Задачи с решением на взвешивание: Решение задач на взвешивание и переливание

Содержание

Задачи на взвешивание — SСHOOLSTARS

Задачи на взвешивание

Рассматриваем, как решать задачи на взвешивание. Показываем алгоритм решения задач на взвешивание и примеры решения.

1 Задачи на взвешивание и их суть

2 Алгоритм решения задач на взвешивание

Задачи на взвешивание и их суть

Задачи на взвешивание – достаточно распространённый вид математических задач. В таких задачах от решающего требуется выявить отличающийся от остальных предмет по весу за ограниченное число взвешиваний. Поиск решения в этом случае осуществляется путем операций сравнения, правда, не только одиночных элементов, но и групп элементов между собой.

Рассмотрим примеры задач на взвешивание.

Алгоритм решения задач на взвешивание

Алгоритм решения задач на взвешивание:

Составляем краткую запись.
Выбираем способ решения (методом составления дерева вариантов) и решаем задачу.
Выписываем ответ.

Решение задачи 1.

Берём 2 любых кольца (третье остаётся на столе) и кладём каждое на чашу весов. Составим дерево вариантов.

	Взвешивание 2 колец
Весы показывают, что вес колец различный.		Весы показывают, что вес колец одинаковый.
Значит, «особенное» кольцо на одной из чаш весов (на той, что поднялась верх, ведь искомое кольцо более лёгкое).		Значит, более лёгкое кольцо не взвешивалось – осталось на столе.

Задача 2 . Имеются чашечные весы без гирь и 4 одинаковые по внешнему виду монеты. Одна из монет фальшивая, причем неизвестно, легче она настоящих или тяжелее (одинаковые монеты одного веса). Сколько надо сделать взвешиваний, чтобы определить фальшивую монету?

Решение задачи 2.

Берем две монеты и ставим на весы:

Если весы равновесны, то обе монеты настоящие. Одну снимаем. На ее место кладем любую из оставшихся. Если весы остались в равновесии, то фальшивая та, которая еще не взвешивалась. Если же весы потеряли равновесие, то фальшивая та, которая была положена на весы вместо снятой.

Если весы не равновесны, то снимаем любую монету, кладем на ее место одну из оставшихся (которые, по понятным причинам являются настоящими), и смотрим. Если положение чаш не изменилось, то нетронутая монета фальшивая, если же изменилось, и весы пришли в равновесие, то снятая монета фальшивая.
Составим дерево вариантов .

Взвешивание двух монет (1 взвешивание)
Весы показывают, что вес монет отличается. Значит фальшивая монета лежит на весах. На столе все монеты настоящие Снимаем с чаши весов любую монету, и на ее место кладем одну из оставшихся (2-ое взвешивание)		Равновесие (Весы показывают, что вес монет одинаковый). Значит фальшивая монета осталась на столе. Снимаем с чаши весов любую монету, и на ее место кладем одну из оставшихся (2-ое взвешивание)
Весы показывают, что вес монет отличается.	Весы показывают, что вес монет одинаковый	Весы показывают, что вес монет отличается.	Весы показывают, что вес монет одинаковый
Значит монета, которую мы оставили на весах с первого взвешивания – фальшивая.	Значит монета, которую мы только что сняли – была фальшивая	Значит фальшивая та, которую положили на весы последней	Значит фальшивая та, которая еще не взвешивалась. Задача решена

Ответ: 2 взвешивания.

Задача 3. У вас есть 24 с виду одинаковых 100-граммовых гирек и чашечные весы. Внезапно выясняется, что одна из гирек бракованная и весит чуть больше остальных.

Какое минимальное количество взвешиваний необходимо для определения бракованной гирьки?

Решение задачи 3.

Необходимо разделить 24 гири на 3 равных группы по 8 гирь в каждой. Теперь при помощи взвешивания на чашечных весах сравниваем вес двух первых групп гирь.
Составим дерево вариантов.

Взвешивание двух групп гирь по 8 гирь в каждой (I взвешивание).
Весы показывают, что вес разный. Значит, бракованная гиря среди этих двух групп ( в той чаше, что опустилась вниз).		Весы показывают, что вес одинаковый. Значит, бракованная гиря среди тех 8, что не взвешивали.
Работаем с той группой гирь, где подтверждена бракованная гиря. 8 гирь делим = 3 + 3 + 2. На первую чашу – 3 гири, на вторую – ещё 3 гири (II взвешивание).
Весы показывают, что вес разный. Значит, бракованная гиря среди той группы из 3 гирь, чья чаша весов опустилась вниз.			Равенство. Значит, бракованная гиря среди тех 2 , что не взвешивали.
III взвешивание
На каждой чаше по одной из трёх монет (третья монета – на столе).			На каждой чаше – по одной из 2 не взвешенных ранее гирь. Та чаша, что опустится вниз, покажет бракованную гирю.
Весы показывают, что вес разный. Бракованная гиря на чаше весов, что опустилась вниз.	Равенство. Значит, бракованная гиря – ранее не взвешенная, та, что осталась на столе.

Ответ: 3 взвешивания.

Задачи на взвешивание и переливание

После работы Подпандопий возвращался мимо своей любимой кофейной лавки и решил зайти купить кофе себе и любимой тёще.
— Здравствуйте, — радостно сказал Подпандопий.
— Здравствуйте, только не говорите, что вы пришли купить кофе, — сказал продавец.
— Как Вы догадались? — Не видя подвоха, спросил Подпандопий.
— Видите ли… — у продавца на лице нарисовалась виноватая улыбка. — Все наши весы с гирями отправили на поверку, так что никакого товара на развес я Вам взвесить не смогу.
— А вон те весы двучашечные работают? — Подпандопия было не остановить, он не хотел уходить с пустыми руками.
— Да, работают до сих пор, это первые весы нашего заведения, правда, они уже стоят тут в качестве украшения — к ним не осталось комплектов гирь.

— Так ведь у вас есть наверняка товар с известным весом?
— Да, но вес указывается нетто, а товар в упаковках.
— Хорошо, — Подпандопий точно решил уйти из лавки или с кофе, или…. не уйти… — У меня есть с собой фотоаппарат, и я точно знаю его вес — 650 грамм. Также на мне шляпа, вес которой я тоже знаю с точностью до грамма — 300 грамм.
— Ну что ж, я поверю Вам, сколько Вам кофе? 300 грамм? 650? 950?
— Два по 500, мне и любимой тёще.

— Сказал Подпандопий, снимая шляпу.
— Но как я взвешу ровно 500….?
— Прошу, быстрее, мне еще орешков надо успеть купить.

Как за минимальное количество взвешиваний отмерить 2 порции кофе по 500 грамм?

В мешке 24 кг гвоздей. Каким образом можно на чашечных весах без гирь отмерить 9 кг гвоздей?

При помощи только 4- и 7-минутных песочных часов точно отмерьте девять минут

Имеются стандартные весы с чашечками и две гири: 10 и 2 кг. Как с их помощью взвесить 3 кг слив?

Имеется 14 шаров. Среди них 2 радиоактивных. Имеется счётчик Гейгера. Его можно поднести к группе шаров и узнать, есть ли в ней радиоактивные (но неизвестно — сколько их).

За сколько замеров и каким образом можно найти оба радиоактивных шара в группе из 14 шаров?

Есть 68 монет, все они разные по весу. Как за 100 взвешиваний найти самую легкую и самую тяжелую?

Среди 100 одинаковых на вид монет есть несколько фальшивых. Все фальшивые монеты весят одинаково, все настоящие — тоже, фальшивая монета легче настоящей. Имеются также весы (с двумя чашами без стрелки), на каждой чашке умещается только по одной монете. При этом весы слегка испорчены: если монеты разного веса, перевешивает более тяжёлая монета, а если одинакового — перевесить может любая чашка. Как с помощью этих весов найти хотя бы одну фальшивую монету?

Имеются три бочонка вместимостью 6 вёдер, 3 ведра и 7 вёдер. В первом и третьем содержится соответственно 4 и 6 ведёр кваса. Требуется, пользуясь только этими тремя бочонками, разделить квас поровну.

P.S. Решать задачу удобно с помощью скрипта, написанного одним из посетителей нашего сайта — http://kokoscripts.ucoz.ru/

Двое должны разделить поровну 8 ведер кваса, находящегося в восьмиведерном бочонке. Но у них есть только два пустых бочонка, в один из которых входит 5 ведер, а в другой — 3 ведра. Спрашивается, как они могут разделить этот квас, пользуясь только этими тремя бочонками?

P.S. Решать задачу удобно с помощью скрипта, написанного одним из посетителей нашего сайта — http://kokoscripts. ucoz.ru/

Имеется 80 монет, одна из которых фальшивая, причем она легче других. За какое наименьшее число взвешиваний на весах без гирь можно найти фальшивую монету?

Эта задачка хоть и совсем не про взвешивания, но принцип ее решения такой же, как и у других задач данного раздела. Итак.

Как от куска материи в 2/3 метра отрезать полметра без помощи каких-либо измерительных приборов?

Имеются шестилитровая банка сока и две пустые банки: трех- и четырехлитровая. Как налить 1 литр сока в трехлитровую банку?

P.S. Решать задачу удобно с помощью скрипта, написанного одним из посетителей нашего сайта — http://kokoscripts.ucoz.ru/

Сможете ли вы повторить действия, которые предпринял в одной древней легенде восточный мудрец? Попробуйте. Вот условие.
Когда за доброе дело правитель страны решил наградить умного человека, тот пожелал взять столько золота, сколько весит слон. Но как же взвесить слона? В те времена не было таких весов. Что бы в подобной ситуации смогли придумать вы?

Есть 10 мешков по 10000 монет каждый.

Несколько целиком забиты монетами на 1г. легче настоящих, в остальных монеты настоящие. Есть еще один мешок с настоящими монетами. За одно взвешивание на весах со стрелкой, показывающей разность весов на чашах определите все мешки с фальшивыми монетами.

Как из полного сосуда ёмкостью в 12 л отлить половину, пользуясь двумя пустыми сосудами ёмкостью в 8 и 5 л?

Винодел обычно продает свое вино по 30 и по 50 литров и использует для этого кувшины только такого размера. Один из покупателей захотел купить 10 литров. Как винодел отмерил ему 10 литров пользуясь своими кувшинами?

Пять различных по весу предметов требуется расположить в порядке убывания их веса. Пользоваться можно только простейшими весами без гирь, которые позволяют лишь установить, какой из двух сравниваемых по весу предметов тяжелее.
Как следует действовать, чтобы решить задачу оптимальным образом, то есть так, чтобы число взвешиваний было минимальным? Сколько взвешиваний придется при этом произвести?

Среди 2000 внешне неразличимых шариков половина — алюминиевые, весом 10 г каждый, а вторая половина — дюралевые, весом 9. 9 г каждый. Требуется выделить две кучки шариков так, чтобы количество шариков в кучках было одинаковым, а массы — разными. Каким наименьшим числом взвешиваний на чашечных весах без гирь это можно сделать?

К продавцу, студенту-математику, подрабатывющему летом торговлей у бочки с квасом, подходят два веселых приятеля и просят налить им по литру кваса каждому. Продавец замечает, что у него есть лишь две емкости, трехлитровая и пятилитровая, и он не может выполнить их просьбу. Приятели предлагают 100 долларов, если продавец сможет выполнить их заказ, причем выдать им порции продавец должен одновременно. После некоторого размышления, продавец сумел это сделать. Каким образом? Заметим, что при переливаниях квас не теряется и что полные емкости позволяют точно отмерять объемы 3 и 5 литров.

Имеется 9 одинаковых монет, одна из которых фальшивая и по этой причине легче остальных. Мы располагаем двумя весами без гирь, позволяющими сравнивать по весу любые группы монет. Однако одни из имеющихся весов являются грубыми, на них нельзя отличить фальшивую монету от настоящей. Их точность не позволяет уловить разницу в весе. Зато другие весы точные. Но какие весы грубые, а какие точные — неизвестно. Как в этой ситуации с помощью трех взвешиваний определить фальшивую монету?

Страницы

1
2
следующая ›
последняя »

Как решить головоломку с весами | Хайн де Хаан | Как построить ASI

Как решить головоломку с весами | Хайн де Хаан | Как построить ASI | Medium

Доказательство с помощью математической индукции

Опубликовано в

5 минут чтения

24 августа 2022 г.

Вчера я прочитал сообщение Hemanth’s Can You Really Решите эту хитрую математическую головоломку в его потрясающем издании Street Science . Загадка следующая (цитата из поста Хеманта):

Скажите, что вы бакалейщик, у которого есть весы. Вы хотите купить отдельные грузы, которые позволят вам балансировать предметы весом до 40 килограммов (кг).
В то же время вы полны решимости купить наименьшее количество дискретных гирь, необходимое для достижения этой цели.

Автор Hein de Haan

462 подписчиков

·Редактор

(Функциональный) теоретик принятия решений, финансируемый Исследовательским институтом машинного интеллекта. Ведущий писатель по теории решений и теории игр.

Еще от Хайна де Хаана и Как создать ASI

Хайн де Хаан

Как реализовать алгоритм восхождения на холм в Python

Пошаговое руководство по изготовлению Hill Climbing решает задачу коммивояжера

·8 мин чтения·8 декабря 2020 г.

Hein de Haan

Как решить задачу 100 заключенных

900 06

Наткнулся на интересную задачку на офигенном Ютуб канал Veritasium. Математика, которую я представляю ниже, основана на математике в видео…

·6 мин чтения·10 августа 2022 г.

Hein de Haan

Байесовский стиль, я объяснил основы теоремы Байеса .

В этом кратком руководстве мы применяем эти знания для создания…

·5 мин чтения·20 июня 2021 г. Почему искусственный сверхразум не может быть содержал

·4 мин чтения·2 ноября 2019 г.

Просмотреть все от Hein de Haan

8 красивых математических цитат, которые заставят вас глубоко задуматься

900 45 Математика — это больше, чем просто числа и уравнения — это красивая форма искусства, которая привлекла внимание некоторых из величайших в мире…

·7 минут чтения·6 дней назад

Ретт Аллен

Столкновение со скоростью 50–50 миль в час – это то же самое, что и 100– 0 миль/ч Столкновение?

Давным-давно был эпизод MythBusters, в котором рассказывалось о столкновении машин лицом к лицу. Предположим, у вас есть два автомобиля одинаковой массы…

·9 мин. чтения·19 мая

Списки

6 Подтвержденные наукой истории о здоровье о Covid, сне и многом другом

6 историй·10 сохранений

Что такое ChatGPT?

9 историй·65 сохранений

Самосовершенствование 101

20 историй·108 сохранений

Истории, которые помогут вам стать разработчиком программного обеспечения

19 историй·72 сохранения

Каспер Мюллер

Таинственные закономерности в треугольнике Паскаля

Скрытые сокровища комбинаторики 9004 6

·6 минут чтения·25 мая

Мартин Макбрайд

Решение уравнений методом Ньютона-Рафсона

Метод Ньютона-Рафсона — это численный метод решения уравнений вида f(x) = 0.

0005

Клайв Томпсон

Чему я научился у самых серьезных компьютерных ошибок

Будьте скромнее перед лицом сложности программного обеспечения

·7 минут чтения·5 дней назад

Томас А Дорфер

Обзор десяти лет искусственного интеллекта

От классификации изображений до терапии с помощью чат-ботов

·Чтение за 15 минут·23 мая

См. дополнительные рекомендации

Статус

Карьера

Преобразование текста в речь

Найдите фальшивый мяч среди 3 гирь

Найдите фальшивый мяч среди 9 шаров в 3 гирях. Все шары похожи. У вас есть чашечные весы без весов. Время решения 30 минут.

Попробуйте, прежде чем двигаться дальше.

Бонусная головоломка

Сможете ли вы найти все возможные способы решения головоломки?

Нет ограничения по времени для этого и нет решения от нас. Это только для вас, если вам интересно.

Решение головоломки с 9 мячами 1 разного веса: Найдите фальшивый мяч в 3 весит

Каким должен быть лучший план для первого взвешивания? Мы не можем разделить 9 на две равные части; поэтому очевидно, что

должно быть три части: два набора шаров одинакового размера, взвешенных друг против друга, и третий набор шаров, оставленный в стороне.

Сразу возникает следующий вопрос,

как лучше 9 разделить на 3 части?

Мысленно исследуйте, что произойдет, если вы оставите только 1 мяч в стороне и взвесите 4 мяча против 4 других. В лучшем случае весы будут идеально сбалансированы, доказывая, что все 8 взвешенных мячей являются хорошими мячами, а 1 мяч, оставленный в стороне, является фальшивым. один. Просто взвесьте поддельный мяч с 1 из 8 хороших мячей, и вы узнаете, легче или тяжелее поддельный мяч, чем хорошие мячи.

Но если вам не улыбнется такая удача, то у вас будет 8 подозрительных шаров, либо фальшивый среди 4-х более легких, либо среди 4-х более тяжелых.

Этот путь совсем не перспективен и мы будем следовать общему принципу решения проблем почерпнутому из опыта на как лучше разделять и властвовать,

Разделить врага на мельчайшие группы с группой размеры максимально совпадают друг с другом.

Все три размера группы должны быть наименьшими и одинаковыми, 9

9 = 3 + 3 + 3.

Эта стратегия также следует принципу симметрии,

Если увеличить симметрию в задаче действием, то будет вашим САМЫМ ПЕРСПЕКТИВНЫМ ДЕЙСТВИЕМ.

Мы тут же решаем взвесить сначала,

3 мяча против 3 других —6 мячей с 3 мячами в стороне.

На рисунке показана первая комбинация взвешивания .

Возможны три исхода взвешивания:

1. Первый результат 1-го взвешивания – опускается правая чаша.

Заключение: Все шесть шаров подозрительны. В частности,

1.1. Либо левые три шара, идущие вверх, содержат фальшивый более легкий шар, либо
1.2. На правом опускающемся поддоне находится фальшивый более тяжелый шар.

На рисунке ниже показана ситуация.

2. Второй вариант — левая чаша опускается:

Вывод: Все шесть шаров подозрительны. В частности,

2.1. Либо левая сторона нисходящих трех шаров содержит фальшивый более тяжелый шар, либо
2.2. Поддон с правой стороны имеет фальшивый шар для зажигалок. По сути, эти два результата потребуют точно таких же действий, как и результаты 1.1 и 1.2.

Мы не будем анализировать эти два результата дальше. Анализ результатов 1.1 и 1.2 должен быть достаточным для достижения решения.

3. Третий вариант — чаши одинаково сбалансированы:

Вывод:

три левых шара должны содержать поддельный шар и,
Все шесть взвешенных мячей хорошие.

Сначала рассмотрим третий результат .

Изучение третьего результата 1-го взвешивания: нахождение фальшивого мяча среди 3-х оставленных в стороне подозрительных шаров в 2-х весах

Вторая комбинация взвешивания для 3-го результата:

Добавьте 1 хороший шар из 6 к трем подозрительным шарам, отложенным в сторону, и взвесьте 2 против 2. Из 6 хороших шаров пять не используются.

Следующая схема показывает эту комбинацию взвешивания. Подозрительные шары заштрихованы.

Одна сторона должна идти вниз.

Результат 3.1. Когда чаши были одинаково уравновешены при 1-м взвешивании И чаша с 1 хорошим шаром опустилась при 2-м взвешивании:

3.1.1. Либо единственный подозрительный мяч с хорошим мячом (заштрихован и отмечен буквой L) тяжелее,
3.1.2. Или два правых шарика (заштрихованные и отмеченные буквой R) имеют фальшивую зажигалку.

Вы еще не совсем уверены, но одно взвешивание у вас еще осталось.

Третья схема взвешивания для результата 3.1:

Взвесьте два подозрительных шара в правой чаше относительно друг друга — заштрихованное R против другого заштрихованного R. Один из них может быть фальшивым зажигалкой.

Это показано на следующей схеме.

Окончательные выводы из 3-го взвешивания для результата 3.1

Только два возможных вывода:

Поднимающаяся чаша имеет фальшивый более легкий шар , , если две чаши не уравновешивают друг друга.
Единственный подозрительный шар, пропущенный при 3-м взвешивании, — фальшивый более тяжелый шар , , если две чашки уравновешены.

Первый на рисунке слева, второй на рисунке справа.

Результат 3.2: Когда чаши одинаково уравновешены при 1-м взвешивании И чаша с 1 хорошим шариком поднимается во время 2-го взвешивания

Здесь также вы предпримете точно такое же действие взвешивания двух шаров в правой чаше относительно друг друга. Только результаты и выводы будут обратны результатам, которые мы только что получили.

Время до анализа первого результата 1-го взвешивания.

Головоломка «Найди поддельный шар из 9 шаров с помощью 3 взвешиваний»: изучение 1-го результата 1-го веса, когда левая чаша с 3 шарами поднялась

Для удобства показана схема результата 1 первого взвешивания.

И вывод : Все шесть шаров подозрительны . В частности,

1.1. Либо три шара с левой стороны, идущие вверх, содержат фальшивый более легкий шар,
1.2. Или, правая опускающаяся чаша имеет фальшивый более тяжелый шар.

Все шесть предполагаемых фальшивых шаров заштрихованы восходящими левыми шарами панорамирования, помеченными буквой L, и опускающимися правыми шарами панорамы, помеченными буквой R, для удобства дальнейшего использования.

Анализ и решение по взвешиванию для второго взвешивания двух групп по 3 подозрительных шара в каждой

Мы должны мыслить нестандартно. Количество подозрительных шаров равно 6. Очки в нашу пользу:

Левый фальшивый шар должен быть легче, а правый фальшивый шар должен быть тяжелее и,
Три неучтенных мяча — хорошие мячи.

Первое решение принято для частичного баланса восходящей и нисходящей ситуации is,

ОБМЕН 1 мяча между двумя чашами.

Это разновидность широко используемой техники базовой коррекции , используемой для решения математических задач на высокой скорости. Это действие уравновешивает асимметрию природы шаровых весов и повышает общую симметрию.

Второй решение принято к уменьшить количество возможных результатов второго и третьего взвешивания is,

ОТСТАВИТЬ 1 шар от каждой миски.

Разделение 6 подозрительных шаров на три группы по 2 шара в каждой в соответствии с нашей предыдущей стратегией,

Это уменьшает размер трех частей числа 6 до 2, 2 и 2, и это наименьший размер групп частей.

Показана вторая комбинация взвешивания .

При этом втором взвешивании каждая чаша имеет точно такое же сочетание типов шариков. нашел подделку.

Результаты 2-го взвешивания для 1-го результата 1-го взвешивания: левая чаша поднялась и все 6 шаров оказались подозрительными это более легкая подделка, или правый шар панорамирования R является более тяжелой подделкой,

На этот раз левая чаша опускается— Вывод: Либо правая чаша L — более легкая подделка, либо левая чашка R — более тяжелая подделка, и

Две кастрюли идеально сбалансированы— Вывод: Либо отложенный шар L — более легкая подделка, либо отложенный шар R — более тяжелая подделка.

Выводы указывают на один и тот же результат во всех трех случаях — один из двух L-R пар шаров является подделкой.

Окончательное 3-е взвешивание и раствор 9головоломка с шарами для 1-го результата при 1-м взвешивании: левая чаша поднялась, и все 6 шаров оказались подозрительными

Последний шаг прост,

Просто взвесьте хороший мяч против любой из подозрительных L-R пары из двух шаров.

Показана комбинация взвешивания,

L-шар снова помещается на левую чашу, а исправный шар — на правую чашу, и последнее взвешивание выполнено.

Может быть только два результата и следующих выводов:

Если левая чаша поднимется, L-шар в ней будет фальшивым шаром, и,
Если две кастрюли идеально сбалансированы, отложенный в сторону R-шар — это фальшивый более тяжелый шар.

Прощальный вопрос: Можно ли решить головоломку другим способом?

Если вы исследуете, чтобы найти ответ, вы можете обнаружить новые способы решения этой не такой уж простой головоломки, а также вы поймете, почему мы предприняли сложное действие одновременного обмена и откладывания мячей в сторону.

Знать, как легко решать сложные задачи, не тратя время на случайные попытки

Наша электронная книга о решении головоломок инновационными методами покажет вам именно это.

Головоломки для взрослых: 50 головоломок с пошаговыми решениями: улучшите свои навыки решения задач , PayHip и др.)

КУПИТЬ электронная книга Amazon Kindle версии здесь , из Google Play здесь и Мягкая обложка здесь .

Вторая книга об инновационных решениях головоломок из спичек от Suresolv

КУПИТЬ Creative Matchstick Puzzles Электронная книга Innovative Solutions Amazon Kindle версия

КУПИТЬ в мягкой обложке здесь.

Головоломки, которые могут вам понравиться

Головоломки от простых до сложных с систематическими решениями

Сложные головоломки с решениями: длинный список.