Алгебра, 7 класс: уроки, тесты, задания

Информация о разделе

Математический язык. Математическая модель

1. Числовые и алгебраические выражения

2. Что такое математический язык

3. Что такое математическая модель

4. Линейное уравнение с одной переменной

5. Координатная прямая

Линейная функция

1. Координатная плоскость

2. Линейное уравнение с двумя переменными и его график

3. Линейная функция y = kx + m и её график

4. Линейная функция y = kx

5. Взаимное расположение графиков линейных функций

Системы двух линейных уравнений с двумя переменными

1. Основные понятия

2. Метод подстановки

3. Метод алгебраического сложения

4. Системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными как математические модели реальных ситуаций

Степень с натуральным показателем и её свойства

1. Что такое степень с натуральным показателем

2. Таблица основных степеней

3. Свойства степени с натуральным показателем

4. Умножение и деление степеней с одинаковым показателем

5. Степень с нулевым показателем

Одночлены. Арифметические операции над одночленами

1. Понятие одночлена. Стандартный вид одночлена

2. Сложение и вычитание одночленов

3. Умножение одночленов. Возведение одночлена в натуральную степень

4. Деление одночлена на одночлен

Многочлены. Арифметические операции над многочленами

1. Основные понятия

2. Сложение и вычитание многочленов

3. Умножение многочлена на одночлен

4. Умножение многочлена на многочлен

5. Формулы сокращённого умножения

6. Деление многочлена на одночлен

Разложение многочлена на множители

1. Что такое разложение на множители

2. Вынесение общего множителя за скобки

3. Способ группировки

4. Разложение многочлена на множители с помощью формул сокращённого умножения

5. Разложение многочлена на множители с помощью комбинации различных приёмов

6. Сокращение алгебраических дробей

7. Тождества

Квадратичная функция y = x²

1. Квадратичная функция и её график

2. Графическое решение уравнений

3. Что означает в математике запись у = f(x)

www.yaklass.ru

Конспект «Алгебра 7 класс. Все формулы и определения»

Алгебра 7 класс. Все формулы и определения.
Краткий курс алгебры за 7 класс.

«Алгебра 7 класс. Все формулы и определения» — это краткий курс алгебры за 7 класс. Цитаты взяты из учебника для общеобразовательных учреждений (авт. Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова под ред. С.А. Теляковского) — М.: Просвещение, 2013.

---

Выражения и их преобразования

☑ 1. Степенью числа а с натуральным показателем n, большим 1, называют произведение n множителей, каждый из которых равен а:
Степенью числа а с показателем 1 называют само число а:  а¹ = а.
Степень числа а ≠ 0 с показателем 0 равна 1:  а⁰ = 1.

☑ 2. Свойства степеней с натуральными показателями:

 а^m • аⁿ = а^{m+ n}

При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляют прежним, а показатели складывают.

а^m : аⁿ = а^{m — n}, где а ≠ 0, m ≥ n

(а^m)ⁿ = а^mn

При возведении степени в степень основание оставляют прежним, а показатели перемножают.

(ab)ⁿ = аⁿbⁿ

При возведении в степень произведения возводят в эту степень каждый множитель и результаты перемножают.

☑ 3. Одночленами называют произведения чисел, переменных и их степеней, а также сами числа, переменные и их степени. Например, 5а²х, –3а²b³, 4, х, у⁵ — одночлены.

 Степенью одночлена называют сумму показателей степеней всех переменных, входящих в одночлен. Например, степень одночлена –8а²b⁴ равна 6.

☑ 4. Многочленом называют сумму одночленов. Например, 3х⁵ – 4х² + 1, 7a³b – ab² + ab + 6—многочлены. Одночлены считают многочленами, состоящими из одного члена.

Степенью многочлена стандартного вида называют наибольшую из степеней входящих в него одночленов. Например, степень многочлена 5х³у + 3х²у⁵ + ху равна степени одночлена 3х²у⁵, т. е. равна 7.

Степенью произвольного многочлена называют степень тождественно равного ему многочлена стандартного вида.

