Решение линейных уравнений с примерами

Уравнение с одним неизвестным, которое после раскрытия скобок и приведения подобных членов принимает вид  

aх + b = 0, где a и b произвольные числа, называется линейным уравнением с одним неизвестным. Cегодня разберёмся, как эти линейные уравнения решать.

Например, все уравнения:

2х + 3= 7 – 0,5х;  0,3х = 0;  x/2 + 3 = 1/2 (х – 2) — линейные.

Значение неизвестного, обращающее уравнение в верное равенство называется решением или корнем уравнения.

Например, если в уравнении 3х + 7 = 13 вместо неизвестного х подставить число 2 , то получим верное равенство 3· 2 +7 = 13. Значит, значение х = 2 есть решение или корень уравнения.

А значение х = 3 не обращает  уравнение  3х + 7 = 13 в верное равенство, так  как  3· 2 +7 ≠ 13. Значит, значение х = 3 не является решением или корнем уравнения.

Решение любых линейных уравнений сводится к решению уравнений вида

aх + b = 0.

Перенесем свободный член из левой части уравнения в правую, изменив при этом знак перед b на противоположный, получим

aх = ‒ b.

Если a ≠ 0, то х = ‒ b/a .

Пример 1. Решите уравнение 3х + 2 =11.

Перенесем 2 из левой части уравнения в правую, изменив при этом знак перед 2 на противоположный, получим 
3х = 11 – 2.

Выполним вычитание, тогда
3х = 9.

Чтобы найти х надо разделить произведение на известный множитель, то есть     
х = 9 : 3.

Значит, значение х = 3 является  решением или корнем уравнения.

Ответ: х = 3.

Если а = 0 и b = 0, то получим уравнение  0х = 0. Это уравнение имеет бесконечно много  решений, так как при умножении любого числа на 0 мы получаем 0,но b тоже равно 0. Решением этого уравнения  является любое число.

Пример 2. 

Решите уравнение 5(х – 3) + 2 = 3 (х – 4) + 2х ‒ 1.

Раскроем скобки:
5х – 15 + 2 = 3х – 12 + 2х ‒ 1.

Сгруппируем  в левой части члены, содержащие неизвестные, а в правой ‒ свободные члены:
5х – 3х ‒ 2х =  – 12  ‒ 1 + 15 ‒ 2.

Приведем подобные члены:
0х = 0.

Ответ: х —  любое число.

Если а = 0 и b ≠ 0, то получим уравнение  0х = — b. Это уравнение решений не имеет, так как при умножении любого числа на 0 мы получаем 0, но  b ≠ 0 .

Пример 3. Решите уравнение х + 8 = х + 5.

Сгруппируем  в левой части члены, содержащие неизвестные, а в правой ‒ свободные члены:
х – х = 5 ‒ 8.

Приведем подобные члены: 
0х = ‒ 3.

Ответ: нет решений.

На рисунке 1 изображена схема решения линейного уравнения

Составим общую схему решения уравнений с одной переменной. Рассмотрим решение примера 4.

Пример 4. Пусть надо решить уравнение 

1) Умножим все члены уравнения на наименьшее общее кратное знаменателей, равное 12.

2) После сокращения получим
4 (х – 4) + 3·2 (х + 1) ‒ 12 = 6·5 (х – 3) + 24х – 2 (11х + 43)

3) Чтобы отделить члены, содержащие неизвестные и свободные члены, раскроем скобки:
4х – 16 + 6х + 6 – 12 = 30х – 90 + 24х – 22х – 86 .

4) Сгруппируем в одной части члены, содержащие неизвестные, а в другой – свободные члены:
4х + 6х – 30х – 24х + 22х = ‒ 90 – 86 + 16 – 6 + 12.

5) Приведем подобные члены:
‒ 22х = ‒ 154.

6) Разделим на  – 22 , Получим
х = 7.

Как видим, корень уравнения равен семи.

