1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

Линия сравнения

Логическая операция 1

Логическая операция 2

Логическая операция 3

Логическая операция 4

Логическая операция 5

Линия сравнения

Инверсия

Конъюнкция

Дизъюнкция

Импликация

Эквивалентность

Название

Обозначение

Союз

Истинность результата операции

Таблица истинности

X

Y

Z

F

1

0

0

1

0

0

0

1

1

1

1

0

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

+

—

+

+

—

+

—

+

—

+

Обязательно вымой за собой посуду.

Не высказывание

Переводчик должен знать хотя бы два языка.

+

Ты любишь смотреть футбол?

Не высказывание

Пять меньше семи.

+

Земля – самая большая планета Солнечной системы.

—

Каждый треугольник является равносторонним.

—

В феврале всегда 28 дней.

—

А ведь хорошо, что сейчас весна!

Не высказывание

A

НЕ А

0

1

1

0

A

B

0

0

0

0

1

0

1

0

0

1

1

1

A

B

0

0

0

0

1

1

1

0

1

1

1

1

A

B

0

0

0

0

1

1

1

0

1

1

1

0

A

B

0

0

1

0

1

1

1

0

0

1

1

1

A

B

0

0

1

0

1

0

1

0

0

1

1

1

A

B

C

0

0

0

1

0

0

0

1

1

0

0

1

0

0

0

0

1

1

1

0

1

0

0

1

1

1

0

1

1

1

1

1

0

0

0

1

1

1

1

1

A

B

C

0

0

0

1

0

0

0

0

1

1

0

0

0

1

0

1

0

0

0

1

1

1

1

1

1

0

0

0

0

1

1

0

1

0

0

1

1

1

0

0

0

1

1

1

1

0

1

0

A

B

0

0

1

1

1

1

0

1

1

0

1

0

1

0

0

1

0

1

1

0

0

0

1

0

1

0

1

1

1

1

0

0

0

1

0

1

Тавтология — это логическое выражение, которое всегда оценивается как T, то есть последний столбец его таблицы истинности состоит только из Т. Иногда говорят, что тавтология равна 9.0005 действительный ; хотя «действительный» используется в других контекстах как ну, это не должно вызывать путаницы. Например, $(P\land Q)\lor P\Leftrightarrow P$ является тавтологией, поскольку ее таблица истинности такова:

Мы перечисляем несколько важных тавтологий в следующей теореме.

Теорема 1.1.3. Справедливы следующие утверждения.

а) $P\стрелка влево \lnot\lnot P$

б) $P\lor Q\Leftrightarrow Q\lor P$

c) $P\land Q\Стрелка влево Q\land P$

d) $(P\land Q)\land R\Стрелка влево P\land(Q\land R)$

e) $(P\lor Q)\lor R\Стрелка влево P\lor(Q\lor R)$

f) $P\land (Q\lor R)\Leftrightarrow (P\land Q)\lor (P\land R)$

g) $P\lor (Q\land R)\Стрелка влево (P\lor Q)\land (P\lor R)$

h) $(P\подразумевает Q)\Стрелка влево (\lnot P\lor Q)$

i) $P\подразумевает (P\или Q)$

j) $P\land Q\подразумевает Q$

k) $(P\стрелка влево Q)\стрелка влево ((P\подразумевает Q)\land (Q\подразумевает P))$

l) $(P\подразумевается Q)\стрелка влево (\lnot Q\подразумевается \lnot P)$

Доказательство. Доказательства оставлены в качестве упражнений. $\qed$

Заметим, что (b) и (c) — коммутативные законы, (d) и (e) — ассоциативные законы и (е) и (ж) говорят, что $\land$ и $\lor$ распределяются друг над другом. Это говорит о том, что существует форма алгебры для логических выражений, аналогичная алгебре для числовых выражений. Этот предмет называется Булева алгебра и имеет множество применений. особенно в информатике.

Если две формулы всегда принимают одно и то же истинностное значение независимо от того, элементы из вселенной дискурса, которые мы заменяем различными переменные, то мы говорим, что они эквивалентны . Стоимость эквивалента формулы в том, что они говорят одно и то же. Это всегда правильный шаг в доказательстве заменить некоторую формулу эквивалентной. Кроме того, многие тавтологии содержат важные идеи для построения доказательств. За например, (k) говорит, что если вы хотите показать, что $P\Leftrightarrow Q$, это можно (и часто целесообразно) разбить доказательство на два части, одна из которых доказывает импликацию $P\implis Q$, а вторая доказывая обратное , $Q\подразумевает P$.

При чтении теоремы 1.1.3 у вас может возникнуть заметил, что $\land$ и $\lor$ обладают многими схожими свойствами. Они называются «двойственными» понятиями — для любого свойства один, есть почти идентичное свойство, которому удовлетворяет другой, экземпляры двух операций поменялись местами. Это часто означает, что когда мы доказываем результат, включающий одно понятие, мы получаем соответствующий результат для своего двойственного без дополнительной работы.

Джордж Буль. Буль (1815–1864) имел только обычное школьное образование, хотя и выучил Греческий и латынь самостоятельно. Он начал свою карьеру в качестве элементарного школьным учителем, но решил, что ему нужно больше узнать о математики, поэтому он начал изучать математику, а также языки, необходимые ему для чтения современной литературы на математика. В 1847 году он опубликовал короткую книгу «Математический анализ». Анализ логики , который, можно справедливо сказать, лег в основу исследования. математической логики. Ключевой вклад работы заключался в переопределить «математику» так, чтобы она означала не просто «изучение чисел и величина», но изучение символов и манипулирование ими в соответствии с к определенным правилам. Важность этого уровня абстракции для будущее математики трудно переоценить. Вероятно, на Благодаря этой работе он перешел на должность в Куинс-колледж в Корке.

В «Исследовании законов мысли» , опубликованном в 1854 г., Буль установил настоящую формальную логику, развивая то, что сегодня называется Булева алгебра или иногда алгебра множеств . Он использовал символы для сложение и умножение как операторы, но в совершенно абстрактном смысл. Сегодня эти символы все еще иногда используются в булевых выражениях. алгебре, хотя символы `$\land$’ и `$\lor$’, и `$\cap$’ и `$\cup$’ также используются. Буль применил алгебраическую манипуляцию к процесс рассуждения. Вот простой пример типа манипуляцию, которую он проделал: уравнение $xy=x$ (которое сегодня можно было бы записать $x\land y = x$ или $x\cap y = x$) означает, что «все вещи, удовлетворяющие $x$ удовлетворяет $y$’, или, говоря нашим языком, $x\имеет y$. Если также $yz=y$ (что есть $y\implis z$), то подстановка $y=yz$ в $xy=x$ дает $x(yz)=x$ или $(xy)z=x$. Заменив $xy$ на $x$, получим $xz=x$, или $x\подразумевает z$. Этот простой пример логического рассуждения используется более и далее по математике. 92+bD+c=0$, обработка $D$ как номер , предоставляет информацию о решениях для дифференциальное уравнение.

Информация здесь взята из A History of Mathematics, by Карл Б. Бойер, Нью-Йорк: John Wiley and Sons, 1968. Подробнее информацию см. Лекции о десяти британских математиках , автор Александр Макфарлейн, Нью-Йорк: John Wiley & Sons, 1916.

Пример 1.1.1 Постройте таблицы истинности для следующих логических выражений:

а) $(P\land Q)\или \lnot P$

б) $P\имеет (Q\land P)$

c) $(P\land Q)\Стрелка влево (P\lor \lnot R)$

d) $\lnot P\имеет в виду \lnot(Q\lor R)$

Пример 1.1.2 Проверьте тавтологии в теореме 1.1.3.

Пример 1.1.3 Предположим, что $P(x,y)$ — это формула «$x+y=4$», а $Q(x,y)$ — это формула «$x

$P(x,y)\land Q(x,y)$,    $\lnot P(x,y)\lor Q(x,y)$,

$P(x,y)\подразумевает \lnot Q(x,y)$,    $\lnot(P(x,y)\Leftrightarrow Q(x,y))$,

, используя значения:

а) $x=1, y=3$

c) $x=1, y=2$

б) $x=3, y=1$

d) $x=2, y=1$

Пример 1. 1.4

а) Найти таблицы истинности для $$ P\land (\lnot Q)\land R, \quad\quad (\lnot P)\land Q\land (\lnot R) $$

b) Используйте их, чтобы найти таблицу истинности для $$ (P\land (\lnot Q)\land R)\lor ((\lnot P)\land Q\land (\lnot R)) $$

c) Используйте метод, предложенный частями (a) и (b) найти формулу со следующей таблицей истинности.

$P$	$Q$	$R$	???
Т	Т	Т	Т
Ф	Т	Т	Ф
Т	Ж	Т	Ж
Ф	Ф	Т 9009n$ T и F — это последний столбец таблицы истинности для некоторой формулы из $n$ букв. Пример 1.1.5 Если $P_1, P_2,\ldots, P_n$ — это список из $n$ формул, максимальное количество составных формул, использующих этот список, может быть построено, никакие два из которых не эквивалентны? 2. 1: Операторы и логические операторы Последнее обновление Сохранить как PDF Идентификатор страницы 7039 Тед Сандстром Государственный университет Гранд-Вэлли через ScholarWorks @Grand Valley State University 4 ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЙ ПРОСМОТР \(\PageIndex{1}\): составные операторы Математики часто разрабатывают способы создания новых математических объектов из существующих математических объектов. Можно сформировать новые утверждения из существующих утверждений, соединив утверждения такими словами, как «и» и «или», или отрицая утверждение. А 9Логический оператор 0648 (или связка ) над математическими утверждениями — это слово или комбинация слов, которая объединяет одно или несколько математических утверждений для создания нового математического утверждения. Составной оператор — это оператор, содержащий один или несколько операторов. Поскольку некоторые операторы так часто используются в логике и математике, мы даем им имена и используем специальные символы для их представления. Конъюнкцией утверждений \(P\) и \(Q\) является утверждение «\(P\) и \(Q\)” и обозначается через \(P \клин Q\). Утверждение \(P \клин Q\) истинно только тогда, когда оба \(P\) и \(Q\) верны. Дизъюнкция операторов \(P\) и \(Q\) есть оператор «\(P\) или \(Q\)» и обозначается через \(P \vee Q\). Утверждение \(P \vee Q\) истинно только тогда, когда хотя бы одно из \(P\) или \(Q\) истинно. отрицание ( утверждения ) утверждения \(P\) является утверждением « , а не \(P\) ” и обозначается \(\urcorner P\). Отрицание \(P\) истинно только тогда, когда \(P\) ложно, а \(\urcorner P\) ложно только тогда, когда \(P\) истинно. Импликация или условное является высказыванием « Если \(P\) , то \(Q\)» и обозначается \(P \to Q\). Утверждение \(P \to Q\) часто читается как «\(P\) подразумевает \(Q\), и мы видели в разделе 1.1, что \(P \to Q\) ложно только тогда, когда \ (P\) истинно, а \(Q\) ложно. Некоторые комментарии о дизъюнкции. Важно понимать использование оператора «или». В математике мы используем « включительно или », если не указано иное. Это означает, что \(P \vee Q\) истинно, когда оба \(P\) и \(Q\) истинны, а также когда только одно из них истинно. То есть \(P \vee Q\) истинно, когда хотя бы одно из \(P\) или \(Q\) истинно, или \(P \vee Q\) ложно только тогда, когда оба \(P\ ) и \(Q\) ложны. Другое использование слова «или» — « эксклюзив или ». Для исключающего или результирующее утверждение ложно, когда оба утверждения истинны. То есть «\(P\) исключающее или \(Q\)» истинно только тогда, когда истинно одно из \(P\) или \(Q\). В повседневной жизни мы часто используем исключающее или. Когда кто-то говорит: «На перекрестке поверните налево или идите прямо», этот человек использует исключающее или. Некоторые комментарии к отрицанию . Хотя утверждение \(\urcorner P\) можно прочитать как «Это не так, что \(P\)», часто есть лучшие способы сказать или написать это на английском языке. Например, мы обычно говорим (или пишем): Отрицание утверждения «391 — простое число» равнозначно «391 — не простое число». Отрицание утверждения «\(12 < 9\)» равно «\(12 \ge 9\)». Для заявлений \(P\): 15 нечетно \(Q\): 15 просто запишите каждое из следующих утверждений в виде английских предложений и определите , истинны они или ложны. (а) \(P \клин Q\). (б) \(P \vee Q\). (c) \(P \клин \urcorner Q\). (d) \(\urcorner P \vee \urcorner Q\). Для заявлений P : 15 нечетно R: 15 < 17 запишите каждое из следующих утверждений в символической форме, используя операторы \(\wedge\), \(\vee\) и \(\urcorner\) (a) 15 \(\ge\) 17. (b) 15 нечетно или 15 \(\ge\) 17. (c) 15 четно или 15 <17. (г) 15 нечетно и 15 \(\ge\) 17, ПРЕДВАРИТЕЛЬНАЯ АКТИВНОСТЬ\(\PageIndex{2}\): истинные значения утверждений Мы будем использовать следующие два утверждения во всех этих предварительных действиях: \(P\) — это утверждение «Идет дождь». \(Q\) — это утверждение «Дейзи играет в гольф». В каждой из следующих четырех частей истинностное значение будет присвоено утверждениям \(P\) и \(Q\). Например, в вопросе (1) мы будем предполагать, что каждое утверждение верно. В вопросе (2) мы будем предполагать, что \(P\) истинно, а \(Q\) ложно. В каждой части определите истинностное значение каждого из следующих утверждений: (a) (\(P \клин Q\)) Идет дождь, а Дейзи играет в гольф. (b) (\(P \vee Q\)) Идет дождь или Дейзи играет в гольф. (c) (\(P \to Q\)) Если идет дождь, то Дейзи играет в гольф. (d) (\(\urcorner P\)) Дождя нет. Какие из четырех утверждений [(a)–(d)] верны, а какие нет в каждой из следующих четырех ситуаций? 1. Когда \(P\) верно (идет дождь) и \(Q\) верно (Дейзи играет в гольф). 2. Когда \(P\) истинно (идет дождь), а \(Q\) ложно (Дейзи не играет в гольф). 3. Когда \(P\) ложно (дождя нет) и \(Q\) истинно (Дейзи играет в гольф). 4. Когда \(P\) ложно (дождя нет) и \(Q\) ложно (Дейзи не играет в гольф). В предварительных заданиях для этого раздела мы узнали о составных утверждениях и их значениях истинности. Эту информацию можно обобщить с помощью таблиц истинности, как показано ниже. \(П\) \(\угол П\) Т Ф Ф Т \(П\) \(Q\) \(P \клин Q\) Т Т Т Т Ф Ф Ф Т Ф Ф Ф Ф \(П\) \(Q\) \(P \vee Q\) Т Т Т Т Ф Т Ф Т Т Ф Ф Ф \(П\) \(Q\) \(П\к Q\) Т Т Т Т Ф Ф Ф Т Т Ф Ф Т Вместо заучивания таблиц истинности многим людям проще запомнить правила, обобщенные в Таблице 2. 1. Таблица 2.1: Истинные значения для общих связок Оператор Символическая форма Сводка значений истинности Соединение \(П \клин Q\) Истина, только если оба \(P\) и \(Q\) верны Разделение \(P \vee Q\) Ложь, только если и \(P\), и \(Q\) ложны Отрицание \(\угол П\) Значение истинности, противоположное \(P\) Условный \(П\к Q\) Ложь, только если \(P\) истинно, а \(Q\) ложно Другие формы условных операторов Условные операторы чрезвычайно важны в математике, потому что почти все математические теоремы формулируются (или могут быть сформулированы) в форме условного оператора в следующей форме: Если «соблюдаются определенные условия», то «что-то происходит». Крайне важно, чтобы все учащиеся, изучающие математику, полностью понимали значение условного утверждения и таблицу истинности условного утверждения. Мы также должны знать, что в английском языке есть другие способы выражения условного оператора \(P \to Q\), кроме «If \(P\), then \(Q\)». Ниже приведены некоторые распространенные способы выражения условного оператора \(P \to Q\) в английском языке: Проверка выполнения 2.1: утверждение «Только если» Напомним, что четырехугольник — это четырехугольник. Пусть \(S\) представляет собой следующее верное условное утверждение: Если четырехугольник является квадратом, то он является прямоугольником. Напишите это условное выражение на английском языке, используя слово «когда бы ни» фраза «только если» фраза «необходимо для» фраза «достаточно для» Ответить Добавьте сюда текст. Не удаляйте этот текст первым. Составление таблиц истинности Таблицы истинности для составных утверждений можно построить, используя таблицы истинности для основных связок. Чтобы проиллюстрировать это, мы построим таблицу истинности для. \((P \клин \urcorner Q) \к R\). Первым шагом является определение необходимого количества рядов. Для таблицы истинности с двумя разными простыми утверждениями необходимы четыре строки, поскольку существует четыре различных комбинации значений истинности для двух утверждений. Мы должны быть последовательны в том, как мы настраиваем ряды. В этом тексте мы будем делать это следующим образом: пометим строки для первого утверждения (T, T, F, F), а строки для второго утверждения — (T, F, T, F). Все таблицы истинности в тексте имеют эту схему. Для таблицы истинности с тремя различными простыми утверждениями требуется восемь строк, поскольку существует восемь различных комбинаций значений истинности для трех утверждений. Наша стандартная схема для этого типа таблицы истинности показана в таблице 2.2 . Следующим шагом является определение используемых столбцов. Один из способов сделать это — работать в обратном направлении от формы данного утверждения. Для \((P \wedge \urcorner Q) \to R\) последним шагом является работа с условным оператором \((\to)\). Для этого нам нужно знать истинностные значения \((P \клин \urcorner Q)\) и \(R\). Чтобы определить истинностные значения для \((P \клин \urcorner Q)\), нам нужно применить правила для оператора конъюнкции \((\клин)\) и нам нужно знать истинностные значения для \(P\ ) и \(\urcorner Q\). Таблица 2.2 представляет собой заполненную таблицу истинности для \((P \клин \urcorner Q) \to R\) с номерами шагов, указанными внизу каждого столбца. Номера шагов соответствуют порядку заполнения столбцов. Таблица 2.2: Таблица истинности для \((P \клин \urcorner Q) \to R\) \(П\) \(Q\) \(R\) \(\угол Q\) \((P \клин \ур угол Q)\) \((П\клин \уругол Q)\к R\) Т Т Т Ф Ф Т Т Т Ф Ф Ф Т Т Ф Т Т Т Т Т Ф Ф Т Т Ф Ф Т Т Ф Ф Т Ф Т Ф Ф Ф Т Ф Ф Т Т Ф Т Ф Ф Ф Т Ф Т 1 1 1 2 3 4 Заполняя столбец для \(P \клин \urcorner Q\), помните, что конъюнкция истинна только тогда, когда оба \(P\) и \(\urcorner Q\) истинны. Заполняя столбец для \((P \клин \urcorner Q) \to R\), помните, что условие является ложным только тогда, когда гипотеза \((P \клин \urcorner Q)\) верна и заключение \(R\) ложно. Последний введенный столбец представляет собой таблицу истинности для утверждения \((P \wedge \urcorner Q) \to R\) с использованием настройки в первых трех столбцах. Проверка выполнения 2.2: построение таблиц истинности Постройте таблицу истинности для каждого из следующих утверждений: \(P \wedge \urcorner Q\) \(\угол(P\клин Q)\) \(\угол P \клин \угол Q\) \(\urcorner P \vee \urcorner Q\) Есть ли среди этих утверждений одинаковая таблица истинности? Ответить Добавьте сюда текст. Не удаляйте этот текст первым. Биусловное утверждение Некоторые математические результаты формулируются в форме «\(P\) тогда и только тогда, когда \(Q\)» или «\(P\) необходимо и достаточно для \(Q\)». Примером может быть: «Треугольник равносторонний тогда и только тогда, когда три его внутренних угла конгруэнтны». Символическая форма биусловного утверждения «\(P\) тогда и только тогда, когда \(Q\)» — это \(P \leftrightarrow Q\). Чтобы определить таблицу истинности для биусловного утверждения, полезно внимательно посмотреть на форму фразы «\(P\) тогда и только тогда, когда \(Q\)». Слово «и» предполагает, что это высказывание является союзом. На самом деле это конъюнкция утверждений «\(P\), если \(Q\)» и «\(P\), только если \(Q\)». Символическая форма этого соединения: \([(Q \to P) \wedge (P \to Q]\). Проверка выполнения 2.3: Таблица истинности для биусловного утверждения Заполните таблицу истинности для \([(Q \to P) \wedge (P \to Q]\). Используйте следующие столбцы: \(P\) , \(Q\), \(Q \к P\), \(P \к Q\) и \([(Q \к P) \клин (P \к Q]\). Последний столбец эта таблица будет истинной для \(P \leftrightarrow Q\). Добавьте сюда текст. Не удаляйте этот текст первым. Другие формы биусловного оператора Как и в случае с условным оператором, существует несколько распространенных способов выражения биусловного оператора \(P \leftrightarrow Q\) в английском языке. Пример \(P\) есть и только если \(Q\). \(P\) необходимо и достаточно для \(Q\). \(P\) подразумевает \(Q\), а \(Q\) подразумевает \(P\). Тавтологии и противоречия Определение: тавтология тавтология — это составное утверждение S, истинное для всех возможных комбинаций значений истинности составных утверждений, являющихся частью \(S\). А противоречие является составным утверждением, которое ложно для всех возможных комбинаций значений истинности составных утверждений, входящих в \(S\). То есть тавтология обязательно верна при любых обстоятельствах, а противоречие обязательно ложно при всех обстоятельствах. Проверка прогресса 2.4 (тавтологии и противоречия) Для утверждений \(P\) и \(Q\): Используйте таблицу истинности, чтобы показать, что \((P \vee \urcorner P)\) является тавтология. Используйте таблицу истинности, чтобы показать, что \((P \клин \urcorner P)\) является противоречием. Используйте таблицу истинности, чтобы определить, является ли \(P \to (P \vee P)\) тавтологией, противоречием или ни тем, ни другим. Ответить Добавьте сюда текст. Не удаляйте этот текст первым. Упражнения к разделу 2.1 Предположим, что Дейзи говорит: «Если не будет дождя, я буду играть в гольф». Позже в тот же день вы узнаете, что шел дождь, но Дейзи все еще играла в гольф. Было ли утверждение Дейзи правдой или ложью? Поддержите свой вывод. Предположим, что \(P\) и \(Q\) являются высказываниями, для которых истинно \(P \to Q\) и для которых \(\urcorner Q\) истинно. Какой вывод (если вообще есть) можно сделать об истинности каждого из следующих утверждений? (a) \(P\) (b) \(P \клин Q\) (c) \(P \vee Q\) Предположим, что \(P\) и \(Q\) являются высказываниями, для которых \(P \to Q\) ложно. Какой вывод (если вообще есть) можно сделать об истинности каждого из следующих утверждений? (a) \(\угол P \to Q\) (b) \(Q \to P\) (c) \(P \ vee Q\) Предположим, что \(P\) и \(Q\) являются высказываниями, для которых \(Q\) ложно, а \(\угол P\to Q\) истинно (и неизвестно, если \(R\) истинно или ложно). Какой вывод (если вообще есть) можно сделать об истинности каждого из следующих утверждений? (a) \(\угол Q \к P\) (b) \(P\) (c) \(P \клин R\) (d) \(R \к \urcorner P\) Постройте таблицу истинности для каждого из следующих утверждений: (a) \(P \to Q\) (b) \(Q \to P\) (c) \(\urcorner P \to \urcorner Q\) (d) \(\urcorner Q \ в \urcorner P\) Имеют ли какие-либо из этих утверждений одинаковую таблицу истинности? Постройте таблицу истинности для каждого из следующих утверждений: (a) \(P \vee \urcorner Q\) (b) \(\urcorner (P \vee Q)\) (c) \(\urcorner P \vee \urcorner Q\) (d) \(\urcorner P \wedge \urcorner Q\) Имеют ли какие-либо из этих утверждений одинаковую таблицу истинности? Построить таблицу истинности для \(P \клин (Q \клин R)\) и \((P \клин Q) \ви (P \клин R)\). Что вы наблюдаете. Предположим, каждое из следующих утверждений верно. Лаура учится в седьмом классе. ��Лора получила пятерку за тест по математике или Сара получила пятерку за тест по математике. ��Если Сара получила пятёрку за контрольную по математике, значит Лора не учится в седьмом классе. Если возможно, определите истинность каждого из следующих утверждений. Внимательно объясните свои рассуждения. 92\) четно». Выразите условное утверждение \(P \to Q\) на английском языке, используя (a) Форма условного оператора «if then» (b) Слово «подразумевает» (c) Форма «только если» условного оператора условное утверждение (d) Фраза «необходимо для» (e) Фраза «достаточно для» Повторите упражнение (9) для условного оператора \(Q \to P\). Для утверждений \(P\) и \(Q\) используйте таблицы истинности, чтобы определить, является ли каждое из следующих утверждений тавтологией, противоречием или ни тем, ни другим. (a) \(\urcorner Q \vee (P \to Q)\). (b) \(Q \клин (P \клин \urcorner Q)\). (c) \((Q \клин P) \клин (P \к \углу Q)\). (г) \(\угол Q \к (Р \клин \угол Р)\). Для утверждений \(P\), \(Q\) и \(R\): (a) Покажите, что \([(P \to Q) \клин P] \to Q\) является тавтологией. Примечание : в символической логике это важная форма логического аргумента, называемая modus ponens . (b) Покажите, что \([(P \to Q) \wedge (Q \to R)] \to (P \to R)\) является атавтологией. Примечание : В символической логике это важная форма логического аргумента, называемая силлогизмом . Исследования и деятельность Работа с условными операторами. Заполните следующую таблицу: Английская форма Гипотеза Заключение Символическая форма Если \(P\), то \(Q\) \(П\) \(К\) \(П\к Q\) \(Q\) только если \(P\) \(К\) \(П\) \(К\к П\) \(P\) необходимо для \(Q\)       \(P\) достаточно для \(Q\)       \(Q\) необходимо для \(P\)       \(P\) подразумевает \(Q\)       \(P\) только если \(Q\)       \(P\) если \(Q\)       если \(Q\), то \(P\)       если \(\urcorner Q\), то \(\urcorner P\)       если \(Q\), то \(Q \клин R\)       если \(P \vee Q\), то \(R\)       Работа с истинностными значениями утверждений. Предположим, что \(P\) и \(Q\) являются истинными утверждениями, что \(U\) и \(V\) являются ложными утверждениями, и что \(W\) является утверждением, и неизвестно, \(W\) истинно или ложно. Какие из следующих утверждений верны, какие ложны, и для каких утверждений невозможно определить, истинно оно или ложно? Обоснуйте свои выводы. (a) \((P \vee Q) \vee (U \клин W)\) (f) \((\urcorner P \vee \urcorner U) \клин (Q \vee \urcorner V)\) (b) \(P \клин (Q \to W)\) (g) \((P \клин \urcorner Q) \клин (U \vee W)\) (c) \(P \клин ( W \к Q)\) (h) \((P \vee \urcorner Q) \to (U \клин W)\) (d) \(W \to (P \клин U)\) (i) \((P \vee W) \to (U \клин W)\) (e) \(W \to (P \клин \urcorner U)\) (j) \((U \клин \urcorner V) \to (P \клин W)\) Ответить Добавьте сюда текст. Не удаляйте этот текст первым. Эта страница под названием 2.1: Операторы и логические операторы распространяется под лицензией CC BY-NC-SA 3. 0 и была создана, изменена и/или курирована Тедом Сандстромом (ScholarWorks @Grand Valley State University) через исходный контент, который был отредактирован к стилю и стандартам платформы LibreTexts; подробная история редактирования доступна по запросу. Наверх Была ли эта статья полезной? Тип изделия Раздел или страница Автор Тед Сандстром Лицензия CC BY-NC-SA Версия лицензии 3,0 Показать страницу TOC нет Теги Биусловный оператор составных операторов источник@https://scholarworks. Добавить комментарий Отменить ответ Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены * Комментарий * Имя * Email * Сайт