cart-icon Товаров: 0 Сумма: 0 руб.
г. Нижний Тагил
ул. Карла Маркса, 44
8 (902) 500-55-04

Конспект урока 7 класс геометрия измерение углов: Урок геометрии «Измерение углов» (7 класс)

Содержание

Урок геометрии "Измерение углов" (7 класс)

Урок №4

13.09.2017 7 класс

Тема урока: Измерение углов.

Место в системе уроков: четвертый урок в теме «Первоначальные геометрические понятия».

Тип урока: комбинированный.

Цели урока:

  • Создать условия для выявления понятия градусной меры угла и свойств градусных мер углов, понятия градуса и градусной меры угла в курсе геометрии, повторить виды углов, ознакомить учащихся с приборами для измерения углов на местности, совершенствовать навыки нахождения градусной меры угла, построения углов;

  • развивать у учащихся умение логически мыслить, репродуктивную и долговременную памяти, познавательный интерес, математическую речь;

  • воспитывать у учащихся уважение друг к другу в процессе учебной деятельности; воспитание самоконтроля и самооценки; воспитание уверенности в своих силах.

Оборудование: интерактивная доска, раздаточный материал, плакат для рефлексии. У каждого школьника: транспортир, линейка, карандаш, учебник, тетрадь.

Планируемые результаты:

Личностные:
развитие познавательного интереса к геометрии;
ориентация на творческое начало в учебной деятельности;
приобретение собственного опыта в процессе выбора оптимального решения задачи;

умение сотрудничать в группах;

видеть значимость материала в жизни человека.

Метапредметные:
высказывать свою точку зрения, аргументировать, выстраивать

логические цепочки, обсуждать решение, использовать алгоритм при построении углов
использовать полученные знания при построении углов, биссектрисы угла; оперировать изученными понятиями;
проводить самооценку собственной деятельности;
соотносить полученные результаты с поставленной целью.
Регулятивные::
умение фиксировать успешность деятельности;
умение делать выводы о следующих шагах.
Коммуникативные:
включаться в ситуацию выбора метода решения учебной задачи;
умение выстраивать способы действия;

умение использовать речевую и знаковую морфологизацию способов умение действий в знаках и языке, принятых в культуре;
воспитывать отношения взаимопомощи и сотрудничества в процессе познавательной деятельности.
Предметные:
усвоение изучаемых понятий;
умение решать задачи на изученную тему;
развитие аккуратности при геометрических построениях;
овладение учащимися комплекса знаний и умений, необходимых для изучения данной темы (строить и измерять углы, определять виды углов,

расширить представление о построении углов).

Ход урока.

Этап I Проверка ранее изученного материала.

а) Аукцион (за каждых три правильных ответа приз).

  1. Как называются разделы науки геометрия?

  2. Что изучает планиметрия?

  3. Как можно обозначить прямую?

  4. Что называются отрезком?

  5. Сколько общих точек иметь две прямые?

  6. Сколько прямых можно провести через любые две точки на плоскости?

  7. Что такое луч?

  8. Как обозначают лучи?

  9. Какая фигура называется углом?

  10. В каких единицах измеряется величина отрезка?

  11. Что такое середина отрезка?

  12. Как определить равные отрезки?

  13. Что вы можете сказать про величины равных отрезков?

  14. Что больше отрезок или его часть?

  15. В каких единицах измеряется угол?

в) Решение дифференцированной самостоятельной работы.

Божкевич Рустем

Васильев Петр

Гафуров Аким

Микешкин Георгий

Осадчук Алена

Сулейманов Осман

  1. Авраменко Андрей

  2. Вербельчук Никита

  3. Вербенко Александра

  4. Копейка Илья

  5. Куртмулаев Редван

  6. Михалицкая Алина

  7. Попов Данил

  8. Сулейманова Мерьем

Вернигоров Дмитрий

Наумчук Иван

Тамак Ролан

Вариант I

1. На прямой b отмечены точки С, D и Е так, что СD = 6 см, DЕ = 8 см. Какой может быть длина отрезка СЕ?

(Ответ: СЕ = 14 см или СЕ = 2 см.)

2. Точка М – середина отрезка АВ; МВ = 4,3 дм. Найдите длину отрезка АВ в миллиметрах.

Вариант II

1. На прямой m отмечены точки А, В и С так, что АС = 12 см, АВ = 8 см. Какой может быть длина отрезка ВС?

(Ответ: ВС = 20 см или ВС = 4 см.)

2. Точка Р – середина отрезка MN. Найдите длину отрезка PN в метрах, если MN = 14 дм.

Вариант III

(для более подготовленных учащихся)

1. Даны отрезок СD и точка М, причем СD = 17 см, СМ = 13 см, DМ = 5 см. Лежит ли точка М на отрезке СD?

2. На прямой а отмечены последовательно точки С, D, Е и F так, что СD = ЕF. Расстояние между серединами отрезков СD и ЕF равно 12,4 см. Найдите расстояние между точками С и Е.

г) Проверка самостоятельной работы (по готовым чертежам)

Вариант I

Задача 1.

Вариант II

Этап II Самоопределение к деятельности (целеполагание) (работа со фличпартом)

Цель
Актуализация имеющихся знаний по видам углов, элементам угла, градусной меры угла.

Создание условий для возникновения внутренней потребности и включения в деятельность.

ЭтапIII Оценивание значения учебного материала (Объединение в группы, с помощью пазлов)

Людям каких профессий необходимо умение измерять углы? (каменщик, столяр, проектировщик, топограф, картограф, моряк, астроном …)

Какими качествами личности они должны обладать? (терпение, аккуратность, знаниями. .) И прежде всего знаниями какими инструментами измеряют углы.

Одним из первых угломерных инструментов была астролябия, изобретенная Гиппархом (180-125 гг. до н. э.) и усовершенствованная немецким ученым Региомонтаном (1436-1476). Она состояла из тяжелого медного диска - лимба, который подвешивался за кольцо так, чтобы он висел вертикально и линия Г1Г2 принимала горизонтальное положение. По краю лимба наносилась шкала, разделенная на градусы. Кроме этого, на лимбе имелась полоса А1А2, называемая алидадой, которая могла вращаться вокруг центра лимба и имела на концах поперечны е пластинки с отверстиями, называемыми диоптрами е пластинки с отверстиями, называемыми диоптрами.

Другим инструментом для измерения углов был квадрант, представляющий собой одну четвертую часть астролябии. Квадрант имел то преимущество перед астролябией, что его можно было сделать значительно больших размеров и тем самым увеличить точность измерения углов.

Наиболее совершенным угловым инструментом, применяющимся в настоящее время для выполнения геодезических работ, является теодолит, состоящий из двух лимбов, расположенных в вертикальной и горизонтальной плоскости, что позволяет измерять вертикальные и горизонтальные углы одновременно. На вертикальном лимбе имеется зрительная труба, с помощью которой алидады вертикального и горизонтального лимбов наводятся на объект наблюдения. Точность измерения углов при этом составляет доли минуты.

Этап II Учебно-познавательная деятельность (работа в группах)

Задание для первой группы (развёрнутый угол равен180, неразвёрнутый меньше 180)

Задание для второй группы (Если углы равны, то их градусные меры равны)

Задание для третьей группы (Если луч делит на два угла, то градусная мера всего угла равна сумме градусных мер его частей)

Этап IV Диагностика качества освоения темы (работа в парах)

Прохождение тестирования электронного учебника.

Этап V Интеллектуально-преобразовательная деятельность (решение задач)

(Вырабатывать осознание значимости изучаемого материала, умения применить полученные знания в новых ситуациях)

1. Решить задачу № 48 на доске и в тетрадях (объясняет учитель):

Дано: АОВ = 780;

АОС < ВОС на 180.

Найти: ВОС.

Решение

По условию АОВ = АОС +
+ ВОС = 78°;

Пусть АОС= х , тогда ВОС=х+18

Зная, что их сумма 78, составим уравнение х+(х+18)=78

2х=60

х=30 , АОС =30 0 ,х+18=48

ВОС=480 Ответ: 48°.

2. Решить задачу обучающего характера на доске и в тетрадях (учащиеся на доске с помощью учителя делают чертёж, записывают, что дано и что найти, учатся оформлять решение задачи:

1) Луч ВD делит развернутый угол АВС на два угла, разность которых равна 46°. Найдите образовавшиеся углы.

2) Луч СK делит прямой угол ВСМ на два угла, один из которых в 4 раза больше другого. Найти образовавшиеся углы.

Этап VI Итоги урока

Вопрос 1 Что принимается за единицу измерения величины угла?

Ответ: За единицу измерения углов принимается угол, составляющий одну сто восьмидесятую часть развернутого угла

Вопрос 2 Что такое: а) градус; б) минута; в) секунда?

Ответ: а) Одна сто восьмидесятая часть развернутого угла;

б) одна шестидесятая часть градуса;

в) одна шестидесятая часть минуты.

Вопрос 3 Что показывает градусная величина угла?

Ответ: Градусная величина угла показывает, сколько раз угол в один градус и его части укладываются в этом угле.

Вопрос 4 Каким свойствам удовлетворяет градусная величина угла?

Ответ: Градусная величина угла удовлетворяет следующим свойствам:

Свойство 1. Градусные величины равных углов равны.

Свойство 2. Градусная величина суммы углов равна сумме их градусных величин

Этап VII Инструктаж домашнего задания.

Изучить пункты 9 и 10; ответить на вопросы 14–16 на с. 25–26; решить задачу №46.

Творческое задание. придумать рассказ о математических приключениях свойств градусных мер углов. Сможете ли вы сделать домашнее задание самостоятельно?

Этап VIII Рефлексивная деятельность.

Украшение осеннего дерева.

Вариант I

1. На прямой b отмечены точки С, D и Е так, что СD = 6 см, DЕ = 8 см. Какой может быть длина отрезка СЕ?

Вариант II

1. На прямой m отмечены точки А, В и С так, что АС = 12 см, АВ = 8 см. Какой может быть длина отрезка ВС?

2. Точка Р – середина отрезка MN. Найдите длину отрезка PN в метрах, если MN = 14 дм.

Вариант III

1. Даны отрезок СD и точка М, причем СD = 17 см, СМ = 13 см, DМ = 5 см. Лежит ли точка М на отрезке СD?

2. На прямой а отмечены последовательно точки С, D, Е и F так, что СD = ЕF. Расстояние между серединами отрезков СD и ЕF равно 12,4 см. Найдите расстояние между точками С и Е.

Вариант I

1. На прямой b отмечены точки С, D и Е так, что СD = 6 см, DЕ = 8 см. Какой может быть длина отрезка СЕ?

Вариант II

1. На прямой m отмечены точки А, В и С так, что АС = 12 см, АВ = 8 см. Какой может быть длина отрезка ВС?

2. Точка Р – середина отрезка MN. Найдите длину отрезка PN в метрах, если MN = 14 дм.

Вариант I

1. На прямой b отмечены точки С, D и Е так, что СD = 6 см, DЕ = 8 см. Какой может быть длина отрезка СЕ?

Вариант II

1. На прямой m отмечены точки А, В и С так, что АС = 12 см, АВ = 8 см. Какой может быть длина отрезка ВС?

2. Точка Р – середина отрезка MN. Найдите длину отрезка PN в метрах, если MN = 14 дм.

Вариант I

1. На прямой b отмечены точки С, D и Е так, что СD = 6 см, DЕ = 8 см. Какой может быть длина отрезка СЕ?

Вариант II

1. На прямой m отмечены точки А, В и С так, что АС = 12 см, АВ = 8 см. Какой может быть длина отрезка ВС?

2. Точка Р – середина отрезка MN. Найдите длину отрезка PN в метрах, если MN = 14 дм

Вариант III

1. Даны отрезок СD и точка М, причем СD = 17 см, СМ = 13 см, DМ = 5 см. Лежит ли точка М на отрезке СD?

2. На прямой а отмечены последовательно точки С, D, Е и F так, что СD = ЕF. Расстояние между серединами отрезков СD и ЕF равно 12,4 см. Найдите расстояние между точками С и Е.

Вариант 1.

Вариант 1

Вариант 2

Вариант 2

Урок геометрии по теме: "Угол. Измерение углов. " | План-конспект урока (геометрия, 7 класс) по теме:

МБОУ «Богатищевская СОШ»

Урок геометрии по теме:

"Угол. Измерение углов."

                                 Учитель математики

                                       Артамонова А.Е.    

2012

Урок по теме "Угол. Измерение углов"

Цели: 

  1. Образовательная:

сформировать понятие угла, рассмотреть свойства измерения градусной меры углов, научить находить градусную меру угла.

  1. Развивающая:

развитие  памяти,  познавательных  интересов,  речи,  логической  мыслительной  деятельности.

  1. Воспитательная:

воспитание  интереса  к  предмету,  активности,  настойчивости способствовать воспитанию сознательной дисциплины, сотрудничества, товарищеских отношений друг к другу, самостоятельности, ответственного отношения к учёбе.
УУД:

  1. Познавательные УУД: нахождение путей выхода из проблемной ситуации; формулировать определения и иллюстрировать понятия отрезка, формулировать свойства измерения длин отрезков и использовать его при решении задач.
  2. Коммуникативные УУД: планирование совместной деятельности.
  3. Регулятивные УУД: контролирование своей деятельности по ходу и через результат выполнения задания, определение последовательности действий.
  4. Личностные УУД: проявление познавательной инициативы в оказании помощи соученикам.

Тип: комбинированный.

Ход урока

  1. Организационный момент

Проверить  классное  помещение  и  готовность  учащихся  к  уроку.

2. Актуализация. Определение темы и цели урока

1. Задание: 

Отгадайте ребус.

Рисунок1.

               

Ответ: угол.

Выполните действия с дробями. Расположите полученные числа в порядке убывания и вы получите то понятие, которое будет интересовать нас сегодня на уроке.

3/10+1/2

1/5+1/2

½ :1/4

0,001+0,01

3,5+1,02

12-0,2

Ответ: градус.

Тема урока сегодня: Тема: “Угол. Измерение углов”.

С геометрической фигурой «угол» мы с вами знакомы. Сегодня мы сформулируем определение угла, рассмотрим свойства измерения углов, научить находить градусные меры углов.

  1. Работа над  понятием угол.

Схема определения угол:                                                                                           с

Угол :                                                                            

  1. Геометрическая фигура                                                                      
  2. Точка – вершина угла  и                                                                                  а
  3. 2 различные полупрямые,  выходящие из вершины угла  - стороны угла.                                                                                                                   Обозначение:     САВ или       (ас)

Назовите фигуры, которые являются углом:

                                                                                                                                     в

                        Р                                                     О

         А                                                                                                                                                      

                                      М                                                                                       р

    К                                                                                

                                                                             М                  М                            А

                                        В            Т                                                    Р

  1. Введение понятия биссектрисы угла.                                       М

Схема определения биссектрисы угла:                                                                                                          

Биссектриса :                                                                          

  1. Полупрямая  и                                                  Р                    
  2. Выходит из вершины угла   и
  3. Делит угол пополам                                                                                    К

Обозначение: АС                                                                        

Назовите биссектрису угла:

            С          Рис 1                        К       Рис 2                                       рис 3

                                                                                                                       Р

                                                                            М                                  

     А                   К

                                                                   А                           Рис 5          О

                 Рис 4

М                                                        Р

                                                                                                   

                                                                                                            Р

                     С

    По рисунку 4 : а) вычислите угол КСР, если угол МСР равен 1100

                                              б) ) вычислите угол МСР, если угол МСК равен 600

  1. Введение свойства измерения углов. Проблемная ситуация. Построить углы, градусная мера которых 900, 450 и – 600, 2360

Первое правило:  Каждый угол имеет определенную градусную меру, большую нуля. Развернутый угол равен 1800

        Вычислите величину       АСМ, если       АСК =300  и        КСМ =100 

         Что необходимо знать для вычисления угла АСМ?

Второе правило:  Градусная мера угла равна сумме градусных мер углов, на которые он разбивается любым лучом, проходящим между его сторонами.

        Вычислите величину       АСМ, если       АСК =300  и        КСМ =100 и СК проходит между сторонами угла АСМ.

4.Решение задач

Рисунок.

Дано:

DAC =700

CAB = 600

Найти: DAB

Дано:

GEF =300

HEG В ТРИ РАЗА БОЛЬШЕ УГЛАGEF

Найти: HEF

Дано:

КМS =1500

KML =650

Найти: LMS

Решение задач из учебника  № 25(2), 26(4).

5. Историческая справка.

С древнейших времен люди сталкивались с необходимостью измерять. Понятие градуса и появление первых инструментов для измерения углов связывают с развитием цивилизации в древнем Вавилоне, хотя само слово градус имеет латинское происхождение(градус– от лат. gradus- “шаг, ступень”). Градус получится, если, разделить окружность на 360 частей. Возникает вопрос – а почему древние вавилоняне делили именно на 360 частей. Дело в то, что в Вавилоне была принята шестидесятиричная система счисления. Более то, число 60 считалось священным. Поэтому все вычисления были связаны с числом 60(календарь вавилонян включал 360 дней).

Кроме градуса, были введены такие единицы измерения, как минута( часть градуса) и секунда( часть минуты). Названия “минута ” и “секунда” произошли от partes minutae primae и partes minutae sekundae, что в переводе означает "части меньшие первые" и "части меньшие вторые". В истории науки эти единицы измерения сохранились благодаря Клавдию Птолемею, жившему во II веке .

История не сохранила имя ученого, который изобрел транспортир – возможно в древности этот инструмент имел совсем другое название. Современное название происходит от французского слова ”ТRANSPORTER”, что означает “переносить”.

Но древние ученые производили измерения не только транспортиром – ведь этот инструмент был неудобен для измерений на местности и решения задач прикладного характера. Изобретение первого инструмента, позволяющего измерять углы на местности, связывают с именем древнегреческого ученого Герона Александрийского(I в. до.н.э). Он описал инструмент “диоптр”, позволяющий измерять углы на местности и решать множество прикладных задач.

Таким образом, можно говорить о возникновении геодезии - системы наук об определении формы и размеров Земли и об измерениях на земной поверхности для отображения ее на планах и картах. Геодезия связана с астрономией, геофизикой, космонавтикой, картографией и др., широко используется при проектировании и строительстве сооружений, судоходных каналов, дорог.

В XVII веке был изобретен прибор нивелир, а в следующем веке английским механиком Джессе Рамсденом был изобретен теодолит. Сегодня теодолит – сложный прибор. Многие работы (в том числе и строительство) требуют предварительной консультации геодезистов измерений с помощью теодолита.

Однако усовершенствование инструментов для измерения углов связано не только с проведением строительных работ. С древнейших времен люди путешествовали, познавая окружающий мир. Путешественниками необходимо было уметь ориентироваться в пространстве. На долгие века основным ориентиром путешественников стали звезды. Появился первый инструмент путешественников – астролябия. Астролябия(греч. astrolabion, от astron - "звезда" и labe – “схватывание"; лат. astrolabium) - угломерный прибор, служивший до начала XVIII в. для определения положений светил на небе.

Создание астролябии приписывают Евдоксу – выдающемуся математику эпохи эллинизма.

В 1731 году английский оптик Джон Хэдли(1682-1744) усовершенствовал астролябию. Новый прибор, получивший название октант, позволял решить проблему измерения широты на движущемся судне. Но октанту не досталась слава и долгая жизнь астролябии. Был изобретен секстант.

Секстант это наиболее совершенный прибор для измерения угловых координат небесных тел того времени. Его изобретение приписывается Исааку Ньютону. Секстант позволял измерять как широту, так и долготу точки наблюдения, причем с довольно высокой точностью. Заметим, что существуют и другие единицы измерения углов.

Артиллеристам же приходится не только измерять углы, но и быстро в уме переводить полученные угловые величины в линейные и наоборот. Поэтому измерение углов градусами и минутами для артиллеристов неудобно. Артиллеристы придумали совсем иную меру углов. Мера эта - "тысячная", или, как ее называют иначе, "деление угломера". Чтобы получить тысячную, окружность делят на 6000 частей.

В морской навигации в качестве основной единицы измерения принято использовать румб. Морской румб определяется центральным углом, соответствующим дуге, равной 1/32 части окружности. В метеорологии свой румб, который вдвое больше морского.

В старших классах мы с вами познакомимся с еще одной общеупотребительной единицей измерения углов – радианом.

  1. Итог урока. Рефлексия.

С каким настроением я ухожу с урока? Смогу ли я сделать домашнее задание самостоятельно?

  1. Домашнее задание:

1. Вопросы 15- 18, № 24(3), 25(1), 26(2).

2. Составьте математическую модель и решите задачу.

Из вершины угла АВМ проведены два луча – ВК и ВР. Первый угол в два раза больше, а третий на 150 больше второго. Найдите каждый из углов, если угол АВМ равен 1300.

Литература. 

  1. А.В. Погорелов. Геометрия: Учеб. для 7 – 9 кл. общеобразовательных учреждений. – М., Просвещение: АО “Московские учебники”, 1996.
  2. Едуш О.Ю. Геометрия 7 класс. Подсказки на каждый день. – М.,Гуманитарный издательский центр “Владос”, 2000.
  3. Шарыгин И.Ф., Ерганжиева Л.Н. Наглядная геометрия 5 – 6 классы. – М., Издательский дом “Дрофа”, 1999.

конспект урока математики в 7 классе на тему"Углы. Измерение углов" | План-конспект урока по алгебре (7 класс) на тему:

МКОУ «Кумухская СОШ»

«Углы. Измерение углов»

Урок с применением ИКТ

Макаева Абидат Шовкетовна

2015 г.


Конспект урока математики в 7классе по теме:

" Углы. Измерение углов."

Учитель математики : Макаева Абидат Шовкетовна

Тема урока: Углы. Измерение углов.

Тип урока: урок обобщения и повторения.

Цели урока:

1. Образовательные
- Повторение и закрепление понятий: градусной меры угла; прямого угла; тупого угла; свойств градусных мер углов.
- Закрепление умений и навыков практического применения свойств градусных мер углов при решении задач.


2. Развивающие
-Реализация принципов связи теории и практически.
-Развитие памяти, речи, любознательности, познавательного интереса.

-Развивать геометрическую интуицию, газомер .

-Развивать умение рассуждать и доказывать .
-Развитие творческой самостоятельности мышления учащихся.
-Формирование целепоказаний.


3. Воспитательные
-Воспитание аккуратности, дисциплины, настойчивости, ответственного отношения к учёбе

-воспитание интереса к предмету 

Оборудование: демонстрационный транспортир, транспортиры у учащихся,компьютерный центр ( установить необходимую программу заранее  

http://www.uchportal.ru/load/29-1-0-38199 )

План урока:

1. Организационная часть: проверка подготовленности учеников к началу урока, мотивация, постановка цели урока.(2-3 мин )

2. Актуализация опорных знаний:(5-7  мин)
-устные упражнения
-графический диктант.
3. Решение задачи.(10 мин)
4. Экспресс-контроль полученных знаний. ( работа на компьютере)( 17-20 мин)

5. Экскурсия в историю.(2-3 мин)
6. Постановка домашнего задания.(1 мин)
7. Рефлексия, подведение итогов.(3-4 мин)


Подготовка к уроку:

Подготовлена компьютерная презентация, в которой присутствуют:
-тема урока
-цели урока
-картинки с применением углов в жизни человека
-рисунки к устным упражнениям
-вопросы и ответы к графическому диктанту
-изображение прибора «Астролябия»
-домашнее задание.

ХОД УРОКА:

1.Организационная часть:

Добрый день всем!
Садитесь пожалуйста. Я рад видеть вас .
Ребята, проверьте всё ли у вас готово к уроку: тетрадь и учебник, дневник и письменные принадлежности.
Если все готовы к уроку, откройте тетради и запишите дату.
Классная работа .. .. ..г

Давайте запишим тему урока. Посмотрите пожалуйста на слайд.( №1)

" Углы. Измерение углов".

-Как вы считаете, ребята, исходя из темы урока,  и ранее полученных знаний, какова цель нашего урока, над чем мы будем сегодня с вами работать.
Ученик: - Я думаю, что сегодня на уроке мы будем продолжать учиться решать задачи с понятием «Угол».
Ученик: - А я думаю, мы должны повторить, то что изучали на предыдущих уроках, например, что такое угол, его градусная мера, какой угол называется прямым, острым, тупым.
-Молодцы! А теперь позвольте мне обобщить то, что вы сказали.
И так, ребята, наша цель сегодня на уроке:

И так цель нашего урока : ( слайд №2)

Повторить и закрепить понятия градусной меры угла, прямого,
острого, тупого углов, свойства градусных мер углов.
Научиться применять свойства градусных мер углов

при решении  задач.

2.  Актуализация опорных знаний:

Устно:

1. Какая фигура называется углом?
2. Какие виды углов вам известны?
3. Какой угол называется прямым? ( изобразить на доске)
4. Какой угол называется острым?( изобразить на доске)
5. Какой угол называется тупым?( изобразить на доске)

6. Что называется биссектриссой угла?

6. Давайте рассмотрим рис. №1  ( слайд №3) и назовем :  по два острых, тупых, прямых и развёрнутых угла.

                     

7. Графический диктант:

-Ребята вы сейчас работаете в тетради.

-Я утверждаю, что :
В некоторых вопросах нужен ответ   да или нет , а в остальных нужно узнать понятие и записать это в рабочую тетрадь.


1. Равные углы имеют равные град. меры
2. На рис. ОВ это,что

( слайд №4)


3. Единицей измерения углов, является градус-угол, равный 1/180 части развёрнутого угла.
4. Для измерения углов используется циркуль.
5. Меньший угол имеет большую град. меру.
6. Если луч делит угол на два угла, то град. мера всего угла равна, сумме град. мер этих углов.
7. Если обе стороны угла являются дополнительными полупрямыми, то угол называется прямым.

8. Прибор для построения и измерения углов.
9. Раздел геометрии, в котором рассматриваются свойства фигур на плоскости.

10. Прибор для построения и измерения углов.
11. Раздел геометрии, в котором рассматриваются свойства фигур на плоскости.

  • А теперь давайте проверим . ( смотрим на ответы  слайд №5))
  • Кто не допустил ошибок?
  • У кого 1-2 ошибки? (  выяснить где были затруднения и разобрать ошибки)

3. Решение задачи: ( слайд № 6)

    1.Луч   z проходит внутри угла sk . Найдите            zk  , если             sk =103º  ,       sz =62º  .

( решаем около доски )

.  2.Укажите, чему равна градусная мера угла ∠ВОА, если ∠АОС = 108º, а ∠ВОС в 2 раза больше угла ∠ВОА.

 

4. Экспресс-контроль полученных знаний.

- Теперь ребята давайте посмотрим как мы усвоили самые главные понятия по теме и научились решать задачи основного уровня. За эту работу я каждому поставлю отметку по результатам выполнения теста.

  • Откроем программу. Запишим свою фамилию. Откроем « автономная работа» .
  • Выберем раздел « Измерение углов», отвечаем на вопросы. Обратите особое внимание  на правильное оформление ответов, а то он будет не принят.
  • Как только вы справитесь ,то сразу позовите меня. Если кто - то делает быстро, то может открыть раздел «Углы» и прорешать.
  • Если кому, что - то не понятно, то поднимите руку и я подойду.

5.Экскурсия в историю.

( слайд № 7)

  • Ученик  зачитывает или рассказывает заранее подготовленный небольшой материал о понятии астролябия. На  слайде учащиеся смотрят на фото этого оборудования.

  

Астролябия — один из старейших астрономических инструментов, появившийся в Древней Греции. Этот старинный инструмент сотворен более двух тысячелетий тому назад, когда люди полагали, что Земля – это центр Вселенной.АСТРОЛЯБИЯ, -и, ж. Старинный геодезический (а еще ранее - астрономический) прибор для измерения углов .

Астролябию иногда называют самым первым компьютером .
 

