математические софизмы — Математика — СУЗ

СОФИЗМЫ

Выполнила: преподаватель математики ОБОУ СПО «КМТ» Цупрова Н.Е.

«Людям, которые желают идти  верной дорогой, важно также знать  и об отклонениях.»

                         Аристотель

Софизм   (от греч. — выдумка, уловка, хитрость) – это ложное умозаключение, которое кажется логичным и правильным при первом рассмотрении. Основанием для него является заведомо сознательное нарушение общепринятых представлений и логических тождеств.

История софизмов идет из Древней Греции. Они были тесно связаны с философской деятельностью учителей мудрости, которые за определенную плату учили всех желающих логике, риторике, философии. Основной задачей 

софистов  было научить человека доказывать абсолютно все свои утверждения и достойно выходить из любого интеллектуального спора . Для осуществления подобных идей разрабатывались различные приемы – психологические, логические и риторические. Кроме данных уловок, в арсенале  софистов  была важная, дорогая для них философская идея. Она заключалась в том, что на самом деле, не существует одной объективной истины, т. е., сколько людей, столько и истин.

Идею  софистов  не поддерживал греческий философ Сократ. Согласно его утверждениям, объективная истина существует, но неизвестно какая точно. Соответственно, задача человека – искать ее, единственную для всех.  Спор между Сократом и софистами  начался приблизительно в V в. до н. э. и продолжается до сегодняшнего дня.

Классификация софизмов

Классифицируются софизмы следующим образом:

Алгебраические софизмы  – ошибки в числовых выражениях и уравнениях, скрытые намеренно;

Арифметические софизмы  – выражения чисел, имеющие ошибку, незаметную с первого взгляда;

Геометрические – умозаключение, заведомо неправильное, которое касается геометрических фигур и действий над ними;

Другие .

Кроме математических, существует множество других видов софизмов: терминологические, психологические, логические. Абсурдность таких рассуждений гораздо проще понять и разоблачить. Некоторые утверждения выглядят несерьезными и наивными, лишенными смысла и цели, недосказанными.

Примеры софизмов

Приведем пример простого математического софизма :

5 и 3 – два разных числа, 3 и 5 равно 8, значит, 8 является двумя разными числами. На первый взгляд рассуждение правильное, но в нем смешаны нетождественные вещи: первая часть рассуждения – это перечисление чисел, вторая – операция сложения. Между первым и вторым знак равенства поставить нельзя, а значит, это является нарушением закона тождества.

Софизмы из древности

«Лгун». Есть вероятность, что лгун сознается в том, что он обманщик. Значит, он скажет правду. Тот, кто говорит правду, лгуном не является. Значит, лгун – совсем не лгун.

А вот пример современного софизма

«Ссуда». Акционерное общество, которое получило ссуду у государства, уже ничего ему не должно, потому что стало другим. В правлении не осталось никого, кто просил выдать ссуду.

«Пять равно шести»

 

    Возьмем тождество 35+10-45=42+12-54.

В каждой части этого тождества вынесем за скобки общий множитель: 

5·(7+2-9)=6·(7+2-9).

Теперь, разделив обе части полученного равенства на их общий множитель (7+2-9), получим, что 

5=6 . Где ошибка?

    Ошибка допущена при делении верного равенства 5·(7+2-9)=6·(7+2-9) на число 7+2-9, равное нулю. Этого нельзя делать, так как любое равенство можно делить только на число, отличное от нуля.

» 4 р. = 40 000 к.» 

   

Возьмем верное равенство: 2 р. = 200 к. и возведем его по частям в квадрат. Мы получим: 4 р. = 40 000 к. В чем ошибка?

    Здесь надо вспомнить, что возведение в квадрат денег не имеет смысла. В квадрат возводятся числа, а не величины.

 

Софизм

 

2

2

Примером более тонкого  математического софизма  

  служит следующее «алгебраическое» доказательство того,

что любое число а равно меньшему числу b.  Начнем с равенства  

  а=b+с                                                                                                                    

Умножив обе его части на (a — b), получим  а² — аb = аb + аc — b² — bс. Перенесем ас в левую часть:  а² — аb — аc = аb — b² — bс  и разложим на множители:  а(а — b — c) = b(а — b — c). Разделив обе части равенства на (а — b — c), найдем  а = b,   что и требовалось доказать.

 

-с, следовательно, должно быть –ас, т.е. отрицательное число больше положительного.  Где ошибка??? Данное свойство пропорции может оказаться неверным, если некоторые члены пропорции отрицательны.  «

2. «Отрицательное число больше положительного». Возьмем два положительных числа а и с. Сравним два отношения: а/-c и -а/c Они равны, так как каждое из них равно –(а/с). Можно составить пропорцию: a/-c=-a/c Но если в пропорции предыдущий член первого отношения больше последующего, то предыдущий член второго отношения также больше своего последующего. В нашем случае а-с, следовательно, должно быть –ас, т.е. отрицательное число больше положительного.  Где ошибка??? Данное свойство пропорции может оказаться неверным, если некоторые члены пропорции отрицательны. 

Много неприятностей подстерегает того, кто неосторожно обращается с мнимой единицей  i  (квадратным корнем из -1). Об этом свидетельствует хотя бы следующее удивительное «доказательство» равенства 1 = -1:

1. «Два неодинаковых натуральных числа равны между собой» решим систему двух уравнений:

х+2у=6, (1) у=4- х/2 (2)

Сделаем это подстановкой у из 2го уравнения в 1, получаем х+8-х=6, откуда 8=6 Где же ошибка??? Уравнение (2) можно записать как х+2у=8, так что исходная система за-пишется в виде:

Х+2у=6, Х+2у=8

В этой системе уравнений коэффициенты при переменных одинаковы, а правые части не равны между собой, из этого следует, что система несов-местна, т.е. не имеет ни одного решения. Графически это означает, что прямые у=3-х/2 и у=4-х/2 параллельны и не совпадают. Перед тем, Как решать систему линейных уравнений, полезно проанализировать, имеет ли система единственное решение, бесконечно много решений или не имеет решений вообще. 

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ СОФИЗМЫ Геометрические софизмы – это умозаключения или рассуждения, обосновывающие какую-нибудь заведомую нелепость, абсурд или парадоксальное утверждение, связанное с геометрическими фигурами и действиями над ними.  1 . « Спичка вдвое длиннее телеграфного столба» Пусть, а дм- длина спички и b дм — длина столба. Разность между b и a обозначим через c . Имеем b — a = c, b = a + c. Перемножаем два эти равенства по частям, находим: b2 — ab = ca + c2. Вычтем из обеих частей bc. Получим: b2- ab — bc = ca + c2 — bc, или b(b — a — c) = — c(b — a — c), откуда b = — c, но c = b — a, поэтому b = a — b, или a = 2b.  Где ошибка???  В выражении b(b-a-c )= -c(b-a-c) производится деление на (b-a-c), а этого делать нельзя, так как b-a-c=0.Значит, спичка не может быть вдвое длиннее телеграфного столба. 

Софизм

  В планиметрии большая часть ошибочных доказательств связана с использованием неправильных чертежей. Рассмотрим, например, удивительное «доказательство» того, что площадь лицевой стороны многоугольника, вырезанного из бумаги, отличается от площади оборотной стороны того же многоугольника. Это «доказательство» придумано врачом-психиатром Л. Восбургом Лионсом, в нем используется один любопытный принцип, открытый П. Керри.  Прежде всего начертим на листке бумаги в клетку треугольник, площадь которого равна 60 клеткам (рис. 82), и разрежем его вдоль прямых, показанных на верхнем рисунке. Перевернув части треугольника на другую сторону и составив из них треугольник, изображенный на рис. 82 в середине, мы обнаружим, что в центре нового треугольника появилась дырка площадью в 2 клетки. Иначе говоря, суммарная площадь частей исходного треугольника при переворачивании уменьшилась до 58 клеток! Перевернув еще раз (лицевой стороной вверх) лишь три части исходного треугольника, мы сможем составить из всех шести частей фигуру, изображенную на рис. 82 внизу. Ее площадь равна 59 клеткам. Что-то здесь не так, это ясно, но что именно?

  Софизм .

  Один из наиболее впечатляющих парадоксов топологии заключается в том, что тор (поверхность  бублика), если его поверхность растягивать (не разрывая при этом), можно вывернуть наизнанку  через любую сколь угодно малую дырочку. Никакой проблемы здесь нет. Но уж если тор  действительно можно вывернуть наизнанку, то следует  обратить внимание и еще на один, пожалуй, даже более замечательный факт.  Если тор вывернуть наизнанку, то кажется, что кольца, нарисованные на его поверхности, расцепляются.   На наружной стороне тора проведем меридиан (рис, вверху). На внутренней стороне того же тора проведем параллель. Обе эти окружности, очевидно, сцеплены между собой. Вывернем теперь тор наизнанку через дырочку в его поверхности. Как видно из нижнего рисунка, первая окружность перейдет с наружной поверхности тора внутрь, а вторая — наружу, и обе окружности окажутся расцепленными! Очевидно, что это нарушает фундаментальный топологический закон, который гласит: разделить две сцепленные замкнутые кривые можно, лишь разорвав одну из кривых и протащив через место разрыва вторую.

«Полупустое и полуполное»

Полупустое есть то же, что и полуполное. Если равны половины, значит, равны и целые. Следовательно, пустое есть то же, что и полное.

«Не знаешь то, что знаешь»

— Знаешь ли ты то, о чём я хочу тебя спросить?

— Нет.

— Знаешь ли ты, что добродетель есть добро?

— Знаю.

— Об этом я и хотел тебя спросить. А ты, выходит, не знаешь то, что знаешь.

«Лекарства»

Лекарство, принимаемое больным, есть добро. Чем больше делать добра, тем лучше. Значит, лекарств нужно принимать как можно больше.

«Девушка — не человек»  

Доказательство от противного. Допустим, девушка — человек.

  Девушка — молодая, значит девушка — молодой человек.

  Молодой человек — это парень.

  Противоречие. Значит девушка — не человек.

«Вор»

Вор не желает приобрести ничего дурного. Приобретение хорошего есть дело хорошее. Следовательно, вор желает хорошего.

«Рогатый»

Есть ли у тебя то, что ты не терял? Конечно есть. Ты рога не терял, значит они у тебя есть.

«Куча»

Одна песчинка не есть куча песка. Если n песчинок не есть куча песка, то и n+1 песчинка — тоже не куча. Следовательно, никакое число песчинок не образует кучу песка.

«   Глаза»

«Для того чтобы видеть, вовсе необязательно иметь глаза,

  ведь без правого глаза мы видим,

  без левого тоже видим;

  кроме правого и левого, других глаз у нас нет; поэтому ясно, что глаза не являются необходимыми для зрения».

«Лгун». Есть вероятность, что лгун сознается в том, что он обманщик. Значит, он скажет правду. Тот, кто говорит правду, лгуном не является. Значит, лгун – совсем не лгун.

А вот пример современного софизма

«Ссуда». Акционерное общество, которое получило ссуду у государства, уже ничего ему не должно, потому что стало другим. В правлении не осталось никого, кто просил выдать ссуду.

multiurok.ru

Математические софизмы

скачать

МОУ «Козловская общеобразовательная школа №3»

Реферат

на тему:

«Математические софизмы»

Выполнила: ученица 9в класса

Кирбитова Полина

Руководитель: Полозова Ольга

Георгиевна

2009 г

ВВЕДЕНИЕ.
В математических вопросах нельзя пренебрегать даже с самыми мелкими ошибками.

И. Ньютон

Наверняка, каждый человек хоть раз в жизни слышал подобную фразу: «Дважды два равно пяти» или хотя бы: «Два равно трем». На самом деле, таких примеров можно привести очень много, но что все они обозначают? Кто их выдумал? Имеют ли они какое-нибудь логическое объяснение или же это лишь вымысел???

Именно эти вопросы я хочу рассмотреть в своей работе, название которой — математические софизмы. Неслучайно я выбрала именно математические софизмы (хотя бывают и логические, и словесные). Они, как мне кажется, более интересны, имеют четкое логическое объяснение, кроме того, с математическими софизмами мы встречаемся намного чаще, чем с обычными. Само понятие математических софизмов предполагает несколько видов софизмов, ведь в математические можно включить и алгебраические, и геометрические, и простейшие арифметические.

Метод решения хорош, если с самого начала мы можем предвидеть — и далее подтвердить это, — что, следуя этому методу, мы достигнем цели.

Г. Лейбниц

«Понятие софизма. Исторические сведения»

Понятие софизма.

Софизм — (от греческого sophisma – уловка, ухищрение, выдумка, головоломка), умозаключение или рассуждение, обосновывающее какую-нибудь заведомую нелепость, абсурд или парадоксальное утверждение, противоречащее общепринятым представлениям. Каким бы ни был софизм, он всегда содержит одну или несколько замаскированных ошибок.

Что же такое математический софизм? Математический софизм — удивительное утверждение, в доказательстве которого кроются незаметные, а подчас и довольно тонкие ошибки. История математики полна неожиданных и интересных софизмов, разрешение которых порой служило толчком к новым открытиям. Математические софизмы приучают внимательно и настороженно продвигаться вперед, тщательно следить за точностью формулировок, правильностью записи чертежей, за законностью математических операций. Очень часто понимание ошибок в софизме ведет к пониманию математики в целом, помогает развивать логику и навыки правильного мышления. Если нашел ошибку в софизме, значит, ты ее осознал, а осознание ошибки предупреждает от ее повторения в дальнейших математических рассуждениях. Софизмы не приносят пользы, если их не понимать.

Что касается типичных ошибок в софизмах, то они таковы: запрещенные действия, пренебрежение условиями теорем, формул и правил, ошибочный чертеж, опора на ошибочные умозаключения. Нередко, ошибки, допущенные в софизме, настолько умело скрыты, что даже опытный математик не сразу их выявит. Именно в этом и проявляется связь математики и философии в софизмах. На самом деле, софизм- гибрид не только математики и философии, но и логики с риторикой. Основные создатели софизмов – древнегреческие ученые-философы, но тем не менее, они создавали математические софизмы, основываясь на элементарных аксиомах, что еще раз подтверждает связь математики и философии в софизмах. Кроме того, очень важно правильно преподнести софизм, так, чтобы докладчику поверили, а значит, необходимо владеть даром красноречия и убеждения. Группа древнегреческих ученых, начавшая заниматься софизмами как отдельным математическим явлением, назвала себя софистами.
История софизмов
В истории развития математики софизмы играли существенную роль:

1) Они способствовали повышению строгости математических рассуждений и содействовали более глубокому уяснению понятий и методов математики.

2) Роль софизмов в развитии математики сходна с той ролью, какую играют непреднамеренные ошибки в математических исследованиях, допускаемые даже выдающимися математиками.

3) Именно уяснение ошибок в математических рассуждениях часто содействовало развитию математики.

Чем полезны софизмы и что они дают?
Разбор софизмов прежде всего развивает логическое мышление, то есть прививает навыки правильного мышления. Обнаружить ошибку – это значит осознать её, а осознание ошибки предупреждает от повторения её в других математических рассуждениях. Что особенно важно, разбор софизмов помогает сознательному усвоению изучаемого материала, развивает наблюдательность, вдумчивость и критическое отношение к тому, что изучается. Математические софизмы приучают внимательно и настороженно продвигаться вперёд, тщательно следить за точностью формулировок, правильностью записей и чертежей, за допустимостью обобщений. Всё это нужно и важно.

Наконец, разбор софизмов увлекателен. Чем труднее софизм, тем большее удовлетворение доставляет его анализ.

«Математические софизмы»

Разбор и решение любого рода математических задач, а в особенности нестандартных, помогает развивать смекалку и логику. Математические софизмы относятся именно к таким задачам. В этом разделе работы я рассмотрю два типа математических софизмов: алгебраические и геометрические.

Алгебраические софизмы.

1. 1 р. = 10000 к.

Возьмём верное равенство:

1 р. = 100 к.

Возведём его по частям в квадрат.

Мы получим: 1 р. = 10 000 к.

Вопрос:

В чём ошибка?

Ответ:

Возведение в квадрат величин не имеет смысла. В квадрат возводятся только числа.

2. 5 = 6

Попытаемся доказать, что 5 = 6. С этой целью возьмём числовое тождество:

35 + 10 – 45 = 42 + 12 – 54.

Вынесем общие множители левой и правой частей за скобки. Получим:

5 (7 + 2 – 9) = 6 (7 + 2 – 9).

Разделим обе части этого равенства на общий множитель (заключённый в скобки).

Получаем 5 = 6.

Вопрос:

В чём ошибка?

Ответ:

Общий множитель (7 + 2 – 9) равен 0, а делить на 0 нельзя.

3. 4 = 8

4. 2 * 2 = 5

Имеем числовое равенство (верное): 4 : 4 = 5 : 5.

Вынесем за скобки в каждой части его общий множитель.

Получим: 4 (1 : 1) = 5 (1 : 1).

Числа в скобках равны, поэтому 4 = 5, или 2 · 2 = 5.

Вопрос:

Где здесь ошибка?

Ответ:

Ошибка допущена в вынесении общего множителя за скобки в левой и правой частях тождества 4 : 4 = 5 : 5.

5. 
   5 = 1
   

Из чисел 5 и 1 по отдельности вычтем одно и то же число 3.

Получим числа 2 и – 2.

При возведении в квадрат этих чисел получаются равные числа

4 И 4. Значит, должны быть равны и исходные числа 5 и 1.

Вопрос:

В чём ошибка?

Ответ:

Из равенства квадратов двух чисел не следует, что сами эти числа равны.

6. 4 = 5

Имеем числовое равенство (верное):

16 – 36 = 25 – 45; 16 – 36 + 20,25 = 25 – 45 + 20,25;

(4 – 4,5)2 = (5 – 4,5)2; 4 – 4,5 = 5 – 4,5;

4 = 5.

Вопрос:

В чём ошибка?

Ответ:

(4 – 4,5)2 = (5 – 4,5)2 ↔ |4 – 4,5| = |5 – 4,5|.

7. Любое число равно его половине.

Возьмём два равных числа a и b, a = b. Обе части этого равенства умножим на a и затем вычтем из произведений по b2. Получим:

a2 – b2 = ab – b2, или (a + b) (a – b) = b (a – b).

Отсюда a + b = b, или a + a = a, так как b = a.

Значит, 2a = a, a = .

Вопрос:

В чём ошибка?

Ответ:

Нельзя делить на (a – b), так как (a – b) = 0.

8. Расстояние от Земли до Солнца равно толщине волоска.

Пусть a (м) – расстояние от Земли до Солнца, а b (м) – толщина волоска. Среднее арифметическое их обозначим через v. Имеем:

a + b = 2v, a = 2v – b, a – 2v = – b. Перемножив по частям два последних равенства, получаем:

a2 – 2av = b2 – 2bv. Прибавим к каждой части v2. Получим:

a2 – 2av + v2 = b2 – 2bv + v2, или (a – v)2 = (b – v)2, т.е.

(a – v) = (b – v), и, значит, a = b.

Вопрос:

Где здесь ошибка?

Ответ:

Ошибка как в примере №6.

9. Любое число = 0.

Каково бы ни было число a, верны равенства:

(+a)2 = a2 и ( – a )2 = a2. Следовательно, (+a)2 = ( – a )2, а значит,

+a = – a, или 2a = 0, и поэтому a = 0.

Вопрос:

В чём ошибка?

Ответ:

Ошибка как в примере №6.

10. Из двух неравных чисел первое всегда больше второго.

Пусть a и b – произвольные числа и a ≠ b. Имеем:

(a – b)2 > 0, т.е. a2 – 2ab – b2 > 0, или a2 + b2 > 2ab.

К обеим частям этого неравенства прибавим – 2b2. Получим:

a2 – b2 > 2ab – 2b2, или (a + b) (a – b) > 2b (a – b).

После деления обеих частей на (a – b) имеем:

a + b > 2b, откуда следует, что a > b.

Вопрос:

Где допущена ошибка?

Ответ (нажмите «Enter»):

При делении обеих частей неравенства (a + b) (a – b) > 2b (a – b)

на (a – b) знак неравенства может измениться на противоположный (если a – b .

Геометрические софизмы.

1. Загадочное исчезновение.

У нас есть произвольный прямоугольник, на котором начерчено 13 одинаковых линий на равном расстоянии друг от друга. Теперь «разрежем» прямоугольник прямой MN, проходящей через верхний конец первой и нижний конец последней линии. Сдвигаем обе половины вдоль по этой линии и замечаем, что линий вместо 13 стало 12. Одна линия исчезла бесследно.

Вопрос:

Куда исчезла 13-я линия?

Ответ:

13-я линия удлинила каждую из оставшихся на 1/12 своей длины .

2. Земля и апельсин

Вообразим, что земной шар обтянут по экватору обручем и что подобным же образом обтянут и апельсин по его большому кругу. Далее вообразим, что окружность каждого обруча удлинилась на 1м. Тогда обручи отстанут от поверхности тел и образуют некоторый зазор.

Вопрос:

Где зазор будет больше: у апельсина или у Земли?

Ответ:

Пусть длина окружности земного шара = C, а апельсина с метрам. Тогда радиус Земли R = C/2p и радиус апельсина r = c/2 p. После прибавки к радиусам 1 метра окружность обруча у Земли будет C + 1, а у апельсина c + 1. Радиусы их соответственно будут: (C + 1)/2p и (c + 1)/2 p. Если из новых радиусов вычтем прежние, то получим в обоих случаях одно и то же.

(C + 1)/2p — C/2p = 1/2p — для Земли,

(c + 1)/2p — c/2p = 1/2p — для апельсина

Итак, у Земли и у апельсина получается один и тот же зазор

в 1/2p метра (примерно 16 см)

3. Искусная починка

В дне деревянного судна во время плавания случилась прямоугольная пробоина в 13 см длины и 5 см ширины, т.е. площадь пробоины = 65 см2. Судовой плотник взял квадратную дощечку со стороной квадрата 8 см (т.е. площадь = 64 см2), разрезал её прямыми линиями на четыре части A, B, C, D так, как показано на рисунке 2, а затем сложил их так, что получился прямоугольник, как раз соответствующий пробоине, см. рисунок 3. Этим прямоугольником он и заделал пробоину. Вышло, что плотник сумел квадрат в 64 см2 обратить в прямоугольник с площадью 65 см2.

Вопрос:

Как такое могло получиться?

Ответ:

Легко видеть, что получившиеся при разрезании квадрата треугольники A и B равны между собой. Также равны и трапеции C, D. Меньшее основание трапеций и меньший катет треугольников равны 3 см и поэтому должны совпасть при совмещении треугольника A с трапецией C и треугольника B с трапецией D. В чём же секрет? Дело в том, что точки G, H, E не лежат на одной прямой, tg Ð EHK = 8/3 , а tg Ð HGJ = 5/2. Так как 8/3 – 5/2 = 1/6 > 0, то Ð EHK > Ð HGJ. Точно так же линия EFG – ломанная. Площадь полученного прямоугольника действительно равна 65 см2, но в нём имеется щель в виде параллелограмма, площадь которого в точности равна 1 см2. Наибольшая ширина щели равна 5 – 3 – (5·3)/8 = 1/8 см. Таким образом плотнику всё равно придётся замазывать небольшую щель.

4. Два перпендикуляра.

Попытаемся «доказать», что через точку, лежащую вне прямой, к этой прямой можно провести два перпендикуляра. С этой целью возьмём треугольник ABC (рисунок 4). На сторонах AB и BC этого треугольника, как на диаметрах, построим полуокружности. Пусть эти полуокружности пересекаются со стороной AC в точках E и D. Соединим точки E и D прямыми с точкой B. Угол AEB прямой, как вписанный, опирающийся на диаметр; угол BDC также прямой. Следовательно, BE ^ AC и BD ^ AC. Через точку B проходят два перпендикуляра к прямой AC.

Вопрос:

В чём ошибка?

Ответ:

Рассуждения опирались на ошибочный чертёж. В действительности полуокружности пересекаются со стороной AC в одной точке, т.е. BE совпадает с BD.

5. «Новое доказательство» теоремы Пифагора.

Возьмём прямоугольный треугольник с катетами a и b, гипотенузой c и острым углом a, противолежащим катету a.

Имеем: a = c sin a, b = c cos a, откуда a2 = c2 sin2 a, b2 = c2 cos2 a.

Просуммировав по частям эти равенства, получаем:

a2 + b2 = c2 (sin2 a + cos2 a).

Но sin2 a + cos2 a = 1, и поэтому a2 + b2 = c2 .

Вопрос:

В чём ошибка?

Ответ:

Ошибки здесь нет. Но формула sin2 a + cos2 a = 1 сама выводится на основании теоремы Пифагора.

Список литературы:

1. 
   «Аванта +. Математика». – Москва, изд. «Аванта +»,1998.
   
2. 
   «БЭКМ – 2007». – Москва, 2007.
   
3. 
   Игнатьев Е.И. «Математическая смекалка. Занимательные задачи, игры, фокусы, парадоксы». – Москва, изд. «Омега»,1994.
   
4. 
   Нагибин Ф.Ф., Канин Е.С. «Математическая шкатулка». – Москва, изд. «Просвещение»,1988.
   

скачать

nenuda.ru

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ СОФИЗМЫ. ЗАЧЕМ ИХ НУЖНО ИЗУЧАТЬ?

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ СОФИЗМЫ. ЗАЧЕМ ИХ НУЖНО ИЗУЧАТЬ?

Новикова А.С. 1

---

1МАОУ СШ № 51 г. Липецка

Самсонова О.А. 1

---

1МАОУ СШ№51 г. Липецка

Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке «Файлы работы» в формате PDF

I. Введение

«История ошибок человеческого ума,возможно, так же важна,как исто­рия его движения вперед к истине».

Поль Таннери

Мы страдаем от избытка информации и часто бесполезной. И поневоле приходится задумываться: нужна ли тебе та или иная информация? «Зачем нужно изучать софизмы?» — спросила я учителя математики, кода в сентябре среди предложенных тем исследовательских работ увидела в списке «Математические софизмы». И мне было предложено рассмотреть эту тему именно с этой точки зрения. Так мною была выбрана тема исследовательской работы.

В истории развития математики софизмы играли существенную роль. Они способствовали строгости в математических рассуждениях и содействовали более глубокому уяснению понятий и методов математики. Роль софизмов сходна с той ролью, какую играли непреднамеренные ошибки в математических доказательствах, допускаемые даже выдающимися математиками. Большинство софизмов известно давно, их можно найти в различных книгах, журналах. Некоторые из них передаются из поколения в поколение. Я считаю, что данная тема невероятно актуальна в наше время, ведь применение софизмов на уроках математики, на мой взгляд, могло бы помочь ученикам в получении знаний, вызвать интерес одноклассников к предмету.

Мной была выдвинута гипотеза, состоящая в том, что познакомившись с подробным разбором ошибок в софизмах, учащиеся поймут, что неточные знания формулировок теорем, математических формул, правил и условий, при которых они выполняются, а так же неумение анализировать построение чертежа к геометрической задаче, может привести к получению абсурдных результатов, противоречащих общепринятым нормам.

Целью моего исследования является всесторонний анализ понятия «софизм», выяснение влияния софизмов на развитие логики, привлечение интереса учащихся к данной теме.

Задачами моего исследования являются: — найти, изучить и проанализировать информацию, полученную при изучении софизмов; — разделить на классы все математические софизмы; — привлечь интерес учащихся к данной теме, узнать их мнение; — обобщить полученный материал. Объектом исследования являются математические софизмы. Методы исследования: — изучение источников: энциклопедий, литературы, интернет-сайтов; — классификация и отбор материала; — анализ информации; — наблюдение и сопоставление; — анкетирование и обработка полученных данных;

Занимаясь этой научно-исследовательской работой, я выясню: нужно ли изучать софизмы, а так же помогу учащимся 7-8 классов более подробно познакомить с один из разделов занимательной математики и постичь его тайны.

II. Понятие «софизм»

Софизм — (от греческого sophisma – уловка, ухищрение, выдумка, головоломка), умозаключение или рассуждение, обосновывающее какую-нибудь заведомую нелепость, абсурд или парадоксальное утверждение, противоречащее общепринятым представлениям. Каким бы ни был софизм, он всегда содержит одну или несколько замаскированных ошибок. Аристотель называл софизмом «мнимые доказательства», в которых обоснованность заключения кажущаяся и обязана чисто субъективному впечатлению, вызванному недостаточностью логического или семантического анализа. Убедительность на первый взгляд многих софизмов, их «логичность» обычно связана с хорошо замаскированной ошибкой — семиотической. За счёт метафоричности речи, омонимии или полисемии слов, других нарушений однозначности мысли, приводящих к смешению значений терминов, или же логической подмене основной мысли, доказательства, принятие ложных посылок за истинные, несоблюдение допустимых способов рассуждения (правил логического вывода), использование «неразрешённых» или даже «запрещённых» правил или действий в математических софизмах происходит нарушение правил логики. Вот один из древних софизмов («рогатый»), приписываемый Эвбулиду: «Что ты не терял, то имеешь. Рога ты не терял. Значит, у тебя рога». Здесь маскируется двусмысленность большей посылки. Если она мыслится универсальной: «Всё, что ты не терял…», то вывод логически безупречен, но неинтересен, поскольку очевидно, что большая посылка ложна; если же она мыслится частной, то заключение не следует логически. Последнее, однако, стало известно лишь после того, как Аристотель создал логику.

Что же такое математический софизм? По словам Мартина Гарднера математический софизм — удивительное утверждение, в доказательстве которого кроются незаметные, а подчас и довольно тонкие ошибки. История математики полна неожиданных и интересных софизмов, разрешение которых порой служило толчком к новым открытиям. Математические софизмы приучают внимательно и настороженно продвигаться вперед, тщательно следить за точностью формулировок, правильностью записи чертежей, за законностью математических операций. Очень часто понимание ошибок в софизме ведет к пониманию математики в целом, помогает развивать логику и навыки правильного мышления. Если нашел ошибку в софизме, значит, ты ее осознал, а осознание ошибки предупреждает от ее повторения в дальнейших математических рассуждениях.

Софизм- гибрид не только математики и философии, но и логики с риторикой. Основные создатели софизмов – древнегреческие ученые-философы, но, тем не менее, они создавали математические софизмы, основываясь на элементарных аксиомах, что еще раз подтверждает связь математики и философии в софизмах. Кроме того, очень важно правильно преподнести софизм, так, чтобы докладчику поверили, а значит, необходимо владеть даром красноречия и убеждения. Группа древнегреческих ученых, начавшая заниматься софизмами как отдельным математическим явлением, назвала себя софистами. Об этом подробнее в следующем разделе.

III. История софистики

Софисты (от греч. «софос»– мудрый) – представители интеллектуального течения в общественной и культурной жизни Древней Греции сер. 5–1-й пол. 4 вв. до н.э., платные преподаватели красноречия и различных знаний, считавшихся необходимыми для деятельного и успешного участия в гражданской жизни. Новая ориентация софистического движения по сравнению с досократиками состояла в исключительном интересе к человеку и обществу и почти полному игнорированию натурфилософской проблематики. Основные сочинения софистов до нас не дошли, об их взглядах можно судить главным образом по сочинениям их оппонентов – Платона и Аристотеля. К старшим софистам (2-я пол. 5 в. до н.э.) причисляют Протагора, Горгия, Гиппия, Продика, Антифонта, Крития. К следующему за ними поколению младших относят Ликофрона, Алкидаманта, Фрасимах

Свою главную педагогическую и просветительскую задачу софисты видели в воспитании «добродетели» и «умении хорошо говорить», что подразумевало знакомство с основами истории, права, теоретических дисциплин, т.е. математики и философии. При этом общей чертой их учений был релятивизм, нашедший классическое выражение в положении Протагора «человек – мера всех вещей»: в интерпретации Платона это означало отказ от критериев истинности, абсолютизацию любого частного мнения и оправдание интеллектуального произвола. Упрочению представления об отсутствии абсолютной истины и объективных ценностей способствовал широко применявшийся софистами метод сопоставления противоречивых гражданских норм и религиозных обрядов, господствовавших у различных народов. Важнейшую роль играло противопоставление природы и закона, где природа выполняла функцию элемента объективного и постоянного, а закон, установленный произволом людей, находящихся у власти, – элемента изменчивого и произвольного.

Много внимания софисты уделяли разработке приемов убедительности речи и разработке логики. Протагор сделал первые попытки систематизировать приемы умозаключения. Ликофрон анализировал роль связки «есть» в предложении. Протагор, согласно традиции, положил начало словесным состязаниям, в которых многие софисты прибегали к логическим передержкам и парадоксам, получившим уже в древности название «софизмов»; он же ввел в практику т.н. «двойные речи», когда практиковалось умение говорить «за» и «против» одного и того же тезиса. Горгий и другие софисты развили преподавание ораторского искусства, заложили основы науки о языке. Протагор занимался категориями словоизменения и синтаксисом предложения. Продик разработал основы учения о синонимах. В социально-политической области были сторонниками демократии и высказывали идеи равенства всех людей. Алкидамант заявлял, что «бог сделал всех свободными, природа никого не сделала рабом».

Софисты не были объединены институционально в рамках определенной «школы», их взгляды не отличались единством даже по основным вопросам. В то время как «аноним Ямвлиха» считал законы основой нормального существования людей, Антифонт объявлял государственные установления злом. Ликофрон отводил закону роль гаранта личных прав граждан, а Фрасимах, по Платону, утверждал, что правители везде навязывают гражданам выгодные для себя законы. Тем не менее, консолидация различных мыслителей вокруг определенного комплекса идей позволяет зафиксировать начало, а конец популярности того же комплекса идей позволяет определить завершающий момент истории движения. Вследствие усиления в Афинах консервативного умонастроения после поражения в Пелопоннесской войны, просветительский рационализм софизма потерял ту широкую социальную поддержку, которой пользовался в пору своего расцвета. Дальнейшее развитие многих идей, обсуждавшихся или только намеченных греческой софистикой, происходило в сократических школах, особенно в философских школах Платона и Аристотеля.

В наше время учёные продолжают обращаться к софизмам.

IV. Классификация ошибок.

Софизмы не приносят пользы, если их не понимать. Что касается типичных ошибок в софизмах, то они таковы: запрещенные действия, пренебрежение условиями теорем, формул и правил, ошибочный чертеж, опора на ошибочные умозаключения. Нередко, ошибки, допущенные в софизме, настолько умело скрыты, что даже опытный математик не сразу их выявит. Именно в этом и проявляется связь математики и философии в софизмах.

Учёные, занимающиеся изучением софизмов, делят все ошибки на 3 класса:

1. Логические – основанные на нарушении правил логики.

2. Терминологические – не точное, неясное для понимания или неправильное словоупотребление и построение фразы. Например: «сколько будет трижды два плюс два?» Здесь трудно решить имеется ли в виду (3*2)+2 или 3*(2+2).

3. Психологические.

Логические ошибки

Так как обычно вывод может быть выражен в силлогистической форме, то и всякий софизм может быть сведён к нарушению правил силлогизма. Наиболее типичными источниками логических софизмов являются следующие нарушения правил силлогизма: Вывод с отрицательной меньшей посылкой в первой фигуре: «Все люди суть разумные существа, жители планет не суть люди, следовательно, они не суть разумные существа» Вывод с утвердительными посылками во второй фигуре: «Все, находящие эту женщину невинной, должны быть против наказания её; вы — против наказания её, значит, вы находите её невинной» Вывод с общим заключением в третьей фигуре: «Закон Моисеев запрещал воровство, закон Моисеев потерял свою силу, следовательно, воровство не запрещено» Особенно распространённая ошибка употребления среднего термина в большой и в меньшей посылке не в одинаковом значении: «Все металлы — простые тела, бронза —металл: бронза — простое тело» (здесь в меньшей посылке слово «металл» употреблено не в точном химическом значении слова, обозначая сплав металлов): отсюда в силлогизме получаются четыре термина.

Терминологические ошибки

Грамматические, терминологические и риторические источники софизмов выражаются в неточном или неправильном словоупотреблении и построении фразы.

Существует несколько классов терминологических ошибок:

1. Ошибка гомонимия. Например: реакция, в смысле химическом, биологическом и историческом; доктор это как врач и как учёная степень.

2. Ошибка сложения — когда разделительному термину придается значение собирательного. Все углы треугольника больше 2 π в том смысле, что сумма меньше 2 π.

3. Ошибка разделения, обратная, когда собирательному термину дается значение разделительного: «все углы треугольника равны 2 π» в смысле «каждый угол равен сумме 2 прямых углов».

4. Ошибка ударения, когда подчёркивание повышением голоса в речи и курсивом в письме определенного слова или нескольких слов во фразе искажает её первоначальный смысл.

5. Ошибка выражения, заключающаяся в неправильном или неясном для уразумения смысла построении фразы, например: сколько будет: дважды два плюс пять? Здесь трудно решить имеется ли в виду 2*2+5=9 или 2*(2+5)=14.

Более сложные софизмы проистекают из неправильного построения целого сложного хода доказательств, где логические ошибки являются замаскированными неточностями внешнего выражения.

Психологические ошибки

Психологические причины софизмов бывают троякого рода: интеллектуальные, аффективные и волевые. Во всяком обмене мыслей предполагается взаимодействие между 2 лицами, читателем и автором или лектором и слушателем, или двумя спорящими. Убедительность софизма предполагает два фактора: α — психические свойства одной и β — другой из обменивающихся мыслями сторон. Правдоподобность софизма зависит от ловкости того, кто защищает его, и уступчивости оппонента, а эти свойства зависят от различных особенностей обеих индивидуальностей.

Интеллектуальные причины.

Интеллектуальные причины софизма заключаются в преобладании в уме лица, поддающегося софизму, ассоциаций по смежности над ассоциациями по сходству, в отсутствии развития способности управлять вниманием, активно мыслить, в слабой памяти, непривычке к точному словоупотреблению, бедности фактических знаний по данному предмету, лености в мышлении (ignava ratio). Обратные качества, разумеется, являются наиболее выгодными для лица, защищающего софизм: обозначим первые отрицательные качества через b, вторые соответствующие им положительные через а.

Аффективные причины.

Сюда относятся трусость в мышлении — боязнь опасных практических последствий, вытекающих от принятия известного положения; надежда найти факты, подтверждающие ценные для нас взгляды, побуждающая нас видеть эти факты там, где их нет, любовь и ненависть, прочно ассоциировавшиеся с известными представлениями. Желающий обольстить ум своего соперника софист должен быть не только искусным диалектиком, но и знатоком человеческого сердца, умеющим виртуозно распоряжаться чужими страстями для своих целей.

Волевые причины.

При обмене мнений мы воздействуем не только на ум и чувства собеседника, но и на его волю. Во всякой аргументации (особенно устной) есть элемент волевой — императивный — элемент внушения. Категоричность тона, не допускающего возражения, определенная мимика действуют неотразимым образом на лице, легко поддающихся внушению, особенно на массы, с другой стороны, пассивность слушателя особенно благоприятствует успешности аргументации противника. Логические, грамматические и психологические факторы теснейшим образом связаны между собой.

V. Математические софизмы

В математических софизмах чаще всего используются «запрещенные действия» либо не учитываются условия применимости теорем, формул или правил. Часто понимание людьми ошибок в софизме ведет к пониманию математики в целом, развивает логику и навыки правильного мышления. Поиск ошибки в софизме ведет к ее пониманию и осознанию, а осознав ошибку, человек имеет больше шансов ее не допустить. Также, в истории развития математики софизмы способствовали повышению точности формулировок и более глубокому пониманию понятий математических дисциплин. В этом разделе работы я рассмотрю три типа математических софизмов: алгебраические, геометрические и арифметические.

Алгебраические софизмы

Алгебра — один из больших разделов математики, принадлежащий наряду с арифметикой и геометрией к числу старейших ветвей этой науки. Задачи, а также методы, отличающие её от других отраслей математики, создавались постепенно, начиная с древности. Алгебра возникла под влиянием нужд общественной практики, в результате поисков общих приёмов для решения однотипных арифметических задач. Приёмы эти заключаются обычно в составлении и решении уравнений. Т. е. алгебраические софизмы – намеренно скрытые ошибки в уравнениях и числовых выражениях.

1)«Отрицательное число больше положительного». Возьмем два положительных числа а и с. Сравним два отношения: а/-с и –а/с.

Они равны, так как каждое из них равно – ( а/с ). Можно составить пропорцию: а/-с = –а/с.

Но если в пропорции предыдущий член первого отношения больше последующего, то предыдущий член второго отношения также больше своего последующего. В нашем случае а>– с, следовательно, должно быть –а>с, т. е. отрицательное число больше положительного.

(Ошибка: данное свойство пропорции может оказаться неверным, если некоторые члены пропорции отрицательны).

2) «Всякое положительное число является отрицательным»

Пусть п — положительное число

Очевидно, 2п-1В·В, а вычитая из обеих его частей А·А, получим неравенство А∙В-А·А>В∙В-А·А, которое равносильно следующему:

А(В-А)>(В+А)(В-А). (1)

После деления обеих частей неравенства (1) на В-А получим, что

А>В+А (2),

А прибавив к этому неравенству почленно исходное неравенство А>В, имеем 2А>2В+А, откуда

А>2В

Итак, если А>В, то А>2В. Это означает, к примеру, что из неравенства 6>5 следует, что 6>10.

(Ошибка: здесь совершен неравносильный переход от неравенства (1) к неравенству (2)). Действительно, согласно условию А>В, поэтому В-А

Просмотров работы: 632

school-science.ru

Математические софизмы, парадоксы

МКОУ СОШ им. Х.К. Табухова, с.п. Анзорей

Математические софизмы, парадоксы

Автор проекта :

Кунашева Алина

Ученица 10 «А» класса

Руководитель проекта:

Арахова Марита Барасбиевна

учитель математики

Цель: рассмотреть основные виды математических софизмов и парадоксов, причины их возникновения и восприятие учениками.

Задачи:

• Познакомиться с софизмами и парадоксами
• Изучить историю возникновения и их виды
• Научиться распознавать ошибки в них
• Провести исследование, в ходе которого можно будет определить процент объективности восприятия софизмов и парадоксов учащимися МКОУ СОШ им. Х.К.Табухова.
• Сделать вывод по результатам проведенной работы.

Математические софизмы

Софизм — формально кажущееся правильным, но по существу ложное умозаключение, основанное на неправильном подборе исходных положений

Математический софизм – удивительное утверждение, в доказательстве которого кроются незаметные, а подчас и довольно тонкие ошибки.

Особенно часто в софизмах выполняют «запрещенные» действия или не учитываются условия применимости теорем, формул и правил.

Парадоксы

Парадокс (греч. «пара» — «против», «докса» — «мнение») близок к софизму . Но от него он отличается тем, что это не преднамеренно полученный противоречивый результат.

Парадокс — странное, расходящееся с общепринятым мнением, высказывание, а также мнение, противоречащее (иногда только на первый взгляд) здравому смыслу.

Математический парадокс – высказывание, которое может быть доказано и как истинна, и как ложь.

Математические софизмы

геометрические

алгебраические

арифметические

В своей работе я рассмотрела

много математических софизмов

и сейчас приведу примеры

некоторых из них.

Алгебраические софизмы.

Алгебра — один из больших разделов математики, принадлежащий наряду с арифметикой и геометрией к числу старейших ветвей этой науки. Алгебраические софизмы – намеренно скрытые ошибки в уравнениях и числовых выражениях.

«Два неодинаковых натуральных числа равны между собой»

решим систему двух уравнений

Сделаем это подстановкой у из 2-го уравнения в 1, получаем х+8-х=6, откуда 8=6

Где ошибка

Уравнение (2) можно записать как х+2у=8, так что исходная система запишется в виде:

Х+2у=6, Х+2у=8

В этой системе уравнений коэффициенты при переменных одинаковы, а правые части не равны между собой, из этого следует, что система несовместна, т.е. не имеет ни одного решения. Графически это означает, что прямые

у=3-х/2 и у=4-х/2 параллельны и не совпадают.

Перед тем, как решать систему линейных уравнений, полезно проанализировать, имеет ли система единственное решение, бесконечно много решений или не имеет решений вообще.

« Уравнение x-a=0 не имеет корней»

Дано уравнение x-a=0. Разделив обе части этого уравнения на x-a, получим, что 1=0. Поскольку это равенство неверное, то это означает, что исходное уравнение не имеет корней.

Где ошибка?

Поскольку x=a – корень уравнения, то, разделив на выражение x-a обе его части, мы потеряли этот корень и поэтому получили неверное равенство 1=0.

Арифметика — (греч. arithmetika, от arithmys — число), наука о числах, в первую очередь о натуральных (целых положительных) числах и (рациональных) дробях, и действиях над ними. Так что же такое арифметические софизмы?

Арифметические софизмы – это числовые выражения, имеющие неточность или ошибку, не заметную с первого взгляда.

«Дважды два — пять»

Напишем тождество 4:4=5:5.

Вынесем из каждой части тождества общие

множители за скобки, получаем: 4(1:1)=5(1:1) или

Так как 1:1=1, то сократим и получим

Где ошибка?

Ошибка сделана при вынесении общих множителей 4 из левой части и 5 из правой. Действительно, 4:4=1:1, но 4:4≠4(1:1).

«Пять равно шести»

Возьмем тождество 35+10-45=42+12-54.

В каждой части вынесем за скобки общий множитель:

5(7+2-9)=6(7+2-9).

Теперь, получим, что 5=6.

Где ошибка?

Ошибка допущена при делении верного равенства 5(7+2-9)=6(7+2-9) на число

7+2-9, равное 0. Этого нельзя делать.

Любое равенство можно делить только на число, отличное от 0 .

Геометрические софизмы

Это умозаключения или рассуждения, обосновывающие какую-нибудь заведомую нелепость, абсурд или противоречивое утверждение, связанное с геометрическими фигурами и действиями над ними

Задача о треугольнике

Дан прямоугольный треугольник 13×5 клеток, составленный из 4 частей. После перестановки частей при визуальном сохранении изначальных пропорций появляется дополнительная, не занятая ни одной частью, клетка. Как такое возможно?

• Разгадка простая: первый треугольник немного «вогнут», а второй — слегка выпуклый. В этом можно убедиться, сравнив наклон гипотенузы синего и жёлтого кусочков: у жёлтого наклон = 0.375, а у синего — 0.4. Получается, что общие площади верхнего и нижнего треугольников всё-таки различаются, а разница как раз составляет одну клетку !

ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ ПО ВОСПРИЯТИЮ СОФИЗМОВ И ПАРАДОКСОВ УЧЕНИКАМИ МКОУ СОШ ИМ. Х.К.ТАБУХОВА С.П. АНЗОРЕЙ 1. Сравнение восприятия логических софизмов и парадоксов учениками 8 и 10 классов

В рамках данного исследования ученикам 8 «А» и 10 «А» классов (n=42) были предоставлены идентичные вопросники, включающие 8 вопросов: 1. Знакомо ли Вам понятие «софизм»? (Да/Нет) 2. Знакомо ли Вам понятие «парадокс»? (Да/Нет) 3. Возьмём числовое равенство: 35+10-45=42+12-54. Вынесем общие множители левой и правой частей за скобки. Получим: 5(7+2-9)=6(7+2-9). Разделим обе части этого равенства на общий множитель (заключенный в скобки). Получаем 5=6. Как Вы это объясните? (Ошибки нет/ Допущена ошибка в условии/ Допущена ошибка в решении (указать ошибку)) 4. Дано уравнение x-a=0. Разделив обе части этого уравнения на x-a, получим, что 1=0. Поскольку это равенство неверное, то это означает, что исходное уравнение не имеет корней. Допущена ли здесь ошибка, и если да, то какая? (Ошибки нет/ Допущена ошибка в условии/ Допущена ошибка в решении (указать ошибку))

5. Крокодил украл ребенка; он обещал отцу вернуть ребенка, если отец угадает – вернет ему крокодил ребенка или нет. Что должен сделать крокодил, если отец скажет, что крокодил не вернет ему ребенка? (Вернуть/Не возвращать/Решить невозможно) 6. Одному деревенскому брадобрею приказали «брить всякого, кто сам не бреется, и не брить того, кто сам бреется». Как он должен поступить с самим собой? (Брить/ Не брить/ Решить невозможно) 7. Человек произносит: «Я лгу». Он обманывает или говорит правду? (Говорит правду/ Лжет/ Решить невозможно). 8. Что будет, если Буратино скажет «У меня сейчас вырастет нос»? (Нос вырастет/Не вырастет/Решить невозможно).

Проанализировав ответы на вопросы, мы получили следующие результаты:

1 вопрос: Знакомо ли Вам понятие « софизм » ? (Да/Нет)

Из графика видно, что практически все ученики не знакомы с понятием софизма

2 вопрос : Знакомо ли Вам понятие « парадокс » ? (Да/Нет )

Что касается второго вопроса, то здесь большинство

учащихся ответили утвердительно: больше половины

учеников 8 класса и подавляющее большинство

10-классников слышали о парадоксах.

3 вопрос: Возьмём числовое равенство: 35+10-45=42+12-54.

Вынесем общие множители левой и правой частей за скобки. Получим: 5(7+2-9)=6(7+2-9).

Разделим обе части этого равенства на общий множитель (заключенный в скобки). Получаем 5=6.

Как Вы это объясните?

(Ошибки нет/ Допущена ошибка в условии/ Допущена ошибка в решении (указать ошибку))

В этой задаче на внимательность нужно было найти конкретную

математическую ошибку- 7+2-9=0. На ноль делить нельзя.

С данной задачей справились 19% учеников 8 класса и 72%- 10

класса. При этом 50% восьмиклассников все же нашли наличие

ошибки в решении, но не указали ее точно.

4 вопрос: Дано уравнение x-a=0. Разделив обе части этого уравнения

на x-a, получим, что 1=0. Поскольку это равенство неверное, то это означает,

что исходное уравнение не имеет корней. Допущена ли здесь ошибка, и если да, то какая?

(Ошибки нет/ Допущена ошибка в условии/ Допущена ошибка в решении (указать ошибку))

Ответом данной задачи было: Поскольку x=a – корень уравнения,

то, разделив на выражение x-a обе его части, мы потеряли этот корень и поэтому получили неверное равенство 1=0.

Верно на этот вопрос ответили 22% 8-классников и 67% 10-классников,

при этом наличие ошибки отметили 100% учеников обоих классов, то

есть явление софизма определили все!

5 вопрос: Крокодил украл ребенка; он обещал отцу вернуть ребенка, если отец угадает – вернет ему крокодил ребенка или нет. Что должен сделать крокодил, если отец скажет, что крокодил не вернет ему ребенка? (Вернуть/Не возвращать/Решить невозможно).

Данный вопрос уже относился к понятию «парадокс». Если крокодил не вернет ребенка, то отец угадал, а значит крокодил должен вернуть ребенка. Но если он вернет ребенка, то отец не угадал, а значит крокодил не должен возвращать ребенка. Итак, парадокс налицо: формально рассуждая, крокодил не может ни вернуть, ни оставить его у себя.

Однако, у учеников с этим вопросом возникли сложности: ответы распределились почти поровну.

6 вопрос: Одному деревенскому брадобрею приказали « брить всякого,

кто сам не бреется, и не брить того, кто сам бреется » . Как он должен

поступить с самим собой? (Брить/ Не брить/ Решить невозможно)

Данный вопрос очень похож на предыдущий- такая же парадоксальная ситуация-,

однако, его смогли решить уже большее число учеников – 44 % из 8 класса и 53% из 10 класса.

7 вопрос: Человек произносит: « Я лгу » . Он обманывает или говорит правду?

(Говорит правду/ Лжет/ Решить невозможно).

В этом вопросе ученики обманулись формулировкой « я лгу » и ответили

« лжет » , хотя ответить на данный вопрос невозможно- с одной стороны,

он говорит неправду, т.к. это утверждает. Но это означает, что он утверждает правду, а, следовательно, лжет.

8 вопрос: Что будет, если Буратино скажет: «У меня сейчас вырастет нос»?

(Нос вырастет/Не вырастет/Решить невозможно).

Ответы на последний вопрос полностью повторили ответы на предыдущий-

большинство ответили неправильно.

Таким образом, далеко не все ученики средних и старших классов могут решит

ь математические софизмы и парадоксы.

Заключение

• О математических софизмах и парадоксах можно говорить бесконечно много, как и о математике в целом. Изо дня в день рождаются новые софизмы и парадоксы, некоторые из них останутся в истории, а некоторые просуществуют один день.
• Софистика-это целая наука, а математические софизмы – это лишь часть одного большого течения. Поиск заключенных в софизме ошибок, ясное понимание их причин ведет к осмысленному изучению математики. Обнаружение и анализ ошибки, заключенной в софизме, очень часто оказывается более поучительным, чем просто разбор решений «безошибочных» задач. Эффектная демонстрация «доказательства» явно неверного результата, демонстрация того, к какой нелепице приводит пренебрежение каким-либо математическим правилом, и последующий поиск и разбор ошибки, позволяют понять и «закрепить» математическое правило или утверждение.
• Что касается меня, то некоторые софизмы приходилось разбирать по нескольку раз, чтобы действительно в них разобраться, некоторые же наоборот, казались очень простыми. Исторические сведения о софистике и софистах помогли мне разобраться, откуда же все-таки началась история софизмов.
• Парадоксы – это неожиданные утверждения, противоречащие здравому смыслу или общепризнанным научным теориям. Очень часто их рассматривают как ошибки, хотя в большинстве случаев они таковыми не являются. Обычно парадоксы построены на логически верных заключениях, но их противоречивый результат не является преднамеренным (этим они отличаются от софизмов). Парадоксы известны науке уже более двух тысяч лет. В античные времена были описаны многие парадоксы и для некоторых из них ученые до сих пор не могут найти объяснения и решения. Открываются парадоксы и в наши дни. Обычно подобные открытия сопровождаются кризисами в науке, разрушением старых, проверенных временем теорий и попытками создать новые, которые способны объяснить появившиеся противоречия. Количество существующих парадоксов по-настоящему огромное. Они присутствуют везде – и в повседневной жизни, и в науке. Практически в каждой научной области исследования существуют свои парадоксы.
• Прослеживая историю математики, можно сказать, что во все времена математику спасала какая-нибудь новая идея. Она придавала математике строгость, восстанавливая ее авторитет. Поэтому не стоит бояться парадоксов, ибо они являются двигателями науки.
• Благодаря софизмам и парадоксам можно научиться искать ошибки в рассуждениях других, научится грамотно строить свои рассуждения и логические объяснения.
•  

Спасибо за внимание !

compedu.ru

Персональный сайт — Математические софизмы.

верной дорогой, важно также знать  и об отклонениях.»                                                       Аристотель Софизм — это умышленно ложное умозаключение, которое имеет видимость правильного. Он обязательно содержит одну или несколько замаскированных ошибок. Особенно часто в математических софизмах выполняются «запрещенные»  действия, не учитываются условия применимости формул и правил.       Аристотель называл софизмом «мнимые доказательства», в которых обоснованность заключения кажется верной и обязана чисто субъективному впечатлению, вызванному недостаточностью логического или семантического анализа. Убедительность на первый взгляд многих софизмов, их «логичность» обычно связана с хорошо замаскированной ошибкой — семиотической: за счёт метафоричности речи, омонимии или полисемии слов, амфиболий и пр., нарушающих однозначность мысли и приводящих к смешению значений терминов, или же логической: подмена основной мысли (тезиса) доказательства, принятие ложных посылок за истинные, несоблюдение допустимых способов рассуждения (правил логического вывода), использование «неразрешённых» или даже «запрещённых» правил или действий, например деления на нуль в математических софизмах (Последнюю ошибку можно считать и семиотической, так как она связана с соглашением о «правильно построенных формулах»). Вот один из древних софизмов («рогатый»), приписываемый Эвбулиду: «Что ты не терял, то имеешь. Рога ты не терял. Значит, у тебя рога». Здесь маскируется двусмысленность большей посылки. Если она мыслится универсальной: «Всё, что ты не терял…», то вывод логически безупречен, но неинтересен, поскольку очевидно, что большая посылка ложна; если же она мыслится частной, то заключение не следует логически.        (Википедия)   Найдите ошибку!!!   Софизм 1. 2 кг = 2000г  и  3 кг = 3000г. Перемножу почленно равенства, получу 2∙3 = 2000∙3000, т.е  6кг = 6000000г.    Софизм 2. У одной кошки четыре ноги. У нуля кошек три ноги. Если перевести это предложение с «математического» языка на обычный, то получим «Не существует здоровой трехногой кошки». 1 кошка  –  4 ноги 0 кошек – 3 ноги Т.к. равные величины, сложенные с равными, дают равные  результаты. 1+0 = 1, 4+3 = 7. Получили, что  у одной кошки 7 ног.   Софизм 3.   Все числа равны между собой. Докажем, что  5 = 6 Рассмотрим равенство:  35 + 10 – 45 = 42 + 12 – 54 Вынесем за скобку общие множители: 5∙(7+2-9) = 6∙(7+2-9) Разделим обе части равенства на  общий множитель, который выражен скобкой. В результате получим, 5  =  6. Аналогично можно доказать равенство других чисел.  Мартин Гарднер Гексафлексагоны и Другие Математические Развлечения (Hexaflexagons and Other Mathematical Diversions)       Рассмотрим   занимательный парадокс , на примере которого великий немецкий математик Давид Гильберт любил объяснять необычные свойства наименьшего из трансфинитных чисел «алеф-нуль». Как-то раз хозяину одной великолепной гостиницы с бесконечным, но счетным числом номеров, ни один из которых не был свободен, нужно было принять нового гостя. Хозяин вышел из положения очень просто: каждого из своих постояльцев он переселил в комнату, номер которой был на единицу больше номера прежней комнаты, в результате чего обитатель n-й комнаты переехал в (n + 1)-ю и освободил для нового гостя самую первую комнату. Как может поступить хозяин, если прибудет бесконечное множество новых гостей? Ничуть не смущаясь, хозяин переселяет всех своих прежних постояльцев в комнаты с вдвое большими номерами (гость из комнаты 1 переезжает в комнату 2, гость из комнаты 2 — в комнату 4, гость из комнаты 3 — в комнату 6, гость из комнаты 4 — в комнату 8 и т. д.) и размещает вновь прибывших в освободившихся комнатах с нечетными номерами.  Но так ли необходимо хозяину иметь счетное число комнат для того, чтобы разместить новых гостей? В приведенных ниже стишах, взятых из одного английского журнала, выходившего в прошлом веке, рассказывается о хитром хозяине гостиницы, сумевшем разместить в девяти номерах десять гостей так, что каждому из них досталось по отдельной комнате.    Их было десять чудаков, Тех спутников усталых, Что в дверь решили постучать Таверны «Славный малый». — Пусти, хозяин, ночевать, Не будешь ты в убытке, Нам только ночку переспать, Промокли мы до нитки. Хозяин тем гостям был рад, Да вот беда некстати: Лишь девять комнат у него И девять лишь кроватей. — Восьми гостям я предложу Постели честь по чести, А двум придется ночь проспать В одной кровати вместе. Лишь он сказал, и сразу крик, От гнева красны лица: Никто из всех десятерых Не хочет потесниться. Как охладить страстей тех пыл, Умерить те волненья? Но старый плут хозяин был И разрешил сомненья. Двух первых путников пока, Чтоб не судили строго, Просил пройти он в номер «А» И подождать немного. Спал третий в «Б», четвертый в «В», В «Г» спал всю ночь наш пятый, В «Д», «Е», «Ж», «3» нашли ночлег С шестого по девятый. Потом, вернувшись снова в «А», Где ждали его двое, Он ключ от «И» вручить был рад Десятому герою. Хоть много лет с тех пор прошло, Неясно никому, Как смог хозяин разместить Гостей по одному. Иль арифметика стара, Иль чудо перед нами, Понять, что, как и почему, Вы постарайтесь сами. Примером более тонкого математического софизма 4 служит следующее «алгебраическое» доказательство того, что любое число а равно меньшему числу b.  Начнем с равенства    а = b + c.                                                                                                                     Умножив обе его части на a — b, получим  а² — аb = аb + аc — b² — be. Перенесем ас в левую часть:  а² — аb — аc = аb — b² — be  и разложим на множители:  а(а — b — c) = b(а — b — c). Разделив обе части равенства на а — b — c, найдем  а = b,   что и требовалось доказать.   Софизм 5   В планиметрии большая часть ошибочных доказательств связана с использованием неправильных чертежей. Рассмотрим, например, удивительное «доказательство» того, что площадь лицевой стороны многоугольника, вырезанного из бумаги, отличается от площади оборотной стороны того же многоугольника. Это «доказательство» придумано врачом-психиатром Л. Восбургом Лионсом, в нем используется один любопытный принцип, открытый П. Керри.  Прежде всего начертим на листке бумаги в клетку треугольник, площадь которого равна 60 клеткам (рис. 82), и разрежем его вдоль прямых, показанных на верхнем рисунке. Перевернув части треугольника на другую сторону и составив из них треугольник, изображенный на рис. 82 в середине, мы обнаружим, что в центре нового треугольника появилась дырка площадью в 2 клетки. Иначе говоря, суммарная площадь частей исходного треугольника при переворачивании уменьшилась до 58 клеток! Перевернув еще раз (лицевой стороной вверх) лишь три части исходного треугольника, мы сможем составить из всех шести частей фигуру, изображенную на рис. 82 внизу. Ее площадь равна 59 клеткам. Что-то здесь не так, это ясно, но что именно?  Софизм 6.   Один из наиболее впечатляющих парадоксов топологии заключается в том, что тор (поверхность  бублика), если его поверхность растягивать (не разрывая при этом), можно вывернуть наизнанку  через любую сколь угодно малую дырочку. Никакой проблемы здесь нет. Но уж если тор  действительно можно вывернуть наизнанку, то следует  обратить внимание и еще на один, пожалуй, даже более замечательный факт.  Если тор вывернуть наизнанку, то кажется, что кольца, нарисованные на его поверхности, расцепляются.   На наружной стороне тора проведем меридиан (рис, вверху). На внутренней стороне того же тора проведем параллель. Обе эти окружности, очевидно, сцеплены между собой. Вывернем теперь тор наизнанку через дырочку в его поверхности. Как видно из нижнего рисунка, первая окружность перейдет с наружной поверхности тора внутрь, а вторая — наружу, и обе окружности окажутся расцепленными! Очевидно, что это нарушает фундаментальный топологический закон, который гласит: разделить две сцепленные замкнутые кривые можно, лишь разорвав одну из кривых и протащив через место разрыва вторую.    Софизм 7. В следующем софизме, заимствованном из элементарной теории чисел, речь пойдет о сравнительных достоинствах «интересных» чисел. Разумеется, числа могут представлять интерес с различных точек зрения. Так, для Джорджа Мура, когда он писал свою знаменитую оду тридцатилетней женщине, особый интерес представляло число 30 — Мур считал, что в этом возрасте замужние женщины особенно привлекательны. Для специалиста по теории чисел число 30 представляет, по-видимому, еще больший интерес, поскольку это наибольшее из чисел, обладающих тем свойством, что все меньшие числа, не имеющие с ними общих делителей, просты. Число 15 873 также небезынтересно: если его умножить сначала на любую цифру, то есть на любое из чисел от 1 до 9, а затем на 7, то результат будет состоять из повторений выбранной для первого умножения цифры. Еще более удивительными свойствами обладает число 142 857: умножая его на числа от 1 до 6, вы будете получать циклические перестановки одних и тех же шести цифр.  Возникает вопрос: существуют ли неинтересные числа? С помощью элементарных рассуждений нетрудно доказать, что неинтересных чисел нет. Если бы скучные числа существовали, то все числа можно было бы разбить на два класса: интересные числа и неинтересные, скучные числа. Во множестве неинтересных чисел нашлось бы одно число, которое было бы наименьшим из всех неинтересных чисел. Но наименьшее из всех неинтересных чисел — это уже число само по себе интересное. Поэтому мы должны были бы изъять его из множества неинтересных чисел и перевести в другое множество. В оставшемся множестве в свою очередь нашлось бы наименьшее число. Повторяя этот процесс достаточно долго, можно сделать интересным любое неинтересное число.                                                                                 ***  Наибольшее беспокойство читателям доставил софизм с вывернутым наизнанку тором. Тор действительно можно вывернуть наизнанку, но это изменяет его ориентацию. В результате обе окружности меняются местами и остаются в зацеплении. Если отрезать нижнюю часть чулка и сшить концы в трубку, получится превосходная модель тора. На ней нитками различных цветов можно простегать меридиан и параллель. Такой тор легко вывернуть через дырочку в поверхности, при этом прекрасно видно все, что происходит с меридианом и параллелью.

ibazhanowa.ucoz.ru

Презентация по математике «Математические софизмы»

Презентация на тему: Математические софизмы

Скачать эту презентацию

Скачать эту презентацию

№ слайда 1 Описание слайда:

Математические софизмыРаботу выполнил:ученик 10 МБ класса МОУ «Лицей №2»Овсянников Илья Научный руководитель:Кузьменкова Наталья Яковлевна

№ слайда 2 Описание слайда:

Что такое софизм? Правильно понятая ошибка – это путь к открытиюИ.П. Павлов Софизм (от греч. sophisma – уловка, выдумка, головоломка), формально кажущееся правильным, но по существу ложное умозаключение, основанное на преднамеренно неправильном подборе исходных положений. Каков бы ни был софизм, он обязательно содержит одну или несколько замаскированных ошибок. Особенно часто в математических софизмах выполняются «запрещённые» действия или не учитываются условия применимости теорем, формул и правил. Иногда рассуждения ведутся с использованием ошибочного чертежа или опираются на приводящие к ошибочным заключениям «очевидности». Встречаются софизмы, содержащие и другие ошибки.

№ слайда 3 Описание слайда:

В истории развития математики софизмы играли существенную роль. Они способствовали повышению строгости математических рассуждений и содействовали более глубокому уяснению понятий и методов математики. Роль софизмов в развитии математики сходна с той ролью, какую играют непреднамеренные ошибки в математических исследованиях, допускаемые даже выдающимися математиками. Именно уяснение ошибок в математических рассуждениях часто содействовало развитию математики. Пожалуй, особенно поучительна в этом отношении история аксиомы Евклида о параллельных прямых. Сформулировать эту аксиому можно так: через данную точку, лежащую вне данной прямой, можно провести не более одной прямой, параллельной данной (что одну прямую, параллельную данной, можно провести – это доказывается). Это утверждение на протяжении более чем двух тысяч лет пытались доказать, вывеси из остальных аксиом геометрии, но все попытки не увенчались успехом. Полученные «доказательства» оказались ошибочными. И всё же, несмотря на ошибочность этих «доказательств», они принесли большую пользу развитию геометрии. Можно сказать, что они подготовили одно из величайших достижений в области геометрии и всей математики – создание неевклидовой геометрии. Честь разработки новой геометрии принадлежит нашему великому соотечественнику Н.И. Лобачевскому и венгерскому математику Яношу Бойяи. Н.И. Лобачевский и сам сначала пытался доказать аксиому параллельных, но скоро понял, что этого сделать нельзя. И путь, идя которым Лобачевский убедился в этом, привёл его к созданию новой геометрии. Этот замечательный вклад в математику был одним из тех, которые прославили русскую науку.

№ слайда 4 Описание слайда:

Разбор софизмов прежде всего развивает логическое мышление, то есть прививает навыки правильного мышления. Обнаружить ошибку – это значит осознать её, а осознание ошибки предупреждает от повторения её в других математических рассуждениях. Что особенно важно, разбор софизмов помогает сознательному усвоению изучаемого материала, развивает наблюдательность, вдумчивость и критическое отношение к тому, что изучается. Математические софизмы приучают внимательно и настороженно продвигаться вперёд, тщательно следить за точностью формулировок, правильностью записей и чертежей, за допустимостью обобщений. Всё это нужно и важно. Наконец, разбор софизмов увлекателен. Чем труднее софизм, тем большее удовлетворение доставляет его анализ. Чем полезны софизмы и что они дают?

№ слайда 5 Описание слайда:

Виды математических софизмов (для подробного просмотра нажмите на выбранную строку) Алгебраические софизмы Геометрические софизмы

№ слайда 6 Описание слайда:

Алгебраические софизмы Вот некоторые результаты решения софизмов: (для подробного просмотра нажмите на выбранную строку) Пример 1.1 р. = 10 000 к. Пример 2.5 = 6 Пример 3.4 = 8 Пример 4.2 · 2 = 5 Пример 5.5 = 1 Пример 6.4 = 5 Пример 7.Любое число равно его половине Пример 8.Расстояние от Земли до Солнца равно толщине волоска Пример 9.Любое число = 0 Пример 10.Из двух неравных чисел первое всегда больше второго

№ слайда 7 Описание слайда:

Пример 1.1 р. = 10 000 к. Возьмём верное равенство: 1 р. = 100 к. Возведём его по частям в квадрат. Мы получим: 1 р. = 10 000 к.************************************************************************************Вопрос: В чём ошибка?Ответ (нажмите «Enter»): Возведение в квадрат величин не имеет смысла. В квадрат возводятся только числа.

№ слайда 8 Описание слайда:

Попытаемся доказать, что 5 = 6. С этой целью возьмём числовое тождество: 35 + 10 – 45 = 42 + 12 – 54. Вынесем общие множители левой и правой частей за скобки. Получим: 5 (7 + 2 – 9) = 6 (7 + 2 – 9). Разделим обе части этого равенства на общий множитель (заключённый в скобки).Получаем 5 = 6.************************************************************************************Вопрос: В чём ошибка?Ответ (нажмите «Enter»): Общий множитель (7 + 2 – 9) равен 0, а делить на 0 нельзя.

№ слайда 9 Описание слайда:

Пример 3.4 = 8 Возьмём систему уравнений:Решим её способом подстановки.Получим: x = ; 4 – y + y = 8, т.е. 4 = 8. ************************************************************************************Вопрос: В чём здесь дело?Ответ (нажмите «Enter»):

№ слайда 10 Описание слайда:

Пример 4.2 · 2 = 5 Имеем числовое равенство (верное): 4 : 4 = 5 : 5. Вынесем за скобки в каждой части его общий множитель. Получим: 4 (1 : 1) = 5 (1 : 1).Числа в скобках равны, поэтому 4 = 5, или 2 · 2 = 5.************************************************************************************Вопрос: Где здесь ошибка?Ответ (нажмите «Enter»): Ошибка допущена в вынесении общего множителя за скобки в левой и правой частях тождества 4 : 4 = 5 : 5.

№ слайда 11 Описание слайда:

Из чисел 5 и 1 по отдельности вычтем одно и то же число 3.Получим числа 2 и – 2. При возведении в квадрат этих чисел получаются равные числа 4 И 4. Значит, должны быть равны и исходные числа 5 и 1. ************************************************************************************Вопрос: В чём ошибка?Ответ (нажмите «Enter»): Из равенства квадратов двух чисел не следует, что сами эти числа равны.

№ слайда 12 Описание слайда:

Имеем числовое равенство (верное):16 – 36 = 25 – 45; 16 – 36 + 20,25 = 25 – 45 + 20,25;(4 – 4,5)2 = (5 – 4,5)2; 4 – 4,5 = 5 – 4,5; 4 = 5. ************************************************************************************Вопрос: В чём ошибка?Ответ (нажмите «Enter»): (4 – 4,5)2 = (5 – 4,5)2 ↔ |4 – 4,5| = |5 – 4,5|. Пример 6.4 = 5

№ слайда 13 Описание слайда:

Пример 7.Любое число равно его половине Возьмём два равных числа a и b, a = b. Обе части этого равенства умножим на a и затем вычтем из произведений по b2. Получим:a2 – b2 = ab – b2, или (a + b) (a – b) = b (a – b).Отсюда a + b = b, или a + a = a, так как b = a.Значит, 2a = a, a = . ************************************************************************************Вопрос: В чём ошибка?Ответ (нажмите «Enter»): Нельзя делить на (a – b), так как (a – b) = 0.

№ слайда 14 Описание слайда:

Пример 8.Расстояние от Земли до Солнца равно толщине волоска Пусть a (м) – расстояние от Земли до Солнца, а b (м) – толщина волоска. Среднее арифметическое их обозначим через v. Имеем:a + b = 2v, a = 2v – b, a – 2v = – b. Перемножив по частям два последних равенства, получаем:a2 – 2av = b2 – 2bv. Прибавим к каждой части v2. Получим:a2 – 2av + v2 = b2 – 2bv + v2, или (a – v)2 = (b – v)2, т.е. (a – v) = (b – v), и, значит, a = b. ************************************************************************************Вопрос: Где здесь ошибка?Ответ (нажмите «Enter»): Ошибка как в примере №6.

№ слайда 15 Описание слайда:

Пример 9.Любое число = 0 Каково бы ни было число a, верны равенства:(+a)2 = a2 и ( – a )2 = a2. Следовательно, (+a)2 = ( – a )2, а значит, +a = – a, или 2a = 0, и поэтому a = 0. ************************************************************************************Вопрос: В чём ошибка?Ответ (нажмите «Enter»):

№ слайда 16 Описание слайда:

Пример 10.Из двух неравных чисел первое всегда больше второго Пусть a и b – произвольные числа и a ≠ b. Имеем:(a – b)2 > 0, т.е. a2 – 2ab – b2 > 0, или a2 + b2 > 2ab.К обеим частям этого неравенства прибавим – 2b2. Получим:a2 – b2 > 2ab – 2b2, или (a + b) (a – b) > 2b (a – b). После деления обеих частей на (a – b) имеем:a + b > 2b, откуда следует, что a > b. ************************************************************************************Вопрос: Где допущена ошибка?Ответ (нажмите «Enter»): При делении обеих частей неравенства (a + b) (a – b) > 2b (a – b) на (a – b) знак неравенства может измениться на противоположный (если a – b < 0).

№ слайда 17 Описание слайда:

Геометрические софизмы Вот некоторые примеры геометрических софизмов: (для подробного просмотра нажмите на выбранную строку) Пример 1.Загадочное исчезновение. Пример 2.Земля и апельсин Пример 4.Два перпендикуляра Пример 5.«Новое доказательство» теоремы Пифагора

№ слайда 18 Описание слайда:

Пример 1.Загадочное исчезновение У нас есть произвольный прямоугольник, на котором начерчено 13 одинаковых линий на равном расстоянии друг от друга, так, как показано на рисунке 1. Теперь «разрежем» прямоугольник прямой MN, проходящей через верхний конец первой и нижний конец последней линии. Сдвигаем обе половины вдоль по этой линии и замечаем, что линий вместо 13 стало 12. Одна линия исчезла бесследно. ************************************************************************************Вопрос: Куда исчезла 13-я линия?Ответ (нажмите «Enter»):

№ слайда 19 Описание слайда:

Пример 2.Земля и апельсин Вообразим, что земной шар обтянут по экватору обручем и что подобным же образом обтянут и апельсин по его большому кругу. Далее вообразим, что окружность каждого обруча удлинилась на 1м. Тогда обручи отстанут от поверхности тел и образуют некоторый зазор************************************************************************************Вопрос: Где зазор будет больше: у апельсина или у Земли?Ответ (нажмите «Enter»): Пусть длина окружности земного шара = C, а апельсина с метрам. Тогда радиус Земли R = C/2 и радиус апельсина r = c/2 . После прибавки к радиусам 1 метра окружность обруча у Земли будет C + 1, а у апельсина c + 1. Радиусы их соответственно будут: (C + 1)/2 и (c + 1)/2 . Если из новых радиусов вычтем прежние, то получим в обоих случаях одно и то же.(C + 1)/2 — C/2 = 1/2 — для Земли, (c + 1)/2 — c/2 = 1/2 — для апельсина Итак, у Земли и у апельсина получается один и тот же зазор в 1/2 метра (примерно 16 см).

№ слайда 20 Описание слайда:

В дне деревянного судна во время плавания случилась прямоугольная пробоина в 13 см длины и 5 см ширины, т.е. площадь пробоины = 65 см2. Судовой плотник взял квадратную дощечку со стороной квадрата 8 см (т.е. площадь = 64 см2), разрезал её прямыми линиями на четыре части A, B, C, D так, как показано на рисунке 2, а затем сложил их так, что получился прямоугольник, как раз соответствующий пробоине, см. рисунок 3. Этим прямоугольником он и заделал пробоину. Вышло, что плотник сумел квадрат в 64 см2 обратить в прямоугольник с площадью 65 см2.*******************************************************Вопрос: Как такое могло получиться?Ответ (нажмите «Enter»): Легко видеть, что получившиеся при разрезании квадрата треугольники A и B равны между собой. Также равны и трапеции C, D. Меньшее основание трапеций и меньший катет треугольников равны 3 см и поэтому должны совпасть при совмещении треугольника A с трапецией C и треугольника B с трапецией D. В чём же секрет? Дело в том, что точки G, H, E не лежат на одной прямой, tg EHK = 8/3 , а tg HGJ = 5/2. Так как 8/3 – 5/2 = 1/6 > 0, то EHK > HGJ. Точно так же линия EFG – ломанная. Площадь полученного прямоугольника действительно равна 65 см2, но в нём имеется щель в виде параллелограмма, площадь которого в точности равна 1 см2. Наибольшая ширина щели равна 5 – 3 – (5·3)/8 = 1/8 см. Таким образом плотнику всё равно придётся замазывать небольшую щель.

№ слайда 21 Описание слайда:

Пример 4. Два перпендикуляра Попытаемся «доказать», что через точку, лежащую вне прямой, к этой прямой можно провести два перпендикуляра. С этой целью возьмём треугольник ABC (рисунок 4). На сторонах AB и BC этого треугольника, как на диаметрах, построим полуокружности. Пусть эти полуокружности пересекаются со стороной AC в точках E и D. Соединим точки E и D прямыми с точкой B. Угол AEB прямой, как вписанный, опирающийся на диаметр; угол BDC также прямой. Следовательно, BE AC и BD AC. Через точку B проходят два перпендикуляра к прямой AC. ****************************************************Вопрос: В чём ошибка?Ответ (нажмите «Enter»): Рассуждения опирались на ошибочный чертёж. В действительности полуокружности пересекаются со стороной AC в одной точке, т.е. BE совпадает с BD.

№ слайда 22 Описание слайда:

Пример 5.«Новое доказательство» теоремы Пифагора Возьмём прямоугольный треугольник с катетами a и b, гипотенузой c и острым углом , противолежащим катету a. Имеем: a = c sin , b = c cos , откуда a2 = c2 sin2 , b2 = c2 cos2 . Просуммировав по частям эти равенства, получаем: a2 + b2 = c2 (sin2 + cos2 ). Но sin2 + cos2 = 1, и поэтому a2 + b2 = c2 . ************************************************************************************Вопрос: В чём ошибка?Ответ (нажмите «Enter»): Ошибки здесь нет. Но формула sin2 + cos2 = 1 сама выводится на основании теоремы Пифагора.

№ слайда 23 Описание слайда:

«Аванта +. Математика». – Москва, изд. «Аванта +»,1998.«БЭКМ – 2007». – Москва, 2007. Игнатьев Е.И. «Математическая смекалка. Занимательные задачи, игры, фокусы, парадоксы». – Москва, изд. «Омега»,1994.Нагибин Ф.Ф., Канин Е.С. «Математическая шкатулка». – Москва, изд. «Просвещение»,1988.

ppt4web.ru

примеры с ответами :: SYL.ru

Идея софизмов зародилась еще во времена Древней Греции, постепенно распространившись и в Рим. Мудрецов специально обучали тому, чтобы доказывать какое-либо мнение с помощью заведомо ложных аргументов. Но эти доказательства выглядели очень правдоподобными.

Отличие софизма от паралогизма

Прежде чем рассмотреть конкретные примеры софизмов, необходимо отметить: любой из них представляет собой ошибку. Помимо этих философских уловок, также в логике существует и такое понятие, как паралогизм. Отличие его от софизма заключается в том, что паралогизм допускается случайно, в то время как софизм – это намеренная ошибка. Речь многих людей практически изобилует паралогизмами. Если даже умозаключение построено согласно всем законам логики, то в самом конце оно может быть искажено и уже не соответствовать реальной действительности. Хотя паралогизмы и допускаются без злого умысла, они могут все равно использоваться в личных целях – иногда такой подход называется подгонкой под результат.

Интересные примеры софизмов

В отличие от паралогизма, софизм представляет собой намеренное нарушение законов логики. При этом софизмы тщательнейшим образом маскируются под истинные умозаключения. Есть немало подобных примеров, которые сохранились с древности до наших дней. И заключение большей части из этих уловок носит достаточно курьезный оттенок. Например, таким образом выглядит софизм о воре: «Вор не испытывает желания воровать что-то дурное; приобретение чего-либо хорошего – благое дело; стало быть, вор занимается благим делом». Забавно звучит и такое утверждение: «Лекарство, которое нужно принимать больному, – это добро; чем больше добра, тем лучше; стало быть, лекарства нужно пить как можно больше».

Еще один интересный пример софизма – это знаменитое умозаключение о Сократе: «Сократ является человеком; понятие «человек» – это не то же самое, что понятие «Сократ»; стало быть, Сократ представляет собой нечто иное, нежели Сократ». Подобные софизмы нередко применялись в Древнем Риме для того, чтобы ввести в заблуждение своего оппонента. Не будучи вооруженными логикой, собеседники софистов совершенно ничего не могли противопоставить этим уловкам, хотя вся нелепость их была очевидна. Нередко споры в Древнем Риме заканчивались кровавыми драками.

Польза философских уловок

Несмотря на свое отрицательное значение, многочисленные примеры софизмов в философии имели и свою положительную сторону. Эти уловки способствовали развитию логики, поскольку они в неявной форме содержали в себе проблему доказательства. Именно с ними философы начали осмыслять проблему доказательства утверждения и его опровержения. Поэтому можно смело утверждать, что софизмы могут нести пользу, так как содействуют правильному, логически выверенному мышлению.

Уловки из математики

Немало известно и примеров математических софизмов. Для их получения уже неизвестные нам авторы подтасовывали значения чисел так, чтобы получить нужный результат. К примеру, можно доказать, что 2 х 2 = 5. Делается это таким образом: 4 делится на 4, а 5 – на 5. Стало быть, результат выходит таким: 1 / 1 = 1 / 1. А значит, 4 = 5, а 2 х 2 = 5. Разрешить этот пример софизма в математике очень просто – необходимо вычесть два разных числа, затем выявить неравенство этих двух чисел.

С софистами всегда нужно было держать ухо востро. Среди них было немало мудрых философов. Они мастерски владели искусством спора и придумали такие мыслительные уловки, которые и по сей день используют не только любители философии, но и политики.

Забавные софизмы

Эти философские уловки всегда использовались для того, чтобы ввести собеседника в заблуждение, а иногда над ним и потешиться. Следующие примеры логических софизмов показывают, что авторы древности не были лишены чувства юмора. Например:

Чтобы видеть, глаза человеку не нужны. Ведь он видит без правого глаза. И без левого он тоже способен видеть. Стало быть, глаза не являются необходимым условием, чтобы называться зрячим.

Следующий софизм построен в форме диалога, в котором мудрец задает вопросы крестьянину:

— А что, крестьянин, есть ли у тебя собака?

— Да, есть.

— Есть ли у нее кутята?

— Да, недавно появились на свет.

— Иными словами, получается, что эта собака – мать?

— Именно так, моя собака – мать.

— И эта собака твоя, крестьянин, не так ли?

— Моя, я же тебе сказал.

— Вот, ты сам признал, что твоя мать – собака. Значит, ты – пес.

И еще несколько примеров древних софизмов:

• Что человек не терял, то у него есть. Рога он не терял. Значит, у него есть рога.
• Чем больше самоубийц, тем меньше самоубийц.
• Девушка – это человек. Девушка является молодой, а значит, она – молодой человек. Последний, в свою очередь, является парнем. Стало быть, девушка не является человеком, так как здесь наблюдается противоречие. (Данный софизм является доказательством от противного).

Эти 5 примеров софизмов показывают, что с мудрецами лучше не спорить, по крайней мере, до той поры, пока не обретены навыки логического мышления.

Другие примеры

Известен и пример уловки о крокодиле, укравшем ребенка. Крокодил пообещал отцу ребенка, что вернет его, если тот угадает, станет ли возвращать крокодил малыша или же нет. Вопрос в этой дилемме звучит так: что нужно сделать крокодилу, если отец скажет, что крокодил не собирается возвращать ему ребенка?

Известен также и софизм о куче песка. Одна песчинка не является кучей песка. Если n песчинок не образуют собой кучу песка, стало быть, и n + 1 песчинок тоже не представляют собой кучу. Следовательно, никакое количество песчинок не смогут образовать собой кучу песка.

Еще один софизм называется «Всемогущий волшебник». Если волшебник всемогущ, может ли он создать камень, который ему не удастся поднять? Если такое колдовство он совершить сможет, то, стало быть, этот волшебник не всемогущ, ведь он не сможет поднять этот камень. А если у него это не получится, значит, он все равно не всемогущ. Ведь у него не получается создать такой камень.

Пример софизма о нарушителе

Данная философская уловка понравится тем, кто ищет примеры софизмов с ответами. В парк некоего богатого князя вход был воспрещен. Если кто-то попадался, то он должен был быть казнен. Однако нарушителю предоставлялось право выбрать казни: через повешение или обезглавливание. Перед наказанием преступник мог сделать какое-либо заявление. И если оно будет верным, то его обезглавят, если же ложно, то повесят. Какое это утверждение? Ответ таков – «вы меня повесите».

Софизм «Эпименид»

Выше были приведены примеры софизмов с ответами. Однако есть и такие уловки, над которыми можно тщетно биться годами, но так и не найти правильного ответа. Мыслитель будет ходить по замкнутому кругу, однако не сможет отыскать ключ к этой загадке. Пример софизма, который невозможно решить, повествует о критянине Эпимениде. Однажды он произнес фразу: «Все критяне – лжецы». Но ведь сам философ тоже являлся жителем Крита. Значит, он тоже лгал.

Парадокс критянина и судьбы несчастных философов

Но если Эпименид лжет, то, значит, его утверждение истинно? Но тогда он не является жителем Крита. Однако, согласно условию софизма, Эпименид – критянин, а значит… Все это значит только одно – мыслителю предстоит снова и снова ходить по замкнутому кругу. И не только ему. Известно, что стоик Хрисипп написал три книги, посвященные анализу этого примера софизма. Его известный коллега по имени Филет Косский не смог одолеть логической задачи и наложил на себя руки.

А знаменитый логик Диодор Кронос, уже будучи в преклонных годах, дал обет – не есть до тех пор, пока ему не удастся решить эту задачку. Об этом случае пишет Диоген Лаэртский. По свидетельству историка, когда мудрец Диодор находился при дворе Птолемея, ему было предложено решить этот софизм. Так как справиться с ним философ не смог, то Птолемей прозвал его Кронос (в переводе это слово не только обозначает имя древнего бога времени, но и просто «глупец, болван»). Ходили слухи, что Диодор погиб то ли от голода, то ли оттого, что не смог выдержать подобного позора. Таким образом, кому-то слишком серьезное восприятие софизмов стоило жизни. Однако не стоит уподобляться древним философам и воспринимать софизмы слишком серьезно. Они являются хорошими упражнениями для развития логики, но ради них не стоит рисковать карьерой, а уж тем более жизнью.

www.syl.ru