Всероссийская олимпиада школьников по математике школьный этап 7 класс – Всероссийская олимпиада в Москве | Такой страницы не существует

Содержание

Математика 7 класс, школьный этап (I этап), г. Москва, 2016 год

Задание 1

(7 баллов) Приведите пример двух обыкновенных дробей, разность которых в три раза больше их произведения. Приведите вычисления, обосновывающие это свойство.

Ответ. Например, 1/2 и 1/5

Решение

Подходят любые дроби вида 1/n и 1/(n+3), есть и другие решения.

Критерии проверки

Любое полное верное решение — 7 баллов.
Приведён верный ответ без обоснования — 3 балла.

Задание 2

(7 баллов) Покажите, как разрезать фигуру на три части и сложить из них квадрат.

Рисунок к 2 заданию

Решение

1 способ

Рисунок 1 к решению 2 задания

Рисунок 2 к решению 2 задания

2 способ

Рисунок 3 к решению 2 задания

Рисунок 4 к решению 2 задания

Возможны и другие решения.

Критерии проверки.

Любое верное решение (на рисунках показано, как разрезать трапецию и как складывать квадрат) — 7 баллов.
Неполное решение (показано только, как разрезать трапецию или как сложить квадрат) — 3 балла.

Задание 3

(7 баллов) На доске написано число 49. За один ход разрешается либо удваивать число, либо стирать его последнюю цифру. Можно ли за несколько ходов получить число 50?

Ответ. Можно.

Решение

Число 50 можно получить, удвоив 25, а 25 можно получить, стерев последнюю цифру числа 256, которое является степенью двойки. Таким образом, необходимая цепочка преобразований может выглядеть так:

49 → 4 → 8 → 16 → 32 → 64 → 128 → 256 → 25 → 50.

Существуют и другие решения.

Критерии проверки.

Любое полное верное решение — 7 баллов.
Неполное решение (например, указано, что 50 можно получить из числа 256, но не указано, как получить 256) — 3 балла.
Приведён только ответ — 0 баллов.

Задание 4

(7 баллов) Один из трёх друзей: Андрей, Борис или Владимир — самый сильный, другой — самый умный, третий — самый добрый. Однажды они сказали следующее:

Андрей: Владимир сильнее меня.

Борис: Я умнее Владимира.

Владимир: Борис умнее меня.

Известно, что самый сильный и самый добрый сказали правду, самый умный соврал и среди них нет двух людей, равных по силе.

Верно ли, что среди трёх друзей тот, кто самый добрый, тот и самый слабый?

Обоснуйте свой ответ.

Ответ. Да.

Решение

Обозначим: А — Андрей, Б — Борис, В — Владимир. Утверждения Б и В повторяют друг друга, а так как имеется только одно неверное утверждение среди трёх, Б и В сказали правду, А — ложь. Следовательно, А самый умный (по условию), А сильнее В (так как А соврал) и Б умнее В (так как Б и В сказали правду). Раз А сильнее В, то В не самый сильный. Получается, что самый сильный Б, средний по силе А, самый слабый — В. При этом В не самый умный и не самый сильный, значит, он самый добрый.

Для наглядности можно занести имеющуюся информацию в таблицу. Будем обозначать «места» каждого качества: 1 — первое место (самый умный / сильный / добрый), 2 — среднее, 3 — последнее место.

	умный	сильный	добрый
А	1	2
Б		1
В		3	1

Из таблицы видно, что В — самый добрый и самый слабый.

Критерии проверки

Любое полное верное решение — 7 баллов.
Верно и обоснованно найдено, кто самый сильный, кто самый умный и кто самый добрый, а дальше продвижений нет — 5 баллов.
Обоснованно получено, Андрей самый умный, верно распределены друзья по силе (все 3 места), но не получено или не соотнесено с тем, что Владимир самый добрый, — 5 баллов.

Приведены рассуждения только для частного случая (например, рассмотрен только случай, что Андрей сказал неправду) без рассмотрения остальных частных случаев и без указания на их невозможность — 2 балла.
Верный ответ с указанием, кто самый умный, кто самый сильный и кто самый добрый, с проведённой проверкой, что при такой расстановке все условия задачи выполнены, но без обоснований — 2 балла.
В самом начале рассуждений допущена ошибка — 0 баллов.
Приведён только ответ — 0 баллов.

Задание 5

(7 баллов) Мама гуляет с коляской вокруг озера и полностью обходит озеро за 12 минут. Ваня по той же дорожке в ту же сторону ездит на самокате и встречает (обгоняет) маму каждые 12 минут. Через какие промежутки времени

Ваня будет встречать маму, если он будет ездить с той же скоростью, но в обратном направлении?

Ответ

. Через 4 минуты.

Решение

Так как мама полностью обходит озеро за 12 минут и встречает Ваню раз в 12 минут, за 12 минут Ваня проезжает вокруг озера ровно 2 раза, а мама — один. Значит, скорость Вани в 2 раза больше скорости мамы. Отсюда следует, что, когда Ваня ехал в том же направлении, что и мама, скорость их сближения была равна скорости мамы. Если Ваня будет ехать в противоположном направлении, то скорость их сближения будет равна трём скоростям мамы, то есть будет в три раза больше. Значит, он будет встречать маму в три раза чаще, то есть через каждые 4 минуты.

Это рассуждение можно провести, введя обозначение для длины дорожки.

Пусть a — длина дорожки вокруг озера (в метрах), тогда скорость мамы равна a/12 (м/мин), а скорость Вани — a/6 (м/мин). Скорость сближения в случае, если мама и Ваня едут навстречу друг другу равна 3a/12=a/4 (м/мин). Следовательно, с такой скоростью они преодолеют вместе

a метров за 4 минуты, т. е. будут встречаться раз в 4 минуты.

Критерии проверки

Любое полное верное решение — 7 баллов.
Верно найдено, что скорость Вани в 2 раза больше скорости мамы, верно найдена сумма скоростей, но окончательный вывод сделан неверно — 2 балла.
Верно и обоснованно найдено, что скорость Вани в 2 раза больше скорости мамы, но дальнейшие рассуждения либо не обоснованы, либо не доведены до конца — 1 балл.
Решение, в котором приведены конкретные расстояния и скорости и получен верный ответ, — 1 балл.
Только верный ответ — 0 баллов.

Максимальный балл за все выполненные задания — 35.

olimpiadnye-zadanija.ru

Олимпиадные задания по математике (7 класс) на тему: Школьный тур Всероссийской олимпиады школьников по математике 7 класс.

Школьный этап Всероссийской олимпиады школьников по математике 7 класс

2016-2017 учебный год

7 класс

Найдите сумму всех двузначных чисел, которые делятся без остатка на 3 (7 баллов)

Два брата ели конфеты из коробки. Один брат съел половину всех конфет и еще одну. Второй брат – половину оставшихся и еще три конфеты. После этого в коробке осталось 4 конфеты. Сколько конфет было в коробке первоначально? (7 баллов)

В команде рептилий были только черепашки. Черепашек было больше 50-ти, но меньше 100.