Астролябия — один из старейших астрономических инструментов. Основан на принципе стереографической проекции.
Принцип стереографической проекции, переводящей окружности на сфере в окружности на плоскости, открыл в III в. до н. э. Аполлоний Пергский. Витрувий в своём сочинении «Десять книг об архитектуре», описывая астрономический инструмент, называемый «пауком», сообщает, что его «изобрёл астроном Евдокс, а иные говорят — Аполлоний». Одной из составных частей этого инструмента служил барабан, на котором, по словам Витрувия, «нарисовано небо с зодиакальным кругом».
Пика своей популярности в Европе астролябия достигла в эпоху Возрождения, в XV—XVI столетиях, она наряду с армиллярной сферой была одним из основных инструментальных средств астрономического образования. Знание астрономии считалось основой образования, а умение пользоваться астролябией было делом престижа и знаком соответствующей образованности. Европейские мастера, подобно своим предшественникам арабам, уделяли большое внимание художественному оформлению, так что астролябии стали предметом моды и коллекционирования при королевских дворах.

6. Домашняя работа.

  • откройте дневники и запишите : задание на карточке ( раздать листочки с заданием)

 Найдите градусную меру угла ∠КОЕ, если ∠СОК = 99º.

7. Подведение итогов урока:

- Так, чем мы сегодня занимались на уроке?
-Повторили виды углов и их обозначения.
-Повторили свойства град. мер углов.
-Научились применять полученные знания при решении задач.
-Познакомились с прибором для измерения углов на местности.

-Ребята скажите, все ли было вам сегодня понятно на уроке.?

-Понравился ли вам наш сегоднешний урок?

Слайд №8

К геометрии способность проявляй,
Не ленись, а ежедневно развивай,
Повторяй, учи, трудись, соображай
С геометрией дружить не забывай.

Подружитесь, ребята, с геометрией.

Спасибо  вам за работу.

Сопроводительные материалы .

В данном уроке я использовал авторскую  программу Жукова В.В. "Репетитор-тест по математике для 5 кл." ( он размещен на учительском портале « Электронный репетитор -тест по математике для 5 класса» http://www.uchportal.ru/load/29-1-0-38199  ) Он совмещает функции контроля знаний и обучения  математике  учеников 5  класса  и может использоваться как для самостоятельной работы учеников, так и для работы на уроке - для проведения контрольных и самостоятельных работ и для  фронтального опроса, а также для выполнения домашних заданий. Для этого в Репетиторе предусмотрены такие виды контроля: на экране, возможность печати результатов  работы на бумаге, в секретном файле в компьютере ученика или, при наличии локальной сети, - в компьютере учителя в режиме реального времени, т.е. учитель может проконтролировать ответ на каждый вопрос в каждом ученическом компьютере. В репетиторе частично заблокирована возможность выхода из программы минуя контроль. Если же ученик недоволен своими результатами и  выходит из программы путём выключения питания или нажатия на системном блоке кнопки Reset, то учитель может увидеть это в секретном файле или в своём компьютере, т.к. там результаты записываются дважды:  после каждого ответа, а затем общий результат после слов "Общий итог".

 Репетитор включает в себя теоретические вопросы и задачи, соответствующие  всем разделам  учебника математики 5 класса Н.Я. Виленкина и др., а также содержит дополнительно  три раздела задач, соответствующих другим учебникам.

Я в данном уроке использовал раздел программы « Измерение углов », по программе геометрия 7 класса Атанасяна.

Начиная работу, ученик регистрируется (вводит фамилию), выбирает раздел математики и вопрос. Репетитор содержит вопросы двух типов: с выбираемым ответом и с вводом ответа. При первом неправильном ответе на мониторе появляется первое пояснение, при втором и последующем неправильных ответах - второе  пояснение. Первое пояснение напоминает теорию вопроса, второе пояснение более детальное, но и оно не содержит прямого решения задания, а только объясняет пути его решения, т.е. выполняется именно обучение, а не "натаскивание".  В большинстве случаев приведены примеры решения. Пояснения составлены простым и понятным языком без излишнего наукообразия.

Каждый вопрос репетитора имеет около 12 и более вариантов заданий, выдаваемых в случайном порядке. Это сделано для того, чтобы ученик не мог механически запомнить правильные ответы, и делает возможной многократную работу на Репетиторе каждого ученика. После ответа на все варианты данного вопроса на экране появляется надпись "Варианты исчерпаны", и возвращение к этому вопросу возможно только при новом открытии Репетитора.

Эта программа достаточно простая для учащихся. Детям нравится использование таких программ на уроках. Я разрешаю ребятам, когда они работают с программой, если это им необходимо использовать учебник и рабочую тетрадь. Во время их работы я прохожу и вижу кто как работает и у кого возникают проблемы в работе. В конце работы каждому ученику я выставляю отметку за работу, проверяя их результаты по тесту.

конспект открытого урока на тему Углы. Измерение углов

МКОУ «Кумухская СОШ»

«Углы. Измерение углов»

Урок с применением ИКТ


Макаева Абидат Шовкетовна

2015 г.


Конспект урока математики в 7классе по теме:

" Углы. Измерение углов."

Учитель математики : Макаева Абидат Шовкетовна

Тема урока: Углы. Измерение углов.

Тип урока: урок обобщения и повторения.

Цели урока:

1. Образовательные
- Повторение и закрепление понятий: градусной меры угла; прямого угла; тупого угла; свойств градусных мер углов.
- Закрепление умений и навыков практического применения свойств градусных мер углов при решении задач.


2.Развивающие
-Реализация принципов связи теории и практически.
-Развитие памяти, речи, любознательности, познавательного интереса.

-Развивать геометрическую интуицию, газомер .

-Развивать умение рассуждать и доказывать .
-Развитие творческой самостоятельности мышления учащихся.
-Формирование целепоказаний.


3.Воспитательные
-Воспитание аккуратности, дисциплины, настойчивости, ответственного отношения к учёбе

-воспитание интереса к предмету

Оборудование: демонстрационный транспортир, транспортиры у учащихся,компьютерный центр ( установить необходимую программу заранее

http://www.uchportal.ru/load/29-1-0-38199 )

План урока:

1.Организационная часть: проверка подготовленности учеников к началу урока, мотивация, постановка цели урока.(2-3 мин )

2.Актуализация опорных знаний:(5-7 мин)
-устные упражнения
-графический диктант.
3.Решение задачи.(10 мин)
4.
Экспресс-контроль полученных знаний.(работа на компьютере)( 17-20 мин)

5. Экскурсия в историю.(2-3 мин)
6.Постановка домашнего задания.(1 мин)
7. Рефлексия, подведение итогов.(3-4 мин)


Подготовка к уроку:

Подготовлена компьютерная презентация, в которой присутствуют:
-тема урока
-цели урока
-картинки с применением углов в жизни человека
-рисунки к устным упражнениям
-вопросы и ответы к графическому диктанту
-изображение прибора «Астролябия»
-домашнее задание.

ХОД УРОКА:

1.Организационная часть:

Добрый день всем!
Садитесь пожалуйста. Я рад видеть вас .
Ребята, проверьте всё ли у вас готово к уроку: тетрадь и учебник, дневник и письменные принадлежности.
Если все готовы к уроку, откройте тетради и запишите дату.
Классная работа .. .. ..г

Давайте запишим тему урока. Посмотрите пожалуйста на слайд.( №1)

" Углы. Измерение углов".

-Как вы считаете, ребята, исходя из темы урока, и ранее полученных знаний, какова цель нашего урока, над чем мы будем сегодня с вами работать.
Ученик: - Я думаю, что сегодня на уроке мы будем продолжать учиться решать задачи с понятием «Угол».
Ученик: - А я думаю, мы должны повторить, то что изучали на предыдущих уроках, например, что такое угол, его градусная мера, какой угол называется прямым, острым, тупым.
-Молодцы! А теперь позвольте мне обобщить то, что вы сказали.
И так, ребята, наша цель сегодня на уроке:

И так цель нашего урока : ( слайд №2)

Повторить и закрепить понятия градусной меры угла, прямого,
острого, тупого углов, свойства градусных мер углов.
Научиться применять свойства градусных мер углов

при решении задач.

2. Актуализация опорных знаний:

Устно:

1. Какая фигура называется углом?
2. Какие виды углов вам известны?
3. Какой угол называется прямым? ( изобразить на доске)
4. Какой угол называется острым?( изобразить на доске)
5. Какой угол называется тупым?( изобразить на доске)

6. Что называется биссектриссой угла?

6. Давайте рассмотрим рис. №1 ( слайд №3) и назовем : по два острых, тупых, прямых и развёрнутых угла.

F

P

D

В

А

С

O

7.Графический диктант:

-Ребята вы сейчас работаете в тетради.

-

D

Я утверждаю, что :
В некоторых вопросах нужен ответ да или нет , а в остальных нужно узнать понятие и записать это в рабочую тетрадь.


1. Равные углы имеют равные град. меры
2. На рис. ОВ это,что

B

O

N

( слайд №4)


3. Единицей измерения углов, является градус-угол, равный 1/180 части развёрнутого угла.
4. Для измерения углов используется циркуль.
5. Меньший угол имеет большую град. меру.
6. Если луч делит угол на два угла, то град. мера всего угла равна, сумме град. мер этих углов.
7. Если обе стороны угла являются дополнительными полупрямыми, то угол называется прямым.

8. Прибор для построения и измерения углов.
9. Раздел геометрии, в котором рассматриваются свойства фигур на плоскости.

10. Прибор для построения и измерения углов.
11. Раздел геометрии, в котором рассматриваются свойства фигур на плоскости.

А теперь давайте проверим . ( смотрим на ответы слайд №5))

Кто не допустил ошибок?

У кого 1-2 ошибки? ( выяснить где были затруднения и разобрать ошибки)

3. Решение задачи: ( слайд № 6)

1.Луч z проходит внутри угла sk . Найдите zk , если sk =103º , sz =62º .

( решаем около доски )

. 2.Укажите, чему равна градусная мера угла ∠ВОА, если ∠АОС = 108º, а ∠ВОС в 2 раза больше угла ∠ВОА.

4.Экспресс-контроль полученных знаний.

- Теперь ребята давайте посмотрим как мы усвоили самые главные понятия по теме и научились решать задачи основного уровня. За эту работу я каждому поставлю отметку по результатам выполнения теста.

Откроем программу. Запишим свою фамилию. Откроем « автономная работа» .

Выберем раздел « Измерение углов», отвечаем на вопросы. Обратите особое внимание на правильное оформление ответов, а то он будет не принят.

Как только вы справитесь ,то сразу позовите меня. Если кто - то делает быстро, то может открыть раздел «Углы» и прорешать.

Если кому, что - то не понятно, то поднимите руку и я подойду.

5.Экскурсия в историю.

( слайд № 7)

Ученик зачитывает или рассказывает заранее подготовленный небольшой материал о понятии астролябия. На слайде учащиеся смотрят на фото этого оборудования.

Морская астролябия

Астролябия — один из старейших астрономических инструментов, появившийся в Древней Греции. Этот старинный инструмент сотворен более двух тысячелетий тому назад, когда люди полагали, что Земля – это центр Вселенной.АСТРОЛЯБИЯ, -и, ж. Старинный геодезический (а еще ранее - астрономический) прибор для измерения углов .

Астролябию иногда называют самым первым компьютером .

Астролябия — один из старейших астрономических инструментов. Основан на принципе стереографической проекции.
Принцип стереографической проекции, переводящей окружности на сфере в окружности на плоскости, открыл в III в. до н. э. Аполлоний Пергский. Витрувий в своём сочинении «Десять книг об архитектуре», описывая астрономический инструмент, называемый «пауком», сообщает, что его «изобрёл астроном Евдокс, а иные говорят — Аполлоний». Одной из составных частей этого инструмента служил барабан, на котором, по словам Витрувия, «нарисовано небо с зодиакальным кругом».
Пика своей популярности в Европе астролябия достигла в эпоху Возрождения, в XV—XVI столетиях, она наряду с армиллярной сферой была одним из основных инструментальных средств астрономического образования. Знание астрономии считалось основой образования, а умение пользоваться астролябией было делом престижа и знаком соответствующей образованности. Европейские мастера, подобно своим предшественникам арабам, уделяли большое внимание художественному оформлению, так что астролябии стали предметом моды и коллекционирования при королевских дворах.

6. Домашняя работа.

откройте дневники и запишите : задание на карточке ( раздать листочки с заданием)

Найдите градусную меру угла ∠КОЕ, если ∠СОК = 99º.

7. Подведение итогов урока:

- Так, чем мы сегодня занимались на уроке?
-Повторили виды углов и их обозначения.
-Повторили свойства град. мер углов.
-Научились применять полученные знания при решении задач.
-Познакомились с прибором для измерения углов на местности.

-Ребята скажите, все ли было вам сегодня понятно на уроке.?

-Понравился ли вам наш сегоднешний урок?

Слайд №8

К геометрии способность проявляй,
Не ленись, а ежедневно развивай,
Повторяй, учи, трудись, соображай
С геометрией дружить не забывай.

Подружитесь, ребята, с геометрией.

Спасибо вам за работу.

Сопроводительные материалы .

В данном уроке я использовал авторскую программу Жукова В.В. "Репетитор-тест по математике для 5 кл." ( он размещен на учительском портале « Электронный репетитор -тест по математике для 5 класса» http://www.uchportal.ru/load/29-1-0-38199 ) Он совмещает функции контроля знаний и обучения математике учеников 5 класса и может использоваться как для самостоятельной работы учеников, так и для работы на уроке - для проведения контрольных и самостоятельных работ и для фронтального опроса, а также для выполнения домашних заданий. Для этого в Репетиторе предусмотрены такие виды контроля: на экране, возможность печати результатов работы на бумаге, в секретном файле в компьютере ученика или, при наличии локальной сети, - в компьютере учителя в режиме реального времени, т.е. учитель может проконтролировать ответ на каждый вопрос в каждом ученическом компьютере. В репетиторе частично заблокирована возможность выхода из программы минуя контроль. Если же ученик недоволен своими результатами и выходит из программы путём выключения питания или нажатия на системном блоке кнопки Reset, то учитель может увидеть это в секретном файле или в своём компьютере, т.к. там результаты записываются дважды: после каждого ответа, а затем общий результат после слов "Общий итог".

Репетитор включает в себя теоретические вопросы и задачи, соответствующие всем разделам учебника математики 5 класса Н.Я. Виленкина и др., а также содержит дополнительно три раздела задач, соответствующих другим учебникам.

Я в данном уроке использовал раздел программы « Измерение углов », по программе геометрия 7 класса Атанасяна.

Начиная работу, ученик регистрируется (вводит фамилию), выбирает раздел математики и вопрос. Репетитор содержит вопросы двух типов: с выбираемым ответом и с вводом ответа. При первом неправильном ответе на мониторе появляется первое пояснение, при втором и последующем неправильных ответах - второе пояснение. Первое пояснение напоминает теорию вопроса, второе пояснение более детальное, но и оно не содержит прямого решения задания, а только объясняет пути его решения, т.е. выполняется именно обучение, а не "натаскивание". В большинстве случаев приведены примеры решения. Пояснения составлены простым и понятным языком без излишнего наукообразия.

Каждый вопрос репетитора имеет около 12 и более вариантов заданий, выдаваемых в случайном порядке. Это сделано для того, чтобы ученик не мог механически запомнить правильные ответы, и делает возможной многократную работу на Репетиторе каждого ученика. После ответа на все варианты данного вопроса на экране появляется надпись "Варианты исчерпаны", и возвращение к этому вопросу возможно только при новом открытии Репетитора.

Эта программа достаточно простая для учащихся. Детям нравится использование таких программ на уроках. Я разрешаю ребятам, когда они работают с программой, если это им необходимо использовать учебник и рабочую тетрадь. Во время их работы я прохожу и вижу кто как работает и у кого возникают проблемы в работе. В конце работы каждому ученику я выставляю отметку за работу, проверяя их результаты по тесту.

Измерение отрезков и углов — урок. Геометрия, 7 класс.

Измерение — это сравнивание объекта измерения с выбранной единицей измерения.

Хорошее представление об измерении даёт милый мультфильм «\(38\) попугаев». В нём была решена проблема измерения длины удава.

 

 

В попугаях длина удава составляла 38 попугаев, в мартышках — 5 мартышек, а в слонёнках — только \(2\) слонёнка. Естественно, удаву больше нравилось то, что в попугаях он длиннее. Значит, в измерении очень важно выбрать единицу измерения.

 

Обрати внимание!

Если мы хотим измерять несколько объектов и сравнивать результаты измерения, то очень важно измерить эти объекты в одинаковых единицах.

Если  нужно измерить длину двух удавов, то обоих надо мерить или в попугаях, или в мартышках, или в слонёнках.

 

Измеряя объект, мы узнаём, насколько измеряемый объект больше (или меньше) единицы измерения. Может оказаться, что принятая единица измерения не укладывается целое число раз в измеряемый объект. Тогда единицу измерения делят на части, а части можно продолжать делить на меньшие части для получения более точного результата. Результат в зависимости от ситуации также можно округлить и использовать приближённо.

Продолжая рассказ об измерении удава, вспомним, что точный результат измерения в попугаях был следующим: 38 попугаев и одно крылышко — но было принято решение результат округлить до целых единиц.

Измерение отрезка

Для измерения отрезка чаще всего как инструмент измерения используют линейку (линейки бывают очень разные — как для очень мелких измерений, так и для крупных).

Очень часто используемые единицы измерения: \(1\) \(км\), \(1\) \(м\), \(1\) \(дм\), \(1\) \(см\), \(1\) \(мм\).

1км =1000 м;1 м=10 дм;1 дм=10 см;1 см=10 мм.

 

Свойства длины отрезка

1. Равные отрезки имеют равные длины.

2. Часть отрезка всегда имеет длину, которая меньше длины отрезка.

3. Если точки на отрезке делят отрезок на части, то длина отрезка равна сумме длин этих частей.

Измерение угла

Независимо от измеряемого объекта измеряемая величина имеет такие же свойства.

Свойства величины угла

1. Равные углы имеют равные величины.

2. Часть угла всегда имеет величину, которая меньше величины угла.

3. Если лучи, выходящие из вершины угла, делят угол на части, то величина угла равна сумме величин этих частей.

Один из инструментов измерения, которые используются для измерения угла, называется транспортир.

Совсем особенная единица измерения угла — градус.

Это не тот градус, который используют для измерения температуры.

 

Для измерения угла как единицу измерения принимают 1180 часть развёрнутого угла, таким образом:

величина развёрнутого угла — \(180\) таких единиц, или градусов.

Это записывается: &angmsd;AOB=1800.

 

Следовательно:

так как полный угол состоит из двух развёрнутых углов, то его величина — 3600.

 

 

Можем представить и угол, величина которого — 00.

 

Одна четвёртая часть полного угла, или половина развёрнутого угла, называется прямой угол с величиной &angmsd;AOB=900 и особым знаком во внутренней части угла.

 

Угол, величина которого 00<&angmsd;AOB<900, называют острым углом.

 

Угол, величина которого 900<&angmsd;AOB<1800, называют тупым углом.

 

Угол, величина которого 1800<&angmsd;AOB<3600, называют открытым углом.

Типы углов

Есть много разных видов углов. Мы определим их в этом уроке. Внимательно изучите изображения, чтобы понять их.

Острый угол:

Угол, размер которого меньше 90 градусов. Далее следует острый угол.

Прямой угол:

Угол, размер которого составляет 90 градусов. Следующее - прямой угол.

Тупой угол:

Угол, размер которого больше 90 градусов, но меньше 180 градусов.Таким образом, он составляет от 90 до 180 градусов. Далее следует тупой угол.

Прямой угол

Угол, размер которого составляет 180 градусов. Таким образом, прямой угол выглядит как прямая линия. Далее следует прямой угол.

Угол отражения:

Угол, размер которого больше 180 градусов, но меньше 360 градусов. Ниже приводится угол отражения.

Типы углов: как назвать пары углов

Смежные углы:

Угол с общей вершиной и одной общей стороной.<1 и <2, являются смежными углами.

Дополнительные углы:

Два угла, сумма которых составляет 90 градусов. Угол 1 и угол 2 являются дополнительными углами, потому что вместе они образуют прямой угол.

Обратите внимание, что угол 1 и угол 2 могут не совпадать. должны быть дополнительными, пока они в сумме составляют 90 градусов.

Дополнительные углы:

Два угла, сумма которых составляет 180 градусов.Ниже приведены дополнительные углы.

Вертикальные углы:

Углы, которые имеют общую вершину и стороны которых образованы одинаковыми линиями. Следующие (угол 1 и угол 2) - это вертикальные углы.

Когда две параллельные линии пересекаются третьей линией (поперечной), образуется 8 углов. Взгляните на следующий рисунок
Углы 3,4,5,8 являются внутренними углами

Углы 1,2,6,7 являются внешними углами

Альтернативные внутренние углы:

Пары внутренних углов на противоположных сторонах трансверсали.

Например, угол 3 и угол 5 являются альтернативными внутренними углами. Угол 4 и угол 8 также являются альтернативными внутренними углами.

Альтернативные внешние углы:

Пары внешних углов на противоположных сторонах трансверсали.

Угол 2 и угол 7 - это альтернативные внешние углы.

Соответствующие углы:

Пары углов, находящихся в аналогичных положениях.

Угол 3 и угол 2 - соответствующие углы.

Угол 5 и угол 7 - соответствующие углы

Поехали! Внимательно изучите типы углов.Здесь начинается любое серьезное изучение геометрии.

Типы углов викторины. Посмотрите, насколько хорошо вы можете распознавать углы.

  1. Введение в физику

    18 ноя, 20 13:20

    Первоклассное введение в физику. Универсальный ресурс для глубокого понимания важных концепций физики

    Подробнее

Новые уроки математики

Ваша электронная почта в безопасности.Мы будем использовать его только для информирования вас о новых уроках математики.

Рабочие листы и распечатки по математике для 5-х классов

Перейти к основному содержанию
  • Войти в систему
  • Подписаться
  • Предметы
      • Изобразительное искусство
      • Здоровье и безопасность
      • Языковые искусства и письмо
      • Языки
      • Математика
      • Музыка
      • Физическая культура
      • Библиотека
      • Чтение и литература
      • География
      • Наука
      • Правительство
      • Социальные науки и история
      • Навыки 21 века-SEL
  • Оценки
      • Раннее обучение
      • Pre-K
      • Детский сад
      • 1 класс
      • 2-й класс
      • 3 класс
      • 4 класс
      • 5-й класс
      • 6 класс
      • 7-й класс
      • 8 класс
      • 9 класс
      • 10-й класс
      • 11 класс
      • 12 класс
  • Планирование
      • Основы для дома
      • Награды и сертификаты
      • Штаб-квартира Back-to-School
      • Доска объявлений
      • Классная деятельность
      • Формы для занятий
      • Классные пропуска и заметки
      • Игры
      • Графические организаторы
      • Графики и диаграммы
      • Планы урока
      • Литературные справочники
      • Мини-уроки
      • Проектное обучение
      • Рубрики
      • Тематические пакеты
      • Видео и мероприятия
      • Рабочие листы
      • Календарь педагога
      • Разминка: математика
      • Разминка: чтение
  • Стратегии обучения
      • Оценка
      • Управление поведением
      • Классное руководство
      • Организация Класса
      • Образовательные технологии
      • Изучающие английский язык
      • Знакомство со своими учениками
      • Ледоколы
      • Ресурсы для новых учителей
      • Онлайн-репетиторство и обучение
      • Ресурсы открытых дверей
      • Сотрудничество между учителем и родителем
      • Профессиональное развитие
      • Комментарии и фразы в табеле успеваемости
      • Особые потребности
      • Навыки обучения и подготовка к экзаменам
      • Советы и советы учителям
      • Социально-эмоциональное обучение
  • Темы
      • Животные
      • Осень
      • Обратно в школу
      • Биографии
      • Помощники сообщества и рабочие места
      • Известные исследователи
      • Семья
      • Зеленая деятельность
      • Герои
      • Дома людей и животных
      • Здоровье и питание
      • Насекомые и жуки
      • Изобретатели и изобретения
      • Океаны
      • Растения
      • Космос
      • Спорт и спортсмены
      • весна
      • Летом
      • Все виды погоды
      • Зима
      • Женщины в STEM
  • каникулы
      • Месяц наследия американцев азиатского происхождения и жителей островов Тихого океана
      • Месяц черной истории
      • китайский Новый год
      • Рождество
      • день Колумба
      • День мертвых
      • земной день
      • Пасха
      • День отца
      • День флага
      • Четвертое июля
      • день сурка
      • Хэллоуин
      • Ханука
      • Месяц латиноамериканского наследия
      • Кванза
      • День Труда
      • День Мартина Лютера Кинга
      • день памяти
      • День матери
      • Месяц наследия коренных американцев
      • Новый год
      • Пасха
      • День президента
      • Санкт-ПетербургДень Святого Патрика
      • Неделя признательности учителям
      • День Благодарения
      • День святого Валентина
      • День ветеранов

Измерение углов

Измерение углов
Понятие угла
Понятие угла - одно из самых важных понятий в геометрии.Понятия равенства, суммы и разности углов важны и используются во всей геометрии, но предмет тригонометрии основан на измерении углов .

Есть две обычно используемые единицы измерения углов. Более знакомая единица измерения - это градусы. Круг делится на 360 равных градусов, так что прямой угол равен 90 °. В настоящее время мы будем рассматривать только углы между 0 ° и 360 °, но позже, в разделе о тригонометрических функциях, мы будем рассматривать углы больше 360 ° и отрицательные углы.

Градусы можно разделить на минуты и секунды, но это деление не так универсально, как раньше. Каждый градус делится на 60 равных частей, называемых минутами. Итак, семь с половиной градусов можно назвать 7 градусами и 30 минутами, записанными как 7 ° 30 '. Каждая минута далее делится на 60 равных частей, называемых секунд, и, например, 2 градуса 5 минут 30 секунд записывается как 2 ° 5 '30 ". Деление градусов на минуты и угловые секунды аналогично делению на часы в минуты и секунды.

Части градуса теперь обычно обозначаются десятичной дробью. Например, семь с половиной градусов теперь обычно пишут как 7.5 & deg.

Когда один угол нарисован на плоскости xy для анализа, мы будем рисовать его в стандартной позиции с вершиной в начале координат (0,0), одна сторона угла вдоль x ось, а другая сторона выше оси x .

Радианы

Другое распространенное измерение углов - радианы.Для этого измерения рассмотрим единичный круг (круг радиуса 1), центр которого является вершиной рассматриваемого угла. Затем угол отсекает дугу окружности, и длина этой дуги является мерой угла в радианах. Легко переходить между градусами и радианами. Окружность всего круга равна 2 π , следовательно, 360 ° равняется 2 π радиан. Следовательно,

1 ° равняется π /180 радиан

и

1 радиан равен 180/ π градус

Большинство калькуляторов можно настроить на использование углов, измеряемых в градусах или радианах.Убедитесь, что вы знаете, в каком режиме работает ваш калькулятор.

Краткая заметка по истории радианов
Хотя слово «радиан» было придумано Томасом Мьюиром и / или Джеймсом Томпсоном около 1870 года, математики долгое время измеряли углы таким способом. Например, Леонард Эйлер (1707–1783) в своей книге Elements of Algebra явно сказал, что углы следует измерять по длине дуги, отрезанной в единичной окружности.Это было необходимо, чтобы дать его знаменитую формулу, включающую комплексные числа, которая связывает функции знака и косинуса с экспоненциальной функцией. e = cos θ + i sin θ

где θ - это то, что позже было названо радианами измерения угла. К сожалению, объяснение этой формулы выходит далеко за рамки этих заметок. Но для получения дополнительной информации о комплексных числах см. Мой Краткий курс комплексных чисел.

Радианы и длина дуги
Альтернативное определение радианов иногда дается как отношение. Вместо того, чтобы брать единичную окружность с центром в вершине угла θ , возьмите любую окружность с центром в вершине угла. Тогда радианная мера угла - это отношение длины вытянутой дуги к радиусу r окружности. Например, если длина дуги равна 3, а радиус окружности равен 2, тогда мера в радианах равна 1.5.

Причина, по которой это определение работает, заключается в том, что длина вытянутой дуги пропорциональна радиусу круга. В частности, определение в терминах отношения дает то же число, что и приведенное выше с использованием единичного круга. Однако это альтернативное определение более полезно, поскольку вы можете использовать его для соотнесения длин дуг с углами. Длина дуги равна радиусу r, умноженному на угол θ , где угол измеряется в радианах.

Например, дуга θ = 0,3 радиана в окружности радиуса r = 4 имеет длину 0,3 умноженную на 4, то есть 1,2.

Радианы и площадь сектора
Сектор круга - это часть окружности, ограниченная двумя радиусами и дугой окружности, соединяющей их концы. Площадь этого сектора легко вычислить по радиусу r окружности и углу θ между радиусами, если он измеряется в радианах.Так как площадь всего круга составляет πr 2 , а сектор относится ко всей окружности, так как угол θ равен 2 π , поэтому
Углы общие
Ниже приведена таблица общих углов для измерения в градусах и радианах. Обратите внимание, что измерения в радианах даны как π . Его, конечно, можно было бы дать десятичной дроби, но радианы часто появляются с коэффициентом π .
Уголок Градусов Радианы
90 ° π /2
60 ° π /3
45 ° π /4
30 ° π /6
Упражнения
Эдвин С.Кроули написал книгу « Одна тысяча упражнений в плоской и сферической тригонометрии», Университет Пенсильвании, Филадельфия, 1914. Задачи этого короткого курса взяты из этого текста (но не все 1000 из них!). Он дал свои задачи с точностью до пять знаков точности, поэтому студентам пришлось потрудиться, чтобы решить их, и они использовали таблицы логарифмов, чтобы помочь в умножении и делении. Студенты должны были уметь пользоваться таблицей синус-косинусов, таблицей касательных, таблицей логарифмов, таблицей log-sin-cos и таблицей log-tan.Теперь мы можем пользоваться калькуляторами! Это означает, что вы можете сосредоточиться на концепциях, а не на утомительных вычислениях.

Кроули использовал не десятичные дроби для дробей градуса, а минуты и секунды.

Каждый комплекс упражнений включает в себя, во-первых, формулировку упражнений, во-вторых, некоторые подсказки для решения упражнений и в-третьих, ответы на упражнения.

1. Выразите следующие углы в радианах.
(а). 12 градусов, 28 минут, то есть 12 ° 28 '.
(б). 36 ° 12 '.

2. Уменьшите следующие числа радианов до градусов, минут и секунд.
(а). 0,47623.
(б). 0,25412.

3. Зная угол a и радиус r, найти длину продолжающейся дуги.
(а). a = 0 ° 17 '48 дюймов, r = 6,2935.
(б). a = 121 ° 6 '18 дюймов, r = 0,2163.

4. Зная длину дуги l и радиус r, найти угол, приложенный к центру.
(а). л = 0,16296, л = 12,587.
(б). л = 1,3672, л = 1,2978.

5. Зная длину дуги l и угол a , который она проходит в центре, найти радиус.
(а). a = 0 ° 44 '30 дюймов, l = 0,032592.
(б). a = 60 ° 21 '6 дюймов, l = .4572.

6. Найдите длину с точностью до дюйма дуги окружности 11 градусов 48,3 минуты, если радиус 3200 футов.

7. Кривая железной дороги образует дугу окружности 9 градусов 36,7 минут, радиус до центральной линии пути составляет 2100 футов. Если калибр 5 футов, найдите разницу в длине двух рельсов с точностью до полудюйма.

9. На сколько можно изменить широту, пройдя одну милю на север, если предположить, что Земля представляет собой сферу радиусом 3956 миль?

10. Вычислите длину в футах одной угловой минуты на большом круге Земли. Какова длина дуги в секунду?

14. На окружности радиусом 5,782 метра длина дуги составляет 1,742 метра. Какой угол он образует в центре?

23. Воздушный шар, известный как 50 футов в диаметре, сужается к глазу под углом 8 1/2 минут.Как далеко это?

Подсказки

1. Чтобы преобразовать градусы в радианы, сначала преобразуйте количество градусов, минут и секунд в десятичную форму. Разделите количество минут на 60 и прибавьте к количеству градусов. Так, например, 12 ° 28 'равно 12 + 28/60, что равно 12,467 °. Затем умножьте на π и разделите на 180, чтобы получить угол в радианах.

2. И наоборот, чтобы преобразовать радианы в градусы, разделите на π и умножьте на 180.Итак, 0,47623, разделенное на π и умноженное на 180, дает 27,286 °. Вы можете преобразовать доли градуса в минуты и секунды следующим образом. Умножьте дробь на 60, чтобы получить количество минут. Здесь 0,286 умноженное на 60 равно 17,16, поэтому угол можно записать как 27 ° 17,16 '. Затем возьмите любую оставшуюся долю минуты и снова умножьте на 60, чтобы получить количество секунд. Здесь 0,16 умножить на 60 равно примерно 10, поэтому угол также можно записать как 27 ° 17 '10 ".

3. Чтобы найти длину дуги, сначала преобразуйте угол в радианы. Для 3 (a) 0 ° 17'48 "составляет 0,0051778 радиана. Затем умножьте его на радиус, чтобы найти длину дуги.

4. Чтобы найти угол, разделите его на радиус. Это дает вам угол в радианах. Их можно преобразовать в градусы, чтобы получить ответы Кроули.

5. Как упоминалось выше, радиан умноженный на радиус = длина дуги, поэтому, используя буквы для этой задачи, ar = l, , но a необходимо сначала преобразовать из градусного измерения в радиан .Итак, чтобы найти радиус r, сначала преобразует угол a в радианы, а затем разделит его на длину l дуги.

6. Длина дуги равна радиусу, умноженному на угол в радианах.

7. Помогает нарисовать фигуру. Радиус внешнего рельса равен 2102,5, а радиус внутреннего рельса - 2097,5.

9. У вас получился круг радиусом 3956 миль и дуга этого круга длиной 1 милю.Какой угол в градусах? (Средний радиус Земли был известен довольно точно в 1914 году. Посмотрим, сможете ли вы выяснить, каким, по мнению Эратосфена, был радиус Земли, еще в III веке до н. Э.)

10. Угловая минута равна 1/60 градуса. Преобразовать в радианы. Радиус - 3956. Какова длина дуги?

14. Поскольку длина дуги равна радиусу, умноженному на угол в радианах, отсюда следует, что угол в радианах равен длине дуги, деленной на радиус.Радианы легко преобразовать в градусы.

23. Представьте, что диаметр воздушного шара является частью дуги окружности с вами в центре. (Это не совсем часть дуги, но довольно близко.) Длина дуги составляет 50 футов. Вы знаете угол, так каков радиус этого круга?

ответы
1. (а). 0,2176. (б). 0,6318.

2. (а). 27 ° 17 '10 ". (B). 14,56 ° = 14 ° 33,6' = 14 ° 33'36".

3. (а). 0,03259 (б). 2,1137 умножить на 0,2163 равно 0,4572.

4. (а). 0,16296 / 12,587 = 0,012947 радиан = 0 ° 44 '30 дюймов.
(б). 1,3672 / 1,2978 = 1,0535 радианы = 60,360 ° = 60 ° 21,6 '= 60 ° 21' 35 ".

5. (а). л / год = 0,032592 / 0,01294 = 2,518.
(б). л / год = 0,4572 / 1,0533 = 0,4340.

6. ra = (3200 ') (0.20604) = 659,31 '= 659' 4 дюйма.

7. Угол a = 0,16776 радиана. Разница в длине составляет 2102,5 a - 1997,5 a , что составляет 5 a. Таким образом, ответ составляет 0,84 фута, что с точностью до дюйма составляет 10 дюймов.

9. Угол = 1/3956 = 0,0002528 радиан = 0,01448 ° = 0,8690 '= 52,14 дюйма.

10. Одна минута = 0,0002909 радиан. 1.15075 миль = 6076 футов.Поэтому одна секунда будет соответствовать 101,3 фута.

14. a = л / об = 1,742 / 5,782 = 0,3013 радиан = 17,26 ° = 17 ° 16 '.

23. Угол a равен 8,5 ', что составляет 0,00247 радиана. Таким образом, радиус равен r = л / год = 50 / 0,00247 = 20222 '= 3,83 мили, почти четыре мили.

Насчет цифр точности.
Кроули старается давать свои ответы примерно с той же точностью, что и данные в вопросах.Это важно, особенно сейчас, когда у нас есть калькуляторы. Например, в задаче 1 точка отсчета равна 12 ° 28 ', что соответствует примерно четырем знакам точности, поэтому ответ 0,2176 также должен быть дан только с точностью до четырех знаков. (Обратите внимание, что начальные нули не учитываются при вычислении цифр точности.) Ответ 0,21758438 предполагает восемь цифр точности, и это может ввести в заблуждение, поскольку данная информация не была такой точной.

Другой пример см. В задаче 3 (a). Данные 0 ° 17'48 "и 6.2935, с точностью до 4 и 5 знаков соответственно. Следовательно, ответ должен быть дан только с точностью до 4 цифр, поскольку ответ не может быть более точным, чем наименее точные данные. Таким образом, ответ, который может дать калькулятор, а именно 0,032586547, следует округлить до четырех цифр (не включая ведущие нули) до 0,03259.

Хотя окончательные ответы должны быть выражены с соответствующим количеством цифр точности, вы все равно должны сохранять все цифры для промежуточных вычислений.

