Формулы сокращенного умножения: таблица, примеры использования

Формулы сокращенного умножения (ФСУ) применяются для возведения в степень и умножения чисел и выражений. Часто эти формулы позволяют произвести вычисления более компактно и быстро.

В данной статье мы перечислим основные формулы сокращенного умножения, сгруппируем их в таблицу, рассмотрим примеры использования этих формул, а также остановимся на принципах доказательств формул сокращенного умножения.

Yandex.RTB R-A-339285-1

 

Формулы сокращенного умножения. Таблица

Впервые тема ФСУ рассматривается в рамках курса «Алгебра» за 7 класс. Приведем ниже 7 основных формул.

Формулы сокращенного умножения

1. формула квадрата суммы: a+b2=a2+2ab+b2
2. формула квадрата разности: a-b2=a2-2ab+b2
3. формула куба суммы: a+b3=a3+3a2b+3ab2+b3
4. формула куба разности: a-b3=a3-3a2b+3ab2-b3
5. формула разности квадратов: a2-b2=a-ba+b
6. формула суммы кубов: a3+b3=a+ba2-ab+b2
7. формула разности кубов: a3-b3=a-ba2+ab+b2

Буквами a, b, c в данных выражениях могут быть любые числа, переменные или выражения. Для удобства использования лучше выучить семь основных формул наизусть. Сведем их в таблицу и приведем ниже, обведя рамкой.

Первые четыре формулы позволяют вычислять соответственно квадрат или куб суммы или разности двух выражений.

Пятая формула вычисляет разность квадратов выражений путем произведения их суммы и разности.

Шестая и седьмая формулы — соответственно умножение суммы и разности выражений на неполный квадрат разности и неполный квадрат суммы. 

Формула сокращенного умножения иногда еще называют тождествами сокращенного умножения. В этом нет ничего удивительного, так как каждое равенство представляет собой тождество.

При решении практических примеров часто используют формулы сокращенного умножения с переставленными местами левыми и правыми частями. Это особенно удобно, когда имеет место разложение многочлена на множители.

Дополнительные формулы сокращенного умножения

Не будем ограничи

zaochnik.com

Формулы сокращенного умножения

Формулы сокращенного умножения.

Цели:

— Изучение формул сокращенного умножения: квадрата суммы и квадрата разности двух выражений; разности квадратов двух выражений; куба суммы и куба разности двух выражений; суммы и разности кубов двух выражений.

— Применение формул сокращенного умножения при решении примеров.

Для упрощения выражений, разложения многочленов на множители, приведения многочленов к стандартному виду используются формулы сокращенного умножения. Формулы сокращенного умножения нужно знать наизусть.

Пусть а, b   R. Тогда:

1. Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения плюс удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения.

(a + b)² = a² + 2ab + b²

2. Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения минус удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения.

(a — b)² = a² — 2ab + b²

3. Разность квадратов двух выражений равна произведению разности этих выражений и их суммы.

a² — b² = (a -b) (a+b)

4. Куб суммы двух выражений равен кубу первого выражения плюс утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго плюс куб второго выражения.

(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

5. Куб разности двух выражений равен кубу первого выражения минус утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго минус куб второго выражения.

(a — b)³ = a³ — 3a²b + 3ab² — b³

6. Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы первого и второго выражения на неполный квадрат разности этих выражений.

a³ + b³ = (a + b) (a² — ab + b²)

7. Разность кубов двух выражений равна произведению разности первого и второго выражения на неполный квадрат суммы этих выражений.

a³ — b³ = (a — b) (a² + ab + b²)

Применение формул сокращенного умножения при решении примеров.

Пример 1.

Вычислить

а) (40+1)

2

б) 98²

Решение:

а) Используя формулу квадрата суммы двух выражений, имеем

(40+1)² = 40² + 2 · 40 · 1 + 1² = 1600 + 80 + 1 = 1681

б) Используя формулу квадрата разности двух выражений, получим

98² = (100 – 2)² = 100² — 2 · 100 · 2 + 2² = 10000 – 400 + 4 = 9604

Пример 2.

Вычислить

Решение

Используя формулу разности квадратов двух выражений, получим

Пример 3.

Упростить выражение

(х — у)² + (х + у)²

Решение

Воспользуемся формулами квадрата суммы и квадрата разности двух выражений

(х — у)² + (х + у)² = х² — 2ху + у² + х² + 2ху + у² = 2х² + 2у

2

 

Формулы сокращенного умножения в одной таблице:

(a + b)² = a² + 2ab + b²
(a — b)² = a² — 2ab + b²
a² — b² = (a — b) (a+b)
(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
(a — b)³ = a³ — 3a²b + 3ab² — b³
a³ + b³ = (a + b) (a² — ab + b²)
a³ — b³ = (a — b) (a² + ab + b²)

mirurokov.ru

Правила и формулы сокращенного умножения

Записи с меткой «Правила и формулы сокращенного умножения»

data-ad-client=»ca-pub-8602906481123293″
data-ad-slot=»2890988705″>

1)    Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения плюс удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения.

       (a+b)² = a²+2ab+b² 

  a) (x + 2y)² = x² + 2 ·x·2y + (2y)² = x² + 4xy + 4y²

б) (2k + 3n)² = (2k)² + 2·2k·3n + (3n)² = 4k² + 12kn + 9n²

2)    Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения минус удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения.

        (a-b)² = a²-2ab+b²

 а)   (2a – c)² = (2a)²-2·2a·c + c² = 4a² – 4ac + c²

б)   (3a – 5b)² = (3a)²-2·3a·5b + (5b)² = 9a² – 30ab + 25b²

3)    Разность квадратов двух выражений равна произведению разности самих выражений на их сумму.

         a²–b² = (a–b)(a+b)

a)      9x² – 16y² = (3x)² – (4y)² = (3x – 4y)(3x + 4y)

б)  (6k – 5n)( 6k + 5n) = (6k)² – (5n)² = 36k² – 25n²

4)  Куб суммы двух выражений равен кубу первого выражения плюс утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго плюс куб второго выражения.

        (a+b)³ = a³+3a²b+3ab²+b³

a)  (m + 2n)³ = m³ + 3·m²·2n + 3·m·(2n)² + (2n)³ = m³ + 6m²n + 12mn² + 8n³

б)  (3x + 2y)³ = (3x)³ + 3·(3x)²·2y + 3·3x·(2y)² + (2y)³ = 27x³ + 54x²y + 36xy² + 8y³

5)  Куб разности двух выражений равен кубу первого выражения минус утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго минус куб второго выражения.

(a-b)³ = a³-3a²b+3ab²-b³

а)  (2x – y)³ = (2x)³-3·(2x)²·y + 3·2x·y² – y³ = 8x³ – 12x²y + 6xy

2 – y³

б)  (x – 3n)³ = x³-3·x²·3n + 3·x·(3n)² – (3n)³ = x³ – 9x²n + 27xn² – 27n³

6)  Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы самих выражений на неполный квадрат их разности.

a³+b³ = (a+b)(a²–ab+b²)

a)      125 + 8x³ = 5³ + (2x)³ = (5 + 2x)(5² — 5·2x + (2x)²) = (5 + 2x)(25 – 10x + 4x²)

б)  (1 + 3m)(1 – 3m + 9m²) = 1³ + (3m)³ = 1 + 27m³

7)  Разность кубов двух выражений равна произведению разности самих выражений на неполный квадрат их суммы.

 a³-b³ = (a-b)(a²+ab+b²)

а) 64с³ – 8 = (4с)³ – 2³ = (4с – 2)((4с)² + 4с·2 + 2²) = (4с – 2)(16с

2 + 8с + 4)

б) (3a – 5b)(9a² + 15ab + 25b²) = (3a)³ – (5b)³ = 27a³ – 125b³

Дорогие друзья! Карта сайта поможет вам выбрать нужную тему.

www.mathematics-repetition.com

Формулы сокращённого умножения. Алгебра, 7 класс: уроки, тесты, задания.

1.	Формула квадрата суммы или квадрата разности, проверка правильности использования формулы Сложность: лёгкое	1
2.	Применение формулы разности квадратов Сложность: лёгкое	1
3.	Формула квадрата суммы, возведение многочлена в квадрат Сложность: лёгкое	2
4.	Формула разности квадратов Сложность: лёгкое	1
5.	Формула квадрата разности Сложность: лёгкое	1
6.	Формулы сокращённого умножения (формулировки) Сложность: лёгкое	1
7.	Произведение разности и суммы (обыкновенные дроби) Сложность: среднее	3
8.	Разность квадратов (степень) Сложность: среднее	3
9.	Разность квадратов (десятичные дроби) Сложность: среднее	3
10.	Произведение суммы и разности (целые числа) Сложность: среднее	3
11.	Значение выражения Сложность: среднее	4
12.	Квадрат суммы (десятичные дроби) Сложность: среднее	5
13.	Квадрат разности (обыкновенные дроби) Сложность: среднее	5
14.	Квадрат суммы (трином) Сложность: среднее	5
15.	Квадрат разности (трином) Сложность: среднее	5
16.	Разность кубов Сложность: среднее	5
17.	Квадрат разности (умножение на число) Сложность: среднее	3
18.	Произведение суммы двух чисел на неполный квадрат их разности Сложность: сложное	3
19.	Формулы сокращённого умножения (десятичные дроби) Сложность: сложное	8
20.	Разность квадратов (целые числа) Сложность: сложное	7
21.	Произведение суммы и разности (числовое выражение) Сложность: сложное	5

www.yaklass.ru

Формулы сокращенного умножения

Рассмотрим на примерах применение формул сокращенного умножения.

Пример 4 Преобразуйте выражение в многочлен

Разложим выражение на множители с помощью формулы куба суммы

Пример 5 Преобразуйте используя формулу куба разности

Формула куба разности

Пример 6 Разложите на множители многочлен

Воспользуемся формулой суммы кубов

Пример 7 Разложите на множители многочлен

Воспользуемся формулой разности кубов

calcs.su

Формулы сокращённого умножения. Видеоурок. Алгебра 7 Класс

Как мы уже знаем, числа – это знаки, с помощью которых записываются количества. Причем для записи одного и того же количества можно использовать разные обозначения, например .

В зависимости от задачи удобным может быть то или иное представление.

Точно так же удобной может быть запись выражения  (используя определение степени), или в виде: .

Чтобы получить такой вид, раскроем скобки, используя распределительный закон
:

Получили две эквивалентные записи одного и того же:

Тождество  называется формулой сокращенного умножения (ФСУ), а именно квадратом суммы.

---

Тождество, равенство, уравнение

Равенство – это запись, в которой между двумя выражениями стоит знак «=».

Например,

При этом равенство может быть как верным, так и неверным.

Тождество – равенство, которое верно при всех допустимых значениях переменных.

Например,

Уравнение – равенство, которое содержит буквы (переменные):

Например,

При этом нас интересуют те значения переменных, при которых равенство выполняется, т. е. является верным.

---

 

Такое название неслучайно: если использовать эту формулу для вычислений, то необходимо будет выполнить меньше действий. Чтобы найти значение выражения , нужно выполнить  операций, а для выражения  – всего .

Таких формул можно получить очень много (любое число тоже можно записать большим количеством способов:  и т. д.). Но нужны далеко не все.

Выпишем самые основные (те, которые встречаются и используются чаще всего):

В школе часто предлагают запомнить все эти формулы, хотя их легко можно получить: достаточно просто раскрыть скобки, используя распределительный закон. Поэтому помнить их в таком виде нам не нужно, мы всегда сможем их вывести. Полезнее помнить эти формулы справа налево.

Вообще, эти формулы при решении различных заданий будут встречаться так часто, что рано или поздно вы их запомните. Если не помните формулу точно, то всегда можете себя проверить и вывести ее, помня приблизительно внешний вид.

---

Вывод ФСУ

Раскроем скобки, используя распределительный закон :

---

---

Коэффициенты из треугольника Паскаля

Коэффициенты при возведении выражения  в натуральную степень можно записать в виде, который называется треугольником Паскаля (ученого, который первым об этом догадался):

Рис. 1. Треугольник Паскаля

В верхней строчке треугольника стоит единица. В остальных строках каждое число является суммой двух своих соседей этажом выше – слева и справа. Если какой-то из соседей отсутствует, он считается равным нулю:

Рис. 2. Схема образования треугольника Паскаля

Почему это так? Рассмотрим на примере выражения .

Зная разложение , получим коэффициенты для разложения :

Также мы знаем, что  и эти выражения можно получить единственным способом, поэтому у них будут коэффициенты .

 можно получить двумя способами: , поэтому коэффициент будет равен . Аналогично с .

 также можно получить двумя способами: , поэтому коэффициент будет .

Мы рассмотрели идею доказательства, строго этот факт мы докажем в старших классах.

---

---

Связь коэффициентов с комбинаторикой

Рассмотрим выражение  – по определению степени оно равно:

Чтобы раскрыть скобки, необходимо перемножить слагаемые в каждой из скобок – все со всеми. Поскольку скобок , то в каждом слагаемом, которое получится после раскрытия скобок, будет  множителей. Выпишем все полученные выражения.

При перемножении из каждой скобки мы можем взять либо , либо . Если из всех скобок мы возьмем слагаемое , то получим , а если , то . Поскольку оба этих выбора можно сделать единственным способом, то и слагаемых такого вида будет по одному.

А вот для того чтобы получить выражение  надо взять из пяти скобок слагаемое , а из одной – слагаемое . Это можно сделать шестью способами (т. к. слагаемое  можно брать из любой из  скобок, а из остальных  – слагаемое ). Поэтому в разложении получится сумма  слагаемых : .

Для выражения  существует  способов выбрать две скобки со слагаемым  из  скобок (первую скобку можно выбрать  способами, вторую –  способами, всего получаем  способов, но каждую пару выбранных скобок мы считали  раза, поэтому получаем  способов).

Получается, что коэффициент при слагаемом , которое получается при раскрытии скобок в выражении , равен количеству способов выбрать  предметов (скобок) из  возможных:

Такое количество обозначается .

Тогда получается, что .

Несложно убедиться, что количество способов выбрать  предметов из , как и количество способов выбрать  предметов из  (т. е. все предметы), равно .

Таким образом, числа в треугольнике Паскаля являются не только коэффициентами при разложении выражения , но и значениями выражений . Подробнее о них и их свойствах мы поговорим в старших классах.

---

 

Пример 1.

Вычислить:

 

Решение:

Умножать четырехзначные числа в столбик – задача не из легких. А вот использование ФСУ решение значительно упростит:

Используем следующую формулу сокращенного умножения :

Можете попробовать выполнить умножение в столбик, чтобы убедиться, что результат получился правильный, а заодно и в том, что использование ФСУ в данном случае существенно упрощает решение задачи.

Ответ: .

 

Пример 2.

Вычислить:

Решение:

Вместо того чтобы возводить в квадрат каждое число, воспользуемся формулой

:

Без использования формулы наши вычисления были бы такими:

Ответ: .

---

Практика

Пример 1.

Вычислить:

Решение:

Представим  так:

Воспользуемся формулой:

Тогда:

Без использования формулы наши вычисления были бы такими:

Ответ: .

 

Пример 2.

Представить в виде многочлена выражения:

---

 

Использование ФСУ позволяет не только облегчить вычисления, но и упростить различные выражения.

Если посмотреть на правые части всех ФСУ, то можно увидеть, что в них во всех встречаются либо квадраты (), либо кубы переменных ().

Они могут встречаться в простом виде, например как  или , или в более сложном виде, например . Т. к. , то .

Еще один пример : , тогда .

Рассмотрим примеры использования ФСУ в таких случаях.

 

Пример 3.

Разложить на множители:

Решение:

Видим квадраты:

Тогда:

Введем обозначение :

Получили левую часть формулы .

Используем ее:

Ответ: .

Основная идея решения заданий с помощью ФСУ: сначала находим квадраты и кубы, определяем , а затем раскладываем оставшиеся слагаемые на множители, чтобы проверить, действительно ли можно использовать ФСУ.

 

Пример 4.

Разложить на множители:

Решение:

Сначала найдем квадраты выражений. Один из квадратов видно сразу: , а  – это второй квадрат.

Поэтому можно переписать изначальное выражение так:

Значит, предположительно, . Похоже на формулу квадрата суммы:

Осталось проверить:

В результате получаем:

Ответ: .

 

Пример 5.

Разложить на множители:

Решение:

1. Мы видим, что в выражении есть кубы:  – это первый куб, а  – это второй куб.

Значит, можно предположить, что: .

Напрашивается применение формулы:

Осталось проверить, являются ли оставшиеся слагаемые для предполагаемых  и  выражениями :

В результате получаем:

Ответ: .

2.Выражение содержит кубы, в нем всего два слагаемых, между которыми стоит знак минус.

Напрашивается применение формулы:

 – это первый куб.

 – это второй куб.

Значит, .

Получаем:

Ответ: .

---

Выделение полного квадрата

ФСУ применимы не ко всем выражениям.

Например,

Мы уже знаем, что

interneturok.ru

Формулы сокращённого умножения | Алгебра

При выполнении преобразований разных выражений часто встречаются некоторые частные случаи умножения. Равенства, выражающие эти случаи, называются формулами сокращённого умножения.

Формулы сокращённого умножения – это выражения, в которых пропущены промежуточные вычисления, поэтому их и называют сокращёнными.

a² + b² = (a + b)² — 2ab  –  сумма квадратов

a² — b² = (a + b)(a — b)  –  разность квадратов

(a + b)² = a² + 2ab + b²  –  квадрат суммы

(a — b)² = a² — 2ab + b²  –  квадрат разности

a³ + b³ = (a + b)(a² — ab + b²)  –  сумма кубов

a³ — b³ = (a — b)(a² + ab + b²)  –  разность кубов

(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³  –  куб суммы

(a — b)³ = a³ — 3a²b + 3ab² — b³  –  куб разности

Обратите внимание, что a и b в формулах сокращённого умножения могут быть как числами так и выражениями.

Рассмотрим каждую формулу подробнее и приведём доказательство верности формул сокращённого умножения:

• Сумма квадратов двух чисел равна разности квадрата суммы этих чисел и их удвоенного произведения:

  a² + b² = (a + b)² — 2ab

  Доказательство: выполним преобразование правой части формулы, приведём подобные члены и получим левую часть формулы:

  (a + b)² — 2ab = (a + b)(a + b) — 2ab =

  = a² + ab + ab + b² — 2ab = a² + b²

• Разность квадратов двух чисел равна произведению суммы этих чисел на их разность:

  a² — b² = (a + b)(a — b)

  Доказательство: выполним умножение многочленов из правой части формулы, приведём подобные члены и получим левую часть формулы:

  (a + b)(a — b) = a² — ab + ab — b² = a² — b²

• Квадрат суммы двух чисел равен сумме квадрата первого числа, удвоенного произведения первого числа на второе и квадрата второго числа:

  (a + b)² = a² + 2ab + b²

  Доказательство: представим степень в виде произведения, выполним умножение и приведение подобных членов:

  (a + b)² = (a + b)(a + b) = a² + ab + ab + b² = a² + 2ab + b²

• Квадрат разности двух чисел равен квадрату первого числа минус удвоенное произведение первого числа на второе плюс квадрат второго числа:

  (a — b)² = a² — 2ab + b²

  Доказательство: представим степень в виде произведения, выполним умножение и приведение подобных членов:

  (a — b)² = (a — b)(a — b) = a² — ab — ab + b² = a² — 2ab + b²

• Сумма кубов двух чисел равна произведению суммы первого и второго числа на неполных квадрат разности этих чисел:

  a³ + b³ = (a + b)(a² — ab + b²)

  Доказательство: выполним умножение многочленов из правой части формулы, приведём подобные члены и получим левую часть формулы:

  (a + b)(a² — ab + b²) = a³ — a²b + ab² + a²b — ab² + b³ = a³ + b³

• Разность кубов двух чисел равна произведению разности первого и второго числа на неполный квадрат суммы этих чисел:

  a³ — b³ = (a — b)(a² + ab + b²)

  Доказательство: выполним умножение многочленов из правой части формулы, приведём подобные члены и получим левую часть формулы:

  (a — b)(a² + ab + b²) = a³ + a²b + ab² — a²b — ab² — b³ = a³ — b³

• Куб суммы двух чисел равен сумме четырёх слагаемых: куб первого числа, утроенное произведение квадрата первого числа на второе число, утроенное произведение первого числа на квадрат второго и куб второго числа:

  (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

  Доказательство: представим степень в виде произведения, выполним умножение и приведение подобных членов:

  (a + b)³ = (a + b)(a + b)² = (a + b)(a² + 2ab + b²) =

  = a³ + 2a²b + ab² + a²b + 2ab² + b³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

• Куб разности двух чисел равен кубу первого числа минус утроенное произведение квадрата первого числа на второе число плюс утроенное произведение первого числа на квадрат второго минус куб второго числа:

  (a — b)³ = a³ — 3a²b + 3ab² — b³

  Доказательство: представим степень в виде произведения, выполним умножение и приведение подобных членов:

  (a — b)³ = (a — b)(a — b)² = (a — b)(a² — 2ab + b²) =

  = a³ — 2a²b + ab² — a²b + 2ab² — b³ = a³ — 3a²b + 3ab² — b³

Неполный квадрат суммы

Выражение:

a² + 2ab + b²

это квадрат суммы, которое также называется полным квадратом суммы, относительно выражения:

a² + ab + b²

которое называется неполным квадратом суммы. Неполный квадрат суммы – это сумма квадратов двух чисел и их произведения. Неполный квадрат суммы отличается от полного только произведением чисел, которое не удваивается.

Неполный квадрат разности

Выражение:

a² — 2ab + b²

это квадрат разности, которое также называется полным квадратом разности, относительно выражения:

a² — ab + b²

которое называется неполным квадратом разности. Неполный квадрат разности двух чисел равен квадрату первого числа минус произведение первого числа на второе плюс квадрат второго числа. Неполный квадрат разности отличается от полного только произведением чисел, которое не удваивается.

naobumium.info