2 Немецкий дирижер Герберт фон Караян однажды сказал, что нет вульгарной музыки, только вульгарное исполнение.Я вспоминаю это высказывание Караяна, потому что математики любят говорить, что школьная математика тривиальна. Поэтому позвольте мне перефразировать Караяна, заявив, что нет тривиальной математики, есть только тривиальное математическое изложение. Я расскажу о своем случае, обсудив несколько основных тем из школьной математики с американской точки зрения, и позвольте вам решить, тривиальны они или нет.

3 Давайте начнем с простого длинного деления 587 на 3.Вы знаете алгоритм: Два вопроса: (1) Что это значит? (2) Почему это правильно? Ответ на (1) состоит в том, что если 587 делится на 3, то частное равно 195, а остаток равен 2. Ответ на (2) займет нас в следующие несколько минут.

4 Мы не можем ответить (2) без четкого понимания ответа на (1). Обычное выражение = 195 R 2 не несет никакой информации и также не имеет смысла, поскольку: левая сторона не является числом, а правая сторона также не является числом.Так что же значит сказать, что левая сторона равна правой стороне? Правильный смысл (1): у нас есть деление с остатком, 587 = (195 3) + 2, где 2 <3. Теперь мы должны доказать, что приведенный выше алгоритм приводит к этому уравнению.

5 Мы анализируем алгоритм длинного деления для каждой цифры частного 195: 5 = (1 3) Тогда: 28 = (9 3)

6 И наконец: 17 = (5 3) Таким образом, алгоритм длинного деления представляет собой компактную сводку трех делений с остатком: 5 = (1 3) = (9 3) = (5 3) + 2

7 Вот доказательство того, что 587 = (195 3) + 2: Используя 5 = (1 3) + 2, мы имеем: 587 = (5 100) + (8 10) + 7 = (((1 3) + 2) 100) + (8 10) + 7 = ((1 100) 3) + (28 10) + 7 Используя 28 = (9 3) + 1, получим: 587 = ((1 100) 3) + ( ((9 3) + 1) 10) + 7 = ((1 100) 3) + ((9 10) 3) + 17 Наконец, используя 17 = (5 3) + 2, имеем: 587 = ((1 100) 3) + ((9 10) 3) + (5 3) + 2 = ((1 100) + (9 10) + 5) = (195 3) + 2

8 Это доказательство имеет силу раскрытия фундаментальной идеи, лежащей в основе всех алгоритмов целых чисел: каждый шаг алгоритма включает только одну цифру, когда одна цифра интерпретируется соответствующим образом.Все идет нормально. К сожалению, это сложная математика. Учителя, конечно, должны это знать, но даже пятиклассникам это будет слишком сложно. Чтобы сделать это доказательство пригодным для использования в школьной математике, мы должны максимально упростить его, не жертвуя при этом математической достоверностью объяснения или центральной идеей, что это одна цифра за раз. Следующее является одним из возможных компромиссов.

9 Мы хотим, чтобы целые числа q и r были такими, чтобы 587 = (q 3) + r, где r <3. Число q не может иметь 4 цифры (потому что правая сторона будет превышать левую), поэтому это самое большее 3 цифры число.Его цифра сотен не может быть 2 (опять же, потому что правая сторона будет превышать левую сторону), поэтому его цифра сотен равна 1. Итак, q = T, где T - это двузначное число. Таким образом, что 587 = (100 + T) 3 + r = (T 3) + r = (T 3) + r

10 Теперь 287 = (T 3) + r. Десятичная цифра T может быть равна 9 без какого-либо противоречия (если мы хотим, чтобы r <3, то нам нужно, чтобы T было как можно большим, пока T 3 не превышает 287).Таким образом, T = 90 + S, где S - однозначное число, и, следовательно, 287 = (90 + S) 3 + r = (S 3) + r = (S 3) + r

11 Наконец, мы имеем 17 = (S 3) + r. Ясно, что мы должны позволить S = 5 и r = 2: 17 = (5 3) Напомним: 587 = (q 3) + r, и мы определили, что цифра сотен, цифра десятков и цифра единиц q равны 1 , 9, 5 соответственно и r = 2. Таким образом, 587 = (195 3) + r

12 Все, что мы до сих пор делали о долгом делении, является частью того, что мы называем школьной математикой.Мы отмечаем, что: (а) Эти соображения не относятся к университетской учебной программе по математике. Они слишком элементарны. (б) Математика не тривиальна. (c) Часть этого обсуждения о снижении уровня математики до уровня пятиклассников выходит за рамки математики как таковой. (d) Обсуждение в (c) не может иметь место без полного понимания математики, лежащей в основе алгоритма длинного деления.

13 Явление, показанное в (a) (d), не является особенным для длинного деления, но разделяется большинством тем школьной математики: (i) преобразование дроби m n из m в n.до десятичной дроби длинным делением (ii) Понятие дроби и всего, что связано с дробями, включая отношение и процент. (iii) Понятие постоянной скорости или постоянной скорости. (iv) Аксиомы и евклидова геометрия.

14 (v) Понятия конгруэнтности и сходства. (vi) Понятие длины и площади, особенно вычисление окружности и площади круга.(vii) Понятие отрицательного числа и всего, что связано с отрицательными числами. (viii) Нахождение максимума или минимума квадратичной функции. (ix) Понятие многочлена и алгебра многочленов.

15 Позвольте мне привести еще одну иллюстрацию явления, показанного в (a) (d), с использованием отрицательных чисел. В Америке наиболее часто задаваемый вопрос в школьной математике: почему отрицательное отрицательное равно положительному? Математики считают это очевидным.Они доказывают нечто более общее: для любых чисел x, y, (x) (y) = xy. Доказательство. Сначала докажем, что (x) z = (xz) для любых x и z. Заметим, что если число A удовлетворяет xy + a = 0, то A = (xy). Но по закону распределения xy + {(x) y} = (x + (x)) y = 0 y = 0, поэтому (x) y = (xy). Пусть теперь z = (y), тогда имеем (x) (y) = (x (y)), который по коммутативному закону равен ((y) x) = ((yx)) = yx = xy. Итак (х) (у) = ху.

16 Университетские математики обычно не понимают, насколько сложен этот простой аргумент.Он не подходит для потребления школьниками. Основное сопротивление принятию отрицательного отрицательного = положительного является психологическим. Если мы сможем объяснить это явление целыми числами (а не дробями), большая часть битвы уже выиграна. Мы дадим относительно простое объяснение того, почему (2) (3) = 2 3. Ключевой шаг заключается в доказательстве (1) (1) = 1

17 Если мы хотим показать, что число равно 1, самый желательный способ — это вычислить его, e.например, если A = 1, потому что A = (12 13) (6 25) 5, A = = 1, но иногда такое прямое вычисление недоступно. Тогда мы должны согласиться на косвенный метод проверки. (Подумайте о том, чтобы окунуть ph-полоску в раствор, чтобы проверить ее на кислотность.) Чтобы проверить, равно ли число A 1, мы спрашиваем: верно ли, что A + (1) = 0? Если так, то мы сделали.

18 Теперь пусть A = (1) (1).Имеем A + (1) = (1) (1) + (1) = (1) (1) + 1 (1) По закону распределения (1) (1) + 1 (1) = ((1 ) + 1) (1) = 0 (1) = 0 Итак, A + (1) = 0, и мы заключаем, что A = 1, т. Е. (1) (1) = 1

19 Теперь мы можем доказать (2) (3) = 2 3. Сначала покажем (1) (3) = 3. Имеем (1) (3) = (1) ((1) + (1) + ( 1)) который по закону распределения равен (1) (1) + (1) (1) + (1) (1) = = 3 Таким образом (1) (3) = 3.Тогда (2) (3) = ((1) + (1)) (3) = (1) (3) + (1) (3). По тому, что мы только что доказали, последний равен = 2 3. Таким образом, (2) (3) = 2 3. Доказательство (m) (n) = mn для целых чисел m, n аналогично.

20 До сих пор я давал вам кусочки того, что представляет собой школьная математика. Позвольте мне сделать еще один шаг и дать вам более полное представление. Мы знаем, по крайней мере, что это не так: школьная математика — это не университетская математика.Однако, есть еще кое-что. Мы видели, что для того, чтобы сделать математическую тему полезной для школьников, нам нужно сделать дополнительный шаг, чтобы гарантировать, что математическая сущность не будет потеряна. Этот шаг включает в себя больше, чем математические знания; это предполагает знание школьного класса.

21 Мы говорим о том, что школьная математика является продуктом математической инженерии.Что это значит? Инжиниринг: дисциплина адаптации абстрактных научных принципов к процессам и продуктам, которые безопасно реализуют человеческую цель или функцию. Математическая инженерия. Дисциплина превращения абстрактной математики в форму, которую можно правильно преподавать и изучать в классе K 12. Математическая инженерия также известна как математическое образование K 12.

22 Химическое машиностроение: химия из плексигласа в аквариумах, газ, который вы закачиваете в машину, шампунь, лизол… Электротехника: компьютеры с электромагнетизмом, электропитание, iPod, освещение в этом зале, двигатели, … Математическая инженерия: абстрактная математика, школа математики

23 Признание того, что школьная математика является инженерным продуктом, проясняет текущие дебаты по математике образование. Нет никаких противоречий в утверждении, что инженерия не должна пытаться производить что-то, что отвечает человеческим желаниям, но противоречит научным принципам, e.г. вечные двигатели, машины, которые извлекают кислород из воды без использования энергии. Также нет никаких противоречий в утверждении, что инженерия не должна тратить время на создание чего-либо, что не имеет отношения к человеческим потребностям, независимо от того, насколько научно обоснованно.

24 И все же школьная математика когда-то была математически обоснованной, но она явно не относилась к школьной классной комнате: Новая математика 1960-х годов. Введение теории множеств в начальную школу.Чрезмерный акцент на точность (например, различие между числом три и цифрой 3, которая представляет число три). Акцент на абстракции (например, модульная арифметика, числа в произвольных базисах, символическая логика) за счет базовых навыков (вычисления в базе 10).

25 В настоящее время в школьной математике предпринимается слишком много попыток упростить изучение математики, игнорируя основные математические принципы. Рассмотрим предмет дробей в школьной математике.Исследователи в области образования и авторы учебников, похоже, считают, что никакой инженерный процесс не может привести математику дробей в школьный класс. Поэтому их решение состоит в том, чтобы учить дроби не как математике, а как языку, который, возможно, можно выучить с помощью осмоса, слушания историй, использования аналогий и метафор и участия в практических занятиях. В результате страх перед фракциями виден всем.

26 Вот некоторые проблемы, с которыми учат дроби в Америке.Нет определения. Там нет определения фракции (кроме как кусок пиццы). У фракций операторов есть несколько представлений, которые не имеют смысла, потому что, если мы не знаем, что это такое, что там представлять? Также нет определения какой-либо из арифметических операций над дробями: что означает умножение двух кусков пиццы? Нет рассуждений. Аналогии и метафоры заменяют рассуждения. Зачем использовать наименьший общий знаменатель для добавления дробей? Почему бы не добавить дроби так же, как мы умножаем дроби: добавляем числители и знаменатели? Зачем вычислять деление по инвертированию и умножению?

27 Нет согласованности.Это, пожалуй, самая серьезная из трех проблем. Дроби учат как разные числа от целых чисел. Нам говорят, что дети должны принять новые правила для дробей, которые часто противоречат устоявшимся представлениям о целых числах. Более верно: десятичные числа преподаются как отличные числа от дробей. Также нет логической связи между различными понятиями и навыками в рамках предмета дробей. Как ученики могут справиться с такими раздробленными знаниями?

28 Математическая инженерия, когда она грамотно сделана, дает представление о дробях, которое полностью соответствует основным математическим принципам и подходит для учащихся 5-7 классов.Эти инженерные усилия требуют знания школьного класса, а также глубоких математических знаний.

29 Физики и химики давно признали, что практическое применение их теоретических знаний важно и должно рассматриваться как отдельная дисциплина. Школы техники родились. Однако ни математики, ни педагоги, кажется, не признают школьную математику как технический продукт. Каждая группа в конечном итоге производит математику, не относящуюся к школьному классу, или материалы, используемые в классе, но с математической ошибкой.Нам нужна хорошая школьная математика. Нам нужна хорошая математическая инженерия.

30 Более подробное обсуждение математического образования как математической инженерии см. В wu / icmtalk.pdf