Онлайн-класс по геометрии для старшеклассников | Обучение математике для домашнего обучения | Бесплатное обучение через Интернет для жителей Висконсина

Теперь принимаются зачисления на полный рабочий день на 2020-2021 годы - ЗАЯВИТЬ СЕЙЧАС
  • Курсы K-12
    • Элементарный
        • Детский сад
          • Английский
          • Математика
          • Здоровье и Физ.E.
          • Технологии
          • Искусство и дизайн
          • Окружающая среда
          • Музыка
        • 1-й класс
          • Английский
          • Математика
          • Здоровье и Физ.E.
          • Технологии
          • Искусство и дизайн
          • Окружающая среда
          • Музыка
        • 2-й класс
          • Английский
          • Математика
          • Здоровье и Физ.E.
          • Технологии
          • Искусство и дизайн
          • Окружающая среда
          • Музыка
        • 3-й класс
          • Английский
          • Математика
          • Здоровье и Физ.E.
          • Технологии
          • Искусство и дизайн
          • Окружающая среда
          • Музыка
        • 4 класс
          • Английский
          • Математика
          • Здоровье и Физ.E.
          • Технологии
          • Искусство и дизайн
          • Окружающая среда
          • Музыка
        • 5 класс
          • Английский
          • Математика
          • Здоровье и Физ.E.
          • Технологии
          • Искусство и дизайн
          • Окружающая среда
          • Музыка
      • Как работает онлайн-начальная школа Плюсы и минусы начальной школы онлайн
    • Средняя школа
      • 6 класс
        • Здоровье
        • 6 класс, естественные науки
        • Математика для 6 классов
        • Магистр физического воспитания
        • Действия и выступления
        • Театральная техника и дизайн
        • Признательность музыки
        • Введение в цифровое искусство
        • Введение в информатику
        • Чтение
        • Общественные науки 6-го класса
      • 7-й класс
        • Здоровье
        • Исследование карьеры
        • Магистр физического воспитания
        • Продовольственная динамика
        • Действия и выступления
        • Театральная техника и дизайн
        • Признательность музыки
        • Исследование мирового языка
        • REAL: Ответственное воспитание Подотчетность на всю жизнь
        • Клавиатура
        • Введение в цифровое искусство
        • Введение в информатику
        • Шлюз в технологии 1
        • Шлюз в технологии 2
        • Business Ventures
        • Языковые курсы для 7-х классов
        • Математика в 7 классе
        • Общественные науки 7-го класса
        • 7 класс, естественные науки
      • 8 класс
        • Здоровье
        • Исследование карьеры
        • Магистр физического воспитания
        • Продовольственная динамика
        • Действия и выступления
        • Театральная техника и дизайн
        • Признательность музыки
        • Исследование мирового языка
        • Испанский 1
        • Латиница 1
        • Немецкий 1
        • Французский 1
        • Клавиатура
        • Введение в цифровое искусство
        • Введение в информатику
        • Шлюз в технологии 1
        • Шлюз в технологии 2
        • Цифровая обработка изображений
        • Business Ventures
        • Языковые курсы для 8-х классов
        • Математика в 8 классе
        • Общественные науки 8-го класса
        • Естественные науки в 8 классе
        • REAL: Ответственное воспитание Подотчетность на всю жизнь
      • Факультативы
        • Здоровье
        • Исследование карьеры
        • Магистр физического воспитания
        • Продовольственная динамика
        • Действия и выступления
        • Театральная техника и дизайн
        • Признательность музыки
        • Исследование мирового языка
        • Испанский 1
        • Латиница 1
        • Немецкий 1
        • Французский 1
        • REAL: Ответственное воспитание Подотчетность на всю жизнь
        • Клавиатура
        • Введение в цифровое искусство
        • Введение в информатику
        • Шлюз в технологии 1
        • Шлюз в технологии 2
        • Цифровая обработка изображений
        • Business Ventures
    • Средняя школа
      • 9 класс
        • AP 9 класс
        • Искусство 9 класс
        • Бизнес-образование 9 класс
        • Английский 9 класс
        • Семья и потребительские науки 9 класс
        • Здоровье и физкультура 9 класс
        • IT 9 класс
        • Математика 9 класс
        • Музыка 9 класс
        • Естественные науки 9 класс
        • Общественные науки 9 класс
        • Мировые языки 9 класс
      • 10-й класс
        • AP 10 класс
        • Искусство 10 класс
        • Бизнес-образование 10 класс
        • Английский 10 класс
        • Семья и потребительские науки 10 класс
        • Здоровье / физкультура 10 класс
        • IT 10 класс
        • Математика 10 класс
        • Музыка 10 класс
        • Естественные науки 10 класс
        • Общественные науки 10 класс
        • Мировые языки 10 класс
      • 11 класс
        • AP 11 класс
        • Искусство 11 класс
        • Бизнес-образование 11 класс
        • Английский 11 класс
        • Семья и потребительские науки 11 класс
        • Здоровье / физкультура 11 класс
        • IT 11 класс
        • Математика 11 класс
        • Музыка 11 класс
        • Наука 11 класс
        • Общественные науки 11 класс
        • Мировые языки 11 класс
      • 12 класс
        • AP 12 класс
        • Искусство 12 класс
        • Бизнес-образование 12 класс
        • Английский 12 класс
        • Семья и потребительские науки, 12 класс
        • Здоровье / физкультура 12 класс
        • IT 12 класс
        • Математика 12 класс
        • Музыка 12 класс
        • Естественные науки 12 класс
        • Общественные науки 12 класс
        • Мировые языки 12 класс
      • Художественные курсы
        • Художественная фотография I
        • Fine Art Photography II
        • Драма I - В начале игры
        • Цифровой рисунок и живопись
        • AP История искусств
      • Курсы бизнес-образования
        • Основы работы с клавиатурой
        • Компьютерные приложения
        • Маркетинг в сфере спорта и мероприятий
        • Личное финансовое планирование
        • Предпринимательство
        • Цифровые технологии
        • Бухгалтерский учет 1
      • Курсы английского
        • Понимание прочитанного
        • AP Prep American Literature
        • AP Prep Английский 10
        • AP Prep Английский 9
        • Литературные исследования
        • Творческое письмо
        • Композиция
        • Связь
        • Базовая грамматика
        • Британская литература
        • Американская литература
        • Английский 9
        • Английский 10
        • AP Английский
        • Подготовка к ACT
      • Курсы по семейным и потребительским наукам
        • Жизненные навыки
        • Развитие ребенка
        • Мода и дизайн интерьера
        • Мировая кухня
        • Chef Foods
        • Планирование карьеры
        • Карьера
      • Здоровье / PE
        • Знакомство с фитнесом
        • Основы фитнеса 1
        • Основы фитнеса 2
        • Питание и благополучие
        • Здоровье
      • ИТ-курсы
        • AP Computer Science A
        • AP Принципы информатики
        • Веб-разработка A
        • Веб-разработка B
        • Редакторы веб-дизайна
        • Программирование JAVA 1
        • Программирование JAVA 2
        • Цифровая обработка изображений 1
        • Цифровое изображение 2
      • Математические курсы
        • Математика для потребителей
        • Интегрированная математика
        • Предалгебра
        • Алгебра 1
        • Алгебра 2
        • Геометрия
        • Предварительный расчет и тригонометрия
        • AP Исчисление A / B
        • AP Исчисление B / C
        • Статистика AP
        • Математика перед колледжем
      • Музыкальные курсы
        • Признание музыки
        • Музыкальные технологии
        • Музыка в кино
        • Beginning Guitar A
        • Beginning Guitar B
        • AP Теория музыки
      • Курсы естествознания
        • Науки о Земле
        • Физические науки Физика
        • Физические науки и химия
        • Судебная медицина
        • Наука об окружающей среде
        • Астрономия и атмосфера
        • Физика
        • AP Физика 1
        • AP Физика 2
        • Химия
        • AP Chemistry
        • Анатомия и физиология
        • Биология
        • AP Biology
        • Подготовка к ACT
      • Курсы обучения обслуживанию
      • Курсы социальных исследований
        • Глобальные проблемы
        • Социальные проблемы
        • География человека
        • Правительство
        • Уголовное право
        • Психология
        • AP Психология
        • Всемирная история
        • AP Всемирная история
        • AP История Европы
        • История США
        • AP История США
        • Экономика
        • AP Economics Macro
        • AP Economics Micro
      • Курсы специального образования
      • Курсы мировых языков
        • Испанский 1
        • Испанский 2
        • Испанский 3
        • Испанский 4
        • AP Испанский
        • Латиница 1
        • Латиница 2
        • Латиница 3
        • Немецкий 1
        • Немецкий 2
        • Немецкий 3
        • Немецкий 4
        • Французский 1
        • Французский 2
        • Французский 3
        • Французский 4
        • AP Французский
        • Китайский 1
        • Китайский 2
      • Факультативы
        • 1819 Sem 1 Honor Roll
        • 1819 Sem 2 Honor Roll
        • Сервисное обучение
        • Ежегодник
        • Подготовка к ACT
      • Выбор классов для карьеры
    • классов AP
        • Все классы AP
          • AP Computer Science A
          • AP Принципы информатики
          • AP Испанский
          • AP Французский
          • AP Психология
          • AP История США
          • AP История Европы
          • AP Всемирная история
          • AP Economics Micro
          • AP Economics Macro
          • AP Физика 1
          • АП Физика 2
          • AP Chemistry
          • AP Biology
          • AP Исчисление A / B
          • AP Исчисление B / C
          • Статистика AP
          • AP Английский
          • AP История искусств
          • AP Теория музыки
        • AP курсов для 9 классов
          • AP Принципы информатики
          • AP Теория музыки
        • 10-й курс AP
          • AP Computer Science A
          • AP Принципы информатики
          • AP Психология
          • AP История США
          • AP История Европы
          • AP Всемирная история
          • AP Физика 1
          • AP Chemistry
          • AP Biology
          • AP Исчисление A / B
          • AP Теория музыки
          • AP История искусств
.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *