Как решить систему уравнений графически 8 класс – 8 класс алгебра Мордкович 17.29 Решите графически систему уравнений – Рамблер/класс

Содержание

Методическая разработка по алгебре (8 класс) по теме: Урок-закрепление для 8 класса «Графическое решение систем уравнений»

Открытый урок по теме:

«Графическое решение систем

уравнений»

Выполнила: Кухаренко Н.А.

Цель урока:

Обучающая:

Обеспечить в ходе урока закрепление основных понятий темы “Решение систем уравнений графически”
Провести актуализацию опорных знаний по следующим вопросам:

Свойства элементарных функций;
Виды преобразований графиков функций;
Поиск различных способов и методов решения систем уравнений.

Обобщение и систематизация знаний учащихся по данной теме, приучать к работе со справочной и дополнительной литературой.
Сформировать навыки планирования ответа.

Развивающая:

Расширить кругозор учащихся, способствовать развитию познавательного интереса.
Развитие математического мышления, взаимовыручки, взаимопомощи.
Стимулирование творческого мышления нестандартными методами.

Воспитательная

воспитание чувства ответственности;
формирование графической культуры.

Этапы урока:

Постановка цели урока.
Подготовка к восприятию новых знаний.
Закрепление знаний.
Работа в группах практикум по решению систем уравнений.
Решение систем уравнений с параметром.
Домашнее задание.
Подведение итогов урока.

УЧИТЕЛЬ: Мы знаем, что одним из способов решения систем уравнений с двумя переменными является графический способ. К тому же существует достаточно много задач, в которых важен поиск не самого решения систем уравнений, а только количество решений или доказать, что их нет. Работать мы сегодня будем по следующей схеме. Мы покажем связь тем изученных на предыдущих уроках, “преобразование графиков функций”, “графики функций”, “свойства функции”, способы решение систем уравнений

ЭПИГРАФ:

Если вы хотите научиться плавать, то смело входите в воду, а если хотите
научиться решать задачи – решайте их.

Д. Пойа “Математическое открытие”

2. Подготовка к восприятию новых знаний

Задачи этапа: Актуализация опорных знаний и умений по данной теме свойства функций, преобразование графиков функций.

Учитель: Сейчас мы вспомним свойства некоторых функций, а также виды преобразования графика.

Приложение № 1

3. Закрепление знаний

Задачи этапа: Вспомнить графическое решение систем уравнений, повторить построение графиков схематично, нахождение количества решений.

УЧИТЕЛЬ:

Объясните, что значит решить систему уравнений?

Что значит решить систему графически?

ЗАДАНИЕ: Укажите, сколько решений имеет система уравнений, построив схематично на миллиметровке графики функций.

Приложение № 2

4. Работа в группах, практикум по решению систем уравнений

Задачи этапа: Рассмотреть различные способы решения систем уравнений, найти правильное решение системы, научиться работать в группах.

Мы рассмотрели одну из задач: нахождение количества решений системы, а сейчас постараемся найти решение системы, но разными способами.

РАБОТА ГРУПП:

1 группа будет решать систему аналитически.

2 группа на координатной плоскости построит два графика и найдет общее решение системы.

Группа имеет право совещаться, через 10 мин проводится подведение итогов, группы представляют результаты работы.

ЗАДАНИЯ ГРУППАМ:

Приложение № 3.

5. Решение систем уравнений с параметром

Задачи этапа: Показать применение решения систем уравнений графически к нестандартным задачам, задачам повышенной сложности, встречающимся во второй части ГИА, получение новых знаний.

Сейчас мы попробуем решить графически еще один вид задач на решение системы уравнений.

РЕШИМ СИСТЕМУ: Укажите кол-во решений системы уравнений.

Такая система называется системой уравнений с параметром.

Как называется функция во втором уравнении, как проходит ее график?

Рассмотрим поведение функции и число решений системы.

Приложение № 4

6. Домашнее задание.

7. Подведение итогов урока, выставление отметок.

Подвести итоги, что получилось, что нет, оценить учащихся, дать анализ успешности овладения знаниями.

Давайте еще раз посмотрим на тему урока и цели урока.

Ответьте, пожалуйста, на мои вопросы.

Что мы сегодня учились делать на уроке?
Для решения каких задач мы строили графики?
Что значит решить систему уравнений графически?

nsportal.ru

Графический метод решения системы уравнений. Видеоурок. Алгебра 9 Класс

Тема: Системы уравнений

Урок: Графический метод решения системы уравнений

Рассмотрим систему

Пару чисел которая одновременно является решением и первого и второго уравнения системы, называют решением системы уравнений.

Решить систему уравнений – это значит найти все её решения, или установить, что решений нет. Мы рассмотрели графики основных уравнений, перейдем к рассмотрению систем.

Пример 1. Решить систему

Решение:

Это линейные уравнения, графиком каждого из них является прямая. График первого уравнения проходит через точки (0; 1) и (-1; 0). График второго уравнения проходит через точки (0; -1) и (-1; 0). Прямые пересекаются в точке (-1; 0), это и есть решение системы уравнений (Рис. 1).

Решением системы является пара чисел Подставив эту пару чисел в каждое уравнение, получим верное равенство.

Мы получили единственное решение линейной системы.

Ответ:

Вспомним, что при решении линейной системы возможны следующие случаи:

cистема имеет единственное решение – прямые пересекаются,

система не имеет решений – прямые параллельны,

система имеет бесчисленное множество решений – прямые совпадают.

Мы рассмотрели частный случай системы, когда p(x; y) и q(x; y) – линейные выражения от x и y.

Пример 2. Решить систему уравнений

Решение:

График первого уравнения – прямая, график второго уравнения – окружность. Построим первый график по точкам (Рис. 2).

x	0	-1
y	1	0

Центр окружности в точке О(0; 0), радиус равен 1.

Графики пересекаются в т. А(0; 1) и т. В(-1; 0).

Ответ:

Пример 3. Решить систему графически

Решение: Построим график первого уравнения – это окружность с центром в т.О(0; 0) и радиусом 2. График второго уравнения – парабола. Она сдвинута относительно начала координат на 2 вверх, т.е. ее вершина – точка (0; 2) (Рис. 3).

Графики имеют одну общую точку – т. А(0; 2). Она и является решением системы. Подставим пару чисел в уравнение, чтобы проверить правильность.

Ответ:

Пример 4. Решить систему

Решение: Построим график первого уравнения – это окружность с центром в т.О(0; 0) и радиусом 1 (Рис. 4).

Построим график функции Это ломаная (Рис. 5).

Теперь сдвинем ее на 1 вниз по оси oy. Это и будет график функции

Поместим оба графика в одну систему координат (Рис. 6).

Получаем три точки пересечения – т. А(1; 0), т. В(-1; 0), т. С(0; -1).

Ответ:

Мы рассмотрели графический метод решения систем. Если можно построить график каждого уравнения и найти координаты точек пересечения, то этого метода вполне достаточно.

Но часто графический метод даёт возможность найти только приближенное решение системы или ответить на вопрос о количестве решений. Поэтому нужны и другие методы, более точные, и ими мы займемся на следующих уроках.

Список рекомендованной литературы

1. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Учеб. Для общеобразоват. Учреждений.- 4-е изд. – М.: Мнемозина, 2002.-192 с.: ил.

2. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина и др. — 4-е изд. — М.: Мнемозина, 2002.-143 с.: ил.

3. Макарычев Ю. Н. Алгебра. 9 класс : учеб. для учащихся общеобразоват. учреждений / Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, И. Е. Феоктистов. — 7-е изд., испр. и доп. — М.: Мнемозина, 2008.

4. Алимов Ш.А., Колягин Ю.М., Сидоров Ю.В. Алгебра. 9 класс. 16-е изд. — М., 2011. — 287 с.

5. Мордкович А. Г. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. — 12-е изд., стер. — М.: 2010. — 224 с.: ил.

6. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 2. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Л. А. Александрова, Т. Н. Мишустина и др.; Под ред. А. Г. Мордковича. — 12-е изд., испр. — М.: 2010.-223 с.: ил.

Рекомендованные ссылки на интернет-ресурсы

1. Раздел College.ru по математике (Источник).

2. Интернет-проект «Задачи» (Источник).

3. Образовательный портал «РЕШУ ЕГЭ» (Источник).

Рекомендованное домашнее задание

1. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина и др. — 4-е изд. — М. : Мнемозина, 2002.-143 с.: ил. № 105, 107, 114, 115.

interneturok.ru

6.9.1. Решение систем линейных уравнений графическим способом

data-ad-client=»ca-pub-8602906481123293″
data-ad-slot=»2890988705″>

Способ заключается в построении графика каждого уравнения, входящего в данную систему, в одной координатной плоскости и нахождении точки пересечения этих графиков. Координаты этой точки (x; y) и будут являться решением данной системы уравнений.
Если прямые, являющиеся графиками уравнений системы, пересекаются, то система уравнений имеет единственное решение.
Если прямые, являющиеся графиками уравнений системы,
параллельны, то система уравнений не имеет решений.
Если прямые, являющиеся графиками уравнений системы, совпадают, то система уравнений имеет бесконечное множество решений.

Примеры. Решить графическим способом систему уравнений.

Графиком каждого уравнения служит прямая линия, для построения которой достаточно знать координаты двух точек. Мы составили таблицы значений х и у для каждого из уравнений системы.

Прямую y=2x-3 провели через точки (0; -3) и (2; 1).

Прямую y=x+1 провели через точки (0; 1) и (2; 3).

Графики данных уравнений системы 1) пересекаются в точке А(4; 5). Это и есть единственное решение данной системы.

Ответ: (4; 5)

Выражаем у через х из каждого уравнения системы 2), а затем составим таблицу значений переменных х и у для каждого из полученных уравнений.

Прямую y=2x+9 проводим через точки (0; 9) и (-3; 3). Прямую y=-1,5x+2 проводим через точки (0; 2) и (2; -1).

Наши прямые пересеклись в точке В(-2; 5).

Ответ: (-2; 5).

www.mathematics-repetition.com

Способы решения систем уравнений с двумя неизвестными

Линейные системы уравнений

Системы линейных уравнений. Метод подстановки
+ показать
• Выражаем одну переменную через другую.

• Выраженную из одного уравнения переменную подставляем во второе уравнение. Получаем уравнение относительно одной переменной, которое и решаем.
• Опираясь на найденное значение одной переменной, находим значение второй, подставляя в оставшееся уравнение.
Решить систему уравнений:
Решение: + показать
Системы линейных уравнений. Метод сложения
+ показать
• Добиваемся, путем равносильных преобразований, наличия равных (или противоположных) коэффициентов при одной из неизвестных переменных в уравнениях.
• Вычитаем (или складываем) полученные уравнения с целью выхода на уравнение с одной неизвестной.
• Решаем полученное уравнение с одной неизвестной.
• Найденное значение одной переменной подставляем в любое из уравнений системы, находим значение второй.
1. Решить систему уравнений:
Решение: + показать
Складываем уравнения системы, заменяя результатом одно из уравнений, оставляя другое.
Ответ:

2. Решить систему уравнений:
Решение: + показать
Нелинейные системы уравнений
Системы уравнений, сводящихся к линейным
1. Решить систему уравнений:
Решение: + показать
Можно сделать замену и Тогда выходим на систему линейных уравнений:
Систему можно решить методом сложения, например.
Но приведем решение без замены.
Умножим первое уравнение системы на , второе – на и произведем сложение полученных уравнений, оставим при этом в системе, например, первое уравнение исходной системы.
Ответ:

2. Решить систему уравнений:
Решение: + показать
Можно сделать замену и выйти на систему линейных уравнений:

Приведем решение без замены.
Выражаем из второго уравнения системы и подставляем в первое.
Ответ:

Нелинейные системы уравнений. Метод подстановки
Решить систему уравнений:
Решение: + показать
Выражаем из первого уравнения системы и подставляем во второе.
Ответ:

Нелинейные системы уравнений. Метод сложения
Решить систему уравнений:
Решение: + показать
Складываем уравнения системы, заменяя результатом одно из уравнений, оставляя другое.
Ответ:

Нелинейные системы уравнений. Метод почленного умножения (деления)
1. Решить систему уравнений:
Решение: + показать
Производим деление первой строки на вторую, оставляем в системе вторую строку без изменений.
Ответ:


Симметрические системы. Метод введения переменной
Симметрическая система – система, все уравнения которой симметрические. Симметрическое уравнение от двух переменных и – уравнение, которое не изменяется при замене на и на .
Для таких систем удобно использовать замену
Решить систему уравнений:
Решение: + показать
При замене приходим к следующей системе
которую будем решать способом подстановки:
Производим обратную замену:
Ответ:

Системы однородных уравнений и приводящиеся к ним системы
Однородным уравнением с двумя неизвестными будем называть уравнение вида
1. Решить систему уравнений:
Решение: + показать
2. Решить систему уравнений:
Решение: + показать
Применим прежде к системе метод сложения. После чего выйдем на однородное уравнение.
Ответ:

Графический метод решения систем уравнений
1. Решите графически систему уравнений:
Решение: + показать
Выразим в обеих строках системы через :
Первое уравнение системы задает прямую, второе – гиперболу. Строим графики в одной системе координат, находим координаты точек пересечения графиков.
Ответ:

2. Решите графически систему уравнений:
Решение: + показать
3. Решите графически систему уравнений:
Решение: + показать
——————————————————————————————————
Задания для самостоятельной работы
+ показать
Решите системы уравнений:
1.
Ответ:
2.
Ответ:
3.
Ответ:
4.
Ответ:
5.
Ответ:
6.
Ответ:
7.
Ответ:
8.
Ответ:
Решите графически системы уравнений:
9.
Ответ:
10.
Ответ:

egemaximum.ru
Как решается система уравнений? Методы решения систем уравнения.
Методы решения систем уравнения.

Разберем два вида решения систем уравнения:
1. Решение системы методом подстановки.
2. Решение системы методом почленного сложения (вычитания) уравнений системы.
Для того чтобы решить систему уравнений методом подстановки нужно следовать простому алгоритму:
1. Выражаем. Из любого уравнения выражаем одну переменную.
2. Подставляем. Подставляем в другое уравнение вместо выраженной переменной, полученное значение.
3. Решаем полученное уравнение с одной переменной. Находим решение системы.
Чтобы решить систему методом почленного сложения (вычитания) нужно:
1.Выбрать переменную у которой будем делать одинаковые коэффициенты.
2.Складываем или вычитаем уравнения, в итоге получаем уравнение с одной переменной.
3. Решаем полученное линейное уравнение. Находим решение системы.
Решением системы являются точки пересечения графиков функции.
Рассмотрим подробно на примерах решение систем.
Пример №1:
Решим методом подстановки

Решение системы уравнений методом подстановки
2x+5y=1 (1 уравнение)
x-10y=3 (2 уравнение)
1. Выражаем
Видно что во втором уравнении имеется переменная x с коэффициентом 1,отсюда получается что легче всего выразить переменную x из второго уравнения.
x=3+10y
2.После того как выразили подставляем в первое уравнение 3+10y вместо переменной x.
2(3+10y)+5y=1
3.Решаем полученное уравнение с одной переменной.
2(3+10y)+5y=1 (раскрываем скобки )
6+20y+5y=1
25y=1-6
25y=-5 |: (25)
y=-5:25
y=-0,2
Решением системы уравнения является точки пересечений графиков, следовательно нам нужно найти x и у, потому что точка пересечения состоит их x и y.Найдем x, в первом пункте где мы выражали туда подставляем y.
x=3+10y
x=3+10(-0,2)=1
Точки принято записывать на первом месте пишем переменную x, а на втором переменную y.
Ответ: (1; -0,2)
Пример №2:
Решим методом почленного сложения (вычитания).
Решение системы уравнений методом сложения
3x-2y=1 (1 уравнение)
2x-3y=-10 (2 уравнение)
1.Выбираем переменную, допустим, выбираем x. В первом уравнении у переменной x коэффициент 3, во втором 2. Нужно сделать коэффициенты одинаковыми, для этого мы имеем право домножить уравнения или поделить на любое число. Первое уравнение домножаем на 2, а второе на 3 и получим общий коэффициент 6.
3x-2y=1 |2
6x-4y=2
2x-3y=-10 |3
6x-9y=-30
2.Из первого уравнения вычтем второе, чтобы избавиться от переменной x.Решаем линейное уравнение.
__6x-4y=2
   6x-9y=-30
-4y+9y=2+30
5y=32 | :5
y=6,4
3.Находим x. Подставляем в любое из уравнений найденный y, допустим в первое уравнение.
3x-2y=1
3x-26,4=1
3x-12,8=1
3x=1+12,8
3x=13,8 |:3
x=4,6
Точкой пересечения будет x=4,6; y=6,4
Ответ: (4,6; 6,4)
Хочешь готовиться к экзаменам бесплатно? Репетитор онлайн бесплатно. Без шуток. ЗДЕСЬ
tutomath.ru