Математика 8 класс, школьный этап (I этап), г. Москва, 2017-2018 учебный год

Содержание

1. Задание 1. (7 баллов)
2. Задание 2. (7 баллов)
3. Задание 3. (7 баллов)
4. Задание 4. (7 баллов)
5. Задание 5. (7 баллов)
6. Задание 6. (7 баллов)

---

Задание 1. (7 баллов)

Содержание ↑

Представьте число 2017 в виде суммы пяти натуральных чисел так, чтобы все цифры, использованные в этих пяти числах, были различны.

Решение. Один из возможных примеров: 2017 = 1976 + 30 + 4 + 2 + 5. Есть и другие представления.

Критерии. Предъявлено хотя бы одно правильное представление, даже без каких-либо пояснений: 7 баллов.

Искомого представления не получено: 0 баллов.

Задание 2. (7 баллов)

Содержание ↑

В прямоугольнике ABCD сторона AB равна 6, сторона BC равна 11. Из вершин B и C проведены биссектрисы углов, пересекающие сторону AD в точках X и Y соответственно. Найдите длину отрезка XY .

 

Ответ: 1.

Решение. Углы AXB и XBC равны как накрест лежащие при параллельных прямых AD и BC и секущей BX. Углы XBC и XBA равны, так как BX — биссектриса угла ABC. Получаем, что ∠AXB = ∠XBA, откуда следует, что треугольник AXB — равнобедренный, AB = AX = 6;

XD = AD — AX = 11 — 6 = 5. Аналогично получаем, что AY = 5. Тогда XY = AD — AY — XD = 11 — 5 — 5 = 1.

Критерии. Любое верное решение: 7 баллов.

Доказано, что AY = 5, но при этом длина отрезка XY не найдена или найдена неверно: 4 балла.

Доказано, что треугольник ABX равнобедренный и нет дальнейших продвижений: 2 балла.

Приведён только верный ответ: 1 балл.

Задание 3. (7 баллов)

Содержание ↑

Рыцарский турнир длится ровно 7 дней. К концу четвертого дня сэр Ланселот не успел сразиться лишь с одной четвертью от общего числа участников турнира. А сэр Тристан к этому времени сразился ровно с одной седьмой из тех рыцарей, с кем успел сразиться сэр Ланселот. Какое минимальное количество рыцарей могло участвовать в турнире?

Ответ: 20.

Решение. Пусть Ланселот не сразился с x рыцарями. Тогда общее число рыцарей равно 4x, а сразился Ланселот с 3x — 1 рыцарем (общее количество за вычетом x и самого Ланселота). Тогда Тристан сразился с (3x—1)/7 рыцарей. Чтобы найти наименьшее возможное количество рыцарей, необходимо подобрать минимальное x такое, что 3x—1 делится на 7. Значения x = 1, 2, 3, 4 не подходят, а x = 5 подходит. Таким образом, наименьшее возможное число рыцарей равно 20.

Критерии.

Любое верное решение: 7 баллов.

За отсутствие обоснования того, что действительно могло быть ровно 20 рыцарей, баллы не снимаются.

Приведён только верный ответ: 2 балла.

Задание 4. (7 баллов)

Содержание ↑

Володя расставил несколько (возможно 0) шахматных фигур на доску 8 × 8. Лёня заметил, что в каждом квадрате 2 × 2 стоит одинаковое количество фигур. А Влад заметил, что в каждом прямоугольнике 3 × 1 (или 1× 3) стоит одинаковое количество фигур. Сколько фигур было выставлено на доску? (Укажите все варианты и докажите, что других нет.)

Ответ: 0 или 64.

Решение. Предположим, что в каждом квадрате 2× 2 стоит m фигур, а в каждом прямоугольнике 1×3 — n фигур. Выделим из доски какой-нибудь прямоугольник 2 × 6. С одной стороны, этот прямоугольник можно разбить на три квадрата 2 × 2, и значит в нём 3m фигур. С другой стороны, его можно разрезать на четыре прямоугольника 1

× 3, и тогда в нём 4n фигур. Получаем соотношение 3m = 4n, откуда n делится на 3. Но n может принимать значения 0, 1, 2, 3. Таким образом, n = 0 или n = 3. Иными словами, либо все прямоугольники 1 × 3 пустые, и тогда на доске стоит 0 фигур, либо все прямоугольники 1 × 3 полностью заняты фигурами, и в этом случае на доске стоят 64 фигуры.

Критерии: Любое верное решение: 7 баллов.

Пропущен случай нуля фигур, в остальном решение верное: 6 баллов.

Доказано, что все прямоугольники 1 × 3 (или все квадраты 2 × 2) пустые или заполненные, но решение не завершено: 5 баллов.

Приведён только верный ответ: 1 балл.

Задание 5. (7 баллов)

Содержание ↑

Три школьницы зашли в магазин. Аня купила 2 ручки, 7 карандашей и 1 блокнот, Варя — 5 ручек, 6 карандашей и 5 блокнотов, Саша — 8 ручек, 4 карандаша и 9 блокнота. Все заплатили поровну, но одна при оплате воспользовалась скидкой. Кто? (Объясните свой ответ).

Ответ: Варя.

Решение. Обозначим символами Р, К, Б стоимости ручки, карандаша и блокнота соответственно. Обозначим также суммарную стоимость поку пок (без учёта скидки) Ани, Вари и Саши символами A, B, C. По условию,

A = 2Р + 7К + 1Б; B = 5Р + 6К + 5Б; C = 8Р + 4К + 9Б.

Сложим выражения для A и C и сравним результат с 2B:

A + C = 10Р + 11К + 10Б < 10Р + 12К + 10Б = 2B.

Получили, что A + C < 2B, откуда следует, что стоимость покупок Вари больше, чем стоимость покупок хотя бы одной из остальных девочек, а значит скидкой могла воспользоваться только Варя.

Критерии. Любое верное решение: 7 баллов.

Приведён только верный ответ: 1 балл.

Рассмотрен только случай конкретных цен на ручки, карандаши и блокноты: 0 баллов.

Задание 6. (7 баллов)

Содержание ↑

В треугольнике ABC провели медиану AM. Найдите угол AMC, если углы BAC и BCA равны 45° и 30° соответственно.

Ответ: 135°.

Решение. Пусть BH — высота треугольника ABC. По условию угол BAC равен 45°, поэтому BH = AH. В треугольнике CBH катет BH лежит против угла 30°, поэтому BC = 2BH. Медиана HM прямоугольного треугольника BHC равна половине гипотенузы BC.

Собирая все равенства отрезков воедино, получаем

AH = BH = HM = MB = MC.

Значит, треугольник MBH равносторонний, и угол CMH равен 120°. Кроме того, треугольник AHM равнобедренный, его угол AHM равен 90°

 + 60° = 150°, поэтому угол AMH равен 15°. Таким образом,

∠AMC = ∠AMH + ∠HMC = 120° + 15° = 135°.

Критерии. Любое верное решение: 7 баллов.

Доказано, что треугольник AHM равнобедренный, но правильный ответ не получен: 5 баллов.

Приведён только верный ответ: 1 балл.

Содержание ↑

olimpiadnye-zadanija.ru

Олимпиадные задания по математике (8 класс): Школьный этап Всероссийской олимпиады школьников по математике для учащихся 8 классов, 2018-2019 уч.г.

Школьный этап Всероссийской олимпиады школьников

по математике для учащихся 8 классов, 2018-2019 уч.г.

№1. Представьте число 2017 в виде суммы пяти натуральных чисел так, чтобы все цифры, использованные в этих пяти числах, были различны. (3 балла)

№2. В классе 37 учеников. Докажите, что среди них найдутся 4 ученика, отмечающих день рождения в один месяц. (4 балла)

№3. Художник Худобеднов за месяц работы написал 42 картины. На 17 из них есть лес, на 29 – река, а на 13 – и то, и другое; на остальных картинах – не поймешь что. Сколько картин изображают не поймешь что? (3 балла)

№4. Разложите на множители: 4(а2 + b2) + 21b2 – 20ab – 36.(5 баллов)

№5. Четырех кошек взвесили попарно во всех возможных комбинациях. Получились массы 7 кг, 8 кг, 9 кг, 10 кг, 11 кг, 12 кг. Какова общая масса всех кошек? (6 баллов)

№6. В ∆АВС биссектриссы углов А и В пересекаются под углом 1280. Найдите угол С. (7 баллов)

Решения заданий, критерии  оценки

Задача 1.

Решение. Один из возможных примеров: 2017 = 1976 + 30 + 4 + 2 + 5. Есть и другие

Критерии проверки.

• Любое полное представление — 3 балла.

• Искомого представления не получено – 0 баллов

Задача 2.

Если в каждый месяц родилось не более 3 учеников, то всего учеников будет не больше 36. А по условию их 37, значит, такого быть не может. Поэтому найдется 4 ученика, отмечающих день рождения в один месяц.

Критерии проверки.

• Любое полное верное решение с рассуждениями — 4  балла.

• Верный ответ без объяснений – 2 балла.

Задача 3.

Решение находим вычитанием «понятного»
Лес и река: 17 + 29 = 46
Вычитаем  и Л и Р (13 картин посчитали 2 раза)
46- 13 = 33
Остается:  42 — 33 = 9 штук «не пойми что».
Критерии проверки. 

• Полное верное решение с рассуждениями — 3  балла.

• Верный ответ без объяснений – 1 балл.

Задача 4.

4(a2 + b2) + 21b2 – 20ab – 36= 4a2+4b2+21b2-20ab-36= 4a2+25b2-20ab-36=

=(2a-5b)2-36=(2a – 5b – 6)(2a – 5b + 6).

Критерии проверки.

• Полное верное решение с верными вычислениями — 5  баллов.

• обоснование по идее верно, но содержит ошибки и является неполным – 2 балла.

Задача 5.

Критерии проверки.

Полное верное решение — 6  баллов.

• Правильный ответ, приведены вычисления без объяснений-4балла
• Рассуждения верные, но вычисления неправильные – 2 балла.
• Верный ответ без объяснений – 1 балл.

Задача 6.

Критерии проверки.

• Полное верное решение с чертежом и комментариями — 7  баллов.
• Рассуждения верные, но в вычислениях допущена вычислительная ошибка, не влияющая на ход рассуждений– 5 баллов.
• Решение  верно, но неполно или содержит непринципиальные ошибки 4-3балла
• Решение в целом неверно, но содержит более или менее существенное продвижение в верном направлении-1-2балла

nsportal.ru

Школьный тур олимпиады по математике «Олимпиада 8 класс»

Школьный тур Олимпиады по математике 8 класс

1. В равенстве (ay^b)^c=-64y⁶ замените a , b и c целыми числами, отличными от 1 , так, чтобы получилось тождество.

2. Петя тратит 1/3 своего времени на игру в футбол, 1/5 — на учебу в школе, 1/6 — на просмотр кинофильмов, 1/7 — на решение олимпиадных задач, и 1/3 — на сон. Можно ли так жить?

3. У колхозника было несколько одинакового веса поросят и несколько ягнят также одинакового веса. Пионер спросил колхозника, сколько весит один поросенок и один ягненок. Колхозник ответил, что 3 поросенка и 2 ягненка весят 22 кг, а 2 поросенка и 3 ягненка весят 23 кг. Как узнать, сколько весит один поросенок и сколько весит один ягненок?

4. Один из углов треугольника на 120° больше другого. Докажите, что биссектриса треугольника, проведённая из вершины третьего угла, вдвое длиннее, чем высота, проведенная из той же вершины.

5. У подводного царя служат осьминоги с шестью, семью или восемью ногами. Те, у кого 7 ног, всегда лгут, а у кого 6 или 8 ног, всегда говорят правду. Встретились четыре осьминога. Синий сказал: «Вместе у нас 28 ног», зеленый: «Вместе у нас 27 ног», желтый: «Вместе у нас 26 ног», красный: «Вместе у нас 25 ног». У кого сколько ног?

Решение школьного тура Олимпиады по математике 8 класс

1. В равенстве (ay^b)^c=-64y⁶ замените a , b и c целыми числами, отличными от 1 , так, чтобы получилось тождество.

Ответ: существует единственное решение: (—4 y²)³=-64y⁶ .

2. Петя тратит 1/3 своего времени на игру в футбол, 1/5 — на учебу в школе, 1/6 — на просмотр кинофильмов, 1/7 — на решение олимпиадных задач, и 1/3 — на сон. Можно ли так жить?

Решение Поскольку 1/5 + 1/6 > 1/3, то сумма данных дробей 1/3 + 1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/3 > 1, что противоречит здравому смыслу. Нет, так жить нельзя.

3. У колхозника было несколько одинакового веса поросят и несколько ягнят также одинакового веса. Пионер спросил колхозника, сколько весит один поросенок и один ягненок. Колхозник ответил, что 3 поросенка и 2 ягненка весят 22 кг, а 2 поросенка и 3 ягненка весят 23 кг. Как узнать, сколько весит один поросенок и сколько весит один ягненок?

Решение. Если сложить вес трех поросят и двух ягнят с весом двух поросят и трех ягнят, то получим вес пяти поросят и пяти ягнят, равный 45 кг. Значит, один поросенок и один ягненок весят 9 кг, а два поросенка и два ягненка весят 18 кг. Вычтя это из первого данного веса, получим вес поросенка, равный 4 кг. Тогда ягненок весит 5 кг.

4. Один из углов треугольника на 120° больше другого. Докажите, что биссектриса треугольника, проведённая из вершины третьего угла, вдвое длиннее, чем высота, проведенная из той же вершины.

Решение Пусть ABC — данный треугольник, B = a, A = 120° + a. Тогда C = 60° — 2a. Если CL — биссектриса данного треугольника, то CLA = LCB + LBC = (30° — a) + a = 30°. Пусть CH — высота треугольника АВС, тогда в треугольнике CLH катет CH, лежащий против угла в 30°, в два раза меньше, чем гипотенуза CL.

5. У подводного царя служат осьминоги с шестью, семью или восемью ногами. Те, у кого 7 ног, всегда лгут, а у кого 6 или 8 ног, всегда говорят правду. Встретились четыре осьминога. Синий сказал: «Вместе у нас 28 ног», зеленый: «Вместе у нас 27 ног», желтый: «Вместе у нас 26 ног», красный: «Вместе у нас 25 ног». У кого сколько ног?

Решение Так как осьминоги противоречат друг другу, то возможны два случая: либо все осьминоги лгут, либо ровно один из них говорит правду. Если все осьминоги лгут, то у каждого из них по 7 ног. Значит, вместе у них 28 ног. Но тогда синий осьминог сказал правду — противоречие.
Если же три осьминога солгали, а четвёртый сказал правду, то у солгавших осьминогов должно быть по 7 ног, а у сказавшего правду — либо 6, либо 8. Поэтому вместе у них либо 27, либо 29 ног, то есть правду сказал зелёный осьминог. Таким образом, у зелёного осьминога 6 ног, а у остальных по 7 ног.

Критерии оценки.

Задание1. Максимальный балл 1

Задача оценивается, если имеется развёрнутое решение.

Задача2. Максимальный балл 2

Задача оценивается, максимально, если имеется развёрнутое, безошибочное решение. Каждая вычислительная ошибка снижает балл на 0,5.

Задача3. Максимальный балл 3

Задача оценивается, максимально, если имеется развёрнутое, безошибочное решение. Каждая вычислительная ошибка снижает балл на 0,5; каждая ошибка в рассуждениях снижает балл на 0,5.

Задача4. Максимальный балл 4

Задача оценивается, максимально, если имеется развёрнутое, безошибочное решение. Каждая вычислительная ошибка снижает балл на 0,5; каждая ошибка в рассуждениях снижает балл на 0,5.

Задача5. Максимальный балл 5

Задача оценивается, максимально, если имеется развёрнутое, безошибочное решение. Каждая вычислительная ошибка снижает балл на 0,5; каждая ошибка в рассуждениях снижает балл на 0,5.

infourok.ru

Олимпиада по математике 8 класс с ответами 2018-2019 городской этап

8 класс.

Задача 1. В  волшебном саду выросло 2013 яблок. Сколько в этом саду яблонь, если на каждой яблони яблок выросло поровну и в этом саду все яблони разного сорта, которых меньше 30, но больше 10. (7б)

Задача 2. Дан квадрат ABCD и равносторонний треугольник ADM. Отрезок CM пересекает отрезок AD в точке К. Найдите угол АКМ. (7б)

Задача 3. Найдите все двузначные числа, каждое из которых в сумме с числом, написанном теми же цифрами, но в обратном порядке, даёт полный квадрат. (7б)

Задача 4. Однажды Гулливер подслушал разговор дежуривших около него четырёх лилипутов. Первый сказал второму «Ты лгун». Третий сказал первому «Сам ты лгун». Четвёртый сказал первому и третьему «Оба вы лгуны». Четвёртый сказал второму «И ты тоже лгун». Известно, что одни лилипуты всё время лгут, а другие говорят правду. Кто же прав? (7б)

Задача 5. Барон Мюнхгаузен  говаривал как-то, что есть два числа, у которых сумма, произведение и частное одинаково. Докажите, что барон как всегда прав. (7б)

                                Ответы. Краткие решения 8 класс.

Задача 1. Ответ: 11 яблонь. Решение:  

Задача 2. Ответ: 75°. Решение:

 B                              C    ∟CDM=60°+90°=150° ;  

                                        ∟KCD=(180°-150°):2=15°

                                        ∟CKD=90°-15°=75°

  A                           D     ∟AKM=∟CKD

                                       ∟AKM=75°

              M

Задача 3. Ответ: 29; 38; 47; 56; 65; 74; 83; 92. Решение:     , значит  a+b=11.

Задача 4. Ответ: Первый и четвёртый лгуны, а второй и третий говорят правду. Решение: допустим первый сказал правду, тогда второй и третий лгуны, что противоречит высказываниям четвёртого. Допустим первый лгун, тогда второй и третий говорят правду, а четвёртый лгун.

Задача 5. Ответ: 0,5 и -1. Решение:

9. класс.

1. Сравните числа  и  10. (7баллов)
2. Известно, что   и ; ; ; и т.д.  (рис. 1).  Тогда длина отрезка  равна…(7баллов)

3. Витя задумал два числа. Их сумма равна их произведению и равна их частному. Какие числа задумал Витя? (7баллов)
4. Решить неравенство: .(7баллов)
5. Стрелок десять раз выстрелил по стандартной мишени и выбил 90 очков. Сколько попаданий было в семерку, восьмерку и девятку, если десяток было четыре, а других попаданий и промахов не было? (7баллов)

                                    Решения 9 класс

1. Сравните числа  и  10.

Решение.  Возведем оба числа в квадрат, так они оба положительны:

 

;

 . Так как равны квадраты положительных чисел, значит, равны и сами числа.

Ответ:  числа равны.

2. Известно, что   и ; ; ; и т.д.  (рис. 1).  Тогда длина отрезка  равна…

Решение.По теореме Пифагора, имеем,

Ответ:  .

3. Витя задумал два числа. Их сумма равна их произведению и равна их частному. Какие числа задумал Витя?

Решение.Запишем условие в следующем виде: a + b = a · b = a : b.                                                  Из второго равенства a · b = a : b получаем, что b2 = 1, т.е b = +1 или b = -1. Рассмотрим первое равенство a + b = a · b.  При b = 1 оно не имеет решений (1 = 0). При b = -1 получаем a = 0,5.

a + b = 0,5 — 1 = — 0,5

a · b = 0,5 · (-1) = — 0,5

a : b = 0,5 : (-1) = — 0,5

4. Решить неравенство: .

Решение. Заметим, что все решения исходного неравенства  существуют, если подкоренные выражения неотрицательны. Одновременно эти неравенства выполняются лишь при условии x2 – 4x + 3 = 0. Это уравнение имеет два корня 1 и 3. Проверка показывает, что исходное неравенство имеет единственное решение 3.

5. Стрелок десять раз выстрелил по стандартной мишени и выбил 90 очков. Сколько попаданий было в семерку, восьмерку и девятку, если десяток было четыре, а других попаданий и промахов не было?

Решение. Так как стрелок попадал лишь в семерку, восьмерку и девятку в остальные шесть выстрелов, то за три выстрела (по одному разу в семерку, восьмерку и девятку) он наберет 24 очка. Тогда за оставшиеся 3 выстрела надо набрать 26 очков. Что возможно при единственной комбинации 8+9+9=26. Итак, в семерку стрелок попал 1 раз, в восьмерку – 2 раза, в девятку – 3 раза.

konspekt-v-gruppe.ru

Олимпиада по математике 8 класс с ответами 2018-2019 муниципальный этап

Задача 1.

Какой цифрой оканчивается сумма 92007 + 92006 ?

Ответ:

92007 + 92006 = 92006( 9 + 1) = 92006* 10.
Нулем.

Задача 2.

В оранжерее было срезано 360 гвоздик. Причем красных на 80 больше, чем белых, а розовых на 160 штук меньше, чем красных.
Какое наибольшее число одинаковых букетов можно составить из этого количества цветов ?
Сколько и каких цветов было в каждом букете?

Ответ:

Решая уравнение, получаем 40 розовых гвоздик,120 белых гвоздик, 200 красных гвоздик. НОД (40, 120,200) равен 40, следовательно из 360 гвоздик можно составить 40 букетов, причем каждый букет будет состоять из 1 розовой, 3 белых и 5 красных гвоздик.

Задача 3.

Существует ли такой круг, чтобы его площадь и длина окружности выражались одним и тем же числом ?

Ответ:

Да, при радиусе равном 2.

Задача 4.

После семи стирок измерения куска хозяйственного мыла, имеющего форму прямоугольного параллелепипеда, уменьшились в двое.
На сколько еще стирок хватит оставшегося куска мыла ?

Ответ:

Мыла хватит еще на одну стирку, т.к. объем оставшегося мыла составил 1/8 часть первоначального, израсходовано мыла: 1 — 1/8 = 7/8 куска,
значит на каждую стирку расходовалось 1/8 часть куска, именно столько осталось.

Задача 5.

Какими двумя цифрами заканчивается число 13! ?

Ответ:

В произведении 1*2*3…*13 есть множители 2, 5 и 10, значит число 13!
Заканчивается двумя нулями.

Задача 6.

Из 38 учащихся 28 посещают хор и 17 лыжную секцию.
Сколько лыжников посещает хор, если в классе нет учащихся, которые не посещают хор или лыжную секцию ?

Ответ:

7 человек. Хор не посещают 10 человек, все они лыжники.
Лыжников всего 17человек, значит 7 человек надо «взять» из хора.

Задача 7.

Окружность касается квадрата извне и «катится» по нему без скольжения.
Сколько полных оборотов сделает эта окружность около своего центра и какой путь пройдет центр окружности к моменту возвращения в исходную точку, если длина стороны квадрата равна длине окружности и радиус окружности равен а см ?
Те же вопросы, если окружность «катится» по сторонам равностороннего треугольника.

Ответ:

В случае квадрата каждая точка окружности сделает 4 оборота около своего центра.
Центр окружности сделает четверть оборота около каждой вершины квадрата.
За один обход центр окружности совершает путь, равный 5*2Па см.
В случае треугольника — соответственно 3 оборота и 8П а см

Задача 8.

Во время похода палатки расположились в т. А,В, и С.
В каком месте удобно выбрать площадку для проведения общего костра,
чтобы расстояние от него до палаток было одинаковым ?

Ответ:

Точка осей симметрии точек А и В и точек В и С будет искомой.

Задача 9.

Найдите произведение всех целых чисел от (-99) до 99.

Ответ:

0

Задача 10.

Две семьи выехали каждая на машине «Жигули» на прогулку одновременно из одного места.
Обе семьи проехали на машинах одинаковые расстояния и вернулись домой в одно и то же время.
В пути они отдыхали.
Первая семья была в пути в двое больше времени, чем вторая.
Вторая была в пути втрое больше времени. Чем отдыхала первая.
Какая из этих семей двигалась на машине быстрее ?

Ответ:

1-я семья: 2х часов — время на езду, у часов — время на отдых.
2-я семья: 3у часов — время на езду, х часов — время на отдых 2х + у = 3у + х; х = 2у.
Вторая семья отдыхала в два раза больше, чем первая следовательно, она ехала быстрее первой.

Задача 11.

Сосуд имеет форму прямоугольного параллелепипеда.
Как, не делая никаких измерений и не имея других емкостей, наполнить водой ровно половину объема этого сосуда ?

Ответ:

Наклонить параллелепипед так, чтобы уровень воды находился по диагональному сечению параллелепипеда.

Задача № 1 :

В трех кучках лежат соответственно 12, 24 и 19 спичек. За ход можно переложить спичку из одной кучки в другую. За какое наименьшее число ходов можно получить три кучки с 8, 21 и 26 спичками?

Ответ : 4.

Решение :

Менее чем 4 ходами не обойтись: чтобы получить кучку из 8 спичек, придется из любой первоначальной кучки убрать как минимум 4 спички. Четырех ходов достаточно: перекладываем из кучки с 12 спичками по 2 спички в кучки с 19 и 24 спичками.

Задача № 2 :

Сколько всего есть четырехзначных чисел, которые делятся на 19 и оканчиваются на 19?

Ответ : 5 .

Решение :
Пусть — такое число. Тогда N – 19 тоже кратно 19. Но Поскольку 100 и 19 взаимно просты, то двузначное число делится на 19. А таких всего пять: 19, 38, 57, 76 и 95. Легко убедиться, что все числа 1919, 3819, 5719, 7619 и 9519 нам подходят.

Задача № 3 :

У даты 12.04.1961 (то есть 12 апреля 1961 года) сумма цифр равна 24. Найдите ближайшую дату после 01.01.2008, у которой сумма цифр равна: а)  35; б)  7.

Ответ : а) 29.09.2049; б) 03.01.2010.

Решение :
а) Наибольшая сумма цифр числа равна 11 для 29-го числа. Наибольшая сумма цифр месяца равна 9 для сентября, то есть для 09. Значит, наибольшая сумма цифр в текущем году будет у даты 29.09.2008. Она равна 30, что меньше 35. Следовательно, надо менять и год. Последняя цифра года не более 9, и если мы сохраняем первые две цифры, то придется цифру десятилетий увеличить до 4.

б) Для 2008 года сумма цифр года уже больше 27, поэтому год придется изменить. Ближайший год в будущем с меньшей суммой цифр — 2010-й. Соответственно, ближайшая подходящая дата 03.01.2010.

Задача № 4 :

Среди целых чисел от 8 до 17 включительно зачеркните как можно меньше чисел так, чтобы произведение оставшихся было точным квадратом. В ответе укажите сумму всех вычеркнутых чисел.

Ответ : 55.

Решение :
Чтобы произведение было точным квадратом, нужно, чтобы каждый простой множитель входил в него в четной степени. В произведение 8 · 9·…· 17 в нечетной степени входят 2, 7, 11, 13 и 17. Значит, мы обязаны вычеркнуть сомножители 11, 13 и 17. А вот чтобы «убить» лишние простые множители 2 и 7, хватит одного вычеркнутого сомножителя 14. Итого сумма вычеркнутых чисел равна 11 + 13 + 14 + 17 = 55.

Задача № 5 :

На гранях кубика расставлены 6 различных чисел от 6 до 11. Кубик бросили два раза. В первый раз сумма чисел на четырех боковых гранях оказалась равна 36, во второй — 33. Какое число написано на грани, противоположной той, где написана цифра 10?

Ответ : 8.

Решение :

Cумма чисел на всех гранях равна 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 = 51. При первом броске сумма на верхней и нижней гранях равна 51 – 36 = 15, при втором — 51 – 33 = 18. Значит, на третьей паре противоположных граней сумма равна 51 – 15 – 18 = 18. Сумму 18 можно получить двумя способами: 11 + 7 или 10 + 8. Значит, на парах граней с суммой 18 напротив 11 находится 7, а напротив 10 — 8.

Задача № 6 :

В конкурсе участвовали 5 человек. На каждый вопрос один из них дал неправильный ответ, остальные — правильный. Число правильных ответов у Пети равно 10 — меньше, чем у любого другого. Число правильных ответов у Васи равно 13 — больше, чем у любого другого. Сколько всего вопросов было в конкурсе?

Ответ : 14 .

Решение :
Так как на каждый вопрос были даны 4 правильных ответа, общее число правильных ответов делится на 4. Поскольку Петя дал 10 верных ответов, Вася — 13, а остальные трое — от 11 до 12, то общее число правильных ответов не меньше, чем 10 + 13 + 3·11 = 56, и не больше, чем 10 + 13 + 3·12 = 59. Из чисел в этих пределах только 56 кратно 4, поэтому число вопросов равно

Задача № 7 :

Команда из Пети, Васи и одноместного самоката участвует в гонке. Дистанция разделена на участки одинаковой длины, их количество равно 42, в начале каждого — контрольный пункт. Петя пробегает участок за 9 мин, Вася — за 11 мин, а на самокате любой из них проезжает участок за 3 мин. Стартуют они одновременно, а на финише учитывается время того, кто пришел последним. Ребята договорились, что один проезжает первую часть пути на самокате, остаток бегом, а другой — наоборот (самокат можно оставить на любом контрольном пункте). Сколько участков Петя должен проехать на самокате, чтобы команда показала наилучшее время?

Ответ : 18

Решение :
Если Петя проедет 18 участков и пробежит оставшиеся 42 – 18 = 24, он затратит 18·3 + 24·9 = 270 мин. При этом Васе, наоборот, достанется проехать 24 участка, а пробежать 18, на что уйдет 24·3 + 18·11 = 270 мин — то же самое время. Если же Петя проедет меньшее число участков, то его время (и, соответственно, время команды) увеличится. Если Петя проедет большее количество участков, то увеличится время Васи (и время команды).

Достаточно обозначить число проезжаемых Петей участков через x и решить уравнение

x·3 + (42 – x)·9 = (42 – x)·3 + 11x.

Задача № 1 :

Нарисуйте на плоскости пять различных прямых так, чтобы они пересекались ровно в семи различных точках.

Решение :
Три возможных ответа изображены на рисунке 1. Можно показать, что других конфигураций из пяти прямых, пересекающихся ровно в семи различных точках, нет.

Задача № 2 :

Мальчик пошел с отцом в тир. Отец купил ему 10 пулек. В дальнейшем отец за каждый промах отбирал у сына одну пульку, а за каждое попадание давал одну дополнительную пульку. Сын выстрелил 55 раз, после чего пульки у него кончились. Сколько раз он попал?

Ответ: 50.

Решение :
Каждый раз, когда мальчик попадал в цель, число имеющихся у него пулек оставалось прежним (одну использовал и одну получил от отца). Каждый раз, когда мальчик промахивался, число имеющихся у него пулек уменьшалось на 2 (одну использовал и одну отобрал отец). Это значит, что сын за 55 выстрелов промахнулся 10 : 2 = 5 раз, стало быть, попал 55 – 5 = 50 раз.

Задача № 3 :

Две биссектрисы треугольника пересекаются под углом 60°. Докажите, что один из углов этого треугольника равен 60°.

Решение :
Пусть биссектрисы AA1 и CC1 треугольника ABC пересекаются в точке I (рис.2). Допустим, что AIC1 = 60°. По теореме о внешнем угле треугольника

откуда

BAC + BCA = 120°

и

ABC = 180°– BAC – BCA = 60°.

Но это еще не все решение: ведь может случиться, что AIC = 60°. Однако тогда

IAC + ICA = 120°,

откуда

BAC + BCA = 240°,

что невозможно.

Задача № 4 :

Когда Винни-Пух пришел в гости к Кролику, он съел 3 тарелки меда, 4 тарелки сгущенки и 2 тарелки варенья, а после этого не смог выйти наружу из-за того, что сильно растолстел от такой еды. Но известно, что если бы он съел 2 тарелки меда, 3 тарелки сгущенки и 4 тарелки варенья или 4 тарелки меда, 2 тарелки сгущенки и 3 тарелки варенья, то спокойно смог бы покинуть нору гостеприимного Кролика. От чего больше толстеют: от варенья или от сгущенки?

Ответ : от сгущенки.

Решение :
По условию

3м + 4с + 2в > 2м + 3с + 4в,

откуда

м + с > 2в. (*)

По условию же

3м + 4с + 2в > 4м + 2с + 3в,

откуда

2с > м + в.

Складывая последнее неравенство с неравенством (*), получаем м + 3с > м + 3в, откуда с > в.

Задача № 5 :

В каждой клетке клетчатой доски размером 50 ? 50 записано по числу. Известно, что каждое число в 3 раза меньше суммы всех чисел, записанных в клетках, соседних с ним по стороне, и в 2 раза меньше суммы всех чисел, записанных в клетках, соседних с ним по диагонали. Докажите, что каждую клетку доски можно покрасить в красный или синий цвет так, что сумма всех чисел, записанных в красных клетках, равна сумме всех чисел, записанных в синих клетках.

Решение :
Покажем, что подойдет раскраска клеток доски в шахматном порядке. Заметим, что сумма данного числа и его соседей по диагоналям равна сумме соседей этого числа по сторонам: обе суммы втрое больше данного числа. Поэтому в квадрате 2 ? 2, находящемся в углу доски, суммы чисел в красных и синих клетках совпадают: обе они втрое больше числа, стоящего в угловой клетке доски. Также совпадают суммы чисел в красных и синих клетках любого прямоугольника 3 ? 2, примыкающего длинной стороной к краю доски: обе они втрое больше числа, стоящего в средней клетке стороны, примыкающей к краю доски. Наконец, совпадают суммы чисел в красных и синих клетках любого квадрата 3 ? 3: обе они втрое больше числа, стоящего в центре квадрата.

Разобьем доску 50 ? 50 на квадрат 48 ? 48, квадрат 2 ? 2 и два прямоугольника 2 ? 48, как показано на рисунке 3. Квадрат 48 ? 48 разобьем на квадраты 3 ? 3, а прямоугольники 2 ? 48 — на прямоугольники 3 ? 2, примыкающие длинной стороной к краю доски. В каждом из этих квадратов и прямоугольников суммы чисел, стоящих в красных и синих клетках, равны. Значит, они равны и на всей доске.

zanyatiya-v-detskom-sadu.ru

Олимпиада по математике 8 класс

КГУ «Путинцевская средняя школа»

Олимпиадные задания

для 8 класса

по математике

Разработала учитель

Математики

Томилова Е.С.

2018-2019

Содержание

Всего заданий 10

Логических задач 5

Арифметических задач 5

Задание 1:

Задание 2:

Сосуд имеет форму прямоугольного параллелепипеда. Как, не делая никаких измерений и не имея других емкостей, наполнить водой ровно половину объема этого сосуда?

Задание 3:

Сколько месяцев в году имеют 28 дней?

Задание 4:

Назовите пять дней, не называя чисел (1, 2, 3,..) и названий дней (понедельник, вторник, среда…)

Задание 5:

На соревнованиях по спортивной ходьбе один из участников на заданной дистанции достиг скорости 3 м/сек. С какой скоростью выбрасывал он при ходьбе ступню каждой ноги?

Задание 6:

Решите уравнение: 0,9х + 1 =0,2х — 6

Задание 7:

Упростите выражение и найдите его значение при а = — 1,5 и в = -1: 
-4(а – в) + 2(3а – в)

Задание 8:

Решите уравнение 3х2 –2х – 5 = 0. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них.

Задание 9:

Вычислите 

Задание 10:

Катер прошел 40 км по течению реки и 6 км против течения, затратив на весь путь 3 ч. Найдите скорость катера в стоячей воде, если известно, что скорость течения равна 2 км/ч.

Ответы к заданиям

Задание 1:

Маленькие дети не могут составлять уравнения или искать математические закономерности, поэтому они замечают, что значение зависит от количества кружочков в каждой цифре. В «9» один кружочек, в «8» — два, в «1» — ни одного, а, значит, 2581 = 2.

Задание 2:

Наклонить параллелепипед так, чтобы уровень воды находился по диагональному сечению параллелепипеда.

Задание 3:

Все месяцы

Задание 4:

Позавчера, вчера, сегодня, завтра, послезавтра

Задание 5:

При ходьбе каждая нога половину времени находится в движении, а половину стоит. Значит, ступня выбрасывается со скоростью вдвое большей, чем идет спортсмен, то есть 6 м/сек.

Задание 6:

-10

Задание 7:

-5

Задание 8:

-1

Задание 9:

3

Задание 10:

14

Лист ответов

ФИО

Задание 1:

Задание 2:

Задание 3:

Задание 4:

Задание 5:

Задание 6:

Задание 7:

Задание 8:

Задание 9:

Задание 10:

infourok.ru

Задания школьного этапа Всероссийской олимпиады по математике 2018-2019 учебный год 8 класс.

Просмотр содержимого документа
«Задания школьного этапа Всероссийской олимпиады по математике 2018-2019 учебный год 8 класс.»

Задания школьного этапа Всероссийской олимпиады по математике

2018-2019 учебный год

8 класс.

Задание № 1

В семье 4 человека. Если Маше удвоят стипендию, общий доход всей семьи возрастет на 5%, если вместо этого маме удвоят зарплату – на 15%, если же зарплату удвоят папе – на 25%. На сколько процентов возрастет доход всей семьи, если дедушке удвоят пенсию?

Решение. При удвоении стипендии Маши общий доход семьи увеличивается ровно на величину этой стипендии, поэтому она составляет 5% от дохода. Аналогично, зарплаты мамы и папы составляют 15% и 25%. Значит, пенсия дедушки составляет 100 – 5 – 15 — 25 = 55%, и если её удвоят, то доход семьи вырастет на 55%.

Задание №2

Найдутся ли натуральные числа x y и z, удовлетворяющие уравнению: 28x + 30y + 31z = 365?

Решение: Да найдутся. Например, x = 1 (февраль), y = 4 (апрель, июнь, сентябрь, ноябрь) z = 7 (все остальные месяцы в году). Ещё решение: x = 2, y = 1, z = 9.

Задание № 3

Команда из Пети, Васи и одноместного самоката участвует в гонке. Дистанция разделена на участки одинаковой длины, их количество равно 42, в начале каждого – контрольный пункт. Петя пробегает участок за 9 мин, Вася – за 11 мин, а на самокате любой из них проезжает участок за 3 мин. Стартуют они одновременно, а на финише учитывается время того, кто пришел последним. Ребята договорились, что один проезжает первую часть пути на самокате, остаток бегом, а другой — наоборот (самокат можно оставить на любом контрольном пункте). Сколько участков Петя должен проехать на самокате, чтобы команда показала наилучшее время?

Решение. Если время одного станет меньше времени другого из ребят, то увеличится время другого и, следовательно, время команды. Значит, время ребят должно совпадать. Обозначив число проезжаемых Петей участков через x и решив уравнение , получим x = 18.

Задание № 4

Построить график уравнения: ху + 3х = 0.

Решение: ху +3х = 0

ху = — 3х

у = —

у = — 3 – графиком является прямая параллельная оси ОХ.

Задание № 5

Какой треугольник надо взять, чтобы после проведения в нем одного отрезка получить все известные виды треугольников: равносторонний, равнобедренный, прямоугольный, разносторонний, остроугольный, тупоугольный?

Решение: Треугольник с углами 60⁰, 30⁰, 90⁰. На гипотенузе взять точку так, чтобы угол был равен 60⁰. Тогда — прямоугольный, — остроугольный, — тупоугольный, — равносторонний, — равнобедренный, — разносторонний.

multiurok.ru