11 класс. Геометрия. Тела вращения. Конус. Усеченный конус. — Решение задач. Конус.

Комментарии преподавателя

Рис. 1. Ил­лю­стра­ция к за­да­че

Пло­щадь пол­ной по­верх­но­сти ко­ну­са равна 12. Па­рал­лель­но ос­но­ва­нию ко­ну­са про­ве­де­но се­че­ние, де­ля­щее вы­со­ту по­по­лам. Най­ди­те пло­щадь пол­ной по­верх­но­сти от­се­чен­но­го ко­ну­са (см. рис. 1).

Ре­ше­ние

Рис. 2. По­доб­ные тре­уголь­ни­ки

За­ме­тим, что у от­се­чен­но­го ко­ну­са вы­со­та в два раза мень­ше вы­со­ты ис­ход­но­го. Рас­смот­рим осе­вое се­че­ние боль­ше­го и уви­дим, что тре­уголь­ни­ки по­доб­ны с ко­эф­фи­ци­ен­том 2 (см. рис. 2).

Зна­чит, и об­ра­зу­ю­щая, и ра­ди­ус также в два раза мень­ше.

По фор­му­ле , если мы умень­шим ра­ди­ус и об­ра­зу­ю­щую вдвое, то пра­вая часть умень­шит­ся вчет­ве­ро, зна­чит, ответ 3.

Ответ: 3.

Длина окруж­но­сти ос­но­ва­ния ко­ну­са равна 3, а об­ра­зу­ю­щая равна 2. Найти пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти ко­ну­са.

Ре­ше­ние

Ответ: 3.

Рис. 3.  – ис­ко­мый угол

Пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти ко­ну­са в два раза боль­ше пло­ща­ди его ос­но­ва­ния. Найти угол между об­ра­зу­ю­щей ко­ну­са и плос­ко­стью его ос­но­ва­ния. Ответ дайте в гра­ду­сах (см. рис. 3).

Ре­ше­ние

Зна­чит, .

Те­перь рас­смот­рим осе­вое се­че­ние, про­ве­дем вы­со­ту (ось). По­лу­чим пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник, в ко­то­ром катет (ра­ди­ус ос­но­ва­ния) вдвое мень­ше ги­по­те­ну­зы, зна­чит, угол при ра­ди­у­се равен 60 гра­ду­сам (см. рис. 4).

Рис. 4. Ил­лю­стра­ция к за­да­че

Ответ: 60 гра­ду­сов.

Рис. 5. Се­че­ние ко­ну­са

  

Рис. 6. Фи­гу­ра в ос­но­ва­нии ко­ну­са

Ра­ди­ус ос­но­ва­ния ко­ну­са равен 6, а его вы­со­та равна 8. Плос­кость се­че­ния со­дер­жит вер­ши­ну ко­ну­са и хорду ос­но­ва­ния, длина ко­то­рой равна 4 (см. рис. 5). Най­ди­те рас­сто­я­ние от цен­тра ос­но­ва­ния ко­ну­са до плос­ко­сти се­че­ния.

Ре­ше­ние

Рас­смот­рим ос­но­ва­ние ко­ну­са. Так как хорда  в плос­ко­сти се­че­ния равна 4, а ра­ди­ус равен 6, имеем рав­но­бед­рен­ный тре­уголь­ник, вы­со­та  ко­то­ро­го по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра равна  (см. рис. 6).

Рис. 7. Ко­неч­ный ри­су­нок

Рас­смот­рим тре­уголь­ник  ( – вер­ши­на ко­ну­са). До­ка­жем, что вы­со­та  этого тре­уголь­ни­ка и есть ис­ко­мое рас­сто­я­ние. Во-пер­вых,  по по­стро­е­нию. Во-вто­рых, плос­кость  (т.к.  пер­пен­ди­ку­ляр­но  и ), а зна­чит, .

Сле­до­ва­тель­но,  – ис­ко­мое рас­сто­я­ние. По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра . А тогда .

Ответ: .

Рис. 8. Вра­ща­е­мый тре­уголь­ник

Рис. 9. Тело, по­лу­чен­ное при вра­ще­нии рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка

Рав­но­бед­рен­ный тре­уголь­ник, бо­ко­вая сто­ро­на ко­то­ро­го равна , а угол при ос­но­ва­нии равен , вра­ща­ет­ся во­круг сво­е­го ос­но­ва­ния (см. рис. 8). Найти пло­щадь по­верх­но­сти по­лу­чен­но­го при вра­ще­нии тела (см. рис. 9).

Ре­ше­ние

Рис. 10. Два рав­ных ко­ну­са

Если про­ве­сти в тре­уголь­ни­ке вы­со­ту из вер­ши­ны, то по­лу­ча­ет­ся два пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни&shy

www.kursoteka.ru

Площадь полной поверхности конуса равна

Здесь представлены задачи с конусами, условие связано с его площадью поверхности. В частности в некоторых задачах стоит вопрос об изменении площади при увеличении (уменьшении) высоты конуса или радиуса его основания. Теория для решения задач в предыдущей статье. Рассмотрим следующие задачи:

27135. Длина окружности основания конуса равна 3, образующая равна 2. Найдите площадь боковой поверхности конуса.

Площадь боковой поверхности конуса равна:

Подставляем данные:

Ответ: 3

75697. Во сколько раз увеличится площадь боковой поверхности конуса, если его образующую увеличить в 36 раз, а радиус основания останется прежним?

Площадь боковой поверхности конуса:

Образующая увеличивается в 36 раз.  Радиус остался прежним, значит длина окружности основания не изменилась.

Значит площадь боковой поверхности изменённого конуса будет иметь вид:

Таким образом, она увеличится в 36 раз.

*Зависимость прямолинейная, поэтому эту задачу без труда можно решить устно.

Ответ: 36

27137. Во сколько раз уменьшится площадь боковой поверхности конуса, если радиус его основания уменьшить в 1,5 раза?

Площадь боковой поверхности конуса равна:

Радиус уменьшается в 1,5 раза, то есть:

Получили, что  площадь боковой поверхности уменьшилась в 1,5 раза.

Ответ: 1,5

27159. Высота конуса равна 6, образующая равна 10. Найдите площадь его полной поверхности, деленную на Пи.

Полная поверхность конуса:

Необходимо найти радиус:

Известна высота и образующая, по теореме Пифагора вычислим радиус:

Таким образом:

Полученный результат разделим на Пи и запишем ответ.

Ответ: 144

76299. Площадь полной поверхности конуса равна 108. Параллельно основанию конуса проведено сечение, делящее высоту пополам. Найдите площадь полной поверхности отсеченного конуса.

Формула полной поверхности конуса:

Сечение проходит через середину высоты параллельно основанию. Значит радиус основания и образующая отсеченного конуса будут в 2 раза меньше радиуса и образующей исходного конуса. Запишем чему равна площадь поверхности отсечённого конуса:

Получили, что она будет в 4 раза меньше площади поверхности исходного, то есть 108:4 = 27.

Ответ: 27

*Так как исходный и отсечённый конус являются подобными телами, то также можно было воспользоваться свойством подобия:

27167. Радиус основания конуса равен 3, высота равна 4. Найдите площадь полной поверхности конуса, деленную на Пи.

Формула полной поверхности конуса:

Радиус известен, необходимо найти образующую.

По теореме Пифагора:

Таким образом:

Результат разделим на Пи и запишем ответ.

Ответ: 24

Задача. Площадь боковой поверхности конуса в четыре раза больше площади основания. Найдите чему равен косинус угла между образующей конуса и плоскостью основания.

Площадь основания конуса равна:

Площадь боковой поверхности:

Исходя из условия можем записать:

Искомый угол – это угол между образующей и радиусом. Косинусом острого угла в прямоугольном треугольнике называется отношение прилежащего катета к гипотенузе (в данном случае указанный катет – это радиус, гипотенуза – это образующая):

То есть косинус будет равен:

Ответ: 0,25

Решить самостоятельно:

27136. Во сколько раз увеличится площадь боковой поверхности конуса, если его образующую увеличить в 3 раза? Посмотреть решение

27160. Площадь боковой поверхности конуса в два раза больше площади основания. Найдите угол между образующей конуса и плоскостью основания. Ответ дайте в градусах. Посмотреть решение.

27161. Площадь полной поверхности конуса равна 12. Параллельно основанию конуса проведено сечение, делящее высоту пополам. Найдите площадь полной поверхности отсеченного конуса. Посмотреть решение

На этом всё. Успеха вам!

С уважением, Александр.

*Делитесь с друзьями информацией о сайте через социальные сети.

matematikalegko.ru

Длина окружности основания конуса равна 3, образующая равна 2. Найдите площадь боковой поверхности конуса.

104) № 27159_ Высота конуса равна 6, образующая равна 10. Найдите площадь его полной поверхности, деленную на .

Площадь боковой поверхности конуса в два раза больше площади основания. Найдите угол между образующей конуса и плоскостью основания. Ответ дайте в градусах.

Площадь полной поверхности конуса равна 12. Параллельно основанию конуса проведено сечение, делящее высоту пополам. Найдите площадь полной поверхности отсеченного конуса.

107) № 27167_ Радиус основания конуса равен 3, высота равна 4. Найдите площадь полной поверхности конуса, деленную на .

Объем конуса равен 16. Через середину высоты параллельно основанию конуса проведено сечение, которое является основанием меньшего конуса с той же вершиной. Найдите объем меньшего конуса.

Найдите объем V части конуса, изображенной на рисунке. В ответе укажите .

109) № 27202 110) № 27203 111) № 27204 112) № 27205

113) № 27045_ В цилиндрический сосуд налили воды. Уровень жидкости оказался равным 12 см. В воду полностью погрузили деталь. При этом уровень жидкости в сосуде поднялся на 9 см. Чему равен объем детали? Ответ выразите в .

В цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает 16 см. На какой высоте будет находиться уровень жидкости, если ее перелить во второй цилиндрический сосуд, диаметр которого в 2 раза больше диаметра первого? Ответ выразите в сантиметрах.

115) № 27047_ В сосуд, имеющий форму правильной треугольной призмы, налили 2300 воды и полностью в нее погрузили деталь. При этом уровень жидкости в сосуде поднялся с отметки 25 см до отметки 27 см. Чему равен объем детали? Ответ выразите в .

116) № 27048_ В сосуд, имеющий форму правильной треугольной призмы, налили воду. Уровень воды достигает см. На какой высоте будет находиться уровень воды, если ее перелить в другой такой же сосуд, у которого сторона основания в раза больше, чем у первого? Ответ выразите в см.

117) № 27053 _ Объем первого цилиндра равен 12 м³. У второго цилиндра высота в три раза больше, а радиус основания — в два раза меньше, чем у первого. Найдите объем второго цилиндра. Ответ дайте в кубических метрах.

В цилиндрический сосуд, в котором находится 6 литров воды, опущена деталь. При этом уровень жидкости в сосуде поднялся в 1,5 раза. Чему равен объем детали? Ответ выразите в литрах.

Одна цилиндрическая кружка вдвое выше второй, зато вторая в полтора раза шире. Найдите отношение объема второй кружки к объему первой.

120) № 27074_ Объем параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ равен 9. Найдите объем треугольной пирамидыABDA₁.

121) № 27182_ Объем параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ равен 12. Найдите объем треугольной пирамиды .

122) № 27209_ Объем параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ равен . Найдите объем треугольной пирамиды .

123) № 77154_ Найдите объем параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ , если объем треугольной пирамиды равен 3.

124) № 245335_ Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки , , , , , прямоугольного параллелепипеда

ABCDA₁B₁C₁D₁ , у которого , , .

125) № 245336_ Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки , , , прямоугольного параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁, у которого , , .

126) № 245337_ Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки , , , , прямоугольного параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁, у которого , , .

127) № 245338_ Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки , , , прямоугольного параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁, у которого , , .

128) № 245339_ Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки , , , прямоугольного параллелепипеда

ABCDA₁B₁C₁D₁ , у которого , , .

Из единичного куба вырезана правильная четырехугольная призма со стороной основания 0,5 и боковым ребром 1. Найдите площадь поверхности оставшейся части куба.

Объем куба равен 12. Найдите объем треугольной призмы, отсекаемой от него плоскостью, проходящей через середины двух ребер, выходящих из одной вершины и параллельной третьему ребру, выходящему из этой же вершины.

Объем куба равен 12. Найдите объем четырехугольной пирамиды, основанием которой является грань куба, а вершиной — центр куба.

№ 129 № 130 № 131

От треугольной призмы, объем которой равен 6, отсечена треугольная пирамида плоскостью, проходящей через сторону одного основания и противоположную вершину другого основания. Найдите объем оставшейся части.

133) № 245340_ Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки , , , правильной треугольной призмы

ABCA₁B₁C₁, площадь основания которой равна 2, а боковое ребро равно 3.

134) № 245341_ Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки , , , , правильной треугольной призмы ABCA₁B₁C₁ , площадь основания которой равна 3, а боковое ребро равно 2.

135) № 245342_ Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки , , , правильной треугольной призмы ABCA₁B₁C₁, площадь основания которой равна 4, а боковое ребро равно 3.

136) № 245343_ Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A, B, C, D, E, F, A₁ правильной шестиугольной призмы ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁, площадь основания которой равна 4, а боковое ребро равно 3.

137) № 245344_ Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A, B, C, A₁, B₁, C₁ правильной шестиугольной призмы ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁, площадь основания которой равна 6, а боковое ребро равно 3.

138) № 245345_ Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A, B, D, E, A₁, B₁, D₁, E₁ правильной шестиугольной призмы ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁, у которой площадь основания равна 6, а боковое ребро равно 2.

139) № 245346_ Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки , , , , , , , правильной шестиугольной призмы ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁ , площадь основания которой равна 6, а боковое ребро равно 2.

140) № 245347_ Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки , , , правильной шестиугольной призмы ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁, площадь основания которой равна 6, а боковое ребро равно 3.

141) № 27113_ Объем треугольной пирамиды SABC, являющейся частью правильной шестиугольной пирамиды SABCDEF, равен 1. Найдите объем шестиугольной пирамиды.

142) № 27114_ Объем правильной четырехугольной пирамиды SABCD равен 12. Точка E — середина ребра SB. Найдите объем треугольной пирамиды EABC.

Читайте также:

lektsia.info