Степень с рациональным показателем. Простейшие задачи 11 класс онлайн-подготовка на Ростелеком Лицей

Рациональные числа, степень с рациональным показателем

 

Напомним, что такое множество рациональных чисел.

 

 – рациональные числа.

Каждая дробь может быть представлена в десятичном виде, например :

 

Итак, рациональное число может быть представлено как бесконечная десятичная дробь с периодом.

Напомним определение: для  выполняется равенство:

Например: ; ;  (нужно перевести бесконечную периодическую дробь в обыкновенную).

 

Свойства степени с рациональным показателем, доказательства

 

 

Рассмотрим свойства степени с рациональным показателем, они аналогичны свойствам степени с натуральным показателем, здесь s и r – рациональные числа:

 

1. .

Для того чтобы умножить степени с одинаковым основанием, нужно сложить их показатели, основание оставить без изменений.

2. .

Можно разделить степени с одинаковым основанием, для этого их показатели нужно вычесть, а основание оставить без изменений.

3. .

Для того чтобы степень возвести в степень, нужно перемножить показатели степени, основание оставить без изменений.

4. .

При умножении степеней с одинаковым показателем, нужно перемножить основания и возвести результат в исходную степень.

5. .

Чтобы разделить степени с одинаковыми показателями, нужно разделить основания и возвести результат в исходную степень.

Вышеперечисленные свойства справедливы для любых рациональных показателей. Докажем первое свойство:

Доказательство:

s и r – рациональные числа, , ,  

.

Приведем корни к одинаковому показателю:

.

Преобразуем полученное выражение согласно свойствам корня:

.

По определению степени с рациональным показателем:

.

Согласно свойствам степени:

.

Итак, получили:

.

Докажем третье свойство:

Доказательство:

s и r – рациональные числа, , , .

Схема доказательства стандартная: от степеней перейти к корням, выполнить преобразования с корнями и вернуться к степеням.

Остальные свойства доказываются аналогично.

 

Решение типовых задач

 

 

Перейдем к решению типовых задач.

 

Пример 1 – имеет ли смысл выражение:

а)

Ответ: нет.

б)

Ответ: да ().

в)

Ответ: да, т. к. -4 – целое число ().

г)

Ответ: нет.

Пример 2 – вычислить:

Рассмотрим слагаемые отдельно:

.

Получаем:

.

Пример 3 – упростить выражение:

Упростим знаменатель:

.

Получаем:

.

Отметим, что обязательно в данном случае .

Пример 4 – упростить выражение:

Возводим в квадрат двучлен:

.

Получили выражение:

.

В данной задаче могут быть поставлены дополнительные вопросы, например, допустимы ли отрицательные значения с. Ответ: нет, т. к. с имеет рациональный показатель степени и по определению является неотрицательным.

Пример 5 – упростить выражение:

Комментарий: ограничение на х наложено в связи с тем, что он имеет отрицательный рациональный показатель степени.

Итак, мы рассмотрели свойства степеней с рациональным показателем. В дальнейшем мы перейдем к решению более сложных задач со степенями и радикалами.

 

Список литературы

1. Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Мнемозина.
2. Муравин Г.К., Муравина О.В. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Дрофа. 
3. Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Просвещение.

 

Домашнее задание

1. Алгебра и начала анализа, 10–11 класс (А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницын) 1990, № 432-435.
2. Вычислить:
   
3. Упростить выражение:
   

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал Nado5.ru (Источник).
2. Интернет-портал Terver.ru (Источник).

 

Степени с рациональным и действительным показателем. Их свойства

Похожие презентации:

Элементы комбинаторики ( 9-11 классы)

Применение производной в науке и в жизни

Проект по математике «Математика вокруг нас. Узоры и орнаменты на посуде»

Знакомство детей с математическими знаками и монетами

Тренажёр по математике «Собираем урожай». Счет в пределах 10

Методы обработки экспериментальных данных

Лекция 6. Корреляционный и регрессионный анализ

Решение задач обязательной части ОГЭ по геометрии

Дифференциальные уравнения

Подготовка к ЕГЭ по математике. Базовый уровень Сложные задачи

1. Степени с рациональным и действительным показателем. Их свойства.

2. Вспомним теорию

1
Вспомним теорию
Арифметическим корнем n – ой степени (n N, n 2) из
неотрицательного числа a называется такое
неотрицательное число, n – я степень которого равна а:
2 n 1
2n
nk
a
a
a
2 n 1
2n
mn
a,
n N
;
a ,
n N
;
k
a
m
,
при
a 0.
2
1)
m
n
Степень с рациональным
показателем.
a a ,
m
0,
n
Если
m Z , n N , a 0;
где
m
n
то
m
n
a n am
при
a 0.
2) При a > 0, b > 0, p и q — рациональные числа:
a a a
p
q
(a ) a
p q
p
a p a
( ) p
b
b
p q
pq
p
a
p q
a
q
a
(ab) a b
p
p
p
Степень с действительным показателем. Решение
задач.
Представьте
степень в
виде корня!
VN
Степень с действительным показателем. Решение
задач.
VN
Степень с действительным показателем. Решение
задач.
VN
Степень с действительным показателем. Решение
задач.
VN
Степень с действительным показателем. Решение
задач.
VN
Степень с действительным показателем. Решение
задач.
Представьте
корень в виде
степени и
примените
свойства
степеней!
VN
Степень с действительным показателем. Решение
задач.
Представьте
корень в виде
степени и
примените
свойства
степеней!
VN
Степень с действительным показателем. Решение
задач.
VN
Задания для самостоятельной работы
Вычислить: 1)
2)
3)
4)
2
3) :
3
5( 27
(( 4 2 4 8 ) 2 6)(( 4 2 4 8 ) 2 6)
64
5
6
(0,125)
1
3
4
32 2 16
1
1
2
(3 ) 4
0 4
(3 100 23 5 23 2 )( 3 10 3 4 )
Упростить:
5)
3
b b
6)
3
(
0,5а
1
4
(2 а)
3
4
b
2
4
1
4
(2 а) а
2
3
4
) : ( 2а а 2 )
3
4
Проверка
1)
2)
2
5
(
3
3
3
)
3
5( 27 3 ) :
15
3
2
(( 2 8 ) 6)(( 2 8 ) 6)
4
2
4
4
4
2
( 2 8 2 2 8 6)( 2 8 2 2 8 6)
4
4
( 2 8 2)( 2 8 2) ( 2 8 ) 4
2
2 8 2 16 4 14
Проверка
4)
5
6
1
3
64 (0,125) 32 2 4 16
5
6
6
(2 )
1
3 3
(0,5 )
4
1
1
2
(30 ) 4 4
3
4
2
2 2 (2 )
5
1 4
1 1
6
5
5
2 ( ) 2 2 4 2 2 2 4 2
2
5
5)
Проверка
3
3
3
3
3
( 100 2 5 2 2 )( 10 4 )
(а аb b )(a b) a b следует
3
3
3
3
( 10 ) ( 4 ) 10 4 6
По формуле
b3 b 2
6)
3
b
4
2
2
2 4
1
3 3
b
3
1
3
b
3
3
b
Проверка
7)
(
0,5а
1
4
(2 а)
1
4
(2 а) а
2
3
4
1
4
1)
3
4
3
4
2 0,5a (2 a) (2 a) a
2 (2 a)
3
4
2)
1
4
1 a (2 a)
3
4
a (2 a)
3
4
3
4
1
3
4
) : ( 2а а 2 )
3
4
1
3
4
a (2 a)
3
4
3
4
;
1

17.

Тренировочный тест. 1
1. Найдите значение выражения: 6 8 3 .
1) 12; 2) 6; 3) 3; 4) –3.
2. Выберите верное неравенство:
1
1
1
3
1) 2 2 3 2 ; 2) 0 ,3 0 ,5 ; 3) 1,5 1; 4) 3-8 < 0.
3. Среди данных чисел выберите наибольшее:
1) 5 ;
2) 5 ;
3) 5 ;
4) 5 .
4. Представьте данное выражение в виде степени:
1,7
2,8
1,5
у у у .
1) у -3; 2) у -7,14; 3) у 3;
4) у 6.
5. Упростите выражение: b 0,2 : b 0,7 .
2
1
0,9
1) b ;
2) b ;
3) b
; 4) b 7 .
1
2
1
2
1
3
1
2
1
4
Тренировочный тест (ответы).
№ 1
воп
рос
а
Отв 3
ет
2
3
4
5
1
4
3
1

English     Русский Правила

Объяснение урока: дробные показатели | Nagwa

В этом объяснителе мы научимся упрощать дробные индексы.

Когда мы говорим о выражениях, содержащих рациональные показатели, мы имеем в виду любое выражение в виде 𝑥, где показатель представляет собой дробь.

Чтобы ввести рациональные показатели, давайте сначала вспомним правило произведения показателей, в котором утверждается, что 𝑥×𝑥=𝑥.

Если затем рассмотреть выражение 9×9, правило произведения показателей говорит нам, что это должно быть эквивалентно 9,, что упрощается до 9=9. Оглядываясь назад, это означает, что 9 должно быть равно числу, например 𝑥, такому что когда мы умножаем 𝑥 само на себя, мы получаем ответ 9. То есть, 𝑥=9.

Это означает, что 𝑥=√9 и что 9=√9=3.

Это можно обобщить для любого 𝑥; то есть 𝑥=√𝑥.

Как насчет показателей трети или четверти? Ну, мы можем использовать очень похожий подход, поскольку мы делал раньше: если мы рассмотрим выражение 8×8×8, с помощью Правило произведения показателей упрощает это до 8. Как и прежде, это означает, что 8 должно быть равно числу, назовем его 𝑦 на этот раз, так что когда мы умножаем 𝑦 само на себя трижды получаем ответ 8.

То есть 𝑦=8, значит, 𝑦=√8 и что 8=√8=2.

Используя аналогичную конструкцию, мы можем заключить, что 𝑥=√𝑥.

Следуя этому обсуждению, мы можем сформулировать следующее правило.

Ключевое правило: рациональные показатели с числителем, равным единице

Для любой переменной 𝑥 имеем 𝑥=√𝑥.

Давайте рассмотрим пример.

Пример 1: Оценка рациональных показателей

Вычислить 64.

Ответ

Если мы начнем с того, что вспомним правило рациональных показателей с числителем, равным единице, мы получим что 𝑥=√𝑥.

Используя это правило, мы можем переписать наше выражение следующим образом: 64=√64.

Затем нам нужно определить кубический корень из 64. Это число, которое при умножении на само себя трижды равно 64. Это число равно 4, поскольку 4×4×4=64.

Что произойдет, если числитель нашего рационального показателя не равен единице? Отвечать Для этого нам нужно вспомнить правило степени степени: (𝑥)=𝑥.



Если мы рассмотрим выражение 27, мы можем переписать его как 27×. Степенное правило показателей говорит нам, что это то же, что и 27,, который означает, что это то же самое, что и √27.

Обратите внимание, что мы могли бы также переписать 27 как 27×, что опять-таки по правилу степени можно переписать как 27.

Это то же самое, что и √27.

Первую форму гораздо легче вычислить; мы имеем, что √27=3, и 3=9, поэтому √27=9.

Используя то, что мы нашли выше, теперь мы можем сформулировать более общее правило для рационального экспоненты.

Ключевое правило: рациональные показатели

Для любой переменной 𝑥 имеем 𝑥=√𝑥=√𝑥.

Обратите внимание, что мы указали оба способа перезаписи рационального показателя выражений, но первую форму обычно проще использовать при вычислении числовых значений. выражения.

Давайте теперь посмотрим на несколько примеров, где мы используем правило рациональных показателей для переписать, упростить или оценить рациональные показатели.

Пример 2: Переписывание Rational Exponents

Выразите 𝑥 в форме √𝑎.

Ответ

Если мы начнем с того, что вспомним правило рациональных показателей, то получим, что 𝑥=√𝑥=√𝑥.

В вопросе нас попросили написать выражение во второй форме с экспонента внутри радикала. Таким образом, мы можем переписать выражение следующим образом: 𝑥=√𝑥.

В этом примере мы продемонстрировали, как мы можем использовать правило рациональных показателей для преобразовать экспоненциальное выражение в подкоренное выражение. Мы также можем использовать правило в в обратном направлении, что мы сейчас и продемонстрируем.

Пример 3: Переписывание Rational Exponents

Выразите √𝑥 в форме 𝑥.

Ответ

Если мы начнем с того, что вспомним правило рациональных показателей, то получим, что 𝑥=√𝑥=√𝑥.

Сравнивая это с вопросами, мы должны использовать тот факт, что √𝑥=𝑥. 

Непосредственно сравнивая это с нашим выражением, мы можно увидеть, что это можно переписать как √𝑥=𝑥.

Свободное владение двумя разными способами записи рационального показателя выражения является жизненно важным навыком в нашей способности оценивать и упрощать эти типы выражения. Давайте теперь рассмотрим пару примеров, где нам необходимо оценить различные выражения.

Пример 4: Оценка рациональных показателей

Вычислить 16.

Ответ

Если мы начнем с того, что вспомним правило рациональных показателей, то получим, что 𝑥=√𝑥.

Мы можем использовать это, чтобы переписать наше выражение следующим образом: 16=√16.

Теперь мы можем вычислить выражение. Если вы не знаете свой четвертый корень, это Стоит отметить, что вы можете вычислить их, дважды извлекая квадратный корень. В таком случае, квадратный корень из 16 равен 4, а квадратный корень из 4 равен 2. Следовательно, корень четвертой степени из 16 равно 2. Используя это, мы можем упростить наше выражение следующим образом: 16=√16=2=8.

Давайте закончим рассмотрением примера, в котором требуется упростить выражение содержащие более одного рационального показателя.

Пример 5: Оценка рациональных показателей

Вычислить 1636×64512.

Ответ

В этом вопросе вы можете заметить, что каждая из дробей не представлена ​​в своем простейшая форма. Мы можем упростить задачу вычисления выражений, сначала сократив дроби к простейшему виду, то есть 49×18.

Теперь мы можем распределить показатель степени по числителю и знаменателю каждой из дробей, чтобы получить 49×18.

Теперь давайте вспомним правило для рациональных показателей, которое говорит нам, что 𝑥=√𝑥.

Мы можем использовать это, чтобы переписать наше выражение: чтобы получить 23×12, а теперь показатели степени, чтобы получить 827×12.

Наконец, мы можем умножить дроби путем перекрестного сокращения: 827×12=427.

Ключевые моменты

• Правила экспоненты можно распространить на дробные экспоненты. И продукт, и правила степени распространяются на дробные степени:
  • 𝑥×𝑥=𝑥; например, 2×2=2;
  • (𝑥)=𝑥; Например, 2=2.
• Дробные показатели степени можно преобразовать в рациональные выражения и наоборот с помощью следующие правила:
  • 𝑥=√𝑥; Например, 125=√125=5;
  • 𝑥√𝑥; Например, 16=√16=2=8;
  • 𝑥𝑦=√𝑥√𝑦; Например, 2764=√27√64=34=81256.

Решатель уравнений: Wolfram|Alpha

О, о! Wolfram|Alpha не работает без JavaScript.

Пожалуйста, включите JavaScript. Если вы не знаете, как это сделать, вы можете найти инструкции здесь. Как только вы это сделаете, обновите эту страницу, чтобы начать использовать Wolfram|Alpha.

WolframAlpha

Solve linear, quadratic and polynomial systems of equations with Wolfram|Alpha

Basic Math

More than just an online equation solver

Wolfram|Alpha — отличный инструмент для поиска корней полиномов и решения систем уравнений. Он также факторизует полиномы, строит наборы полиномиальных решений и неравенств и многое другое. 92<=5

• Посмотреть другие примеры »

Доступ к инструментам мгновенного обучения

Получите мгновенную обратную связь и рекомендации с пошаговыми решениями и генератором проблем Wolfram

Узнайте больше о:

• Шаг за шагом пошаговые решения »
• Генератор задач Wolfram »

О решении уравнений

Значение называется корнем многочлена, если .

Наибольший показатель появления в называется степенью . Если имеет степень , то хорошо известно, что есть корни, если принять во внимание кратность. Чтобы понять, что подразумевается под множественностью, возьмем, например, . Считается, что этот многочлен имеет два корня, оба равны 3,9.0003

О «теореме о факторах» узнают обычно на втором курсе алгебры, как о способе нахождения всех корней, являющихся рациональными числами. Также учатся находить корни всех квадратных многочленов, используя при необходимости квадратные корни (вытекающие из дискриминанта). Существуют более сложные формулы для выражения корней многочленов кубической и четвертой степени, а также ряд численных методов аппроксимации корней произвольных многочленов. В них используются методы комплексного анализа, а также сложные численные алгоритмы, и действительно, это область постоянных исследований и разработок.

Системы линейных уравнений часто решаются методом исключения Гаусса или подобными методами. Это также обычно встречается в учебных программах по математике средних школ или колледжей. Необходимы более совершенные методы для нахождения корней одновременных систем нелинейных уравнений. Аналогичные замечания справедливы для работы с системами неравенств: линейный случай можно обрабатывать с помощью методов, описанных в курсах линейной алгебры, тогда как полиномиальные системы более высокой степени обычно требуют более сложных вычислительных инструментов.

Как Wolfram|Alpha решает уравнения

Для решения уравнений Wolfram|Alpha вызывает функции Solve and Reduce языка Wolfram Language, которые содержат широкий спектр методов для всех видов алгебры, от основных линейных и квадратных уравнений до многомерных нелинейных систем.