На церемонии открытия Олимпийских Игр Зверей эту команду никак не удавалось построить рядами по 2, 3, или 4 животных, так как одного животного всегда не хватало в последнем ряду. Поэтому пришлось построить команду черепашек рядами по 5 животных в каждом ряду. Сколько всего черепашек было в команде рептилий?

Решите уравнение 3x + 5y = 7 в целых числах . (7 баллов)

Домик Кролика нарисован 4 раза, а домик Пятачка только один раз. Где домик Пятачка? (7 баллов)

Всероссийская олимпиада школьников по математике

2012-2013 учебный год

Школьный этап

7 класс

Найдите сумму всех двузначных чисел, которые делятся без остатка на 3
Два брата ели конфеты из коробки. Один брат съел половину всех конфет и еще одну. Второй брат – половину оставшихся и еще три конфеты. После этого в коробке осталось 4 конфеты. Сколько конфет было в коробке первоначально?

В команде рептилий были только черепашки. Черепашек было больше 50-ти, но меньше 100.

На церемонии открытия Олимпийских Игр Зверей эту команду никак не удавалось построить рядами по 2, 3, или 4 животных, так как одного животного всегда не хватало в последнем ряду. Поэтому пришлось построить команду черепашек рядами по 5 животных в каждом ряду.Сколько всего черепашек было в команде рептилий?

Решите уравнение 3x + 5y = 7 в целых числах.

Домик Кролика нарисован 4 раза, а домик Пятачка только один раз. Где домик Пятачка?

nsportal.ru

Школьный тур олимпиады по математике (7 класс)

Муниципальное казенное общеобразовательное учреждение

средняя общеобразовательная школа № 10

Школьный тур олимпиады по математике

для учащихся 7 классов

2014 – 2015 учебный год

Составитель: учитель математики

Коновалова Татьяна Владимировна

Квалификационная категория: без категории

Свердловская область, г.Кушва

2014 г

Пояснительная записка.

Олимпиада проводится с целью повышения интереса учащихся к математике, расширения кругозора, выявления наиболее способных учащихся, повышения общего уровня преподавания математики в начальных классах.

К участию в данной олимпиаде допускаются желающие учащиеся. Учащимся предлагается 15 заданий, расположенных по мере нарастания сложности. Для каждого задания необходимо написать решение-рассуждение. На работу отводится 1час 30 мин

Затем листы с решениями, и данными участника сдаются и направляются для проверки и обработки.

Для учащихся 7 классов 15 задач конкурса поделены на 5 части:

3 наиболее лёгких задач, рассматриваемых на уроках (№1,2,3,), оцениваемых в 2 балл каждая;
3 задачи потруднее (№ 4,5,6), оцениваемых в 3 балла;
4 задачи (№ 7,8,9, 10), за решение каждой из которых даётся 4 балла;
2 более трудные задачи (№ 11, 12), оцениваемые в 4 балла.
3 наиболее трудные задачи (№ 13,14,15), оцениваемые в 5 баллов.

Таким образом, участник конкурса может набрать максимально 59 баллов.

Задания подобраны так, что среди участников олимпиады не будет ни одного, кто наберёт 0 баллов!

МКОУ СОШ № 10

школьный тур олимпиады по математике

7 класс

(2 балла) Вася может получить число 100, используя десять семерок, скобки и знаки арифметических действий:

100 = (77:7 – 7:7) · (77:7 – 7:7). Улучшите его результат: используя меньшее число семерок и получите число 100 (достаточно привести один пример).

( 2 балла) Решить уравнение:

( 2 балла) В одной комнате сидят 9 человек, и их средний возраст – 25 лет. В другой комнате сидят 11 человек, и их средний возраст – 45 лет. Каков средний возраст всех 20 человек? (ответ обосновать).

( 3 балла) Решить уравнение:

( 3 балла) Улитка взбирается на ветку длиной 10дм. За день она поднимается на 4 дм, а за ночь сползает вниз на 3 дм. Через сколько дней улитка достигнет конца ветки? (ответ обосновать).

( 3 балла) Сколько прямоугольных пластин 20х45 см можно вырезать из фанерного листа 120х240 см? (ответ обосновать).

( 4 балла) Когда в Москве полдень, в Чикаго 3 часа утра. Когда в Москве 3 часа утра, в Петропавловске-Камчатском полдень. Сколько времени в Чикаго, когда в Петропавловске-Камчатском 3 часа утра? (ответ обосновать).

( 4 балла) Ребро куба равно 1 дм. Муха ползет по ребрам куба, не проходя по одному ребру дважды ( но, возможно, проходя несколько раз через одну вершину). Какой самый длинный путь она может проползти? (ответ обосновать).

( 4 балла) 12 мальчиков и 8 девочек являются членами математического клуба. Каждую неделю в клуб принимают двух новых девочек и одного мальчика. Сколько будет членов в клубе в тот день, когда мальчиков и девочек станет поровну? (ответ обосновать).

(4 балла) Три подруги вышли в белом, синем, зелёном платьях и туфлях таких же цветов. Известно, что только у Ани цвет платья и туфель совпадает. Ни платье, ни туфли Вали не были белыми. Наташа была в зелёных туфлях. Определите цвет платья и туфель каждой подруги. (ответ обосновать).

(5 баллов) Белоснежка раздавала семи гномам грибы. Каждый следующий гном получал на один гриб больше предыдущего, а все вместе они получили 707 грибов. Сколько грибов получил последний гном? (ответ обосновать).

(5 баллов) Джек может купить бутылку пепси за 3 доллара. Пустую бутылку можно сдать за 2 доллара. Сколько бутылок пепси может выпить Джек, имея 10 долларов? (ответ обосновать).

(6 баллов) Пусть выражение a ¤ b обозначает сумму цифр в произведении a · b. Найти чему равняется (15 ¤ 10) ¤ (15 ·10)?. (ответ обосновать).

( 6 баллов) В апреле некоторого года три воскресенья пришлись на нечетные числа. Какой день недели был 20-го апреля? (ответ обосновать).

( 6 баллов) Из корзины яиц взяли половину всего количества яиц, потом ещё половину остатка, затем половину нового остатка и, наконец, половину следующего остатка. В итоге в корзине осталось 10 яиц. Сколько яиц первоначально было в корзине? (ответ обосновать).

Приложение 1

МКОУ СОШ № 10

школьный тур олимпиады по математике

7 класс

решения

100 = (7 ·7 + 7 : 7)·(7:7+7:7), 100 = 777:7 – 77:7 могут быть и другие варианты

1) 25·9 = 225(л) – общий возраст 9 человек

2) 45·11 = 495(л) – общий возраст 11человек

3) 225 + 495 = 720(л) – общий возраст 20 человек

4) 720 : 20 = 36(л) средний возраст 20 человек

Ответ: 36 лет. могут быть и другие варианты решения

В 1-й день улитка поднимется до 4 дм, ночью спустится до 1 дм. Во 2-й день поднимется до 5 дм, ночью спустится до 2 дм. В 3-й день поднимется до 6 дм, ночью спустится до 3 дм. В 4-й день поднимется до 7 дм, ночью спустится до 4 дм. В 5-й день поднимется до 8 дм, ночью спустится до 5 дм. В 6-й день поднимется до 9 дм, ночью спустится до 6 дм. Во 7-й день поднимется до 10 дм. Ответ 7 дней. (может быть и графическое решение)

1) 120·240 = 28800(см²) – площадь фанерного листа

2) 20·45 – 900(см²) – площадь пластины

3) 28800:900 = 32

Ответ: 32 пластины

Москва

Чикаго

Петропавловск-Камчатский

12-00

03-00 (т.е Москва – 9 час)

03-00

12-00 (т.е. Москва + 9 час)

03-00 – 9 час = 18-00

18-00 – 9 час = 09-00

03-00

Ответ 9 часов утра

Ответ проползет по 9 ребрам, т.е. ее путь составит 9 дм

Мальчики девочки

12 8

1 неделя +1 +2

13 10

2 неделя +1 +2

14 12

3 неделя +1 +2

15 14

4 неделя +1 +2

16 16

Ответ 32 члена клуба

Аня Валя Наташа

Платье белое не белое зеленое синее

Туфли белые не белые т.е синие зеленые

Пусть х – грибов получил 1-й гном, х+1 – 2й, х+2 – 3й, х+3 – 4й, х+4 – 5й, х+5 – 6й, х+6 – 7й, тогда

98 + 6 = 104 гриба

Ответ 104 гриба получил последний гном

10 долларов

3 бутылки пепси + 1 доллар

3бутылки · 2 = 6 долларов + 1 доллар

2 бутылки пепси + 1 доллар

2 бутылки · 2 = 4 доллара + 1 доллар

1 бутылка пепси + 2 доллара

1 бутылка ·2 = 2 доллара + 2 доллара

1 бутылка пепси + 1 доллар

1 бутылка ·2 = 2 доллара + 1 доллар

1 бутылка пепси

Ответ 8 бутылок пепси

15 ¤ 10 – сумма цифр произведения 15 · 10 = 150 т.е 1+5+0 = 6, 6¤(15·10) – сумма цифр произведения 6·150 = 900 т.е 9+0+0 = 9

Ответ 9

Предположим, что первое воскресенье было 1-е число, тогда 2-е воскресенье – 8-е число, 3-е воскресенье – 15-е число, 4-е воскресенье – 22-е число, 5-е воскресенье – 29-е число, ( 3 воскресенья выпали на нечетные числа) тогда 20-е число приходится на пятницу.

Предположим, первое воскресенье было 2-е число, тогда остальные воскресенья придутся на 9-е, 16-е, 23-е, 30-е числа (т.е. нечетными являются только 2 воскресенья в месяц, что не подходит по условию).

Предположим, первое воскресенья было 3-е число, тогда остальные воскресенья придутся на 10-е, 17-е, 24-е числа (т.е. нечетными являются только 2 воскресенья в месяц, что не подходит по условию), другие варианты невозможны т.к. в месяце будет только 4 воскресенья, 2 из которых четные числа и 2 нечетные, что не соответствует условию. Ответ пятница

Пусть х – яиц в корзине, — взяли в первый раз, — взяли во 2й раз, — взяли в 3й раз, — взяли в 4й раз

Ответ 160 яиц было в корзине

infourok.ru

Школьная олимпиада по математике 7-8 класс

Школьный этап Всероссийской олимпиады школьников

по математике в 2015-2016 году

7 класс

(3 балла) Расставьте знаки арифметических действий и скобки там, где считаете нужным, чтобы получилось верное равенство:
2 4 6= 3 3 3

(4 балла) На клетчатой бумаге изображена чашка с крышкой (см. рис. 1). На покраску крышки израсходовали 30 г краски. Сколько ещё нужно грамм краски для покраски чашки? Не забудьте обосновать ответ.

(5 балла) В записи ***** × *** = ******1 замените звёздочки нулями и единицами так, чтобы получилось верное равенство.

(6 балла) Доктор Айболит раздал четырем заболевшим зверям 2006 чудодейственных таблеток. Носорог получил на одну больше, чем крокодил, бегемот – на одну больше, чем носорог, а слон – на одну больше, чем бегемот. Сколько таблеток придется съесть слону?

(7 балла) В озере водятся караси, окуни и щуки. Два рыбака поймали вместе 70 рыб, причем улова первого рыбака – караси, а улова второго – окуни. Сколько щук поймал каждый, если оба поймали поровну карасей и окуней?

Критерии оценивания

7 класс :

Решений может быть несколько. Например, такие: а); б) ; в) 2+4–6=(3 – 3):3

Баллы

Правильность (ошибочность) решения

Решено верно три варианта

Решено верно два варианта

Решён верно один вариант

Решение отсутствует

2. На клетчатой бумаге изображена чашка с крышкой (см. рис. 1). На покраску крышки израсходовали 30 г. краски. Сколько ещё нужно грамм краски для покраски чашки?

Ответ: 45 г

Решение: Площадь закрашенной части составляет ровно 2 клеточки. Тогда на покраску 1 клетки расходуется 15 г краски. Площадь «чашки» составляет 3 клеточки. Тогда на ее покраску потребуется еще 45 г краски.

Баллы

Правильность (ошибочность) решения

Полное верное решение

Выполнено 0,75 части задания

Выполнено 0,5 части задания

Выполнено 0,25 части задания

Решение отсутствует.

3. Например, так: 10001 × 111 = 1110111.

Баллы

Правильность (ошибочность) решения

Полное верное решение

Выполнено 0,8 части задания

Выполнено 0,6 части задания

Выполнено 0,4 части задания

Выполнено 0,2 части задания

Решение отсутствует

4.(2006 – (1+2+3)):4=500 таблеток получил крокодил. Значит, слону придётся съесть 503 таблетки. Ответ: 503 таблетки.

Баллы

Правильность (ошибочность) решения

Полное верное решение

5-4

Верное решение. Имеются небольшие недочеты, в целом не влияющие на решение.

3-2

Решение верное , но допущены вычислительные ошибки

Рассмотрены отдельные важные случаи при отсутствии решения (или при ошибочном решении).

Решение отсутствует.

5. Ответ: Первый – 2, второй – 0.

Первый поймал число рыб кратное 9, а второй кратное 17. Но можно подобрать только два числа, дающих в сумме 70, так, чтобы одно делилось на 9, а второе – на 17. Эти числа: 36 и 34. Значит, первый поймал 36 рыб, а второй – 34. Тогда из условия следует, что оба поймали по 20 карасей и 14 окуней. Значит, первый поймал еще 2 щуки, а второй – 0.

Баллы

Правильность (ошибочность) решения

Полное верное решение

6-5

Верное решение. Имеются небольшие недочеты, в целом не влияющие на решение.

4-3

Решение верное , но допущены вычислительные ошибки

2-1

Рассмотрены отдельные важные случаи при отсутствии решения (или при ошибочном решении).

Решение отсутствует.

Школьный этап Всероссийской олимпиады школьников

по математике в 2015-2016 году

8 класс

(3 балла) Найти сумму всех трёхзначных чисел, произведение цифр которых равно 6.

(4 балла) Как с помощью прямоугольной плитки размером 7см на 9см начертить отрезок длиной 1 см?

(5 балла) Найдите все решения ребуса:

РАЗ
+ АЗ
З
444
Одинаковым буквам соответствуют одинаковые цифры.

(6 балла) Три друга сделали по одному заявлению про целое число х. Петя: «Число х больше 4, но меньше 8». Вася: «Число х больше 6, но меньше 9». Толя: «Число х больше 5, но меньше 8». Найдите число х, если известно, что двое из друзей сказали правду, а третий солгал. Нужно не только проверить, что найденное число годится, но и объяснить, почему другие варианты ответа невозможны.

(7 балла) Трое мужчин пришли к парикмахеру. Побрив первого, тот сказал: «Посмотри сколько денег в ящике стола, положи столько же и возьми 2 доллара сдачи». Тоже он сказал второму и третьему. Когда они ушли, оказалось, что в ящике денег нет. Сколько было денег в ящике первоначально, если всем удалось совершить задуманное?

Решения. Критерии оценивания

8 класс :

Найдём все трёхзначные числа, произведение цифр которых равно 6. 6=611=321. Итак, таких чисел будет девять: 611, 161, 116, 321, 312, 231, 213, 132, 123. Их сумма равна 2220. Ответ: 2220.

Баллы

Правильность (ошибочность) решения

Полное верное решение

Решение в целом верное. Однако решение содержит влияющие существенные ошибки

Рассмотрены отдельные важные случаи при отсутствии решения (или при ошибочном решении).

Решение отсутствует

2. Как с помощью прямоугольной плитки размером 7см на 9см начертить отрезок длиной 1 см?

Решение: Четыре раза отложим от точки А на прямой отрезок, равный 7 см, получим отрезок АВ длины 28 см. Теперь на этом же отрезке от его начала А трижды отложим отрезок, равный 9 см. Получим отрезок АС длины 27 см. Тогда отрезок ВС искомый.

Баллы

Правильность (ошибочность) решения

Полное верное решение

3-2

Верное решение. Имеются небольшие недочеты, в целом не влияющие на решение.

Рассмотрены отдельные важные случаи при отсутствии решения (или при ошибочном решении).

Решение отсутствует

3Так как сумма трех цифр «З» дает на конце четверку, то «З» может быть только 8. Цифра «Р» может принимать только два значения: 3 и 4. Для каждого случая однозначно находим «А».
Ответ: 368+68+8=444, 418+18+8=444.

Баллы

Правильность (ошибочность) решения

Полное верное решение

4-3

Верное решение. Имеются небольшие недочеты, в целом не влияющие на решение.

2-1

Рассмотрен один случай

Решение отсутствует

4. Ответ: 6. Решение. Ясно, что число х должно быть больше 4, но меньше 9, иначе все солгали. Поэтому для числа х есть всего четыре возможности: 5, 6, 7, 8. Если х=5, то правду сказал только Петя. Если х=8, то правду сказал только Вася. Если х=7, то правду сказали все трое. И только при х=6 правду скажут двое: Петя и Толя

Баллы

Правильность (ошибочность) решения

Полное верное решение

5-4

Верное решение. Имеются небольшие недочеты, в целом не влияющие на решение.

3-2

Решение в целом верное. Однако решение содержит влияющие существенные ошибки либо пропущены случаи, не на логику рассуждений.

Рассмотрены отдельные важные случаи при отсутствии решения (или при ошибочном решении).

Решение отсутствует

5. Ответ: 175 центов.

После того, как третий положил свои деньги, в столе оказалось 2 доллара. Это означает, что перед тем, как он это сделал, в столе был 1 доллар. Значит, после того, как второй положил деньги, в столе было 3 доллара, а перед тем, как он это сделал, в столе было 1,5 доллара. Рассуждая аналогично для первого, получаем, что перед приходом первого в столе был (1,5+2):2=1,75 долларов.

Баллы

Правильность (ошибочность) решения

Полное верное решение

6-5

Верное решение. Имеются небольшие недочеты, в целом не влияющие на решение.

4-3

Доказаны вспомогательные утверждения, помогающие в решении задачи.

Рассмотрены отдельные важные случаи при отсутствии решения (или при ошибочном решении).

Решение отсутствует

Важно отметить, что любое правильное решение оценивается в 7 баллов. Недопустимо снимать баллы за то, что решение слишком длинное, или за то, что решение школьника отличается от приведенного в методических разработках или от других решений, известных жюри.

В то же время любой сколь угодно длинный текст решения, не содержащий полезных продвижений, должен быть оценен в 0 баллов.

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ по проведению школьного этапа Всероссийской олимпиады школьников по математике в 2015/2016 учебном году

Интернет-ресурс: http://www.problems.ru/

infourok.ru

Школьный этап ВОШ по математике в 7 классе

Школьный этап ВОШ по математике

7 класс 2015-2016 учебный год

Две лошади начали пить воду из одного бака, доверху наполненного водой. Гнедая лошадь выпила половину трети четверти половины бака, а вороная – четверть половины трети половины бака. Какая лошадь выпила больше воды? (1 балл)
Как тремя движениями ножа разрезать головку сыра на восемь равных кусков? (1 балл)
Каждый из трёх мальчиков либо всегда говорит правду, либо всегда лжет. На вопрос «Есть ли хотя бы один лжец среди двух остальных?» первый ответил: «Нет», второй ответил: «Да». Какой ответ дал третий мальчик. Ответ объясните. (2 балла)
Прямоугольник разделён двумя отрезками на четыре прямоугольника, площади трёх из которых 2 см², 4 см², 6 см². Найдите площадь прямоугольника. (2 балла)

5. Из 100 ребят, отправляющихся в детский оздоровительный лагерь, кататься на сноуборде умеют 30 ребят, на скейтборде – 28, на роликах – 42. На скейтборде и на сноуборде умеют кататься 8 ребят, на скейтборде и на роликах – 10, на сноуборде и на роликах – 5, а на всех трёх – 3. Сколько ребят не умеют кататься ни на сноуборде, ни на скейтборде, ни на роликах? (3 балла)

Ответы и решения.

1. Две лошади начали пить воду из одного бака, доверху наполненного водой. Гнедая лошадь выпила половину трети четверти половины бака, а вороная – четверть половины трети половины бака. Какая лошадь выпила больше воды? (1балл)

Ответ: лошади выпили равное количество воды.

Решение.

1) – такую часть воды из бака выпила гнедая лошадь,

2) – такую часть воды из бака выпила вороная лошадь.

2. Как тремя движениями ножа разрезать головку сыра на восемь равных кусков? (1 балл)

3. Каждый из трех мальчиков либо всегда говорит правду, либо всегда лжет. На вопрос «Есть ли хотя бы один лжец среди двух остальных?» первый ответил: «Нет», второй ответил: «Да». Какой ответ дал третий мальчик. Ответ объясните. (2 балла)

Ответ: «Нет».

Решение. Если предположить, что первый мальчик сказал правду, то оказывается, что все трое правдивы, а второй мальчик солгал, т.е. получаем противоречие. Значит, первый мальчик лжец, а второй сказал правду.

Предполагая, что третий мальчик всегда говорит правду, получаем, что первый ученик сказал правду, т.е. получаем противоречие. Значит, третий мальчик – лжец, т.е. он солгал и ответил: «Нет».

Примечание: За ответ «нет» — 1 балл, за верный ответ с пояснениями — 2 балла.

4. Прямоугольник разделен двумя отрезками на четыре прямоугольника, площади трех из которых 2 см², 4 см², 6 см². Найдите площадь прямоугольника. (2 балла)

Решение: Так как верхние прямоугольники имеют общую сторону и площадь правого в 2 раза больше, то и его вторая сторона будет в два раза больше. Аналогично и вторая сторона правого нижнего прямоугольника будет больше стороны верхнего левого прямоугольника в 3 раза. А это означает, что площадь нижнего правого четырехугольника будет в 6 раз больше площади левого верхнего прямоугольника, то есть будет равна 12 см². Поэтому площадь всего прямоугольника будет равна 24 см².

Ответ: 24 см².

5. Из 100 ребят, отправляющихся в детский оздоровительный лагерь, кататься на сноуборде умеют 30 ребят, на скейтборде – 28, на роликах – 42. На скейтборде и на сноуборде умеют кататься 8 ребят, на скейтборде и на роликах – 10, на сноуборде и на роликах – 5, а на всех трех – 3. Сколько ребят не умеют кататься ни на сноуборде, ни на скейтборде, ни на роликах? (3 балла)

Решение:

Всеми тремя спортивными снарядами владеют три человека, значит, в общей части кругов вписываем число 3. На скейтборде и на роликах умеют кататься 10 человек, а 3 из них катаются еще и на сноуборде. Следовательно, кататься только на скейтборде и на роликах умеют 10-3=7 ребят. Аналогично получаем, что только на скейтборде и на сноуборде умеют кататься 8-3=5 ребят, а только на сноуборде и на роликах 5-3=2 человека. Внесем эти данные в соответствующие части. Определим теперь, сколько человек умеют кататься только на одном спортивном снаряде. Кататься на сноуборде умеют 30 человек, но 5+3+2=10 из них владеют и другими снарядами, следовательно, только на сноуборде умеют кататься 20 ребят. Аналогично получаем, что только на скейтборде умеют кататься 13 ребят, а только на роликах – 30 ребят. По условию задачи всего 100 ребят. 20+13+30+5+7+2+3=80 – ребят умеют кататься хотя бы на одном спортивном снаряде. Следовательно, 20 человек не умеют кататься ни на одном спортивном снаряде.

Ответ. 20 человек не умеют кататься ни на одном спортивном снаряде.

infourok.ru

Олимпиадные задания по математике 5

Олимпиадные задания

по математике для проведения школьного этапа Всероссийской олимпиады школьников в 2017 — 2018 уч. году.

( 5-7 кл)

класс

Замените знаки * цифрами:

Дедка вдвое сильнее Бабки, Бабка втрое сильнее Внучки, Внучка вчетверо сильнее Жучки, Жучка впятеро сильнее Кошки, Кошка вшестеро сильнее Мышки. Без Мышки все остальные не могут вытащить репку, а вместе с Мышкой – могут. Сколько мышек надо собрать вместе, чтобы эти мышки смогли вытащить репку сами?
Сумма всех чисел, изображенных на циферблате часов, равна 78. Раздели циферблат двумя прямыми линиями на три части так, чтобы сумма чисел в каждой части была одинаковой.
На одной чаше весов лежат шесть одинаковых пачек чая и гиря массой 50г., а на другой – одна пачка чая и две гири массой 100 и 200 г. Весы находятся в равновесии. Определите, сколько граммов весит одна пачка чая?
В семье четверо детей. Им 5, 8, 13, 15 лет. Детей зовут Аня, Боря, Вера, Галя. Сколько лет каждому ребёнку, если одна девочка ходит в детский сад, Аня старше Бори, и сумма лет Ани и Веры делится на 3.

класс

Одной черепахе 300 лет, а другой 15 лет. Через сколько лет первая черепаха будет вдвое старше второй?
Какие цифры скрываются за буквами:

–	МУХА		ХА
–	ХА		УХА
	–	КХ
	–	АР
	–	УХА
	–	УХА
	0

На некотором острове каждый житель либо всегда лжет, либо всегда говорит правду. Трое островитян А, Б, В сказали следующее:

А: «Б – лжец»;

Б: «ровно один из А и В лжец»;

В: «у меня есть крокодил».

Есть ли у В крокодил?

Надя испекла пирожки с малиной, черникой и клубникой. Пирожков с малиной получилась половина от общего количества пирожков; пирожков с черникой – на 14 меньше, чем пирожков с малиной. А пирожков с клубникой получилось в два раза меньше, чем пирожков с малиной и черникой вместе. Сколько пирожков каждого вида испекла Надя?
Проведите 3 прямые так, чтобы тетрадный лист разделился на наибольшее число частей. Сколько получится частей? Проведите 4 прямые с тем же условием. Сколько теперь получилось частей?

класс

Вася может получить число 100, используя десять семерок, скобки и знаки арифметических действий:

Огород квадратной формы 5 м  5 м нужно разделить несколькими кусками ячеистой сетки на 5 равных по площади «клетчатых» участков. Это легко сделать, используя 20 м сетки, как показано на рисунке.

Хватит для этой цели 16 м сетки? Выполните рисунок.

В одной комнате сидят 9 человек, и их средний возраст – 25 лет. В другой комнате сидят 11 человек, и их средний возраст – 45 лет. Каков средний возраст всех 20 человек? (ответ обосновать).
Сколько прямоугольных пластин 20х45 см можно вырезать из фанерного листа 120х240 см? (ответ обосновать).
Дедушка решил подарить внукам по новогоднему подарку, состоящему из конфеты, яблока, апельсина, шоколадки и книги. На те же деньги он мог купить одни конфеты и их оказалось бы 224, яблоки– их было бы 112, апельсины – 56, шоколадки – 32, а книг – 16. Сколько внуков у дедушки?

Общие положения о проверке работ

Приведённые ниже решения задач не являются единственно возможными. Участники, вероятно, найдут и другие верные решения. При проверке и оценке решения учитывается только его верность и полнота. Приведённые ниже критерии по проверке задач также носят рекомендательный характер и могут быть уточнены и дополнены школьным жюри олимпиады в соответствии с особенностями решений школьников данной школы. Каждая задача оценивается целым числом баллов от 0 до 7. Итог подводится по сумме баллов, набранных участником.

Основные принципы оценивания задач :

7баллов — Полное верное решение.

6-7баллов Верное решение. Имеются небольшие недочеты, в целом не влияющие на решение

5-6баллов Решение в целом верное. Однако оно содержит ряд ошибок, либо не рассмотрение отдельных случаев, но может стать правильным после небольших исправлений или дополнений.

4балла Верно рассмотрен один из двух (более сложный) существенных случаев.

2-3балла Доказаны вспомогательные утверждения, помогающие в решении задачи.

1балл Рассмотрены отдельные важные случаи при отсутствии решения (или при ошибочном решении).

0баллов Решение неверное, продвижения отсутствуют.

0 баллов Решение отсутствует.

Олимпиадная работа не является контрольной работой участника, поэтому любые исправления в работе, в том числе зачеркивание ранее написанного текста, не являются основанием для снятия баллов; недопустимо снятие баллов в работе за неаккуратность записи решений при ее выполнении. Баллы не выставляются «за старание участника», в том числе за запись в работе большого по объему текста, но не содержащего продвижений в решении задачи. Победителем в параллели считается участник, набравший наибольший суммарный балл и решивший не менее половины задач (не менее трех задач). Победителей в параллели может быть несколько. Призерами рекомендуется считать участников, решивших не менее половины задач, но набравших меньше баллов, чем победитель. Если ни один участник в данной параллели не решил более двух задач, жюри может принять решение считать призерами участников, решивших две задачи, однако победителей в этом случае не будет.

5 класс

№1 Замените знаки * цифрами:

Решение

№2

Дедка вдвое сильнее Бабки, Бабка втрое сильнее Внучки, Внучка вчетверо сильнее Жучки, Жучка впятеро сильнее Кошки, Кошка вшестеро сильнее Мышки. Без Мышки все остальные не могут вытащить репку, а вместе с Мышкой – могут. Сколько мышек надо собрать вместе, чтобы эти мышки смогли вытащить репку сами?

Решение.

Кошка = 6 мышек; жучка = 5 кошек = 30 мышек; внучка = 4 жучки = 120 мышек; бабка = 3 внучки = 360 мышек; дедка = 2 бабки = 720 мышек. Все вместе дедка+бабка+внучка+жучка+кошка+мышка= 720+360+120+30+6+1=1237 мышек.

№3

Сумма всех чисел, изображенных на циферблате часов, равна 78. Раздели циферблат двумя прямыми линиями на три части так, чтобы сумма чисел в каждой части была одинаковой.

Решение задачи:

№4

На одной чаше весов лежат шесть одинаковых пачек чая и гиря массой 50г., а на другой – одна пачка чая и две гири массой 100 и 200 г. Весы находятся в равновесии. Определите, сколько граммов весит одна пачка чая?

Решение:

6 пач.+50 г.=1 пач. +100 г.+200 г.

2 )6 пач.+50 г.=1 пач. +300 г.

3) 6 пач.=1 пач. +250 г.

4) 5 пач.=250 г.

5) 1 пач.=250:5=50 (г.)

Ответ: 50 (г.)

№5

В семье четверо детей. Им 5, 8, 13, 15 лет. Детей зовут Аня, Боря, Вера, Галя. Сколько лет каждому ребёнку, если одна девочка ходит в детский сад, Аня старше Бори, и сумма лет Ани и Веры делится на 3.

Решение.

5 лет — возраст ребёнка детского сада. Самый младший ребёнок — девочка в возрасте 5 лет.

Зная, что Аня старше Бори, получаем, что Ане либо 13, либо 15 лет.

Так как сумма лет Ани и Веры делится на 3, то получаем три случая:

Ане 15 лет, Вере 5 лет. 15+5=20, не делится на 3.
Ане 15 лет, Вере 8 лет. 15+8=23, не делится на 3.
Ане 13 лет, Вере 5 лет. 13+5=18, делится на 3.

Значит, Боре-8 лет, Гале-15 лет.

Ответ: Вере-5 лет, Боре-8 лет, Ане-13 лет, Гале-15 лет.

6 класс

Одной черепахе 300 лет, а другой 15 лет. Через сколько лет первая черепаха будет вдвое старше второй?

Решение. Разница между черепахами всегда 300-15=285 лет. Одна будет вдвое старше другой, когда второй будет столько лет, какова разница, т.е. 285. А 285 лет второй черепахе исполнится через 285-15=270 лет.

Какие цифры скрываются за буквами:

–	МУХА		ХА
–	ХА		УХА
	–	КХ
	–	АР
	–	УХА
	–	УХА
	0

Ответ: 3125 : 25 = 125.

На некотором острове каждый житель либо всегда лжет, либо всегда говорит правду. Трое островитян А, Б, В сказали следующее:

А: «Б – лжец»;

Б: «ровно один из А и В лжец»;

В: «у меня есть крокодил».

Есть ли у В крокодил?

Решение: Первый способ. 1) Пусть А говорит правду. Тогда Б – лжец.

Тогда А и В оба лжецы или оба «правдивцы», но т.к. А –

«правдивец», то и В «правдивец», т.е. крокодил у него есть.

2) Пусть А – лжец. Тогда Б – «правдивец». Тогда ровно один из А

и В лжец, но т.к. А лжец, то В – «правдивец». Т.е. крокодил у него есть.

Таким образом, в обоих случаях получаем, что у В есть крокодил.

Второй способ. 1) Пусть Б «правдивец». Тогда ровно один из А и В лжец, но т.к. А говорит, что Б лжец, то А – лжец = В «правдивец» = крокодил у него есть.

2) Пусть Б лжец. Тогда оба А и В «правдивцы», или оба лжецы. Но А говорит, что Б лжец, т.е. говорят правду = они оба (А и В) «правдивцы», т.е. у В есть крокодил.

Ответ. Да, есть.

Надя испекла пирожки с малиной, черникой и клубникой. Пирожков с малиной получилась половина от общего количества пирожков; пирожков с черникой – на 14 меньше, чем пирожков с малиной. А пирожков с клубникой получилось в два раза меньше, чем пирожков с малиной и черникой вместе. Сколько пирожков каждого вида испекла Надя?

Решение.

Так как пирожков с малиной половина от общего количества, то пирожков с черникой и клубникой вместе столько же, сколько пирожков с малиной . При этом, пирожков с черникой на 14 меньше, чем пирожков с малиной, следовательно, эти 14 пирожков – с клубникой. Тогда пирожков с малиной и черникой: 14·2 = 28, значит, всего испечено 28 +14 = 42 пирожка. Таким образом, пирожков с малиной 42 : 2 = 21, с черникой – 7, а с клубникой – 14.

Ответ : 21 пирожок с малиной, 7 пирожков с черникой и 14 пирожков с клубникой.

Проведите 3 прямые так, чтобы тетрадный лист разделился на наибольшее число частей. Сколько получится частей? Проведите 4 прямые с тем же условием. Сколько теперь получилось частей?

класс

Вася может получить число 100, используя десять семерок, скобки и знаки арифметических действий:

Решение: 100 = (7 ·7 + 7 : 7)·(7:7+7:7), 100 = 777:7 – 77:7 могут быть и другие варианты

Огород квадратной формы 5 м  5 м нужно разделить несколькими кусками ячеистой сетки на 5 равных по площади «клетчатых» участков. Это легко сделать, используя 20 м сетки, как показано на рисунке.

Хватит для этой цели 16 м сетки? Выполните рисунок.

Решение: Ответ: хватит.

Одно из возможных решений показано на рисунке.

В одной комнате сидят 9 человек, и их средний возраст – 25 лет. В другой комнате сидят 11 человек, и их средний возраст – 45 лет. Каков средний возраст всех 20 человек? (ответ обосновать).

Решение: 1) 25·9 = 225(л) – общий возраст 9 человек

2) 45·11 = 495(л) – общий возраст 11человек

3) 225 + 495 = 720(л) – общий возраст 20 человек

4) 720 : 20 = 36(л) средний возраст 20 человек

Ответ: 36 лет. могут быть и другие варианты решения

Сколько прямоугольных пластин 20х45 см можно вырезать из фанерного листа 120х240 см? (ответ обосновать).

Решение: 1) 120·240 = 28800(см²) – площадь фанерного листа

2) 20·45 = 900(см²) – площадь пластины

3) 28800:900 = 32

Ответ: 32 пластины

Дедушка решил подарить внукам по новогоднему подарку, состоящему из конфеты, яблока, апельсина, шоколадки и книги. На те же деньги он мог купить одни конфеты и их оказалось бы 224, яблоки– их было бы 112, апельсины – 56, шоколадки – 32, а книг – 16. Сколько внуков у дедушки?

Ответ: 8 внуков.

Решение. Замечаем, что яблоко «стоит» 2 конфеты, апельсин – 4 конфеты, шоколадка – 7 конфет, книга – 14 конфет. Значит, «цена» подарка равна 1+2+4+7+14=28 (конфет). Следовательно, внуков у дедушки 224:28=8.

multiurok.ru

Олимпиадные задания (7 класс) по теме: Школьная олимпиада по математике 7-11 классы

Школьная олимпиада по математике 7 класс 2014/2015 уч.год

1. Как изменится величина дроби, если числитель увеличить на 300 %, а знаменатель уменьшить на 50 %.

2. Чему равна градусная мера угла А, если его биссектриса образует с одной из его сторон угол, в три раза меньший угла, смежного с углом А.

3. Две машины едут по трассе скоростью 80 км/ч и с интервалом 10 м. У знака ограничения скорости машины мгновенно снижают скорость до 60 км/ч. С каким интервалом они будут двигаться после знака ограничения?

4. Двое часов заведены в 9 часов утра. Одни часы идут верно, другие убегают на 1 мин, за каждый час. Через сколько часов показания стрелок часов будут одинаковы и в какое время суток.

5. В шестизначном числе зачеркнули одну цифру и получили пятизначное. Из исходного числа вычли это пятизначное число и получили 654321. Найдите исходное число.

Ответы :

1. Увеличится в 8 раз

72о

3. Ответ. 7,5 м..

Указание. Пусть v (м/час) – скорость машин до знака, u (м/час) – скорость машин после знака. Вторая машина проедет знак позже первой на 10/v (час). За это время первая машина проедет 10u/v (метров) =10⋅6/8 =7.5 метров. Этот интервал и будет сохраняться после знака.

4. Показания стрелок будут снова одинаковы в тот момент, когда вторые часы убегут вперед на 12 часов, т.к. за каждый час вторые часы убегают на 1 мин., то на 12часов убегут через следующий промежуток времени: 720 : 1 = 480(ч) == 20 суток

Стрелки часов покажут одинаковое время через 20 суток в 9 часов утра.

5. Ответ. 727 023.

Указание. Заметим, что зачёркнута была последняя цифра, т.к. в противном случае после вычитания последняя цифра числа была бы нулевой. Пусть y – последняя цифра исходного числа, x – пятизначное число после зачёркивания. Тогда полученное число равно 10x+y–x = 9x+y =654 321. Деля это число на 9 с остатком (и учитывая, что y не превосходит 9), получим остаток y=3 и частное x=727 02.

Всероссийская олимпиада по математике в 8 классе.

Школьный этап 2014-2015 учебный год.

Задача 1. В волшебном саду выросло 2013 яблок. Сколько в этом саду яблонь, если на каждой яблони яблок выросло поровну и в этом саду все яблони разного сорта, которых меньше 30, но больше 10. (7б)

Задача 2. Дан квадрат ABCD и равносторонний треугольник ADM. Отрезок CM пересекает отрезок AD в точке К. Найдите угол АКМ. (7б)

Задача 3. Найдите все двузначные числа, каждое из которых в сумме с числом, написанном теми же цифрами, но в обратном порядке, даёт полный квадрат. (7б)

Задача 4. Однажды Гулливер подслушал разговор дежуривших около него четырёх лилипутов. Первый сказал второму «Ты лгун». Третий сказал первому «Сам ты лгун». Четвёртый сказал первому и третьему «Оба вы лгуны». Четвёртый сказал второму «И ты тоже лгун». Известно, что одни лилипуты всё время лгут, а другие говорят правду. Кто же прав? (7б)

Задача 5. Барон Мюнхгаузен говаривал как-то, что есть два числа, у которых сумма, произведение и частное одинаково. Докажите, что барон как всегда прав. (7б)

Ответы. Краткие решения.

Задача 1. Ответ: 11 яблонь. Решение:

Задача 2. Ответ: 75°. Решение:

B C ∟CDM=60°+90°=150° ;

∟KCD=(180°-150°):2=15°

∟CKD=90°-15°=75°

A D ∟AKM=∟CKD

∟AKM=75°

Задача 3. Ответ: 29; 38; 47; 56; 65; 74; 83; 92. Решение: , значит a+b=11.

Задача 4. Ответ: Первый и четвёртый лгуны, а второй и третий говорят правду. Решение: допустим первый сказал правду, тогда второй и третий лгуны, что противоречит высказываниям четвёртого. Допустим первый лгун, тогда второй и третий говорят правду, а четвёртый лгун.

Задача 5. Ответ: 0,5 и -1. Решение:

Задания школьной олимпиады по математике для 9 класса

Сравните числа и 10. (7баллов)

Известно, что и ; ; ; и т.д. (рис. 1). Тогда длина отрезка равна…(7баллов)

Витя задумал два числа. Их сумма равна их произведению и равна их частному. Какие числа задумал Витя? (7баллов)
Решить неравенство: .(7баллов)
Стрелок десять раз выстрелил по стандартной мишени и выбил 90 очков. Сколько попаданий было в семерку, восьмерку и девятку, если десяток было четыре, а других попаданий и промахов не было? (7баллов)

____________________________________________________________________________________________

Задания школьной олимпиады по математике для 10 класса

Делится ли на 61? (7баллов)
Решить уравнение .(7баллов)
Известно, что в ΔABC ∠A = 2∠C, сторона ВС на 2см больше стороны АВ, а АС = 5см. Найти АВ и ВС. (7баллов)
При каких значениях а разность корней уравнения равна 3? (7баллов)
Сумма десяти первых членов арифметической прогрессии равна 140, а произведение . Найти прогрессию, если она является возрастающей. (7баллов)

Задания школьной олимпиады по математике для 11 класса

Построить сечение параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 плоскостью, проходящей через точки B1, D1 и середину ребра CD. Доказать, что построенное сечение – трапеция. (7баллов)
Найдите все решения уравнения: .(7баллов)
В квадрате KCNM на серединах сторон КМ и MN отмечены точки А и В, которые соединены с вершиной С. Найти ∠ACB. (7баллов)
Можно ли разрезать арбуз на 4 части так, чтобы после того, как его съели, осталось 5 корок? (7баллов)

5.Найти значение выражения: при .(7баллов

Решения 9 класс

Сравните числа и 10.

Решение. Возведем оба числа в квадрат, так они оба положительны:

;

. Так как равны квадраты положительных чисел, значит, равны и сами числа.

Ответ: числа равны.

2. Известно, что и ; ; ; и т.д. (рис. 1). Тогда длина отрезка равна…

Решение.По теореме Пифагора, имеем,

Ответ: .

Витя задумал два числа. Их сумма равна их произведению и равна их частному. Какие числа задумал Витя?

Решение.Запишем условие в следующем виде: a + b = a · b = a : b. Из второго равенства a · b = a : b получаем, что b2 = 1, т.е b = +1 или b = -1. Рассмотрим первое равенство a + b = a · b. При b = 1 оно не имеет решений (1 = 0). При b = -1 получаем a = 0,5.

a + b = 0,5 — 1 = — 0,5

a · b = 0,5 · (-1) = — 0,5

a : b = 0,5 : (-1) = — 0,5

Решить неравенство: .

Решение.Заметим, что все решения исходного неравенства существуют, если подкоренные выражения неотрицательны. Одновременно эти неравенства выполняются лишь при условии x2 – 4x + 3 = 0. Это уравнение имеет два корня 1 и 3. Проверка показывает, что исходное неравенство имеет единственное решение 3.

Стрелок десять раз выстрелил по стандартной мишени и выбил 90 очков. Сколько попаданий было в семерку, восьмерку и девятку, если десяток было четыре, а других попаданий и промахов не было?

Решение.Так как стрелок попадал лишь в семерку, восьмерку и девятку в остальные шесть выстрелов, то за три выстрела (по одному разу в семерку, восьмерку и девятку) он наберет 24 очка. Тогда за оставшиеся 3 выстрела надо набрать 26 очков. Что возможно при единственной комбинации 8+9+9=26. Итак, в семерку стрелок попал 1 раз, в восьмерку – 2 раза, в девятку – 3 раза.

Решения 10 класс

Делится ли на 61?

Решение.

Разложить заданное число на множители. Тогда, получим – делится на 61.

Решить уравнение .

Решение.

Обозначив , где , получим , откуда , ( – не подходит). Далее, решая , получим уравнения и (не имеет действительных корней), находим из первого уравнения .

Ответ. .

Известно, что в ΔABC ∠A = 2∠C, сторона ВС на 2см больше стороны АВ, а АС = 5см. Найти АВ и ВС.

Решение.

Проведем биссектрису AD. Тогда ∠1 = ∠2 = ∠3. В ΔADC AD = DC. Пусть АВ = х, AD = DC = y, тогда ВС = х + 2, BD = x + 2 – y. Заметим, что ΔABD ~ ΔABC по двум углам (∠В – общий, ∠1 = ∠3).

Из подобия имеем: ,

или .

Для нахождения х и у получим систему уравнений:

Вычитая из первого уравнения второе, получим откуда , тогда значит АВ = 4см, ВС = 6см.

II способ. Указание: применить теорему синусов.

Ответ. AB = 4см, ВС = 6см.

При каких значениях а разность корней уравнения равна 3?

Решение. I способ:

Пусть откуда тогда согласно т. Виета имеем: .

Составим систему уравнений

откуда получим .

II способ:

где , тогда

решая последнее, получим .

Ответ: .

Сумма десяти первых членов арифметической прогрессии равна 140, а произведение . Найти прогрессию, если она является возрастающей.

Решение. откуда

, получили систему:

Т.к. прогрессия возрастает, то следовательно,

– формула n-ого члена а.п.

Ответ: .

Решения 11 класс

Построить сечение параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 плоскостью, проходящей через точки B1, D1 и середину ребра CD. Доказать, что построенное сечение – трапеция.

Решение.

По условию задачи точка N – середина DC.

Известно, что если плоскость проходит через данную прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой. Значит, плоскость сечения пересечет основания А1В1C1D1 и ABCD по параллельным отрезкам. Проведем BD, BD || B1D1.

Из точки N проводим MN ∥BD, значит MN ∥B1D1. Соединим точки B1 и М, D1 и N, тогда B1D1NM – искомое сечение. Таким образом, в четырехугольнике B1D1NM имеем B1D1 ∥NM, значит B1D1NM – трапеция (по определению).

Найдите все решения уравнения: .

Решение.

Ответ:

Ответ: 1,5.

В квадрате KCNM на серединах сторон КМ и MN отмечены точки А и В, которые соединены с вершиной С. Найти ∠ACB.

Решение. Пусть сторона квадрата – тогда , . В равнобедренном треугольнике по теореме косинусов найдем косинус угла ACB. .

Следовательно,

Ответ:

Можно ли разрезать арбуз на 4 части так, чтобы после того, как его съели, осталось 5 корок?

Решение. Вырежем из арбуза длинный тонкий цилиндр, протыкающий арбуз насквозь. Это одна из частей, от которой останется две корки. Остальную часть арбуза произвольным образом разрежем на три части, каждая из которых дает по одной корке.

Найти значение выражения: при .

Решение.

Если , то .

Ответ: –2002.

nsportal.ru