Подготовка школьников к ЕГЭ и ОГЭ в учебном центре «Резольвента» (Справочник по математике — Алгебра

Степенные функции

      Определение 1. Степенной функцией называют функцию

y = x ^p ,

где   p   – любое действительное число, отличное от нуля.

     С понятиями степени с рациональным показателем и степени с иррациональным показателем можно ознакомиться в разделе нашего справочника «Степень с рациональным показателем».

      Графики степенных функций при различных значениях   p   представлены в следующей таблице.

Графики степенных функций

Показательные функции

      Определение 2. Показательной функцией называют функцию

y = a ^x ,

где   a   – любое положительное число, отличное от   1 .

     С понятиями степени с рациональным показателем и степени с иррациональным показателем можно ознакомиться в разделе нашего справочника «Степень с рациональным показателем».

      Графики показательных функций при различных значениях   a   представлены в следующей таблице.

Графики показательных функций

Логарифмические функции

      Определение 3. Логарифмической функцией называют функцию

y = log _a x ,

где   a   – любое положительное число, отличное от   1 .

     С определением и свойствами логарифмов можно ознакомиться в разделе нашего справочника «Логарифмы».

      Графики логарифмических функций при различных значениях   a   представлены в следующей таблице.

Графики логарифмических функций

y = ln x
y = lg x
y = log 2x

      На нашем сайте можно также ознакомиться с разработанными преподавателями учебного центра «Резольвента» учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.

Приглашаем школьников (можно вместе с родителями) на бесплатное тестирование по математике, позволяющее выяснить, какие разделы математики и навыки в решении задач являются для ученика «проблемными». Запись по телефону (495) 509-28-10

      Для школьников, желающих хорошо подготовиться и сдать ЕГЭ или ОГЭ по математике или русскому языку на высокий балл, учебный центр «Резольвента» проводит

      У нас также для школьников организованы

МОСКВА, СВАО, Учебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

www.resolventa.ru

Степенные функции, их свойства и графики. Степенные функции с рациональным показателем

Напомним свойства и графики степенных функций с целым отрицательным показателем.

При четных n, :

Пример функции:

Все графики таких функций проходят через две фиксированные точки: (1;1), (-1;1). Особенность функций данного вида – их четность, графики симметричны относительно оси ОУ.

Рис. 1. График функции

При нечетных n, :

Пример функции:

Все графики таких функций проходят через две фиксированные точки: (1;1), (-1;-1). Особенность функций данного вида – их нечетность, графики симметричны относительно начала координат.

 

Рис. 2. График функции

Напомним основное определение.

Степенью неотрицательного числа а с рациональным положительным показателем  называется число .

Степенью положительного числа а с рациональным отрицательным показателем  называется число .

Для  выполняется равенство:

Например: ;  – выражение не существует по определению степени с отрицательным рациональным показателем; сущест

interneturok.ru

Степенные функции y=xn и y=x1/n, n∈Z. Свойства, графики. Квадратичная функция. Свойства степеней. Свойства арифметических корней. Формулы сокращенного умножения. Примеры значения степенных функций.

Техническая информация тут Перевод единиц измерения величин Таблицы числовых значений Алфавиты, номиналы, единицы Математический справочник тут Физический справочник Химический справочник Материалы Рабочие среды Оборудование Инженерное ремесло Инженерные системы Технологии и чертежи Личная жизнь инженеров Калькуляторы Поиск на сайте DPVAПоставщики оборудованияПолезные ссылкиО проектеОбратная связьОтветы на вопросы.Оглавление

Адрес этой страницы (вложенность) в справочнике dpva.ru:  главная страница  / / Техническая информация / / Математический справочник / / Математика для самых маленьких. Шпаргалки. Детский сад, Школа.  / / Степенные функции y=xn и y=x1/n, n∈Z. Свойства, графики. Квадратичная функция. Свойства степеней. Свойства арифметических корней. Формулы сокращенного умножения. Примеры значения степенных функций. Степенные функции y=xn и y=x1/n, n∈Z. Свойства, графики. Квадратичная функция. Свойства степеней. Свойства арифметических корней. Формулы сокращенного умножения. Примеры значения степенных функций. Справочно: Действительные числа: натуральные числа, целые числа, рациональные числа, иррациональные числа. Понятия и обозначения. Примерно 6 или 7-класс (12-13 лет) Свойства функции y=xn Область определения Область значений Четность Промежутки знакопостоянства на которых: y > 0 y < 0 Промежутки монотонности: возрастания убывания Общие точки всех графиков Свойства Область определения Область значений

dpva.ru

Степенная функция, ее свойства и график

Вы знакомы с функциями y=x, y=x², y=x³, y=1/x и т. д. Все эти функции являются частными случаями степенной функции, т. е. функции y=x^p, где p — заданное действительное число.
Свойства и график степенной функции существенно зависит от свойств степени с действительным показателем, и в частности от того, при каких значениях x и p имеет смысл степень x^p. Перейдем к подобному рассмотрению различных случаев в зависимости от
показателя степени p.

1. Показатель p=2n -четное натуральное число.

В этом случае степенная функция y=x²ⁿ, где n — натуральное число, обладает следующими

свойствами:

• область определения — все действительные числа, т. е. множество R;
• множество значений — неотрицательные числа, т. е. y больше или равно 0;
• функция y=x²ⁿ  четная, так как x²ⁿ=(-x)²ⁿ
• функция является убывающей на промежутке x<0 и возрастающей на промежутке x>0.

График функции y=x²ⁿ имеет такой же вид, как например график функции y=x⁴.

        2. Показатель p=2n-1— нечетное натуральное число
В этом случае степенная функция  y=x^2n-1 , где натуральное число, обладает следующими свойствами:

• область определения — множество R;
• множество значений — множество R;
• функция y=x^2n-1 нечетная, так как (-x)^2n-1=x^2n-1;
• функция является возрастающей на всей действительной оси.

График функции y=x^2n-1 имеет такой же вид, как, например, график функции y=x³.

       3.Показатель p=-2n, где n — натуральное число.

В этом случае степенная функция y=x^-2n=1/x²ⁿобладает следующими свойствами:

• область определения — множество R, кроме x=0;
• множество значений — положительные числа y>0;
• функция  y
  =1/x²ⁿ четная, так как 1/(-x)²ⁿ=1/x²ⁿ;
• функция является возрастающей на промежутке x<0 и убывающей на промежутке x>0.

График функции y=1/x²ⁿ имеет такой же вид, как, например, график функции y=1/x².
       4.Показатель p=-(2n-1), где n — натуральное число.
В этом случае степенная функция y=x^-(2n-1) обладает следующими свойствами:

• область определения — множество R, кроме x=0;
• множество значений — множество R, кроме y=0;
• функция y=x^-(2n-1) нечетная, так как (-x)^-(2n-1) =-x^-(2n-1);
• функция является убывающей на промежутках x<0 и x>0.

График функции y=x^-(2n-1) имеет такой же вид, как, например, график функции y=1/x³ .

matematika-10.blogspot.com

Степенная функция свойства и график. Свойства степенной функции. График степенной функции

Степенная функция

Что такое степенная функция?

Степенная функция

Функция y = xⁿ называется степенной.

Показатель степени n принадлежит множеству действительных чисел.

В формуле y = xⁿ аргументом или независимой переменной является икс, а игрек есть функция или зависимая переменная.

График степенной функции

График степенной функции при том, что n натуральное и n больше или равно двум называется параболой n-й степени. Если n четное, то функция y = xⁿ является четной, её график симметричен относительно оси ординат. Чем больше четное n, тем круче поднимаются вверх ветви параболы:

Степенная функция с целым отрицательным показателем y = x

-n, где n четное и больше или равно двум, является четной, её график симметричен относительно оси ординат. Пример для y = x^-2

Другой пример для y = x^-4:

Если n нечетное и n больше или равно трем, то функция y = xⁿ является нечетной, её график симметричен относительно начала координат. Чем больше нечетное n, тем круче поднимаются вверх ветви параболы:

Степенная функция с целым отрицательным показателем y = x^-n, где n нечетное и больше или равно трем, является нечетной, её график симметричен относительно начала координат. Пример для y = x^-3:

График функции y = xⁿ построить вы можете сами прямо сейчас с помощью построителя графиков. Выберете в нём вид функции «Степенная: y = k * xⁿ + b», укажите нужный показатель степени n и нажмите кнопку «Построить график».

www.sbp-program.ru

Степенная функция.

Степенная функция задается формулой вида .

Рассмотрим вид графиков степенной функции и свойства степенной функции в зависимости от значения показателя степени.

Начнем со степенной функции с целым показателем a. В этом случае вид графиков степенных функций и свойства функций зависят от четности или нечетности показателя степени, а также от его знака. Поэтому сначала рассмотрим степенные функции  при нечетных положительных значениях показателя a, далее — при четных положительных, далее — при нечетных отрицательных показателях степени, и, наконец, при четных отрицательных a.

Свойства степенных функций с дробными и иррациональными показателями (как и вид графиков таких степенных функций) зависят от значения показателя a. Их будем рассматривать, во-первых, при 

a от нуля до единицы, во-вторых, при a больших единицы, в-третьих, при a от минус единицы до нуля, в-четвертых, при a меньших минус единицы.

В заключении этого пункта для полноты картины опишем степенную функцию с нулевым показателем.

Степенная функция с нечетным положительным показателем.

Рассмотрим степенную функцию  при нечетном положительном показателе степени, то есть, при а=1,3,5,….

На рисунке ниже приведены графики степенных фнукций  – черная линия,  – синяя линия,  – красная линия,  – зеленая линия. При а=1 имеем линейную функцию y=x.

Свойства степенной функции с нечетным положительным показателем.

• Область определения: .

• Область значений: .

• Функция нечетная, так как .

• Функция возрастает при .

• Функция выпуклая при  и вогнутая при  (кроме линейной функции).

• Точка (0;0) является точкой перегиба (кроме линейной функции).

• Асимптот нет.

• Функция проходит через точки (-1;-1), (0;0), (1;1).

Степенная функция с четным положительным показателем.

Рассмотрим степенную функцию  с четным положительным показателем степени, то есть, при а=2,4,6,….

В качестве примера приведем графики степенных функций  – черная линия,  – синяя линия,  – красная линия. При а=2 имеем квадратичную функцию, графиком которой является квадратичная парабола.

Свойства степенной функции с четным положительным показателем.

• Область определения: .

• Область значений: .

• Функция четная, так как .

• Функция возрастает при , убывает при .

• Функция вогнутая при .

• Точек перегиба нет.

• Асимптот нет.

• Функция проходит через точки (-1;1), (0;0), (1;1).

Степенная функция с нечетным отрицательным показателем.

Посмотрите на графики степенной функции  при нечетных отрицательных значениях показателя степени, то есть, при а=-1,-3,-5,….

На рисунке в качестве примеров показаны графики степенных функций  – черная линия,  – синяя линия,  – красная линия,  – зеленая линия. При а=-1имеем обратную пропорциональность, графиком которой является гипербола.

Свойства степенной функции с нечетным отрицательным показателем.

• Область определения: . При x=0 имеем разрыв второго рода, так как  приа=-1,-3,-5,…. Следовательно, прямая x=0 является вертикальной асимптотой.

• Область значений: .

• Функция нечетная, так как .

• Функция убывает при .

• Функция выпуклая при  и вогнутая при .

• Точек перегиба нет.

• Горизонтальной асимптотой является прямая y = 0, так как при а=-1,-3,-5,….

• Функция проходит через точки (-1;-1), (1;1).

studfiles.net

Методическая разработка по алгебре (10 класс) на тему: таблица -Свойства степенных функций»

Показатель r = 2n – чётное натуральное число у = х2,    у = х4 ,       у = х6,   у = х8,  …                     Функция у=х2n чётная, т.к. (–х)2n = х2n Функция убывает на промежутке Функция возрастает на промежутке

Показатель r = 2n-1   – нечётное натуральное число у = х3,    у = х5,       у = х7,   у = х9,  …                       Функция у=х2n-1 нечётная, т.к. (–х)2n-1 = – х2n-1 Функция возрастает на промежутке График нечётной функции симметричен относительно начала координат – точки О.

Показатель r = – (2n-1), где n – натуральное число у = х-3,    у = х-5 ,       у = х-7,   у = х-9,  …                     Функция у=х-(2n-1) нечётная, т.к. (–х)–(2n-1) = –х–(2n-1 Функция убывает на промежутке Функция убывает на промежутке

Показатель r = – 2n, где n – натуральное число у = х-2,    у = х-4 ,       у = х-6,   у = х-8,  …                     Функция у=х2n чётная, т.к. (–х)-2n = х-2n Функция возрастает на промежутке Функция убывает на промежутке

Показатель r – положительное дробное число, 0 у = х0,3,       у = х0,7,   у = х0,12,                                   Функция возрастает на промежутке

Показатель r – положительное дробное число,     r >1 Функция возрастает на промежутке

Показатель r – отрицательное  дробное  число у = х-1,3,  у = х-0,7,у = х-2,12 Функция убывает на промежутке

nsportal.ru