Технологическая карта урока: Вычитание натуральных чисел. | План-конспект урока по математике (5 класс):

Технологическая карта урока математики в 5  классе по учебнику Л.Г.Мерзляк , В.Б.Полонский , М.С.Якир.

(составил учитель математики ГБОУ СОШ №560 Головина В.В., Санкт-Петербург)

Тема: Вычитание натуральных чисел. Правила вычитания.

Тип урока: Урок изучения нового материала.

Цели урока:

1) обучающие: познакомить учащихся с правилами вычитания , научить эффективным приёмам вычитания.

2) развивающие: формировать умения сравнивать , анализировать , обобщать , моделировать выбор способов деятельности.

3) воспитательные: воспитание интереса к изучению темы и желания применять приобретённые знания и умения.

Планируемые образовательные результаты:

Предметные: Учащийся научится применять правила вычитания числа из суммы и суммы из числа.

Личностные: Уметь осуществлять самооценку на основе критерия успешности учебной деятельности.

Метапредметные: регулятивные – уметь определять и формулировать цель на уроке с помощью учителя, проговаривать последовательность, работать по составленном плану, оценивать правильность выполнения действий, планировать свои действия с поставленной задачей, вносить необходимые коррективы с учетом характера сделанных ошибок, высказывать свое предположение, фиксировать индивидуальные затруднения;  коммуникативные – уметь выражать свои мысли в устной и письменной речи, слышать и понимать речь других; познавательные – уметь ориентироваться в системе знаний (отличать новое от уже известного с помощью учителя), добывать новые знания (находить ответы на вопросы, используя учебник и информацию, полученную на уроке), структурировать знания.

Технология проведения	Деятельность учителя	Задания для учащихся, выполнение которых приведет к достижению запланированных результатов	Деятельность ученика	Планируемые результаты
				предметные	универсальные учебные действия (УУД)
1	2	3	4	5	6
Организационный момент	Приветствие, настрой на работу, сотрудничество		Приветствие учителя, организация рабочего  места, демонстрация  готовности к уроку		Коммуникативные (учитель-ученик, сотрудничество)
Мотивация   учебной  деятельности. Уточнить тип урока и наметить шаги учебной деятельности.	Создает условия для формирования внутренней потребности учеников во включении в учебную деятельность. Тема урока: «Правила вы- читания»	Как вы думаете, что надо знать, чтобы познакомиться с правилами вычитания натуральных чисел?	Слушает учителя. Проговаривает тему урока и называет шаги учебной деятельности		Коммуникативные (уметь совместно договариваться о правилах поведения и общения, следовать им; оформлять свои мысли в устной форме)
Актуализация знаний	Работаем устно, используя слайды из презентации	Устно: Диктант. 1.Вычтите из 900  300 2.Найдите разность 260 и 260 3. Какое число на единицу меньше 30000 4.Число, которое вычитают называют ….. Разность любого числа и нуля равна …… Если от любого числа отнять такое же число, то получится……	Ученик отвечает на поставленные вопросы и выполняет работу устно	Знать: 1. Что означает вычесть из числа а число в? 2.Как в равенстве а-в=с называют числа а,в,с? 3.Что показывает разность а-в? 4.Чему равна разность двух чисел, если вычи таемое равно 0? 5.Чему равна разность двух равных чисел? .	Регулятивные (контроль, проверка, коррекция) Познавательные (уметь ориентироваться в своей системе знаний) Коммуникативные (уметь слушать и понимать речь других)
Изучение новой темы. Первичное закрепление новых знаний.	Составление совместного плана действий. Работа по презентации. Пример. Вычесть. 428-(128+126) 1 способ. 428-(128+126)=428- 254=174 2 способ. 428-(128+126)= (428-128)-126= 300-126=174 Пример.  .Вычесть. (619+282)-319 1 способ. (619+282)-319= 901-319=582 2 способ. (619+282)-319= (619-319)+282= 300+282=582	Эффективные приёмы вычитания числа из суммы и вычитания суммы из числа: 1 правило: Чтобы из числа вычесть сумму двух слагаемых, можно из этого числа вычесть одно из слагаемых и потом из результата вычесть другое слагаемое. 2 правило. Чтобы из суммы двух слагаемых вычесть число, можно вычесть это число из одного из слагаемых (если это слагаемое больше или равно вычитаемому) и потом к результату прибавить другое слагаемое.	С помощью учителя составляет и проговаривает план действий по достижению цели. Записывает все рассмотренные приёмы вычитания. 1.а-(в+с)=     а-в-с=      а-с-в. 2.(а+в)-с=     а+(в-с)=     (а-с)+в.	Сформировать умение выполнять вычитание с применением эффективных приёмов.	Познавательные   (выбор способов решения, умение анализировать, рассуждать, преобразовывать информацию из одной формы в другую) Регулятивные (уметь проговаривать последовательность действий на уроке) Коммуникативные (уметь выслушивать рассуждения своих сверстников)
Физкультминутка
Построение проекта выхода из затруднения. Организовать составление совместного плана действий. Зафиксировать преодоление возникшего ранее затруднения.	Организует индивидуальную работу в соответствии с планом.	Работа с учебником: №230(2,4,6,8) №232(2,4,6). Найдите значение выражения, выбирая удобный порядок вычислений. Разбор примера по образу. Найти разность	Записывает и находит значение каждого из выражений, выбирая эффективный способ. 9ч8мин-2ч26мин= 8ч68мин-2ч26мин= 8ч68мин-(2ч+26мин)= (8ч68мин-2ч)-26мин= ((8ч+68мин)-2ч)-26мин= ((8ч-2ч)+68мин)-26мин=(6ч+68мин)-26мин=6ч+(68мин-26мин)=6ч+42мин= 6ч42мин	Отработка умений и навыков в решении числовых и буквенных выражений	Регулятивные (контроль, проверка, коррекция, определять последовательность промежуточных целей с учетом конечного результата) Познавательные (уметь структурировать свои знания)
Самостоятельная работа	Учитель выдает задание. Организует работу учащихся с последующей самопроверкой.	Продолжить записи: 1.(412+116)-112=     (412-112)….. 2.(792+301)-201= 3.844-(244+318)=    (844-244)…… 4.672-(202+172)=…. 5. (35+х) -15=    (35-15) -х….. 6.(а+636)-129=    а+(639-129)=…. 7.516- (216+х )=    (516-216) -х=…..	Ученик выполняют предложенное задание	Проверка усвоения приёмов вычитания числа из суммы и суммы из числа.	Познавательные :уметь составлять алгоритм исправления ошибок Личностные УУД: уметь осуществлять самооценку совместно выработанных критериев
Рефлексия учебной деятельности на уроке. Организовать рефлексию и самооценку учениками собственной учебной деятельности.	Учитель организует фиксирование нового содержания, рефлексию, самооценку учебной деятельности, записывает домашнее задание на доске Вопросы к параграфу№6,7. №231.233.221(чётн)	Учитель предлагает высказать свое мнение об уроке; Оценить фактические достижения, записать  домашнее задание, делает  комментарии	Ученики отвечают на вопросы, оценивают свой интерес к уроку, выполняя задание: Продолжите высказывание об уроке. 1.Теперь я умею…. 2.На уроке мне было сложно… 3.Я получил полезную информацию о том. что……		Регулятивные Личностные (уметь осуществлять самооценку учебной деятельности)

Основные ресурсы:

1. Математика 5 класс;Мерзляк А.Г.
2. Презентация к уроку: «Вычитание натуральных чисел»
3. Математика.Методическое пособие.Бицко Е.В.

4.   Интернет ресурсы

Урок математики в 5 классе по теме «Вычитание натуральных чисел» – УчМет

Урок математики в 5 классе
по теме «Вычитание натуральных чисел»

	Учитель	Токарев Александр Васильевич
	Место работы	МКОУ СОШ с. Каринка Кирово-Чепецкого района, Кировской области.
	Должность	Учитель математики
	Предмет	Математика
	Класс	5
	Тема и номер урока в теме	«Вычитание натуральных чисел», 1 урок (45 минут).
	Базовый учебник	Математика.5 класс: учебник для общеобразовательных учреждений / Н. Я. Виленкин, В.И. Жохов, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбурд. – М., 2015

1. Цель урока:

Систематизировать знания о действии «вычитание».

2. Задачи урока:

— обучающие: (формирование познавательных УУД) — учить использовать  арифметическое действие «вычитание», систематизировать знания по действию «вычитание», осуществлять оперативный контроль процесса обучения;

-развивающие: (формирование регулятивных УУД) — развивать умения анализировать, сравнивать, обобщать, делать выводы, развивать внимание, работают по составленному плану

— воспитательные: (формирование коммуникативных и личностных УУД) — развивать познавательный интерес через игровые моменты взаимоконтроля, взаимопроверки, способствовать пониманию необходимости интеллектуальных усилий для успешного обучения, положительного эффекта настойчивости для достижения цели.

3.

Тип урока: комбинированный

4. Формы работы учащихся: индивидуальная и фронтальная работа, работа в парах.

5. Необходимое техническое оборудование: компьютер, проектор, индивидуальная карта урока обучающегося, презентация PowerPoint 2007, интерактивная доска.

Ход урока.

1.Организационный момент

Здравствуйте, присаживайтесь, как ваше настроение, как настрой на работу?. Давайте запишем число и классную работу в рабочей тетради.

2.Актуализация знаний

На сегодняшнем уроке мы с вами перейдем к изучению новой темы, но прежде давайте посчитаем.

Внимание на интерактивную доску, на слайде вы видите примеры, вычислите их.

• 72-23 = 49

• 297-64 =233

• 684-233 =451

• 1000-251 =749

• 12345-347 = 11998

А теперь обменяйтесь тетрадями, внимание на слайд, проверьте и оцените работу одноклассника

3. Целеполагание и мотивация

Какое действие выполняется во всех этих примерах? Что мы будем изучать на сегодняшнем уроке? Тема нашего сегодняшнего урока «Вычитание натуральных чисел». Внимание на доску, запишите тему в тетрадь. Слайд 3

Что мы должны с вами повторить и закрепить на сегодняшнем уроке. Сформулируйте цель урока.

Внимание на доску. Слайд 4

Сформулируйте личную цель на урок.

Запишите цели и тему в индивидуальную карту урока, выставьте оценку за работу в парах

4. Изучение нового материала

Прочитайте учебник стр. 41 – 42.

Ответьте на вопросы учебника. Выпишите из чего состоит вычитание.

Выпишите свойства вычитания. На это у вас 7 минут, потом перейдем к обсуждению.

Внимание на доску, давайте проверим все ли вы выписали.

Слайд 5, Слайд 6. Если все выписано правильно поставьте себе в индивидуальную карту оценку 5 за работу с текстом, если есть недостатки оценку 4.

5. Первичное осмысление и закрепление знаний

Выполните задания по учебнику.

№ 256. Выполните вычитание:

1237-159=1078

3000-981=2019

54273-37884=16389

43156-8976=34180

19543891-9865123=9678768

100000000-12345678=87654322

№ 248. Масса 1 л воды равна 1 кг, а 1 л бензина- на 270 г меньше. Найдите массу 1 л бензина? (Прочитать, проанализировать, записать решение на доске).

1000-270=730 (г)- масса 1 л бензина

Ответ: 730 г.

№ 249. Один станок- автомат изготовил 1235 деталей, а второй- 1645 деталей. На сколько деталей второй станок изготовил больше, чем первый? (прочитать, проанализировать, записать решение на доске)

1645-1235=410 (деталей)- на столько второй станок изготовил больше, чем первый.

Ответ: на 410 деталей

Резерв № 279

6. Организация контроля

У вас на индивидуальных картах написаны примеры – вычислите их. На это я даю вам 10 минут.

7. Подведение итогов. Рефлексия

Оцените, пожалуйста, совою деятельность на уроке, для этого ответьте на вопросы индивидуальной карты урока.

Выставьте себе оценку за урок.

8. Домашнее задание

Откройте дневники и запишите задание на дом: п. 7, №288, 291. Дополнительно: №297 (для мотивированных учеников)

Используемая литература.

1. Математика.5 класс: учебник для общеобразовательных учреждений / Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбурд. – М., 2015.

2. Жохов, В. И. Преподавание математики в 5 и 6 классах: методические рекомендации для учителя к учебнику Виленкина Н. Я. [и др.] / В. И. Жохов. — М.: Мнемозина, 2008.

Индивидуальная карта ученика _______________________________ 5 класса

Тема урока______________________________________________________________

Цель урока______________________________________________________________

Личная цель на урок_________________________________________________________

Работа на уроке:

Этап урока	Работа в парах	Работа с текстом	Самостоятельная работа	Как я оцениваю свою работу на уроке	Оценка учителя
Оценка

Самостоятельная работа:

1437-179=

4000-931=

56773-33484=

41856-8126=

19557891-985723=

1234000000-12345678=

Рефлексия:

1. Достиг ли вы своей цели?_____________________________________________________

2. Что вы узнали нового?________________________________________________________

3. Какие трудности у вас возникли?_______________________________________________

4. Что вам понравилось на уроке?________________________________________________

5. Что вам не понравилось на уроке?_____________________________________________

6. С каким настроением вы уходите с урока? (нарисуйте смайлик своих эмоций)

Натуральные, Целые, Рациональные, Иррациональные, Действительные и т.

д.

Натуральные числа

Натуральные (или считая ) Числа равны 1,2,3,4,5 и т.д. много натуральных чисел. Набор натуральных чисел {1,2,3,4,5,…}, иногда пишется N для краткости.

целых чисел являются натуральными числами вместе с 0.

(Примечание: некоторые учебники не согласны и говорят, что натуральные числа включают 0.)

Сумма любые два натуральных числа также являются натуральным числом (например, 4+2000=2004), а произведение любых двух натуральных чисел — натуральное число (4×2000=8000). Этот однако это неверно для вычитания и деления.

Целые числа

целых чисел представляют собой набор действительных чисел, состоящий из натуральных чисел, их аддитивных инверсий и нуля.

{…,−5,−4,−3,−2,−1,0,1,2,3,4,5,…}

Набор целых чисел иногда написано J или Z для краткости.

сумма, произведение и разность любых двух целых чисел также являются целыми числами. Но это неверно для деления… просто попробуйте 1÷2.

Рациональные числа

рациональных чисел те числа, которые могут быть выражены как отношение между два целых числа. Например, дроби 13 и −11118 равны рациональное число. Все целые числа входят в число рациональных, так как любое целое число z может быть записано как отношение z1.

Все десятичные дроби, которые заканчиваются, являются рациональными числами (поскольку 8.27 можно записать как 827100). которые имеют повторяющийся шаблон после некоторого момента, также являются рациональными: например,

0,0833333….=112.

Множество рациональных чисел замкнуто относительно всех четырех основных операций, то есть для любых двух рациональных чисел их сумма, разность, произведение и частное также являются рациональными числами (если мы не делим на 0).

Иррациональные числа

Иррациональное число — это число, которое нельзя записать в виде отношения (или дроби). В десятичной форме оно никогда не заканчивается и не повторяется. древние греки обнаружили, что не все числа рациональны; там уравнения, которые нельзя решить, используя отношения целых чисел.

Первое такое уравнение для изучения было 2=x2. Что число, умноженное на себя, равно 2?

2 есть около 1,414, потому что 1,4142=1,999396, что близко к 2. Но вы никогда не попадете точно в квадрат дроби (или десятичная дробь). Квадратный корень из 2 является иррациональным числом, т. десятичный эквивалент продолжается вечно, без повторяющегося шаблона:

2=1.41421356237309…

Другие известные иррациональные числа золотое сечение , число с большим значение для биологии:

1+52=1,61803398874989…

π (пи), отношение длины окружности к ее диаметру:

π=3,14159265358979…

и e, самое важное число в исчислении:

e=2,71828182845904…

Иррациональные числа могут быть далее подразделены на алгебраических чисел, которые являются решениями некоторых полиномиальных уравнений (таких как 2 и золотое сечение), и трансцендентных чисел, которые не являются решениями ни одного полиномиального уравнения. π и e оба трансцендентны.

Вещественные числа

Вещественные числа — это набор чисел, содержащий все рациональные числа и все иррациональные числа. Настоящие числа — это «все числа» на числовой прямой. Существует бесконечно много действительных чисел, так же как бесконечно много чисел в каждом из других наборов чисел. Но можно доказать, что бесконечность действительных чисел равна 9.0005 больше бесконечность.

«Меньший», или исчисляемых бесконечностей целых чисел и рациональные числа иногда называют ℵ0 (алеф-ноль), и бесчисленных бесконечностей реалов называется ℵ1 (алеф-один).

Есть еще «большие» бесконечности, но для этого вам нужно пройти курс теории множеств!

Комплексные числа

Комплексные числа множество {a+bi | a и b — действительные числа}, где i — мнимая единица, −1. (нажмите здесь для подробнее о мнимых числах и операциях с комплексными числами).

Комплексные числа включают множество действительных чисел. Действительные числа в сложной системе записываются в виде a+0i=a. реальное число.

Этот набор иногда пишется как C для краткости. Набор комплексных чисел важно, потому что для любого многочлена p(x) с вещественными коэффициентами все решения p(x)=0 будут в C .

Beyond…

Есть наборы и побольше числа, которыми пользуются математики. кватернионов , открытые Уильямом Х. Гамильтоном в 1845 году, образуют систему счисления с тремя разные воображаемые единицы!

Операции над рациональными числами. Правила, методы, примеры.

Операции над рациональными числами выполняются так же, как и арифметические операции, такие как сложение, вычитание, умножение и деление над целыми числами и дробями. Арифметические операции над рациональными числами с одинаковыми знаменателями легко вычислить, но в случае с рациональными числами с разными знаменателями мы должны действовать, сделав знаменатели одинаковыми. Рациональные числа выражаются в виде дробей, но мы не называем их дробями, так как дроби включают только положительные числа, а рациональные числа включают как положительные, так и отрицательные числа. Дроби являются частью рациональных чисел, а рациональные числа — это широкая категория, включающая другие типы чисел.

На этом уроке мы изучим операции с рациональными числами, изучая сложение, вычитание, умножение и деление рациональных чисел, а также их свойства.

1.	Что такое операции над рациональными числами?
2.	Свойства операций над рациональными числами
3.	Примеры операций над рациональными числами
4.	Практические вопросы по операциям над рациональными числами
5.	Часто задаваемые вопросы об операциях над рациональными числами

Что такое операции над рациональными числами?

Операции над рациональными числами относятся к математическим операциям, выполняемым над двумя или более рациональными числами. Рациональное число — это число в форме p/q, где: p и q — целые числа, q ≠ 0. Некоторые примеры рациональных чисел: 1/2, −3/4, 0,3 (или) 3/10. , −0,7 (или) −7/10 и т. д.

Мы знаем о дробях и о том, как можно использовать разные операторы для разных дробей. Все правила и принципы, применимые к дробям, применимы и к рациональным числам. Единственное, что нам нужно помнить, это то, что рациональные числа также включают отрицательные значения. Таким образом, хотя 1/5 является рациональным числом, верно и то, что −1/5 также является рациональным числом. Существует четыре основных арифметических действия с рациональными числами: сложение, вычитание, умножение и деление. Давайте узнаем о каждом подробно.

Сложение рациональных чисел

Сложение рациональных чисел можно выполнять так же, как сложение дробей. Есть два случая, связанные со сложением рациональных чисел.

• Сложение рациональных чисел с одинаковыми знаменателями
• Сложение рациональных чисел с разными знаменателями

Чтобы сложить два или более рациональных числа с одинаковыми знаменателями, мы просто складываем все числители и записываем общий знаменатель. Например, добавьте 1/8 и 3/8. Давайте поймем это с помощью числовой прямой.

• На числовой прямой мы начинаем с 1/8.
• Мы совершим 3 прыжка вправо, так как добавляем к нему 3/8. В итоге доходим до точки 4/8. 1/8 + 3/8 = (1 + 3)/8 = 4/8 = 1/2
• Таким образом, 1/8 + 3/8 = 1/2.

Когда рациональные числа имеют разные знаменатели, первый шаг — сделать их знаменатели эквивалентными, используя НОК знаменателей. Рассмотрим пример. Сложим числа −1/3 и 3/5

• Шаг 1: В данных числах знаменатели разные. Давайте найдем НОК 3 и 5, чтобы найти общий знаменатель. LCM 3 и 5 =15
• Шаг 2: Найдите эквивалентное рациональное число с общим знаменателем. Для этого умножьте −1/3 на 5 и 3/5 на 3 −1/3 × 5/5 и − 5/15 = 3/5 × 3/3 = 9/15.
• Шаг 3: Теперь знаменатели одинаковы; просто добавьте числители, а затем скопируйте общий знаменатель. Всегда сокращайте свой окончательный ответ до наименьшего термина. −1/3+3/5=(−1/3×5/5)+(3/5×3/3) =−5/5+9/15 =4/15

Вычитание рациональных чисел

Процесс вычитания рациональных чисел такой же, как и сложения. Вычитая два рациональных числа на числовой прямой, мы движемся влево. Давайте разберемся с этим методом на примере. Вычтите 1/2x−1/3x

• Шаг 1: Найдите НОК знаменателей. НОК (2, 3) = 6.
• Шаг 2: Преобразуйте числа в их эквиваленты с 6 в качестве общего знаменателя. 1/2x × 3/3 = 3/6x = 1/3x × 2/2 = 2/6x
• Шаг 3: Вычтите числа, полученные на шаге 2.

Умножение рациональных чисел

Умножение рациональных чисел похоже на то, как мы умножаем дроби. Чтобы умножить любые два рациональных числа, мы должны выполнить три простых шага. Перемножим следующие рациональные числа: −2/3×(−4/5). Шаги, чтобы найти решение:

• Шаг 1: Умножьте числители. (−2)×(−4)=8
• Шаг 2: Умножьте знаменатели. (3)×(5)=15
• Шаг 3: Сократите полученное число до наименьшего члена. Так как это уже самый низкий срок, мы можем оставить все как есть. (−23)×(−45) = (−2)×(−4)/(3)×(5) = 8/15

Деление рациональных чисел

Из деления целых чисел мы узнали, что делимое делится на делитель. Dividend÷Divisor=Дивиденд/Делитель. При делении любых двух чисел мы должны видеть, сколько частей делителя содержится в делимом. То же самое относится и к делению рациональных чисел. Давайте возьмем пример, чтобы понять это лучше. Шаги, которые необходимо выполнить, чтобы разделить два рациональных числа, приведены ниже:

• Шаг 1: Возьмем обратную величину делителя (второе рациональное число). 2х/9 = 9/2х
• Шаг 2: Умножьте это на делимое. −4x/3 × 9/2x 90 170
• Шаг 3: Произведение этих двух чисел и будет решением. (−4x × 9) / (3 × 2x) = −6

Свойства операций над рациональными числами

Некоторые из свойств, применимых к операциям над рациональными числами, перечислены ниже:

	Заявление	Уравнение
Имущество закрытия	Это свойство указывает, что при сложении, вычитании, умножении или делении любых двух рациональных чисел результатом также является рациональное число.	\(\dfrac{x}{y} \pm \dfrac{m}{n}=\dfrac{xn\pm ym}{yn}\), что является рациональным числом. \(\dfrac{x}{y} \times \dfrac{m}{n}=\dfrac{xm}{yn}\) \(\dfrac{x}{y} \div \dfrac{m}{n}=\dfrac{xn}{ym}\)
Ассоциативная собственность	Для сложения или умножения трех рациональных чисел их можно переставить внутри без какого-либо влияния на окончательный ответ. Это свойство не выполняется для вычитания и деления рациональных чисел.	\(\dfrac{x}{y}+(\dfrac{m}{n}+\dfrac{p}{q})\)=\((\dfrac{x}{y}+\dfrac{m {n})+\dfrac{p}{q}\) \(\dfrac{x}{y} \times (\dfrac{m}{n} \times \dfrac{p}{q})\)=\((\dfrac{x}{y}\times \ dfrac{m}{n}) \times \dfrac{p}{q}\)
Коммутативное имущество	Это свойство указывает, что два рациональных числа можно складывать или умножать независимо от их порядка. Это свойство не выполняется для вычитания и деления рациональных чисел.	\(\dfrac{x}{y}+\dfrac{m}{n}=\dfrac{m}{n}+\dfrac{x}{y}\) \(\dfrac{x}{y} \times \dfrac{m}{n}=\dfrac{m}{n} \times \dfrac{x}{y}\)
Аддитивная/мультипликативная идентичность	0 — аддитивная идентичность любого рационального числа. Когда мы добавляем 0 к любому рациональному числу, результатом является само число. 1 является мультипликативной инверсией любого рационального числа. Когда мы умножаем 1 на любое рациональное число, результатом является само число.	\(\dfrac{x}{y}+0=\dfrac{x}{y}\) \(\dfrac{x}{y} \times 1=\dfrac{x}{y}\)
Аддитивное/Мультипликативное Обратное	Для любого рационального числа \(\dfrac{x}{y}\) существует \(-\dfrac{x}{y}\) такое, что сложение обоих чисел дает 0, \(-\dfrac{x}{y}\) является аддитивной инверсией \(\dfrac{x}{y}\). Аналогично, для любого рационального числа \(\dfrac{x}{y}\) существует \(\dfrac{y}{x}\) такое, что произведение обоих чисел равно 1. \(\dfrac{y}{x}\) является мультипликативной инверсией \(\dfrac{x}{y}\).	\(\dfrac{x}{y}+(-\dfrac{x}{y})=0\) \(\dfrac{x}{y} \times \dfrac{y}{x}=1\)
Распределительная собственность	Два рациональных числа в сочетании с оператором сложения или вычитания можно умножить на третье рациональное число отдельно, поставив между ними знак сложения или вычитания.	Если есть \(3\) рациональных чисел, \(\dfrac{p}{q}\), \(\dfrac{m}{n}\) и \(\dfrac{a}{b}\) , тогда \(\dfrac{p}{q} \times (\dfrac{m}{n}\pm \dfrac{a}{b})\)=\((\dfrac{p}{q} \times \ dfrac{m}{n})\pm(\dfrac{p}{q} \times \dfrac{a}{b})\)

Статьи по теме

Ознакомьтесь с еще несколькими интересными статьями, связанными с операциями над рациональными числами.

• Десятичное представление иррациональных чисел
• Иррациональные числа
• Рационализировать знаменатель
• Является ли пи рациональным или иррациональным числом

Важные примечания

• Свойство тождества не выполняется для вычитания и деления рациональных чисел.
• Свойство замыкания верно для всех четырех операций над рациональными числами.
• Свойство коммутативности и ассоциативности справедливо для сложения и умножения рациональных чисел.
• Обратное свойство не выполняется для вычитания и деления рациональных чисел.x/y−(−x/y)≠0, x/y:y/x≠1

Часто задаваемые вопросы об операциях с рациональными числами

Каково влияние различных операций на рациональные и иррациональные числа?

• Результат сложения рационального числа и иррационального числа является иррациональным числом только потому, что он не влияет на неповторяющийся и непрерывный характер иррациональных чисел.
• Сумма двух рациональных чисел является рациональным числом.
• Сумма рационального числа и иррационального числа иррациональна.
• Сумма двух иррациональных чисел является иррациональным числом.
• Произведение двух рациональных чисел является рациональным числом.
• Произведение рационального числа на иррациональное число является иррациональным числом.
• Произведение двух иррациональных чисел является иррациональным числом.

Как вы выполняете операции над рациональными числами?

Мы выполняем операции над рациональными числами следующим образом:

• Сложение и вычитание рациональных чисел: В случае, если знаменатели совпадают, просто сложите или вычтите напрямую. В случае, если знаменатели разные, возьмите LCM, чтобы сделать знаменатели одинаковыми, а затем решите.
• Умножение рациональных чисел: умножьте числители и умножьте знаменатели. Приведите полученную таким образом дробь к низшей форме.
• Деление рациональных чисел: Умножьте обратную величину делителя на делимое.

Каковы свойства сложения рациональных чисел?

Свойства сложения рациональных чисел описаны ниже:

• Сложение двух рациональных чисел также является рациональным числом. (свойство закрытия)
• Три рациональных числа можно складывать в любом порядке. (ассоциативное свойство)
• Два рациональных числа можно переставить внутри, не влияя на сложение чисел. (Переместительное свойство)
• 0 — аддитивная единица любого рационального числа.
• Аддитивная инверсия рационального числа в форме p/q равна −pq.

Верно ли свойство идентичности при вычитании рациональных чисел?

Свойство тождества частично выполняется в случае вычитания рациональных чисел, поскольку x/y − 0 = x/y, но 0 − x/y ≠ x/y.

Каково правило вычитания рациональных чисел?

Вычитание любых двух рациональных чисел

• Шаг 1: Проверьте, совпадают ли знаменатели.
• Шаг 2: Сделайте знаменатели одинаковыми, взяв НОК знаменателей.
• Шаг 3: Вычтите заданные числа, вычитая их числители, оставив знаменатель прежним.

В чем разница между операциями над дробями и операциями над рациональными числами?

При операциях с рациональными числами необходимо использовать правила операций над целыми числами, а также операции над дробями, поскольку рациональные числа включают и отрицательные числа. Для положительных рациональных чисел процесс применения операций такой же, как и для дробей.

Верно ли обратное свойство деления рациональных чисел?

Нет, обратное свойство не выполняется для деления рациональных чисел, поэтому мы называем это мультипликативным обратным, а не обратным делением. Потому что если мы разделим x/y на y/x, мы не получим 1 в качестве ответа. Давай проверим. х/у ÷ у/х = х/у × х/у = х ² /год ² ≠16.

Как сложить два отрицательных рациональных числа?

Давайте рассмотрим пример, чтобы понять, как сложить два отрицательных рациональных числа. Добавить: −1/2+(−3/4)

• Всякий раз, когда за скобками стоит положительный знак, мы учитываем знаки отдельных членов внутри скобок. Итак, здесь мы можем записать это как −1/2 − 3/4.
• Теперь возьмем НОК знаменателей, чтобы сделать эти термины похожими. НЦМ (2,4)=4
• Решите числители и запишите окончательный ответ. −2/4 − 3/4 = −5/4

Вот как мы складываем два отрицательных рациональных числа.