V. Аксиома Лобачевского. Параллельные прямые по Лобачевскому.

1. Геометрия Лобачевского (или гиперболическая геометрия) осно­вана на аксиомах групп I—IV абсолютной геометрии и на следующей аксиоме Лобачевского.

V*. Пусть а — произвольная прямая, а A — точка, не лежащая на этой прямой. Тогда в плоскости, определяемой точкой А и пря­мой а, существует не менее двух прямых, проходящих через точ­ку А и не пересекающих прямую а.

рис 1 рис 2

Из аксиомы V* непосредственно следует, что если даны произвольная прямая а и точка А, не лежащая на ней, то существует беско­нечное множество прямых, проходящих через точку А и не пересе­кающих прямую а.

В самом деле, по аксиоме V* существуют две пря­мые, которые обозначим через b и с, проходящие через точку А и не пересекающие прямую а (рис. 1). Прямые b и с образуют две пары вертикальных углов, которые на рисунке 2 обозначены циф­рами 1, 2 и 3, 4. Прямая а не пересекает прямые b и с, поэтому все ее точки принадлежат внутренней области одного из четырех углов 1, 2, 3, 4, например внутренней области угла 1. Тогда, очевидно, лю­бая прямая, проходящая через точку А и лежащая внутри верти­кальных углов 3 и 4, не пересекает прямую а (например, прямые L и d на рис. 1).

Условимся считать, что все пря­мые, рассматриваемые нами, являются направленными прямыми. Поэтому мы их будем обозначать двумя буквами, например UV, счи­тая, что точка U предшествует точке V. Предполагается также, что точки U

и V выбраны так, что рассматриваемые нами точки на этой прямой лежат между точками U и V.

2. Введем следующее определение. Прямая АВ называется па­раллельной прямой CD, если эти прямые не имеют общих точек и, каковы бы ни были точки Р и Q, лежащие соответственно на прямых АВ и CD, любой внутренний луч¹ угла QPB пересекает луч QD (рис. 2). Если прямая АВ параллельна прямой CD, то пишут так: AB||CD.

Имеет место следующий признак параллельности прямых.

Теорема 1. Если прямые АВ и CD не имеют общих точек и существуют точки Р и Q, такие, что Р АВ и Q

CD, и любой внутренний луч угла QPB пересекает луч QD, то AB||CD.

Для доказательства теоремы достаточно установить, что, ка­ковы бы ни были точки Р’ и Q‘, лежащие соответственно на прямых АВ и CD, любой внутренний луч h угла Q‘P‘B пересекает луч Q‘D. Возможны три случая: точка Р’ совпадает с точкой Р; б) точка Р’ принадлежит лучу РА; в) точка Р’ принадлежит лучу РВ.

Рассмотрим первые два случая,

а) Точка Р’ совпадает с точкой Р. Если Q‘ — точка луча QC, то Q‘P‘B является объединением углов Q

‘PQ и QPB, по­ этому луч h либо лежит внутри угла Q‘P‘Q, либо совпадает с лу­чом PQ, либо лежит внутри угла QPB (рис. 3 а). В первом и во втором случаях луч h пересекает отрезок Q‘Q, поэтому пересекает и луч Q‘Q. В третьем случае луч h по условию теоремы пересекает луч QD и, следовательно, луч Q‘D.

Если Q‘ — точка луча QD, то угол Q‘P‘B является частью уг­ла QPB (рис. 3, б). Поэтому луч h является внутренним лучом угла QPB и по условию теоремы пересекает луч QD. Точка пересе­чения является точкой луча Q‘D, так как h не проходит внутри угла QPQ

‘ и поэтому не пересекает отрезок QQ‘.

б) Точка Р’ принадлежит лучу РА. Луч h лежит внутри угла Q‘P‘P, поэтому h пересекает отрезок PQ‘ в некоторой точке М (рис. 4). Отложим от луча РВ в полуплоскость, содержа­щую прямую CD, угол ВРМ’, равный углу РР’М. Так как BPQ‘ — внешний угол треугольника PP‘Q‘, то PP‘Q‘ < LBPQ‘, поэтому РР’М < BPQ‘. Отсюда следует, что

РМ’ — внутренний луч угла BPQ‘. Следовательно, по доказанному (см. случай а) ) этот луч пересекает луч Q‘D в некоторой точке Mi (рис. 4). Прямая Р’М пересекает сторону PQ‘ треугольника PQ‘M\ и не пересекает сторо­ ну РМ\ (так как ВРМ₁ = BP‘M), поэтому по аксиоме Паша прямая Р’М пересекает отрезок Q‘М₁. Таким образом, луч h пересе­кает луч Q‘D. Чтд.

Рис 3 а Рис.3 б

Рис. 4

studfiles.net

Презентация к теме «Аксиома параллельных прямых»

Слайд 1

Аксиома параллельных прямых Выполнил ученик 7 класса «Г» МБОУ «ОК «Лицей № 3» Гаврилов Дмитрий 2015-2016 уч.г (учитель Конарева Т.Н.)

Слайд 2

«Геометрия полна приключений, потому что за каждой задачей скрывается приключение мысли. Решить задачу – это значит пережить приключение». (В. Произволов)

Слайд 3

Известные определения и факты. Закончи предложение. 1. Прямая х называется секущей по отношению к прямым а и b , если… 2. При пересечении двух прямых секущей образуется … неразвернутых углов. 3. Если прямые АВ и С D пересечены прямой В D , то прямая В D называется… 4. Если точки В и D лежат в разных полуплоскостях относительно секущей АС, то углы ВАС и DCA называются… 5. Если точки В и D лежат в одной полуплоскости относительно секущей АС, то углы ВАС и DCA называются… 6. Если внутренние накрест лежащие углы одной пары равны, то внутренние накрест лежащие углы другой пары… D C А С В D A B

Слайд 4

Проверка задания. 1 . …если она пересекает их в двух точках 2. 8 3. … секущей 4. … накрест лежащими 5. … односторонними 6. … равны

Слайд 5

Найдите соответствие a) a b m 1) a | | b , так как внутренние накрест лежащие углы равны б) 2) a | | b , так как соответственные углы равны в) a b 3) a | | b , так как сумма внутренних односторонних углов равна 180° 50 º 130 º 45 º 45 º m a b m a 150 º 150º

Слайд 6

Об аксиомах геометрии

Слайд 7

Аксиома Происходит от греческого «аксиос», что означает «ценный, достойный». Положение, принимаемое без логического доказательства в силу непосредственной убедительности, истинное исходное положение теории. Советский энциклопедический словарь

Слайд 8

Через любые две точки проходит прямая, и притом только одна Сколько прямых можно провести через любые две точки, лежащие на плоскости?

Слайд 9

На любом луче от его начала можно отложить отрезок, равный данному, и притом только один Сколько отрезков данной длины можно отложить от начала луча?

Слайд 10

От любого луча в заданную сторону можно отложить угол, равный данному неразвернутому углу, и притом только один Сколько углов равных данному можно отложить от данного луча в заданную полуплоскость?

Слайд 11

аксиомы теоремы логические рассуждения знаменитое сочинение «Начала» Евклидова геометрия Логическое построение геометрии

Слайд 12

Аксиома параллельных прямых

Слайд 13

М а Докажем , что через точку М можно провести прямую, параллельную прямой а с в а ┴ с в ┴ с а ІІ в

Слайд 14

Можно ли через точку М провести еще одну прямую, параллельную прямой а? а М в в 1 А можно ли это доказать?

Слайд 15

Многие математики, начиная с древних времен, пытались доказать данное утверждение, а в «Началах» Евклида это утверждение называется пятым постулатом . Попытки доказать пятый постулат Евклида не увенчались успехом, и лишь в XIX веке было окончательно выяснено, что утверждение о единственности прямой, проходящей через данную точку параллельно данной прямой, не может быть доказано на основе остальных аксиом Евклида, а само является аксиомой. Огромную роль в решении этого вопроса сыграл русский математик Николай Иванович Лобачевский.

Слайд 16

Пятый постулат Евклида 1792-1856 Николай Иванович

Слайд 17

«Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной». «Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную данной». Какое из данных утверждений является аксиомой? Чем отличаются вышеуказанные утверждения ?

Слайд 18

Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной . Утверждения, которые выводятся из аксиом или теорем, называют следствиями Следствие 1. Если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую. a II b , c b ⇒ c a Аксиома параллельности и следствия из неё. а А Следствие 2. Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны. a II с , b II с a II b а b с c b

Слайд 19

Закрепление знаний. Тест Отметить знаком «+» правильные утверждения и знаком «-» — ошибочные. Вариант 1 1. Аксиомой называется математическое утверждение о свойствах геометрических фигур, требующее доказательства. 2. Через любые две точки проходит прямая. 3. На любом луче от начала можно отложить отрезки, равные данному, причем сколько угодно много. 4.Через точку не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной. 5. Если две прямые параллельны третьей, то они параллельны между собой. Вариант 2 1. Аксиомой называется математическое утверждение о свойствах геометрических фигур, принимаемое без доказательства. 2. Через любые две точки проходит прямая, и притом только одна. 3. Через точку, не лежащую на данной прямой, проходят только две прямые, параллельные данной. 4. Если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна другой прямой. 5. Если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую.

Слайд 20

Ответы теста Вариант 1 1. «-» 2. «-» 3. «-» 4. «+» 5. «+» Вариант 2 «+» «+» «-» «-» «+»

Слайд 21

«Геометрия полна приключений, потому что за каждой задачей скрывается приключение мысли. Решить задачу – это значит пережить приключение». (В. Произволов)

nsportal.ru

Аксиома параллельных прямых

Разделы: Математика

---

 Тема: Аксиома параллельных прямых.(Доказательство от противного)

Материал: п, 28, § 2, учебник геометрия 7-9 Л.С.Атанасян

Методические рекомендации:

На уроке учитель знакомит учащихся с новым способом доказательства на уже известных ученикам более простых примерах рассуждений, и закрепляет способ доказательства от противного доказательством 1-го и 2-го следствий аксиомы параллельных прямых.
Покажем, как это можно сделать. Учителю следует обратить внимание на две характерные ошибки, которые допускают учащиеся при использовании этого способа.

Первая ошибка — это то, что делается предположение, противоположное не тому, что требуется доказать, а тому, что задано в условии задачи или теоремы.

Вторая, не менее существенная ошибка — это неумение в отдельных случаях правильно сформулировать отрицание утверждения, которое требует доказательства. Вот один из примеров такой ошибки.

Составить утверждение, противоречащее высказыванию: «Число а больше 5».
Возможный ответ: число а меньше 5.

Если бы ученик в заданном по условию высказыванию применил частицу «не», его ответ был бы верен: «Число а не больше 5», т.е. число а меньше или равно 5. Действительно, если а<5 или а=5, то это противоречит условию а>5. Ясно, что при первом варианте ответа утерян один из возможных случаев, без которого решение задания становится неполным.
Поэтому, чтобы не допускать ошибки такого рода, важно с самого начала приучать учащихся формулировать отрицание утверждений, используя частицу «не» или соответствующие ей выражения: «неверно, что…», «нельзя» и т.п., т.е. следует избегать применения утвердительной формы предложений, как это было в приведенном выше примере.

В тех случаях, когда некоторое утверждение содержит отрицание какого-либо факта с помощью оборота «не», то исключив этот оборот из предложения, мы получим отрицание данного утверждения. Только после этого можно приступить к анализу ситуаций, вытекающих из сделанного предположения.
Заметим, что два утверждения, одно из которых является отрицанием другого, называют противоположными или противоречащими друг другу

Цель урока:

Ознакомить учащихся со способом доказательства от противного.
Знать аксиому параллельных прямых и следствия из нее
Применять аксиому и следствия при решении задач.
Повысить мыслительную деятельность учащихся
Воспитывать чувства ответственности

Тип урока:. Объяснение нового материала

Методы: лекция.

Оборудование: компьютер.

Ход урока

1. Организационный момент
   
2. Актуализация. Проверка домашнего задания
   
3. Изучение нового материала.

Назначение этой темы — дать представление об аксиомах геометрии, ввести аксиому параллельных прямых. Весь материал урока написан на компьютере. Учащиеся сами активно участвуют в объяснении нового материала.
Урок начинается с рассказа учителя.

В Древней Греции всех ораторов учили геометрии. На дверях школы было написано: «Не знающий геометрии да не войдет сюда». Геометрия учит доказывать, а речь человека убедительна только тогда, когда он доказывает свои выводы.
В своих рассуждениях люди часто используют способ доказательства, который называется способом от противного. Приведем примеры таких доказательств.

Пример 1. Врач после осмотра больного ребенка доказывает родителям, почему у него не аппендицит; если бы у ребенка был аппендицит, то живот болел бы с правой стороны, но у ребенка не с правой стороны. Значит, у ребенка не аппендицит.

Пример 2. Ревизор получил задание: выяснить есть ли в данном колхозе гусеничный трактор. Председатель колхоза говорит: если бы в селе был гусеничный трактор, то были бы следы гусениц, а их не обнаружили, значит, в колхозе нет гусеничного трактора.

Схема рассуждения председателя. Требуется доказать: в селе нет гусеничного трактора.

• Предположим противное тому, что требуется доказать: трактор есть.
• Из этого следует, что должны быть следы гусениц.
• Но их нет. Имеем противоречие между тем, что утверждается в одном предложении (должны быть следы гусениц) и отрицается в другом (следов нет).
• Вывод: в селе нет гусеничного трактора.

Врач тоже рассуждал по аналогичной схеме.
В чем заключается сущность способа доказательства от противного?
Посмотрим таблицу.

Способ доказательства от противного

1	Делается предположение, противное тому, что требуется доказать
2	Выясняется, что следует из сделанного предположения на основании известных теорем, аксиом, определений и условия задачи
3	Устанавливается противоречие между тем, что утверждается в одном предложении, и его отрицании в другом
4	Делается вывод: предположение неверно, а верно то, что требовалось доказать

Одним из важных моментов при доказательстве методом от противного является умение правильно сформулировать предложение, противоположное тому, что требуется доказать. В повседневной речи для того, чтобы выразить отрицание, иначе невозможность какого-либо события, факта или ситуации, мы часто используем частицу «не», либо иные соответствующие ей выражения: «неверно, что …», «нельзя» и т. п. Точно так же надо поступать, чтобы получить отрицание какого-нибудь математического утверждения. Приступаем к анализу возможных ситуаций, вытекающих из сделанного предположения.

Упражнения

Составьте отрицания следующих утверждений.

• Точка А принадлежит отрезку СД
• Прямые а и b пересекаются.

( Прямые а и b не пересекаются. Значит, они параллельны.)

(Угол А не тупой. Значит, он либо прямой, либо острый. )

• Число а меньше нуля.

( Число а не меньше нуля. Следовательно, а=0 либо a>0.)

• Все данные прямые проходят через точку А.

(Не все данные прямые проходят через точку А, т.е. по крайней мере одна из них не проходит через точку А.)
В следующих предложениях необходимо убрать оборот «не», чтобы получить отрицание утверждений.

• Прямые а и b не параллельны.
• Через точки А,В, и С нельзя провести прямую.

(Через точки А, В, и С можно провести прямую.)

• Луч b не пересекает ни одного отрезка с концами на сторонах угла А.

(Луч b пересекает по крайней мере один отрезок с концами на сторонах угла, т.е. луч b проходит между сторонами этого угла.)
Дается понятие об аксиомах и аксиоме параллельных прямых.

Решаем такую задачу:

Через точку М, не лежащую на прямой а, провести прямую, параллельную прямой а.

Построение прямой, проходящей через точку М и параллельной прямой а, доказывает, что, по крайней мере, одна такая прямая существует. Естественно, возникает вопрос:

Сколько таких прямых можно провести?

Ответ на него дает аксиома параллельных прямых.
В аксиоме утверждается, что через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.
Далее решаем задачи.
В этом параграфе впервые вводится понятие следствия, поэтому разъясняем смысл этого понятия, после чего рассмотрим следствие 1 и 2 из аксиомы параллельных прямых.

1. Решение задач на 1-е следствие.

(Вывод — следствие из аксиомы: Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.)

Решение всех предложенных задач оформляются на компьютере и в тетрадях учащихся.

Задача 1.

Если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую. (§ 2). (Опорная задача.) Дано: а¦ b

Прямая с пересекает а в точке О (рис.1).

Рис.1

Доказать: прямая с пересекает прямую b.

Доказательство.

Точка О лежит на а и О лежит на с как точка пересечения прямых а и с. Но О не лежит на b , так как параллельные прямые а и b не пересекаются, т.е. не имеют общих точек. Следовательно, прямые b и с – различные, поскольку О лежит на с и О не лежит на b.

1. Предположим, что прямая с не пересекает прямую b. Значит, с¦ b.
2. Тогда через точку О, не принадлежащую прямой b, проходит более одной прямой (а и с), параллельных прямой b.
3. Это противоречит 5 постулату Евклида -аксиоме параллельных прямых. (Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной).
4. Следовательно, если прямая пересекает одну из параллельных прямых, то она пересекает и другую прямую.

2. Задача на 2-е следствие.

Эту задачу учащиеся могут решать самостоятельно.

Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.

Дано: а¦с и b¦с (Рисунок 2)

Доказать: а¦b

Доказательство:

1. Предположим, что а и b не параллельны, т.е. пересекаются в некоторой точке М (Рисунок 3).
   
2. Тогда через точку М проходят две прямые (прямые а и b) параллельные прямой с.
   
3. Это противоречит 5 постулату Евклида- аксиоме параллельных прямых.
   
4. Следовательно, если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.

При доказательстве теорем мы использовали способ рассуждений, который называется методом доказательства от противного.

Для лучшего усвоения метода доказательства от противного и экономии времени используем многоразовые карточки-подсказки, сделанные из плотной бумаги, вставленные в полиэтиленовые пакеты, на которых выполняются записи.

Карточки имеют следующий вид:

Предположим, что … Из предположения следует … На основании … Это противоречит … Значит …

3. Закрепление нового материала.

№196 Дан треугольник АВС. Через точку С сколько параллельных прямых можно провести к АВ ? (одну, по аксиоме параллельных прямых).
№ 197.Через точку, не лежащую на прямой р проведено четыре прямых. Сколько этих прямых может пересекать данную прямую? (ответ: три или четыре, полезно показать учащимся на рисунке два возможных случаю расположения прямых:
а) все четыре прямые пересекают прямую р;
б) одна из четырех прямых параллельна р, а три другие пересекают ее
Эти два случая иллюстрируют ответ на вопрос задачи.).
№ 198.Прямые а и b перпендикулярны к р, прямая с пересекает прямую а, пересекает ли прямая она прямую b? (ответ: да, так как прямые а и b параллельные. Задача 1°)

4. Итог урока.

Что мы изучали на уроке? О чем вы узнали?

(Мы изучали аксиому, аксиому параллельных прямых, следствие из нее и метод доказательства теорем от противного.)

5. Домашняя работа.

№ 199. Прямая р параллельна стороне АВ треугольника АВС. Доказать, что ВС и АС пересекают прямую р.

(Доказываем от противного. Предположим, что ВС и АС не пересекают прямую р.Из предположения следует, что ВС и АС параллельны к прямой р. Это противоречит данной. Значит, ВС и АС пересекают прямую р. )

№ 219.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

25.01.2008

xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai

Материал по математике «Аксиома параллельных прямых»

Свойства параллельных прямых. Аксиома параллельных прямых.

Теория:

Признаки, которые мы рассматривали в первой части теории, и свойства, которые будем рассматривать в этой части, доказываем разными способами.

Признак — это некоторый факт, благодаря которому мы устанавливаем справедливость интересующего нас суждения о некотором объекте.

Если при пересечении двух прямых третьей секущей накрест лежащие углы равны, то эти две прямые параллельны.

Свойство — если мы уверены в справедливости суждения, мы формулируем свойство объекта.

Если две прямые параллельны, то при пересечении их с третьей секущей накрест лежащие углы равны.

Аксиома, в свою очередь, такая истина, которую не надо доказывать. В каждой науке есть свои аксиомы, на справедливость которых строят все дальнейшие суждения и их доказательства.

Аксиома параллельных прямых.

В одной плоскости с заданной прямой через точку, не лежащую на этой прямой, можно провести только одну прямую, параллельную заданной прямой.

Иногда эту аксиому называют как одно из свойств параллельных прямых, но на справедливости этой аксиомы строятся многие доказательства в геометрии.

Другие свойства параллельных прямых.

1. Если одна из пары параллельных прямых параллельна третьей прямой, то и другая прямая параллельна третьей прямой.

2. Если некая прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и вторую параллельную прямую.

Эти свойства в отличии от аксиомы нужно доказать.

Докажем 1. Свойство.

Даны две параллельные прямые a и b. Верно ли, если прямая c параллельна прямой a, то она параллельна и прямой b?

Используем противоположное суждение.

Допустим, что возможна ситуация, когда прямая c параллельна одной из параллельных прямых — прямой a, пересекает другую прямую b в некоторой точке K.

Получается противоречие с аксиомой параллельных прямых. Мы имеем ситуацию, когда через точку проходят две пересекающиеся прямые, которые параллельны одной и той же прямой a. Такова не может быть, значит прямые b и cпересекаться не могут.

Мы доказали, что верно — если одна из пары параллельных прямых параллельна третьей прямой, то и другая прямая параллельна третьей прямой.

Попробуй доказать самостоятельно 2. Свойство.

Если некая прямая c пересекает одну из двух параллельных прямых a, то она пересекает и вторую параллельную прямую b.

Таким же методом от противоположного суждения попробуй представить, что возможно ситуация, когда прямая пересекает одну из параллельных прямых, но не пересекает другую.

Свойства углов, которые образуются при пересечении двух параллельных прямых с третьей секущей мы уже назвали в первой части теории.

При пересечении двух параллельных прямых третьей секущей:

— накрест лежащие углы равны,

— соответственные углы равны,

— сумма односторонних углов равна 180°.

Весь материал — в документе.

videouroki.net

Аксиома параллельных прямых | Социальная сеть работников образования

Слайд 1

Аксиома параллельных прямых Работу выполнила ученица 7э класса Селезенева Ольга

Слайд 2

Аксиома параллельных прямых Аксиома – происходит от греческого «аксиос», что означает «ценный, достойный»

Слайд 3

Аксиома 1 Через любые две точки проходит прямая, и притом только одна. В А

Слайд 4

Аксиома 2 На любом луче от его начала можно отложить отрезок, равный данному, и притом только один. А В С

Слайд 5

Аксиома 3 От любого луча в заданную сторону можно отложить угол, равный данному неразвернутому углу, и притом только один. А В С D

Слайд 6

Аксиома параллельных прямых Через точку, не лежащую на на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной

Слайд 7

М Дано : aIIb, М € b, a b Узнать: Можно ли через точку М провести еще одну прямую, параллельную прямой а. Пятый постулат Евклида гласит: Через точку, не лежащую на на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной Это утверждение не может быть доказано на основе других аксиом , так само является аксиомой.

Слайд 8

Следствие — утверждение , которое выводится непосредственно из аксиом или теорем.

Слайд 9

Следствия из теоремы о биссектрисе равнобедренного треугольника В равнобедренном треугольнике биссектриса , проведенная к основанию, является медианой и высотой. Высота равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является медианой и биссектрисой. Медиана равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является высотой и биссектрисой.

Слайд 10

Следствия из аксиомы параллельных прямых. Следствие 1. Если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую. М a b Дано: a II b c ∩ a = M Доказать: c ∩ b Доказательство: 1. Докажем «от противного». Пусть с не пересекает прямую b. Значит с II b (по определению). 2. a II b с II b М € а М € с с Через М проведены две прямые параллельные прямой b , но это противоречит аксиоме параллельных прямых. Значит наше предположение неверно и c ∩ b

Слайд 11

Следствия из аксиомы параллельных прямых. Следствие 1. a b с Дано: a II с b II c Доказать : a II b Доказательство: 1 . Докажем «от противного». Пусть a ∩ b = M М 2. a II с ( по условию ) b II c ( по условию ) М € а (по предположению) М € b (по предположению) Тогда через точку М проходит две прямые параллельные прямой с , что противоречит аксиоме параллельных прямых. Значит наше предположение неверно и a II b .

nsportal.ru