Замечание 2. Уравнение вида может быть решено двумя методами:

—  по определению модуля оно равносильно совокупности двух уравнений:

—  возведением обеих частей уравнений в квадрат. Учитывая свойство 3, получится уравнение , равносильное данному.

Замечание 3. Уравнение вида может быть решено двумя методами:

—  по определению модуля оно равносильно совокупности двух систем:

1) ; 2)

—  возведением обеих частей уравнений в квадрат. Учитывая, что правая часть уравнения должна быть неотрицательной, получится система:

Пример 3. Решить уравнение

Решение. Обе части уравнения неотрицательны, поэтому, возведя их в квадрат и учитывая свойство модуля 3, получим уравнение равносильное данному:

Раскрыв скобки и приведя подобные члены, получим квадратное уравнение: , решив которое найдем корни первоначального уравнения: ; .

Замечание 4. Уравнения вида удобно решать методом возведения обеих частей в квадрат, если f(x) и g(x) – многочлены первой степени.

Пример 4. Решить уравнение

Решение. 1) Найдем значения переменной, обращающие выражения, стоящие под знаком абсолютной величины в нуль: ; ; .

2) Нанесем полученные значения на числовую прямую и на каждом из полученных интервалов определим знак каждого выражения, стоящего под знаком абсолютной величины:

х : – – – +

х + 1: – – + +

х + 2: – + + +

3) Пользуясь определением модуля и используя п. 2 раскроем на каждом из интервалов все знаки модулей:

при имеем: ;

при имеем: ;

при имеем: ;

при имеем: .

4) Решим каждое из полученных уравнений: при : х = –2 это значение в интервал не входит; при : х = –2 полученное значение входит в обозначенный интервал; при : ни при каких значениях х уравнение решений не имеет; при : х = –2 в данный интервал это значение не входит.

5) Таким образом, уравнение имеет единственный корень х = –2, так как это значение входит в один из интервалов. Ответ: х = –2.

Замечание 5. Алгоритм, с помощью которого было решено уравнение, можно обобщить для решения любого уравнения, содержащего несколько модулей:

1) Найти значения переменной, обращающие выражения стоящие под знаком абсолютной величины в нуль;

2) Все найденные значения нанести на числовую прямую и на каждом из полученных интервалов определить знак каждого выражения, стоящего под знаком абсолютной величины;

3) Учитывая получившиеся знаки, воспользоваться определением модуля и раскрыть на каждом из интервалов все знаки модулей;

4) Решить каждое из полученных уравнений и из их решений выбрать те, которые принадлежат соответствующему интервалу, они и будут являться решениями первоначального уравнения.

Пример 5. Решить уравнение .

Решение. Заметим, что слагаемые в знаменателе неотрицательны, следовательно сумма равна нулю в том и только в том случае, когда оба слагаемых одновременно равны нулю. Ни при каких значениях переменной этого произойти не может, т. е. знаменатель дроби при любом значении х отличен от нуля.

Для решения воспользуемся сформулированным алгоритмом.

1) ; .

2) + – + +

– – – +

3) При имеем: ;

При имеем ; ;

При имеем: ;

При имеем: .

4) Выбирая из полученных решений те, которые принадлежат соответствующим промежуткам, получим: ; ; .

Ответ: ; ; .

3. Методы решения неравенств, содержащих переменную под знаком модуля

Для того чтобы решить неравенство, содержащее неизвестную под знаком абсолютной величины, можно разбить область допустимых значений неравенства на интервалы, в которых выражения, стоящие под знаком модуля сохраняют знак. На каждом таком интервале решить неравенство (раскрыв предварительно знак абсолютной величины). Объединение полученных решений и будет являться решением первоначального неравенства

Пример 6. Решить неравенство .

Решение. Под знаком модуля стоит квадратный трехчлен, найдем промежутки его знакопостоянства: при и значения трехчлена неотрицательно; при значения трехчлена отрицательны. Учитывая это решим неравенство на каждом из полученных интервалов:

при имеем ,

откуда получаем ;

при имеем

и , откуда получаем ;

при , откуда получаем х = 4.

Объединив найденные на каждом интервале решения, получим решение первоначального неравенства: и х = 4. Ответ: [1; 3], 4.

Пример 7. Решить неравенство .

Решение. По определению модуля имеем совокупность двух систем:

Решая системы, получим: или . Окончательно получаем ответ.

Ответ: .

Замечание 6. В общем случае неравенство вида в соответствии с определением модуля имеет решение только в случае, когда . Неравенство вида при выполняется во всей области определения функции .

Пример 8. Решить неравенство .

Решение. 1-й способ. Воспользовавшись определением модуля, получим совокупность двух систем:

Решая эти системы получим: и . Окончательно получаем

2-й способ. Введем новую переменную , получим неравенство не содержащее знаков модуля: . Решая полученное неравенство методом интервалов, получим: . Перейдем к переменной х: , откуда . Ответ:

Замечание 7. Если неравенство содержит несколько одинаковых выражений под знаками модуля (как это было в примере 8), то его удобно решать методом замены переменной.

4. Уравнения и неравенства с параметрами

Пример 9. При всех а решить уравнение и определить, при каких а оно имеет ровно два решения.

Решение. Сначала воспользуемся алгоритмом, изложенным в замечании 5.

1) Найдем значения переменной, обращающие выражения, стоящие под знаком абсолютной величины в нуль: ; .

2) Нанесем найденные значения на числовую прямую и на каждом из полученных интервалов определим знак каждого выражения, стоящего под знаком абсолютной величины:

х – 2: – – +

х + 3: – + +

3) Пользуясь определением модуля и используя п. 2 раскроем на каждом из интервалов все знаки модулей.

При уравнение будет иметь вид: , откуда имеем:

…………………………………….(1)

Исследуем решения этого уравнения в зависимости от параметра а.

Если а = –1, то (1) примет вид тождества 0 = 0, и решением уравнения (1) будут все . …………………………………………………………………………………….(2)

Если же , то из (1) х = –3, но это значение не входит в исследуемый интервал.

При уравнение будет иметь вид: , откуда имеем:

……………………………………..(3)

Если а = 1, то (3) примет вид тождества 0 = 0, и решением уравнения (3) будут все . …………………………………………………………………………….(4)

Если , то из (1) х = –3…………………………………………………………(5)

При уравнение будет иметь вид:

Если а = –1, то полученное уравнение решений не имеет. ……………………………(6)

Если , то . Выясним при каких значениях а полученное значение х будет входить в исследуемый интервал:

при , …………………………………………(7)

При остальных значениях а на этом интервале уравнение решений не имеет.

Сделаем выводы по проведенному исследованию. Уравнение будет иметь различные решения при: ; ; ; а = 1; . Из (5) следует, что при корень уравнения х = –3; из (2) и (5) следует, что при решениями уравнения будут и х = –3; из (5) и (7) следует, что при решениями уравнения будут х = –3 и , именно на этом интервале уравнение имеет ровно два решения; из (4) и (7) следует, что при а = 1 уравнение имеет решения и = 2; из (5) следует, что при решением уравнения будет х = –3.

Ответ: при х = –3; при ; при х = –3, ; при а = 1 ; при х = –3.

Пример 10. При всех значениях а решить неравенство

Решение. 1. В соответствии с замечанием 6 неравенство при решений не имеет.

2. Пусть . Определим промежутки знакопостоянства выражения, стоящего под знаком модуля: ; ; .

3. Решим неравенство на каждом из полученных интервалов.

Если , то , следовательно, имеем или

…………………………………….(1)

Дискриминант квадратного трехчлена, стоящего в левой части неравенства (1) равен , причем так как , . Поэтому квадратный трехчлен, стоящий в левой части неравенства (1) имеет два действительных корня. Решая неравенство (1) относительно переменной х, получим:

…………………………(2)

Заметим, что при каждом положительном а верны неравенства

; ………………………(3)

Окончательно на этом интервале, получаем, что для любого положительного а решением неравенства будут числа из интервала: .

Если , то , следовательно имеет место неравенство

…………………………………….(4)

Дискриминант квадратного трехчлена, стоящего в левой части неравенства (4) равен . Тогда неравенство (4) при имеет место при любом действительном х.

Если квадратный трехчлен, стоящий в левой части неравенства (4) имеет два действительных корня, поэтому, решая неравенство (4) относительно переменной х, получим: и . Заметим, при этом, что при справедливы неравенства:

………………………….(5)

Тогда на этом интервале окончательно получаем: при решением неравенства является отрезок ; при решение неравенство состоит их двух промежутков: и .

Если , то , следовательно, имеем или

…………………………………….(1)

Решая это неравенство на этом интервале, получаем: .

Сделаем выводы по проведенному исследованию: из п.1 следует, что при неравенство решений не имеет; учитывая неравенства (2), (3), (5) при решением неравенства являются интервалы: и ; учитывая (2) при неравенство имеет решение: .

Ответ: при неравенство решений не имеет; приимеет решения:

; ; при имеет решение: .

Представленные ниже задачи являются контрольным заданием для учащихся 10 классов. Решения необходимо оформить в отдельной тетради и выслать по адресу 680000, г. Хабаровск, ул. Дзержинского, 48, ХКЦТТ, ХКЗФМШ. Для зачета нужно набрать не менее 20 баллов (каждая правильно решенная задача оценивается в 3 балла)

М10.3.1. М10.3.2.

М10.3.3. М10.3.4.

М10.3.5. При всех а решить уравнение

М10.3.6. М10.3.7.

М10.3.8. М10.3.9.

М10.3.10. При всех а решить неравенство .

pandia.ru

Контрольные работы по алгебре, 10 класс.

Контрольная работа №1 по теме:

«Действительные числа»

Вариант №1. Обязательная часть

1. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия. Формула суммы.

2. Вычислите:

   

   в)

   б)

   г)

3. Упростите выражения:

   

   б)

   в)

4. Разложите на множители: a – 4.

5. Сократите дробь:

Дополнительная часть

1. Сравните числа a и b, если:

2. Упростите выражение:

Вариант №2. Обязательная часть

1. Арифметический корень натуральной степени. Свойства.

2. Вычислите:

   в)

   б)

   г)

3. Упростите выражения:

   

   б)

   в)

4. Разложите на множители:

5. Сократите дробь:

Дополнительная часть

1. Сравните числа a и b, если:

2. Упростите выражение:

Контрольная работа №2 по теме:

«Степенная функция»

Вариант №1.

1. Найти область определения функции .

2. Изобразить эскиз графика функции .

1. Указать область определения и множество значений функции.

2. Выяснить, на каких промежутках функция убывает.

3. Сравнить числа и .

3. Решить уравнение:

2)

3)

4. Решить неравенство: .

4. Найти функцию, обратную к ; указать её область определения и множество значений. На одном рисунке построить графики данной функции и функции, обратной к данной.

Вариант №2

1. Найти область определения функции .

2. Изобразить эскиз графика функции .

1. Указать область определения и множество значений функции.

2. Выяснить, на каких промежутках функция возрастает.

3. Сравнить числа и .

3. Решить уравнение:

2);

3);

4. Решить неравенство: .

4. Найти функцию, обратную к ; указать её область определения и множество значений. На одном рисунке построить графики данной функции и функции, обратной к данной.

Контрольная работа №3 по теме:

«Показательная функция»

Вариант №1

1. Решить уравнение:

   ; 2).

2. Решить неравенство .

3. Решить систему уравнений

4. Решить неравенство:

1); 2).

5. Решить уравнение .

6. Решите уравнение: .

В ответе укажите корень уравнения или сумму корней, если их несколько.

Контрольная работа №3 по теме:

«Показательная функция»

Вариант №2

1. Решить уравнение:

2. Решить неравенство .

3. Решить систему уравнений

_ 4. Решить неравенство:

1); 2).

5. Решить уравнение .

6. Решите уравнение: .

В ответе укажите корень уравнения или сумму корней, если их несколько.

Контрольная работа №4 по теме:

«Логарифмическая функция»

Вариант №1

1. Вычислите:.

2. При каких значениях х имеет смысл выражение:

а);

б)

3. Решите уравнение:

4. Упростите: a0,a1.

5. Дано:. Найти: .

Контрольная работа №4 по теме:

«Логарифмическая функция»

Вариант №2

1. Вычислите: .

2. При каких значениях x имеет смысл выражение:

а) б)

3. Решите уравнение:

4. Упростите: a0,a1.

5. Дано: Найти:

Контрольная работа №5 по теме:

«Тригонометрические формулы»

Вариант №1

1. Решите уравнение:

.

2. Упростите выражение:

а);

б);

в).

3. Пустьуглы треугольника. Докажите тождество:

.

Контрольная работа №5 по теме:

«Тригонометрические формулы»

Вариант №2

1. Решите уравнение:

.

2. Упростите выражение:

а);

б);

в).

3. Пустьуглы треугольника. Докажите тождество:

.

Контрольная работа №6 по теме:

«Тригонометрические уравнения»

Вариант №1

1. Решите уравнение: sin x —=0

2. Решите уравнение: cos 2x=1

3. Укажите уравнение, которому соответствует решение: :

1) tg x = 1; 2) cos x = 0; 3) sin x = -1; 4) ctg x =.

4. На каком из рисунков показано решение неравенства: cos x <?

1) 2) 3) 4)

5. Решите неравенство: tg x ≥:

6. Решите уравнение: 6sin² x + sin x – 1 = 0

7. Решите уравнение: 2sin² x —sin 2x =0

Контрольная работа №6 по теме:

«Тригонометрические уравнения»

Вариант №2

1. Решите уравнение: sin x +=0

2. Решите уравнение: ctg (x+)=

3. Укажите уравнение, которому соответствует решение: :

1) ctg x = -1; 2) cos x = 0; 3) cos x = -1; 4) tg x = 1.

4. На каком из рисунков показано решение неравенства: sin x ≥?

1) 2) 3) 4) 4)

5. Решите неравенство: ctg x ≥

6. Решите уравнение: cos² x — 4sin x + 3 = 0

7. Решите уравнение: sin² x -3sin x cos x =0

infourok.ru

План-конспект урока по алгебре (10 класс) на тему: Контрольная работа по теме «Действительные числа» в форме ЭГЕ, алгебра и начала анализа, 10-й класс.

Контрольная работа по теме «Действительные числа» в форме ЭГЕ,

алгебра и начала анализа, 10-й класс.

 Нуждина Е.Н.

ВАРИАНТ 1

ЧАСТЬ А

А1. Вычислите ;

1. 49 2.  3. 4. – 49.

А2. Вычислите ;

1. 2. 2. 3. 4.

А3. Упростите выражение ;

1. 2. 3. 4.

А4. Решите уравнение ;

1. x = 2. 2. 3. 4. x = — 2.

А5. Запишите бесконечную периодическую дробь 0,( 43 ) в виде обыкновенной дроби

1. 2. 3. 4.

ЧАСТЬ В

В1. Сократите дробь ;

В2. Сравните числа ;

В3. Вычислить ;

ЧАСТЬ С

С1. Упростите выражение , если – 1

ВАРИАНТ 2

ЧАСТЬ А

А1. Вычислите ;

1. 2. 36. 3. — 4. – 36.

А2. Вычислите ;

1. 5. 2. 3. 4.

А3. Упростите выражение ;

1. 2. 3. 4.

А4. Решите уравнение ;

1. x = 10. 2. x = 9. 3. x = 6. 4. x = 3.

А5. Запишите бесконечную периодическую дробь 0,3( 6 )в виде обыкновенной дроби

1. 2. 3. 4.

ЧАСТЬ В

В1. Сократите дробь ;

В2. Сравните числа ;

В3. Вычислить ;

 ЧАСТЬ С

С1. Упростите выражение , если — 3

ВАРИАНТ 3

ЧАСТЬ А

А1. Вычислите

1. 25; 2. 3. 4.

А2. Вычислите .

1. 2. 3. 3. 4.

А3. Упростите выражение

1. ; 2. 3. 4.

А4. Решите уравнение ;

1. x = 10. 2. 3. ; 4. 5.

А5. Запишите бесконечную периодическую дробь 0,( 34 ) в виде обыкновенной дроби

1. 2. 3. 4.

ЧАСТЬ В

В1. Сократите дробь ;

В2. Сравните числа

В3. Вычислить

ЧАСТЬ С

С1. Упростите выражение

ВАРИАНТ 4

ЧАСТЬ А

А1. Вычислите

1. 2. 7. 3. 4. 49.

А2. Вычислите

1. 2. 3. 3. 4.

А3. Упростите выражение .

1. 2. 3. 4.

А4. Решите уравнение

1. — 2. 3. 4.

А5. Запишите бесконечную периодическую дробь 0,( 248 )в виде обыкновенной дроби

1. 2. 3. 4.

ЧАСТЬ В

В1. Сократите дробь

В2. Сравните числа

В3. Вычислить

ЧАСТЬ С

С1. Упростите выражение

Ответы к контрольной работе.

nsportal.ru

Контрольная работа по алгебре по теме «Действительные числа» (10 класс)

Контрольная работа по теме «Действительные числа», 10 класс

ВАРИАНТ 1

ЧАСТЬ А

А1. Вычислите ;

1. 49. 2. . 3. 4. – 49.

А2. Вычислите ;

1. 2. 2. 3. 4.

А3. Упростите выражение ;

1. 2. 3. 4.

А4. Решите уравнение ;

1. x = 2. 2. 3. 4. x = — 2.

А5. Запишите бесконечную периодическую дробь 0,( 43 ) в виде обыкновенной дроби

1. 2. 3. 4.

ЧАСТЬ В

В1. Сократите дробь ;

В2. Сравните числа ;

В3. Вычислить ;

ЧАСТЬ С

С1. Упростите выражение , если – 1 < x < 2 ;

С2. Упростите выражение .

Контрольная работа по теме «Действительные числа», 10 класс

ВАРИАНТ 2

ЧАСТЬ А

А1. Вычислите ;

1. 2. 36. 3. — 4. – 36.

А2. Вычислите ;

1. 5. 2. 3. 4.

А3. Упростите выражение ;

1. 2. 3. 4.

А4. Решите уравнение ;

1. x = 10. 2. x = 9. 3. x = 6. 4. x = 3.

А5. Запишите бесконечную периодическую дробь 0,3( 6 )в виде обыкновенной дроби

1. 2. 3. 4.

ЧАСТЬ В

В1. Сократите дробь ;

В2. Сравните числа ;

В3. Вычислить ;

 ЧАСТЬ С

С1. Упростите выражение , если — 3 < x < — 1.

С2. Упростите выражение .

infourok.ru

Контрольная работа №1 по теме Действительные числа, 10 класс