cart-icon Товаров: 0 Сумма: 0 руб.
г. Нижний Тагил
ул. Карла Маркса, 44
8 (902) 500-55-04

Точка прямая плоскость луч отрезок 5 класс: Плоскость, прямая, луч | Школьная математика. Математика 5 класс

Содержание

Мерзляк 5 класс — § 4. Плоскость. Прямая. Луч

  • Ответы к учебнику для 5 класса. А. Г. Мерзляк
  • Переход на главную страницу сайта

Вопросы к параграфу

1. Является ли плоскость бесконечной? — Да, плоскость бесконечна, её можно продолжать во все стороны без ограничения.

2. Имеет ли прямая концы? — Нет, прямая не имеет концов, она бесконечна, продолжать прямую можно без ограничений.

3. Сколько прямых проходит через две точки? — Через две точки можно провести только одну единственную прямую.

4. Как обозначают прямую? — Прямую можно обозначать двумя способами: либо одной строчной латинской буквой (a, b, c и т.д.), либо двумя прописными латинскими буквами, обозначающими точки, лежащие на этой прямой (AB, DC, RK и т.д.).

5. Как называют части прямой, на которые её делит любая точка этой прямой? Как при этом называют эту точку? — Часть прямой вместе с точкой, от которой начинается эта часть прямой, называется лучом. Точку, делящую прямую на 2 части называют началом луча.

6. Как обозначают луч? — Луч обозначают двумя прописными латинскими буквами: буквой, обозначающей точку начала луча и буквой, обозначающую любую точку лежащую на этом луче.

7. С какими геометрическими фигурами вы познакомились в этом параграфе? — Прямая и луч.

Решаем устно

1. Вычислите:

1) 312 • 10 = 3 120
2) 5 • 1 000 = 5 000
3) 100 •  10 000 = 1 000 000
4) 720 : 9 = 80
5) 480 : 4 = 120
6) 480 : 16 = 30
7) 1 212 : 12 = 101
8) 1 010 : 5 = 202
9) 1 515 : 15 = 101

2) Реши:

Удвойте число 26. 26 • 2 = 52

Найдите половину числа 26. 26: 2 = 13

Утройте число 27. 27 • 3 = 81

Найдите треть числа 27. 27 : 3 = 9

3. Около школы растут берёзы и тополя, причём берёз восемь, а тополей — на 16 больше. Сколько всего деревьев растёт около школы? Во сколько раз берёз меньше, чем тополей?

1) 8 + 16 = 24 (дерева) — тополя.

2) 8 + 24 = 32 (дерева) — растёт около школы всего.

3) 24 : 8 = 3 (раза) — берёз меньше, чем тополей.

Ответ: 32 дерева всего, берёз в 3 раза меньше, чем тополей.

4. В 10 ч утра со станции отправился поезд со скоростью 60 км/ч. На каком расстоянии от станции будет поезд в 15 ч того же дня, если будет двигаться с этой же скоростью и без остановок?

1) 15 — 10 = 5 (часов) — проедет поезд за указанное время.

2) 60 • 5 = 300 (км) — проедет поезд за 5 часов.

Ответ: Поезд будет на расстоянии 300 км от станции.

5. Таня и Миша учатся в одной школе. Таня живёт в доме около одной конечной остановки автобуса, а Миша — в доме около другой конечной остановки этого же маршрута. Когда они едут в школу, то Таня выходит на пятой остановке, а Миша — на седьмой. Сколько всего остановок на этом маршруте?

1 (начальная остановка Тани) + 5 (остановки которые проезжает Таня) + 6 (остановки которые проезжает Миша — остановка школы, так как мы её уже посчитали в Танином маршруте) + 1 (начальная остановка Миши) = 1 + 5 + 6 + 1 = 13.

Ответ: на этом маршруте всего 13 остановок (включая конечные).

6) Верёвку разрезали на три куска так, что первый кусок оказался на 3 м короче второго и на 3 м длиннее третьего куска. На сколько метров третий кусок короче второго?

3 + 3 = 6 (метров) — третий кусок короче второго.

Ответ: на 6 метров третий кусок короче второго.

Упражнения

85. Отметьте в тетради точки М и К и проведите через них прямую. Отметьте на отрезке МК точку N. Принадлежит ли точка N прямой МК? Отметьте на прямой МК точку Р, лежащую вне отрезка МК. Запишите все возможные обозначения этой прямой. 

Точка N принадлежит прямой MK.

Возможные обозначения этой прямой: PM, PN, PK, MN, MK, NK, KN, KM, KP, NM, NP, MP.

86. Проведите произвольную прямую и отметьте на ней точки А, В и С. Запишите все возможные обозначения этой прямой.

Возможные обозначения этой прямой: AB, AC, BC, CB, CA, BA.

87. Рассмотрите рисунок 38.

Верно ли утверждение:

1) точка Q принадлежит отрезку ME — утверждение верно.

2) точка Q принадлежит лучу EF — утверждение неверно.

3) точка Q принадлежит лучу FE — утверждение верно.

4) точка Е принадлежит лучу MF и лучу FM — утверждение верно.

5) точка М принадлежит отрезку QE — утверждение неверно.

6) точка М принадлежит прямой QE — утверждение верно.

88. Пересекаются ли изображённые на рисунке 39:

1) прямая СЕ и отрезок АВ — да, пересекаются, так как прямую СЕ можно продолжить в обе стороны бесконечно долго.

2) луч ОК и прямая СЕ — да, пересекаются, так как луч ОК может быть продолжен в сторону прямой СЕ бесконечно долго.

3) луч ОК и отрезок АВ — нет, не пересекаются, так как отрезок АВ не может быть продолжен, а при продолжении луча ОК далее точки К не приведёт к пересечению лучом заданного отрезка.

89. Пересекаются ли изображённые на рисунке 40:

1) прямая МР и отрезок EF — нет, так как отрезок EF продолжить нельзя, а продолжение прямой в любую из сторон не приведёт к пересечению этих геометрических фигур.

2) луч ST и прямая МР — да, так как луч ST может быть продолжен в сторону прямой бесконечно долго.

3) отрезок EF и луч ST — да, так как луч ST может быть продолжен в сторону отрезка EF бесконечно долго.

90. Отметьте в тетради:

1) четыре точки, из которых никакие три не лежат на одной прямой

2) пять точек, из которых никакие три не лежат на одной прямой

91. На прямой АВ отмечены две точки М и N. Назовите фигуры, которые при этом образовались.

Образовались фигуры:

  • Отрезок МN
  • Лучи:
    1. МА
    2. МВ (его также можно обозначить как МN)
    3. NА (его также можно обозначить как NМ)
    4. NВ.
  • Прямые:
    1. AB, которую также можно обозначить как AN, AM, MN, MB, NB, BN, BM, BA, NM, NA или MA.

92. Запишите все отрезки, прямые и лучи, изображённые на рисунке 41.

Рисунок а):

  • Отрезки:
    1. AK (можно обозначить как KA)
    2. AM (можно обозначить как MA)
    3. MK (можно обозначить как KM)
  • Прямые:
    1. BM (также можно обозначить как MB, BA, AB, AM, MA)
    2. MD (также можно обозначить как DM, MK, KM, KD, DK)
    3. NC (также можно обозначить как CN, NA, AN, NK, KN, AK, KA, AC, CA, KC, CK)
  • Лучи:
    1. AB
    2. AN
    3. AM
    4. AK (можно обозначить как AC)
    5. MA (можно обозначить как MB)
    6. MK (можно обозначить как MD)
    7. KC
    8. KD
    9. KA (можно обозначить как KN)
    10. KM

Рисунок б):

  • Отрезки:
    1. AB (можно обозначить как BA)
    2. AC (можно обозначить как CA)
    3. BC (можно обозначить как CB)
    4. BF (можно обозначить как FB)
  • Прямые:
    1. AB (можно обозначить как BA. AC, CA, AD, DA, BC, CB, BD, DB, CD, DC)
    2. EF (можно обозначить как FE, EK, KE, FK, KF)
    3. TB (можно обозначить как BT, TF, FT, FB, BF)
  • Лучи:
    1. AB (можно обозначить как AC, AD)
    2. BA
    3. BF (можно обозначить как BT)
    4. BC (можно обозначить как BD)
    5. CA (можно обозначить как CB)
    6. CD
    7. FB
    8. FK
    9. FT
    10. FE

93. Запишите все отрезки, прямые и лучи, изображённые на рисунке 42.

  • Отрезки:
    1. AB (можно обозначить как BA)
    2. BK (можно обозначить как KB)
    3. AC (можно обозначить как CA)
    4. AD (можно обозначить как DA)
    5. DC (можно обозначить как CD)
    6. DB (можно обозначить как BD)
  • Прямые:
    1. AB (можно обозначить как BA)
    2. CB (можно обозначить как BC)
    3. AC (можно обозначить как CA, AD, DA, DC, CD, AK, KA, DK, KD, CK, KC)
    4. EF (можно обозначить как DE, EB, BE, ED, FE, DB, BD, DF, FD, BF, FB)
  • Лучи:
    1. AD (можно обозначить как AC, AK)
    2. AB
    3. BA
    4. BF
    5. BK
    6. CB (можно обозначить как CK, CD, CA)
    7. DE (можно обозначить как DA, DB, DF, DC, DK)

94. Начертите два луча так, чтобы их общая часть была:

1) точкой

Общей частью лучей  OS и OT  является их начальная точка O.

2) отрезком

Общей частью лучей KP и NM является отрезок KN.

3) лучом

Общей частью лучей AC и BC является луч BC.

95. Отметьте на плоскости точки М, К, Т и F так, чтобы луч МК пересекал прямую TF, а луч TF не пересекал прямую МК.

96. Начертите прямую АС, отрезки КЕ и BD, луч ST так, чтобы отрезок КЕ пересекал прямую АС и не пересекал луч ST, отрезок BD не пересекал прямую АС и отрезок КЕ и пересекал луч ST, а прямая АС и луч ST пересекались.

97. Начертите луч CD, прямую АВ и отрезки МК и ОР так, чтобы отрезок МК лежал на прямой АВ, отрезок ОР — на луче CD и чтобы прямая АВ пересекала отрезок ОР, а луч CD — отрезок МК.

98. Сколько лучей образуется, если на прямой отметить: 1) четыре точки; 2) 100 точек?

Каждая точка делит прямую на 2 части  — на 2 луча. Значит:

  1. если на прямой отметить 4 точки, то образуется 8 лучей (4 • 2 = 8)
  2. если на прямой отметить 100 точек, то образуется 200 лучей (100 • 2 = 200)

Обозначить образовавшиеся лучи можно множеством способов.

99. Точки А, В и С лежат на одной прямой. Найдите длину отрезка ВС, если АВ = 24 см, АС = 32 см. Сколько решений имеет задача?

Задача имеет 2 решения.

Решение 1 — точка В лежит между точками А и С

32 — 24 = 8 (см) — длина отрезка ВС

Ответ: ВС = 8 см.

Решение 2 — точка А лежит между точками С и В

32 + 24 = 56 (см) — длина отрезка ВС

Ответ: ВС = 56 см.

100. Точки М, К и N лежат на одной прямой. Найдите длину отрезка KN, если МК = 15 см, MN = 6 см.

Задача имеет 2 решения.

Решение 1 — точка N лежит между точками К и М

15 — 6 = 9 (см) — длина отрезка КN

Ответ: КN =9 см.

Решение 2 — точка М лежит между точками К и N

15 + 6 = 21 (см) — длина отрезка КN

Ответ: КN = 21 см.

101. На плоскости проведено пять попарно пересекающихся прямых. Каким может оказаться наименьшее количество точек пересечения этих прямых? Наибольшее количество?

Наименьшее количество точек пересечения пяти попарно пересекающихся прямых — одна:

  • прямая a пересекается с прямой b, с прямой c, с прямой d, с прямой e в точке O
  • прямая b пересекается с прямой a, с прямой c, с прямой d, с прямой e в точке O
  • прямая c  пересекается с прямой b, с прямой a, с прямой d, с прямой e в точке O
  • прямая d пересекается с прямой b, с прямой c, с прямой a, с прямой e в точке O
  • прямая e пересекается с прямой b, с прямой c, с прямой d, с прямой a в точке O

Наибольшее количество точек пересечения пяти попарно пересекающихся прямых — десять:

  • прямая a пересекается:
    • с прямой b в точке C
    • с прямой c в точке D
    • с прямой d в точке A
    • с прямой e в точке B
  • прямая b пересекается:
    • с прямой a в точке C
    • с прямой c в точке E
    • с прямой d в точке G
    • с прямой e в точке F
  • прямая c  пересекается:
    • с прямой b в точке E
    • с прямой a в точке D
    • с прямой d в точке L
    • с прямой e в точке K
  • прямая d пересекается:
    • с прямой b в точке G
    • с прямой c в точке L
    • с прямой a в точке A
    • с прямой e в точке H
  • прямая e пересекается:
    • с прямой b в точке F
    • с прямой c в точке K
    • с прямой d в точке H
    • с прямой a в точке B

Ответ: 1 точка, 10 точек.

102. На плоскости проведены три прямые. Каким может оказаться наибольшее количество частей, на которые эти прямые разбили плоскость, и каким — наименьшее?

Наибольшее количество частей плоскости получится в случае, если прямые попарно пересекаются между собой в максимальном количестве точек. Для трёх прямых это три точки пересечения. В результате плоскость будет разбита на 7 частей.

Минимальное количество частей плоскости получится в случае, если прямые не пересекаются вовсе, то есть они параллельны друг другу. В результате плоскость будет разбита на 4 части.

Ответ: 7 частей, 4 части.

103. Проведите шесть прямых и отметьте на них 11 точек так, чтобы на каждой прямой было отмечено ровно четыре точки.

104. На плоскости проведены три прямые. На одной прямой отмечено пять точек, на второй — семь точек, а на третьей — три точки. Какое наименьшее количество различных точек может оказаться отмеченным?

Наименьшее количество отмеченных точек — 12.

Ответ: 12 точек.

Упражнения для повторения

105. В парке растёт 168 дубов, берёз — в 4 раза меньше, чем дубов, а клёнов — на 37 деревьев больше, чем берёз. Сколько всего дубов, берёз и клёнов растёт в парке?

1) 168 : 4 = 42 (дерева) — берёзы.

2) 42 + 37 = 79 (деревьев) — клёны.

3) 168 + 42 + 79 = 289 (деревьев) — всего в парке.

Ответ: 289 деревьев.

106. Группа туристов прошла пешком 72 км, проехала на поезде расстояние в 5 раз большее, чем прошла пешком, а на автобусе проехала на 128 км меньше, чем на поезде. Сколько всего километров прошли и проехали туристы?

1) 72 • 5 = 360 (км) — проехали на поезде.

2) 360 — 128 = 232 (км) — проехали на автобусе.

3) 72 + 360 + 232 = 664 (км) — прошли и проехали всего.

Ответ: 664 км.

107. Отправившись в гости к Змею Горынычу, Баба-яга пролетела в своей ступе 276 км за 4 ч, а остальные 156 км прошла за 6 ч в сапогах-скороходах. На сколько скорость движения ступы больше, чем скорость движения сапог-скороходов?

1) 276 : 4 = 69 (км/ч) — скорость движения ступы.

2) 156 : 6 = 26 (км/ч) — скорость движения сапог-скороходов.

3) 69 — 26 = 43 (км/ч) — скорость движения ступы больше, чем скорость движения сапог-скороходов.

Ответ: на 43 км/ч.

108. По течению реки лодка проплывает 95 км за 5 ч, а против течения — 119 км за 7 ч. На сколько скорость движения лодки против течения меньше её скорости движения по течению?

1) 95 : 5 = 19 (км/ч) — скорость движения лодки по течению реки.

2) 119 : 7 = 17 (км/ч) — скорость движения лодки против течения.

3) 19 — 17 = 2 (км/ч) — скорость движения лодки против течения лодки меньше, чем скорость движения лодки по течению.

Ответ: на 2 км/ч.

109. На прямой отметили 20 точек так, что расстояние между любыми двумя соседними точками равно 4 см. Найдите расстояние между крайними точками.

Между 20 точками будет 19 промежутков.

4 • 19 = 76 (см) — расстояние между крайними точками.

Ответ: 76 см.

110. На прямой отметили точки так, что расстояние между любыми двумя соседними точками равно 5 см, а между крайними точками — 45 см. Сколько точек отмечено на прямой?

45 : 5 = 9 (шт) — промежутков по 5 см каждый.

Для того, чтобы образовалось 9 промежутков надо отметить 10 точек.

Ответ: 10 точек.

Задача от мудрой совы

111. Как расставить 16 учеников в три ряда, чтобы в каждом ряду их было поровну?

  • Если поставить учеников в три ряда по 5 человек, то задействовано будет только 15 человек, то есть 1 ученику места не хватит.
  • Если поставить учеников в три ряда по 6 человек, то придется задействовать 18 человек, то есть двух учеников не хватит. 

Это значит, что либо один человек должен стоять сразу во всех трёх рядах, либо два ученика должны стоять сразу в двух рядах каждый. Сделать это можно следующими (и подобными им) способами:

  • Ответы к учебнику для 5 класса. А. Г. Мерзляк
  • Переход на главную страницу сайта

Плоскость. Прямая. Луч

На этом уроке мы познакомимся с понятиями «отрезок», «прямая», «луч» и «плоскость». Рассмотрим расположение точек, отрезков, прямых и лучей в плоскости.

На прошлом уроке мы разобрались, как строить отрезок. Мы уже знаем, что отрезок – это прямая линия, ограниченная двумя точками.

Определение

Давайте начертим отрезок MN. Если продлить этот отрезок неограниченно за точку N, то мы получим новую фигуру, которая называется луч. У нас получился луч MN.

Точку М называют началом луча.

Если бы мы продлевали отрезок MN неограниченно за точку М, то у нас бы получился луч NМ, у которого точка N – начало луча.

Заметьте: обозначается луч большими заглавными буквами латинского алфавита, первой буквой записывают его начало, а затем букву, обозначающую какую-либо другую точку луча.

Обратите внимание, что луч имеет начало, но не имеет конца, т. е. он бесконечен в одну сторону.

Для того чтобы представить луч в окружающей среде, достаточно сфотографировать след от самолёта в безоблачном небе, где сам самолёт – это начальная точка, а след, оставленный на небе, – это прямая линия, которая бесконечна.

Либо солнечный луч, где начальная точка – это солнце, а конечной точки нет.

Определение

Если отрезок MN неограниченно продлевать в обе стороны – как за точку М, так и за точку N, то у нас получится фигура, которая называется прямой.

На рисунке у нас получилась прямая MN, также её можно назвать и прямая NМ. Как кому больше нравится!

Заметьте, что прямая не имеет ни начала, ни конца.

Любая точка прямой разделяет её на 2 луча.

В нашем случае точка О разделяет прямую MN на луч ОМ и луч ОN. Лучи, на которые точка разбивает прямую, называют дополнительными друг другу.

Представление о прямой можно получить, если сложить лист бумаги (линия, которая получилась при сгибе, и будет прямой) или туго натянуть верёвку.

В математике прямая представляется идеально ровной и бесконечной в обе стороны.

Прямую можно обозначить двумя вариантами.

1-й вариант: двумя заглавными буквами латинского алфавита, например MN. В таком случае говорят: «Прямая MN».

2-й вариант: прямую обозначают одной малой буквой, например m, и говорят: «Прямая m».

Давайте попробуем провести ещё одну прямую через эти же две точки.

У нас это не получится. Через любые две точки можно провести только одну прямую!

Точки, отрезки, лучи и прямые располагаются в плоскости. Примеры плоскостей в жизни мы встречаем каждый день. Представление о плоскости дают поверхности стола, оконного стекла или замёрзшего водоёма.

Только эти поверхности имеют границы, а плоскость в математике безгранична во всех направлениях. Мы рисуем фигуры на «кусках» плоскости, например в тетрадном листе или на школьной доске.

Теперь давайте рассмотрим расположение точек, отрезков, прямых и лучей в плоскости.

На рисунке изображены прямая EF и точки А, L, P и T. Точки А, E, F лежат на отрезке EF, а точки L, P, T не лежат на этом отрезке. Посмотрите, как это записывается.

Точки А, E, F лежат на луче EF, а точки А, E, F, Т лежат на луче FЕ. Посмотрите запись этих утверждений.

Точки А, E, F, Т лежат на прямой EF, а точки А, P, L – на прямой PL.

Обозначается это так:

Точка А лежит между точками Е и F. Точка L не лежит между точками Е и F, она находится вне отрезка EF. Точка Е лежит между точками А и Т, а точка А – между точками P и L.

На следующем рисунке изображены прямая a и прямая b.

Если две прямые имеют одну общую точку, то говорят, что они пересекаются в этой точке. В нашем примере прямые а и b пересекаются в точке О. Точка О делит каждую прямую на две части. Точка О – точка пересечения прямых.

Посмотрите на взаимное расположение прямых m и n:

Они не имеют общих точек. Если прямые не имеют общих точек, то говорят, что они параллельны.

Запомните!

·                    Прямая бесконечна.

·                    Отрезок ограничен.

·                    Луч имеет начало, но не имеет конца.

·                    Плоскость бесконечна.

Итоги

Итак, на уроке мы с вами разобрались в отличиях понятий «отрезок», «прямая», «луч». Научились их строить. Узнали, что такое плоскость, а также рассмотрели расположение точек, отрезков, прямых и лучей в плоскости.

 

ГДЗ По Математике 5 Класс. Плоскость. Прямая. Луч.

Далее


ГДЗ по Математике 5 класс Мерзляк А.Г.

§4. Плоскость. Прямая. Луч


Вопросы к параграфу

1. Является ли плоскость бесконечной?

2. Имеет ли прямая концы?

3. Сколько прямых проходит через две точки?

4. Как обозначают прямую?

5. Как называют части прямой, на которые её делит любая точка этой прямой? Как при этом называют эту точку?

6. Как обозначают луч?

7. С какими геометрическими фигурами вы познакомились в этом параграфе?


Решаем устно

1. Вычислите: 1) 312 • 10 2) 5 • 1 000 3) 100 •  10 000
4) 720 : 9 5) 480 : 4 6) 480 : 16
7) 1 212 : 12 8) 1 010 : 5 9) 1 515 : 15

2. Удвойте число 26. Найдите половину числа 26. Утройте число 27. Найдите треть числа 27.

3. Около школы растут берёзы и тополя, причём берёз восемь, а тополей — на 16 больше. Сколько всего деревьев растёт около школы? Во сколько раз берёз меньше, чем тополей?

4. В 10 ч утра со станции отправился поезд со скоростью 60 км/ч. На каком расстоянии от станции будет поезд в 15 ч того же дня, если будет двигаться с этой же скоростью и без остановок?

5. Таня и Миша учатся в одной школе. Таня живёт в доме около одной конечной остановки автобуса, а Миша — в доме около другой конечной остановки этого же маршрута. Когда они едут в школу, то Таня выходит на пятой остановке, а Миша — на седьмой. Сколько всего остановок на этом маршруте?

6. Верёвку разрезали на три куска так, что первый кусок оказался на 3 м короче второго и на 3 м длиннее третьего куска. На сколько метров третий кусок короче второго?


Упражнения

85. Отметьте в тетради точки М и К и проведите через них прямую. Отметьте на отрезке МК точку N. Принадлежит ли точка N прямой МК? Отметьте на прямой МК точку Р, лежащую вне отрезка МК. Запишите все возможные обозначения этой прямой. 

86. Проведите произвольную прямую и отметьте на ней точки А, В и С. Запишите все возможные обозначения этой прямой.

87. Рассмотрите рисунок 38. Верно ли утверждение: 1) точка Q принадлежит отрезку ME 2) точка Q принадлежит лучу EF 3) точка Q принадлежит лучу FE 4) точка Е принадлежит лучу MF и лучу FM 5) точка М принадлежит отрезку QE 6) точка М принадлежит прямой QE

88. Пересекаются ли изображённые на рисунке 39: 1) прямая СЕ и отрезок АВ 2) луч ОК и прямая СЕ 3) луч ОК и отрезок АВ

89. Пересекаются ли изображённые на рисунке 40: 1) прямая МР и отрезок EF 2) луч ST и прямая МР 3) отрезок EF и луч ST

90. Отметьте в тетради: 1) четыре точки, из которых никакие три не лежат на одной прямой 2) пять точек, из которых никакие три не лежат на одной прямой

91. На прямой АВ отмечены две точки М и N. Назовите фигуры, которые при этом образовались.

92. Запишите все отрезки, прямые и лучи, изображённые на рисунке 41.

93. Запишите все отрезки, прямые и лучи, изображённые на рисунке 42.

94. Начертите два луча так, чтобы их общая часть была: 1) точкой 2) отрезком 3) лучом

95. Отметьте на плоскости точки М, К, Т и F так, чтобы луч МК пересекал прямую TF, а луч TF не пересекал прямую МК.

96. Начертите прямую АС, отрезки КЕ и BD, луч ST так, чтобы отрезок КЕ пересекал прямую АС и не пересекал луч ST, отрезок BD не пересекал прямую АС и отрезок КЕ и пересекал луч ST, а прямая АС и луч ST пересекались.

97. Начертите луч CD, прямую АВ и отрезки МК и ОР так, чтобы отрезок МК лежал на прямой АВ, отрезок ОР — на луче CD и чтобы прямая АВ пересекала отрезок ОР, а луч CD — отрезок МК.

98. Сколько лучей образуется, если на прямой отметить: 1) четыре точки; 2) 100 точек?

99. Точки А, В и С лежат на одной прямой. Найдите длину отрезка ВС, если АВ = 24 см, АС = 32 см. Сколько решений имеет задача?

100. Точки М, К и N лежат на одной прямой. Найдите длину отрезка KN, если МК = 15 см, MN = 6 см.

101. На плоскости проведено пять попарно пересекающихся прямых. Каким может оказаться наименьшее количество точек пересечения этих прямых? Наибольшее количество?

102. На плоскости проведены три прямые. Каким может оказаться наибольшее количество частей, на которые эти прямые разбили плоскость, и каким — наименьшее?

103. Проведите шесть прямых и отметьте на них 11 точек так, чтобы на каждой прямой было отмечено ровно четыре точки.

104. На плоскости проведены три прямые. На одной прямой отмечено пять точек, на второй — семь точек, а на третьей — три точки. Какое наименьшее количество различных точек может оказаться отмеченным?


Упражнения для повторения

105. В парке растёт 168 дубов, берёз — в 4 раза меньше, чем дубов, а клёнов — на 37 деревьев больше, чем берёз. Сколько всего дубов, берёз и клёнов растёт в парке?

106. Группа туристов прошла пешком 72 км, проехала на поезде расстояние в 5 раз большее, чем прошла пешком, а на автобусе проехала на 128 км меньше, чем на поезде. Сколько всего километров прошли и проехали туристы?

107. Отправившись в гости к Змею Горынычу, Баба-яга пролетела в своей ступе 276 км за 4 ч, а остальные 156 км прошла за 6 ч в сапогах-скороходах. На сколько скорость движения ступы больше, чем скорость движения сапог-скороходов?

108. По течению реки лодка проплывает 95 км за 5 ч, а против течения — 119 км за 7 ч. На сколько скорость движения лодки против течения меньше её скорости движения по течению?

109. На прямой отметили 20 точек так, что расстояние между любыми двумя соседними точками равно 4 см. Найдите расстояние между крайними точками.

110. На прямой отметили точки так, что расстояние между любыми двумя соседними точками равно 5 см, а между крайними точками — 45 см. Сколько точек отмечено на прямой?


Задача от мудрой совы

111. Как расставить 16 учеников в три ряда, чтобы в каждом ряду их было поровну?


Проект урока математики по теме «Плоскость. Прямая. Луч». (5 класс)

​​​​​​​
Самостоятельная работа
DOCX / 12.37 Кб
Лист самооценки
DOCX / 13.61 Кб

Проект урока математики в 5 классе

Учитель

Лукина Светлана Владимировна

Место работы

МБОУ «Карагайская СОШ№2»

Должность

учитель математики

Предмет

математика

Класс

5

Тема

Плоскость. Прямая. Луч

Базовый учебник

Н.Я.Виленкин, В.И. Жохов, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбурд «Математика. 5 класс» М: «Мнемозина» 2015

Части проекта

1.Паспорт урока.

2.Технологическая карта хода урока.

3.Приложения.

Допускаются следующие аббревиатурные сокращения:

ПОР – планируемые образовательные результаты;

ЛР – личностные результаты;

МР –метапредметные результаты;

ПР – предметные результаты;

ПУД – познавательные учебные действия;

РУД – регулятивные учебные действия;

КУД – коммуникативные учебные действия.

Паспорт урока математики в 5 классе

Тема урока

Плоскость. Прямая. Луч

Учитель

Лукина Светлана Владимировна

Образовательная цель

Формирование познавательной культуры личности, развитие теоретического мышления пятиклассников на основе овладения правилами

Планируемые образовательные результаты

По окончании изучения темы ученик:

ЛР-1: активно и заинтересованно выполняет все задания на уроке;

ЛР-2: развивает готовность к самоообразованию

ПУД-1: определяет способы действий в рамках предложенных условий и требований

ПУД-2: корректирует свои действия в соответствии с изменяющейся ситуацией

ПУД-3:обобщает информацию и делает выводы

КУД-1:выполняет задания в сотрудничестве с одноклассниками

РУД-1: формулирует учебную задачу

РУД-2: контролирует и оценивает свою деятельность на уроке, результаты решения учебной задачи

РУД-3: адекватно оценивает свои учебные действия

ПР-1: распознаёт на чертежах геометрические фигуры: плоскость, прямая, луч.

Программные требования к образовательным результатам раздела «Обыкновенные дроби»

Ученик научится выполнять

Программное содержание

Плоскость. Прямая. Луч.

Мировоззренческая идея

Умение применять распознавать на чертежах геометрические фигуры: плоскость, прямую, луч обеспечивает практическую возможность использования этих знаний в разных сферах жизни

Ценностно-смысловые ориентиры

Наука. Познание. Культура

План изучения учебного материала

Сравнение фигур с отрезком.

Сравнение луча и прямой.

Сравнение луча и отрезка.

Основные понятия

Плоскость, прямая, луч

Тип урока

Урок изучения нового материала

Форма урока

Урок-размышление

Образовательная технология

Развивающего обучения

Оснащение урока

Компьютер, проектор,

Мизансцена урока

Традиционная

Домашнее задание

§4, № 86, 89, 106, доп. № 111.

Технологическая карта урока математики в 5 классе по учебнику Н. Я.Виленкин

Этапы урока

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

ПОР

Организационный момент

Приветствие, проверка подготовленности к учебному занятию, организация внимания детей.

Ну-ка, проверь, дружок!

Готов ли ты начать урок?

Всё ль на месте? Всё ль в порядке?

Книжка, ручка и тетрадка…

Включаются в деловой ритм урока.

2. Активизация знаний обучающихся.

Верным помощником на уроке у нас будет самая маленькая геометрическая фигура «Весёлая точка».

Прочитайте числа

180000509,

300001700,

608600005003

(фронтально)

Какое число нужно вписать в последнюю клетку?

(индивидуально по цепочке)

63:9+23:6·7+15=

63:7·9+6:10+24=

Выразите

в дециметрах: 50 см, 230 см, 67 м, 800 м

в метрах: 600 см, 30 дм, 2 км, 12000 мм

ЛР-1

ПР-1

ПУД-1

РУД-2

РУД-3

2. Расшифруйте слова:

КОСТЬПЛОС,

МАЯПРЯ,

РЕЗООТК,

КАТОЧ,

ЧУЛ,

ТКИНИ.

Все ли расшифрованные слова вам знакомы?

Где вы с ними встречались?

Какое слово лишнее?

Все эти слова сегодня помогут нам сделать открытие.

Это слова «плоскость», «прямая», «отрезок», «точка», «луч», «нитки».

На уроке математики, а нитки на уроке труда.

Нитки. Они не относятся к уроку математики

Целеполагание

Рассмотрите фигуры на доске.


В какие группы фигуры можно объединить?

Но возникает проблема: куда можно отнести фигуры 1, 3 и 4?

В ходе рассуждения:

можно разбить на 3 группы: мы рассмотрим «отрезки»

ЛР-1

РУД-1

Изучение нового материала

Понятие плоскости

(с. 27-28 рассмотреть на окружающих примерах)

Сравните фигуры с отрезком

Что можно сказать?

Можно ли эту фигуры назвать отрезком? Почему?

Давайте выполним одну операцию.

В руках у меня 2 катушки тесьмы.

Мы раздвигаем их в разные стороны.

Что заметили?

Можно ли её продолжить в обоих направлениях?

А эту прямую можно изобразить на доске?

(Строим на доске, а дети в тетради).

Без начала и без края линия прямая,

Хоть 100 лет по ней идти,

Не найдёшь конца пути.

(Эта геометрическая фигура – прямая. )

У людей есть имена, у животных клички.

А прямую линию можно обозначить одной или двумя буквами.

Предложите имя прямой линии.

Вывод: у прямой линии нет ни начала, ни конца.

Мы можем изобразить только маленькую часть прямой линии. Её можно продолжить.

Весёлая Точка поможет нам ещё поработать с прямой линией.

Поставьте точку, проведите через неё прямую линию.

Можно ещё провести линию через эту точку?

Сколько прямых линий можно провести через одну точку?

Поставьте 2 точки.

Через эти точки проведите прямую линию.

Можно ли ещё провести?

А К

Вывод: через 1 точку можно провести сколько угодно линий, а через 2 точки – только 1.

Теперь прямую линию я разрежу.

(К месту разреза прикреплю Солнышко).

Что получилось?

На что похоже?

О новой фигуре разносится весть

Конца пусть в ней нет,

Начало-то есть!

И солнце, тихонько взойдя из-за туч,

Сказало: «Друзья, назовём его луч!»

Можно ли продолжить луч со стороны разреза?

А с другой стороны?

СРАВНИТЕ луч и прямую линию.

Начертите луч на доске и в тетради

Луч обозначается двумя прописными буквами.

На первом месте всегда указывается начало луча.

Поставьте точку, проведите луч, а ещё можно провести из этой точки, ещё…

Какие лучи бывают?

Вывод: луч – это прямая линия, ограниченная с одной стороны. Из 1 точки можно провести бесконечное множество лучей.

Это прямая линия, только в воздухе

Луч солнца

Нет, мешает круг и нечего продолжать

Можно продолжить до бесконечности

Прямую линию можно продолжить в обе стороны.

Луч только в одну.

Луч имеет начало

Солнечные лучи, лампа, фонарик и т.д.

ЛР-1

ПУД-1

ПУД-3

КУД-1

РУД-2

РУД-3

ПР-1

Физкультминутка.

У луча я отрезаю ту часть, которую можно продолжить…и прикреплю ещё одну точку.

Что получилось?

Линия, ограниченная с двух сторон.

СРАВНИТЕ луч и отрезок.

Можно отрезок изобразить на доске и в тетради?

Точки две поставь в тетради,

Чтоб потом нарисовать между ними

Под линеечку – прямую,

И окажется, мой друг,

Что отрезок вышел вдруг,

Только точкам имена дать ты

Не забудь!

Отрезок обозначается двумя буквами, но порядок при чтении и записи не имеет значения.

Вывод: отрезок – это часть прямой, ограниченная с двух сторон.

Что нового узнали об этих фигурах?

Вывод: луч, прямая – это геометрические фигуры.

Работа с учебником §4 с.17-28.

Отрезок

У луча есть только начало.

Отрезок имеет и начало и конец.

ЛР-2

Первичное закрепление нового материала.

Задание 1.

На доске изображены геометрические фигуры

Найдите отрезок, луч, прямую. Обоснуйте свой ответ.

Можно ли сказать, что они пересекающиеся?

А могут ли они пересечься?

ЛР-1

ПУД-1

РУД-2

ПР-1

Обучающая самостоятельная работа.

Самостоятельная работа

Плоскость. Прямая. Луч

Приложение 2

ЛР-1

РУД-2

ПР-1

Подведение итогов урока.

Вопросы: 1-7 с. 29.

Соедините названия фигуры с фигурой.

Подберите правильное название.

ОТРЕЗОК ЛУЧ ПРЯМАЯ ПЛОСКОСТЬ

ПРЯМАЯ – не имеет начала и конца; можно обозначать одной или двумя буквами; через одну точку можно провести сколько угодно линий, через две – только одну.

ЛУЧ — прямая, ограниченная с одной стороны; продолжать можно только в одну сторону; из одной точки можно провести сколько угодно лучей; лучи бывают разные.

ОТРЕЗОК – прямая линия, ограниченная с двух сторон; на одной прямой может быть несколько отрезков; любую прямую можно превратить в отрезок.

ПЛОСКОСТЬ — воображаемая геометрическая модель; модели части плоскости: тетрадь, крышка стола, пол, стены, поле, море и т.д. Плоскость бесконечна, её нельзя изобразить.

Нарисуйте свое настроение в виде солнышка в конце урока.

Вы сегодня дружно и творчески работали (Оценивается работа обучающихся).

ЛР-1

ПУД-1

РУД-2

РУД-3

ПР-1

Домашнее задание

§4, № 86, 89, 106, доп. № 111.

Урок 3.

Плоскость. Прямая. Луч

Класс

  • 1 класс

  • 2 класс

    • Математика
    • Английский язык
  • 3 класс

    • Английский язык
    • Русский язык
    • Математика
  • 4 класс

    • Математика
    • Русский язык
    • Английский язык
  • 5 класс

    • Биология
    • Английский язык
    • Русский язык
    • Математика
  • 6 класс

    • Математика
    • Биология
    • Английский язык
    • Русский язык
  • 7 класс

    • Химия
    • Английский язык
    • Русский язык
    • Физика
    • Математика
    • Биология
  • 8 класс

    • Английский язык
    • Биология
    • Химия
    • Математика
    • Физика
    • Русский язык
  • 9 класс

    • Химия
    • Биология
    • Английский язык
    • Физика
    • Русский язык
    • Математика
  • 10 класс

    • Биология
    • Математика
    • Физика
    • Химия
    • Английский язык
  • 11 класс

    • Химия
    • Английский язык
    • Биология

5 КЛАСС

Урок 3.
Плоскость. Прямая. Луч
Помним: отрезок это часть прямой, у отрезка есть и начало и конец. Прямая не имеет ни начала, ни конца.
Помним, что для того чтобы обозначить прямую достаточно указать любые две точки лежащие на этой прямой. 
Если сомневаешься, приложи линейку, так, чтобы прямая совпала с линейкой, все точки, которые при этом окажутся на линейке  - принадлежат прямой, остальные точки прямой не принадлежат.
Помним: у луча есть начало и нет конца. При обозначении луча на первом месте стоит буква, которая и есть начало луча. Луч можно продлить в сторону противоположную точке, которая обозначает начало луча.
Помним, что у прямой нет ни начала, ни конца. Прямую можно продлить в обе стороны  сколько угодно далеко.
Помним, что отрезок имеет и начало и конец. Отрезок ограничен точками , которые обозначают его начало и конец. Отрезок не продлевается.
Обратите внимание, на то, что точки А и С (концы отрезка АС) должны лежать в противоположной стороне от точки В
Возьми листок бумаги, начерти на нем две пересекающиеся прямые, а затем разрежь этот лист по прямым которые ты начертил.  У тебя получилось 4 части. Эти части и есть кусочки плоскостей.
Помним, что отрезок лежит на прямой. Чтобы ответить на вопрос , продли стороны треугольника (по линейки) в обе стороны.
Помним , что любой отрезок лежит на прямой.
Помним, чтобы обозначить прямую, достаточно указать две точки лежащие на прямой.
Помним, чтобы обозначить отрезок нужно записать точки, которые являются началом и концом этого отрезка.
Помним, что при обозначении луча на первом месте стоит та точка, которая является началом луча. Луч можно продолжить только в одну сторону, противоположную началу луча.
Помним, что у луча нет конца, поэтому луч можно продлить в одну сторону сколь угодно далеко.
Устный счет укрепляет память.
Повтори таблицу умножения.
Пригодится вспомнить правило умножения на разрядную единицу типа 10; 100; 1000 и т.д.
а +в = с
а - уменьшаемое 
в - вычитаемое
с - разность
Работает свойство нуля!!!
Неполное частное, которое будет делиться на число считай за первую цифру частного, сосчитай сколько цифр осталось и прибавь к ним единицу. 
 100см = 1м
1000 м = 1 км
В задании не сказано как именно должны быть расположены отрезки, поэтому расположить отрезки на своем чертеже можно не однозначно.
Помним, что название фигуры зачастую зависит от количества ее вершин.
4 вершины - четырехугольник;
5 вершин - пятиугольник и т.д.
1дм = 10см;
1 м = 10 дм = 100см;
1 км = 1000 м = 10 000 дм = 100 000 см = 1 000 000мм.
Устный счет укрепляет память!!!
Если в числе отсутствует класс, пишем три нуля!!!
классы от младшего к старшему:
класс единиц; класс тысяч; класс миллионов; класс миллиардов. 
Читаем числа начиная со старшего класса!
стр учебника 23
Основная формула - это формула пути S = V*t.
Первыми выполняют действия в скобках.
Помним, что у прямой нет ни начала ни конца.
точка может лежать на продолжении прямой. Проверить это можно, если продлить прямую используя линейку.
Помним, что у луча есть начало, но нет конца.  Луч можно продлить в сторону противоположную точке, которая является началом луча. При обозначении луча, точка стоящая на первом месте обозначает начало луча.
Луч ОА ограничен точкой О, поэтому все лучи образованными точками лежащими на нем имеют начало в этих точках.
Отрезок фигура ограниченная. У отрезка есть и начало и конец.
Прямая фигура не ограниченная. У прямой нет ни начала ни конца. Прямую можно продлить неограниченно в обе стороны.
Помним, что длина отрезка равна сумме своих частей.
Помним формулу пути:
S=V*t
Порядок выполнения действий:
- в скобках;
- умножение деление;
- сложение вычитание.
Смотри рисунок:
1 косая сажень это 248см;
1 локоть это 15см;
1 маховая сажень это 176см.

Вопросники:

Вопрос:

Вопрос:

Вопрос:

Пары:

Последовательности:

Технологическая карта урока по теме «Прямая. Луч. Отрезок» предмет Математика 5 класс

Учитель

Сания Юсуповна Александрова

Тема

Прямая. Луч. Отрезок.                    Место в общей структуре курса: Глава 2. Измерение велечин, п.2.1. Прямая. Луч. Отрезок (1-й из 2-х)

Цель

Образовательная: формирование представлений о прямой, отрезке, луче; овладение умениями строить и измерять отрезки; строить прямую, луч, отрезок, измерять отрезок; развитие логического, мышления и интуиции, творческих способностей в области математики.

Развивающие: совершенствование практических навыков построения геометрических объектов.

 Воспитательные: укреплять учебное сотрудничество, воспитывать самостоятельность, настойчивость и трудолюбие. 

Тип/Форма урока

комбинированный.

Используемые ресурсы

ЦОР, ЭОР, раздаточный материал, презентация

Планируемые результаты:

Предметные

Имеют представление об отрезке, луче, о прямой линии, о пересечении прямых линий, о параллельных прямых; умеют работать по заданному алгоритму, доказывать правильность решения с помощью аргументов.

Могут воспроизводить прочитанную информацию с заданной степенью свернутости; умеют построить прямую, параллельную данной, проходящую через точку вне этой прямой, работать по заданному алгоритму, решать проблемные задачи и ситуации.

Метапредметные результаты: уметь рассуждать и делать выводы при составлении формулировок новых правил; грамотно излагать свои мысли; работать с учебником; показать хорошие результаты вычислительных навыков; развить память.

Личностные

четко выражать свои мысли, уметь работать в коллективе, слушать собеседника и вести диалог, аргументированно отвечать на вопросы собеседника.

Технологическая карта урока  по теме «Прямая. Луч. Отрезок»  предмет Математика  5 класс

Дата  _______________  (основная школа)

Этап урока

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

познавательная

коммуникативная

регулятивная

1. Организационный (1 мин)

Цель: подготовить учащихся к работе

 (Приветствие учащихся; проверка их готовности к уроку, организация внимания детей)

Приветствуют учителя, настраиваются на урок, записывают в тетрадь число и «классная работа»

  1. Проверка домашнего задания  (1мин)

Организует проверку домашнего задания. Самопроверка — ответы на слайде  2,3. №314,316

Обсуждение полученного результата.

Ввести самостоятельный поиск ошибок, сравнивать разные виды решений

проводят анализ пройденного учебного материала

Осуществлять взаимопроверку

Вносить необходимые коррективы после его завершения на основе его оценки и учета характера сделанных ошибок

3. Мотивация Целеполагание

Устная работа

Актуализация знаний

В начале урока давайте проведем разминку – в виде устной работы:

Слайд 5-8                            Устный счет:

1.Прочитайте многозначные числа.

2. Решение по цепочке.

3.Единицы измерения длины.

4. Решение  задач на нахождение двух чисел по их сумме и разности.

Алгоритм.

проводят анализ пройденного учебного материала

Развивают вычислительные навыки

Повторяют темы: «Запись и сравнение натуральных чисел», «Действия с натуральными числами» , «Единицы измерения», «Решение задач на нахождение двух чисел по их сумме и разности»

отвечают на вопросы

сслушают и понимают речь других

 

отличать верно выполненное задание от неверного

\

4. Выявление места и причины затруднения.

 Создать проблемную ситуацию, спрогнозировать предстоящую деятельность

Слайд 9-11.  Рассмотрим следующую задачу:

Задача 1.  Мама дала сыну и дочери вместе 64 рубля. Дочери она дала на 4 рубля больше, чем сыну. Сколько денег она дала каждому?

Задача 1)64-4=60(Р) СТАЛО

2)60/2=30(р) –было у сына

3)30+4=34(Р)-было у дочери

Ответ:30 и 34

Алгоритм решения задач на нахождение двух чисел по их сумме и разности?

Слайд 14. Алгоритм решения задач на нахождение двух чисел по их сумме и разности:

1) Условие задачи  записать в виде схемы.

2) Вычесть из общей суммы «лишнее» (уравнять  количество).

3) Разделить количество поровну.

4) Ответить на вопрос задачи.

-Рассмотрите фигуры на доске.

Изображены прямые и отрезки. — На какие группу их можно разбить?

(В ходе рассуждения можно разбить на 2 группы- «отрезки» и «прямые»)

-Но возникает проблема: куда можно отнести фигуру?(луч)

-Сравните фигуру с уже известными нам.

-Что можно сказать?

-Можно ли эту фигуру назвать отрезком? Почему?

-Может её включим в группу прямых? Почему?

-На какой поверхности располагаются данные объекты?

Ребята, скажите кто-нибудь догадался какая сегодня  тема урока? («Прямая. Луч. Отрезок»)

Чему нужно научиться?

Предлагаются вопросы для построения плана (смотрим кто не поднял руку и сколько таких обучающихся, для кого это проблема):

  • Что называется плоскостью?
  • Что называется прямой?
  • Что называется лучом?
  • Что называется отрезком?
  • Что общего у этих фигур?
  • Какие различия вы видите?

Задание. Давайте проверим, правильно ли вы ответили на эти вопросы, и ребята которые так и не смогли на них ответить нам сейчас в этом помогут.

— Сформулируем цель сегодняшнего урока.- Чтобы достичь этой цели какую задачу поставим перед собой?

Что я хочу получить сегодня от урока?

Обсудить план работы на уроке с учащимися.

Учащиеся знакомятся с содержанием задачи. Предлагают свои решения.

Ставят перед собой цель: «Что я хочу получить сегодня от урока»

Предлагают план работы.

 Уметь с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли.

Формулируют тему и ставят цель урока вместе с учителем и записывают тему урока в тетради.

Планируют учебное сотрудничество с учителем и одноклассниками

целеполагание, планирование,

выполняют тренировочное учебное действие

Определять и формулировать цель деятельности на уроке.

формулировать учебные задачи;

5. Восприятие и осмысление учащимися нового материала

Записать тему урока.

Плоскость.

Прямая. И ее обозначение.

Луч. Обозначение

Отрезок. Обозначение

Примеры решения задач.

Учащиеся решают задачу, затем сверяют свое решение с решением отвечающего у доски, корректируют, при необходимости, ход решения

  умение осуществлять поиск и выделять необходимую информацию

6. Физкультминутка

Давайте немного передохнем.

Поднимает руки класс – это «раз».
Повернулась голова – это «два».
Руки вниз, вперед смотри – это «три».
Руки в стороны по шире  развернули на «четыре»,
С силой их к плечам прижать – это «пять».
Всем ребятам надо сесть – это «шесть».

Учащиеся повторяют действия.

7. Закрепление  изученного.

Закрепить полученные знания.

Отработать умение   решать задачи на нахождение двух чисел по их сумме и разности

Работа в парах(Раздать карточки)

Слайд №18

Пересекающиеся прямые.

Параллельные прямые.

Практическая работа.

Уметь проговаривать порядок действий при решении задачи.

коллективное обсуждение проблем (при необходимости)

8. Самостоятельная работа с самопроверкой

 Выяснить уровень усвоения изучаемого материала

Организует самопроверку по эталону. Слайд 19,20

Организует выявление места и причины затруднений, работу над ошибками.

Ответы

Собираются карточки и выставляются оценки за работу на уроке.

Работать самостоятельно тетради.

Уметь выполнять работу по предложенному плану. Уметь вносить необходимые коррективы в действие после его завершения на основе его оценки и учёта характера сделанных ошибок

 Определяют

 границы знания/незнания.

Анализ, логические рассуждения, выбор наиболее эффективных способов решения заданий.

Выполняют задание,

проверяют и обсуждают решение.

Адекватно самостоятельно оценивать правильность выполнения действия.

Осуществляют самоконтроль учителем и одноклассниками давать оценку своей деятельности на уроке.

9. Подведение итогов урока.

Контроль усвоения, обсуждение допущенных ошибок и их коррекция

— Мы переходим к последнему этапу.

 Подводим итог работы на уроке. Давайте обсудим:

-какие задачи вызвали у вас затруднения и почему?

 Какую цель ставили? Достигли цели ?Почему ?

 Назовите правило, которые мы сегодня выучили.

Слайд.21. Алгоритм решения задач на нахождение двух чисел по их сумме и разности:

1) Условие задачи  записать в виде схемы.

2) Вычесть из общей суммы «лишнее» (уравнять  количество).

3) Разделить количество поровну.

4) Ответить на вопрос задачи.

Дать качественную оценку работы класса и отдельных   обучаемых.

Уметь определять уровень усвоения учебного материала.

Учащиеся формулируют алгоритм решения задач на нахождение двух чисел по их сумме и разности.

Учащиеся формулируют алгоритм решения задач на нахождение двух чисел по их сумме и разности.

10.Домашнее задание.

Слайд.22 Домашнее задание: №281 (б),282(б), 284 (б)

Дает краткое пояснение каждого примера домашнего задания.

Сформирован навык для правильного выполнения домашнего задания

Записывают домашнее  задание.

11.Рефлексия

А теперь давайте попытаемся понять, что же каждому из нас дал сегодняшний урок.

— Интересно ли вам сегодня было? Как мы сегодня поработали?

— А что же нового вы узнали сегодня на уроке?

— Довольны ли вы результатами?

— Что понравилось в работе?

— Какие трудности испытывали?

— Как их преодолевали?

Пригодятся ли в жизни полученные знания? Где? Что на уроке было самым сложным? Простым? 

— С чего бы вы предложили начать следующий урок?

Итак, вы сегодня решали взрослые жизненные задачи. Они, конечно, упрощены и их не настолько много, как встречается в жизни. Но с каждым днем вы взрослеете, и задачи усложняются вместе с вами.

Личностные: проводят самооценку, учатся адекватно принимать причины успеха (неуспеха)

Познавательные: проводят рефлексию способов и условий своих действий

Выделение и осознание учащимися того, что уже усвоено и что ещё подлежит усвоению, осознание качества и уровня усвоения.

Используют критерии для обоснования своих суждений

Выражают  свои мысли.

Дают  оценку своей деятельности на уроке.

Проводят рефлексию своей деятельности на уроке

Организация пространства

Формы работы

Ресурсы

Фронтальная

Работа в парах

Индивидуальная

Книгопечатная продукция:

Базовый учебник: Математика. 5 класс: учеб. Для общеобразоват. учреждений / С.М. Никольский, М.К. Потапов, Н.Н. Решетников, А.В. Шевкин. – 11-е изд., дораб. – М.: Просвещение, 2012-272с.:ил. – (МГУ – школе).

Технические средства обучения:

компьютер,

медиапроектор.

Экранно-звуковые пособия:

презентация в  Power Point.

точек и линий — SAS

Начните с вопроса учащимся, что они знают о точке (например, как она выглядит, каковы ее свойства?) (Ответы учащихся могут включать: она не имеет определяемых размеров ширины, длины, высоты ; выглядит как точка и т. д.)  [IS.6 — Все учащиеся] Объясните учащимся, что мы будем использовать пенни в качестве обозначения точки.

Дайте каждому учащемуся запас монет (приблизительно по 10 монет на каждого учащегося). [РП.7 — Проблемные учащиеся] Каждый учащийся должен положить на парту две монетки, обозначающие два очка. Используйте образец монет, чтобы понять, как они должны выглядеть после того, как их положат на стол (M-G-1-1_Pennies Sample. doc).

Попросите учащихся использовать дополнительные монеты, чтобы соединить исходные две точки. Позвольте учащимся интерпретировать слово , соединяющее , как им нравится; им не нужно создавать прямую линию из монет, соединяющую две монеты. Обсудите различные студенческие решения и толкования слова 9.0011 соединить .

Теперь попросите учащихся соединить две точки, используя как можно меньше монет. Попросите их понаблюдать за расположением монет на столе. [IS.8 — Все учащиеся] Наблюдения должны включать в себя то, что монеты образуют прямую линию, что они использовали минимальное количество монет и т. д.

Определите линию монет, соединяющую две исходные точки, как отрезок. Задайте учащимся следующие вопросы, чтобы еще больше укрепить связь между точками и отрезками:

» Из чего сделан ваш отрезок?» ( пенни/пунктов )

« Можно ли сделать еще один отрезок, чтобы соединить две точки?» ( no )

Расскажите о линиях (в отличие от отрезков), используя следующие вопросы:

« Насколько длиннее вы могли бы сделать свой отрезок?»

» Могли бы вы продлить его навсегда, если бы у вас было достаточно копеек?»

Определить линию как сегмент линии, который продолжается вечно, поэтому у него нет ни начала, ни конца.

Спросите учащихся, как они называют луч света, исходящий от солнца ( луч ). Спросите, есть ли у солнечного луча начало и конец, если он продолжает двигаться в пространстве. Используйте эту идею, чтобы помочь определить луч как отрезок линии, который всегда продолжается только от одной конечной точки.

Обозначьте одну монету как точку A, а другую — как точку B. На доске запишите обозначения отрезка AB (), прямой AB (), луча AB (), луча BA () и длины отрезка AB ( м ( АВ) ). Спросите учащихся, какой из них, скорее всего, представляет собой отрезок, который представляет собой линию, который представляет собой луч. Спросите учащихся, что они думают о последнем обозначении (мера отрезка). Объясните, что это такое и чем оно отличается от обозначения отрезка AB. (Возможные ответы: м обозначает меру; на нем нет стрелок, над ним нет линии.) Ниже приведены схемы для справки.

Попросите учащихся найти длину их отрезков в центах (например, Мой отрезок равен 10 центам).

Предложите учащимся рассмотреть каждый из своих отрезков, построенных из монет. Спросите учащихся:

« Пересекаются ли какие-либо из этих отрезков?» ( нет )

« Значит ли это, что они параллельны ?» ( нет )

« Почему бы и нет?» ( Параллельно означает, что они находятся на одинаковом расстоянии друг от друга по всему пути .)

» Если бы каждый из этих отрезков был продолжен в линии, они бы пересеклись?» ( Да, потому что они не параллельны .)

Выберите двух учеников и дайте им веревку, чтобы они могли удлинить свои пенни-линии так, чтобы они пересекались.

Теперь нарисуйте следующее: .

Раздайте классу копии эталонов определения ракурсов (M-G-1-1_Angles.doc) и попросите учащихся изучить различные ракурсы. Объясните учащимся, что углы образуются, когда два луча пересекаются в общей начальной точке, и измеряются в зависимости от того, какой оборот они охватывают. Угол, на который совершается полный оборот, составляет 360 градусов. При желании продемонстрировать измерения углов с помощью транспортира. Объясните учащимся, что острыми углами являются любые углы, меньшие 90 градусов, но более 0 градусов. Также объясните, что тупые углы — это углы, величина угла которых находится в диапазоне от 90 до 180 градусов. Предложите учащимся посмотреть на разные углы на странице и посмотреть, как выглядят примеры каждого вида угла.

После того, как учащиеся посмотрели на углы, попросите их исследовать комнату, чтобы определить различные углы предметов. [IS.9 — Все студенты] Большинство объектов, которые они находят, состоят из углов в девяносто градусов.

Укажите на один из 90-градусных углов, которые учащиеся назовут, и попросите их посмотреть на точку, где встречаются два луча, составляющие угол. Объясните классу, что эта точка называется 9.0011 вершина угла .

Теперь нарисуйте на доске линию, но на этот раз поставьте на ней три точки. Скажите классу, что если все три точки лежат на одной прямой, то эти три точки называются коллинеарными . Однако не все наборы из трех точек лежат на одной прямой (покажите, нарисовав три точки в форме треугольника. Как бы вы ни старались, вы не можете соединить все три точки прямой линией. Теперь попросите учащихся нарисовать наугад три точки и посмотреть, можно соединить все три одной прямой линией.0005

Объедините учащихся в пары и нарисуйте в классе различные объекты, состоящие из прямых линий (например, черно-белую доску, края стен, пол, потолок, парты, двери). Попросите партнеров нарисовать как минимум три разных объекта и обязательно укажите на некоторые объекты, у которых нет параллельных или перпендикулярных линий. Затем учащиеся должны обозначить каждую точку пересечения разными буквами. Попросите их перечислить каждый сегмент линии на рисунке. Затем попросите учащихся определить любые сегменты прямых, которые кажутся параллельными. Наконец, попросите учащихся измерить длину каждого сегмента линии (реального сегмента линии в комнате, а не нарисованного на бумаге) и записать размеры каждого сегмента линии (M-G-1-1_Пример рисования линии. doc). [IS.10 — Проблемные учащиеся]

Попросите нескольких учащихся представить свои результаты. [IS.11 — Все учащиеся] Убедитесь в правильности использования обозначений (убедитесь, что учащиеся различают объект и измерение объекта). Обсудите с учащимися существование отрезков в реальном мире. Также обсудите частоту параллельных линий: «Почему так много вещей в мире параллельны или почти параллельны?» ( помогает в строительстве, создает прочные конструкции и т. д. .). Поощряйте аудиторию задавать вопросы каждому выступающему для уточнения или объяснения вершин, отрезков и параллельных линий. [IS.12 — Все учащиеся]

В качестве выходного задания попросите учащихся перечислить на листе бумаги по одному реальному примеру каждого из них: точка, прямая, отрезок прямой, луч, пересечение, параллельные прямые. [IS.13 — Все учащиеся] В качестве альтернативы раздайте учащимся выходной билет на урок 1 (MG-1-1_Lesson 1 Exit Ticket. doc), который они должны заполнить и сдать перед выходом из класса.

  • Попросите учащихся визуализировать стрелки аналоговых часов с их положением в 8 часов 45 минут.  [ИС.14 — Все учащиеся] Оставив часовую стрелку на том же месте, какова мера угла между минутной стрелкой и часом рука в 9:00? в 9:15? в 9:30? [90 градусов, 180 градусов, 270 градусов]

  • Обратите внимание учащихся на то, что углы, превышающие 180 градусов, называются рефлекторными углами, и их также можно представить путем вычитания из 360 градусов. Например, если из 360 градусов вычесть 270 градусов, получится 9.0 градусов, что является мерой угла между 9 и 6 на аналоговых часах.

  • Найдите эквивалентную угловую меру для следующих рефлекторных углов.

  • 1. 350 градусов [10 градусов]

  • 2. 183 градуса [177 градусов]

  • 3. 370 градусов [10 градусов]

  • 4. 720 градусов [0 градусов]

Средства освещения аэропорта

  1. Системы огней приближения (ALS)
    1. ALS обеспечивает основные средства для перехода от полета по приборам к визуальному полету для посадки. Эксплуатационные требования диктуют сложность и конфигурацию системы огней приближения для конкретной взлетно-посадочной полосы.
    2. ALS представляет собой конфигурацию сигнальных огней, начинающихся у посадочного порога и распространяющихся в зону захода на посадку на расстояние 2400–3000 футов для взлетно-посадочных полос с высокоточными приборами и 1400–1500 футов для взлетно-посадочных полос с неточными приборами. Некоторые системы включают в себя последовательные мигающие огни, которые кажутся пилоту световым шаром, движущимся к взлетно-посадочной полосе с высокой скоростью (дважды в секунду). (См. рис. 2-1-1.)
  2. Визуальные индикаторы глиссады
    1. Визуальный указатель наклона захода на посадку (VASI)
      1. Установки VASI могут состоять из 2, 4, 6, 12 или 16 световых блоков, расположенных в полосах, называемых ближней, средней и дальней полосами. Большинство установок VASI состоят из 2 полос, ближней и дальней, и могут состоять из 2, 4 или 12 световых блоков. Некоторые VASI состоят из трех полос: ближней, средней и дальней, которые обеспечивают дополнительную визуальную глиссаду для размещения самолетов с высокой кабиной. Эта установка может состоять из 6 или 16 световых модулей. Установки ВАСИ, состоящие из 2, 4 или 6 световых блоков, располагаются с одной стороны взлетно-посадочной полосы, обычно с левой. Если установка состоит из 12-ти или 16-ти световых блоков, блоки располагаются по обеим сторонам взлетно-посадочной полосы.
      2. Установки VASI с двумя стержнями обеспечивают одну визуальную глиссаду, которая обычно устанавливается на 3 градуса. Установки VASI с тремя стержнями обеспечивают две зрительные дорожки скольжения. Нижняя глиссада обеспечивается ближней и средней полосами и обычно устанавливается на 3 градуса, в то время как верхняя глиссада, обеспечиваемая средней и дальней полосами, обычно на 1 / 4 градуса выше. Эта более высокая глиссада предназначена для использования только самолетами с высокой кабиной, чтобы обеспечить достаточную высоту пересечения порога. Хотя нормальные углы глиссады составляют три градуса, углы в некоторых местах могут достигать 4,5 градусов, чтобы обеспечить надлежащий запас высоты над препятствиями. Пилотов высокопроизводительных самолетов предупреждают, что использование углов VASI, превышающих 3,5 градуса, может привести к увеличению длины взлетно-посадочной полосы, необходимой для посадки и выкатывания.
      3. Основным принципом VASI является цветовое различие между красным и белым. Каждая световая единица проецирует луч света, имеющий белый сегмент в верхней части луча и красный сегмент в нижней части луча. Световые приборы расположены таким образом, что пилот, использующий VASI во время захода на посадку, видит показанную ниже комбинацию огней.
      4. VASI представляет собой систему огней, устроенную таким образом, чтобы предоставлять визуальную информацию для управления снижением во время захода на посадку на взлетно-посадочную полосу. Эти огни видны с расстояния 3-5 миль днем ​​и до 20 миль и более ночью. Визуальная глиссада VASI обеспечивает безопасный пролет препятствий в пределах плюс-минус 10 градусов от удлиненной осевой линии ВПП и до 4 морских миль от торца ВПП. Снижение с использованием VASI не следует начинать до тех пор, пока воздушное судно не будет визуально выровнено с взлетно-посадочной полосой. Боковое наведение по курсу обеспечивается взлетно-посадочной полосой или огнями взлетно-посадочной полосы. В определенных обстоятельствах безопасная зона пролета препятствий может быть уменьшена за счет сужения ширины луча или сокращения полезного расстояния из-за местных ограничений, или VASI может быть смещен от удлиненной осевой линии ВПП. Это будет указано в Дополнении к картам США и/или в соответствующих Уведомлениях о воздушных полетах (NOTAM).

        Рис. 2-1-1
        Конфигурации точности и непреодолимого.

      5. Для 2-полосного VASI (4 световых блока) см. РИС. 2-1-2.

        РИС. 2-1-2
        2-бар VASI

      6. Для VASI с 3 полосами (6 ламп) см. РИС. 2-1-3.

        РИС. 2-1-3
        3-бар VASI

      7. Другие конфигурации VASI см. на рис. 2-1-4.

        РИС. 2-1-4
        Варианты VASI

    2. Индикатор точного захода на посадку (PAPI). В указателе пути точного захода на посадку (PAPI) используются световые блоки, аналогичные VASI, но устанавливаемые в один ряд из двух или четырех световых модулей. Эти огни видны с расстояния около 5 миль днем ​​и до 20 миль ночью. Визуальная глиссада PAPI обычно обеспечивает безопасный пролет препятствий в пределах плюс-минус 10 градусов от удлиненной осевой линии ВПП и до 3,4 м. миль от порога ВПП. Снижение с использованием PAPI не следует начинать до тех пор, пока воздушное судно не будет визуально выровнено с взлетно-посадочной полосой. Ряд огней обычно устанавливается с левой стороны взлетно-посадочной полосы, а обозначения глиссады соответствуют изображению. Боковое наведение по курсу обеспечивается взлетно-посадочной полосой или огнями взлетно-посадочной полосы. В определенных обстоятельствах безопасная зона пролета препятствий может быть уменьшена за счет сужения ширины луча или сокращения полезного расстояния из-за местных ограничений, или PAPI может быть смещен от удлиненной осевой линии ВПП. Это будет указано в Дополнении к картам США и/или в соответствующих НОТАМ. (См. рис. 2-1-5.)

      Рис. 2-1-5
      Индикатор пути точного захода на посадку (PAPI)

    3. Трехцветные системы. Трехцветные визуальные указатели наклона захода на посадку обычно состоят из одного светового блока, проецирующего трехцветную визуальную траекторию захода на посадку в конечную зону захода на посадку на ВПП, на которой установлен указатель. Индикация нижней глиссады окрашена в красный цвет, указанная выше индикация глиссады — желтая, а индикация на глиссаде — зеленая. Эти типы индикаторов имеют полезный диапазон приблизительно от половины до одной мили днем ​​и до пяти миль ночью в зависимости от условий видимости. (См. рис. 2-1-6.)

      Рис. 2-1-6
      Трехцветный визуальный подход Индикатор склона

      Примечание-

      1. С тех пор, как Tri-Vas его можно спутать с другими источниками света, пилоты должны проявлять осторожность, чтобы правильно определить местонахождение и идентифицировать световой сигнал.
      2. Когда самолет снижается от зеленого к красному, пилот может видеть темно-янтарный цвет при переходе от зеленого к красному.

      FIG 2-1-7
      Pulsating Visual Approach Slope Indicator

      NOTE-

      Since the PVASI consists of a single light source which could possibly be спутать с другими источниками света, пилоты должны проявлять осторожность, чтобы правильно определить местонахождение и идентифицировать световой сигнал.

      РИС. 2-1-8
      Выравнивание элементов

    4. Пульсирующие системы. Пульсирующие визуальные указатели наклона обычно состоят из одного светового блока, проецирующего двухцветную визуальную траекторию захода на посадку в конечную зону захода на посадку на ВПП, на которой установлен указатель. Индикация на глиссаде может быть постоянным белым огнем или чередующимся КРАСНЫМ и БЕЛЫМ светом. Индикация чуть ниже глиссады представляет собой постоянный красный свет. Если самолет снижается ниже глиссады, красный свет начинает пульсировать. Приведенная выше индикация глиссады представляет собой пульсирующий белый свет. Частота пульсаций увеличивается по мере того, как самолет становится выше или ниже желаемой глиссады. Полезная дальность действия системы составляет около четырех миль днем ​​и до десяти миль ночью. (См. рис. 2-1-7.)
    5. Выравнивание систем элементов. Системы выравнивания элементов устанавливаются в некоторых небольших аэропортах авиации общего назначения и представляют собой недорогую систему, состоящую из окрашенных фанерных панелей, обычно черно-белого или флуоресцентного оранжевого цвета. Некоторые из этих систем освещаются для ночного использования. Полезный диапазон этих систем составляет примерно три четверти мили. Чтобы использовать систему, пилот размещает самолет так, чтобы элементы были выровнены. Индикация глиссады показана на рис. 2-1-8.
  3. Опознавательные огни конца взлетно-посадочной полосы (REIL)

    REIL установлены на многих аэродромах для обеспечения быстрой и точной идентификации конца захода на посадку конкретной взлетно-посадочной полосы. Система состоит из пары синхронизированных проблесковых огней, расположенных по бокам от порога взлетно-посадочной полосы. REIL могут быть как всенаправленными, так и однонаправленными, обращенными к зоне подхода. Они эффективны для:

    1. Идентификация взлетно-посадочной полосы, окруженной преобладанием других огней.
    2. Идентификация взлетно-посадочной полосы, которая не контрастирует с окружающей местностью.
    3. Обозначение взлетно-посадочной полосы в условиях ограниченной видимости.
  4. Системы бокового освещения взлетно-посадочной полосы
    1. Боковые огни взлетно-посадочной полосы используются для обозначения краев взлетно-посадочных полос в темное время суток или в условиях ограниченной видимости. Эти световые системы классифицируются в соответствии с интенсивностью или яркостью, которую они способны производить: это огни взлетно-посадочной полосы высокой интенсивности (HIRL), огни взлетно-посадочной полосы средней интенсивности (MIRL) и огни взлетно-посадочной полосы низкой интенсивности (LIRL). Системы HIRL и MIRL имеют регуляторы переменной интенсивности, тогда как LIRL обычно имеют одну настройку интенсивности.
    2. Боковые огни взлетно-посадочной полосы белые, за исключением приборных взлетно-посадочных полос, желтый цвет заменяет белый на последних 2000 футов или на половине длины взлетно-посадочной полосы, в зависимости от того, что меньше, чтобы сформировать зону предупреждения при посадке.
    3. Огни, обозначающие концы взлетно-посадочной полосы, излучают красный свет в направлении взлетно-посадочной полосы, чтобы указать конец взлетно-посадочной полосы для вылетающего самолета, и излучают зеленый свет наружу от конца взлетно-посадочной полосы, чтобы указать порог для приземляющегося самолета.
  5. Освещение взлетно-посадочной полосы
    1. Система осевых огней взлетно-посадочной полосы (RCLS). Осевые огни ВПП устанавливаются на некоторых взлетно-посадочных полосах для точного захода на посадку, чтобы облегчить посадку в условиях плохой видимости. Они расположены вдоль осевой линии взлетно-посадочной полосы с интервалом в 50 футов. Если смотреть с посадочного порога, огни осевой линии взлетно-посадочной полосы белые до последних 3000 футов взлетно-посадочной полосы. Белые огни начинают чередоваться с красными в течение следующих 2000 футов, а на последних 1000 футов взлетно-посадочной полосы все осевые огни красные.
    2. Огни зоны приземления (TDZL). Огни зоны приземления устанавливаются на некоторых взлетно-посадочных полосах для точного захода на посадку для обозначения зоны приземления при посадке в условиях плохой видимости. Они состоят из двух рядов поперечных световых полос, расположенных симметрично относительно осевой линии ВПП. Система состоит из постоянно горящих белых огней, которые начинаются в 100 футах от посадочного порога и простираются до 3000 футов за посадочным порогом или до середины взлетно-посадочной полосы, в зависимости от того, что меньше.
    3. Уходные огни осевой линии рулежной дорожки. Огни осевой линии рулежной дорожки обеспечивают визуальное сопровождение людей, покидающих взлетно-посадочную полосу. Они имеют цветовую кодировку, чтобы предупредить пилотов и водителей транспортных средств о том, что они находятся в критической зоне взлетно-посадочной полосы или системы посадки по приборам (ILS), в зависимости от того, что является более ограничивающим. Попеременно устанавливаются зеленые и желтые огни, начиная с зеленого, от осевой линии ВПП до одного положения осевого огня за местом ожидания у ВПП или местом ожидания в критической зоне ILS.
    4. Осевые огни рулежной дорожки. Осевые огни рулежной дорожки обеспечивают визуальное сопровождение людей, выходящих на взлетно-посадочную полосу. Эти «вводные» огни также имеют цветовую маркировку с тем же цветовым рисунком, что и вводные огни, чтобы предупредить пилотов и водителей транспортных средств о том, что они находятся в критической зоне взлетно-посадочной полосы или системы посадки по приборам (ILS), в зависимости от того, что более консервативно. Светильники, используемые для начальных огней, являются двунаправленными, то есть одна сторона излучает свет для ведущей функции, а другая сторона излучает свет для ведущей функции. Любой прибор, который излучает желтый свет для функции опережения, также должен излучать желтый свет для функции опережения. (См. РИС. 2-1-12.)
    5. Приземлиться и удерживать короткие огни. Короткие огни приземления и ожидания используются для обозначения точки короткого приземления на определенных взлетно-посадочных полосах, которые одобрены для операций приземления и удержания на короткое время (LAHSO). Короткие огни приземления и удержания состоят из ряда пульсирующих белых огней, установленных поперек взлетно-посадочной полосы в точке короткого приземления. Там, где они установлены, свет будет включен в любое время, когда действует LAHSO. Эти индикаторы будут выключены, когда LAHSO не действует.

      ССЫЛКА-

      AIM, Параграф 4-3-11, Обязанности пилота при выполнении краткосрочных операций по посадке и удержанию (LAHSO)

  6. Система огней состояния взлетно-посадочной полосы (RWSL)
    1. Введение.
      RWSL — это полностью автоматизированная система, обеспечивающая
      информация о состоянии взлетно-посадочной полосы для пилотов и поверхности
      операторы транспортных средств должны четко указывать, когда небезопасно заезжать на взлетно-посадочную полосу, пересекать ее, взлетать с нее или приземляться на нее. Система RWSL обрабатывает информацию от систем наблюдения и активирует огни входа на взлетно-посадочную полосу (REL) и огни ожидания при взлете (THL) в соответствии с положением и скоростью обнаруженного наземного движения и движения на подходе. REL и THL — это встроенные в дорожное покрытие светильники, которые непосредственно видны пилотам и операторам наземных транспортных средств. RWSL — это независимое усовершенствование безопасности, которое не заменяет разрешение УВД и не передает его. Разрешение на вход, пересечение, взлет, посадку или работу на взлетно-посадочной полосе все равно должно быть получено от УВД. Хотя УВД имеет ограниченный контроль над системой, персонал не использует ее напрямую и может не иметь возможности наблюдать за активацией и деактивацией световых приборов во время выполнения ежедневных операций УВД.
    2. Огни входа на взлетно-посадочную полосу (REL): Система REL состоит из установленных заподлицо с покрытием однонаправленных осветительных приборов, которые расположены параллельно и сфокусированы вдоль осевой линии РД и направлены на пилота на линии ожидания. Группа огней REL включает первый огонь на линии ожидания, за которым следует серия равномерно расположенных огней у края взлетно-посадочной полосы; один дополнительный огонь на осевой линии ВПП находится на одной линии с двумя последними огнями перед краем ВПП (см. рис. 2-1-9 и рис. 2-1-10). При активации красные огни указывают на то, что на взлетно-посадочной полосе имеется высокоскоростное движение или в зоне активации находится самолет на конечном этапе захода на посадку.
      1. Рабочие характеристики REL — вылетающее воздушное судно:
        Когда вылетающее воздушное судно достигает адаптивной скорости около 30 узлов, все пересечения РД с массивами REL вдоль взлетно-посадочной полосы перед воздушным судном будут освещаться (см. рис. 2-1-9). Когда воздушное судно приближается к перекрестку РД, оборудованному REL, огни на этом перекрестке гаснут примерно за 3–4 секунды до того, как воздушное судно достигнет его. Это позволяет диспетчерам применять «ожидаемое эшелонирование», чтобы позволить УВД более оперативно перемещать движение без ущерба для безопасности. После того, как система объявит воздушное судно «в воздухе», все огни REL, связанные с этой взлетно-посадочной полосой, погаснут.
      2. Рабочие характеристики REL — прибывающие воздушные суда:
        Когда воздушное судно на конечном этапе захода на посадку находится примерно в 1 миле от порога взлетно-посадочной полосы, загораются все группы огней REL РД, которые пересекают взлетно-посадочную полосу. Расстояние регулируется и может быть настроено для конкретных операций в конкретных аэропортах. Огни гаснут на каждом пересечении оборудованных РД примерно за 3–4 секунды до того, как воздушное судно достигнет его, чтобы применить ожидаемое эшелонирование до тех пор, пока воздушное судно не снизит скорость примерно до 80 узлов (параметр, регулируемый на месте). Ниже 80 узлов все антенны, которые не находятся в пределах 30 секунд от направления движения самолета вперед, гаснут. Как только прибывающий самолет замедляется примерно до 34 узлов (настраиваемый параметр на месте), объявляется, что он находится в состоянии руления, и все огни гаснут.
      3. Что должен наблюдать пилот: пилот, находящийся на линии ожидания или приближающийся к взлетно-посадочной полосе, будет наблюдать, как REL загораются и гаснут в ответ на движение самолета или транспортного средства на взлетно-посадочной полосе или прибытие самолета, движущегося менее чем в 1 миле от порога взлетно-посадочной полосы.
      4. Когда пилот наблюдает за красными огнями REL, этот пилот останавливается у линии ожидания или остается неподвижным. Затем пилот свяжется с УВД для решения, если разрешение не соответствует огням. Если пилоты заметят горящие огни в обстоятельствах, когда оставаться в стороне от взлетно-посадочной полосы нецелесообразно по соображениям безопасности (например, воздушное судно уже находится на взлетно-посадочной полосе), экипаж должен действовать в соответствии со своим здравым смыслом, понимая, что горящие огни указывают на то, что взлетно-посадочная полоса небезопасна для полетов. войти или пересечь. Свяжитесь с УВД при первой же возможности.

        Рис. 2-1-9
        Система огней состояния взлетно-посадочной полосы

    3. Огни удержания при взлете (THL): система THL состоит из установленных заподлицо с покрытием однонаправленных осветительных приборов в двойном продольном ряду, выровненных по обе стороны от освещения осевой линии взлетно-посадочной полосы. Светильники сосредоточены в направлении конца взлетно-посадочной полосы в точке «выстроиться и ждать». THL простираются на 1500 футов перед ожидающим самолетом, начиная с точки в 375 футах от порога вылета (см. рис. 2-1-11). Горящие красные огни подают сигнал воздушному судну, находящемуся в положении для взлета или движения, о том, что взлетать небезопасно, поскольку взлетно-посадочная полоса занята или может быть занята другим воздушным судном или наземным транспортным средством. Для включения огней необходимы самолеты.Вылетающий самолет должен находиться в положении для взлета или начала разбега. Другой самолет или надводное транспортное средство должно находиться на взлетно-посадочной полосе или вот-вот пересечь ее.
      1. Эксплуатационные характеристики THL — вылетающее воздушное судно:
        THL загораются для воздушного судна, находящегося в позиции для вылета или вылета, когда другой самолет или транспортное средство находится на взлетно-посадочной полосе или собирается выйти на взлетно-посадочную полосу (см. рис. 2-1-9). Как только этот самолет или транспортное средство покидает взлетно-посадочную полосу, THL погасить. Пилот может заметить, что огни гаснут до того, как самолет или транспортное средство в нижнем поле полностью покидают взлетно-посадочную полосу, но все еще движутся. Как и REL, THL имеют функцию «ожидаемого разделения»9.0002 ПРИМЕЧАНИЕ.

        Когда THL гаснут, это не дает разрешения на начало разбега. Все разрешения на взлет выдаются УВД.

      2. Что должен наблюдать пилот: пилот, находящийся в положении для отхода от взлетно-посадочной полосы или начавший разбег, наблюдает, как THL загораются в ответ на самолет или транспортное средство на взлетно-посадочной полосе, въезжающие на нее или пересекающие ее. Огни гаснут, когда взлетно-посадочная полоса свободна. Пилот может наблюдать несколько циклов включения и выключения в зависимости от интенсивности пересекающегося движения.
      3. Когда пилот наблюдает за красным светом THL, он должен безопасно остановиться, если это возможно, или оставаться на месте. Пилот должен связаться с УВД для решения, если какое-либо разрешение не соответствует огням. Если пилоты заметят горящие огни во время разбега и в условиях, когда остановка нецелесообразна по соображениям безопасности, экипаж должен действовать в соответствии со своим здравым смыслом, понимая, что горящие огни указывают на то, что продолжение взлета небезопасно. Свяжитесь с УВД при первой же возможности.
    4. Действия пилота:
      1. При работе в аэропортах с RWSL пилоты будут работать с включенным транспондером/ADS-B при выходе из гейта или парковки до тех пор, пока он не будет отключен по прибытии к гейту или парковке. Это обеспечивает взаимодействие с системами наблюдения FAA, такими как как ASDE-X/Airport Surface Surveillance Capability (ASSC), которые предоставляют информацию системе RWSL.
      2. Пилоты должны всегда информировать ATCT, когда
        они остановились из-за индикации RWSL, которая противоречит инструкциям УВД. Пилоты должны запрашивать разрешение на руление или взлет.
      3. Никогда не пересекайте горящие красные огни. При нормальных обстоятельствах RWSL подтвердит разрешение пилота на руление или взлет, ранее выданное УВД. Если RWSL указывает, что взлетать, приземляться, пересекать или заходить на взлетно-посадочную полосу небезопасно, немедленно уведомить УВД о конфликте и повторно подтвердить разрешение.
      4. Не продолжайте движение, если огни погасли без разрешения УВД. RWSL проверяет разрешение УВД; он не заменяет разрешение УВД.
      5. Никогда не приземляйтесь, если PAPI продолжает мигать. Выполните уход на второй круг и сообщите УВД.
    5. Диспетчерское управление системой RWSL:
      1. Контроллеры могут настроить освещение тротуара на один из пяти (5) уровней яркости, чтобы обеспечить максимальную заметность при любых условиях видимости и освещения. Подсистемы REL и THL могут быть установлены независимо.
      2. Системные огни могут быть отключены, если операции RWSL влияют на эффективное движение воздушного движения или способствуют, по мнению назначенного диспетчера УВД, небезопасным операциям. Светильники REL и THL можно отключать отдельно. Всякий раз, когда система или компонент отключены, должен быть выпущен NOTAM, а Автоматическая информационная система аэродрома (ATIS) должна быть обновлена.
  7. Управление системами освещения
    1. Работа систем огней приближения и освещения взлетно-посадочной полосы контролируется диспетчерской вышкой (ATCT). В некоторых местах FSS может управлять светом там, где не работает диспетчерская вышка.
    2. Пилоты могут потребовать, чтобы свет был включен или выключен. Бортовые огни взлетно-посадочной полосы, огни на тротуаре и огни приближения также имеют регуляторы интенсивности, которые могут быть изменены в соответствии с запросами пилотов. Последовательные мигающие огни (SFL) могут включаться и выключаться. Некоторые системы последовательного мигания также имеют регулировку интенсивности.
  8. Управление освещением аэропорта пилотом

    Радиоуправление освещением доступно в некоторых аэропортах, чтобы обеспечить управление освещением с борта путем включения микрофона самолета. Управление системами освещения часто возможно в местах без установленных часов включения освещения и там, где нет диспетчерской вышки или ФСС или когда башня или ФСС закрыты (места с неполным рабочим днем ​​или ФСС) или в определенные часы. Все радиоуправляемые системы освещения в аэропорту, будь то на одной взлетно-посадочной полосе или на нескольких взлетно-посадочных полосах, работают на одной и той же радиочастоте. (См. TBL 2-1-1 и TBL 2-1-2.)

    Рис. 2-1-10
    Входные лампы взлетно-посадочной полосы

    Рис. 2-1-11
    . 2-1-12

    Конфигурация рулежных огней

    TBL 2-1-1
    ВПП с огнями приближения

    Система освещения

    № междунар. Шаги

    Состояние во время
    Период неиспользования

    Шаг интенсивности, выбираемый на количество кликов Майка

     

     

     

     

    3 клика

    5 кликов

    7 кликов

    Подходные огни (медицинские, международные)

    2

    Выкл.

    Низкий

    Низкий

    Высокий

    Подходные огни (медицинские, международные)

    3

    Выкл.

    Низкий

    Мед

    Высокий

    МИРЛ

    3

    Выкл. или низкий уровень

    ХИРЛ

    5

    Выкл. или низкий уровень

    ВАСИ

    2

    Выкл.

    ПРИМЕЧАНИЯ :
    Заданный шаг интенсивности.
    Низкая интенсивность для ночного использования. Высокая интенсивность для дневного использования, определяемая контролем фотоэлемента.

    ТБЛ 2-1-2
    ВПП без огней приближения

    Система освещения

    № междунар. Шаги

    Статус в период неиспользования

    Шаг интенсивности, выбираемый на количество кликов Майка

     

     

     

     

    3 клика

    5 кликов

    7 кликов

    МИРЛ

    3

    Выкл. или низкий уровень

    Низкий

    Мед.

    Высокий

    ХИРЛ

    5

    Выкл. или низкий уровень

    Шаг 1 или 2

    Шаг 3

    Шаг 5

    лир

    1

    Выкл.

    на

    На

    На

    ВАСИ✬

    2

    Выкл.

    РЕЙЛ✬

    1

    Выкл.

    Выкл.

    Вкл/Выкл

    На

    РЕЙЛ✬

    3

    Выкл.

    Низкий

    Мед.

    Высокий

    ПРИМЕЧАНИЯ :
    ◆ Низкая интенсивность для ночного использования. Высокая интенсивность для дневного использования, определяемая контролем фотоэлемента.
    ✬ Управление VASI и/или REIL может быть независимым от других систем освещения.

    1. В системах, одобренных FAA, различные комбинации огней приближения средней интенсивности, огней взлетно-посадочной полосы, огней рулежной дорожки, VASI и/или REIL могут активироваться с помощью радиоуправления. На взлетно-посадочных полосах с системами огней приближения и освещения взлетно-посадочной полосы (бортовые огни взлетно-посадочной полосы, огни рулежной дорожки и т. д.) система огней приближения имеет приоритет для радиоуправления «воздух-земля» над системой огней взлетно-посадочной полосы, которая настроена на заранее определенный шаг интенсивности, исходя из ожидаемых условий видимости. На взлетно-посадочных полосах без огней приближения может быть предусмотрена радиоуправляемая регулировка интенсивности боковых огней ВПП. Другие системы освещения, включая VASI, REIL и огни рулежной дорожки, могут управляться либо габаритными огнями ВПП, либо управляться независимо от габаритных огней ВПП.
    2. Система управления состоит из 3-ступенчатого управления, реагирующего на 7, 5 и/или 3 щелчка микрофона. Это 3-ступенчатое управление включает осветительные приборы, способные работать в 3-, 2- или 1-ступенчатом режиме. 3-ступенчатое и 2-ступенчатое освещение может быть изменено по интенсивности, а 1-ступенчатое — нет. Все освещение горит в течение 15 минут с момента последнего включения и не может быть выключено до окончания 15-минутного периода (за исключением 1-ступенчатых и 2-ступенчатых REIL, которые при желании можно отключить, нажав клавишу микрофон 5 или 3 раза соответственно).
    3. Предлагаемое использование — всегда сначала включать микрофон 7 раз; это гарантирует, что все управляемые источники света включены с максимально возможной интенсивностью. При желании затем можно выполнить регулировку, если это возможно, на меньшую интенсивность (или отключить REIL), нажав 5 и/или 3 раза. Из-за непосредственной близости аэропортов, использующих одну и ту же частоту, радиоуправляемые приемники освещения могут быть настроены на низкую чувствительность, требующую, чтобы воздушное судно находилось относительно близко для активации системы. Следовательно, даже когда свет включен, всегда включайте микрофон в соответствии с указаниями при пролете над аэропортом предполагаемой посадки или непосредственно перед входом на последний участок захода на посадку. Это гарантирует, что дрон находится достаточно близко, чтобы активировать систему, и будет доступна полная 15-минутная продолжительность освещения. Утвержденные системы освещения могут быть активированы путем включения микрофона (в течение 5 секунд), как указано в TBL 2-1-3.

      ТБЛ 2-1-3
      Система радиоуправления

      Ключ Майк

      Функция

      7 раз в течение 5 секунд

      Самая высокая доступная интенсивность

      5 раз в течение 5 секунд

      Средняя или более низкая интенсивность (нижний REIL или REIL выключен)

      3 раза в течение 5 секунд

      Наименьшая доступная интенсивность (нижний REIL или REIL выключен)

    4. Для всех аэропортов общего пользования со стандартными системами FAA Дополнение к карте США содержит типы освещения, взлетно-посадочную полосу и частоту, которая используется для активации системы. Аэропорты с IAP включают данные на карте захода на посадку с указанием системы освещения, взлетно-посадочной полосы, на которой они установлены, и частоты, которая используется для активации системы.

      ПРИМЕЧАНИЕ.

      Хотя CTAF используется для включения огней во многих аэропортах, могут использоваться и другие частоты. Соответствующая частота включения огней в аэропорту указана в Дополнении к картам США и в публикациях стандартных схем захода на посадку по приборам. На диаграммах в разрезе не определяется.

    5. Если аэропорт не обслуживается IAP, он может иметь либо стандартную систему управления, утвержденную FAA, либо систему независимого типа с другой спецификацией, установленную спонсором аэропорта. Дополнение к карте США содержит описания систем освещения, управляемых пилотом, для каждого аэропорта, имеющего системы, отличные от систем, одобренных FAA, и объясняет тип огней, метод управления и рабочую частоту открытым текстом.
  9. Маяки аэропорта/вертодрома
    1. Маяки аэропортов и вертолетных площадок имеют вертикальное распределение света, что делает их наиболее эффективными в диапазоне от одного до десяти градусов над горизонтом; однако их можно увидеть значительно выше и ниже этого пикового разброса. Маяк может быть всенаправленным конденсаторно-разрядным устройством или может вращаться с постоянной скоростью, создавая визуальный эффект вспышек через равные промежутки времени. Вспышки могут быть одного или двух цветов попеременно. Общее количество вспышек:
      1. От 24 до 30 в минуту для маяков, обозначающих аэропорты, ориентиры и точки на федеральных авиатрассах.
      2. От 30 до 45 в минуту для маяков, обозначающих вертолетные площадки.
    2. Цвета и цветовые сочетания маяков бывают:
      1. Бело-зеленая подсветка наземного аэропорта.
      2. *Только зеленый — освещенный наземный аэропорт.
      3. Бело-желто-желтый водный аэропорт.
      4. *Желтый в одиночестве — освещенный водный аэропорт.
      5. Зеленая, желтая и белая освещенная вертолетная площадка.

        ПРИМЕЧАНИЕ.

        *Только зеленый или только желтый используются только в сочетании с бело-зеленым или бело-желтым маяком соответственно.

    3. Маяки военных аэропортов мигают попеременно белым и зеленым, но отличаются от гражданских маяков двойными (двумя быстрыми) белыми вспышками между зелеными вспышками.
    4. На поверхностях класса B, класса C, класса D и класса E работа радиомаяка аэропорта в светлое время суток часто указывает на то, что видимость с земли составляет менее 3 миль и/или высота потолка составляет менее 1000 футов. Разрешение УВД в соответствии с 14 CFR Часть 91 требуется для посадки, взлета и полета по схеме движения. Пилоты не должны полагаться исключительно на работу маяка в аэропорту, чтобы указать, являются ли погодные условия ППП или ПВП. В некоторых местах с работающими диспетчерскими вышками персонал УВД включает или выключает маяк, когда органы управления находятся на вышке. Во многих аэропортах маяк аэропорта включается фотоэлементом или часами, и персонал УВД не может их контролировать. Нет нормативных требований для полетов в дневное время, и пилот несет ответственность за соблюдение надлежащего предполетного планирования в соответствии с требованиями раздела 9 раздела 14 CFR.1.103.
  10. Огни РД
    1. Боковые огни рулежной дорожки. Бортовые огни РД используются для обозначения краев РД в темное время суток или в условиях ограниченной видимости. Эти светильники излучают синий свет.

      ПРИМЕЧАНИЕ-

      В большинстве крупных аэропортов эти огни имеют регулировку яркости и могут регулироваться по запросу пилота или когда диспетчер сочтет это необходимым.

    2. Осевые огни рулежной дорожки. Осевые огни рулежной дорожки используются для облегчения наземного движения в условиях плохой видимости. Они расположены вдоль осевой линии РД по прямой линии на прямых участках, по осевой линии изогнутых участков и вдоль обозначенных траекторий руления на участках взлетно-посадочных полос, перронов и перронов. Осевые огни РД постоянно горят и излучают зеленый свет.
    3. Габаритные огни. В местах ожидания на РД устанавливаются габаритные огни для повышения заметности места ожидания в условиях плохой видимости. Они также могут быть установлены для указания местоположения пересекающейся рулежной дорожки в темное время суток. Зазорные полосы состоят из трех постоянно горящих желтых огней на тротуаре.
    4. Огни защиты взлетно-посадочной полосы. Огни защиты ВПП устанавливаются на пересечениях РД и ВПП. Они в основном используются для улучшения видимости пересечений РД/ВПП в условиях плохой видимости, но могут использоваться в любых погодных условиях. Огни ограждения взлетно-посадочной полосы состоят либо из пары приподнятых мигающих желтых огней, установленных по обе стороны от рулежной дорожки, либо из ряда желтых огней на тротуаре, установленных по всей рулежной дорожке в маркировке места ожидания на взлетно-посадочной полосе.

      ПРИМЕЧАНИЕ.

      В некоторых аэропортах на пересечениях РД и ВПП может быть установлен ряд из трех или пяти желтых огней на тротуаре. Их не следует путать с габаритными огнями, описанными в параграфе 2-1-10 c, Проходные габаритные огни.

    5. Стоп-сигналы. Огни стоп-линии, если они установлены, используются для подтверждения разрешения УВД на въезд или пересечение действующей взлетно-посадочной полосы в условиях плохой видимости (дальность видимости на ВПП менее 1200 футов). Строка «стоп» состоит из ряда красных однонаправленных постоянно горящих огней на тротуаре, установленных по всей РД в месте ожидания на взлетно-посадочной полосе, и приподнятых постоянно горящих красных огней с каждой стороны. Управляемая полоса «стоп» работает в сочетании с осевыми огнями РД, которые простираются от полосы «стоп» к взлетно-посадочной полосе. После разрешения УВД на продолжение движения стоп-линия выключается и включаются прожекторы. Стоп-линия и сигнальные огни автоматически сбрасываются датчиком или резервным таймером.

      ВНИМАНИЕ-

      Пилоты никогда не должны пересекать полосу «стоп» с красной подсветкой, даже если диспетчеру УВД было дано разрешение двигаться по взлетно-посадочной полосе или пересекать ее.

      ПРИМЕЧАНИЕ-

      Если после пересечения линии «стоп» осевые огни РД непреднамеренно гаснут, пилоты должны оставаться на месте и связаться с УВД для получения дальнейших инструкций.

Class_6_rd_sharma для класса 6 по математике, глава 10

Class_6_rd_sharma Решения для класса 6 по математике, глава 10 Основные геометрические понятия представлены здесь с простыми пошаговыми пояснениями. Эти решения для основных геометрических понятий чрезвычайно популярны среди учащихся 6-х классов по математике. Основные геометрические решения удобны для быстрого выполнения домашних заданий и подготовки к экзаменам. Все вопросы и ответы из книги Class_6_rd_sharma по математике для 6-го класса, глава 10, предоставляются здесь для вас бесплатно. Вам также понравится отсутствие рекламы в решениях Class_6_rd_sharma от Meritnation. Все решения Class_6_rd_sharma для класса 6 по математике подготовлены экспертами и на 100% точны.

Страница № 10.10:
Вопрос 27:

Укажите правильное соответствие утверждений столбца A и столбца B.

Столбец А Колонна В
и Точки коллинеарны а. может быть параллельным или пересекающимся
II Линия полностью известна б. неопределенные термины в геометрии
III Две линии на плоскости с. , если они лежат на одной линии
iv Отношения между точками и линиями д. может приеться через точку
против Три неколлинеарные точки эл. определить плоскость
ви Плоскость выдвигается ф. называют заболеваемостью
vii Неограниченное количество строк г. это две точки даются
viii Точка, линия и плоскость равны час. бесконечно во всех направлениях

Ответ:

90 580 может быть параллельным или пересекаться с 90 585
Столбец А Колонка В
и Точки коллинеарны с.  если они лежат на одной линии
II Линия полностью известна г.  если дано два балла
III Две линии на плоскости а.
iv Отношения между точками и линиями ф.  называются свойствами инцидентности
против Три неколлинеарные точки эл.  определить самолет
ви Плоскость выдвигается час.  на неопределенный срок во всех направлениях
vii Неограниченное количество строк д.  может пройти через точку
viii Точка, линия и плоскость равны б.  неопределенные термины в геометрии

Страница № 10.13:
Вопрос 1:

На рис. 10.32 баллы даны в два ряда. Соедините точки AM, HE, TO, RUN, IF . Сколько сегментов залога формируется?

Ответ:

Если соединить точки AM, HE, TO, RUN, IF , можно сформировать 6 отрезков.

Эти шесть сегментов линии: AM, HE, TO, RU, UN и IF.

Страница № 10.13:
Вопрос 2:

На рис. 10. 33 название:

(i) Пять отрезков.
(ii) Пять лучей.
(iii) Непересекающиеся отрезки.

Ответ:

(i) Пять сегментов линии – это PQ, RS, PR, QS и AP.

(ii) Пять лучей: →QC,→SD,→PA,→RB и →RA.

(iii) Непересекающиеся линейные сегменты — это PR и QS.

Страница № 10.13:
Вопрос 3:

В каждом из следующих случаев укажите, можно ли на данных поверхностях рисовать отрезки:

(i) Лицо прямоугольного параллелепипеда.
(ii) Поверхность яйца или яблока.
(iii) Искривленная поверхность цилиндра.
(iv) Искривленная поверхность конуса.
(v) Основание конуса.

Ответ:

(i) Да, мы можем рисовать отрезки на грани прямоугольного параллелепипеда.

(ii) Нет, мы не можем провести отрезок на поверхности яйца или яблока.

(iii) Да, мы можем рисовать отрезки на криволинейной поверхности цилиндра.
      Каждый отрезок, параллельный оси цилиндра на криволинейной поверхности, будет отрезком.

(iv) Да, мы можем рисовать отрезки на изогнутой поверхности конуса.
      Каждый отрезок, соединяющий вершину конуса и любую точку на окружности конуса, будет отрезком.

(v) Да, мы можем рисовать отрезки на основании конуса.

Страница № 10.13:
Вопрос 4:

Отметьте на листе бумаги следующие точки. Укажите, сколько отрезков можно получить в каждом случае:

(i) Две точки A , Б .
(ii) Три неколлинеарные точки A , B , C .
(iii) Четыре точки, никакие три из которых не лежат на одной прямой.
(iv) Любые пять точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой.

Ответ:

Если на плоскости n точек и никакие три из них не лежат на одной прямой, то число отрезков, полученных при соединении этих точек, равно n(n-1)2.
Применяя приведенную выше формулу, мы получаем:

(i) Для двух точек A и B:
     Количество отрезков = 2(2-1)2=1

(ii) Для трех не лежащих на одной прямой точек A, B и C:

      Количество отрезков = 3(3-1)2=3 ×22=3

(iii) Для четырех точек, никакие три из которых не принадлежат одной прямой:

       Количество отрезков прямой = 4(4-1)2=4×32=6

(iv) Для любые пять точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой:

       Количество отрезков = 5(5-1)2=5×42=10

Номер страницы 10.
14:
Вопрос 5:

Подсчитайте количество отрезков на рис. 10.34

Ответ:

Отрезками на данном рисунке являются AB, AC, AD, AE, BC, BD, BE, CD, CE и DE.
Таким образом, имеется 10 отрезков.

Страница № 10.14:
Вопрос 6:

На рис. 10.35 обозначьте все лучи с начальными точками как A , B и C соответственно.

(i) Отличается ли луч AB→ от луча AC→?
(ii) Отличается ли луч BA→ от луча CA→ ?
(iii) Отличается ли луч CP→ от луча CQ→ ?

Ответ:

Названия всех лучей с начальной точкой A : →AP и →AB или →AC или →AQ
Названия всех лучей с начальной точкой B : →BP, или →BA, и →BC или → BQ
Название всех лучей с начальной точкой C : →CP, или →CA или →CB и →CQ

(i) Нет, поскольку исходная точка обоих лучей →AB и →AC одинакова.
(ii) Да, потому что исходная точка обоих лучей →BA и →CA различна.
(iii) Да, потому что оба луча →CP и →CQ направлены в противоположные стороны.

Страница № 10.14:
Вопрос 7:

Приведите три примера отрезков из вашей среды.

Ответ:

Примеры отрезков линии в нашем доме:
(i) линии затирки в кафельных полах
(ii) канавки в местах соединения деревянного пола
(iii) металлический контур раздвижной стеклянной двери

Номер страницы 10.16 :
Вопрос 1:

Начертите приблизительную диаграмму, иллюстрирующую следующее:

(i) Незамкнутая кривая
(ii) Замкнутая кривая

Ответ:

(i) Открытая кривая

(ii) Закрытая кривая

Страница № 10,16:
Вопрос 2:

Классифицируйте следующие кривые как открытые или закрытые:

:
6363 9000 3 (I. ) Открытый
(ii) Закрытый
(iii) Закрытый
(iv) Открытый
(v) Открытый
(vi) Закрытый

Номер страницы 10.16:
Вопрос 3:

Нарисуйте многоугольник и заштрихуйте его внутреннюю часть. Также проведите его диагонали, если они есть.

Ответ:

ABCD — многоугольник, а AC и BD — две его диагонали.

Страница № 10.17:
Вопрос 4:

Проиллюстрируйте, если возможно, каждый из следующих элементов грубой диаграммой:

(i) Замкнутая кривая, не являющаяся многоугольником.
(ii) Незамкнутая кривая, полностью состоящая из отрезков.
(iii) Многоугольник с двумя сторонами.

Ответ:

(i) Окружность — это простая замкнутая кривая, но не многоугольник. У многоугольника есть линейные сегменты, а у круга есть только кривая.
    
(ii) Грубая схема открытой кривой, полностью состоящей из отрезков:
     
     
(iii) Многоугольник с двумя сторонами невозможен.

Страница № 10.7:
Вопрос 1:

Отметьте в тетради три точки и назовите их.

Ответ:

Три точки, а именно A, P и H, можно обозначить следующим образом:

Страница № 10.
7:
Вопрос 2:

Начертите в тетради линию и назовите ее, используя строчную букву алфавит.

Ответ:

Проведем линию и назовем ее l .

Страница № 10.7:
Вопрос 3:

Начертите в тетради линию и назовите ее, взяв на ней любые две точки.

Ответ:

Сначала нарисуем линию. Две точки на ней — это P и Q. Теперь прямую можно записать как прямую PQ.

Страница № 10.8:
Вопрос 4:

Приведите три примера из вашей среды:

(i) Пункты
(ii) Часть линии
(iii) Плоская поверхность
(iv) Часть плоскости
(v) Кривые поверхности

Ответ:

(i) Три примера точек:
Точка в конце предложение, дырочка на карте и точка пересечения двух стен и пола в углу комнаты

(ii) Три примера участка линии: тонкие карнизы

(iii) Три примера плоскости поверхности:
Поверхность гладкой стены, поверхность столешницы и поверхность гладкой белой доски

(iv) Три примера части плоскости:
Поверхность листа бумаги, поверхность спокойной воды в бассейне и поверхность зеркала

(v) Три примера изогнутых поверхностей:
Поверхность газового баллона, поверхность чайника и поверхность чернильницы

Стр.
№ 10.8:
Вопрос 5:

Есть несколько способов визуализировать часть линии. Укажите, представляют ли следующие части часть строки not:

(i) Кусок резинки, растянутый до предела.
(ii) Провод между двумя электрическими столбами.
(iii) Нить, по которой спускается паук.

Ответ:

(i) Да
(ii) Нет
(iii) Да

Страница № 10.8:
Вопрос 6:

Можете ли вы провести линию на поверхности сферы, которая целиком лежит на ней?

Ответ:

Нет, мы не можем провести линию на поверхности сферы, которая целиком лежит на ней.

Страница № 10.8:
Вопрос 7:

Отметьте на листе бумаги точку и проведите через нее линию. Сколько линий можно провести через эту точку?

Ответ:

Через точку L можно провести неограниченное количество линий.

Номер страницы 10.8:
Вопрос 8:

Отметьте любые две точки P и Q в тетради и нарисуйте в тетради линия, проходящая через точки. Сколько стяжек можно провести, пройдя через обе точки?

Ответ:

У нас есть две точки P и Q , и мы проводим прямую, проходящую через эти две точки.

Через эти две точки можно провести только одну линию.

Страница № 10.8:
Вопрос 9:

Приведите пример горизонтальной и вертикальной плоскостей, образующих ваше окружение.

Ответ:

Потолок комнаты является примером горизонтальной плоскости в нашем окружении.
Стена комнаты является примером вертикальной плоскости в нашем окружении.

Страница № 10.8:
Вопрос 10:

Сколько прямых может проходить через одну данную точку, две заданные точки, любые три точки, лежащие на одной прямой?

Answer:

Lines passing through one point: Unlimited

Lines passing through two points: One

Lines passing through any three collinear points : One

Page No 10.
8:
Вопрос 11:

Возможно ли, чтобы у алины была средняя точка?

Ответ:

Да, это возможно, если три точки лежат на одной прямой.

Страница № 10.8:
Вопрос 12:

Объясните, почему линия не может иметь среднюю точку.

Ответ:

Длина линии  бесконечна. Таким образом, невозможно найти его середину.
С другой стороны, мы можем найти середину отрезка .

Страница № 10.8:
Вопрос 13:

Отметьте в блокноте три не лежащих на одной прямой точки A , B и C . Проведите линии через эти точки, беря по две за раз. Назовите эти строки. Сколько таких разных линий можно провести?

Ответ:

Существуют три не лежащие на одной прямой точки A, B и C.
Через эти три точки можно провести три прямые. Эти три линии AB, BC и AC.

Стр. № 10.8:
Вопрос 14:

Копланарные точки — это точки, лежащие в одной плоскости. Таким образом,

(i) Могут ли 150 точек лежать в одной плоскости?
(ii) Могут ли 3 точки быть некомпланарными?

Ответ:

(i) Да
     Группа точек, лежащих в одной плоскости, называется компланарной.
     Таким образом, возможно, что 150 точек могут быть компланарными.

(ii) Нет
      3 точки будут компланарны, потому что у нас может быть плоскость, которая может содержать все 3 точки на ней.
      Таким образом, 3 точки не могут быть некомпланарными.
     

Страница № 10.8:
Вопрос 15:

С помощью линейки проверьте, лежат ли на одной прямой следующие точки, указанные на рис. 10.20:

(i) D , A и C
(ii) A , B и C
(III) A , B и E
(IV) B , C и E

Ответ:

с DAD FIGIN FIGIN FIGIN FIGIN FIGIN FIGHE FIGIN FIGIN FIGHE FIGIN FIGINE FIGIN FIGIN FIGIN FIGINE FIGIN FIGINE FIGINE FIGIN FIGINE FIGINE FIGINE FIGIN FIGINE FIGI. можно заметить, что:

(i) точки D, A и C лежат на одной прямой.
(ii) точки A, B и C не лежат на одной прямой.
(iii) точки A, B и E лежат на одной прямой.
(iv) Точки B, C и E не лежат на одной прямой.

Страница № 10.8:
Вопрос 16:

Линии p , q компланарны. Таковы строки p , r . Можем ли мы заключить, что прямые p , q , r компланарны?

Ответ:

Никакие p, q и r не обязательно компланарны.
например:-Если мы возьмем p как линию пересечения двух последовательных стен комнаты, q как линию на первой стене и r на второй стене, чье (обе стены) пересечение является линией p .
Тогда мы видим, что p , q и r не компланарны.

Страница № 10.8:
Вопрос 17:

Приведите по три примера:

(i) пересекающиеся линии
(ii) параллельные линии из вашего окружения.

Ответ:

(i) Три примера пересекающихся линий в нашей среде:
    

(ii) Три примера параллельных линий в нашей среде:
     

Страница № 10.
8:
Рис. 10.21, пиши


(i) все парижские параллельные линии.
(ii) все пары пересекающихся прямых.
(iii) линии, точка пересечения которых I .
(iv) линии, точка пересечения которых D .
(v) линии, точка пересечения которых E .
(vi) линии, точка пересечения которых A .
(vii) Коллинеарные точки

Ответ:

Имеем:

(i) Все пары параллельных прямых: (l, m), (m, n) и (l, n)
(ii) Все пары пересекающихся прямых: (l, p), (m, p), (n, p), (l, r), (m, r), (n, r), (l , q), (m, q), (n, q), (q, p) и (q, r)
(iii) Линии, точка пересечения которых равна I: (m, p)
(iv) Линии с точкой пересечения D: (l, r)
(v) Линии с точкой пересечения E: (m, r)
(vi) Линии с точкой пересечения A: (l , q)
(vii) Коллинеарные точки: (G, A, B и C), (D, E, J и F), (G, H, I, J и K), (A, H и D ), (B, I ​​и E) и (C, F и K)

Страница № 10.
9:
Вопрос 19:

На рис. 10.22 напишите совпадающие прямые и точки их пересечения.

Ответ:

Из данного рисунка мы имеем:

Параллельные линии можно определить как три или более линий, которые имеют одну и ту же точку пересечения.
Ясно, что строки n, q и l совпадают с точкой пересечения A.
Линии m, q и p совпадают с точкой пересечения B.

Страница № 10.9:
Вопрос 20:

Отметьте в тетради четыре точки A , B , C и D так, что никакие три из них не лежат на одной прямой. Нарисуйте все соединяющие их линии попарно, как показано на рис. 10.23.

(i) Сколько таких линий можно провести?
(ii) Напишите названия этих линий.
(iii) Назовите прямые, пересекающиеся в точке A.

Ответ:

Из данного рисунка имеем:

(i) Через эти четыре точки можно провести шесть прямых, как показано на рисунке.
(ii) Это линии AB, BC, CD, AD, BD и AC.
(iii) Прямые, пересекающиеся в точке A, — это AC, AB и AD.

Страница № 10.9:
Вопрос 21:

Какое максимальное количество точек пересечения трех прямых на плоскости? Каково минимальное количество?

Ответ:

Максимальное количество точек пересечения трех прямых на плоскости будет равно трем.

Минимальное количество точек пересечения трех прямых на плоскости будет равно нулю.

Страница № 10.9:
Вопрос 22:

С помощью рисунка найдите максимальное и минимальное количество точек пересечения четырех прямых на плоскости.

Ответ:

Максимальное количество точек пересечения четырех прямых на плоскости будет равно шести.

Минимальное количество точек пересечения четырех прямых на плоскости будет равно нулю.

Страница № 10.9:
Вопрос 23:

Линии p , q и r параллельны. Кроме того, строки p , r и s являются параллельными. Начертите рисунок и укажите, параллельны ли прямые p , q , r и s .

Ответ:

Имеем:

Таким образом, прямые p , q и r пересекаются в общей точке O.
Кроме того, строки p , r и s являются параллельными.
Следовательно, прямые p, r и s пересекаются в одной точке. Но q и r пересекаются друг с другом в точке O.
Итак, s, q и r пересекаются в точке O.
Следовательно, p, q, r и 2 с 900 совпадают. Линии p, q, r и s пересекаются в О.

Страница № 10.9:
Вопрос 24:

Линии p, q и r параллельны. Также параллельны строки p , s и t . Всегда ли строки q, r и s будут совпадать? Всегда ли верно для строк q, r и t ?

Ответ:

Линии p, q, и r параллельны. Итак, прямые p, q и r пересекаются в общей точке O .

Данные строки p, s и t являются параллельными. Итак, прямые р, с и т также пересекаются в общей точке.
Однако не всегда верно, что q, r и s или q, r и t совпадают.

Страница № 10.9:
Вопрос 25:

Заполните пропуски в следующих утверждениях, используя подходящие слова:

(i) Страница книги является физическим примером …..
(ii) Чернильница имеет обе …. поверхности
(iii) Две линии на плоскости либо …, либо

Ответ:

(i) Страница книги является физическим примером самолет .
(ii) Чернильница имеет как изогнутые , так и плоские поверхности.
(iii) Две прямые на плоскости либо параллельны , либо пересекаются.

Стр. № 10.9:
Вопрос 26:

Укажите, какие из следующих утверждений верны (T), а какие нет (F).

(i) Точка имеет размер, потому что мы можем видеть ее как толстую точку на бумаге.
(ii) Под залогами в геометрии мы подразумеваем только прямые линии.
(iii) Две прямые на плоскости всегда пересекаются в одной точке.
(iv) Любая плоскость, проходящая через вертикальную линию, является вертикальной.
(v) Любая плоскость, проходящая через горизонтальную линию, горизонтальна.
(vi) Горизонтальная линия не может быть вертикальной плоскостью.
(vii) Все линии в горизонтальной плоскости горизонтальны.
(viii) Две прямые на плоскости всегда пересекаются в одной точке.
(ix) Если две прямые пересекаются в точке P , то P называется точкой пересечения двух прямых.
(x) Если две прямые пересекаются в точке P , то p называется точкой пересечения двух прямых.
(xi) If A , B , C and D are collinear points D , P and Q are collinear, then points A , B , C , D , P и Q всегда коллинеарны.
(xii) Через две заданные точки можно провести две различные прямые.
(xiii) Через данную точку можно провести только одну линию.
(xiv) Четыре точки лежат на одной прямой, если любые три из них лежат на одной прямой.
(xv) Максимальное количество точек пересечения трех линий равно трем.
(xvi) Минимальное количество точек пересечения трех линий равно одной.

Ответ:

(i) Неверно

(ii) Верно

(iii) Неверно
Они могут быть параллельными.

(iv) Верно

(v) Неверно
В каждой вертикальной плоскости должна быть горизонтальная линия.
Например:- Линия пересечения стены и пола комнаты является горизонтальной линией, а также линией на стене, которая находится в вертикальной плоскости.

(vi) Неверно
Противоположный пример:- Линия пересечения стены и пола комнаты является горизонтальной линией, а также линией на стене, которая находится в вертикальной плоскости.

(vii) Верно

(viii) Ложно
Они также могут быть параллельными линиями.

(ix) False
Через точку пересечения должно проходить не менее трех линий.

(x) Верно

(xi) Неверно
Здесь ABCD лежит в одной плоскости, а DPQ может быть в другой плоскости, и они могут пересекаться через точку D.

(xii) Неверно
Две прямые либо пересекаются в одной точки, или они могут быть параллельными линиями, или они могут быть совпадающими линиями.

(xiii) Неверно
Через заданную точку можно провести бесконечную линию.

(xiv) Ложь
Точки коллинеарны, только если все точки находятся в одной плоскости.

(xv) Верно

(xvi) Ложно
Минимальное количество точек пересечения трех линий равно нулю.

Изогнутые формы | SkillsYouNeed

Окружности, эллипсы, параболы и гиперболы

Наша страница, посвященная многоугольникам, посвящена фигурам, состоящим из прямых линий, также известным как «плоские фигуры». На этой странице рассказывается больше о фигурах с кривыми, особенно о двухмерных.

Двумерные изогнутые формы включают окружности, эллипсы, параболы и гиперболы, а также дуги, сектора и сегменты. Трехмерные изогнутые формы, включая сферы, цилиндры и конусы, рассматриваются на нашей странице «Трехмерные формы».

Двумерные изогнутые формы

Круги

Вероятно, наиболее распространенной двумерной изогнутой формой является круг.

Для работы с кругами (и другими изогнутыми формами) в геометрии важно понимать основные свойства круга:

  • Прямая линия, проходящая через центр круга, является диаметром .

  • Половина диаметра составляет радиус .

  • Линия вокруг края круга является окружностью .

Любая точка на окружности находится на таком же расстоянии от центра окружности, как и любая другая точка на окружности.

Знакомство с π (пи)


π или пи — греческая буква. В математике он используется для представления определенной константы, которая также является иррациональным или бесконечным числом (дополнительную информацию см. на нашей странице, посвященной специальным числам).

π имеет значение 3,142 (хотя, поскольку оно бесконечно, это приближение к его точному значению).

π важен, потому что он используется для вычисления длины окружности и площади круга.

Длина окружности равна π x диаметр или 2 × π × радиус (сокращенно 2πr).

Площадь круга равна π × радиус 2 . Эта формула обычно сокращается до πr 2

Для получения дополнительной информации о площади см. нашу страницу Вычисление площади .

Секторы и сегменты

Секторы и сегменты представляют собой «ломтики» круга.

Сектора  по форме напоминают кусок пиццы, с изогнутым краем и каждой прямой стороной, равной радиусу круга или пиццы, из которой он был вырезан. Круговые диаграммы состоят из ряда секторов, соответствующих размеру данных, которые они отображают.

Сектор может быть любого размера, однако сектор, представляющий собой половину круга (180°), называется полуокружностью , а сектор в четверть окружности (90°) называется квадрантом .

Сегмент — это криволинейная часть сектора, часть, которая останется, если убрать треугольник из сектора. Сегменты состоят из двух строк. Дуга (отрезок окружности окружности — см. ниже) и хорда — прямая линия, соединяющая два конца дуги.

Сектор является частью круга, поэтому его площадь составляет часть площади всего круга. Чтобы вычислить площадь сектора, вам нужно знать его центральный угол, θ и радиус.

Площадь сектора можно рассчитать по следующей формуле:

πr 2 × (θ ÷ 360)

Дуги

Часть окружности называется 1 дугой .

Чтобы вычислить длину дуги между точками A и B, вам нужно знать угол в центре между точками A и B. θ (тета) — это символ, используемый для обозначения этого угла, образуемого точками A и B. В нашем Например, мы используем градусы для θ, но также можно использовать радианы.

Вам также необходимо знать радиус (r) дуги.

Поскольку во всей окружности 360°, длина дуги равна центральному углу (θ), деленному на 360, а затем умноженному на длину окружности (2πr).

2πr × (θ ÷ 360)

Пример:

R = 10 см, θ = 88 °, π = 3,14

Длина дуги = 2 x 3,14 x 10 x (88 ÷ 360) = = Длина дуги = 2 x 3,14 x 10 x (88 ÷ 360) = 62,8 × 0,24 = 15,07см .

Градусы или радианы?


Наиболее часто используемой единицей измерения углов являются градусы, но вы также можете встретить расчеты, в которых угол измеряется в радианах. Это стандартная единица СИ для измерения углов, и для получения дополнительной информации о радианах см. нашу страницу Introduction to Angles . Для получения дополнительной информации о системе измерения СИ см. нашу страницу Системы измерения .

2π радиан равно 360°, поэтому формула для длины дуги, когда θ выражена в радианах, будет просто rθ.


Эллипсы

Эллипс — это кривая на плоскости (или плоской поверхности), окружающая две фокальные точки. Прямая линия, проведенная из одной фокальной точки в любую точку кривой, а затем в другую фокальную точку, имеет одинаковую длину для каждой точки кривой.

Эллипсы очень важны в астрономии и физике, поскольку каждая планета имеет эллиптическую орбиту с солнцем в качестве одной из фокусных точек.

Окружность — это особая форма эллипса, в которой две фокусные точки находятся в одном месте (в центре круга). Эллипсы также могут быть описаны как «овальные», но слово «овал» гораздо менее точное в математике и означает просто «яйцевидная форма».

Свойства эллипса:

Эллипс имеет две главные оси и симметричен относительно них.

Более длинная ось называется большой осью ; более короткая ось — это малая ось .

Четыре точки, в которых оси пересекают окружность, называются вершинами (сингулярная вершина). Две точки, в которых малая ось пересекает окружность, называются ко-вершинами .

Два  координационных центра  (или фокусы, иногда называемые очагами или очагами) находятся на большой оси и на равном расстоянии от центра.

Расстояние от одного фокуса до любой точки на окружности и обратно до другого фокуса (синяя пунктирная линия на нашей диаграмме) равно длине между вершинами на большой оси.

Степень удлинения эллипса определяется его эксцентриситетом . Формула для расчета эксцентриситета:

Эксцентриситет =    расстояние от центра до фокальной точки
расстояние от центра до вершины по большой оси

Эксцентриситет окружности равен нулю, потому что фокусы находятся в одном и том же месте (в центре) (мы также говорим, что они совпадают ). Следовательно, расстояние от центра до точки фокуса равно нулю. Эксцентриситет увеличивается по мере того, как эллипс становится длиннее, но всегда меньше 1. Когда расстояние от центра до фокуса равно расстоянию от центра до вершины, тогда эллипс становится прямой линией и его эксцентриситет равно 1,

Площадь эллипса рассчитывается как π (½ x малая ось) (½ x большая ось).


Параболы, гиперболы и взаимосвязь между криволинейными формами

Параболы и гиперболы — это еще формы криволинейных форм, но их определение сложнее, чем круги и эллипсы. Они тесно связаны друг с другом, а также с кругами и эллипсами, потому что все они являются коническими сечениями , то есть фигурами, которые образуются путем разрезания конуса плоской плоскостью.

Характеристики конических сечений изучались на протяжении тысячелетий и интересовали таких древнегреческих математиков, как Евклид и Архимед. На приведенной ниже диаграмме показан двойной конус, похожий на песочный таймер.

  • Если плоскость разрезает конус под углом, параллельным основанию конуса (т. е. перпендикулярно его вертикальной оси), то образуется окружность (вверху слева).

  • Если плоскость разрезает конус параллельно стороне конуса , то образуется парабола (в центре).

  • Если плоскость разрезает конус под углом между этими двумя точками, так что она сохраняет контакт со сторонами конуса во всех местах, то образуется эллипс (внизу слева).

  • Если плоскость пересекает оба конуса под более вертикальным углом, то сечение представляет собой гиперболу .

Параболы и гиперболы являются симметричными кривыми с одной осью симметрии и вершина (нижняя точка U-образной кривой).

Все параболы имеют одинаковую характерную форму, независимо от их размера.  По мере удаления от вершины к бесконечности парабола меняет форму чаши на форму шпильки, а ее лучи становятся все ближе и ближе к параллельности.

В отличие от парабол, гиперболы могут быть различной формы , потому что угол разреза может варьироваться в широких пределах. И параболы, и гиперболы бесконечны, но рукава гиперболы никогда не становятся параллельными.


Применение конических сечений в реальных условиях


Конические сечения можно использовать во многих случаях.

  • Они используются в линзах для телескопов и рефлекторах в фарах или прожекторах для создания пучка света.
  • Сложная математика, связанная с этими формами, жизненно важна для расчета орбит спутников.
  • В технике тросы на мосту Золотые Ворота имеют форму идеальной параболы, а аэродинамические поверхности самолетов основаны на эллипсе.
  • В спорте дуга, за которой следует футбольный, бейсбольный или крикетный мяч, также является параболой, поэтому понимание конических сечений жизненно важно для анализа результатов игроков, что становится все более важным с учетом денег, вкладываемых в профессиональный спорт.
  • Органическая форма этих форм позволяет использовать их в искусстве и архитектуре. Примеры включают Cybertecture Egg в Мумбаи, Воротную арку в Миссури и работы многочисленных художников-скульпторов, таких как «Скрученные эллипсы» Ричарда Серры в музее Гуггенхайма в Нью-Йорке.

Необходимые навыки?

Круги являются частью базовой геометрии, и вам действительно нужно знать, как рассчитать их основные свойства.

Однако маловероятно, что вам нужно будет делать что-то большее, чем знать о существовании других форм, если только вы не хотите серьезно заняться инженерным делом, физикой или астрономией.

Тем не менее, вы можете обнаружить, что вам приятно знать, что вогнутые кривые градирни электростанции или свет от направленной вниз галогенной лампы имеют форму гиперболы.



Дальнейшее чтение из книги «Навыки, которые вам нужны»


Понимание геометрии
Часть руководства «Навыки, которые вам нужны для счета»

В этой электронной книге рассматриваются основы геометрии и рассматриваются свойства форм, линий и твердых тел. Эти концепции построены в книге, с примерами работы и возможностями для вас, чтобы попрактиковаться в ваших новых навыках.

Если вы хотите освежить свои знания или помочь своим детям в обучении, эта книга для вас.


1.4: Внутренние силы в балках и рамах

  1. Последнее обновление
  2. Сохранить как PDF
  • Идентификатор страницы
    17610
    • Феликс Удойо
    • Университет Темпл

    Глава 4

    Внутренние силы в балках и рамах

    4.1 Введение

    Когда балка или рама подвергаются поперечным нагрузкам, возникают три возможные внутренние силы: нормальная или осевая сила, сила сдвига и изгибающий момент, как показано в сечении k кантилевера на рис. 4.1. Чтобы предсказать поведение конструкций, необходимо знать величины этих сил. В этой главе учащиеся узнают, как определить величину поперечной силы и изгибающего момента в любом сечении балки или рамы и как представить вычисленные значения в графической форме, которая называется «поперечной силой». и «диаграммы изгибающих моментов». Диаграммы изгибающего момента и силы сдвига оказывают неоценимую помощь при проектировании, поскольку они показывают максимальные изгибающие моменты и силы сдвига, необходимые для определения размеров элементов конструкции.

    Рис. 4.1. Внутренние силы в балке.

    4.2 Основные определения

    4.2.1 Нормальная сила

    Нормальная сила в любом сечении конструкции определяется как алгебраическая сумма осевых сил, действующих с обеих сторон сечения.

    4.2.2 Сила сдвига

    Сила сдвига (SF) определяется как алгебраическая сумма всех поперечных сил, действующих по обе стороны сечения балки или рамы. Фраза «с любой стороны» важна, так как подразумевает, что в каждом конкретном случае поперечную силу можно получить путем суммирования поперечных сил с левой или с правой стороны сечения.

    4.2.3 Изгибающий момент

    Изгибающий момент (BM) определяется как алгебраическая сумма моментов всех сил, действующих по обе стороны сечения балки или рамы.

    4.2.4 Диаграмма силы сдвига

    Это графическое представление изменения силы сдвига на части или по всей длине балки или рамы. По соглашению диаграмма поперечной силы может быть нарисована выше или ниже центральной оси конструкции размером x , но это должно быть указано, является ли это положительной или отрицательной поперечной силой.

    4.2.5 Диаграмма изгибающего момента

    Это графическое изображение изменения изгибающего момента на сегменте или по всей длине балки или рамы. По соглашению положительные изгибающие моменты изображаются над центральной осью конструкции с размерами x , а отрицательные изгибающие моменты изображаются под осью.

    4.3 Соглашение о знаках

    4.3.1 Осевая сила

    Осевая сила считается положительной, если она стремится сместить элемент в рассматриваемом сечении. Такая сила считается растягивающей, а элемент подвергается осевому растяжению. С другой стороны, осевая сила считается отрицательной, если она стремится раздавить элемент в рассматриваемом сечении. Такая сила считается сжимающей, а элемент находится в осевом сжатии (см. рис. 4.2а и рис. 4.2б).

    4.3.2 Сила сдвига

    Сила сдвига, стремящаяся сместить левую часть секции вверх или правую сторону секции вниз, считается положительной. Точно так же поперечная сила, имеющая тенденцию перемещать левую сторону сечения вниз или правую сторону вверх, будет считаться отрицательной поперечной силой (см. рис. 4.2c и рис. 4.2d).

    4.3.3 Изгибающий момент

    Изгибающий момент считается положительным, если он стремится вызвать вогнутость вверх (провисание). Если изгибающий момент имеет тенденцию вызывать вогнутость вниз (заклинивание), он будет считаться отрицательным изгибающим моментом (см. рис. 4.2e и рис. 4.2f).

    Рис. 4.2. Условные обозначения для осевой силы, поперечной силы и изгибающего момента.

    4.4 Взаимосвязь между распределенной нагрузкой, поперечной силой и изгибающим моментом

    Для получения соотношений между w, V и M рассмотрим свободно опертую балку, на которую действует равномерно распределенная нагрузка по всей ее длине, как показано на рис. 4.3. Пусть поперечная сила и изгибающий момент на участке, расположенном на расстоянии х от левой опоры, равны В и М соответственно, а на участке х + dx будут В + dV и М + dM соответственно. Полная нагрузка, действующая через центр бесконечно малой длины, равна wdx .

    Рис. 4.3. Просто поддерживаемая балка.

    Чтобы вычислить изгибающий момент в сечении x + d x , используйте следующее:

    Из уравнения 4.1 следует, что первая производная изгибающего момента по расстоянию равна поперечной силе. Уравнение также предполагает, что наклон диаграммы моментов в конкретной точке равен поперечной силе в той же точке. Уравнение 4.1 предлагает следующее выражение:

    Уравнение 4.2 утверждает, что изменение момента равно площади под диаграммой сдвига. Аналогично, сила сдвига в сечении x + d x равна:

    В x + dx = В wdx

    В + dV = В wdx

    или

    Из уравнения 4.3 следует, что первая производная силы сдвига по расстоянию равна интенсивности распределенной нагрузки. Уравнение 4.3 предлагает следующее выражение:

    Уравнение 4.4 утверждает, что изменение силы сдвига равно площади под диаграммой нагрузки. Уравнения 4.1 и 4.3 предполагают следующее:

    Из уравнения 4.5 следует, что вторая производная изгибающего момента по расстоянию равна интенсивности распределенной нагрузки.

    Процедура расчета внутренних сил

    • Нарисуйте схему конструкции в свободном пространстве.

    •Проверить устойчивость и определенность конструкции. Если структура устойчива и детерминирована, переходите к следующему этапу анализа.

    •Определить неизвестные реакции, применяя условия равновесия.

    • Проведите воображаемое сечение перпендикулярно нейтральной оси конструкции в точке, где должны быть определены внутренние силы. Пройденный участок делит конструкцию на две части. Рассмотрим любую часть конструкции для расчета желаемых внутренних сил.

    •Для расчета осевой силы определите сумму осевых сил на рассматриваемой для анализа детали.

    • Для расчета поперечной силы и изгибающего момента сначала запишите функциональное выражение для этих внутренних сил для сегмента, в котором находится сечение, относительно расстояния x от начала координат.

    •Вычислите главные значения поперечной силы и изгибающего момента на участке, где находится сечение.

    • Нарисуйте диаграмму осевой силы, поперечной силы и изгибающего момента для конструкции, обращая внимание на условные знаки, рассмотренные в разделе 4. 3.

    •Для консольных конструкций третий шаг можно опустить, рассматривая свободный конец конструкции в качестве исходной точки расчета.

    Пример 4.1

    Начертите диаграммы поперечной силы и изгибающего момента для консольной балки, несущей сосредоточенную нагрузку на свободном конце, как показано на рис. 4.4а.

    Рис. 4.4. Консольная балка.

    Решение

    Реакции поддержки. Сначала вычислите реакции на опоре. Так как поддержка в B зафиксирован, на этой опоре будет три реакции, а именно B y , B x и M B , как показано на диаграмме свободного тела на рис. . Применение условий равновесия предполагает следующее:

    Перерезывающая сила (SF).

    Функция поперечной силы. Пусть х — расстояние произвольного сечения от свободного конца консольной балки (рис. 4.4б). Перерезывающая сила в этом сечении из-за поперечных сил, действующих на сегмент балки слева от сечения (см. рис. 4.4д), равна В = –5 кОм.

    Знак минус указывает на отрицательное усилие сдвига. Это связано с тем, что правило знаков для поперечной силы гласит, что направленная вниз поперечная сила слева от рассматриваемого сечения вызовет отрицательное поперечное усилие на этом сечении.

    Диаграмма силы сдвига. Обратите внимание, что поскольку сила сдвига является постоянной величиной, она должна иметь одинаковую величину в любой точке балки. Условно диаграмму поперечных сил наносят выше или ниже линии, соответствующей нейтральной оси балки, но при этом необходимо указывать знак «плюс», если это положительная поперечная сила, и знак «минус», если это положительная поперечная сила. отрицательное усилие сдвига, как показано на рис. 4.4c.

    Изгибающий момент (BM).

    Функция изгибающего момента. По определению изгибающий момент в сечении представляет собой сумму моментов всех сил, действующих по обе стороны сечения. Таким образом, выражение для изгибающего момента силы 5 к на сечении на расстоянии х от свободного конца консольной балки имеет следующий вид:

    Полученное выражение справедливо для всей балки (область 0 < x < 3 футов). Отрицательный знак указывает на отрицательный момент, который был установлен из соглашения о знаках на данный момент. Как видно на рис. 4.4f, момент от силы 5k приводит к тому, что сегмент балки с левой стороны сечения имеет вогнутость вверх, что соответствует отрицательному изгибающему моменту в соответствии с соглашением о знаках на изгибающий момент.

    Диаграмма изгибающего момента. Поскольку функция изгибающего момента линейна, диаграмма изгибающего момента представляет собой прямую линию. Таким образом, достаточно использовать два главных значения изгибающих моментов, определенных при х = 0 футов и при х = 3 фута, чтобы построить диаграмму изгибающих моментов. По соглашению диаграммы отрицательных изгибающих моментов наносятся ниже нейтральной оси балки, а диаграммы положительных изгибающих моментов строятся над осью балки, как показано на рис. 4.4d.

    Пример 4.2

    Начертите диаграммы поперечной силы и изгибающего момента для консольной балки, подвергнутой равномерно распределенной нагрузке по всей ее длине, как показано на рис. 4.5а.

    Рис. 4.5. Консольная балка.

    Решение

    Реакции поддержки. Сначала вычислите реакции на опоре. Поскольку опора B фиксирована, возможно, на этой опоре будет три реакции, а именно B y 9019.4 , B x и M B , как показано на диаграмме свободного тела на рис. 4.4b. Применение условий равновесия предполагает следующее:

    Перерезывающая сила (SF).

    Функция поперечной силы. Пусть x будет расстоянием произвольного сечения от свободного конца консольной балки, как показано на рис. 4.5b. Перерезывающая сила всех сил, действующих на отрезок балки слева от сечения, как показано на рис. 4.5д, определяется следующим образом:

    Полученное выражение справедливо для всей балки. Знак минус указывает на отрицательную силу сдвига, которая была установлена ​​из правила знаков для силы сдвига. Выражение также показывает, что сила сдвига линейно зависит от длины балки.

    Диаграмма силы сдвига. Обратите внимание, что поскольку выражение для поперечной силы является линейным, его диаграмма будет состоять из прямых линий. Сила сдвига при х = 0 м и х = 5 м были определены и использованы для построения диаграммы поперечной силы, как показано на рис. 4.5c. Как показано на диаграмме, перерезывающая сила изменяется от нуля на свободном конце балки до 100 кН на закрепленном конце. Расчетную вертикальную реакцию B y на опоре можно рассматривать как проверку правильности расчета и диаграммы.

    Изгибающий момент (ВМ).

    Выражение изгибающего момента. Выражение для изгибающего момента на отрезке расстояния x от свободного конца консольной балки:

    Знак минус указывает на отрицательный момент, который был установлен из правила знаков для момента. Как видно на рис. 4.5f, момент из-за распределенной нагрузки приводит к тому, что сегмент балки с левой стороны сечения имеет вогнутость вверх, что соответствует отрицательному изгибающему моменту в соответствии с соглашением о знаках для изгибающий момент.

    Диаграмма изгибающего момента. Поскольку функция изгибающего момента параболическая, диаграмма изгибающего момента представляет собой кривую. В дополнение к двум основным значениям изгибающего момента при х = 0 м и при х = 5 м следует определить моменты в других промежуточных точках, чтобы правильно построить диаграмму изгибающих моментов. Диаграмма изгибающего момента балки показана на рис. 4.5d.

    Пример 4.3

    Нарисуйте диаграммы поперечной силы и изгибающего момента для консольной балки, подверженной нагрузкам, показанным на рис. 4.6а.

    Рис. 4.6. Консольная балка.

    Решение

    Реакции поддержки. Диаграмма свободного тела балки показана на рисунке 4.6b. Сначала вычисляем реакции на опоре Б . Применение условий равновесия предполагает следующее:

    Функции поперечной силы и изгибающего момента. Из-за разрыва распределенной нагрузки в точке B и наличия сосредоточенной нагрузки в точке C три области описывают функции сдвига и момента для консольной балки. Функции и значения поперечной силы ( V ) и изгибающего момента ( M ) в сечениях в трех областях на расстоянии x из штрафной из луча следующие:

    Сегмент AB 0 < x <2 фута

    V = −3 x

    , когда x x

    , когда x =

    , когда x x

    . V = 0

    Когда x = 1, V = −3 KIP

    , когда x = 2 фута, V = −6 KIP

    , когда 868686868686868686868686868686868686868686868686868686868686868686868686868686868686868686868686868686686. M = 0

    Когда x = 1 фут, M = -1,5 тысячи фунтов стерлингов. футов

    Когда x = 2 фута, M = −6 тысяч фунтов. FT

    Сегмент BC 2 FT < x <3 FT

    V = −3 (2) = −6 KIP

    , когда x = 2 ft, 9

    . . футов

    Когда x = 3 фута, M = −12 тысяч фунтов. фут

    Сегмент CD 3 фута < x < 4 фута

    V = −(3)(2) − 10 = −16 тысяч фунтов

    M = -(3)(2)( x — 1) — 10( x — 3)

    Когда x = 3 фута, M = -12 тысяч фунтов. футов

    Когда x = 4 фута, M = −28 тысяч фунтов. ft

    Вычисленное усилие сдвига можно частично проверить с опорными реакциями, показанными на диаграмме свободного тела на рис. 4.6b.

    Диаграммы поперечной силы и изгибающего момента. Расчетные значения силы сдвига и изгибающего момента представлены на рис. 4.6c и рис. 4.6d. Важно помнить, что всегда будет внезапное изменение диаграммы поперечной силы там, где в балке сосредоточена нагрузка. Числовое значение изменения должно быть равно значению сосредоточенной нагрузки. Например, в точке C , где сосредоточенная нагрузка в 10 тысяч фунтов находится в балке, изменение поперечной силы на диаграмме поперечной силы составляет 16 k — 6k = 10 тысяч фунтов. Диаграмма изгибающего момента представляет собой кривую на участке AB и прямую линию на участках BC и CD .

    Пример 4.4

    Начертите диаграммы поперечной силы и изгибающего момента для балки с выступом, подверженной нагрузкам, показанным на рис. 4.7а.

    Рис. 4.7. Балка с навесом.

    Решение

    Реакции поддержки. Реакции на опорах показаны на диаграмме свободного тела балки на рис. 4.7б. Они вычисляются путем применения условий равновесия следующим образом:

    Функции сдвига и изгибающего момента. Из-за сосредоточенной нагрузки в точке B и выступающей части CD рассматриваются три области для описания функций поперечной силы и изгибающего момента для выступающей балки. Выражение для этих функций на участках внутри каждой области и главные значения в конечных точках каждой области следующие:

    0 < x <3

    V = 25 — 8 x

    , когда x = 0, V = 25 пенсов

    , когда x = 9268 = 9268 = 9268 = 9268 = 9268 = 9268 = 9268 = 9268 = 9268 = 9268 = 9268 = 9268 = 9268 = 9268 = 9268.

    При x = 0, M = 0

    При x = 3, M = 39 кип. ft

    3 < x < 6

    V = 25 − 14 − 8 x

    Когда x = 3, V = −13 кип

    Когда x = 6, V = −37 кип

    M =

    , когда x = 3, =

    , когда x = 3, . футов

    Когда x = 6, M = −36 тысяч фунтов. FT

    0 < x <2

    V = 10 + 8 x

    , когда x = 0, В = 10 п.

    . = 26 тысяч фунтов

    M =

    Когда x = 0, M = 0

    Когда x = 2, M — 936 kip = 0. ft

    Диаграмма поперечной силы и изгибающего момента. Определенная диаграмма поперечной силы и момента в конечных точках каждой области представлена ​​на рис. 4.7c и рис. 4.7d. Для точного построения кривой изгибающего момента иногда необходимо определить некоторые значения изгибающего момента в промежуточных точках путем подстановки некоторых расстояний внутри области в полученную функцию для этой области. Обратите внимание, что в местах сосредоточенных нагрузок и на опорах численные значения изменения перерезывающей силы равны сосредоточенной нагрузке или реакции.

    Пример 4.5

    Начертите диаграммы поперечной силы и изгибающего момента для балки с выступом, подверженной нагрузкам, показанным на рис. 4.8а. Определить положение и величину максимального изгибающего момента.

    Рис. 4.8. Балка с навесом.

    Решение

    Реакции поддержки. Реакции на опорах балки показаны на диаграмме свободного тела на рис. 4.8б. Реакции рассчитываются с применением следующих уравнений равновесия:

    Функции сдвига и изгибающего момента. Из-за разрыва оттенков распределенных нагрузок на опоре B для описания и функций моментов рассматриваются две области x , как показано ниже:

    0 < x < 4

    V =

    Когда x = 0, В = 6,10 кН

    Когда x = 2, В = 1,1 кН

    = x 926, В = −13,9 кН

    M =

    Когда x = 0, M = 0

    Когда x

    6 = 5 кН 926,8 м

    Когда x = 4, M = −2,3 кН. M

    0 < x <1,5

    V = 2 x

    , когда x = 0, В = 0

    , когда x V = 0

    , когда x V = 0

    , , . кН

    M = -(2)( x )

    Когда x = 0, M = 0

    Когда x = 1,5 м, M = -2,3 кН. м

    Диаграммы поперечной силы и изгибающего момента. Расчетные значения силы сдвига и изгибающего момента представлены на рис. 4.8c и рис. 4.8d. Обратите внимание, что значения поперечной силы на опорах равны значениям опорных реакций. Также обратите внимание на диаграмму, что сдвиг в области AB представляет собой кривую, а сдвиг в области BC представляет собой прямую, что соответствует параболической и линейной функциям, соответственно полученным для областей. Диаграммы изгибающих моментов для обеих областей криволинейны. Кривая для области AB глубже, чем для области BC . Это связано с тем, что полученная функция для области AB является кубической, а для области BC — параболической.

    Положение и величина максимального изгибающего момента. Максимальный изгибающий момент возникает там, где сила сдвига равна нулю. Как показано на диаграмме поперечной силы, максимальный изгибающий момент возникает на участке 9.2685 АБ . Приравнивание выражения для поперечной силы для этого участка к нулю дает следующее:

    Величину максимального изгибающего момента можно определить, подставив x = 2,21 м в выражение для изгибающего момента для участка АБ . Таким образом,

    Пример 4.6

    Нарисуйте диаграммы поперечной силы и изгибающего момента для составной балки, подверженной нагрузкам, показанным на рис. 4.9а.

    Рис. 4.9. Составной луч.

    Решение

    Схема свободного тела. Диаграмма свободного тела балки показана на рисунке 4.9b.

    Классификация строения. Составная балка имеет r = 4, m = 2 и f i = 2. Поскольку 4 + 2 = 3(2), конструкция статически определима.

    Идентификация основной и дополнительной конструкции. Принципиальная схема взаимодействия стержней для балки показана на рис. 4.9.в. Деталь AC является основной структурой, а деталь CD — дополнительной структурой.

    Анализ дополнительной структуры.

    Реакция поддержки.

    C y = D y = 25 кН, из-за симметрии нагрузки.

    Сила сдвига и изгибающий момент.

    0 < x < 0,5

    V = 25 кН

    M = 25 x

    Когда х = 0, М = 0

    При х = 0,5, М = 12,5 кН. м

    Анализ основной конструкции.

    Реакции поддержки.

    Отрицательное значение подразумевает реакцию на A действует вниз.

    Функции поперечной силы и изгибающего момента.

    0 < x < 1

    В = 25 + 14 x

    Когда x = 0, V = 25 кН

    , когда x = 1, V = 39 кН

    M =

    , когда x = 0, M = 0,00008

    6. M = −32 кН. M

    0 < x <2

    V = −2 — 14 x

    Когда x = 0, В = нок. = −30 кН

    M =

    Когда x = 0, M = 0

    Когда x = 2, M = −32 кН. м

    Диаграммы поперечной силы и изгибающего момента. Расчетные значения поперечной силы и изгибающего момента для основной и дополнительной части составной балки представлены на рис. 4.9d и рис. 4.9e.

    Пример 4.7

    Начертите диаграммы поперечной силы и изгибающего момента для рамы, подверженной нагрузкам, показанным на рис. 4.10а.

    Рис. 4.10. Рамка.

    Решение

    Схема свободного тела. Диаграмма свободного тела балки показана на рисунке 4.10a.

    Реакции поддержки. Реакции на опоре балки можно рассчитать следующим образом при рассмотрении диаграммы свободного тела и использовании уравнений равновесия:

    Функции поперечной силы и изгибающего момента балки BC.

    0 < x 1 < 3

    V = 0

    M = 0

    3 < x 2 <6

    V = 20 КН

    M = –2086686868686868686868686868686868686868686868686868686868686868686868686868686868686868686868686 8686. x = 3, M = 0

    Когда x = 6, M = −60 кН. м

    Обратите внимание, что расстояние x до сечения в выражениях указано от правого конца балки.

    Функции поперечной силы и изгибающего момента колонны г. н.э.

    0 < x 3 <10

    V

    Когда x = 0, V = 0

    , когда x v = 0 0005

    , когда x v . M =

    Когда x = 0, M = −60 кН. м

    Когда x = 10, M = −226,67 кН. м

    Обратите внимание, что расстояние x до секции на колонне отсчитывается от вершины колонны и что аналогичный треугольник использовался для определения интенсивности треугольной нагрузки на секции в колонне следующим образом:

    Диаграммы поперечной силы и изгибающего момента. Расчетные значения поперечной силы и изгибающего момента для рамы нанесены на график, как показано на рис. 4.10c и рис. 4.10d.

    Пример 4.8

    Начертите диаграммы поперечной силы и изгибающего момента для рамы, подверженной нагрузкам, показанным на рис. 4.11а.

    Рис. 4.11. Рамка.

    Решение

    Схема свободного тела. Диаграмма свободного тела балки показана на рисунке 4.11b.

    Реакции поддержки. Реакции на опорах рамы можно рассчитать, рассмотрев диаграмму свободного тела всей рамы и части рамы. Вертикальные реакции опор в точках A и E вычисляются с учетом равновесия всей рамы следующим образом: первоначально предполагалось.

    Учитывая равновесие части CDE рамы, горизонтальная реакция опоры в точке E определяется следующим образом:

    Опять же, учитывая равновесие всей рамы, горизонтальная реакция в точке A может быть рассчитана следующим образом:

    Сдвиг и изгибающий момент колонн каркаса.

    Перерезывающая сила и изгибающий момент в колонне AB.

    0 < x 1 < 10 футов

    В = 13 — 2 x

    , когда x = 0, V = 13 кип

    , когда x = 10 футов, В = –7 000 2685 2686 2686868686 8686 8686 8686 8686 8686 8686 8686 29868686 8686 298686 8686 868686 8686 29868686 8686 298686 8686 298686 8686 298686 8686. x = 0, M = 0

    Когда x = 10 футов, M = 30 тысяч фунтов. футов

    Когда x = 5 футов, M = 30 тысяч фунтов. ft

    Перерезывающая сила и изгибающий момент в колонне ED.

    0 < x 2 <10 футов

    V = 7 кип

    M = 7 x

    , когда x = 0, M = 0,

    . = 70 кип. ft

    Сдвиг и изгибающий момент балки рамы.

    Перерезывающая сила и изгибающий момент в балке BC .

    0 < x 3 < 4 футов

    В = −7,5 тысяч фунтов

    M = −7,5 x + 13(10) − 2(10)

    Когда x = 0, M = 30 тысяч фунтов/фут

    Когда x = 4 фута, M

    = 0 изгибающий момент в балке CD .

    0 < x 4 <4 фута

    V = -17,5 кип. −70 тысяч фунтов на фут

    Когда x = 4 фута, M = 0

    Расчетные значения поперечной силы и изгибающего момента для рамы представлены на рис. 4.11c и 4.11d.

    Краткое изложение главы

    Внутренние силы в балках и рамах: Когда на балку или раму действуют внешние поперечные силы и моменты, в элементе возникают три внутренние силы, а именно нормальная сила ( Н ), поперечная сила ( В ), и изгибающий момент ( M ). Они показаны на следующем рисунке.

    Нормальная сила : Нормальная сила в любом сечении балки может быть определена путем сложения горизонтальных нормальных сил, действующих с обеих сторон сечения. Если равнодействующая нормальной силы стремится двигаться к сечению, это рассматривается как сжатие и обозначается как отрицательное. Однако, если оно имеет тенденцию удаляться от сечения, это расценивается как напряжение и обозначается как положительное.

    Поперечное усилие : Поперечное усилие в любом сечении балки определяется как сумма всех поперечных сил, действующих с обеих сторон сечения. Соглашение о знаках, принятое для поперечной силы, приведено ниже. Диаграмма, показывающая изменение поперечной силы вдоль балки, называется диаграммой поперечной силы.

    Изгибающий момент : Изгибающий момент в сечении балки можно определить путем суммирования моментов всех сил, действующих по обе стороны сечения. Правила знаков для изгибающих моментов показаны ниже. Графическое представление изгибающего момента, действующего на балку, называется диаграммой изгибающего момента.

    Взаимосвязь между распределенной нагрузкой, поперечной силой и изгибающим моментом: Между распределенной нагрузкой, поперечной силой и изгибающим моментом существует следующая взаимосвязь.

    Практические задачи

    4.1. Нарисуйте диаграммы поперечной силы и изгибающего момента для балок, показанных на рис. P4.1–рис. P4.11.

    Рис. P4.1. Луч.

    Рис. P4.2. Луч.

    Рис. P4.3. Луч.

    Рис. P4.4. Луч.

    Рис. P4.5. Луч.

    Рис. P4.6. Луч.

    Рис. P4.7. Луч.

    Рис. P4.8. Луч.

    Рис. P4.9. Луч.

    Рис. P4.10. Луч.

    Рис. P4.11. Луч.

    4.2. Начертите диаграммы поперечной силы и изгибающего момента для рам, показанных на рис. P4.12–рис. P4.19.

    Рис. P4.12. Рамка.

    Рис. P4.13. Рамка.

    Рис. P4.14. Рамка.

    Рис. P4.15. Рамка.

    Рис. P4.16. Рамка.

    Рис. P4.17. Рамка.

    Рис. P4.18. Рамка.

    Рис. P4.19. Рамка.


    Эта страница под названием 1.4: Внутренние силы в балках и рамах распространяется под лицензией CC BY-NC-ND 4.0 и была создана, изменена и/или курирована Феликсом Удоэйо посредством исходного контента, который был отредактирован в соответствии со стилем и стандартами платформа LibreTexts; подробная история редактирования доступна по запросу.

    1. Наверх
    • Была ли эта статья полезной?
    1. Тип изделия
      Раздел или страница
      Автор
      Феликс Удоэйо
      Лицензия
      CC BY-NC-ND
      Версия лицензии
      4,0
    2. Теги
      1. источник@https://temple.manifoldapp.org/projects/structural-analysis

    Диаграммы лучей для плоских зеркал

    Принцип прямой видимости предполагает, что для того, чтобы увидеть изображение объекта в зеркале, человек должен смотреть вдоль линии на изображение объекта. При визировании по такой линии свет от объекта отражается от зеркала по закону отражения и попадает в глаз человека. Этот процесс обсуждался и объяснялся ранее в этом уроке. Один полезный инструмент, который часто используется для отображения этой идеи, известен как лучевая диаграмма. А лучевая диаграмма представляет собой диаграмму, на которой прослеживается путь, по которому проходит свет, чтобы человек увидел точку на изображении объекта. На схеме показаны лучи (линии со стрелками) для падающего луча и отраженного луча. Сложные объекты, такие как люди, часто изображаются в виде фигурок или стрелок. В таких случаях принято рисовать лучи для крайних положений таких объектов.

     

    Рисование диаграмм лучей — пошаговый подход

    В этом разделе урока 2 подробно описана и показана процедура рисования диаграмм лучей. Давайте начнем с задачи рисования диаграммы лучей, чтобы показать, как Сьюзи сможет увидеть изображение зеленой объект стрелка на диаграмме ниже. Для простоты предположим, что Сьюзи смотрит на изображение с закрытым левым глазом. Таким образом, мы сосредоточимся на том, как свет проходит от двух концов стрелки объекта (слева и справа) к зеркалу и, наконец, к правому глазу Сьюзи, когда она смотрит на изображение. Четыре шага процесса рисования диаграммы лучей перечислены, описаны и проиллюстрированы ниже.

    1. Нарисуйте изображение предмета.

    Используйте принцип, согласно которому расстояние до объекта равно расстоянию до изображения, чтобы определить точное местоположение объекта. Выберите один крайняя точка на объекте и внимательно измерьте расстояние от этой крайней точки до зеркала. Отметьте такое же расстояние с противоположной стороны зеркала и отметьте на изображении этой крайней точки . Повторяйте этот процесс для всех экстремумов объекта, пока не определите полное расположение и форму изображения. Обратите внимание, что все измерения расстояния должны производиться путем измерения вдоль сегмента, перпендикулярного зеркалу.

     

    2. Выберите одну крайность на изображении объекта и нарисуйте отраженный луч, который попадет в глаз при взгляде на эту точку.

    Используйте принцип прямой видимости: глаз должен смотреть вдоль линии на изображение объекта, чтобы увидеть изображение объекта. Жирной линией принято обозначать отраженный луч (от зеркала к глазу) и пунктиром — продолжение этого отраженного луча; пунктирная линия проходит за зеркалом до точки изображения. На отраженном луче должна быть стрелка, указывающая направление, в котором движется свет. Наконечник стрелки должен указывать на глаз, так как свет идет от зеркала к глазу, что позволяет глазу видеть изображение.

     

    3. Нарисуйте падающий луч света, идущий от соответствующего экстремума на объекте к зеркалу.

    Падающий луч отражается от поверхности зеркала по закону отражения. Но вместо того, чтобы измерять углы, вы можете просто провести падающий луч от крайней точки объекта до точки падения на поверхность зеркала. Поскольку вы нарисовали отраженный луч на шаге 2, точка падения уже определена; точка падения — это просто точка, в которой луч зрения пересекает поверхность зеркала. Таким образом, проведите падающий луч из крайняя точка точка падения. Еще раз обязательно нарисуйте на луче стрелку, указывающую направление его движения. Наконечник стрелки должен указывать на зеркало, так как свет проходит от объекта к зеркалу.

     

    4. Повторите шаги 2 и 3 для всех остальных концов объекта.

    После выполнения шагов 2 и 3 вы только показали, как свет проходит от одного крайнего объекта к зеркалу и, наконец, к глазу. Вы также должны будете показать, как свет распространяется от других крайности на объекте на глаз. Это просто вопрос повторения шагов 2 и 3 для каждой отдельной крайности. После повторения для каждой крайности ваша лучевая диаграмма будет завершена.

     

     


    Ваша очередь практиковаться

    Лучший способ научиться рисовать диаграммы лучей — попробовать это самостоятельно. Это просто. Просто скопируйте две приведенные ниже настройки на чистый лист бумаги, возьмите линейку/линейку и начните. При необходимости обратитесь к описанной выше четырехэтапной процедуре. Когда закончите, сравните свою диаграмму с готовыми диаграммами внизу этой страницы.

     

     

    Использование диаграмм луча

    Диаграммы луча могут быть особенно полезны для определения и объяснения того, почему из данного места видна только часть изображения объекта. Диаграмма лучей справа показывает линии обзора, используемые глазом, чтобы увидеть часть изображения в зеркале. Поскольку зеркало недостаточно длинное, глаз может видеть только верхнюю часть изображения. Самая нижняя точка на изображении, которую может видеть глаз, — это точка на линии линии взгляда, которая пересекает самый низ зеркала. Поскольку глаз пытается увидеть даже более низкие точки на изображении, зеркала недостаточно для отражения света от нижних точек объекта к глазу. Часть объекта, которую нельзя увидеть в зеркале, заштрихована зеленым цветом на диаграмме ниже.

    Точно так же диаграммы лучей являются полезными инструментами для определения и объяснения того, какие объекты можно увидеть, глядя в зеркало из заданного места. Например, предположим, что шесть студентов — Ал, Бо, Сай, Ди, Эд и Фред — сидят перед плоским зеркалом и пытаются увидеть друг друга в зеркале. И предположим, что упражнение включает в себя ответы на следующие вопросы: Кого Ал может видеть? Кого может видеть Бо? Кого Сай может видеть? Кого Ди может видеть? Кого может видеть Эд? А кого может видеть Фред?

    Задача начинается с поиска изображений заданных учеников. Затем Ала изолируют от остальных учеников, и направляют линию обзора, чтобы увидеть, кого Ал может видеть. Самый левый ученик, которого может видеть Ал, — это ученик, чье изображение находится справа от линии взгляда, пересекающей левый край зеркала. Это будет Эд. Самый правый ученик, которого может видеть Ал, — это ученик, чье изображение находится слева от линии взгляда, пересекающей правый край зеркала. Это будет Фред. Ал мог видеть любого ученика, находящегося между Эдом и Фредом, глядя на любые другие позиции вдоль зеркала. Однако в этом случае между Эдом и Фредом нет других учеников; таким образом, Эд и Фред — единственные ученики, которых может видеть Ал? Диаграмма ниже иллюстрирует это, используя линии прямой видимости для Al.


    Конечно, тот же самый процесс можно повторить для других учеников, наблюдая за их линией обзора. Возможно, вы захотите попытаться определить, кого могут видеть Бо, Сай, Ди, Эд и Фред? Затем проверьте свои ответы, нажав кнопку ниже.

     

     

    Проверьте свое понимание

    1. Шестеро учеников располагаются перед зеркалом. Их позиции показаны ниже. Изображение каждого ученика также наносится на схему. Сделайте соответствующие построения линии прямой видимости, чтобы определить, что учащиеся могут видеть каждого отдельного учащегося.

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован.