cart-icon Товаров: 0 Сумма: 0 руб.
г. Нижний Тагил
ул. Карла Маркса, 44
8 (902) 500-55-04

Радианная мера угла 10 класс урок – конспект о радианной мере угла 10 класс

конспект о радианной мере угла 10 класс

Градусная и радианная мера угла. Тригонометрический круг

Градусная и радианная мера угла. Тригонометрический круг

Если угол содержит α° и одновременно измеряется x радиан, то , где K° - постоянный коэффициент. Подставляя, например,  и , получаем . Наоборот, , где .

 

Пример 1. Выразим в радианной мере величины углов в 90°, 45°, 60° и 27°.

Решение.  Из формулы (2) следует: .

Пример 2. Выразим в градусной мере величины углов в  радиан.

Решение. Из формулы (2) следует: .

Поворот точки вокруг начала координат

Рассмотрим на координатной плоскости окружность радиуса 1 с центром в начале координат. Ее называют единичной окружностью. Введем понятие поворота точки единичной окружности во круг начала координат на угол α радиан, где α – любое действительное число.

1.  1.  Пусть α>0. Предположим, что точка, двигаясь поединичной окружности от точки Р против часовой стрелки, прошла путь длиной α (рис. 1). Конечную точку пути обозначим М.

В этом случае будем говорить, что точка М получена из точки Р поворотом вокруг начала координат на угол α радиан.

2.  2.  Пусть α<0. В этом случае поворот на угол α радиан означает, что движение совершалось по часовой стрелке и точка прошла путь длинной  (рис. 2).

Поворот на 0 рад означает, что точка остается на месте.

Примеры.

1)   При повороте точки Р(1;0) на угол (рис. 3) получается точка М с координатами (0;1).

2)   При повороте точки Р(1;0) на угол  (рис. 3) получается точка N(0;-1).

3)   При повороте точки Р(1;0) на угол  (рис. 4) получается точка К(0;-1).

4)   При повороте точки Р(1;0) на угол  (рис. 4) получается точка Д(-1;0).

Рис. 1

Рис. 2

Рис. 3

Рис. 4

 

 

Приведем таблицу поворотов на некоторые углы, выраженные в радианной и градусной мерах (рис. 5).

Отметим, что при повороте точки Р(1;0) на 2, т.е. на 360°, точка возвращается на первоначальное положение (см. таблицу). При повороте точки на -2, т.е. на -360°, она также возвращается в первоначальное положение.

Рассмотрим примеры поворотов точки на угол, больший 2, и на угол, меньший -2. Так, при повороте на угол  точка совершает два полных оборота против часовой стрелки и проходит еще путь  (рис. 6). При повороте на угол  точка совершает два полных оборота по часовой стрелке и проходит еще путь   в том же направлении (рис. 7).

Рис. 6

Рис. 5

Рис. 7

 

 

Свойства тригонометрических функций

Знаки тригонометрических функций

Свойство четности и нечетности

Свойство периодичности

Градусы и радианы

Значения tg и ctg угла α

Значения sin и cos угла α

 – это угол поворота, при котором конец начального радиуса описывает дугу, длина которой равна радиусу.

1 рад=(180/n)0=570

n0= (nп)/1800

n рад= (n 1800)/п

infourok.ru

Урок 29. радианная мера угла - Алгебра и начала математического анализа - 10 класс

Алгебра и начала математического анализа, 10 класс

Урок №29. Радианная мера угла

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

1) Понятие тригонометрической окружности;

2) Поворот точки вокруг начала координат;

3) Длина дуги окружности и площадь кругового сектора.

Глоссарий по теме

Окружность – это замкнутая линия, все точки которой равноудалены от центра.

Радиус окружности – отрезок, соединяющий её центр с любой лежащей на окружности точкой.

Круг – часть плоскости, ограниченная окружностью.

Дуга окружности – кривая линия, лежащая на окружности и ограниченная двумя точками.

Круговой сектор – часть круга, ограниченная двумя радиусами.

Угол в 1 радиан – центральный угол, опирающийся на дугу, равную по длине радиусу окружности.

Основная литература:

Колягин Ю.М., Ткачева М.В, Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл.– М.: Просвещение, 2014.

Колягин Ю.М., Ткачева М.В, Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Учебно-методический комплект: Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл.– М.: Просвещение, 2014.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

На уроках геометрии мы с вами изучали окружность, её элементы, свойства. Повторим понятие окружности. Это замкнутая линия, все точки которой равноудалены от центра.

Радиусом окружности называется отрезок, соединяющий её центр с любой лежащей на окружности точкой.

На окружности можно выделить дугу. А если рассмотреть круг - часть плоскости, ограниченной окружностью - то можно выделить круговой сектор.

«Окружность бесконечно большого круга и прямая линия – одно и то же» Г. Галилей

Действительно, и окружность и прямая – бесконечны. Рассмотрим окружность радиуса, равному 1 единичному отрезку, в прямоугольной системе координат хОу с центром в начале координат. Такую окружность называют единичной или тригонометрической. (рис.1)

Длина этой окружности (в предыдущей задаче велотрека), как мы помним из уроков геометрии, . А учитывая, что R=1, , осями координат она поделена на четыре дуги, которые находятся соответственно в I, II, III и IV координатных четвертях.

Вычислите длину каждой дуги.

Ответ. длина каждой дуги равна части окружности или

Длина полуокружности равна А так как образовался развернутый угол, то 180.

Рассмотрим дугу, равную по длине радиусу единичной окружности. Полученный центральный угол РОМ равен длине дуги МР=R.

рис.3

Определение. Углом в 1 радиан называется центральный угол, опирающийся на дугу, равную по длине радиусу окружности.

Обозначается 1рад.

;

α рад=(180/π α)° (1)

Длину дуги l окружности радиуса R (рис.4)

можно вычислять по формуле(3)

А площадь S кругового сектора радиуса R и дугой рад (рис.5)

находят по формуле: , где (4)

Вернёмся к единичной окружности в координатной плоскости.

Каждая точка этой окружности будет иметь координаты х и у такие, что выполняются неравенства -1≤ х ≤ 1; -1≤ у ≤ 1.

Введём понятие поворота точки. (рис.2)

  1. Пусть Тогда точка А(1;0) будет двигаться по единичной окружности против часовой стрелки. Она пройдёт путь α рад от точки А(1;0) до точки В. Говорят, точка В получена из точки А поворотом на угол
  2. Пусть точка А(1;0) будет двигаться по единичной окружности по часовой стрелки . Она пройдёт путь α рад от точки А(1;0)до точки С. Говорят, точка С получена из точки А поворотом на угол - α.

При повороте на 0 рад точка остаётся на месте.

Давайте рассмотрим такой пример:

при повороте точки М(1;0) на угол получается точка N (0;1). В эту же точку можно попасть из точки М(1;0) при повороте на

угол (рис.6)

(рис.6)

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

Пример 1.

Найти градусную меру угла, равного рад.

Решение: Используя формулу (1),

находим .

Так как , то рад, тогда (2)

Ответ: .

Пример 2. Найти радианную меру угла, равного 60.

Решение:

Вычисляем по формуле (2): рад

рад

При обозначении мер угла, наименование «рад» опускают.

Ответ: рад, рад.

Пример 3. Найти длину дуги окружности радиуса 6 см, если её радианная мера .

Решение: Используя формулу (3),

получим:

Ответ: .

Пример 4. Найти площадь сектора, если радиус окружности 10 м, а радианная мера центрального угла .

Решение:

По формуле (4) вычисляем

Ответ: 45 м2

Пример 5. Найти координаты точки М, полученной из точки N(1;0) поворотом на угол, равный .

Решение: Абсцисса точки М равна отрезку ОК, ордината отрезку ОТ=МК. Так как то

прямоугольный равнобедренный треугольник ОМК имеет равные катеты и гипотенузу ОМ=R=1. По теореме Пифагора можно найти длины катетов. Они равны Учитывая, что точка М находится в I координатной четверти, её координаты положительны.

На окружности можно найти координаты любой точки.

Ответ:

resh.edu.ru

Конспект урока по алгебре для 10 класса на тему «Радианная мера углов»

Учитель: Аблякимова Зиядье Мубеиновна

УРОК №

Дата:

Класс:10

Предмет: алгебра

Тема урока: «Радианная мера углов»

Цель урока:

Обучающие: ввести понятие радианной меры углов и дуг; научиться переводить углы из градусной меры в радианную и наоборот.

Развивающие: формировать умение анализировать и делать выводы, вычислительные, расчетные навыки.

Воспитательные: развивать коммуникативные умения, формировать положительную мотивацию к учению, развивать умение говорить и слушать других..

Тип урока: комбинированный.

Ход урока

I. Организационный этап.

II. Актуализация опорных знаний и умений учащихся.

1. Записать формулу длины окружности, вычислить длину окружности при R=3 см.

2. Записать формулу длины дуги в n o. Найти длину этой дуги при n o= 30о.

III. Изучение нового материала.

При измерении углов в градусах за единицу угла берут угол, который равен 1/180 части развернутого угла и называется угловым градусом. Но в физике, механике, астрономии, математике используется другая мера углов – радианная.

1. Введем радианную меру измерения углов, для этого рассмотрим центральные углы и дуги, соответствующие им.

Пусть – центральный угол, которому соответствуют две дуги ANB и A1N1B1, при чем ОА =, OA1 = 1 (рис.1).

Рис.1

Запишем длины дуг: l= =; l1

= =

Найдем отношение длины дуги к радиусу в каждом случае: = ; =

Имеем = . Мы показали, что для данного центрального угла отношение длины дуги, на которую он опирается, к длине соответствующего радиуса – величина постоянная, не зависящая от размеров радиуса. Обозначим = a.

Число a = называется радианной мерой угла ( – длина дуги, соответствующей центральному углу ). За единицу такого угла берут угол, для которого = , тогда a =1. Итак, это угол, мера которого один радиан.

Определение. Угол один радиан – такой центральный угол, длина дуги которого равна длине радиуса.

Замечание. В математической литературе слово «радиан» не пишется. Например если угол АОВ = 2, то это значит, что угол АОВ равен двум радианам.

2. Любой угол, заданный в градусной мере, можно перевести в радианную меру и наоборот.

1) Радианная мера окружности = 2 радиан, то есть = 2 радиан; = радиан.

2) Радианная мера дуги равна .

Если градусная мера угла , то его радианную меру можно найти по формуле: a = , и наоборот = .

IV. Закрепление новых знаний и умений учащихся.

Задание классу

1. Заполнить таблицу, пользуясь полученными формулами.

a

Решение

I способ. = . Найти радианную меру этого угла.

a = ==

II способ. Составим пропорцию ; – a, тогда

a = =

2. Вычислить градусную меру угла 1 радиан; 2 радиана и изобразить эти углы на окружности (1 радиан = 570, 2 радиана = 1140).

V. Домашнее задание: п. 7.2, №7.16, 7.17 (1й столбик).

VI.Итог урока

Учитель отвечает на вопросы учащихся.

infourok.ru

Радианная мера угла

Прежде, чем приступить к рассмотрению новой темы, давайте вспомним, что градусом называют величину центрального угла, которому соответствует  часть окружности. Градусная мера угла – это положительное число, которое показывает, сколько раз градус и его части укладываются в измеряемом угле.

А углы можно измерять только в градусах? Сегодня на уроке мы рассмотрим ещё одну единицу измерения углов.

Давайте изобразим окружность с центром в точке  и радиусом . Затем проведём вертикальную прямую, которая касается окружности в точке . Эту прямую мы будем считать числовой осью с началом отсчёта в точке . Положительным направлением на прямой будем считать направление вверх. За единичный отрезок на числовой оси возьмём радиус окружности.

Отметим на прямой несколько точек:  и ,  и ,  и ,  и ,  и .

Теперь представим нашу прямую в виде нерастяжимой нити, которая закреплена на окружности в точке . Будем наматывать нить на окружность. При этом точки на числовой прямой с координатами , , ,  перейдут соответственно в точки окружности , , , . При этом длина дуги  равна , длина дуги  равна , длина дуги  равна , длина дуги  равна .

Получается, что каждой точке прямой ставится в соответствие некоторая точка окружности.

Так, точке прямой с координатой  ставится в соответствие точка . А значит, угол  можем считать единичным? Да, и его мерой мы будем измерять другие углы. Например, угол  следует считать равным , а угол  равным .

А где используют такой способ измерения углов? Такой способ измерения углов широко используется в математике и физике. Говорят, что углы измеряются в радианной мере.

Единичный угол  называют углом в один радиан. Записывают так:  рад.

И напомним, что длина дуги  равна радиусу нашей окружности.

Сейчас давайте рассмотрим окружность радиуса . И отметим на ней дугу , равную длине радиуса окружности, и угол .

И такой угол называется углом в один радиан? Верно.

Запомните! Центральный угол, опирающийся на дугу, длина которой равна радиусу окружности, называется углом в один радиан.

Интересно, а скольким градусам равен угол в один радиан? Давайте найдём градусную меру угла в один радиан. Мы знаем из курса геометрии, что дуге длиной , то есть полуокружности, соответствует центральный угол, равный . Следовательно, дуге окружности длиной  соответствует угол в  раз меньший.

Выше мы назвали такой угол углом в один радиан, а значит, можем записать, что рад . , тогда рад .

Если угол содержит  рад, то рад . Эту формулу называют формулой перехода от радианной меры к градусной.

Давайте с вами найдём градусную меру угла, равного  рад. Для этого воспользуемся формулой перехода от радианной меры к градусной. Подставим  вместо : . Сократим на  и на . И в результате получим .

Можно ли, наоборот, перейти от градусной меры к радианной? Конечно, можно, но такой переход будет чуть сложнее. Так как угол в  равен  рад, то  рад. Тогда  рад. Такую формулу называют формулой перехода от градусной меры к радианной.

Найдём радианную меру угла, равного . Воспользуемся формулой перехода от градусной меры к радианной. Подставим  вместо : . Сократим  и  на . И в результате получим .

Обратите внимание, что при обозначении меры угла в радианах слово «радиан» обычно не пишут: . При этом обозначение градуса в записи меры угла пропускать нельзя.

В следующей таблице представлены углы в градусной и радианной мере, с которыми мы будем встречаться чаще всего.

Отметим, что радианная мера углов позволяет значительно упростить многие формулы в математике, физике, механике. В частности, радианная мера угла удобна для вычисления длины дуги окружности. Так, выше мы выяснили, что угол в  рад стягивает дугу, длина которой равна радиусу , а значит, угол в  рад стягивает дугу длиной: . Если , то эта формула принимает совсем простой вид: , то есть длина дуги равна величине центрального угла, стягиваемого этой дугой.

Сейчас, прежде чем приступить к выполнению заданий, мы докажем, что площадь кругового сектора радиуса , образованного углом в  рад, равна , где .

Докажем это. Известно, что площадь круга вычисляется по формуле: . Площадь полукруга, то есть кругового сектора в  рад: . Тогда площадь сектора в  рад в  раз меньше, то есть . Следовательно, площадь сектора в  рад равна .

Ну а сейчас давайте выполним несколько заданий.

Первое задание. Найдите градусную меру угла, выраженную в радианах: а) ; б) ; в) ; г) ; д) .

Решение.

Второе задание. Найдите радианную меру угла, выраженного в градусах: а) ; б) ; в) ; г) .

Решение.

Следующее задание. Чему равен радиус окружности, если дуге длиной  см соответствует центральный угол в  рад?

Решение.

И ещё одно задание. Дуге кругового сектора соответствует угол, равный  рад. Чему равна площадь сектора, если радиус круга равен  см?

Решение.

Ну а сейчас немного истории.

Впервые радиан как единица измерения был использован английским математиком Роджером Котсом в 1713 году. Он считал, что радиан является наиболее естественной единицей измерения углов. Термин «радиан» впервые появился в печати в 1873 году в экзаменационных билетах Университета Квинса в Белфасте, составленных британским инженером и физиком Джеймсом Томсоном.

В 1960 году XI Генеральной конференцией по мерам и весам радиан был принят в качестве единицы измерения плоских углов в Международной системе единиц (СИ).

videouroki.net

Радианная мера угла (разработка урока)

Урок-модуль по алгебре. Тема: "Радианная мера угла"

Цели урока:

Образовательные:

  • обеспечить усвоение определения угла в один радиан,

  • обеспечить запоминание формул перехода от градусной меры угла к радианной и от радианной к градусной,

  • сформировать умение пользоваться радианным измерением углов на уровне выполнения упражнений по образцу, в измененной и новой ситуации.

Развивающие:

  • развивать внимание, ясность и точность мысли, умение рассуждать,

  • развивать умение работать со справочной литературой, учебником и технологической картой урока,

  • развивать интуицию и логическое мышление, умение выделять существенные признаки математического понятия, сравнивать и обобщать, самостоятельно выполняя задания

  • развивать элементы алгоритмической культуры, умение планировать и контролировать свою деятельность, работать в заданном времени,

  • развивать умение оценивать свои знания и возможности, способность преодолевать трудности.

Воспитательные:

  • воспитывать ценностное отношение к предмету, интерес к его изучению и понимание значимости предмета, через иллюстрацию прикладного характера математики,

  • воспитывать аккуратность, добросовестное отношение к работе, уважительное отношение к товарищам, умение работать самостоятельно, в парах и коллективе,

  • формировать систему нравственного отношения к себе, одноклассникам, школе и обществу

Тип урока: усвоение новых знаний

Технология урока: модульное обучение. Урок сопровождается презентацией.

Учебный модуль 1. Организационный момент

На парте у каждого ученика лежат технологические карты (см Приложение). Учитель в начале урока объясняет ученикам, как работать с технологическими картами.

Цель: Подготовить к успешному выполнению заданий на уроке.

Дорогие ребята!

Сегодня вам самим предстоит изучить тему «Радианная мера угла». Работай самостоятельно, в случае затруднений, обратись к товарищу или учителю. Выполняй задания вдумчиво и внимательно.

Учебный модуль 2. Актуализация опорных знаний учащихся

Цель: Повторить определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла. Подготовить к восприятию нового материала.

Задание для Математического диктанта:

(два ученика пишут на откидных досках, остальные в тетради)

  1. Как называется отношение ?

  2. Как называется отношение ?

  3. Чему равен tgα?

  4. Чему равен sin45º?

  5. Чему равен cos90 º?

  6. Чему равен tg180 º?

  7. Существует ли угол, для которого sinα=0,6?

  8. Существует ли угол, для которого cosβ=-1,5?

  9. Чему равен cos60 º?

  10. Чему равен sin60º?

Задание для работы с технологическим картами:

(решение этого задания поможет вам правильно выполнить № 116, 1 вариант. Сборник задач А.Г. Мерзляк и др.А.Г из домашнего задания)

№1 Запиши в тетради формулы

а) формула длины окружности, вычислите при R = 2 см; (l=2πr)

б) длина дуги в nº. Найти длину дуги при n=60º ()

№ 2 Заполни таблицу в тетради:

(решение этого задания поможет вам правильно выполнить № 3, стр. 238 из домашнего задания)

 

89

-68

91

189

-175

245

Координатная четверть

 

 

 

 

 

 

№ 3:

"Выключи свет в окнах", т.е. закрась простым карандашом те клетки, где значения выражения в строке 2 равно выражению, записанному в строке 1.

1 вариант                                      2 вариант

1

Sin 90

Sin 450

Cos 270

 

Sin 0

Cos 0

tg 0

2

tg 45

2Cos 60

Cos 360

Cos 90

Sin 180

Cos 270

Учебный модуль 3. Формулировка темы, цели и задач урока. Мотивация учебной деятельности учащихся

Цель: Познакомиться с определением угла в 1 радиан и формулами, устанавливающими связь между радианным и градусным измерением углов.

При градусном измерении углов за единицу измерения принимается угол, равный части развернутого угла. Его называют градусом. Углы измеряются в градусах, минутах, секундах.

Однако в физике, технике, астрономии встречается и другая единица измерения углов, имеющая определенные преимущества. Сегодня мы с ней познакомимся.

Работа с учебником

Задание:

Прочитай внимательно текст учебника (Нелин Е.П. Алгебра. Академический уровень, 10класс, Радел 3, п.16, стр. 235-236.)

Сделай чертеж (см. стр. 236, рис.102). Запиши в тетрадь определение угла в 1 радиан.

Запиши формулы перевода градусной меры угла в радианную и радианной в градусную.

1º= радиан, 1 радиан = ≈57º

Учебный модуль 4. Формирование умений и отработка навыков

Цель: Проверить степень запоминания определения и формул перехода от одной меры угла к другой.

Письменные упражнения (решение этого задания поможет вам правильно выполнить № 4, стр 238 из домашнего задания)

после выполнения осуществляется проверка на экране

1. Найдите градусную меру угла, радианная мера которого равна:

а) б) в) г) д) е) ж) з) и) 10; к) 0,5

2. Найдите радианную меру углу, равного:

а) 120º; б) 150º; в) 36º; г) 300º; д) -225º.

3. Углом какой четверти является угол α, если:

а) ; б) ?

Учебный модуль 5. Закрепление новых знаний. Творческая работа.

Цель: Уметь ставить в соответствие величину угла в градусном и радианном измерении. Уметь применять полученные знания в различных ситуациях. Уметь оценивать свои знания и возможности.

Задание для работы с технологическими картами:

Задание:

Выбери задание, соответствующее твоему уровню знаний и интересам:

Упражнения с комментариями по очереди:

  1. Выразите в радианной мере величину угла:

а) -150º; б) 240º; в) 100º.

2. Выразите в градусной мере величину угла:

а) ; б) ; в) ; г) 3

Упражнения с проверкой в парах: после выполнения ученики меняются выполненными заданиями и проверяют друг друга, исправляют ошибки.

Заполни таблицу:

αº

60º

90º

120º

150º

180º

360º

а

Упражнения с самопроверкой на экране

Вычислите:

а) ; б)

Учебный модуль 6. Подведение итогов урока

Цель: Оценить результаты своей работы.

Задание:

Вернись к началу урока.

Посмотри, достиг ли ты цели.

Поставь все баллы в таблицу у себя на рабочем листе (баллы указаны в технологической карте)

Подсчитай сумму баллов.

Оценка:

5 - 20-21 балл

4 - 17-19 баллов

3 - 12-18 баллов

Рефлексия:

Цель: подвести итоги урока, обсудить, что узнали, как работали – т.е. каждый оценивает свой вклад в достижение поставленных в начале урока целей, свою активность, эффективность работы класса, увлекательность и полезность выбранных форм работы. 

Ребята по кругу высказываются одним предложением, выбирая начало фразы из рефлексивного экрана на экране:

  1. сегодня я узнал…

  2. было интересно…

  3. было трудно…

  4. я выполнял задания…

  5. я понял, что…

  6. теперь я могу…

  7. я почувствовал, что…

  8. я приобрел…

  9. я научился…

  10. у меня получилось …

  11. я смог…

  12. я попробую…

  13. меня удивило…

  14. урок дал мне для жизни…

  15. мне захотелось…

Учебный модуль 7. Информация о домашнем задании.

Инструктаж по его выполнению.

Домашнее задание:

Цель: закрепление знаний, умений, навыков и самоконтроль.

Стр 238, №3, 4

Дополнительно, повышенный уровень № 116, 1 вариант. Сборник задач А.Г. Мерзляк и др.

Повторение: стр. 229 №5(1,3).

Технологическая карта (раздается каждому ученику).

Тема: Радианная мера угла.

Учебная цель:

Знать определение угла в один радиан и формулы, устанавливающие связь между радианным и градусным измерением углов.

Уметь пользоваться радианным измерением углов при выполнении упражнений.

Учебный модуль

Учебный элемент

Время

Содержание учебного материала

Учебный модуль 1. Организация начала занятия.

Учебный элемент 1

3 мин.

Цель: Подготовить к успешному выполнению заданий на уроке.

Задание: Проверь наличие учебника, тетради, письменных принадлежностей.

Работай самостоятельно, в случае затруднений обратись к товарищу или учителю. Выполняй задания вдумчиво и внимательно. Удачи тебе!

Учебный модуль 2. Актуализация опорных знаний учащихся

Учебный элемент 2

3 мин.

Цель: Повторить определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла.

Задание:

Контроль: Проверь работу товарища и оцени. Ответы на доске.

Оценка:

  • 2 балла - без ошибок

  • 1 балл - неточности, неуверенность

  • 0 баллов - ошибки

 

Учебный элемент 3

3 мин.

Цель: Повторить в какой координатной четверти расположен образ луча Ох при повороте около начала координат при различных значениях

Задание: Заполни таблицу в тетради:

 

89

-68

91

189

-175

245

Координатная четверть

 

 

 

 

 

 

Контроль: проверь себя по эталону.

Оценка:

  • 2 балла - без ошибок

  • 1 балл - 1-2 ошибки

  • 0 баллов – более 3 ошибок.

 

Учебный элемент 4

3 мин.

Цель:

Проверить знание значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса основных углов.

Задание 3:

"Выключи свет в окнах", т.е. закрась простым карандашом те клетки, где значения выражения в строке 2 равно выражению, записанному в строке 1.

1 вариант                                2 вариант

1

Sin 90

Sin 450

Cos 270

 

Sin 0

Cos 0

tg 0

2

tg 45

2Cos 60

Cos 360

Cos 90

Sin 180

Cos 270

Контроль: Проверь себя по эталону.

Оценка:

  • 5 баллов - без ошибок

  • 4 балла - 1 ошибка 1 балл - 4 ошибки

  • 3 балла - 2 ошибки

  • 2 балла - 3 ошибки

Учебный модуль 3. Формулировка темы, цели и задач урока. Мотивация учебной деятельности учащихся

Учебный элемент 5

8 мин.

Цель: Познакомиться с определением угла в 1 радиан и формулами, устанавливающими связь между радианным и градусным измерением углов, выработать навык перевода градусную меру в радианную и наоборот.

Задание:

Прочитай внимательно текст учебника Радел 3, п.16, стр. 235-236.

Сделай чертеж (см. стр. 236, рис.102). Запиши в тетрадь определение угла в 1 радиан.

Запиши формулы перевода градусной меры угла в радианную и радианной в градусную.

1º= радиан, 1 радиан = ≈57º

Учебный модуль 4. Формирование умений и отработка навыков

Учебный элемент 6

4 мин.

Цель: Проверить степень запоминания определения и формул перехода от одной меры угла к другой.

Письменные упражнения:

1. Найдите градусную меру угла, радианная мера которого равна:

а) б) в) г) д) е) ж) з) и) 10; к) 0,5

2. Найдите радианную меру углу, равного:

а) 120º; б) 150º; в) 36º; г) 300º; д) -225º.

3. Углом какой четверти является угол α, если:

  • а) ; б) ?

Учебный модуль 5. Закрепление новых знаний. Творческая работа.

Учебный элемент 7

8 мин.

Цель: Уметь ставить в соответствие величину угла в градусном и радианном измерении. Уметь применять полученные знания в различных ситуациях. Уметь оценивать свои знания и возможности.

Задание:

Выбери задание, соответствующее твоему уровню знаний и интересам:

Упражнения с комментариями по очереди:

  1. Выразите в радианной мере величину угла:

а) -150º; б) 240º; в) 100º.

2. Выразите в градусной мере величину угла:

а) ; б) ; в) ; г) 3

Упражнения с проверкой в парах: после выполнения ученики меняются выполненными заданиями и проверяют друг друга, исправляют ошибки.

Заполни таблицу:

αº

60º

90º

120º

150º

180º

360º

а

Упражнения с самопроверкой на экране

Вычислите:

а) ; б)

Контроль:

Оценка: 5 - допускается 1 ошибка; 3 - 4-5 ошибок; 4 - 2-3 ошибки; 2 - более 5 ошибок

Учебный модуль 6. Подведение итогов урока

Учебный элемент 8

7 мин.

Цель: Оценить результаты своей работы.

Задание:

Вернись к началу урока.

Посмотри, достиг ли ты цели.

Поставь все баллы в таблицу у себя на рабочем листе.

УЭ 2

УЭ 3

УЭ 4

УЭ 7

УЭ 8

Подсчитай сумму баллов.

Оценка:

Учебный модуль 7. Информация о домашнем задании.

Учебный элемент 9

2 мин.

Цель: меть применять знания, полученные на уроке в разных ситуациях.

Домашнее задание:

Стр 238, №3, 4

Дополнительно, повышенный уровень № 116, 1 вариант. Сборник задач А.Г. Мерзляк и др.А.Г

Повторение: стр. 229 №5(1,3)

videouroki.net

Радианная мера угла - Алгебра

х

а

a

h

  • В треугольнике ABC угол С равен 90°, АС=4,

cosA =0,5. Найдите АВ.

8

2. В треугольнике АВС угол С равен 90°, АС=8, tgA =0,5.

Найдите ВС.

4

3 . В треугольнике АВС угол С равен 90°, АВ=5,

sinA =

Найдите АС .

4

,

8

Цель урока : Рассмотреть связь между радианной и градусной мерами угла и

закрепить умения выполнять переход от радианной меры угла к градусной мере и наоборот .

Задачи:

1 ) учебные :

  • дать понятие о радианном измерении углов,
  • изучить связь между градусной и радианной мерами измерения углов,
  • познакомиться с формулами перевода градусной меры в радианную меру и наоборот,
  • получить представление о вычисление длины дуги с использование значений углов в радианах,
  • научиться применять формулы, изученные на уроке для решения задач и упражнений.

2) развивающие и воспитательные:

  • получение учащимися представлений о появлении тригонометрии как науки, о её практическом применении,
  • развитие навыков абстрактного мышления,
  • развитие представлений о разностороннем подходе к решению задач.

 =1 

R =1

R =1

l=R

1рад.

R =1

R =1

l= R

°

Домашнее задание:

§24 (подробно рассмотреть задачу 4 на стр. 167)

№ 536, №537, №541

Ответьте на вопросы:

1. Что означает «тригонометрия»?

2 . Разделом какой науки являлась наука тригонометрия в начале развития?

3. Какие единицы измерения углов Вы знаете?

4. Чему равно радиан?

5. Как перевести из градусной меры в радианную и обратно?

6. Было ли интересно на уроке?

multiurok.ru

План-конспект урока по алгебре (10 класс) на тему: «Радианное измерение углов и дуг. Вращательное движение»

ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ

ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

МОСКОВСКОЙ ОБЛАСТИ

«Ногинский колледж»

Открытый урок

по учебной  дисциплине «Математика: алгебра и начала математического анализа; геометрия»

по теме:  

«Радианное измерение углов и дуг. Вращательное движение»

Разработан преподавателем

        Селиной Е.М

Согласовано с методистом

Прокофьевой О.А.

Рассмотрено на заседании

Педагогического совета

№______ от___________ 2017 г.

2017 год

У Т В Е Р Ж ДА Ю

Зам.директора по УМР

Г БПОУ МО

                                                                  «Ногинский колледж»

                                                                                 _____________А.В. Артёмова                                                      

                     «______» ______________2017 г.

Преподавателю учебных дисциплин «Математика: алгебра и начала математического анализа; геометрия» и «Физика» Селиной Е.М.  провести в группе 1 ПК ( 1 курс, по профессии : «19.01.17 «Повар, кондитер»)  04 апреля 2017 г. открытый  урок по математике по  теме:

 «Радианное измерение углов и дуг. Вращательное движение»

Председатель предметной цикловой комиссии

Общеобразовательные дисциплины и дисциплины цикла ОГСЭ».

                                                                 ___________  Е.М. Селина

Ногинск, 2017 год

Радианное измерение углов и дуг.

Тип занятия: Занятие-лекция с решением задач практического содержания.

Оборудование: компьютер, проектор, раздаточный материал.

Методы обучения:

1. просмотр презентации;

2. самоконтроль и самоанализ обучающихся;

3. опрос.

 Приемы:

1. аналитическая беседа;

2. наблюдение.

 Формы:

1. коллективная;

2. индивидуальная.

 Технологии:

1. сотрудничества;

2. проблемно-деятельностная;

3. ИКТ-технология.

 Принципы:

1. доступности;

2. наглядности;

3. системного подхода к изучению материала.

Цели занятия:

– образовательные:

  • изучить формулы перехода от градусной меры угла к радианной и от радианной к градусной,
  • сформировать умение пользоваться радианным измерением углов на уровне выполнения упражнений по образцу, в измененной и новой ситуации.

– развивающие:

  • развивать внимание, умение рассуждать,
  • развивать логическое мышление, умение выделять существенные признаки математического понятия, сравнивать и обобщать

– воспитательные:

  • воспитывать ценностное отношение к предмету, интерес к его изучению и понимание значимости предмета, через иллюстрацию прикладного характера математики,
  • воспитывать аккуратность, добросовестное отношение к работе, уважительное отношение к товарищам, умение работать самостоятельно, в парах 
    и коллективе,
  • формировать систему нравственного отношения к одногрупникам.

Компетенции по ФГОС:

  • применять математические методы для решения профессиональных и прикладных задач;
  • использовать приемы и методы математического анализа в различных профессиональных ситуациях;
  • анализировать результаты измерения величин с допустимой погрешностью, представлять их графически.

Содержание учебной деятельности

Организационный момент

Преподаватель приветствует группу и проверяет ее готовность к занятию.

Обучающиеся  приветствуют преподавателя. Староста группы сообщает о явке студентов на занятие.

Постановка дидактической цели

Добрый день! Расскажу Вам одну легенду.

Однажды мастер Золотого века искусства создал скульптуру. Пропорциональное соотношение в построении статуи было идеально. Чтобы его творение увидело больше людей, мастер построил высокий пьедестал. Однако после поднятия статуи на фундамент, статуя смотрелась уродливой. Скульптором не было учтено, что в перспективе к горизонту уменьшаются многие детали и при взгляде снизу вверх уже не создается впечатления ее идеальности. Мастер потерпел фиаско.

Обучающиеся слушают рассказ преподавателя.

Мотивация предстоящей деятельности

Давайте подумаем, в каких областях нашей профессиональной деятельности нам потребуются знания измерения углов? (сначала ответы аудитории)

- как вы заметили из легенды, знания об измерении углом нам потребуются не только в математике, но и в искусстве. Почему люди не смогли увидеть всю красоту скульптуры? Зная примерное расстояние от статуи до точки зрения, а именно от верха статуи до глаз человека и высоту статуи, можно рассчитать синус угла падения взгляда с помощью таблицы, тем самым найдем точку зрения. Ситуация меняется, так как статую поднимают на высоту, поэтому расстояние от верхушки статуи до глаз человека увеличивается, следовательно и синус угла падения увеличивается. А этого скульптор не учел!

Многие задаются вопросами: зачем нужна тригонометрия? Как она используется в нашем мире? С чем может быть связана тригонометрия? И вот ответы на эти вопросы. Тригонометрия или тригонометрические функции используются в астрономии (особенно для расчётов положения небесных объектов),  в морской и воздушной навигации, в электронике, в теории вероятности, в статистике, в биологии, в медицинской визуализации, например, компьютерной томографии, в архитектуре, в разработке игр и многих других областях.

Обучающиеся дополняют преподавателя и рассказывают о том, как тригонометрия используется в жизни, где может применяться тригонометрическая функция, рассказывают о небесных объектах и планетах которые они знают.

Приводят примеры применения тригонометрии в строительстве, в морской и воздушной навигации, в электронике, в теории вероятности, в статистике, в биологии, в медицине, в архитектуре, в разработке игр, телефонных приложений и других областях.

- знания об углах нам понадобятся и в пожарной службе. При пожаре необходимо быстро и точно рассчитать угол на который нужно поднять пожарную лестницу к зданию и при этом попасть на нужный этаж.

- в авиации очень важно правильно рассчитать угол, под которым поднимается самолет, чтобы не задеть верхушки деревьев и ближайших построек.

- даже в биологии движение рыб в воде происходит по закону синуса или косинуса, если зафиксировать точку на хвосте, а потом рассмотреть траекторию движения. При плавании тело рыбы принимает форму кривой, которая напоминает график функции y = tgx

Немного из истории…

1. Древние вавилоняне и египтяне изучали тригонометрию как часть астро-номии; разделили окружность на 360° 

2. Древние индийцы: ввели названия «синус», «косинус», составили таблицы синусов, косинусов

3. IX-XVвв – Средний и Ближний восток: составляли таблицы котангенса, тангенса, косеканса; ввели понятие единичной окружности

4. Насир ад-Дин Мухаммад ат-Туси (1201-1274) выделил раздел тригонометрии из астрономии

5. Лев Герсонид (1288-1344) – открыл теорему синусов

6. XVII-XIXвв: применение  тригономет-рии в механике, физике, технике, как часть математического анализа (Виетт, Бернулли) – тригонометрические символы, графики – синусоиды

7. Л.Эйлер: придал тригонометрии современный вид

Давайте начнем с заданий – разминки. Ответьте на вопросы:

  1. Чему равен угол квадрата? (900)
  2. На какой угол поворачивается солдат по команде «кругом»? (1800)

  1. Чему равен угол между минутной и часовой стрелками на часах, когда они показывают 2ч? (600)

Все ответы вы дали в градусах. Но это не единственная единица измерения углов.

Кто-нибудь знает в чем еще измеряются углы? (в радианах)

Обучающиеся слушают рассказ преподавателя. Предлагают свои варианты ответов.

Изучение нового материала

Записывают тему занятия «Радианное измерение углов и дуг. Вращательное движение». Обучающиеся записывают новый материал в тетрадь.

Градусная мера. Здесь единицей измерения является градус (обозначение °) – это поворот луча на 1 / 360 часть одного полного оборота. Таким образом, полный оборот луча равен 360°. 

1/60 часть градуса называется минутой (обозначают 1').

1/60 часть минуты называется секундой (обозначают 1'').

Радианная мера.  

 Радианная мера измерения угла есть отношение длины дуги, проведенной произвольным радиусом и заключённой между сторонами этого угла, к радиусу дуги.

Градусная мера угла в 1 радиан равна: Так как дуга длиной πR (полуокружность), стягивает центральный угол в 180°, то дуга длиной R, стягивает угол в π раз меньший, т.е.

Так как π = 3,14, то 1 рад = 57,3°

Если угол содержит α  радиан, то его градусная мера равна

И наоборот

Наиболее активные студенты участвуют при решении примеров на поиск радианной и градусной меры угла.

Пример 1.

Найти радианную меру угла равного 1) 30°, 2)135°

Решение:

1) 30° = 30·π / 180 = π/6

2) 135° = 135·π/180 = 3π/4

Пример 2.

Найти градусную меру угла выраженного в радианах 1) π/3 , 2) 4·π/5

Решение:

1) π/3 = 180°/3 = 60°

2) 4π/5 = 4·180°/5 = 144°

Закрепление изученного материала

№1: Переведите в радианную меру углы:

1) 45°         4) 100°         7) 215° 

2) 15°         5) 200°        8) 150° 

3) 72°         6) 360°        9) 330°

№2: Переведите в градусную меру углы:

1)        3)        5)

2)        4)         6)

Самостоятельная работа

I вариант

II вариант

1. Переведите в радианную меру углы:

1) 60° 

1) 320° 

2) 145° 

2) 105°

3) 240° 

3) 40° 

2. Переведите в градусную меру углы:

1)

1)

2)

2)

Ответы

I вариант

II вариант

1. Переведите в радианную меру углы:

1)

1)

2)

2)

3)

3)

2. Переведите в градусную меру углы:

1) 72° 

1) 405° 

2) 480° 

2) 150° 

Практическая работа

Сейчас я предлагаю Вам выполнить упражнение по созданию рисунка с 3D  эффектом.

Первый шаг.

 Нам понадобится жесткая бумага. Сгибаем лист ровно по середине. Рисуем в обе стороны прямые линии под одинаковым углом. Линии должны зеркально отражать друг друга.  Примерно 35-40 градусов

Второй шаг.

Рисуем ступеньки лестницы с двух сторон, параллельно сгибу листа.

Третий шаг. 

Берем линейку и соединяем прямой линией вершины лестницы. Это будет тень. Берем мягкий карандаш и делаем тень. Давить на карандаш не стоит, тень не должна быть слишком темной.

Последний шаг.

 Поднимаем одну часть бумаги вверх и разворачиваем бумагу под углом к зрителю. Важно подобрать такой угол, чтобы лестница казалась прямой. Из-за тени будет казаться, что это объемный рисунок.

Обучающиеся выполняют пошагово практическую работу

Подведение итогов

Преподаватель делает выводы по пройденному материалу.

Дает домашнее задание и рекомендует литературу для более глубокого изучения.

Обучающиеся записывают домашнее задание и литературу для самостоятельного изучения нового учебного материала.

В заключение просит ответить на вопросы:

1) Что означает «тригонометрия»?

2) Разделом какой науки являлась тригонометрия в начале развития?

3)Какие единицы измерения углов Вы знаете?

4) Чему равно π радиан?

5) Как перевести из градусной меры в радианную и обратно?

6) Было ли интересно на уроке?

Обучающиеся отвечают на вопросы.

Самостоятельная работа

I вариант

1. Переведите в радианную меру углы:

1) 60°           2) 145°              3) 240° 

2. Переведите в градусную меру углы:

1)                                   2)

Самостоятельная работа

II вариант

1. Переведите в радианную меру углы:

1) 320°           2) 105°            3) 40° 

2. Переведите в градусную меру углы:

1)                                    2)

Самостоятельная работа

I вариант

1. Переведите в радианную меру углы:

1) 60°           2) 145°              3) 240° 

2. Переведите в градусную меру углы:

1)                                   2)

Самостоятельная работа

II вариант

1. Переведите в радианную меру углы:

1) 320°           2) 105°            3) 40° 

2. Переведите в градусную меру углы:

1)                                  2)

Самостоятельная работа

I вариант

1. Переведите в радианную меру углы:

1) 60°           2) 145°              3) 240° 

2. Переведите в градусную меру углы:

1)                                   2)

Самостоятельная работа

II вариант

1. Переведите в радианную меру углы:

1) 320°           2) 105°            3) 40° 

2. Переведите в градусную меру углы:

1)                                   2)

nsportal.ru

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *