cart-icon Товаров: 0 Сумма: 0 руб.
г. Нижний Тагил
ул. Карла Маркса, 44
8 (902) 500-55-04

7 класс алгебра решение систем уравнений: Урок 48. решение систем двух линейных уравнений с двумя неизвестными — Алгебра — 7 класс

Содержание

Урок 48. решение систем двух линейных уравнений с двумя неизвестными - Алгебра - 7 класс

Конспект урока

Алгебра

7 класс

Урок № 48

Решение систем двух линейных уравнений с двумя неизвестными

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

  • Систематизация решений систем уравнений.
  • Использование отношений коэффициентов при решении систем уравнений.
  • Практическое применение теоремы.

Тезаурус:

Теорема.

Пусть дана система уравнений:

где все коэффициенты отличны от нуля.

Тогда система:

а) имеет единственное решение, если ;

б) не имеет решений, если ;

в) имеет бесконечно много решений, если , и при этом все решения можно записать в виде , где ─ любое число.

Основная литература:

1. Никольский С. М. Алгебра: 7 класс. // Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 287 с.

Дополнительная литература:

1. Чулков П. В. Алгебра: тематические тесты 7 класс. // Чулков П. В. – М.: Просвещение, 2014 – 95 с.

2. Потапов М. К. Алгебра: дидактические материалы 7 класс. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 96 с.

3. Потапов М. К. Рабочая тетрадь по алгебре 7 класс: к учебнику С. М. Никольского и др. «Алгебра: 7 класс». 1, 2 ч. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 160 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения.

Решение систем двух линейных уравнений с двумя неизвестными.

Пусть дана система двух линейных уравнений с двумя неизвестными.

Перенеся все члены правых частей этих уравнений в левые части, и приведя подобные члены, получим равносильную данной систему вида:

где ─ некоторые числа.

Мы уже знаем, как решать такую систему, когда все коэффициенты при неизвестных отличны от нуля. Мы знаем так же, что если коэффициенты при неизвестных непропорциональны, то решение системы существует и единственно; если же коэффициенты при неизвестных системы пропорциональны, то либо решений бесконечно много, либо нет ни одного решения.

Нам остаётся рассмотреть те случаи, когда некоторые коэффициенты при неизвестных равны нулю. Рассмотрим это на характерных примерах.

Пример 1.

Решим систему уравнений:

Второе уравнение этой системы имеет отличные от нуля коэффициенты при неизвестных, а первое уравнение имеет коэффициент при , отличный от нуля, и коэффициент при , равный нулю.

Эту систему проще решить методом подстановки. Найдем из первого уравнения:

И подставим его во второе. Получим:

Откуда

Таким образом, пара чисел есть единственное решение системы.

Пример 2. Решим систему уравнений:

Система есть частный случай системы , где

Единственным решением этой системы является пара чисел

Пример 3. Решим систему уравнений:

Из каждого уравнения системы получим

Так как систему мы рассматриваем как частный случай системы , где то система может быть записана так:

Здесь может быть любым числом, а .

Таким образом, решения системы записываются в виде пар чисел , где ─ любое число.

Пример 4. Решим систему уравнений

Эта система противоречива (не имеет решений), потому что не может одновременно равняться и 1, и .

Пример 5. Решим систему уравнений:

Если , то эта система противоречива, потому что никакая пара чисел не удовлетворяет второму уравнению системы

Если , то второе уравнение обращается в верное равенство при любых Остаётся только первое уравнение. Оно уже рассматривалось. Следовательно, все решения первого уравнения являются решениями системы.

О количестве решений системы двух уравнений первой степени с двумя неизвестными.

Теорема

Пусть дана система уравнений:

где все коэффициенты отличны от нуля.

Тогда система :

а) имеет единственное решение, если ;

б) не имеет решений, если ;

в) имеет бесконечно много решений, если , и при этом все решения можно записать в виде , где ─ любое число.

Доказательство.

Из первого уравнения системы получим, что:

. Подставив полученное выражение вместо во второе уравнение системы и учитывая, что получим уравнение:

Здесь возможны три случая.

  1. Если:

то уравнение имеет единственный корень, поэтому и система имеет единственное решение.

Так как и то условие можно записать в виде

  1. Если:

то уравнение не имеет корней и система не имеет решений.

Так как то условия можно записать в виде

  1. Если:

то уравнение имеет бесконечно много корней, поэтому и система имеет бесконечно много решений.

Так как то условия можно записать в виде

Итак:

если то система имеет единственное решение;

если то система не имеет решений;

если то система имеет бесконечно много решений, и эти решения задаются парами , где любое число.

Теорема доказана.

Пример 1. Определим число решений системы уравнений:

а) б) в)

Решение.

а) Так как выполняется условие , то система имеет единственное решение.

б) Так как выполняется условие , то система имеет бесконечно много решений.

в) Так как выполняется условие то система не имеет решений.

Ответ: а) единственное решение; б) бесконечно много решений; в) нет решений.

Пример 2. При каком значении система

не имеет решений?

Решение.

Система не имеет решений, если выполняется условие

. Условие выполняется лишь при При этом условие также выполняется. Следовательно, система не имеет решений при

Ответ: при

Пример 3. Существует ли значение , при котором система не имеет решений?

Решение.

Система не имеет решений, если выполняется условие . Условие выполняется лишь при При этом условие не выполняется. Следовательно, таких не существует.

Ответ: не существует.

Разбор решения заданий тренировочного модуля.

№1. Тип задания: ввод с клавиатуры пропущенных элементов в тексте.

Впишите пропущенные элементы при решении системы.

Задание:

Перенесем из первого уравнения в правую часть 4, получим

Найдем отношение коэффициентов при х и у в системе:

‑ так как отношения __ равны, значит, система имеет одно решение. Решим систему способом подстановки:

Ответ: ( ___; ___ ).

Решение.

Перенесем из первого уравнения в левую часть 4, получим:

Найдем отношение коэффициентов при х и у в системе:

‑ так как отношения не равны, значит, система имеет одно решение. Решим систему способом подстановки:

Ответ: (4; 16).

№2. Тип задания: восстановление последовательности элементов горизонтальное / вертикальное.

Задание:

Решите систему двух уравнений:

Варианты ответов:

Ответ: (1; 0).

Значит, система имеет единственное решение.

Так как отношение коэффициентов равно -

Значит, система имеет единственное решение.

Решение:

Так как отношение коэффициентов равно -

Значит, система имеет единственное решение.

Перенесем в первом уравнении из левой части в правую 4:

Ответ: (1; 0).

7 класс. Алгебра. Системы двух уравнений с двумя переменными. - Способы решения систем уравнений с двумя неизвестными.

Комментарии преподавателя

Метод подстановки.

Су­ще­ству­ет несколь­ко ме­то­дов ре­ше­ния си­стем. Один из них метод под­ста­нов­ки. Рас­смот­рим при­мер.

При­мер 1:

Суть ме­то­да под­ста­нов­ки за­клю­ча­ет­ся в том, что в одном из урав­не­ний нужно вы­ра­зить одну пе­ре­мен­ную через вто­рую и под­ста­вить по­лу­чен­ное вы­ра­же­ние во вто­рое урав­не­ние.

В дан­ном слу­чае удоб­но вы­ра­зить х во вто­ром урав­не­нии:

Под­ста­вим по­лу­чен­ное вы­ра­же­ние в пер­вое урав­не­ние:

Пре­об­ра­зу­ем пер­вое урав­не­ние:

,

 ,

 ,

 

Под­ста­вим по­лу­чен­ное зна­че­ние во вто­рое урав­не­ние:

, ,

 

По­лу­ча­ем сле­ду­ю­щее ре­ше­ние си­сте­мы:

При­мер 2:

В дан­ном слу­чае неко­то­рая слож­ность за­клю­ча­ет­ся в том, что ис­ход­ную си­сте­му нужно пре­об­ра­зо­вать, чтобы была воз­мож­ность удоб­но и без оши­бок при­ме­нить метод под­ста­нов­ки. Для этого умно­жим оба урав­не­ния на шесть:

Вы­ра­зим у из пер­во­го урав­не­ния:

Под­ста­вим по­лу­чен­ное вы­ра­же­ние во вто­рое урав­не­ние и вы­пол­ним пре­об­ра­зо­ва­ния:

, ,

 ,

 

 

Под­ста­вим по­лу­чен­ное зна­че­ние в пер­вое урав­не­ние:

По­лу­ча­ем един­ствен­ное ре­ше­ние си­сте­мы, пара чисел:

Вывод:

на дан­ном уроке мы озна­ко­ми­лись с по­ня­ти­ем си­сте­мы двух ли­ней­ных урав­не­ний с двумя неиз­вест­ны­ми и одним из ме­то­дов ее ре­ше­ния – спо­со­бом под­ста­нов­ки. Мы ре­ши­ли при­ме­ры для по­ни­ма­ния и за­креп­ле­ния дан­ной тех­ни­ки.

Источник конспекта: http://interneturok.ru/ru/school/algebra/7-klass/glava-3-sistema-dvuh-lineynyh-uravneniy-s-dvumya-peremennymi/osnovnye-ponyatiya-metod-podstanovki?konspekt&chapter_id=10

Метод сложения.

Рассмотрим еще один способ решения систем двух линейных уравнений с двумя неизвестными – способ алгебраического сложения. Мы решим несколько различных примеров для закрепления техники.

Метод ал­геб­ра­и­че­ско­го сло­же­ния, как и метод под­ста­нов­ки, за­клю­ча­ет­ся в том, что из­на­чаль­но из двух урав­не­ний с двумя пе­ре­мен­ны­ми нужно по­лу­чить одно урав­не­ние с одной пе­ре­мен­ной. Рас­смот­рим метод ал­геб­ра­и­че­ско­го сло­же­ния на при­ме­ре:

При­мер 1:

 

За­да­на си­сте­ма двух ли­ней­ных урав­не­ний с двумя неиз­вест­ны­ми, и нужно найти такую пару х и у, чтобы при под­ста­нов­ке ее в урав­не­ния по­лу­чи­лись вер­ные чис­ло­вые ра­вен­ства.

Неслож­но за­ме­тить, что в пер­вом урав­не­нии у стоит с ми­ну­сом, а во вто­ром – с плю­сом, и если сло­жить эти урав­не­ния, то у уни­что­жит­ся, и мы по­лу­чим одно урав­не­ние с одной неиз­вест­ной:

+

По­лу­ча­ем:

Най­дем зна­че­ние х:

Под­ста­вим зна­че­ние х во вто­рое урав­не­ние и най­дем у:

Ответ: (2,4; 2,2)

 

Об­ра­тим вни­ма­ние на то, что мы рас­смат­ри­ва­ем метод ал­геб­ра­и­че­ско­го сло­же­ния, зна­чит, урав­не­ния можно не толь­ко скла­ды­вать, но и вы­чи­тать. Рас­смот­рим при­мер:

При­мер 

При сло­же­нии урав­не­ний по­лу­чим:

По­про­бу­ем вы­честь урав­не­ния, при­чем, вы­чтем пер­вое из вто­ро­го:

Ответ: (5,5; 0,5)

 

Вывод:

на дан­ном уроке мы рас­смот­ре­ли новый метод ре­ше­ния си­стем двух ли­ней­ных урав­не­ний – метод ал­геб­ра­и­че­ско­го сло­же­ния. Мы ре­ши­ли несколь­ко при­ме­ров для за­креп­ле­ния дан­ной тех­ни­ки.

 

  • Способ заключается в построении графика каждого уравнения, входящего в данную систему, в одной координатной плоскости и нахождении точки пересечения этих графиков. Координаты этой точки (x; y) и будут являться решением данной системы уравнений.
  • Если прямые
    , являющиеся графиками уравнений системы, пересекаются, то система уравнений имеет единственное решение.
  • Если прямые, являющиеся графиками уравнений системы, параллельны, то система уравнений не имеет решений.
  •  Если прямые, являющиеся графиками уравнений системы, совпадают, то система уравнений имеет бесконечное множество решений.

Примеры. Решить графическим способом систему уравнений.

Графиком каждого уравнения служит прямая линия, для построения которой достаточно знать координаты двух точек. Мы составили таблицы значений х и у для каждого из уравнений системы.

Прямую y=2x-3 провели через точки (0; -3) и (2; 1).

Прямую y=x+1 провели через точки (0; 1) и (2; 3).

Графики данных уравнений системы 1) пересекаются в точке А(4; 5). Это и есть единственное решение данной системы.

Ответ: (4; 5).

Выражаем 

у через х из каждого уравнения системы 2), а затем составим таблицу значений переменных х и у для каждого из полученных уравнений.

Прямую y=2x+9 проводим через точки (0; 9) и (-3; 3). Прямую y=-1,5x+2 проводим через точки (0; 2) и (2; -1).

Наши прямые пересеклись в точке В(-2; 5).

Ответ: (-2; 5).

 

Источники конспекта: http://interneturok.ru/ru/school/algebra/7-klass/glava-3-sistema-dvuh-lineynyh-uravneniy-s-dvumya-peremennymi/metod-algebraicheskogo-slozheniya?konspekt&chapter_id=10

http://www.mathematics-repetition.com/6-klass-mathematics/6-9-1-reshenie-sistem-lineynh-uravneniy-grafitcheskim-sposobom.html

 

Источник видео: https://www.youtube.com/watch?v=VltC62A-Tt4

Решение систем линейных уравнений способом сложения

Вопросы занятия:

·  показать еще один способ решения систем линейных уравнений – способ сложения.

Материал урока

Мы с вами уже познакомились с двумя способами решения систем линейных уравнений с двумя переменными, а именно, с графическим способом и способом подстановки.

На этом уроке мы познакомимся с ещё одним способом решения систем линейных уравнений, который называют способом сложения.

Рассмотрим следующую систему

Обратите внимание, что в уравнениях системы коэффициенты при переменной игрек – противоположные числа. Сложим почленно левые и правые части уравнений

Приведём подобные слагаемые в обеих частях получившегося уравнения

Видим, что получили уравнение с одной переменной.

Затем, чтобы найти значение переменной игрек, мы подставим х = 3 в любое уравнение системы, например, в первое. Снова получили уравнение с одной переменной у. Решим его.

Убедиться в этом вы можете, подставив эти значения в каждое уравнение системы.

Пример.

Пример.

Пример.

Можем сделать вывод: чтобы решить систему линейных уравнений способом сложения, надо:

1)  умножить почленно уравнения системы, подбирая множители так, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными числами;

2)  сложить почленно левые и правые части уравнений системы;

3)  решить получившееся уравнение с одной переменной;

4)  найти соответствующее значение второй переменной.

При этом следует помнить, что если коэффициенты при одной из переменных являются противоположными числами, то решение системы сразу начинают с почленного сложения уравнений.

Алгоритм решения систем уравнений методом подстановки и сложения .Алгебра 7 класс. | Тренажёр по алгебре (7 класс) на тему:

Образец  решения системы уравнений методом подстановки

АЛГОРИТМ (последовательность шагов при работе)

1.

   

    3х + у = 7

   -5х + 2у =3

Выразить из первого уравнения  у через  х, т.е.перенести  3х  в другую часть с противоположным знаком ( т.к. у записан в уравнении без числа(коэффициента)).  Получится  у = 7 – 3х

2.

      у = 7 – 3х

Выделить в рамочку выраженную переменную у. Написать её в той же строчке в системе уравнений.

3.

   у = 7 – 3х

  - 5х + 2(7 – 3х) = 3

Подставить  во второе уравнение  вместо у выражение (7 – 3х), взяв его в скобки !

4.

   х =

   у =

Приготовить знак системы уравнений и место для будущих ответов х  у

5.

-5х + 2·(7 – 3х) = 3

-5х + 14 -6х = 3

«Выйти из системы» и решить отдельно только уравнение с одной переменной х : 1) раскрыть скобки, умножив число перед  скобкой на всё что в скобках;

6.

-5х + 14  -6х = 3

-5х - 6х = 3 - 14

                           2)Перенести число 14 в правую часть уравнения с противоположным знаком, т.е. сделать «сортировку» - буквы к буквам, числа к числам.

7.

- 11х= -11

                           3)Посчитать значение в левой и правой части уравнения

8.

   х = -11:(-11)

   х = 1

                           4)Вычислить х как неизвестный множитель, вспомнив простой пример    2 · 3  = 6

9.

  х = 1

  у =

Заполнить место в системе уравнений для  х

10.

у = 7 – 3х = 7 - 3·1 = 7-3 = 4

Найти значение второй переменной   у

11.

 х = 1

 у = 4

Заполнить место в системе уравнений для  у

12.

Ответ: (1;4)

Записать ответ в виде координат точки  (х;у)

             Решить систему уравнений методом подстановки

выбирая удобную переменную для её выражения, когда она записана без  числа.

№1.     у – 2х = 1                                                       №4.       2х + у = 12   

             6х – у = 7                                                                      7х – 2у = 31    

№2.     х + у =6                                                          №5.       4х – у = 11

             3х – 5у = 2                                                                    6х – 2у = 13          

№3.     7х – 3у = 13                                                  №6.        8у – х = 4 

             х – 2у = 5                                                                       2х – 21у = 2

Карточка составлена учителем математики Головлянициной Лидией Вадимовной

Конспект урока по теме "Решение систем уравнений" 7 класс.


Решение систем уравнений.
PPTX / 81.94 Кб

Конспект урока алгебры 7 класс:

«Решение систем линейных уравнений»

Мартынова Вера Аркадьевна, учитель математики

ГОУ РК «РЦО» г. Сыктывкара

Тип урока: Урок закрепления новых знаний и способов деятельности

Тема

 РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ.

Цель урока

обеспечить закрепление знаний и способов деятельности, создание условий для формирования умений решать системы линейных уравнений с двумя переменными способом подстановки;

Задачи

 содействовать развитию познавательной активности, навыков самооценки и самопроверки, умения работать в группе, брать на себя ответственность, за решение систем уравнений, развивать коммуникативную компетенцию и математическую речь  через работу в группах.

УУД

ЛичностныеУУД:  способствовать развитию критического мышления,

 Регулятивные УУД: умения работать в паре, группе, брать на себя ответственность; навыков саморегуляции через самооценку и взаимооценку , рефлексию,

 Коммуникативные УУД: для развития коммуникативной компетенции и математической речи через работу в группах,.

Познавательные УУД: содействовать развитию познавательной активности, навыков самооценки и самопроверки.

Планируемые результаты

Предметные:

Знать алгоритм решения систем уравнений подстановкой.

Уметь решать системы уравнений.

Основные понятия

 Системы уравнений, решение систем уравнений.

Межпредметные связи

 

Ресурсы:

 основные

 дополнительные

 

Формы урока

Ф - фронтальная, И – индивидуальная, Г – групповая

Технология

 Системно –деятельностный подход.

Дидактическая
структура 
урока

Деятельность
учеников

Деятельность
учителя

Мотивация


Время:

 Тема урока.

 Работа с выходом на тему. Ф

Актуализация опорных знаний и умений


Время:

 Выполняют устные упражнения.

 Ф. Устные задания.

1.Является ли пара чисел решением системы?

2. Выразите переменные Х через У, и У через Х

 

Организация деятельности учащихся по использованию знаний в стандартных и измененных ситуациях


Время:

 Работа в группах. Решить 4 системы, найти ответ и расшифровать слово. Решение одной системы оформить на доске. Каждый контролирует человека справа и выставит ему оценку за урок.

Г. И.  Организация работы в группах

Контроль и самоконтроль


 Время:

 С одной стороны букв, с обратной - ответ решенной системы уравнения. . Получили слово.

КВАШИОРКОР.

Питание и здоровье.

Белки, аминокислоты, жиры, углеводы, витамины. Белок необходим для мышечной работы, успешного обучения, для поддержания нормального иммунитета. Школьнику требуется ежедневно около 70 – 90 г. белка. Для этого необходимо съедать примерно 100 – 200г. мяса, 30 – 50г. рыбы, 400 – 500г. молока или кисломолочных продуктов, 30 – 40г. творога, 5 – 10г. сыра. Дефицит белков ведет к задержке роста, снижению устойчивости к инфекциям, малокровию.

Квашиоркор – заболевание развивается в случае белкового голодания

 Разгадывают кроссворд.

По горизонтали:

1. График линейного уравнения с 2 переменными.

2. Уравнения с 2 переменными, имеющие одни и те же решения.

3. Один из способов решения систем линейных уравнений.

По вертикали:

4. Множество всех точек плоскости, координаты которых являются решениями уравнения с 2 переменными.

5. Один из способов решения систем линейных уравнений.

6. Пара значений переменных, обращающая уравнение с 2 переменными в верное равенство.

7. Французский математик, который ввел и разработал

 

Ф.  Презентация,

Вспомним теоретический материал по теме, разгадав кроссворд.

 Решение кроссворда на экране.

Какое слово вы не разгадали «СЛОЖЕНИЕ». Решение методом сложения, мы будем решать на следующем уроке.

 

Коррекция


Время:

 

 

 

 Рефлексия.

 

Дополнительный материал:

а. б. в.

( -2; -3) ( 2; 5) (4,5; 2,5)

Задания.

1. 2. 3.

4. 5. 6.

7. 8. 9.

10. 11. 12.

а. б. в.

Ответы:

1. 2. 3.

(8; - 1) (2; - 1) (3;3)

4. 5. 6.

(-3;-3) ( 4; 1) (2; 7)

7. 8. 9.

(1;6) ( -8; 0) (2; 2)

10. 11. 12.

(1; 2) (3; -1) (16; 22)

а. б. в.

( -2; -3) ( 2; 5) (4,5; 2,5)

Устные упражнения. 1. Является ли решением системы пара чисел: (-1;1), (2;-1), (6;2,5)?

2. Выразите:

а) Х через У.

б) У через Х.

1. Х + У = 2

2. Х + 3 У = 10

3. 2 Х + 7 У = 8

4. 6 Х - 5 У = 4

Самоанализ урока.

Тема: «Решение систем линейных уравнений»

Цель: закрепление знаний и способов деятельности, создание условий для формирования умений решать системы линейных уравнений с двумя переменными способом подстановки.

Задачи:  содействовать развитию познавательной активности, навыков самооценки и самопроверки, умения работать в группе, брать на себя ответственность, за решение систем уравнений, развивать коммуникативную компетенцию и математическую речь  через работу в группах.

Урок закрепления новых знаний и способов деятельности, с использованием системно – деятельностного подхода в обучении, его дополняла презентация и повторение теоретического материала, через решение кроссворда. Для активизации познавательной деятельности учащихся и занесения правильных ответов на системы уравнений, использовано зашифрованное слово КВАШИОРКОР. Для каждой группы - свои задания, только совместная работа поможет найти верный ответ. При повторении теоретической части, разгадан кроссворд. И слово «сложение» в кроссворде, при решении систем методом сложения ещё не изучена - это выход на тему следующего урока. Проведена самооценка и взаимооценка, рефлексия, записав своё имя для точек в 1 четверть координатной плоскости (Тема урока понятна), 2 – Недостаточно усвоил(а), и в нижнюю полуплоскость - Не понял(а) тему урока. Все имена были в верхней полуплоскости.

На уроке достигнута поставленная цель. Считаю, что большинство учащихся научились решать системы методом подстановки, узнали смысл разгаданного слова, получили информацию о здоровом питании. Содержание, методы и формы организации учебного процесса соответствовали поставленной цели.

На уроке была организована работа учащихся в группах. Для активизации  познавательной  деятельности учащихся и занесения правильных ответов на системы уравнений учитель использовала зашифрованное слово КВАШИОРКОР. Учащиеся узнали о распространении, причинах возникновения, симптомах и лечении этого редкого заболевания. Через решение математического кроссворда учащиеся повторили теоретический материал. Также на уроке была проведена физкультминутка с использованием видеоролика проекта «Инфоурок». При подведении итогов урока учащиеся проводили самооценку и взаимооценку своей деятельности с использованием координатной плоскости.

Цель урока была достигнута. Большинство учащихся научились решать системы методом подстановки, узнали значение разгаданного слова, получили информацию о здоровом питании.

Системы уравнений. Способы решения систем уравнений

Система уравнений — это группа уравнений, в которых одни и те же неизвестные обозначают одни те же числа. Чтобы показать, что уравнения рассматриваются как система, слева от них ставится фигурная скобка:

 x - 4y = 2
3x - 2y = 16

Решить систему уравнений — это значит, найти общие решения для всех уравнений системы или убедиться, что решения нет.

Чтобы решить систему уравнений, нужно исключить одно неизвестное, то есть из двух уравнений с двумя неизвестными составить одно уравнение с одним неизвестным. Исключить одно из неизвестных можно тремя способами: подстановкой, сравнением, сложением или вычитанием.

Способ подстановки

Чтобы решить систему уравнений способом подстановки, нужно в одном из уравнений выразить одно неизвестное через другое и результат подставить в другое уравнение, которое после этого будет содержать только одно неизвестное. Затем находим значение этого неизвестного и подставляем его в первое уравнение, после этого находим значение второго неизвестного.

Рассмотрим решение системы уравнений:

 x - 4y = 2
3x - 2y = 16

Сначала найдём, чему равен  x  в первом уравнении. Для этого перенесём все члены уравнения, не содержащие неизвестное  x,  в правую часть:

x - 4y = 2;

x = 2 + 4y.

Так как  x,  на основании определения системы уравнений, имеет такое же значение и во втором уравнении, то подставляем его значение во второе уравнение и получаем уравнение с одним неизвестным:

3x - 2y = 16;
3(2 + 4y) - 2y = 16.

Решаем полученное уравнение, чтобы найти, чему равен  y.  Как решать уравнения с одним неизвестным, вы можете посмотреть в соответствующей теме.

3(2 + 4y) - 2y = 16;
6 + 12y - 2y = 16;
6 + 10y = 16;
10y = 16 - 6;
10y = 10;
 y = 10 : 10;
 y = 1.

Мы определили что  y = 1.  Теперь, для нахождения численного значения  x,  подставим значение  y  в преобразованное первое уравнение, где мы ранее нашли, какому выражению равен  x:

x = 2 + 4y = 2 + 4 · 1 = 2 + 4 = 6.

Ответ:  x = 6,  y = 1.

Способ сравнения

Способ сравнения — это частный случай подстановки. Чтобы решить систему уравнений способом сравнения, нужно в обоих уравнениях найти, какому выражению будет равно одно и то же неизвестное и приравнять полученные выражения друг к другу. Получившееся в результате уравнение позволяет узнать значение одного неизвестного. С помощью этого значения затем вычисляется значение второго неизвестного.

Например, для решение системы:

 x - 4y = 2
3x - 2y = 16

найдём в обоих уравнениях, чему равен  y  (можно сделать и наоборот — найти, чему равен  x):

x - 4y = 23x - 2y = 16
-4y = 2 - x-2y = 16 - 3x
y = (2 - x) : - 4      y = (16 - 3x) : -2

Составляем из полученных выражений уравнение:

Решаем уравнение, чтобы узнать значение  x:

2 - x · (-4) = 16 - 3x · (-4)
-4-2
2 - x = 32 - 6x
-x + 6x = 32 - 2
5x = 30
x = 30 : 5
x = 6

Теперь подставляем значение  x  в первое или второе уравнение системы и находим значение  y:

x - 4y = 23x - 2y = 16
6 - 4y = 23 · 6 - 2y = 16
-4y = 2 - 6      -2y = 16 - 18
-4y = -4-2y = -2
 y = 1 y = 1

Ответ:  x = 6,  y = 1.

Способ сложения или вычитания

Чтобы решить систему уравнений способом сложения, нужно составить из двух уравнений одно, сложив левые и правые части, при этом одно из неизвестных должно быть исключено из полученного уравнения. Неизвестное можно исключить, уравняв при нём коэффициенты в обоих уравнениях.

Рассмотрим систему:

 x - 4y = 2
3x - 2y = 16

Уравняем коэффициенты при неизвестном y, умножив все члены второго уравнения на -2:

(3x - 2y) · -2 = 16 · -2

-6x + 4y = -32

Получим:

 x - 4y = 2
-6x + 4y = -32

Теперь сложим по частям оба уравнения, чтобы получить уравнение с одним неизвестным:

+x  -  4y = 2
 -6x + 4y = -32
 -5x         = -30

Находим значение  x  (x = 6).  Теперь, подставив значение  x  в любое уравнение системы, найдём  y = 1.

Если уравнять коэффициенты у  x,  то, для исключения этого неизвестного, нужно было бы вычесть одно уравнение из другого.

Уравняем коэффициенты при неизвестном  x,  умножив все члены первого уравнения на  3:

(x - 4y) · 3 = 2 · 3

3x - 12y = 6

Получим:

 3x - 12y = 6
3x - 2y = 16

Теперь вычтем по частям второе уравнение из первого, чтобы получить уравнение с одним неизвестным:

-3x  -  12y = 6
  3x  -   2y = 16
          -10y = -10

Находим значение  y  (y = 1).  Теперь, подставив значение  y  в любое уравнение системы, найдём  x = 6:

3x - 2y = 16
3x - 2 · 1 = 16
3x - 2 = 16
3x = 16 + 2
3x = 18
x = 18 : 3
x = 6

Ответ:  x = 6,  y = 1.

Для решения системы уравнений, рассмотренной выше, был использован способ сложения, который основан на следующем свойстве:

Любое уравнение системы можно заменить на уравнение, получаемое путём сложения (или вычитания) уравнений, входящих в систему. При этом получается система уравнений, имеющая те же решения, что и исходная.

Алгебра, 7 класс «системы линейных уравнений и способы их решения»

Слайды и текст этой онлайн презентации

Слайд 1

Алгебра, 7 класс «Системы линейных уравнений и способы их решения»

Слайд 2

Знаете ли вы?
1. Какую математическую модель называют линейным уравнением с двумя переменными? 2. Что является решением системы уравнений с двумя переменными? 3. Что значит решить систему уравнений?

Слайд 3

Способы решения систем уравнений
1. Графический способ. 2. Способ подстановки. 3. Способ сложения.

Слайд 4

Алгоритм решения системы уравнений графическим способом

Слайд 5

Решить систему уравнений
Рассмотрим первое уравнение
Выразим из этого уравнения y через x .
Для построения графика найдем две точки.

Слайд 6

Построим график

Слайд 7


Рассмотрим второе уравнение
Выразим из этого уравнения y через x .

Слайд 8

Построим график второй функции

Слайд 9

Найдем координаты точки пересечения прямых

Слайд 10


Координаты точки пересечения прямых ― это решение системы
В этом случае говорят, что система решена графически

Слайд 11

Три случая взаимного расположения двух прямых
1. Прямые пересекаются.
То есть имеют одну общую точку.
Тогда система уравнений имеет единственное решение.
Например, как в рассмотренной системе

Слайд 12

Три случая взаимного расположения двух прямых
2. Прямые параллельны.
То есть не имеют общих точек.
Тогда система уравнений решений не имеет.
Например:

Слайд 13

Три случая взаимного расположения двух прямых
3. Прямые совпадают.
Например:
Тогда система уравнений имеет бесконечно много решений.

Слайд 14

Но
при графическом способе решения системы уравнений обычно получается приближенное решение

Слайд 15

Алгоритм решения системы уравнений способом подстановки

Слайд 16


Способ подстановки
Этот способ удобен тогда, когда хотя бы один из коэффициентов при x или y равен 1 или -1.
Дана система уравнений
Рассмотрим каждое уравнение в отдельности.
1) Выразим одно из неизвестных через другое неизвестное из любого уравнения.

Слайд 17


Способ подстановки
Вернемся в систему:
2) Полученное для y выражение подставим вместо данной неизвестной во второе уравнение.
Получилось уравнение с одной неизвестной

Слайд 18


Способ подстановки
3) Решаем уравнение с одной неизвестной:
Возвращаемся к системе:

Слайд 19


Способ подстановки
Возвращаемся к системе:
4) Подставим найденное значение x в первое уравнение и найдем вторую неизвестную
Запишем ответ.
Ответ:

Слайд 20

Алгоритм решения системы уравнений способом сложения

Слайд 21

Способ сложения
Задача 1. Решить систему уравнений
В тех случаях, когда в обоих линейных уравнениях системы при каком-либо из неизвестных коэффициентами являются противоположные числа, удобно применять способ алгебраического сложения уравнений.

Слайд 22

Способ сложения
Сложим эти равенства почленно. В результате получим тоже верное равенство
+

Слайд 23

Способ сложения
Вернемся в систему, записав одно из исходных уравнений и полученное значение x.
Подставим найденное значение x во второе уравнение, найдем вторую неизвестную.
Тогда пара чисел (5; 4) и будет решением системы.
Ответ:

Слайд 24

Способ сложения
Задача 2. Решить систему уравнений
1) Выберем неизвестную (например x).
уравняем коэффициенты умножением на соответствующие числа.
2) Вычтем одно уравнение из другого.
3) Решим полученное уравнение с одним неизвестным

Слайд 25

Способ сложения
4) Вернемся в систему, записав одно из исходных уравнений и полученное значение y
5)  Подставим найденное значение y в первое уравнение, найдем вторую неизвестную.
Тогда пара чисел (-3; 1) и будет решением системы.
Ответ:

Слайд 26

Решите следующие системы уравнений:

Слайд 27

Урок закончен.
Спасибо за внимание.

Алгебраические методы решения систем

Цели обучения

  • Используйте метод замены
    • Решите систему уравнений, используя метод подстановки.
    • Распознавать системы уравнений, не имеющие решения или бесконечное количество решений
  • Используйте метод исключения без умножения
    • Решите систему уравнений, когда умножение не требуется для исключения переменной
  • Используйте метод исключения с умножением
    • Использование умножения в сочетании с методом исключения для решения системы линейных уравнений
    • Распознавать, когда решение системы линейных уравнений подразумевает, что существует бесконечное число решений

Решите систему уравнений методом подстановки

В последних парах разделов мы проверили, что упорядоченные пары являются решениями систем, и использовали графики, чтобы классифицировать, сколько решений имеет система двух линейных уравнений.Что, если нам не дана точка пересечения или она не очевидна из графика? Можем ли мы еще найти решение этой системы? Конечно, можно, используя алгебру!

В этом разделе мы изучим метод подстановки для нахождения решения системы линейных уравнений с двумя переменными. На протяжении всего курса мы использовали подстановку по-разному, например, когда мы использовали формулы для площади треугольника и простых процентов. Мы подставили значения, которые мы знали, в формулу, чтобы найти значения, которых мы не знали.Идея аналогична применительно к системам решения, в этом процессе всего несколько этапов. Сначала вы решите одну переменную, а затем подставите это выражение в другое уравнение. Чтобы понять, что это означает, давайте начнем с примера.

Пример

Найдите значение x для этой системы.

Уравнение A: [латекс] 4x + 3y = −14 [/ латекс]

Уравнение B: [латекс] y = 2 [/ латекс]

Показать решение Задачу просит решить для x .Уравнение B дает вам значение y , [latex] y = 2 [/ latex], поэтому вы можете подставить 2 в уравнение A для y.

[латекс] \ begin {array} {r} 4x + 3y = −14 \\ y = 2 \, \, \, \, \, \, \, \ end {array} [/ latex]

Подставьте [латекс] y = 2 [/ латекс] в уравнение A.

[латекс] 4x + 3 \ влево (2 \ вправо) = - 14 [/ латекс]

Упростите и решите уравнение для x.

[латекс] \ begin {array} {r} 4x + 6 = −14 \\ 4x = −20 \ x = −5 \, \, \, \ end {array} [/ latex]

Ответ

[латекс] x = −5 [/ латекс]

Вы можете заменить значение переменной, даже если это выражение.Вот пример.

Пример

Решите для x и y .

Уравнение A: [латекс] y + x = 3 [/ латекс]

Уравнение B: [латекс] x = y + 5 [/ латекс]

Показать решение Цель метода подстановки - переписать одно из уравнений в терминах одной переменной. Уравнение B говорит нам, что [латекс] x = y + 5 [/ latex], поэтому имеет смысл заменить [latex] y + 5 [/ latex] в уравнение A для x .

[латекс] \ begin {array} {l} y + x = 3 \\ x = y + 5 \ end {array} [/ latex]

Подставьте [латекс] y + 5 [/ латекс] в уравнение A для x .

[латекс] \ begin {array} {r} y + x = 3 \\ y + \ left (y + 5 \ right) = 3 \ end {array} [/ latex]

Упростите и решите уравнение для y.

[латекс] \ begin {array} {r} 2y + 5 = \, \, \, \, 3 \\\ подчеркивание {−5 \, \, \, \, \, - 5} \\ 2y = - 2 \\ y = −1 \ end {array} [/ latex]

Теперь найдите x , подставив это значение для y в любое уравнение, и решите для x . Здесь мы будем использовать уравнение A.

[латекс] \ begin {array} {r} y + x = 3 \\ - 1 + x = 3 \\\ подчеркивание {+1 \, \, \, \, \, \, \, \, \, +1} \\ x = 4 \ end {array} [/ latex]

Наконец, проверьте решение [latex] x = 4 [/ latex], [latex] y = −1 [/ latex], подставив эти значения в каждое из исходных уравнений.

[латекс] \ begin {массив} {r} y + x = 3 \\ - 1 + 4 = 3 \\ 3 = 3 \\\ text {TRUE} \ end {array} [/ latex]

[латекс] \ begin {массив} {l} x = y + 5 \\ 4 = −1 + 5 \\ 4 = 4 \\\ text {TRUE} \ end {array} [/ latex]

Ответ

[латекс] x = 4 [/ латекс] и [латекс] y = -1 [/ латекс]

Решение - [латекс] (4, -1) [/ латекс].

Помните, решение системы уравнений должно быть решением каждого из уравнений внутри системы. Упорядоченная пара [latex] (4, −1) [/ latex] действительно работает для обоих уравнений, поэтому вы знаете, что это также решение системы.

Давайте посмотрим на другой пример, замена которого включает свойство распределения.

Пример

Решите для x и y .

[латекс] \ begin {array} {l} y = 3x + 6 \\ - 2x + 4y = 4 \ end {array} [/ latex]

Показать решение Выберите уравнение для замены.

Первое уравнение говорит вам, как выразить y через x , поэтому имеет смысл подставить 3 x + 6 во второе уравнение для y .

[латекс] \ begin {array} {l} y = 3x + 6 \\ - 2x + 4y = 4 \ end {array} [/ latex]

Подставьте [латекс] 3x + 6 [/ latex] вместо y во второе уравнение.

[латекс] \ begin {array} {r} −2x + 4y = 4 \\ - 2x + 4 \ left (3x + 6 \ right) = 4 \ end {array} [/ latex]

Упростите и решите уравнение для x.

[латекс] \ begin {array} {r} −2x + 12x + 24 = 4 \, \, \, \, \, \, \, \\ 10x + 24 = 4 \, \, \, \, \ , \, \, \\\ подчеркивание {−24 \, \, - 24 \, \, \, \,} \\ 10x = −20 \\ x = −2 \, \, \, \ end {array} [/ латекс]

Чтобы найти y , подставьте это значение вместо x обратно в одно из исходных уравнений.

[латекс] \ begin {array} {l} y = 3x + 6 \\ y = 3 \ left (−2 \ right) +6 \\ y = −6 + 6 \\ y = 0 \ end {array} [/ латекс]

Проверьте решение [латекс] x = −2 [/ latex], [latex] y = 0 [/ latex], подставив их в каждое из исходных уравнений.

[латекс] \ begin {array} {l} y = 3x + 6 \\ 0 = 3 \ left (−2 \ right) +6 \\ 0 = −6 + 6 \\ 0 = 0 \\\ text { ИСТИНА} \ end {array} [/ latex]

[латекс] \ begin {array} {r} −2x + 4y = 4 \\ - 2 \ left (-2 \ right) +4 \ left (0 \ right) = 4 \\ 4 + 0 = 4 \\ 4 = 4 \\\ текст {ИСТИНА} \ end {array} [/ latex]

Ответ

[латекс] x = -2 [/ латекс] и [латекс] y = 0 [/ латекс]

Решение: (−2, 0).

В приведенных выше примерах одно из уравнений уже было дано нам в терминах переменной x или y . Это позволило нам быстро подставить это значение в другое уравнение и найти одно из неизвестных.

Иногда вам, возможно, придется сначала переписать одно из уравнений в терминах одной из переменных, прежде чем вы сможете произвести замену. В приведенном ниже примере вам сначала нужно изолировать одну из переменных, прежде чем вы сможете заменить ее в другое уравнение.

Пример

Решите для x и y .

[латекс] \ begin {array} {r} 2x + 3y = 22 \\ 3x + y = 19 \ end {array} [/ latex]

Показать решение Выберите уравнение для замены. Второе уравнение,

[латекс] 3x + y = 19 [/ latex], может быть легко переписан в терминах y , поэтому имеет смысл начать с этого.

[латекс] \ begin {массив} 2x + 3y = 22 \\ 3x + y = 19 \ end {array} [/ latex]

Перепишите [латекс] 3x + y = 19 [/ latex] в виде y .

[латекс] \ begin {array} 3x + y = 19 \\ y = 19–3x \ end {array} [/ latex]

Замените [латекс] 19–3x [/ латекс] на y в другом уравнении.

[латекс] \ begin {array} {r} 2x + 3y = 22 \\ 2x + 3 (19–3x) = 22 \ end {array} [/ latex]

Упростите и решите уравнение для x.

[латекс] \ begin {array} {r} 2x + 57–9x = 22 \, \, \, \, \\ - 7x + 57 = 22 \, \, \, \, \\ - 7x = −35 \\ x = 5 \, \, \, \, \, \, \, \ end {array} [/ latex]

Подставьте [latex] x = 5 [/ latex] обратно в одно из исходных уравнений, чтобы найти y.

[латекс] \ begin {array} {r} 3x + y = 19 \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \\ 3 \ left (5 \ right ) + y = 19 \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \\ 15 + y = 19 \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \\ y = 19−15 \\ y = 4 \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \ end {array} [/ latex]

Проверьте оба решения, подставив их в каждое из исходных уравнений.

[латекс] \ begin {array} {r} 2x + 3y = 22 \\ 2 (5) +3 \ left (4 \ right) = 22 \\ 10 + 12 = 22 \\ 22 = 22 \\\ текст {ИСТИНА} \\\\ 3x + y = 19 \\ 3 \ left (5 \ right) + 4 = 19 \\ 19 = 19 \\\ text {TRUE} \ end {array} [/ latex]

Ответ

[латекс] x = 5 [/ латекс] и [латекс] y = 4 [/ латекс]

Решение (5, 4).

В следующем видео вам будет показан пример решения системы двух уравнений с использованием метода подстановки.

Если бы вы выбрали другое уравнение для начала в предыдущем примере, вы все равно смогли бы найти то же решение. Это действительно вопрос предпочтений, потому что иногда решение для переменной приводит к необходимости работать с дробями. По мере того, как вы приобретете больший опыт в алгебре, вы сможете предвидеть, какой выбор приведет к более желаемым результатам.

Распознавать системы уравнений, не имеющие решения или бесконечное число решений

Когда мы изучили методы решения линейных уравнений с одной переменной, мы обнаружили, что некоторые уравнения не имеют решений, а другие имеют бесконечное количество решений. Мы снова увидели это поведение, когда начали описывать решения систем уравнений с двумя переменными.

Вспомните этот пример из модуля 1 для решения линейных уравнений с одной переменной:

Решите для x .[латекс] 12 + 2x – 8 = 7x + 5–5x [/ латекс]

[латекс] \ displaystyle \ begin {array} {l} 12 + 2x-8 = 7x + 5-5x \\\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \ , \, \, 2x + 4 = 2x + 5 \ end {array} [/ latex]

[латекс] \ begin {array} {l} \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, 2x + 4 = 2x + 5 \\\, \, \ , \, \, \, \, \, \ underline {-2x \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, - 2x \, \, \, \, \, \, \, \,} \\\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \ , \, \, 4 = \, 5 \ end {array} [/ latex]

Это ложное утверждение подразумевает, что не существует решений этого уравнения. Таким же образом вы можете увидеть такой результат, когда используете метод подстановки, чтобы найти решение системы линейных уравнений с двумя переменными.В следующем примере вы увидите пример системы двух уравнений, не имеющей решения.

