Арксинус и решение уравнения sin x = a. Видеоурок. Алгебра 10 Класс

На уроке по теме «Арксинус и решение уравнения sin x=a»  рассматривается понятие арксинуса числа, который можно вычислять по графику и на единичной окружности, и решается уравнение sin x=a.

Тема: Итоговое повторение курса алгебры 10 класса

Урок: Арксинус и решение уравнения sinx=a

На уроке рассматривается понятие функции арксинус, примеры на вычисление арксинусов по графику и на единичной окружности,  решается уравнение  при .

По теореме о существовании обратной функции прямая функция должна быть непрерывной и монотонной.

Функция  не монотонна на всей своей области определения, а на промежутке  она непрерывна, монотонна и пробегает все значения из области значений. Значит, существует обратная функция для нее на этом промежутке, она называется арксинус.

Построим график функции  на отрезке  (рис. 1) и будем находить значения арксинусов чисел по этому графику.

Рис. 1.

Определение:

Арксинусом числа  называется такой угол  из промежутка , синус которого равен числу

Свойство: для любого , такого что выполняется равенство

Примеры 1. (рис. 1):

Построим единичную окружность и отметим на ней точки , найдем соответствующие значения синусов на оси ординат (рис. 3).

Рис. 2.

Пример 2. (рис. 2):

Свойство: для любого

interneturok.ru

Уравнение sin x = a

Значения синуса заключены в промежутке [-1; 1], т.е. -1 ≤ sin α ≤ 1. Поэтому если |а| > 1, то уравнение sin x = a не имеет корней. Например, уравнение sin x = 2 корней не имеет.

Обратимся к некоторым задачам.

Задача 1.

Решить уравнение sin x = 1/2.

Решение.

Отметим, что sin x – это ордината точки единичной окружности, которая получена в результате поворота точки Р (1; 0) на угол х вокруг начала координат.

Ордината, равная ½, присутствует у двух точек окружности М₁ и М₂.

Так как 1/2 = sin π/6, то точка М₁ получается из точки Р (1; 0) посредством поворота на угол х₁ = π/6, а также на углы х = π/6 + 2πk, где k = +/-1, +/-2, …

Точка М₂ получается из точки Р (1; 0) в результате поворота на угол х₂ = 5π/6, а также на углы х = 5π/6 + 2πk, где k = +/-1, +/-2, …, т.е. на углы х = π – π/6 + 2πk, где k = +/-1, +/-2, ….

Итак, все корни уравнения sin х = 1/2 можно найти по формулам х = π/6 + 2πk, х = π – π/6 + 2πk, где k € Z.

Эти формулы могут объединиться в одну: х = (-1)ⁿ π/6 + πn, где n € Z     (1).

Действительно, если n – четное число, т.е. n = 2k, то из формулы (1) получаем х = π/6 + 2πk, а если n – нечетное число, т.е. n = 2k + 1, то из формулы (1) получаем х = π – π/6 + 2πk.

Ответ. х = (-1)ⁿ π/6 + πn, где n € Z.

Задача 2.

Решить уравнение sin x = -1/2.

Решение.

Ординату -1/2 имеют две точки единичной окружности М₁ и М₂, где х₁ = -π/6, х₂ = -5π/6. Следовательно, все корни уравнения sin x = -1/2 можно найти по формулам х = -π/6 + 2πk, х = -5π/6 + 2πk, k € Z.

Эти формулы мы можем объединить в одну: х = (-1)ⁿ (-π/6) + πn, n € Z    (2).

Действительно, если n = 2k, то по формуле (2) получаем х = -π/6 + 2πk, а если n = 2k – 1, то по формуле (2) находим х = -5π/6 + 2πk.

Ответ. х = (-1)ⁿ (-π/6) + πn, n € Z.

Таким образом, каждое из уравнений sin x = 1/2 и sin x = -1/2 имеет бесконечное множество корней.

На отрезке -π/2 ≤ х ≤ π/2 каждое из этих уравнений имеет только один корень:
х₁ = π/6 – корень уравнения sin x = 1/2 и х

1 = -π/6 – корень уравнения sin x = -1/2.

Число π/6 называют арксинусом числа 1/2 и записывают: arcsin 1/2 = π/6; число -π/6 называют арксинусом числа -1/2 и пишут: arcsin (-1/2) = -π/6.

Вообще уравнение sin x = а, где -1 ≤ а ≤ 1, на отрезке -π/2 ≤ х ≤ π/2 имеет лишь один корень. Если а ≥ 0, то корень заключен в промежутке [0; π/2]; если а < 0, то в промежутке [-π/2; 0). Этот корень называют арксинусом числа а и обозначают arcsin а.

Таким образом, арксинусом числа а € [–1; 1] называется такое число а € [–π/2; π/2], синус которого равен а.

аrcsin а = α, если sin α = а и -π/2 ≤ х ≤ π/2        (3).

Например, аrcsin √2/2 = π/4, так как sin π/4 = √2/2 и – π/2 ≤ π/4 ≤ π/2;
аrcsin (-√3/2) = -π/3, так как sin (-π/3) = -√3/2 и – π/2 ≤ – π/3 ≤ π/2.

Аналогично тому, как это сделано при решении задач 1 и 2, можно показать, что корни уравнения sin х = а, где |а| ≤ 1, выражаются формулой

х = (-1)ⁿ аrcsin а + πn, n € Z          (4).

Также мы можем доказать, что для любого а € [-1; 1] справедлива формула аrcsin (-а) = -аrcsin а.

Из формулы (4) следует, что корни уравнения
sin х = а при а = 0, а = 1, а = -1 можно находить по более простым формулам:

sin х = 0           х = πn, n € Z                        (5)

sin х = 1           х = π/2 + 2πn, n € Z          (6)

sin х = -1        х = -π/2 + 2πn, n € Z          (7)

© blog.tutoronline.ru, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

blog.tutoronline.ru

Уравнение sinx=a

Напомним, что уравнение, которое содержит переменную под знаком тригонометрических функций, называется

тригонометрическим уравнением. Уравнения вида , ,  и , где  – переменная, а число , называются простейшими тригонометрическими уравнениями. На этом уроке мы с вами подробно рассмотрим решение уравнений вида .

Вы уже знаете, что синусом угла  называется ордината точки , полученной поворотом точки  вокруг начала координат на угол . При этом не забудем отметить, что так как координаты  и  точек единичной окружности удовлетворяют неравенствам  и , то для  справедливо неравенство . Из этого следует, что уравнение  имеет корни только при .

Так как же решают такие уравнения? Давайте рассмотрим два уравнения:  и .

Чтобы найти х в первом уравнении, нам нужно ответить на вопрос, чему равен синус точки . Для этого нам достаточно вспомнить таблицу значений синуса.

Тогда . Давайте покажем это на единичной окружности. Отметим точку . У этой точки, как и у любой другой, есть свои координаты. Если мы опустим перпендикуляр из точки  на ось ординат, то попадём в .

А теперь вернёмся ко второму уравнению . Чтобы найти х в этом уравнении, нам нужно ответить на вопрос, синус каких точек равен .

Давайте ненадолго отвлечёмся от тригонометрии. Начертим координатную плоскость. А теперь найдём все те точки, у которых ордината равна . Несложно догадаться, что таких точек будет бесконечное множество и все они будут лежать на горизонтальной прямой, проходящей через точки с ординатой, равной .

А теперь вернёмся к тригонометрии. Нас будут интересовать все точки, которые лежат на единичной окружности и пересекаются горизонтальной прямой, проходящей через точки, имеющие ординату, равную . Заметим, что наша прямая пересекает единичную окружность в двух точках –  и . Исходя из таблицы значений синуса, точка  получается из начальной точки  поворотом на угол , а точка  – поворотом на угол . Тогда решением нашего уравнения будут два корня  и . Но ведь в эти точки мы можем попасть не по одному разу. Если мы сделаем полный оборот по единичной окружности, то снова попадём в эти точки. Сделав ещё полный оборот, снова попадём в эти точки и так далее. Тогда окончательным решением нашего уравнения будет серия корней:

Второй корень мы можем переписать как . Как правило, эти два корня совмещают и записывают как .

Заметим, что если , то из последней формулы получаем: , а если , то из последней формулы получаем: .

Вообще, при решении уравнений вида  возможны четыре случая.

Первый случай: . Раскрывая модуль, имеем . В этом случае на единичной окружности будут располагаться две точки –  и , ординаты которых равны а. Эти точки получаются путём поворота начальной точки на угол  и  соответственно. Тогда решения уравнения  можно записать в виде: , и . Заметим, что эти точки симметричны относительно оси ординат. Следовательно, . Чаще всего эти серии решений объединяют в одну формулу: .

Например, решим следующие уравнения  и . Ординату, равную , имеют две точки единичной окружности. Так как , то угол , а тогда угол . Следовательно, все корни уравнения  можно найти по формуле . При чётном n получим первую серию решений, при нечётном – вторую.

Перейдём ко второму уравнению . Ординату, равную , имеют две точки единичной окружности. Так как , то угол , а тогда угол . Следовательно, все решения уравнения  можно найти по формуле .

Обратите внимание, каждое из уравнений  и  имеет бесконечное множество корней. Однако на отрезке  каждое из этих уравнений имеет только один корень. Так, , – это корень уравнения , а , – это корень уравнения . Число  называют арксинусом числа . Записывают так: . Число  называют арксинусом числа . Записывают так: .

Кстати, «арксинус» в переводе с латинского означает «дуга» и «синус». Это обратная функция.

Вообще, уравнение , где , на отрезке  имеет только один корень. Если , то этот корень заключён в промежутке ;

если же , то корень располагается в промежутке .

Этот корень называют арксинусом числа а и обозначают так .

Запомните! Арксинусом числа а, , называется такое число , синус которого равен а.

, если  и

Например, , так как , . , так как , .

Возвращаясь к нашему уравнению , где , можно утверждать, что все корни уравнения можно найти по формуле: .

Запомните! Для любого  справедлива формула . Эта формула позволяет находить значения арксинусов отрицательных чисел через значения арксинусов положительных чисел.

Например, .

Второй случай: . Раскрывая модуль, имеем  и . Поскольку для  справедливо неравенство , то понятно, что в этом случае уравнение  не будет иметь корней.

Например, уравнения  и  не имеют корней.

Третий случай (частный): . В этом случае есть две точки тригонометрической окружности, которые имеют ординату, равную 0. Точка  представляет все числа вида , а точка  – все числа вида . Заметим, что две записанные серии решений уравнения  можно выразить одной формулой: . Так как при  получится первая серия решений , а при  – .

И последний, четвёртый случай (тоже частный): . Раскрывая модуль, имеем , и . В этом случае горизонтальные прямые, проходящие через точки, имеющие ординаты, равные –1 и 1, будут касаться единичной окружности в точках с координатами (0;1) и (0;–1). Эти точки получаются путём поворота начальной точки на угол  и . Тогда уравнение  имеет серию решений: . А решением уравнения  будет следующее: .

А теперь давайте приступим к практической части нашего урока.

Задание. Решите уравнение .

Решение. Для начала преобразуем уравнение. Единицу перенесём в правую часть, затем разделим обе части равенства на –2. Получим . По формуле нахождения корней уравнения , имеем . . Отсюда . Перенесём 4 в правую часть равенства. Затем разделим обе части равенства на 3. Отсюда х равен: .

videouroki.net

Тест. Уравнение sinx = a

© 2018, ООО КОМПЭДУ, http://compedu.ru При поддержке проекта http://videouroki.net

Будьте внимательны! У Вас есть 20 минут на прохождение теста. Система оценивания — 5 балльная. Разбалловка теста — 3,4,5 баллов, в зависимости от сложности вопроса. Порядок заданий и вариантов ответов в тесте случайный. С допущенными ошибками и верными ответами можно будет ознакомиться после прохождения теста. Удачи!

Список вопросов теста

Вопрос 1

Как называется уравнение, которое содержит переменную под знаком тригонометрических функций?

Вопрос 2

Дополните:
Синусом угла α называется … точки Рα, полученной поворотом точки Р (1;0) вокруг начала координат на угол α.

Варианты ответов

• абсцисса
• ордината

Вопрос 3

Дополните:
Арксинусом числа а, модуль которого не больше единицы, называется… 

Варианты ответов

Вопрос 4

Согласны ли вы, что:

Варианты ответов

• Уравнение sin x = a, где а≤1, на отрезке -π2;π2 имеет только один корень.

• Для любого а из промежутка [-1;1] справедлива формула: 
  arсsin (-а) = -arcsin а.

• Уравнение sin x = a имеет корни только при -1 ≤ а ≤ 1.

• Уравнение sin x = a, где а≤1, на отрезке -π2;π2 имеет бесконечное множество корней.

• Для любого а из промежутка [-1;1] справедлива формула: 
  arсsin (-а) = π — arcsin а. 

• Уравнение sin x = a имеет корни только при a < -1 и а > 1.

Вопрос 5

Найдите решения уравнения sin x=22 на промежутке [0;2π].

Варианты ответов

Вопрос 6

Найдите решения уравнения sin x=-22 на промежутке [0;2π].

Варианты ответов

Вопрос 7

Сопоставьте уравнения с их решениями:

Варианты ответов

• x=πk,k∈Z

• x=π2+2πk,k∈Z

• x=-π2+2πk,k∈Z

Вопрос 8

Выберите общую формулу нахождения корней уравнения sin x = a, │a│≤ 1.

Варианты ответов

• x=±arcsin a+2πk,k∈Z

• x=(-1)narcsin a+πn,n∈Z

• x=arcsin a+πk,k∈Z

• x=π-arcsin a-2πk,k∈Z

Вопрос 9

Решите уравнение sin 2x-1=-22. 

Варианты ответов

• x=(-1)k+1π8+12+πk2,k∈Z

• x=±π8+2πk,k∈Z

• x=(-1)karcsin 12+2πk,k∈Z

• x=-1arcsin 22+π3+πk,k∈Z

Вопрос 10

Чему равен arcsin(0,3)? Значение округлите до тысячных.

videouroki.net

Как репетитор по математике поясняет формулу корней уравнения SinX=a

Известно, что большинство школьных учебников по математике далеко от методического совершенства, к которому так стремятся их авторы. На мой взгляд, многие из них предлагают туманные или совсем точные объяснения сложных теоретических вопросов. Обычно, если репетитор по математике в совершенстве владеет искусством объяснений, то либо меняет логику учебника полностью, либо дополняет тексты адаптированными для детского восприятия комментариями. Я уже давно пересмотрел подходы к изучению многих тем школьной программы по математике, являющиеся классическими. Невнятная логика переходов от одного факта к другому (от формулы к формуле), сухая схематичность выкладок и обилие математических терминов, — далеко не полный список проблем в построении классических объяснений.

Можно ли как-то исправить недосмотры и переписать учебники с учетом этих замечаний? Думаю, что нельзя. Почему? Если аккуратно подходить к каждому проблемному участку и менять «скупую математику» на «живую» и понятную, то размеры учебников возрастут в несколько раз. Почему? Очень трудно передать коротко те мысли, которые помогают прояснить сложные математические процессы. На некоторые из них придется потратить по 0,5-1,5 страниц печатного текста. Если так править каждый параграф, то и без того увесистые портфели учеников можно будет использовать для занятий тяжелой атлетикой.

Поэтому репетитор по математике как всегда «принимает огонь на себя». Отмечу, что индивидуальные занятия с преподавателем создают наилучшие условия для проникновения в глубины предмета, ибо в переполненном классе сложнее настроить ученика на серьезную вдумчивую работую. Репетитору же, как правило, удается донести до его сознания разного рода тонкости.

Толковое подробное объяснение сложного вопроса может отнять весь урок. И даже это не гарантирует 100%-го понимания темы всеми учащимися. Очень трудно удерживать внимание целой аудитории на детальном рассмотрении важных «мелочей». Особенно если оно долгое. Отдельно взятый ученик может в любой момент отвлечься от доски и полностью выключится из процесса. Преподаватель замеввший его потерянный взгляд и повторяющий часть объяснения заново, рискует запутает других учеников, ибо теряется последовательность изложения логических выводов. Сильному ученику станет скучно и он, скорее всего, потеряет концентрацию.

Неравномерность скорости восприятия информации (даже в классе с приблизительно равным уровнем знаний и способностей) делает аккуратные объяснения тем малоэффективными. Поэтому и здесь индивидуальный репетитор по математике оказывается в более выгодных условиях по сравнению со школьным преподавателем. В тихой и спокойной обстановке при полном контроле за пониманием и вниманием ученика репетитору удается объяснить теорему так, как это не удается сделать в классе.

Какую коррекцию проводит репетитор по математике?

Предлагаю вашему вниманию пример одного из моих объяснений при работе с темой «решение простейших тригонометрических уравнений». Напомню, что подготовка к ЕГЭ по математике включает в себя разбор формул для понимания решений задач типа С1. Что предлагает нам базовый учебник математики А.Н. Колмогорова 10-11 класс? Откроем пункт №9.2, стр.72 (17-е издание). В нем описывается построение формулы корней уравнения вида . Сделан рисунок круга и даны вполне нормальные объяснения формулам для левой и правой точек – концов соответствующей хорды.
где
Далее следует текст (цитирую): Удобно эти решения уравнения записывать не двумя, а одной формулой:
Нетрудно убедиться, что при четных k=2n из формулы (6) находим все решения, записанные формулой (4), а при нечетных k=2n+1 – решения, записываемые формулой (5).

Ну как Вам, понятно? Можно ли считать переход доказанным? Достаточно ли репетитору по математике повторить этот текст на уроке? Думаю, что нет. И вряд ли поможет прямая подстановка выражений 2n и 2n+1, ибо она точного доказательства не даст. Меня всегда возмущала тактика ухода от рассмотрения тонких вопросов. Как только автор с ним сталкивается, он сразу же прибегает к фразе «нетрудно убедиться» или «нетрудно доказать». Давайте разберемся, что именно здесь требуется вообще доказать и какие пояснения репетитору по математике следует предоставить ученику.

Пояснения репетитора к выводу формулы

Лучше строить рассуждения от обратного. Не подставлять 2n и 2n+1, а выделять их в 4-ой и 5-ой формулах. Некоторым ученикам 10 класса репетитор по математике должен объяснить принцип работы самих формул: для каждого целого числа, подставленного вместо буквы n (я использую всегда самые доступные фразы и термины) каждая формула вычисляет соответствующий ему угол. Подставляя в n все целые знания можно вычислить все множество углов (корней уравнения). Естественно, что запись формул может быть совершенно произвольной, когда множество сохраняется. Если замена на 6-ю формулу не приведет ни к потере, ни к приобретению лишних углов, то эта замена будет корректной. Согласно всем математическим правилам репетитору требуется просто показать совпадение множеств. Как это сделать? Лучше всего подготовить (преобразовать) формулы (4) и (5) к виду, максимально близкому к виду (6).

Понятно, что если вместо коэффициента «единица» перед арксинусом в формуле (4) поставить степень , то это не изменит результата при вычислении каждого угла, поскольку 2n – четно. В пятой формуле репетитор по математике переставляет слагаемое в конец выражения и выносит его за скобку. Это тождественное преобразование, также не меняющее результата при любом n. Затем вместо коэффициента -1 перед вторым арксинусом репетитор вставляет степень . И в этом случае результат сохранится, ибо при любом целом n значение 2n+1 будет нечетным, а при возведении 2n+1 в нечетную степень получим ту же самую «минус единицу».

Итак, репетитор по математике преобразует формулы к следующему виду:

Множители в последнем слагаемом специально переставляются, дабы обеспечить максимально точное расположение выражений 2n и 2n+1 для формулы (6) к моменту из замены на k. Лучше всего их выделить разным цветом.

Далее – самое важное. Текст репетитора (дословно):
Докажем, что каждый угол, вычисляемый по (4) формуле, можно вычислить по формуле (6). Почему? Допустим, в формулу (4) вставилось какое-нибудь целое число, например n=7. Тогда в зеленой рамке получится 14. Если вставить 14 вместо переменной k в формулу (6), то получим те же действия, что и в (4) и, следовательно, совпадут результаты. Очевидность этого совпадения обеспечивает максимально близкий вид 4-ой формулы к 6-ой. Поэтому ни один угол формулы (4) не будет потерян. Аналогичные рассуждения репетитор по математике проводит с формулой (5). Итак, мы гарантируем, что все углы формул (4) и (5) можно вычислить по формуле (6).

И наоборот, любой угол формулы (6) можно получить или по (4) или по (5). Почему? Допустим, что при каком-нибудь значении мы нашли угол по (6). Если k – четно, например k=10, то вставляя в 4-ю формулу n=5, мы вычислим тот же угол. Если k — нечетно, например (и здесь репетитору по математике лучше использовать примеры с конкретными значениями n), то подставляя n=6 в (5) снова увидим повторение набора действий и, как следствие, ответа. И так для любого числа k. Поэтому ни один угол формулы (6) не будет посторонним а оба множества (4)+(5) и (6) совпадут.

Если проводится подготовка к ЕГЭ по математике, то репетитору следует помнить о том, что в С1 наибольшую частоту появления имеют задачи на отбор корней. В этом случае общая формула, о которой идет речь в статье, не используется вовсе. Абитуриент отмечает точки на круге, удовлетворяющие условию SinX=a, отсекает лишнюю и только после этого записывает ответ. Думаю, что в условиях экспресс подготовки к ЕГЭ по математике не стоит тратить время на отработку навыков работы с «минус единицей в степени эн» и ограничиться сериями (4) и (5). Если абитуриент на ЕГЭ запишет ответ в С1 отдельными формулами, вместо общей, то это не приведет к снижению оценки (балла) за все задание.

Колпаков А.Н. Репетитор по математике Москва. Автор подхода.

ankolpakov.ru

Арксинус и решение уравнения sin x = a — методическая рекомендация. Алгебра, 10 класс.

1.	Уравнение	2 вид — интерпретация	лёгкое	1 Б.	Сколько решений имеет уравнение. Проверяется знание теории.
2.	Нахождение значений обратных функций	1 вид — рецептивный	лёгкое	1 Б.	Нахождение значения арксинуса.
3.	Решение уравнения sin x = a	1 вид — рецептивный	лёгкое	1 Б.	Решение уравнения sin x = a.
4.	Нахождение значения выражения с использованием таблицы синусов	2 вид — интерпретация	среднее	2 Б.	Вычислить значение выражения. Выражение содержит арксинус.
5.	Нахождение значения выражения, содержащего арксинус	2 вид — интерпретация	среднее	2 Б.	Используя формулу arcsin (sin x) = x, найти значение выражения.
6.	Решение уравнения	2 вид — интерпретация	среднее	2 Б.	Решение уравнения вида sin bx = a.
7.	Нахождение значения выражения	3 вид — анализ	сложное	3 Б.	Для решения данного задания необходимо применить формулу arcsin(-a) = -arcsin a.
8.	Допустимые значения параметра	3 вид — анализ	сложное	3 Б.	Определить значения параметра, при которых уравнение вида sin x = a имеет решение.
9.	Нахождение значения выражения с использованием формул	3 вид — анализ	сложное	3 Б.	Использование формул для нахождения значения выражения.Формулы вида: sin(arcsin a) = a; arcsin(sin x) = x; arcsin (-a) = — arcsin a.

www.yaklass.ru

”Тригонометрические уравнения. Решение простейших тригонометрических уравнений вида sinx = a. “

Тема: ”Тригонометрические уравнения. Решение простейших тригонометрических уравнений вида sinx = a. “

Эпиграф урока: ”Изучать что-либо и не задумываться над

выученным — абсолютно бесполезно.

Задумываться над чем-либо, не изучив

предварительно предмет раздумий-

опасно.”

Конфуций.

Основные цели: 1) Повторить с учащимися определение и свойства функции

у = sinx и ее график.

2) Сформировать умение решать простейшие

тригонометрические уравнения, а также уравнения,

сводящиеся к простейшим в результате преобразования

тригонометрических выражений.

Оборудование урока:

1. Учебная литература:

1) Алгебра: Учеб. для 9 кл. общеобразоват. учреждений/

Ю.Н.Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И.Нешков, С. Б.Суворова;

Под ред. С. А. Теляковского. – 4-е изд. – М.: Прсвещение,1997. –

272 с.: ил. – ISBN 5-09-007514-X.

2) Галицкий М.Л. и др.

Сборник задач по алгебре для 8-9 классов. Учебное пособие для

учащихся школ и классов с углубленным изучением математики/

М.Л. Галицкий, А.М.Гольдман, Л.И.Звавич. – 3-е изд. – М.: 1996. –

271 с.: ил. —

2. Плакаты.

Ход урока.

1.Вводная беседа (о программе, тетрадях, требованиях).

y

Фронтально проверить домашнее задание.

2.Повторение материала по вопросам.

Q(a; b)

a) Дать определение sinx.

Ч

х

Рис.1

тобы определить понятия тригонометрических функций, рассматривают круг с центром, расположенным в начале координат, и радиусом равным единице (это так называемый тригонометрический круг). Для любого действительного числа х можно провести радиус OQ этого круга, образующий с осью абсцисс угол, радианная мера которого равна числу х (положительным считается направление поворота против хода часовой стрелки).

Пусть конец единичного радиуса OQ, соответствующего углу х,

совпадает с точкой Q(a;b) окружности; тогда координаты (a;b) точки Q называют координатами конца радиуса, соответствующего углу х.

Определение. Число, равное ординате конца единичного радиуса, соответствующего углу х, называется синусом угла х и обозначается sinx.

Поскольку каждому значению величины угла х на тригонометрическом круге соответствует единственная точка Q(a;b) такая, что радиус OQ образует угол х с осью абсцисс, то введенное отображение y = sinx является функцией.

б) Область определения функции. Так как для любого значения угла однозначно определена точка, являющаяся концом соответствующего радиуса, то область определения функции y = sinx – множество действительных чисел. Пишут D(sin) = R.

в) Область значений функции. E(sin) = [-1;1]. Действительно, ордината всякой точки, являющейся концом радиуса тригонометрического круга, может принимать лишь значения на отрезке [-1;1]. С другой стороны, для каждого значения ординаты b из этого отрезка можно указать хотя бы одну точку на окружности, имеющую эту ординату. Следовательно, это значение b будет синусом угла, образованного положительным направлением оси абсцисс и радиусом, соединяющим центр окружности и построенную точку.

г) Периодичность. Наименьший положительный период функции равен 2π . Докажем это. Поскольку центральный угол, опирающийся на дугу, совпадающую со всей окружностью, равен 2π , то точки, соответствующие углам х, (х+2π), (х -2π), изображаются на тригонометрическом круге одной и той же точкой, следовательно, синусы этих углов равны. Это означает, что число T=2π является периодом рассматриваемой функции. Докажем, что это наименьший положительный период. Рассмотрим значение функции y = sinx, равное единице. Оно достигается, только если х = π/2 + 2πn, n є Ζ. Следовательно, никакое число, меньшее 2π не может быть периодом.

M(a,b)

д) Четность или нечетность. Рассмотрим (рис.2) точки M и N, соответствующие на тригонометрическом круге углам х и –х. Поскольку всякий круг симметричен относительно любой прямой, проходящей через его центр (а ось Оx является такой прямой), и равные по величине углы при симметрии переходят в равные углы, то точки M и N симметричны относительно оси Оx, следовательно, их ординаты противоположны. Это означает, что для любого значения х выполнено

sin(-x) = -sinx, т. е. функция y = sinx является нечетной.

Рис.2

N(a;-b)

е) Точки пересечения графика с осями координат. График пересекает ось Ох в точках с абсциссами, определяемыми уравнением sinx=0, т. е.

х = πn, n є Ζ; график пересекает ось Оу в точке с ординатой,

определяемой равенством y = sin0, т.е. у = 0.

ж) Промежутки знакопостоянства функции. Так как ординаты точек, лежащих в верхней полуплоскости, положительны, а точек, расположенных в нижней полуплоскости, отрицательны, то sinx > 0 при

х є (2πk; π + 2πk), k є Ζ; sin x < 0 при х є (π + 2πk; 2π + 2πk ), k є Ζ;

з) Наибольшее и наименьшее значение. Наибольшее значение, равное 1, достигается при х = π/2 + 2πn, n є Ζ ; наименьшее значение, равное -1, достигается при х = — π/2 + 2πn, n є Ζ ;

и) Интервалы возрастания и убывания. Функция не является монотонной на всей области определения; она является монотонной на отрезках: возрастает при х є ( — π /2 +2πk; π /2 + 2πk), k є Ζ; убывает при

х є (π /2+ 2πk; 3π /2 + 2πk ), k є Ζ .

Для исследования функции на возрастание и убывание воспользуемся признаком возрастания и убывания, то есть найдем производную

f ́ (x) = (sinx) ́= cosx. Так как абсциссы точек, лежащих в правой полуплоскости положительны, то cos x >0 при х є ( — π /2 +2πk; π /2 + 2πk),

k є Ζ, следовательно, функция y = sinx будет возрастать на каждом промежутке вида ( — π /2 +2πk; π /2 + 2πk), k є Ζ . Абсциссы точек, лежащих в левой полуплоскости, отрицательны, т.е. cos x < 0 при

х є (π /2+ 2πk; 3π /2 + 2πk ), k є Ζ ; следовательно, на этих промежутках производная отрицательна и функция y = sinx будет убывать на промежутках вида (π /2+ 2πk; 3π /2 + 2πk ), k є Ζ.

к) Асимптоты. График функции асимптот не имеет.

Рис.3

3. Изложение нового материала.

Решение уравнения sin х = а.

Поскольку по определению синусом угла называется ордината точки, лежащей на окружности единичного радиуса, то для решения уравнения

sin x =a надо найти на окружности все точки имеющие ординату a, т.е. лежащие на прямой y = a, см. рис.4

По теореме о взаимном расположении прямой и окружности на плоскости заключаем, что при |a| > 1 прямая и окружность общих точек не имеют, следовательно и рассматриваемое уравнение не имеет решений. Если |a| = 1, то прямая

y = a касается окружности, т.е. имеет с ней ровно одну общую точку C. Наконец, если |a| < 1, то имеются две точки пересечения (они располагаются симметрично относительно оси Oy). Для завершения решения задачи остается заметить, что каждой полученной точке соответствует бесконечное множество точек на числовой прямой, отстоящих друг от друга на расстояние 2π. Все они и являются решениями рассматриваемого уравнения.

Для записи решения уравнения sin x = a вводят понятие арксинуса числа a. Чтобы однозначно определить угол х0 , соответствующий числу а, приходится требовать выполнения дополнительного условия, например, чтобы этот угол принадлежал интервалу [-π /2; π /2].

Определение. Арксинусом числа а, а є [-1;1], называется такое число х0, принадлежащее отрезку [-π /2; π /2], синус которого равен а. Это число обозначается arcsin a.

Из определения следует, что для каждого числа а, |a| ≤ 1, выполнено

sin(arcsin a) = a и −π /2 ≤ arcsin a ≤ π /2;

и наоборот, если выполнены условия

sinx = a и −π /2 ≤ a ≤ π /2 ,

то x = arcsin a.

С помощью введенного понятия удобно записать решение уравнения. По определению, точке пересечения A соответствует угол х1 = arcsin a, см. рис.4. Учитывая периодичность функции y = sin x, получим серию решений

x = arcsin a + 2πk, k є Ζ .

Точка В, как отмечалось, симметрична точке А относительно оси Оу, поэтому ей соответствует угол х2 = π − arcsin a, поэтому можно записать вторую серию решений

x = π − arcsin a + 2πk, k є Ζ .

Других решений рассматриваемое уравнение иметь не может, поскольку противное означало бы, что окружность и прямая пересекаются более чем в двух точках.

Для сокращения записи две полученные серии решений обычно объединяют в одну

x = (-1) arcsin a + πk, k є Ζ .

При четных значениях k эта формула соответствует первой серии решений; при нечетных — второй.

4. Решение нескольких примеров на доске.

Пример 1. Решить уравнение sin(π /6 – 2x) = √3 /2.

□ Имеем π /6 – 2x = ( — 1) arcsin √3 /2 + πk. Так как arcsin √3 /2 = π /3, то

π /6 – 2x = ( — 1) π /3 + πk, откуда х = — ( — 1) π /6 + π /12 + πk /2, или

х = (-1) π /6 + π /12 (6k + 1), k є Ζ.■

Если уравнение не является простейшим, то с помощью тождественных преобразований его нужно свести к одному или нескольким простейшим уравнениям, совокупность которых равносильна заданному.

При решении тригонометрических уравнений часто используются разложение на множители и введение новой переменной (метод подстановки).

Пример 2. Решить уравнение sin x = sin 2x cos 3x.

□ Применив к sin 2x формулу синуса двойного аргумента, получим

sin x = 2 sin x cos x cos 3x; sin x (1 — 2 cos x cos 3x) = 0.

Так как множители в левой части этого уравнения имеют смысл при любых значениях х, то оно равносильно совокупности двух уравнений: sin x = 0 и

1 — 2 cos x cos 3x = 0.

Первому уравнению удовлетворяют значения x = πn, n є Ζ.

Для решения второго уравнения преобразуем произведение косинусов в сумму; имеем 1 – (cos 4x + cos 2x) = 0. Поскольку 1- cos 4x = 2 sin2x, уравнение принимает вид 2sin2x – cos 2x = 0, или 2(1-cos 2x)-cos 2x = 0, откуда получим 2cos2x + cos 2x – 2 = 0— квадратное уравнение относительно cos 2x. Полагая cos 2x = z , имеем 2z + z – 2 = 0. Решив это уравнение, находим z1 = (-1 + √17) /4, z2 = (-1-√17) /4. Так как

|z2| =|(-1-√17) /4| >1, то уравнение cos 2x = z2 не имеет решений. Остается решить уравнение cos 2x = (-1 + √17) /4. Имеем 2х = ± arccos(√17-1) /4 + 2πk, k є Ζ. Итак получаем ответ: x = πn; х = ± (1 /2)arccos(√17 -1) /4 + πk, k,n є Ζ. ■

При решении уравнения методом разложения на множители оно может не быть равносильным полученной совокупности уравнений, так как возможно появление посторонних корней. Чтобы избежать ошибки в ответе, нужно исключить из найденных значений неизвестного те, для которых заданное уравнение не имеет смысла.

Пример 3. Решить уравнение (1-sinx)(tg x-3) = 0.

□ Найдем значения х, удовлетворяющие каждому из уравнений 1-sinx = 0 и tg x-3 = 0; если sinx = 1,то получим

x = π /2 + 2πk, k є Ζ; (1)

если tg x = 3, т. е. tgx = ±√3, то

x = ±π /3 + πn, n є Ζ. (2)

Однако было бы ошибочным считать ответом объединение решений (1) и (2). Дело в том, что исходное уравнение не имеет смысла для значений

x = π /2 +πn (n є Ζ), поэтому первое из предполагаемых решений непригодно и ответом является только второе решение x = ±π /3 + πn, n є Ζ.■

Пример 4. Решить уравнение cosx cos2x cos4x = 1/8.

□ Наиболее быстрый способ решения – умножение правой и левой частей равенства на 8sinx, хотя при этом возможно появление посторонних корней. Чтобы избежать этого, следует учитывать, что в окончательное решение не должны входить значения х, для которых sinx = 0, т.е. значения x = πn (nєΖ), так как они не удовлетворяют исходному уравнению.

После умножения на 8sinx уравнение примет вид

8sinx cosx cos2x cos4x = sinx.

Последовательно трижды применив формулу sin2x = 2 sinx cosx, получим сначала 4sin2x cos2x cos4x = sinx, затем 2sin4x cos4x = sinx и далее

sin8x = sinx, или sin8x — sinx = 0.Преобразуя по формуле

sinx-siny = 2cos(x+y)/2 sin(x-y)/2 разность синусов в произведение, получаем

Пусть sin 7x/2 = 0, тогда 7х/2 = πk (k є Ζ), откуда х = 2πk /7, k є Ζ, причем следует исключить значения х = 2πn (n є Ζ), получающиеся при k = 7n, как посторонние для исходного уравнения. Пусть теперь cos 9x/2 = 0;

тогда 9х/2 = π /2 + πm (m є Ζ), откуда х = π (2m +1) /9 (m є Ζ), причем следует исключить значения х = π(2n +1) (n є Ζ), получающиеся при m=9n+4 (nєΖ),как посторонние для исходного уравнения.

Итак, получаем ответ: х = 2πk /7, где целое k ≠ 7n, n є Ζ; х = π (2m + 1) /9, где целое m ≠ 9n + 4, n є Ζ. ■

5. Заключение урока.

1) теоретико-прикладные итоги урока; дифференцированная оценка

уровня ментального опыта учащихся: уровня усвоения ими темы,

компетентности, качества устной и письменной математической речи;

уровня проявленного творчества; уровня самостоятельности и рефлексии; уровня инициативы, познавательного интереса к отдельным методам математического мышления; уровней сотрудничества, интеллектуальной состязательности, стремления к высоким показателям учебно-математической деятельности и др.;

2) объявление аргументированных отметок, поурочного балла;

3) сбор тетрадей с домашней работой на выборочную или сплошную

проверку.

Спасибо за урок!

infourok.ru