании. Угол между 90 и 135 градусами. Компьютер выключится, когда температура превысит 113 ° F. К концу этого раздела вы сможете: Будьте готовы 2.13 Прежде чем начать, пройдите тест на готовность. Перевести с алгебры на английский: 15> x.15> х. Будьте готовы 2.14 Переведите в алгебраическое выражение: 15 меньше x . Какое число сделало бы неравенство x> 3x> 3 истинным? Вы думаете: « x может быть четыре»? Это правильно, но x тоже может быть 6, 37 или даже 3,001. Любое число больше трех является решением неравенства x> 3.х> 3. Мы показываем все решения неравенства x> 3x> 3 на числовой прямой, закрашивая все числа справа от трех, чтобы показать, что все числа больше трех являются решениями. Поскольку число три само по себе не является решением, мы заключили тройку в открывающую скобку. Мы также можем представить неравенства, используя обозначение интервала . У решения этого неравенства нет верхнего предела. В обозначениях интервалов мы выразим x> 3x> 3 как (3, ∞). (3, ∞).Символ ∞∞ читается как « бесконечность ». Это не настоящее число. На рис. 2.2 показаны числовая линия и интервал. Мы используем символ левой круглой скобки (, чтобы показать, что конечная точка неравенства не включена. Символ левой скобки, [, показывает, что конечная точка включена. Неравенство x≤1x≤1 означает, что все числа меньше или равны единице.Здесь нам нужно показать, что это тоже решение. Мы делаем это, помещая скобку в x = 1.x = 1. Затем мы закрашиваем все числа слева от единицы, чтобы показать, что все числа меньше единицы являются решениями. См. Рисунок 2.3. У этих чисел нет нижнего предела. Мы пишем x≤1x≤1 в обозначении интервалов как (−∞, 1]. (- ∞, 1]. Символ −∞ − ∞ читается как «отрицательная бесконечность». На рисунке 2.3 показаны как числовая строка, так и обозначение интервала. В обозначениях неравенств на числовой прямой и в обозначениях интервалов используются одни и те же символы для обозначения конечных точек интервалов. Отобразите каждое неравенство в числовой строке и запишите в интервальной нотации. ⓐ x≥ − 3x≥ − 3 ⓑ x <2,5x <2,5 ⓒ x≤ − 35x≤ − 35 Попробуйте 2.95 Отобразите каждое неравенство на числовой прямой и запишите в интервальной записи: ⓐ x> 2x> 2 ⓑ x≤ − 1.5x≤ − 1,5 ⓒ x≥34.x≥34. Попробуйте 2.96 Изобразите каждое неравенство на числовой прямой и запишите в интервальной записи: ⓐ x≤ − 4x≤ − 4 ⓑ x≥0,5x≥0,5 ⓒ x <−23.x <−23. Какие числа больше двух, но меньше пяти? Вы думаете, скажем, 2,5,3,323,4,4,99? 2,5,3,323,4,4,99? Мы можем представить все числа от двух до пяти с помощью неравенства 2 Рисунок 2.4 Отобразите каждое неравенство в числовой строке и запишите в интервальной нотации. ⓐ −3 Попробуйте 2.97 Отобразите каждое неравенство в числовой строке и запишите в интервале обозначений: ⓐ −2 Попробуйте 2.98 Отобразите каждое неравенство в числовой строке и запишите в интервале обозначений: ⓐ −6 Линейное неравенство во многом похоже на линейное уравнение, но знак равенства заменен знаком неравенства. Линейное неравенство — это неравенство с одной переменной, которое может быть записано в одной из форм: ax + b Линейное неравенство — это неравенство в одной переменной, которое может быть записано в одной из следующих форм, где a , b и c — действительные числа, а a ≠ 0a ≠ 0: Когда мы решали линейные уравнения, мы могли использовать свойства равенства, чтобы складывать, вычитать, умножать или делить обе части и при этом сохранять равенство. Аналогичные свойства верны и для неравенств. Мы можем прибавить или вычесть одну и ту же величину из обеих частей неравенства и при этом сохранить неравенство. Например: Обратите внимание, что знак неравенства остался прежним. Это приводит нас к свойствам сложения и вычитания неравенства. Для любых чисел a , b и c, , если a Мы можем прибавить или вычесть одну и ту же величину из обеих частей неравенства и при этом сохранить неравенство. Что происходит с неравенством, когда мы делим или умножаем обе части на константу? Давайте сначала умножим и разделим обе части на положительное число. Признаки неравенства остались прежними. Неравенство сохраняется, когда мы делим или умножаем на отрицательное число? Обратите внимание, что когда мы заполняли знаки неравенства, знаки неравенства меняли свое направление. Когда мы делим или умножаем неравенство на положительное число, знак неравенства остается прежним.Когда мы делим или умножаем неравенство на отрицательное число, знак неравенства меняется на противоположный. Это дает нам свойство неравенства умножения и деления. Для любых номеров a , b и c , Иногда при решении неравенства, как в следующем примере, переменная заканчивается справа.Мы можем переписать неравенство в обратном порядке, чтобы переменная оказалась слева. Решите каждое неравенство. Постройте решение на числовой прямой и запишите решение в виде интервалов. ⓐ x − 38≤34x − 38≤34 ⓑ 9y <549y <54 ⓒ −15 <35z − 15 <35z Попробуйте 2.99 Решите каждое неравенство, нанесите решение на числовой прямой и запишите решение в интервальной записи: ⓐ p − 34≥16p − 34≥16 ⓑ 9c> 729c> 72 ⓒ 24≤38m24≤38m Попробуй 2.100 Решите каждое неравенство, нанесите решение на числовой прямой и запишите решение в интервальной записи: ⓐ r − 13≤712r − 13≤712 ⓑ 12d≤ 6012d≤ 60 ⓒ −24 <43n − 24 <43n Будьте осторожны при умножении или делении на отрицательное число — не забудьте перевернуть знак неравенства. Решите каждое неравенство, нанесите решение на числовой прямой и запишите решение в интервальной записи. ⓐ −13m≥65−13m≥65 ⓑ n − 2≥8n − 2≥8 Попробуй 2.101 Решите каждое неравенство, нанесите решение на числовой прямой и запишите решение в интервальной записи: ⓐ −8q <32−8q <32 ⓑ k − 12≤15.k − 12≤15. Попробуйте 2.102 Решите каждое неравенство, нанесите решение на числовой прямой и запишите решение в интервальной записи: ⓐ −7r≤ −70−7r≤ −70 ⓑ u − 4≥ − 16.u − 4≥ − 16. Для устранения большинства неравенств потребуется более одного шага. Мы следуем тем же шагам, что и в общей стратегии решения линейных уравнений, но обязательно обращаем особое внимание при умножении или делении, чтобы изолировать переменную. Решите неравенство 6y≤11y + 17,6y≤11y + 17, обозначьте решение на числовой прямой и запишите решение в интервальной записи. Попробуйте 2.103 Решите неравенство, отобразите решение на числовой прямой и запишите решение в интервальной записи: 3q≥7q − 23.3q≥7q − 23. Попробуйте 2.104 Решите неравенство, отобразите решение на числовой прямой и запишите решение в интервальной записи: 6x <10x + 19.6x <10x + 19. При решении неравенств обычно проще всего собрать переменные на той стороне, где коэффициент переменной наибольший. Это исключает отрицательные коэффициенты, и нам не нужно умножать или делить на отрицательные значения, а это означает, что нам не нужно помнить о том, чтобы поменять местами знак неравенства. Решите неравенство 8p + 3 (p − 12)> 7p − 28,8p + 3 (p − 12)> 7p − 28, обозначьте решение на числовой прямой и запишите решение в интервальной записи. Попробуйте 2.105 Решите неравенство 9y + 2 (y + 6)> 5y − 249y + 2 (y + 6)> 5y − 24, нанесите решение на числовой прямой и запишите решение в интервальной записи. Попробуйте 2.106 Решите неравенство 6u + 8 (u − 1)> 10u + 326u + 8 (u − 1)> 10u + 32, нанесите решение на числовой прямой и запишите решение в интервальной записи. Подобно тому, как некоторые уравнения являются тождествами, а некоторые — противоречиями, неравенства могут быть тождествами или противоречиями. Мы узнаем эти формы, когда у нас остаются только константы при решении неравенства. Если результатом является истинное утверждение, у нас есть личность. Если результатом является ложное утверждение, мы приходим к противоречию. Решите неравенство 8x − 2 (5 − x) <4 (x + 9) + 6x, 8x − 2 (5 − x) <4 (x + 9) + 6x, нанесите решение на числовой прямой и запишите решение в интервальной записи. Попробуйте 2.107 Решите неравенство 4b − 3 (3 − b)> 5 (b − 6) + 2b4b − 3 (3 − b)> 5 (b − 6) + 2b, отобразите решение на числовой прямой и запишите решение. в интервальной записи. Попробуйте 2.108 Решите неравенство 9h − 7 (2 − h) <8 (h + 11) + 8h9h − 7 (2 − h) <8 (h + 11) + 8h, отобразите решение на числовой прямой и запишите решение. в интервальной записи. Мы можем очистить дроби в неравенствах так же, как и в уравнениях.Опять же, будьте осторожны со знаками при умножении или делении на минус. Решите неравенство 13a − 18a> 524a + 34,13a − 18a> 524a +34, обозначьте решение на числовой прямой и запишите решение в интервальной записи. Попробуйте 2.109 Решите неравенство 14x − 112x> 16x + 7814x − 112x> 16x + 78, обозначьте решение на числовой прямой и запишите решение в интервальной записи. Попробуйте 2.110 Решите неравенство 25z − 13z <115z −3525z − 13z <115z −35, нанесите решение на числовой прямой и запишите решение в интервальной записи. Чтобы перевести английские предложения в выражения неравенства, нам нужно распознавать фразы, указывающие на неравенство. Некоторые слова просты, например «больше чем» и «меньше чем». Но другие не так очевидны. В таблице 2.2 приведены некоторые общие фразы, указывающие на неравенство. Таблица 2.2 Переведите и решите. Затем изобразите решение на числовой прямой и запишите решение в интервальной записи. Попробуйте 2.111 Переведите и решите. Затем изобразите решение на числовой прямой и запишите решение в интервальной записи. Девятнадцать меньше p не меньше 47. Попробуйте 2.112 Переведите и решите.Затем изобразите решение на числовой прямой и запишите решение в интервальной записи. Четыре больше a не больше 15. Многие жизненные ситуации требуют от нас решения проблемы неравенства. Метод, который мы будем использовать для решения приложений с линейными неравенствами, очень похож на тот, который мы использовали при решении приложений с помощью уравнений. Мы прочитаем задачу и убедимся, что все слова понятны.Затем мы определим, что мы ищем, и назначим переменную для его представления. Мы сформулируем проблему в одном предложении, чтобы облегчить перевод в неравенство. Затем решим неравенство. Иногда приложение требует, чтобы решение было целым числом, но алгебраическое решение неравенства не является целым числом. В этом случае мы должны округлить алгебраическое решение до целого числа. Контекст приложения будет определять, округлять ли мы в большую или меньшую сторону. Dawn выиграла мини-грант в размере 4000 долларов на покупку планшетных компьютеров для своего класса. Планшеты, которые она хотела бы купить, стоят 254,12 доллара каждый, включая налоги и доставку. Какое максимальное количество планшетов может купить Dawn? Попробуйте 2.113 У Энджи есть 20 долларов, которые она может потратить на коробки из-под сока для дошкольного пикника своего сына. Каждая упаковка коробок для сока стоит 2,63 доллара. Какое максимальное количество пакетов она может купить? Попробуйте 2.114 Дэниел хочет удивить свою девушку днём рождения в её любимом ресторане. Ужин будет стоить 42,75 доллара на человека, включая чаевые и налог.Его бюджет на вечеринку составляет 500 долларов. Какое максимальное количество людей может присутствовать на вечеринке Дэниел? для Талейши стоит 28,80 доллара в месяц плюс 0,20 доллара за текстовое сообщение. Сколько текстовых сообщений она может отправлять / получать, при этом ежемесячный счет за телефонные разговоры не превышает 50 долларов? Попробуйте 2.115 У Серджио и Лизет очень ограниченный бюджет на отпуск. Они планируют арендовать автомобиль у компании, которая взимает 75 долларов в неделю плюс 0,25 доллара за милю. Сколько миль они могут проехать в течение недели, не выходя за рамки своего бюджета в 200 долларов? Попробуйте 2.116 Rameen составляет 5,42 доллара в месяц плюс 1,08 доллара за терм.Сколько термосов может использовать Рамин, если он хочет, чтобы его счет за отопление составлял не более 87,50 долларов. Прибыль — это деньги, которые остаются после вычета затрат из выручки. В следующем примере мы найдем количество работ, которые маленькая бизнес-леди должна выполнять каждый месяц, чтобы получать определенную прибыль. Фелисити занимается каллиграфией. Она берет 2,50 доллара за приглашение на свадьбу. Ее ежемесячные расходы составляют 650 долларов. Сколько приглашений она должна написать, чтобы получать прибыль не менее 2800 долларов в месяц? Попробуйте 2.117 У Калеба есть бизнес по присмотру за домашними животными. Он берет 32 доллара в час. Его ежемесячные расходы составляют 2272 доллара. Сколько часов он должен работать, чтобы получать прибыль не менее 800 долларов в месяц? Попробуйте 2.118 Elliot занимается обслуживанием ландшафтов.Его ежемесячные расходы составляют 1100 долларов. Если он берет 60 долларов за каждую работу, сколько работ он должен сделать, чтобы получать прибыль не менее 4000 долларов в месяц? Есть много ситуаций, когда несколько количеств вносят вклад в общие расходы. Когда мы решаем подобные проблемы, мы должны учитывать все индивидуальные расходы. Малик планирует шестидневную поездку на летние каникулы. У него есть сбережения в размере 840 долларов, и он зарабатывает 45 долларов в час за репетиторство. Поездка обойдется ему в 525 долларов на авиабилеты, 780 долларов на еду и осмотр достопримечательностей и 95 долларов за ночь в отеле.Сколько часов он должен заниматься репетитором, чтобы хватило денег на поездку? Попробуйте 2.119 У лучшей подруги Бренды свадьба по назначению, и мероприятие продлится три дня. У Бренды 500 долларов сбережений, и она может зарабатывать 15 долларов в час за присмотром за детьми. Она рассчитывает заплатить 350 долларов за авиабилеты, 375 долларов за еду и развлечения и 60 долларов за ночь за свою долю гостиничного номера. Сколько часов она должна сидеть с ребенком, чтобы иметь достаточно денег, чтобы оплатить поездку? Попробуйте 2.120 Хосуэ хочет отправиться в путешествие с друзьями на 10 ночей следующей весной.Ему будет стоить 180 долларов на бензин, 450 долларов на еду и 49 долларов за ночь в номере мотеля. У него 520 долларов сбережений, и он может заработать 30 долларов за уборку снега на проезжей части. Сколько проездов он должен прорыть, чтобы иметь достаточно денег, чтобы заплатить за поездку? Неравенства графика на числовой прямой В следующих упражнениях нарисуйте каждое неравенство на числовой прямой и запишите в интервальной нотации. Решите линейные неравенства В следующих упражнениях решите каждое неравенство, нанесите решение на числовой прямой и запишите решение в интервальной записи. 311. В следующих упражнениях решите каждое неравенство, нанесите решение на числовой прямой и запишите решение в интервальной записи. 12x + 3 (x + 7)> 10x − 24 12x + 3 (x + 7)> 10x − 24 9y + 5 (y + 3) <4y − 359y + 5 (y + 3) <4y − 35 6ч − 4 (час − 1) ≤7ч − 116ч − 4 (час − 1) ≤7ч − 11 4k− (k − 2) ≥7k − 264k- (k − 2) ≥7k − 26 8 м − 2 (14 − м) ≥ 7 (м − 4) + 3 м 8 м − 2 (14 − м) ≥ 7 (м − 4) + 3 м 6n − 12 (3 − n) ≤9 (n − 4) + 9n6n − 12 (3 − n) ≤9 (n − 4) + 9n 34b-13b <512b-1234b-13b <512b-12 9u + 5 (2u − 5) ≥12 (u − 1) + 7u9u + 5 (2u − 5) ≥12 (u − 1) + 7u 23 г-12 (г-14) ≤16 (г + 42) 23 г-12 (г-14) ≤16 (г + 42) 45h − 23 (h − 9) ≥115 (2h + 90) 45h − 23 (h − 9) ≥115 (2h + 90) 56a − 14a> 712a + 2356a − 14a> 712a + 23 12v + 3 (4v − 1) ≤19 (v − 2) + 5v12v + 3 (4v − 1) ≤19 (v − 2) + 5v В следующих упражнениях решите каждое неравенство, нанесите решение на числовой прямой и запишите решение в интервальной записи. 23p − 2 (6−5p)> 3 (11p − 4) 23p − 2 (6−5p)> 3 (11p − 4) 18q − 4 (10−3q) <5 (6q − 8) 18q − 4 (10−3q) <5 (6q − 8) −94x≥ − 512−94x≥ − 512 −218y≤ − 1528−218y≤ − 1528 Перевести на неравенство и разрешить В следующих упражнениях переведите и решите. Затем изобразите решение на числовой прямой и запишите решение в интервальной записи. Три более ч не менее 25. Шесть больше k больше 25. Десять меньше Вт не меньше 39. Двенадцать меньше x не меньше 21. Отрицательный пятикратный r не более 95. Дважды отрицательное значение с меньше 56. Девятнадцать меньше b не больше -22,22. Пятнадцать меньше , а не меньше −7.−7. Решение приложений с линейными неравенствами В следующих упражнениях решите. Алан загружает поддон ящиками по 45 фунтов каждая. Поддон может безопасно выдержать не более 900 фунтов. Сколько ящиков он может безопасно загрузить на поддон? На лифте в многоквартирном доме Йехира есть табличка, на которой указано, что максимальный вес составляет 2100 фунтов. Если средний вес одного человека составляет 150 фунтов, сколько людей могут безопасно пользоваться лифтом? Андре просматривает апартаменты с тремя своими друзьями. Они хотят, чтобы ежемесячная арендная плата не превышала 2360 долларов. Если соседи по комнате поровну распределяют арендную плату между четырьмя из них, какова максимальная арендная плата, которую каждый из них будет платить? Арлин получила подарочную карту на 20 долларов для посещения кофейни. Ее любимый напиток со льдом стоит 3,79 доллара. Какое максимальное количество напитков она может купить по подарочной карте? Тиган любит играть в гольф. В следующем месяце он заложил 60 долларов на тренировочное поле.Каждый раз, когда он идет, ведро с шарами обходится ему в 10,55 доллара. Какое максимальное количество раз он может посещать тренировочное поле в следующем месяце? Райан взимает со своих соседей 17,50 долларов за мытье машины. Сколько машин он должен помыть следующим летом, если его цель — заработать не менее 1500 долларов? Кешад получает 2400 долларов в месяц плюс 6% от его продаж. Его брат зарабатывает 3300 долларов в месяц. На какой общий объем продаж ежемесячная зарплата Кешада будет выше, чем ежемесячная зарплата его брата? Кимуен нужно зарабатывать 4150 долларов в месяц, чтобы оплачивать все свои расходы. Ее работа приносит ей 3 475 долларов в месяц плюс 4% от общего объема продаж. Каков минимальный общий объем продаж Кимуен, чтобы она могла оплатить все свои расходы? Андре предложили работу начального уровня. Компания предлагала ему 48 000 долларов в год плюс 3,5% от его общих продаж. Андре знает, что средняя заработная плата за эту работу составляет 62 000 долларов. Каким должен быть общий объем продаж Андре, чтобы его зарплата была не меньше средней заработной платы за эту работу? Наталья рассматривает два предложения о работе. На первой работе ей платили 83 тысячи долларов в год. Второй заплатит ей 66 500 долларов плюс 15% от общего объема продаж. Каким должен быть ее общий объем продаж, чтобы ее зарплата по второму предложению была выше, чем по первому? Счет за воду Джейка составляет 24,80 доллара в месяц плюс 2,20 доллара за кубический фут (сто кубических футов) воды. Какое максимальное количество ccf может использовать Джейк, если он хочет, чтобы его счет не превышал 60 долларов? Киёси стоит 17 долларов.50 в месяц плюс 0,15 доллара за текстовое сообщение. Какое максимальное количество текстовых сообщений может использовать Киёси, чтобы телефонный счет не превышал 56,60 доллара? Marlon стоит 49,99 долларов в месяц плюс 5,49 долларов за первый просмотр фильма. Сколько фильмов он сможет посмотреть в первый раз, если хочет, чтобы его ежемесячный счет составлял не более 100 долларов? Келлен хочет снять банкетный зал в ресторане для детского душа своей кузины. Ресторан стоит 350 долларов за банкетный зал плюс 32 доллара.50 на человека за обед. Сколько людей может принять душ Келлен, если она хочет, чтобы максимальная стоимость была 1500 долларов? Мошде ведет парикмахерский бизнес из своего дома. Она берет 45 долларов за стрижку и укладку. Ее ежемесячные расходы составляют 960 долларов. Она хочет иметь возможность вкладывать не менее 1200 долларов в месяц на свой сберегательный счет, чтобы открыть собственный салон. Сколько «стилей и стилей» ей нужно сделать, чтобы сэкономить не менее 1200 долларов в месяц? Noe устанавливает и настраивает программное обеспечение на домашних компьютерах.Он берет 125 долларов за работу. Его ежемесячные расходы составляют 1600 долларов. На скольких рабочих местах он должен работать, чтобы получить прибыль не менее 2400 долларов? Кэтрин — личный повар. Она берет 115 долларов за обед на четырех человек. Ее ежемесячные расходы составляют 3150 долларов. Сколько обедов для четырех человек она должна продать, чтобы получить прибыль не менее 1900 долларов? Мелисса делает ожерелья и продает их в Интернете. Она берет 88 долларов за ожерелье. Ее ежемесячные расходы составляют 3745 долларов. Сколько ожерелий она должна продать, если хочет получить прибыль не менее 1650 долларов? Пять чиновников студенческого самоуправления хотят пойти на съезд штата. Это будет стоить им 110 долларов за регистрацию, 375 долларов на транспорт и еду и 42 доллара на человека в отеле. На сберегательный счет студенческого самоуправления заложено 450 долларов на съезд. Остальные деньги они могут заработать на мойке машин. Если они берут 5 долларов за машину, сколько машин они должны помыть, чтобы иметь достаточно денег для оплаты поездки? Сезар планирует четырехдневную поездку, чтобы навестить своего друга в колледже в другом штате.Это будет стоить ему 198 долларов на авиабилеты, 56 долларов на местный транспорт и 45 долларов в день на еду. У него 189 долларов сбережений, и он может заработать по 35 долларов за каждую стриженную лужайку. Сколько газонов нужно косить, чтобы на поездку хватило денег? Алонзо работает мастером по ремонту автомобилей. Он берет 175 долларов за машину. Он планирует переехать из родительского дома и снять свою первую квартиру. Ему нужно будет заплатить 120 долларов за подачу заявления, 950 долларов за залог, а также арендную плату за первый и последний месяцы из расчета 1140 долларов в месяц.У него 1810 долларов сбережений. Сколько машин нужно собрать, чтобы иметь достаточно денег на аренду квартиры? Ын-Кён работает репетитором и зарабатывает 60 долларов в час. У нее 792 доллара сбережений. Она планирует отпраздновать годовщину своих родителей. Она хочет пригласить 40 гостей. Вечеринка обойдется ей в 1520 долларов на еду и напитки и 150 долларов на фотографа. Она также окажет услугу каждому из гостей, и каждая услуга будет стоить 7,50 долларов. Сколько часов она должна заниматься репетитором, чтобы денег на вечеринку хватило? Максимальная нагрузка на сцену В 2014 году обрушилась сцена средней школы в Фуллертоне, Калифорния, когда 250 учеников вышли на сцену для финала музыкальной постановки. Пострадали два десятка студентов. Сцена могла выдержать максимум 12 750 фунтов. Если предполагается, что средний вес студента составляет 140 фунтов, каково максимальное количество студентов, которые могут безопасно выйти на сцену? Максимальный вес лодки В 2004 году водное такси затонуло в гавани Балтимора, пять человек утонули.Водное такси имело максимальную вместимость 3500 фунтов (25 человек при среднем весе 140 фунтов). Средний вес 25 человек в водном такси, когда оно затонуло, составлял 168 фунтов на человека. Каким должно быть максимальное количество людей с таким весом? Свадебный бюджет Адель и Уолтер нашли идеальное место для своего свадебного приема. Стоимость составляет 9850 долларов США на 100 гостей, плюс 38 долларов США на каждого дополнительного гостя. Сколько гостей может присутствовать, если Адель и Уолтер хотят, чтобы общая стоимость не превышала 12500 долларов? Бюджет душа Пенни планирует детский душ для своей невестки. Стоимость ресторана составляет 950 долларов США за 25 гостей, плюс 31,95 доллара США за каждого дополнительного гостя. Сколько гостей может присутствовать, если Пенни хочет, чтобы общая стоимость не превышала 1500 долларов? Объясните, почему необходимо обратить неравенство при решении −5x> 10. −5x> 10. Объясните, почему необходимо обратить неравенство при решении n − 3 <12.п-3 <12. Найдите свой телефонный счет за последний месяц и почасовую зарплату, которую вам платят на работе. Подсчитайте количество часов работы, которое вам потребуется, чтобы заработать хотя бы достаточно денег для оплаты телефонного счета, написав соответствующее неравенство и затем решив его. Считаете ли вы, что это подходящее количество часов? Подходит ли вам этот тарифный план? Узнайте, сколько единиц у вас осталось после этого семестра для достижения вашей цели в колледже, и оцените количество единиц, которое вы можете сдавать в каждом семестре в колледже.Подсчитайте количество терминов, которые вам понадобятся для достижения вашей цели в колледже, написав соответствующее неравенство и затем решив его. Это приемлемое количество терминов, пока вы не достигнете своей цели? Как бы вы могли ускорить этот процесс? ⓐ После выполнения упражнений используйте этот контрольный список, чтобы оценить свое мастерство в достижении целей этого раздела. ⓑ После просмотра контрольного списка, думаете ли вы, что хорошо подготовились к следующему разделу? Почему или почему нет?
Поддерживает специальные возможности для: языка; Память Графические неравенства с программой «Пошаговое решение математических задач»
ТОЧКОВ НА САМОЛЕТЕ
ЗАДАЧИ
Перпендикуляр означает, что две прямые расположены под прямым углом друг к другу. Оси множественного числа. Ось особенная. Стрелки указывают на то, что числовые линии продолжаются бесконечно. Таким образом, плоскость бесконечно простирается во всех направлениях. Это важно. Первое число упорядоченной пары всегда относится к горизонтальному направлению, а второе число всегда относится к вертикальному направлению. Каковы координаты начала координат? ИЗОБРАЖЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
ЗАДАЧИ
Рассмотрим уравнение x + y — 7 и заметим, что мы легко можем найти множество решений. Например, если x = 5, то y — 2, поскольку 5 + 2 = 7. Кроме того, если x = 3, то y = 4, поскольку 3 + 4 = 7. Если мы представим эти ответы в виде упорядоченных пар (x, y) , то у нас есть (5,2) и (3,4) как две точки на плоскости, которые представляют ответы на уравнение x + y = 7. Помните, существует бесконечно много упорядоченных пар, которые удовлетворяли бы уравнению. Конечно, мы могли бы начать с выбора значений для y, а затем найти соответствующие значения для x. Эти значения произвольны. Мы могли выбирать любые ценности. Обратите внимание, что после того, как мы выбрали значение для x, значение для y определяется с помощью уравнения. Эти значения x дают целые числа для значений y.Таким образом, это хороший выбор. Предположим, мы выбрали Линия показывает, что все точки на линии удовлетворяют уравнению, а также точки из таблицы.Стрелки указывают, что линия продолжается бесконечно. Таким образом, любое уравнение вида ax + by — c, где a, b и c — действительные числа, является линейным уравнением. Это важно. Не пытайтесь сократить свою работу, найдя только два момента.Вы удивитесь, как часто вы обнаружите ошибку, обнаружив все три точки. Опять же, вы также могли начать с произвольными значениями y. Поскольку и x, и y являются целыми числами, x = 1 было хорошим выбором. x = 3 — еще один хороший выбор. Мы можем это сделать, поскольку выбор x был произвольным. Сколько упорядоченных пар удовлетворяют этому уравнению? НАКЛОН ЛИНИИ
ЗАДАЧИ
Какой график будет круче: y = 3x или y = 7x? Какой график будет круче: y = 3x или y = 7x? Помните, m> 0 означает, что «m больше нуля.« Помните, нам нужны только две точки для определения линии, но мы используем третью точку в качестве проверки. Зачем использовать значения, которые делятся на 3? Сравните коэффициенты при x в этих двух уравнениях. Снова сравните коэффициенты при x в двух уравнениях. Обратите внимание: когда две линии имеют одинаковый наклон, они параллельны. Если вы хотите произвести впечатление на своих друзей, вы можете написать
, где греческая буква (дельта) означает «изменение».
Можно также сказать, что изменение x равно 4, а изменение y равно -1.Это приведет к той же строке.
Изменение x равно 1, а изменение y равно 3. Точка (0, b) называется точкой пересечения по оси y. Обратите внимание, что это уравнение имеет вид y = mx + b. Всегда начинайте с точки пересечения оси Y.
Распространенная ошибка, которую допускают многие студенты, — это путать точку пересечения оси y с точкой пересечения оси x (точка, в которой линия пересекает ось x). Раздел 4-2 посвящен решению буквальных уравнений. Вы можете просмотреть этот раздел. Нарисуйте здесь диаграмму. Нарисуйте график линии на сетке ниже. ГРАФИЧЕСКИЕ ЛИНЕЙНЫЕ НЕРАВЕНСТВА
ЗАДАЧИ
Набор решений состоит из всех упорядоченных пар, которые делают утверждение верным. Подводя итог, следующие упорядоченные пары дают верное утверждение.
(2,1), (3, -4), (0,0), (- 1,4) Следующие упорядоченные пары дают ложное утверждение.
(5,6), (3,2), (- 2,8) Обратите внимание, что все точки, удовлетворяющие уравнению, находятся слева и ниже линии, а все точки, которые не соответствуют, находятся сверху и справа.
1. Замените символ неравенства знаком равенства и нанесите на график полученную линию.
2. Отметьте одну точку, которая, очевидно, находится в определенной полуплоскости этой прямой, чтобы увидеть, входит ли она в набор решений неравенства.
3. Если выбранная точка находится в наборе решений, то вся эта полуплоскость является набором решений. Если выбранная точка не входит в набор решений, тогда другая полуплоскость является набором решений. Почему нужно проверять только одну точку?
Поскольку сама линия не является частью решения, она показана пунктирной линией, а полуплоскость заштрихована, чтобы показать набор решений. Набор решений — это полуплоскость сверху и справа от прямой. Набор решений — это линия и полуплоскость ниже и правее линии. Когда график линии проходит через начало координат, любая другая точка на оси x или y также будет хорошим выбором. ГРАФИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
ЗАДАЧИ
В этой таблице мы позволяем x принимать значения 0, 1 и 2. Затем мы находим значения для y с помощью уравнения. Сделайте это перед тем, как продолжить.
В этой таблице мы позволяем y принимать значения 2, 3 и 6. Затем мы находим x, используя уравнение. Также проверьте эти значения. Две прямые пересекаются в точке (3,4). В качестве проверки мы подставляем упорядоченную пару (3,4) в каждое уравнение, чтобы увидеть, получим ли мы истинное утверждение.
Существуют ли другие точки, которые удовлетворяли бы обоим уравнениям? Почему? Приведенный выше пример представляет собой систему независимых уравнений. Независимо от того, как далеко протянуты эти линии, они никогда не пересекутся. В этом случае общих решений будет бесконечно много. Это означает, что графики всех систем в этой главе будут пересекаться в одной точке.
1. Составьте таблицу значений и нарисуйте график каждого уравнения в той же системе координат.
2. Найдите значения (x, y), которые называют точку пересечения линий.
3. Отметьте эту точку (x, y) в обоих уравнениях. Опять же, в этой таблице мы произвольно выбрали значения x — 2, 0 и 5.
Здесь мы выбрали для x значения 2, 4 и 6. Вы можете выбрать любые значения, которые хотите.
Мы говорим «очевидный», потому что мы еще не проверили упорядоченную пару в обоих уравнениях. Как только он проверит, это определенно решение. ГРАФИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ НЕРАВЕНСТВ
ЗАДАЧИ
Обратите внимание, что решением системы линейных неравенств будет набор точек. Опять же, используйте либо таблицу значений, либо форму уравнения с пересечением наклона для построения графика линий. Эта область находится справа и выше линии x + y = 5. Эта область находится слева и выше линии 2x — y = 4. Отметим еще раз, что решение не включает строки.Если, например, нас попросили построить график решения системы
, который указывает, что решение включает точки на линии x + y = 5. РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ ПУТЕМ ЗАМЕНЫ
ЗАДАЧИ
Существуют алгебраические методы решения систем. В этом разделе мы обсудим метод подстановки.
Шаг 1 Мы должны найти одно неизвестное в одном уравнении.Мы можем выбрать x или y либо в первом, либо во втором уравнении. Наш выбор может быть основан на получении простейшего выражения. В этом случае мы решим относительно x во втором уравнении, получив x = 4 + 2y, потому что любой другой выбор привел бы к дроби. Посмотрите на оба уравнения и посмотрите, есть ли в одном из них переменная с коэффициентом, равным единице.
Шаг 2 Подставьте значение x в другое уравнение.В этом случае уравнение
2х + 3у = 1.
Подставляя (4 + 2y) вместо x, мы получаем 2 (4 + 2y) + 3y = 1, уравнение только с одной неизвестной. Причина этого в том, что если x = 4 + 2y в одном из уравнений, то x должен быть равен 4 + 2y в другом уравнении.
Шаг 3 Решите неизвестное.
Помните, сначала удалите скобки.
Шаг 4 Подставьте y = — 1 в любое уравнение, чтобы найти соответствующее значение для x.Поскольку мы уже решили второе уравнение относительно x через y, мы можем его использовать.
Мы можем подставить y = — 1 в любое уравнение, поскольку y имеет одинаковое значение в обоих.
Таким образом, у нас есть решение (2, -1). Помните, что x записывается первым в упорядоченной паре.
Шаг 5 Проверьте решение в обоих уравнениях. Помните, что решение системы должно быть верным для каждого уравнения в системе.С
решение (2, -1) действительно проверяет. Это проверяет: 2x + 3y = 1 и x — 2y = 4. Отметьте эту упорядоченную пару в обоих уравнениях.
Ни в одном из этих уравнений не было переменной с коэффициентом, равным единице. В этом случае решение заменой — не лучший метод, но мы сделаем это так, чтобы показать, что это возможно. В следующем разделе будет предложен более простой метод. РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ДОПОЛНЕНИЕМ
ЗАДАЧИ
Обратите внимание, что мы можем решить эту систему методом подстановки, решив первое уравнение относительно y.Решите эту систему методом подстановки и сравните свое решение с решением, полученным в этом разделе.
Шаг 1 Наша цель — сложить два уравнения и исключить одно из неизвестных, чтобы мы могли решить полученное уравнение с одним неизвестным. Если мы сложим уравнения как есть, мы не удалим неизвестное. Это означает, что мы должны сначала умножить каждую сторону одного или обоих уравнений на число или числа, что приведет к исключению одного из неизвестных при сложении уравнений.
Внимательно изучив проблему, мы замечаем, что проще всего устранить неизвестное y. Это делается путем умножения каждой стороны первого уравнения на -2.
Обратите внимание, что каждый член необходимо умножить на (- 2).
Шаг 2 Добавьте уравнения.
Шаг 3 Решите полученное уравнение.
В этом случае мы просто умножаем каждую сторону на (-1).
Шаг 4 Найдите значение другого неизвестного, подставив это значение в одно из исходных уравнений.Используя первое уравнение,
Подставьте x = 4 во второе уравнение и посмотрите, получите ли вы такое же значение для y.
Шаг 5 Если мы проверим упорядоченную пару (4, -3) в обоих уравнениях, мы увидим, что это решение системы. Обратите внимание, что в этой системе ни одна переменная не имеет коэффициента, равного единице. Поэтому лучший метод решения — метод сложения.
Шаг 1 Необходимо изменить оба уравнения, чтобы исключить одно из неизвестных. Ни одно из неизвестных не будет проще другого, поэтому удалите либо x, либо y.
Чтобы исключить x, умножьте каждую сторону первого уравнения на 3 и каждую сторону второго уравнения на -2.
Если вы решили исключить y, умножьте первое уравнение на — 2, а второе уравнение на 3. Сделайте это и решите систему.Сравните ваше решение с полученным в примере.
Шаг 2 Сложив уравнения, мы получаем
Шаг 3 Решение для урожайности
Шаг 4 Использование первого уравнения в исходной системе для нахождения значения другой неизвестной дает
Шаг 5 Убедитесь, что заказанная пара (- 1,3) является решением системы. Чек остается на ваше усмотрение. СТАНДАРТНАЯ ФОРМА
ЗАДАЧИ
Такие уравнения называются стандартными. То есть они имеют вид ax + by = c, где a, b и c — целые числа. Перед решением методом сложения уравнения необходимо привести к стандартному виду. Будьте осторожны. Многие студенты забывают умножить правую часть уравнения на 24. Снова убедитесь, что каждый член умножен на 12. Вместо того, чтобы говорить «первый член положительный», мы иногда говорим «ведущий коэффициент положительный». ПРОБЛЕМЫ СО СЛОВОМ С ДВУМЯ НЕИЗВЕСТНЫМИ
ЗАДАЧИ
y = второе число
Первое утверждение дает нам уравнение
x + y = 5.
Второе утверждение дает нам уравнение
3x + 5 y = 9.
Теперь у нас есть система
, которую мы можем решить любым из известных нам методов, давая
x = 8 и y = — 3. Решите систему с помощью подстановки.
y = почасовая ставка другого работника. Обратите внимание, что очень важно сказать, что представляют x и y.
Первое утверждение дает нам уравнение
8x + 8y = 136.
Второе утверждение дает уравнение
х = у + 1.
Теперь у нас есть система (в стандартной форме)
Решение дает x = 9 и y = 8. Ставка одного рабочего составляет 9 долларов в час, а другого — 8 долларов в час. Решите эту систему методом сложения. РЕЗЮМЕ
Ключевые слова
Процедуры
Шаг 1 Напишите уравнение прямой в виде y — mx + b.
Шаг 2 Найдите точку пересечения j (0, b).
Шаг 3 Начиная с (0, b), используйте наклон m, чтобы найти вторую точку.
Шаг 4 Соедините две точки прямой линией.
Шаг 1 Замените символ неравенства знаком равенства и нанесите на график полученную линию.
Шаг 2 Проверьте одну точку, которая явно находится в определенной полуплоскости этой прямой, чтобы увидеть, входит ли она в набор решений неравенства.
Шаг 3 Если выбранная точка находится в наборе решений, то вся эта полуплоскость является набором решений. Если выбранная точка не входит в набор решений, тогда другая полуплоскость является набором решений. Решение систем линейных неравенств
Сложное неравенство
Пример 1
Пример 2
Пример 3
Пример 4
Пример 5
Решение линейных неравенств с одной переменной
Линейные неравенства
Пример 1
Пример 2
Пример 3
Пример 4
Пример 5
Сложные неравенства
Пример 6
Пример 7
Пример 8
Приложения линейных неравенств
Пример 9
Пример 10
Основные выводы
Тематические упражнения
Часть A: Линейные неравенства
Часть B: Сложные неравенства
Часть C: Приложения
Часть D: Обсуждение
ответы
2.5 Решение линейных неравенств — промежуточная алгебра 2e
Задачи обучения
Если вы пропустили эту проблему, просмотрите Пример 1.3.
Если вы пропустили эту проблему, просмотрите Пример 1.8. График неравенств на числовой прямой
Неравенства, числовые линии и обозначение интервалов
Пример 2.48
Пример 2.49
Решите линейные неравенства
Линейное неравенство
Свойство неравенства сложения и вычитания
Свойство неравенства умножения и деления
Пример 2,50
Пример 2.51
Пример 2.52
Пример 2.53
Решение
8p + 3 (p − 12)> 7p − 288p + 3 (p − 12)> 7p − 28 Максимально упростите каждую сторону. Распространить. 8p + 3p − 36> 7p − 288p + 3p − 36> 7p − 28 Объедините похожие термины. 11p − 36> 7p − 2811p − 36> 7p − 28 Вычтите 7p7p с обеих сторон, чтобы собрать переменные
слева, поскольку 11> 7.11> 7. 11п − 36−7p> 7p − 28−7p11p − 36−7p> 7p − 28−7p Упростить. 4p − 36> −284p − 36> −28 Добавьте 36 с обеих сторон, чтобы собрать константы
справа. 4p − 36 + 36> −28 + 364p − 36 + 36> −28 + 36 Упростить. 4p> 84p> 8 Разделим обе части неравенства на
4; неравенство остается прежним. 4p4> 844p4> 84 Упростить. p> 2p> 2 Постройте решение на числовой прямой. Запишите решение в интервальной записи. (2, ∞) (2, ∞) Пример 2.54
Решение
Максимально упростите каждую сторону. 8x − 2 (5 − x) <4 (x + 9) + 6x8x − 2 (5 − x) <4 (x + 9) + 6x Распространить. 8x − 10 + 2x <4x + 36 + 6x8x − 10 + 2x <4x + 36 + 6x Объедините похожие термины. 10x − 10 <10x + 36 10x − 10 <10x + 36 Вычтите 10 x с обеих сторон, чтобы собрать
переменных слева. 10x − 10−10x <10x + 36−10x10x − 10−10x <10x + 36−10x Упростить. −10 <36−10 <36 Преобразователи x исчезли, и у нас есть истинное утверждение
. Неравенство — это тождество.
Решение — все действительные числа. Постройте решение на числовой прямой. Запишите решение в интервальной записи. (−∞, ∞) (- ∞, ∞) Пример 2.55
Переведите в неравенство и решите
>> ≥ ≥ << ≤ ≤ больше
больше
больше
больше больше или равно
не менее
не менее
не менее меньше
меньше
меньше
меньше меньше или равно
максимум
не больше
максимум Пример 2.56
Решение приложений с линейными неравенствами
Пример 2.57
Решение
Шаг 1. Прочтите проблему. Шаг 2. Определите , что вы ищете. максимальное количество планшетов Dawn может купить Шаг 3.Назовите то, что вы ищете. Выберите переменную для представления этого количества. Letn = количество таблеток Letn = количество таблеток. Шаг 4. Переведите . Напишите предложение, которое дает информацию, чтобы найти его. $ 254,12 раза количество планшетов не более 4000 $. Перевести в неравенство. 254,12n≤4000 254,12n≤4000 Шаг 5.Решите неравенство.
Но n должно быть целым числом таблеток, поэтому округлите до 15. н≤15,74н≤15н≤15,74н≤15 Шаг 6. Проверьте ответ в задаче и убедитесь, что он имеет смысл. Округляя цену до 250 долларов, 15 планшетов будут стоить 3750 долларов, а 16 планшетов — 4000 долларов. Таким образом, максимум 15 планшетов по цене 254,12 доллара кажется разумным. Шаг 7.Ответьте на вопрос полным предложением. Dawn можно купить максимум 15 планшетов. Пример 2.58
Тарифный план Решение
Шаг 1. Прочтите проблему. Шаг 2. Определите , что вы ищете. количество текстовых сообщений Талейша может передать Шаг 3. Назовите то, что вы ищете. Выберите переменную для представления этого количества. Lett = количество текстовых сообщений Lett = количество текстовых сообщений. Шаг 4. Переведите Напишите предложение, которое дает информацию, чтобы найти его. 28,80 доллара плюс 0,20 доллара, умноженное на количество текстовых сообщений, меньше или равно 50 долларам. Перевести в неравенство. 28,80 + 0,20т≤50 28,80 + 0,20т≤50 Шаг 5. Решите неравенство. 0,2t≤21,2t≤106 текстовых сообщений 0,2t≤21,2t≤106 текстовых сообщений Шаг 6. Проверьте ответ в задаче и убедитесь, что он имеет смысл.
Да, 28,80 + 0,20 (106) = 50. Да, 28,80 + 0,20 (106) = 50. Шаг 7. Напишите предложение, которое отвечает на вопрос. Талейша может отправлять / получать не более 106 текстовых сообщений, чтобы ее счет не превышал 50 долларов. Пример 2.59
Решение
Шаг 1.Прочтите задачу. Шаг 2. Определите , что вы ищете. количество приглашений, которые нужно написать Фелисити Шаг 3. Назовите то, что вы ищете.
Выберите переменную для ее представления. Letj = количество приглашений Letj = количество приглашений. Шаг 4. Перевести. Напишите предложение, которое дает информацию, чтобы найти его. 2,50 доллара США, умноженное на количество приглашений минус 650 долларов, составляет не менее 2800 долларов. Перевести в неравенство. 2,50j − 650≥2,8002,50j − 650≥2,800 Шаг 5. Решите неравенство. 2,5j≥3,450j≥1,380призваний 2,5j≥3,450j≥1,380привещаний Шаг 6. Проверьте ответ в задаче и убедитесь, что он имеет смысл. Если бы Фелисити написала 1400 приглашений, ее прибыль составила бы
2.50 (1400) — 650, или 2850 долларов. Это больше 2800 долларов. Шаг 7. Напишите предложение, которое отвечает на вопрос. Фелисити должна написать не менее 1380 приглашений. Пример 2.60
Решение
Шаг 1. Прочтите проблему. Шаг 2. Определите , что вы ищете. количество часов, которые Малик должен преподавать Шаг 3. Назовите то, что вы ищете. Выберите переменную для представления этого количества. Leth = количество часов Leth = количество часов. Шаг 4. Перевести. Напишите предложение, которое дает информацию, чтобы найти его. Расходы должны быть меньше или равны доходу. Стоимость авиабилета плюс стоимость еды и осмотра достопримечательностей, а также счет в отеле должны быть меньше суммы сбережений плюс сумма заработанного репетиторства. Перевести в неравенство. 525 + 780 + 95 (6) ≤840 + 45х525 + 780 + 95 (6) ≤840 + 45х Шаг 5.Решите неравенство. 1,875≤840 + 45h2,035≤45h33≤hh≥231,875≤840 + 45h2,035≤45h33≤hh≥23 Шаг 6. Проверьте ответ в задаче и убедитесь, что он имеет смысл.
Подставляем 23 в неравенство.
1,875≤840 + 45h2,875≤840 + 45 (23) 1,875≤1875 1,875≤840 + 45h2,875≤840 + 45 (23) 1,875≤1875 Шаг 7. Напишите предложение, которое отвечает на вопрос. Малик должен быть репетитором не менее 23 часов. Раздел 2.5. Упражнения
Практика ведет к совершенству
ⓐ x <−2x <−2
ⓑ x≥ − 3,5x≥ − 3,5
ⓒ x≤23x≤23
ⓐ x> 3x> 3
ⓑ x≤ − 0,5x≤ − 0,5
ⓒ x≥13x≥13
ⓐ x≥ − 4x≥ − 4
ⓑ x <2,5x <2,5
ⓒ x> −32x> −32
ⓐ x≤5x≤5
ⓑ x≥ − 1,5x≥ − 1,5
ⓒ x <−73x <−73
ⓐ −5
ⓒ 0≤x≤1,50≤x≤1,5
ⓐ −2
ⓒ 0≤x≤3.50≤x≤3,5
ⓐ −1
ⓐ −4
ⓐ a + 34≥710a + 34≥710
ⓑ 8x> 728x> 72
ⓒ 20> 25h30> 25h
ⓐ b + 78≥16b + 78≥16
ⓑ 6y <486y <48
ⓒ 40 <58k40 <58k
ⓐ f − 1320 <−512f − 1320 <−512
ⓑ 9t≥ − 279t≥ − 27
ⓒ 76j≥4276j≥42
ⓐ г − 1112 <−518 г − 1112 <−518
ⓑ 7 с <−287 с <−28
ⓒ 94g≤3694g≤36
ⓐ −5u≥65−5u≥65
ⓑ a − 3≤9a − 3≤9
ⓐ −8v≤96−8v≤96
ⓑ b − 10≥30b − 10≥30
ⓐ −9c <126−9c <126
ⓑ −25
ⓐ −7d> 105−7d> 105
ⓑ −18> q − 6−18> q − 6 Повседневная математика
368. Письменные упражнения
372. Самопроверка