Степенная функция контрольная работа 10 класс алимов: Контрольная работа для 10 класса по теме «Степенная функция»

Содержание

Контрольная работа по алгебре 10 класс по теме: Степенная функция | Тест по алгебре (10 класс):

Опубликовано 17.11.2022 — 7:12 — Быстрова Виктория Сергеевна

Контрольная работа «Степенная функция» 10 класс методическая разработка по алгебре (10 класс) на тему.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Контрольная работа № 2 по теме «Степенная функция».

А – 10

Вариант № 1.

Найти область определения функции: а) у =; б) у =.
Построить график функции у =. Найти ее область определения и множество значений.
Найти функцию, обратную к данной, ее область определения и множество значений: а) у =; б) у = 3х – 5.
Решить уравнение: а) = 3,2; б) = х + 1.

5*. Решить неравенство: ≥ 2х – 3.

Вариант № 2.

Найти область определения функции: а) у =; б) у =.
Построить график функции у =. Найти ее область определения и множество значений.
Найти функцию, обратную к данной, ее область определения и множество значений: а) у =; б) у = 2х +4.
Решить уравнение: а) = 1,6; б) = 2х + 3.

5*. Решить неравенство:

Вариант № 3.

Найти область определения функции: а) у =; б) у =.
Построить график функции у =. Найти ее область определения и множество значений.
Найти функцию, обратную к данной, ее область определения и множество значений: а) у =; б) у = 5 – 3х.
Решить уравнение: а) = 1,2; б) = х – 2.

5*. Решить неравенство: ≤ х – 1.

Вариант №4.

Найти область определения функции: а) у =; б) у =.
Построить график функции у =. Найти ее область определения и множество значений.
Найти функцию, обратную к данной, ее область определения и множество значений: а) у =; б) у = 4 – 2х.
Решить уравнение: а) = 3,4; б) = х + 2.

5*. Решить неравенство: > х – 1.

Скачано с www.znanio.ru

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Контрольная работа в 9 классе по теме «Степенная функция»

контольная работа по алгебре к учебнику авторов Ш.А. Алимов,Ю.М.Колягин и др….

Зачетная работа для учащихся 10 класса по теме «Степенная функция»

…

Контрольная работа по алгебре №2 «корень n-степени»

Контрольная работа по алгебре №2 «корень n-степени» для 11 класса…

Методическая разработка урока в 10 классе по теме «Степенная функция, ее свойства и график»

Методическая разработка урока повторения, обобщения и систематизации знаний по теме «Степенная функция, ее свойства и график» в свете новых стандартов. Представлено полное описани…

Методическая разработка урока алгебры и начал математического анализа в 11 классе по теме: «Степенная функция».

Методическая разработка урока алгебры и начал математического анализа в 11 классе по теме «Степенная функция» поможет изучению темы. В разработке представлены материалы для устног…

контрольная работа для 6 класса по теме «Степени сравнения прилагательных»

данная работа представляет для себя закрепляющий материал по правилам написания и образования степеней сравнения…

План-конспект открытого урока по алгебре 10 класс по теме «Степенная функция»

Открытый урок по Алгебре в 10 классе на тему «Степенная функция, ее свойства и график»Составил: учитель математики Елисеев Алексей ДмитриевичМБОУ Каринская средняя общеобразоват…

Персональный сайт учителя математики

Алгебра и начала анализа (авторы учебника Ш.А.Алимов, Ю.М.Колягин и др.)

Контрольная работа по теме: «Производная и её геометрический смысл»

Контрольная работа по теме: «Тригонометрические функции»

Самостоятельная работа по теме: «Обратные тригонометрические функции»

Геометрия (авторы учебника Л. С.Атанасян, В.Ф.Бутузов и др..)

10 класс

Алгебра и начала анализа (авторы учебника Ш.А.Алимов, Ю.М.Колягин и др.)

Контрольная работа по теме: «Степенная функция»
Контрольная работа по теме: «Показательная функция»
Контрольная работа за I полугодие (в форме ЕГЭ)
Самостоятельная работа по теме: «Показательные уравнения» (в форме ЕГЭ)
Тренажёр по теме: «Преобразование степенных и иррациональных выражений»
Тренажёр по теме: «Степенная фукция, её свойства и график»
Тренажёр по теме: «Иррациональные неравенства»
Тренажёр по теме: «Показательные уравнения»
Тренажёр по теме: «Логарифмические уравнения и неравенства» (в форме ЕГЭ, в двух уровнях сложности, вариант 1 и 2)
Тренажёр по теме: «Логарифмические уравнения и неравенства» (в форме ЕГЭ, в двух уровнях сложности, вариант 3 и 4)
Самостоятельная работа по теме: «Радианная мера угла»
Итоговый тест в форме ЕГЭ (Вариант 1; Вариант 2; Вариант 3; Вариант 4)

Алгебра и начала анализа
(авторы учебника А. Н.Колмогоров, А.М.Абрамов и др.)
Самостоятельная работа по теме: «Радианная мера угла»
Контрольная работа по теме: «Основные свойства функций»
Контрольная работа за I полугодие (в форме ЕГЭ, вариант 1-4)

Геометрия (авторы учебника Л.С.Атанасян, В.Ф.Бутузов и др..)
Контрольная работа по теме: «Параллельность прямых, прямой и плоскости»
Теоретический тест «Перпендикулярность прямой и плоскости»

9 класс

Алгебра (авторы учебника Ю.Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк и др.)

Контрольная работа по теме: «Квадратный трёхчлен и его корни» (в форме ЕГЭ)

Контрольная работа по теме: «Квадратные уравнения» (в форме ЕГЭ)

Контрольная работа по теме: «Квадратные неравенства» (в форме ЕГЭ)

Контрольная работа за I полугодие (в форме ЕГЭ) Вариант 1

Контрольная работа за I полугодие (в форме ЕГЭ) Вариант 2

Контрольная работа за I полугодие (в форме ЕГЭ) Вариант 3

Контрольная работа за I полугодие (в форме ЕГЭ) Вариант 4

Итоговый тест (в форме ЕГЭ) Вариант 1

Итоговый тест (в форме ЕГЭ) Вариант 2

Итоговый тест (в форме ЕГЭ) Инструкция по выполнению работы

Алгебра (авторы учебника Ш. А.Алимов и др.)

Контрольная работа по теме: «Алгебраические уравнения. Системы нелинейных уравнений»

Самостоятельная работа по теме:

«Деление многочленов. Решение уравнений по схеме Горнера»

Домашняя самостоятельная работа по теме:

Деление многочленов. Решение уравнений по схеме Горнера

Геометрия (авторы учебника Л.С.Атанасян, В.Ф.Бутузов и др.)

Контрольная работа по теме: «Векторы» (в форме ЕГЭ)

8 класс

Алгебра (авторы учебника Ш.А.Алимов)

Контрольная работа за I полугодие (в форме ЕГЭ)

Геометрия (авторы учебника Л.С.Атанасян, В.Ф.Бутузов и др..)

Контрольная работа по теме: «Четырёхугольники»

Теоретический зачёт по теме «Четырёхугольники» (1 уровень сложности)

Зачёт — тест по теме «Четырёхугольники» (2 уровень сложности)

7 класс

Алгебра (авторы учебника Ш.

А.Алимов)

Алгебра (авторы учебника Ю.Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк и др.)

Контрольная работа по теме: «Степень и её свойства»

Итоговый тест за курс 7 класса (Вариант1; Вариант 2; Инструкция по выполнению работы)

Геометрия (авторы учебника Л.С.Атанасян, В.Ф.Бутузов и др..)

Тест по теме: «Равнобедренный треугольник»

Тест по теме: «Аксиомы параллельных прямых»

6 класс

Практическая работа № 1 по теме: «Рисуем по координатам» (43 рисунка)

Практическая работа № 2 по теме: «Рисуем по координатам» (20 рисунков)

5 класс (авторы учебника Г.В.Дорофеев, Л.Г.Петерсон)

Контрольная работа по теме: «Язык и логика»

Самостоятельная работа по теме: «Признаки делимости»

Контрольная работа по теме: «Нахождение НОД и НОК чисел»

Мониторинг качества знаний по математике

11 класс

Декабрь 2011

Мониторинговая работа по математике в формате ЕГЭ, 11 класс

(Вариант 1, Вариант 2, Вариант 3, Вариант 4, Критерии оценки, Бланки ответов, Ответы)

Cентябрь 2011

Мониторинговая работа по математике в формате ЕГЭ, 11 класс

(Вариант 1, Вариант 2, Критерии, Бланки ответов)

Школьные и городские олимпиады

«Силен не тот, кто победил другого,
а тот, кто победил себя»

Конфуций

Школьная олимпиада по математике, 10 класс, 2004 — 2005 учебный год

Городская олимпиада по математике, 5 — 7 классы, 2004 — 2005 учебный год

Городская олимпиада по математике, 5 класс, 2006 — 2007 учебный год

Городская олимпиада по математике, 7 класс, 2007 — 2008 учебный год

Уроки

5-й класс, авторы учебника Г. В.Дорофеев, Л.Г.Петерсон

«Бог создал единицу,

а остальные числа

придумали люди»

Пифагор

Цели урока:

— обеспечить повторение, обобщение и систематизацию материала темы; создать условия контроля (самоконтроля) усвоения знаний и умений;

— способствовать формированию умений применять знания в новой ситуации, развитию математического кругозора, мышления и речи, внимания и памяти;

— содействовать воспитанию интереса к математике, активности творчества.

Оборудование:

— таблички,

— записи на доске,

— учебник «Математика-5» (Г.В.Дорофеев, Л.Г.Петерсон),

— дидактические материалы по математике 5 класс (в тексте ДМ),

— плакат «Интеллектуальный марафон»

(Весь урок можно посмотреть если перейти по ссылке)

Страница не найдена – Властелин колец Кольца власти на Amazon Prime News, Дж.

Р. Р. Толкин, Хоббит и многое другое

Похоже, в этом месте ничего не найдено. Может попробовать одну из ссылок ниже или поиск?

Искать:

Наиболее часто используемые категории

Хоббит (4868)
- Хоббит Фильм (4268)
событий (3400)
Властелин колец (4110)
- Фильмы LotR (3168)
болельщиков (2015)
Товары (1976)
Толкин (1401)
Старые главные новости (21 978)
Старые специальные репортажи (3840)

Архивы

Попробуйте поискать в месячных архивах. 🙂

Archivesselect Месяц марта 2023 г., февраль 2023 г., январь 2023 г., декабрь 2022 г., ноябрь 2022 г., октябрь 2022 г., сентябрь 2022 г., август 2022 г., июль 2022 г., июнь 2022 г., май 2022 г., апрель 2022 г. Март 2022 г., февраль 2022 г., январь 2022 г., декабрь 2021 г., ноябрь, 2021 г., 2021 г., 2021 г., 2021 июль 2021 июня 2021 года.

2021 Апрель 2021 Март 2021 Февраль 2021 Январь 2021 Декабрь 2020 Ноябрь 2020 Октябрь 2020 Сентябрь 2020 Август 2020 Июль 2020 Июнь 2020 Май 2020 Апрель 2020 Март 2020 Февраль 2020 Январь 2020 Декабрь 2019Ноябрь 2019 г. Октябрь 2019 г. Сентябрь 2019 г. август 2019 г., июль 2019 г., июнь 2019 г., май 2019 г., апрель 2019 г. Март 2019 г. Февраль 2019 г., январь 2019 г. Декабрь 2018 г., ноябрь 2018 г., октябрь 2018 г., сентябрь 2018 г., август 2018 г., июль 2018 г., июнь 2018 г., май 2018 апрель 2018 г. Март 2018 г. Февраль 2018 г. Январь 2018 г. Декабрь 2018 г. Ноябрь 2017 г. Октябрь 2017 г. Сентябрь 2017 г. Август 2017 г., июль 2017 г., июнь 2017 г., май 2017 г., апрель 2017 г. Март 2017 г. Февраль 2017 г. Январь 2017 г. Декабрь 2016 г., ноябрь 2016 г., октябрь 2016 г. Сентябрь 2016 г., август 2016 г., июль 2016 г., июнь 2016 г., май 2016 г., апрель 2016 г. Март 2016 г., Февраль 2016 г., январь 2016 г. Декабрь 2015 г. Ноябрь 2015 г. Октябрь 2015 г. Сентябрь 2015 г. август 2015 г., июль 2015 г.

, июнь 2015 г., май 2015 г., апрель 2015 г. Март 2015 г., февраль 2015 г. Январь 2015 г. Декабрь 2014 г., ноябрь 2014 г., октябрь 2014 г. Сентябрь 2014 г., август 2014 г., июль 2014 г., июнь 2014 г., май 2014 г. Апрель 2014 г. Март 2014 г. Февраль 2014 г. Январь 2014 г. Декабрь 2013 г. Ноябрь 2013 г. Октябрь 2013 г. Сентябрь 2013 г. Август 2013 г., июль 2013 г., июнь 2013 г., май 2013 г., апрель 2013 г. Март 2013 г. Февраль 2013 г. Январь 2013 г. Декабрь 2012 г., ноябрь 2012 г., октябрь 2012 г. 2012 г., август 2012 г., июнь 2012 г., июнь 2012 г., май 2012 г., апрель 2012 г. Март 2012 г., февраль 2012 г., январь 2012 г., декабрь 2011 г., ноябрь 2011 г., Октябрь 2011 г., 2011 г., 2011 г., июль, июль, июль. 2011 Июнь 2011 Май 2011 Апрель 2011 Март 2011 Февраль 2011 Январь 2011 Декабрь 2010 Ноябрь 2010 Октябрь 2010 Сентябрь 2010 Август 2010 Июль 2010 Июнь 2010 Май 2010 Апрель 2010 Март 2010 Февраль 2010 Январь 2010 Декабрь 2009Ноябрь 2009 г., октябрь 2009 г., сентябрь 2009 г. Август 2009 г.

, июнь 2009 г., июнь 2009 г., май 2009 г., апрель 2009 г. Март 2009 г. Февраль 2009 г., январь 2009 г. Декабрь 2008 г., ноябрь, октябрь 2008 г., сентябрь 2008 г., август 2008 г., июль 2008 г., июнь 2008 г., май 2008 г., апрель 2008 г. Март 2008 г. Февраль 2008 г., январь 2008 г., декабрь 2007 г., ноябрь 2007 г. 2007 г. Октябрь 2007 г. Сентябрь 2007 г. август 2007 г., июль 2007 г., июнь 2007 г., май 2007 г., апрель 2007 г., март 2007 г., февраль 2007 г., январь 2007 г., декабрь 2006 г., ноябрь 2006 г., октябрь 2006 г., сентябрь 2006 г., август 2006 г., июль 2006 г., июнь 2006 г., май 2006 г. Апрель 2006 г. Март 2006 г. Февраль 2006 г. Январь 2006 г. Декабрь 2005 г. Ноябрь 2005 г. 2005 г. 2005 г. Сентябрь 2005 г. август 2005 г., июль 2005 г., июнь 2005 г., май 2005 г., апрель 2005 г., март 2005 г., февраль 2005 г. Январь 2005 г. Декабрь 2004 г., ноябрь 2004 г., октябрь 2004 г., сентябрь 2004 г., август 2004 г., июль 2004 г., июнь 2004 г., май 2004 г., апрель 2004 г. Март 2004 г., февраль 2004 г.

, январь 2004 г. Декабрь 2003 г., ноябрь 2003 г., октябрь 2003 г. 2003 г. 2003 г. Август 2003 г., июль 2003 г., июнь 2003 г., май 2003 г., апрель 2003 г. Март 2003 г., февраль 2003 г., январь 2003 г., декабрь 2002 г., ноябрь 2002 г., октябрь 2002 г., сентябрь 2002 г., август 2002 г., июль 2002 г., июнь 2002 г., май 2002 г., апрель 2002 г. Март 2002 г., февраль 2002 г., январь 2002 г., декабрь 2001 г., ноябрь 2001 г., октябрь 2001 г., сентябрь 2001 г., август 2001 г., июль, июль. 2001 г. Июнь 2001 г. Май 2001 г. Апрель 2001 г. Март 2001 г. Февраль 2001 г. Январь 2001 г. Декабрь 2000 г. Ноябрь 2000 г. Октябрь 2000 г. Сентябрь 2000 г.99 ноябрь 1999 г. октябрь 1999 г. сентябрь 1999 г. август 1999 г. июль 1999 г. июнь 1999 г. май 1999 г. апрель 1999 г. январь 1981 г. июль 1977 г. январь 1977 г. декабрь 1976 г. сентябрь 1973 г. июнь 1972 г. февраль 1971 г. декабрь 1970 г.

25.2 — Силовые функции | СТАТ 415

Давайте рассмотрим еще один пример, связанный с вычислением мощности проверки гипотезы.

Пусть \(X\) обозначает IQ случайно выбранного взрослого американца. Предположим, что немного нереально, что \(X\) нормально распределено с неизвестным средним значением \(\mu\) и стандартным отклонением 16. Возьмите случайную выборку из \(n=16\) студентов, чтобы после установки вероятности совершения ошибки типа I при \(\alpha=0,05\), мы можем проверить нулевую гипотезу \(H_0:\mu=100\) против альтернативной гипотезы, что \(H_A:\mu>100\).

Какова мощность проверки гипотезы, если истинное среднее значение генеральной совокупности равно \(\mu=108\)?

Ответ

Установка \(\alpha\) вероятности совершения ошибки рода I равной 0,05 означает, что мы должны отклонить нулевую гипотезу, когда тестовая статистика \(Z\ge 1,645\) или, что то же самое, когда наблюдаемое среднее значение выборки равно 106,58 или больше:

, потому что мы преобразуем тестовую статистику \(Z\) в среднее значение выборки посредством:

\(Z=\dfrac{\bar{X}-\mu} {\ frac {\ sigma} {\ sqrt {n}}} \ qquad \ Rightarrow \ bar {X} = \ mu + Z \ dfrac {\ sigma} {\ sqrt {n}} \ qquad \ bar {X} = 100+1,645\влево(\dfrac{16}{\sqrt{16}}\вправо)=106,58\)

Теперь это означает, что мощность, то есть вероятность отклонения нулевой гипотезы, когда \(\mu=108\) равна 0,6406, как рассчитано здесь (напомним, что \(Phi(z)\) является стандартным обозначением для кумулятивная функция распределения стандартной нормальной случайной величины):

\( \text{Power}=P(\bar{X}\ge 106,58\text{когда} \mu=108) = P\left(Z\ge \dfrac{106. 58-108}{\frac{16}{\sqrt{16}}}\right) \\ = P(Z\ge -0,36)=1-P(Z<-0,36)=1-\Phi (-0,36)=1-0,3594=0,6406 \)

и показано здесь:

Таким образом, мы определили, что у нас есть (только) 64,06% шанс отвергнуть нулевую гипотезу \(H_0:\mu=100\) в пользу альтернативной гипотезы \(H_A:\mu>100\ ), если истинное неизвестное среднее значение генеральной совокупности в действительности равно \(\mu=108\).

Какова мощность проверки гипотезы, если истинное среднее значение генеральной совокупности равно \(\mu=112\)?

Ответ

Поскольку мы устанавливаем \(\альфа\), вероятность совершения ошибки типа I, равной 0,05, мы снова отклоняем нулевую гипотезу, когда тестовая статистика \(Z\ge 1,645\), или эквивалентно, когда наблюдаемое среднее значение выборки равно 106,58 или больше. Это означает, что вероятность отклонения нулевой гипотезы при \(\mu=112\) равна 0,9.131, как рассчитано здесь:

\( \text{Power}=P(\bar{X}\ge 106.58\text{когда}\mu=112)=P\left(Z\ge \frac{106. 58- 112}{\frac{16}{\sqrt{16}}}\right) \\ = P(Z\ge -1,36)=1-P(Z<-1,36)=1-\Phi(-1,36)= 1-0,0869=0,9131 \)

и проиллюстрировано здесь:

Таким образом, мы определили, что теперь у нас есть 91,31% шанс отвергнуть нулевую гипотезу \(H_0:\mu=100\) в пользу альтернативная гипотеза \(H_A:\mu>100\), если истинное неизвестное среднее значение генеральной совокупности в действительности \(\mu=112\). Хм… должно быть понятно, что вероятность отклонения нулевой гипотезы больше для значений среднего, таких как 112, которые далеки от предполагаемого среднего значения при нулевой гипотезе.

Какова мощность проверки гипотезы, если истинное среднее значение генеральной совокупности равно \(\mu=116\)?

Ответ

Опять же, поскольку мы устанавливаем \(\alpha\), вероятность совершения ошибки типа I, равной 0,05, мы отклоняем нулевую гипотезу, когда тестовая статистика \(Z\ge 1,645\), или эквивалентно , когда наблюдаемое среднее значение выборки равно 106,58 или больше. Это означает, что вероятность отклонения нулевой гипотезы при \(\mu=116\) равна 0,9909, как рассчитано здесь:

\(\text{Power}=P(\bar{X}\ge 106.58\text{, когда }\mu=116) =P\left(Z\ge \dfrac{106.58-116}{\frac{16} {\sqrt{16}}}\right) = P(Z\ge -2,36)=1-P(Z<-2,36)= 1-\Phi(-2,36)=1-0,0091=0,9909 \)

и проиллюстрировано здесь:

Таким образом, мы определили, что в этом случае у нас есть 99,09% шанс отклонить нулевую гипотезу \(H_0:\mu=100\) в пользу альтернативной гипотезы \(H_A: \mu>100\), если истинное неизвестное среднее значение генеральной совокупности в действительности равно \(\mu=116\). Вероятность отклонения нулевой гипотезы является наибольшей из рассчитанных нами, потому что среднее значение, равное 116, дальше всего отстоит от предполагаемого среднего значения при нулевой гипотезе.

Тебе это надоело? Давайте обобщим несколько вещей, которые мы узнали из этого упражнения:

Во-первых, мой инструктор временами может быть утомительным… э-э-э, я имею в виду, в первую очередь, сила проверки гипотезы зависит на значение исследуемого параметра. В приведенном выше примере мощность проверки гипотезы зависит от значения среднего \(\mu\).
По мере того, как фактическое среднее \(\mu\) отдаляется от значения среднего \(\mu=100\) при нулевой гипотезе, мощность проверки гипотезы увеличивается.

Это первая точка, которая приводит нас к тому, что называется степенной функцией проверки гипотезы . Если вы вернетесь назад и посмотрите, то увидите, что в каждом случае наш расчет мощности включал шаг, который выглядит следующим образом:

\(\text{Power } =1 — \Phi (z) \), где \(z = \frac{106,58 — \mu}{16 / \sqrt{16}} \)

То есть, если мы используем стандартное обозначение \(K(\mu)\) для обозначения степенной функции, как это зависит от \(\mu\), мы имеем:

\(K(\mu) = 1- \Phi \left( \frac{106.58 — \mu}{16 / \sqrt{16}} \right) \)

Итак, реальность такова, что ваш инструктор мог бы быть намного утомительнее, вычислив мощность для каждого возможного значения \(\mu\) при альтернативной гипотезе! Вместо этого мы можем построить график функции мощности со средним значением \(\mu\) по горизонтальной оси и мощностью \(K(\mu)\) по вертикальной оси. Сделав это, мы получим в данном случае график, который выглядит так:

Итак, что мы можем узнать из этого графика? Хорошо:

Мы видим, что \(\alpha\) (вероятность ошибки типа I), \(\beta\) (вероятность ошибки типа II) и \(K(\mu)\) все представлены на графике степенной функции, как показано здесь:
Мы видим, что вероятность ошибки первого рода равна \(\alpha=K(100)=0,05\), то есть вероятность отклонения нулевой гипотезы, когда нулевая гипотеза верна, равна 0,05.
Мы можем видеть мощность теста \(K(\mu)\), а также вероятность ошибки второго рода \(\beta(\mu)\) для каждого возможного значения \(\mu\ ).
Мы видим, что \(\beta(\mu)=1-K(\mu)\) и наоборот, то есть \(K(\mu)=1-\beta(\mu)\).
И мы можем видеть графически, что действительно, поскольку фактическое среднее \(\mu\) удаляется дальше от нулевого среднего \(\mu=100\), мощность проверки гипотезы увеличивается.

Теперь, как вы думаете, что произойдет с силой нашей проверки гипотезы, если мы изменим нашу готовность совершить ошибку первого рода? Будет ли мощность при заданном значении \(\mu\) увеличиваться, уменьшаться или оставаться неизменной? Предположим, например, что мы хотим установить \(\alpha=0,01\) вместо \(\alpha=0,05\)? Вернемся к нашему примеру, чтобы изучить этот вопрос.

Пример 25-2 (продолжение) Раздел

Пусть \(X\) обозначает IQ случайно выбранного взрослого американца. Предположим, что немного нереально, что \(X\) нормально распределено с неизвестным средним значением \(\mu\) и стандартным отклонением 16. Возьмите случайную выборку из \(n=16\) студентов, чтобы после установки вероятности совершения ошибки типа I при \(\alpha=0,01\), мы можем проверить нулевую гипотезу \(H_0:\mu=100\) против альтернативной гипотезы, что \(H_A:\mu>100\).

Какова мощность проверки гипотезы, если истинное среднее значение генеральной совокупности равно \(\mu=108\)?

Ответ

Установка \(\alpha\) вероятности совершения ошибки рода I равной 0,01 означает, что мы должны отвергнуть нулевую гипотезу, когда тестовая статистика \(Z\ge 2,326\) или, что то же самое, когда наблюдаемое среднее значение выборки равно 109,304 или больше:

, потому что:

\(\bar{x} = \mu + z \left( \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right) =100 + 2,326\влево(\frac{16}{\sqrt{16}} \вправо)=109. 304 \)

Это означает, что вероятность отклонения нулевой гипотезы, когда \(\mu=108\), равна 0,3722, как вычислено здесь:

Итак, мощность, когда \(\mu=108\) и \(\alpha=0,01\) меньше (0,3722), чем мощность, когда \(\mu=108\) и \(\alpha=0,05\) (0,6406)! Возможно, мы можем увидеть это графически:

Кстати, мы могли бы снова посмотреть на стакан как наполовину пустой. В этом случае вероятность ошибки типа II при \(\mu=108\) и \(\alpha=0,01\) равна \(1-0,3722=0,6278\). В этом случае вероятность ошибки второго рода равна 9.0117 больше , чем вероятность ошибки типа II, когда \(\mu=108\) и \(\alpha=0,05\).

Все это можно увидеть графически, построив одновременно две степенные функции, одну где \(\alpha=0.01\), а другую где \(\alpha=0.05\). Сделав это, мы получим график, который выглядит следующим образом:

Этот последний пример иллюстрирует, что при условии, что размер выборки \(n\) остается неизменным, уменьшение \(\альфа\) вызывает увеличение \(\ бета\) , и по крайней мере теоретически, если не практически, уменьшение \(\бета\) вызывает увеличение \(\альфа\).