Пример

Решите для x и y .

[латекс] \ begin {array} {l} y = 5x + 4 \\ 10x − 2y = 4 \ end {array} [/ latex]

Показать решение Поскольку первое уравнение [латекс] y = 5x + 4 [/ latex], вы можете заменить [latex] 5x + 4 [/ latex] на y во втором уравнении.

[латекс] \ begin {array} {r} y = 5x + 4 \\ 10x − 2y = 4 \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \\ 10x – 2 \ left (5x + 4 \ right) = 4 \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \ end {array} [/ latex]

Разверните выражение слева.

[латекс] 10x – 10x – 8 = 4 [/ латекс]

Объедините похожие члены в левой части уравнения.

[латекс] 10x – 10x = 0 [/ latex], поэтому у вас остается [latex] −8 = 4 [/ latex].

[латекс] \ begin {array} {r} 0–8 = 4 \\ - 8 = 4 \ end {array} [/ latex]

Ответ

Утверждение [latex] −8 = 4 [/ latex] неверно, поэтому решения нет.

Вы получаете ложное утверждение [латекс] −8 = 4 [/ латекс]. Что это значит? График этой системы проливает свет на то, что происходит.

Линии параллельны, они никогда не пересекаются, и у этой системы линейных уравнений нет решения. Обратите внимание, что результат [latex] −8 = 4 [/ latex] - это , а не как решение. Это просто ложное утверждение, и оно указывает на то, что не существует решения .

Мы также видели линейные уравнения с одной переменной и системы уравнений с двумя переменными, которые имеют бесконечное количество решений. В следующем примере вы увидите, что происходит, когда вы применяете метод подстановки к системе с бесконечным числом решений.

Пример

Решите относительно x и y.

[латекс] \ begin {массив} {l} \, \, \, y = −0,5x \\ 9y = −4,5x \ end {array} [/ latex]

Показать решение

Подставляя -0,5 x вместо y во втором уравнении, вы получаете следующее:

[латекс] \ begin {array} {r} 9y = −4.5x \\ 9 (−0.5x) = - 4.5 \, \, \, \\ - 4.5x = −4.5x \ end {array} [/ латекс]

На этот раз вы получите верное утверждение: [латекс] −4,5x = −4,5x [/ latex]. Но что означает такой ответ? Опять же, построение графиков может помочь вам разобраться в этой системе.

Эта система состоит из двух уравнений, которые представляют одну и ту же линию; две линии коллинеарны. Каждая точка на линии будет решением системы, и поэтому метод подстановки дает верное утверждение. В этом случае существует бесконечное количество решений.

В следующем видео вы увидите пример решения системы, имеющей бесконечное количество решений.

В следующем видео вы увидите пример решения системы уравнений, не имеющей решений.

Решите систему уравнений методом исключения

Метод исключения для решения систем линейных уравнений использует добавочное свойство равенства. Вы можете добавить одно и то же значение к каждой стороне уравнения, чтобы исключить один из переменных членов. В этом методе вам может потребоваться, а может и не потребоваться сначала умножить члены в одном уравнении на число. Сначала мы рассмотрим примеры, в которых умножение не требуется для использования метода исключения.В следующем разделе вы увидите примеры использования умножения после того, как познакомитесь с идеей метода исключения.

С помощью этого метода легче показать, чем рассказать, поэтому давайте сразу же рассмотрим несколько примеров.

Если сложить два уравнения,

[латекс] x – y = −6 [/ latex] и [latex] x + y = 8 [/ latex] вместе, посмотрите, что произойдет.

[латекс] \ displaystyle \ begin {array} {l} \, \, \, \, \, xy = \, - 6 \\\ подчеркивание {+ \, x + y = \, \, \, 8} \\\, 2x + 0 \, = \, \, \, \, 2 \ end {array} [/ latex]

Вы исключили член y , и это уравнение можно решить, используя методы решения уравнений с одной переменной.

Давайте посмотрим, как эта система решается методом исключения.

Пример

Используйте устранение, чтобы решить систему.

[латекс] \ begin {array} {r} x – y = −6 \\ x + y = \, \, \, \, 8 \ end {array} [/ latex]

Показать решение Добавьте уравнения.

[латекс] \ displaystyle \ begin {array} {r} xy = \, \, - 6 \\ + \ underline {\, \, x + y = \, \, \, \, \, 8} \\ \, \, \, \, \, \, 2x \, \, \, \, \, = \, \, \, \, \, \, 2 \ end {array} [/ latex]

Решите для x .

[латекс] \ begin {array} {r} 2x = 2 \\ x = 1 \ end {array} [/ latex]

Подставьте [latex] x = 1 [/ latex] в одно из исходных уравнений и решите относительно y .

[латекс] \ begin {array} {l} x + y = 8 \\ 1 + y = 8 \\\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, y = 8– 1 \\\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, y = 7 \ end {array} [/ latex]

Обязательно проверьте свой ответ в обоих уравнениях!

[латекс] \ begin {array} {r} x – y = −6 \\ 1–7 = −6 \\ - 6 = −6 \\\ text {TRUE} \\\\ x + y = 8 \ \ 1 + 7 = 8 \\ 8 = 8 \\\ текст {ИСТИНА} \ end {array} [/ latex]

Ответы проверяют.

Ответ

Решение (1, 7).

К сожалению, не все системы справляются с этим легко. Как насчет такой системы, как [латекс] 2x + y = 12 [/ latex] и [latex] −3x + y = 2 [/ latex].Если вы сложите эти два уравнения вместе, никакие переменные не будут исключены.

[латекс] \ displaystyle \ begin {array} {l} \, \, \, \, 2x + y = 12 \\\ подчеркивание {-3x + y = \, \, \, 2} \\ - x + 2y = 14 \ end {array} [/ latex]

Но вы хотите исключить переменную. Итак, давайте добавим противоположность одного из уравнений к другому уравнению. Это означает умножение каждого члена в одном из уравнений на -1, чтобы знак каждого члена был противоположным.

[латекс] \ begin {array} {l} \, \, \, \, 2x + \, \, y \, = 12 \ rightarrow2x + y = 12 \ rightarrow2x + y = 12 \\ - 3x + \, \, y \, = 2 \ rightarrow− \ left (−3x + y \ right) = - (2) \ rightarrow3x – y = −2 \\\, \, \, \, 5x + 0y = 10 \ end {array} [/ латекс]

Вы удалили переменную y , и теперь проблема может быть решена.

В следующем видео описывается аналогичная проблема, при которой можно устранить одну переменную, сложив два уравнения вместе.

Осторожность! Когда вы добавляете противоположность одного целого уравнения к другому, не забудьте изменить знак КАЖДОГО члена с обеих сторон уравнения. Это очень распространенная ошибка.

Пример

Используйте устранение, чтобы решить систему.

[латекс] \ begin {array} {r} 2x + y = 12 \\ - 3x + y = 2 \, \, \, \ end {array} [/ latex]

Показать решение Вы можете исключить переменную y , добавив противоположность одного из уравнений к другому уравнению.

[латекс] \ begin {array} {r} 2x + y = 12 \\ - 3x + y = 2 \, \, \, \ end {array} [/ latex]

Перепишите второе уравнение как противоположное.

Доп. Решите для x .

[латекс] \ begin {array} {r} 2x + y = 12 \, \\ 3x – y = −2 \\ 5x = 10 \, \\ x = 2 \, \, \, \, \ end { array} [/ latex]

Подставьте [latex] y = 2 [/ latex] в одно из исходных уравнений и решите относительно y .

[латекс] \ begin {array} {r} 2 \ left (2 \ right) + y = 12 \\ 4 + y = 12 \\ y = 8 \, \, \, \ end {array} [/ latex ]

Обязательно проверьте свой ответ в обоих уравнениях!

[латекс] \ begin {array} {r} 2x + y = 12 \\ 2 \ left (2 \ right) + 8 = 12 \\ 4 + 8 = 12 \\ 12 = 12 \\\ text {TRUE} \\\\ - 3x + y = 2 \\ - 3 \ left (2 \ right) + 8 = 2 \\ - 6 + 8 = 2 \\ 2 = 2 \\\ текст {ИСТИНА} \ end {array} [/ латекс]

Ответы проверяют.

Ответ

Решение (2, 8).

Ниже приведены еще два примера, показывающих, как решать линейные системы уравнений с использованием исключения.

Пример

Используйте устранение, чтобы решить систему.

[латекс] \ begin {array} {r} −2x + 3y = −1 \\ 2x + 5y = \, 25 \ end {array} [/ latex]

Показать решение Обратите внимание на коэффициенты каждой переменной в каждом уравнении. Если вы сложите эти два уравнения, член x будет удален, поскольку [latex] −2x + 2x = 0 [/ latex].

[латекс] \ begin {array} {r} −2x + 3y = −1 \\ 2x + 5y = \, 25 \ end {array} [/ latex]

Сложите и решите для и .

[латекс] \ begin {array} {r} −2x + 3y = −1 \\ 2x + 5y = 25 \, \\ 8y = 24 \, \\ y = 3 \, \, \, \, \ end {array} [/ latex]

Подставьте [латекс] y = 3 [/ latex] в одно из исходных уравнений.

[латекс] \ begin {array} {r} 2x + 5y = 25 \\ 2x + 5 \ left (3 \ right) = 25 \\ 2x + 15 = 25 \\ 2x = 10 \\ x = 5 \, \, \, \ end {array} [/ latex]

Проверить решения.

[латекс] \ begin {array} {r} −2x + 3y = −1 \\ - 2 \ left (5 \ right) +3 \ left (3 \ right) = - 1 \\ - 10 + 9 = - 1 \\ - 1 = −1 \\\ текст {ИСТИНА} \\\\ 2x + 5y = 25 \\ 2 \ left (5 \ right) +5 \ left (3 \ right) = 25 \\ 10 + 15 = 25 \\ 25 = 25 \\\ текст {ИСТИНА} \ end {array} [/ latex]

Ответы проверяют.

Ответ

Решение: (5, 3).

Пример

Используйте исключения, чтобы найти x и y.

[латекс] \ begin {array} {r} 4x + 2y = 14 \\ 5x + 2y = 16 \ end {array} [/ latex]

Показать решение Обратите внимание на коэффициенты каждой переменной в каждом уравнении. Вам нужно будет добавить противоположное одному из уравнений, чтобы исключить переменную y , так как [latex] 2y + 2y = 4y [/ latex], но [latex] 2y + \ left (−2y \ right) = 0 [ /латекс].

[латекс] \ begin {array} {r} 4x + 2y = 14 \\ 5x + 2y = 16 \ end {array} [/ latex]

Замените одно из уравнений на противоположное, сложите и решите для x .

[латекс] \ begin {array} {r} 4x + 2y = 14 \, \, \, \, \\ - 5x – 2y = −16 \\ - x = −2 \, \, \, \\ x = 2 \, \, \, \, \, \, \, \ end {array} [/ latex]

Подставьте [latex] x = 2 [/ latex] в одно из исходных уравнений и решите относительно y .

[латекс] \ begin {array} {r} 4x + 2y = 14 \\ 4 \ left (2 \ right) + 2y = 14 \\ 8 + 2y = 14 \\ 2y = 6 \, \, \, \ \ y = 3 \, \, \, \ end {array} [/ latex]

Ответ

Решение: (2, 3).

Проверьте последний пример - подставьте (2, 3) в оба уравнения. Получается два верных утверждения: 14 = 14 и 16 = 16!

Обратите внимание, что вы могли бы использовать противоположное первому уравнению, а не второе уравнение, и получить тот же результат.

Распознавать системы, у которых нет решения или бесконечное количество решений

Как и в случае с методом подстановки, метод исключения иногда удаляет как v ariables, и вы получаете либо истинное, либо ложное утверждение. Напомним, ложное утверждение означает, что решения нет.

Давайте посмотрим на пример.

Пример

Решите для x и y.

[латекс] \ begin {массив} {r} -x – y = -4 \\ x + y = 2 \, \, \, \, \ end {array} [/ latex]

Показать решение Добавьте уравнения, чтобы исключить член x .

[латекс] \ begin {array} {r} -x – y = -4 \\\ underline {x + y = 2 \, \, \,} \\ 0 = −2 \ end {array} [/ latex ]

Ответ

Нет решения.

Построение этих линий показывает, что они являются параллельными линиями и, как таковые, не имеют общих точек, подтверждая отсутствие решения.

Если обе переменные исключены, и вы остаетесь с истинным утверждением, это означает, что существует бесконечное количество упорядоченных пар, которые удовлетворяют обоим уравнениям. По сути, уравнения - это одна и та же линия.

Пример

Решите для x и y .

[латекс] \ begin {array} {r} x + y = 2 \, \, \, \, \\ - x − y = -2 \ end {array} [/ latex]

Показать решение Добавьте уравнения, чтобы исключить член x .

[латекс] \ begin {array} {r} x + y = 2 \, \, \, \, \\\ underline {-x − y = -2} \\ 0 = 0 \, \, \, \ , \, \ end {array} [/ latex]

Ответ

Существует бесконечное количество решений.

Построение графика этих двух уравнений поможет проиллюстрировать, что происходит.

На следующем видео система уравнений, не имеющая решений, решается методом исключения.

Решите систему уравнений, когда необходимо умножение, чтобы исключить переменную

Многократное добавление уравнений или добавление противоположности одного из уравнений не приведет к удалению переменной. Посмотрите на систему ниже.

[латекс] \ begin {array} {r} 3x + 4y = 52 \\ 5x + y = 30 \ end {array} [/ latex]

Если вы сложите приведенные выше уравнения или сложите противоположное одному из уравнений, вы получите уравнение, в котором по-прежнему есть две переменные.Итак, давайте теперь сначала воспользуемся свойством умножения равенства. Вы можете умножить обе части одного уравнения на число, которое позволит вам исключить ту же переменную из другого уравнения.

Мы делаем это с умножением. Обратите внимание, что первое уравнение содержит член 4 y , а второе уравнение содержит член y . Если вы умножите второе уравнение на −4, когда вы сложите оба уравнения, переменные y в сумме дадут 0.

В следующем примере показаны все шаги по поиску решения этой системы.

Пример

Решите для x и y .

Уравнение A: [латекс] 3x + 4y = 52 [/ латекс]

Уравнение B: [латекс] 5x + y = 30 [/ латекс]

Показать решение Ищите термины, которые можно исключить. В уравнениях нет членов размером x или y с одинаковыми коэффициентами.

[латекс] \ begin {array} {r} 3x + 4y = 52 \\ 5x + y = 30 \ end {array} [/ latex]

Умножьте второе уравнение на [латекс] −4 [/ латекс], чтобы получить одинаковый коэффициент.

[латекс] \ begin {array} {l} \, \, \, \, \, \, \, \, \, 3x + 4y = 52 \\ - 4 \ left (5x + y \ right) = - 4 \ влево (30 \ вправо) \ end {array} [/ latex]

Перепишите систему и добавьте уравнения.

[латекс] \ begin {array} {r} 3x + 4y = 52 \, \, \, \, \, \, \, \\ - 20x – 4y = −120 \ end {array} [/ latex]

Решите для x .

[латекс] \ begin {array} {l} −17x = -68 \\\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, x = 4 \ end {array} [/ latex ]

Подставьте [latex] x = 4 [/ latex] в одно из исходных уравнений, чтобы найти y .

[латекс] \ begin {array} {r} 3x + 4y = 52 \\ 3 \ left (4 \ right) + 4y = 52 \\ 12 + 4y = 52 \\ 4y = 40 \\ y = 10 \ end {array} [/ latex]

Проверьте свой ответ.

[латекс] \ begin {array} {r} 3x + 4y = 52 \\ 3 \ left (4 \ right) +4 \ left (10 \ right) = 52 \\ 12 + 40 = 52 \\ 52 = 52 \\\ текст {ИСТИНА} \\\\ 5x + y = 30 \\ 5 \ влево (4 \ вправо) + 10 = 30 \\ 20 + 10 = 30 \\ 30 = 30 \\\ текст {ИСТИНА} \ конец {array} [/ latex]

Ответы проверяют.

Ответ

Решение (4, 10).

Осторожность! Когда вы используете умножение для исключения переменной, вы должны умножить КАЖДЫЙ член в уравнении на выбранное вами число.Забыть умножить каждый член - распространенная ошибка.

Есть другие способы решить эту систему. Вместо того, чтобы умножать одно уравнение, чтобы исключить переменную при добавлении уравнений, вы могли бы умножить и оба уравнений на разные числа.

На этот раз удалим переменную x . Умножьте уравнение A на 5 и уравнение B на [латекс] -3 [/ латекс].

Пример

Решите относительно x и y .

[латекс] \ begin {array} {r} 3x + 4y = 52 \\ 5x + y = 30 \ end {array} [/ latex]

Показать решение Ищите термины, которые можно исключить.В уравнениях нет членов размером x или y с одним и тем же коэффициентом.

[латекс] \ begin {array} {r} 3x + 4y = 52 \\ 5x + y = 30 \ end {array} [/ latex]

Чтобы использовать метод исключения, вы должны создать переменные с одинаковым коэффициентом - тогда вы можете их исключить. Умножьте верхнее уравнение на 5.

[латекс] \ begin {array} {r} 5 \ left (3x + 4y \ right) = 5 \ left (52 \ right) \\ 5x + y = 30 \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \\ 15x + 20y = 260 \, \, \, \, \, \, \\ 5x + y = 30 \, \, \, \, \, \, \, \, \, \ end {array} [/ latex]

Теперь умножьте нижнее уравнение на −3.

[латекс] \ begin {array} {r} 15x + 20y = 260 \, \, \, \, \, \, \, \, \\ - 3 (5x + y) = - 3 (30) \\ 15x + 20y = 260 \, \, \, \, \, \, \, \, \\ - 15x – 3y = −90 \, \, \, \, \, \, \, \ end {array} [ / латекс]

Затем сложите уравнения и решите относительно y .

[латекс] \ begin {array} {r} 15x + 20y = 260 \\ - 15x – 3y = \, - 90 \\ 17y = 170 \\ y = \, \, \, 10 \ end {array} [ / латекс]

Подставьте [latex] y = 10 [/ latex] в одно из исходных уравнений, чтобы найти x .

[латекс] \ begin {array} {r} 3x + 4y = 52 \\ 3x + 4 \ left (10 \ right) = 52 \\ 3x + 40 = 52 \\ 3x = 12 \\ x = 4 \, \, \, \ end {array} [/ latex]

Вы пришли к тому же решению, что и раньше.

Ответ

Решение (4, 10).

Эти уравнения были умножены на 5 и [латекс] −3 [/ латекс] соответственно, потому что это дало вам члены, которые в сумме дают 0. Не забудьте умножить все члены уравнения.

В следующем видео вы увидите пример использования метода исключения для решения системы уравнений.

Можно использовать метод исключения с умножением и получить результат, который не указывает никаких решений или бесконечное множество решений, точно так же, как с другими методами, которые мы изучили для поиска решений систем.В следующем примере вы увидите систему, которая имеет бесконечно много решений.

Пример

Решите для x и y .

Уравнение A: [латекс] x-3y = -2 [/ латекс]

Уравнение B: [латекс] -2x + 6y = 4 [/ латекс]

Показать решение Ищите термины, которые можно исключить. В уравнениях нет членов размером x или y с одинаковыми коэффициентами.

[латекс] \ begin {array} {r} x-3y = -2 \\ - 2x + 6y = 4 \ end {array} [/ latex]

Умножьте первое уравнение на [latex] 2 [/ latex] так, чтобы члены x исключались.

[латекс] \ begin {array} {l} \, \, \, \, \, \, \, \, \, 2 \ left (x-3y \ right) = 2 \ left (-2 \ right) \\ - 2x + 6y = 4 \ end {array} [/ latex]

Перепишите систему и добавьте уравнения.

[латекс] \ begin {array} {r} 2x-6y = -4 \\ - 2x + 6y = 4 \\ 0x + 0y = 0 \\\, \, \, \, \, \, \, \ , 0 = 0 \ end {array} [/ latex]

Вам знакомо такое решение? Это представляет собой решение всех действительных чисел для линейных уравнений, и это представляет то же самое, когда вы получаете такой результат с системами. Если мы решим оба этих уравнения относительно y, вы увидите, что это одно и то же уравнение.

Решите уравнение A относительно y:

[латекс] \ begin {array} {r} x-3y = -2 \\ - 3y = -x-2 \\ y = \ frac {1} {3} x + \ frac {2} {3} \ end {array} [/ latex]

Решите уравнение B относительно y:

[латекс] \ begin {array} -2x + 6y = 4 \\ 6y = 2x + 4 \\ y = \ frac {2} {6} x + \ frac {4} {6} \ end {array} [/ латекс]

Уменьшите дроби, разделив числитель и знаменатель обеих дробей на 2:

[латекс] y = \ frac {1} {3} + \ frac {2} {3} [/ latex]

Оба уравнения одинаковы, если записаны в форме пересечения наклона, и поэтому набором решений для системы являются все действительные числа.

Ответ

Решение: x и y могут быть действительными числами.

В следующем видео метод исключения используется для решения системы уравнений. Обратите внимание, что сначала нужно умножить одно из уравнений на отрицательное. Вдобавок у этой системы есть бесконечное количество решений.

Сводка

Метод подстановки - это один из способов решения систем уравнений. Чтобы использовать метод подстановки, используйте одно уравнение, чтобы найти выражение для одной из переменных в терминах другой переменной.Затем замените это выражение этой переменной во втором уравнении. Затем вы можете решить это уравнение, поскольку теперь оно будет иметь только одну переменную. Решение с использованием метода подстановки даст один из трех результатов: одно значение для каждой переменной в системе (с указанием одного решения), неверное утверждение (с указанием отсутствия решений) или истинное утверждение (с указанием бесконечного числа решений).

Объединение уравнений - мощный инструмент для решения системы уравнений.Сложение или вычитание двух уравнений для исключения общей переменной называется методом исключения (или добавления). Как только одна переменная исключена, становится намного проще найти другую.

Умножение можно использовать для настройки соответствующих членов в уравнениях перед их объединением, чтобы помочь в поиске решения системы. При использовании метода умножения важно умножить все члены с обеих сторон уравнения, а не только один член, который вы пытаетесь исключить.


Промежуточная алгебра
Урок 19: Решение систем линейных уравнений
в двух переменных


WTAMU > Виртуальная математическая лаборатория> Алгебра среднего уровня

Цели обучения


После изучения этого руководства вы сможете:
  1. Узнайте, является ли упорядоченная пара решением системы линейных уравнений в две переменные или нет.
  2. Решите систему линейных уравнений с двумя переменными с помощью построения графиков.
  3. Решите систему линейных уравнений с двумя переменными заменой метод.
  4. Решите систему линейных уравнений с двумя переменными методом исключения метод.

Введение



В этом уроке мы будем специально рассматривать системы, которые имеют два уравнения и две неизвестные. Урок 20: Решение систем Линейный Уравнения в трех переменных будут охватывать системы, которые имеют три уравнения и три неизвестных. Мы рассмотрим их решение трех разных способы: построение графиков, метод подстановки и метод исключения. Это приведет нас к решению проблем со словами с системами, которые быть показано в Урок 21: Системы линейных уравнений и задачи Решение . Вот где мы должны ответить на печально известный вопрос, когда мы будем использовать это? Но сначала мы должны научиться работать с системами в Генеральная. Вот почему на данном этапе мы используем общие переменные, такие как x и y . Если вы знаете, как это решить в целом, тогда, когда у вас есть конкретный проблема что вы решаете, где переменные принимают значение, такое как время или Деньги (две вещи, которых нам, кажется, никогда не бывает достаточно), вы будете готовы к идти. Итак, давайте посмотрим на системы в целом, чтобы подготовить нас к решению предстоящих проблем из нас.

Учебник




Система линейных уравнений

Система линейных уравнений состоит из двух или более линейных уравнения, которые решаются одновременно.

В этом руководстве мы рассмотрим системы, которые имеют только два линейных уравнения и две неизвестные.




В общем, решение системы двух переменных заказанный пара, которая делает ОБЕИХ уравнения верными.

Другими словами, здесь пересекаются два графика, что у них есть в общем. Итак, если упорядоченная пара является решением одного уравнения, но не другой, то это НЕ решение системы.

Согласованная система - это система, в которой хотя бы одно решение.

Несогласованная система - это система, в которой нет решения .

Уравнения системы зависимы , если ВСЕ решения одного уравнения являются решениями другого уравнения. В Другие словами, в итоге получается и та же строка .

Уравнения системы независимы , если они не делятся ВСЕ решения . У них может быть одна общая черта, только не все их.




Одно решение
Если система с двумя переменными имеет одно решение, это заказанный пара, которая является решением ОБЕИХ уравнений. Другими словами, когда вы вставляете значения упорядоченной пары, она делает ОБА уравнения ПРАВДА.

Если вы получите одно решение для окончательного ответа, будет эта система непротиворечива или непоследовательна?
Если вы сказали «последовательный», похлопайте себя по плечу!

Если вы получите одно решение для окончательного ответа, будет уравнения быть зависимыми или независимыми?
Если вы сказали независимый, вы правы!

График ниже иллюстрирует систему двух уравнений. и два неизвестных у которого есть одно решение:


Нет решения
Если две линии параллельны друг другу, они будут никогда не пересекаются. Значит, у них нет ничего общего. В этом ситуация у вас не будет решения.

Если окончательного ответа нет, - это эта система непротиворечива или непоследовательна?
Если вы сказали «непоследовательно», вы правы!

Если вы не получите окончательного ответа, будет уравнения быть зависимыми или независимыми?
Если вы сказали независимый, вы правы!

График ниже иллюстрирует систему двух уравнений. и два неизвестных не имеющий решения:


Бесконечный Решения
Если две линии в конечном итоге лежат друг на друге, тогда Там есть бесконечное количество решений. В этой ситуации они было бы в конечном итоге будут одной и той же строкой, поэтому любое решение, которое будет работать в одном уравнение будет работать в другом.

Если вы получите бесконечное количество решений для Ваш окончательный ответ, я s эта система непротиворечива или непоследовательна?
Если вы сказали "последовательный", вы правы!

Если вы получите бесконечное количество решений для ваш окончательный ответ, будет уравнения быть зависимыми или независимыми?
Если вы сказали иждивенец, вы правы!

График ниже иллюстрирует систему двух уравнений. и два неизвестных имеющий бесконечное количество решений:


Пример 1 : Определите, является ли каждая заказанная пара решением из система.
(3, -1) и (0, 2)

Давайте проверим упорядоченную пару (3, -1) в первом уравнение:



* Вставка 3 для x и -1 для y

* Истинное утверждение


Пока все хорошо, (3, -1) является решением первое уравнение x + y = 2.

Теперь давайте проверим (3, -1) во втором уравнении:



* Вставка 3 для x и -1 для y

* Истинное утверждение


Эй, мы закончили с еще одним верным утверждением, которое означает, что (3, -1) является также решение второго уравнения x - y = 4.

Вот большой вопрос, является ли (3, -1) решением данная система ?????
Поскольку это было решение ОБЕИХ уравнений в системе, Затем это это решение всей системы.

Теперь поместим (0, 2) в первое уравнение:



* Вставка 0 для x и 2 для y
* Истинное заявление


Это истинное утверждение, поэтому (0, 2) является решением первое уравнение x + y = 2.

Наконец, поместим (0,2) во второе уравнение:



* Вставка 0 для x и 2 для y
* Ложное заявление


На этот раз мы получили ложное заявление, вы знаете, что это средства. (0, 2) НЕ является решением второго уравнения x - y = 4.

Вот большой вопрос, является ли (0, 2) решением данная система ?????
Поскольку это не было решением ОБЕИХ уравнений в система, то это не решение всей системы.



Три способа Решение систем линейных
Уравнений с двумя переменными



Шаг 1. Постройте первое уравнение.



Шаг 2: Изобразите второе уравнение на та же координата система как первая.


Вы изобразите второе уравнение так же, как и любое другое. уравнение. Обратитесь к первому шагу, если вам нужно рассмотреть различные способы график линия.

Разница вот в том, что на такой же поставишь система координат как первый. Это как две задачи с графиком в одной.


Шаг 3. Найдите решение.


Если две линии пересекаются в одном месте , то точка перекресток - решение системы.

Если две линии параллельны , то они никогда не пересекаются, так что нет решения.

Если две линии лежат друг на друге , то они та же строка , и у вас есть бесконечное количество решений. . В этом случае вы можете записать любое уравнение как решение указывать это одна и та же линия.


Шаг 4: Проверьте предложенный заказанный парное решение в ОБА уравнения.


Вы можете подключить предложенное решение к ОБА уравнения. Если это делает ОБЕИХ уравнения истинными, тогда у вас есть решение система.

Если хотя бы одно из них становится ложным, вам нужно перейти назад и повторить проблема.



Пример 2 : Решите систему уравнений, построив график.




* Вставка 0 для y для x -int
* x -intercept


Перехват x - это (3, 0).

y - перехват



* Вставка 0 для x для y -int
* y -intercept


Перехват y равен (0, 3).

Найди другого решение, позволяя x = 1.



* Вставка 1 для x

Другое решение - (1, 2).

Решения:

х y (х, у)
3 0 (3, 0)
0 3 (0, 3)
1 2 (1, 2)

Построение упорядоченных парных решений и построение линия:






* Вставка 0 для y для x -int
* x -intercept


Перехват x - это (1, 0).

Y-перехват



* Вставка 0 для x для y -int

* Обратное от мульт. на -1 - это div. по -1

* y - перехват


Перехват y равен (0, -1).

Найди другого решение, позволяя x = 2.



* Вставить 2 для x
* Сумма 2, обратная добавлению, является вспомогательной. 2

* Обратное от мульт. на -1 это div по -1


Другое решение - (2, 1).

Решения:

х y (х, у)
1 0 (1, 0)
0 -1 (0, -1)
2 1 (2, 1)

Построение упорядоченных парных решений и построение линия:



Нам нужно спросить себя, есть ли место, где две линии пересекаются, и если да, то где?

Ответ - да, они пересекаются в (2, 1).



Вы обнаружите, что если вы подключите заказанную пару (2, 1) в ОБЕИХ уравнения исходной системы, что это решение ОБЕИХ из них.

Решение этой системы - (2, 1).




Пример 3 : Решите систему уравнений, построив график.




* Вставка 0 для y для x -int
* x -intercept


Перехват x - это (5, 0).

y - перехват



* Вставка 0 для x для y -int

* y - перехват


Перехват y равен (0, 5).

Найди другого решение, позволяя x = 1.



* Вставить 1 для x
* Прибавление 1 является вспомогательным. 1


Другое решение - (1, 4).

Решения:

х y (х, у)
5 0 (5, 0)
0 5 (0, 5)
1 4 (1, 4)

Построение упорядоченных парных решений и построение линия:





* Вставка 0 для y для x -int
* Сумма, обратная сумме 3, является вспомогательной.3

* Обратное от мульт. на -1 - это div. по -1

* x - интервал


Перехват x - это (3, 0).

y - перехват



* Вставка 0 для x для y -int
* y -intercept


Перехват y равен (0, 3).

Найди другого решение, позволяя x = 1.



* Вставка 1 для x


Другое решение - (1, 2).

Решения:

х y (х, у)
3 0 (3, 0)
0 3 (0, 3)
1 2 (1, 2)

Построение упорядоченных парных решений и построение линия:



Нам нужно спросить себя, есть ли место, где две линии пересекаются, и если да, то где?

Ответ - нет, они не пересекаются.Мы иметь два параллельных линий.



Нет заказанных пар для проверки.

Ответ - нет решения.



Решить методом подстановки

Шаг 1. При необходимости упростите.


Это может включать в себя такие вещи, как удаление () и удаление фракций.

Чтобы удалить (): просто используйте свойство distributive.

Чтобы удалить дроби: поскольку дроби - это еще один способ написать деление, а обратное деление - умножение, дробь удаляется на умножение обе стороны ЖК-дисплеем всех ваших фракций.


Шаг 2. Решите одно уравнение для любая переменная.


Неважно, какое уравнение вы используете или какое переменная, которую вы выбираете решить для.

Вы хотите сделать это как можно проще.Если один уравнений уже решена для одной из переменных, это быстро и легко способ идти.

Если вам нужно найти переменную, попробуйте выбрать тот, у которого есть 1 как коэффициент. Таким образом, когда вы идете решать это, вы не будет делить на число и рисковать работать с доля (фу !!).


Шаг 3. Замените то, что вы получаете шаг 2 в другое уравнение.


Вот почему он называется методом подстановки. Убедись в том, что вы подставляете выражение в ДРУГОЕ уравнение, то, которое вы не сделал использовать на шаге 2.

Это даст вам одно уравнение с одним неизвестным.


Шаг 4. Решите для оставшаяся переменная.



Шаг 5: Решить для секунды Переменная.


Если вы нашли значение для переменной на шаге 4, что означает два уравнения имеют одно решение. Вставьте значение, найденное в шаг 4 в любое уравнение задачи и решить для другого Переменная.

Если ваша переменная выпадает, и у вас есть ЛОЖЬ заявление, что означает ваш ответ не решение.

Если ваша переменная выпадает и у вас есть ИСТИНА заявление, что означает ваш ответ - бесконечные решения, которые были бы уравнением линия.


Шаг 6: Проверьте предложенный заказанный парное решение в ОБЕ исходные уравнения.


Вы можете подключить предложенное решение к ОБА уравнения. Если это делает ОБЕИЕ уравнения истинными, тогда у вас есть решение система.

Если хотя бы одно из них становится ложным, вам нужно перейти назад и повторить проблема.





Пример 4 : Решите систему уравнений заменой метод.


Оба эти уравнения уже упрощены. Нет необходимости в работе делать здесь.



Обратите внимание, что второе уравнение уже решено для y . Мы можем использовать его на этом этапе.

Неважно, какое уравнение или какую переменную вы выбрать решение для. Но в ваших интересах, чтобы это было так просто, как возможный.

Второе уравнение, решенное относительно y :


* Решено для y



Подставьте выражение 2 x + 4 вместо y в первое уравнение и решите относительно x :
(когда вы вставляете подобное выражение, это похоже на то, как вы подключаете в число вашей переменной)



* Под.2 x + 4 дюйма для y
* Расст. От -5 до ()
* Объединить похожие термины

* Обратное от sub. 20 добавлено 20

* Значение, обратное div. by -7 есть мульт. по -7



Вставить -5 для x в уравнение в шаг 2, чтобы найти значение y .



* Вставка -5 для x



Вы обнаружите, что если вы подключите заказанную пару (-5, -6) в ОБЕИХ уравнения исходной системы, что это решение ОБЕИХ из их.

(-5, -6) - это решение нашей системы.





Пример 5 : Решите систему уравнений заменой метод.


Оба эти уравнения уже упрощены. Нет необходимости в работе делать здесь.



На этот раз проблема была не так хороша для нас, мы придется проделайте небольшую работу, чтобы решить одно уравнение для одной из наших переменных.

Неважно, какое уравнение или какую переменную вы выбрать решение для.Просто будь простым.

Начиная с x в первом уравнение имеет коэффициент 1, это означало бы, что нам не нужно было бы делить на номер решить эту проблему и рискнуть работать с дробями (УРА !!) Самый простой способ - решить первое уравнение для x , и мы определенно хотим выбрать легкий путь. Ты бы не был неправильный чтобы выбрать другое уравнение и / или решить для y, снова вы хотите чтобы сделать его максимально простым.

Решая первое уравнение для x , получаем:



* Обратное от sub. 2 y прибавить 2 y

* Решено для x



Подставьте выражение 5 + 2 y вместо x во второе уравнение и решите относительно y :
(когда вы вставляете подобное выражение, это похоже на то, как вы подключаете в число вашей переменной)



* Под.5 + 2 y для x

* Переменная выпала И ложь


Погодите, откуда наш переменная go ????

Как упоминалось выше, если ваша переменная выпадает и вы иметь оператор FALSE, тогда решения нет. Если бы мы изобразили эти два графика, они будут параллельны друг другу.



Поскольку мы не получили значение для y , там здесь нечего подключать.



Нет заказанных пар для проверки.

Ответ - нет решения.



Решить методом исключения

Этот метод также известен как сложение или исключение добавлением метод.


Шаг 1. Упростите и поместите оба уравнения в виде A x + B y = C, если необходимо.


Это может включать в себя такие вещи, как удаление () и удаление фракций.

Чтобы удалить (): просто используйте свойство distributive.

Чтобы удалить дроби: поскольку дроби - это еще один способ написать деление, а обратное деление - умножение, дробь удаляется на умножение обе стороны ЖК-дисплеем всех ваших фракций.


Шаг 2: Умножьте один или оба уравнения по числу который при необходимости создаст противоположные коэффициенты для x или y .


Забегая вперед, мы добавим эти два уравнения вместе . В этом процессе нам нужно убедиться, что одна из переменных падает вне, оставив нам одно уравнение и одно неизвестное. Единственный способ, которым мы можем гарантия, что если мы добавляем противоположности . Сумма противоположности равно 0.

Если ни одна из переменных не выпадает, то мы застреваем с уравнение с две неизвестные, которые неразрешимы.

Неважно, какую переменную вы выберете для удаления вне. Вы хотите, чтобы это было как можно проще. Если переменная уже имеет противоположные коэффициенты, чем при добавлении двух уравнений все вместе. В противном случае вам нужно умножить одно или оба уравнения на число. что создаст противоположные коэффициенты в одной из ваших переменных.Ты может думайте об этом как о ЖК-дисплее. Подумайте, какой номер оригинал коэффициенты оба входят и соответственно умножают каждое отдельное уравнение. Делать убедитесь, что одна переменная положительна, а другая отрицательна, прежде чем вы Добавлять.

Например, если у вас есть 2 x в одном уравнении и 3 x в другом уравнении, мы могли бы умножать первое уравнение на 3 и получаем 6 x и в второе уравнение на -2, чтобы получить -6 x . Так когда вы собираетесь сложить эти два вместе, они выпадут.



Сложите два уравнения вместе.

Переменная с противоположными коэффициентами будет выпадать из этого шаг, и у вас останется одно уравнение с одним неизвестным.


Шаг 4: Найдите оставшуюся переменную.


Решите уравнение, найденное на шаге 3 для переменной что осталось.

Если вам нужен обзор по этому поводу, перейдите к руководству 7: Линейные уравнения с одной переменной.

Если выпадают обе переменные и вы получаете ЛОЖЬ заявление, что означает ваш ответ не решение.

Если выпадают обе переменные и у вас есть ИСТИНА заявление, что означает ваш ответ - бесконечные решения, которые были бы уравнением линия.


Шаг 5: Найдите вторую переменную.


Если вы нашли значение для переменной на шаге 4, что означает два уравнения имеют одно решение. Вставьте значение, найденное в шаг 4 в любое уравнение задачи и решить для другого Переменная.


Шаг 6: Проверьте предложенный заказанный парное решение в ОБЕ исходные уравнения.


Предлагаемое решение можно подключить к ОБА уравнения.Если это делает ОБЕИХ уравнения истинными, тогда у вас есть решение система.

Если хотя бы одно из них становится ложным, вам нужно перейти назад и повторить проблема.




Пример 6 : Решите систему уравнений методом исключения. метод.



В этом уравнении полно неприятных дробей. Мы можем упростить оба уравнения, умножив каждое в отдельности на ЖК-дисплей, как вы можете сделать это, когда работаете с одним уравнением. До тех пор, как вы проделайте то же самое с обеими сторонами уравнения, оставив обе стороны равны друг другу.

Умножая каждое уравнение на соответствующий ЖК-дисплей, мы получить:



* Мног. по ЖК 15

* Мульт. по ЖК 6




Опять же, вы хотите сделать это так просто, как возможный.Обратите внимание, как коэффициенты на обоих и являются 3. Мы должны иметь противоположности, поэтому, если один из них равен 3, а другой -3, Они будут взаимно отменять друг друга, когда мы перейдем к их добавлению.

Если бы мы сложили их вместе, как сейчас, мы бы закончить с одно уравнение и две переменные, ничего бы не выпало. И мы было бы не смогу ее решить.

Предлагаю умножить второе уравнение на -1, это будет создайте -3 перед x , и мы будем имеют наши противоположности.

Обратите внимание, что мы могли бы так же легко умножить первое уравнение на -1 а не второй. В любом случае работа будет выполнена.

Умножая второе уравнение на -1, получаем:



* Мног.обе стороны 2-го ур. по -1

* y х иметь противоположное коэффициенты




* Обратите внимание, что y 's выпало




* Обратное от мульт.на 3 - div. по 3



Вы можете выбрать любое уравнение, используемое в этой задаче, чтобы вставьте найденное значение x .

Я выбираю подключить 11 для x в первое упрощенное уравнение (найдено на шаге 1), чтобы найти y ’s значение.



* Вставка 11 для x

* Сумма, обратная сумме 55, является вспомогательной.55

* Обратное от мульт. на 3 - div. по 3



Вы обнаружите, что если вы подключите заказанную пару (11, -25/3) в ОБЕИХ уравнения исходной системы, что это решение ОБЕИХ из их.

(11, -25/3) - это решение для нашей системы.





Пример 7 : Решите систему уравнений методом исключения метод.



Эта задача уже упрощена.Однако второй уравнение не записывается в виде Ax + By = C. Другими словами, нам нужно написать это в этой форме, поэтому все будет готово к работе, когда мы добавим два уравнения вместе.

Переписывая второе уравнение, получаем:



* Инверсия сложения 6 x - sub.6 x

* Все выравнивается



Обратите внимание, что если мы умножим первое уравнение на 2, то Мы будем иметь -6 x , что является противоположностью 6 x , найденным во втором уравнении.

Умножая первое уравнение на 2, получаем:


* Мног.1-й экв. по 2

* x имеют противоположные коэффициенты



* Переменные выпали И истинно



Эй, откуда у нас переменные идти??

Как упоминалось выше, если переменная выпадает И мы иметь ИСТИННОЕ заявление, тогда когда есть бесконечное количество решений.Они в конечном итоге та же линия.



Здесь нет никакой ценности для подключения.



Здесь нет ценности для подключения.

Когда они оказываются в одном уравнении, у вас есть бесконечное число решений.Вы можете написать свой ответ, написав либо уравнение, чтобы указать, что это одно и то же уравнение.

Два способа написать ответ: {( x , y ) | 3 x - 2 y = 1} OR {( x , y ) | 4 y = 6 x - 2}.



Практические задачи


Это практические задачи, которые помогут вам следующий уровень. Это позволит вам проверить и понять, понимаете ли вы эти типы проблем. Math работает так же, как что-нибудь иначе, если вы хотите добиться успеха в этом, вам нужно практиковаться Это. Даже лучшим спортсменам и музыкантам помогали на протяжении всего пути. практиковаться, практиковаться, практиковаться, чтобы хорошо освоить свой вид спорта или инструмент. На самом деле не бывает слишком много практики.

Чтобы получить от них максимальную отдачу, вы должны работать проблема на свой собственный, а затем проверьте свой ответ, щелкнув ссылку для ответ / обсуждение для этой проблемы . По ссылке вы найдете ответ а также любые шаги, которые позволили найти этот ответ.

Практика Задача 1a: Решите систему, построив график.

Практика Задача 2а: Решите систему подстановкой метод.

Практика Задача 3a: Решите систему метод устранения.

Нужна дополнительная помощь по этим темам?





Последняя редакция 10 июля 2011 г. Ким Сьюард.
Авторские права на все содержание (C) 2001 - 2011, WTAMU и Kim Seward. Все права защищены.

Решение систем линейных уравнений

А система линейные уравнения представляет собой просто набор из двух или более линейных уравнений.

В двух переменных ( Икс а также у ) , график системы двух уравнений представляет собой пару прямых на плоскости.

Есть три возможности:

  • Линии пересекаются в нулевых точках. (Линии параллельны.)
  • Линии пересекаются ровно в одной точке. (Большинство случаев.)
  • Прямые пересекаются в бесконечном множестве точек. (Два уравнения представляют собой одну и ту же линию.)

Нулевые решения:

у знак равно - 2 Икс + 4 у знак равно - 2 Икс - 3

Одно решение:

у знак равно 0.5 Икс + 2 у знак равно - 2 Икс - 3

Бесконечно много решений:

у знак равно - 2 Икс - 4 у + 4 знак равно - 2 Икс

Существует несколько различных методов решения систем линейных уравнений:

  1. Графический метод . Это полезно, когда вам просто нужен приблизительный ответ или вы уверены, что пересечение происходит в целочисленных координатах. Просто нарисуйте две линии и посмотрите, где они пересекаются!
  2. См. Второй график выше. Решение - это место пересечения двух линий, точка ( - 2 , 1 ) .

  3. Метод замены . Сначала решите одно линейное уравнение относительно у с точки зрения Икс . Затем замените это выражение на у в другом линейном уравнении. Вы получите уравнение в Икс . Решите это, и у вас будет Икс -координата перекрестка. Затем подключите Икс к любому уравнению, чтобы найти соответствующее у -координат.(Если это проще, вы можете начать с решения уравнения для Икс с точки зрения у , тоже - такая же разница!)
  4. Пример 1:

    Решите систему { 3 Икс + 2 у знак равно 16 7 Икс + у знак равно 19

      Решите второе уравнение относительно у .

      у знак равно 19 - 7 Икс

      Заменять 19 - 7 Икс для у в первом уравнении и решите относительно Икс .

      3 Икс + 2 ( 19 - 7 Икс ) знак равно 16 3 Икс + 38 - 14 Икс знак равно 16 - 11 Икс знак равно - 22 Икс знак равно 2

      Заменять 2 для Икс в у знак равно 19 - 7 Икс и решить для у .

      у знак равно 19 - 7 ( 2 ) у знак равно 5

      Решение ( 2 , 5 ) .

  5. Метод линейной комбинации , иначе Метод сложения , иначе Метод исключения. Сложить (или вычесть) одно уравнение, кратное другому уравнению (или из него), таким образом, чтобы либо Икс -термы или у -условия аннулируются.Затем решите для Икс (или же у , в зависимости от того, что осталось) и подставьте обратно, чтобы получить другую координату.
  6. Пример 2:

    Решите систему { 4 Икс + 3 у знак равно - 2 8 Икс - 2 у знак равно 12

      Умножьте первое уравнение на - 2 и добавьте результат ко второму уравнению.

      - 8 Икс - 6 у знак равно 4 8 Икс - 2 у знак равно 12 _ - 8 у знак равно 16

      Решить для у .

      у знак равно - 2

      Замена для у в любом из исходных уравнений и решите относительно Икс .

      4 Икс + 3 ( - 2 ) знак равно - 2 4 Икс - 6 знак равно - 2 4 Икс знак равно 4 Икс знак равно 1

      Решение ( 1 , - 2 ) .

  7. Матричный метод . На самом деле это просто метод линейной комбинации, упрощенный за счет сокращения записи.

Бесплатные рабочие листы по линейным уравнениям (6-9 классы, предварительная алгебра, алгебра 1)

Вы здесь: На главную → Рабочие таблицы → Линейные уравнения

Здесь вы найдете неограниченное количество распечатываемых рабочих листов для решения линейных уравнений, доступных как в формате PDF, так и в формате html.Вы можете настроить рабочие листы, включив в них одношаговые, двухэтапные или многоступенчатые уравнения, переменные с обеих сторон, круглые скобки и многое другое. Рабочие листы подходят для курсов предварительной алгебры и алгебры 1 (6-9 классы).

Вы можете выбрать из СЕМЬ основных типов уравнений, от простых до сложных, описанных ниже (например, одношаговые уравнения, переменные с обеих сторон или необходимость использования свойства распределения). Настройте рабочие листы, используя генератор ниже.


Основные инструкции для рабочих листов

Каждый рабочий лист генерируется случайным образом и поэтому уникален.Ключ ответа создается автоматически и помещается на вторую страницу файла.

Вы можете создавать рабочие листы либо в формате html, либо в формате PDF - и то и другое легко распечатать. Чтобы получить рабочий лист PDF, просто нажмите кнопку с названием « Создать PDF » или « Создать рабочий лист PDF ». Чтобы получить рабочий лист в формате html, нажмите кнопку « Просмотреть в браузере » или « Сделать рабочий лист html ». Это имеет то преимущество, что вы можете сохранить рабочий лист прямо из браузера (выберите «Файл» → «Сохранить»), а затем отредактировать его в Word или другом текстовом редакторе.

Иногда созданный рабочий лист не совсем то, что вам нужно. Просто попробуйте еще раз! Чтобы получить другой рабочий лист с теми же параметрами:

  • Формат PDF: вернитесь на эту страницу и снова нажмите кнопку.
  • Формат Html: просто обновите страницу рабочего листа в окне браузера.

Рабочие листы готовые


См. Также

Рабочие листы для упрощения выражений

Рабочие листы для вычисления выражений с переменными

Рабочие листы для написания выражений с переменными из словесных выражений

Рабочие листы для линейных неравенств


Ключ к учебным пособиям по алгебре

Key to Algebra предлагает уникальный проверенный способ познакомить студентов с алгеброй.Новые концепции объясняются простым языком, а примеры легко следовать. Задачи со словами связывают алгебру с знакомыми ситуациями, помогая учащимся понять абстрактные концепции. Учащиеся развивают понимание, интуитивно решая уравнения и неравенства, прежде чем будут представлены формальные решения. Студенты начинают изучение алгебры с книг 1–4, используя только целые числа. Книги 5-7 вводят рациональные числа и выражения. Книги 8-10 охватывают реальную систему счисления.

=> Узнать больше

Линейные системы с двумя переменными

Показать уведомление для мобильных устройств Показать все заметки Скрыть все заметки

Похоже, вы используете устройство с "узкой" шириной экрана ( i.е. вы, вероятно, пользуетесь мобильным телефоном). Из-за особенностей математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме. Если ваше устройство не находится в альбомном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку от вашего устройства (вы сможете прокручивать их, чтобы увидеть их), а некоторые пункты меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.

Раздел 7-1: Линейные системы с двумя переменными

Линейная система двух уравнений с двумя переменными - это любая система, которую можно записать в форме.

\ [\ begin {align *} ax + by & = p \\ cx + dy & = q \ end {align *} \]

, где любая из констант может быть равна нулю, за исключением того, что в каждом уравнении должна быть по крайней мере одна переменная.

Также система называется линейной, если переменные указаны только в первой степени, присутствуют только в числителе и нет произведений переменных ни в одном из уравнений.

Вот пример системы с числами.

\ [\ begin {align *} 3x - y & = 7 \\ 2x + 3y & = 1 \ end {align *} \]

Прежде чем мы обсудим, как решать системы, мы должны сначала поговорить о том, что такое решение системы уравнений.Решение системы уравнений - это значение \ (x \) и значение \ (y \), которые при подстановке в уравнения удовлетворяют обоим уравнениям одновременно.

В приведенном выше примере \ (x = 2 \) и \ (y = - 1 \) является решением системы. Проверить это достаточно легко.

\ [\ begin {align *} 3 \ left (2 \ right) - \ left ({- 1} \ right) & = 7 \\ 2 \ left (2 \ right) + 3 \ left ({- 1} \ вправо) & = 1 \ end {выровнять *} \]

Итак, конечно, эта пара чисел - решение системы.Не беспокойтесь о том, как мы получили эти ценности. Это будет самая первая система, которую мы решим, когда перейдем к примерам.

Обратите внимание, что важно, чтобы пара чисел удовлетворяла обоим уравнениям. Например, \ (x = 1 \) и \ (y = - 4 \) удовлетворяют первому уравнению, но не второму, и поэтому не являются решением системы. Аналогично, \ (x = - 1 \) и \ (y = 1 \) будут удовлетворять второму уравнению, но не первому, и поэтому не могут быть решением системы.

Итак, что же представляет собой решение системы двух уравнений? Хорошо, если вы думаете об этом, оба уравнения в системе являются линиями.Итак, давайте построим их график и посмотрим, что мы получим.

Как видите, решение системы - это координаты точки пересечения двух линий. Итак, при решении линейных систем с двумя переменными мы действительно спрашиваем, где пересекаются две линии.

В этом разделе мы рассмотрим два метода решения систем.

Первый метод называется методом подстановки . В этом методе мы решим одно из уравнений для одной из переменных и подставим его в другое уравнение.Это даст одно уравнение с одной переменной, которую мы можем решить. Как только это решено, мы подставляем это значение обратно в одно из уравнений, чтобы найти значение оставшейся переменной.

На словах этот метод не всегда очень понятен. Давайте рассмотрим пару примеров, чтобы увидеть, как работает этот метод.

Пример 1 Решите каждую из следующих систем.
  1. \ (\ begin {align *} 3x - y & = 7 \\ 2x + 3y & = 1 \ end {align *} \)
  2. \ (\ begin {align *} 5x + 4y & = 1 \\ 3x - 6y & = 2 \ end {align *} \)
Показать все решения Скрыть все решения a \ (\ begin {align *} 3x - y & = 7 \\ 2x + 3y & = 1 \ end {align *} \) Показать решение

Итак, это была первая система, которую мы рассмотрели выше.Мы уже знаем решение, но это даст нам возможность проверить значения, которые мы записали для решения.

Теперь метод говорит, что нам нужно решить одно из уравнений для одной из переменных. Какое уравнение мы выберем и какую переменную выбрать, зависит от вас, но обычно лучше выбрать уравнение и переменную, с которыми будет легко иметь дело. Это означает, что мы должны стараться избегать дробей, если это вообще возможно.

В этом случае похоже, что будет действительно легко решить первое уравнение для \ (y \), так что давайте сделаем это.

\ [3x - 7 = y \]

Теперь подставьте это во второе уравнение.

\ [2x + 3 \ влево ({3x - 7} \ вправо) = 1 \]

Это уравнение в \ (x \), которое мы можем решить, так что давайте сделаем это.

\ [\ begin {align *} 2x + 9x - 21 & = 1 \\ 11x & = 22 \\ x & = 2 \ end {align *} \]

Итак, есть часть решения \ (x \).

Наконец, НЕ забудьте вернуться и найти часть решения \ (y \).Это одна из наиболее распространенных ошибок, которые студенты делают при решении систем. Для этого мы можем либо вставить значение \ (x \) в одно из исходных уравнений и решить для \ (y \), либо мы можем просто вставить его в нашу замену, которую мы нашли на первом шаге. Так будет легче, так что давайте.

\ [y = 3x - 7 = 3 \ left (2 \ right) - 7 = - 1 \]

Итак, решение - \ (x = 2 \) и \ (y = - 1 \), как мы отметили выше.


b \ (\ begin {align *} 5x + 4y & = 1 \\ 3x - 6y & = 2 \ end {align *} \) Показать решение

С этой системой мы не сможем полностью избежать дробей.Однако похоже, что если мы решим второе уравнение для \ (x \), мы сможем их минимизировать. Вот эта работа.

\ [\ begin {align *} 3x & = 6y + 2 \\ x & = 2y + \ frac {2} {3} \ end {align *} \]

Теперь подставьте это в первое уравнение и решите полученное уравнение относительно \ (y \).

\ [\ begin {align *} 5 \ left ({2y + \ frac {2} {3}} \ right) + 4y & = 1 \\ 10y + \ frac {{10}} {3} + 4y & = 1 \\ 14y & = 1 - \ frac {{10}} {3} = - \ frac {7} {3} \\ y & = - \ left ({\ frac {7} {3}} \ right) \ left ({\ frac {1} {{14}}} \ right) \\ y & = - \ frac {1} {6} \ end {align *} \]

Наконец, подставьте это в исходную замену, чтобы найти \ (x \).

\ [x = 2 \ left ({- \ frac {1} {6}} \ right) + \ frac {2} {3} = - \ frac {1} {3} + \ frac {2} {3} = \ frac {1} {3} \]

Итак, решение этой системы - \ (x = \ frac {1} {3} \) и \ (y = - \ frac {1} {6} \).

Как и в случае с отдельными уравнениями, мы всегда можем вернуться и проверить это решение, подключив его к обоим уравнениям и убедившись, что оно удовлетворяет обоим уравнениям. Также обратите внимание, что нам действительно нужно включить оба уравнения.Вполне возможно, что ошибка может привести к тому, что пара чисел будет удовлетворять одному из уравнений, но не другому.

Теперь перейдем к следующему методу решения систем уравнений. Как мы видели в последней части предыдущего примера, метод подстановки часто заставляет нас иметь дело с дробями, что увеличивает вероятность ошибок. У второго метода такой проблемы не будет. Что ж, это не совсем так. Если будут отображаться дроби, они будут отображаться только на последнем этапе, и они будут отображаться только в том случае, если решение содержит дроби.

Этот второй метод называется методом исключения . В этом методе мы умножаем одно или оба уравнения на соответствующие числа (, т.е. умножаем каждый член в уравнении на число), чтобы одна из переменных имела одинаковый коэффициент с противоположными знаками. Следующим шагом будет сложение двух уравнений. Поскольку одна из переменных имела одинаковый коэффициент с противоположными знаками, она будет удалена, когда мы сложим два уравнения.Результатом будет одно уравнение, которое мы можем решить для одной из переменных. Как только это будет сделано, замените этот ответ на одно из исходных уравнений.

Как и в случае с первым методом, гораздо легче увидеть, что здесь происходит, на нескольких примерах.

Пример 2 Постановка задачи.
  1. \ (\ begin {align *} 5x + 4y & = 1 \\ 3x - 6y & = 2 \ end {align *} \)
  2. \ (\ begin {align *} 2x + 4y & = - 10 \\ 6x + 3y & = 6 \ end {align *} \)
Показать все решения Скрыть все решения a \ (\ begin {align *} 5x + 4y & = 1 \\ 3x - 6y & = 2 \ end {align *} \) Показать решение

Это система из предыдущего набора примеров, которая заставила нас работать с дробями.Работа с ним здесь покажет различия между двумя методами, а также покажет, что любой метод может использоваться для получения решения для системы.

Итак, нам нужно умножить одно или оба уравнения на константы, чтобы одна из переменных имела одинаковый коэффициент с противоположными знаками. Итак, поскольку члены \ (y \) уже имеют противоположные знаки, давайте работать с этими терминами. Похоже, что если мы умножим первое уравнение на 3, а второе уравнение на 2, члены \ (y \) будут иметь коэффициенты 12 и -12, что нам и нужно для этого метода.

Вот работа для этого шага.

\ [\ begin {align *} 5x + 4y & = 1 & \ underrightarrow {\ times \, \, 3} \ hspace {0.5in} & 15x + 12y = 3 \\ 3x-6y & = 2 & \ underrightarrow {\ times \, \, 2} \ hspace {0,5 дюйма} & \ underline {\, \, 6x-12y = 4} \\ & & & 21x \ hspace {0,5 дюйма} = 7 \\ \ конец {выравнивание *} \]

Итак, как и было обещано в описании метода, у нас есть уравнение, которое можно решить относительно \ (x \).Это дает \ (x = \ frac {1} {3} \), что мы и нашли в предыдущем примере. Однако обратите внимание, что единственная дробь, с которой нам пришлось иметь дело до этого момента, - это сам ответ, который отличается от метода подстановки.

Теперь снова не забудьте найти \ (y \). В этом случае работы будет немного больше, чем метод подстановки. Чтобы найти \ (y \), нам нужно подставить значение \ (x \) в любое из исходных уравнений и решить относительно \ (y \).Поскольку \ (x \) является дробью, заметим, что в этом случае, если мы подставим это значение во второе уравнение, мы потеряем дроби, по крайней мере, временно. Обратите внимание, что часто этого не происходит, и нам придется иметь дело с дробями, хотим мы этого или нет.

\ [\ begin {align *} 3 \ left ({\ frac {1} {3}} \ right) - 6y & = 2 \\ 1 - 6y & = 2 \\ - 6y & = 1 \\ y & = - \ frac {1} {6} \ end {align *} \]

Опять же, это то же значение, которое мы нашли в предыдущем примере.


b \ (\ begin {align *} 2x + 4y & = - 10 \\ 6x + 3y & = 6 \ end {align *} \) Показать решение

В этой части все переменные положительны, поэтому нам придется принудительно установить противоположный знак, умножив где-нибудь на отрицательное число. Также заметим, что в этом случае, если мы просто умножим первое уравнение на -3, то коэффициенты при \ (x \) будут -6 и 6.

Иногда нам нужно только умножить одно из уравнений, а другое можно оставить в покое.Вот эта работа по этой части.

\ [\ begin {align *} 2x + 4y & = -10 & \ underrightarrow {\ times \, \, - 3} \ hspace {0,5 дюйма} & -6x-12y = 30 \\ 6x + 3y & = 6 & \ underrightarrow {\ text {same}} \ hspace {0,5 дюйма} & \ underline {\ hspace {0,35 дюйма} 6x + 3y = 6} \\ & & & \ hspace {0,5 дюйма} -9y = 36 \\ & & & \ hspace {0,85 дюйма} y = -4 \\ \ конец {выравнивание *} \]

Наконец, подставьте это в любое из уравнений и решите относительно \ (x \).На этот раз мы воспользуемся первым уравнением.

\ [\ begin {align *} 2x + 4 \ left ({- 4} \ right) & = - 10 \\ 2x - 16 & = - 10 \\ 2x & = 6 \\ x & = 3 \ end {align *} \]

Итак, решение этой системы - \ (x = 3 \) и \ (y = - 4 \).

Существует третий метод, который мы рассмотрим для решения систем из двух уравнений, но он немного сложнее и, вероятно, более полезен для систем как минимум с тремя уравнениями, поэтому мы рассмотрим его в следующем разделе.

Прежде чем покинуть этот раздел, мы должны рассмотреть несколько частных случаев решения систем.

Пример 3 Решите следующие системы уравнений. \ [\ begin {align *} x - y & = 6 \\ - 2x + 2y & = 1 \ end {align *} \] Показать решение

Здесь мы можем использовать любой метод, но похоже, что замена, вероятно, будет немного проще. Мы решим первое уравнение относительно \ (x \) и подставим его во второе уравнение.

\ [\ begin {align *} x & = 6 + y \\ & \\ - 2 \ left ({6 + y} \ right) + 2y & = 1 \\ - 12 - 2y + 2y & = 1 \\ - 12 & = 1 \, \, \, ?? \ end {align *} \]

Итак, это явно неправда, и, похоже, нигде в нашей работе нет ошибки. Так в чем проблема? Чтобы увидеть, давайте изобразим эти две линии и посмотрим, что мы получим.

Похоже, что эти две линии параллельны (можете ли вы проверить это с помощью наклона?), И мы знаем, что две параллельные линии с разными пересечениями \ (y \) (что важно) никогда не пересекутся.

Как мы видели в начале обсуждения этого раздела, решения представляют собой точку пересечения двух линий. Если две линии не пересекаются, у нас не будет решения.

Итак, когда мы получаем такой бессмысленный ответ в результате нашей работы, у нас есть две параллельные линии, и не существует решения этой системы уравнений.

Система в предыдущем примере называется несогласованная .Также обратите внимание, что если бы мы использовали исключение в этой системе, мы бы получили аналогичный бессмысленный ответ.

Пример 4 Решите следующую систему уравнений. \ [\ begin {align *} 2x + 5y & = - 1 \\ - 10x - 25y & = 5 \ end {align *} \] Показать решение

В этом примере кажется, что устранение было бы самым простым методом.

\ [\ begin {align *} 2x + 5y & = -1 & \ underrightarrow {\ times \, \, 5} \ hspace {0.5in} & \, \, \, \, 10x + 25y = -5 \\ -10x-25y & = 5 & \ underrightarrow {\ text {same}} \ hspace {0,5 дюйма} & \ underline {-10x-25y = 5} \\ & & & \ hspace {0.9in} 0 = 0 \\ \ конец {выравнивание *} \]

На первый взгляд может показаться, что это та же проблема, что и в предыдущем примере. Однако в этом случае мы пришли к равенству, которое просто не соответствовало действительности. В этом случае мы имеем 0 = 0, и это истинное равенство, и в этом смысле в этом нет ничего плохого.

Однако это явно не тот ответ, который мы ожидали здесь, и поэтому нам нужно определить, что именно происходит.

Мы предоставим вам проверить это, но если вы найдете наклон и \ (y \) - точки пересечения для этих двух линий, вы обнаружите, что обе линии имеют точно такой же наклон, и обе линии имеют одинаковые \ ( y \) - перехват. Итак, что это значит для нас? Хорошо, если две линии имеют одинаковый наклон и одинаковые \ (y \) - точки пересечения, тогда графики этих двух линий являются одним и тем же графиком.Другими словами, графики этих двух линий - это один и тот же график. В этих случаях любой набор точек, удовлетворяющий одному из уравнений, также будет удовлетворять другому уравнению.

Также напомним, что график уравнения - это не что иное, как набор всех точек, удовлетворяющих уравнению. Другими словами, существует бесконечный набор точек, которые будут удовлетворять этой системе уравнений.

В этих случаях мы действительно хотим записать что-нибудь для решения.Итак, что мы сделаем, так это решим одно из уравнений для одной из переменных (неважно, что вы выберете). Решим первую относительно \ (y \).

\ [\ begin {align *} 2x + 5y & = - 1 \\ 5y & = - 2x - 1 \\ y & = - \ frac {2} {5} x - \ frac {1} {5} \ end {выровнять*}\]

Затем для любого \ (x \) мы можем найти \ (y \), и эти два числа образуют решение системы уравнений. Обычно мы обозначаем это, записывая решение следующим образом:

\ [\ begin {array} {* {20} {c}} \ begin {align} x & = t \\ y & = - \ frac {2} {5} t - \ frac {1} {5} \ конец {выровнен} & {\ hspace {0.25in} {\ mbox {где}} \, t {\ mbox {- любое действительное число}}} \ end {array} \]

Чтобы показать, что они дают решения, давайте рассмотрим несколько значений \ (t \).

\ (t = 0 \)

\ [x = 0 \ hspace {0,25 дюйма} y = - \ frac {1} {5} \]

Чтобы показать, что это решение, нам нужно вставить его в оба уравнения системы.

\ [\ begin {align *} 2 \ left (0 \ right) + 5 \ left ({- \ frac {1} {5}} \ right) & \ mathop = \ limits ^? - 1 & \ hspace {0.? 5 \\ - 1 & = - 1 & \ hspace {0,25 дюйма} 5 & = 5 \ end {align *} \]

Итак, \ (x = 0 \) и \ (y = - \ frac {1} {5} \) является решением системы. Давай быстро сделаем еще один.

\ (t = - 3 \)

\ [x = - 3 \ hspace {0,25 дюйма} y = - \ frac {2} {5} \ left ({- 3} \ right) - \ frac {1} {5} = \ frac {6} {5 } - \ frac {1} {5} = 1 \]

И снова нам нужно вставить его в оба уравнения системы, чтобы показать, что это решение.? 5 \\ - 1 & = - 1 & \ hspace {0,25 дюйма} 5 & = 5 \ end {align *} \]

Конечно, \ (x = - 3 \) и \ (y = 1 \) - это решение.

Итак, поскольку существует бесконечное количество возможных \ (t \) ', должно быть бесконечное количество решений для этой системы, и они даются как,

\ [\ begin {array} {* {20} {c}} \ begin {align} x & = t \\ y & = - \ frac {2} {5} t - \ frac {1} {5} \ конец {выровнен} & {\ hspace {0.25in} {\ mbox {где}} \, t {\ mbox {- любое действительное число}}} \ end {array} \] Системы

, такие как системы в предыдущих примерах, называются зависимыми .

Теперь мы увидели все три возможности решения системы уравнений. Система уравнений не будет иметь решения, ровно одно решение или бесконечно много решений.

Решение систем уравнений с помощью графических листов

Рабочие листы на этой странице содержат четыре координатных плоскости и системные уравнения в форме пересечения наклона, которые учащиеся должны решить в виде графика, и включают ключ ответа, показывающий правильный график.

Графические системы уравнений


Что такое системы уравнений?

Два или более связанных линейных уравнения называются системой уравнений . Построение графиков систем уравнений включает построение графиков каждого отдельного линейного уравнения в системе. Места пересечения линий представляют собой решения, в которых два или более линейных уравнения имеют общее решение, и эта точка рассматривается как решение всей системы.

Вы можете решить систему уравнений, построив графики линий и посмотрев, где они пересекаются.Это называется «решение с помощью построения графиков» и является допустимым подходом для линейных уравнений с относительно простыми значениями наклона и точки пересечения по оси Y. Таблицы графических систем уравнений на этой странице соответствуют этим критериям и являются хорошей практикой для построения визуальной интуиции процесса решения.

На практике линейные уравнения в системе более сложны, и попытки определить точное решение с помощью построения графиков ограничены тем, насколько легко читаемы на каждой оси. Как правило, эти решения следует рассматривать как приближенные, за исключением случаев, когда наклоны и пересечения в уравнениях представляют собой малые целые числа и решение, очевидно, является правильным для обоих уравнений.Даже в этом случае ручная проверка решения алгебраически все еще является надежной проверкой.

На практике чаще всего решают системы уравнений методом подстановки. Обычно ваша система уравнений будет включать два уравнения в форме пересечения наклона, причем оба уравнения представляют собой значение y, вычисляемое через x. Решение с помощью подстановки включает объединение двух уравнений в одну функцию, которая дает координату x или y. Вы можете легко сделать это, заменив сторону y в одном из уравнений выражением mx + b из другого (так, «mx + b = mx + b») и решив для x.Это даст вам значение x, которое затем можно подставить в любое из исходных уравнений для вычисления соответствующей координаты y. Результирующие значения x и y составляют координату решения обоих уравнений и, следовательно, решение объединенной системы уравнений.

Решение систем уравнений с помощью построения графиков

Вы можете решать системы уравнений с помощью построения графиков, выполнив следующие шаги:

  1. Для каждого из них выведите график линии по уравнению. Щелкните здесь, если вам нужна помощь или вы попрактикуетесь в построении графиков линейных уравнений.
  2. Если прямые не пересекаются (они параллельны), то система уравнений не имеет решения.
  3. Если линии пересекаются, найдите координаты точки пересечения линий из каждого уравнения.
  4. Точка пересечения является общим решением обоих уравнений и, следовательно, решением всей системы уравнений.

Хотя этот подход, возможно, более интуитивно понятен по сравнению с решением с помощью подстановки, он также может быть менее точным.Опять же, рекомендуется, чтобы учащиеся проверяли решения, полученные из решения уравнений системы, путем построения графиков, вставляя координату x из решения в каждое уравнение и проверяя, что вычисленное значение y из каждого уравнения в системе оказывается одинаковым.


Если вы рисуете линейные уравнения в виде графиков, рабочие листы на этой странице предоставляют отличные практические ресурсы для учащихся средней школы по алгебре. Вы также можете распечатать пустую координатную плоскость для построения графика других уравнений или попробовать поработать с калькулятором уклона, чтобы увидеть, как разные точки используются для вычисления уклона, и найти уравнения в форме пересечения уклона.

Рабочий лист для решения двухшаговых уравнений, ключ для ответов 8-й класс

12 ноября, 2016 · Скорость изменения практических задач - девять практических задач (включая график для интерпретации), за которыми следует клавиша ответа Save Our Dumb Planet - [игра с линейным уравнением] Выведите правильные уравнения траектории полета, а затем нанесите точные координаты, чтобы ваши ракеты поразили свои цели и уничтожили метеоры, летящие на встречный курс с ...

Две трети числа плюс десять составляют одну треть числа минус 4 ._____ 19. Когда девять вычитается из трехкратной противоположности числа и шести, получается 30. _____ 20. Четыре меньше, чем удвоенная сумма числа, а 10 - это два больше, чем разница между числом и восьмеркой. _____

8-й класс по математике - понимание систем линейных уравнений и функций для описания взаимосвязей. Решите расстояние, подобие, конгруэнтность и теорему Пифагора фигур.

Решение уравнений Алгебраические выражения Дополнительные уроки алгебры. На следующем рисунке показано, как решать двухэтапные уравнения.Прокрутите страницу вниз, чтобы увидеть больше примеров и решений. Чтобы решить двухэтапные уравнения, нам нужно работать в обратном порядке в отношении порядка операций.

Избавьтесь от социальных и культурных нарративов, сдерживающих вас, и позвольте пошаговым учебникам GO Math: 8-го класса для средней школы переориентировать ваши старые парадигмы. СЕЙЧАС самое время сделать сегодняшний день первым днем ​​вашей оставшейся жизни. Разблокируйте свой GO Math: PDF-файл для 8-го класса средней школы (глубокое динамическое выполнение) сегодня.

Рабочие листы с двухшаговыми уравнениями.Предоставьте учащимся 6 класса и выше наш набор бесплатных рабочих листов, чтобы они могли научиться решать и проверять двухэтапные уравнения с целыми, десятичными и дробями.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *