Знак объединения множеств – Нахождение пересечения и объединения числовых множеств, что такое пересечение множеств

Содержание

Нахождение пересечения и объединения числовых множеств, что такое пересечение множеств

Решение некоторых математических задач предполагает нахождение пересечения и объединения числовых множеств. В статье ниже рассмотрим эти действия подробно, в том числе, на конкретных примерах. Полученный навык будет применим для решения неравенств с одной переменной и систем неравенств.

Простейшие случаи

Когда мы говорим о простейших случаях в рассматриваемой теме, то имеем в виду нахождение пересечения и объединения числовых множеств, представляющих из себя набор отдельных чисел. В подобных случаях будет достаточно использования определения пересечения и объединения множеств.

Определение 1

Объединение двух множеств – это множество, в котором каждый элемент является элементом одного из исходных множеств.

Пересечение множеств – это множество, которое состоит из всех общих элементов исходных множеств.

Из указанных определений логически следуют следующие правила:

— чтобы составить объединение двух числовых множеств, имеющих конечное количество элементов, необходимо записать все элементы одного множества и дописать к ним недостающие элементы из второго множества;

— чтобы составить пересечение двух числовых множеств, необходимо элементы первого множества один за другим проверить на принадлежность второму множеству. Те из них, которые окажутся принадлежащими обоим множествам и будут составлять пересечение.

Полученное согласно первому правилу множество будет включать в себя все элементы, принадлежащие хотя бы одному из исходных множеств, т.е. станет объединением этих множеств по определению.

Множество, полученное согласно второму правилу, будет включать в себя все общие элементы исходных множеств, т.е. станет пересечением исходных множеств.

Рассмотрим применение полученных правил на практических примерах.

Пример 1

Исходные данные: числовые множества А = {3, 5, 7, 12} и В = {2, 5, 8, 11, 12, 13}. Необходимо найти объединение и пересечение исходных множеств.

Решение

Определим объединение исходных множеств. Запише

zaochnik.com

Лекция 4. Объединение множеств.

Лекция 4. Объединение множеств. Свойства объединения множеств.

Определение. Объединением множеств А и В называется множество, содержащее все элементы, которые принадлежат множеству А или множеству В.

Объединение множеств А и В обозначают А∪ В. Таким образом, по определению, А ∪ В = { х | х ∈А или х∈В}.

Например, если А = { a , c , k , m , n } и В = { a , b , c , d , e },

то А ∪ В = { a , c , k , m , n , b , d , e }.

Если изобразить А и В при помощи кругов Эйлера-Венна, то объединением данных множеств является заштрихованная область (рис. 4).

Для объединения множеств выполняются следующие свойства.

1) Переместительное или коммутативное свойство: А ∪ В = В ∪ А.

2) Сочетательное или ассоциативное свойство:(А ∪ В)∪ С = А ∪ (В ∪ С).

3) А ∪ ∅= А (пустое множество является нейтральным элементом).

4) А ∪ U = U (универсальное множество является поглощающим элементом).

5) Если В ⊂А, то А∪В = В

Операции объединения и пересечения множеств связаны законами дистрибутивности или иначе распределительными свойствами:

(А ∪ В) ∩С = (А∩С) ∪ (В∩С) и (А∩В) ∪ С = (А ∪ С) ∩(В ∪ С).

П р и м е р 1. Пусть А – множество различных букв в слове «математика», а В – множество различных букв в слове «стереометрия». Найти пересечение и объединение множеств А и В.

Р е ш е н и е. Запишем множества А и В, перечислив их элементы: А = { м, а, т, е, и, к }, В = { с, т, е, р, о, м, и, я }. Буквы м, т, е, и принадлежат и множеству А, и множеству В, поэтому они войдут в пересечение этих множеств: А∩В = { м, т, е, и }. В объединение этих множеств войдут все элементы множества А и несовпадающие с ними элементы из множества В: А ∪ В = { м, а, т, е, и, к, с, р, о, я }.

П р и м е р 2 . В классе английский язык изучают 25 человек, а немецкий – 27 человек, причем 18 человек изучают одновременно английский и немецкий языки. Сколько всего человек в классе изучают эти иностранные языки? Сколько человек изучают только английский язык? Только немецкий язык?

Р е ш е н и е. Через А обозначим множество школьников, изучающих английский язык, через В – множество школьников, изучающих немецкий язык. Изобразим эту ситуацию с помощью диаграммы. Два языка изучают 18 школьников, поставим это число в пересечение множеств А и В. Английский язык изучают 25 человек, но среди них 18 человек изучают и немецкий язык, значит, только английский язык изучают 7 человек, укажем это число на диаграмме. Рассуждая аналогично, получим, что только немецкий язык изучают 27 – 18 = 9 человек. Поместим и это число на диаграмму. Теперь известно количество элементов в каждой части множеств, изображенных на диаграмме. Чтобы ответить на главный вопрос задачи, нужно сложить все числа: 7 + 18 + 9 = 34. Ответ: 34 человека в классе изучают иностранные языки.

Задания для самостоятельной работы по теме:

1.Найдите объединение множеств А и В, если:

а) А =

{26,39,5,58,17,81}, В = {17, 26, 58}.

б) А = {26,39,5,58, 17,81}, В = {17, 26, 58, 5, 39, 81}.

2. Из каких элементов состоит объединение множества букв в слове «математика» и множества букв в слове «геометрия»?

3. М — множество однозначных чисел, Р — множество нечетных натуральных чисел. Из каких чисел состоит объединение данных множеств? Содержатся ли в нем числа -7 и 9?

4. Используя координатную прямую, найдите объединение множеств решений неравенств, в которых х — действительное число:

а) х > -2 и х > 0; в) х > 5 и х < -7,5;

б) х > -3,7 и х < 4; г) -2 < х < 4 и х > -1;

д) -7<х<5 и -6<х<2.

infourok.ru

элементы и подмножества. Пересечение и объединение множеств

Множество – совокупность любых объектов. Множества обозначают большими буквами латинского алфавита – от A до Z.

Основные числовые множества: множество натуральных чисел и множество целых чисел, всегда обозначаются одними и теми же буквами:

N – множество натуральных чисел

Z – множество целых чисел

Элемент множества – это любой объект, входящий в состав множества. Принадлежность объекта к множеству обозначается с помощью знака ∈. Запись

5∈Z

читается так: 5 принадлежит множеству Z или 5 – элемент множества Z.

Множества делятся на конечные и бесконечные. Конечное множество – множество, содержащее определённое (конечное) количество элементов. Бесконечное множество – множество, содержащее бесконечно много элементов. К бесконечным множествам можно отнести множества натуральных и целых чисел.

Для определения множества используются фигурные скобки, в которых через запятую перечисляются элементы. Например, запись

L = {2, 4, 6, 8}

означает, что множество L состоит из четырёх чётных чисел.

Термин множество употребляется независимо от того, сколько элементов оно содержит. Множества не содержащие ни одного элемента называются пустыми.

Подмножество

Подмножество – это множество, все элементы которого, являются частью другого множества.

Визуально продемонстрировать отношение множества и входящего в него подмножества можно с помощью кругов Эйлера. Круги Эйлера – это геометрические схемы, помогающие визуализировать отношения различных объектов, в нашем случае множеств.

Рассмотрим два множества:

L = {2, 4, 6, 8} и

M = {2, 4, 6, 8, 10, 12}

Каждый элемент множества L принадлежит и множеству M, значит множество L является подмножеством множества M. Такое соотношение множеств обозначают знаком ⊂:

L⊂M

Запись L⊂M читается так: множество L является подмножеством множества M.

Множества состоящие из одних и тех же элементов, независимо от их порядка, называются равными и обозначаются знаком =.

Рассмотрим два множества:

L = {2, 4, 6} и M = {4, 6, 2}

так как оба множества состоят из одних и тех же элементов, то L = M.

Пересечение и объединение множеств

Пересечение двух множеств – это совокупность элементов, принадлежащих каждому из этих множеств, то есть их общая часть. Пересечение обозначается знаком

∩.

Например, если

L = {1, 3, 7, 11} и M = {3, 11, 17, 19}, то L∩M = {3, 11}.

Запись L∩M читается так: пересечение множеств L и M.

Из данного примера следует, что пересечением множеств называется множество, которое содержит только те элементы, которые встречаются во всех пересекающихся множествах.

Объединением двух множеств называется множество, содержащее все элементы исходных множеств в единственном экземпляре, то есть если один и тот же элемент встречается в обоих множествах, то в новое множество этот элемент будет включён только один раз. Объединение обозначается знаком ∪.

Например, если

L = {1, 3, 7, 11} и M = {3, 11, 17, 19},

то L∪M = {1, 3, 7, 11, 17, 19}.

Запись L∪M читается так: объединение множеств L и M.

При объединении равных множеств, объединение будет равно любому из данным множеств:

если L = M, то L∪M = L и L∪M = M.

naobumium.info

Объединение множеств — это… Что такое Объединение множеств?

ОБЪЕДИНЕНИЕ МНОЖЕСТВ — (сумма множеств) понятие теории множеств; объединение множеств множество, состоящее из всех тех элементов, каждый из которых принадлежит хотя бы одному из данных множеств. Объединение множеств А и В обозначают АUВ или А+В … Большой Энциклопедический словарь

объединение множеств — (сумма множеств), понятие теории множеств; объединение множеств множество, состоящее из тех элементов, каждый из которых принадлежит хотя бы одному из данных множеств. Объединение множеств А и В обозначают А + В. * * * ОБЪЕДИНЕНИЕ МНОЖЕСТВ… … Энциклопедический словарь

ОБЪЕДИНЕНИЕ МНОЖЕСТВ — (сумма множеств), понятие теории множеств; О. м. множество, состоящее из тех элементов, каждый из к рых принадлежит хотя бы одному из данных множеств. О. м. А и В обозначают A UB или А + В … Естествознание. Энциклопедический словарь

Объединение (теория множеств) — Объединение A и B Объединение множеств (тж. сумма или соединение) в теории множеств это множество, содержащее в себе все элементы исходных множеств. Объединение двух множеств A и B обычно обозначается , но иногда можно встретить запись в виде… … Википедия

МНОЖЕСТВ ТЕОРИЯ — раздел математики, в котором изучаются общие свойства множеств, преимущественно бесконечных. понятие множества простейшее математическое понятие, оно не определяется, а лишь поясняется при помощи примеров: множество книг на полке, множество точек … Большой Энциклопедический словарь

множеств теория — раздел математики, в котором изучаются общие свойства множеств, преимущественно бесконечных. Понятие множества простейшее математическое понятие, оно не определяется, а лишь поясняется при помощи примеров: множество книг на полке, множество… … Энциклопедический словарь

множеств теория — математическая теория, изучающая точными средствами проблему бесконечности. Предмет М. л. свойства множеств (совокупностей, классов, ансамблей), гл. обр. бесконечных. Множество A есть любое собрание определенных и различимых между собой объектов … Словарь терминов логики

Объединение — Объединение: В Викисловаре есть статья «объединение» Объединение разновидность организации … Википедия

Множеств теория — Теория множеств раздел математики, в котором изучаются общие свойства множеств. Теория множеств лежит в основе большинства математических дисциплин; она оказала глубокое влияние на понимание предмета самой математики. Содержание 1 Теория… … Википедия

Объединение (значения) — Объединение многозначный термин, входит в состав сложных терминов. В Викисловаре есть статья «объединение» Объединение разновидность организаций. Объединение общее название крупных воинских формирований … Википедия

dic.academic.ru

Объединение множеств — Википедия. Что такое Объединение множеств

Материал из Википедии — свободной энциклопедии Объединение A и B

Объедине́ние мно́жеств (тж. су́мма или соедине́ние) в теории множеств — множество, содержащее в себе все элементы исходных множеств. Объединение двух множеств A{\displaystyle A} и B{\displaystyle B} обычно обозначается A{\displaystyle A} ∪ B{\displaystyle B}, но иногда можно встретить запись в виде суммы A+B{\displaystyle A+B}.

Определения

Объединение двух множеств

Пусть даны два множества A{\displaystyle A} и B{\displaystyle B}. Тогда их объединением называется множество

A∪B={x∣x∈A∨x∈B}.{\displaystyle A\cup B=\{x\mid x\in A\vee x\in B\}.}

Объединение семейства множеств

Пусть дано семейство множеств {Mα}α∈A.{\displaystyle \{M_{\alpha }\}_{\alpha \in A}.} Тогда его объединением называется множество, состоящее из всех элементов всех множеств семейства:

⋃α∈AMα={x∣∃α∈A,x∈Mα}.{\displaystyle \bigcup \limits _{\alpha \in A}M_{\alpha }=\{x\mid \exists \alpha \in A,\;x\in M_{\alpha }\}.}

Свойства

Примеры

Пусть A={1,2,3,4,5},B={3,4,5,6,7,8}.{\displaystyle A=\{1,2,3,4,5\},B=\{3,4,5,6,7,8\}.} Тогда

A∪B={1,2,3,4,5,6,7,8};{\displaystyle A\cup B=\{1,2,3,4,5,6,7,8\};}

⋃n∈Z[n,n+1]=R.{\displaystyle \bigcup \limits _{n\in \mathbb {Z} }[n,n+1]=\mathbb {R} .}

Примечания

↑ В. А. Ильин, В. А. Садовничий, Бл. Х. Сендов. Глава 2. Вещественные числа // Математический анализ / Под ред. А. Н. Тихонова. — 3-е изд., перераб. и доп. — М.: Проспект, 2006. — Т. 1. — С. 66. — 672 с. — ISBN 5-482-00445-7.

См. также

wiki.sc

План-конспект урока по математике (3 класс) на тему: Конспект урока математики «Объединение множеств. Знак объединения множеств»

№

Этап урока. Методы и приемы.

Содержание урока. Деятельность учителя.

Деятельность учащихся.

УУД.

Организационный момент.

Словесный: слово учителя.

— Здравствуйте, ребята. Меня зовут Екатерина Сергеевна и сегодня я проведу у вас урок математики. Садитесь.

— Громко прозвенел звонок,

Начинается урок.

Слушаем, запоминаем,

Ни минуты не теряем.

Слушают. принимают установку на урок.

Регулятивные: принимают и сохраняют учебную задачу.

Мотивационный этап.

Практический: устные упражнения.

— Прежде чем приступить к изучению новой темы, проведем зарядку для ума. Нужно соблюдать следующие правила: отвечать быстро и только по поднятой руке.

Проводится зарядка для ума (полностью на слайдах).

— Молодцы! После такой зарядки мы можем приступить к изучению нового материала.

Выполняют задания.

Познавательные: умение ориентироваться в своей системе знаний.

Актуализация учебных знаний.

Словесный: беседа.

Практический: устные упражнения.

— Какую большую тему вы изучаете с начала этого года?

— Давайте вспомним, что такое множество? (Множество – это группа предметов, объектов или живых существ, собранных вместе). Можно ли назвать предметы на слайде множеством? (Да, множество бабочек).

– Из чего состоят множества? (Множества состоят из элементов)

– Что можно сделать с элементами множества? (Посчитать и перечислить их.) – Посчитайте и перечислите элементы множества «Посуда».

– А что значит: задать множество? (Это значит назвать общее свойство или признак всех его элементов.)

– Что означает: «задал это множество перечислением»? (Значит, перечислил все элементы данного множества).

— Поиграем в игру под названием «Классификация» (на слайде). Разделите предметы на несколько групп и дайте им название.

— Сколько ромашек в подмножестве А?

— Сколько самолетов в подмножестве В? (Нет). Как называют множество, не содержащее ни одного элемента? (Пустое). Каким значком оно обозначается?

— Теперь давайте вспомним, что называют подмножеством, выполнив задание «Какие бывают?». Назовите различные подмножества множеств, данных на слайде (буквы, цифры, книги). Например, одним из подмножеств множества «Буквы» будет являться подмножество «заглавные буквы». Продолжите.

— Молодцы! Вспомните, что вы проходили на прошлом уроке. (Пересечение множеств). Что такое пересечение множеств? Каким знаком оно обозначается?

Актуализируют учебные знания.

Отвечают на вопросы.

Работают со слайдом.

Отвечают на вопросы.

Познавательные: умение ориентироваться в своей системе знаний.

Познавательные: строить объяснения в устной форме.

Познавательные: строят рассуждение.

Постановка и решение учебной задачи.

Практический: письменные упражнения.

— Сегодня мы познакомимся с новым видом операций над множествами: объединением множеств. Исходя из темы урока, какие цели мы перед собой поставим?

— Откройте учебник на странице 33, номер 1. Приготовьте желтый и синий карандаш. Обведите желтым карандашом область А. Обведите синим карандашом область В. А теперь обведите красным карандашом всю закрашенную область. Будет ли это пересечением множеств? В чем ее отличие от операции пересечения? Как можно назвать эту операцию? Хорошо, давайте сверим наше предположение с правилом в рамочке на странице 33. Давайте рассмотрим пример в рамочке. Назовите элементы множества А. Элементы множества В. Что нам нужно сделать, чтобы найти объединение этих множеств? (Взять элементы множества А и добавить элементы множества В). А теперь назовите элементы объединения множеств. Молодцы!

— №2. Кто хочет прочитать задание? Читаем задание под буквой а. Под буквой б. Кто может сказать, какую операцию мы только что совершили? Почему?

— №3. кто может прочитать задание? Что будет представлять собой пересечение множеств А и В? (Люди, умеющие и плавать, и играть на скрипке). Что представляет собой объединение множеств А и В? ( Люди, умеющие плавать и люди играющие на скрипке).

— Давайте еще раз прочитаем правило на странице 33. Читаем хором. Кто может наизусть рассказать, что такое объединение множеств?

— №4. Прочитайте задание. Кто хочет пойти к доске? Отметьте элементы на диаграмме. Обведи цветным мелком: что будет являться объединением множеств. Запиши это с помощью фигурных скобок.

— №5. У вас на столах лежат диаграммы Эйлера-Венна. Возьмите в руки цветной карандаш и раскрасьте им объединение множеств. Сравните со слайдом. У кого получилось так же?

У кого получилось по другому?

— Решим задачу в учебнике на стр.35№9(а). Прочитайте задачу. Какой тип задачи? (На приведение к единице). Что нам известно? Что нужно узнать? Выйди к доске и сделай схему к данной задаче. Расскажи, как будешь решать.

— №11. Кто хочет пойти решать первое уравнение? Комментируй, пожалуйста. Второе уравнение. Третье уравнение решите самостоятельно в тетради.

— №12. Вам нужно составить программу действий и решить примеры. Решаем по вариантам. Первый вариант решает под буквой а, второй – под б.

— №14. Решаем устно цепочки.

Ставят цели урока.

Выполняют задания на карточках.

Читают правило.

Выполняют задания.

Повторяют правило.

Выполяют задания на карточках.

Определяют тип задачи.

Решают задачи.

Решают примеры.

Регулятивные: принимают и сохраняют учебную задачу.

Регулятивные: планируют свое действие в соответствии с задачей.

Познавательные: умение ориентироваться в своей системе знаний.

Познавательные: выбирать наиболее эффективный способ решения или верное решение.

Подведение итогов урока. Рефлексия.

Словесный: беседа.

— Давайте вспомним, что мы проходили сегодня на уроке. Что такое объединение множеств? Что нужно сделать, чтобы найти объединение множеств? Молодцы!

— Наш урок подходит к концу. Давайте подведем итог. Какую цель мы ставили в начале урока? Достигли ли мы ее? Предлагаю вам провести самоанализ по данному плану (на слайде).

— Спасибо за работу. Урок окончен.

Подводят итог урока.

Проводят самоанализ по плану.

Познавательные: строить объяснения в устной форме.

Регулятивные: осуществлять рефлексию.

nsportal.ru

Конспект урока по математике 3 класс «Объединение множеств. Знак объединения множеств»

Урок по математике

в 3 классе.

Тема «Объединение множеств. Знак объединения множеств»

Цели деятельности учителя:

сформировать у учащихся представление об объединении множеств и его обозначении на письме;
развивать внимание, самостоятельность.

Планируемые результаты:

формировать у учащихся представление об объединении множеств и его обозначении на письме;
развивать вычислительные навыков, логическое мышление, внимание, самостоятельность, инициативность;
воспитывать интерес к предмету;
развивать интеллектуальную сферу личности, развитивать умения сравнивать и обобщать;
воспитывать аккуратность и внимательность при решении.

Тип урока: урок открытия нового знания.

Оборудование: проектор, презентация, видео физминутки, индивидуальные карточки; карточки на доску.

Организационный момент.

— Здравствуйте, ребята.

— Громко прозвенел звонок,

Начинается урок.

Слушаем, запоминаем,

Ни минуты не теряем.

Слушают. принимают установку на урок.

Актуализация учебных знаний.

— Какую большую тему вы изучаете с начала этого года?

— Вспомним, что такое множество? (Множество – это группа предметов, объектов или живых существ, собранных вместе). Можно ли назвать предметы на слайде множеством? (Да, множество бабочек).

– Из чего состоят множества? (Множества состоят из элементов)

– А что значит: задать множество? (Это значит назвать общее свойство или признак всех его элементов.)

– Что означает: «задал это множество перечислением»? (Значит, перечислил все элементы данного множества).

— Сколько ромашек в подмножестве А?

Актуализируют учебные знания.

Отвечают на вопросы.

Работают со слайдом.

Отвечают на вопросы.

Постановка и решение учебной задачи.

Решим следующую задачу:

-На уроке математики учитель задал две очень сложные задачи.
Первую задачу смогли решить только Иван, Михаил и Зоя. А вторую задачу решили Зоя, Нина и Петр. Покажите это на диаграмме Венна.

— А как показать множество детей, решивших хотя бы одну задачу? Покажите на нашей диаграмме, обведите это множество.

— Какова тема урока? (Объединение множеств)

Если слова «объединим» не прозвучит, то это скажет учитель:

Множество детей, решивших первую задачу, назовем множеством А. А множество детей, решивших вторую задачу, назовем множеством В. Как же мы запишем множество всех детей, решивших хотя бы одну задачу? Как на математическом языке записать объединение множеств А и В? (Дети предлагают свои варианты.)

— В математике существует знак объединения множеств, который можно сравнить с открытой вазой (U), в которую можно сложить все элементы множества.

АUВ={

Как вы понимаете понятие объединить? Каким другим словом можно заменить слово объединить?

Игра с мячом: Я буду называть множества, а вы должны объединить их в другое множество и назвать его.

 Ромашки, розы, колокольчики … — цветы

 Березы, дубы, осины… — деревья

 Мальчики, девочки… — дети

 Числа кратные 2, 6, 8… — числа из таблицы умножения.

 Квадраты, треугольники, круги… — геометрические фигуры. Что мы сейчас делали с названными множествами? (Мы их объединяли общим названием).

Будет ли это пересечением множеств? В чем ее отличие от операции пересечения? Как можно назвать эту операцию?

Хорошо, давайте сверим наше предположение с правилом в рамочке на странице 33.

Давайте рассмотрим пример в рамочке. Назовите элементы множества А. Элементы множества В. Что нам нужно сделать, чтобы найти объединение этих множеств? (Взять элементы множества А и добавить элементы множества В). А теперь назовите элементы объединения множеств. Молодцы!

— №2. Прочитайте задание 2? Читаем задание под буквой а. Под буквой б.Скажите, какую операцию мы только что совершили? Почему?

— №3. Прочитайте задание3? Что будет представлять собой пересечение множеств А и В? (Люди, умеющие и плавать, и играть на скрипке). Что представляет собой объединение множеств А и В? ( Люди, умеющие плавать и люди играющие на скрипке).

— №4. Прочитайте задание. Отметьте элементы на диаграмме. Обведи цветным мелком: что будет являться объединением множеств. Запиши это с помощью фигурных скобок.

У кого получилось по другому?

— №11. Решаем первое уравнение? Комментируй, пожалуйста. Второе уравнение. Третье уравнение решите самостоятельно в тетради.

— №14. Решаем устно цепочки.

Ставят цели урока.

Выполняют задания на карточках.

Читают правило.

Выполняют задания.

Повторяют правило.

Выполяют задания на карточках.

Определяют тип задачи.

Решают задачи.

Решают примеры.

Подведение итогов урока. Рефлексия.

-Что нового узнали на уроке?

Что такое объединение множеств?

Что нужно сделать, чтобы найти объединение множеств? Молодцы!

— Спасибо за работу. Урок окончен.

Подводят итог урока.

infourok.ru