cart-icon Товаров: 0 Сумма: 0 руб.
г. Нижний Тагил
ул. Карла Маркса, 44
8 (902) 500-55-04

Презентация растяжение и сжатие графиков функций к оси ординат – Сжатие(растяжение) графика вдоль оси ординат

Основные правила преобразования графиков функций. Видеоурок. Алгебра 9 Класс

Если вы знаете, как выглядят графики элементарных функций, или умеете быстро строить их по характерным точкам, то сумеете быстро построить на их основе графики более сложных функций того же класса. Для этого существуют правила преобразования графиков функций, которые мы рассмотрим на этом уроке.

Наверняка многие из вас могут быстро и правильно построить графики некоторых функций, не прибегая к вычислениям значений точек. Всем известно, что график функции  – это прямая, а график функции  – это парабола. Но как построить, например, график функции , не вычисляя значения точек? Для этого существуют правила преобразования графиков функций.

Предположим, что у нас есть функция  (график этой функции – это парабола) и необходимо построить график функции . Вычислим значения некоторых точек для графиков этих функций.

Из таблиц видно, что одним и тем же значениям аргумента соответствуют противоположные значения функций. Графически это означает, что графики расположены симметрично относительно оси абсцисс. То есть заданная парабола () зеркально отобразится относительно оси

 (см. Рис. 1).

Рис. 1. Графики функций  и

Таким образом, если у нас есть произвольный график , то для построения графика  необходимо график  симметрично отразить относительно оси  (см. Рис. 2). Такое преобразование называется преобразованием симметрии относительно оси .

Рис. 2. Преобразование симметрии относительно оси

Преобразование симметрии – зеркальное отражение относительно прямой. График  получается из графика функции  преобразованием симметрии относительно оси .

На рисунке 3 показаны примеры симметрии относительно оси .

Рис. 3. Симметрия относительно оси Ox

Предположим, что у нас есть фу

interneturok.ru

Презентация для урока "Преобразование графиков функций"

МБОУ « СОШ № 77» г. Новокузнецка, Кемеровской области

Федоров a Т. А., учитель математики

0 График функции у = f (x-a) получается из графика функции у = f (x) смещением графика на а единиц вправо вдоль оси ох. 0 х а "

Смещение графика вдоль оси ох

у

у = f(x)

При а 0

График функции у = f (x-a)

получается из графика функции у = f (x) смещением графика на а единиц вправо вдоль оси ох.

0

х

а

у = х 2

у = ( х-3) 2

Построить график функции у = ( х-3) 2

у

График функции

у = ( х-3) 2 получается из графика функции у = х 2 смещением графика на 3 единицы вправо вдоль оси ох.

1

3

1

0

х

3

0 График функции у = f (x + a) получается из графика функции у = f (x) смещением графика на а единиц влево вдоль оси ох. 0 х а "

Смещение графика вдоль оси ох

у

у = f(x)

При а 0

График функции

у =

f (x + a) получается из графика функции

у = f (x) смещением графика на а единиц влево вдоль оси ох.

0

х

а

у = ( х+3) 2

у = х 2

Построить график функции у = ( х+3) 2

у

График функции

у = ( х+3) 2 получается из графика функции у = х 2 смещением графика на 3 единицы влево вдоль оси ох.

-3

1

х

0

1

3

0 График функции у = f (x ) -a получается из графика функции у = f (x) смещением графика на а единиц вниз вдоль оси оу. 0 х а "

Смещение графика вдоль оси оу

у

у = f(x)

При а 0

График функции у = f (x ) -a получается из графика функции у = f (x) смещением графика на а единиц вниз вдоль оси оу.

0

х

а

Построить график функции у = х 2 - 4

у

График функции

у = х 2 -4 получается из графика функции у = х 2 смещением графика на 4 единицы вниз вдоль оси оу.

1

0

х

1

4

-4

0 График функции f (x )+ a получается из графика функции f (x) смещением графика на а единиц вверх вдоль оси оу. а 0 х "

Смещение графика вдоль оси оу

у

у = f(x)

При а 0

График функции f (x )+ a получается из графика функции f (x)

смещением графика на а единиц вверх вдоль оси оу.

а

0

х

Построить график функции у = х 2 + 4

у

График функции

у = х 2 +4 получается из графика функции у = х 2 смещением графика на 4 единицы вверх вдоль оси оу.

4

4

1

х

0

1

у = х 2

Построить график функции

у = ( х+3) 2 -4

у

-3

1

0

х

1

-4

Симметрия относительно оси ох

у

у = f(x)

График функции у = - f

(x ) получается из графика функции у = f (x) симметричным отображением графика относительно оси ох

х

Построить график функции

у = - ( х-2) 2 +5

у

5

f(x) = x 2

f(x) = (x-2) 2

f(x) = -(x-2) 2

f(x) = -(x-2) 2 + 5

2

1

1

0

х

Построить график функции

у = х 2 +4х+8

у

х 2

+

у =

+

8

4

2 х •2

+4+4

х 2

+

у =

1

1

0

-2

х

(х + 2) 2

у =

+ 4

Построение графика y = | f (x) |

у

у = f(x)

х

Построение графика y= f (| x |)

у

у = f(x)

х

0

1 График функции у = k f (x ) получается из графика функции у = f (x) растяжением вдоль оси оу, если k1 у = f(x) х 0 "

Растяжение вдоль оси оу

у

у = kf(x)

k 1

График функции у = k f (x ) получается из графика функции у = f (x) растяжением вдоль оси оу, если k1

у = f(x)

х

0

Растяжение вдоль оси оу

y

1

I I I I I I I

O

x

- 1

y=2cos x

y =3,5 cos x

Сжатие вдоль оси оу

у = kf(x)

у

0

График функции у = k f (x ) получается из графика функции у = f (x) сжатием вдоль оси оу, если 0

у = f(x)

х

0

Сжатие вдоль оси оу

y

1

I I I I I I I

O

x

- 1

y=0,5cosx

1 х 0 "

Сжатие вдоль оси ох

у

у =

f(x)

График функции у = f ( k x ) получается из графика функции у = f (x) сжатием вдоль оси ох, если k1

х

0

Сжатие вдоль оси ох

y

1

I I I I I I I

O

x

- 1

y =cos4x

Растяжение вдоль оси ох

у

у = f(x)

График функции у = f ( k x ) получается из графика функции у = f (x) растяжением вдоль оси оу, если 0

х

0

Растяжение вдоль оси ох

y

1

I I I I I I I

O

x

- 1

y=1/2cosx

2 у -1 2 1 1 0 х "

Построить график функции

1/x , если х -1

у = 2 ,если -1 ≤ x 2

2х-8,если х 2

у

-1

2

1

1

0

х

3 у 2 1 3 1 2 -1 0 х -1 "

Построить график функции

- 1/x -1, если х 0

у = , если 0≤ x 3

-(х-2) 2 +2, если х 3

у

2

1

3

1

2

-1

0

х

-1

Построить график функции

у = max( ; 6-х)

у

6

2

1

0

6

4

х

1

у

2

1

3

у

у

1

1

1

1

0

х

1

0

0

1

х

х

Задайте формулой функцию

у

у

у

5

6

4

х

1

1

1

0

1

0

1

1

0

х

х

kopilkaurokov.ru

Построение графиков - презентация по Алгебре

Презентация на тему: Построение графиков

Скачать эту презентацию

Скачать эту презентацию

№ слайда 1 Описание слайда:

Построение графиков функций, уравнений и соответствий ЧУДАЕВА Е. В. учитель математики, г. Инсар, СОШ №1 Элективный курс, 10 класс 900igr.net

№ слайда 2 Описание слайда:

прояснить и дополнить школьный материал, связанный с функциями и построением их графического изображения, представить систематизацию функций не по видам, а по методам построения их графиков. Цель элективного курса

№ слайда 3 Описание слайда:

знакомство учащихся с методами решения различных по формулировке нестандартных задач, связанных с построениями графиков соответствий; привитие навыков употребления функционально-графического метода при решении задач; расширение и углубление знаний по математике по программному материалу. Задачи элективного курса

№ слайда 4 Описание слайда:

Тематическое планирование № Тема занятий количество часов Форма проведени образовательный продукт всего теория практи 1 Понятия функции и графика: зависимость; график функции; способы задания функции 2 1 1 лекция опорный конспект 2 Преобразование графиков: перенос вдоль оси ординат; перенос вдоль оси абсцисс; сжатие (растяжение) вдоль оси ординат; сжатие (растяжение) вдоль оси абсцисс 4 2 2 лекция, практи- кум, тренинг опорный конспект, решенные задания 3 Действия над функциями: сумма (разность) функций; произведение функций; частное двух функций; функции, содержащие операцию взятия модуля 3 1 2 лекция, мастер класс таблицы, схемы, опорный конспект 4 Дополнительный материал: функционально-графический подход к решению задач построения графиков суперпозиций простейших функций 4 2 2 лекция, практи- кум решенные задания 5 Итоговая диагностика 1 - 1 защита работы, проекта Итого 14 6 8

№ слайда 5 Описание слайда:

Параллельный перенос вдоль оси OY Параллельный перенос вдоль оси OX Растяжение (сжатие) в k раз вдоль оси OY Растяжение (сжатие) в k раз вдоль оси OX Симметричное отображение относительно оси OX Симметричное отображение относительно оси OY Содержание

№ слайда 6 Описание слайда:

Параллельный перенос вдоль оси ординат Содержание

№ слайда 7 Описание слайда:

Параллельный перенос вдоль оси абсцисс Содержание

№ слайда 8 Описание слайда:

1 3 -4 1 -3 -2 х у у Построить график функций, сдвигом вдоль: а) оси ординат; б) оси абсцисс

№ слайда 9 Описание слайда:

Растяжение (сжатие) в k раз вдоль оси ординат Содержание

№ слайда 10 Описание слайда:

Построить графики функций, сжатием вдоль оси ординат

№ слайда 11 Описание слайда:

Растяжение (сжатие) в k раз вдоль оси абсцисс Содержание

№ слайда 12 Описание слайда:

Построить графики функций, сжатием вдоль оси абсцисс

№ слайда 13 Описание слайда:

Симметричное отображение относительно оси абсцисс Содержание

№ слайда 14 Описание слайда:

Построить графики функций, симметричным отображением вдоль оси абсцисс

№ слайда 15 Описание слайда:

Симметричное отображение относительно оси ординат Содержание

№ слайда 16 Описание слайда:

Построить графики функций, симметричным отображением вдоль оси ординат

№ слайда 17 Описание слайда:

Построение графика Содержание

№ слайда 18 Описание слайда:

Построить графики функций 4

№ слайда 19 Описание слайда:

Построение графика Содержание

№ слайда 20 Описание слайда:

4 Построить графики функций

№ слайда 21 Описание слайда:

Постройте график функции Решение. Построим в одной системе координат графики функций Путем сложения соответствующих координат получаем искомый график х у

№ слайда 22 Описание слайда:

Построить график функции Построим пунктиром в одной системе координат графики функции и Путем сложения соответствующих координат получаем искомый график х у 1 0

№ слайда 23 Описание слайда:

Постройте график функции Построим графики функции и Путем умножения соответствующих координат получаем искомый график

№ слайда 24 Описание слайда:

Отображая полученные линии, получаем искомое множество точек. Построить на плоскости множество точек заданных уравнением: 1 у 1 -1 -1 -7 -5 5 7 х Заметим, что график симметричен относительно осей координат. Для I четверти система примет вид:

№ слайда 25 Описание слайда:

МЕТОД ОБЛАСТЕЙ ПРИ РЕШЕНИИ ЗАДАЧ С ПАРАМЕТРАМИ Ключ решения: Графический прием Свойства функций Параметр – «равноправная» переменная отведем ему координатную ось т.е. задачу с параметром будем рассматривать как функцию f (x ; a) >0 Общие признаки задач подходящих под рассматриваемый метод В задаче дан один параметр а и одна переменная х Они образуют некоторые аналитические выражения F (x;a), G (x;a) Графики уравнений F(x;a)=0,G(x;a)=0 строятся несложно 1.Строим графический образ 2.Пересекаем полученный график прямыми перпендикулярными параметрической оси 3.«Считываем» нужную информацию Схема решения:

№ слайда 26 Описание слайда:

Найти все значения а, при которых уравнение Данное уравнение равносильно совокупности Выражая параметр а, получаем: График этой совокупности – объединение уголка и параболы. пересекает полученное объединение в трех точках. имеет ровно три корня? Ответ: 1 2 3 4 5 -1 -2 -1 1 х а а = -1 Прямая

№ слайда 27 Описание слайда:

Данное уравнение равносильно совокупности следующих двух уравнений: По рисунку «считываем» ответ х а 0 - 1 1 Ответ: Сколько решений имеет уравнение в зависимости от значений параметра а? График этой совокупности –объединение уголка и параболы.

№ слайда 28 Описание слайда:

х у - 2 - 4 4 Найдите все значения параметра а, при которых уравнение имеет единственное решение. 2 А В А(-4; 0), В(-2; 0) и координаты этих точек удовлетворяют уравнению -1

№ слайда 29 Описание слайда:

(«переход» метода интервалов с прямой на плоскость) 1. ОДЗ 2. Граничные линии 3. Координатная плоскость 4. Знаки в областях 5.Ответ по рисунку. 1.ОДЗ 2. Корни 3. Ось 4. Знаки на интервалах 5. Ответ. Метод интервалов: Метод областей: ОБОБЩЕННЫЙ МЕТОД ОБЛАСТЕЙ

№ слайда 30 Описание слайда:

Граничные линии: Строим граничные линии. Они разбивают плоскость на восемь областей, определяя знаки подстановкой в отдельных точках, получаем решение. - 1 - 1 1 1 х у 0 На координатной плоскости изобразите множество точек, удовлетворяющих неравенству

№ слайда 31 Описание слайда:

Сколько решений имеет система в зависимости от параметра а? 2 -2 2 -2 1 -1 1 Графиком второго уравнения является неподвижная окружность с центром в начале координат и радиусом 1 4 решения при а = 1 Ответ: решений нет, если 8 решений, если 4 решения, если

№ слайда 32 Описание слайда:

Найти все значения параметра р, при каждом из которых множество решений неравенства не содержит ни одного решения неравенства . Применим обобщенный метод областей. Определим знаки в полученных областях, и получим решение данного неравенства. По рисунку легко считываем ответ Ответ: Построим граничные линии р = 3 р = 0 -1 1 2 3 1 2

№ слайда 33 Описание слайда:

При каких положительных значениях параметра а, система уравнений имеет ровно четыре решения? и симметрично отображаем относительно оси абсцисс. Второе уравнение задает семейство окружностей с центром (2;0) и радиусом а.

№ слайда 34 Описание слайда:

Найти все значения параметра а при каждом из которых система имеет хотя бы одно решение. Запишем систему в виде Построим графический образ соответствий, входящих в систему. 3 3 4 4 Очевидно, что условие задачи выполняется при Ответ:

№ слайда 35 Описание слайда:

При а = 3, «вершина уголка»; Найти сумму целых значений параметра а при которых уравнение имеет три корня Исходное уравнение равносильно совокупности: Выражая параметр а, получаем: Из рисунка видно, что уравнение имеет три корня в 3 случаях. 3 4 -20 2 х у а1 = 3 а2 = ? а3 = ? Тогда а = 6 - 4+3 = 5. Ответ. 8. 2) При x < 4, 3) При х > 4, а2 = 5

ppt4web.ru

Урок по алгебре "Преобразование графиков функций" (9 класс)

Приложение 6

Конспект интегрированного урока по информатике и математике

Тема УРОКА: ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ГРАФИКОВ ФУНКЦИЙ

Алгебра. 9 класс

Цели урока:

Образовательная: Обобщить и систематизировать теоретические знания учащихся о функции, ее свойствах и графиках; развивать умения выделять базовую функцию для представления общего вида графика; научить использовать программу GRAN1 для построения графиков функций.

Развивающая: Развитие логического мышления, развитие устной речи; формирование умения анализировать и делать выводы.

Воспитательная: Воспитание интереса к математике и информатике, внимания, организованности, уважительного отношения к учителю и друг к другу.

Продолжительность урока: 1 час (45 минут).

Тип урока: обобщение и систематизация знаний, умений и навыков.

Оборудование: раздаточный справочный и дидактический материал, компьютер..

Средства обучения: презентация Microsoft PowerPoint, программа GRAN1.

План урока:

1. Организационный этап. Сообщение темы и цели урока. (2 мин)

2. Мотивация учебной деятельности. (2 мин)

3. Актуализация опорных знаний. (3 мин)

4. Обобщение и систематизация основных теоретических положений. (20 мин)

5. Закрепление знаний и умений в процессе выполнения практических заданий.

(15 мин)

6. Подведение итогов урока. (2 мин)

7. Домашнее задание. (1 мин)

Ход урока

  1. Организационный этап. Сообщение темы и цели урока

Учитель приветствует детей.

- Курс математики в школе строится так, что каждое понятие получает свое развитие в следующих классах. С понятием «функция» мы познакомились в 8 классе, встретились в 9-ом и обязательно вернемся к нему в 10-м и 11-м. Четыре урока мы изучали свойства функций, строили различные графики и преобразовывали их. Сегодня нам надо обобщить и систематизировать все полученные ранее знания.

II. Мотивация учебной деятельности

- Сегодня у нас с вами необычный урок алгебры. Мы пришли в кабинет информатики и, очевидно будем использовать компьютер. Зачем? А можно ли было обойтись без него? Станет ли урок интереснее от того, что мы будем использовать новые технологии? Больше ли материала мы сможем повторить и больше ли задач успеем решить? На все эти вопросы вы ответите мне в конце урока.

III. Актуализация опорных знаний

Форма работы – фронтальная.

- Чтобы вспомнить термины и определения, которые мы прошли за это время, я предлагаю вам заполнить кроссворд. (Каждому учащемуся дается карточка с кроссвордом).

1. Как называется множество точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты – соответствующим значениям функции? (график)

2. Как называется функция, если в некотором промежутке большему значению аргумента соответствует большее значение функции? (возрастающая)

3. Все значения, которые принимает зависимая переменная образуют … значений функции. (множество)

4. Как называются числовые промежутки, на которых функция сохраняет свой знак? (знакопостоянства)

5. Значения аргумента, при котором функция обращается в …, называются нулями функции. (нуль)

6. Как называется способ задания функции, если она задается с помощью математической формулы? (аналитический)

7. Как называется функция, если для любых х и –х из области определения выполняется равенство: f(-x) = f(x)? (четная)

8. Как по-другому называют независимую переменную? (аргумент)

- Какое слово в кроссворде получилось выделенным? (Компьютер) Для обобщения и систематизации теоретического материала мы будем использовать компьютер.

IV. Обобщение и систематизация основных теоретических положений.

Форма работы – в парах за компьютером.

- На Рабочем столе найдите пиктограмму Презентация ГРАФИКИ, вызовите контекстное меню правой кнопкой мыши, выберите команду Показать. Передвигаемся по презентации при помощи клавиши Enter.

Просмотр слайдов с параллельным обсуждением.




V. Закрепление знаний и умений в процессе выполнения практических заданий.

Форма работы – фронтальная.

- Чтобы говорить о преобразовании графика функции, надо четко знать, что является графиком данной функции и уметь выделять базовую функцию в выражении.

- Какая функция является базовой в предложенных примерах, и что является графиком этой функции?

- Какие надо выполнить преобразования базового графика?

- Научимся строить графики функций при помощи математической программы GRAN1. Запускаем программу при помощи ярлыка на Рабочем столе. (Знакомимся с интерфейсом программы. У каждого ученика на парте инструктивная карта).

Чтобы построить график функции, надо:

  1. Выбрать в пункте меню Объект команду Новая функция (нажать на первую кнопку на панели инструментов или функциональную клавишу F4).

  2. В открывшееся окно ввести с помощью мыши функцию и её аргумент (не забудьте аргумент взять в скобки).

Символ оператора

Название оператора

+

Сложение

-

Вычитание

/

Деление

*

Умножение

^

Возведение в степень

Abs

Модуль

Sqrt

Корень квадратный

  1. Нажать три раза кнопку Ввод, если не требует изменения отрезок задания (в противном случае ввести изменения параметров А и В).

  2. Выбрать в пункте меню График команду Построить (или нажать F5).

Чтобы удалить график, надо:

в поле Выбор щелкнуть по нужной функции, затем в меню Объект выбрать Удалить (или нажать F8).

1. у = х

у = |х|

у = |х – 3|

у = | |х| – 3|

2. у = (х  2)2

у = (|х| – 2)2 – 3

у = (|х| – 2)2 – 3

у = |(|х| – 2)2 – 3|

у = − (|х| + 2)2

По ходу построения идет обсуждение типа преобразований и видов графиков.

VI. Подведение итогов урока.

- Сегодня мы систематизировали материал по преобразованию графиков функций. Ответьте на вопросы, которые я задала в начале урока:

- Стал ли урок интереснее от того, что мы использовать новые технологии?

- Больше ли материала мы смогли повторить?

- Больше ли упражнений успели сделать?

- В каких других областях кроме «чистой» математики вы встречали изображения графиков?

- Вы никогда не задумывались как создается картинка на экране монитора? (Показываю картинку, созданную в графическом редакторе Word’а). Программа хранит изображение в виде набора математического описания линий.

Отмечаю учащихся активно работавших на уроке.

V. Домашнее задание.

Сделать шаблоны парабол у = 2х2, у = 1/2х2. А.Г.Мерзляк, стр.20, № 82.

infourok.ru

Растяжение и сжатие графиков. Параллельный перенос графиков функций

Разделы: Математика


ЦЕЛИ: 1) рассмотреть графики функций y=f(x), y=kf(x), y=f(x)+n, y=f(x-m) и y=f(x-m)+n и их свойства, используя ПК и программу Advanced Grapher;

2)расширить представления о преобразованиях графиков более сложных функций;

3)способствовать развитию у учащихся навыков чтения графиков и построения графиков функций.

I. Новый материал – объяснительная лекция.

Графики функций широко используются в различных областях инженерных знаний, поэтому умение строить, “читать”, прогнозировать их “поведение” имеют огромную роль в практической деятельности инженерных работников, гидро, метеорологов и людей других “математических” специальностей.

Выясним, какая связь существует между графиками функций y = f(x) и y = kf(x), где k-число, не равное нулю.

Пусть графиком функции y = f(x), область определения которой- промежуток[-2;4],является кривая, изображённая на рис.1а f(x) = x(x-3)(x+1).

Рассмотрим сначала случай, когда k>1.Построим график функции y = kf(x), где k=2. Для этого расстояние каждой точки графика функций y = f(x) от оси X увеличим в 2раза, т.е.умножим её ординату на 2. Построение выполним с помощью программы Advanced Grapher, набрав формулу функции F1 с клавиатуры. Заметим, что точки с абсциссами 0; 3; -1, принадлежащие оси Х, останутся на месте, т.к.их ординаты равны нулю (0*2х = 0).Все остальные точки графиков у1, и у, имеющие одинаковые абсциссы, будут лежать соответственно на перпендикулярах к оси Х, причём каждая точка графика функции у= 2f(x) будет находиться от оси Х на расстоянии в 2 раза большем, чем соответственная точка графика функции y = f(x). (рис. 1б).

Рассмотрим теперь случай, когда О < k < 1, например k =, и построим график функции y= kf (x), при k = , используя программу Advanced Grapher.

Опять же заметим, что точки с абсциссами -1; 0 и 3, принадлежащие оси Х, останутся на месте ( 0* = 0 ), а каждая точка графика функции y= f (x), будет находиться от оси Х на расстоянии в 2 раза меньшем, чем соответственная точка графика функции y = f(x) (рис.1в).

Делаем вывод о том, что график функции y = f(x) при k < 1 можно получить из графика функции y = f(x) растяжением от оси Х исходного графика в k раз, а при О < k < 1- сжатием к оси Х графика функции y = f(x) в раз.

И рассмотрим случай, когда k< 0. Ограничимся значением k = -1, т.е. выясним, как можно построить график функции y= -f(x), зная график функции y = f(x).

Задав с клавиатуры формулу графика y = -f(x) и получив соответствующее изображение на экране (рис. 1г), заметим, что каждой точке графика y, кроме точек с абсциссами -1; 0 и 3, соответствует точка графика y = f(x) с противоположной ординатой.

Соответственно делаем вывод, что график функции y = -f(x) можно получить с помощью симметрии относительно оси Х.

Аналогично, графики функций y = kf(x) и y = -kf(x) при любом k0 симметричны относительно оси Х.

Иначе говоря, чтобы построить график функции y = kf(x), где k < 0, можно сначала построить график функции y = -kf(x), где -k > 0, а затем отобразить его симметрично относительно оси Х.

Выясним, как связаны между собой графики функций y = f(x) и y = f(x)+n, где n –произвольное число.

Рассмотрим графики функций y = x, y = x - 4 , y= x-4, y = x+ , y= x- (рис. 2).

Рассматривать будем попарно графики функций у и у(рис.2а), у и y(рис.2б), у и y(рис.2в), у и y(рис.2г).

Моментальное построение графика каждой из выше указанных функций даст возможность сделать вывод, что график функции y = f(x) + n можно получить из графика функции y = f(x) с помощью сдвига вдоль оси Y на n единиц вверх, если n>0, или на единиц вниз, если n<0.

Выясним теперь, как связаны между собой графики функций y = f(x) и y = f(x-m), где m – произвольное число.

Рассмотрим графики функций y = (x-3), y = (x+2), y = (x), y = (x+).

Получаем рис.3 и делаем вывод, что график функции y = f(x) можно получить с помощью сдвига вдоль оси Х на m единиц вправо, если m>0, или на единиц влево, если m<0.

Из курса алгебры VII класса известно, что график функции y = x (парабола) симметричен относительно ось У. Точку пересечения параболы с осью симметрии называют вершиной параболы.

Построим, используя программу Advanced Grapher, в одной системе координат графики функций y = x, у== x+2, y= (х-3) и y= (х-3) +2 ( рис.4).

Учащимся наглядно видно, что у параболы у== x+2 осью симметрии является ось У, а у параболы y= (х-3) - прямая х = 3. Графиком же функции y= (х-3) +2 является парабола с вершиной в точке (3;2) и осью симметрии её является прямая х = 3.

Из наглядного наблюдения учащиеся видят, что при построении графика функции у = (х-3) +2 нужно последовательно выполнить два параллельных переноса: один в направлении оси У на 2 единицы вверх, а другой в направлении оси Х на 3 единицы вправо.

Делаем вывод, что графиком функции вида у = (х-m) +n является парабола с вершиной в точке А(m;n) .А также обобщаем выше рассмотренные преобразования графиков и делаем вывод, что график функции y = f(x-m)+n может быть получен из графика функции y=f(x) в результате последовательно выполненных двух параллельных переносов: сдвига вдоль оси Х на m единиц и сдвига графика функции у = (х-m) вдоль оси У на n единиц.

II. Закрепление

.

У: Изобразите на координатной плоскости заданные точки и определите, используя обороты “выше на…” и “ниже…”, взаимное расположение соответствующих точек:

а) А(-1;7) и А1(-1;10) б) В(2;7) и В1(2;5) в) С (0;-6) и С1(0;-5) г) Д (3;-4) и Д1(3;-7) .

У: Как найти расстояние между точками, имеющими одинаковые ординаты? Закончите предложение: “Если точки имеют одинаковые ординаты, то расстояние между ними равно…”

Обучающая исследовательская работа.
(карточки-распечатки см. Приложение 1)

I вариант.

1. Заданы функции y = f(x) и y = f(x) + 2. заполните таблицу значений этих функций и сделайте вывод о взаимном расположении точек данных функций и их графиков:

X

1

2

4

6

7

y=f(x)

5

7

-5

   

y=f(x)+2

     

3

-11

Д: Любая точка графика y = f(x)+2 с абсциссой X находится на 2 единицы “выше”, чем точка графика y = f(x) с той же самой абсциссой; а график функции y = f(x)+2 можно получить из графика y = f(x) параллельным переносом вдоль оси ординат на 2 единицы “вверх”.

II вариант.

1. Заданы функции y = f(x) и y = f(x) – 3. заполните таблицу значений этих функций и сделайте вывод о взаимном расположении точек данных функций и их графиков:

X

0

1

3

5

9

y=f(x)

4

-6

5

   

y=f(x)-3

     

-3

0

Д: Любая точка графика y = f(x)-3 с абсциссой X находится на 3 единицы “ниже”, чем точка графика y = f(x) с той же самой абсциссой; а график функции y=f(x)-3 можно получить из графика y = f(x) параллельным переносом вдоль оси ординат на 3 единицы “вниз”.

У: С помощью какого преобразования можно получить график функции y = f(x)+a, а0 из графика функции y = f(x).

Д: Обобщённый вывод (записать в тетрадь): График функции y1= f(x)+a, а0 можно получить из графика функции y = f(x) параллельным переносом вдоль оси ординат на единиц “вниз”, если а<0, и на единиц “вверх”, если а>0.

У: Пусть даны графики функций y = f(x) и y = f(x)+7. Известно, что один из них проходит через начало координат. Определите точку пересечения другого графика с осью ординат.

Д: A (0;7) или А (0;-7).

У: Пусть даны графики функций y = f(x) и y = f(x)+c. Известно, что один из них проходит через точку А(-11;231) и другой через точку А (-11;132). Найдите все возможные значения С.

Д: 99 или -99.

I вариант.

2. Постройте графики функций, используя известный график y = kx:

a) y = x-4 ; б) у = x+1; в) у = 2 x-1.

3.

II вариант.

2. Постройте графики функций, используя известный график y = kx:

а) у = -x+3; б) у = -0,5x+2; в) у = -2x-3.

3.

У: Изобразите на координатной плоскости заданные точки и определите, используя обороты “левее на …” и “правее на …” взаимное расположение следующих точек:

а) А (-1;7) и А (6;7) б) С (8;-6) и С (14;-6) в) В (2;3) и В (-2;3) г) Д (-13;_4) и Д (-3;-4).

У: Как найти расстояние между точками, имеющими одинаковые абсциссы? Закончите предложение: “Если точки имеют одинаковые абсциссы, то расстояние между ними равно…”

I, II вариант.

4. Заданы функции y=f(x), y= f(x+2) и y= f(x-3). Заполните таблицу значений этих функций:

У: Как взаимно расположены точки графиков функций y = f(x) и y = f(x+2)?

Каким образом можно получить график функции y= f(x+2) из графика функции y = f(x)?

Д: Любая точка графика y= f(x+2) с абсциссой х-2 находится на 2 единицы “левее”, чем точка графика y=f(x) с абсциссой х, а график функции y= f(x+2) можно получить из графика y = f(x), “сдвинув” его на 2 единицы влево вдоль оси абсцисс.

У: Как взаимно расположены точки графиков функций y = f(x) и y= f(x-3)?

Каким образом можно получить график функции y= f(x-3) из графика функции y = f(x)?

Д: Любая точка графика y= f(x-3) с абсциссой х+3 находится на 3 единицы “правее”, чем точка графика y = f(x) с абсциссой х, а график функции y= f(x-3) можно получить из графика функции y = f(x) “сдвинув” его на 3 единицы вправо вдоль оси абсцисс.

У: Попытайтесь сделать вывод о том как можно получить график функции y= f(x+а) из графика функции y = f(x)?

Д: График функции y= f(x+а) можно получить из графика функции y = f(x), “сдвинув” его на единиц вправо вдоль оси абсцисс, если а<0, и на единиц влево вдоль оси абсцисс, если а>0.

У: Пусть даны графики функций y = f(x) и y= f(x+7). Известно, что один из них проходит через начало координат. Какую точку пересечения графика с осью абсцисс можно указать наверняка?

Д: А(-7;0) и А (7;0).

У: Опишите как расположены относительно друг друга графики функций (задания 5-9 выполнены на карточках-распечатках, ответы в устной форме):

5. y = f(x-2) и y = f(x+7).

6. y = f(2x) и y = f(2x-4).

7. y = f(2x) и y = f(2x+1).

8. y = f(0,5x) и y = f(0,5x-4).

9. y = f() и . y = f(-1).

III . Лабораторно-исследовательская работа.

(все задания выполнены на карточках-распечатках, ответы см. в приложении 2)

I вариант.

10. Постройте графики функций, используя программу Advanced Grapher :

а) у = (x-4). б) у = (x+2).

11. Пусть дан график функции y=f(x). Как получить график функции y = f(x+3)-4?

12. Постройте графики функций, используя программу Advanced Grapher:

а) у = -4; б) у = (x+3)-4.

II вариант.

10. Постройте графики функций, используя программу Advanced Grapher :

а) у = 2(x-1), б) у = -(x+3).

11. Пусть дан график функции y=f(x). Как получить график функции y = f(x-5)+2?

12. Постройте графики функций, используя программу Advanced Grapher:

а) у =+2; б) у =(x-5)+2.

III вариант.

10. Постройте графики функций, используя программу Advanced Grapher :

а) у = -0,5(x-4); б) у = (2x-3).

11. Пусть дан график функции y = f(x). Как получить график функции y = f(x+1)+3?

12. Постройте графики функций, используя программу Advanced Grapher:

а) у =+3; б) у = (x+1)+3.

IV вариант.

10. Постройте графики функций, используя программу Advanced Grapher :

а) у = 4x+4х+1; б) у = --х-1.

11. Пусть дан график функции y=f(x). Как получить график функции y = f(x-2)-1?

12. Постройте графики функций, используя программу Advanced Grapher:

а) у =-1; б) у = (x-2)-1.

18.01.2006

xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai

Растяжение и сжатие | Алгебра

Растяжение и сжатие — один из видов геометрических преобразований, благодаря которому на основе графиков элементарных функций можно легко строить графики многих других функций.

График функции y=f(kx) (где k>1) может быть получен из графика функции y=f(x) сжатием к оси Oy в k раз.

При таком преобразовании каждая точка (x; y) графика функции y=f(x) переходит в точку (x/k; y) графика y=f(kx):

(x; y) → (x/k; y)

(то есть абсциссу (x) каждой точки начального графика уменьшаем в k раз, а ординату (y) оставляем без изменения. При этом точка, лежащая на оси Oy, остаётся на месте (так как 0:k=0).

Примеры.

1) График функции y=(2x)² можно получить из графика функции y=x² с помощью сжатия к оси Oy в 2 раза.

На координатной плоскости строим график функции y=x² (можно отметить только его базовые точки). Затем координату x каждой точки делим на 2, а координату y оставляем без изменения. Таким образом, каждая точка нового графика становится ближе в 2 раза к оси Oy, чем точка начального графика (от оси Ox обе точки находятся на одинаковом расстоянии):

(0; 0) → (0; 0),

(1; 1) → (1/2; 1),

(-1; 1) → (-1/2; 1),

(2; 4) → (1; 4),

(-2; 4) → (-1; 4),

(3; 9) → (3/2; 9),

(-3; 9) → (-3/2; 9),   и т. д.

График y=(2x)² из графика y=x²

 

2) График функции y=√(5x) можно получить, сжав график функции y=√x к оси Oy в 5 раз:

(0; 0) → (0; 0),

(1; 1) → (1/5; 1),

(4; 2) → (4/5; 2),

(9; 3) → (9/5; 3),

(16; 4) → (16/5; 4),

(25; 5) → (5; 5),

(36; 6) → (36/5; 6),

(49; 7) → (49/5; 7), и т. д.

 

3) График функции y=|4х| может быть получен из графика функции y=|х| сжатием к оси Oy в 4 раза:

(0; 0) → (0; 0),

(8; 8) → (2; 8),

(-8; 8) → (-2; 8)

Преобразование графиков применяется при решении примеров из различных разделов алгебры.

www.algebraclass.ru

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *