cart-icon Товаров: 0 Сумма: 0 руб.
г. Нижний Тагил
ул. Карла Маркса, 44
8 (902) 500-55-04

Презентация основное свойство дроби сокращение дробей 6 класс: сокращение дробей презентация | Презентация к уроку по математике (6 класс) на тему:

Содержание

Презентация "Сокращение дробей" - математика, презентации

библиотека
материалов

Содержание слайдов

Номер слайда 1

Первый урок по теме «Основное свойство дроби»Презентацию подготовила учитель математики МБОУ Жирятинская СОШ им. А. Ф. Возликова Григорьева Л. И.

Номер слайда 2

Основное свойство дробислова помощники Повторять Делать открытия и изучать новое Решать

Номер слайда 3

В пакете имеется некоторое количество конфет. Вам предлагают взять из пакета или 12/20 или 3/5 конфет, чтобы угостить своих друзей. Что вы выберете? Почему?Задача

Номер слайда 4

Исследуем

Номер слайда 5

Исследуем

Номер слайда 6

=Исследуем

Номер слайда 7

Основное свойство дроби. Сокращение дроби. Приведение дроби к нужному знаменателюstyle.colorfillcolorfill.typestyle.colorfillcolorfill.type

Номер слайда 8

Из истории. Фрактура – это слово означает дробь. Русский термин дробь, как и его аналоги в других языках, происходит от лат. fractura, который, в свою очередь, является переводом арабского термина с тем же значением: ломать, раздроблять.

Номер слайда 9

Номер слайда 10

=

Номер слайда 11

=

Номер слайда 12

Номер слайда 13

=

Номер слайда 14

Основное свойство дроби=:5:5=????

Номер слайда 15

Основное свойство дроби=:2:2=????

Номер слайда 16

Основное свойство дроби. Сокращение дроби. Приведение дроби к нужному знаменателюstyle.colorr

Номер слайда 17

=:n:n??Сокращение дроби. Говорят, что дробь сократили на nstyle.colorfillcolorfill.type

Номер слайда 18

=Сокращение дроби=Если числитель и знаменатель дроби разделили на одно и то же , не равное нулю число n, то говорят, что дробь сократили на n. style.colorfillcolorfill.type

Номер слайда 19

=========Подробная запись. Краткая записьstyle.colorfillcolorfill.typestyle.colorfillcolorfill.type

Номер слайда 20

Основное свойство дроби. Сокращение дроби. Приведение дроби к нужному знаменателюstyle.colorfillcolorfill.typer

Номер слайда 21

=Приведение дроби к нужному знаменателю. Если числитель и знаменатель дроби умножили на одно и то же , не равное нулю число n, то говорят, что дробь привели к знаменателю k.=Число n называется дополнительным множителем.style.colorfillcolorfill.typestyle.colorfillcolorfill.type

Номер слайда 22

2======362===36 Подробная запись. Краткая записьstyle.colorfillcolorfill.typestyle.colorfillcolorfill.type

Номер слайда 23

Спасибо за внимание.

Сокращение дробей - презентация по математике 6 класс

Слайд №2
Цели:
10.05.2012
ввести понятие сокращения дробей и дать определение несократимой дроби;
учить сокращать дроби, используя признаки делимости чисел и основное свойство дроби
2
www.konspekturoka.ru
Слайд №3
На основании чего мы можем умножать числитель и знаменатель дроби?
На основании основного свойства дроби мы можем умножать числитель и знаменатель дроби
Вспомним!
10.05.2012
3
www.konspekturoka.ru
Слайд №4
На какие числа можно разделить числитель и знаменатель дроби?
На 2, 3, 4, 6, 12.
Если разделить числитель и знаменатель дроби на наибольший общий делитель, на 12. Какая дробь получится?
=
=
=
— такое преобразование называется сокращением дроби.
Определение.
Деление числителя и знаменателя на их общий делитель, отличный от единицы, называют сокращением дроби.
При сокращении дроби ее числовое значение не меняетеизменилась только ее запись.
Изучение нового материала
10.05.2012
4
www.konspekturoka.ru
Слайд №5
Что можно сказать о числах 2 и 3?
Если дробь больше сократить нельзя, то ее называют несократимой
Они взаимно простые.
Определение.
Дробь, числитель и знаменатель которой взаимно простые числа, называется несократимой.
10.05.2012
5
www.konspekturoka.ru
Слайд №6
Способы сокращения дробей:
1. Сократить числитель и знаменатель на их НОД.
=
=
2. Последовательно сокращать на общие делители.
=
=
=
=
3. Разложить числитель и знаменатель на множители, а потом сократить.
=
=
1
1
1
1
1
1
10.05.2012
6
www.konspekturoka.ru
Слайд №7
Назвать несократимую дробь.
Почему эти дроби являются несократимыми?
10.05.2012
7
www.konspekturoka.ru
Слайд №8
10.05.2012
www.konspekturoka.ru
8
Назовите наибольший делитель числителя и знаменателя.
Разделите числитель и знаменатель данной дроби на их общий делитель.
Как называется получившаяся дробь?
=
=
=
=
наибольший делитель
числителя и знаменателя — 2
наибольший делитель
числителя и знаменателя — 3
наибольший делитель
числителя и знаменателя -70а
наибольший делитель
числителя и знаменателя – 7п
Слайд №9
Какую часть часа составляют
45 мин, 12 мин, 15 мин, 40 мин, 35 мин?
10.05.2012
9
www.konspekturoka.ru
Слайд №10
Сократите дробь:
Общий делитель 3с.
=
=
=
Числитель и знаменатель дроби представим в виде множителей:
=
Назовите общий делитель числителя и знаменателя:
=
Общий делитель 25b.
=
Общий делитель 3bc.
10.05.2012
10
www.konspekturoka.ru
Слайд №11
10.05.2012
www.konspekturoka.ru
11
Сократите дроби:
Слайд №12
Найдите среди чисел 1, 3, 10, 12, 13, 15, 16, 39 пары взаимно простых чисел.
1 и 3;
1 и 10;
1 и 12;
1 и 13;
1 и 15;
1 и 16;
1 и 39;
3 и 10;
3 и 13;
3 и 16;
10 и 13;
10 и 39;
12 и 13;
13 и 15;
13 и 16;
15 и 16;
16 и 39.
10.05.2012
12
www.konspekturoka.ru
Слайд №13
Представить в виде обыкновенной
несократимой дроби:
0,2 =
0,8 =
0,5 =
0,15 =
0,24 =
0,35 =
0,75 =
0,05 =
0,125 =
0,025 =
0,008 =
0,375 =
10.05.2012
13
www.konspekturoka.ru
Слайд №14
10.05.2012
www.konspekturoka.ru
14
Сократите дроби:
=
=
=
=
=
6
=
=
1
Слайд №15
10.05.2012
www.konspekturoka.ru
15
Сократите дроби:
2
=
=
=
=
=
=
=
=
=
2
Слайд №16
Сократите дроби:
3
=
=
=
=
=
=
10.05.2012
16
www.konspekturoka.ru
Слайд №17
Сократите дроби:
=
4
=
=
=
=
=
=
=
10.05.2012
17
www.konspekturoka.ru
Слайд №18
Какую часть килограмма составляют
125 г, 250 г, 750 г?
Сколько граммов в 1 кг?
125 г =
250 г =
750 г =
10.05.2012
18
www.konspekturoka.ru
Слайд №19
Ответить на вопросы:
10.05.2012
19
www.konspekturoka.ru
Что значит сократить дробь?

Что меняется при сокращении дробей?

В каком случае дробь будет несократимой?
Какую дробь называют несократимой?

Приведите примеры несократимой дроби.

На каком свойстве основано сокращение дробей?

Основное свойство дроби - презентация по математике 6 класс

Слайды и текст этой презентации

Слайд №1
Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями.
6 классматематика
Урок №21-22
Основное свойство дроби

10.05.2012
1
www.konspekturoka.ru

Слайд №2
Цели:
10.05.2012
ввести понятие основного свойства дроби;
учить применять основное свойство дроби;
формировать навык нахождения наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного чисел.
2
www.konspekturoka.ru
Слайд №3
Назовите числитель и знаменатель каждой дроби.
Что показывает знаменатель дроби?
Что показывает числитель дроби?
На какие группы можно разделить данные числа?
Дробные — обыкновенные и десятичные дроби; натуральные числа, число нуль.
Вспомним!
10.05.2012
3
www.konspekturoka.ru
Слайд №4
Найдите наибольший общий делитель числителя и знаменателя дробей.
Когда и как возникли дроби?
У людей с древних времен появилась необходимость измерять время, расстояния, площади, углы и другие величины. Потребность в более точном измерении привела к тому, что используемые единицы измерения стали делить на части.А это привело к появлению дробей.
Историческая минутка.
10.05.2012
4
www.konspekturoka.ru
Слайд №5
От первого пирога отрезали 3/6 части,
от второго – 4/8,
от третьего – 2/4.
Что вы можете сказать об этих дробях?
Пример
10.05.2012
5
www.konspekturoka.ru
Вспомним!
Равные дроби — различные обозначения одного и того же числа.
Слайд №6
Равные дроби — различные обозначения одного и того же числа.
Изучение нового материала
10.05.2012
6
www.konspekturoka.ru
Слайд №7
Основное свойство дроби:
Две равные дроби являются различными записями одного и того же числа.
10.05.2012
7
Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то получится равная ей дробь.
www.konspekturoka.ru
Слайд №8
Практическая работа.
10.05.2012
8
www.konspekturoka.ru
Слайд №9
Они равные, потому, что использовали основное свойство дроби. Умножали числитель и знаменатель дроби на одно и то же число.
Что можно сказать об этих дробях и почему?
10.05.2012
9
www.konspekturoka.ru
Слайд №10
10.05.2012
www.konspekturoka.ru
10
Равные дроби изображаются равными отрезками.
Что можно сказать об цветных частях данных отрезков?
Выделенные части отрезков AB, CD равны
Слайд №11
10.05.2012
www.konspekturoka.ru
11
Разделите числитель и знаменатель каждой из дробей на 9.
Слайд №12
10.05.2012
12
www.konspekturoka.ru
Умножить числитель и знаменатель каждой из дробей на одно и тоже число.
Слайд №13
НОД (2450;3500) = 2?5?5?7 = 350
НОК (2450;3500) = 2?5?2?5?5?7?7 = 3500?7=24500
НОД (792;2178) = 2?3?3?11 = 198
НОК (792;2178) = 2178?2?2 = 8712
НОД (2450;3500) = ?
НОК (2450;3500) = ?
НОД (792;2178) = ?
НОК (792;2178) = ?
10.05.2012
13
www.konspekturoka.ru
Слайд №14
Ответить на вопросы:
10.05.2012
14
www.konspekturoka.ru
Оцените статью: Поделитесь с друзьями!

Презентация по теме "Основное свойство дроби" 6 класс

Основное свойство дроби

6 класс

Ответьте на вопрос

1. Какую часть часа составляет 1 минута? 2. Какую часть урока составляют 13 минут?

3. Какую часть метра составляет 1 см?

Решите задачи

  • В классе 25 человек. 2/5 занимаются в ансамбле «Весёлая семейка». Сколько человек в классе занимаются в ансамбле?
  • В магазин привезли яблоки. В первый день продали 200 кг яблок, что составляет 1/6 часть всех яблок, привезённых в магазин. Сколько кг яблок привезли в магазин?

Решите задачи

  • Туристы прошли 63км. В первый день они прошли 1/3 пути, во второй 3/7 остатка, а остальной путь прошли за 3 день. Сколько км прошли туристы за 3 день?
  • В книге одна из сказок занимает 1/8 объёма всей книги. Сколько страниц занимает эта сказка, если в книге 80 страниц?

Какая часть круга закрашена?

Основное свойство дроби:

  • Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же число, отличное от нуля, то получится дробь, равная данной.

Запишите, какая часть фигуры закрашена красным, какая желтым и какая зеленым цветом. Постарайтесь найти разные способы.

б)

а)

в)

г)

красный

красный

красный

красный

1

=

=

=

=

ПРОВЕРЬТЕ СЕБЯ!

желтый

желтый

=

=

зеленый

зеленый

=

=

Основное свойство дроби на математическом языке:

С помощью основного свойства дроби, можно дроби сокращать

  • Сократить дробь:

Что значит сократить дробь?

Это значит разделить и числитель и знаменатель на одно и тоже число, получить несократимую дробь.

Умножьте числитель и знаменатель дроби на 3 и запишите полученные равенства:

Выполните сокращение дробей:

Работа по учебнику

Домашнее задание:

  • Параграф 7 читать, основное свойство дроби учить
  • 188
  • 190

Основное свойство дроби. 5–6-й класс

Одна из основных тем в курсе математики 5 или 6 классов – это «Обыкновенные дроби». Уметь правильно выполнять действия с обыкновенными дробями, решать задачи на части важно для каждого ученика.

Изучение обыкновенных дробей начинается с темы «Делимость натуральных чисел», где учащиеся раскладывают числа на простые множители, находят НОД и НОК нескольких натуральных чисел. Но часто они не улавливают связи между делимостью натуральных чисел и обыкновенными дробями.

Цель этой презентации не только ввести основное свойство дроби, научить учащихся применять это свойство на практике (сокращать дроби и приводить их к другому знаменателю), но и показать связь между сокращением дробей и НОД числителя и знаменателя дроби, между приведением дробей к другому знаменателю и НОК числителя и знаменателя.

Я показала первую часть этой презентации (слайды 1 – 8) после того как пятиклассники после ряда упражнений поняли, что одно и то же число может быть записано разными дробями и что для этого необходимо сделать. Сами попробовали сформулировать правило, которое мы назвали «Основное свойство дроби». Таким образом, к показу презентации учащиеся были знакомы с несколькими способами записи одного и того же числа, могли сами предложить ряд таких дробей.

Слайд 2. Еще раз мы повторяем формулировку основного свойства дроби.

Слайд 3. Обсуждаем и закрепляем на примерах.

Слайд 4. Сколько двенадцатых долей содержится в дробях? Используем основное свойство на практике.

Слайд 5. Еще раз на примерах проверяем правильность формулировки основного свойства дроби.

Слайд 6. Какое натуральное число надо записать вместо буквы, чтобы было

верным равенство? На более сложных примерах закрепляем правило.

Слайд 7. Деление числителя и знаменателя дроби на одно и то же, не равное нулю,

число, называется сокращением дробей.

Сокращение дробей с помощью НОД числителя и знаменателя дроби.

Здесь же можно подчеркнуть, что если числитель и знаменатель дроби взаимно простые числа (т. е. НОД числителя и знаменателя равен 1), то дробь является несократимой.

Слайд 8. Используя пример слайда 7, предлагается выполнить более сложные задания.

Слайды 9-11 (Приведение дробей к другому знаменателю) я демонстрировала так же после того, как учащиеся узнали, как приводить дроби к другому знаменателю. Здесь пятиклассники уже самостоятельно сделали вывод, что дроби можно приводить только к тем знаменателям, которые кратны данным.

Слайд 9 подтверждает выводы учащихся. Мы внимательно рассмотрели его и без труда выполнили задание, которое предлагается в слайде 10.

Упражнения слайда 11 можно использовать на заключительных уроках по теме «Основное свойство дроби».

Слайд 12. Обобщение всей темы. Запись основного свойства дроби с помощью букв.

Таким образом я предлагаю использовать данную презентацию при изучении одной из важных тем математики.

Урок- презентация «Основное свойство дроби», ФГОС

Тема урока: Основное свойство дроби

Цели урока:

Познакомить учащихся с основным свойством дроби, показать его применение для сокращения дробей;

Воспитывать позитивное отношение к учёбе, нравственные качества личности: милосердие, сострадание;

Развивать умение видеть проблему, намечать пути решения, сравнивать, анализировать, обобщать, делать выводы.

Ход урока

1.Организационный момент: 2 минуты

Как зритель, не видевший первого акта 
В догадках теряются дети, 
И всё же они ухитряются как-то
Понять, что творится на свете.

Откройте, пожалуйста, тетради, запишите сегодняшнее число, классная работа.

В некотором царстве, в некотором государстве жил – был царь, и было у него три сына. Вот как – то созвал он своих сыновей и говорит: “ Сыночки вы мои милые, видно пришло мне время уходить на покой. Собрал я вас, чтобы разделить между вами наследство, наше царство – государство. Да вот беда – учёные – то наши видно что – то напутали. Тебе – старший мой сын отписано  нашего государства, тебе – средний мой сын - , а тебе – младшенький мой - ”. Возмутился младший сын: “За что меня – то обделили?” И рассорились братья меж собой. А царь издал указ “Кто сумеет ошибку найти и сынов моих помирить, того ждёт царская награда!!!” А чтобы ошибку найти, надо, сначала, испытания пройти.

Если мы с вами, ребята, выдержим эти испытания с честью и достоинством, то сможем царю помочь и сыновей его помирить.

2. Актуализация опорных знаний.

Итак, испытание первое.

Давайте вспомним, из каких составных частей состоит дробь? (Числителя и знаменателя)

Что записывается под чертой дроби? (знаменатель)

Что он показывает? (на сколько частей разделили целое)

Что записывается над чертой дроби? (числитель)

Что он показывает? (сколько таких частей взяли)

Как сравнить дроби с одинаковыми знаменателями? (из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та дробь, числитель которой больше)

    Молодцы, ребята, первое испытание мы с вами прошли. Переходим ко второму.

    3. Изучение нового материала.

    У вас на столах лежат круги, поделённые на равные части. От жёлтого круга отделите, пожалуйста,  и положите перед собой на край парты. От оранжевого круга отделите, пожалуйста,  части, а от зелёного круга,  части. Что вы заметили? (делили на разные части, а отложили одинаковую часть круга - половину, которую, кстати сказать можно записать как )

    Значит, одну и ту же часть можно записать по – разному. Давайте внимательно посмотрим на эти дроби. Как можно из одной дроби получить другую, например, как из  получить  ? или как из  получить  ?

    Делаем вывод, формулируем правило: при умножении и делении числителя и знаменателя дроби на одно и то же число (кроме 0) её величина не изменится.

    Ребята, свойство, которое мы с вами сейчас сформулировали очень важное и называется оно основным свойством дроби.

    Это и есть тема сегодняшнего нашего урока. Откройте, пожалуйста, тетради, запишите сегодняшнее число, классная работа, тема урока

    “Основное свойство дроби”.

    Запишите, пожалуйста, со слайда правило и формулы.

    На слайде 

    Молодцы, ребята, с честью выдержали и второе испытание.

    А теперь, давайте немножко отдохнём, нам надо набраться сил перед следующим испытанием. Встали.

    Физминутка:

    Раз – подняться на носки и улыбнуться,
    Два – согнуться, разогнуться, 
    Три – в ладоши три хлопка, головою три кивка,
    На четыре – руки шире, 
    Пять – руками помахать,
    Шесть - за парту тихо сесть.

    4. Первичное осмысление и закрепление связей и отношений в объектах изучения. (отработка ЗУН)

    Переходим к следующему испытанию. (устная работа)

    Внимание на экран:

    Представьте следующие дроби:  в виде дроби со знаменателем 12.

    Представьте следующие дроби: в виде дроби со знаменателем 3.

    Письменно: замените дроби  равными им дробями с меньшими знаменателями. (у доски – один ребёнок)

      Ребята, преобразование, которое мы с вами только что выполняли, называется сокращением дробей.

      5. Применение ЗУН в изменённых условиях.

      Ну а теперь самое сложное задание:

      Расставить следующие дроби в порядке возрастания: .

      Сейчас, ребята, мы с вами выполняли задание, подобное тому, что будет у вас на экзамене в 9 классе. Так что, сегодня, придя домой вы можете похвастаться родителям, что решали задание из ГИА.

      Молодцы, ребята, вы с честью прошли все испытания, а теперь давайте попробуем помочь царю исправить ошибку, которую допустили учёные и помирить его сыновей.

      (возвращаемся к слайду с задачей)

      Кто догадался, в чём ошибка. (дети высказывают гипотезу)

      Проверим! (решаем проблему)

      6. Закрепление нового материала:8 минут

      А теперь для закрепления новых знаний давайте обратимся к материалу учебника.

      На странице 142 выполним №491(а,б), №492, №493(а),З-№ 277(а), №278 (в,г), №280(а,б)


       

      7. Подведение итогов урока, рефлексия, постановка домашнего задания.

      Отлично, ребята. Вы царю помогли, и вот вам обещанная награда, царь каждого из вас жалует золотой медалью. А пока я буду вручать вам медали, не забываем, что мы с вами всё-таки на уроке, запишите, пожалуйста домашнее задание.

      8. Домашнее задание.

      Стр.140-141. правило.

      № 491 (в,г)

      № 493(б), № 494

      Все, кто работал сегодня на уроке получают “5”.

      Урок окончен, до свидания!

      Приложение 2. «Лист самооценки».


       

      Конспект урока по Алгебре Основное свойство дроби. Сокращение дробей 8 класс

      Глава: «Рациональные дроби».
      8 класс.
      Тема урока: «Основное свойство дроби. Сокращение дробей».
      Цели урока:
      Обучающие:
      ввести понятия: основного свойства дроби и «тождества»;
      научить учащихся применять основное свойство дроби при сокращении дробей;
      показать применение основного свойства дроби при сокращении дробей;
      показать использование основного свойства дроби для приведения дроби к указанному знаменателю;
      совершенствовать вычислительные навыки.
      Развивающие:
      развивать математическую речь, способствовать формированию логического мышления учащихся.
      Воспитательные:
      воспитывать творческую активность, культуру общения, интерес к предмету.
      Тип урока: изучение нового материала.
      Оборудование урока:
      компьютер, проектор, экран;
      компьютерная презентация;
      индивидуальные и практические задания.
      Используемые ресурсы
      Ю.Н.Макарычев, Н.Г. Миндюк и др. Алгебра 8 класс: учебник для общеобразователь-ных учреждений. М.Просвещение 2010 г.
      ЭОР - «Алгебра», 8 класс, Макарычев Ю.Н., HYPERLINK "http://school-collection.edu.ru/catalog/rubr/253f44a5-bb2a-4221-ae16-5b990bb69526/112601/?interface=pupil&class=50&subject=17"МиндюкHYPERLINK "http://school-collection.edu.ru/catalog/rubr/253f44a5-bb2a-4221-ae16-5b990bb69526/112601/?interface=pupil&class=50&subject=17" Н.Г. и др. Единая коллекция ЦОР
      Ход урока.
      Организация начала урока
      Актуализация опорных знаний
      Повторить основное свойство обыкновенных дробей, правило сокращения дробей: презентация слайд 2 и 3.
      3. Изучение нового материала.
      Используя презентацию слайд 4 и 5 ввести понятие алгебраических дробей, допустимых значений слайд 6 и 7.
      Ввести понятия: основного свойства дроби и « тождества», используя коллекцию Введение понятий: основного свойства дроби и «тождества» (Теория, пункты 1,2) или презентацию слайды 8 и 9 (на слайде 9 показано примеры применения свойства к алгебраическим дробям).
      4. Закрепление изученного материала.
      а) Отработка понятия основного свойства дроби (Практика, пункт 3) или презентация слайд 10 и 11.
      Сократить дробь и найди соответствующий ответ, задание на сопоставление ответов.
      б) Выполнение HYPERLINK "http://school-collection.edu.ru/catalog/rubr/253f44a5-bb2a-4221-ae16-5b990bb69526/112601/?interface=pupil&class=50&subject=17"заданий на сокращение дробей (Практика, пункт 4)
      Сократить дробь.
      в) Применение основного свойства дроби при уHYPERLINK "http://school-collection.edu.ru/catalog/rubr/253f44a5-bb2a-4221-ae16-5b990bb69526/112601/?interface=pupil&class=50&subject=17"прощение выражений (Практика, пункт 5)
      5. Контроль. Обучающая самостоятельная работа
      Использование основного свойства дроби для приведения дроби к указанному знаменателю. Обучающая самостоятельная работа (Контроль, пункт 6)
      Сокращение дробей, применяя формулы сокращённого умножения. (для более сильных учащихся). Сокращение дробей (Контроль, пункт 7)
      6. Итог урока.
      Сформулируйте основное свойство дроби?
      Приведите примеры алгебраических дробей?
      Что называется тождеством?
      Какие тождественные преобразования можно выполнять, используя основное свойство дроби?
      7. Домашнее задание.
      п. 2, №24, 26.
      Памятка для учащегося. (презентация слайд 12)

      Визуализируйте дроби - Элементарная алгебра

      Цели обучения

      К концу этого раздела вы сможете:

      • Найти эквивалентные дроби
      • Упростить дроби
      • Умножение дробей
      • Разделить на дроби
      • Упростите выражения, написанные дробной чертой
      • Перевести фразы в выражения с дробями

      Более подробное введение в темы, затронутые в этом разделе, можно найти в главе Prealgebra , Fractions .

      Найти эквивалентные дроби

      Дроби - это способ представления частей целого. Дробь означает, что одно целое было разделено на 3 равные части, и каждая часть является одной из трех равных частей. См. (Рисунок). Дробь представляет собой две из трех равных частей. В дроби 2 называется числителем, а 3 - знаменателем.

      Круг слева разделен на 3 равные части. Каждая часть состоит из 3-х равных частей. В круге справа заштрихованы части круга (2 из 3-х равных частей).

      Выполнение задания по манипуляции математикой «Модели дробей» поможет вам лучше понять дроби, их числители и знаменатели.

      Дробь

      А дробь пишется где и

      • a - числитель , а b - знаменатель .

      Дробь представляет собой части целого. Знаменатель b - это количество равных частей, на которые было разделено все целое, а числитель a указывает, сколько частей включено.

      Если весь пирог был разрезан на 6 частей, и мы съели все 6 частей, мы съели кусочки или, другими словами, один целый пирог.

      Итак, это приводит нас к свойству единицы, которое говорит нам, что любое число, кроме нуля, деленное само на себя, равно 1.

      Собственность одного

      Любое число, кроме нуля, деленное само на себя, равно единице.

      Выполнение задания по манипуляции с математикой «Дроби, эквивалентные единице», поможет вам лучше понять дроби, эквивалентные единице.

      Если пирог разрезался на части и мы съели все 6, мы съели кусочки, или, другими словами, один целый пирог. Если пирог был разрезан на 8 частей, и мы съели все 8, мы съели кусочки или один целый пирог. Съели столько же - целый пирог.

      Дроби и имеют одинаковое значение - 1, поэтому они называются эквивалентными дробями. Эквивалентные дроби - это дроби с одинаковым значением.

      Давайте на этот раз подумаем о пицце. (Рисунок) показывает два изображения: одна пицца слева, разрезанная на две равные части, и вторая пицца того же размера, разрезанная на восемь частей справа.Это способ показать, что эквивалентно. Другими словами, это эквивалентные дроби.

      Поскольку одинаковое количество каждой пиццы закрашено, мы видим, что это эквивалентные дроби.

      Эквивалентные дроби

      Эквивалентные дроби - это дроби с одинаковым значением.

      Как мы можем использовать математику для преобразования в Как мы можем взять пиццу, разрезанную на 2 части, и разрезать ее на 8 частей? Мы можем разрезать каждую из 2 больших частей на 4 меньших! Тогда вся пицца будет разрезана на кусочки, а не на 2.Математически то, что мы описали, можно было бы записать следующим образом: См. (Рисунок).

      Разрезав каждую половину пиццы на кусочки, мы получим пиццу, разрезанную на 8 частей:

      Эта модель приводит к следующему свойству:

      Эквивалентные дроби Свойство

      Если это числа, то где

      Если бы мы по-другому нарезали пиццу, то получили бы

      Итак, мы говорим, что дроби эквивалентны.

      Выполнение задания по манипуляции математикой «Эквивалентные дроби» поможет вам лучше понять, что означает, когда две дроби эквивалентны.

      Найдите три дроби, эквивалентные

      Решение

      Чтобы найти дробь, эквивалентную, мы умножаем числитель и знаменатель на то же число. Мы можем выбрать любое число, кроме нуля. Умножим их на 2, 3, а затем на 5.


      Итак, эквивалентны

      Найдите три дроби, эквивалентные

      ответа могут отличаться

      Найдите три дроби, эквивалентные

      ответа могут отличаться

      Упростить дроби

      Дробь считается упрощенной , если в ее числителе и знаменателе нет общих множителей, кроме 1.

      Например,

      • упрощен, поскольку нет общих множителей 2 и 3.
      • не упрощается, потому что это общий множитель 10 и 15.

      Упрощенная дробь

      Дробь считается упрощенной, если в ее числителе и знаменателе нет общих множителей.

      Фраза уменьшить дробь означает упростить дробь. Мы упрощаем или сокращаем дробь, удаляя общие множители числителя и знаменателя.Дробь не упрощается, пока не будут удалены все общие множители. Если в выражении есть дроби, оно не будет полностью упрощено, пока дроби не будут упрощены.

      В (рисунок) мы использовали свойство эквивалентных дробей, чтобы найти эквивалентные дроби. Теперь мы воспользуемся свойством эквивалентных дробей в обратном порядке, чтобы упростить дроби. Мы можем переписать свойство, чтобы отображать обе формы вместе.

      Эквивалентные дроби Свойство

      Если есть числа, где

      Упростить:

      Упростить:

      Иногда бывает непросто найти общие множители числителя и знаменателя.Когда это происходит, хорошей идеей будет разложить числитель и знаменатель на простые числа. Затем разделите общие множители, используя свойство эквивалентных дробей.

      Как упростить дробь

      Упростить:

      Упростить:

      Упростить:

      Теперь мы суммируем шаги, которые вы должны выполнить, чтобы упростить дроби.

      Упростите дробь.

      1. Перепишите числитель и знаменатель, чтобы показать общие множители.
        Если необходимо, сначала разложите числитель и знаменатель на простые числа.
      2. Упростите использование свойства эквивалентных дробей, разделив общие множители.
      3. При необходимости умножьте оставшиеся множители.

      Упростить:

      Решение

      Перепишите общие множители, затем разделите общие множители.
      Упростить.

      Упростить:

      Упростить:

      Умножение дробей

      Многим людям проще умножать и делить дроби, чем складывать и вычитать дроби.Итак, начнем с умножения дробей.

      Выполнение упражнения по манипуляции с математикой «Модельное умножение дробей» поможет вам лучше понять умножение дробей.

      Мы будем использовать модель, чтобы показать вам, как умножить две дроби, и помочь вам запомнить процедуру. Начнем с

      Теперь возьмем

      Обратите внимание, что теперь целое разделено на 8 равных частей. Итак

      Для умножения дробей умножаем числители и знаменатели.

      Умножение дробей

      Если это числа, то где

      Чтобы умножить дроби, умножьте числители и знаменатели.

      При умножении дробей, конечно, все еще применяются свойства положительных и отрицательных чисел. В качестве первого шага рекомендуется определить знак продукта. В (Рисунок) мы умножим отрицательное и положительное, так что произведение будет отрицательным.

      Умножить:

      Решение

      Первый шаг - найти знак товара.Поскольку знаки разные, товар отрицательный.

      Определить знак товара; умножить.
      Есть ли общие множители в числителе и демонинаторе? №

      Умножить:

      Умножить:

      При умножении дроби на целое число может оказаться полезным записать целое число в виде дроби.Любое целое число, a , можно записать как So, например,

      Умножить:

      Решение

      Определите знак товара. Знаки такие же, значит, товар положительный.

      Умножить:

      Умножить:

      Разделить на дроби

      Теперь, когда мы знаем, как умножать дроби, мы почти готовы к делению. Прежде чем мы сможем это сделать, нам понадобится словарный запас.

      Обратное значение дроби находится путем инвертирования дроби, помещения числителя в знаменатель и знаменателя в числитель.Обратное значение равно

      .

      Обратите внимание, что число A и его обратная величина умножаются на 1.

      Чтобы получить произведение положительной единицы при умножении двух чисел, числа должны иметь одинаковый знак. Значит, у взаимных знаков должен быть один и тот же знак.

      Обратное значение с

      Взаимный

      , обратное от

      Число и его обратное умножение на единицу

      Выполнение задания по манипуляции с математикой «Модельное деление на дроби» поможет вам лучше понять деление дробей.

      Чтобы разделить дроби, мы умножаем первую дробь на величину, обратную второй.

      Фракционное подразделение

      Если это числа, то где

      Чтобы разделить дроби, мы умножаем первую дробь на величину, обратную второй.

      Нам нужно сказать, чтобы убедиться, что мы не делим на ноль!

      Разделить:

      Решение

      Чтобы разделить, умножьте первую дробь на обратную величину второй.
      Умножить.

      Разделить:

      Разделить:

      Найдите частное:

      Найдите частное:

      Найдите частное:

      Есть несколько способов запомнить, какие шаги нужно предпринять для умножения или деления дробей. Один из способов - повторить призыв про себя. Если вы будете делать это каждый раз при выполнении упражнения, вы запомните шаги.

      • «Чтобы умножить дроби, умножьте числители и умножьте знаменатели».
      • «Чтобы разделить дроби, умножьте первую дробь на величину, обратную второй».

      Другой способ - запомнить два примера:

      Числители или знаменатели некоторых дробей сами содержат дроби. Дробь, в которой числитель или знаменатель является дробью, называется комплексной дробью .

      Комплексная фракция

      Комплексная дробь - это дробь, в числителе или знаменателе которой содержится дробь.

      Примеры сложных дробей:

      Чтобы упростить сложную дробь, мы помним, что черта дроби означает деление. Например, сложная дробь означает

      .

      Упростить:

      Упростить:

      Упростить:

      Упростить:

      Упростить:

      Упростить:

      Упростите выражения с помощью дроби

      Линия, отделяющая числитель от знаменателя дроби, называется чертой дроби.Полоса дроби действует как символ группировки. Затем порядок действий подсказывает нам упростить числитель, а затем знаменатель. Потом делим.

      Чтобы упростить выражение, сначала упростим числитель и знаменатель по отдельности. Потом делим.

      Упростите выражение с помощью дроби.

      1. Упростите выражение в числителе. Упростите выражение в знаменателе.
      2. Упростите дробь.

      Упростить:

      Упростить:

      Где идет знак минус в дроби? Обычно перед дробью стоит знак минус, но иногда вы можете увидеть дробь с отрицательным числителем, а иногда и с отрицательным знаменателем.Помните, что дроби представляют собой деление. Когда числитель и знаменатель имеют разные знаки, частное отрицательное.

      Знак минус в дроби

      Для любых положительных чисел a и b ,

      Упростить:

      Упростить:

      Практика ведет к совершенству

      Найти эквивалентные дроби

      В следующих упражнениях найдите три дроби, эквивалентные данной дроби.Покажите свою работу, используя цифры или алгебру.

      ответа могут отличаться

      ответа могут отличаться

      Упростить дроби

      Упростите следующие упражнения.

      Умножение дробей

      В следующих упражнениях умножьте.

      Разделить на дроби

      В следующих упражнениях разделите.

      Упростите следующие упражнения.

      Упростите выражения, написанные с помощью дроби

      Упростите следующие упражнения.

      Перевести фразы в выражения с дробями

      В следующих упражнениях переведите каждую английскую фразу в алгебраическое выражение.

      частное r и сумма s и 10

      частное A и разница 3 и B

      частное от разницы

      частное от суммы

      Письменные упражнения

      Рафаэль хотел заказать половину средней пиццы в ресторане. Официант сказал ему, что пиццу среднего размера можно разрезать на 6 или 8 ломтиков. Он предпочел бы 3 ломтика из 6 или 4 из 8? Рафаэль ответил, что, поскольку он не очень голоден, он предпочел бы 3 ломтика из 6.Объясните, что неверно в рассуждениях Рафаэля.

      Приведите пример из повседневной жизни, демонстрирующий, как

      Объясните, как найти величину, обратную дроби.

      Объясните, как найти обратное отрицательное число.

      Самопроверка

      ⓐ После выполнения упражнений используйте этот контрольный список, чтобы оценить свое мастерство в достижении целей этого раздела.

      ⓑ После просмотра контрольного списка, думаете ли вы, что хорошо подготовились к следующему разделу? Почему или почему нет?

      Введение в арифметические операции | Безграничная алгебра

      Основные операции

      Основными арифметическими операциями с действительными числами являются сложение, вычитание, умножение и деление.

      Цели обучения

      Вычислить сумму, разность, произведение и частное положительных целых чисел

      Ключевые выводы

      Ключевые моменты
      • Основными арифметическими операциями с действительными числами являются сложение, вычитание, умножение и деление.
      • Основными арифметическими свойствами являются коммутативные, ассоциативные и дистрибутивные свойства.
      Ключевые термины
      • ассоциативный : ссылка на математическую операцию, которая дает один и тот же результат независимо от группировки элементов.
      • коммутативный : Относится к бинарной операции, в которой изменение порядка операндов не меняет результат (например, сложение и умножение).
      • произведение : результат умножения двух величин.
      • частное : результат деления одного количества на другое.
      • сумма : результат сложения двух величин.
      • разница : результат вычитания одной величины из другой.
      Четыре арифметических операции

      Дополнение

      Сложение - это самая основная операция арифметики. В простейшей форме сложение объединяет две величины в одну, или суммы . Например, предположим, что у вас есть группа из 2 ящиков и еще одна группа из 3 ящиков. Если вы объедините обе группы вместе, у вас получится одна группа из 5 ящиков. Чтобы представить эту идею в математических терминах:

      [латекс] 2 + 3 = 5 [/ латекс]

      Вычитание

      Вычитание противоположно сложению.Вместо того, чтобы складывать количества вместе, мы удаляем одно количество из другого, чтобы найти разницу в между ними. Продолжая предыдущий пример, предположим, что вы начинаете с группы из 5 блоков. Если вы затем удалите 3 поля из этой группы, у вас останутся 2 поля. Математически:

      [латекс] 5-3 = 2 [/ латекс]

      Умножение

      Умножение также объединяет несколько величин в одну величину, называемую продуктом . Фактически, умножение можно рассматривать как объединение множества сложений.В частности, произведение [latex] x [/ latex] и [latex] y [/ latex] является результатом сложения [latex] x [/ latex] вместе [latex] y [/ latex] раз. Например, один из способов подсчета четырех групп по две коробки - сложить группы вместе:

      [латекс] 2 + 2 + 2 + 2 = 8 [/ латекс]

      Однако есть еще один способ посчитать коробки - это умножить количество:

      [латекс] 2 \ cdot 4 = 8 [/ латекс]

      Обратите внимание, что оба метода дают один и тот же результат - 8, но во многих случаях, особенно когда у вас есть большие количества или много групп, умножение может быть намного быстрее.

      Дивизия

      Деление - это величина, обратная умножению. Вместо того, чтобы умножать количества вместе, чтобы получить большее значение, вы разделяете количество на меньшее значение, называемое частным . Опять же, возвращаясь к примеру с блоком, разделение группы из 8 блоков на 4 равные группы приводит к получению 4 групп по 2 блока:

      [латекс] 8 \ div 4 = 2 [/ латекс]

      Основные арифметические свойства

      Коммутативная собственность

      Свойство коммутативности описывает уравнения, в которых порядок чисел не влияет на результат.Сложение и умножение являются коммутативными операциями:

      • [латекс] 2 + 3 = 3 + 2 = 5 [/ латекс]
      • [латекс] 5 \ cdot 2 = 2 \ cdot 5 = 10 [/ латекс]

      Однако вычитание и деление не коммутативны.

      Ассоциативная собственность

      Свойство ассоциативности описывает уравнения, в которых группировка чисел не влияет на результат. Как и в случае с коммутативностью, сложение и умножение являются ассоциативными операциями:

      • [латекс] (2 + 3) + 6 = 2 + (3 + 6) = 11 [/ латекс]
      • [латекс] (4 \ cdot 1) \ cdot 2 = 4 \ cdot (1 \ cdot 2) = 8 [/ латекс]

      Еще раз, вычитание и деление не ассоциативны.

      Распределительная собственность

      Свойство распределения можно использовать, когда сумма двух величин затем умножается на третью величину.

      • [латекс] (2 + 4) \ cdot 3 = 2 \ cdot 3 + 4 \ cdot 3 = 18 [/ латекс]

      Отрицательные числа

      Арифметические операции могут выполняться с отрицательными числами в соответствии с определенными правилами.

      Цели обучения

      Вычисление суммы, разницы, произведения и частного отрицательных целых чисел

      Ключевые выводы

      Ключевые моменты
      • Сложение двух отрицательных чисел дает отрицательный результат; сложение положительного и отрицательного числа дает число, имеющее тот же знак, что и число большей величины.
      • Вычитание положительного числа дает тот же результат, что и добавление отрицательного числа равной величины, а вычитание отрицательного числа дает тот же результат, что и добавление положительного числа.
      • Произведение одного положительного числа и одного отрицательного числа отрицательно, а произведение двух отрицательных чисел положительно.
      • Частное одного положительного числа и одного отрицательного числа отрицательно, а частное двух отрицательных чисел положительно.
      Четыре операции

      Дополнение

      Сложение двух отрицательных чисел очень похоже на сложение двух положительных чисел.Например:

      [латекс] (- 3) + (−5) = −8 [/ латекс]

      Основной принцип заключается в том, что два долга - отрицательные числа - могут быть объединены в один долг большей величины.

      При сложении положительных и отрицательных чисел другой способ записать отрицательные числа - вычесть положительные величины. Например:

      [латекс] 8 + (−3) = 8 - 3 = 5 [/ латекс]

      Здесь кредит 8 сочетается с задолженностью 3, что дает общий кредит 5.Однако, если отрицательное число имеет большую величину, результат будет отрицательным:

      .

      [латекс] (- 8) + 3 = 3 - 8 = −5 [/ латекс]

      Аналогично:

      [латекс] (- 2) + 7 = 7 - 2 = 5 [/ латекс]

      Здесь долг 2 сочетается с кредитом 7. Кредит имеет большую величину, чем долг, поэтому результат положительный. Но если кредит меньше долга, результат будет отрицательным:

      .

      [латекс] 2 + (−7) = 2 - 7 = −5 [/ латекс]

      Вычитание

      Вычитание положительных чисел друг из друга может дать отрицательный ответ.Например, вычитая 8 из 5:

      [латекс] 5-8 = −3 [/ латекс]

      Вычитание положительного числа обычно аналогично сложению отрицательного числа. То есть:

      [латекс] 5 - 8 = 5 + (−8) = −3 [/ латекс]

      и

      [латекс] (- 3) - 5 = (−3) + (−5) = −8 [/ латекс]

      Аналогично, , вычитая отрицательного числа, дает тот же результат, что и , прибавляя положительное из этого числа. Идея здесь в том, что потеря долга - это то же самое, что получить кредит.Следовательно:

      [латекс] 3 - (−5) = 3 + 5 = 8 [/ латекс]

      и

      [латекс] (- 5) - (−8) = (−5) + 8 = 3 [/ латекс]

      Умножение

      При умножении положительных и отрицательных чисел знак произведения определяется по следующим правилам:

      • Произведение двух положительных чисел положительно. Произведение одного положительного числа и одного отрицательного числа отрицательно.
      • Произведение двух отрицательных чисел положительно.

      Например:

      [латекс] (- 2) × 3 = −6 [/ латекс]

      Это просто потому, что сложение −2 три раза дает −6:

      .

      [латекс] (- 2) × 3 = (−2) + (−2) + (−2) = −6 [/ латекс]

      Однако

      [латекс] (- 2) × (−3) = 6 [/ латекс]

      Здесь снова идея заключается в том, что потеря долга - это то же самое, что получение кредита. В этом случае потерять два долга по три штуки в каждом - это то же самое, что получить кредит в шесть раз:

      [латекс] \ left (−2 \ text {долгов} \ right) \ times \ left (−3 \ text {each} \ right) = +6 \ text {кредит} [/ latex]

      Дивизия

      Знаковые правила деления такие же, как и для умножения.

      • Разделение двух положительных чисел дает положительное число.
      • Если разделить одно положительное число и одно отрицательное число, получится отрицательное число.
      • После деления двух отрицательных чисел получается положительное число.

      Если у делимого и делителя один и тот же знак, то есть результат всегда положительный. Например:

      [латекс] 8 ÷ (−2) = −4 [/ латекс]

      и

      [латекс] (- 8) ÷ 2 = −4 [/ латекс]

      но

      [латекс] (- 8) ÷ (−2) = 4 [/ латекс].

      Дополнительные соображения

      Основные свойства сложения (коммутативность, ассоциативность и дистрибутивность) также применимы к отрицательным числам. Например, следующее уравнение демонстрирует свойство распределения:

      [латекс] -3 (2 + 5) = (-3) \ cdot 2 + (-3) \ cdot 5 [/ латекс]

      Дроби

      Дробь представляет собой часть целого и состоит из целого числителя и ненулевого целого знаменателя.

      Цели обучения

      Вычислить результат операций с дробями

      Ключевые выводы

      Ключевые моменты
      • Для сложения и вычитания дробей требуется «одинаковые количества» - общий знаменатель.Чтобы сложить или вычесть дроби, содержащие различающиеся количества (например, прибавление четвертей к третям), необходимо преобразовать все суммы в одинаковые количества.
      • Умножение дробей требует умножения числителей друг на друга, а затем знаменателей друг на друга. Быстрый путь - использовать стратегию отмены, которая уменьшает числа до минимально возможных значений перед умножением.
      • При делении на дроби первое число умножается на величину, обратную второму числу.
      Ключевые термины
      • числитель : Число, которое находится над чертой дроби и представляет собой часть целого числа.
      • обратное : Дробь, перевернутая так, что числитель и знаменатель поменялись местами.
      • Знаменатель
      • : Число под чертой дроби и представляет собой целое число.
      • дробь : отношение двух чисел - числителя и знаменателя, которые обычно пишутся одно над другим и разделяются горизонтальной чертой.

      Дробь представляет собой часть целого. Обычная дробь, например [латекс] \ frac {1} {2} [/ latex], [latex] \ frac {8} {5} [/ latex] или [latex] \ frac {3} {4} [/ latex], состоит из целого числителя (верхнее число) и ненулевого целого знаменателя (нижнее число). Числитель представляет определенное количество равных частей целого, а знаменатель указывает, сколько из этих частей необходимо, чтобы составить одно целое. Пример можно увидеть на следующем рисунке, на котором торт разделен на четвертинки:

      Четверти торта: Торт с удаленной четвертью.Показаны остальные три четверти. Пунктирными линиями указано, где можно разрезать торт, чтобы разделить его на равные части. Каждая оставшаяся четверть торта обозначается дробью [латекс] \ frac {1} {4} [/ latex].

      Дополнение

      Добавление одинаковых количеств

      Первое правило сложения дробей - начать с добавления дробей, которые содержат одинаковые знаменатели, например, кратные четверти или четверти. Четверть представлена ​​дробью [латекс] \ frac {1} {4} [/ latex], где числитель 1 представляет одну четверть, а знаменатель 4 представляет количество четвертей, необходимое для создания целого , или один доллар.

      Представьте себе, что один карман содержит две четвертинки, а другой карман - три четверти. Всего пять кварталов. Поскольку четыре четверти эквивалентны одному (доллару), это можно представить следующим образом:

      [латекс] \ displaystyle \ frac {2} {4} + \ frac {3} {4} = \ frac {5} {4} = 1 \ frac {1} {4} [/ latex]

      Добавление отличных количеств

      Чтобы добавить дроби, которые содержат знаменатели в отличие от (например, четверти и трети), необходимо сначала преобразовать все суммы в одинаковые величины, что означает, что все дроби должны иметь общий знаменатель.Один простой способ найти знаменатель, который даст вам одинаковые количества, - это просто перемножить два знаменателя дробей. (Важно помнить, что каждый числитель также должен быть умножен на то же значение, на которое умножается его знаменатель, чтобы дробь представляла то же отношение.)

      Например, чтобы прибавить четверти к третям, оба типа дробей преобразуются в двенадцатые:

      [латекс] \ displaystyle \ frac {1} {3} + \ frac {1} {4} = \ frac {1 \ cdot 4} {3 \ cdot4} + \ frac {1 \ cdot3} {4 \ cdot3} = \ frac {4} {12} + \ frac {3} {12} = \ frac {7} {12} [/ latex]

      Этот метод можно алгебраически выразить следующим образом:

      [латекс] \ displaystyle \ frac {a} {b} + \ frac {c} {d} = \ frac {ad + cb} {bd} [/ latex]

      Этот метод работает всегда.Однако иногда есть более быстрый способ - использовать меньший знаменатель или наименьший общий знаменатель. Например, чтобы добавить [latex] \ frac {3} {4} [/ latex] к [latex] \ frac {5} {12} [/ latex], знаменатель 48 (произведение 4 и 12, два знаменатели), но можно использовать и меньший знаменатель 12 (наименьшее общее кратное 4 и 12).

      Сложение дробей к целым числам

      Что делать, если к целому числу прибавляется дробь? Просто начните с записи целого числа в виде дроби (напомним, что целое число имеет знаменатель [латекс] 1 [/ латекс]), а затем продолжайте описанный выше процесс сложения дробей.

      Вычитание

      Процесс вычитания дробей, по сути, такой же, как и процесс их сложения. Найдите общий знаменатель и замените каждую дробь на эквивалентную дробь, используя этот общий знаменатель. Затем вычтите числители. Например:

      [латекс] \ displaystyle \ frac {2} {3} - \ frac {1} {2} = \ frac {2 \ cdot 2} {3 \ cdot2} - \ frac {1 \ cdot3} {2 \ cdot3} = \ frac {4} {6} - \ frac {3} {6} = \ frac {1} {6} [/ latex]

      Чтобы вычесть дробь из целого числа или вычесть целое число из дроби, перепишите целое число как дробь, а затем выполните описанный выше процесс вычитания дробей.

      Умножение

      В отличие от сложения и вычитания, при умножении знаменатели не обязательно должны быть одинаковыми. Чтобы умножить дроби, просто умножьте числители друг на друга, а знаменатели друг на друга. Например:

      [латекс] \ displaystyle \ frac {2} {3} \ cdot \ frac {3} {4} = \ frac {6} {12} [/ latex]

      Если какой-либо числитель и знаменатель имеют общий множитель, дроби могут быть уменьшены до наименьшего значения до или после умножения. Например, полученная дробь может быть уменьшена до [latex] \ frac {1} {2} [/ latex], потому что числитель и знаменатель делят множитель 6.В качестве альтернативы дроби в исходном уравнении можно было бы уменьшить, как показано ниже, потому что 2 и 4 имеют общий множитель 2, а 3 и 3 имеют общий множитель 3:

      [латекс] \ displaystyle \ frac {2} {3} \ cdot \ frac {3} {4} = \ frac {1} {1} \ cdot \ frac {1} {2} = \ frac {1} { 2} [/ латекс]

      Чтобы умножить дробь на целое число, просто умножьте это число на числитель дроби:

      [латекс] \ displaystyle \ frac {3} {4} \ cdot 5 = \ frac {15} {4} [/ latex]

      Обычная ситуация, когда умножение дробей бывает полезным, - это во время приготовления.Что, если кто-то захочет «половину» рецепта печенья, для которого требуется [латекс] \ frac {1} {2} [/ latex] чашки шоколадной стружки? Чтобы найти необходимое количество шоколадной крошки, умножьте [латекс] \ frac {1} {2} \ cdot \ frac {1} {2} [/ latex]. В результате получается [латекс] \ frac {1} {4} [/ latex], поэтому правильное количество шоколадной стружки составляет [латекс] \ frac {1} {4} [/ latex] чашки.

      Дивизия

      Процесс деления числа на дробь влечет за собой умножение числа на обратную дробь.Обратная величина - это просто дробь, перевернутая так, что числитель и знаменатель меняются местами. Например:

      [латекс] \ displaystyle \ frac {1} {2} \ div \ frac {3} {4} = \ frac {1} {2} \ cdot \ frac {4} {3} = \ frac {4} { 6} = \ frac {2} {3} [/ latex]

      Чтобы разделить дробь на целое число, либо разделите числитель дроби на целое число (если оно делится просто):

      [латекс] \ displaystyle \ frac {10} {3} \ div 5 = \ frac {10 \ div 2} {3} = \ frac {2} {3} [/ latex]

      или умножьте знаменатель дроби на целое число:

      [латекс] \ displaystyle \ frac {10} {3} \ div 5 = \ displaystyle \ frac {10} {3 \ cdot5} = \ frac {10} {15} = \ frac {2} {3} [/ латекс]

      Сложные фракции

      Комплексная дробь - это дробь, в которой числитель, знаменатель или оба являются дробями, которые могут содержать переменные, константы или и то, и другое.

      Цели обучения

      Упростить сложные дроби

      Ключевые выводы

      Ключевые моменты
      • Сложные дроби включают такие числа, как [latex] \ frac {\ left (\ frac {8} {15} \ right)} {\ left (\ frac {2} {3} \ right)} [/ latex] и [латекс] \ frac {3} {1- \ frac {2} {5}} [/ latex], где числитель, знаменатель или оба включают дроби.
      • Прежде чем решать сложные рациональные выражения, полезно их максимально упростить.
      • «Метод комбинирования-деления» для упрощения сложных дробей влечет за собой (1) объединение членов в числителе, (2) объединение членов в знаменателе и, наконец, (3) деление числителя на знаменатель.
      Ключевые термины
      • комплексная дробь : соотношение, в котором числитель, знаменатель или оба сами являются дробями.

      Комплексная дробь, также называемая комплексным рациональным выражением, - это дробь, в которой числитель, знаменатель или оба являются дробями. Например, [латекс] \ frac {\ left (\ frac {8} {15} \ right)} {\ left (\ frac {2} {3} \ right)} [/ latex] и [latex] \ frac {3} {1- \ frac {2} {5}} [/ latex] - сложные дроби. При работе с уравнениями, которые включают сложные дроби, полезно упростить сложную дробь перед тем, как решать уравнение.

      Процесс упрощения сложных дробей, известный как «метод комбинирования-деления», выглядит следующим образом:

      1. Объедините термины в числителе.
      2. Объедините члены в знаменателе.
      3. Разделите числитель на знаменатель.

      Пример 1

      Давайте применим этот метод к первой комплексной дроби, представленной выше:

      [латекс] \ displaystyle {\ frac {\ left (\ frac {8} {15} \ right)} {\ left (\ frac {2} {3} \ right)}} [/ латекс]

      Поскольку нет терминов, которые можно объединить или упростить ни в числителе, ни в знаменателе, мы перейдем к шагу 3, разделив числитель на знаменатель:

      [латекс] \ displaystyle {\ frac {\ left (\ frac {8} {15} \ right)} {\ left (\ frac {2} {3} \ right)} = \ frac {8} {15} \ div \ frac {2} {3}} [/ латекс]

      Из предыдущих разделов мы знаем, что деление на дробь аналогично умножению на обратную величину этой дроби.Поэтому мы используем метод сокращения, чтобы максимально упростить числа, а затем умножаем его на упрощенную обратную величину делителя или знаменателя дроби:

      [латекс] \ displaystyle {{\ frac 8 {15}} \ cdot {\ frac 32} = {\ frac 4 {5}} \ cdot {\ frac 11} = {\ frac 4 {5}}} [/ латекс]

      Следовательно, комплексная дробь [латекс] \ frac {\ left (\ frac {8} {15} \ right)} {\ left (\ frac {2} {3} \ right)} [/ latex] упрощается до [ латекс] \ frac {4} {5} [/ латекс].

      Пример 2

      Давайте попробуем другой пример:

      [латекс] \ displaystyle {\ frac {\ left (\ dfrac {1} {2} + \ dfrac {2} {3} \ right)} {\ left (\ dfrac {2} {3} \ cdot \ dfrac {3} {4} \ right)}} [/ латекс]

      Начните с шага 1 описанного выше метода комбинирования-деления: объедините члены в числителе.Вы обнаружите, что общий знаменатель двух дробей в числителе равен 6, а затем вы можете сложить эти два члена вместе, чтобы получить один член дроби в числителе большей дроби:

      [латекс] \ displaystyle \ frac {\ left (\ dfrac {1} {2} + \ dfrac {2} {3} \ right)} {\ left (\ dfrac {2} {3} \ cdot \ dfrac { 3} {4} \ right)} = \ dfrac {\ left (\ dfrac {3} {6} + \ dfrac {4} {6} \ right)} {\ left (\ dfrac {2} {3} \ cdot \ dfrac {3} {4} \ right)} = \ dfrac {\ left (\ dfrac {7} {6} \ right)} {\ left (\ dfrac {2} {3} \ cdot \ dfrac {3 } {4} \ right)} [/ латекс]

      Перейдем к шагу 2: объединим члены в знаменателе.Для этого мы умножаем дроби в знаменателе вместе и упрощаем результат, сокращая его до наименьших членов:

      [латекс] \ dfrac {\ left (\ dfrac {7} {6} \ right)} {\ left (\ dfrac {2} {3} \ cdot \ dfrac {3} {4} \ right)} = \ dfrac {\ left (\ dfrac {7} {6} \ right)} {\ left (\ dfrac {6} {12} \ right)} = \ dfrac {\ left (\ dfrac {7} {6} \ right )} {\ left (\ dfrac {1} {2} \ right)} [/ latex]

      Перейдем к шагу 3: разделим числитель на знаменатель. Напомним, что деление на дробь аналогично умножению на обратную величину этой дроби:

      [латекс] \ frac {\ left (\ dfrac {7} {6} \ right)} {\ left (\ dfrac {1} {2} \ right)} = {\ dfrac {7} {6}} \ cdot {\ dfrac {2} {1}} = \ dfrac {14} {6} [/ latex]

      Наконец, упростим полученную дробь:

      [латекс] \ displaystyle \ frac {14} {6} = 2 \ frac {2} {6} [/ latex]

      Следовательно, в итоге:

      [латекс] \ frac {\ left (\ dfrac {1} {2} + \ dfrac {2} {3} \ right)} {\ left (\ dfrac {2} {3} \ cdot \ dfrac {3} {4} \ right)} = 2 \ dfrac {2} {6} [/ latex]

      Введение в экспоненты

      Экспоненциальная форма, записанная [latex] b ^ n [/ latex], представляет собой умножение базового [latex] b [/ latex] на само [latex] n [/ latex] раз. 5 = 3 \ cdot 3 \ cdot 3 \ cdot 3 \ cdot 3 = 243 [/ латекс]

      Показатели 0 и 1

      Любое число, возведенное в степень [латекс] 1 [/ латекс], является самим числом.0 = 1 [/ латекс].

      Порядок действий

      Порядок операций - это подход к оценке выражений, включающих несколько арифметических операций.

      Цели обучения

      Различие между правильным и неправильным использованием порядка операций

      Ключевые выводы

      Ключевые моменты
      • Порядок операций предотвращает двусмысленность математических выражений.
      • Порядок операций следующий: 1) упростить члены в круглых или квадратных скобках, 2) упростить показатели и корни, 3) выполнить умножение и деление, 4) выполнить сложение и вычитание.
      • Умножение и деление имеют равный приоритет, равно как и сложение и вычитание. Это означает, что операции умножения и деления (а также операции сложения и вычитания) могут выполняться в том порядке, в котором они появляются в выражении.
      • Полезный мнемоник для запоминания порядка действий - PEMDAS, иногда расширяемый до «Прошу прощения, моя дорогая тетя Салли».
      Ключевые термины
      • математическая операция : действие или процедура, которая создает новое значение из одного или нескольких входных значений.

      Порядок операций - это способ вычисления выражений, которые включают более одной арифметической операции. Эти правила говорят вам, как вам следует упростить или решить выражение или уравнение таким образом, чтобы получить правильный результат.

      Например, когда вы встретите выражение [латекс] 4 + 2 \ cdot 3 [/ latex], как вы поступите?

      Один вариант:

      [латекс] \ begin {align} \ displaystyle 4 + 2 \ cdot3 & = (4 + 2) \ cdot 3 \\ & = 6 \ cdot 3 \\ & = 18 \ end {align} [/ latex]

      Другой вариант:

      [латекс] \ begin {align} \ displaystyle 4 + 2 \ cdot 3 & = 4+ (2 \ cdot 3) \\ & = 4 + 6 \\ & = 10 \ end {align} [/ latex]

      Какой порядок действий правильный?

      Чтобы иметь возможность общаться с помощью математических выражений, у нас должен быть согласованный порядок операций, чтобы каждое выражение было однозначным.Например, для приведенного выше выражения все математики согласятся, что правильный ответ - 10.

      Порядок операций, используемых в математике, науке, технике и во многих языках программирования, следующий:

      1. Упростите термины в круглых или квадратных скобках
      2. Упростить экспоненты и корни
      3. Выполнить умножение и деление
      4. Выполнить сложение и вычитание

      Эти правила означают, что в математическом выражении сначала должна выполняться операция, имеющая наивысший ранг в списке.3 \\ & = 6-5 + 8 \\ & = 1 + 8 \\ & = 9 \ end {align} [/ latex]

      Записка о равной приоритетности

      Поскольку умножение и деление имеют равный приоритет, может быть полезно думать о делении на число как о умножении на обратную величину этого числа. Таким образом, [латекс] 3 \ div 4 = 3 \ cdot \ frac {1} {4} [/ latex]. Другими словами, частное 3 и 4 равно произведению 3 и [латекс] \ frac {1} {4} [/ latex].

      Точно так же, поскольку сложение и вычитание имеют равный приоритет, мы можем думать о вычитании числа как о сложении отрицательного числа.Таким образом [латекс] 3−4 = 3 + (- 4) [/ латекс]. Другими словами, разница 3 и 4 равна сумме положительных трех и отрицательных четырех.

      При таком понимании представьте [латекс] 1−3 + 7 [/ latex] как сумму 1, минус 3 и 7, а затем сложите эти термины вместе. Теперь, когда вы изменили структуру операций, любой заказ будет работать:

      • [латекс] (1-3) + 7 = -2 + 7 = 5 [/ латекс]
      • [латекс] (7−3) + 1 = 4 + 1 = 5 [/ латекс]

      Важно сохранять отрицательный знак с любым отрицательным числом (здесь 3).

      Мнемоника

      В США аббревиатура PEMDAS является распространенным мнемоническим символом для запоминания порядка операций. Это означает круглые скобки, экспоненты, умножение, деление, сложение и вычитание. PEMDAS часто расширяется до «Прошу прощения, моя дорогая тетя Салли».

      Однако эта мнемоника может вводить в заблуждение, поскольку «MD» подразумевает, что умножение должно выполняться перед делением, а «AS» - это сложение перед вычитанием, а не признание их равного приоритета.Чтобы проиллюстрировать, почему это проблема, рассмотрим следующее:

      [латекс] 10-3 + 2 [/ латекс]

      Это выражение правильно упрощается до 9. Однако, если вы сначала сложите 2 и 3, чтобы получить 5, и , а затем выполнил вычитание, вы получили бы 5 в качестве окончательного ответа, что неверно. Чтобы избежать этой ошибки, лучше всего рассматривать эту проблему как сумму положительных десяти, отрицательных трех и положительных двух.

      [латекс] 10 + (- 3) +2 [/ латекс]

      Чтобы полностью избежать этой путаницы, альтернативный способ записи мнемоники:

      E

      MD

      AS

      Или просто как PEMA, где учат, что умножение и деление по своей сути имеют один и тот же приоритет, а сложение и вычитание по своей сути имеют одинаковый приоритет.Эта мнемоника проясняет эквивалентность умножения и деления, а также сложения и вычитания.

      Что такое дробь? - Определение и типы - Видео и стенограмма урока

      Правильные и неправильные дроби

      Во-первых, у нас есть то, что мы называем «правильными» и «неправильными» дробями. Правильные дроби - это те дроби, у которых числитель меньше знаменателя. Неподходящая дробь - это дробь, числитель которой больше знаменателя.Например, дробь 7/8 - правильная дробь, а 8/7 - неправильная дробь.

      Думайте об этом, как о попытке отрезать кусочки только от одного пирога. С правильной дробью вы можете взять все кусочки только из одного пирога, но с неправильной дробью вам понадобится более одного пирога, чтобы получить необходимое количество ломтиков. Дробь 7/8 говорит вам взять 7 кусочков из пирога с 8 кусочками. Вы можете взять все кусочки только из одного пирога. Но дробь 8/7 говорит, что вам нужно 8 ломтиков от пирога, у которого всего 7 ломтиков.Если в вашем пироге всего 7 ломтиков, вы можете взять только 7 ломтиков из одного пирога. Чтобы получить 8-й ломтик, вам понадобится второй пирог, который также нарезан на 7 ломтиков, из которых вы можете взять один кусок, чтобы сделать 8-й ломтик.

      Можно сказать, что неправильные дроби - это жадные дроби, потому что вам нужно более одного целого пирога, чтобы их удовлетворить. Правильные фракции можно получить, сняв кусочки всего с одного пирога.

      Дроби вроде и отличия

      Далее у нас есть дроби одинаковые и непохожие. Подобно дроби - это дроби с одинаковым знаменателем. В отличие от дроби - это те дроби, которые отличаются. Например, дроби 3/4 и 2/4 похожи на дроби, потому что у них один и тот же знаменатель - 4. Просто сложите числители и получите ответ более 4, чтобы получить сумму.

      Математически 2/4 упрощается до 1/2, потому что мы можем разделить верхнее и нижнее числа на 2. Когда мы можем разделить числитель и знаменатель на одно и то же число, мы должны сделать это, чтобы упростить дробь.Например, дробь 6/9 может быть упрощена до 2/3, поскольку мы можем разделить 6 на 3 и 9 на 3. 6, разделенное на 3, равно 2, а 9, разделенное на 3, равно 3, поэтому 6/9 упрощается до 2/3.

      Эквивалентные дроби, напротив, имеют такое же число. 1/2 и 2/4 одинаковы, потому что если вы разделите верхнюю и нижнюю часть 2/4 на 2, вы получите 1/2! В отличие от дробей, это совершенно разные дроби. Например, 2/4 и 6/9 отличаются от дробей, потому что даже если вы их упрощаете, вы получаете разные дроби: 2/4 упрощается до 1/2, а 6/9 упрощается до 2/3.1/2 и 2/3 определенно разные дроби!

      Смешанные числа

      Теперь, наконец, у нас есть смешанных числа , также называемых смешанными дробями . Это ваши неправильные дроби, записанные вместе с целым числом и правильной дробью. Например, наша дробь 8/7 из предыдущего может быть записана как 1 1/7, чтобы показать, что нам нужен целый пирог, а затем 1 кусок второго пирога, чтобы заполнить наши 8 ломтиков пирога, который разрезан на 7 частей.

      Мы можем записать смешанные числа, как мы только что сделали с целым числом перед дробью, использующей наклонную косую черту, или мы можем написать наше целое число перед дробью, где числа расположены друг над другом.В этом случае все наше число будет центрировано горизонтальной косой чертой. И вот мы закончили наш урок.

      Резюме урока

      Итак, давайте рассмотрим то, что мы узнали. Мы узнали, что дроби говорят нам, сколько частей целого у нас есть. Они записываются с помощью верхнего числа, числителя , и нижнего числа, знаменателя , разделенных косой чертой. Косая черта может быть косой чертой или горизонтальной косой чертой с числителем над знаменателем с косой чертой между ними.

      Правильная дробь - это дробь, числитель которой меньше знаменателя. Неподходящая дробь - это дробь, числитель которой больше знаменателя. Подобно дроби - это дроби с одинаковым знаменателем. В отличие от дроби - это разные дроби.

      Если вы можете разделить числитель и знаменатель дроби на одно и то же число, то вы можете упростить эту дробь до ее более простой формы, выполнив деление.Смешанное число - это неправильная дробь, состоящая из целого числа и правильной дроби.

      Результаты обучения

      После завершения этого урока вы сможете:

      • Определить дроби и определить части дроби
      • Различение правильных и неправильных дробей
      • Объясните, почему вам следует упростить дроби и определить одинаковые и непохожие дроби
      • Опишите, как написать смешанное число

      долей эквивалента

      Эквивалентные дроби имеют одинаковое значение, хотя могут выглядеть по-разному.

      Эти дроби действительно совпадают:

      1 2 знак равно 2 4 знак равно 4 8

      Почему они одинаковые? Потому что, когда вы умножаете или делите и верхнюю и нижнюю части на одно и то же число, дробь сохраняет свое значение.

      Следует помнить следующее правило:

      «Измените нижнюю часть с помощью умножения или деления,
      И то же самое необходимо применить к верхней части»

      Вот почему эти дроби действительно совпадают:

      × 2 × 2
      1 = 2 = 4
      2 4 8
      × 2 × 2
      И визуально это выглядит так:

      См. Дроби на числовой прямой...

      ... он показывает много эквивалентных дробей.

      Также см. Таблицу дробей с множеством примеров эквивалентных дробей.

      Разделение

      Вот еще несколько эквивалентных дробей, на этот раз делением:

      ÷ 3 ÷ 6
      18 = 6 = 1
      36 12 2
      ÷ 3 ÷ 6

      Тщательно выбирайте число, на которое делите, чтобы результаты (как верхние, так и нижние) оставались целыми числами.

      Если мы продолжаем деление до тех пор, пока не сможем пойти дальше, значит, мы упростили дробь (сделали ее максимально простой).

      Резюме:

      • Вы можете получить эквивалентные дроби, умножив или разделив как верхний, так и нижний на одинаковую величину.
      • Вы только умножаете или делите, никогда не складываете и не вычитаете , чтобы получить эквивалентную дробь.
      • Делить только тогда, когда верхняя и нижняя части остаются целыми числами.


      Промежуточная алгебра
      Урок 34: Комплексные дроби

      WTAMU > Виртуальная математическая лаборатория> Алгебра среднего уровня

      Задачи обучения


      По завершении этого руководства вы сможете:
      1. Упростите сложные дроби.

      Введение



      Учебник



      Сложная дробь - это рациональное выражение, которое имеет фракция в числителе, знаменателе или обоих.

      Другими словами, есть хотя бы одна маленькая дробь в общем доля.

      Примеры сложных дробей:

      и

      Есть два способа упростить сложные фракции. Мы назовем их методом I и методом II.



      Метод I
      Упрощение сложной фракции



      Пример 1 : Упростить.


      Объединяя только числитель, получаем:


      * Переписать дроби с ЖКИ 12


      Объединяя только знаменатель, получаем:


      * Переписать дроби с ЖКИ 8


      Подставляя их обратно в сложную дробь, получаем:



      * Запишите числитель над знаменателем


      Шаг 2: Разделите числитель по знаменателю умножив числитель на обратную величину знаменателя

      И

      Шаг 3. При необходимости упростите рациональное выражение.



      * Перезаписать div. как мульт. из обратный

      * Разделим общий множитель 4





      Пример 2 : Упростить.



      Объединяя только числитель, получаем:



      * Перезапись дробей с ЖК-дисплеем ab


      Знаменатель уже записан одной дробью:




      Подставляя их обратно в сложную дробь, получаем:



      * Запишите числитель над знаменателем


      Шаг 2: Разделите числитель по знаменателю умножив числитель на обратную величину знаменателя

      И

      Шаг 3. При необходимости упростите рациональное выражение.


      * Переписать div. как мульт. из обратный

      * Разделите общие множители a и b




      Метод II
      Упрощение сложной фракции



      Пример 3 : Упростить.


      Знаменатель дроби числителя имеет следующие два факторы:



      Знаменатель дроби знаменателя имеет следующие коэффициент:




      Объединение всех различных факторов и использование наивысший показатель, получаем следующий LCD на все мелкие дроби:




      Умножая числитель и знаменатель на ЖК-дисплей, мы получить:



      * Мног.число и ден. по ( x + 5) ( x - 5)





      * Разделим общий множитель из (2 x + 1)



      Пример 4 : Упростить.


      Знаменатель дроби числителя имеет следующий коэффициент:




      Знаменатель дроби знаменателя имеет следующие факторы:


      y и

      Объединение всех различных факторов и использование наивысший показатель, получаем следующий LCD на все мелкие дроби:




      Умножая числитель и знаменатель на ЖК-дисплей, мы получить:



      * Мног.число и ден. на y в квадрате








      Пример 5 : Упростить.

      На первый взгляд это не выглядит сложным доля. Однако как только вы перепишете его с положительными показателями, вы увидите, что мы действительно есть сложная дробь.





      * Перепишите с положительными показателями



      Два знаменателя дробей числителя иметь следующие факторы:



      Два знаменателя знаменателя фракции имеют следующие факторы:


      и

      Объединение всех различных факторов и использование наивысший показатель, получаем следующий LCD на все мелкие дроби:




      Умножая числитель и знаменатель на ЖК-дисплей, мы получить:



      * Мног.число и ден. на a в квадрате b в квадрате








      Практические задачи


      Это практические задачи, которые помогут вам следующий уровень. Это позволит вам проверить и понять, понимаете ли вы эти типы проблем. Математика работает так же, как что-нибудь иначе, если вы хотите добиться успеха в этом, вам нужно практиковаться Это. Даже лучшие спортсмены и музыканты получали помощь и много практиковаться, практиковаться, практиковаться, чтобы стать лучше в своем виде спорта или инструменте. На самом деле не бывает слишком много практики.

      Чтобы получить максимальную отдачу от них, вы должны работать проблема на свой собственный, а затем проверьте свой ответ, щелкнув ссылку для ответ / обсуждение для этой проблемы . По ссылке вы найдете ответ а также любые шаги, которые позволили найти этот ответ.

      Практика Задачи 1a - 1b: Упростить.

      Нужна дополнительная помощь по этим темам?





      Последнее изменение 17 июля 2011 г. Ким Сьюард.
      Авторские права на все содержание (C) 2001 - 2011, WTAMU и Kim Seward. Все права защищены.

      Математика 4 класс

        Приборная панель

        4 класс

        Перейти к содержанию Приборная панель
        • Авторизоваться

        • Панель приборов

        • Календарь

        • Входящие

        • История

        • Помощь

        Закрывать