☑ 5. При сложении многочленов пользуются правилом раскрытия скобок: если перед скобками стоит знак «плюс», то скобки можно опустить, сохранив знак каждого слагаемого, заключённого в скобки. Например,

(3аb + 5с²) + (ab – с²) = 3ab + 5с² + ab – с² = 4аb + 4с²

При вычитании многочленов пользуются правилом раскрытия скобок: если перед скобками стоит знак «минус», то скобки можно опустить, изменив знак каждого слагаемого, заключённого в скобки. Например,

(6x² – у) – (2x² – 8у) = 6х² – у – 2х² + 8у = 4х² + 7у

Чтобы умножить одночлен на многочлен, нужно умножить этот одночлен на каждый член многочлена и полученные произведения сложить. Например,

а² (3аb – b³ + 1) = 3а³b – а²b³ + а²

Чтобы умножить многочлен на многочлен, нужно каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого многочлена и полученные произведения сложить. Например,

(5х – 1)(3х + 2) = 15x² – Зx + 10x – 2 = 15x² + 7x – 2

☑ 6. Формулы сокращённого умножения:

(а + b)² = а² + 2аb + b²

Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения плюс удвоенное произведение первого и второго выражений, плюс квадрат второго выражения.

(а – b)² = а² – 2аb + b²

Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения минус удвоенное произведение первого и второго выражений, плюс квадрат второго выражения.

(а + b)³ = а³ + 3а²b + 3ab² + b³

Куб суммы двух выражений равен кубу первого выражения плюс утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго плюс куб второго выражения.

(а – b)³ = а³ – 3а²b + Заb² – b³

Куб разности двух выражений равен кубу первого выражения минус утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго минус куб второго выражения.

(а – b)(а + b) = а² – b²

Произведение разности двух выражений и их суммы равно разности квадратов этих выражений.

а³ + b³ = (а + b)(a² – аb + b²)

Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы этих выражений и неполного квадрата их разности.

а³ – b³ = (а – b)(a² + ab + b²)

Разность кубов двух выражений равна произведению разности этих выражений и неполного квадрата их суммы.

☑ 7. Разложением многочлена на множители называют представление многочлена в виде произведения многочленов.

Для разложения многочленов на множители применяют вынесение общего множителя за скобки, группировку, формулы сокращённого умножения. Например, многочлен 5х³ – х²у можно разложить на множители, вынеся за скобки х² : 5х³ – х²у = х² (5х – у). Многочлен 3х – 3у – ах + ау можно разложить на множители, используя способ группировки:

3х – 3у – ах + ау = (3x – 3у) – (ах – ау) = 3(х – у) – а (х – у) = (х – у)(3 – а).

Многочлен а⁴ – 25x² можно разложить на множители, используя формулу разности квадратов двух выражений:

а⁴ – 25x² = (а²)² – (5x)² = (а² – 5x)(а² + 5x).

Иногда многочлен удаётся разложить на множители, применив последовательно несколько способов.

Уравнения

☑ 8. Корнем уравнения с одной переменной называют значение переменной, при котором уравнение обращается в верное равенство. Например, число 8 — корень уравнения 3x +1 = 5х – 15, так как верно равенство 3•8 + 1= 5•8 – 15.

Решить уравнение с одной переменной — значит найти все его корни или доказать, что корней нет.

☑ 9. Уравнения с одной переменной, имеющие одни и те же корни, называют равносильными. Например, уравнения x² = 25 и (х + 5)(х – 5) = 0 равносильны. Каждое из них имеет два корня: –5 и 5. Уравнения, не имеющие корней, также считают равносильными.

При решении уравнений с одной переменной используются следующие свойства:

• если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак, то получится уравнение, равносильное данному;
• если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному.

☑ 10. Линейным уравнением с одной переменной называют уравнение вида ах = b, где х — переменная, а и b — числа.

Если а ≠ 0, то уравнение ах = b имеет единственный корень b/a.

Например, уравнение 7х = 2 имеет корень 2/7.

Если а = 0 и b ≠ 0, то уравнение ах = b не имеет корней. Например, уравнение 0 • х = 7 не имеет корней.

Если а = 0 и b = 0, то корнем уравнения ах = b является любое число.

☑ 11. Решением уравнения с двумя переменными называют пару значений переменных, обращающую это уравнение в верное равенство. Например, пара чисел х = —1, у = 4 — решение уравнения 5х + 3у = 7.

Уравнения с двумя переменными, имеющие одни и те же решения, называют равносильными. Уравнения с двумя переменными, не имеющие решений, также считают равносильными.

В уравнении с двумя переменными можно переносить слагаемые из одной части в другую, изменяя их знаки, и обе части уравнения можно умножать или делить на одно и то же число, не равное нулю. При этом получаются уравнения, равносильные исходному.

☑ 12. Линейным уравнением с двумя переменными называют уравнение вида ах + by = с, где х и у — переменные, а, b и с — числа.

☑ 13. Графиком уравнения с двумя переменными называют множество точек координатной плоскости, координаты которых являются решениями этого уравнения.

Графиком линейного уравнения с двумя переменными, в котором хотя бы один из коэффициентов при переменных не равен нулю, является прямая.

☑ 14. Решением системы уравнений с двумя переменными называют пару значений переменных, обращающую каждое уравнение системы в верное равенство. Например, пара чисел х = 7, у = –1 — решение системы
так как является верным каждое из равенств   7 + (–1) = 6   и   2 • 7 – (–1) = 15.

Решить систему уравнений — значит найти все её решения или доказать, что решений нет.

Системы уравнений с двумя переменными, имеющие одни и те же решения, называют равносильными. Системы, не имеющие решений, также считают равносильными.

☑ 15. Для решения систем линейных уравнений с двумя переменными используются графический способ, способ подстановки, способ сложения.

При графическом способе строят графики линейных уравнений (прямые) и анализируют их расположение:

• если прямые совпадают, то система имеет бесконечно много решений, причём координаты любой точки прямой являются решением системы;
• если прямые параллельны, то система не имеет решений; если прямые пересекаются, то система имеет единственное решение, причём координаты точки пересечения прямых являются решением системы.

При решении системы двух линейных уравнений с двумя переменными способом подстановки поступают следующим образом:

• выражают из какого–либо уравнения системы одну переменную через другую;
• подставляют в другое уравнение системы вместо этой переменной полученное выражение;
• решают получившееся уравнение с одной переменной; подставляют значение найденной переменной в одно из уравнений и находят соответствующее значение другой переменной.

При решении системы двух линейных уравнений с двумя переменными способом сложения поступают следующим образом:

• умножают почленно уравнения системы, подбирая множители так, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали в уравнениях противоположными числами;
• складывают почленно левые и правые части уравнений системы; решают получившееся уравнение с одной переменной; подставляют значение найденной переменной в одно из уравнений и находят соответствующее значение другой переменной.

Функции

☑ 16. Функциональная зависимость, или функция, — это такая зависимость между двумя переменными, при которой каждому значению независимой переменной соответствует единственное значение зависимой переменной.

Независимую переменную иначе называют аргументом, а о зависимой переменной говорят, что она является функцией этого аргумента. Все значения, которые принимает независимая переменная, образуют область определения функции.

Графиком функции называют множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты — соответствующим значениям функции.

☑ 17. Линейной функцией называют функцию, которую можно задать формулой вида у = kx + b, где х — независимая переменная, k и b — числа.

Графиком линейной функции у = kx + b является прямая. Число k называют угловым коэффициентом прямой, являющейся графиком функции у = kx + b.

Если k ≠ 0, то график функции у = kx + b пересекает ось х; если k = 0 и b ≠ 0, то прямая — график функции у = kx + b, параллельна оси х; если k = 0 и b = 0, то график функции совпадает с осью х.

Графики двух линейных функций пересекаются, если их угловые коэффициенты различны, и параллельны, если их угловые коэффициенты одинаковы.

Линейную функцию, задаваемую формулой у – kx при k ≠ 0, называют прямой пропорциональностью.

 График прямой пропорциональности есть прямая, проходящая через начало координат. При k > 0 график расположен в первой и третьей координатных четвертях, а при k < 0 — во второй и четвёртой координатных четвертях.

☑ 18. График функции у = х² — парабола. Этот график проходит через начало координат и расположен в первой и второй координатных четвертях. Он симметричен относительно оси у.

График функции у = х³ проходит через начало координат и расположен в первой и третьей координатных четвертях. Он симметричен относительно начала координат.

Статистические характеристики

 ☑ Средним арифметическим ряда чисел называют частное от деления суммы этих чисел на число слагаемых.

 Модой ряда чисел называют число, которое встречается в данном ряду чаще других. Ряд чисел может иметь более одной моды или не иметь моды совсем.

 Медианой упорядоченного ряда чисел с нечётным числом членов называют число, записанное посередине, а медианой упорядоченного ряда чисел с чётным числом членов называют среднее арифметическое двух чисел, записанных посередине.

Например, медиана ряда чисел  17, 21, 27, 29, 32, 37, 41 равна 29, а медиана ряда чисел  28, 43, 54, 56, 58, 62 равна 55.

 Медианой произвольного ряда чисел называют медиану соответствующего упорядоченного ряда.

Размахом ряда чисел называют разность между наибольшим и наименьшим из этих чисел.

 

---

Вы смотрели Конспект «Алгебра 7 класс. Все формулы и определения» — краткий курс алгебры за 7 класс. Цитаты взяты из учебника для общеобразовательных учреждений (авт. Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова под ред. С.А. Теляковского). Выберите дальнейшие действия:

Алгебра 7 класс. Все формулы и определения

2.3 (45.56%) 54 vote[s]

uchitel.pro

Алгебра 7 класс. Задачи.

Когда-то на уроках алгебры 6-7 класса мы решали эти задачки за несколько секунд. Нас можно было разбудить ночью, и мы бы сказали, чему равен корень из 64 и как найти перенести X из правой части уравнения в левую. И именно благодаря этим замечательным урокам в нас развиты логика и умение быстро считать, не используя калькулятор.

Мы сделали тест, чтобы Вы смогли проверить, сохранились ли в вашей памяти математические знания. Не забудьте после прохождения теста отправить ссылку друзьям, чтобы проверить и их память и знания. И всё же мы надеемся, что сможем поймать Вас хотя бы на одном вопросе

Чему равен квадратный корень из 169?

Далее >>

Решите задачу: Маме и бабушке вместе 120 лет. Сколько лет каждой, если мама в три раза моложе бабушки?

маме — 45, бабушке — 55

маме -30, бабушке — 90

маме-25, бабушке-65

маме -40, бабушке — 70

Далее >>

Чему равен Х в уравнении 3х-5=7+х ?

х = 6

х = 3

х = 12

х = 0

Далее >>

Чему равно число 12, возведенное во вторую степень?

Далее >>

С помощью какой формулы можно расcчитать tg a (тангенс A)?

sin a \ cos a

cos a \ sin a

cos a x sin a

Далее >>

Квадратный корень из 225 равен…

Далее >>

Чему равно число семь, возведенное в третью степень?

Далее >>

Решите пример: (х+4у) — (4у — х), где х=1, а у=2

ответ: 3

ответ: 1

ответ: 5

ответ: 2

Далее >>

Чему равен ctg угла 45 градусов?

Далее >>

Чему равен sin угла 90 градусов?

Далее >>

Тест по алгебре 6-7 класс

С родителями в школу!

Не расстраивайтесь! Почаще возвращайтесь к нам, чтобы пройти тест-другой, и тогда школьная программа будет для Вас не такой сложной! Не забудьте отправить ссылку друзьям — проверим их знания!

Поделитесь результатом с друзьями:

Facebook Twitter VK Тест по алгебре 6-7 класс

На троечку

А когда-то мы эти примеры щёлкали один за одним, верно? Не забудьте отправить ссылку друзьям — проверим их знания!

Поделитесь результатом с друзьями:

Facebook Twitter VK Тест по алгебре 6-7 класс

Четверка!

Почти отлично! Почаще заходите к нам, и тогда точно будете помнить всё из школьной программы! Не забудьте отправить ссылку друзьям — проверим их знания!

Поделитесь результатом с друзьями:

Facebook Twitter VK Тест по алгебре 6-7 класс

Пять с плюсом!

Да Вы отличник! Школьные уроки не прошли даром. Не забудьте отправить ссылку друзьям — проверим их знания!

Поделитесь результатом с друзьями:

Facebook Twitter VK

 PLAY AGAIN !

Еще интересные тесты:

Понравилась статья? Поделиться с друзьями:

smtimes.ru

Основные понятия. Алгебра, 7 класс: уроки, тесты, задания.

1.	Вопросы по теме «Многочлены» Сложность: лёгкое	1
2.	Противоположные многочлены Сложность: лёгкое	1
3.	Определение вида многочлена Сложность: лёгкое	1
4.	Выбор вида многочлена Сложность: лёгкое	1
5.	Коэффициент и степень членов многочлена Сложность: лёгкое	2
6.	Степень многочлена Сложность: лёгкое	1
7.	Составление многочлена Сложность: лёгкое	1
8.	Упрощение многочлена (преобразование одночленов) Сложность: лёгкое	3
9.	Приведение подобных слагаемых Сложность: лёгкое	2
10.	Многочлен Сложность: лёгкое	2
11.	Подобные слагаемые многочлена Сложность: лёгкое	2
12.	Стандартный вид, подобные члены многочлена Сложность: среднее	3
13.	Приведение подобных членов многочлена Сложность: среднее	3
14.	Подобные члены многочлена Сложность: среднее	3
15.	Числовое значение многочлена (целые числа) Сложность: среднее	3
16.	Приведение подобных членов (обыкновенные дроби) Сложность: среднее	3
17.	Значение многочлена Сложность: среднее	4
18.	Числовое значение многочлена (десятичные дроби) Сложность: среднее	5
19.	Числовое значение многочлена (обыкновенные дроби) Сложность: среднее	5
20.	Стандартный вид многочлена (противоположный) Сложность: сложное	5
21.	Стандартный вид многочлена Сложность: сложное	4

www.yaklass.ru

Что такое математический язык. Алгебра, 7 класс: уроки, тесты, задания.

1.	Запиши на математическом языке Сложность: лёгкое	1
2.	Перевод на обычный язык Сложность: лёгкое	1
3.	Записать утверждение на математическом языке Сложность: лёгкое	1
4.	Запиши формулу вычисления объёма или площади Сложность: среднее	2
5.	Выбери соответствующее выражение Сложность: среднее	2
6.	Равенство на математическом языке Сложность: среднее	2
7.	Опиши ситуацию с числами Сложность: сложное	2
8.	Вычисление процента от числа Сложность: сложное	3
9.	Правила действий с дробями Сложность: сложное	3

www.yaklass.ru

Примеры по геометрии 7 класс. | Геометрия

Примеры по геометрии 7 класс. | Геометрия — просто!

Добрый день!
Сегодня мы с вами разберём несколько примеров по геометрии 7 класса, которые даются в ОГЭ-2015.
Ведь действительно, Основной Государственный Экзамен — ОГЭ, рассчитан не только на знания 9 класса, но и на те знания, которые ученики получают в 7 и 8 классах по геометрии, и, начиная с 5 класса, по математике и алгебре.
Поэтому, в модуле «Геометрия» есть задачи из курса 7 класса.

Задача 1.  В треугольнике АВС точка D на стороне АВ выбрана так, что АС=AD. Угол А  треугольника АВС равен 16°, а угол АСВ равен 134°. Найти угол DCB.
Решение: Из треугольника ADC видно, что он равнобедренный, поскольку 2 боковые стороны его равны.
А в равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
Значит, угол ADC равен углу АСВ.
Но сумма внутренних углов треугольника равна 180°.
Отсюда, сумма двух углов при основании равна 180-16=164°.
Углы, как мы уже сказали, равны. Поэтому, каждый из них равен 164:2 = 82°.
Угол АСВ по условию равен 134°.
А если внутри угла провести луч, то он разделит угол на 2 угла, сумма градусных мер которых будет равна градусной мере первоначального угла.
Т.е. Угол АСВ равен сумме углов АCD и DCB.
Отсюда, угол DCB равен 134 — 82 = 52°.
Ответ: угол DCB равен 52°.

Задача 2. Два отрезка АС  и BD пересекают в точке О. Причём, АО=СО и ∠А=∠С. Доказать, что треугольники АОВ и OC равны.
Доказательство: В искомых треугольниках есть по одной равной стороне и одному равному углу. Значит, согласно признакам равенства треугольников, нам необходимо ещё либо по одной равной стороне, либо по одному равному углу.
Стороны как-то не проглядываются, а вот по равному углу можно ещё найти.
Углы АОВ и DOC  — вертикальные.
А вертикальные углы, как мы знаем, равны.
В каждом из треугольников мы имеем по равной стороне и двум равным углам, прилежащим к ней.
Треугольники равны по 2 признаку.

Задача 3.  В треугольнике АВС проведена биссектриса АК.  Угол АКС равен 94°, а угол АВС равен 62°.  Найти угол С треугольника АВС.
Решение: Угол АКС является внешним для треугольника АВК и равным сумме двух внутренних углов, не смежных с ним, т.е. сумме углов В и ВАК.
Отсюда мы можем найти угол ВАК.
Он равен 94 — 62 = 32°.
Поскольку АК — биссектриса угла А, то угол КАС тоже равен 32°.
А теперь, рассматривая треугольник АКС и зная в нём 2 угла, можно найти третий.
∠С = 180 — 32 — 94 = 54°.
Ответ: угол С равен 54°.

Задача 4. В треугольнике АВС боковые стороны АС и АВ равны между собой. Внешний угол при вершине В равен 110°.  Найти угол С.
Решение:  Внешний угол В равен 110°, значит, смежный с ним внутренний угол в треугольнике  равен
180-10 = 70°.
Но внутренний угол В равен углу А, как углы при основании равнобедренного треугольника. Значит, угол А равен 70°.
А сумма внутренних углов треугольника равна 180°.
И если 2 из них равны по 70, то на долю третьего угла С приходится 180 — 70 — 70 = 40°.
Ответ: угол с равен 40°.

Задача 5. В треугольнике АВС проведены высоты, которые пересекаются в точке О.  Угол СОВ равен 119°. Найти угол А.
Решение: Угол ВОМ смежный углу СОМ и равен 180-119 = 61°.
Угол СМА внешний в треугольнике СМВ и равен сумме двух внутренних, не смежных с ним.
Отсюда, угол ОВМ равен 90-61 = 29°.
А из прямоугольного треугольника ВКА можно найти угол А, т.к. сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна 90°.
Значит, угол А равен 90 — 29 = 61°.
Ответ: угол А равен 61°. 

На сегодня всё. В следующий раз мы продолжим решение геометрических задач для подготовки к ОГЭ.

Вам так же будет интересно:

Оставить комментарий

geometriyaprosto.ru

Формулы сокращенного умножения. Примеры.

data-ad-client=»ca-pub-8602906481123293″
data-ad-slot=»2890988705″>

1)    Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения плюс удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения.

       (a+b)² = a²+2ab+b² 

  a) (x + 2y)² = x² + 2 ·x·2y + (2y)² = x² + 4xy + 4y²

б) (2k + 3n)² = (2k)² + 2·2k·3n + (3n)² = 4k² + 12kn + 9n²

2)    Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения минус удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения.

        (a-b)² = a²-2ab+b²

 а)   (2a – c)² = (2a)²-2·2a·c + c² = 4a² – 4ac + c²

б)   (3a – 5b)² = (3a)²-2·3a·5b + (5b)² = 9a² – 30ab + 25b²

3)    Разность квадратов двух выражений равна произведению разности самих выражений на их сумму.

         a²–b² = (a–b)(a+b)

a)      9x² – 16y² = (3x)² – (4y)² = (3x – 4y)(3x + 4y)

б)  (6k – 5n)( 6k + 5n) = (6k)² – (5n)² = 36k² – 25n²

4)  Куб суммы двух выражений равен кубу первого выражения плюс утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго плюс куб второго выражения.

        (a+b)³ = a³+3a²b+3ab²+b³

a)  (m + 2n)³ = m³ + 3·m²·2n + 3·m·(2n)² + (2n)³ = m³ + 6m²n + 12mn² + 8n³

б)  (3x + 2y)³ = (3x)³ + 3·(3x)²·2y + 3·3x·(2y)² + (2y)³ = 27x³ + 54x²y + 36xy² + 8y³

5)  Куб разности двух выражений равен кубу первого выражения минус утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго минус куб второго выражения.

(a-b)³ = a³-3a²b+3ab²-b³

а)  (2x – y)³ = (2x)³-3·(2x)²·y + 3·2x·y² – y³ = 8x³ – 12x²y + 6xy² – y³

б)  (x – 3n)³ = x³-3·x²·3n + 3·x·(3n)² – (3n)³ = x³ – 9x²n + 27xn² – 27n³

6)  Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы самих выражений на неполный квадрат их разности.

a³+b³ = (a+b)(a²–ab+b²)

a)      125 + 8x³ = 5³ + (2x)³ = (5 + 2x)(5² — 5·2x + (2x)²) = (5 + 2x)(25 – 10x + 4x²)

б)  (1 + 3m)(1 – 3m + 9m²) = 1³ + (3m)³ = 1 + 27m³

7)  Разность кубов двух выражений равна произведению разности самих выражений на неполный квадрат их суммы.

 a³-b³ = (a-b)(a²+ab+b²)

а) 64с³ – 8 = (4с)³ – 2³ = (4с – 2)((4с)² + 4с·2 + 2²) = (4с – 2)(16с² + 8с + 4)

б) (3a – 5b)(9a² + 15ab + 25b²) = (3a)³ – (5b)³ = 27a³ – 125b³

Дорогие друзья! Карта сайта поможет вам выбрать нужную тему.

 

Запись имеет метки: Правила и формулы сокращенного умножения

www.mathematics-repetition.com