Вообще такие уравнения можно решать по следующей схеме

:

а) привести уравнение к целому виду;

б) раскрыть скобки;

в) сгруппировать члены, содержащие неизвестное, в одной части уравнения, а свободные члены ‒ в другой;

г) привести подобные члены;

д) решить уравнение вида aх = b,которое получили после приведения подобных членов.

Однако эта схема не обязательна для всякого уравнения. При решении многих более простых уравнений приходится начинать не с первого, а со второго (Пример. 2),  третьего (Пример. 1, 3) и даже с пятого этапа, как в примере 5.

СЛОЖНА-А-А 🙀 Ты же знаешь, что если не разобраться в теме сейчас, то потом придется исправлять оценки. Беги на бесплатное онлайн-занятие с репетитором (подробности тут + 🎁).

Пример 5. Решите уравнение 2х = 1/4.

Находим неизвестное  х = 1/4 : 2,

х = 1/8 .

Рассмотрим решение некоторых линейных уравнений, встречающихся на основном государственном экзамене.

Пример 6. Решите уравнение 2 (х + 3) = 5 – 6х.

Решение

2х + 6 = 5 – 6х

2х + 6х = 5 – 6

8х = ‒1

х = ‒1 : 8

х = ‒ 0, 125

Ответ: ‒ 0, 125

Пример 7. Решите уравнение – 6 (5 – 3х) = 8х – 7.

Решение

– 30 + 18х = 8х – 7

18х  – 8х =  – 7 +30

10х = 23

х = 23 : 10

х = 2,3

Ответ: 2,3

Пример 8.  Решите уравнение

 

Решение:

3(3х – 4) = 4 · 7х + 24

9х – 12 = 28х + 24

9х – 28х = 24 + 12

-19х = 36

х = 36 : (-19)

х = — 36/19

Ответ: — . 

Пример 9. Найдите f(6), если f (x + 2) = 3^7-х

Решение

Так как надо найти f(6), а нам известно f (x + 2),
то х + 2 = 6.

Решаем линейное уравнение х + 2 = 6,
получаем х = 6 – 2, х = 4.

Если х = 4, тогда
f(6) = 3^7-4 = 3³ = 27

Ответ: 27.

Молодец! Раз ты дочитал это до конца, вероятно, ты все отлично усвоил.  Но если вдруг что-то еще непонятно — попробуй онлайн-занятие с репетитором (подробности тут + 🎁).

Если у Вас остались вопросы, есть желание разобраться с решением уравнений более основательно, записывайтесь на мои уроки в РАСПИСАНИИ. Буду рада Вам помочь!

Также TutorOnline советует посмотреть новый видеоурок от нашего репетитора Ольги Александровны, который поможет разобраться как с линейными уравнениями, так и с другими.

 

© blog.tutoronline.ru, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Как решать линейные уравнения — формулы и примеры решения простейших уравнений

Научим решать линейные уравнения быстрее всех в классе

Начать учиться

480.4K

Сначала мы решаем уравнения в школе в тетрадях, а потом в уме на совещаниях. В статье расскажем, как решать самые простые уравнения быстро и легко.

Понятие уравнения

Уравнение — это математическое равенство, в котором неизвестна одна или несколько величин. Значение неизвестных нужно найти так, чтобы при их подстановке в пример получилось верное числовое равенство.

Например, возьмем выражение 2 + 4 = 6. При вычислении левой части получается верное числовое равенство, то есть 6 = 6.

Уравнением можно назвать выражение 2 + x = 6, с неизвестной переменной x, значение которой нужно найти. Результат должен быть таким, чтобы знак равенства был оправдан, и левая часть равнялась правой.

Корень уравнения — то самое число, которое при подстановке на место неизвестной уравнивает выражения справа и слева.

Решить уравнение значит найти все возможные корни или убедиться, что их нет.

Решить уравнение с двумя, тремя и более переменными — это два, три и более значения переменных, которые обращают данное выражение в верное числовое равенство.

Равносильные уравнения — это те, в которых совпадают множества решений. Другими словами, у них одни и те же корни.

Реши домашку по математике на 5.

Подробные решения помогут разобраться в самой сложной теме.

Какие бывают виды уравнений

Уравнения могут быть разными, самые часто встречающиеся — линейные и квадратные.

Особенность преобразований алгебраических уравнений в том, что в левой части должен остаться многочлен от неизвестных, а в правой — нуль.

Линейное уравнение выглядят так: ах + b = 0, где a и b — действительные числа. Вот, что поможет в решении:

• если а ≠ 0 — уравнение имеет единственный корень: х = -b : а;

• если а = 0 — уравнение корней не имеет;

• если а и b равны нулю, то корнем уравнения является любое число.

Квадратное уравнение выглядит так: ax2 + bx + c = 0, где коэффициенты a, b и c — произвольные числа, a ≠ 0.

Числовой коэффициент — число, которое стоит при неизвестной переменной.

Кроме линейных и квадратных есть и другие виды уравнений, с которыми мы познакомимся в следующий раз:

• кубические,
• уравнения четвертой степени,
• иррациональные и рациональные,
• системы линейных алгебраических уравнений и другие.

Онлайн-курсы по математике за 7 класс помогут закрепить новые знания на практике с талантливым преподавателем.

Как решать простые уравнения

Чтобы научиться решать простые линейные уравнения, нужно запомнить формулу и два основных правила.

1. Правило переноса. При переносе из одной части в другую, член уравнения меняет свой знак на противоположный.

Для примера рассмотрим простейшее уравнение: x+3=5.

Начнем с того, что в каждом уравнении есть левая и правая часть.

Перенесем 3 из левой части в правую и меняем знак на противоположный.

Можно проверить: 2 + 3 = 5. Все верно. Корень равен 2.

Решим еще один пример: 6x = 5x + 10.

Как решаем:

1. Перенесем 5x из правой части в левую. Знак меняем на противоположный, то есть на минус.

   6x — 5x = 10

2. Приведем подобные и завершим решение.

   x = 10

Ответ: x = 10.

2. Правило деления. В любом уравнении можно разделить левую и правую часть на одно и то же число. Это может ускорить процесс решения. Главное — быть внимательным, чтобы не допустить глупых ошибок.

Применим правило при решении примера: 4x=8.

При неизвестной х стоит числовой коэффициент — 4. Их объединяет действие — умножение.

Чтобы решить уравнение, нужно сделать так, чтобы при неизвестной x стояла единица.

Разделим каждую часть на 4. Как это выглядит:

Теперь сократим дроби, которые у нас получились и завершим решение линейного уравнения:

Рассмотрим пример, когда неизвестная переменная стоит со знаком минус: -4x = 12

Как решаем:

1. Разделим обе части на -4, чтобы коэффициент при неизвестной стал равен единице.

   -4x = 12 | : (-4)
   x = −3

Ответ: x = −3.

Если знак минус стоит перед скобками, и по ходу вычислений его убрали — важно не забыть поменять знаки внутри скобок на противоположные. Этот простой факт позволит не допустить обидные ошибки, особенно в старших классах.

Напомним, что не у каждого линейного уравнения есть решение — иногда корней просто нет. Изредка среди корней может оказаться ноль — ничего страшного, это не значит, что ход решения оказался неправильным. Ноль — такое же число, как и остальные.

Способов решения линейных уравнений немного, нужно запомнить только один алгоритм, который будет эффективен для любой задачки.

Алгоритм решения простого линейного уравнения
Раскрываем скобки, если они есть. Группируем члены, которые содержат неизвестную переменную в одну часть уравнения, остальные члены — в другую. Приводим подобные члены в каждой части уравнения. Решаем уравнение, которое получилось: aх = b. Делим обе части на коэффициент при неизвестном.

Чтобы быстрее запомнить ход решения и формулу линейного уравнения, скачайте или распечатайте алгоритм — храните его в телефоне, учебнике или на рабочем столе.

Примеры линейных уравнений

Теперь мы знаем, как решать линейные уравнения. Осталось попрактиковаться на задачках, чтобы чувствовать себя увереннее на контрольных. Давайте решать вместе!

Пример 1. Как правильно решить уравнение: 6х + 1 = 19.

Решаем так:

1. ЮПеренести 1 из левой части в правую со знаком минус.

   6х = 19 − 1

2. Выполнить вычитание.

   6х = 18

3. Разделить обе части на множитель, стоящий перед переменной х, то есть на 6.

   х = 3

Ответ: 3.

Пример 2. Как решить уравнение: 5(х − 3) + 2 = 3(х − 4) + 2х − 1.

Решаем так:

1. Раскрыть скобки

   5х − 15 + 2 = 3х − 12 + 2х − 1

2. Сгруппировать в левой части члены с неизвестными, а в правой — свободные члены. Не забываем при переносе из одной части уравнения в другую поменять знаки на противоположные у переносимых членов.

   5х − 3х − 2х = −12 − 1 + 15 − 2

3. Приведем подобные члены.

   0х = 0

Ответ: х — любое число.

Пример 3. Решить: 4х = 1/8.

Решаем так:

1. Разделим обе части уравнения на множитель стоящий перед переменной х, то есть на 4.

   х = 1/8 : 4

   х = 1/32

Ответ: 1/32.

Пример 4. Решить: 4(х + 2) = 6 − 7х.

Решаем так:

1. 4х + 8 = 6 − 7х

2. 4х + 7х = 6 − 8

3. 11х = −2

4. х = −2 : 11

5. х = −2/11

Ответ: −2/11 или −(0,18). О десятичных дробях можно почитать в другой нашей статье.

Пример 5. Решить:

Решаем так:

2. 3(3х — 4) = 4 · 7х + 24

3. 9х — 12 = 28х + 24

4. 9х — 28х = 24 + 12

5. -19х = 36

6. х = 36 : (-19)

7. х = — 36/19

Ответ: 1 17/19.

Пример 6. Как решить линейное уравнение: х + 7 = х + 4.

Решаем так:

1. Сгруппировать в левой части неизвестные члены, в правой — свободные члены:

   х – х = 4 — 7

2. Приведем подобные члены.

   0 * х = — 3

Ответ: нет решений.

Пример 7. Решить: 2(х + 3) = 5 − 7х.

Решаем так:

1. 2х + 6 = 5 − 7х

2. 2х + 7х = 5 − 6

3. 9х = −1

4. х = −1/9

Ответ: −1/9.

---

---

 

Шпаргалки для родителей по математике

Все формулы по математике под рукой

Лидия Казанцева

Автор Skysmart

К предыдущей статье

494.6K

Решение уравнений с дробями

К следующей статье

416.3K

Натуральные числа

Получите план обучения, который поможет понять и полюбить математику

Премиум

На вводном уроке с методистом

1. Проверим знание линейной алгебры и других разделов математики, выявим пробелы

2. Подберём курс

3. Познакомим с интерактивной платформой

Урок 2 | Системы линейных уравнений | Математика 8-го класса

Цель

---

Решать системы линейных уравнений графически.

Общие базовые стандарты

---

Основные стандарты

Основные стандарты, рассмотренные в этом уроке

A628D5C3-5B97-4E03-B1EC-5AD5C66D8950

• 8.EE.C.8.A — Поймите, что решения системы двух линейных уравнений с двумя переменными соответствуют точкам пересечения их графиков, потому что точки пересечения удовлетворяют обоим уравнениям одновременно.

• 8.EE.C.8.B — Решайте системы двух линейных уравнений с двумя переменными алгебраически и оценивайте решения, изображая уравнения в виде графиков. Решите простые случаи путем проверки. Например, 3x + 2y = 5 и 3x + 2y = 6 не имеют решения, потому что 3x + 2y не может быть одновременно 5 и 6.

Основополагающие стандарты

Основополагающие стандарты, рассмотренные в этом уроке

A628D5C3-5B97-4E03-B1EC-5AD5C66D8950

• 8. EE.B.6

• 8.F.B.4

Критерии успеха

Основные концепции, которые учащиеся должны продемонстрировать или понять для достижения цели урока

A628D5C3-5B97-4E03-B1EC-5AD5C66D8950

---

1. Нарисуйте систему уравнений в координатной плоскости, чтобы найти решение.
2. Используйте различные стратегии для построения графиков линейных уравнений.

Советы учителям

Предложения для учителей по проведению этого урока

A628D5C3-5B97-4E03-B1EC-5AD5C66D8950

---

Этот урок основан на способности учащихся строить графики линейных уравнений в координатной плоскости (Урок 5). Учащимся, возможно, потребуется повторить эти навыки во время урока.

Fishtank Plus

Разблокируйте функции, чтобы оптимизировать время подготовки, планировать увлекательные уроки и следить за успеваемостью учащихся.

Проблемы с якорем

Задачи, предназначенные для изучения ключевых моментов урока, и наводящие вопросы, помогающие ученикам понять

А628D5C3-5B97-4E03-B1EC-5AD5C66D8950

---

Проблема 1

Нарисуйте график системы уравнений в координатной плоскости и найдите решение.

$${y=4}$$ $${y=-x+2}$$

Наводящие вопросы

Создайте бесплатную учетную запись или войдите, чтобы получить доступ к наводящим вопросам по этой якорной задаче.

Проблема 2

Начертить систему уравнений на координатной плоскости. Найдите решение системы и проверьте его алгебраически.

$${2x-3y=18}$$ $${2x+y=2}$$

Наводящие вопросы

Создайте бесплатную учетную запись или войдите, чтобы получить доступ к наводящим вопросам по этой якорной задаче.

Каталожные номера

EngageNY Mathematics Grade 8 Mathematics > Модуль 4 > Тема D > Урок 25 — Упражнение 4

Математика для 8 класса > Модуль 4 > Тема D > Урок 25 общеобразовательной программы штата Нью-Йорк по математике от EngageNY и Great Minds. © 2015 Великие умы. Лицензировано EngageNY Департамента образования штата Нью-Йорк в соответствии с лицензией США CC BY-NC-SA 3.0. По состоянию на 2 декабря 2016 г., 17:15.

Изменено Fishtank Learning, Inc.

Проблема 3

Линия $$a$$ показана на координатной сетке. Постройте прямую $$b$$ на координатной сетке так, чтобы

• Прямая $$a$$ и прямая $$b$$ представляли систему линейных уравнений с решением ($$6$$, $$-2$ $).
• Наклон линии $$b$$ больше $$-1$$ и меньше $$0$$.
• Пересечение $$y$$ линии $$b$$ положительно.

Наводящие вопросы

Создайте бесплатную учетную запись или войдите, чтобы получить доступ к наводящим вопросам для этой основной проблемы.

Каталожные номера

Консорциум Smarter Balanced Assessment: Образцы элементов Элемент MAT.08.TE.2.000EE.B.149

Элемент MAT.08.TE.2.000EE.B.149 из Образца элементов Smarter Balanced Assessments предоставлены Консорциум Smarter Balanced Assessment. © Регенты Калифорнийского университета – Консорциум Smarter Balanced Assessment. По состоянию на 20 марта 2018 г., 12:38.

Набор проблем

Набор предлагаемых ресурсов или типов задач, которые учителя могут преобразовать в набор задач а Подписка Fishtank Plus.

Целевая задача

Задача, которая представляет собой пик мышления урока — мастерство покажет, была ли достигнута цель

A628D5C3-5B97-4E03-B1EC-5AD5C66D8950

---

Начертите систему уравнений на координатной плоскости. Алгебраически проверьте, что ваш ответ является решением системы.

$${2x-4y=8}$$ $${y={3\over2}x}$$

Ответ студента

Пример ответа на Целевое задание с ожидаемым от учащихся уровнем детализации.

А628Д5К3-5Б97-4Э03-Б1ЭК-5АД5К66Д8950

Создайте бесплатную учетную запись или войдите, чтобы просмотреть ответ студента

Дополнительная практика

---

Следующие ресурсы включают задачи и задания, связанные с целью урока, которые можно использовать для дополнительной практики или для создания собственного набора задач.

• Примеры, в которых учащиеся графически изображают системы уравнений, записанные в форме пересечения наклона, и определяют решение

• Kuta Software Бесплатная алгебра 1 Рабочие листы Решение систем уравнений графическим способом — Проблема № 6 — это система «нет решения», которая будет рассмотрена в уроке 3. Либо удалите этот вопрос, либо предложите учащимся обдумать возможное решение.
• Алгебра на примерах 4.1 Решение систем уравнений с помощью графиков
• EngageNY Mathematics Grade 8 Mathematics > Модуль 4 > Тема D > Урок 25 — Упражнения и набор задач
• Open Middle Создайте систему уравнений, учитывая 1 уравнение и решение — Испытание
• Открытая середина Системы уравнений – Таблица значений и наклонов Форма пересечения

значок/стрелка/вправо/крупная копия

Урок 1

значок/стрелка/вправо/крупный

Урок 3

Решение линейных уравнений с одной переменной

---

8 класс: Решение линейных уравнений с одной переменной

900 05 Рейтинг: 

http://map. mathshell.org/materials/download.php?fileid=1286

Общие базовые стандарты

Стандарты содержания

8.EE.7 Решение линейных уравнений с одной переменной.

8.EE.7a Приведите примеры линейных уравнений с одной переменной с одним решением, бесконечным числом решений или отсутствием решений. Покажите, какая из этих возможностей имеет место, последовательно преобразовывая данное уравнение в более простые формы, пока не получится эквивалентное уравнение вида x = a, a = a или a = b (где a и b — разные числа).

8.EE.7b Решите линейные уравнения с коэффициентами рациональных чисел, включая уравнения, решения которых требуют расширения выражений с использованием свойства дистрибутивности и сбора подобных членов.

Стандарты математической практики

MP.1 – Разбираться в проблемах и настойчиво решать их.

МЦ.3 – Придумывайте обоснованные аргументы и критикуйте рассуждения других

МН. 7 – Ищите и используйте структуру

Описание урока

В этом уроке под названием «Решение линейных уравнений с одной переменной» по карте. mathshell.org, учащиеся начинают с выполнения предварительной оценки, во время которой учащиеся начинают изучать, что означает истинность уравнения. Учащихся просят критически оценить работу двух учащихся для этой оценки. Урок переходит к обсуждению того, как узнать, что уравнение истинно, и определению значений, чтобы сделать уравнение верным. Учащиеся совместно определяют, всегда ли, иногда или никогда не будет истинным уравнение, представляющее три возможных решения линейного уравнения (одно решение, отсутствие решения, бесконечное множество решений). Урок также включает в себя задание по сопоставлению карточек, где учащиеся сопоставляют разные уравнения с другими уравнениями с тем же решением. Уроки содержат огромное количество информации для наводящих вопросов, способствующих рассуждению и развитию концептуального понимания.

Предостережения

Некоторые из предостережений этого урока включают отсутствие поддержки для изучающих английский язык. Также отсутствует поддержка культурного разнообразия. Уроку не хватает дополнительной поддержки для учащихся, работающих как выше, так и ниже уровня класса. Есть примеры решений, но нет критерия для объективных оценок. Отсутствует применение к реальным сценариям и возможность продвигать передачу. Также должен быть добавлен какой-то способ настроить это для более мультикультурных студентов.

Обоснование выбора

Урок представляет собой насыщенный урок, в котором учащиеся работают на уровне строгости CCSS. Учащиеся активно участвуют в этой деятельности, используя практические манипуляции для сопоставления разных карточек и используя несколько представлений концепции. Существует взвешенный подход к работе с понятиями и процедурами. Студенты должны сообщать о своем понимании в нескольких форматах, обосновывать свои рассуждения и критиковать рассуждения других. Самый ценный ресурс урока — это вопросы, заданные учителям, которые способствуют рассуждению учащихся. Эти стратегии задавания вопросов, а также потенциальные области непонимания полезны для учителей, помогая им предвидеть и исправлять непонимание учащихся.